dissertacao_IPT-final2

Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de Sã o Paulo

Fernando Fernandes Neto

Sistemas Dinâmicos Aplicados a Previsões no Setor E nergético Brasileiro

São Paulo

2014


Sistemas Dinâmicos Aplicados a Previsões no Setor Energético Brasileiro.

Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo – IPT, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Processos Industriais. Data de aprovação ____/____/______ Prof. Dr. Claudio Garcia (Orientador) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – USP

Membros da Banca Examinadora: Prof. Dr. Claudio Garcia (Orientador) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – USP Prof. Dr. Oswaldo Luiz do Valle Costa (Membro) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – USP Prof. Dr. Agenor de Toledo Fleury (Membro) Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo – IPT


Sistemas Dinâmicos Aplicados a Previsões no Setor Energético Brasileiro.

Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo – IPT, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Processos Industriais. Área de Concentração: Desenvolvimento e Otimização de Processos Industriais Orientador: Prof. Dr. Claudio Garcia

São Paulo

Agosto/2014

Ficha Catalográfica

Elaborada pelo Departamento de Acervo e Informação Tecnológica – DAIT

do Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo – IPT

Agradecimentos

Gostaria de agradecer primeiramente à minha família, pois acredito que não chegaria a lugar algum sem ela. Ao longo desta difícil jornada de conciliação entre trabalho e estudos, sempre me deram força para continuar persistindo e vencendo, me ajudando a transformar lágrimas em gargalhadas e suor em resultados. Aproveito também para agradecer meu orientador, o Prof. Dr. Claudio Garcia, que sempre se mostrou uma pessoa disponível e atenciosa, além da sua grande minúcia para com as sucessivas correções e melhorias ao longo da confecção deste trabalho. Além disso, vem se mostrando um grande companheiro e fantástico mestre nesta difícil jornada que é o amadurecimento profissional e acadêmico, desde os tempos da pós-graduação lato sensu na Escola Politécnica. Ao Prof. Dr. Agenor Fleury, pelas suas interessantíssimas aulas de Controle, que transformou as gélidas noites frias de julho em divertidas sessões de discussão da Teoria do Controle e seu fundamental papel na transformação da sociedade contemporânea, relacionando esta área com tantas outras, sendo um dos encorajadores para o desenvolvimento deste trabalho dentro do IPT. Ao Prof. Dr. Oswaldo Costa, pela oportunidade de acompanhar suas aulas de Controle Estocástico na Escola Politécnica, matéria esta que se mostrou fundamental para melhor compreensão dos conceitos expostos ao longo deste trabalho, além das suas interessantes e importantes críticas feitas no exame de qualificação, que se mostraram indispensáveis para o amadurecimento deste trabalho. E, finalmente, à toda equipe de suporte do IPT, à equipe da secretaria do mestrado e ao atual e ao ex-coordenador do curso Prof. Dr. Silas Derenzo e Prof. Dr. Efraim Cekinski, que indo na contramão da cultura da burocracia e da ineficiência (que permeiam este país), sempre agilizaram todos os processos necessários ao longo do curso, sempre se mostraram disponíveis e sempre demonstraram enorme carinho e dedicação àquilo que fazem.

Resumo

Este trabalho investiga a integração entre modelos macroeconômicos modernos (modelos DSGE), técnicas econométricas de aferição de variáveis microeconômicas/setoriais e, modelos de séries temporais, visando prever a estrutura de evolução inercial da matriz energética.

Estes modelos podem orientar a tomada ótima de decisões, objetivando maximizar a rentabilidade de empresas que dependam do melhor entendimento da evolução da matriz energética brasileira, na escolha de alternativas de fontes energéticas, composição de portfólios financeiros, estabelecimento de políticas públicas, entre outras aplicações. Para tal, a abordagem deste trabalho consistiu na calibragem de um modelo macroeconômico para o Brasil, baseado no trabalho apresentado por Smets & Wouters (2007); um modelo econométrico para o consumo de energia baseado nos dados do Balanço Energético Nacional (2013) e nas previsões do modelo macroeconômico; modelos de séries temporais baseados em ARIMA para o consumo das diferentes fontes energéticas; e desenvolvimento de um algoritmo de combinação de previsões, que através de mínimos quadrados generalizados, junta as informações das previsões dos modelos ARIMA com as previsões advindas do modelo econométrico e do cenário macroeconômico projetado. A escolha de um modelo macroeconômico do tipo DSGE, apesar de ser mais difícil de ser construído e calibrado, pareceu ser o melhor caminho tendo em vista que não precisa ser reestimado constantemente e não necessita de intervenções ad hoc para gerar previsões de curto e longo prazo consistentes. Já em relação à escolha dos modelos ARIMA para modelagem das séries de consumo de cada um dos subprodutos, esta se deu basicamente pela flexibilidade e capacidade deste tipo de modelagem em descrever processos estocásticos complexos. Ao aliar esta técnica (ARIMA) com a combinação de previsões advindas de modelos de elasticidade de consumo energético versus PIB, se contornou o problema da falta de correlação direta entre o próprio PIB e as séries diretas dos subprodutos, ao impor restrições de combinação linear e de covariância das séries ao longo do tempo. Assim, foram obtidas previsões consistentes sob o ponto de vista econômico para cada uma das fontes energéticas, que acompanham as tendências de consumo observadas no cotidiano brasileiro.

Palavras-chave:

Macroeconomia; Sistemas Dinâmicos; Modelos de Equilíbrio Geral Dinâmico Estocástico; Setor Energético; Otimização; Modelos Decisórios

Abstract

The present work investigates the integration between modern macroeconomic models (DSGE based), econometric techniques, the measurement of microeconomic/sectorial variables and time series models, aiming to get forecasts of the inertial evolution structure of the energy matrix. These models can be applied to optimize the decision makings aiming the profitability maximization of companies which depend on the best understanding of the Brazilian energy matrix evolution, in the optimal choice of different alternatives of energy sources, in the composition of financial portfolios which rely on energy companies, establishment and development of public policies, as other potential applications. To achieve that, the approach of this work consisted on the estimation of a macroeconomic model for the Brazilian economy as presented by Smets & Wouters (2007); an econometric model for energy consumption based on the National Energetic Balance Data (2013) and on the macroeconomic forecasts; time series models based on the ARIMA techniques; and in the development of a generalized minimum squares algorithm which aims forecast combinations that joins those from the econometric models and the predictions from ARIMA models. The choice of a macroeconomic DSGE model, despite being harder to be built and calibrated, seemed to be the best strategy due to the fact that it does not need to be reestimated constantly and does not need any ad hoc intervention in order to generate consistent short-run and long-run forecasts. In relation to the choice of ARIMA models for time series modeling of energy sources consumption, it was done basically due to its flexibility and capability to describe complex stochastic processes. When jointly applied with the forecast combination algorithm, the lack of direct correlation between the GDP versus each one of the energy matrix components consumption was bypassed, by imposing linear combination and covariance restrictions over time. Thus, it was obtained consistent predictions from an economic standpoint, for each energy source, following the trends observed in the everyday energy consumption in Brazil.

Keywords:

Macroeconomics; Dynamic Systems; Dynamic Stochastic General Equilibrium Models; Energy Sector; Optimization; Decision Making Models

Sumário

1. Introdução ............................................................................................................................... 1

1.1. Justificativas para a Realização deste Trabalho ..................................... 2

1.2. Objetivos .......................................................................................................................... 4

1.3. Estrutura do Trabalho .............................................................................................. 4

2. Referencial Teórico e o Estado-da-Arte ............................................................... 5

2.1. Modelagem Macroeconômica ............................................................................. 6

2.1.1. Modelos Estruturais ......................................................................................... 7

2.1.2. Modelos Vetoriais Auto-Regressivos (VAR) ..................................... 7

2.1.3. Modelos DSGE .................................................................................................... 9

2.2. Processo de Calibragem do Modelo DSGE ............................................. 18

2.2.1. Geração dos Parâmetros de Acordo com a Distr ibuição a Priori ........................................................................................................................................ 20

2.2.2. Algoritmo de Solução dos Modelos DSGE do software DYNARE ................................................................................................................................ 21

2.2.3. Obtenção do Filtro de Kalman a partir do Modelo em Espaço de Estados ........................................................................................................................... 22

2.2.4. Obtenção da Função de Verossimilhança ...................................... 23

2.2.5. Composição das Distribuições dos Parâmetros e Aceitação/Rejeição dos Parâmetros Gerados ............................................... 23

2.3. Modelo Setorial ......................................................................................................... 23

2.3.1. Estimação da Elasticidade PIB versus Consumo de Ene rgia 24

2.3.2. Modelos ARIMA para Estimação dos Subprodutos da Mat riz Energética ............................................................................................................................ 26

2.4. Algoritmo de Combinação de Previsões .................................................. 27

3. Discussão dos Resultados ........................................................................................ 30

3.1. Modelo Macroeconômico ................................................................................... 30

3.1.1. Calibragem dos parâmetros estruturais via inferênci a Bayesiana ............................................................................................................................. 30

3.1.2. Convergência dos Parâmetros do Modelo ...................................... 33

3.1.3. Previsões Resultantes do Modelo DSGE ......................................... 33

3.1.4. Respostas a Impulsos Resultantes do Modelo DSGE ............. 34

3.2. Modelo Setorial ......................................................................................................... 36

3.3. Aplicação do Algoritmo de Combinação de Previsões ................... 45

4. Conclusões ......................................................................................................................... 51

4.1 Perspectivas de Trabalhos Futuros ............................................................. 52

Referências Bibliográficas .................................................................................................. 53

Apêndice A – Otimização Dinâmica sem Programação Di nâmica ............. 56

Apêndice B – Solução do Modelo de Ciclo de Negócios Reais Básico .. 62

Apêndice C – Solução do Modelo Estendido de Ciclo d e Negócios Reais com Famílias, Empresas e Autoridade Monetária ................................................ 64

Apêndice D – Solução do Modelo Estendido de Ciclo d e Negócios Reais com Famílias, Indústria de Bens Intermediários, Fir mas Finais e Autoridade Monetária ............................................................................................................. 68

Apêndice E – Processo de Log-Linearização .......................................................... 75

Apêndice F – Estabelecimento dos Parâmetros Fixos ...................................... 77

Apêndice G – Estimativas Populacionais Trimestrais ....................................... 81

Apêndice H – Algoritmo de Solução dos Modelos em Ex pectativas Racionais obtendo Modelos em Espaço de Estados ......................................... 83

Apêndice I – Derivação do Algoritmo do Filtro de Ka lman ............................. 86

Apêndice J – Testes de Co-integração entre PIB e Co nsumo de Energia .............................................................................................................................................................. 89

Anexo A – Descrição dos Parâmetros do Modelo de Sme ts & Wouters (2007) ................................................................................................................................................ 91

Anexo B – Conjunto de Equações Log-Linearizadas de Smets & Wouters (2007) ................................................................................................................................................ 93

Índice de Figuras Figura 1.1 – Descrição da estrutura do modelo proposto. ............................... 3 Figura 2.1 – Esquema da Estrutura da Obtenção das Previsões. ................... 5 Figura 2.1 – Gráfico da Função Logaritmo. ................................................... 10 Figura 2.3 – Esquema do Processo de Inferência/Calibragem do Modelo Macroeconômico. ........................................................................................... 20 Figura 3.1 – Resultados das Estimações dos Parâmetros do Modelo. .......... 31 Figura 3.2 – Resultados das Estimações dos Parâmetros do Modelo – continuação. .................................................................................................. 32 Figura 3.3 – Previsões das Variáveis Observadas Feitas pelo Modelo DSGE. ....................................................................................................................... 34 Figura 3.4 - Impulso-Resposta a um Choque na Inflação. ............................. 35 Figura 3.5 - Impulso-Resposta a um Choque na Taxa de Juros. ................... 35 Figura 3.6 - Impulso-Resposta a um Choque na Produtividade. ................... 36 Figura 3.7 - Modelo de Consumo de Energia vs Desempenho Econômico. .. 37 Figura 3.8 - Composição da Matriz Energética Brasileira no Período 1970 – 2012. .............................................................................................................. 38 Figura 3.9 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Álcool. ...................... 39 Figura 3.10 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Gasolina Automotiva. ....................................................................................................................... 39 Figura 3.11 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Óleo Diesel. ........... 40 Figura 3.12 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Óleo Combustível. . 40 Figura 3.13 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de GLP. ...................... 41 Figura 3.14 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de NAFTA. .................. 41 Figura 3.15 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Lenha. .................... 42 Figura 3.16 – Ajude do Melhor Modelo para o Setor de Eletricidade. ............ 42 Figura 3.17 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Bagaço de Cana. ... 43 Figura 3.18 - Ajuste do Melhor Modelo para os Demais Setores Agregados. 43 Figura 3.19 – Previsão do Consumo Energético no Brasil. ............................ 44 Figura 3.20 – Previsão do Consumo Energético Brasileiro para os Próximos 5 Anos – Modelos ARIMA. ................................................................................ 44 Figura 3.21 - Comparativo Modelo Macroeconométrico versus Soma dos Modelos ARIMA. ............................................................................................ 45 Figura 3.22 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Álcool. 46 Figura 3.23 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Gasolina Automotiva. .................................................................................................... 46 Figura 3.24 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Diesel. 47 Figura 3.25 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Óleo Combustível. .................................................................................................. 47 Figura 3.26 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de GLP. ... 48 Figura 3.27 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de NAFTA. ....................................................................................................................... 48 Figura 3.28 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Lenha. 49 Figura 3.29 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Eletricidade. ................................................................................................... 49 Figura 3.30 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Bagaço de Cana. ........................................................................................................ 50 Figura 3.31 – Comparativo de Previsões – Modelos para os Demais Setores. ....................................................................................................................... 50

Tabela F.1 - Cálculo da Depreciação. ............................................................ 78 Figura F.1 – Saída do Filtro de Hodrick-Prescott – Gastos do Governo. ....... 79 Figura F.2 - Saída do Filtro de Hodrick-Prescott – PIB. ................................. 80 Figura F.3 - Proporção de Gastos do Governo sobre o PIB. ......................... 80 Figura G.1 - Modelo para a População Total. ................................................ 81 Figura G.2 - Modelo Para a População Economicamente Ativa. ................... 81

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1. Introdução

É de senso comum que o Brasil sofre historicamente de falta de planejamento para o desenvolvimento de estratégias de médio e longo prazo e, muitos fatores já foram apontados como possíveis causas deste comportamento errático, como por exemplo a falta de estabilidade do ambiente macroeconômico e empresarial, herança cultural ibérica e das características de formação do Brasil como país propriamente dito (Prado, 1963; Cardoso, 1970; Holanda, 1987 e Freyre, 1998) e, até a falta de pessoal capacitado para utilização das ferramentas necessárias para a execução de tarefas de planejamento. Em relação ao primeiro ponto mencionado, o Brasil já alcançou certo grau de estabilidade macroeconômica, permitindo um melhor planejamento em função da projeção das variáveis conjunturais, que, por conseguinte, permitem análises mais confiáveis do ambiente em que a empresa está inserida. Já a respeito do segundo ponto mencionado, não será objeto deste trabalho a discussão dos fatores de formação cultural, mas cabe ressaltar que com a crescente organização e internacionalização das empresas e trabalhadores, há uma grande tendência em direção da criação/consolidação de uma cultura global de trabalho, diminuindo o peso das características regionais. No que tange ao terceiro ponto mencionado (falta de pessoal capacitado), com o avanço técnico-científico que vem ocorrendo ao longo dos últimos anos, principalmente em função dos avanços computacionais, é possível criar ferramentas analíticas de planejamento cada vez mais poderosas, com modelos cada vez mais complexos, que replicam as regras e fatores de funcionamento do negócio. Por outro lado, a complexidade dos modelos utilizados nos negócios geralmente implica em uma grande especialização dos trabalhadores que os criam e deles fazem uso, criando um impeditivo natural para uma visão mais abrangente e sistêmica de todo o ambiente corporativo – ou seja, somente quem cria um modelo complexo o entende (especialistas), não sendo inteligível para o restante da companhia, que também participa dos processos decisórios. Parte das companhias vem tentando horizontalizar sua hierarquia, de maneira a aumentar a integração entre seus diversos departamentos, na tentativa de criar uma visão holística de negócio, visando aumentar a eficiência dos processos. Outras vêm investindo pesado na aquisição de sistemas de informação integrados e altamente customizados, que tentam integrar todas as etapas dos processos, incrementando ainda mais o nível de especialização das pessoas, seguindo ao extremo o conceito de “taylorização” das etapas, e que, conjuntamente com a baixa latência inerente dos sistemas informatizados, possibilitam uma maior flexibilização dos processos e a adoção de filosofias de produção como o Just-In-Time, conforme Slack (1999) e Chiavenatto (2003). Logo, é possível verificar que o “arsenal” disponível junto às empresas para a tomada de decisão de curto prazo vem crescendo enormemente, e que não conflita com o cotidiano da empresa e do que se espera de um trabalhador médio. Entretanto, ainda há uma grande carência de ferramentas analíticas necessárias à tomada de decisões estratégicas, que fogem do cotidiano e são necessárias para o

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estabelecimento da empresa dentro de um cenário cada vez mais competitivo a médio e longo prazo. Nos últimos anos, um crescente número de ferramentas que se intitulam Business Intelligence e Business Analytics vem sendo oferecido aos gestores e decisores nas empresas, com a falsa promessa de trazer “inteligência” aos negócios. Promessas falsas, pois conforme pode ser visto em diversas obras de autores consagrados, como Porter (2004), a autêntica inteligência de negócio implica em:

• conhecer os pontos fortes e fracos da empresa; • saber quais desses pontos são forças internas ou externas à empresa; e • para os pontos externos à empresa, é fundamental a possibilidade de

simular os possíveis cenários, com as devidas probabilidades de ocorrência.

O conceito de Business Intelligence não se resume simplesmente em criar e empilhar uma grande quantidade de indicadores de desempenho, mas entender o impacto deles conjuntamente, saber como eles se relacionam ao longo do tempo, ou seja, um indicador pode ser precedente do outro e possivelmente vislumbrar relações de feedback entre diversas variáveis do sistema, acabando por compor um sistema dinâmico real. Forrester (1961) iniciou uma metodologia denominada Industrial Dynamics, que posteriormente foi consolidada sob o nome de System Dynamics, que consiste basicamente na elaboração de um modelo holístico do ambiente, que permite modelar justamente as relações das variáveis internas e externas à empresa, através de equações diferenciais (ou de diferenças, em caso de domínio temporal discreto) determinísticas e/ou estocásticas, possibilitando a modelagem de fenômenos de reforço/inibição (feedback), introdução de incertezas probabilísticas (componente estocástica) e modelagem de fenômenos de diferentes naturezas, integrados em um único sistema (exemplo, combinação de modelos de difusão em biologia e suas consequências político-econômicas). Por conseguinte, tendo em vista o acima exposto, este trabalho discute a utilização de uma metodologia parecida com o System Dynamics, decorrente do estabelecimento de um conjunto de equações dinâmicas fenomenológicas, do que acontece no entorno das empresas, para a integração das “inteligências” dispersas ao longo dos processos, visando o estabelecimento de estratégias de médio e longo prazo, possibilitando a elaboração de políticas de investimento e previsão da evolução de custos e despesas.

1.1. Justificativas para a Realização deste Trabalh o A principal justificativa para o desenvolvimento deste trabalho é que os cenários econômicos sofrem grandes mudanças o tempo todo, em função dos choques e fricções existentes na economia e dos efeitos de retroalimentação (Smets & Wouters, 2007; Galí, 2008 e Benassy, 2011). Logo, contratar consultorias externas para a previsão dos cenários econômicos constantemente não faz sentido em um mundo com constantes mudanças, e assim, em parte deste trabalho será discutida a obtenção de um modelo macroeconômico que possibilite a previsão de cenários futuros internamente à empresa, e que possa ser feito de maneira simples, utilizando ferramentas modernas para inferência e diagnóstico. A segunda justificativa se embasa na necessidade de traduzir também constantemente as mudanças no cenário macroeconômico, que acabam por mudar

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e transformar o setor, geralmente impactando na formação dos preços e na composição da demanda. No caso do setor energético, o consumo de energia tende a ter forte correlação com o nível de atividade econômica do país, justamente em função da sua onipresença nos mais diversos usos e de potencial de geração de valor (todos os processos industriais necessitam de energia para acontecer). Além disso, entender a evolução da matriz energética brasileira implica em uma série de outras questões que extrapolam até o pensamento na gestão dos processos industriais. Dentre tais possíveis aplicações, destacam-se:

• Permitir ao gestor escolher qual fonte estará fadada ao fracasso/desuso e, consequentemente, diminuir o risco de fracasso de investimentos;

• Possibilitar análises setoriais de tendências de evolução das empresas, que, consequentemente, impactam na avaliação econômico-financeira delas;

• Formular políticas públicas voltadas à diversificação da matriz energética; • Fazer uma composição ótima de mix de produtos, no caso da indústria

petroquímica e da sucroalcooleira; e • Estabelecer um modelo holístico de interações que possa ser extrapolado

para outros setores da economia. Assim, o modelo objeto deste trabalho tem a estrutura conforme a Figura 1.1.

Figura 1.1 – Descrição da estrutura do modelo proposto.

No modelo da Figura 1.1, as variáveis macroeconômicas delineiam o cenário em um primeiro e mais amplo escopo, como níveis de produção, taxa de juros e de câmbio. As variáveis setoriais acabam por ser influenciadas pelas macroeconômicas dentro de um escopo menos amplo, pois, por exemplo, o nível de produção deve influenciar diretamente a demanda por energia, que, por conseguinte, deve influenciar a formação dos preços. Um outro exemplo, não menos interessante, é que a taxa de câmbio e os juros também devem influenciar o preço do barril do petróleo e do açúcar, modificando tanto a capacidade ofertiva, quanto a formação dos preços também.

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Por fim, dado o contexto em que a empresa está inserida, é possível traçar estratégias ótimas de mix de produtos, estratégias de produção, avaliação da rentabilidade e grau de atratividade de novos investimentos. Logo, espera-se que, com o auxílio deste tipo de modelagem proposta, os gestores possam ampliar seus horizontes cognitivos e tomar as melhores decisões.

1.2. Objetivos

Este trabalho tem como objetivo principal o desenvolvimento de um modelo inspirado na metodologia System Dynamics, que possibilite a elaboração de políticas de investimento (em função da previsão de demandas futuras) e previsões de médio prazo, que permitam melhor programação e controle dos custos e despesas, praticados ao longo dos processos. Terá como foco um modelo voltado ao setor energético brasileiro, de maneira a integrar os níveis macroeconômicos (conjuntura econômica do país), microeconômicos (setor de energia) e de combinação de previsões (evolução inercial da matriz energética versus previsão setorial).

1.3. Estrutura do Trabalho Este trabalho está estruturado em cinco capítulos: o capítulo 1 – introdução (presente capítulo) com as respectivas justificativas e objetivos do trabalho; o capítulo 2 – Referencial Teórico e o Estado-da-Arte, que discorre sobre os recentes avanços nas áreas de conhecimento envolvidas, assim como os fundamentos matemáticos e econômicos; o capítulo 3 – Discussão dos Resultados, onde são expostos os principais resultados já obtidos; e no capítulo 4 as conclusões deste trabalho.

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2. Referencial Teórico e o Estado-da-Arte

Este trabalho é fundamentado sobre a ideia do System Dynamics, onde se analisa dinamicamente as diversas interações das variáveis-objeto, ao longo do tempo. No entanto, não são todas as relações que possuem retroalimentação, como nas formulações tradicionais. O modelo macroeconômico, internamente, possui todas as relações de feedback do modelo, onde efeitos na política monetária/fiscal impactam as demais variáveis, que por sua vez impactam as variáveis de decisão dos agentes e, assim por diante. Da previsão do PIB obtida desta dinâmica inter-relacional, se obtêm previsões da evolução total do consumo de energia do país, caracterizando uma dinâmica feedforward simples (por isso, não caracterizando uma implementação completa da metodologia System Dynamics). Em outras palavras, a economia afeta o consumo de energia, mas o consumo de energia, para fins deste modelo, não afeta o desempenho econômico. Em paralelo a este modelo, são desenvolvidos modelos ARIMA, a fim de prever individualmente o comportamento de cada uma das fontes energéticas presentes na matriz brasileira e, destas previsões, são obtidas previsões derivadas daquela do cenário macroeconômico, através de algoritmo de combinação de previsões. Logo, a partir da matriz de covariâncias, de restrições lineares e da minimização do erro quadrático médio, as previsões ARIMA são ajustadas para que a soma de cada um dos consumos das fontes totalize o consumo total previsto, a partir do modelo dinâmico. O esquema geral de funcionamento do modelo é dado na Figura 2.1.

Figura 2.1 – Esquema da Estrutura da Obtenção das Previsões.

Assim, a partir das previsões feitas através do modelo Macroeconômico e do Modelo de Elasticidade PIB-Consumo de Energia, é obtida uma previsão do Consumo Total, para cada instante de tempo, uma vez que são modelos temporais. Por outro lado, a partir de previsões ARIMA para o consumo individual, são obtidas projeções em separado para as diferentes fontes e, tudo isso, é combinado a posteriori, a fim de se obter previsões individuais que tenham consistência com a realidade econômica,

Previsões Individuais Finais

Combinadas

Previsão do Consumo Total

Modelo Macroeconômico

Modelo Elasticidade PIB-Consumo

Energia

Previsão do Consumo Individual

S/ RestriçõesModelos ARIMA

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visto que modelos ARIMA têm um apelo fortemente estatístico e pouco fenomenológico. Cada uma destas etapas é discutida nas seções que se seguem do presente capítulo.

2.1. Modelagem Macroeconômica O modelo macroeconômico sobre o qual este trabalho se apoia é do tipo DSGE, que em tradução livre significa modelo de Equilíbrio Geral Dinâmico Estocástico (Dynamic Stochastic General Equilibrium), e deste modelo se extrairão previsões para o cenário macroeconômico e não menos obstante, permitirá a execução de análises de cenários do tipo “what-if” (ou seja, análise de cenários hipotéticos). Tais modelos, de acordo com a literatura existente, têm como principal fundamento:

“... o sistema econômico é geralmente visto como um sistema estável, porém, permanentemente sujeito a vários choques de natureza estocástica. Flutuações resultam de respostas ótimas dos agentes a esses choques.” (Benassy, 2011, p. 205, tradução livre)

A motivação para a confecção de tais modelos advém da Crítica de Lucas (1976), que argumenta que tentar modelar as respostas a mudanças de política conduzidas pelas autoridades monetárias (Bancos Centrais) e/ou fiscais (Governos), ou ainda a quebras estruturais (rupturas) usando os modelos tradicionais, é uma abordagem extremamente ingênua. Devido ao fato de que estes modelos (tradicionais) são inferidos a partir de ferramentas estatísticas, que se embasam fortemente em relações históricas entre os principais agregados macroeconômicos (dados de PIB, taxa de desemprego, inflação, taxa de juros, consumo, investimento, etc), rupturas (mudanças/quebras estruturais) geralmente implicam no fim da validade das relações estatísticas que embasam a inferência dos parâmetros dos modelos (geralmente feita por métodos derivados do tradicional método de inferência via regressores lineares utilizando mínimos quadrados). Assim, o ideal não é a inferência de relações sistêmicas históricas, que são a base de grande parte dos modelos até então concebidos e utilizados para análise conjuntural até meados da primeira década deste século, mas sim inferir os hiper-parâmetros de comportamento dos agentes econômicos, que determinam as interações entre os próprios agentes (bancos, indústrias, demanda por trabalho, famílias, governo, etc), delineando os microfundamentos, dos quais resultam os conhecidos agregados macroeconômicos. Por conseguinte, por exemplo, fazendo uso direto dos microfundamentos, de maneira a compreender e avaliar a evolução de consumo, trabalho e investimento, é possível determinar o hábito de alocação de recursos das famílias no Brasil, de maneira a entender quanto elas poupam, quanto elas consomem e quanto elas trabalham, de maneira a impactar na consolidação da poupança sob a forma de investimento, do trabalho em produtividade e do consumo em demanda por bens. Relações desta ordem são as que norteiam a construção de todo o arcabouço matemático utilizado para se obter modelos macroeconômicos, a partir das interações entre os diferentes agentes, conforme Benassy (2011).

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Portanto, cabe nesta seção melhor explicar, de maneira muito breve, o histórico do desenvolvimento dos modelos macroeconômicos, desde os primeiros modelos desenvolvidos nas décadas de 1940 e 1950, chamados modelos estruturais, passando pelo desenvolvimento dos modelos do tipo Vetoriais Auto-Regressivos (VAR) em meados da década de 1980 e, finalmente, chegando à obtenção dos modelos do tipo DSGE, que são objeto de parte deste trabalho. Também cabe aqui mencionar que uma característica comum a todos estes tipos de modelos, é que eles são basicamente sistemas de equações dinâmicas (em diferenças quando o modelo é em tempo discreto, ou diferencial quando o modelo é em tempo contínuo), cujo principal objetivo é a avaliação de choques sobre o sistema e/ou fazer previsões ceteris paribus (manutenção das condições exógenas não descritas pelo modelo como constantes).

2.1.1. Modelos Estruturais Os primeiros modelos eram ditos estruturais, pois advinham de um sistema de equações que explicava a estrutura macroeconômica a partir de relacionamentos dinâmicos, inferidos sequencialmente, entre os principais agregados macroeconômicos, dos quais se destacam os trabalhos de Hicks (1937), Samuelson (1939), Klein (1950), entre outros. Dentre suas principais características, de maneira a contornar problemas de identificação decorrente de correlação e autocorrelação entre as variáveis, destacam-se a necessidade da imposição de restrições de endogeneidade e exogeneidade das variáveis e a obtenção de um sistema ortogonal de equações, de maneira a permitir corrigir erros decorrentes do viés do estimador de mínimos quadrados usual, conforme Gujarati & Porter (2011). Em outras palavras, quais variáveis deveriam impactar mutuamente umas nas outras, caracterizando relações de simultaneidade, e quais variáveis deveriam ser externas ao sistema, impactando nas demais, mas não sendo impactadas por elas. Os Modelos Estruturais têm a seguinte forma: � ∙ �� = � ∙ �� + � onde:

• � é uma matriz quadrada de ordem m, onde m é o número de variáveis endógenas;

• � é uma matriz de ordem mxn, onde n é o número de variáveis exógenas; e • �� , �� e � denotam, respectivamente, o vetor de variáveis endógenas,

exógenas, e a componente vetorial de erro presente nas regressões. Foram amplamente utilizados até o fim da década de 1970, sofrendo severas críticas em decorrência do já mencionado trabalho de Lucas (1976), tal que, apesar de estarem fundamentados em evidências encontradas em dados históricos, estariam vulneráveis a mudanças abruptas.

2.1.2. Modelos Vetoriais Auto-Regressivos (VAR) De maneira a contornar as principais imposições e restrições dos modelos estruturais, Sims (1980) propôs os modelos Vetoriais Auto-Regressivos (Vector Auto Regression Models), buscando contornar os principais aspectos da Crítica de Lucas (1976).

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Tais modelos têm como principais características modelar todas as variáveis como variáveis endógenas, impactando todas umas nas outras, e também sendo explicadas como função de seus próprios retardos, como na seguinte expressão: � ∙ �� = � + �� ∙ �� + � ∙ �� + ⋯ + �� ∙ �� + � onde � e todos os �� são matrizes quadradas de ordem m, onde m é o número de variáveis a serem modeladas e n é o número de componentes auto-regressivas do vetor de variáveis ��, que é determinado por critérios estatísticos de informação, � é o vetor de componentes de erro (choques). Usualmente, o sistema é estimado em sua forma reduzida, conforme a expressão: �� = �� ∙ � + �� ∙ �� ∙ �� + �� ∙ � ∙ �� + ⋯ + �� ∙ �� ∙ �� + �� ∙ � que pode ser inferido a partir da utilização do método dos mínimos quadrados usual, conforme Gujarati & Porter (2011) e, posteriormente, a matriz � é inferida a partir da análise residual e de algoritmos numéricos, como os propostos por Blanchard & Quah (1989). Os aspectos mais atraentes deste tipo de modelagem, segundo Sims (1980), são:

• o fato de que os termos auto-regressivos eliminam os problemas decorrentes da autocorrelação (violação dos pressupostos de que os resíduos são independentemente identicamente distribuídos) na identificação até então empregados, permitindo a identificação direta via mínimos quadrados;

• maior empirismo na modelagem, tal que as variáveis são selecionadas a partir de critérios e testes estatísticos, que determinam sua inclusão ou não, assim como o número de seus respectivos retardos, conforme Engle & Granger (1987) e Johansen (1987); e

• maior plasticidade na modelagem, tal que esta técnica permite ao modelador adaptar o modelo de acordo com as janelas temporais observadas e fatos estilizados utilizados na inferência – em outras palavras, adaptar o modelo às evidências reais, conforme elas ocorram.

Assim, Sims (1980) argumenta que os modelos VAR contornam em grande parte as críticas feitas por Lucas (1976), e consequentemente, em decorrência dessa crença, tais modelos vêm sendo empregados até os dias atuais. No entanto, devido à falta de capacidade preditiva e de acurácia destes modelos frente às crises econômicas mais recentes (1998, 2002, 2008), estes modelos também se tornaram objeto da crítica de Lucas (1976). Uma vez que os fatos estilizados (crises e eventos não usuais) não são facilmente incorporados neste tipo de modelagem e, em face da sua inabilidade de incorporar a tomada de decisão dos agentes frente a situações adversas (é um sistema dinâmico estocástico baseado ainda em autocorrelações e correlações), estes modelos vêm sendo substituídos ou combinados gradualmente por uma nova geração de modelos macroeconômicos, denominados DSGE.

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2.1.3. Modelos DSGE

Os modelos do tipo DSGE, conforme já exposto anteriormente, são derivados de fundamentos microeconômicos para explicar os agregados macroeconômicos, a partir da análise das interações entre os mais diversos agentes. Portanto, a reação dos agentes sempre será consequência explícita da otimização de algum critério, sujeita a um conjunto de restrições e é por isso que implicitamente se pressupõe que os agentes econômicos reajam inteligentemente às adversidades a eles propostas. É esta última característica que o distingue ainda mais dos modelos econométricos tradicionais, expostos anteriormente. Os modelos econométricos, baseiam suas expectativas futuras sempre com base no passado e falham ao projetar o futuro sempre que houver alguma mudança estrutural importante. Já os modelos DSGE capturam o comportamento dos agentes (e suas respectivas atuações) em cenários de adversidade, de maneira endógena, estabelecendo um paradigma fenomenológico ao invés de simples correlação serial. A sigla DSGE advém do fato de que: são modelos com evolução temporal, por isso são dinâmicos ( dynamic) ; nestes modelos são introduzidos componentes estocásticos (stochastic) exógenos a fim de produzir flutuações no entorno de seus respectivos pontos de estabilidade; e de equilíbrio geral (general equilibrium) , pois partem de relações de equilíbrio entre os diferentes agentes participantes do mercado. Para melhor exemplificar a estruturação de um modelo deste tipo, partir-se-á do modelo mais simples DSGE, que é o modelo de Ciclo de Negócios Reais simplificado, como exposto por Prescott & Kydland (1982) e passo-a-passo, o modelo será estendido até uma média complexidade, para que o leitor melhor compreenda a confecção dos modelos macroeconômicos modernos, a partir das tradicionais ferramentas de controle disponíveis no campo da Engenharia.

2.1.3.1. Modelo Simplificado de Ciclo de Negócios R eais Neste primeiro modelo simplificado, um sistema de equações dinâmicas é obtido a partir da solução do seguinte problema de programação matemática:

max��,��,�� ln�"�# − � ∙ %�#&�' (

sujeito a: )*� − �1 − ,# ∙ *�� = -� ∙ . ∙ *��0 ∙ %��0 − "��ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + �~%�0, 5 #

Traduzindo o problema acima, a primeira expressão é a função a ser maximizada, que é o valor esperado da função de bem-estar das famílias. Nesta função, o termo �� é o termo de desconto da utilidade futura. Em outras palavras, com 0 ≤ � < 1, se � é próximo de 1, potências deste termo serão mais próximas de 1. Consequentemente, maior será o peso da utilidade (bem-estar) futura, dada pela expressão �ln�"�# − � ∙ %�# . Já a expressão da utilidade (bem-estar) em cada instante de tempo, é função de uma “felicidade” em consumir, dada por ln�"�# e uma “tristeza” em trabalhar, dada por � ∙ %�. A escolha pela função logaritmo é de suma

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importância, dadas características interessantes do comportamento dos consumidores, que pode ser melhor entendido ao observar a Figura 2.1.

Figura 2.1 – Gráfico da Função Logaritmo.

Assim, vale destacar a primeira característica da função, que é o fato de ser uma função estritamente crescente. Em termos de consumo, isso significa que quanto mais o agente consome, mais “feliz” ele fica. A segunda característica não menos importante é o fato de que quanto mais ele consome, menos bem-estar adicional é acrescido, ou seja, mais satisfeito ele está. Matematicamente, isto se torna mais evidente ao analisar as derivadas (taxas de variação) da função logaritmo: d�ln�9##d9 = 19

d �ln�9##d9 = d :19;d9 = − 19

Portanto, a função varia positivamente quanto mais se consome (primeira derivada positiva para todo consumo positivo), só que, no entanto, esta variação é decrescente para todo consumo (segunda derivada negativa). Por outro lado, a “tristeza” em trabalhar neste modelo é simplificada por uma relação diretamente linear da quantidade de trabalho alocado pela família. Este problema de maximização tem restrições, pois, senão, a maximização do bem-estar das famílias seria simplesmente consumir muito e não trabalhar. Implicitamente, se impõe uma restrição estabelecendo uma relação de equilíbrio, já que todo o trabalho “vendido” pelas famílias é “comprado” em sua integralidade pelas empresas, que o utilizam como insumo em sua função de produção. Logo, a primeira equação das restrições é dada por: *� − �1 − ,# ∙ *�� = -� ∙ . ∙ *��0 ∙ %��0 − "��

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que traduz simplificadamente a evolução da economia decorrente da interação entre famílias e empresas. No lado esquerdo da equação, a expressão *� − �1 − ,# ∙ *�� exprime o investimento líquido de depreciação a ser feito pelas empresas, decorrente da diferença entre o estoque de capital atual (*�) e o estoque de capital descontada a depreciação (dada pela fração , ) do período anterior. Já no lado direito da equação, o primeiro termo é a riqueza gerada pela aplicação do trabalho (termo %��0), do capital (termo *��0 ), de um nível de produtividade base (termo .) e de um termo de produtividade -� , que segue um processo estocástico, que será abordado mais adiante. Este primeiro termo é multiplicativo pelo simples motivo de que, se somente houver mão de obra disponível, sem equipamento necessário para transformar este trabalho em material, a renda decorrente da produção é igual a zero. O mesmo vale para ter capital sob a forma de máquinas e equipamentos, e sem mão de obra para produzir. O segundo termo do lado direito ("��) é o próprio consumo, tal que ele diminui a quantidade de renda disponível. Assim, a primeira restrição para avaliar a evolução macroeconômica, neste modelo, condensa matematicamente o fato de que o investimento só é possível a partir de um excedente entre a renda gerada nos processos produtivos e o que foi consumido pelas famílias, sendo esta renda gerada decorrente da aplicação do trabalho e do próprio estoque de capital. A segunda restrição é função de que eventuais acréscimos ou decréscimos na função de produtividade decorrem do nível de produtividade (tecnologia) do período anterior (2 ∙ ln�<��#), acrescido de uma flutuação (choque) normalmente distribuída (�~N�0, 5 #), que visa modelar saltos de produtividade decorrente de pesquisas ou decréscimos decorrentes de adversidades. Conforme pode ser visto nos Apêndices A e B, o resultado da solução do problema de maximização proposto, resulta no seguinte sistema de equações: 1"� = � ∙ � > 1"�?� :�1 − ,# + @ ∙ -� ∙ . ∙ *�?�0�� ∙ %�?��0;A � = 1"� ∙ �1 − @#-� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0

*� − �1 − ,# ∙ *�� = -� ∙ . ∙ *��0 ∙ %��0 − "�� ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + � ~N�0, 5 # onde as duas primeiras são soluções explícitas a partir da aplicação de técnicas de programação dinâmica e as duas segundas equações são equações de estado já descritas pelas restrições do problema. É sobre este resultado básico que serão discorridos os principais aspectos da calibragem de modelos DSGE.

2.1.3.2. Modelo Estendido de Ciclo de Negócios Reai s com Empresas

Um modelo um pouco mais complexo/completo pode ser obtido a partir das respectivas soluções dos programas matemáticos de outros agentes envolvidos. Para fim da extensão mais simples do modelo básico, a fim de se estruturar um agente representativo das firmas, basta introduzir um novo programa matemático e alterar o previamente exposto, tal como na página seguinte.

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• Famílias:

max��,��,B�� ln�"�# − � ∙ %�#&�' (

sujeito a: C�?� = D� ∙ C� + E� ∙ %� − "�

• Empresas: max��,�� Π� = �� − E� ∙ %� − *� ∙ �D� − 1 + ,#

sujeito a: G �� = -H ∙ .I ∙ *H@ ∙ %H1−@ln�-H# = 2 ∙ ln�-H−1# + H~%�0, 52#

Em palavras, as famílias, ainda como no problema anterior, buscam maximizar sua “felicidade”, fazendo escolhas ótimas entre consumir e trabalhar (que são as respectivas variáveis de controle do seu orçamento), só que agora com os salários determinados (EK) em uma relação de equilíbrio de acordo com a produtividade marginal do insumo trabalho; e ao invés de deter diretamente os ativos, as famílias agora possuem poupanças ( C� ) que são remuneradas por um determinado rendimento (D�). Já as empresas, agora, como agentes distintos, têm seu próprio objetivo, que é a maximização de seu lucro, dado pela diferença entre a renda decorrente da venda da produção YK, do pagamento às famílias pelo trabalho, dado um determinado salário (E� ) e, do pagamento aos financiadores do capital (*� ), líquido de depreciação ( , ). A função de produção continua semelhante à do problema anterior. Portanto, com a adição desse programa de maximização da “felicidade do empresariado”, que em geral é medido pelo lucro, o modelo passa a ter um acréscimo significativo de complexidade, visto que passa a explicar as relações de remuneração do capital e da evolução da dinâmica salarial. Como pode ser visto em Vernazza (2013), ao aplicar as mesmas ferramentas de solução empregadas no problema mais simples para as famílias e, ao aplicar a otimização estática simples às empresas (já que não é intertemporal), segue que: MNM%H = 0 → �1 − @# ∙ -� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 = E� MNM*H = 0 → @ ∙ -� ∙ . ∙ *�0�� ∙ %��0 = �DH − 1 + ,# ∴ D� = @ ∙ -H ∙ .I ∙ *H@−1 ∙ %H1−@ + �1 − ,#

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1"� = � ∙ � > 1"�?� ∙ D�?�A � = E�"�

�� = -H ∙ .I ∙ *H@ ∙ %H1−@ ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + � ~N�0, 5 # Neste caso, D�?� está ligando a remuneração da poupança das famílias ao pagamento do custo de capital pago pelas empresas (equilíbrio onde todo o capital advém da aplicação da poupança das famílias), criando um circuito monetário extremamente simplificado; e E� determina o salário pago pelas empresas junto às famílias, criando um esquema de mercado de trabalho muito simplificado.

2.1.3.3. Modelo Estendido de Ciclo de Negócios Reai s com Famílias, Empresas e Autoridade Monetária

Neste terceiro modelo, é apresentada uma extensão ainda mais ampla em relação ao modelo básico, onde:

• as famílias agora poupam explicitamente sob a forma de aplicação junto a instituições financeiras, sob a forma de títulos simples, com duração de 1 período, acumulam capital e alugam para as empresas e, podem escolher estocar dinheiro;

• as firmas, em um cenário competitivo, contratam trabalho e dispõem de capital para produzir bens homogêneos;

• existe uma autoridade monetária que imprime dinheiro, de maneira a produzir um efeito inflacionário positivo, como ocorre na grande maioria dos países, seguindo um processo AR(1); e

• existe um nível de tecnologia (produtividade) que segue um processo AR(1). Logo, o modelo proposto possui agora duas variáveis aleatórias responsáveis por explicar as flutuações na economia, uma responsável pelos choques monetários e outra responsável pelas flutuações na produtividade. Portanto, o conjunto de programas matemáticos e restrições a ser resolvido é dado por:

• Famílias

QR9��,��,��,S��,T�� UVWln�"�# + X ln�1 − %�# + Y :Z�?�[� ;��\ − 11 − . ]

_&�'

sujeito a: "� + *�?� − �1 − ,#*� + ��?� − ��[� + Z�?� − Z�[� = `�%� + D�a� + b� ��[�

onde %� denota ainda as horas trabalhadas, "� o consumo, Z� o dinheiro em poder, �� os títulos em poder, b� o rendimento dos títulos, `� os salários, *� o capital

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acumulado, D� o rendimento sobre o aluguel do capital e pK o índice de preços que corrige os títulos e a unidade monetária. A “tristeza” em trabalhar, agora segue uma função parecida com a do consumo, ao invés de ser linear.

• Firmas: QR9��,�� d� = �� − `�%� − D�a� sujeito a: �� = -�e*�0%��0# ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + �~N�0, 5 # onde as variáveis seguem a mesma notação do modelo anteriormente proposto.

• Autoridade Monetária: ln�Q�?�# − ln�Q�# = �1 − 2f#N∗ + 2fN�� + 2f�ln�Q�# − ln�Q��## − hf,� hf,�~N�0, σj# com: Q� = Z�?�[�

que denota um processo de injeção monetária na economia, relacionado à inflação no estado estacionário N∗. Por conseguinte, um aumento no nível de preços leva a família a aumentar seu desejo de ter mais dinheiro, introduzindo simplificadamente as interações entre dinheiro e inflação. A solução deste conjunto, conforme pode ser visto em Sims (2011), é dada no Apêndice C.

2.1.3.4. Modelo Estendido de Ciclo de Negócios Reai s com Famílias, Indústria de Bens Intermediários, Firmas Finais e Autoridade Monetária

Neste quarto e último modelo introdutório é apresentada uma extensão ainda mais ampla em relação ao modelo básico, onde este acaba por ter uma boa parte das características do modelo apresentado por Smets & Wouters (2007), porém, ainda sendo acessível a uma apresentação breve. Este modelo é uma composição da combinação dos modelos apresentados anteriormente, feita pelo presente autor para fins deste trabalho, combinando diversas características também discutidas por Sims (2011), com situações ainda mais realistas.

• Firmas Finais: estas não produzem nenhum bem, somente “empacotam” estes bens e disponibilizam na “prateleira” ao consumidor final, aplicando um diferencial de preços sobre os estabelecidos pelas empresas intermediárias que produzem os bens. Este diferencial de preços (mark-up) segue um processo estocástico, que também explicará parte das flutuações econômicas. Esta estrutura primitiva se assemelha bastante ao setor terciário da economia (comércio e serviços). Os bens produzidos pelas empresas intermediárias formam os insumos dos serviços e produtos por elas (finais) vendidos e são agregados conforme a função:

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k� = lm kn,�o��o pq� r oo��

onde s denota a elasticidade de cada um dos produtos kn,� produzidos pelas firmas intermediárias. • Firmas Intermediárias: são estas firmas que contratam trabalho, captam

recursos da poupança das famílias para aplicar sob a forma de capital, determinam a intensidade da utilização do capital e, consequentemente, podem acelerar/desacelerar a depreciação e desgaste dos bens de maneira conveniente e pagam juros sobre a poupança das famílias. Também determinam os salários. Esta estrutura primitiva (agente representativo) se assemelha bastante aos setores primários e secundários da economia. Não obstante, existe uma população contínua destas empresas, indexadas por q ∈ u0,1v , produzindo bens diferenciados entre si. Este intervalo unitário arbitrário simplesmente significa que existem muitas empresas , nada mais do que isso.

• Familias: como no modelo anterior, escolhem a quantidade de dinheiro, títulos, horas de trabalho e consumo. Só que agora escolhem o nível de poupança ao invés de acumular explicitamente o capital produtivo.

• A autoridade monetária age identicamente em relação ao modelo anterior. Portanto, o conjunto de programas matemáticos e restrições a ser resolvido é dado por:

• Famílias

QR9��,��,w��,S��,T�� UVWln�"�# + X ln�1 − %�# + Y :Z�?�[� ;��\ − 11 − . ]

_&�'

sujeito a: "� + x�?� + ��?� − ��[� + Z�?� − Z�[� = `�%� + D�x� + b� ��[�

As famílias maximizam um programa quase idêntico ao do modelo anterior, com uma pequena alteração já mencionada. Ao invés de acumularem explicitamente o capital e, alugarem este capital às firmas, agora elas poupam explicitamente sob a forma de uma poupança x� e recebem um rendimento D� pago pelas firmas intermediárias.

• Firmas Finais:

QR9yz,�,{� |� = [� lm kn,�o��o pq� r oo�� − m [n,� ∙ kn,� ∙ pq�

Já as Firmas Finais maximizam seu lucro, compondo uma escolha ótima entre os subprodutos (insumos) kn,� que têm preço estabelecido pelas firmas intermediárias

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dado por [n,�. Esta escolha ótima depende da substitubilidade do bem, estabelecida por s que, por conseguinte, afetará o mark-up do preço [� do produto final vendido por elas. Por inovações constantes nos subprodutos,

oo�� segue um processo estocástico dado por: ln�}�# = ~1 − 2��}∗ + 2� ln�}��# + h�,�~N~0, 5��| ss − 1 = }�

• Firmas Intermediárias:

QR9�z,�,�z,�,�z,�,�z,�,�z,� �n,� = � � ��[n,�kn,� − `�%n,� − D�xn,��&�'

sujeito a: kn,� = -�e~�n,�*n,��0%n,��0# *n,�?� = �n,� + :1 − ,�n,�� ; *n,� xn,� = �n,� + *n,� kn,� = �[n,�[� ��o ∙ k� ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + � ~N�0, 5 # As Firmas Intermediárias, que são aquelas que escolhem os níveis ótimos de capital e trabalho, funcionam de maneira um pouco mais complexa do que em relação às Firmas dos modelos anteriores. Sua função de utilidade passa a ser intertemporal, tendo em vista que elas escolhem como utilizar a poupança disponibilizada pelas Famílias. O acúmulo do capital passa agora pela escolha de duas variáveis, no caso, a intensidade da utilização do capital �n,�� em um determinado período, a fim de compensar flutuações de demanda que ocorrem ao longo do ano para aumentar/diminuir sua produção e o nível de investimento �n,�, que é feito para repor ou expandir a massa de capital disponível. Todo o capital é financiado pelas famílias neste modelo e, por isso, têm a restrição de que a fração da poupança destinada à firma j deverá ser igual à soma dos investimentos feitos naquele período com o estoque de capital. Vale notar também que estas Firmas continuam sujeitas à função de produção dos modelos anteriores, com uma produtividade (tecnologia) que evolui estocasticamente como um processo AR(1). Não obstante, ainda existem as seguintes restrições de agregação, tal que o somatório dos recursos disponibilizados pelas Famílias a esse contínuo de Firmas é caracterizado por: x� = � xn,� ∙ pq� e %� = � %n,� ∙ pq�

• Autoridade Monetária: ln�Q�?�# − ln�Q�# = �1 − 2f#N∗ + 2fN�� + 2f�ln�Q�# − ln�Q��## − hf,� hf,� ~N�0, 5f#

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com: Q� = Z�?�[�

O funcionamento da autoridade monetária continua idêntico ao modelo anterior. A solução deste modelo proposto é discutida no Apêndice D. Com este quarto modelo, espera-se que o leitor tenha uma breve ideia de como é feita a inclusão de diversos outros agentes econômicos e seus respectivos programas matemáticos. Não obstante, também se espera que o leitor perceba que o número de equações dinâmicas (e parâmetros) cresce significativamente com o acréscimo de agentes heterogêneos e que diversas fontes de oscilação observadas nos Ciclos de Negócios aparecem em decorrência da presunção de comportamentos externos.

2.1.3.5. Modelo Estendido de Smets & Wouters Tendo preparado o terreno para a melhor compreensão possível do ferramental utilizado na obtenção do estado-da-arte em modelos macroeconômicos modernos, Smets & Wouters (2007) obtiveram um sistema de programas matemáticos que modela uma economia artificial, com as seguintes características:

• Rigidez Nominal de Preços e Salários: existe uma viscosidade na velocidade de ajustamento de preços e salários, decorrente do equilíbrio demanda/oferta, o que faz sentido em uma economia como a do Brasil, tendo em vista que os salários são corrigidos (geralmente) por vias de negociação, por meio dos dissídios e acordos coletivos; e em relação aos preços, existe uma forte tradição de indexação contratual para a correção dos mesmos, criando uma defasagem temporal.

• As famílias maximizam sua função de utilidade em relação à disponibilidade de trabalho versus consumo, alugam seu respectivo capital para as empresas para investimentos e decidem quanto de capital devem acumular/poupar em face de ajustes de custos de capital que elas sofrem ao longo do tempo.

• A produtividade, de maneira semelhante ao modelo exposto anteriormente, sofre impactos relativos a progressos tecnológicos, que aumentam a produtividade do trabalho empregado.

• Firmas produzem bens diferenciados, decidem qual a composição ótima entre capital e trabalho empregado e definem preços.

• Há dois tipos de firmas, as que produzem os bens finais e as que produzem bens intermediários. As que produzem os bens finais concorrem em um mercado perfeitamente competitivo. Já as que produzem os bens intermediários, competem em um cenário monopolístico competitivo (ou seja, competem umas contra as outras com produtos que são diferenciados entre si, não sendo substitutos perfeitos – em função de marca, qualidade ou local de produção, por exemplo).

• A depreciação varia com a utilização do capital. • A inflação é em parte indexada pelos valores passados da própria variável, o

que faz sentido em uma economia como a brasileira, tendo em vista que grande parte dos contratos são indexados por algum índice de inflação, gerando persistência.

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• Existe uma autoridade monetária que determina a taxa de juros em função dos desvios da meta de crescimento e da inflação

• Também existe um nível de gastos da administração pública que puxa parte da demanda.

Tendo em vista a enorme complexidade exposta, este trabalho prosseguirá nas demais sessões com a discussão da metodologia baseada no modelo simplificado (primeiro modelo DSGE apresentado) sabendo que as equações log-linearizadas do modelo final de Smets & Wouters (2007) são apresentadas no Anexo B e seus respectivos parâmetros no Anexo A. Outro ponto não menos importante é perceber que o emprego da estruturação de modelos via as técnicas expostas nesta seção, permite obter um modelo do tipo System Dynamics, delineando a evolução fenomenológica do problema via interação explícita dos desejos de cada um dos agentes heterogêneos do sistema, ao invés do estabelecimento de relações comportamentais, que geralmente são obtidas através de insights. Portanto, as dinâmicas de feedback decorrem naturalmente das relações de equilíbrio do modelo, ao invés de determinadas arbitrariamente pelo investigador do problema, como muitas vezes ocorre no emprego direto da técnica de System Dynamics. Por conseguinte, tendo em vista tais características e um modelo já previamente concebido, o passo seguinte é a estimação/calibragem dos parâmetros, passo este de extrema complexidade. Tradicionalmente, nesta área de pesquisa, vem sendo utilizado o pacote DYNARE para desempenhar tal tarefa, que funciona tanto sobre a plataforma Matlab (comercial), quanto sobre a plataforma Octave (software livre), que implementa as operações matemáticas que são descritas nesta subseção. Nas subseções seguintes são apresentadas as técnicas necessárias à inferência do modelo.

2.2. Processo de Calibragem do Modelo DSGE O processo de Calibragem do Modelo Macroeconômico se dá basicamente sobre as versões linearizadas das equações obtidas na subseção anterior, tendo em vista que grande parte delas tem natureza não linear, que consequentemente, acaba gerando algumas dificuldades inerentes a tal característica, como por exemplo, a possível presença de diversas soluções de equilíbrio do sistema. Logo, o primeiro aspecto anterior à própria calibragem do modelo é a Log-Linearização das equações dinâmicas. Não obstante, linearidade implica na separabilidade dos parâmetros a serem estimados, o que facilita o cálculo das funções de verossimilhança marginais a cada um deles. No entanto, também vale ressaltar que a não-linearidade não impede a estimação, só a torna excessivamente custosa em termos computacionais. Tal processo pode ser visto em maiores detalhes no Apêndice E. Ainda não menos importante, conforme pode ser visto em Smets & Wouters (2007), resta um conjunto de parâmetros que não pode ser calibrado seguindo o método descrito nas subseções 2.2.1 a 2.2.5. Tais parâmetros são: a taxa de depreciação do capital, a razão dos gastos do governo e o PIB, a elasticidade intertemporal, os parâmetros de curvatura de Kimball da função agregadora e o parâmetro de mark-up de salários. Consequentemente, estes devem ser estimados em separado do modelo, sendo esta, uma das contribuições do presente trabalho. A discussão da

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calibragem destes parâmetros e os respectivos resultados podem ser vistos no Apêndice F. Por fim, para que as séries tenham sua tendência eliminada e estejam centradas no entorno de alguma média, Smets & Wouters (2007) propõem trabalhar com as medidas de consumo, investimento, PIB e horas trabalhadas per capita. Consequentemente, ao dividir pela população total e pela população economicamente ativa, as séries se tornam estacionárias. No entanto, se fazem necessárias estimativas destas duas séries populacionais em intervalos de tempo mais curtos e, por isso, se faz necessária a aplicação de técnicas de interpolação descritas no Apêndice G. Assim sendo, na Figura 2.3 é exposto um esquema geral do processo de calibragem de um modelo DSGE, com as respectivas descrições de cada uma das etapas. Vale ainda ressaltar que todas as séries utilizadas (exceto a série de taxa de juros) foram dessazonalizadas (antes das ponderações pelos fatores populacionais) utilizando o algoritmo ARIMA X-12, seguindo a proposição original de Smets & Wouters (2007).

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Figura 2.3 – Esquema do Processo de Inferência/Calibragem do Modelo Macroeconômico.

2.2.1. Geração dos Parâmetros de Acordo com a Distribuição a Priori

A geração dos parâmetros é feita a partir do algoritmo de simulação de Monte-Carlo, tal que a distribuição dos parâmetros gerados segue a distribuição a priori

Geração dos Parâmetros de acordo com Distribuições a

Priori

Solução do Sistema de Equações em Expectativas

Racionais (Obtenção do Sistema em Espaço de

Estados)

Obtenção do Filtro de Kalman a partir do Sistema

em Espaço de Estados

Geração da função de verossimilhança do modelo

versus dados a partir do Filtro de Kalman

Aceitação/Rejeição dos Parâmetros Gerados com base em melhora na

função de verossimilhança, convergência dos parâmetros

(análise das Séries dos Parâmetros Gerados) e saltos aleatórios

Linearização das Equações do Movimento

Estabelecimento dos Parâmetros Fixos (Não Calibráveis)

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estabelecida pelo investigador do problema, com eventuais restrições de magnitude. Assim, por exemplo, o investigador pode impor tanto sobre a natureza da função de densidade de probabilidades, quanto impor que um parâmetro tem que ser positivo ou ser menor do que outro parâmetro que está sendo calibrado, por exemplo. Em relação ao próprio algoritmo de simulação de Monte-Carlo, este consiste na geração de um número pseudoaleatório uniformemente distribuído, que, através do emprego da função inversa da função de densidade de probabilidades que se deseja simular, é combinado, obtendo um número pseudoaleatório distribuído em conformidade com o objetivo. Segundo Griffoli (2013), as distribuições a priori dos parâmetros têm a seguinte forma: p�X�|�# onde � é um determinado modelo, X� os parâmetros deste modelo e a função p é a função de densidade de probabilidade destes parâmetros, dado um tipo de modelo.

2.2.2. Algoritmo de Solução dos Modelos DSGE do software DYNARE

O software DYNARE resolve modelos do tipo DSGE via aproximações de primeira ordem do sistema de equações dinâmicas obtido, sendo considerado o estado-da-arte em calibragem de modelos deste gênero. Portanto, é importante primeiro mencionar que um modelo DSGE, de acordo com Griffoli (2013), é nada mais do que um modelo composto por um conjunto de equações dinâmicas, compondo parte desta dinâmica as expectativas racionais que cada um dos agentes têm em relação às variáveis de estado do sistema. Logo, o software resolve o conjunto de equações, tal que deve seguir as condições de Blanchard & Kahn (1980), que prescreve que deverão existir tantas raízes com módulo maior do que um quantas variáveis de expectativa futura houver no modelo, tentando transformar o modelo que está explicitado sob a forma: �� ∙ ��X# ∙ ��?� = ��X# ∙ �� onde �� denota o operador expectância, � e� matrizes cujos elementos são funções lineares dos parâmetros X do modelo linearizado, em um modelo explicitado sobre a forma: �� = Ω�X# ∙ �� + � ∙ s� sendo esta transformação uma conversão de um sistema de equações em expectativas racionais para um sistema em Espaço de Estados, onde s� é um vetor de inovações estocásticas, conforme Uhlig (1999), Klein (2000) e Sims (2001). Ou seja, agora ao invés de depender das expectativas futuras que os agentes têm, se obtém um sistema de equações que determina quais devem ser as próximas realizações em função somente das observações passadas.

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Para exemplificação do emprego de uma destas técnicas em relação ao caso simplificado (Modelo de Ciclo de Negócios Reais Básico), basta consultar o Apêndice H.

2.2.3. Obtenção do Filtro de Kalman a partir do Mod elo em Espaço de Estados

A fim de se obter o Filtro de Kalman a partir do modelo em Espaço de Estados discutido na subseção anterior, o primeiro passo, conforme Davis (1984) é a remoção das médias das variáveis, resultando em um sistema estacionário de média zero (processos centrados), tal como: ��∗ = Z ∙ ��III + M ∙ �� + �� = Ω�X# ∙ �� + � ∙ s� ��us�s��v = Σo ��u��v = � onde ��III é a média das variáveis. Por conveniência de notação, nos passos que se seguem, Ω�X# = Ω. Após esta operação basta, conforme Davis (1984) e Adjemian (2005), aplicar as fórmulas para o Estimador Linear Ótimo, de maneira a obter o Filtro de Kalman para o respectivo Modelo em Espaço de Estados, tal que: s� = ��∗ − ��III − Z ∙ �� = Z��Z�� + � *� = Σ��Z�� ?�� = Ω ∙ �� + *� ∙ s� ��?� = Ω ∙ �� ∙ �Ω − KKZ#� + Ω ∙ Σo ∙ Ω′ Para maiores detalhes em relação à derivação do Filtro de Kalman, consultar Apêndice I. A aplicação do Filtro de Kalman se dá pelo fato de que os parâmetros que estabelecem as utilidades dos agentes envolvidos não são observáveis através de séries históricas. Por outro lado, é possível observar os principais agregados macroeconômicos, como consumo, investimento, PIB, desemprego, através de levantamentos realizados pelo IBGE em frequência trimestral. Assim, os agregados macroeconômicos são as variáveis observáveis no problema de filtragem e as equações do movimento são aquelas obtidas através do processo de log-linearização das equações dinâmicas obtidas na solução dos problemas matemáticos de maximização da utilidade de cada um dos agentes representativos.

23

2.2.4. Obtenção da Função de Verossimilhança

A função de Verossimilhança é obtida a partir dos valores estimados utilizando o Filtro de Kalman obtido na subseção anterior. Assim, ao comparar os valores observados com os efetivamente previstos, se obtêm os resíduos, que ao se pressupor sua normalidade, são inseridos na seguinte expressão: L = 1√2N exp l− ∑ �9� − 9¡¢# ��'�% − 1 r

onde 9� é o valor efetivamente observado, 9¡¢ é o valor previsto decorrente da aplicação do Filtro de Kalman e % o número de observações utilizadas no cálculo, e L é a função que se deseja minimizar. Por conseguinte, quanto menor o valor de L, maior a aderência do modelo proposto versus os dados utilizados para inferência.

2.2.5. Composição das Distribuições dos Parâmetros e Aceitação/Rejeição dos Parâmetros Gerados

Por fim, o software DYNARE compara as funções de verossimilhança da estimativa dos parâmetros obtida versus a estimativa anterior dos parâmetros. Se L�a# <L�a − 1#, aceita-se diretamente os parâmetros da iteração atual k. Senão, aceita-se com probabilidade p definida pelo investigador do problema, esta nova distribuição de parâmetros, mesmo que a função de verossimilhança L tenha um desempenho pior na iteração atual. A justificativa para tal é que estes “saltos” na mudança, mesmo que para pior, nos parâmetros, evita com que a busca pelo conjunto ótimo de parâmetros que maximiza a verossimilhança fique “presa” em uma região de mínimo local, não atingindo o mínimo global. Não obstante, outra verificação deve ser feita, no caso as condições de estabilidade e convergência da evolução dos parâmetros. Se L�a# − L�a − 1# ≤ Δ onde Δ é um critério de convergência arbitrariamente definido pelo investigador, o critério de parada é acionado. Por fim, tendo o critério de parada sido acionado, são extraídos os momentos das sequências de parâmetros gerados ao longo do processo de inferência bayesiana, para compor as distribuições a posteriori de cada um deles, assim como a média, a mediana e a moda (especialmente úteis em caso de distribuições altamente assimétricas). Para maiores detalhes, consultar Zellner (1971), Hamilton (1994) e Greene (2002).

2.3. Modelo Setorial Tendo a modelagem macroeconômica completa, o próximo passo é a estimação da elasticidade do Produto Interno Bruto versus o consumo de energia elétrica, para que seja possível inferir qual o impacto das políticas fiscais e monetárias sobre o consumo de energia no país.

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2.3.1. Estimação da Elasticidade PIB versus Consumo de Energia

Os modelos de aferição de elasticidade entre duas variáveis são geralmente inferidos através de métodos de regressão linear simples, desde que as duas variáveis estudadas não tenham raíz unitária (processos estocásticos não-estacionários). Assim sendo, se as séries do PIB e do Consumo de Energia são estacionárias por hipótese, a aferição da elasticidade PIB versus Consumo de Energia pode ser feita a partir da seguinte equação: ln��# = @ + � ∙ ln�PIB# Tal que, conforme pode ser visto nos principais livros-texto de microeconomia aplicada, por exemplo Pindyck & Rubinfeld (2009), a elasticidade do Consumo de Energia (variável �) versus PIB, é função da derivada parcial da expressão acima: ∂ln��#∂ln��# = �

A interpretação do coeficiente “β” é que se o PIB crescer “x” por cento, os Pousos e Decolagens deverão crescer “β” vezes “x” por cento. Matematicamente: ∆E% = β ∙ ∆PIB% Tal interpretação decorre do fato de que: lim∆®→uln�1 + ∆9#v = lim¯®→ ∆9

Por outro lado, pela definição de derivada, segue que: dkd9 = lim¯®→ k�9 + °9# − k�9#°9

Portanto: dd9 ~ln�9#� = lim¯®→ ln�9 + ∆9# − ln�9#°9 = lim¯®→

ln :9 + ∆99 ;°9∴ lim¯®→

ln :1 + °99 ;°9 = lim¯®→ ∆9°9 ∙ 9 = 19

Consequentemente: dd9 ~ln�9#� = 19

dln�9# = d99 ≈ ∆99 = ∆9%

Logo: ∂ln��#∂ln��# ≈ ∆�%∆��%

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No entanto, caso as séries sejam não estacionárias, conforme pode ser visto em Engle & Granger (1987), é possível obter regressões completamente espúrias em decorrência justamente da não-estacionariedade das séries em questão. Para melhor exemplificar, se duas séries, por exemplo, seguem processos estocásticos não-estacionários, tal que por hipótese apresentem evolução estritamente positiva, ao se calcular uma regressão entre as duas variáveis, haverá uma falsa elasticidade entre as duas variáveis, decorrente da minimização do erro quadrático médio. Assim, por exemplo, duas variáveis não-estacionárias que não possuem relação alguma, como por exemplo um índice de preços e uma série de população, ao terem sua suposta elasticidade inferida, irão produzir uma relação positiva que não tem sentido físico/econômico algum. Logo, para corrigir eventual viés, primeiramente deverá ser testado se as séries possuem raízes unitárias, conforme pode ser visto em Dickey & Fuller (1979). Tendo constado que as variáveis possuem raíz unitária, é necessário verificar se as variáveis possuem uma relação de co-integração. Em outras palavras, se variações nas diferenças das variáveis forem função de um desvio de um estado de equilíbrio entre elas, existe uma relação de co-integração. Matematicamente, caso existam relações de autocorrelação, isto se traduz em uma relação do tipo: ΔLog��# = @ ∙ ~Log��# − � ∙ Log��#� + ´� ∙ ΔLog��# + ⋯ + ´� ∙ ΔLog��#+ Y� ∙ ΔLog��# + ⋯ + Y� ∙ ΔLog��# onde a relação de co-integração é caracterizada por: Log��# − � ∙ Log��# = µ� ~N�0, 5# conforme Johansen (1988). Vale ressaltar ainda que este novo “ � ” estimado, também possui a mesma interpretação de elasticidade que o “� ” estimado no caso da regressão linear simpes. Portanto, para estimar a evolução do Consumo de Energia em um primeiro momento, estima-se a evolução do PIB em um dado cenário e, em função do coeficiente “�” estimado seja por regressão linear simples ou por co-integração, o cenário macroeconômico é convertido em um cenário de consumo de energia. Tendo em vista o crescimento do consumo de energia, dado por ∆�%, o próximo passo é estimar a evolução da matriz energética em si, a fim de se analisar a participação de cada um dos subprodutos. Para tal, a partir do Balanço Energético Nacional de 2013 (BEN), dado pelo Ministério da Energia, serão utilizados modelos do tipo ARIMA, para cada uma das séries individuais. Logo, cabe aqui introduzir os modelos ARIMA.

26

2.3.2. Modelos ARIMA para Estimação dos Subprodutos

da Matriz Energética Os modelos ARIMA consistem em equações de diferenças, que tentam capturar a evolução inercial de um determinado sistema dinâmico, com base nas observações passadas, quanto nos choques aleatórios (perturbações) que possam impactar a série. Para melhor apresentá-los, começa-se pelos modelos ARMA(p,q), que são um subtipo dentro da família de modelos ARIMA. Tais modelos (ARMA) têm a seguinte forma: �� = ´� ∙ �� + ´ ∙ �� + ⋯ + ´{ ∙ ��{ + X� ∙ h�� + X ∙ h�� + ⋯ + X¶ ∙ h��¶ + µ onde �� denota a observação no instante t, h� as inovações normalmente distribuídas no instante t e µ denota a média da variável. Estes modelos são referenciados pela nomenclatura ARMA(p,q), onde p é o número de retardos sobre a própria variável observada que são considerados e q é a quantidade de retardos das inovações (erros) para a composição da previsão para o próximo período. Também é importante ressaltar que os modelos ARMA partem do pressuposto que a série �� é estacionária, conforme pode ser visto em (Morettin & Tolói, 2004), ou seja, flutuam em torno de uma média fixa. Quando a série em questão não é estacionária, deverá ser aplicado o processo de diferenciação da série, até que esta se torne estacionária. Logo, um processo ARMA pode ser visto como um subtipo dos processos ARIMA, onde a série modelada já é estacionária. Assim, por exemplo, uma série que é somente estacionária na segunda diferença, seu processo de modelagem via modelos ARIMA será dada pela transformação desta em uma série estacionária e após isso, modelar a série resultante utilizando um modelo ARMA(p,q) padrão. Por conseguinte, um modelo ARIMA é denotado por ARIMA(p,d,q), onde d denota o número de diferenças aplicadas sobre a série original, até o atingir a condição de estacionariedade. O modelo ARIMA tem a seguinte forma: E� = ´� ∙ E�� + ´ ∙ E�� + ⋯ + ´{ ∙ E��{ + X� ∙ h�� + X ∙ h�� + ⋯ + X¶ ∙ h��¶ + µ onde, seguindo a mesma notação dos modelos ARMA apresentados, E� é decorrente da diferenciação em d vezes da série original. A fim de se detectar a quantidade de termos referentes às inovações (h��¶) e às componentes autorregressivas ( E��{ ), uma busca pelo melhor modelo é feita através da análise do Critério de Informação de Akaike (1974), que tem por característica a imposição de penalidades para a imposição de coeficientes a serem estimados – visto que o aumento gradual de coeficientes diminui a confiabilidade dos próprios parâmetros estimados e contribui para o fenômeno de “Overfitting”1 – ponderados pela verossimilhança do modelo, que por sua vez é uma medida de aderência do modelo através da análise da soma dos resíduos quadráticos.

1Falta de capacidade do modelo em prever pontos fora da amostra utilizada para sua inferência. No caso de um sistema dinâmico deste tipo, caracteriza a incapacidade do modelo em prever o futuro, somente em descrever o ocorrido.

27

A fórmula a seguir, que “condensa” em um único número o total da distância entre ocorrido e previsto, evitando compensações entre erros positivos e negativos, representa a função de soma dos resíduos quadráticos:

x·D = �~�� − �� '�

onde N é o número de observações, �� é o observado e �� é o previsto pelo modelo.

Já a função de verossimilhança é dada por: � = − %2 �1 + ¹º»�2N# + ¹º»�x·D## Tendo feito as definições anteriores, é possível escrever o Critério de Informação de Akaike (1974) como: AIC = 2a − log��# em que k é o número de parâmetros a serem estimados. Logo, quanto maior o número k de parâmetros a serem estimados, maior o número AIC, e quanto maior a verossimilhança, menor o valor AIC. Consequentemente, quanto menor o valor do AIC, melhor o modelo, descontados os possíveis efeitos de eventual Overfitting, e assim, baseado neste critério, é possível escolher a melhor estrutura de atrasos para um modelo autorregressivo, por exemplo. Portanto, tendo um modelo evolutivo para a demanda por cada um dos subprodutos, é possível aplicar um algoritmo de combinação de previsões para que a soma das previsões dos subprodutos seja igual à previsão do consumo total de energia, para que se obtenha uma previsão consistente da própria matriz energética.

2.4. Algoritmo de Combinação de Previsões Partindo do pressuposto de que a quantidade de energia consumida deve ser igual (ou quase igual) à quantidade de energia produzida – pressuposto esse que dentro da realidade do Balanço Energético Nacional parece ser razoável, dada a pequena participação do fluxo exterior – a soma das previsões obtidas através dos modelos ARIMA deve ser igual à previsão de consumo, obtida através da análise de elasticidade PIB versus Consumo de Energia. Assim sendo, se por definição existe uma série �� que pode ser explicada a partir da combinação linear de quatro séries independentes entre si, por exemplo, é possível obter um algoritmo de combinação de previsões, tal que a combinação linear (soma) destas quatro seja igual à série agregada.

28

A fim de demonstrar tal técnica, a partir deste exemplo simplificado, seguem as definições:

�� = u1 1 1 1v ∙ ¾¿¿À��,�� ,��Á,��Â,�ÃÄ

ÄÅ onde �� é a série agregada, tal que se deseja corrigir as séries desagregadas (��,�) para que a soma (combinação linear) destas seja igual a ela. Assim as séries desagregadas são combinadas a partir do vetor de uma série de operações matriciais que combinam o vetor de pesos e a matriz de covariâncias das séries ��,�, dada por uma matriz quadrada L de ordem quatro (no caso para quatro séries). Ao impor que: u1 1 1 1v = Æ

¾¿¿À��,�� ,��Á,��Â,�ÃÄ

ÄÅ = -�Ç

e sabendo que o objetivo do algoritmo é a minimização da distância quadrática entre a combinação linear (soma) das séries desagregadas que serão modificadas, ao definir que: È = :É��~-� − -�Ç �;È

ou seja, que È é um vetor ponderado pela inversa da matriz de covariâncias (a fim de se normalizar a distância) entre o vetor -� e o respectivo esperado, dado por -�Ç . E também, ao definir que: Æ~É + -�Ç � − �� = 0 Realizando as seguintes operações algébricas, segue que: ÆÉ = �� − Æ-�Ç � = �� − Æ-�Ç = ~�� − Æ-�Ç �� È = Ë~�� − Æ-�Ç ��ÌÈ

Ao formar uma função Lagrangeana para o programa de minimização da distância entre as observações e a combinação linear (soma) das variáveis desagregadas, segue que: ℒ = È + ÎÈ~Æ~É + -�Ç � − ��

29

Derivando esta função por e igualando a zero, segue que: ÎÈÆÉ → ÎÈ� = −2È ÎÈ = −2È�� ÎÈ = −2 Ï:É��~-� − -�Ç �; ��ÐÈ ��

ÎÈ = −2Ë~�� − Æ-�Ç ��ÌÈ�� Î = −2Ë~�� − Æ-�Ç �Ìu��Èv�� Substituindo-se na própria equação derivada, conforme Bayes (2013), segue que: ÎÈ ∙ � = −2È �ÈË~�� − Æ-�Ç �Ìu��Èv�� = É�ÈË~�� − Æ-�Ç �Ìu��Èv�� = ~-� − -�Ç � Finalmente, se obtém: É�ÈË~�� − Æ-�Ç �Ìu��Èv�� + -�Ç = -� Por conseguinte, tendo em vista a obtenção de uma expressão que torne possível a combinação das previsões tendenciais da evolução do consumo de cada uma das fontes que compõem a matriz energética versus a evolução do consumo total esperada em função do nível de atividade econômica, se tem o arcabouço técnico completo para a análise proposta ao longo deste trabalho. Portanto, no próximo capítulo se discutem os resultados obtidos decorrentes do emprego das técnicas aqui discorridas.

30

3. Discussão dos Resultados Neste capítulo são apresentados os resultados referentes à modelagem que já foi realizada que, em suma, se deu sobre o modelo macroeconômico proposto, suas respectivas componentes, a captura da elasticidade PIB versus Consumo Energético e uma breve análise do Balanço Energético Brasileiro.

3.1. Modelo Macroeconômico Ao longo desta seção são apresentados os resultados obtidos na calibragem dos parâmetros e séries necessárias à inferência do modelo macroeconômico, assim como sobre os resultados preliminares dos parâmetros do próprio modelo que são calibrados via método de amostreamento bayesiano.

3.1.1. Calibragem dos parâmetros estruturais via in ferência Bayesiana

Seguindo Smets & Wouters (2007), foram estimados os parâmetros estruturais da economia de acordo com o algoritmo de inferência bayesiana implementado sob a plataforma DYNARE, que funciona tanto sobre o Matlab quanto sobre o Octave. As distribuições a priori seguiram as sugestões feitas por estes autores, tendo em vista que, em grande parte da literatura nacional analisada, os autores nacionais também as seguiram. Assim, seguem nas Figuras 3.1 e 3.2, as estimativas das distribuições a priori (em cinza) consideradas, e as respectivas distribuições a posteriori (preto) obtidas após a execução do algoritmo de calibragem. Vale também notar que a linha tracejada em verde é a média da distribuição a posteriori.

31

Figura 3.1 – Resultados das Estimações dos Parâmetros do Modelo.

32

Figura 3.2 – Resultados das Estimações dos Parâmetros do Modelo – continuação.

Assim, conforme pode ser visto nas Figuras 3.1 e 3.2, é possível verificar primeiramente que há um considerável distanciamento entre as distribuições a priori (em cinza) inseridas no modelo versus as distribuições a posteriori (em preto) obtidas depois da execução do algoritmo de inferência bayesiana, a menos de poucas exceções. O segundo ponto, não menos interessante, é que as distribuições têm uma grande assimetria, quando não também, caudas gordas grandes, fato este que merece destaque, pois o tradicional método dos mínimos quadrados, que é amplamente utilizado na inferência de sistemas dinâmicos, pressupõe que os parâmetros sigam distribuições conhecidas e bem comportadas. Para a solução do sistema de equações de diferenças, a fim de se computar as previsões, o programa de computador considera os valores médios (em verde tracejado) das distribuições. A distribuição a posteriori indica a densidade de probabilidade de se assumir diferentes valores como verdadeiros e, em conjunto com simulações de choques, é utilizada para simular os intervalos de confiança das previsões, que são discutidos na próxima subseção.

33

3.1.2. Convergência dos Parâmetros do Modelo Um dos pontos centrais deste trabalho é o fato de que com todas as variáveis contempladas no modelo original de Smets & Wouters (2007), não se obtém convergência e estacionariedade na inferência dos parâmetros, condição esta necessária para se afirmar que os parâmetros inferidos são estáveis para qualquer condição inicial imposta ao algoritmo de amostreamento. Tal problema para a economia brasileira já havia sido reportado por Boynard & Divino (2012), que contornaram tal questão eliminando as variáveis investimento, horas trabalhadas e salários reais do modelo como variáveis observáveis, e eliminando os choques nas horas trabalhadas e no investimento, acabando por ficar com quatro variáveis observáveis e cinco choques estocásticos. Tais mudanças contribuíram para a convergência das séries dos parâmetros estimados. As variáveis observáveis cujo objetivo é a previsão, são:

• dy: denota a diferença da série logarítmica do PIB real • dc: denota a diferença da série logarítmica do Consumo Total • pinfobs: denota a diferença da série logarítmica do IPCA • robs: o logaritmo da taxa anual de juros em base 100

Tendo em vista esta literatura já existente, neste trabalho também se adotou tal estratégia de inferência, acabando por se obter resultados de convergência satisfatórios.

3.1.3. Previsões Resultantes do Modelo DSGE Tendo calibrado os parâmetros estruturais e conhecidas as séries, cujo objetivo é a previsão, basta, através da evolução das variáveis de estado do modelo, fazer as previsões. Vale lembrar que algumas das séries que possuem tendência, como o PIB, Consumo, Índice de Preços, são transformadas em séries estacionárias a partir da remoção de tendências decorrentes da evolução populacional. Assim, por exemplo, as variações são estudadas sob a óptica per capita e não em termos absolutos. Os resultados são mostrados na Figura 3.3.

34

Figura 3.3 – Previsões das Variáveis Observadas Feitas pelo Modelo DSGE.

Portanto, ao olhar para a Figura 3.3, é possível verificar que há uma tendência de subida da taxa de juros (função da política monetária, visando trazer a inflação para o centro da meta) no curto prazo e essa subida causa uma desaceleração no consumo e no Produto Interno Bruto. Já a inflação (IPCA) parece ter seu valor de equilíbrio (longo prazo) por volta de 5,5%. Vale ressaltar que a economia parece ter uma tendência de crescimento em termos de renda per capita (PIB sobre população) de cerca de 0,5% por trimestre e a taxa de juros permanece em um patamar de 7,5% nominais (cerca de 1,8% em termos trimestrais), se todas as condições permanecerem constantes, fatores estes os principais determinantes no estabelecimento de estratégias de investimento.

3.1.4. Respostas a Impulsos Resultantes do Modelo D SGE Um dos aspectos mais interessantes da modelagem DSGE é a previsão de como os agentes econômicos reagiriam a choques sobre as taxas de juros, assim como o Governo e o Banco Central responderiam a choques na inflação, visando maximizar o bem-estar geral. Estas respostas advêm dos parâmetros estruturais calculados na inferência e da aplicação dos respectivos choques sobre o sistema em espaço de estados. Assim, por exemplo, ao reconsiderar o primeiro modelo simplificado apresentado no Capítulo 2, que era o modelo de Ciclo de Negócios Reais, ao somar um choque determinístico na variável de nível estocástico de tecnologia, simula-se um choque tecnológico, conforme pode ser visto em Uhlig (2006). A situação se torna um pouco mais complexa quando o pesquisador se depara com um modelo onde existe mais de uma componente estocástica, e consequentemente,

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2,00%

4,00%

6,00%

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23

Taxa de Juros Nominal 12 Meses Inflação 12 meses

Crescimento PIB Acumulado 12 meses Crescimento Consumo Acumulado 12 meses

Taxa de Juros Real 12 Meses

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mais de um possível choque, que acaba necessitando de métodos de perturbação de solução de ordem superior, seguindo a mesma lógica do que fora apresentado no Capítulo 2, conforme Collard & Juillard (2001). Consequentemente, além de possível, se torna interessante fazer análises de cenários hipotéticos, como os feitos nesta subseção, permitindo complementar análises condicionais aos dados passados. Portanto, ao se incorporar os resultados obtidos nas Figuras 3.4 a 3.6 é possível fazer tais análises condicionais.

Figura 3.4 - Impulso-Resposta a um Choque na Inflação.

Figura 3.5 - Impulso-Resposta a um Choque na Taxa de Juros.

36

Figura 3.6 - Impulso-Resposta a um Choque na Produtividade.

Conforme pode ser visto na Figura 3.4, um choque na inflação (IPCA), desestimula o consumo (dc) (pois afeta a renda disponível para consumo) e o Produto Interno Bruto (dy), o que leva o Banco Central, a fim de diminuir a inflação, a praticar uma taxa de juros mais alta (robs), até que a inflação esteja sob efetivo controle, indo de encontro com o que prega a Teoria Econômica. Já na Figura 3.5, é possível ver que um choque na taxa de juros, por sua vez, reduz a inflação por meio de desestímulo do consumo (queda no consumo por financiamento, por exemplo, já que o custo do financiamento se torna maior), afetando as demais variáveis macroeconômicas. Por fim, na Figura 3.6, é verificável que um aumento na produtividade eleva o Produto Interno Bruto, diminuindo a pressão inflacionária, resultante do aumento da capacidade ofertiva e de ganhos marginais inerentes ao próprio aumento de produtividade, também indo de encontro ao que prevê a Teoria Econômica moderna de Ciclo de Negócios Reais (Galí, 2008). Logo, nesta subseção, se torna evidente o poder que este tipo de análise hipotética tem em relação a possíveis cenários e como os agentes econômicos devem reagir a eles. Não obstante, também vale ressaltar que os outros dois choques estimados pelo modelo não foram aqui comentados tendo em vista que são de difícil interpretação como forma de validação dos resultados junto à Teoria Econômica.

3.2. Modelo Setorial O modelo setorial, para efeitos de simplicidade deste trabalho, parte da premissa que todo o consumo energético do Brasil tem sua demanda ditada pelo nível de atividade de produção (PIB). Logo, conforme já discorrido no Capítulo 2, foi calculada a elasticidade PIB-Consumo Energético e verificada a consistência de tal premissa a partir da análise do coeficiente de explicação do modelo proposto versus as realizações passadas do consumo energético, conforme indicado na Figura 3.7.

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Figura 3.7 - Modelo de Consumo de Energia vs Desempenho Econômico.

Assim, como pode ser verificado na Figura 3.7, é possível a obtenção de um modelo com um alto grau de explicação (D de 0,99), com a mencionada simplificação, para a previsão do consumo de Energia em Toneladas Equivalentes de Petróleo. Neste caso especial, é possível se afirmar que é um ótimo modelo, tendo em vista que a equação obtida possui somente dois parâmetros (elasticidade e constante) – representando um baixo risco de overfitting, dada a pequena quantidade de parâmetros – e tendo uma alta correlação entre o modelo obtido e os dados observados por um longo período de observações (mais de 40 observações anuais). O parâmetro de elasticidade obtido deste modelo é de 1,05, extraído da relação de co-integração existente (conforme Apêndice J), ou seja, para cada 1% que a economia cresce, em média, o consumo de energia cresce 1,05%. Portanto, a partir dos cenários econômicos gerados e da “tradução” da produção econômica em quantidade de energia consumida para tal, basta aplicar os percentuais de variação obtidos sobre o vetor médio de participação de cada um dos subprodutos na composição da matriz energética brasileira. Consequentemente, a partir do Balanço Energético Nacional de 2013, é possível extrair um vetor sobre a participação de cada um dos principais subprodutos na matriz energética, assim como (para um próximo trabalho), modelar as tendências de mudança da matriz energética, como apresentado na Figura 3.8.

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ões

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Período (Anos)

Ocorrido Previsto

38

Figura 3.8 - Composição da Matriz Energética Brasileira no Período 1970 – 2012.

Como pode ser visto na Figura 3.8, há um aumento crescente e considerável na participação da eletricidade, álcool e bagaço de cana, enquanto que os derivados do petróleo e lenha tiveram sua participação diminuída. A partir dos valores obtidos para 2012 e aplicando um cenário ceteris paribus na participação das fontes energéticas, é possível projetar, a partir das mudanças no cenário econômico, o crescimento das fontes de interesse para o setor petroquímico. Os ajustes individuais de cada um dos setores obtidas através de modelos ARIMA seguem em conformidade com as Figuras 3.9 a 3.18, onde a linha em vermelho representa cada uma das observações setoriais. As linhas em preto representam os respectivos ajustes do melhor modelo ARIMA e o consumo está representado em Milhões de Toneladas Equivalentes de Petróleo.

0%

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Par

tici

paç

ão

Período

Outros

Bagaço de Cana

Eletricidade

Lenha

Querosene

NAFTA

GLP

Óleo Combustível

Óleo Diesel

Gasolina Automotiva

Álcool

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Figura 3.9 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Álcool.

Figura 3.10 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Gasolina Automotiva.

40

Figura 3.11 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Óleo Diesel.

Figura 3.12 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Óleo Combustível.

41

Figura 3.13 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de GLP.

Figura 3.14 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de NAFTA.

42

Figura 3.15 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Lenha.

Figura 3.16 – Ajude do Melhor Modelo para o Setor de Eletricidade.

43

Figura 3.17 – Ajuste do Melhor Modelo para o Setor de Bagaço de Cana.

Figura 3.18 - Ajuste do Melhor Modelo para os Demais Setores Agregados.

Com base nas Figuras 3.9 a 3.18, é possível visualizar que os principais setores que compõem a Matriz Energética Brasileira possuem grandes flutuações aparentemente de natureza estocástica, e por isso, se escolheu modelos da classe ARIMA para o respectivo ajuste e previsão. Contudo, tais previsões, conforme já discorrido anteriormente, naturalmente carecem de fundamentação econômica, ou

44

seja, como o comportamento da economia brasileira determina a demanda por energia. Portanto, o primeiro passo é a previsão da totalidade do consumo de energia, conforme metodologia apresentada no capítulo anterior, de maneira a combinar a previsão da evolução do PIB versus a elasticidade PIB-Consumo de Energia discorrida neste capítulo, obtendo-se a evolução mostrada na Figura 3.19.

Figura 3.19 – Previsão do Consumo Energético no Brasil.

Na Figura 3.19 é possível observar que, em função da elasticidade PIB positiva e de um cenário de crescimento econômico, o consumo total de energia deve também crescer, como é de se esperar. Por outro lado, também foram obtidas as previsões para cada um dos setores utilizando-se modelos ARIMA, conforme a Figura 3.20.

Figura 3.20 – Previsão do Consumo Energético Brasileiro para os Próximos 5 Anos – Modelos ARIMA.

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

19

70

19

74

19

78

19

82

19

86

19

90

19

94

19

98

20

02

20

06

20

10

20

14

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Período

Consumo total

Consumo totalPrevisto

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

2013

2014

2015

2016

2017

45

Ao somar as previsões dos modelos ARIMA e comparar esta soma com a previsão decorrente do modelo macroeconométrico, se obtém o gráfico da Figura 3.21.

Figura 3.21 - Comparativo Modelo Macroeconométrico versus Soma dos Modelos ARIMA.

Assim, conforme já antecipado anteriormente, é possível verificar um significativo descasamento entre a quantidade de energia prevista pelo modelo Macroeconométrico (Modelo Macroeconômico cruzado com a elasticidade PIB versus Consumo Energético) e o somatório das saídas dos modelos ARIMA. Portanto, o passo seguinte é a aplicação do algoritmo de combinação de previsões, de maneira a obter previsões consistentes para cada um dos setores, com a evolução macroeconômica.

3.3. Aplicação do Algoritmo de Combinação de Previs ões A aplicação do algoritmo de combinação de previsões é imediata, uma vez que, conforme já demonstrado no capítulo anterior, existe uma solução analítica. Logo, os valores a priori que são considerados na combinação de previsão, são os resultados das previsões obtidas através dos Modelos ARIMA e os valores que são considerados para efeito de combinação de previsão, são os valores previstos pelo modelo Macroeconométrico. Assim sendo, seguem as Figuras 3.22 a 3.31, que apresentam os comparativos das previsões resultantes da aplicação do algoritmo de combinação versus seus respectivos valores a priori.

240000

250000

260000

270000

280000

290000

300000

310000

2013 2014 2015 2016 2017

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Período

Total ModeloMacroeconométrico

Total ARIMA

46

Figura 3.22 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Álcool.

Figura 3.23 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Gasolina Automotiva.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

1 2 3 4 5

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Períodos Adiante

Álcool

Álcool ARIMA

46000

48000

50000

52000

54000

56000

58000

60000

62000

64000

1 2 3 4 5

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Períodos Adiante

Gasolina Automotiva

Gasolina AutomotivaARIMA

47

Figura 3.24 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Diesel.

Figura 3.25 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Óleo Combustível.

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

1 2 3 4 5

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Períodos Adiante

Óleo Diesel

Óleo Diesel ARIMA

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1 2 3 4 5

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Períodos Adiante

Óleo Combustível

Óleo Combustível ARIMA

48

Figura 3.26 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de GLP.

Figura 3.27 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de NAFTA.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

1 2 3 4 5

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Períodos Adiante

GLP

GLP ARIMA

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

01 2 3 4 5

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Períodos Adiante

NAFTA

NAFTA ARIMA

49

Figura 3.28 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Lenha.

Figura 3.29 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Eletricidade.

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 2 3 4 5

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Períodos Adiante

Lenha

Lenha ARIMA

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

1 2 3 4 5

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Períodos Adiante

Eletricidade

Eletricidade ARIMA

50

Figura 3.30 – Comparativo de Previsões – Modelos para o Setor de Bagaço de Cana.

Figura 3.31 – Comparativo de Previsões – Modelos para os Demais Setores.

Ao visualizar as Figuras 3.22 a 3.31, é possível perceber que, em média, as previsões obtidas após a aplicação do algoritmo de combinação de previsões tendem a ser mais consistentes do que as demais, uma vez que os Modelos ARIMA em alguns casos específicos geram uma expectativa de consumo negativo, acarretando em perda de sentido físico em relação à variável projetada; nos modelos em que há um decréscimo nas projeções ARIMA, esta informação a priori aparentemente é devidamente utilizada na inferência, resultando em desaceleração/decréscimo nas previsões obtidas a posteriori; e finalmente, a soma das projeções individuais é igual à previsão macroeconométrica feita, gerando consistência em relação à possibilidade de estudo sobre a evolução da matriz energética como um todo.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

1 2 3 4 5

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Períodos Adiante

Bagaço de Cana

Bagaço de Cana ARIMA

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

1 2 3 4 5

Co

nsu

mo

em

Mil

hõ

es d

e T

EP

Períodos Adiante

Outros

Outros ARIMA

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4. Conclusões Neste trabalho foram discutidas as principais motivações para a obtenção de modelos de previsão, tendo em vista melhorias nas tomadas de decisão, as características e tendências naturais presentes no ambiente organizacional e nos aspectos culturais do brasileiro. Não obstante, também foram expostos o Estado da Arte em relação ao conjunto de conhecimentos que englobam os sistemas dinâmicos e técnicas matemáticas utilizadas na confecção de previsões econômicas, de previsões via métodos de séries temporais e de métodos de combinação de diferentes previsões. Em relação aos modelos macroeconômicos, foram introduzidos os conceitos-chave para o entendimento e confecção de modelos do tipo DSGE (Equilíbrio Geral Dinâmico Estocástico), que partem de fundamentos microeconômicos, onde agentes representativos buscam maximizar suas respectivas funções de utilidade, dadas restrições orçamentárias, tecnológicas e físicas. Para tal, foram introduzidos ao longo dos apêndices diversos conceitos e soluções dos programas matemáticos que podem ser facilmente derivados através do ferramental disponível no campo da Engenharia, acessíveis com os conceitos de Teoria de Controle. Apesar desta estratégia ser mais custosa e complexa, em relação aos modelos VAR, não necessita de intervenção alguma para adequação da estimação aos fatos estilizados e tão pouco requer calibragem contínua, uma vez que consiste em uma construção fenomenológica. Já no que tange os métodos de séries temporais, foram apresentados e discutidos métodos de previsão baseados na técnica de regressão linear simples sobre os logaritmos das séries, modelos ARIMA e, posteriormente, apresentada uma técnica de combinação de previsões baseada na minimização dos erros quadráticos médios e na matriz de covariâncias. Em relação a esta última técnica, foi desenvolvida uma fórmula fechada, para que se obtivesse uma previsão onde a distância entre o que fora projetado pelo modelo ARIMA fosse a mínima em relação à projeção final, com a restrição de que a combinação linear das séries individuais (soma delas) fosse igual à previsão da série agregada, dada uma matriz de covariâncias históricas entre as séries. Em sequência, foram expostos os resultados finais obtidos através da aplicação das técnicas discutidas e verificou-se que, em larga medida, os resultados obtidos conferem com a evolução média das utilizações verificadas no cotidiano das plantas industriais, com exceção do Óleo Diesel, que apresentou um crescimento nos últimos anos que destoa da evolução de sua utilização ao longo de todo o período histórico. Tal ocorrência acaba implicando em um impacto direto na matriz de covariâncias, que por sua vez, distorce as previsões para este componente dentro da própria matriz energética. Não obstante, vale ressaltar que, como um método puramente matemático, também verificou-se que este é capaz de gerar números que implicam em um resultado espúrio em termos físicos, como por exemplo previsão de consumo negativo de um determinado produto – verificado nas séries de NAFTA e Óleo Combustível – mas, que no entanto, são passíveis de serem interpretados como exportações, uma vez que quando seu consumo interno seja menor que zero, o país passa a ser exportador da grandeza negativa em Toneladas Equivalentes de Petróleo.

52

Portanto, de maneira integrada, se mostrou que é possível a obtenção de previsões que combinem as tendências setoriais com as macroeconômicas, com a possibilidade de análises de cenários hipotéticos e, que com a devida introdução, são plenamente capazes de ser implementados e utilizados nas tomadas de decisão dos Processos Industriais. Do ponto de vista do presente autor, a maior contribuição deste trabalho, além da demonstração da integração entre diferentes camadas de previsão dinâmicas estocásticas, é a demonstração da capacidade em se contornar problemas como a falta de correlação direta entre as séries de consumo das diferentes fontes de energia e o PIB. Caso houvesse alguma correlação significativa entre os processos e o PIB, seria possível estimar modelos da família ARIMAX, onde a variável exógena seria o próprio PIB e, por conseguinte, necessitaria somente do modelo macroeconômico para a geração dos próprios cenários futuros econômicos e deste segundo modelo hipotético. Foi justamente a inexistência desta correlação significativa, conforme pode ser constatado através de observação direta das séries versus PIB, que motivou a construção da segunda parte deste trabalho, que parece ser uma significativa contribuição ao conhecimento para este tipo de modelagem. Este tipo de problema não está restrito ao setor de energia, mas em diversos outros onde a evolução sub-setorial ou regional parece evoluir de acordo com algum processo estocástico local, mas quando agregado, guarda significativa correlação com a evolução do cenário macroeconômico. Assim, é importante ressaltar que tal metodologia é expansível para outros setores da economia brasileira, estando sujeita somente à disponibilidade pública dos dados. 4.1 Perspectivas de Trabalhos Futuros Tendo em vista o aumento gradativo de observações disponíveis com o passar do tempo, uma das perspectivas de trabalhos futuros, em relação à porção macroeconômica do modelo proposto, seria uma nova estimação dos parâmetros estruturais com o número máximo de variáveis possíveis e comparar esta eventual nova estimativa com a estimativa feita no presente trabalho. Já em relação à porção setorial do modelo, como proposta futura de trabalho, é a investigação de métodos analíticos (se possíveis) ou numéricos que busquem impor a restrição de não-negatividade sobre os resultados obtidos ao se utilizar o método de combinação de previsões. Não obstante, em relação ao modelo integrado como um todo, também se torna interessante o acompanhamento do desempenho das previsões feitas em relação às observações, de maneira a fazer uma validação cruzada, possibilitando a realização de melhorias marginais no método aqui proposto.

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56

Apêndice A – Otimização Dinâmica sem Programação Di nâmica A solução de um programa de otimização dinâmica pode ser feita através da aplicação da técnica dos Multiplicadores de Lagrange, seguindo Chow (1991), sendo que sua principal justificativa é sua facilidade analítica de solução. Assim sendo, seja um problema dado por:

QR9ÑÒ�Ó�ÔÕÖ � �� ×�C� , Ø�#È�' (

sujeito a: C�?� = Ù�C� , Ø�# + �?� onde sK?� denota um vetor de variáveis de estado, uK um vetor de variáveis de controle, e r e f funções contínuas, onde r é côncava. Chow (1991) demonstra que ao introduzir um vetor λK�t = T, T − 1, … ,0# de Multiplicadores de Lagrange em uma função Lagrangeana da forma:

ℒ = � �� ×�C�, Ø�# − ��?�Î�?��C�?� − Ù�C�, Ø�# − �?�#È�' (

e, calculando suas respectivas condições de primeira ordem: MℒMØ� = �� M×MØ� + ��?�� >Î�?� MÙMØ�A = 0 MℒMC� = �� M×MC� + ��?�� >Î�?� MÙMC�A − ��Î� = 0 MℒMÎ� = −��?��uC�?� − Ù�C�, Ø�#v = 0

Da primeira condição, dividindo por ��, decorre: M×MØ� + � ∙ �� >Î�?� MÙMØ�A = 0

Dividindo a outra equação por ��, segue que: M×MC� + � ∙ �� >Î�?� MÙMC�A = Î� Portanto: M×MØ� + � ∙ �� >Î�?� MÙMØ�A = 0

Î� = M×MC� + � ∙ �� >Î�?� MÙMC�A E, por conseguinte, o problema se resume à escolha da sequência Ø, Ø�, … , ØÈ , dada uma sequência de informações C�, de maneira análoga, porém não idêntica, ao que é feito na estratégia de programação dinâmica.

57

Também vale ressaltar que a primeira das condições de primeira ordem é equivalente à condição de primeira ordem referente ao controle, dada a Equação de Bellman do problema, conforme Chow (1991). Não obstante, é possível demonstrar a equivalência do resultado ótimo dos dois métodos, também conforme Chow (1991). A fim de provar tal afirmação de maneira prática, será brevemente discutido o método de programação dinâmica de Bellman e apresentada a solução de um problema de maximização do bem-estar de um agente obtida com este método, cabendo ao leitor comparar com a outra solução obtida com o método dos Multiplicadores de Lagrange, conforme Apêndice B. Os problemas de otimização dinâmica podem ser resolvidos tradicionalmente pela abordagem variacional (Hamiltoniana) e pela abordagem de Bellman. Em geral, um problema de otimização dinâmica baseia-se na otimização de uma função Valor (objetivo da otimização intertemporal) denominada V, sujeita a uma equação de evolução dos estados do sistema. 1. Princípio da Otimalidade de Bellman O Príncipio da Otimalidade de Bellman se resume em dividir um complexo problema de otimização em subproblemas menores, onde, ao otimizar tais subproblemas, encontra-se a solução ótima do problema maior. Assim, por exemplo, é possível um problema simples de maximização de alguma função intertemporal dada por:

QR9á�,�� H# = � �� ∙ Ù�â� , %� , a�#∞

�'

sujeito a: a�?� = »�â� , %� , a�# onde as variáveis de controle são â� e %�, e a variável de estado a�. Tal função pode ser primeiramente reescrita como:

QR9á�,�� H# = �Ù�â, %, a# + � ∙ ã� ��∞

�'� ∙ Ù�â� , %� , a�#ä( sujeito a: a�?� = »�â� , %� , a�# Apesar de que, à primeira vista, o problema pode parecer mais complicado, basta notar que:

å� ��∞

�'� ∙ Ù�â� , %� , a�#æ = ��H + 1# E portanto, o problema pode ser reescrito recursivamente como:

58

QR9á�,�� H# = uÙ�â� , %� , a�# + � ∙ ��H + 1#v sujeito a: a�?� = »�â� , %� , a�# que é a Equação de Bellman e que pode ser maximizada através dos tradicionais métodos de maximização de funções, como por exemplo a análise direta das suas condições de primeira ordem. 2. Prova do Teorema do Envelope Seja uma função Valor denominada ��9, k, Î# = Ù�9, k, Î#, onde x e y são variáveis de controle (escolha) e λ um parâmetro auxiliar. É sabido, dos problemas clássicos de maximização, que o máximo de Ù�9, k, Î# é

obtido quando èé�®,y,ê#è® = èé�®,y,ê#èy = 0, para cada parâmetro Î.

Assim, o resultado da maximização, resolvendo as condições de primeira ordem, gera uma solução da forma: 9∗ = 9�Î#; k∗ = k�Î# Por outro lado, calculando-se o resultado da derivada total da função Valor sobre λ, se obtém: M�MÎ = MÙ�9, k, Î#M9 ∙ M9MÎ + MÙ�9, k, Î#Mk ∙ MkMÎ + MÙ�9, k, Î#MÎ

Aplicando-se as condições de primeira ordem, segue que: M�MÎ = MÙ�9, k, Î#M9 ∙ M9MÎ + MÙ�9, k, Î#Mk ∙ MkMÎ + MÙ�9, k, Î#MÎ

Logo, no ponto ótimo �9∗; k∗#, segue que: M�MÎ = MÙMÎ

3. Problema de Maximização Exemplo – Princípio de O timalidade

de Bellman Seja a decisão das famílias entre trabalho e consumo dada por:

QR9��,�� ln�"�# − � ∙ %�#&�' (

sujeito a: )*�?� − �1 − ,# ∙ *� = -�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 − "�ln�-�?�# = 2 ∙ ln�-�# + �~N�0, 5 #

59

A solução de tal problema de maximização pode ser feita através da aplicação de técnicas de programação dinâmica (Equação de Bellman), onde as variáveis de estado são dadas por *� (endógena) e -� (exógena, estocástica) e, as variáveis de controle por "� (endógena) e %� (endógena). Logo, o primeiro passo é a obtenção da Equação de Bellman, como se segue: ��*�?�, -�?�# = QR9��,�� ln�"�# − � ∙ %� + � ∙ �u��*�? , -�? #v# sujeito a: )*�?� − �1 − ,# ∙ *� = -�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 − "�ln�-�?�# = 2 ∙ ln�-�# + �~N�0, 5 #

O primeiro passo interessante é mudar um dos controles do problema acima para a variável *�?�, tal que: ��*�?�, -�?�# = QR9��,��ln�-�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 + �1 − ,# ∙ *� − *�?�# − � ∙ %� + �∙ �u��*�? , -�? #v# sujeito a: )−*�?� + �1 − ,# ∙ *� + -�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 = "�ln�-�?�# = 2 ∙ ln�-�# + �~N�0, 5 #

Calculando-se a condição de primeira ordem relativa à *�?�, segue que: M��*�?�, -�?�#M*�?� = − 1−*�?� + �1 − ,# ∙ *� + -�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 ∙ +� ∙ � ìM��*�? , -�? #M*�?� í= 0 Por outro lado, em economia, existe um famoso teorema chamado Teorema do Envelope que garante que a derivada da função de valor ��*�?�, -�?�# em relação à variável de estado *� é igual à derivada da função de utilidade que possui a variável de controle, neste caso "�, no ponto ótimo. Portanto: M��*�?�, -�?�#M*� = Muln�"�#vM"� ∙ Mu-�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 + �1 − ,# ∙ *� − *�?�vM*�= 1"� ∙ u@ ∙ -�?� ∙ . ∙ *�0�� ∙ %��0 + �1 − ,#v Iterando um período de tempo: M��*�? , -�? #M*�?� = 1"�?� ∙ u@ ∙ -�? ∙ . ∙ *�?�0�� ∙ %�?��0 + �1 − ,#v

60

Logo: � ∙ � � 1"�?� ∙ u@ ∙ -�? ∙ . ∙ *�?�0�� ∙ %�?��0 + �1 − ,#v( == 1−*�?� + �1 − ,# ∙ *� + -�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 = 1"�∴ � ∙ � � 1"�?� ∙ u@ ∙ -�? ∙ . ∙ *�?�0�� ∙ %�?��0 + �1 − ,#v( = 1"�

que é a conhecida Equação de Euler. Agora resta repetir o processo para a outra variável de controle, %�. Assim, se torna interessante a substituição do controle %� por *�?�, a fim de se utilizar o Teorema do Envelope. Ao repetir se obtém:

��*�?�, -�?�# = QR9��,�� åln�"�# − � ∙ l*�?� − �1 − ,# ∙ *� + "�-�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ r ��0 + �∙ �u��*�? , -�? #væ

sujeito a:

îl*�?� − �1 − ,# ∙ *� + "�-�?� ∙ . ∙ *�0 r ��0 = %�ln�-�?�# = 2 ∙ ln�-�# + �~N�0, 5 #

A condição de primeira ordem referente a %� é dada por: M��*�?�, -�?�#M*�?� = −� ∙ 1-�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ 1�1 − @# ∙ l*�?� − �1 − ,# ∙ *� + "�-�?� ∙ . ∙ *�0 r 0��0# + �

∙ � ìM��*�? , -�? #M*�?� í Reescrevendo a primeira porção do lado direito da equação, em termos de %�: = −� ∙ %�0-�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ 1�1 − @# + � ∙ � ìM��*�? , -�? #M*�?� í

= −� ∙ %�� ∙ 1�1 − @# + � ∙ � ìM��*�? , -�? #M*�?� í = 0

Denotando: -�?� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 = �� Assim: � ∙ %�� ∙ 1�1 − @# = � ∙ � ìM��*�? , -�? #M*�?� í

61

Por outro lado, do resultado obtido já no começo desta demonstração: � ∙ � ìM��*�? , -�? #M*�?� í = 1"� Portanto: � ∙ %�� ∙ 1�1 − @# = 1"� ∴ � = ��%� ∙ �1 − @# ∙ 1"�

62

Apêndice B – Solução do Modelo de Ciclo de Negócios Reais Básico

• Famílias

QR9��,��,�� ln�"�# − � ∙ %�#&�' (

sujeito a: )*�?� − �1 − ,# ∙ *� = -� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 − "�ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + �~N�0, 5 #

Solução: Nas famílias, os agentes escolhem quanto de capital devem acumular, quanto devem trabalhar e quanto devem consumir, que são as variáveis de controle. Assim, para resolver o programa acima, deve-se formar o Lagrangeano, de acordo com o método proposto no Apêndice A:

ℒ = � �u��Ñln�"�# − � ∙ %�Ó − ��?�Î�?�Ñ*�?� − �1 − ,# ∙ *� − -� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 + "�Óv&�'

Calculando-se as condições de primeira ordem, segue que:

• Capital: MℒM*�?� = �� −��?�Î�?� + ��? Î�? ã-�?� ∙ . ∙ *�?�0 ∙ %�?��0*�?� + �1 − ,#ä( = 0

Portanto, dividindo-se tudo por ��?�: �� Î�? ã-�?� ∙ . ∙ *�?�0 ∙ %�?��0*�?� + �1 − ,#ä( = ��uÎ�?�v

• Trabalho: MℒM%� = −�� − �� ì��?�Î�?� -� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0%� í = 0

Logo, dividindo-se tudo por ��?�: � = −�� ìÎ�?� -� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0%� í

63

• Consumo:

MℒM"� = ��"� − ��u��?�Î�?�v Logo, dividindo-se tudo por ��?�: 1"� = ��uÎ�?�v Portanto, se obtêm as seguintes equações dinâmicas: *�?� − �1 − ,# ∙ *� = -� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0 − "� ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + �~N�0, 5 # � = 1"�

-� ∙ . ∙ *�0 ∙ %��0%�

�� 1"�?� ã-�?� ∙ . ∙ *�?�0 ∙ %�?��0*�?� + �1 − ,#ä( = 1"�

64

Apêndice C – Solução do Modelo Estendido de Ciclo d e Negócios Reais com Famílias, Empresas e Autoridade Monetária

• Famílias

QR9��,��,��,S��,T�� UVWln�"�# + X ln�1 − %�# + Y :Z�?�[� ;��\ − 11 − . ]

_&�'

sujeito a: "� + *�?� − �1 − ,#*� + ��?� − ��[� + Z�?� − Z�[� = `�%� + D�a� + b� ��[�

Formando o Lagrangeano, de acordo com o método proposto no Apêndice A, segue que:

ℒ = � � ¾¿¿À��

UVWln�"�# + X ln�1 − %�# + Y :Z�?�[� ;��\ − 11 − . ]

_&�' − ��?�Î�?� G"� + *�?� − �1 − ,#*� + ��?� − ��[� + Z�?� − Z�[� − `�%�

− D�a� − b� ��[�ïÃÄÄÅ

Calculando-se as Condições de Primeira Ordem, segue que: MℒM*�?� = ��u−��?�Î�?�v + ��Ë��? Î�? ~D�?� + �1 − ,#�Ì = 0

Dividindo-se por ��?�, segue que: ��uÎ�?�v = ��Ë�Î�? ~D�?� + �1 − ,#�Ì Já em relação aos títulos: MℒM��?� = �� ì− ��?�Î�?�[� í + �� ì��? Î�? [�?� �1 + b�?�#í Dividindo-se por��?�, segue que: ��uÎ�?�v = �� >[� �Î�? [�?� �1 + b�?�#A A condição de primeira ordem para o consumo será dada por: MℒM"� = ��"� − ��?��Î�?�# = 0 → 1"� = ��Î�?�#

65

Para as horas trabalhadas: MℒM%� = �� X1 − %� + ��?�Î�?�`�# → X1 − %� = ��Î�?�#`� E finalmente, para o dinheiro, segue que: MℒMZ�?� = ��Y :Z�?�[� ;�\

[� − �� l��?�Î�?�[� r + �� l��? Î�? [�?� r = 0

Dividindo-se por ��, segue que: Y :Z�?�[� ;�\

[� = �� Î�?�[� � − �� l� Î�? [�?� r

Combinando-se as condições de primeira ordem do trabalho e do consumo: 1"� = ��Î�?�# X1 − %� = ��Î�?�#`� Resultando em: X1 − %� = `�"�

Combinando-se as condições de primeira ordem do consumo e do capital: 1"� = ��Î�?�# ��uÎ�?�v = ��Ë�Î�? ~D�?� + �1 − ,#�Ì Resultando em: 1"� = �� > 1"�?� ~D�?� + �1 − ,#�A Combinando-se as condições de primeira ordem do consumo e dos títulos: 1"� = ��Î�?�# ��uÎ�?�v = �� >[� �Î�? [�?� �1 + b�?�#A Resultando em: 1"� = �� >[� 1"�?�[�?� �1 + b�?�#A

66

Combinando-se as condições de primeira ordem do dinheiro, dos títulos e do consumo: Y �Z�?�[� ��\ = ��Î�?�# − �� l� Î�? [�[�?� r

��uÎ�?�v = �� >[� �Î�? [�?� �1 + b�?�#A Resultando em: Y �Z�?�[� ��\ = �� ã[� �Î�? [�?� �1 + b�?�#ä − � Î�? [�[�?� ( Portanto: Y �Z�?�[� ��\ = �� ì[� � Î�? [�?� b�?�í Substituindo-se ��uÎ�? v: �� > Î�?��1 + b�?�#[� [�?�A = ��uÎ�? v Resultando em: Y �Z�?�[� ��\ = �� > �Î�?��1 + b�?�# b�?�A → Y �Z�?�[� ��\ = 1"� � b�?�1 + b�?��

• Firmas:

QR9��,�� d� = �� − `�%� − D�a� sujeito a: YK = ZKτKKòNK��ò# ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + �~N�0, 5 # Este problema de maximização pode ser resolvido através de otimização estática, tal que: MNM*� = @��*� − D� = 0 → D� = @��*�

MNM%� = �1 − @# ��%� − `� = 0 → �1 − @# ��%� = `�

67

• Autoridade Monetária

ln�Q�?�# − ln�Q�# = �1 − 2f#N∗ + 2fN�� + 2f�ln�Q�# − ln�Q��## − hf,� hf,� ~N�0, 5f# com: Q� = Z�?�[�

Conjunto final de equações dinâmicas: ln�Q�?�# − ln�Q�# = �1 − 2f#N∗ + 2fN�� + 2f�ln�Q�# − ln�Q��## − hf,� ~N�0, 5f# �1 − @# ��%� = `� D� = @��*�

ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + �~N�0, 5 # �� = -�e*�0%��0# N� = �� − `�%� − D�a� Y �Z�?�[� ��\ = 1"� � b�?�1 + b�?��

X1 − %� = `�"�

1"� = �� > 1"�?� ~D�?� + �1 − ,#�A 1"� = �� >[� 1"�?�[�?� �1 + b�?�#A "� + *�?� − �1 − ,#*� + ��?� − ��[� + Z�?� − Z�[� = `�%� + D�a� + b� ��[�

68

Apêndice D – Solução do Modelo Estendido de Ciclo d e Negócios Reais com Famílias, Indústria de Bens Intermediário s, Firmas Finais e Autoridade Monetária

• Famílias

max��,��,w��,S��,T�� UVWln�"�# + X ln�1 − %�# + ψ :Z�?�[� ;��\ − 11 − . ]

_&�'

sujeito a: "� + x�?� + ��?� − ��[� + Z�?� − Z�[� = `�%� + D�x� + b� ��[�

Formando o Lagrangeano, de acordo com o método proposto no Apêndice A, segue que:

ℒ = � � ¾¿¿À��

UVWln�"�# + X ln�1 − %�# + ψ :Z�?�[� ;��\ − 11 − . ]

_&�'

− ��?�Î�?� G"� + *�?� + ��?� − ��[� + Z�?� − Z�[� − `�%� − D�x� − b� ��[�ïÃÄÄÅ

Calculando-se as Condições de Primeira Ordem, segue que: MℒMx�?� = ��u−��?�Î�?�v + ��u��? Î�? �D�?�#v = 0

Dividindo-se por��?�, segue que: ��uÎ�?�v = ��u�Î�? �D�?�#v Já em relação aos títulos: MℒM��?� = �� ì− ��?�Î�?�[� í + �� ì��? Î�? [�?� �1 + b�?�#í Dividindo-se por��?�, segue que: ��uÎ�?�v = �� >[� �Î�? [�?� �1 + b�?�#A A condição de primeira ordem para o consumo será dada por: MℒM"� = ��"� − ��?��Î�?�# = 0 → 1"� = ��Î�?�#

69

Para as horas trabalhadas: MℒM%� = �� X1 − %� + ��?�Î�?�`�# → X1 − %� = ��Î�?�#`� E finalmente, para o dinheiro, segue que: MℒMZ�?� = ��ψ :Z�?�[� ;�\

[� − �� l��?�Î�?�[� r + �� l��? Î�? [�?� r = 0

Dividindo-se por��, segue que: ψ :Z�?�[� ;�\

[� = �� Î�?�[� � − �� l� Î�? [�?� r

A partir destas condições de primeira ordem, segue que:

• Combinando-se as condições de primeira ordem do trabalho e do consumo: 1"� = ��Î�?�# X1 − %� = ��Î�?�#`�

Resultando em: X1 − %� = `�"�

• Combinando-se as condições de primeira ordem do consumo e do capital:

1"� = ��Î�?�# ��uÎ�?�v = ��u�Î�? �D�?�#v

Resultando em: 1"� = �� > 1"�?� �D�?�#A

• Combinando-se as condições de primeira ordem do consumo e dos títulos: 1"� = ��Î�?�# ��uÎ�?�v = �� >[� �Î�? [�?� �1 + b�?�#A

70

Resultando em: 1"� = �� >[� 1"�?�[�?� �1 + b�?�#A

• Combinando-se as condições de primeira ordem do dinheiro, dos títulos e do consumo:

ψ �Z�?�[� ��\ = ��Î�?�# − �� l� Î�? [�[�?� r

��uÎ�?�v = �� >[� �Î�? [�?� �1 + b�?�#A Resultando em: ψ �Z�?�[� ��\ = �� ã[� �Î�? [�?� �1 + b�?�#ä − � Î�? [�[�?� ( Portanto: ψ �Z�?�[� ��\ = �� ì[� � Î�? [�?� b�?�í Substituindo-se ��uÎ�? v: �� > Î�?��1 + b�?�#[� [�?�A = ��uÎ�? v Resultando em: ψ �Z�?�[� ��\ = �� > �Î�?��1 + b�?�# b�?�A → ψ �Z�?�[� ��\ = 1"� � b�?�1 + b�?��

• Firmas Finais:

maxyz,� |� = [� lm kn,�o��o pq� r oo�� − m [n,� ∙ kn,� ∙ pq�

Condição de primeira ordem: M|�Mkn,� = 0 → [� ∙ : ss − 1; ∙ ls − 1s ∙ kn,�o��o ��r ∙ lm kn,�o��o pq�

r oo�� = [n,� Eliminando-se alguns termos, seque que:

[� lkn,��o r ∙ lm kn,�o��o pq� r �o�� = [n,�

Invertendo-se a equação, segue que:

lkn,��o r = [n,�[� ∙ lm kn,�o��o pq� r ��o��

71

Elevando-se toda a equação por −s, segue que:

kn,� = �[n,�[� ��o ∙ lm kn,�o��o pq� r oo��

Como a condição agregadora é dada por:

lm kn,�o��o pq� r oo�� = k�

Logo: kn,� = �[n,�[� ��o ∙ k�

• Firmas Intermediárias:

max�z,�,�z,�,�z,�,�z,�,�z,� �n,� = � � ω��[n,�kn,� − `�%n,� − D�xn,��&�'

sujeito a: kn,� = -�e~�n,�*n,��0%n,��0# *n,�?� = �� + :1 − ,�n,�� ; *n,� xn,� = �n,� + *n,� kn,� = �[n,�[� ��o ∙ k� x� = m xn,� ∙ pq�

%� = m %n,� ∙ pq�

ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + � ~N�0, 5 # Formando o Lagrangeano, de acordo com o método proposto no Apêndice A, segue que:

ℒ = � � >ω��[n,�kn,� − `�%n,� − D�~*n,� + �n,��&�' − ��?�Î�?� õ*n,�?� − �n,� − :1 − ,�n,�� ; *n,�ö− ��?�÷�?� Gkn,� − �[n,�[� ��o ∙ k�ï

− ��?�Ω�?� õkn,� − -�e~�n,�*n,��0%n,��0#öA

72

Calculando-se as Condições de Primeira Ordem, segue que: MℒM%n,� = 0 → �� ω�Ñ−E�Ó + ��?�Ω�?� ø�1 − @# -�e~�n,�*n,��0%n,��0#%n,� ù( = 0 → E�

= � ø�1 − @# -�e~�n,�*n,��0%n,��0#%n,� ù ��uΩ�?�v MℒM�n,� = 0 → −�� Ï��?�Î�?� õ´ ∙ ,�n,��*�öÐ + �� ?�Ω�?� ø@ -�e~�n,�*n,��0%n,��0#�n,� ù(= 0

∴ õ´ ∙ ,�n,��*�ö ��ËÎn,�?�Ì = ��ËΩn,�?�Ì ø@ -�e~�n,�*n,��0%n,��0#�n,� ù Substituindo-se a condição anterior:

õ´ ∙ ,�n,��*�ö ��ËÎn,�?�Ì = E�� ø�1 − @# -�e~�n,�*n,��0%n,��0#%n,� ù ø@ -�e~�n,�*n,��0%n,��0#�n,� ù

∴ õ´ ∙ ,�n,��*�ö ��ËÎn,�?�Ì = @��1 − @# E�%n,� ��ËÎn,�?�Ì = @��1 − @# E�%n,�õ´ ∙ ,�n,��*n,�ö

MℒM�n,� = 0 → −��u��D�v + ��Ë��?�În,�?�Ì = 0 → ��D� = ��Ë��?�În,�?�Ì → D�= ��ËÎn,�?�Ì Portanto: D� = @�1 − @# E�%n,�õ´ ∙ ,�n,��*n,�ö Já para as outras condições de primeira ordem: MℒM[n,� = 0 → ��Ë��kn,�Ì + �� ì�−s#��?�ϵn,�?� �[n,�[� ��o ∙ k�[n,�í

→ ��Ë��kn,�Ì = �� ì��?�ϵn,�?� s[n,� �[n,�[� ��o�� ∙ k�í Logo: kn,� = � )s �[n,�[� ��o ∙ k�[n,�û ��Ëϵn,�?�Ì Substituindo-se a condição de primeira ordem extraída no problema das firmas finais, segue que: �[n,�[� ��o ∙ k� = � )s �[n,�[� ��o ∙ k�[n,�û ��Ëϵn,�?�Ì

73

E, portanto: [n,�s = ��Ëϵn,�?�Ì MℒMkn,� = 0 → ��Ë��[n,�Ì − ��Ë��?�÷n,�?�Ì − ��Ë��?�Ωn,�?�Ì = 0 → ��[n,�= ��Ë��?�÷n,�?�Ì + ��Ë��?�Ωn,�?�Ì → [n,� = ��Ë÷n,�?�Ì + ��ËΩn,�?�Ì Por conseguinte: s − 1s [n,� = E�

ø�1 − @# -�e~�n,�*n,��0%n,��0#%n,� ù • Autoridade Monetária

ln�Q�?�# − ln�Q�# = �1 − 2f#N∗ + 2fN�� + 2f�ln�Q�# − ln�Q��## − hf,� hf,� ~N�0, 5f# Com: Q� = Z�?�[�

Conjunto final de equações dinâmicas: ln�Q�?�# − ln�Q�#= �1 − 2f#N∗ + 2fN�� + 2f�ln�Q�# − ln�Q��##− hf,�~N�0, 5f#

D� = @�1 − @# E�%n,�õ´ ∙ ,�n,��*n,�ö ln�-�# = 2 ∙ ln�-��# + �~N�0, 5 # ln�}�# = ~1 − 2��}∗ + 2� ln�}��# + h�,� ~N~0, 5�� = -�e��*�#0%��0# |n,� = �n,� − `�%n,� − D�xn,� kn,� = �[n,�[� ��o ∙ k� ψ �Z�?�[� ��\ = 1"� � b�?�1 + b�?��

X1 − %� = `�"�

1"� = �� > 1"�?� �D�?�#A 1"� = �� >[� 1"�?�[�?� �1 + b�?�#A

74

"� + x�?� + ��?� − ��[� + Z�?� − Z�[� = `�%� + D�x� + b� ��[�

x� = *� + �� *n,�?� = �� + :1 − ,�n,�� ; *� Q� = Z�?�[�

s − 1s [n,� = E�ø�1 − @# -�e~�n,�*n,��0%n,��0#%n,� ù

lm kn,�o��o pq� r oo�� = k�

kn,� = �[n,�[� ��o ∙ k� x� = m xn,� ∙ pq�

%� = m %n,� ∙ pq�

,n,� = ,�n,��

75

Apêndice E – Processo de Log-Linearização A Log-Linearização se baseia na expansão em um Polinômio de Taylor em relação a um estado estacionário (de equilíbrio) – que pode ser facilmente obtido eliminando os subscritos da equação, de maneira a obter a igualdade 9�?� = 9�. Assim sendo, conforme Zietz (2006) e Uhlig (1999), o log-desvio de uma variável em relação ao seu estado estacionário é dado por: 9�ü = ln 9� − ln 9 A partir das propriedades da operação logarítmica, o lado direito da equação pode ser reescrito como: ln 9� − ln 9 = ln :9�9 ; = ln :1 + 9� − 99 ;

Aproximando-se esta expressão por um Polinômio de Taylor de primeira ordem: ln :1 + 9� − 99 ; ≅ ln�1# + 19 �9� − 9# = 9� − 99

Portanto: 9�ü ≈ 9� − 99 = 9�9 − 1 → 9� ≈ 9�1 + 9�ü # Assim, para efeito de exemplificação, ao aplicar o processo descrito acima em uma das equações dinâmicas obtidas anteriormente, segue que é necessário calcular o mencionado estado estacionário (ou seja, todas as variáveis são constantes), e fazer a log-linearização em seu entorno. No caso do sistema exposto, basta apenas eliminar os subscritos temporais para obter o estado estacionário. Conforme Ellison (2011), o estado estacionário do sistema DSGE básico é dado por (simplesmente eliminando os subscritos das relações): â + aI = a0IIII ∙ þ��0IIIIII + �1 − ,#aI 1 = �Ë@a0IIII ∙ þ��0IIIIII + 1 − ,Ì � = 1â �1 − @#a0IIII ∙ þ��0IIIIII

E destas relações, conclui-se que:

laIþIr = l1 − �1 − ,#�@� r �0��

â = 1 − @� laIþIr0

aI = â ãlaIþIr0�� − ,ä��

76

þI = aI laIþr��

kI = a0IIII ∙ þ��0IIIIII E assim, a partir da equação: 1"� = � ∙ � > 1"�?� :�1 − ,# + @ ∙ -� ∙ . ∙ *��0�� ∙ %��0;A Aplica-se o operador logaritmo em todos os componentes, tal que: − ln�"�# = ln��# + � Ï− ln�"�?�# + ln :�1 − ,# + @ ∙ -� ∙ . ∙ *�?�0�� ∙ %�?��0;Ð

Fazendo-se uma expansão de Taylor de primeira ordem no termo � = ln :�1 − ,# +@ ∙ -� ∙ . ∙ *�?�0�� ∙ %�?��0;, em torno do ponto estacionário, segue que:

ln :�1 − ,# + @ ∙ -� ∙ . ∙ *�?�0�� ∙ %�?��0;≈ ln :�1 − ,# + @ ∙ . ∙ a0��IIIIIII ∙ þ��0IIIIII; + M�M-� �-� − <# + M�M*� ~*� − aI�+ M�M%� �%� − þI#

Sabendo que o estado estacionário do choque de produtividade (tecnologia) é igual a 1, tendo em vista que seu logaritmo tem média zero, e aplicando as condições estacionárias encontradas anteriormente, segue que: − ln�"�# = ln��#+ �Ë− ln�"�?�# + �1 − �1 − ,#�#<�?�� + �@ − 1#�1 − �1 − ,#�#a�?��+ �1 − @#�1 − �1 − ,#�#þ�?��Ì E que, se definido que ln�"�# − ln�â# = â�ü , é obtido: −â�ü = ln��# + �Ë−â�?�� + �1 − �1 − ,#�#<�?�� + �@ − 1#�1 − �1 − ,#�#a�?��+ �1 − @#�1 − �1 − ,#�#þ�?��Ì Repetindo-se o processo para as demais equações, segue que: <�?�� = 2<�ü + ÷� â�ü = <�ü + @a�� − @þ�� ââ� + aIa�?�� = ~@kI + �1 − ,#aI�a�� + �1 − @#kIþ�� + kI<�ü E, para eventual equação de observação, relacionando horas trabalhadas e capital com o produto, segue que: k�ü = @aI a�� + �1 − @#þI þ�� + <�ü

77

Apêndice F – Estabelecimento dos Parâmetros Fixos Neste trabalho se sugere a utilização do filtro de Hodrick-Prescott (1997), que é uma ferramenta matemática que possibilita separar a componente cíclica de uma série temporal, sendo interessante para o isolamento de políticas fiscais cíclicas e anti-cíclicas feitas pelo governo para estabilizar a economia e alcançar o crescimento. De acordo com estes autores, seja uma série composta por: k� = e� + â� onde k� é a série em seu estado bruto, e� sua componente de tendência e â� sua componente cíclica, a tendência é obtida a partir da solução da seguinte expressão:

Qbþ� ã��k� − e�# + Î ∙ �u�e�?� − e�# − �e� − e��#v È��'

È�'� ä

Nesta expressão, o primeiro termo é a soma do quadrado dos desvios entre a série e sua componente de tendência e o segundo termo é um múltiplo da soma dos quadrados entre a segunda diferença da componente de tendência. Logo, o primeiro termo penaliza a componente cíclica, enquanto que o segundo termo penaliza a taxa de crescimento da componente de tendência. Assim, por exemplo, se Î, no limite, é igual a infinito, o problema de minimização se traduz em um problema de mínimos quadrados, onde a diferença sobre a taxa de crescimento se mantém constante, e logo, se inferirá uma tendência determinística. Neste mesmo trabalho, Hodrick & Prescott (1997) sugerem que o valor de Î seja de 1600 para séries trimestrais, valor este que deve ser adotado na filtragem das séries livres dos ciclos. Portanto, a proporção média de gastos do governo sobre o PIB é dada por: � = ∑ e��ºs#�È�'�∑ e��#�È�'�

onde e��ºs#� é a componente de tendência dos gastos do governo e e��#� é a componente de tendência da série do PIB, ambos na mesma base monetária calculada utilizando o filtro de Hodrick-Prescott. Já para o cálculo da taxa de depreciação, esta deve ser calculada como função da diferença entre o investimento bruto em capital e a variação do estoque líquido de capital, ponderado pelo próprio estoque líquido de capital, como na expressão que se segue, em conformidade com Morandi & Reis (2004). �� − °�É*�� = |� �� = ��"�� + °�� denota o investimento bruto, ��"�� denota a formação de capital bruta, °�� denota a variação nos estoques de capitais físicos, °�É*�� é a variação do estoque líquido de capital físico e, finalmente, |� denota a depreciação em reais do capital no período.

78

Para calcular a taxa, basta ponderar a depreciação em reais pelo estoque líquido de capital físico. Logo: ,� = |��É�*� Posteriormente, basta calcular o valor médio destas taxas de depreciação, para se obter uma taxa de depreciação média anual. Esta taxa deve ser trimestralizada através da seguinte expressão: ,�� = ~1 + ,��Ò��Â − 1 Para os demais parâmetros, serão utilizados dados empíricos extraídos de outros trabalhos semelhantes, no caso, Areosa & Coelho (2013), que fixa a utilidade intertemporal em 1,3, e, para os parâmetros de curvatura dos agregadores de Kimball foram fixados em 10, como mostrado em Boynard & Divino (2010). Finalmente, para o mark-up de salário foi utilizado o parâmetro de 1,5, também de acordo com Boynard & Divino (2010). Com base na série de Investimento Bruto em Valores nominais, que foi convertida em valores reais através do processo de deflacionamento pelo IPCA e na série de Estoque Líquido de Capital Físico, foi calculada a depreciação período a período, que pode ser conferido na Tabela F.1. 1. Cálculo da Depreciação Tabela F.1 - Cálculo da Depreciação.

Ano Investimento Bruto

Estoque Líquido de Capital Físico Depreciação

Depreciação (%)

1991 106596,34 2400121,273 1992 113286,22 2426731,204 86676,29178 0,035717302 1993 115781,56 2460092,204 82420,56064 0,033503037 1994 151724,44 2513302,857 98513,78255 0,03919694 1995 173819,4 2576066,357 111055,9022 0,043110653 1996 180338,44 2637598,016 118806,7857 0,045043553 1997 194355,58 2714774,932 117178,6638 0,043163307 1998 230408,12 2786838,065 158344,9851 0,056818868 1999 225585,16 2838414,663 174008,5672 0,061304844 2000 185084,76 2896106,147 127393,2753 0,043987778 2001 243679,33 2957859,517 181925,9615 0,061505951 2002 232090,45 3008079,209 181870,7548 0,06046076 2003 250105,18 3050436,145 207748,2399 0,068104438 2004 325838,24 3107957,44 268316,9403 0,086332244 2005 318380,81 3167423,057 258915,1901 0,081743166 2006 403330,26 3239764,988 330988,3286 0,102164302 2007 400628,2 3339570,772 300822,4141 0,090078167 2008 353735,52 3468769,281 224537,0113 0,064731031

79

A partir da Tabela F.1, foram calculados os valores relativos da depreciação (depreciação do período dividida pelo Estoque Líquido de Capital Físico), de maneira a obter uma depreciação percentual anual. Este valor foi convertido para valores trimestrais, que resultou em uma depreciação média trimestral de 1,5%, indo de encontro aos valores utilizados por Castro et. al (2011), que é também de 1,5%. 2. Gastos do Governo Já em relação à obtenção dos dados relativos aos gastos do governo, foi aplicado, conforme metodologia já exposta anteriormente, o filtro de Hodrick-Prescott sobre as séries de consumo do Governo e do PIB, a fim de eliminar as flutuações decorrentes dos ciclos econômicos, e assim, a partir das séries filtradas, se calcula a média da razão entre elas, para a obtenção do parâmetro dos gastos, proposto por Smets & Wouters (2007). Todos os valores foram deflacionados a valores de 2013.

Figura F.1 – Saída do Filtro de Hodrick-Prescott – Gastos do Governo.

R$(50.000,00)

R$-

R$50.000,00

R$100.000,00

R$150.000,00

R$200.000,00

R$250.000,00

R$300.000,00

R$350.000,00

19

91

T1

19

92

T1

19

93

T1

19

94

T1

19

95

T1

19

96

T1

19

97

T1

19

98

T1

19

99

T1

20

00

T1

20

01

T1

20

02

T1

20

03

T1

20

04

T1

20

05

T1

20

06

T1

20

07

T1

20

08

T1

20

09

T1

20

10

T1

20

11

T1

20

12

T1

20

13

T1

Val

ore

s D

efla

cio

nad

os

em M

ilh

ares

de

R$

Período

Gastos do Governo Gastos do Governo (Filtrado)

80

Figura F.2 - Saída do Filtro de Hodrick-Prescott – PIB.

Conforme pode ser visto nas Figuras F.1 e F.2, o filtro de Hodrick-Prescott é capaz de filtrar tanto os efeitos sazonais, como os efeitos cíclicos na série, produzindo séries suavizadas, que permitem a realização de análises livres de tais influências. Logo, a partir de tais séries, é calculada a proporção dos gastos do Governo versus PIB, conforme a Figura F.3.

Figura F.3 - Proporção de Gastos do Governo sobre o PIB.

Com base na Figura F.3, é calculada a proporção média dos gastos do Governo sobre o PIB que, no período compreendido, foi de 20,19%, valor próximo dos valores utilizados por Boynard & Divino (2010) e Castro et. al (2011), de 20%.

R$(200.000,00)

R$-

R$200.000,00

R$400.000,00

R$600.000,00

R$800.000,00

R$1.000.000,00

R$1.200.000,00

R$1.400.000,00

19

91

T1

19

92

T1

19

93

T1

19

94

T1

19

95

T1

19

96

T1

19

97

T1

19

98

T1

19

99

T1

20

00

T1

20

01

T1

20

02

T1

20

03

T1

20

04

T1

20

05

T1

20

06

T1

20

07

T1

20

08

T1

20

09

T1

20

10

T1

20

11

T1

20

12

T1

20

13

T1

Val

ore

s D

efla

cio

nad

os

em M

ilh

ares

de

R$

Período

PIB PIB (Filtrado)

15,00%

16,00%

17,00%

18,00%

19,00%

20,00%

21,00%

22,00%

23,00%

24,00%

19

91

T1

19

92

T1

19

93

T1

19

94

T1

19

95

T1

19

96

T1

19

97

T1

19

98

T1

19

99

T1

20

00

T1

20

01

T1

20

02

T1

20

03

T1

20

04

T1

20

05

T1

20

06

T1

20

07

T1

20

08

T1

20

09

T1

20

10

T1

20

11

T1

20

12

T1

20

13

T1

Pro

po

rção

do

s G

asto

s s/

PIB

Período

81

Apêndice G – Estimativas Populacionais Trimestrais Para estimar a população e a população economicamente ativa em intervalos trimestrais, variáveis essas necessárias para remover a tendência de algumas das séries, seguindo o trabalho de Smets & Wouters (2007), são necessários ajustes polinomiais de grau dois – que podem ser estimados via método dos mínimos quadrados ordinários (regressões lineares múltiplas), para inferir uma curva contínua de ambas as séries. Por conseguinte, basta aplicar valores fracionados dos períodos, de maneira a calcular as estimativas em frequência mais alta. Estimativas da População Economicamente Ativa e da População Total

As estimativas da população total e da população economicamente ativa para a frequência trimestral foram feitas tomando por base modelos de regressão linear com tendência temporal linear e quadrática, conforme as Figuras G.1 e G.2.

Figura G.1 - Modelo para a População Total.

Figura G.2 - Modelo Para a População Economicamente Ativa.

Ambos os modelos das Figuras G.1 e G.2 têm D superior a 99%, ou seja, são capazes de explicar mais de 99% da variação da população em função do tempo.

130.000.000

140.000.000

150.000.000

160.000.000

170.000.000

180.000.000

190.000.000

200.000.000

Po

pu

laçã

o T

ota

l

Ano

Observado Previsto pelo Modelo

50.000.00055.000.00060.000.00065.000.00070.000.00075.000.00080.000.00085.000.00090.000.00095.000.000

100.000.000

1996 1997 1998 1999 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Po

pu

laçã

o E

con

om

icam

ente

Ati

va

Ano

Observado Previsto pelo Modelo

82

Assim, tendo os modelos estabelecidos, é possível estimar cada uma das populações em tempo contínuo. No caso, a frequência de interesse é a trimestral. Estas estimativas trimestrais são então consideradas no cálculo das demais variáveis macroeconômicas, com o objetivo de tornar as séries analisadas estacionárias, conforme Smets & Wouters (2007).

83

Apêndice H – Algoritmo de Solução dos Modelos em Ex pectativas Racionais obtendo Modelos em Espaço de Estados A fim de se retornar ao exemplo aplicado do modelo DSGE básico – já linearizado, se torna interessante colocá-lo primeiro na forma de espaço de estados, conforme Ellison (2011):

�� 1 − �1 − ,#�# �@ − 1#�1 − �1 − ,#�# �1 − @#�1 − �1 − ,#�# −10 aI 0 010 00 0 00 0 ∙ ¾¿¿À<�?��a�?��þ�?��â�?�� ÃÄÄ

Å

= 0 0 0 −1kI ~@kI + �1 − ,#aI� �1 − @#kI −â21 0@ 0 0−@ −1 ∙ ¾¿¿À<�üa��þ��â�ü ÃÄÄ

Å

Ou, em notação matricial compacta: �� ∙ � ∙ ��?� = � ∙ �� Por simplificação – para fins desta discussão neste trabalho, já que outros autores como Sims (2000), Klein (2000) e outros já desenvolveram técnicas igualmente simples para matrizes singulares, baseadas no problema de autovalores generalizados das matrizes � e � – se assumido que a matriz � é invertível, segue que o sistema pode ser reescrito como: �� ∙ " ∙ ��?� = �� onde: " = � ∙ �� E assim, o objetivo da solução deste sistema, é a obtenção de um sistema em espaço de estados, com uma lei de movimento que siga uma recorrência, exprimindo os controles em função das variáveis pré-determinadas e exógenas, ao invés da expectativa racional futura. Essa outra forma é a utilizada no algoritmo do Filtro de Kalman e na Estimação Bayesiana dos modelos. O algoritmo de Blanchard & Kahn (1980) primeiro divide o vetor �� em dois grupos de variáveis: as variáveis de controle e as variáveis pré-determinadas / exógenas. No caso deste modelo básico, as variáveis pré-determinadas / exógenas são os choques de produtividade e o capital, enquanto que as variáveis de controle são consumo e horas trabalhadas, sendo denotadas respectivamente por k� e `�. Sendo assim, o modelo assume a seguinte forma: �� ∙ " ∙ Ï`�?�k�?� Ð = Ï`�k� Ð O cerne do algoritmo de Blanchard & Kahn (1980) é a decomposição de Jordan da matriz " sob a forma: " = �� ∙ Î ∙ �

84

onde Î é uma matriz diagonal com os autovalores de " e � é a matriz com os respectivos autovetores, e a matriz Î deve ter um número de autovalores menores do que 1 igual ao número de variáveis de controle. Tendo feito a decomposição de Jordan, é importante colocar o sistema na seguinte forma, separando os autovalores absolutos menores do que 1, em uma matriz Î e seus respectivos autovetores, multiplicando as variáveis de controle `� ; e os autovalores maiores do que 1 em uma matriz Î� e seus respectivos autovetores multiplicando o vetor k�, tal que: �� ∙ >Î� 00 Î A ∙ >�� A ∙ Ï`�?�k�?� Ð = >�� A ∙ Ï`�k� Ð Simplifica-se a expressão anterior por: �� ∙ >Î� 00 Î A ∙ >`�?�k�?� A = >`�k� A onde: >k�� A = >�� A ∙ Ïk��Ð Portanto, resolvendo a equação, segue que: Î��`�?� = `� Î ��k�?� = k� Ao resolver a primeira das duas equações, por inverter a matriz Î : ��k�?� = �Î ��#n ∙ k� vale notar que se os autovalores contidos em Î são menores do que 1, sua inversa tem valores maiores do que 1, e logo, existe um comportamento explosivo. Para que não haja tal comportamento explosivo, k� = 0 obrigatoriamente. Por conseguinte, segue que: � �k� + � `� = 0 Desta relação, se obtém: k� = −�� ∙ �� `� Já a partir da primeira equação, por inverter a matriz Î�, existe uma solução estável, e logo: ��`�?� = �Î��#n ∙ `� `� = ��k� + �� `� → −�� ∙ � �� ∙ � `� + �� `� = �� − �� ∙ � �� ∙ � #`� ��`�?n = �� − �� ∙ � �� ∙ � #�� ∙ �Î��#n ∙ �� − �� ∙ � �� ∙ � #`�

85

Assim se obtém um modelo em espaço de estados da seguinte forma: `�?� = �� − �� ∙ � �� ∙ � #�� ∙ Î�� ∙ �� − �� ∙ � �� ∙ � #`� k� = −�� ∙ �� `� Para fins de mensuração do sistema, é incluída uma equação para a observação, que relaciona os estados com a variável observável. No caso do modelo DSGE básico, de ciclos de negócios reais, ao observar o PIB, se torna interessante relacionar a renda com a aplicação do capital e horas trabalhadas, tendo em vista que o modelo possui uma variável de choque de produtividade, que explicará o resíduo não explicado pela aplicação dos mencionados insumos. Portanto, para cada variável observável na mensuração do sistema, deverá haver pelo menos uma variável de choque estocástico para acomodar as componentes não explicáveis pela estrutura endógena do sistema. Assim, é possível incluir no sistema em espaço de estados, a seguinte equação para observação:

k�ü = >1 @aI �1 − @#þI 0A ∙ ¾¿¿À<�üa��þ��â�ü ÃÄÄ

Å

onde tanto a variável de observação quanto o seu respectivo choque são acomodados.

86

Apêndice I – Derivação do Algoritmo do Filtro de Ka lman Seja um processo descrito pelo seguinte sistema de equações: 9�?� = �9� + `� <� = Æ9� + s� onde 9� denota o vetor de variáveis de estado, <� denota o vetor de variáveis observáveis, `� e s� denotam os vetores de ruído branco sob os quais 9� e <� estão sujeitos. Não obstante, a matriz de covariância de `� é dada por ·� e a matriz de covariância de s� é dada por D�. Por fim, o erro quadrático médio das variáveis de estado é dado por: h� = �9� − 9� # tal que: �� = �Ëh�Èh�Ì A fim de se derivar o sistema de equações do Filtro de Kalman, deve-se minimizar a distância entre o vetor de observações esperado versus aquele efetivamente observado, e a partir daí, se derivar as demais equações de atualização. Se definido que 9� ′ seja a estimativa a priori do vetor do valor esperado 9� , de maneira que se leve em consideração a correção em relação ao vetor de variáveis observadas versus uma previsão inicial: 9� = 9� � + *�~<� − Æ9� �� Logo ~<� − Æ9� �� é o vetor do erro de medida ou “choque”. Caso se substitua a expressão das variáveis observáveis, segue que: 9� = 9� � + *�~Æ9� + s� − Æ9� �� que, por sua vez, ao substituir tal expressão na equação do erro quadrático médio das variáveis de estado, se obtém: h� = Ë9� − 9� � + *�~Æ9� + s� − Æ9� ��Ì → h� = Ë�� − *�Æ#~9� − 9� �� − *�s�Ì Portanto: �� = � õË�� − *�Æ#~9� − 9� �� − *�s�ÌË�� − *�Æ#~9� − 9� �� − *�s�ÌÈö Como, por hipótese, os erros de medida são descorrelacionados com os choques sobre as próprias variáveis observáveis, é possível reescrever a expressão do valor esperado separando em dois termos.

87

�� = �� − *�Æ#� Ï~9� − 9� ��~9� − 9� ��ÈÐ �� − *�Æ#È + *��Ës�s�ÈÌ*�È

Denotando �� = � Ï~9� − 9� ��~9� − 9� ��ÈÐ, como a estimativa a priori da matriz �� e

tomando a definição de D�, segue que: �� = �� − *�Æ#�� − *�Æ#È + *�D�*�È Se lembrado que a soma dos elementos diagonais de uma matriz é o traço dela, no caso de uma matriz de covariância, o traço será a soma dos erros quadráticos médios. Assim, minimizar o traço de uma matriz de covariância é igual a minimizar os erros quadráticos médios. Quando a matriz �� é estendida, se obtém: �� = �� − *�Æ�� − �� ÆÈ*�È + *��Æ�� ÆÈ + D#*�È Calculando-se o traço de cada um dos termos (lembrando que o traço de uma matriz transposta é igual ao traço da matriz original): �u��v = �u�� v − 2�u*�Æ�� v + �Ë*��Æ�� ÆÈ + D#*�ÈÌ Derivando-se em relação a *�, segue que: p�u��vp*� = −2�Æ�� #È + 2*��Æ�� ÆÈ + D# Igualando-se a zero, segue que: �Æ�� #È = *��Æ�� ÆÈ + D# Portanto: ÆÈ�� È�Æ�� ÆÈ + D#�� = *� que é a expressão da obtenção do ganho do Filtro de Kalman. Ao combinar este resultado com a equação para a matriz ��, se obtém: �� = �� − ÆÈ�� È�Æ�� ÆÈ + D#��Æ�� − �� ÆÈÆ�� Æ�� ÆÈ + D#��È+ ÆÈ�� È�Æ�� Æ�� ÆÈ + D#��È

que, ao simplificar, é equivalente a (lembrando que a matriz �� é simétrica, e logo, sua transposta é igual à própria matriz): �� = �� − ÆÈ�� È�Æ�� ÆÈ + D#��Æ�� Finalmente, a partir da previsão dos estados, também é possível obter uma equação para a estimativa a priori da matriz ��, dada por �� . Ao considerar a equação de previsão das variáveis de estado, para projetá-los: �u9�?�′v = �u�9� + `�v → 9�?�� = �9�

88

Por outro lado, a estimativa do erro para o próximo passo, a priori, será dada por: h�?�� = 9�?� − 9�?�� → �9� + `� − �9� � que, de maneira a se obter uma recorrência, pode ser reescrita como: h�?�� = �h� + `� Por outro lado, pela definição de �� = �Ëh�Èh�Ì, segue que: ��?�� = �u��h� + `�#È��h� + `�#v → �u��h�#È��h�#v + �Ë`�È`�Ì E, portanto, se obtém: ��?�� = ��È + ·� que é a última equação do algoritmo do Filtro de Kalman.

89

Apêndice J – Testes de Co-integração entre PIB e Co nsumo de Energia Teste de Raíz Unitária para a Variável Log_PIB. Teste Aumentado de Dickey-Fuller para Log_PIB incluindo 2 defasagens de (1-L)Log_PIB (o máximo foi 2, critério AIC modificado) dimensão de amostragem 40 hipótese nula de raiz unitária: a = 1 teste com constante modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,018 diferenças defasadas: F(2, 36) = 1,703 [0,1965] valor estimado de (a - 1): -0,0261477 estatística de teste: tau_c(1) = -1,49647 p-valor assintótico 0,5357

Ou seja, tendo em vista que a hipótese nula é de que há raíz unitária, e tendo um p-valor de 0,5357, a série apresenta raíz unitária Teste de Raíz Unitária para a Variável Log_E. Teste Aumentado de Dickey-Fuller para Log_E incluindo 2 defasagens de (1-L)Log_E (o máximo foi 2, critério AIC modificado) dimensão de amostragem 40 hipótese nula de raiz unitária: a = 1 teste com constante modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,032 diferenças defasadas: F(2, 36) = 2,581 [0,0896] valor estimado de (a - 1): -0,00690715 estatística de teste: tau_c(1) = -0,437909 p-valor assintótico 0,9004

Ou seja, tendo em vista que a hipótese nula é de que há raíz unitária, e tendo um p-valor de 0,9004, a série apresenta raíz unitária. Teste de Cointegração de Johansen Test type: maximal eigenvalue statistic (lambda max ) , without linear trend and constant in cointegration Eigenvalues (lambda): [1] 4.450445e-01 1.146886e-01 -5.496713e-15 Values of teststatistic and critical values of test : test 10pct 5pct 1pct r <= 1 | 4.99 7.52 9.24 12.97 r = 0 | 24.14 13.75 15.67 20.20

90

Eigenvectors, normalised to first column: (These are the cointegration relations) Log_PIB.l2 Log_E.l2 constant Log_PIB.l2 1.000000 1.000000 1.000000 Log_E.l2 -1.052114 -1.078896 -1.481031 constant 10.778470 11.298030 15.978011 Weights W: (This is the loading matrix) Log_PIB.l2 Log_E.l2 constant Log_PIB.d -0.3379937 0.009602511 -1.543640e-12 Log_E.d -0.1997001 0.061661355 -6.891806e-13

Portanto, a partir das relações de co-integração normalizadas para cada 1% que o PIB varia, o consumo de energia varia em 1,05%.

91

Anexo A – Descrição dos Parâmetros do Modelo de Sme ts & Wouters (2007) Símbolo Descrição do Parâmetro

- Parâmetros fixos na estimação � fator de desconto intertemporal , taxa de depreciação Î� mark up no mercado de trabalho »y razão entre o gasto do governo ε{ parâmetro de curvatura na agregação da restrição dos produtores finais ε� parâmetro de curvatura do mercado de trabalho

- Parâmetros estimados do comportamento dos agentes @ participação do capital na função de produção . crescimento das variáveis reais em estado estacionário 5á elasticidade intertemporal do consumo ´{ participação dos custos fixos na produção Y elasticidade do custo de ajustamento do capital Î parâmetro de formação de hábito �� parâmetro de Calvo de salários �{ parâmetro de Calvo de preços 5ê elasticidade de substituição da oferta de trabalho em relação ao salário �� grau de indexação dos salários �{ índice de indexação à inflação passada Ψ função positiva da elasticidade do custo de utilização do capital

- Parâmetros da regra de juros ×� coeficiente da inflação corrente na regra de juros da política monetária 2 coeficiente dos juros passados na regra de política monetária ×�y coeficiente da taxa de crescimento do produto na regra de política monetária

- Parâmetros de tendência Π� taxa de crescimento da inflação em estado estacionário . taxa natural de crescimento das variáveis reais × taxa de crescimento dos juros em estado estacionário

- Parâmetros de persistência dos choques 2� coeficiente AR(1) do choque de produtividade 2� coeficiente AR(1) do choque financeiro 2� coeficiente AR(1) de gastos exógenos 2� coeficiente AR(1) de investimentos 2� coeficiente AR(1) na política monetária 2{ coeficiente AR(1) do ajuste do markup de preços 2� coeficiente AR(1) do ajuste do markup de salários µ{ coeficiente do termo de média móvel no choque de mark up de preços µ� coeficiente do termo de média móvel no choque de mark up de salários 2�� coeficiente do choque de produtividade na função de choque de gastos

- Parâmetros de intensidade dos choques 5�� desvio padrão do choque de produtividade

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5�� desvio padrão do choque financeiro 5�� desvio padrão do choque de gastos exógenos 5�� desvio padrão do choque de investimentos 5�� desvio padrão do choque na política monetária

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Anexo B – Conjunto de Equações Log-Linearizadas de Smets & Wouters (2007) O conjunto de equações dinâmicas log-linearizadas presentes no trabalho original de Smets & Wouters (2007) é dado por: k� = âyâ� + byb� + <y<� + �� â� = â�â�� + �1 − â�#��â�?� + â �¹� − ��¹�?�# − âÁ~×� − ��N�?� + �� b� = b�b�� + �1 − b�#��b�?� + b � + �� = �� ?� + �1 − �#��×�?�� − ~×� − ��N�?� + �� a�B = a�� + <� <� = <�×�� a� = a�a�� + �1 − a�#b� + a ��

µ�� = `� − Q×C� = `� −!"#5�¹� + 11 − Î. �â� − Î. â��

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`� = `�`�� + �1 − `�#��`�?� + ��N�?�# − ` N� + `ÁN�� + Âµ�� + �� µ�{ = `� − Q[¹� = `� − @�a�B − ¹H# + �� ×�� = −�a�B − ¹�# + `� N� = N�N�� + N ��N�?� − NÁµ�{ + �{ onde:

â� = Î.1 + Î. , â = '�5á − 1# � ∗(É∗"∗ �5á :1 + Î.; ) , âÁ = 1 − Î.5á :1 + Î.;

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