25-10-2016

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Sumário

Teoria de erros (Revisões)

• Operações com algarismos significativos

• Erros que afetam as medições.

• Média, desvios e incertezas. TL I.1 – Máquina de Atwood – Resposta às questões pós-laboratoriais.

Teoria de erros

Operações com algarismos significativos

Operações com algarismos significativos

As operações com os algarismos significativos exigem o conhecimento da teoria de

erros. Mas, algumas regras simples podem ajudar a evitar o exagero no uso de casas

decimais, muitas vezes representando uma precisão que não corresponde à realidade.

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Teoria de erros

Adição e subtração

Exemplo 1. Adição

A primeira parcela é a que tem menor número de casas

decimais, o resultado final terá uma casa decimal.

O resultado do cálculo deve ser apresentado com o

número de casas decimais correspondentes à da parcela

que tem menor número.

Operações com algarismos significativos

Teoria de erros

Regras de arredondamento

• Só se pode suprimir um algarismo quando o número apresentar casas decimais.

• Se a casa decimal, imediatamente a seguir à escolhida para última, for 5, 6, 7, 8 ou

9, aumenta-se uma unidade à casa decimal escolhida.

• Se a casa decimal, imediatamente a seguir à escolhida, for 0, 1, 2, 3 ou 4, deixa-se

a casa decimal escolhida inalterada.

Existem duas correntes no que se refere a arredondamentos.

A primeira, seguida nos computadores e máquinas de calcular, usa as seguintes

regras:

Exemplos:

14,75 arredonda para 14,8

14,74 arredonda para 14,7

Operações com algarismos significativos

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Teoria de erros

Regras de arredondamento

• Só se pode suprimir um algarismo quando o número apresentar casas decimais.

• Se o algarismo a suprimir é inferior a cinco, despreza-se esse número.

• Se o algarismo a suprimir é maior do que cinco, adiciona-se uma unidade ao

algarismo anterior.

• Se o algarismo a suprimir é igual a cinco, então:

- adiciona-se uma unidade ao algarismo anterior se este for ímpar.

- o algarismo anterior permanece inalterável se for par.

A segunda corrente, conhecida pela regra do número par, é idêntica à primeira exceto

quando logo a seguir à casa escolhida aparecer um 5, ou um 5 seguido apenas de zeros.

Regras:

Operações com algarismos significativos

Teoria de erros

Regras de arredondamento

Note-se que a regra anterior só se utiliza se não existirem algarismos diferentes de zero

após o 5 a desprezar (6,5 = 6 mas 6,500 001 = 7). Os alunos poderão achá-la injusta uma

vez que, ao reduzir as suas notas às unidades, um aluno com 13,5 e um com 14,5

teriam o mesmo resultado final: 14 valores. No entanto, é esta a regra definida pelas

normas portuguesas.

Norma NP-37 - Arredondamento dos valores numéricos, IGPAI (IPQ), 1961.

Operações com algarismos significativos

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Teoria de erros

Adição e subtração

Exemplo 2. Subtração

A segunda parcela é a que tem menor número de casas

decimais, o resultado final terá duas casas decimais.

O resultado do cálculo deve ser apresentado com o

número de casas decimais correspondentes à da parcela

que tem menor número.

Operações com algarismos significativos

Teoria de erros

Multiplicações e divisões

Exemplo 3. Multiplicação 1,8 - tem 2 algarismos significativos 0,02 - tem 1 algarismo significativo

O resultado do cálculo deve ser apresentado com o

número de algarismos significativos do fator que tem

menor número.

Operações com algarismos significativos

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Teoria de erros

Multiplicações e divisões

Exemplo 4. Divisão

500,8 - tem 4 algarismos significativos

24,1 - tem 3 algarismos significativos

O resultado do cálculo deve ser apresentado

com o número de algarismos significativos do

fator que tem menor número.

Operações com algarismos significativos

Teoria de erros

Cálculos em cadeia

A = 4,18 – tem três algarismos significativos

B = 2,175 – tem quatro algarismos significativos

C = 1,2456 – tem cinco algarismos significativos

F = 5,201 – tem três casas decimais

Suponha o seguinte cálculo A x B = D e D x C = E e E + F = G

1º passo 4,18 x 2,175 = 9,0915 Resultado: D = 9,0915

2º passo 9,0915 x 1,2456 = 11,3243724 Resultado: E = 11,3

3º passo 11,3 + 5,201 = 16,501 Resultado: G = 16,5

a) Passos 1 e 2. Faz-se o arredondamento no final das operações, de acordo com as

regras enunciadas para a multiplicação.

b) Passo 3. Depois, volta a fazer-se o arredondamento no final da operação, de acordo

com as regras enunciadas para a soma.

NOTA: Estas regras não são

Universais poderão variar, na nossa Escola adotámos estas.

Operações com algarismos significativos

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Teoria de erros

Erros que afetam as medições

Erros sistemáticos:

• Tem sempre as mesmas causas.

• Apresentam sempre a variação no mesmo

sentido.

• São passíveis serem detetados e corrigidos.

Erros fortuitos ou acidentais ou aleatórios:

• Têm causas pontuais.

• São imprevisíveis.

• Variam de forma aleatória.

• Podem ser atenuados mas nunca

eliminados.

Exemplos:

Má calibração dos aparelhos,

deficiências do método

utilizado ou das condições de

utilização.

Exemplos:

Deficiente leitura nas escalas

dos aparelhos, más condições

de operação, cansaço ou

distração.

Atenuar os erros que afetam as medições

Teoria de erros

Como se pode atenuar a precisão do resultado de medições?

Média aritmética ou valor mais provável

Em termos de probabilidades, o valor mais correto a atribuir à quantidade a medir é a

média aritmética das leituras obtidas (valor mais provável):

Atenuar os erros que afetam as medições

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Teoria de erros

Média aritmética ou valor mais provável

Quantas mais vezes se repetir uma medida tanto maior é a probabilidade de eliminar

os erros acidentais se se tomar para valor da mesma a média aritmética dos valores

achados.

Por muitas medidas que se façam não se consegue aumentar o número de algarismos

significativos exatos no resultado. O que obtemos é uma garantia de que o número

obtido está mais perto do verdadeiro valor da grandeza.

Atenuar os erros que afetam as medições

Teoria de erros

Erro absoluto

Para saber o erro absoluto é necessário saber o valor verdadeiro, X.

Atenuar os erros que afetam as medições

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Teoria de erros

Erro absoluto

O erro absoluto de uma medida é indeterminável, porquê?

Porque pressupõem o conhecimento do valor exato X, e o valor exato é

indeterminável.

Logo não se podem determinar os erros absolutos de medidas; no entanto podem

determinar-se as incertezas que se transmitem às medições diretas e indiretas.

Atenuar os erros que afetam as medições

Teoria de erros

Incerteza absoluta

O processo de tornear esta dificuldade consiste em trabalhar em termos de resíduos

(ou desvios).

E em vez de erro absoluto podemos falar em incerteza absoluta.

Incerteza absoluta – corresponde ao valor máximo dos módulos dos desvios das

medidas em relação à média.

Atenuar os erros que afetam as medições

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Teoria de erros

Exemplo

No decurso de uma experiência foi

necessário medir com certo rigor uma

distância. Efetuaram-se para esse efeito as

sete leituras seguintes (em mm):

Atenuar os erros que afetam as medições

Teoria de erros

Como se representa o resultado final

Significa isto que, dadas as condições em que foi

efetuada a medição, o experimentador considera

como provável que a distância tenha um valor

compreendido entre 788,6 mm e 790,0 mm.

Atenuar os erros que afetam as medições

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Teoria de erros

Incerteza relativa

Chama-se incerteza relativa, r, ao valor do quociente entre a incerteza absoluta e o

valor mais provável da medida.

Se se tratar da incerteza relativa percentual, r % será:

Atenuar os erros que afetam as medições

Teoria de erros

Resumindo:

Atenuar os erros que afetam as medições

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Teoria de erros

A precisão informa sobre a proximidade entre os resultados de duas ou mais medições

de uma mesma grandeza e é afetada pelos erros acidentais.

A exatidão informa sobre a aproximação entre o resultado da medição e o valor aceite

como verdadeiro e se é afetada pelos erros sistemáticos.

Diferença entre exatidão e precisão dum resultado

Atenuar os erros que afetam as medições

Teoria de erros

Exercício

Um grupo de alunos realizou uma experiência para determinar o valor da aceleração da

gravidade local, e obtiveram os seguintes valores:

9,75 m.s-2; 9,78 m.s-2; 9,79 m.s-2; 9,76 m.s-2; 9,75 m.s-2

Obtenha:

1. O valor mais provável da aceleração da gravidade. (9,77 m.s-2)

2. A incerteza absoluta (a). (0,02 m.s-2)

3. O resultado final e explique o significado do mesmo. ((9,77 0,02) m.s-2))

4. A incerteza relativa (r), em relação ao valor mais provável. (0,002)

5. A incerteza relativa percentual (r %), em relação ao valor mais provável. (0,2 %)

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TPC

• Concluir o problema anterior se não houve tempo para o fazer.