Distribuiçãonormal - ufjf.br · Distribuiçãonormal TiagoM.Magalhães Departamento de...

Distribuição normal

Tiago M. Magalhães

Departamento de Estatística - ICE-UFJF

Juiz de Fora, 31 de outubro de 2018

Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 1 / 23

Roteiro

1 Distribuição Normal

2 Distribuição Normal Padrão

3 Aproximação da binomial pela normal

4 Resultados

5 Bibliografia

Roteiro

4 Resultados

5 Bibliografia

Distribuição Normal

Uma variável aleatória X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2,

X ∼ N(µ, σ2), se sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por

f (x) = 1σ√2π

exp{−12

(x − µσ

x ∈ R, µ ∈ R e σ2 ∈ R+.

f (x) = 1σ√2π

exp{−12

(x − µσ

x ∈ R, µ ∈ R e σ2 ∈ R+.

f (x) = 1σ√2π

exp{−12

(x − µσ

x ∈ R, µ ∈ R e σ2 ∈ R+.

f (x) = 1σ√2π

exp{−12

(x − µσ

x ∈ R, µ ∈ R e σ2 ∈ R+.

NotaA distribuição normal tem origem nos trabalhos de Gauss, em 1810, sobre

erros de observações astronômicas, por isso também ela é conhecida como

distribuição gaussiana.

NotaA distribuição normal tem origem nos trabalhos de Gauss, em 1810, sobre

erros de observações astronômicas, por isso também ela é conhecida como

distribuição gaussiana.

Figura 1: Curva normal para diferentes pares (µ, σ2).

Propriedades1 f (x) é simétrica em relação à µ, isto é, f (x + µ) = f (µ− x);

2 f (x) tem valor máximo quando x = µ e este valor é 1/σ√2π;

3 f (x)→ 0 quando x → ±∞;

4 f (x) tem dois pontos de inflexão: µ− σ e µ+ σ.

3 f (x)→ 0 quando x → ±∞;

MomentosSe X ∼ N(µ, σ2), então

E(X ) = µ e Var(X ) = σ2.

0.0235

0.34 0.34

0.0235

µ − 3σ µ − 2σ µ − σ µ µ + σ µ + 2σ µ + 3σx

Figura 2: Área sob a curva normal.

Importância práticaInúmeros fenômenos encontrados no mundo real podem ser descritos como

uma distribuição normal.

Menções à distribuição normal podem ser encontradas nos Simpsons ou

no livro Parque dos dinossauros.

Importância teóricaA distribuição normal é um distribuição limite, Teorema Central do Limite.

Roteiro

4 Resultados

5 Bibliografia

Distribuição Normal Padrão

Se X tem distribuição normal com parâmetros µ e σ2, e define-se uma nova

variável Z da seguinte forma,

Z = X − µσ

então Z tem distribuição normal de parâmetros 0 e 1, sua f.d.p. é dada por

f (z) = 1√2π

exp{−z2

}, z ∈ R.

Z = X − µσ

f (z) = 1√2π

exp{−z2

}, z ∈ R.

Z = X − µσ

f (z) = 1√2π

exp{−z2

}, z ∈ R.

Z = X − µσ

f (z) = 1√2π

exp{−z2

}, z ∈ R.

Z = X − µσ

f (z) = 1√2π

exp{−z2

}, z ∈ R.

−2 0 2x

Figura 3: Curva normal padrão.

Propriedades1 f (z) é simétrica em relação ao 0, isto é, f (z) = f (−z);

2 f (z) tem valor máximo quando z = 0 e este valor é 1/√2π;

3 f (z)→ 0 quando z → ±∞;

4 f (z) tem dois pontos de inflexão: −1 e 1.

3 f (z)→ 0 quando z → ±∞;

MomentosSe Z ∼ N(0, 1), então

E(Z ) = 0 e Var(Z ) = 1.

Roteiro

4 Resultados

5 Bibliografia

Aproximação da binomial pela normal

Se X tem distribuição binomial de parâmetros n e p, se

np > 5 e p < 1/2,

X tem, aproximadamente, distribuição normal de parâmetros np e np(1−p).

np > 5 e p < 1/2,

Roteiro

4 Resultados

5 Bibliografia

Resultados

Se X1,X2, . . . ,Xn é uma amostra com reposição de uma N(µ, σ2), então

X̄ ∼ N(µ, σ2/n) e

Z = X̄ − µσ/√

n ∼ N(0, 1).

Resultados

X̄ ∼ N(µ, σ2/n) e

Z = X̄ − µσ/√

n ∼ N(0, 1).

Resultados

X̄ ∼ N(µ, σ2/n) e

Z = X̄ − µσ/√

n ∼ N(0, 1).

Roteiro

4 Resultados

5 Bibliografia

Bibliografia

Costa Neto, P. L. O. and M. Cymbalista (1974). Probabilidades: resumos

teóricos, exercícios resolvidos, exercícios propostos. São Paulo: Edgard

Blucher.

Dantas, C. A. (2008). Probabilidade: Um Curso Introdutório, 3ed. São

Paulo: EDUSP.

Meyer, P. L. (2003). Probabilidade - Aplicações a Estatística, 2ed. Rio de

Janeiro: LTC.

Ross, S. (2010). Probabilidade - Um Curso Moderno com Aplicações, 8ed.

Rio de Janeiro: Bookman.Tiago M. Magalhães (ICE-UFJF) Distribuição normal 31 de outubro de 2018 22 / 23

Obrigado!

B [email protected]

Í ufjf.br/tiago_magalhaes

Departamento de Estatística, Sala 307

Distribuiçãonormal - ufjf.br · Distribuiçãonormal TiagoM.Magalhães Departamento de...

Documents

Transcript of Distribuiçãonormal - ufjf.br · Distribuiçãonormal TiagoM.Magalhães Departamento de...