Dinâmica de um Sistema de Muitas Partículas

Centro de Massa e Momentum Linear

x m

d/dt

r1

r2r3

r4

r5

r6

r7

r8

rcm

z

x

yO

Uma partícula

Várias partículas

É por isso que recipientes cheios de gás não saem andando espontaneamente!

cm

Campo gravitacional uniforme:

Resultante nula:

Momentum Angular do Sistema

ri

rj

rij

O

Forças centrais

Princípio de Conservação do Momentum Angular

M74 M81

Galáxias Espirais --- disco de estrelas em rotação

NGC2841 NGC3115

Energia Cinética do Sistema de Partículas ri

rcm

ri

O

d/dt

d/dt

Movimento de Dois Corpos que Interagem—Massa Reduzida

dois corpos (tomados como partículas) que interagem através de força central

r1

r2

cm

m2

m1

R

massa reduzida

v1

v2

F1 F2

m1, r1

m2 ,r2

R

v1

v2

F1 F2

m1, r1

m2 ,r2

R

m1, r1

m2 ,r2

R

ColisõesConservação do momento linear

Conservação da energia cinética

Q : ganho (<0) ou perda (>0) de energia cinética pelas partículas

Q =0 : energia cinética conservada colisão elástica

Colisões frontais de duas partículas

Coeficiente de restituição:totalmente inelástica

elástica

Massa reduzida

Velocidade relativa

(exceto para colisões explosivas)

m

Movimento de um Corpo com Massa Variável — Movimento de um Foguete

m m+m

Mecânica dos Corpos Rígidos - Movimento no Planoz

x

yO

r1

r2r3

r4

r5

r6

r7

r8

rcm

Considerações de Simetria

z

Hemisfério Sólido

Alguns Teoremas sobre o Equilíbrio Estático de um Corpo Rígido

equilíbrio completo de um corpo rígido.

Equilíbrio em um Campo Gravitacional Uniforme

Rotação de um Corpo Rígido em Torno de um Eixo Fixo — Momento de Inércia

x

y

φ

mi

Ri

yi

xi

onde

H

TORQUE SOBRE O

HELICÓPTERO

TORQUE SOBRE A HÉLICE

AR EJETADO PELO ROTOR

TRASEIRO

TORQUE PROVOCADO

PELA REAÇÂO (FORÇA) AO AR

EJETADO

ATRITO DO TREM DE POUSO COM A

PLATAFORMA GERA TORQUE QUE

IMPEDE A ROTAÇÂO DO HELICÒPTERO

x

y

φ

mi

Ri

yi

xi

Uma partícula:

eixo fixo:

Calculo do Momento de Inércia

corpo composto:

Exemplo: Barra fina

Aro ou Casca Cilındrica

Disco Circular ou Cilindro

ar

dr

eixo

eixo

ya

dz

Esfera

z

eixo

2

z

eixo

Casca Esférica

z

eixo

d/da

d/da

Teorema dos Eixos Perpendiculares

x

y

z

Disco circular fino no plano xy.

x

y

rcm

ri

Teorema dos Eixos Paralelos

ri

CM

Disco circular fino no plano xy.

z xy

a

z’

Disco circular fino no plano xy.

z xy

CM

a

y’

Raio de Giração

Exemplo: o raio de giração de uma barra fina, relativo a um eixo perpendicular que passa por uma extremidade

O Pêndulo Físico

cm

O

l

O Pêndulo Físico

cm

θ

O Usando o teorema dos eixos paralelos, podemos expressar o raio de giração k em termos do raio de giração relativo ao centro de massa km

l

Centro de Oscilação

cm

θ

O

O’

cm

l

l’

cm

l’

ponto O’ : centro de oscilação do ponto O

ponto O : centro de oscilação do ponto O’

Ex: Barra fina oscilando da extremidade:

Teorema Geral Relativo ao Momentum Angular

Este resultado estabelece que a taxa de variação temporal do momentum angular relativo ao centro de massa de qualquer sistema é igual ao momento total das forças externas relativo ao centro de massa. Isto é verdadeiro mesmo que o centro de massa esteja se acelerando.

Movimento Laminar de um Corpo Rígido

O movimento do corpo ocorre de modo que todas as suas partículas se deslocam paralelamente a um determinado plano fixo, então este movimento é denominado laminar. No movimento laminar, o eixo de rotação pode mudar de posição mas não muda de direção.

Movimento laminar

CM em translação + rotação em torno do CM

Eixo de rotação com direção constante

Movimento em um plano

Translação:

Rotação:

Cilindro Rolando em um Plano Inclinado

θ

mg senθ

mg

cosθ

mg

FN

x

μmg cosθ

COM ATRITO

a

y

cm

Movimento sem deslizamento

Considerações sobre energia

Derivando:

Ocorrência de Deslizamento

θ

mg senθ

mg

cosθ

mg

FN

x

μmg cosθ

COM ATRITO

a

ycm

Supondo:

Rolamento sem deslizamento

r

P

vcm

Exs: Esfera rola em plano inclinado com θ=45° se o coeficiente de atrito for, no mínimo:

F

F2

F1

Ex: colisão de uma barra metálica sobre gelo com disco de hóquei.

Esta apresentação foi desenvolvida pelo

Prof. Gustavo de Almeida Magalhães Sáfar

e corrigida, conferida e ampliada pelo

Prof. João Francisco C. Santos Jr.

no Departamento de Física do Instituto de Ciências Exatas

da Universidade Federal de Minas Gerais.