O Percurso da Didatização do Pensamento Algébrico no Ensino ...

Universidade de So Paulo

Faculdade de Educao

O Percurso da Didatizao do Pensamento Algbrico no

Ensino Fundamental: uma anlise a partir da Transposio

Didtica e da Teoria Antropolgica do Didtico

Marcia Aguiar

Texto apresentado para a defesa de

doutorado do Programa de Ps-Graduao

em Educao da Faculdade de Educao da

Universidade de So Paulo, na rea de

Ensino de Cincias e Matemtica, sob a

orientao do Prof. Dr. Elio Carlos Ricardo.

So Paulo

2014

2

Autorizo a reproduo e divulgao total ou parcial deste trabalho, por qualquer meio convencional ou eletrnico, para fins de estudo e pesquisa, desde que citada a fonte.

Catalogao na Publicao

Servio de Biblioteca e Documentao

Faculdade de Educao da Universidade de So Paulo

375.33 Aguiar, Marcia

A282p O percurso da didatizao do pensamento algbrico no ensino

fundamental: uma anlise a partir da transposio didtica e da teoria

antropolgica do didtico / Marcia Aguiar; orientao Elio Carlos

Ricardo. So Paulo: s.n., 2014.

312 p.: il., tabs.

Tese (Doutorado Programa de Ps-Graduao em Educao.

rea de Concentrao: Ensino de Cincias e Matemtica) -- Faculdade

de Educao da Universidade de So Paulo

.

1. lgebra Estudo e ensino 2. Matemtica Estudo e ensino 3.

lgebra - Pensamento 4. Ensino fundamental 5. Livro didtico I.

Ricardo, Elio Carlos, orient.

3

Aguiar, Marcia. O Percurso da Didatizao do Pensamento Algbrico no

Ensino Fundamental: uma anlise a partir da Transposio Didtica e da Teoria

Antropolgica do Didtico.

Tese apresentada Faculdade de Educao da Universidade de

So Paulo para obteno do ttulo de Doutora em Educao.

Aprovada em: ____/____/____

Banca Examinadora

Prof(a). Dr(a). ________________________ Instituio: __________________

Julgamento: __________________________ Assinatura: __________________









4

Ao Flvio,

companheiro de

todas as horas.

5

Agradecimentos

Ao Prof. Elio Carlos Ricardo, por me orientar e acreditar no meu trabalho desde

o incio e pelos questionamentos que tanto enriqueceram o meu trabalho.

Ao Prof. Nilson Jos Machado, por fazer parte de toda a minha formao. Muito

obrigada!

Sonia Maria Pereira Vidigal e ao Joo Tomas do Amaral, meus amigos de

doutorado, pelo apoio e colaborao durante todos os momentos.

Ao Prof. Maurcio Pietrocola e Profa. Dr

a. Maria Lucia Vital dos Santos Abib,

que enriqueceram os meus conhecimentos ao longo do doutorado.

Aos coordenadores da Fieo Flavio Barrella, Francisco Barrellla e Andrea

Machion e s minhas amigas de Fieo Celly Paula, Celize Tcacenco, Lgia Gallo, Ligia

Melli, Marcia Biaggi e Neusa Bevilacqua, por me incentivarem e me apoiarem durante

todo o trabalho.

Profa. Maria Deosddite Giaretta Chaves, pela sua cuidadosa reviso

ortogrfica.

Aos coordenadores da Fatec Ronaldo Reis e Ronaldo Ruas, por toda a

compreenso durante esse perodo.

Dra. Maria do Socorro P. Oliveira, pela amizade e pelos cuidados.

s amigas Marina Favalli, Silvia Cutolo, Silvia Favalli e Vania Ventura, pela

amizade e pelo carinho que sempre tiveram comigo.

Aos meus pais e s minhas irms, por acompanharem e acreditarem nos meus

passos. A toda minha famlia, pela compreenso nos momentos de ausncia. Aos meus

cunhados, Fabio e Mnica, por propiciarem agradveis tardes de estudo em Iporanga.

Em especial, ao Flvio Ulhoa Coelho, meu marido, que sempre foi companheiro

e incentivador desse projeto, por acreditar na minha capacidade e por me acompanhar

durante todo esse percurso. Muito obrigada!

A todos, o meu muito obrigada, pela amizade e pelo carinho!

6

PARA SER GRANDE, s inteiro: nada

Teu exagera ou exclui.

S todo em cada coisa. Pe quanto s

No mnimo que fazes.

Assim em cada lago a lua toda

Brilha, porque alta vive.

14.2.1933 Ricardo Reis

7

Aguiar, Marcia. O Percurso da Didatizao do Pensamento Algbrico no

Ensino Fundamental: uma anlise a partir da Transposio Didtica e da Teoria

Antropolgica do Didtico. Tese (Doutorado) Faculdade de Educao, Universidade

de So Paulo, So Paulo, 2014.

RESUMO

O ensino de lgebra nos trs ltimos anos do Ensino Fundamental tem se

reduzido a um momento destinado ao treino e fixao de regras e procedimentos

algbricos. Ao que parece, os livros didticos corroboram com essa viso do ensino de

lgebra. Por outro lado, sabemos que no livro didtico esto presentes algumas

intenes didticas legitimadas, de certa forma, por todos aqueles que participam do

processo de ensino. Ao professor, que muitas vezes s possui o livro didtico como

material para preparar as suas aulas, cabe transform-lo no saber que ser ensinado na

sala de aula.

A lgebra uma cincia ensinada predominantemente na escola e relevante

para capacitar os sujeitos a compreender o desenvolvimento cientfico e tecnolgico

atual. Por isso, parece-nos que o ensino de lgebra nos 7, 8 e 9 anos do Ensino

Fundamental deveria contribuir para a construo de um pensamento algbrico,

superando as prticas rotinizadas.

Assim, o objetivo do nosso trabalho analisar de que modo os livros didticos

desse nvel de ensino permitem a construo do pensamento algbrico. Ou seja,

investigar o percurso de didatizao da lgebra no Ensino Fundamental ou, mais

propriamente, nos livros didticos.

Para essa anlise utilizamos a Teoria da Transposio Didtica e a Teoria

Antropolgica do Didtico, propostas por Yves Chevallard. Essas teorias propiciaram

uma anlise mais aprofundada sobre os materiais e tambm demonstram ser uma

ferramenta consistente para auxiliar o professor na sua prtica pedaggica.

Analisamos trs materiais pedaggicos: dois livros didticos, que vieram da lista

de livros aprovados no PNLD-2011 e o Caderno elaborado pelo governo do Estado de

So Paulo proveniente da proposta So Paulo Faz Escola.

Com essas anlises conseguimos perceber que a programabilidade do saber

legitimada pela noosfera impossibilita muitas inovaes na didatizao referente ao

ensino de lgebra, e que alguns livros ainda mantm o ensino de lgebra voltado para o

treino de procedimentos e resolues. Por outro lado, tambm conseguimos encontrar

outros percursos de didatizao nos quais est presente um ensino voltado para o

desenvolvimento do pensamento algbrico.

Palavras chaves: ensino de matemtica, ensino de lgebra, pensamento

algbrico, Transposio Didtica, Teoria Antropolgica do Didtico, livro didtico.

8

Aguiar, Marcia. The route of the didactization of the algebraic thinking in

the elementary school: an analysis from the Didactic Transposition and the

Anthropological Theory of Didactic. Thesis (Doctorate) Faculty of Education,

University of So Paulo, So Paulo, 2014.

ABSTRACT

The teaching of algebra in the last three years of elementary school has been

reduced to a point aimed at training and to set rules and algebraic procedures.

Apparently, textbooks corroborate this view of teaching algebra. On the other hand, we

know that in the textbook are didactic intentionalities, in a way, to all who participate in

the teaching process. In the teacher, who often only have the textbook and material to

prepare their lessons, will lie the responsability to turn it in the knowledgment which

will be taught in the classroom.

Algebra is a science predominantly taught in the school and it is relevant to

enable the students to understand the current technological and scientific development.

Therefore, it seems that the teaching of algebra in 7th, 8th and 9th grades of elementary

school should contribute to the construction of an algebraic thinking, overcoming the

routinized practices.

The objective of our work is to analyze how that grade level books allow the

construction of algebraic thinking. In other words, to investigate the route of

didactization algebra in elementary school or, more properly, in textbooks.

For this analysis, we will use the theories of Didactic Transposition and

Anthropological Theory of Didactic proposed by Yves Chevallard. These theories

provided a deeper analysis of the materials and also prove to be a consistent tool to

assist teachers in their teaching.

We analyze three teaching materials: two textbooks, which came from the list of

approved books in PNLD-2011 and the Booklet prepared by the state government of

So Paulo from the proposed So Paulo Faz Escola.

With this analysis we can see that the programmability of knowledge legitimized

by the noosphere prevents many innovations in didactization concerning the teaching of

algebra and some books still keeps teaching algebra facing the training procedures and

resolutions. On the other hand, we did find other paths of didactization in which an

education directed to the development of algebraic thinking prevails.

Keywords: teaching math, teaching algebra, algebraic thinking, Didactic

Transposition, Anthropological Theory of Didactic, textbook.

9

Lista de Siglas

CA Caderno do Aluno

CP Caderno do Professor

ENEM Exame Nacional do Ensino Mdio

FUNDE Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educao

LDB Leis de Diretrizes e Bases da Educao

MEC Ministrio da Educao

OFA Ocupao de Funo Atividade

PCN Parmetros Curriculares Nacionais

PNLD Programa Nacional do Livro Didtico

PNLD-2006 Programa Nacional do Livro Didtico - 2006

PNLD-2008 Programa Nacional do Livro Didtico - 2008

PNLD-2011 Programa Nacional do Livro Didtico 2011

SAEB Sistema Nacional de Avaliao da Escola Bsica

SARESP Sistema de Avaliao de Rendimento Escolar do Estado de So Paulo

SP So Paulo

SPFE So Paulo Faz Escola

TAD Teoria Antropolgica do Didtico

TD Transposio Didtica

10

Lista de Figuras

Figura 3.1: Sistema didtico ...............................................................................................46

Figura 3.2: Esferas de saberes ............................................................................................48

Figura 3.3: Sistema de ensino .............................................................................................49

Figura 5.1: Bianchini, 2011, 7 ano, p. 88 .................................................................................92

Figura 5.2: Bianchini, 2011, 7 ano, p. 89 .................................................................................93

Figura 5.3: Bianchini, 2011, 2011, 7 ano, p. 115-A ..................................................................98

Figura 5.4: Bianchini, 2011, 7 ano, p. 115-B .......................................................................98

Figura 5.5: Bianchini, 2011, 7 ano, p. 115-C ......................................................................99

Figura 5.6: Bianchini, 2011, 7 ano, p. 116-A ......................................................................100

Figura 5.7: Bianchini, 2011, 7 ano, p. 116-B ........................................................................100

Figura 5.8: Bianchini, 2011, 8 ano, p. 65 ................................................................................106


Figura 5.10: Bianchini, 2011, 8 ano, p. 79, ex. 12 ..................................................................108

Figura 5.11: Bianchini, 2011, 8 ano, p. 87, ex. 39 .................................................................109

Figura 5.12: Bianchini, 2011, 8 ano, p.99 ..............................................................................110

Figura 5.13: Bianchini, 2011, 8 ano, p. 100 ...........................................................................111



Figura 5.16: Bianchini, 2011, 8 ano, p.133, ex.27 .................................................................114

Figura 5.17: Binachini, 2011, 9 ano, p. 56-57 ........................................................................117

Figura 5.18: Bianchini, 2011, 9 ano,p.57-58 ..........................................................................119

Figura 5.19: Bianchini, 2011, 9 ano, p.67, ex. 95 ...................................................................120

Figura 5.20: Bianchini, 2011, 9 ano, p. 67 ..............................................................................121

Figura 5.21: Bianchini, 2011, 9 ano, p.90 ................................................................................122




Figura 5.25: Bianchini, 2011, 9 ano, p. 100 ............................................................................125

Figura 5.26: Bianchini, 2011, 9 ano, p.101 .............................................................................126




Figura 5.30: Imenes & Lellis, 2010, 6 ano, p.255 ...................................................................138

11

Figura 5.31: Imenes & Lellis, 2010, 6 ano, p. 260 ..................................................................139

Figura 5.32: Imenes & Lellis, 2010, 7 ano, p. 68 ....................................................................142

Figura 5.33: Imenes & Lellis, 2010, 7 ano, p.69 .....................................................................143



Figura 5.36: Imenes & Lellis, 2010, 7 ano, p. 229-A ..............................................................147

Figura 5.37: Imenes & Lellis, 2010, 7 ano, p.229-B ...............................................................147

Figura 5.38: Imenes & Lellis, 2010, 7 ano, p. 230-A ..............................................................148

Figura 5.39: Imenes & Lellis, 2010, 7 ano, p. 230-B ..............................................................148



Figura 5.42: Imenes & Lellis, 2010, 7 ano, p.237-238 .....................................................150-151












Figura 5.54: Imenes & Lellis, 2010, 8 ano, p. 254-255 ...........................................................164



Figura 5.57: SP, CA, 2009a, 6 srie, V. 4, p. 6 ......................................................................175

Figura 5.58: SP, CA, 2009a, 6 srie, V. 4, p. 10 ....................................................................175

Figura 5.59: SP, CA, 2009a, 6 srie, V. 4, p. 28 ......................................................................177

Figura 5.60: SP, CA, 2009a, 6 srie, V.4, p. 29 .....................................................................178

Figura 5.61: SP, CA, 2009a, 6 srie, V. 4, p. 31 ....................................................................179

Figura 5.62: SP, CA, 2009b, 7 srie, V. 2, p. 24-25 ................................................................183

Figura 5.63: SP, CA, 2009b, 7 srie, V. 2, p. 31 ......................................................................184

Figura 5.64: SP, CA, 2009b, 7 srie, V. 2, p. 41-42 ...............................................................185

Figura 5.65: SP, CA, 2009b , 7 srie, V. 2, p. 43 .....................................................................186

Figura 5.66: SP, CA, 2009c, 7 srie, V. 3, p.12 ......................................................................188

Figura 5.67: SP, CA, 2009c, 7 srie, V. 3, p. 30-A ..................................................................189

12

Figura 5.68: SP, CA, 2009c, 7 srie, V. 3, p. 30-B ..................................................................189

Figura 5.69: SP, CA, 2009c, 7 srie, V. 3, p. 31 ......................................................................190



Figura 5.72: SP, CA, 2009d, 8 srie, V. 2, p. 17 ......................................................................194

Figura 5.73: SP, CA, 2009d, 8 srie, V. 2, p. 21 ......................................................................194

Figura 6.1: Bianchini, 2011, 7 ano, Cap. 4, p. 136 ..................................................................205

Figura 6.2: Bianchini, 2011, 7 ano, Cap. 3, p. 121 ...................................................................205

Figura 6.3: Bianchini, 2011, 7 ano, Cap. 4, p. 136 ...................................................................207

Figura 6.4: Imenes e Lellis, 2010, 7 ano, p. 235 ......................................................................236

Figura 6.5: SP, CA, 2009a, 6 srie, V. 4, p. 18-19 ..........................................................255

Figura 6.6: Tabelas de Proporcionalidade (SP, CA, 2009a, 6 srie, V. 4, p. 37-38) .........258

Figura 6.7: SP, CA, 2009b, 7 srie, V.2, p. 4 ..................................................................260

Figura 6.8: SP, CA, 2009b, 7 srie, V. 2, p. 9 .................................................................260

Figura 6.9: SP, CA, 2009c, 7 srie, V. 3, p. 28 ................................................................270

13

Lista de Tabelas

Tabela 4.1: Lista dos livros aprovados no PNLD/2011 ...........................................................68

Tabela 5.1: Lista de livros e captulo analisados (Matemtica-Edwaldo Bianchini) .................90

Tabela 5.2: Lista de livros e captulos analisados (Matemtica-Imenes & Lellis) .................136

Tabela 5.3: Lista de volumes e Situaes de Aprendizagens a serem analisadas .....................173

Tabela 5.4: Resumo das competncias desenvolvidas em cada Situao de Aprendizagem ....196

Tabela 6.1: Explicao da numerao das tarefas e tcnicas (Matemtica-Bianchini) ............200

Tabela 6.2: As praxeologias e os momentos de estudos do problema relacionado Fig.6.1. ...206

Tabela 6.3: As praxeologias e os momentos de estudos do problema relacionado Fig.6.2. ...207

Tabela 6.4: As praxeologias e os momentos de estudos do problema 28 .............................208

Tabela 6.5: As praxeologias e os momentos de estudos do problema 74 ..............................209



Tabela 6.8: As praxeologias e os momentos de estudo do Captulo 3 Equaes ...............211

Tabela 6.9: As praxeologias e os momentos de estudo do Captulo 4 Inequaes ............213

Tabela 6.10: As praxeologias e os momentos de estudo do Captulo 5

Sistemas de equaes ......................................................................................214


Clculo algbrico ............................................................................................216


Produtos notveis e fatorao .........................................................................218


Fraes algbricas, equaes fracionrias e equaes literais ........................219


Sistemas de equaes do 1 grau com duas incgnitas ...................................221


Equaes do 2 grau ......................................................................................222

Tabela 6.16: As praxeologias e os momentos de estudo do Captulo 3 Funes ..............225


Generalizaes ...............................................................................................231


Padres Numricos .........................................................................................233


Usando letra na Matemtica ............................................................................234

Tabela 6.20: As praxeologias e os momentos de estudo do Captulo 11 Equaes ...........236

14


Retomando a lgebra .......................................................................................238


Clculo Algbrico ............................................................................................239


Sistemas de Equaes .......................................................................................241


Equaes e Fatorao ......................................................................................243


Equaes e sistemas de equaes de 2 grau ...............................................245

Tabela 6.26: As praxeologias e os momentos de estudo do Captulo 10 Funes .............247


Tcnica Algbrica ...........................................................................................249

Tabela 6.28: Entendendo a numerao das tarefas e tcnicas dos Cadernos-A ...................252

Tabela 6.29: Entendendo a numerao das tarefas e tcnicas dos Cadernos-B ...................253

Tabela 6.30: As praxeologias e os momentos de estudo da Situao de

Aprendizagem 1 Investigando sequncias por aritmticas e lgebra .................253


Aprendizagem 2 - Equaes e Frmulas ......................................................254


Aprendizagem 3 - Equaes, perguntas e balanas ........................................256


Aprendizagem 4 - Proporcionalidade, Equaes e a Regra de Trs ..............257


Aprendizagem 1 - Aritmtica com lgebra: As letras como nmeros ...........261


Aprendizagem 2 - Produtos Notveis: significados geomtricos ...................261


Aprendizagem 3 lgebra: fatorao e equaes .........................................263


Aprendizagem 4 Aritmtica e Geometria: Expresso algbrica

de algumas ideias fundamentais .....................................................................265


Aprendizagem 1 Expandindo a linguagem das equaes ...........................267


Aprendizagem 2 Coordenadas cartesianas e transformaes no plano ......268


15

Aprendizagem 3 Sistemas de equaes lineares ........................................271


Aprendizagem 4 Equaes com solues inteiras e suas aplicaes .........272


Aprendizagem 1 Alguns mtodos para resolver equaes do 2 grau ........273


Aprendizagem 2 Equaes do 2 grau na resoluo de problemas ............274


Aprendizagem 3 Grandezas proporcionais e variao linear:

significados e contextos .............................................................................276


Aprendizagem 4 Representao grfica de grandezas proporcionais

e de algumas no-proporcionais .................................................................277

16

SUMRIO

1. Consideraes Iniciais ..................................................................................................19

1.1. Introduo e Justificativa ...........................................................................................19

1.2. Objetivo e Problema .................................................................................................33

2. Ensino de lgebra e Pensamento Algbrico ..............................................................36

2.1. Desenvolvimento da lgebra ...................................................................................36

2.2. Caracterizaes de um Pensamento Algbrico .........................................................42

2.3. Consideraes ..........................................................................................................44

3. Transposio Didtica e Teoria Antropolgica do Didtico ....................................46

3.1. Introduo ................................................................................................................46

3.2. A Teoria da Transposio Didtica ...........................................................................48

3.2.1. Transposio Didtica como Ferramenta de Anlise:

a Vigilncia Epistemolgica ................................................................................50

3.2.2. Os Processos de Didatizao dos Saberes Escolares ............................................54

3.2.3. Saberes Escolarizveis e Preparao Didtica ......................................................56

3.2.4. Discusses a partir da Transposio Didtica .......................................................59

3.3. Teoria Antropolgica do Didtico ..............................................................................60

4. Metodologia de Trabalho ............................................................................................64

4.1. Um breve histrico ....................................................................................................64

4.2 A escolha dos livros no PNLD/2011 ..........................................................................68

4.2.1. Conhecendo o Guia de Livros Didticos PNLD/2011 ......................................69

4.2.2. Avaliao dos livros realizada pelo Guia ............................................................73

4.2.3. Avaliao do Guia: Matemtica Edwaldo Bianchini.........................................78

4.2.4. Avaliao do Guia: Matemtica Imenes & Lellis .............................................81

4.3. Conhecendo a proposta So Paulo Faz Escola ........................................................83

4.3.1. A Proposta de Matemtica ..................................................................................84

4.4. Mtodos de Anlise dos Resultados ..........................................................................86

5. Anlise a partir da Teoria da Transposio Didtica ...............................................89

5. 1. Matemtica Edwaldo Bianchini............................................................................89

17

5.1.1. Anlise do livro do 7 ano ................................................................................90

5. 1.1.1. Captulo 3 - Equaes ................................................................................91

5.1.1.2. Captulo 4 Inequaes ............................................................................101

5.1.1.3. Captulo 5 - Sistemas de Equaes ............................................................102

5.1.1.4. Consideraes do livro do 7 ano ..............................................................104

5.1.2. Anlise do livro do 8 ano ...............................................................................104

5.1.2.1. Captulo 2 Clculos Algbricos ...............................................................105

5.1.2.2. Captulo 3 Produtos Notveis e Fatorao ..............................................107

5.1.2.3. Captulo 4 Fraes algbricas, equaes fracionrias e equaes literais .110

5.1.2.4. Captulo 5 Sistemas de equaes do 1 grau com duas incgnitas...........113


5.1.3. Anlise do livro do 9 ano ..............................................................................115

5.1.3.1. Captulo 2 Equaes do 2 grau .............................................................115

5.1.3.2. Captulo 3 Funes ................................................................................121

5.1.3.3. Consideraes do livro do 9 ano .............................................................127

5.1.4. Consideraes sobre a coleo ......................................................................128

5.2. Matemtica Imenes & Lellis............................................................................136

5.2.1. Anlise do livro do 6 ano .............................................................................137

5.2.1.1. Captulo 13 Generalizaes ...................................................................138

5.2.1.2. Consideraes do livro do 6 ano .............................................................140

5.2.2. Anlise do livro do 7 ano .............................................................................140

5.2.2.1. Captulo 3 Padres Numricos ...............................................................141

5.2.2.2. Captulo 10 Usando letras na Matemtica ..............................................144

5.2.2.3. Captulo 11 Equaes .................................................................................146



5.2.3.1. Captulo 5 Retomando a lgebra..............................................................154

5.2.3.2. Captulo 9 Clculo Algbrico ..................................................................157

5.2.3.3. Captulo 11 Sistemas de Equaes ............................................................161



5.2.4.1. Captulo 3 Equaes e Fatorao ..............................................................166

5.2.4.2. Captulo 6 Equaes e Sistemas de equaes de 2 grau ..........................167

5.2.4.3. Captulo 10 Funes ...............................................................................169

5.2.4.4. Captulo 13 Tcnica Algbrica ...............................................................169


5.2.5. Consideraes sobre a coleo.........................................................................170

18

5.3. Cadernos So Paulo Faz Escola .......................................................................172

5.3.1. Cadernos da 6 srie/7 ano ............................................................................173

5.3.1.1. Volume 4: lgebra ..................................................................................174


5.3.2.1. Volume 2: Expresses algbricas ...........................................................181

5.3.2.2. Volume 3: lgebra/Equaes .................................................................187


5.3.3.1. Volume 2: lgebra .................................................................................192

5.3.4. Consideraes sobre a coleo........................................................................196

6. Anlise a partir da Teoria Antropolgica do Didtico.............................................199

6.1. Matemtica Edwaldo Bianchini ..........................................................................200

6.1.1. Anlise do 7 ano .........................................................................................201

6.1.2. Anlise do 8 ano .....................................................................................216

6.1.3. Anlise do 9 ano ......................................................................................222

6.1.4. Anlise da Coleo ...................................................................................229

6.2. Matemtica Imenes & Lellis...............................................................................230

6.2.1. Anlise do 6 ano ....................................................................................230

6.2.2. Anlise do 7 ano ....................................................................................232

6.2.3. Anlise do 8 ano .................................................................................237

6.2.4. Anlise do 9 ano .....................................................................................242

6.2.5. Anlise da Coleo ...............................................................................250

6.3. Cadernos So Paulo Faz Escola .........................................................................251

6.3.1. Anlise da 6 srie/7 ano Volume 4....................................................253

6.3.2. Anlise da 7 srie/8 ano Volume 2 ..................................................259



6.3.5. Anlise da Coleo ...............................................................................278

7. Concluses ................................................................................................................280

Referncias Bibliogrficas............................................................................................288

Anexos ............................................................................................................................296

Anexo I ........................................................................................................................296

Anexo II ......................................................................................................................302

Anexo III .....................................................................................................................307

19

1. CONSIDERAES INICIAIS

1.1. Introduo e Justificativa

Em nossa prtica docente acompanhamos, ao longo dos anos, uma deficincia no

processo de ensino e aprendizagem da matemtica1, em especial da lgebra

2. Cada vez

mais encontramos alunos que no entendem o que fazem e no compreendem os

clculos algbricos. Muitos acabam decorando por repetio os mecanismos, porm no

sabem o significado do que fazem e, muito menos, por que fazem. Isso pode gerar

alunos que conhecem vrias regras ou ferramentas matemticas, mas no sabem como

utiliz-las em situaes fora da sala de aula ou mesmo em problemas distintos daqueles

nas quais foram (supostamente) aprendidas (Castro-Filho, Freire e Paschoal, 2003;

Castro-Filho, Freire e Cabral, 2004; Castro-Filho, De Macdo, Freire e Leite, 2005).

Trabalhando com os cursos de Licenciatura em Matemtica, Engenharias e

Tecnologias, em instituies pblicas e privadas desde 2000, temos percebido

frequentemente grandes dificuldades dos alunos em relao aprendizagem da lgebra.

Como consequncia dessa deficincia, so criadas, em alguns cursos de Ensino

Superior, e administradas no 1 semestre, disciplinas destinadas a retomar tcnicas e

conceitos estudados nos Ensinos Fundamental e Mdio; em alguns casos, a disciplina

chamada de Fundamentos de Matemtica Elementar.

____________________________

1 Em Silva (2008) so apresentados dados estatsticos do desempenho dos alunos em Matemtica no

SAEB-2003. 2 Ribeiro (2001) analisa o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em lgebra, com base em dados

do SARESP.

20

Verificamos, por exemplo, que os alunos, com certa frequncia, no relacionam

os produtos notveis com as potncias; no entendem o que significa a fatorao de

polinmios; muitos tm dificuldade em resolver equaes de 1 grau. A maioria s

consegue resolver a equao de 2 grau pela chamada frmula de Bhaskara e, ainda

assim, no tem certeza da ordem de resoluo das operaes, levando ao erro em muitos

exerccios. Percebemos que eles operam razoavelmente bem com a aritmtica, mas no

relacionam essas operaes e suas propriedades com as operaes algbricas, por isso,

acabam resolvendo as operaes algbricas a partir de regras sem significado para eles.

O que conseguimos observar em nossa prtica de ensino que, mesmo os alunos

tendo um estudo centrado no treino dessas regras, este treino no est sendo suficiente

para que eles consigam compreend-las e us-las sempre que necessrio. Essas

percepes aproximam-se da literatura, conforme encontramos em Castro-Filho, Freire

e Paschoal (2003), Castro-Filho, Freire e Cabral (2004) e Castro-Filho, De Macdo,

Freire e Leite (2005). As dificuldades e as falhas dos alunos nos remetem ao incio do

ensino da lgebra formal. Essa formao ensinada nos trs ltimos anos do Ensino

Fundamental, ou seja, nos 7, 8 e 9 anos. No entanto, no contato com alunos do Ensino

Superior, observamos que durante o Ensino Fundamental e Mdio, ao que parece, eles

no construram os conceitos dessas noes matemticas.

Dentro desse cenrio, seria relevante tentarmos compreender por que parece ser

to difcil aprender lgebra. Booth (1994), ao tentar responder essa pergunta, identificou

os tipos de erros mais comuns na lgebra, bem como as razes desses erros.

Para isso, Booth (1994) investigou alguns alunos da oitava dcima srie (treze

a dezesseis anos de idade) do Reino Unido que j estudavam lgebra. Independente da

idade e do tempo de estudo em lgebra, identificou erros semelhantes em todas as

sries. Por meio de entrevistas, os alunos mostraram que os erros poderiam ter origem

nos seguintes aspectos:

a) o foco da atividade algbrica e a natureza das respostas;

b) o uso da notao e da conveno em lgebra;

c) o significado das letras e das variveis;

d) os tipos de relaes e mtodos usados em aritmtica.

Pensando no item a: o foco da atividade algbrica e a natureza das respostas,

os alunos tm dificuldade em compreender a natureza das respostas de uma atividade

algbrica. Eles, normalmente, esperam encontrar uma resposta numrica, como

21

acontece na aritmtica. Na lgebra o foco no encontrar um nmero como resposta e,

sim, estabelecer procedimentos e relaes e express-los em uma forma simblica

generalizada. Os alunos at chegam expresso algbrica, mas no consideram essa

uma resposta adequada. Em alguns casos, por exemplo, os alunos simplificam a

expresso 2a + 5b como sendo 7ab. Esse problema pode ocorrer porque os alunos tm

dificuldade cognitiva em aceitar a ausncia de fechamento (Collins, 1975 apud Booth,

1994), ou simplesmente possuem a expectativa de encontrar respostas na lgebra

semelhantes s respostas encontradas na aritmtica. Nesse ponto Booth diz que:

H tambm outro aspecto do problema: as expresses algbricas no-

fechadas no s so legtimas enquanto respostas, como tambm

podem representar o procedimento ou a relao pela qual se obteve a

resposta tanto quanto a prpria resposta. Por exemplo n + 3 pode ser

uma expresso de uma instruo (ou procedimento), que afirma que

se deve somar 3 varivel n, e tambm uma resposta, que d o

resultado de se ter efetuado uma adio. No primeiro caso pode-se

interpretar a expresso como some 3 a n; no segundo como o

nmero que excede n em 3 unidades. (Booth, 1994, p. 27)

Aps essa anlise, o autor conclui que esse tipo de problema pode estar mais

ligado dificuldade que os alunos podem ter em aceitar as respostas algbricas do que

ao fato de a mesma expresso representar tanto um procedimento como uma resposta.

Passando para anlise do ponto b: o uso da notao e da conveno em lgebra,

supe-se que parte da dificuldade dos alunos em simplificar expresses, como no

exemplo 2a + 5b = 7ab, est muito relacionada falta de significado do smbolo

operatrio para o aluno. Em aritmtica, smbolos como + e = representam aes a

serem efetuadas, de maneira que o smbolo de + significa realizar uma operao e o

smbolo de = significa escrever o resultado. A ideia de que o smbolo de adio possa

indicar tanto o resultado de uma adio quanto a ao da adio, ou de que o sinal de

igualdade possa ser visto como indicador de uma relao de equivalncia em vez de um

smbolo para dar o resultado, pode no ser percebida pelos alunos, embora essas duas

noes sejam necessrias para a compreenso algbrica.

Concordando com a anlise de Booth (1994), Kieran (1981) tambm percebeu,

no contexto do estudo das equaes, que os alunos usavam o smbolo de igualdade

apenas para representar uma resposta numrica. Eles no compreendiam a relao de

equivalncia existente no smbolo de igualdade.

22

Essas anlises nos remetem ao trabalho de Arcavi (2006), que diz que

extremamente relevante se compreender o verdadeiro significado dos smbolos

matemticos para se aprender lgebra e escrever expresses algbricas.

No podemos nos esquecer de que o desenvolvimento da linguagem algbrica

tambm importante para o desenvolvimento da aprendizagem algbrica, e o contrrio

tambm verdade. Esse desenvolvimento pode ser favorecido por meio da compreenso

dos significados dos smbolos tanto quanto da concepo de cada operao estudada na

aritmtica.

Em relao ao significado dos smbolos algbricos, temos outro ponto levantado

por Booth (1994); o ponto c: o significado das letras e das variveis. Os alunos aceitam

o uso das letras para substituir nmeros desconhecidos. Mas, esse uso tambm pode

gerar dificuldades, pois tem distintos significados na lgebra e na aritmtica. No

contexto aritmtico as letras podem ser usadas como unidades de medidas. Vejamos um

exemplo com a letra m; usamos a letra m como a unidade de medida de comprimento

metro, ento em aritmtica podemos escrever 3m e estamos falando de 3 metros,

enquanto que na lgebra, ao escrevermos 3m, estamos nos referindo a 3 vezes o nmero

m.

Outro aspecto importante do uso da letra na lgebra com o significado de

varivel. Boa parte dos alunos que relaciona as letras a representaes numricas possui

forte tendncia em achar que essa letra representa um nico nmero. Com isso,

percebemos como os alunos ficam presos ao pensamento aritmtico, o que j foi

apontado por Booth (1994) e Cristovo, Fernandes e Fiorentini (2005), quando dizem

que os alunos tm dificuldades de deixar o modo aritmtico de pensar. Por isso, a ideia

de utilizar a letra para representar valores genricos ou variveis como y = x + 5 no

imediata. Essa ideia precisa ser construda no percurso da escolarizao. Outro

problema em relao ao uso das letras que os alunos assumem que letras diferentes

devem possuir valores numricos distintos. Dessa maneira, as expresses x + y + z e

x + y + q nunca sero iguais.

As dificuldades apresentadas at aqui mostram que as falhas na relao entre a

aritmtica e a lgebra podem gerar muitas dificuldades na aprendizagem da lgebra

(Barbosa e Boralho, 2009). Todavia, a lgebra no est isolada da aritmtica, em muitos

aspectos, podemos dizer que ela uma generalizao da aritmtica. E, nessa relao

repousa uma fonte de dificuldades na aprendizagem da lgebra. Assim, podemos

23

discutir o ponto d: os tipos de relaes e mtodos usados em aritmtica. Como afirma

Booth:

Para compreender a generalizao das relaes e procedimentos

aritmticos preciso primeiro que tais relaes e procedimentos sejam

aprendidos dentro do contexto aritmtico. Se no forem reconhecidos,

ou se os alunos tiverem concepes erradas a respeito deles, seu

desempenho em lgebra poder ser afetado. (Booth, 1994, p. 33)

Nesse caso, podemos ento supor que muitas das dificuldades que o aluno

apresenta em lgebra, na verdade, so problemas que no foram corrigidos no estudo da

aritmtica. Tais dificuldades, muitas vezes, no eram erros de alunos, mas sim falta de

desenvolver algumas concepes aritmticas dentro da sala de aula. Alm disso, muitas

vezes, os alunos no tm problemas com as concepes aritmticas; o problema est

mais relacionado com a forma com que o aluno resolve as questes. Explicando melhor,

sabemos que quando os alunos esto resolvendo questes e problemas dentro da

aritmtica, eles encontram mais de uma maneira de resoluo. Algumas maneiras

possuem um raciocnio adequado, mas uma forma de escrita de resoluo, muitas vezes,

incorreta do ponto de vista da formalidade da linguagem matemtica. Quando esse

aluno comea a aprofundar os seus conhecimentos, tanto na aritmtica quanto na

lgebra, torna-se imprescindvel o desenvolvimento e a utilizao da linguagem

matemtica, no caso, algbrica. Caso no desenvolva a linguagem algbrica, pode

acarretar mais e mais dificuldades ao longo de sua vida escolar. No queremos dizer

com isso que o aluno no deva desenvolver seus mtodos informais de resoluo, ou de

uso de outras linguagens. Mas, ao longo de sua escolarizao, o professor deveria

mostrar as limitaes do seu mtodo informal ou das linguagens usadas, bem como a

importncia e a facilidade de se usar a linguagem algbrica. O professor, por meio de

atividades, deveria fazer com que o aluno sinta a necessidade da mudana dos mtodos

de resoluo, para que esse seja um procedimento natural ao longo do desenvolvimento.

Ainda dentro do quadro das dificuldades dos alunos em lgebra, encontramos a

pesquisa de Kuchemann (1981) que, assim como Booth (1994), tambm percebeu

semelhanas nas dificuldades em lgebra em alunos de diferentes sries. Kuchemann

(1981) fazia parte de um programa de pesquisa intitulado Concepts in Secondary

Mathematics and Science (CSMS), ento apresentou vrias questes de lgebra para

10.000 alunos de diferentes sries da escola secundria britnica. Esse estudo tinha

como objetivo identificar se alunos de sries diferentes utilizavam de formas diferentes

24

a simbologia algbrica. A anlise partiu da comparao das resolues dos alunos frente

a questes com diferentes graus de complexidade estrutural. Na interpretao dos

resultados, Kuchemann (1981) relaciona o xito dos alunos em trabalhar com questes

de maior complexidade estrutural com o nvel de compreenso do uso da simbologia

para a resoluo de problemas (questes). Como resultado geral, a pesquisa revelou que

os alunos, ou pelo menos a grande maioria, apresentaram pouco desenvolvimento, ao

longo das sries escolares, diante de questes de lgebra. O que se discute no trabalho

se esse baixo desempenho no seria produto de um mau ensino.

At aqui levantamos alguns erros dos alunos e as possveis razes desses erros

na aprendizagem de lgebra. No entanto, esse mapeamento que no tem a inteno de

elencar todos os erros cometidos pelos alunos, mas de nos dar uma orientao para o

olhar da nossa pesquisa. Aceitamos que essas falhas so resultados de muitos fatores

dentro do processo de ensino e aprendizagem da lgebra.

Por outro lado, nas pesquisas de Zazkis e Liljedahl (2002), Oliveira (2008) e

Santos (2007) percebemos que os professores possuem uma formao deficitria e que

encontram algumas dificuldades em lgebra e no ensino dela. O trabalho de Zazkis e

Liljedahl (2002) identificou que os professores conseguiam encontrar as regularidades e

discutir o problema algebricamente, porm tinham dificuldades de encontrar uma

expresso algbrica para representar o que eles estavam discutindo.

Oliveira (2008), ao analisar o trabalho de professores em formao, destaca a

dificuldade destes em ensinar como se escreve uma expresso algbrica a partir de uma

generalizao. Os professores dizem que no foram orientados a elaborar estratgias de

ensino que ajudem o aluno a escrever uma expresso algbrica a partir de regularidades.

Ao entrevistar professores de matemtica acerca de suas formaes em lgebra,

Santos (2007) verificou que eles apresentaram uma insatisfao com a sua formao,

tanto na escola bsica (Ensino Fundamental e Ensino Mdio) quanto na graduao. No

total, trs professores foram entrevistados e todos destacaram que tiveram uma

formao deficitria para ensinar lgebra. Um deles, ressaltou que no encontrou

respostas para as aplicaes dos contedos algbricos nem na graduao. O outro,

declarou que ensina o que gostaria de ter aprendido, ento busca ensinar uma lgebra

mais intuitiva sem aplicar as frmulas de imediato. J o terceiro, declarou que recorre

aos livros didticos para ajud-lo a inovar nas suas aulas.

Com esses relatos, podemos supor que esses professores no tiveram uma boa

formao em relao lgebra, pois se sentem inseguros com os seus conhecimentos

25

para ministrar suas aulas. Eles esto sempre buscando maneiras de inovar e de suprir as

deficincias da sua formao. Resta-nos saber de que maneira eles esto fazendo isso,

onde estariam buscando os conceitos para reconstruir a concepo de ensino de lgebra

que possuem? DAmbrosio (1996) considera que essa busca pela melhoria resulta em

conquistas positivas. Segundo o autor:

Cada indivduo tem a sua prtica. Todo professor, ao iniciar sua

carreira, vai fazer na sala de aula, basicamente, o que ele viu algum,

que o impressionou, fazendo. E vai deixar de fazer algo que viu e no

aprovou. Essa memria de experincias impregnada de emocional,

mas a entra tambm o intuito aqueles indivduos que so

considerados o professor nato. Mas sem dvida o racional, isto ,

aquilo que se aprendeu no curso, incorpora-se prtica docente. E

medida que vamos exercendo, a crtica sobre ela, mesclada com

observaes e reflexes tericas, vai nos dando elementos para

aprimor-la. (DAmbrosio, 1996, p. 91)

DAmbrosio (1996) ressalta que essa reflexo constante da prtica buscando,

paralelamente, apoios tericos, deve ajudar esses professores a melhorar sua prtica

pedaggica.

No entanto, podem existir professores que so inseguros com a sua formao ou

com parte dela. Assim, o receio em inovar nas suas aulas acaba levando-os a seguir

estritamente as orientaes do livro didtico sem questionar. Na mesma direo,

Machado (1996) destaca que:

O professor abdica do privilgio de projetar os caminhos a serem

trilhados, em consonncia com as circunstncias experincias,

interesses, perspectivas de seus alunos, passando a conformar-se,

mais ou menos acriticamente, com o encadeamento de temas

propostos pelo autor. Tal encadeamento ora tem caractersticas

idiossincrticas, ora resulta da cristalizao de certos percursos, que

de tanto serem repetidos, adquirem certa aparncia de necessidade

lgica. (Machado, 1996, p. 23)

O professor, de forma geral, percebe que sua formao insuficiente, ento,

muitas vezes, prefere copiar e aceitar sem discusso a proposta de ensino estipulada no

livro a usar seus conhecimentos adquiridos em suas prticas. Ao mesmo tempo,

sabemos que, mesmo que exista essa obedincia cega ao percurso proposto pelo livro

didtico, o professor atua como mediador entre o livro didtico e o aluno, ento, um

novo processo de didatizao sempre ocorre. Entretanto, seria imprescindvel que o

professor estivesse sempre refletindo sobre sua prtica e sua concepo de ensino,

26

adequando essa prtica ao grupo de alunos e a seu contexto de trabalho, pois, como

disse DAmbrosio, dessa maneira, ele poderia ir aprimorando a sua prtica.

Mas, temos que aceitar que, muitas vezes, o livro didtico o mais prximo ou o

nico material de apoio para a preparao das aulas da maioria dos professores.

Consequentemente, o livro didtico acaba sendo um grande divulgador de ideias,

saberes matemticos e concepes. Por isso, analisar e refletir sobre a concepo de

ensino de lgebra presente nos livros didticos pode auxiliar na formao inicial e

continuada do professor.

Pensando em analisar os livros didticos, encontramos Neves (1995), que

constata que o processo de didatizao apresentado nos livros didticos referentes ao

ensino de lgebra continua com o mesmo percurso de dcadas atrs. Neves (1995)

afirma que mesmo os livros didticos inovadores tratam os tradicionais tpicos de

lgebra de forma extremamente arcaica. Ele acredita que essa viso do ensino de

lgebra colocada nos livros didticos favorece as dificuldades na aprendizagem desse

assunto.

Da mesma maneira, Santos (2007), uma dcada depois, chegou a concluir que

um dos motivos da dificuldade dos alunos na aprendizagem da lgebra pode estar

relacionada com a proposta de ensino presente nos livros didticos quando diz que a

forma como alguns livros introduzem a lgebra pode justificar as dificuldades

encontradas pelos alunos no ensino e aprendizagem da lgebra (Santos, 2007, p.45).

Desse modo, pode-se dizer que o problema do ensino de lgebra no est

somente na atuao do professor, mas tambm na concepo de ensino proposta nos

livros didticos. O ensino da lgebra ainda preserva um ensino baseado no treino da

manipulao dos simbolismos algbricos. Por outro lado, bem ou mal, esse ensino ainda

praticado nas escolas e parece desfrutar de certa legitimao, ainda que os fins

formativos possam ser questionados, j que no se vislumbram grandes mudanas e

parecem se adequar s rotinas impostas pela escola.

Essa concepo acaba se manifestando nos livros didticos. Neves (1995)

investigou as mudanas no ensino de lgebra atravs dos livros didticos. O autor

analisou livros didticos em trs momentos distintos de nosso sistema de ensino: i) nas

dcadas de 30 e 40, ou seja, antes da Matemtica Moderna; ii) na dcada de 70 no

movimento da Matemtica Moderna e; iii) na dcada de 90. Neves (Idem) chega

concluso de que o ensino de lgebra mudou muito pouco ao longo de todo esse

perodo, via livro didtico. Segundo o autor:

27

O desenvolvimento de ferramentas consome pginas e pginas nos

livros atuais sem que elas estejam voltadas para a interpretao de

alguma situao problematizada, sejam problemas envolvendo um

contexto real, seja uma situao interna ao prprio discurso

matemtico. (Neves, 1995, p. 26)

O autor afirma ainda que o enfoque dado lgebra na dcada de 90 apresenta

algumas heranas da Matemtica Moderna:

Muito do trabalho atual com lgebra contm resduos do enfoque

moderno. Boa parte do currculo ainda marcada por uma

organizao visando ampliao sucessiva de campos numricos a

partir dos nmeros naturais, passando pelos nmeros inteiros,

racionais, reais e complexos. Apesar de o carter de fundamentao e

evidncia das estruturas matemticas no estar mais na ordem do dia,

o ensino de matemtica elementar ainda permanece atrelado a uma

organizao da lgebra universitria calcada na expanso de estruturas

algbricas gerais, como as estruturas de grupo, de anel e de corpo.

Esta organizao traduz um ponto de vista do saber matemtico que

subordina por exemplo, o aspecto instrumental do trabalho com

nmeros e equaes a uma lgica de um conhecimento previamente

organizado. (Neves, 1995, p. 42)

Neves (1995) tambm discute o uso da histria da matemtica como motivao

de seu ensino, no entanto, nos livros didticos desse perodo encontra-se uma histria da

matemtica personalista ou anedotria. O autor conclui que, mesmo com algumas

mudanas, os livros continuam essencialmente ligados ao movimento da Matemtica

Moderna, e a lgebra continua sendo ensinada como verdade a ser transmitida ao aluno.

O que se pode imaginar que devido ao Programa Nacional do Livro Didtico

(PNLD), que uma avaliao do livro didtico realizado pelo Ministrio da Educao,

os livros tenham sofrido algumas mudanas em relao dcada de 90. Assim,

buscamos analisar os livros didticos atuais, para entendermos qual o percurso de

didatizao do ensino formal de lgebra est sendo feito neste momento.

Uma hiptese geral de que falhas e dificuldades apresentadas pelos professores

formados ou em formao, e pelos alunos, em relao ao ensino de lgebra, mostram

uma concepo de ensino de lgebra ainda muito focada no ensino de regras e

procedimentos. Dessa maneira, a lgebra no est cumprindo seu papel dentro da

formao do cidado. Nesta formao, a lgebra deveria ser utilizada como ferramenta

para resolver problemas, tanto dentro da matemtica quanto em outras reas do

28

conhecimento. Para isso, o aluno precisaria desenvolver uma forma de pensar

algebricamente que o auxiliasse na resoluo de problemas.

Esse pensamento algbrico capaz de desenvolver habilidades para resolver

problemas tambm deveria compreender a lgebra e as suas estruturas internas. Deveria

permitir a compreenso dos significados dos smbolos algbricos, para que se possa

expressar esse pensamento algbrico atravs de diversas linguagens e, principalmente,

da linguagem algbrica.

Nesta tese vamos olhar apenas para um fator que decorre da ideia razovel de

conjecturar que as deficincias relacionadas s operaes algbricas, ao uso da

linguagem algbrica e ao uso da lgebra para a resoluo de problemas no foram

sanadas ao longo de todo o percurso escolar, possivelmente, porque no foram

diagnosticadas pelos professores. Chevallard (1991) destaca que muitas dificuldades

dos alunos no so plenamente identificadas. Alm disso, o autor ressalta que resolver

uma questo matemtica exige algumas habilidades implcitas3 nessas resolues.

Muitas vezes, o professor no as percebe e, portanto, no se preocupa com sua

aprendizagem. Nesse caso, o aluno pode ter dificuldades para a resoluo de questes,

devido no compreenso dessas habilidades implcitas, ou porque elas sequer foram

ensinadas explicitamente. Segundo Chevallard (1991), esse problema acaba no sendo

solucionado porque essas habilidades no esto definidas como objeto de ensino, o que

pode dificultar todo o processo de ensino e aprendizagem. Nesse sentido, caberiam

algumas questes: quem o professor que est na sala de aula? Quais so suas

dificuldades para ensinar lgebra? Por que no consegue identificar os erros algbricos

dos alunos e suas razes? Essas questes remetem formao dos professores.

______________________

3 Essas habilidades implcitas so chamadas por Chevallard (1991) de noes paramatemticas e

protomatemticas. Elas sero discutidas no captulo 3.

29

Por isso, pretendemos focar nossa pesquisa na anlise dos livros didticos

porque reconhecemos sua importncia dentro da relao professor-aluno-saber e que

tambm ele pode influenciar novos mtodos de ensino. Essa referncia que o professor

encontra nos livros didticos mostra o quanto o livro d segurana para o caminho a ser

seguido pelo professor. Muitas vezes, um caminho seguido por dcadas, em alguns

casos, os mesmos que o professor percorreu enquanto aluno. Assim, concordamos com

Neves (1995) que trata o livro didtico como forte influenciador das prticas didticas

do professor e como veculo capaz de estabelecer novas tendncias para o ensino.

Para a anlise dos livros didticos usaremos a Teoria da Transposio Didtica

(TD) e a Teoria Antropolgica do Didtico (TAD), de Yves Chevallard (1991, 1999). A

escolha desse referencial terico se deu pelas possibilidades de respostas que podemos

encontrar.

Em relao ao uso das teorias de Chevallard em pesquisas a respeito de livros

didticos, vale destacar que Nogueira (2008) questionou se uma das fontes das

dificuldades da aprendizagem em lgebra no seria fruto de como a lgebra est sendo

ensinada aos alunos. Assim, delimitou sua pesquisa na caracterizao do incio formal

do ensino de lgebra presente nos livros didticos do Ensino Fundamental. A autora

analisou o livro do 7 ano do Ensino Fundamental de trs colees aprovadas no PNLD-

2008. Dentro desse livro, analisou o captulo referente equao de 1 grau, observando

como feita a apresentao e como o assunto conduzido nesse incio. Para a anlise a

pesquisadora utilizou a TAD4, na qual ela observou as praxeologias existentes em

relao tarefa de resolver a equao de 1 grau e levantar os momentos de estudos

apresentados nos livros.

______________________

4 Podemos observar o uso da TAD em outras reas do conhecimento. Diogo, Osorio e Silva (2007)

apresentam contribuies da TAD para o ensino de Fsica.

30

Em sua anlise, Nogueira (2008) observou que o primeiro livro desenvolve as

tcnicas e favorece o treino dessas tcnicas. Para a pesquisadora, esse livro est muito

baseado no bloco tarefa-tcnica. O bloco tecnolgico-terico, que seria, segundo

Chevallard (1999), o desenvolvimento das justificativas e dos significados que

envolvem a resoluo das tcnicas treinadas, aparecem somente nas caixas de dilogos

apresentadas no livro. Isso no se reflete em momentos de discusses e reflexes

propostas pelo livro. Essas discusses e reflexes s ocorrero se o professor propuser

atividades com esse intuito. Se o professor no perceber essa lacuna do livro, isso no

ocorrer e a aprendizagem estar comprometida.

J, o segundo livro, classificado pela pesquisadora como mais prximo das

diretrizes estipuladas pelo Guia do PNLD-2008. Este livro inicia a discusso com a

resoluo de problemas, mas, ao longo do captulo, d mais nfase resoluo de

equaes escritas em linguagem corrente ou em linguagem algbrica, trabalhando muito

pouco com a resoluo de problemas efetivamente. A estrutura do captulo procura,

primeiramente, apresentar toda a estrutura e a nomenclatura de partes da equao de 1

grau para, posteriormente, apresentar as tcnicas de resoluo. O bloco tecnolgico-

terico descrito por Chevallard (1999) aparece, segundo a pesquisadora, quando o livro

estabelece algumas regras para a resoluo de situaes-problemas. Segundo Nogueira

(2008), nesse momento, o autor tem a inteno de desenvolver as tecnologias e as

teorias em torno da tcnica utilizada.

O terceiro livro tem uma postura mais construtivista, pois no trabalha o

contedo de maneira convencional, no apresenta as tcnicas de resoluo de equao

ou apenas lana discusses em torno do desenvolvimento do assunto. O autor deixa para

os livros posteriores a continuidade desse contedo.

Nas trs anlises, Nogueira (2008) verifica que os autores no completam as

praxeologias da tarefa de resolver a equao de 1 grau. Percebe-se que, para analisar se

as praxeologias se completam, necessrio analisar como cada autor direciona seu

trabalho nos outros livros da coleo.

Chevallard (1999) ressalta que para que a construo do pensamento algbrico

esteja explcita na atividade do livro didtico precisamos encontrar toda a praxeologia

dessas tarefas, ou seja, que encontremos tambm o desenvolvimento do bloco

tecnologia-teoria. Assim, o nosso trabalho pretende ampliar essa anlise no somente

para a resoluo da equao de 1 grau, mas tambm para o ensino de lgebra do Ensino

31

Fundamental. Mas, para que a praxeologia esteja completa o livro no pode deixar

subentendido o desenvolvimento da tecnologia, ou seja, o logos das tcnicas. Ele

precisa dar subsdios claros e explcitos para auxiliar o professor nesse trabalho.

Em uma pesquisa que analisou trs livros didticos do 9 ano do Ensino

Fundamental, escolhidos aleatoriamente, sendo dois da lista de livros aprovados do

PNLD-2006 e um da lista do PNLD-2008, Bittar e Silva (2009) verificaram que haviam

muitas similaridades no processo de didatizao dos trs livros didticos em relao

determinao das razes (da soluo) de uma equao de 2 grau. Os livros iniciavam o

captulo revisando a equao de 1 grau, posteriormente, passaram para o estudo da

resoluo das equaes de 2 grau incompletas, nas quais usaram procedimentos j

conhecidos pelos alunos e, por ltimo, a equao de 2 grau completa. O que

diferenciou um livro do outro foi a quantidade de exerccios resolvidos e propostos.

De modo geral, os autores no deixam explcito o discurso tecnolgico-terico

relativo s tcnicas; estes so, por vezes, identificados em registros como notas

informativas, observaes, ou inseridos na resoluo da atividade.

Neste caso, estamos tratando de um contedo que possui tcnicas que precisam

ser aprendidas de forma adequada e que o treino faz parte dessa aprendizagem. Com

isso, ainda encontramos uma boa parte dos textos em manuais que acabam privilegiando

somente o treino. Todavia, no podemos avaliar que todo o desenvolvimento algbrico

do restante da coleo mantm esse mesmo perfil. Por isso, sentimos a necessidade de

analisar todo o processo de didatizao do ensino de lgebra no Ensino Fundamental

para verificar se o perfil mais voltado para as tcnicas de resoluo sem justificativas se

estende por todo o percurso.

Em outras pesquisas, foram analisadas as prticas de professores a partir da

Transposio Didtica. Mateus Filho, Menezes, Queiroz e Silva (2013) analisaram as

aulas de um professor em relao ao conceito de funo. Com o uso da vigilncia

epistemolgica existente dentro da Transposio Didtica foi possvel analisar que, no

processo de didatizao interna do saber a ensinar que estava proposto no livro didtico

para o saber ensinado proposto por ele, o professor descaracterizou o conceito de

funo. No momento de adaptar alguns conceitos para ensinar os alunos a construir o

grfico de funo de 1 grau acabou cometendo algumas falhas conceituais. Dessa

maneira, quando o professor tenta transformar o saber a ensinar para o saber ensinado

na sala de aula e acaba sendo fiel quele, isso pode desenvolver alguns obstculos

aprendizagem.

32

Em outra pesquisa, Guerra e Mesquita (2011) realizaram uma narrativa

autobiogrfica do professor Mesquita, na qual relatou o processo de construo do

conhecimento didtico luz da Transposio Didtica Interna, e ainda fez contraste

entre a prtica inicial, com forte influncia do livro didtico, com as prticas docentes

influenciadas pelos cursos de formao continuada, em nvel de especializao e de

mestrado. Assim, o professor declara que

A continuao da formao em nvel de mestrado me revelou a

importncia de minha relao com o saber na construo do meu

conhecimento didtico, na qual pude refletir que minha ao docente

inicial pautada numa relao com o saber onde os objetos matemticos

eram percebidos por mim como rgidos, ou seja, prontos e acabados

em si. No entanto, percebi que uma nova relao pessoal com o saber,

proporcionada pelas compreenses que tive da teoria da transposio

didtica matemtica, fez-me entender que os objetos matemticos

podem ter variantes nas instituies e na forma de abord-los. Assim

pude vislumbrar um fazer justificado por meio de articulaes e

integraes dos objetos matemticos na construo do meu projeto de

ensino, aqui entendido como o texto do saber eminente no qual

percebo meu fazer docente com um maior grau de profissionalizao.

(Guerra e Mesquita, 2011, p.11)

Em nossa pesquisa tambm usamos a Teoria da Transposio Didtica para as

anlises dos livros porque, para ns, essa Teoria antecede a Teoria Antropolgica do

Didtico e, em certo sentido, complementam-se. Assim, esperamos conseguir

compreender o processo de didatizao do incio do ensino de lgebra. Pretendemos

analisar se a inteno didtica dos livros compreende a ideia de ter como objeto de

ensino o desenvolvimento do pensamento algbrico.

Com este panorama, levantamos a hiptese de que uma parte do problema est

relacionada com a concepo de ensino de lgebra presente nos livros didticos; mais

especificamente, com seu percurso de didatizao. Para entendermos melhor o problema

seria pertinente avaliar como o ensino de lgebra apresentado nos materiais didticos

utilizados pelos professores e quais caminhos segue at se transformar de objeto a

ensinar a objeto ensinado?

33

1.2. Objetivo e Problema

O objetivo geral de nosso trabalho analisar o quanto os materiais didticos

esto conseguindo contribuir para uma aprendizagem capaz de garantir a construo do

raciocnio, a crtica, a tomada de deciso, a compreenso e a utilizao da lgebra para a

resoluo de problemas e para a compreenso dos avanos cientficos e tecnolgicos da

sociedade contempornea. Mais especificamente, pretendemos analisar em que medida

os livros didticos esto focados em desenvolver o pensamento algbrico dos alunos.

Queremos investigar, nos livros didticos, se o pensamento algbrico

considerado objeto de ensino e se as habilidades envolvidas na construo do

pensamento algbrico so adquiridas no percurso escolar. Dito de outro modo, podemos

garantir que cada habilidade ou noo que compe o pensamento algbrico

estudada em um perodo especfico de um determinado ano escolar? Nossa hiptese

inicial sugere que a habilidade de representar algebricamente um problema no possui

lugar especfico no percurso escolar e tambm no possui instrues ou orientaes para

ser aprendido, nem existem nveis de aprendizagens que vo sendo explorados ao longo

de todo o perodo escolar.

Portanto, o que precisamos analisar tambm o quanto o material didtico

preocupa-se com a formao ao longo de todo o percurso escolar e o quanto deixa isso

claro para o professor que ir utilizar o livro. As atividades desenvolvidas no livro

didtico deveriam remeter a essa formao, ou seja, deveriam ser meios para realizar

essa formao ao longo de todo percurso escolar. Mas, isso estaria, de fato, ocorrendo?

Mais recentemente, o Ministrio da Educao (MEC) implementou o Programa

Nacional de Avaliao do Livro Didtico (PNLD). As exigncias impostas s editoras

por via dos editais do MEC poderiam ser indutoras de mudanas nos livros didticos.

Entretanto, um fato interessante que constatamos, comparando a lista de livros didticos

analisados por Neves (1995), na dcada de 90, e a lista dos livros aprovados no PNLD-

2011, foi que algumas colees pertencem s duas listas. E, alm disso, poucas

mudanas na estrutura dos livros ocorreram. Todavia, no iremos aqui analisar as

34

mudanas ocorridas nos livros didticos desses autores em todo esse perodo, pois isso

transcende a proposta deste trabalho.

Queremos, no entanto, analisar se os livros atuais so compatveis com a

formao algbrica que est sendo discutida tanto nas pesquisas, quanto nos programas

implementados no Brasil. Pretendemos analisar o percurso de didatizao da lgebra

nos livros didticos do 7, 8 e 9 anos do Ensino Fundamental, perodo que definimos

como o primeiro contato formal com a lgebra.

A opo por olhar para o livro didtico a possibilidade de analisar um saber

que no exatamente o saber que est em cada sala de aula, mas uma fonte de estudo

e de direcionamento para os professores, pois , em princpio, o saber legitimado por

todos os envolvidos no processo de ensino. Alm disso, o saber presente nos livros

didticos tem uma intencionalidade didtica, que pode ou no ser percebida pelo

professor.

Por isso, parece-nos que ao analisar o livro didtico, interrogamos um saber que

est to consolidado e adaptado ao cotidiano escolar que no questionado. como se

perguntssemos por que agora deveria ser diferente, se o ensino foi sempre assim?

Nossa pesquisa pretende inverter essa questo: haveria outros percursos

possveis de didatizao da lgebra? Ou, ainda, as habilidades requeridas para a

construo do pensamento algbrico estariam contempladas na estrutura didatizada dos

livros didticos?

Com o objetivo de fazer esses questionamentos, vamos analisar, mais

precisamente, o ensino das equaes de 1 grau no 7 ano; o clculo algbrico, as

equaes fracionrias e os sistemas lineares no 8 ano, e as equaes e os sistemas de

equaes de 2 grau no 9 ano, para responder seguinte pergunta: Como os livros

didticos do Ensino Fundamental reconstroem o pensamento algbrico em seus objetos

de ensino?

A estrutura desta tese ser desenvolvida em mais seis captulos. No prximo

captulo, descreveremos as concepes do ensino de lgebra ao longo dos tempos at o

momento atual. Na concepo atual, fala-se muito no desenvolvimento de um

pensamento algbrico. Definiremos o que vamos chamar de pensamento algbrico e

apontaremos o que a literatura declara como as caracterizaes desse pensamento

algbrico.

No captulo 3, apresentaremos a Teoria da Transposio Didtica e a Teoria

Antropolgica do Didtico, ambas de Yves Chevallard (1991, 1999).

35

No captulo 4, descreveremos como os materiais didticos (livros) foram

escolhidos e como as teorias de Yves Chevallard (1991,1999) foram utilizadas para a

anlise.

O captulo 5 apresenta as anlises dos trs materiais pedaggicos luz da Teoria

da Transposio Didtica, enquanto que no captulo 6 apresentaremos as anlises dos

materiais por meio da Teoria Antropolgica do Didtico. O Captulo 7 ser destinado s

concluses desta tese.

36

2. ENSINO DE LGEBRA E

PENSAMENTO ALGBRICO

Neste captulo pretendemos discutir o ensino de lgebra, as concepes de

ensino desenvolvidas ao longo dos tempos e como o ensino de lgebra pode ocorrer na

relao entre o desenvolvimento do pensamento algbrico e o da linguagem algbrica.

Mostraremos que algumas deficincias no ensino de lgebra so resultados de

um processo histrico desse ensino e que, atualmente, existem outras concepes de

ensino na literatura que apontam para o desenvolvimento de um pensar algbrico como

marca dessa concepo.

A linguagem algbrica nesse cenrio aparece como expresso desse pensamento.

E, a discusso do ensino dessa linguagem assemelha-se com o desenvolvimento dela na

histria da lgebra. Tomaremos como referncia que o desenvolvimento da linguagem

algbrica acontece em trs fases: retrica, sincopada e simblica.

Para concluirmos o captulo, estudaremos as caracterizaes desse pensamento

algbrico, em especial, a relevncia em desenvolver a percepo dos padres e a

representao das generalizaes por meio da linguagem algbrica, ao longo do Ensino

Fundamental.

2.1. Desenvolvimento da lgebra

O ensino de lgebra atualmente se d por uma relao de regras que devem ser

executadas pelos alunos para encontrar o xis da questo, ou seja, a resposta exigida.

Esse o resultado de um processo de didatizao que a lgebra sofreu ao longo dos anos

e que se mantm at hoje na escola. Mesmo com vrias reformas educacionais,

diferentes diretrizes e orientaes propostas para o sistema de ensino brasileiro, o ensino

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de lgebra permaneceu com poucas alteraes no Ensino Fundamental e, at mesmo, no

Ensino Mdio.

Assim, concordamos com Barbosa e Borralho (2009) quando afirmam que ainda

prevalece, no ensino de lgebra, o desenvolvimento de um conjunto de tcnicas

operatrias que busca apenas resolver equaes. Os alunos aprendem o como fazer, mas

poucos aprendem a respeito do porqu e do para qu. Isso nos leva a questionar o

quanto esse ensino est proporcionando uma aprendizagem de fato. Para entendermos

esse processo no basta criticar as pessoas envolvidas no momento atual. Ressaltamos

que seja necessrio compreendermos como o ensino de lgebra se desenvolveu ao longo

dos tempos e quais as concepes que permearam esse caminho. Para isso, apoiamo-nos

em Fiorentini, Miguel e Miorim (1993a), que procuram descrever cada momento do

desenvolvimento do ensino de lgebra.

Alm disso, Fiorentini, Miguel e Miorim (1993a) destacam que ao longo da

histria do ensino da matemtica elementar, manifestaram-se diferentes concepes

sobre o ensino da lgebra. Uma primeira noo do ensino de lgebra, vigente durante

todo o sculo XIX e a primeira metade do sculo XX, tanto no Brasil quanto em outros

pases, admitia a ideia de que somente a aquisio do transformismo algbrico

(entendido como o processo de obteno de expresses algbricas equivalentes entre si

mediante o emprego de regras e propriedades vlidas) seria necessrio e suficiente para

que o aluno adquirisse a capacidade de resolver problemas, mesmo que esses fossem

quase sempre artificiais. O transformismo algbrico resumia-se numa sequncia de

tpicos, passando pelas expresses algbricas, por operaes, equaes e, finalmente,

pela resoluo de problemas.

O movimento da Matemtica Moderna, cujo predomnio ocorreu desde o final

dos anos 50 ao final dos anos 70, tanto no Brasil, quanto no contexto internacional, iria

se contrapor concepo acima. Nesse segundo movimento, o papel pedaggico da

lgebra passa a ser o de fundamentar os vrios campos da matemtica escolar. No que

se refere, particularmente, forma de abordagem daqueles contedos ditos algbricos,

prevaleceu a ideia de que a introduo de propriedades estruturais das operaes com os

nmeros, que justificassem logicamente cada passagem presente no transformismo

algbrico, capacitaria o estudante a identificar e a aplicar essas estruturas nos diferentes

contextos.

Em busca dessa compreenso, os tpicos algbricos foram reorganizados e

expresses algbricas, valores numricos, operaes e fatorao seriam antecedidos

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pelos conjuntos numricos, pelas propriedades estruturais, pelas sentenas abertas e

fechadas, pelo conjunto-universo e conjunto-verdade, pelas equaes e inequaes do 1

grau e sucedidos por novos contedos algbricos (funes) (Fiorentini, Miguel e

Miorim, 1993a).

Uma terceira concepo do ensino de lgebra tentou fazer a sntese entre as duas

anteriores, uma vez que procurou, por um lado, recuperar o valor instrumental da

lgebra e, por outro, manter o carter de justificao das passagens presentes no

transformismo algbrico. Essa nova forma de justificar baseou-se, na maioria dos casos,

em recursos analgicos geomtricos e, portanto, visuais. Nesse sentido, os adeptos dessa

ideia acreditam que uma lgebra geomtrica, por tornar visveis certas identidades

algbricas, seria didaticamente superior a qualquer forma de abordagem estritamente

lgico-simblica. Isso, porm, no significa defender a impossibilidade de acesso do

estudante a uma forma de abordagem meramente simblica e mais abstrata, mas,

simplesmente, acreditar que a etapa geomtrico-visual constitui-se em um estgio

intermedirio e/ou concomitante abordagem simblico-formal. Outro recurso bastante

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