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Sitientibus Série Ciências Fı́sicas 14: 1-13 (2018)

Duas Descrições Lagrangeanas para a Eletrodinâmica de London

Two Lagrangian Descriptions for the London’s Electrodynamics

Edine Silva dos Santos e Franz A. Farias∗

Departamento de F́ısica – UEFSCampus UEFS, Feira de Santana – BA – 44036-900

A Eletrodinâmica de London é revisitada no contexto de duas descrições Lagrangianas. Asequações de London descrevem o diamagnetismo extremo, caracteŕıstico dos supercondutorestipo I. Uma descrição Lagrangeana, em um primeiro caso, é estabelecida utilizando ummultiplicador de Lagrange à Lagrangeana de Maxwell, enquanto na segunda descrição seutiliza a Lagrangeana de Proca. Mostramos que existe uma equivalência entre as duasLagrangeanas e discutimos algumas das consequências dessa equivalência.

Palavras-chaves: Eletrodinâmica; Supercondutor; Equações de London; Fase Su-percondutora; Comprimento de Penetração.

London Electrodynamics is revisited in the context of two Lagrangian descriptions. TheLondon equations describe the extreme diamagnetism, characteristic of superconductors typeI. We look for a Lagrangian description, in a first case using a Lagrange multiplier overMaxwell Lagrangian, and in a second one, using the Proca’s Lagrangian. We show how theequivalence between the two Lagrangians is established and discuss some the consequencesof these equivalence.

Keywords: Electrodynamics; Superconductor; London Equations; Supercon-ducting Phase; Penetration Depth.

I. INTRODUÇÃO

O fenômeno da Supercondutividade com-pletará, em 2021, 110 anos desde sua desco-berta com a experiência realizada pelo f́ısicoholandês Kamerling Onnes sobre a resistênciado mercúrio a baix́ıssimas temperaturas [1].

Heike Kamerlingh Onnes chefiava o maisavançado laboratório de criogenia da Europano ińıcio do século XX. A descoberta da su-percondutividade deveu-se, antes de tudo, àcapacidade experimental para a liquefação dohélio ĺıquido, e em geral, a liquefação doschamados “gases permanentes”. O hidrogêniojá havia sido liquefeito no experimento reali-zado por Sir James Dewar, em 10 de maiode 1898. A liquefação do hélio era o próximogrande passo a ser alcançado, mas a dificul-dade de obtenção de amostras puras de héliobem como a própria técnica utilizada por De-

∗Endereço Eletrônico: [email protected]

war constituiram uma limitação nos resultadosdos experimentos realizados [2–4].

A primeira liquefação efetiva do hélio foiconseguida em 10 de julho de 1908 por Kamer-ling Onnes e sua equipe, eles alcançaram a tem-peratura de 4, 25 K (veja a Figura 1). O sucessoimpactante desse experimento [1] rendeu umahomenagem da equipe do laboratório ao Dr.Heike Kamerlingh Onnes, em seus 40 anos deseu professorado, em 11 de novembro de 1922por seu feito em obter o hélio liquefeito!

Com o domı́nio da técnica de criogenia paraobtenção do hélio ĺıquido, este, por sua vez,passava a ser utilizado nos estudos experimen-tais das propriedades elétricas de metais. Diga-se de passagem, o interesse nesses estudos nãoiniciou em 1908 como se difunde grandemente,ao contrário, a investigação da relação entre re-sistência elétrica e temperatura foi proclamadaem Leiden num anúncio oficial feito por Kamer-lingh Onnes em 1902 [4, 5].

A evidência da queda brusca da resistivi-

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mailto:[email protected]

E.S. dos Santos e F.A. Farias Sitientibus Série Ciências Fı́sicas 14: 1-13 (2018)

dade do mercúrio ocorreu em dezembro de1911. A descoberta da supercondutividadedependeu do sucesso das técnicas criogênicas,e ambas foram posśıveis no laboratório debaixas temperaturas na Universidade de Lei-den (Holanda) [1, 3].

FIGURA 1: O gráfico mais conhecido em super-condutividade, trata-se do comportamento da re-sistividade do mercúrio e sua abrupta queda àtempetaura cŕıtica de 4, 25 K. Figura extráıda dareferência [6].

A primeira guerra mundial tornou muito dif́ıcila comunicação entre os cientistas, e as novi-dades no campo do fenômeno da supercon-dutividade ficaram restritas à descoberta denovos metais e ligas supercondutoras. So-mente em 1933 surgiria uma descoberta im-portante para a supercondutividade, o efeitoMeissner-Ochsenfeld. Walther Meissner eRobert Ochsenfeld verificaram experimental-mente que os supercondutores eram diamag-netos extremos, ou seja, não havia campomagnético no interior do metal na fase super-condutora (T < Tc). Esse comportamento in-depende da forma como se alcança a fase super-condutora [8–10], se baixando a temperatura

primeiro e, em seguida, submetendo a amostraao campo magnético, ou na ordem inversa.

A revelação do efeito Meissner-Ochsenfeld[11] encerrou a possibilidade de explicação dofenômeno da supercondutividade a partir daconcepção apenas de um condutor perfeito comresistividade nula. As propriedade magnéticasde um supercondutor são, portanto, inteira-mente distintas daquelas de um condutor per-feito. Podemos resumir o resultado experimen-tal estabelecido por Meissner e Ochsenfeld peloenunciado a seguir [12]:

“Um metal no estado supercondutor apre-senta uma densidade de fluxo magnéticosempre nula em seu interior.”

Consequentemente, no interior de um metal su-percondutor (entendido aqui como em sua fasesupercondutora), temos sempre:

B = 0. (1)

Em 1935, surgiu a primeira tentativa bem-sucedida de descrição da fase supercondutorapelo trabalho dos irmãos Heinz London e FritzLondon. A medida experimental do compri-mento de penetração do campo magnético eratema de trabalho de doutoramento de HeinzLondon. A teoria de London, como passou aser conhecida [13, 14] tinha como principal ob-jetivo explicar o resultado experimental para oefeito Meissner-Ochsenfeld [15–17].

Aspectos interessantes da teoria de Londonserão detalhados na primeira seção adiante,contudo a teoria de London é essencialmenteclássica, e não conseguiu responder a questãosobre como surgiam os superelétrons. Efeitosquânticos serão levados em conta primeira-mente pela teoria de Ginzburg-Landau, ouabreviadamente, Teoria GL, proposta por V.L.Ginzburg e L.D. Landau em 1950 [18]. A Teo-ria GL é a aplicação da teoria de transições defase em 2a ordem de Landau à supercondutivi-dade [19], ela introduz um parâmetro de or-dem com dependência espacial e a descrição dateoria é válida na vizinhança da temperaturacŕıtica, Tc − T � Tc. Quando a densidade desuperelétrons, ns, atinge seu valor de equiĺıbrioem todo ponto no supercondutor, a Teoria GLreduz-se às equações de London [20].

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A resposta sobre a natureza dos eletrónssupercondutores, ou seja, sobre o mecanis-mo microscópico da supercondutividade, teriaque aguardar até 1957, com o surgimentoda primeira teoria quântica bem-sucedida afornecer uma explicação para o fenômeno dasupercondutividade com os pares de Cooper:a teoria BCS, de J. Bardeen, L. Cooper e R.Schrieffer, [21, 22, 24]. Essa teoria introduznovos aspectos a serem considerados na abor-dagem do fenômeno da supercondutividade,quando a frequência está acima da energia degap (veja a nota em [23]). A supercondutivi-dade se revelou, microscopicamente, como umfenômeno de excitações coletivas (a interaçãode pares de Cooper com os fónons, as vibraçõesda rede cristalina), a teoria BCS [25].

Ainda no mesmo ano 1957, a descobertados supercondutores tipo II e a explicaçãode sua estrutura magnética pelo trabalho dof́ısico Alexei A. Abrikosov [26], juntamente comLev D. Landau, Vitaly Ginzburg e Zavarit-sky [27], abrem um campo muito frut́ıfero depesquisas em supercondutividade. Os Super-condutores Tipo II apresentam um compor-tamento magnético diferente do Tipo I, poisagora o campo magnético penetra o materiale o efeito Meissner-Ochsenfeld fica restrito àcondição H < Hc1. Ademais, a penetraçãodo campo no material se manifesta de umamaneira não-usual, aparecem os padrões defluxo de vórtices (veja a Figura 2 para os com-portamentos de supercondutor tipo I e II).

FIGURA 2: (a) Magnetização versus campo magnético aplicado para o volume de um supercondutorexibindo um efeito Meissner-Ochsenfeld perfeito (diamagnetismo perfeito). Um supercondutor com estecomportamento é chamado um Supercondutor Tipo I. Acima do campo cŕıtico Hc a amostra é um condutornormal e a magnetização é muito pequena para ser percebida nessa escala. Perceba que (−4πM) é plotadono eixo vertical: o valor negativo de M corresponde ao diamagnetismo. (b) a curva de magnetizaçãosupercondutora de um Supercondutor Tipo II. O fluxo começa a penetrar a amostra em um campo Hc1abaixo do campo cŕıtico termodinâmico Hc. A amostra está no estado de vórtice entre Hc1 e Hc2, e tempropriedades elétricas supercondutoras até Hc2. Acima de Hc2 a amostra está no estado de condutornormal em todos os aspectos, exceto por posśıveis efeitos de superf́ıcie. Figura e texto adaptados dareferência [6].

Os avanços seguintes em supercondutivi-dade buscaram compostos e ligas com umatemperatura cŕıtica de transição à fase su-percondutora cada vez mais alta, é o campoda supercondutividade a altas temperaturas

cŕıticas. Exemplos desses compostos são(LaBa)CuO4, o primeiro composto cerâmicoa exibir a supercondutividade em alta temper-atura, 30 K, descoberto em 1986, até o demais alta temperatura já registrada, o com-

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posto Cd5MgO6, a 310 K. Para um levan-tamento detalhado dos compostos e ligas emalta temperatura acesse a página da internet:http://superconductors.org. A área da su-percondutividade já conta com 10 prêmios No-bel em F́ısica (veja a referência [27]).

Na seção II deste artigo, revemos a teo-ria de London no contexto da descrição la-grangiana, focando a fase supercondutora pura.Uma forma Lagrangeana condicionada é pro-posta, como uma Lagrangeana de London,e mostramos que ela é consistente com asequações da eletrodinâmica de London. Estaprimeira lagrangeana incorpora um multipli-cador de Lagrange associado a um v́ınculo àeletrodinâmica de Maxwell acoplado à corrente.Por sua vez, na seção III, abordamos a segundadensidade de Lagrangeana, a Lagrangeana deProca, que descreve “fótons” massivos, masagora voltada aos superelétrons. A relação en-tre as duas descrições é discutida no momentoseguinte com um levantamento de implicações.Abordagens alternativas para as equações deLondon são discutidas na seção IV. Ao finalcolocamos algumas observações na seção V.

II. A ELETRODINÂMICA DE LONDON

A eletrodinâmica de London constitui umaextensão linear ad-hoc da eletrodinâmica deMaxwell [28] (em unidades gaussianas),

∇ ·D (r, t) = 4πρ (r, t) , (2)∇ ·B (r, t) = 0, (3)

∇×E (r, t) + 1c

∂B (r, t)

∂t= 0, (4)

∇×H (r, t)− 1c

∂D (r, t)

∂t=

4π

cJ (r, t) , (5)

de maneira a descrever o fenômeno da super-condutividade a partir do diamagnetismo per-feito como expresso pela Eq.(1).

Vamos fazer uma breve digressão sobrea abordagem que adotaremos para o mode-lo do diamagnetismo perfeito. Como esta-mos interessados na distribuição espacial daindução magnética, B, a partir das equaçõesde London, consideramos que o metal do mate-

rial supercondutor é não-ferromagnético e não-magnético, ou seja, a permeabilidade relativaé µr = 1, e que o material ao ser submetido àindução magnética externa, responde com umaindução magnética oposta devida às correntesde blindagem (induzidas), produzindo assim ocancelamento de B no interior do supercondu-tor (veja a subseção 2.2.2 e o apêndice A dareferência [12] para maiores detalhes). Se es-tivéssemos interessados no estudo da energia demagnetização e do campo de demagnetização,seria mais apropriada a abordagem do diamag-netismo de volume [12].

Os irmãos Heinz e Fritz London propuseramem 1935 [13] duas equações adicionais, que emconjunto com as equações de Maxwell descre-vem as propriedades eletromagnéticas de umsupercondutor [12, 20, 29] (veja a nota em [30]),expressas como segue,

E =∂ΛJs∂t

, (6)

B = −c ∇× ΛJs, (7)

com o parâmetro fenomenológico Λ dado por

Λ =m

ns e2, (8)

onde m é a massa do elétron, e é a carga doelétron, e ns é a densidade de superelétrons.

A Eq.(6) descreve a propriedade de re-sistência nula em um supercondutor, enquantoque a Eq.(7) descreve o diamagnetismo. A den-sidade de superelétrons ns compõe com a den-sidade de elétrons normais, nN , a densidade to-tal de elétrons livres n = nN + ns. Admitimostambém, em conformidade com a abordagemacima descrita, que as correntes no metal afe-tam B, mas não H e, por isto a Eq.(5) podeser substitúıda por:

∇×B− 1c

∂D

∂t=

4π

cJs, (9)

Ademais, a variação temporal da corrente dedeslocamento só é comparável a Js quandoos campos flutuam rapidamente com o tempo(veja a nota em [30]), logo (9) reduz-se a,

∇×B = 4πc

Js. (10)

4

http://superconductors.org


A Eq.(7) é uma consequência da Lei de Faradayem (4) com a equação de London em (6).

FIGURA 3: O comportamento de decaimento ex-ponencial do campo magnético ao penetrar o ma-terial. Figura adaptada da referência [15].

Um condutor perfeito pensado como umgás de elétrons não-interagentes é consistentecom a assertiva da Eq.(6), mas não com aEq.(7), esta última é própria da corrente de su-perelétrons. Combinando (7) com (10), tendoem conta a identidade vetorial ∇ × ∇ × B =∇ (∇ ·B)−∇2B, obtemos para B,

∇2B = 1λ2L

B, (11)

com o parâmetro λL dado pela relação,

λ2L =c2

4πΛ =

mc2

4πnse2. (12)

A Eq.(11) é o mais importante resultado decor-rente das equações de London (6) e (7), epermite analisar o comportamento espacial docampo magnético, por exemplo, na situaçãode um campo magnético, B (x), paralelo à su-perf́ıcie da material. A solução, tendo em contaas condições de contorno B (x = 0) = B0 eB (x→∞) = 0, é neste caso,

B (x) = B0 e−x/λL , (13)

onde x é medido a partir da superf́ıcie e λLé o comprimento de penetração caracteŕısticoda material. Assim, podemos afirmar que o

campo magnético é blindado no material apóso comprimento de penetração λL.

A determinação de λL depende da estima-tiva de ns que, por sua vez, pode ser con-seguida identificando-a com a densidade efe-tiva de elétrons de condução nas medidas deimpedância de superf́ıcie do comprimento depenetração no estado normal.

Uma predição teórica t́ıpica para λL é da or-dem de 200 Å, enquanto que os valores experi-mentais de λL para amostras puras são da or-dem de 500 Å para T � Tc. Essa discrepânciase explica por uma eletrodinâmica não-local emamostras supercondutoras puras. O resultadode London, decorrente de uma eletrodinâmicalocal, é consistente com os resultados experi-mentais para amostras supercondutoras cujoslivres caminhos médios sejam curtos (veja aTabela I). A diferença observada entre teoriae experimento foi explicada pela primeira vezpor Sir Alfred Pippard [32]. Em 1953, Pip-pard publicou sua eletrodinâmica não-local emanalogia à proposta de generalização não-localda lei de Ohm estabelecida por Chambers.

A teoria de Pippard se baseou no conceitode comprimento de coerência, ξ0, a partir daconsideração que a função de onda para a fasesupercondutora deveria possuir uma dimensãocaracteŕıstica, uma vez que apenas elétronscom energia de Fermi da ordem de KTc de-sempenhariam papel relevante para a super-condutividade. O comprimento de coerência,ξ0 poderia ser estimado, então, do prinćıpio deincerteza de Heisenberg. Não discutiremos aquios resultados de Pippard [33], pois foge ao es-copo do presente trabalho.

Assim, embora na fase supercondutora tipoI, a ocorrência do efeito Meissner-Ochsenfelddefina o supercondutor como um diamagnetoextremo, em experimentos o campo magnéticopenetra o material numa distância dada peloparâmetro λL, o comprimento de penetraçãode London (veja a Figura 3). Esses fatos ex-perimentais caracterizam o comportamento dosmateriais designados por Supercondutores TipoI [20, 34], e valem também para os Supercon-dutores Tipo II quando o campo magnéticoH < Hc1 [12].

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TABELA I: Valores teóricos e experimentais para o comprimento de penetração de London λL de algunsmetais e a comparação com o comprimento de coerência de Pippard, e outras razões entre estas grandezas.Figura extráıda da referência [7].

Portanto, a eletrodinâmica de Londondecorre da hipótese fundamental que o dia-magnetismo perfeito é a condição essencial jus-tificando a persistência da corrente supercon-dutora no material, ao invés, como defendiaBorn e Heisenberg [25], da hipótese que umacorrente metaestável persistiria independente-mente de um campo magnético aplicado.

III. DESCRIÇÕES LAGRANGEANASDA ELETRODINÂMICA DE LONDON

Nosso objetivo é estabelecer as equaçõesde London (6) e (7) a partir de uma den-sidade de Lagrangiana apropriadamente con-strúıda. Uma vez que, consideramos ape-nas a descrição da fase supercondutora e,portanto, não estamos analizando propria-mente a transição entre fase normal e fase su-percondutora (ou vice-versa) no material, oque necessariamente envolveria a dependênciacom a temperatura, podemos reduzir a abor-dagem a uma descrição Lagrangeana usual(puramente eletrodinâmica), dispensando as-sim a utilização da energia livre de Helmholtz,F (B,T).

Utilizaremos a formulação covariante naabordagem da equivalência de descrições en-tre as densidades de Lagrangeanas de London

e de Proca, pois essa escolha facilitará o es-tudo comparativo entre as duas descrições. Asupercondutividade não é um fenômeno rela-tiv́ıstico e poderia, em tese, ser descrito pelaMecânica Quântica não-Relativ́ıstica, mas ascaracteŕısticas da supercondutividade se reve-laram como uma manifestação de sistema demuitos corpos (um condensado, mas precisa-mente). O fenômeno da supercondutividadese mostrou desafiador aos f́ısicos em suas bus-cas para estabelecer uma teoria a partir deprimeiros prinćıpios, e foram necessários 46anos após a sua descoberta com KamerlingOnnes para que surgisse a teoria BCS.

A. Descrição Lagrangeana daEletrodinâmica de London

Na formulação covariante, a dinâmica de umcampo eletromagnético é descrita por uma den-sidade de Lagrangiana em termos do tensor decampo eletromagnético Fµν = ∂µAν − ∂νAµ,onde Aµ é o quadripotencial eletromagnético,

Aµ ≡ (A0,A) . (14)

A densidade de corrente, J, passa a ser com-posta por duas partes, uma densidade de cor-rente normal, JN , associada a nN , e outra àdensidade de superelétrons, Js, associada a ns.

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A expressão para Fµν em forma matricial é,

Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ,

=

0 −Ex −Ey −Ez

Ex 0 −Bz ByEy Bz 0 −BxEz −By Bx 0

. (15)As equações de Maxwell, ou seja, daeletrodinâmica clássica, se escrevem em formacovariante como,

∂µFµν =

4π

cJν , (16)

∂αFβγ + ∂βFγα + ∂γFαβ = 0, (17)

com a primeira equação obtida da densidade deLagrangeana abaixo [28],

LM [Aµ] = −1

16πFµνF

µν − 1c

JµAµ . (18)

A segunda equação, (17), não decorre de (18),constitui uma identidade. As equações (16) e(17) estão definidas no sistema gaussiano [28].

Propomos agora o v́ınculo a seguir,

Γ (Aµ) =

(1

cAµ + ΛJs µ

)(1

cAµ + ΛJµs

)= 0 .

(19)Incorporando (19) com o multiplicador de La-grange χ à Lagrangeana de Maxwell em (18)alcançamos a Lagrangeana de London, LL,

LL [Aµ, χ] = LM + χ Γ (Aµ) ,

ou de outra forma,

LL [Aµ, χ] = −1

16πFµνF

µν − 1c

JµsAµ

+ χ

(1

cAµ + ΛJs µ

)(1

cAµ + ΛJµs

), (20)

com Jµs ≡ (0,Js). Ademais, lembramos que es-tamos admitindo unicamente a fase supercon-dutora pura, logo JµN = 0. Nos desenvolvimen-tos a seguir, já levaremos em conta esse fato.

A variação funcional em primeira ordem daação associada, δSL = 0, como estabelecido

pelo Prinćıpio de Hamilton,

δSL [Aµ, χ] = δ

∫d4x LL =

∫dt

∫d3x LL ,

impõe das equações de Euler-Lagrange,

∂LL∂Aµ

− ∂ν(

∂LL∂ (∂νAµ)

)= 0 ,

que sejam satisfeitas as equações,

(I)1

4π∂αF

αµ +2

cχ

(1

cAµ + ΛJµs

)− 1c

Jµs = 0 , (21)

(II) Γ (Aµ) = 0⇒(

1

cAµ + ΛJµs

)= 0. (22)

O v́ınculo que introduzimos em (19) é, natural-mente, o resultado por Euler-Lagrange em (22),que é a própria expressão da primeira equaçãode London em (6), agora escrita em termos doquadripotencial Aµ dado por,

1

cAµ = −ΛJµs . (23)

Por sua vez, a Eq.(21) pode ser simplificada,pois seu segundo termo, de acordo com aEq.(22), é nulo, consequentemente,

∂αFαµ =

4π

cJµs . (24)

A equação acima resgata a lei de Ampère paraa supercorrente, Jµs , em (10), enquanto que dalei de Faraday e da primeira equação de Londonretomamos a segunda equação de London em(7). Naturalmente, estamos levando em contaque a contribuição devida à corrente de deslo-camento é despreźıvel (veja maiores detalhesnos comentários da nota [31]).

Vamos explicitar os termos na Lagrangeanaem (20) para investigar o v́ınculo χ,

LL [Aµ, χ] = −1

16πFµνF

µν − 1c

JµsAµ

+1

c2χ AµA

µ +2

c(χΛ) JµsAµ

+ χ Λ2 Js µJµs . (25)

O último termo na Lagrangeana acima é, para

7


todos os efeitos, um termo constante. Comisso, podemos construir uma densidade de La-grangeana modificada, descartando esse termoconstante, uma vez que o mesmo não afeta asequações dinâmicas, assim,

L′L [Aµ, χ] = −1

16πFµνF

µν +1

c2χ AµA

µ

− 1c

(1− 2χΛ) JµsAµ . (26)

Temos, então, a escolha de tornar nulo o últimotermo em (26), definindo χ como,

χ = (2Λ)−1 =c2

8πλ2L. (27)

A forma final da Lagrangeana L′L é então,

L′L [Aµ] = −1

16πFµνF

µν +1

8πλ2LAµA

µ . (28)

Na próxima subseção, mostraremos que ateoria de London pode, também, ser alcançadaa partir de uma densidade de Lagrangeana deProca e, em seguida, como a Lagrangeana em(28) se relaciona com a de Proca.

B. A Lagrangiana de Proca para a Teoriade London

Em um artigo de 1935 [35, 36], HidekiYukawa lançou a hipotése de um mediadormassivo para a interação nuclear forte em es-treita analogia com o fóton da interação eletro-magnética. A razão de uma massa para o me-diador da interação nuclear forte é seu curtoalcance (até 15 fm) comparado ao da interaçãoeletromagnética (infinito). Esse mediador, ini-cialmente denominado como mésotron, passoua ser designado por méson e teve sua existênciacomprovada em 1947 através dos experimentoscom os raios cósmicos conduzidos pela equipede Bristol, da qual fazia parte o f́ısico brasileiroCésar Lattes [37]. Em 1949, Yukawa foi agra-ciado com o Prêmio Nobel de F́ısica, e CecilFrank Powell, o chefe da equipe de Bristol, como Prêmio Nobel de F́ısica de 1950.

Uma das descrições para o campo do mésonfoi estabelecida em (1936) por Alexandru Proca

[38–40]. Ele propôs uma equação para descre-ver o campo bosônico vetorial massivo, esten-dendo as equações de Maxwell ao contexto daTeoria Quântica de Campos através de umadensidade de Lagrangeana relativ́ıstica com umtermo de massa.

O nome de Proca foi citado por WolfgangPauli em sua palestra do Prêmio Nobel, em 13de dezembro de 1946, como o autor da equaçãoque descreve campos bosônicos massivos, e aLagrangiana associada foi denominada, a partirde então, por Lagrangiana de Proca.

Nosso objetivo é mostrar que a supercon-dutividade, em seu aspecto eletrodinâmico nocontexto das equações de London, pode ser des-crita também em termos de uma densidade deLagrangeana de Proca, considerando que nosupercondutor os campos são dotados de umamassa de “fóton” efetiva.

A densidade de Lagrangeana de Proca ori-ginal tem a seguinte forma [28],

LP [Aα] = −1

16πFαβF

αβ−1c

AαJαP+

η2

8πAαA

α ,

(29)onde o parâmetro η tem dimensões de inversode comprimento e é o rećıproco do compri-mento de onda de Compton do fóton,

η =mγc

~. (30)

As equações de movimento de Proca são:

∂βFβα + η2Aα =

4π

cJαP . (31)

Explicitanto o tensor de campo eletro-magnético, Fβα, em função do quadripotencial,

∂β∂βAα − ∂α

(∂βA

β)

+ η2Aα =4π

cJαP ,

e considerando o calibre de Lorentz, ∂µAµ = 0,

resulta

∂β∂βAα + η2Aα =

4π

cJαP ,

ou ainda, em termos do potencial vetor,

4A− 1c2∂2A

∂t2− η2Aα = −4π

cJαP . (32)

8


Portanto, a equação dinâmica de um campomassivo, associado a A, na presença da fonteJαP . Vamos agora estabelecer a densidade deLagrangeana de Proca para um termo de massaque seja correspondente a η ≡ ηL. Para pro-ceder à comparação vamos reescrever a densi-dade de Lagrangeana de Proca em (29),

LP [Aµ] = −1

16πFµνF

µν +1

cAµJ

µP

+ηL8π

AµAµ . (33)

A comparação entre as Lagrangeanas (28) e(33) revela as identidades:

ηL = λ−1L , J

µP = 0 . (34)

O parâmetro ηL no termo associado à massaem Proca, tem dimensão de inverso de com-primento, e está agora associado ao inverso docomprimento de penetração de London, λL.

Numa reinterpretação do resultado em (28),podemos dizer que a densidade de Lagrangeanade London, constrúıda a partir da Lagrangeanade Maxwell com v́ınculo, constitui uma La-grangeana de Proca sem fontes.

IV. DEDUÇÕES ALTERNATIVASPARA AS EQUAÇÕES DE LONDON

Até a subseção anterior, abordamos asequações de London considerando a energiado sistema campo e supercondutor como ar-mazenada no campo. Assim, constrúımos den-sidades de Lagrangeana de campo (London eProca) em interação com a supercorrente deonde seguiu-se as equações de London.

Nesta seção, alternamos a abordagem da e-nergia para considerá-la como armazenada nosistema de part́ıculas, ou seja, associada à cor-rente dos superelétrons. A Lagrangeana dosistema de superelétrons na presença de umcampo eletromagnético externo é,

L̃ = Ks +e

cnsvs ·A− eϕ , (35)

onde Ks é a energia cinética associada aos su-perelétrons. Ademais, lembramos as relações

entre os campos e os potenciais escalar e vetor,

E = −∇ϕ− 1c

∂A

∂t, B = ∇×A . (36)

O ponto de partida é o acoplamento mı́nimo,e para tanto precisamos do momento canônico,ps cuja expressão da Lagrangiana em (35) é,

ps j =∂L̃

∂vs j= nsmvs j +

e

cAj , (37)

com u sendo a velocidade dos superelétrons, ouainda reescrevendo (37),

ps = nsmvs +e

cA. (38)

Note que ps é dependente do calibre, mas omomento mecânico não.

A. As Equações de London a partir doAcoplamento Mı́nimo

O v́ınculo em (19), que compôs a La-grangeana de London, tem uma forma co-variante, mas dependente da escolha de cali-bre. Para entender a implicação disso, vamosmostrar como as equações de London seguemdo momento canônico [20, 29].

A densidade de corrente de superelétrons é,

Js = nsevs , (39)

e com isso a Eq.(38) pode ser reescrita,

ps =e

cA + eΛ Js , (40)

com Λ dado por (8). Se impusermos que o mo-mento canônico seja irrotacional,

∇× ps = 0 , (41)

resgatamos a segunda equação de London em(7). Por outro lado, efetuando a derivada totalno tempo da relação (40) obtemos,

ṗs ≡dpsdt

= nse

c

[∇ ·A + ∂A

∂t

]+ nse

[∇ · (Λ Js) +

∂ (Λ Js)

∂t

]. (42)

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Na expressão acima, admitindo que ṗs = 0,considerando o calibre de Coulomb, ∇ ·A = 0,e que Js seja estacionária, ∇ · Js = 0, resulta aprimeira equação de London,(6).

Portanto, a constância no tempo do ve-tor momento canônico implica na expressão dov́ınculo (19), mas para conseguirmos a equaçãoque dá conta do efeito Meissner-Ochsenfeld pre-cisamos impor (41). Ademais, o calibre deCoulomb deve ser escolhido e a Eq.(41) trazo superpotencial ξ [29],

∇× ps = 0 ⇒ ps = ∇ξ . (43)

A liberdade de calibre que tem A,

A′ = A +∇κ,

pela condição de Coulomb implica da Eq.(38)que o superpotencial deve satisfazer a relação,

ξ′ = ξ +∇(ecnsκ).

A função κ satisfaz a equação de Laplace, e∇ · ps = 0, em razão da Eq.(40). O conjuntode condições envolvendo o calibre de Coulomb eo superpotencial define a Condição de London.

B. Uma Análise pela Mecânica Quântica

Passamos agora a discutir as equações deLondon por argumentos de mecânica quânticaaplicados ao momento canônico. Se arguimosque ps seja nulo na ausência de um campomagnético aplicado, então o estado fundamen-tal tem momento canônico nulo (pelo Teoremade Bloch, veja a referência [29, 41]) logo,

〈vs〉 = −e

mcA . (44)

Se a função de onda dos superelétrons é supostaŕıgida, ou seja, não é modificada pelo campomagnético [25, 29], e mantém a propriedade doestado fundamental que 〈ps〉 = 0 então,

Js = nse〈vs〉 = −1

cΛAs . (45)

Decorre então da relação acima imediatamenteas duas equações de London. Observamos que

ṗs = 0, é uma condição menos exigente queps = 0. A segunda implica na primeira, masnão o contrário. Embora essa última tenhauma justificativa baseada no Teorema de Bloch[25, 41], a primeira condição conduz a uma ex-pressão para o campo elétrico E, que é inde-pendente do calibre, enquanto que a segundaevidencia a dependência com o calibre, pois éfunção do potencial vetor, A.

V. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES

O primórdio da pesquisa em supercondu-tividade envolveu dois grandes ramos: o ter-modinâmico e o eletrodinâmico. A teoria dedois fluidos de Gorter e Casimir [25] estabele-ceu um modelo para a descrição do comporta-mento termodinâmico do supercondutor, e foisuperada pela teoria de transição de fase desegunda ordem aplicada à supercondutividade,por Ginzburg e Landau, no entorno da tempe-ratura de transição, a temperatura cŕıtica, Tc.

A eletrodinâmica de Maxwell, como comen-tamos, não dá conta da expulsão do fluxomagnético do interior de um metal submetidoa um campo magnético, como experimental-mente observada na fase supercondutora. Oefeito Meissner-Ochsenfeld foi o ponto de par-tida do trabalho dos London para estender, deforma ad hoc, a eletrodinâmica de forma a de-screver as propriedades eletromagnéticas de ummetal em sua fase supercondutora.

Não sendo um teoria de primeiros prinćı-pios, a Teoria de London traz uma descriçãosatisfatória em alguns aspectos, mas não ex-plica a origem dos superelétrons, tão somentejustifica estes a partir da teoria dos dois fluidos,de Gorter e Casimir. Uma situação em que adescrição de London falha, envolve o problemade interface com coexistência das fases super-condutora e normal em um metal [20]. Ade-mais, como citado na introdução, a previsãoteórica para o comprimento de penetração deLondon, λL, precisou considerar a correção docomprimento de coerência, ξ0, devida a Pip-pard, para um melhor ajuste com os resultadosexperimentais.

Para construir o que designamos por densi-

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dade de Lagrangeana de London, incorporamosum v́ınculo associado à condição ps = 0 para omomento canônico, ou seja, consideramos comov́ınculo uma relação cuja derivada temporal jáconduz à primeira equação de London. É comesta equação que obtemos a segunda equaçãode London, aquela que dá conta do diamag-netismo extremo. A Lagrangeana de Londonfoi estabelecida numa forma explicitamente co-variante, pois objetivamos a comparação coma Lagangeana de Proca.

A comparação revelou que a Lagrangeanade London, como mostrado na subseção 2 daseção III), é uma Lagrangeana de Proca comfonte nula (JS = 0). Esta mesma comparaçãoexplicitou que a constante de acoplamento dotermo de autointeração em Proca, que involvea ‘massa do campo massivo’, na eletrodinâmicade London está associado ao inverso do compri-mento de penetração de London. Lembramosque na teoria BCS são os pares de Cooper querespondem pela supercondutividade quando seconsidera o acoplamento (fraco) na interaçãoentre elétrons e fónons.

A dependência com o calibre do termo dev́ınculo foi considerada nas discussões da seção(IV), e mostramos lá que as equações de Lon-don, para serem alcançadas, deve-se admitiro calibre de Coulomb, e por conseguinte, a e-xistência do superpotencial como consequênciado momento canônico nulo, o que leva a umarelação entre a liberdade de calibre e o super-potencial. Esse ponto é importante porque aargumentação pela Mecânica Quântica permiteinverter a sequência das equações de London,colocando a segunda equação em (7) como oprincipal resultado e não a primeira equação.

Disto decorre que o ponto de vista do diamag-netismo extremo é o argumento principal paraa supercondutividade, e não a condutividadeinfinita, condição esta trazida pela primeiraequação. A sustentação no contexto quânticoda Eq.(6) é dependente da escolha de calibree essa dificuldade já era percebida por FritzLondon [29]. É o Teorema de Bloch aplicadoà função de onda no estado fundamental quejustifica o resultado para o diamagnetismo ex-tremo.

Uma investigação posterior do termo dev́ınculo expresso na forma de um acoplamentotensorial foi realizada, com o intuito de al-cançarmos diretamente a primeira equação deLondon, e não a uma equação para qual aindadevéssemos tomar a derivada parcial no tempo.Mas tal tentativa ainda não se revelou frut́ıfera,pois, primeiramente, observamos a perda da co-variância expĺıcita do v́ınculo, e depois, porqueo v́ınculo deixa de apresentar uma forma sim-ples, tratável. Entretanto, esta abordagemconstitui uma perspectiva para uma inves-tigação futura.

Agradecimentos

Os autores agradecem o acolhimento e acontribuição do Grupo Fiscampus na realizaçãodeste trabalho e ao apoio da Universidade Es-tadual de Feira de Santana (UEFS). A autora(Edine) agradece a bolsa da Fundação de Am-paro à Pesquisa da Bahia (Fapesb) no desen-volvimento do seu projeto de pesquisa em Ini-ciação Cient́ıfica.

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[23] NOTA 1: A energia de gap, ∆, da ordem deKTc, é a energia entre o estado fundamentale as excitações quase-part́ıculas do sistema. Ateoria BCS mostrou que mesmo uma fraca in-teração atrativa entre elétrons impunha umainstabilidade do estado fundamental do marde Fermi usual do gás de elétron com relaçãoà formação de pares de elétrons ligados ocu-pando estados com igual momento e spin opos-tos, os pares de Cooper [20].

[24] J. Bardeen, L.N. Cooper, R.J. Schrieffer, The-ory of Superconductivity. Phys. Rev. 108, (5)1175 (1957).

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[30] NOTA 2: uma dedução das equações de Lon-don que figura em alguns livros-textos, con-sidera como ponto de partida o modelo deDrude para a condutividade elétrica, o que sig-nifica utilizar a 2a lei de Newton. A ideia comessa argumentação é auxiliar a compreensãodo que toma lugar na fase supercondutora.Entretanto, essa dedução por argumento es-tritamente em Maxwell não é rigorosa, poiso resultado válido para campos magnéticosdependentes do tempo é estendido ao campomagnético independente do tempo do efeitoMeissner-Ochsenfeld.

[31] NOTA 3: da discussão estabelecida para asequações (9) e (10) segue que a derivada tem-poral do campo D é despreźıvel, e pode entãoser exclúıda de (5). A implicação decorrentedeste fato é a Eq.(11), da qual se verificaque o campo B não possui dinâmica tempo-ral. Vale lembrar aqui que ao se assumir quea derivada temporal do campo D é nula, asequações (2), (3), (4) e (5) tornam-se invari-antes pelas transformações de Galilei (veja: M.

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Le Bellac, J.M. Lévy-Leblond. Il Nuovo Ci-mento 14, 217 (1973)). É por esta razão que ofenômeno da supercondutividade é essencial-mente não-relativ́ıstico, como citamos no se-gundo parágrafo da seção III. Esta situação édesignada por Lévy-Leblond e Le Bellac comoo limite magnético do campo de Maxwell, ondea magnitude do campo elétrico é muito maiorque a do campo de indução magnética (E �cB).

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[42] Um portal dedicado às not́ıcias, novi-dades, e à história sobre a Supercondutivi-dade: http://www.superconductors.org. Aces-sado em: 20/10/2018.

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INTRODUÇÃO A ELETRODINÂMICA DE LONDON DESCRIÇÕES LAGRANGEANAS DA ELETRODINÂMICA DE LONDON Descrição Lagrangeana da Eletrodinâmica de LondonA Lagrangiana de Proca para a Teoria de London

DEDUÇÕES ALTERNATIVAS PARA AS EQUAÇÕES DE LONDON As Equações de London a partir do Acoplamento MínimoUma Análise pela Mecânica Quântica

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES REFERÊNCIAS

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