UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETOESCOLA DE MINASDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MINASPROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MINERALAPLICAES DE TCNICAS DE OTIMIZAO APROBLEMAS DE PLANEJAMENTO OPERACIONAL DELAVRA EM MINAS A CU ABERTOAutor: Felippe Pereira da CostaOrientador: Marcone Jamilson Freitas SouzaDissertaoapresentadaaoProgramadePs-Graduao em Engenharia Mineral doDepartamento de Engenharia de Minas daEscola de Minas da Universidade Federalde Ouro Preto, como parte integrante dosrequisitos paraaobtenodottulodeMestreemEngenhariaMineral, readeconcentrao: Lavra de Minas.Ouro Preto, Fevereiro de 2005APLICAES DE TCNICAS DE OTIMIZAO APROBLEMAS DE PLANEJAMENTO OPERACIONAL DELAVRA EM MINAS A CU ABERTOFelippe Pereira da CostaEsta dissertao foi apresentada em sesso pblica e aprovada em 25 de fevereirode 2005, pela Banca Examinadora composta pelos seguintes membros:Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza (Orientador/UFOP)Prof. Dr. Ivo Eyer Cabral (UFOP)Prof. Dr. Luiz Ricardo Pinto (UFMG)iiAgradecimentosQualquer que seja o m a que o homem se proponha, qualquer que sejaa idia que tenha em vista desenvolver, experimenta sempre grandeprazer quando o tem conseguido, grande alegria quando a v realizada...Claude Henri Gorceix.H dois anos foi iniciada uma caminhada pela ampliao e aprimoramento do co-nhecimento, resultando materialmente nesta dissertao que, se possvel, contribuircom a formao de pessoal e com o desenvolvimento da Pesquisa Operacional na in-dstria mineral brasileira.Ao Professor Marcone Jamilson Freitas Souza por iluminar o caminho, estimulan-do e apoiando a realizao deste trabalho, participando como orientador, pesquisadore amigo, sendo para mim uma referncia em todos os aspectos.Aos meus pais, Palmrio do Nascimento Costa e Regina Maria Pereira da Costa,que sempre apiam minhas decises, sou eternamente grato.Aos meus irmos, Palmrio do Nascimento Costa Jnior e Rodrigo Pereira Costa,pela serenidade das atitudes. Repblica Senzala por ser minha famlia em Ouro Preto.Aos colegas Jos Maria do Carmo Bento Alves e Alexandre Xavier Martins porcompartilharem seus conhecimentos.AoProgramadePs-GraduaoemEngenhariaMineral daEscoladeMinaspelos recursos disponibilizados. CAPES pelo investimento em minha formao.iiiResumoEste trabalho aborda problemas de planejamento operacional de lavra em minas acu aberto. So apresentados e modelados problemas relativos mistura de min-riosprovenientesdevriasfrentesdelavra, levando-seemconsideraometasdeproduo e qualidade, restries operacionais e a alocao dos equipamentos de car-ga e transporte necessrios ao processo. So considerados trs problemas: misturademinrios, misturademinrioscomalocaodinmicadecaminhesemisturademinrioscomalocaoestticadecaminhes. Cadaproblemaresolvidoporduas metodologias, uma baseada em tcnicas de programao matemtica e outraem tcnicas heursticas. Experimentos computacionais realizados com dados reais einstncias hipotticas baseadas nesses dados validam os modelos propostos.ivAbstractThis work deals with operational mining planning in open pit mines. Ore blendingproblems are presented and modeled.These problems consider quality and productiongoals, operations constraints, and the load and haulage equipment allocation. Threeproblemsareconsidered: oreblending, oreblendingwithtruckdynamicallocationand ore blending with truck static allocation. Each problem is solved by two method-ologies. One based on mathematical programming techniques, and other on heuristictechniques. Computational experimentscarriedthroughrealdata,andhypotheticalinstances based on these data validate proposed models.vSumrio1 Preliminares 11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Organizao do Trabalho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Reviso Bibliogrca 42.1 Programao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1 Conceitos Bsicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Programao Inteira e Mista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Programao por Metas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Tcnicas Heursticas de Otimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1 Mtodos Construtivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Mtodos de Busca Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3 Metaheursticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.4 GRASP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.5 Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.6 Busca Tabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.7 Mtodo de Descida em Vizinhana Varivel . . . . . . . . . . 172.2.8 Mtodo de Pesquisa em Vizinhana Varivel . . . . . . . . . . 182.2.9 Funo de Avaliao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Pesquisa Operacional Aplicada Minerao . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Mistura de Minrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Alocao Dinmica de Caminhes. . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.3 Alocao Esttica de Caminhes . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Problemas Abordados 373.1 Mistura de Minrios por Metas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37vi3.1.1 Descrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Modelagem Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.3 Modelagem Heurstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Alocao Dinmica de Caminhes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.1 Descrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.2 Modelagem Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.3 Modelagem Heurstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Alocao Esttica de Caminhes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.1 Descrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.2 Modelagem Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.3 Modelagem Heurstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 Resultados Computacionais 894.1 Instncias Teste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.1 Instncias Teste do PMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.2 Instncias Teste do PADC e PAEC . . . . . . . . . . . . . . . 914.2 Resultados dos Modelos Exatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.1 Resultados do Modelo Exato para o PMM. . . . . . . . . . . 924.2.2 Resultados do Modelo Exato para o PADC . . . . . . . . . . . 934.2.3 Resultados do Modelo Exato para o PAEC. . . . . . . . . . . 944.3 Resultados dos Modelos Heursticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.1 Resultados dos Modelos Heursticos do PMM . . . . . . . . . 974.3.2 Resultados dos Modelos Heursticos do PADC. . . . . . . . . 1004.3.3 Resultados dos Modelos Heursticos do PAEC . . . . . . . . . 1035 Concluses e Perspectivas 107Referncias Bibliogrcas 109I Modelo LINGOpara o PMM 112II Modelo LINGOpara o PADC 114III Modelo LINGOpara o PAEC 117viiIV Relatrio Gerado para o PMM 120V Relatrio Gerado para o PADC 122VI Relatrio Gerado para o PAEC 125VII Publicaes 128viiiLista de Tabelas4.1 Caractersticas das instncias teste do PMM. . . . . . . . . . . . . . 904.2 Caractersticas das instncias teste do PADC e PAEC . . . . . . . . 924.3 Resultados do modelo exato para o PMM . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4 Resultados do modelo exato para o PADC . . . . . . . . . . . . . . . 944.5 Resultados do modelo exato para o PAEC . . . . . . . . . . . . . . . 954.6 Resultados do PMM pelo procedimento I . . . . . . . . . . . . . . 984.7 Caractersticas das solues geradas relativas instncia PMM03 . . 1004.8 Resultados do PADC pelo procedimento I . . . . . . . . . . . . . . 1004.9 Comparao entre os mtodos heursticos para o PADC pelo proce-dimento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.10Caractersticas das solues geradas relativas instncia PADC01 . . 1034.11Resultados do PAEC, utilizando o procedimento I . . . . . . . . . . 1044.12Comparao entre os mtodos heursticos para o PAEC pelo proce-dimento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.13Caractersticas das solues geradas relativas instncia PAE03 . . . 105ixLista de Figuras2.1 Algoritmo GRASP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Fase de construo de um algoritmo GRASP. . . . . . . . . . . . . . 122.3 Algoritmo Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Determinao autoadaptativa da temperatura inicial . . . . . . . . . 152.5 Algoritmo de Busca Tabu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Algoritmo VND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7 Algoritmo VNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Comportamento da funo penalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1 Representao de uma soluo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Movimento acrscimo de uma caambada . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Movimento decrscimo de uma caambada . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Movimento acrscimo de duas caambadas . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Movimento decrscimo de duas caambadas . . . . . . . . . . . . . . 463.6 Movimento de realocao de uma caambada . . . . . . . . . . . . . . 473.7 Representao de uma soluo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.8 Movimento de realocao de equipamentos de carga . . . . . . . . . . 633.9 Movimento parar operao de uma frente . . . . . . . . . . . . . . . . 643.10Movimento retomar operao de uma frente . . . . . . . . . . . . . . 643.11Movimento de decrscimo no nmero de viagens . . . . . . . . . . . . 653.12Movimento de acrscimo no nmero de viagens . . . . . . . . . . . . . 653.13Movimento de realocao de viagens de um caminho. . . . . . . . . 653.14Movimento de realocao de viagens de uma frente . . . . . . . . . . 663.15Movimento parar operao de um caminho . . . . . . . . . . . . . . 663.16Representao de uma soluo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.17Movimento de realocao de equipamentos de carga . . . . . . . . . . 84x3.18Movimento parar operao de uma frente . . . . . . . . . . . . . . . . 853.19Movimento retomar operao de uma frente . . . . . . . . . . . . . . 853.20Movimento de decrscimo no nmero de viagens . . . . . . . . . . . . 853.21Movimento de acrscimo no nmero de viagens . . . . . . . . . . . . . 863.22Movimento de realocao de viagens de um caminho. . . . . . . . . 863.23Movimento de realocao de viagens de uma frente . . . . . . . . . . 863.24Movimento parar operao de um caminho . . . . . . . . . . . . . . 874.1 Comportamento tpico do algoritmo VNSpara o PADC . . . . . . . . 1024.2 Comportamento tpico do algoritmo VNSpara o PAEC . . . . . . . . 106xiLista de SiglasBT Busca TabuGRASPGreedy Randomized Adaptive Search ProceduresPADC Problema da mistura de minrios com alocao dinmica de caminhesPAEC Problema da mistura de minrios com alocao esttica de caminhesPMM Problema da mistura de minriosSA Simulated AnnealingVND Variable Neighborhood DescentVNS Variable Neighborhood SearchxiiCaptulo 1Preliminares1.1 IntroduoO planejamento operacional de lavra em uma mina a cu aberto consiste no plane-jamento de curto prazo, onde o principal objetivo a determinao de qual ritmode lavra ser implementado em cada frente, fornecendo usina de beneciamentouma alimentao adequada. Cada frente de lavra possui caractersticas de qualida-de diferentes, tais como o teor de determinado elemento qumico ou a percentagemde minrio em determinada granulometria. Assim, cada frente deve contribuir comuma quantidade apropriada para que o produto nal esteja em conformidade comas exigncias do cliente.O mtodo mais utilizado para determinar a proporo de minrio proveniente decada frente a programao linear, atravs da resoluo do problema da mistura,oublendagem. Outromtodo, maiseciente, abordadoporChandaeDagde-len (1995) utilizando a programao linear por metas para resolver o problema damistura com o atendimento de metas de qualidade e produo. Em casos reais daindstria mineral existe uma srie de outras restries que devem ser consideradasequenormalmentenosoabordadasemummesmomodelonaliteratura. Se-gundoGershon(1982), otimizaroproblemadeplanejamentodelavraempartesindependentes pode gerar conitos que inviabilizam a implementao das soluesobtidas em cada parte. No caso do planejamento operacional de lavra necessrioresolveroproblemadamisturademinriolevandoemconsideraoasrestriesrelacionadas realidade operacional da mina (Mutmansky, 1979; White et al., 1982;White e Olson, 1986; Pinto e Merschmann, 2001; Merschmann, 2002; Pinto et al.,2003). Dentre essas restries, destacamos a relao estril/minrio a ser obedecidae a alocao e disponibilidade de equipamentos de carga e transporte de material.O presente trabalho tem o intuito de disponibilizar sistemas computacionais quepossibilitem uma maior ecincia na tomada de deciso do planejamento operacio-nal de lavra em minas a cu aberto. Para tanto,foram desenvolvidos modelos deotimizao baseados em programao matemtica e tcnicas heursticas para o pro-cesso de tomada de decises relativas ao planejamento do ritmo de lavra, operaoqueenvolveoproblemadamisturademinrioseaalocaodeequipamentosdecargaetransporte. Paraodesenvolvimentodossistemasfoi necessrioreavaliaros modelos de otimizao aplicados minas a cu aberto, propostos na literatura,reunindo-os em modelos mais amplos,de forma a contemplar os requisitos tpicosde uma minerao, incluindo o atendimento de metas de produo e qualidade.Os modelos de programao matemtica desenvolvidos foram baseados em pro-gramao linear por metas (goal programming) e conduzem s solues timas deseus respectivos problemas. Esses modelos foram implementados usando-se a ferra-mentadeotimizaoLINGO,verso7.0. Estaescolhabaseou-senafacilidadedecompreensodalinguagemdemodelagemutilizadapelaferramenta, napossibili-dade de integrao com planilhas eletrnicas, as quais so geralmente adotadas emprocessos de deciso na minerao, e na exibilidade de incluir e excluir restriesoperacionais sem que seja necessrio alterar o programa fonte.Observa-se que o problema de se determinar o ritmo de lavra em uma mineraosereduzaoProblemadaMochilaInteiraMltiplacomrestriesadicionais. Defato, cada equipamento de carga pode ser considerado uma mochila i de capacidademximabi(emt/h). Cadafrentedelavrapodeserconsideradacomoumobje-tojpara o qual esto disponveisujunidades (em t/h). O problema consiste emdeterminar quantas unidadesxij(em t/h) de cada objetojalocar mochilai deforma a maximizar o benefcio pelo uso das frentes (dado pelo atendimento s metasde produo e qualidade), satisfazendo condio de que cada mochila tenha suacapacidade respeitada e que cada objeto esteja em uma nica mochila.Como o Problema da Mochila Inteira Mltipla classicado na literatura comoNP-difcil (Papadimitriou e Steiglitz, 1998), a abordagem de programao matemti-ca para o problema da determinao do ritmo de lavra se restringe a problemas de2pequenas dimenses. Para dimenses mais elevadas, o tratamento heurstico. As-sim, autilizaodeheursticas, asquaisconduzemasoluesaproximadasparaseus respectivos problemas, tem tripla nalidade. A primeira encontrar soluesde boa qualidade em um determinado tempo limite, previamente estipulado, tem-po esse que seja inferior quele necessrio para se obter uma soluo vivel atravsdeumatcnicaexata. Almdisso, osmodelosheursticospermitemincluir, commaior facilidade do que os modelos exatos, requisitos especcos de cada empresa.A terceira nalidade disponibilizar uma ferramenta eciente capaz de auxiliar oplanejamentooperacional delavraaumcustomaisacessvel doqueoqueserianecessriocomaaquisiodeumaplicativodeotimizaodisponvel nomerca-do. Ademais, no h, de nosso conhecimento, modelos contemplando requisitos deproduo,meta,qualidade e alocao de forma conjunta. As metaheursticas uti-lizadas neste trabalho foram desenvolvidas nas suas verses mais sosticadas e seusalgoritmos implementados na linguagem de programao C.1.2 Organizao do TrabalhoEstetrabalhoestorganizadocomosegue. Umarevisosucintadotemaapre-sentada no captulo 2. Nesse captulo so abordados os principais mtodos de pro-gramao linear (seo 2.1), os mtodos heursticos de otimizao (seo 2.2), e osmodelos de otimizao aplicados ao planejamento operacional de lavra (seo 2.3).No captulo 3 so descritos os problemas estudados neste trabalho, bem como apre-sentadas as modelagens exata e heursticas desenvolvidas. Mais precisamente, foramconsiderados o problema da mistura de minrios (seo 3.1), o problema da mistu-ra de minrios com alocao dinmica de caminhes (seo 3.2),e o problema damistura de minrios com alocao esttica de caminhes (seo 3.3). Os resultadoscomputacionais e a ecincia dos mtodos so apresentados e discutidos no captu-lo 4. O captulo 5 conclui o trabalho e apresenta perspectivas de novas aplicaes dapesquisa operacional em problemas de planejamento de produo no setor mineral.3Captulo 2Reviso BibliogrcaNeste captulo feita uma reviso dos mtodos de soluo baseados em programaolinear (seo 2.1) e das tcnicas heursticas de otimizao (seo 2.2), bem como umareviso de modelos de otimizao aplicados minerao encontrados na literatura(seo 2.3).2.1 Programao LinearSo apresentados, a seguir, os conceitos bsicos da programao linear (seo 2.1.1)e as suas variantes, a programao inteira mista (seo 2.1.2) e a programao linearpor metas (seo 2.1.3).2.1.1 Conceitos BsicosA programao linear visa fundamentalmente encontrar a melhor soluo para pro-blemas que tenham seus modelos representados por equaes lineares.A programao linear consiste na maximizao ou minimizao de uma funolinear, denominada funo objetivo, respeitando um sistema linear de igualdades oudesigualdades que recebem o nome de restrio do modelo.As restries representamnormalmente limitaes de recursos disponveis ou exigncias e condies que devemser cumpridas no problema. Estas restries do modelo determinam uma regio qual damos o nome de conjunto das solues viveis. A melhor das solues, isto ,aquela que maximiza ou minimiza a funo objetivo denomina-se soluo tima.Um problema de programao linear deve ser equacionado obtendo-se um modeloqueser, ento, reduzidoforma-padroparaquesejapermitidaaaplicaode4algoritmos que possam determinar a soluo tima para o problema. O algoritmomais utilizado para resolv-lo o SIMPLEX.As equaes (2.1) - (2.4) apresentam a formulao necessria para que um pro-blema de programao linear esteja na forma-padro.Uma metodologia para reduzirum problema qualquer de programao linear forma-padro pode ser obtida emBregalda et al. (1988).minn

j=1cjxj= Q(x) (2.1)s.a:n

j=1aijxj= bii = 1, , m (2.2)bi 0 i = 1, , m (2.3)xj 0 j= 1, , n (2.4)Nestaformulao, j =1, , nrepresentamatividadesaseremrealizadas, cjo custo associado j-sima atividade, xj uma varivel de deciso que quanticaonvel deoperaodaj-simaatividade, i =1, , mrepresentamrestriesaseremobservadas, biaquantidadederecursosdisponveisouexignciasaseremcumpridase aijaquantidadederecursoi (ouexigncia)emumaunidadedaatividade j. A equao (2.1) representa a funo objetivo, que deve ser minimizada.As equaes (2.2), (2.3) e (2.4) so as restries do problema de programao linear,sendo que a equao (2.4) denominada condio de no negatividade.As solues que satisfazem ao conjunto de restries do problema de programaolinear so chamadas de solues viveis. Quando o conjunto de solues viveis doproblema de programao linear no-vazio, h garantia de existncia de pelo menosuma soluo tima.O mtodo SIMPLEX, fundamentado na lgebra Linear, baseia-se na propriedadede que a soluo tima do problema,caso exista,ocorre em um vrtice (chamadodesoluobsicavivel)dopolitopoformadopeloconjuntodassoluesviveisdo problema. Assim, o mtodo consiste em gerar, a cada iterao, solues bsicasviveis cada vez melhores. Quando no mais possvel melhor-la, a ltima soluoobtida considerada a soluo tima do problema.52.1.2 Programao Inteira e MistaSegundo Loesch e Hein (1999) os problemas de programao inteira e mista so, aprincpio, estruturadosdomesmomodoqueosproblemasdeprogramaolinear,entretantopossuempelomenosumarestriodeintegralidade. Restriesdein-tegralidade impem que as variveis assumam valores inteiros. Os problemas quepossuem todas as variveis inteiras so denominados problemas de programao in-teira, enquanto que aqueles que contm pelo menos uma varivel inteira juntamentecom variveis no-inteiras so denominados de problemas de programao mista. Atcnica geralmente aplicada na resoluo destes problemas conhecida como tcnicade ramicao e limite, ou Branch-and-Bound.Na tcnica de ramicao e limite, inicialmente resolve-se o problema como sendoum problema de programao linear puro, ignorando-se totalmente as restries deintegralidade. Sefor obtidaumasoluotimalimitada, satisfazendotodas asrestries de integralidade, a presente soluo dita tima para o problema de pro-gramao inteira e mista e o procedimento chega ao nal. O procedimento tambmnalizadocasoasoluosejailimitadaouimpossvel. Seasoluoencontradaviola ao menos uma restrio de integralidade ento h a diviso do problema emdoisnovosproblemasdeprogramaolinear. Esseprocessodedivisopodeseraplicado repetidas vezes, criando-se uma rvore binria de busca da soluo. Cadaum dos dois novos problemas gerados pela diviso possui a mesma funo objetivoerestriesdoproblemapai, adicionando-seacadanovoproblemaumarestriotomando-secomobaseosdoisinteirosmaisprximosdavarivel no-inteiraquecorresponde restrio de integralidade violada. O procedimento continua at queno seja possvel criar mais ramicaes, ou seja, nenhuma restrio de integralidadefor violada ou o espao de solues for vazio.2.1.3 Programao por MetasBueno e Oliveira (2004) apresentam a programao por metas,ouGoal Program-ming, comoumatcnicadepesquisaoperacional quepermiteamodelagemeabusca de solues para problemas com mltiplos objetivos ou metas a serem atingi-das, situao comumente encontrada na realidade das empresas, onde necessriosatisfazer ou aproximar-se das metas estabelecidas. Deste modo, pode-se caracteri-6zaraprogramaopormetascomosendoumaextensodaprogramaolinear,desenvolvido de modo a permitir a soluo simultnea de um sistema com mltiplasmetas, podendo apresentar unidades de medidas diferentes.Na programao por metas a funo de avaliao denida como a minimizaodos desvios em relao s metas. Neste trabalho ser utilizada a funo de avaliaoArquimediana, onde cada meta possui uma importncia diferente na otimizao esohierarquizadasatravs depesos, priorizando-se asprincipais metascompesosmaiores. Esta e outras metodologias de funo de avaliao so descritas em Romero(2004).As restries na programao por metas deixam de ser rgidas atravs da inclusode variveis de desvio, ampliando o espao de solues viveis. Com isso, permite-sequeasvariveisdedecisoassumamvaloresqueotimizem, demodogeral, oproblema, sendo possvel avaliar o quanto uma restrio ca fora da meta em relaos demais.Sejaoproblemagenricodeprogramaopormetasrepresentadopelasequa-es (2.5) - (2.9), correspondente relaxao da restrio (2.2) do modelo de pro-gramao linear apresentado anteriormente.minn

j=1cjxj +m

i=1_w+id+i+widi_= Q(x) (2.5)s.a:n

j=1aijxj d+i+ di= bii = 1, , m (2.6)bi 0 i = 1, , m (2.7)xj 0 j= 1, , n (2.8)d+i, di 0 i = 1, , m (2.9)Esta formulao semelhante do problema de programao linear anterior ondej=1, , n representam atividades a serem realizadas, i=1, , m representamrestries a serem observadas, bi a meta de recursos a serem utilizados ou exignciasa serem alcanadas, cj o custo da j-sima atividadade e aij a quantidade de recursoi (ou exigncia) em uma unidade da atividadej.Nestemodelo, xj, d+iedirepresentamvariveisdedeciso. Aprimeira, xj,quantica o nvel de operao daj-sima atividade. A segunda, d+i , denotada por7desvio positivo do recurso (ou exigncia) i, quantica o quanto a meta bi foi superada,enquanto a terceira, di , denotada por desvio negativo, quantica o quanto falta paraatingir a metabi. As constantesw+iewiindicam, respectivamente, as prioridadesdosi-simos desvios positivo e negativo emrelaometa. Os desvios, positivose negativos,so portanto variveis de deciso que medem o quanto o conjunto derestries(2.2)servioladoemrelaometabi. Aequao(2.5)representaafunomultiobjetivoqueincorporaosdesvios, esuasprioridades, quedevemserminimizados. As equaes (2.6) a(2.9) representamas restries doproblema,sendoasequaes(2.8)e(2.9)denominadascondiesdenonegatividadedasvariveis de deciso.2.2 Tcnicas Heursticas de OtimizaoEsta seo tem como objetivo apresentar, de forma sumria, as principais tcnicasheursticas referenciadas ao longo deste trabalho.2.2.1 Mtodos ConstrutivosUm mtodo construtivo tem por objetivo gerar uma soluo, elemento por elemento.A forma de escolha de cada elemento a ser inserido a cada passo, varia de acordocomomtodo, oqual, porsuavez, dependedoproblemaabordado. Asoluogerada pelo procedimento construtivo pode no ser satisfatria, indicando, assim, anecessidade de renamento aps a construo.Uma forma de construo, conhecida como gulosa, faz com que, a cada iterao,seja inserido o elemento, pertencente ao conjunto de elementos ainda no seleciona-dos, que traz o maior benefcio para a soluo construda.Este procedimento, apesarde gerar solues de qualidade superior, produz solues sem diversidade e requerum maior tempo computacional para o renamento de uma soluo.Outraformamuitocomumde se gerar umasoluoinicial constru-lademaneiraaleatria. Isto, acadapassoumelementoaserinseridonasoluoaleatoriamenteselecionadodoconjuntodeelementosaindanoselecionados. Agrande vantagem dessa metodologia reside na simplicidade de implementao e nagrande diversidade de solues. A desvantagem a qualidade baixa da soluo nalproduzida, o que requerer um esforo maior na fase de renamento.82.2.2 Mtodos de Busca LocalOs mtodos de busca local, ou mtodos de renamento, em problemas de otimizaoconstituem uma famlia de tcnicas baseadas na noo de vizinhana.Basicamente abusca local consiste em mover de uma soluo inicial a outra dentro de uma estruturade vizinhana, de acordo com regras bem denidas. Mais especicamente, sejaS oespao de pesquisa de um problema de otimizao e f a funo objetivo a minimizar.AfunoN, aqual dependedaestruturadoproblematratado, associaacadasoluo vivels S, sua vizinhanaN(s) S. Cada soluos

N(s) chamadadevizinhodes. Denomina-semovimentoamodicaomquetransformaumasoluos em outra, s

, que esteja em sua vizinhana. Representa-se essa operaopor s

s m. Aecinciadabuscalocal dependedaqualidadedasoluoconstruda. O procedimento de construo tem ento um papel importante na buscalocal, uma vez que as solues construdas constituem bons pontos de partida paraa busca local, permitindo assim aceler-la.2.2.2.1 Mtodo de Descida um mtodo de busca local que se caracteriza por analisar todos os possveis vi-zinhos de uma soluos em sua vizinhanaN(s), escolhendo, a cada passo, aqueleque tem o menor valor para a funo objetivo. Nesse mtodo, o vizinho candidatosomente aceito se ele melhorar estritamente o valor da melhor soluo at entoobtida. Dessa forma, o mtodo pra to logo um mnimo local seja encontrado.2.2.2.2 Mtodo Randmico de DescidaO mtodo de descida requer a explorao de toda a vizinhana. Um mtodo alter-nativo, queevitaessapesquisaexaustiva, omtodorandmicodedescida. Eleconsiste em analisar um vizinho qualquer e o aceitar somente se ele for estritamentemelhor que a soluo corrente; no o sendo, a soluo corrente permanece inalteradae outro vizinho gerado. O procedimento interrompido aps um nmero xo deiteraes sem melhora no valor da melhor soluo obtida at ento.92.2.2.3 Mtodo Randmico No AscendenteO mtodo randmico no ascendente uma variante do mtodo randmico de des-cida, diferindodeleporaceitarovizinhogeradoaleatoriamenteseeleformelhorou igual soluo corrente. Esse mtodo pra, tambm, aps um nmero xo deiteraes sem melhora no valor da melhor soluo produzida.2.2.3 MetaheursticasAs metaheursticas so procedimentos destinados a encontrar uma boa soluo, even-tualmenteatima, consistindonaaplicao, emcadapasso, deumaheursticasubordinada,a qual tem que ser modelada para cada problema especco (Souza,2000).Contrariamente s heursticas convencionais (sees 2.2.1 e 2.2.2), as metaheurs-ticas so de carter geral e tm condies de escapar de timos locais.As metaheursticas diferenciam-se dos mtodos de busca local tradicionais basi-camente pelas seguintes caractersticas:a ) critrio de escolha de uma soluo inicial;b ) denio da vizinhanaN(s) de uma soluos;c ) critrio de seleo de uma soluo vizinha dentro deN(s);d ) critrio de parada;2.2.4 GRASP(GreedyRandomizedAdaptiveSearchProce-dures)O Procedimento de busca adaptativa gulosa e randomizada (GRASP) um mtodoiterativo, proposto por Feo e Resende (1995) que consiste de duas fases:uma fase de construo, na qual uma soluo gerada, elemento a elemento;umafasedebuscalocal, naqual umtimolocal navizinhanadasoluoconstruda pesquisado.A melhor soluo encontrada ao longo de todas iteraes GRASPrealizadas retornada como resultado. O pseudocdigo representado na Figura 2.1 ilustra umprocedimento GRASP.10procedimentoGRASP(f(.), g(.), N(.), GRASPmax, s)1 f

;2 para(Iter = 1, 2, . . . , GRASPmax) faa3 Construcao(g(.), , s);4 BuscaLocal(f(.), N(.), s);5 se(f(s) < f

) ento6 s

s;7 f

f(s);8 m-se;9 m-para;10 s s

;11Retornes;mGRASPFigura 2.1: Algoritmo GRASPNa fase de construo,uma soluo iterativamente construda,elemento porelemento. Acadaiteraodessafase, osprximoselementoscandidatosaseremincludosnasoluosocolocadosemumalistaCdecandidatos, seguindoumcritrio de ordenao pr-determinado. Esse processo de seleo baseado em umafunoadaptativagulosag : C ', queestimaobenefciodaseleodecadaum dos elementos. A heurstica adaptativa porque os benefcios associados coma escolha de cada elemento so atualizados em cada iterao da fase de construopara reetir as mudanas oriundas da seleo do elemento anterior. A componenteprobabilstica do procedimento reside no fato de que cada elemento selecionado deforma aleatria a partir de um subconjunto restrito formado pelos melhores elemen-tos que compem a lista de candidatos. Este subconjunto recebe o nome de lista decandidatos restrita(LCR). Esta tcnica de escolha permite que diferentes soluessejamgeradasemcadaiteraoGRASP. Seja [0, 1] umdadoparmetro. Opseudocdigo representado pela Figura 2.2 descreve a fase de construo GRASP.Observamos que o parmetro controla o nvel de gulosidade e aleatoriedade doprocedimentoConstrucao. Um valor=0 faz gerar solues puramente gulosas,enquanto = 1 faz produzir solues totalmente aleatrias.O parmetro, que determina o tamanho da lista de candidatos restrita, ba-sicamente o nico parmetro a ser ajustado na implementao de um procedimentoGRASP. Em Feo e Resende (1995) discute-se o efeito do valor de na qualidade da11procedimentoConstrucao(g(.), , s);1 s ;2 Inicialize o conjuntoCde candidatos;3 enquanto(C ,= ) faa4 g(tmin) = ming(t) [ t C;5 g(tmax) = maxg(t) [ t C;6 LCR = t C [ g(t) g(tmin) + (g(tmax) g(tmin));7 Selecione, aleatoriamente, um elementot LCR;8 s s t;9 Atualize o conjuntoCde candidatos;10m-enquanto;11Retornes;mConstrucao;Figura 2.2: Fase de construo de um algoritmo GRASPsoluo e na diversidade das solues geradas durante a fase de construo. Valoresde que levam a uma lista de candidatos restrita de tamanho muito limitado (ouseja, valordeprximodaescolhagulosa)implicamemsoluesnaisdequa-lidademuitoprximaquelaobtidadeformapuramentegulosa, obtidascomumbaixo esforo computacional.Em contrapartida, provocam uma baixa diversidade desolues construdas. J uma escolha de prxima da seleo puramente aleatrialeva a uma grande diversidade de solues construdas mas, por outro lado, muitasdas solues construdas so de qualidade inferior, tornando mais lento o processode busca local.Assimcomoemmuitastcnicasdeterminsticas, assoluesgeradaspelafasede construo do GRASPprovavelmente no so localmente timas com respeito denio de vizinhana adotada. Da a importncia da fase de busca local, a qualobjetiva melhorar a soluo construda.O procedimento GRASPprocura, portanto, conjugar bons aspectos dos algorit-mos puramente gulosos, com aqueles dos procedimentos aleatrios de construo desolues.2.2.5 SimulatedAnnealingTrata-se de uma tcnica de busca local probabilstica,proposta originalmente porKirkpatrick et al. (1983), que se fundamenta em uma analogia com a termodinmica,12ao simular o resfriamento de um conjunto de tomos aquecidos (Dowsland, 1993).Esta tcnica comea sua busca a partir de uma soluo inicial qualquer. O pro-cedimento principal consiste em um loop que gera aleatoriamente, em cada iterao,um nico vizinhos

da soluo correntes.Chamando de a variao de valor da funo objetivo ao mover-se para umasoluo vizinha candidata, isto , = f(s

) f(s), o mtodo aceita o movimento,easoluovizinhapassaaseranovasoluocorrente, se 0) faa5 enquanto(IterT< SAmax) faa6 IterT IterT+ 1;7 Gere um vizinho qualquers

N(s);8 = f(s

) f(s);9 se( < 0)10 ento11 s s

;12 se(f(s

) < f(s

)) entos

s

;13 seno14 Tomex [0, 1];15 se(x < e/T) entos s

;16 m-se;17 m-enquanto;18 T T;19 IterT 0;20m-enquanto;21 s s

;22Retornes;mSA;Figura 2.3: Algoritmo Simulated Annealingmento menor e aument-la quando a temperatura reduzir-se.Aestimaodonmeromximodeiteraesemumadadatemperatura, isto, SAmax,normalmente feita em funo das dimenses do problema abordado.Por exemplo, em um problema de programao de horrios em escolas, envolvendon turmas,m professores ep horrios reservados para a realizao das aulas, o valordeSAmax pode ser estimado emSAmax = k p mn, sendok uma constantea determinar (Souza, 2000).H pelo menos duas prescries para a determinao autoadaptativa da tempe-raturainicial. Aprimeiradelas consiste emdeterminaratemperaturainicialporsimulao. Por esse mecanismo, parte-se de uma soluos e de uma temperaturadepartidabaixa. Aseguir, conta-sequantosvizinhosdessasoluossoaceitosemSAmax iteraes do mtodo nessa temperatura. Caso esse nmero de vizinhosaceitossejaelevado, algocomo95%dosvizinhos, entoretorna-seatemperatura14corrente comoatemperaturainicialparaoprocessode renamentopelomtodo.Caso o nmero de vizinhos aceitos no atinja o valor mnimo requerido, aumenta-sea temperatura segundo uma certa taxa, por exemplo 10%, e repete-se a contagemdo nmero de vizinhos aceitos naquela temperatura. O procedimento prossegue atque se obtenha o nmero mnimo de vizinhos aceitos. A temperatura na qual essacondio ocorre representa a temperatura inicial para o mtodo Simulated Anneal-ing.A Figura 2.4 mostra o pseudo-cdigo para determinar a temperatura inicial poresse mtodo, considerando um problema de minimizao. Nesta gura, a taxade aumento da temperatura (>1), a taxa mnima de aceitao de soluesvizinhas (por exemplo, = 0.95) e T0 uma temperatura de partida para o mtodo,por exemplo,T0= 1.procedimentoTemperaturaInicial(f(.), N(.), , , SAmax, T0, s)1 T T0; {Temperatura corrente}2 Continua TRUE;3 enquanto(Continua) faa4 Aceitos 0; {Nmero de vizinhos aceitos na temperatura T}5 paraIterT= 1 atSAmax faa6 Gere um vizinho qualquers

N(s);7 = f(s

) f(s);8 se( < 0)9 ento10 Aceitos Aceitos + 1;11 seno12 Tomex [0, 1];13 se(x < e/T) entoAceitos Aceitos + 1;14 m-se;15 m-para;16 se(Aceitos SAmax)17 entoContinua FALSE;18 senoT T;19 m-se;20m-enquanto;21RetorneT;mTemperaturaInicial;Figura 2.4: Determinao autoadaptativa da temperatura inicialA segunda prescrio para determinar a temperatura inicial consiste em partirdeumadadasoluoegerarumcertonmerodevizinhos, algocomo1000, por15exemplo.Para cada um desses vizinhos, calcular o respectivo custo segundo a funode avaliao considerada. A mdia dos custos das solues vizinhas uma estimativapara a temperatura inicial.Emteoria, atemperaturanal deveserzero. Entretanto, conformeTorreo(2004) na prtica suciente chegar a uma temperatura prxima de zero, devido preciso limitada da implementao computacional. Um valor tpico tomarTf=0, 001. Alternativamente, pode-se identicar o congelamento do sistema quando ataxa de aceitao de movimentos cai abaixo de um valor predeterminado.Observa-se, nalmente, como regra geral, citada em Torreo (2004), que os pa-rmetros mais adequados para uma dada aplicao do algoritmo s podem ser esta-belecidos por experimentao.2.2.6 Busca TabuBusca Tabu um procedimento de otimizao local que admite solues de piorapara escapar de timos locais.Em sua forma original, a cada iterao procura-se um timo local selecionando-seo melhor vizinho s

da vizinhana N(s) da soluo corrente s.Independentemente def(s

) ser melhor ou pior que f(s), s

ser sempre a nova soluo corrente.Entretanto,apenas esse mecanismo no suciente para escapar de timos locais, uma vez quepode haver retorno a uma soluo previamente gerada. Para evitar isso, o algoritmousa o conceito de lista tabu. Esta lista dene todos os movimentos com um certoatributo como sendo tabu por um determinado nmero de iteraes, conhecido comotempo tabu. Tais movimentos so proibidos a menos que a soluo satisfaa a umcertocritriodeaspirao, emgeral queessasoluosejamelhorqueamelhorsoluo encontrada at ento. Os atributos so escolhidos para prevenir o retornoa solues visitadas recentemente e so escolhidos por caractersticas que so fceispara detectar.O pseudocdigo do algoritmo apresentado pela Figura 2.5. Detalhes adicionaisdesse algoritmo podem ser encontrados em Glover e Laguna (1997).16procedimentoBT(f(.), N(.), A(.), [V [, fmin, [T[, BTmax, s)1 s

s; {Melhor soluo obtida at ento}2 Iter 0; {Contador do nmero de iteraes}3 MelhorIter 0; {Iterao mais recente que forneceus

}4 T ; {Lista Tabu}5 Inicialize a funo de aspiraoA;6 enquanto (f(s) > fmine Iter MelhorIter < BTmax) faa7 Iter Iter + 1;8 Sejas

s m o melhor elemento deV N(s) tal queo movimentom no seja tabu(m , T) ous

atenda a condio de aspirao(f(s

) < A(f(s)));9 T T {movimento mais antigo}+ {movimento que gerous

};10 Atualize a funo de aspiraoA;11 s s

;12 se(f(s) < f(s

)) ento13 s

s;14 MelhorIter Iter;15 m-se;16m-enquanto;17 s s

;18Retornes;mBT;Figura 2.5: Algoritmo de Busca Tabu2.2.7 Mtodo de Descida em Vizinhana VarivelOMtodode DescidaemVizinhanaVarivel (Variable NeighborhoodDescent,VND), propostoporMladenovieHansen(1997), ummtododerenamentoque consiste em explorar o espao de solues atravs de trocas sistemticas de es-truturas de vizinhana, aceitando somente solues de melhora da soluo correntee retornando primeira estrutura quando uma soluo melhor encontrada.Opseudocdigodessealgoritmo, emqueseconsideraorenamentodeumasoluosutilizandoumafunodeavaliaof, aserminimizada, eumconjun-toNderdiferentesvizinhanas N= N(1), N(2), , N(r), apresentadopelaFigura 2.6.Dependendodoproblemaabordado, abuscapelomelhorvizinho(linha4daFigura2.6)podesercaracomputacionalmente. Nessasituaocomumfazerabusca pela primeira soluo de melhora. Outra alternativa considerar a exploraoapenas em um certo percentual da vizinhana.17procedimento VND(f(.),N(.),r,s)1 Sejar o nmero de estruturas diferentes de vizinhana;2 k 1; {Tipo de estrutura de vizinhana corrente}3 enquanto(k r) faa4 Encontre o melhor vizinhos

N(k)(s);5 se(f(s

) < f(s))6 ento7 s s

;8 k 1;9 seno10 k k + 1;11 m-se;12m-enquanto;13Retornes;m VND;Figura 2.6: Algoritmo VND2.2.8 Mtodo de Pesquisa em Vizinhana VarivelO Mtodo de Pesquisa em Vizinhana Varivel (Variable Neighborhood Search, VNS),proposto por Mladenovi e Hansen (1997) um mtodo de busca local que consisteem explorar o espao de solues atravs de trocas sistemticas de estruturas de vi-zinhana. Contrariamente outras metaheursticas baseadas em mtodos de buscalocal, o mtodo VNS no segue uma trajetria, mas sim explora vizinhanas grada-tivamente mais distantesda soluo corrente e focaliza a busca em torno de umanova soluo se e somente se um movimento de melhora realizado.O mtodo inclui,tambm, um procedimento de busca local a ser aplicado sobre a soluo corrente.Esta rotina de busca local tambm pode usar diferentes estruturas de vizinhana.Na sua verso original, o mtodo VNS faz uso do mtodo VND para fazer a buscalocal.O pseudocdigo do algoritmo apresentado pela Figura 2.7. Detalhes adicionaisdesse algoritmo podem ser encontrados em Mladenovi e Hansen (1997); Hansen eMladenovi (1999); Hansen e Mlavenovi (2001).Nessealgoritmo, parte-sedeumasoluoinicial qualquer eacadaiteraoseleciona-se aleatoriamente um vizinhos

dentro da vizinhanaN(k)(s) da soluos corrente. Esse vizinho ento submetido a um procedimento de busca local. Seasoluotimalocal, s

, formelhorqueasoluoscorrente, abuscacontinua18procedimento VNS()1 Sejas0 uma soluo inicial;2 Sejar o nmero de estruturas diferentes de vizinhana;3 s s0; {Soluo corrente}4 enquanto (Critrio de parada no for satisfeito) faa5 k 1; {Tipo de estrutura de vizinhana corrente}6 enquanto(k r) faa7 Gere um vizinho qualquers

N(k)(s);8 s

BuscaLocal(s

);9 se(f(s

) < f(s))10 ento11 s s

;12 k 1;13 seno14 k k + 1;15 m-se;16 m-enquanto;17m-enquanto;18Retornes;m VNS;Figura 2.7: Algoritmo VNSdes

recomeandodaprimeiraestruturadevizinhanaN(1)(s). Casocontrrio,continua-seabuscaapartirdaprximaestruturadevizinhanaN(k+1)(s). Esteprocedimento encerrado quandoumacondiode paradafor atingida, talcomootempomximopermitidodeCPU, onmeromximodeiteraesounmeromximo de iteraes consecutivas entre dois melhoramentos. A soluos

geradaaleatoriamente no passo 7 de forma a evitar ciclagem, situao que pode ocorrer sealguma regra determinstica for usada.2.2.9 Funo de AvaliaoA nalidade da funo de avaliao determinar se uma soluo melhor ou piorqueoutra. Emmuitosproblemasdeotimizao, umasoluoavaliadanoso-mentepelasuaqualidade(determinadapelafunoobjetivopropriamentedita),mas tambm pela sua viabilidade. O procedimento mais comumente adotado con-siste em dividir o conjunto de restries/requisitos do problema em dois subconjun-tos: Um subconjunto dos requisitos essenciais (I) e um subconjunto dos requisitosno-essenciais (Q). O primeiro engloba aquelas restries e requisitos que,se no19satisfeitos, geram solues inviveis. O segundo engloba as restries/requisitos dequalidade, cuja satisfao apenas desejvel, e desta forma, se no satisfeitos, nogeramsoluesinviveis. Cadarequisito/restrioidoconjuntoIavaliadoporuma funogi que mede o nvel de inviabilidade da soluo com relao a esse req-uisito. Por outro lado, cada requisito j do conjunto Q avaliado por uma funo hjque mede o nvel de qualidade da soluo com relao ao requisito.Desse modo, uma soluo s pode ser medida com base em duas componentes quedevem ser minimizadas, uma de inviabilidadeg(s), a qual mede o no atendimentoaos requisitos essenciais, e outra de qualidadeh(s), a qual mede o no atendimentoaos requisitos considerados no-essenciais. Portanto,a funo de avaliaof(s) expressa pela equao (2.10).f(s) = g(s) + h(s) (2.10)Cada uma destas componentes composta por diferentes funes, as quais pos-suem pesos diferenciados, com o intuito de dar maior prioridade aos requisitos con-siderados mais importantes.A parcelag(s) mede o nvel de inviabilidade de uma soluos e avaliada combase na expresso (2.11).g(s) =

iIifi(s) (2.11)onde:I : conjunto de funes que medem a inviabilidade da soluo;i: peso associado i-sima funo de inviabilidade;fi(s): funo que retorna o valor dai-sima medida de inviabilidade.A parcelah(s) avaliada com base na expresso (2.12) e mensura a qualidadede uma soluos.h(s) =

jQjfj(s) (2.12)onde:Q : conjunto de funes que medem a qualidade da soluo;j: peso associado j-sima funo de qualidade;20fj(s) : funo que retorna o valor daj-sima medida de qualidade.Deve ser observado que uma soluo s vivel se e somente se g(s) = 0 e, ainda,queestasoluopossui maiorqualidadequandomaisprximodezerofor h(s).Comoascomponentesdafunof(s)possuempesosdiferentesparaasdiversasmedidas, reetindoaimportnciarelativadecadaumadelas, necessriotomari ji, j, de forma a privilegiar eliminaes das solues inviveis. importante que a funo de avaliao assuma valores inteiros por dois fatores.Primeiramente, para evitar problemas de instabilidade numrica, os quais ocorrempelapropagaodoserrosdearredondamento, inerentesaoprocesso. Osegundofator est relacionado com a signicncia da variao de determinadas componentesa serem avaliadas, onde pequenas variaes podem ser desprezadas, no provocandoalteraes expressivas na qualidade das solues encontradas.2.2.9.1 Funo de PenalidadeAs medidas de avaliao de determinados requisitos de uma soluo s so expressasem valores reais. Entretanto, pelos motivos expostos anteriormente, as penalidadescorrespondentes a esses requisitos devem assumir valores inteiros. Essa parametriza-o pode ser implementada pela equao (2.13), a qual tem por objetivo retornar apenalidade relativa a um dado valorx. Esta penalidade mede o quo distante esta soluo corrente da meta Me varia em um intervalo [0, ], onde a penalidademxima a ser aplicada na componente da funo de avaliao analisada.fp(x) =_[M x[_(2.13)O intervalo de signicncia corresponde ao intervalo em que o valorx podevariar sem que sua penalidade seja alterada. Desta forma, existem segmentos detamanho, distribudos entre a metaMe o valor mximoV .AFigura2.8apresentaocomportamentodessafuno. Nestagura, alinhatracejada mostra a penalidade relativa ao valorx, caso fosse considerado um valorreal. A penalidade como valor inteiro representada pela linha contnua, distribudapela faixa compreendida entre o valor meta Me o valor mximo V . Observa-se quex possui penalidade igual a zero se, somente se, seu valor for igual a meta.21ValoresdexPenalidadesa0D M VFigura 2.8: Comportamento da funo penalidade2.3 Pesquisa Operacional Aplicada MineraoDentreastcnicasdepesquisaoperacional maisutilizadasnamineraopode-sedestacar a programao linear como a mais aplicada aos problemas de planejamentode produo em minerao,sendo adotada principalmente pelas mineraes a cuaberto, devidomaiorcomplexidadedesuasoperaesemrelaosdeminassubterrneas (Mutmansky, 1979).Entretanto, com o desenvolvimento e o aumento da velocidade de processamentodos computadores, os mtodos heursticos vm conquistando cada vez mais espaona resoluo de problemas de planejamento de produo em minerao. Os mode-los de programao linear para problemas reais so complexos e demandam muitotempo para obter a soluo do problema, enquanto os mtodos heursticos possuemuma maior exibilidade na modelagem das restries e podem gerar solues sat-isfatrias em tempo computacional vivel. Mutmansky (1979) descreve os modelosheursticos como sendo comuns em problemas de minerao, mas pouco apresenta-dos na literatura, devido a sua subjetividade e aplicados a operaes particulares.Umimportanteseguimentodeaplicaodosmtodosheursticosestrelacionadocom o sistema de despacho de caminhes (Ezawa e Silva, 1995; Alvarenga, 1997).22Nesta seo so descritas algumas aplicaes dos mtodos de pesquisa operacio-nal apresentados na seo 2.1 a problemas de planejamento de produo na inds-tria mineral. Para clareza de entendimento e uma melhor compreenso dos modelosapresentadosnestetrabalho, asnotaesoriginaisdosautoresforamsubstitudaspor uma comum a todos os autores.2.3.1 Mistura de MinriosOproblemadamisturademinriosconsistenadeterminaodequantominrioproveniente de um conjunto de frentes ou pilhas deve ser misturado de modo a gerarum produto nal em conformidade com as exigncias do cliente. Dependendo de suaorigem, o minrio possui caractersticas economicas e de qualidade diferentes, taiscomo o custo de lavra, o teor de determinado elemento qumico ou a percentagemde minrio em determinada granulometria. Torna-se necessrio determinar propor-cionalmente o ritmo de lavra de cada frente, fazendo com que a mistura do minriogere, aumcustomnimo, umaalimentaoqueatendaasmetasdequalidadeeproduorequeridas. Entretanto, taismetaspodemnoseralcanadas. Assim,paraqueoprodutosejaaceitopelocliente, osparmetrosdecontroledevemtervalores pertencentes a um intervalo especicado. Vale lembrar que o termo misturade minrios diz respeito determinao desta proporo e no deve ser confundidocom homogeneizao de minrio, processo no qual pretende-se que todo o minriomisturadopossuaasmesmascaractersticas. Asoluodoproblemadamisturademinriospodeserobtidaatravsdetcnicasdepesquisaoperacional, sendoaprogramao linear a mais difundida e a de maior sucesso (Gershon, 1982).Descreve-se, aseguir, trsmodelosencontradosnaliteraturaqueapresentamsolues para o problema da mistura de minrios.2.3.1.1 O Modelo de Wilke e ReimerMutmansky (1979) apresenta um modelo desenvolvido por Wilke e Reimer (1977)para planejamento de lavra utilizando a programao linear na resoluo do proble-ma da mistura de minrios considerando a relao estril/minrio e as capacidadesde produo. Este modelo apresentado pelas equaes (2.14)- (2.23).23max

iMeixi +

iEeixi(2.14)s.a:

iM(tij tuj)xi 0 j= variavel de controle (2.15)

iM(tij tlj)xi 0 j= variavel de controle (2.16)

iMxi CBB(2.17)xi Quii F (2.18)

iExi W (2.19)

iExirem

iMxi= 0 (2.20)

iFxiLi CS(2.21)

iFxiTi CT(2.22)xi 0 i F (2.23)Neste modelo, Mrepresenta o conjunto de blocos de minrio, Eo conjunto deblocos de estril e Fo conjunto de blocos formado por ME. A varivel de decisoqueretornaaquantidadeaserlavradaemumblocoidadapor xi. Afunoobjetivo do problema, equao (2.14), consiste em maximizar a economiaei obtidacom a utilizao do material proveniente do bloco i.As restries de qualidade (2.15)e (2.16) denem que o parmetro de controlej na mistura no deve ser superior aolimitetuje no ser inferior ao limitetlj, dado que cada blocoi possui um teortij.A produo limitada pela restrio (2.17), onde a capacidade mxima da pilha aser formada por perodo dada porCBB. Em cada blocoi no pode serlavradomais do que sua capacidadeQui (restrio (2.18)). A quantidade mnima de estrilaserlavradaporperodo, denidapor W, earelaoestril/minrio(rem)socontempladas, respectivamente, pelas restries (2.19) e (2.20). O tempo necessriopara o carregamento de uma tonelada de material do bloco i denominado fator decarregamento (Li) que multiplicado pela quantidade de material lavrado no devesuperar o tempo total de carga disponvel dado porCS(restrio (2.21)). O temponecessrio para transportar uma tonelada de material do blocoi at o seu destino24 denominado fator de transporte (Ti) e multiplicado pela quantidade de materiallavrado no deve ultrapassar o tempo total de transporte disponvel dado porCT(restrio (2.22)). A restrio (2.23) dene que as variveis de deciso no podemassumir valores negativos.2.3.1.2 O Modelo de Chanda e DagdelenChanda e Dagdelen (1995) apresentam um modelo de programao linear por metasaplicado resoluo de um problema de mistura de minrios para o planejamentode curto prazo. Segundo os autores, esta tcnica mais adequada realidade dasmineraes, pois seu objetivo fazer com que a soluo tima seja a mais prximapossvel das metas de produo e qualidade requeridas. As equaes (2.24)-(2.34)apresentam a formulao deste modelo.max

iMeixi

jSjdj

jS+jd+j P+P+(2.24)s.a:

iMxi + PP+= Pr (2.25)

iM(tij trj)xi + dj d+j= 0 j S (2.26)

iMxiPu 0 (2.27)

iMxiPl 0 (2.28)

iM(tij tuj)xi 0 j S (2.29)

iM(tij tlj)xi 0 j S (2.30)xi Quii M (2.31)xi 0 i M (2.32)d+j , dj 0 j S (2.33)P+, P 0 (2.34)Nesta formulao do problema da mistura existem dois critrios a serem otimiza-dos, representados pela equao (2.24): a maximizao da extrao do minrio con-tido no conjunto de blocosM, onde a cada blocoi associado um valor econmico25ei e um teor tij para o parmetro de controle j, e a minimizao da soma dos desviosde produoP+e P e dos desvios de qualidaded+je djpara todos os parmetrosde controle j. Para cada varivel de desvio associado uma penalidade, sendo e+penalidades por desvios negativo e positivo de produo, respectivamente eje +jas penalidades por desvios negativos e positivos de qualidade do parmetro decontrolej. Os desvios de produo so denidos atravs da restrio (2.25), a qualtemporobjetivofazercomqueototaldeminrioextradosejaigualaumvalormetaPr; no sendo possvel alcanar este valor, so aceitos um desvio positivoP+e um desvio negativo P em relao meta Pr. Desvios positivos d+je negativos djde qualidade so obtidos na restrio (2.26) onde o teor do parmetroj na misturadeve apresentar um valor o mais prximo possvel da metatrj. As restries (2.27)e (2.28) limitam a capacidade de produo pelos limites de produo superiorPu einferiorPl. A qualidade do produto nal limitada pelas equaes (2.29) e (2.30).Tais restries limitam o teor do parmetro j superiormente por tuj e inferiormentepor tlj.A quantidade de minrio disponvel em cada bloco dada por Qui e no podeser ultrapassada (restries (2.31)). As restries (2.32), (2.33) e (2.34) indicam queestas variveis no podem assumir valores negativos.2.3.1.3 O Modelo de Pinto et al.Pinto et al. (2003) apresentam um modelo para o problema da mistura onde operaum equipamento de carga. Assim, a quantidade de minrio a ser retirada de cadapilhadevesermltipladacapacidadedacaambadoequipamentodecarga. Omodelo apresentado pelas equaes (2.35)-(2.40).Sejam os seguintes dados de entrada:M : Conjunto das pilhas de minrio;S : Conjunto dos parmetros de qualidade analisados no minrio;tij: Teor do parmetroj na pilhai (%);tlj: Teor mnimo admissvel para o parmetroj no produto nal (%);tuj: Teor mximo admissvel para o parmetroj no produto nal (%);Qui : Quantidade mxima disponvel na pilhai (t);Cc : Capacidade da carregadeira (t).26Sejam as seguintes variveis de deciso:xi: A quantidade de minrio a ser retirada da pilhai (t);Ni: O nmero de caambadas a serem efetuadas na pilhai.max

iMxi(2.35)s.a: tlj

iMtijxi

iMxi tujj S (2.36)xi Quii M (2.37)xi= CcNii M (2.38)Ni Z+i M (2.39)xi 0 i M (2.40)Neste modelo, o objetivo (equao (2.35)) maximizar a quantidade de minrioretiradadeumconjuntoMdepilhasdeformaagerarumprodutonalnoqualovalordoj-simoparmetroestejadentrodasespecicaesestabelecidas(res-trio(2.36)). Considera-se, pelarestrio(2.37), queaquantidadedeminrioretiradadeumapilhainodevesuperarasuaquantidadedisponvel Quiequeesta quantidade seja mltipla da capacidade da caamba Cc do equipamento de car-ga (restrio (2.38)). A restrio (2.39) determina que o nmero de caambadas aserem efetuadas em uma pilha i deve ser um valor inteiro positivo e a restrio (2.40)impede que valores negativos sejam aceitos paraxi.Finalmente, observa-se que o conjunto de restries (2.36) no-linear. Assim,o modelo proposto pelos autores pode conduzir a solues sub-timas, no haven-do garantia da otimalidade da soluo nal gerada. Tais restries so facilmentelinearizadas, resultandonasrestriesequivalentes(2.29)e(2.30)apresentadaspgina 25.272.3.2 Alocao Dinmica de CaminhesO problema da mistura de minrios com alocao dinmica de caminhes objetivadeterminar o ritmo de lavra de cada frente de acordo com sua capacidade de pro-duo. A capacidade de produo de cada frente determinada pelos equipamentosde carga nela alocada e pelos caminhes que realizam o transporte do material ato ponto de basculamento.Na alocao dinmica um caminho pode ser alocado a novos pontos de carga ebasculamento de forma a prevenir a formao de las e aumentar a produtividadeda frota. Este aumento de produtividade da frota pode reetir um aumento na ca-pacidade de produo da mina ou a reduo do nmero de equipamentos necessriospara manter o mesmo nvel de produo. Para isso importante que o despacho decaminhes seja eciente.Descreve-se, aseguir, trsmodelosencontradosnaliteraturaqueapresentamsolues para o problema de mistura de minrios com alocao dinmica de cami-nhes.2.3.2.1 O Modelo de Pinto et al.Pinto e Merschmann (2001),Merschmann (2002) e Pinto et al. (2003) abordam oproblemadeplanejamentooperacional delavrautilizandoosistemadealocaodinmicadecaminhes. Estemodelocontemplaoproblemadamisturaeaalo-cao de equipamentos de carga, o atendimento da relao estril/minrio mnimae considera a alocao dinmica dos caminhes.O modelo de Pinto e Merschmann (2001) apresentado pelas equaes (2.41) -(2.47) e utiliza os seguintes dados de entrada:M : Conjunto de frentes de minrio;E : Conjunto de frentes de estril;F : Conjunto de frentes formado porM E;S : Conjunto dos parmetros de qualidade analisados no minrio;C : Conjunto de equipamentos de carga;Pr : Ritmo de lavra recomendado (t/h);tij: Teor do parmetroj na frentei (%);28tlj: Teor mnimo admissvel para o parmetroj no produto nal (%);tuj: Teor mximo admissvel para o parmetroj no produto nal (%);rem: Relao estrio/minrio requerida;Clk: Produo mnima do equipamento de cargak (t/h);Cuk : Produo mxima do equipamento de cargak (t/h).Dene-se, ainda, as seguintes variveis de deciso:xi: Ritmo de lavra da frentei (t/h);yik:_1 se o equipamento de cargak opera na frentei;0 caso contrrio.max

iMxi(2.41)s.a: tlj

iMtijxi

iMxi tujj S (2.42)

kCyik 1 i F (2.43)

iFyik 1 k C (2.44)

kCClkyik xi

kCCukyiki F (2.45)

iMxi Pr (2.46)

iExi

iMxi rem (2.47)Observa-se nesta formulao que a funo objetivo (2.41) deve ser maximizadasujeita s restries (2.42), que denem valores mnimos e mximos admissveis parao parmetro de qualidadej no produto nal. Outras restries que complementamo modelo esto relacionadas alocao de equipamentos de carga, onde a restrio(2.43)denequecadafrentepossui umnicoequipamentodecarga, enquantoarestrio (2.44) dene que cada equipamento de carga opera em uma nica frente.A restrio (2.45) est relacionada ao ritmo de lavra,mnimo e mximo, imposto29pelosequipamentosdecarga. Arestrio(2.47)dizrespeitoaoatendimentodarelao estril/minrio.Observa-se, nalmente, que o modelo proposto pelos autores no linear, tendoem vista as restries (2.42) e (2.47). Sendo assim, no h garantia de que a soluonal produzida seja tima.2.3.2.2 O Modelo de White et al.White et al. (1982) apresentam um modelo de programao linear para minimizar onmero de caminhes necessrios atravs de restries relacionadas continuidadedouxodematerial pelospontosdecargaebasculamentoescapacidadesdeproduo dos pontos de carga. Para o modelo descrito pelas equaes (2.48)-(2.51)sejam os seguintes dados de entrada :NP: Conjunto de rotas viveis;NS: Conjunto de pontos de basculamento;NC: Conjunto de pontos de carga;NF: Conjunto de pontos formado porNS NC;Ej: Conjunto de rotas viveis que chegam no pontoj;Sj: Conjunto de rotas viveis que saem do pontoj;C : Nmero de pontos de carga;Tdi: Tempo de deslocamento pela rotai (min);Tbj: Tempo de basculamento no pontoj (min);Rj: Taxa de carregamento do pontoj (caminhes/min).e a seguinte varivel de deciso:Pij: Taxa de caminhes que utilizam a rotai que possui ligao comum ponto de carga ou basculamentoj (caminhes/min).30min

iNPPiTdi +

jNS

iEjPijTbj + C (2.48)s.a:

iEjPij

iSjPij= 0 j NF(2.49)

iSjPij Rj= 0 j NC(2.50)Pij 0 j NC, i NP(2.51)Nesta formulao, a funo objetivo (2.48) visa minimizar a necessidade de cami-nhes mantendo a produo mxima dos equipamentos de carga (restrio (2.50)).A restrio (2.49) garante que a taxa total de entrada de caminhes em um pontodecargaoubasculamentoigual taxatotal desadadesteponto. Arestrio(2.51) no permite valores negativos para a taxa de caminhes em uma rota.2.3.2.3 O Modelo de White e OlsonWhite e Olson (1986) apresentam um modelo de programao linear para o problemade alocao dinmica de caminhes em minerao, o qual dividido em duas partes.Na primeira parte do modelo, restries (2.52)-(2.55), realiza-se uma otimizao doproblema da mistura de minrios tendo como objetivo a minimizao da funo decusto dada pela equao (2.52), a qual considera o ritmo de lavra, o atendimento staxas de alimentao da usina de beneciamento e de qualidade da mistura, almdo remanuseio de material.As restries domodeloestorelacionadas s capacidades de produodosequipamentos de carga (restrio (2.53)), s taxas de alimentao mnima requeri-dadausinade beneciamento(restrio(2.54))equalidadedamistura(restri-o (2.55)). A formulao do problema apresentada pelas equaes (2.52)-(2.55)e considera os seguintes dados de entrada:Nm: Conjunto de equipamentos de carga alocados nas frentes de lavra;Nest : Conjunto de equipamentos de carga alocados nas pilhas de estoque;NF: Conjunto de pontos de carga formado porNS NC;S : Conjunto dos parmetros de qualidade analisados no minrio;cm: Custo de movimentao de material (h/m3);31cp: Custo associado alimentao da usina de beneciamento (h/m3);cs: Custo de estocagem de material (h/m3);cq: Custo associado qualidade do minrio (h/m3);Pu : Produo mxima admissvel(m3/h);tij: Teor do parmetroj no minrio proveniente da frente ou pilha deestoquei (%);tlj: Teor mnimo admissvel para o parmetroj no produto nal (%);tuj: Teor mximo admissvel para o parmetroj no produto nal (%);tcj: Teor corrente para o parmetroj na pilha de mistura (%);lj: Importncia do parmetroj;Ri: Produo mxima do ponto de cargai (m3/min);TC: Intervalo de controle (h);MC: Massa de controle (t);SG: Peso especco (t/m3).e a seguinte varivel de deciso:xi: Ritmo de lavra do ponto de cargai (m3/h).min

iNmcmxi + cp(Pu

iNFxi) +

iNestcsxi+

iNF

jSljcqtijxi(2.52)s.a: 0 xi Rii NF(2.53)Pu

iNFxi(2.54)tlj tcj +

iNF(tij tcj)xiTC/(MC/SG) tujj S (2.55)A segunda parte do modelo de White e Olson (1986) semelhante ao modelo deWhite et al. (1982), diferenciando-se por utilizar como varivel de deciso o volumedematerial transportadoporhora, aoinvsdataxadecaminhesporhora, queutilizam uma rota. considerado, ainda, a presena de pilhas de estocagem. Paraeste modelo, apresentado pelas equaes (2.56)-(2.61), sejam os seguintes dados deentrada:32NP: Conjunto de rotas viveis;NS: Conjunto de pontos de basculamento;Nm: Conjunto de equipamentos de carga alocados nas frentes de lavra;Nest : Conjunto de equipamentos de carga alocados nos pilhas de estoque;NF: Conjunto de pontos de carga formado porNS NC;ND: Conjunto de pontos de carga e basculamento formado porNF NS;Ej: Conjunto de rotas viveis que chegam no pontoj;Sj: Conjunto de rotas viveis que saem do pontoj;E : Nmero de pontos de carga;CF: Capacidade da frota (m3);Tdi: Tempo de deslocamento pela rotai (h);Tbj: Tempo de basculamento no pontoj (h);Ri: Taxa de carregamento do pontoi (m3/h).e a seguinte varivel de deciso:Pij: Volume transportado pela rotai que possui ligao comum ponto de carga ou basculamentoj (m3/h).min

iNPPiTdi +

jNS

iEjPijTbj + ECF(2.56)s.a:

iEjPij

iSjPij= 0 j ND(2.57)

iSjPij= Rjj Nm(2.58)

iSjPij Rjj Nest(2.59)

iSjPij= xjj NF(2.60)Pij 0 j ND, i NP(2.61)Nesta formulao, a funo (2.56) tem por objetivo minimizar a necessidade detransportedematerial namina. Arestrio(2.57)estrelacionadacomacon-tinuidade do uxo de material atravs dos pontos de carga e basculamento. O ritmo33de lavra das frentes de minrio deve ser igual sua taxa de carregamento (restri-o (2.58)). A restrio (2.59) dene que o ritmo de lavra em pilhas de estocagemdeve ser menor ou igual taxa de carregamento do ponto. A unio desta segundapartedomodelodeWhiteeOlson(1986)comaprimeirarealizadaatravsdarestrio (2.60), onde dene-se que o uxo de material que sai de um ponto de cargadeve ser igual ao ritmo de lavra determinado na primeira parte do modelo.2.3.3 Alocao Esttica de CaminhesO problema de mistura de minrios com alocao esttica de caminhes geralmenteadotado devido simplicao das operaes e ao custo relativo implantao deum sistema de despacho computadorizado de caminhes.Naalocaoesttica, umcaminhoalocadoaumanicarota, ouseja, per-manece se deslocando entre dois pontos xos, um de basculamento e outro de carga,ondeestejaalocadoumequipamentodecargacompatvel. Destaforma, oritmode lavra de uma frente depender da capacidade de produo dos caminhes e doequipamento de carga alocado frente.2.3.3.1 O Modelo de Pinto e MerschmannPintoeMerschmann(2001)apresentamummodeloparaoproblemadealocaoestticadecaminhesemminerao. Estemodeloformuladosegundoasequa-es (2.62) - (2.71), sendo considerados os seguintes dados de entrada:M : Conjunto de frentes de minrio;E : Conjunto de frentes de estril;F : Conjunto de frentes formado porM E;S : Conjunto dos parmetros de qualidade analisados no minrio;C : Conjunto de equipamentos de carga;V : Conjunto de caminhes;Pr : Ritmo de lavra recomendado (t/h);tij: Teor do parmetroj na frentei (%);tlj: Teor mnimo admissvel para o parmetroj no produto nal (%);tuj: Teor mximo admissvel para o parmetroj no produto nal (%);rem: Relao estrio/minrio requerida;34Clk: Produo mnima do equipamento de cargak (t/h);Cuk : Produo mxima do equipamento de cargak (t/h);glk:_1 se o caminhol compatvel com o equipamento de cargak;0 caso contrrio.V uil: Produtividade do caminhol operando na frentei (t/h).E, ainda, as seguintes variveis de deciso:xi: Ritmo de lavra da frentei (t/h);yik:_1 se o equipamento de cargak opera na frentei;0 caso contrrio.zil:_1 se o caminhol opera na frentei;0 caso contrrio.max

iMxi(2.62)s.a: tlj

iMtijxi

iMxi tujj S (2.63)

kCyik 1 i F (2.64)

iFyik 1 k C (2.65)

iFzil 1 l V (2.66)yij + zil 2dlk 1 i F, k C, l V (2.67)

kCClkyik xi

kCCukyik i F (2.68)xi

lVV uilzil i F (2.69)

iMxi Pr (2.70)

iExi

iMxi rem (2.71)Estaformulaosemelhanteapresentadanaseo2.3.2.1, diferenciando-sedesta pelas restries: (2.66),que faz com que um caminho atenda a uma nicafrente; (2.67), quepermitequeumcaminhooperesomenteemumafrenteque35possua um equipamento de carga compatvel e (2.69), que limita a produo de umafrente pela produtividade dos caminhes nela alocados.Observa-se, nalmente, queomodelopropostopelosautoresnolinear, emvista da no linearidade das restries (2.63) e (2.71). Assim sendo, no h garantiade que a soluo nal gerada por um otimizador seja tima.36Captulo 3Problemas AbordadosNeste captulo so apresentados os problemas de minerao considerados neste tra-balho. Para clareza de entendimento, cada problema apresentado de forma inde-pendente, com repetio de conceitos.A seo 3.1 descreve o problema da mistura deminrios, o qual subproblema dos problemas de mistura de minrios com alocaodinmicaeestticadecaminhes, apresentadosnassees3.2e3.3, respectiva-mente.3.1 Mistura de Minrios por Metas3.1.1 Descrio do Problema da MisturaOproblemadamisturademinriospormetas(PMM)abordadodenidocomoadeterminaodaproporodeminrioprovenientedecadafrentedelavraquedeverserutilizadadeformaagerarumprodutonal queatendasmetasdequalidade e produo estabelecidas.Cada frente de lavra contm uma determinada quantidade de minrio, com ca-ractersticas fsicas, qumicas e econmicas diferenciadas, denominadas parmetrosde controle.Para a lavra do minrio so utilizadas ps-carregadeiras, as quais possuem caam-bascomcapacidadesdecargadiferentes. Assim, aquantidadedeminrioaserutilizada de cada frente de lavra depender da capacidade da caamba e do nmerode caambadas efetuadas pelas ps-carregadeiras.O produto nal formado dever conter uma determinada quantidade de minrio,denominadametadeproduo. Essametapodevariar entreumvalor mnimo37eummximoespecicados. Oprodutonal dever, ainda, atendersmetasdequalidade especicadas para cada parmetro de controle, podendo variar entre umlimite mnimo e mximo.Para a modelagem do problema foram adotadas duas metodologias de pesquisaoperacional.A primeira, descrita na seo 3.1.2, utiliza-se da programao matemti-ca para a obteno de uma soluo exata. A segunda metodologia, apresentada naseo 3.1.3, baseia-se em tcnicas heursticas para encontrar solues aproximadasdo problema.3.1.2 Modelagem Exata do Problema da Mistura de MinriosPara a modelagem exata do PMM ser utilizada a tcnica de pesquisa operacionalconhecida como programao por metas (Goal Programming).Paraessemodelo, apresentadoatravs das equaes (3.1) - (3.14), sejamosseguintes dados de entrada:M : Conjunto de frentes de minrio;S : Conjunto dos parmetros de controle analisados no produto nal;tij: Valor do parmetro de controlej na frente de minrioi (%);trj: Valor requerido para o parmetro de controlej no produto nal (%);tlj: Valor mnimo admissvel para o parmetro de controlej no produto nal (%);tuj: Valor mximo admissvel para o parmetro de controlej no produto nal (%);Pr : Meta de produo (t);Pl : Quantidade mnima a ser produzida (t);Pu : Quantidade mxima a ser produzida (t);j: Penalidade por desvio negativo para o parmetro de controlej no produto nal;+j: Penalidade por desvio positivo para o parmetro de controlej no produto nal;: Penalidade por desvio negativo da produo;+: Penalidade por desvio positivo da produo;Qli: Quantidade mnima a ser utilizada da frentei (t);Qui : Quantidade mxima a ser utilizada da frentei (t);Cci: Capacidade da caamba da carregadeira alocada frentei (t).Considerando as seguintes variveis de deciso:38xi: Quantidade de minrio a ser utilizada da frentei (t);Ni: O nmero de caambadas a serem efetuadas na frentei;dj: Desvio negativo do parmetro de controlej no produto nal;d+j: Desvio positivo do parmetro de controlej no produto nal;P: Desvio negativo da produo requerida (t);P+j: Desvio positivo da produo requerida (t).tem-se pelas equaes (3.1) - (3.14) o modelo de programao por metas relativo aoproblema da mistura de minrios.min

jSj dj+

jS+jd+j+ P + +P+(3.1)s.a:

iM(tij tuj)xi 0 j S (3.2)

iM(tij tlj)xi 0 j S (3.3)

iM(tij trj)xi + dj d+j= 0 j S (3.4)

iMxiPu 0 (3.5)

iMxiPl 0 (3.6)

iMxiPr + PP+= 0 (3.7)xiQui 0 i M (3.8)xiQli 0 i M (3.9)xi= CciNii M (3.10)Ni Z+i M (3.11)xi 0 i M (3.12)d+j , dj 0 j S (3.13)P+, P 0 (3.14)Nestemodeloobservam-seasrestriesclssicasdoproblemademistura. Asrestries (3.2) e (3.3) denem limites mximos e mnimos para os parmetros decontrole, enquantoas restries (3.5) e(3.6) limitamaquantidademximaea39mnimademinrionoprodutonal. Asrestries(3.8)e(3.9)denemasquan-tidadesmximasemnimasaseremutilizadasdecadafrentedelavra. Arestri-o(3.10)denequeaquantidadedeminrioutilizadadeumafrentedelavraobtida multiplicando-se a capacidade da caamba da p-carregadeira pelo nmerode caambadas. A restrio (3.11) determina que o nmero de caambadas a seremefetuadas em uma frente de lavra deve ser um valor inteiro positivo.Asrestries(3.4)e(3.7), propostasporChandaeDagdelen(1995)edesen-volvidas a partir do mtodo de programao por metas (goal programming), visammedir os desvios de qualidade e produo, respectivamente, em relao aos valoresrequeridos. As restries (3.12), (3.13) e (3.14) impedem que valores negativos se-jam aceitos para as variveis de deciso. Com a incluso das restries (3.4) e (3.7),afunocomonicoobjetivodemaximizaraproduodeminrioutilizadaemPintoetal.(2003), foialteradaparaafunomultiobjetivo(3.1), ondedeseja-seminimizar os desvios de produo e qualidade em relao aos valores requeridos.3.1.3 Modelagem Heurstica do Problema da MisturaPara a modelagem heurstica do Problema da Mistura de Minrios so descritos arepresentao de uma soluo do problema, a estrutura de vizinhana desenvolvida,aformadeavaliarasoluoeastcnicasheursticasutilizadasparaexploraroespao de solues do problema.3.1.3.1 Representao de uma SoluoUma soluo s para o PMM representada por um vetor A = (a1 ai am)t,onde cada clulaai representa o nmero de caambadas a serem efetuadas em umafrente de lavrai. Esta representao foi adotada por ser de simples implementaoedenirmovimentosnaturais. Outravantagemqueelapermiteumrpidole-vantamentodascaractersticasaseremavaliadasemumasoluo. AFigura3.1exemplica uma soluo correspondente representao adotada.F1F2F3. . . Fm0 10 8 . . . 5Figura 3.1: Representao de uma soluo do PMM40Nesta gura, F1, F2, , Fmrepresentam as frentes de lavra. Observa-se que aclulaa1possuiovalor0, ouseja, nenhumminrioprovenientedafrenteF1serutilizadonoprodutonal. Jaclulaa3apresentaovalor8, representandoquesero necessrias oito caambadas da frenteF3 no produto nal.3.1.3.2 Gerao de uma Soluo InicialUma soluo inicial para o PMM gerada de forma aleatria, conforme se descrevea seguir. Para cada frente i atribudo clula ai um valor aleatrio compreendidoentre o nmero mnimo e o nmero mximo de caambadas permitidas para seremretiradas da frente.Observa-se, dessa forma, que podem ser geradas solues iniciais inviveis paraoproblemanoquedizrespeitoaoatendimentodoslimitesdeespecicaodosparmetros de controle.3.1.3.3 Avaliao de uma SoluoUma soluo s avaliada por uma funo f(s) que leva em considerao a produoeaqualidadedoprodutonal. Essaavaliaolevaemconsideraooseguinteconjunto de requisitos essenciais e no-essenciais a serem atendidos:i ) Requisitos essenciais:so aqueles que se no forem satisfeitos, geraro soluesinviveis, a saber:(a) Quantidade de minrio no produto nal no satisfaz os limites de produoespecicados;(b) Parmetros de controle no produto nal extrapolam os limites de quali-dade especicados.ii ) Requisitosno-essenciais: soaquelescujoatendimentodesejvel, porm,quando no satisfeitos, no geram programaes inviveis, no caso:(a) Quantidade de minrio no produto nal no atende meta de produo;(b) Parmetros de controle no produto nal no atendem s metas de quali-dade.41Deste modo, a avaliao do PMM realizada por duas componentes, sendo quea primeira avalia a produo e a segunda a qualidade do minrio. Mais especica-mente, uma soluos avaliada pela frmula (3.15).f(s) = fp(s) +

jSfqj (s) (3.15)onde:fp(s) : Funo que avalias quanto produo;fqj (s) : Funo que avalias quanto qualidade doj-simo parmetro de controle.Detalha-se, a seguir, cada uma dessas funes de avaliao.Produo de MinrioA produo de minrio de uma soluos avaliada segundo a equao (3.16).fp(s) = p

_[Pr P[p_(3.16)onde:P : Produo de minrio (t);Pr : Meta de produo de minrio (t);p: Peso associado avaliao da produo;p: Intervalo de signicncia para a produo.Ovalor daproduodeminrioPobtidopelosomatriodaproduodecadafrente i, quecorrespondeaonmerodecaambadasaseremrealizadas Nimultiplicado pela capacidade da caambaCci, conforme equao (3.17).P=

iMNiCci(3.17)De acordo com o valor dePso aplicados diferentes valores depna funo deavaliao da produo de minrio. No caso, duas situaes so possveis:42p=_pseP< Prp+seP PrO intervalop utilizado para uma produo de minrio inferior meta, en-quantoointervalop+aplica-seaumaproduodeminrioigual ousuperiormeta.Ainda, conforme o valor de P, associado um peso p componente de avaliaode produo, conforme as seguintes situaes:p=___pseP< PlpsePl P< Prp+sePr P Pup+seP> PuOspesos pep+soutilizadosparadarmaiorimportnciaaosrequisitosessenciais. O peso p utilizado se a produo de minrio estiver abaixo do limiteinferiordeproduoespecicado, jopesop+utilizadocasoaproduosejamaiorqueolimitesuperior. Ospesos pe p+referem-seaosrequisitosno-essenciais, sendo aplicados, respectivamente, uma produo de minrio dentro doslimites de viabilidade, mas abaixo ou acima da meta de produo.Qualidade da MisturaA qualidade da mistura depende da proporo de minrio retirado de cada frentee dos parmetros de controle a serem analisados na mistura. Desta forma, cada umdos parmetros de controlej avaliado pela equao (3.18).fqj (s) = qj _[trj tj[qj_j S (3.18)onde:tj: Valor encontrado para o parmetroj (%);trj: Meta de qualidade para o parmetroj (%);qj: Peso associado avaliao da qualidade do parmetroj;qj: Intervalo de signicncia para a qualidade do parmetroj.43Cada frente i possui um valor tij para o parmetro de controle j.Pode-se calcularovalortotal tjdoparmetrodecontrolejcontidonamisturaatravsdamdiaponderada entretije a produo de cada frentei, apresentada na equao (3.19).tj=

iMtijxi

iMxij S (3.19)onde:xi= NiCciDe acordo com o valor detjso aplicados diferentes valores deqjna funo deavaliao da qualidade do minrio, a saber:qj=_qjsetj< trjq+jsetj trjj SO intervalo qj utilizado para um valor encontrado tj para o parmetro j infe-rior meta especicada, enquanto o intervaloqjaplica-se a um valor encontradoigual ou superior meta.Ainda, conforme o valor encontrado tj, associado um peso qj componente deavaliao da qualidade do parmetro de controle j, conforme as seguintes situaes:qj=___qjsetj< tljqjsetlj tj< trjq+jsetrj tj tujq+jsetj> tujj SQuandoqjassumeosvalores qje q+jsignicaquesetratadosrequisitosessenciais relativos qualidade da mistura. O peso qj utilizado se a qualidade damistura encontrar-se abaixo do limite inferior de produo especicado tlj, enquantoo pesoq+j utilizado caso a qualidade da mistura para o parmetro de controlejseja maior que o limite superiortuj. Os pesosqjeq+jreferem-se aos requisitosno-essenciais,sendo aplicados,respectivamente, uma qualidade da mistura queesteja abaixo ou acima da meta de produo e dentro dos limites de viabilidade.3.1.3.4 Movimento e Estrutura de VizinhanaNo PMM, um vizinhos

de uma soluos encontrado aplicando-se trs tipos demovimentos, osquaisconsistememalterarumaclulaai, ouseja, onmerode44caambadas a serem utilizadas de uma frentei, respeitando-se os limites mximo emnimo estabelecidos para a frente.Noprimeiromovimento, onmerodecaambadasaseremutilizadasdeumafrente alterado em uma unidade, para mais ou para menos.O segundo movimento semelhante ao primeiro diferenciando-se por alterar emduas unidades o nmero de caambadas a serem utilizadas de uma frentei.O terceiro movimento consiste em realocar uma caambada da frente i para umaoutra frentej.Essesmovimentosdenem, respectivamente, trsdiferentesestruturasdevizi-nhana, a saber: NM1(s),NM2(s) e ,NMR(s) as quais so apresentadas em detalhea seguir.Movimento Uma CaambadaOmovimentoumacaambada deneaestruturadevizinhanadenominadaNM1(s)econsisteemgerarumvizinhos

paraoqual onmerodecaambadasusadas de uma dada frente alterado em uma unidade. Testa-se o acrscimo, bemcomo o decrscimo de uma caambada em uma frente, retornando-se como vizinhoa alterao que produzir o melhor valor para a funo de avaliao.Na Figura 3.2 apresentado o movimento de acrscimo de uma caambada nafrenteF3,ou seja,a frenteF3que contribuiria com oito caambadas passa a con-tribuir com nove caambadas para o produto nal.F1F2F3F4 F1F2F3F40 10 8 5 0 10 9 5 Figura 3.2: Movimento acrscimo de uma caambadaJ a Figura 3.3 ilustra o decrscimo de uma caambada na frenteF3,ou seja,das oito caambadas que seriam retiradas da frenteF3 na soluo corrente, apenassete caambadas seriam retiradas dessa frente na nova soluo aps o movimento.45F1F2F3F4 F1F2F3F40 10 8 5 0 10 7 5 Figura 3.3: Movimento decrscimo de uma caambadaMovimento Duas CaambadasOmovimentoduascaambadas deneumaestruturadevizinhanadenomi-nadaNM2(s). Tal como no movimento anterior, um vizinhos

gerado a partir dasoluosporummovimentoduascaambadas aqueleparaoqual ovalordafuno de avaliao o melhor dentre as alternativas de acrescer ou decrescer duascaambadas em uma frente.Na Figura 3.4 apresentado o movimento de acrscimo de duas caambadas nafrenteF3, ou seja, na nova soluo so retiradas nove caambadas desta frente, aoinvs das sete caambadas da soluo anterior.F1F2F3F4 F1F2F3F40 10 7 5 0 10 9 5 Figura 3.4: Movimento acrscimo de duas caambadasJaFigura3.5apresentaodecrscimodeduascaambadasnafrenteF3, ouseja, a frente F3 que contribuiria com sete caambadas passa a contribuir com cincocaambadas para o produto nal.F1F2F3F4 F1F2F3F40 10 7 5 0 10 5 5 Figura 3.5: Movimento decrscimo de duas caambadasMovimento Realocar CaambadaO movimento realocar caambada dene uma estrutura de vizinhana denomi-nadaNMR(s), sendo ilustrado na Figura 3.6.Nesta gura apresentado o movimento de realocao de uma caambada en-treasfrentesF2eF4. AfrenteF2quecontribuiriacomdezcaambadas passaa46contribuircomnoveeafrenteF4quecontribuiacomcincocaambadaspassaacontribuir com seis caambadas para o produto nal.F1F2F3F4 F1F2F3F40 10 7 5 0 9 7 6 Figura 3.6: Movimento de realocao de uma caambada3.1.3.5 SimulatedAnnealingaplicado ao PMMO mtodo Simulated Annealing, SA, desenvolvido para o PMM, o algoritmo bsicodescrito na Figura 2.3, pgina 14, utilizando a vizinhanaNM1(s) que usa o movi-mento uma caambada descrito na seo 3.1.3.4, pgina 44, e a funo de avaliaodescrita na seo 3.1.3.3, pgina 41.O nmero mximo de iteraes em uma dada temperatura, SAmax, calculadocombasenonmerodefrenteseonmerodeparmetrosdecontroleatravsdaequao (3.20).SAmax = k [S[ [M[ (3.20)ondek um parmetro do mtodo a ser determinado empiricamente, [S[ o nmerode parmetros de controle e [M[ o nmero de frentes.A temperatura inicial do mtodo obtida por simulao atravs do procedimentodescrito na Figura 2.4, pgina 15, onde devem ser aceitos 97% dos movimentos. Esteparmetro est em conformidade com a proposio do mtodo, o qual exige que atemperaturainicial sejaelevada deformaquehajanoinciodoprocessoumamudana signicativa na congurao do sistema.Foi utilizado como critrio de parada uma temperatura nal inferior 0,01.3.1.3.6 VNDaplicado ao PMMOmtodoVNDdesenvolvidoparaoPMMoalgoritmobsicoapresentadonaFigura2.6, pgina18, utilizandoos trs movimentosdescritos naseo3.1.3.4,pgina 44, e a funo de avaliao descrita na seo 3.1.3.3, pgina 41.Para a explorao do espao de solues, foram utilizadas as seguintes estruturasde vizinhana, nesta ordem:471 ) NM2(s), retirar ou acrescentar duas caambadas;2 ) NM1(s), retirar ou acrescentar uma nica caambada;3 ) NMR(s), realocar uma caambada de uma frente para outra.A ordem de explorao do espao de solues considerada foi aquela que apre-sentou bons resultados obtidos atravs da realizao de uma bateria preliminar detestes.3.1.3.7 VNSaplicado ao PMMOmtodoVNS desenvolvidoparaoPMMoalgoritmobsicoapresentadonaFigura2.7, pgina19, utilizandoos trs movimentosdescritos naseo3.1.3.4,pgina 44. Tal como na verso original do mtodo VNS, a busca local realizadapelomtodoVND, nocasoaqueledesenvolvidonaseo3.1.3.6, pgina47. Aavaliao de uma soluo feita pela funo descrita na seo 3.1.3.3, pgina 41.De modo a permitir a explorao do espao de solues,as estruturas de vizi-nhana foram hierarquizados da seguinte forma:1 ) NM2(s), retirar ou acrescentar duas caambadas;2 ) NM1(s), retirar ou acrescentar uma caambada;3 ) NMR(s), realocar uma caambada de uma frente para outra.A hierarquizao das estruturas de vizinhana para a explorao do espao desolues considerada foi aquela que apresentou melhores resultados em uma bateriapreliminar de testes.Foi utilizado como critrio de parada a situao em que no era mais possvelmelhorar a soluo corrente em nenhuma das trs estruturas de vizinhana.3.1.3.8 SA+VNDaplicado ao PMMOmtodoSA+VNDutilizainicialmenteomtodoSAdescritonaseo3.1.3.5,aplicando-se soluo nal gerada uma busca local pelo mtodo VND, apresentadona seo 3.1.3.6. O objetivo desta hibridizao alcanar solues melhores que asgeradas apenas com a aplicao doSA, uma vez que este mtodo utiliza somente48umaestruturadevizinhana, sendo, portanto, mopenaexploraodoespaodesolues.3.2 Alocao Dinmica de Caminhes3.2.1 DescriodoProblemadeAlocaoDinmicadeCa-minhesNo problema da mistura de minrios com alocao dinmica de caminhes (PADC)oobjetivofornecerusinadebeneciamentoumaalimentaoquesatisfaaasespecicaes exigidas pelo cliente, lavrando minrio proveniente de diversas frentes.Cada frente de minrio contm uma determinada quantidade de minrio,com ca-ractersticas fsicas, qumicas e econmicas diferenciadas, denominadas parmetrosde controle. Deste modo necessrio selecionar as frentes a serem lavradas e seusritmos de lavra, os quais devem ser determinados proporcionalmente. Este objeti-vosemelhanteaodoPMM, entretantooutrasrestrieseexignciasdevemserconsideradas.Uma exigncia est relacionada ao atendimento de uma relao estril/minriomnima requerida pela mina, de modo a viabilizar a abertura de novas frentes e arealizao de obras de infraestrutura.As demais restries esto ligadas frota de equipamentos de carga e transporteerestringemacapacidadedeproduodasfrentes. Paraaoperaodelavrademinrio e estril, a mina conta com uma frota limitada de equipamentos de carga,os quais devem ser alocados s frentes de lavra e operarem em uma faixa de produ-tividade que torne vivel sua utilizao. O transporte do material retirado da frentede lavra realizado por uma frota de caminhes com capacidade de carga diferentes.Esses caminhes so alocados s frentes de lavra dinamicamente, tentando-se evitara formao de las, ou seja, o caminho alocado a um ponto de carga ou bascu-lamento que proporcione o menor tempo de la possvel. Entretanto, um caminhosomente pode serdirecionadoumafrente quepossuaumequipamento decargacompatvel.Para a modelagem do problema foram adotadas duas metodologias de pesquisaoperacional.A primeira, descrita na seo 3.2.2, utiliza-se da programao matemti-ca para a obteno de uma soluo exata. A segunda metodologia, apresentada na49seo 3.2.3, baseia-se em tcnicas heursticas para encontrar solues aproximadasdo problema.3.2.2 Modelagem Exata do Problema de Alocao Dinmicade CaminhesPara a modelagem exata do problema, tal como no problema anterior, ser utilizadaatcnicadepesquisaoperacional conhecidacomoprogramaopormetas(GoalProgramming).Para o modelo de alocao dinmica de caminhes, apresentado pelas equaes(3.21)-(3.42), sejam os seguintes dados de entrada:M : Conjunto de frentes de minrio;E : Conjunto de frentes de estril;F : Conjunto de frentes formado porM E;S : Conjunto dos parmetros de qualidade analisados no minrio;C : Conjunto de equipamentos de carga;V : Conjunto de equipamentos de transporte;Pr : Ritmo de lavra recomendado (t/h);Pl : Ritmo de lavra mnimo (t/h);Pu : Ritmo de lavra mximo (t/h);: Penalidade por desvio negativo da produo;+: Penalidade por desvio positivo da produo;tij: Valor do parmetroj na frentei (%);trj: Valor recomendado para o parmetroj na mistura (%);tlj: Valor mnimo admissvel para o parmetroj na mistura (%);tuj: Valor mximo admissvel para o parmetroj na mistura (%);j: Penalidade por desvio negativo para o parmetroj na mistura;+j: Penalidade por desvio positivo para o parmetroj na mistura;Qli: Ritmo de lavra mnimo para a frentei (t/h);Qui : Ritmo de lavra mximo para a frentei (t/h);rem: Relao estrio/minrio requerida;Clk: Produo mnima do equipamento de cargak (t/h);Cuk : Produo mxima do equipamento de cargak (t/h);50capl : Capacidade do caminhol (t);Til: Tempo total de ciclo do caminhol na frentei (min).glk:_1 se o caminhol compatvel com o equipamento de cargak;0 caso contrrio.e as seguintes variveis de deciso:xi: Ritmo de lavra da frentei (t/h);yik:_1 se o equipamento de cargak opera na frentei;0 caso contrrio.nil: Nmero de viagens que um caminhol realiza na frentei em uma hora;dj: Desvio negativo do parmetroj na mistura (t/h);d+j: Desvio positivo do parmetroj na mistura (t/h);P: Desvio negativo do ritmo de lavra em relao ao recomendado (t/h);P+: Desvio positivo do ritmo de lavra em relao ao recomendado (t/h).O modelo de programao matemtica relativo alocao dinmica de uma frotaheterogneadecaminheseequipamentosdecarga, levando-seemconsideraometasdeproduoequalidadedeminrio, apresentadopelasequaes(3.21)-(3.42).min

jSjdj+

jS+j d+j+ P + +P+(3.21)s.a:

iM(tij tuj)xi 0 j S (3.22)

iM(tij tlj)xi 0 j S (3.23)

iM(tij trj)xi + dj d+j= 0 j S (3.24)

iMxiPu 0 (3.25)

iMxiPl 0 (3.26)

iMxiPr + PP+= 0 (3.27)xiQui 0 i F (3.28)xiQli 0 i F (3.29)51xi 0 i F (3.30)d+j , dj 0 j S (3.31)P+, P 0 (3.32)

iExirem

iMxi 0 (3.33)

kCyik 1 i F (3.34)

iFyik 1 k C (3.35)yik 0, 1 i F, k C (3.36)xi

kCCukyik 0 i F (3.37)xi

kCClkyik 0 i F (3.38)nilTil 60

kCyik 0 i F, l V, glk ,= 0 (3.39)

iFnilTil 60 0 l V (3.40)xi

lVnilcapl= 0 i F (3.41)nil Z+i F, l V (3.42)Observa-se que (3.22)-(3.32) so restries que juntamente com a funo objetivo(3.21)formamomodelodemisturademinrioscommetasapresentadonaseo3.1.2. Arestrio(3.33) dizrespeitoaoatendimentodarelaoestril/minriomnimarequerida. Asdemaisrestriesquecomplementamomodelopodemserdivididas em dois grupos. O primeiro diz respeito alocao de equipamentos decarga e a faixa de produtividade que torne vivel a utilizao desses equipamentos.Arestrio(3.34)denequecadafrentepossui umnicoequipamentodecarga,enquantoquearestrio(3.35)denequecadaequipamentodecargaoperaemumanicafrente. Arestrio(3.36)deneseumequipamentodecargadeveounoseralocadoaumadeterminadafrentedelavra. Asrestries(3.37)e(3.38)limitam, respectivamente, o ritmo de lavra mximo e mnimo.Osegundogrupoderestriesestrelacionadoaotransportedematerial naminaeaalocaodoscaminhes. Arestrio(3.39)fazcomqueumcaminhosomente realize viagens uma frente onde esteja alocado um equipamento de carga52compatvel. A restrio (3.40) dene que um caminho opere no mximo sessentaminutos. A restrio (3.41) faz com que o ritmo de lavra de uma frente seja igual produo realizada pelos caminhes alocados frente. A restrio (3.42) determinaqueonmerodeviagensqueumcaminhofazumafrenteumvalorinteiropositivo.3.2.3 Modelagem Heurstica do Problema de Alocao Din-mica de CaminhesDescreve-se, a seguir, a representao de uma soluo para o problema, os movimen-tos e as estruturas de vizinhana utilizadas, a funo de avaliao de uma soluo eas tcnicas heursticas utilizadas para explorar o espao de solues.3.2.3.1 Representao de uma SoluoUma soluo do PADC representada por uma matriz QF(1+V ) de valores inteiros.Estarepresentaodenetipossimplesenaturaisdemovimentos, tornandomaisfcil o levantamento de algumas caractersticas da funo de avaliao, a qual estbaseada na alocao dos equipamentos de carga e no nmero de viagens realizadaspelos caminhes. Para clareza de apresentao, a matriz QF(1+V ) ser decompostaem duas submatrizesA eB, isto : QF(1+V )=AF1 BFV. A submatrizAF1representaaalocaodosequipamentosdecargaaoconjuntoFdefrenteseosrespectivosstatus dessesequipamentoscomrelaoaofatodeestaremativosouno. A submatrizBFVrepresenta o nmero de viagens que sero realizadas peloscaminhes s frentes.A Figura 3.7 exemplica uma soluo para uma instncia do problema. Nestamatrizsoluo, aslinhasrepresentamasfrentesdelavradisponveisF, acolunaCargarepresentaaalocaodosequipamentosdecargasfrentesdelavraeasdemais colunas representam o nmero de viagens que sero realizadas pelo conjuntoVde caminhes disponveis.Nesta instncia do problema considerado observa-se, na colunaCarga linhaF1,a dupla (Car4, 1), indicando que o equipamento de carga Car4 est alocado frenteF1eemoperao. NacolunaCargalinhaF3, adupla(Car8, 0)indicaqueoequipamentodecargaCar8estalocadofrenteF3, masnoestemoperao.53Carga Cam1Cam2. . . CamVF1(Car4,1) 8 X . . . XF2(D,0) 0 0 . . . 0F3(Car8,0) 0 0 . . . 0............ . . ....FF(Car5,1) 0 9 . . . 3Figura 3.7: Representao de uma soluoObserva-se, ainda, nesta colunaCarga que na linhaF2o valor(D, 0) informa quenoexisteequipamentodecargaalocadofrenteF2eque, portan