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Determinantes de matrizes grandes e o teorema de Jacobi
Para alรฉm do Teorema de Laplace
Uma aula doProf. Leandro Linhares
(o Tio Linha)
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Estamos acostumados a ver o determinante como
uma โconta prontaโ apenas para matrizes de ordem ๐ ร ๐, ๐ ร ๐ ou ๐ ร ๐...
๐๐๐ญ ๐๐ = +๐๐
๐๐๐ญ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐= +๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
= +๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐
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De ordem ๐ ร ๐ para cima somos apresentados a teoremas como Laplace e Chiรณ...
Esses teoremas reduzem a ordem da matriz, ou seja, calculam o determinante da matriz de ordem grande atravรฉs de determinantes de matrizes de ordem menor...
Mas afinal, quem รฉ o determinante da matriz grande?
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O determinante de uma matriz ๐ ร ๐ รฉ uma soma de ๐! parcelas.
Cada parcela รฉ formada por:1) Um sinal algรฉbrico (+ ou โ);2) Um produto de ๐ elementos da matriz, escolhidos de maneiraque haja exatamente um de cada linha e um de cada coluna.
Existem ๐! maneiras diferentes de se escolher ๐ elementos da matriz coma restriรงรฃo de que haja exatamente um de cada linha e um de cada coluna...
Para cada uma dessas formas diferentes possรญveis de se escolheresses ๐ elementos temos uma parcela no determinante!
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Por exemplo, um determinante ๐ ร ๐ tem um total de ๐! = ๐๐ parcelas:
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
Encontrar quais sรฃo as ๐! maneiras de se escolher ๐ elementos da matriz, com exatamente um de cada linha e um de cada coluna, nรฃo รฉ difรญcil...
O grande problema estรก no SINAL ALGรBRICO!
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As parcelas foram apresentadas com as linhas ordenadas (letras em ordem alfabรฉtica) e as colunas embaralhadas (รญndices numรฉricos). Vamos entรฃo aliviar a notaรงรฃo:
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
โ ๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐+๐๐๐๐ +๐๐๐๐ โ๐๐๐๐ โ๐๐๐๐
Para cada permutaรงรฃo dos dรญgitos de ๐ a ๐ atribuรญmos um sinal algรฉbrico. Como funciona isso?
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Vamos definir uma PERMUTAรรO como uma FUNรรO BIJETORA,a qual chamaremos de ๐. O domรญnio e o contra-domรญnio dessa funรงรฃo sรฃo o conjunto dos naturais de ๐ a ๐.
Escrevemos, por exemplo, para a permutaรงรฃo ๐๐๐๐:
๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
โ
๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐
Seja ๐ ๐ a quantidade de pares ordenados ๐; ๐ , com ๐ < ๐, tais que ๐ ๐ > ๐ ๐ .
Se ๐ ๐ for PAR, entรฃo o sinal algรฉbrico รฉ POSITIVO.Se ๐ ๐ for รMPAR, entรฃo o sinal algรฉbrico รฉ NEGATIVO.
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Novamente no exemplo da permutaรงรฃo ๐๐๐๐...
๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
Os pares ordenados ๐; ๐ , com ๐ < ๐, tais que ๐ ๐ > ๐ ๐ sรฃo๐, ๐ ; ๐, ๐ ; ๐, ๐ ; ๐, ๐
Note...๐ ๐๐ ๐
;๐ ๐๐ ๐
;๐ ๐๐ ๐
;๐ ๐๐ ๐
Entรฃo ๐ ๐ = ๐, que รฉ par, logo atribuรญmos o sinal POSITIVO ร permutaรงรฃo ๐๐๐๐.
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Na prรกtica funciona assim...
ร chamada PERMUTAรรO IDENTIDADE ๐๐๐ atribuรญmos sempreo sinal POSITIVO, pois ๐ ๐ = ๐ para qualquer ๐.
Exemplo de permutaรงรฃo identidade: ๐๐๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
Note que ela representaO PRODUTO DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL DA MATRIZ!
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Para as outras permutaรงรตes (diferentes da identidade) contabilizamos quantas trocas entre vizinhos foram necessรกrias para se chegar naquela permutaรงรฃo, partindo-se da identidade.
Se esse nรบmero de trocas for par, entรฃo o sinal รฉ positivo. Se for รญmpar, negativo.
Ex.: ๐๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐ โ ๐๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐
Quatro trocas, logo ๐๐๐๐ รฉ positivo!
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Trocar dois elementos NรO VIZINHOS pode ser usado tambรฉm...
Afinal, se existem ๐ elementos entre os dois que se deseja trocar(๐ = ๐ para vizinhos)trocรก-los diretamente รฉ o mesmo que realizar ๐๐ + ๐ trocas entre vizinhos.
Ex.: 1 troca direta do tipo
๐๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐๐๐
equivale a 7 trocas de vizinhos
๐๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐๐๐ โ ๐๐๐ ๐๐ โ ๐๐๐๐๐
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รrvore do Tio Linha
+1
+12
+123
+1234-1243+1423-4123 >>> -41235
-132
-1324 +41253+1342 -41523-1432 +45123+4132 -54123
+312
+3124-3142+3412-4312
-21
-213
-2134+2143 >>> +21435-2413 -21453+4213 +21543
+231
+2314 -25143-2341 +52143+2431-4231
-321
-3214+3241-3421+4321
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Lema 1) Quebra de Fila em Parcelas.
Se ๐จ, ๐ฉ e ๐ช sรฃo matrizes ๐ ร ๐ tais que:
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐ช , ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ + ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐ช , ๐ฌ๐ ๐ = ๐๐
ou (mutuamente excludente)
๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐จ = ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐ฉ = ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐ช , ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐จ = ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐;๐ฉ + ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐ช , ๐ฌ๐ ๐ = ๐๐
Entรฃo๐๐๐ญ๐จ = ๐๐๐ญ๐ฉ + ๐๐๐ญ ๐ช
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Intuiรงรฃo da demonstraรงรฃo (do Lema 1):
๐๐๐ญ
๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
=+ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐๐
โ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ =
=+๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
++๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐โ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
=
= ๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
+ ๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
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Ou seja
๐จ =
๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
; ๐ฉ =
๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
; ๐ช =
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
โ ๐๐๐ญ๐จ = ๐๐๐ญ๐ฉ + ๐๐๐ญ ๐ช
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Lema 2) Multiplicaรงรฃo de Fila por Escalar.
Seja ๐ โ โ.Se ๐จ e ๐ฉ sรฃo matrizes ๐ ร ๐ tais que
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ , ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ = ๐ โ ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ , ๐ฌ๐ ๐ = ๐๐
ou (mutuamente excludente)
๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐ฉ = ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐จ , ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐;๐ฉ = ๐ โ ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐; ๐จ , ๐ฌ๐ ๐ = ๐๐
entรฃo๐๐๐ญ๐ฉ = ๐๐๐๐ญ๐จ
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Intuiรงรฃo da demonstraรงรฃo do Lema 2:
๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐๐ ๐๐
=+๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐
=
= ๐ +๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ =
= ๐ โ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
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Ex. do Lema 2:
Sabendo que
๐๐๐ญ๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
= ๐๐
รฉ imediato que
๐๐๐ญ๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ =๐โ ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐จ
= ๐๐ ; ๐๐๐ญ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐;๐ฉ =โ ๐๐จ๐ฅ๐ฎ๐ง๐ ๐;๐จ
= โ๐๐ ; ๐๐ญ๐โฆ
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Aplicaรงรฃo do Lema 2: Colocar valores em evidรชncia em uma fila
๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
= ๐ โ ๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
Pelo Lema 2 os papรฉis de โ๐จ e ๐ฉโ sรฃo distribuรญdos como abaixo:
๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
๐ฉ
= ๐ โ ๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
๐จ
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Lema 3) Linhas iguais
Se em uma matriz ๐จ nรณs temos, para ๐๐ โ ๐๐:
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐๐; ๐จ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐๐; ๐จ
entรฃo
๐๐๐ญ ๐จ = ๐
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Ex. do Lema 3:
๐๐๐ญ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐
= ๐
pois
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐จ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ
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Intuiรงรฃo da demonstraรงรฃo do Lema 3:
Supondo a ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐จ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐จ , ou seja, ๐๐ = ๐๐...
(elementos de mesma cor sรฃo iguais entre si)
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐
โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐
โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
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Corolรกrio dos Lemas 2 e 3: Linhas proporcionais
Seja ๐ โ โ. Se em uma matriz ๐จ nรณs temos, para ๐๐ โ ๐๐:
๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐๐; ๐จ = ๐ โ ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐๐; ๐จ
entรฃo
๐๐๐ญ ๐จ = ๐
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Intuiรงรฃo da demonstraรงรฃo do Corolรกrio dos Lemas 2 e 3:
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐
=๐๐๐ฆ๐ ๐
๐ โ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
=๐๐๐ฆ๐ ๐
๐
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Combinaรงรฃo Linear
Dados os vetores ๐๐; ๐๐; โฆ ; ๐๐
e os escalares reais ๐๐; ๐๐; โฆ ; ๐๐ (coeficientes)chamamos de COMBINAรรO LINEAR desses vetoresaquele (vetor) obtido do seguinte modo:
๐ช๐ณ ๐๐; ๐๐; โฆ ; ๐๐ = ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ +โฏ+ ๐๐๐๐
Exemplo:
๐; ๐; ๐ = ๐ โ ๐; ๐; ๐ โ ๐; ๐; ๐
logo ๐; ๐; ๐ รฉ COMBINAรรO LINEAR dos vetores ๐; ๐; ๐ e ๐; ๐; ๐ ,com coeficientes respectivamente iguais a ๐ e โ๐
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Teorema de Jacobi (para linhas)
๐จ e ๐ฉ sรฃo matrizes tais que:
Para ๐ โ ๐๐ temos๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ
Para ๐ = ๐๐ temos๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ = ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐; ๐จ + ๐ช๐ณ ๐จ๐ฎ๐ญ๐ซ๐๐ฌ ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐๐ฌ ๐๐ ๐จ
Sendo assim, entรฃo๐๐๐ญ๐ฉ = ๐๐๐ญ๐จ
Obs.: Essa combinaรงรฃo linear das outras linhas de ๐จ pode ser QUALQUER,ou seja, nรฃo importa quais sejam os coeficientes escolhidos.
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Exemplo do Jacobi (para linhas):
๐๐๐ญ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
= ๐๐๐ญ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐
pois๐; ๐; ๐๐ = ๐; ๐; ๐ + ๐; ๐; ๐
๐; ๐; ๐๐๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐ฉ
= ๐; ๐; ๐๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐ ๐;๐จ
โ ๐; ๐; ๐ + ๐ โ ๐; ๐; ๐๐๐ ๐จ๐ฎ๐ญ๐ซ๐๐ฌ ๐ฅ๐ข๐ง๐ก๐๐ฌ ๐๐ ๐
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Intuiรงรฃo da demonstraรงรฃo (do Jacobi para linhas):
โ= ๐๐๐ญ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐pelo Lema 1 temos que
โ= ๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
+ ๐๐๐ญ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
+ ๐๐๐ญ
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
pelo Corolรกrio dos Lemas 2 e 3 temos que
๐๐๐ญ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
= ๐๐๐ญ
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
= ๐
logo
โ= ๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
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Aplicaรงรฃo do Jacobi: Escalonamento
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐โ๐ ๐ ๐
=๐ณ๐โฒ=๐ณ๐โ๐๐ณ๐ ๐ ๐ ๐
๐ โ๐ โ๐โ๐ ๐ ๐
=๐ณ๐โฒ=๐ณ๐+๐๐ณ๐ ๐ ๐ ๐
๐ โ๐ โ๐๐ ๐ ๐
=
๐ณ๐โฒโฒ=๐ณ๐
โฒ+๐๐๐ณ๐
โฒ ๐ ๐ ๐๐ โ๐ โ๐๐ ๐ โ๐
= ๐
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(ITA-1971)Qual o resto da divisรฃo por 3 do determinante
๐ ๐ ๐ โ๐๐ โ ๐ ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ ๐ + ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
a) 0 b) 3 c) 7 d) 1 e) n.d.r.a.
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Soluรงรฃo (do exercรญcio ITA-71):
๐ ๐ ๐ โ๐๐ โ ๐ ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ ๐ + ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
=
๐ ๐ ๐ โ๐โ๐ โ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
=๐ ๐ฉ๐๐ฅ๐จ ๐๐จ๐ซ๐จ๐ฅรก๐ซ๐ข๐จ
+
๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐ โ๐๐ โ ๐ ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ ๐ + ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
=
๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
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As รบnicas duas parcelas que sรณ vรฃo pegar elementos nรฃo mรบltiplos de 3 serรฃo:
๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
e
๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
Todas as outras 22 parcelas terรฃo algum elemento mรบltiplo de 3...
O produto ๐ โ ๐ โ โ๐ โ ๐ = โ๐๐๐ vem de โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐, logo entra como +๐๐๐.
O produto ๐ โ ๐ โ โ๐ โ ๐ = โ๐๐๐ vem de +๐๐๐๐๐๐๐ ๐, logo entra como โ๐๐๐.
Como ๐๐๐ โ ๐๐๐ = โ๐๐ รฉ congruente a ๐ no mรณdulo 3, entรฃo o determinante
tambรฉm serรก congruente a ๐ no mรณdulo 3.
ALTERNATIVA E
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Obs.:
๐ ๐ ๐ โ๐๐ โ ๐ ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐ ๐ + ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
= โ๐๐๐ = ๐ โ โ๐๐ + ๐
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Determinante da Matriz Transposta
๐๐๐ญ๐จ๐ป โก ๐๐๐ญ๐จ
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๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
= +๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
= +๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐
+ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐
โ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐
โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐
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๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐+๐๐๐ ๐๐๐๐๐ +๐ ๐๐๐๐๐๐๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
+๐๐๐๐๐ ๐๐๐ +๐๐๐ ๐๐๐๐๐ โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐ ๐๐๐ +๐๐๐ ๐๐๐๐๐ โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐ +๐๐๐๐๐ ๐๐๐ โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
+๐ ๐๐๐๐๐๐๐ +๐ ๐๐๐๐๐๐๐ โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐
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๐๐๐ญ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
=
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐๐๐
+๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
+๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐
+๐๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
+๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
+๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐๐๐
โ๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐
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Permutaรงรฃo Inversa:
๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
โ
๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐๐ ๐ = ๐
โ ๐โ๐ =๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
โ
๐โ๐ ๐ = ๐
๐โ๐ ๐ = ๐
๐โ๐ ๐ = ๐
๐โ๐ ๐ = ๐
A permutaรงรฃo inversa sempre tem o mesmo sinal da permutaรงรฃo original!
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Por isso
o Lema 3,o Corolรกrio eo Teorema de Jacobi,
que foram enunciados para LINHAS,
tambรฉm funcionam para COLUNAS!
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