Determinantes 12 13

7/17/2019 Determinantes 12 13

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Apontamentos sobre Determinantes

Definição 1.1:Seja A uma matriz, quadrada de ordem n. O determinante de A representa-se

por (A)det ou por A e é (um número) definido, por recorrência, da seguinte

forma:

Se n=1 11aA então 11aA .

Se n>1 então n1n1n1

131312121111 Ma1MaMaMaA

Onde ijM denomina-se de menor e representa a matriz de ordem n-1 que se

obtém da matriz A retirando a linha i e a coluna j.

Exemplos:Determinar A onde 3A

Como A é uma matriz quadrada de ordem 1 então 3A

2 Determinar A onde

3211

A

Como A é uma matriz quadrada de ordem 2 então 12121111 MaMaA

33211

M11

23211

M12

123)2()1(313211

3 Determinar A onde

320112321

A

Como A é uma matriz quadrada de ordem 3 então

131312121111 MaMaMaA

1)1()1(313211

320112321

M11

6)0()1(323012

320112321

M12

4)0()1()2(22012

320112321

M13

2312121)4(36211320 112

321

A



Determinantes

2/8

Proposição 1.1: (Teorema de Laplace) Seja A uma matriz, quadrada de ordem n>1. O valor

do determinante de A pode ser calculado através do desenvolvimento ao

longo de qualquer linha ou coluna. Isto é:

n

1 j

kjkj jk Ma1A )( ao longo da linha k ,

n

1i

ik ik k i Ma1A )( ao longo da coluna k.

4 Determinar A onde

320112321

A

Como A é uma matriz quadrada, o teorema de Laplace permite escolher

qualquer linha ou coluna para desenvolver o cálculo do determinante. Foi

escolhida a linha 3. Então:

3

1 j

j3 j3 j3 Ma1A )( , isto é:

333332323131 MaMaMaA

513121132

320112321

M31

)(

723111231

320112 321M32

)(

322111221

320112321

M33

239140337250320112321

A

)(

5 Calcule o valor de A onde

300020

001

A

6321003002

1300020001

A

Proposição 1.2: Se D é uma matriz diagonal de ordem n, então |D| é igual ao produto dos

elementos da diagonal. Isto é:

nn2211

nn

22

11

dddDentão

d00

0d0

00d

D



Determinantes

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300120321

A

632101321003012

1

300

120321

A

Proposição 1.3: Se A é uma matriz triangular de ordem n, então |A| é igual ao produto dos

elementos da diagonal. Isto é:

se nn2211

nn

n222

n11211

aaaAentão

a00

aa0

aaa

A

ou nn2211

nn2n1n

2221

11

aaaAentão

aaa

0aa

00a

A

.

Proposição 1.4: Seja A é uma matriz de ordem n, entãoTAA


906120321

A

6182402219231262021

901232

6906120321

A

8 Calcule o valor de B onde B é a matriz que resulta da matriz A, do exemplo

anterior, por multiplicação da terceira linha por 2.

0221182312122021

1801232

1218012120321

B

1202219231262

Proposição 1.5: Se A é uma matriz de ordem n, e B a matriz que resulta da matriz A por

multiplicação de uma linha (coluna) por um escalar então AB .

Proposição 1.6: Se A é uma matriz de ordem n e AB então AB n .

Proposição 1.7: Se A é uma matriz de ordem n e B a matriz que resulta da matriz A por

troca de duas linhas (colunas) então AB .



Determinantes

4/8

Proposição 1.8: Sejam A e B duas matrizes de ordem n, então BAAB .

Significado geométrico do valor do determinante

Consideremos os vetores (2,0) e (0,3) de 2

63002

Consideremos os vetores (2,0) e (2,3) de 2

63022

O valor do determinante de uma matriz A de ordem 2 corresponde, a menos do

sinal, ao valor da área do paralelogramo definido pelos vetores coluna da matriz

A.

Proposição 1.9: Seja A uma matriz de ordem n, então nAc )( se e só se 0A .

Proposição 1.10:Seja A uma matriz de ordem n, se A tem duas linhas ou colunas iguais então

0A .

Proposição 1.11:Seja A uma matriz de ordem n. Se B resulta da matriz A por adição a uma

linha (coluna) de outra multiplicada por um escalar então AB .

Observação: esta propriedade permite calcular o determinante de

uma matriz quadrada de ordem n utilizando o método de

eliminação de Gauss. Caso seja necessário trocar de linhas

durante a condensação o determinante muda de sinal.



Determinantes

5/8

Exercícios:

1. Calcule, quando possível, o valor dos determinantes das seguintes matrizes:

411

013221

A

0001

01201221

B

cos

cos

sen

senC

2. Calcule o valor de A , B , BA , BA e AB sendo

411013001

A e

400013021

B

3. Sendo A e B matrizes de ordem 3, tais que 3A e 5B , calcule:

a) AB b) A2 c) BA 1

4. Seja

ihgf edc ba

A e k A . Indique, em função de k, o valor de cada um dos seguintes

determinantes:

a)

c ba

ihgf ed

b)i4h4g4f edc3 b3a3

c)ihgf ed

ich bga

d)

if c

gdahe b

e)

f 4ie4hd4g

f edc3 b3a3

5. Os números 20604, 53227, 25755, 20927 e 78421 são divisíveis por 17. Mostre que o

mesmo sucede ao determinante seguinte, sem calcular o seu valor.

1248772902557527223540602



Determinantes

6/8

Cálculo da inversa duma matriz a partir da adjunta

Definição 1.1: Seja A uma matriz de ordem n, com n>1. Denomina-se de complemento

algébrico da posição ij de A, e representa-se por ija , o escalar

ij

ji

ijM1a

ˆ

Definição 1.1: Seja A uma matriz de ordem n, com n>1. Denomina-se de matriz dos

complementos algébricos de A, e representa-se por A , à matriz que se obtém

de A substituindo cada elemento pelo seu complemento algébrico da respectiva

posição.

Chama-se adjunta de A, e representa-se por adj A, à transposta da matriz dos

complementos algébricos de A, isto é TAAadj ˆ .

Proposição 1.12:Seja A uma matriz de ordem n, com n>1. Tem-se que:

AadjA

1A 1

.

Exemplo:

9 Calcule a inversa da matriz A onde de

222121213

A .

2242212a11 ˆ 242

2221a21 ˆ 341

1221a31 ˆ

0222211

a12 ˆ 2462223

a22 ˆ 1231123

a32 ˆ

2422221

a13 ˆ 4262213

a23 ˆ 5162113

a33 ˆ

2220123

22

212

22

111

22

123A

25

21

23

1

21

10

11

542120322

2

1Aadj

A

1A

25

21

23

1

21

10

11

A



Determinantes

7/8

Sistemas de Cramer

Definição 1.1: Um sistema de n equações lineares a n incógnitas possível e determinado

denomina-se de sistema de Cramer.

Um sistema de Cramer tem como matriz dos coeficientes uma matriz de ordem n, então pode

ser utilizado determinantes para calcular a solução única.

Proposição 1.13: (Regra de Cramer) Seja Ax=B um sistema de Cramer. Para n1 j ,,

seja jA matriz que se obtém da matriz A por substituição da coluna j pelos

termos independentes, então a solução do sistema é:

A

A

A

A n1

,, .

Exemplo:

0 Utilizando a regra de Cramer, determine a solução do sistema

6zyx

7zy2

14z3y2x

67

14 be

111120321

A

314281211416261161273214

A 1

6071016211411611703141

A 2

902607128141611720

1421A 3

36210121111120321

A

3213

9

3

6

3

3,,,,,

Resposta: 321 ,, é a solução do sistema



Determinantes

8/8

Exercícios:

6. Para os seguintes sistemas verifique se são sistemas de Cramer e resolva-os segundo o

método de Cramer:

a)

9x3x2x6xx2x2

5xx2x

321

321

321

b)

0xxx

0xx2x 1x2xx

0xx

421

431432

21

c)

5xx2 5x2x2121

7. Determine as inversas das seguintes matrizes pelo método da adjunta:

a)

321122121

A b)

101112012110

0011

B c)

1221C

Utilizando as inversas calculadas, determine as soluções dos sistemas

965

Ax ,

0010

Bx e

55Cx

8. Considere a matriz

k com

k k k k k o1k 1

Ak

a) Usando determinantes, indique os valores de k para os quais a matriz A é invertível.

b) Para 1k justifique que o sistema

001

Ax

é um sistema de Cramer e determine a sua solução.

9. Seja A uma matriz de ordem 2. Mostre que adj (adj A) = A.

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