FAÇA A DIFERENÇA – DETERMINANTES

Tópicos de ajuda – (T.A.) Prof. Edi Reis Bessa

Neste T.D. você terá tópicos de ajuda para resolução em algumas questões. Cada tópico possui um código apresentado logo aqui abaixo e após o enunciado de cada questão. A.1- Conceito A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.A.2- Representação O determinante de uma matriz A (indicamos por det.A) substituímos os parênteses (colchetes ou barras duplas) da matriz por barras simples.A.3- Cálculo de determinantes de ordem n ≥ 3. a) Se A é de 1ª ordem, então det(A) é igual ao próprio elemento de A. b) Se A é matriz de 2ª ordem, o det (A) = produto dos elementos da diagonal principal menos produto dos elementos da diagonal secundária. c) Se A é de 3ª ordem, o det (A) pode ser calculado pela Regra de Sarrus: i) Repetem-se a direita da matriz, as duas primeiras colunas. ii)Acompanhando as setas indicadas, efetuam-se os produtos com os sinais indicados, daí: Det.A = = aei + bfg + cdh – idb – hfa – gec.

(-) (-) (-) (+) (+) (+) d) Método Trivial ou do “Sobe e Desce”: também usado para det. De 3ªordem Se M = então Det.A = = aei+ ghf+ dhc –dbi –gec –ahf.

A.4- Menor Complementar (Di j ) O menor complementar de um elemento de um determinante, é um novo determinante que de obtém suprimindo a linha e a coluna do elemento considerado.A.5- Cofator (Complemento Algébrico ) (Ai j ) Chama-se cofator de um elemento de uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 o número real A ij = (-1) 1+j .D ij

A.6- Teorema de Laplace O det. de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.A,7- Teorema de Cauchy A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz, ordenadamente pelos “cofatores” dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero. Ex: Seja a matriz como conseqüência, temos:

Seja a matriz M = a) a11.D21+a12.D22+a13.D23=0

b) a11.D31+a12.D32+a13.D33=0A.8- Teorema de Jacobi O valor de um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma fila os elementos de outra fila paralela multiplicados por uma constante.Ex: det = det

k Observe que multiplicamos a 2ª coluna por k e somamos à 3ª coluna.A.9- Teorema de Binet det ( A.B ) = det A . det BA.10- Det. de uma matriz invertível Como A. A-1 = In det(A.A-1) = det In det A. det A-1 = 1det A-1= 1/det A Nota: Se det A = 0, então não existe a matriz inversa. Neste caso, a matriz A é dita singular.A.11- PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 1º) Caso em que um det. é igual a zero. - Quando todos os elementos de uma de suas filas são nulos. - Quando possui duas filas paralelas proporcionais. - Quando uma de suas filas é combinação linear de outras filas.

a b c a bd e f d eg h i g h

g ia b cd e fg h ia c

a b cd e fg h i

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a b cd e fg h i

a b c + k.bd e f + k.eg h i + k.h

1

01-(Ccvest) Calcule os determinantes:

a) 7 b) 25

c)2 3

5 8d)

4 4

3 3e)

1 2

8 7

(T.A. – A.3) Resp: a) 7 b) - 25

c 1 d) 0 e) -9

2º) Transformações que não alteram um determinante - O det da matriz quadrada A é igual ao det da matriz transposta At. (det A = det A t ) (Teorema de Becker) - Teorema de Jacobi (Ver A.8). 3ª) Transformações que alteram um determinante. - Um det muda de sinal quando se trocam as posições de duas filas paralelas. - Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um det por um número, o novo det fica multiplicado (ou dividido) por esse número. Como conseqüência, podemos colocar em evidência um fator comum a todos os elementos de uma fila que o determinante não se altera. É bom saber que: se uma matriz quadrada A de ordem “n” é multiplicada por um número k, então, o seu det fica multiplicado por k n, ou seja: det ( k.A ) = k n . det A .A.12- PROPRIEDADES COMPLEMENTARES - Se numa matriz quadrada forem nulos todos os elementos situados em um mesmo lado da diagonal principal, o det da matriz será igual ao produto dos elementos da diag. principal. Caso sejam nulos todos os elementos situados em um mesmo lado da diagonal secundária, o det A = (-1) n(n-1) / 2 .( produto dos elementos da diag. secundária). A.13- ADIÇÃO DE DETERMINANTES

A decomposição pode ser feita do seguinte modo:

1 4

x y 2 5

p q 3 6

1 4

x 2 5

p 3 6

1 4

y 2 5

q 3 6

OBS: Em geral, o determinante da matriz A B de duas matrizes quadradas de mesma ordem, não é igual´à

soma dos determinantes de A com o de B, ou seja: det ( A b ) det (A) det (B).

A.14- REGRA DE CHIÓ ( Abaixamento de ordem de um det de ordem n ≥ 2 )

A.15- DIAGONALIZAÇÃO Regra bastante usada para cálculo de det de ordem maior ou igual a três. Utilizando as propriedades (multiplicando ou dividindo uma fila por um número real diferente de zero; trocando de posição filas paralelas ; adicionando a uma fila o produto de uma fila paralela por uma constante ) podemos transformar um det em outro do mesmo valor. Para diagonalizar um det, deve-se proceder da seguinte forma: - Obter 1 no primeiro elemento da 1ª linha ( a 11) - Obter 0 nos elementos das linhas abaixo da 1ª. - Obter 1 no segundo elemento da 2ª linha. - Obter 0 nos elementos das linhas abaixo; e assim, sucessivamente, até se obter 0 em todos os elemento abaixo da diagonal principal.

A.16- DETERMINANTE DE VANDERMONDE ( ou das potências) Trata-se de um det de ordem ≥ 2 formado por potências sucessivas de 0 a n-1. A 1ª fila todos elementos são iguais a 1, na 2ª temos elementos quaisquer (Característicos), na 3ª, os seus quadrados, na 4ª,os seus cubos, e assim por diante. Um det de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtém subtraindo de cada um dos elementos característicos, os elementos precedentes. Vejamos uns “esquemas”;

a)

1 1 1

a b c

a² b² c²

( b - a ) . ( c - a ) . ( c - b ) b)

1 1 1 1

a b c d

a² b² c² d²

a³ b³ c³ d³

(b - a)(c - a)(c - b)(d - a)(d - b)(d - c)

Exercícios de Revisão

Exercícios de revisão. Com certeza você já ouviu falar nisso. Pois é. Habitue-se a rever, periodicamente , os estudos feitos. Reler e refazer cuidadosamente lições já estudadas é um exercício de revisão. Agindo assim, você está colhendo frutos que não estavam ainda maduros na primeira leitura.

2

Escolher um elemento igual a 1 (caso não exista, fazer com que um elemento se torne igual a 1).

a) Retiramos da matriz a linha e a coluna que contém o elemento a ij 1.

b) Adicionamos a cada elemento restante, o oposto dos elementos situados nas filas

eliminadas, estando um na linha e outro na coluna dele ( elemento restante).

c) Com os resultados das subtações acima, obtem-se uma matriz de ordem menor que a anterior e

multiplicamos seu determinante por (-1) i j. Veja um esquema a seguir sendo a i j a 11 1:

1 d e f

a p q r

b s t h

c m n k

11 1 .

p ad q ae r af

s bd t be h bf

m cd n ce k cf

Algoritmo é uma seqüência de passos necessários a uma operação

3

05-(Ccvest) Sendo x e y, respectivamente, os det das matrizes não singulares

a b

c de

2a 2c

3b 3d. calcule y

x.

(T.A. – A.3 e A.11) Resp: - 6

06-(Ccvest) Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz A

1 2 3

1 1 m

1 1 1

cujo determinante é D,

qual é o det. da nova matriz ? (T.A. –A.3 e A. 13) Resp: 5 D

07- Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Sabendo

que o traço vale 8 e o determinante 15, calcule os elementos x e y da matriz

1 2 3

0 x z

0 0 y

(T.A.– A.15 ) Resp: x 5 ; y 5 (ou vice-versa)

08-(Ccvest) Determine x tal que:

a)

1 x x

2 2x 1

3 x 1 1

0 b)

1 x 1

1 1 x

1 x 1

0 c)

x 1 2 x

0 1 1

3x x 1 2x

3x 2x

4 x

(T.A.– .A.3 e A.13) Resp: a) S { 1/2 } b) S { 0,1} c) S { 3

3}

02-(Ccvest) Resolva as equações:

a)x x 1

8 3 0 b)

x 2

x 2 3x 1 0 c)

sen x 1

1 cos x 0 d)

log2x log2x

1 2 0

(T.A. – A.3) Resp: a)S { - 85

} b) S { 43

, -1} c) S d S 1

03-(Ccvest) Calcule os determinantes pela regra de Sarrus ou pela "sobe e desce":

a)

2 0 2

0 2 0

2 0 2

b)

2 0 2

0 2 0

2 0 2

c)

3 4 3

2 8 6

1 5 1

d)

a 0 a

0 c 0

b 0 b

(T.A.– A.3 e A.11(pratique)) Resp: a) 0 b) -16 c) 44 d) 0.

04-(Ccvest) Calcule o valor dos determinantes:

a)sen x -cos x

sen y cos yb)

sen x cos x

cos x sen xc)

2 log5 5 log5 5

5 log5 125 log5 25

8 log3 27 log3 243

d)

sen2x sen2x 0

cos²x cos²y sen²y

r² 0 r²

(T.A.– A,3 e outros) ResP: a) sen( x y) b) 1 c) 0 d) r².sen4 x.

.

A MATEMÁTICA é um poderoso instrumento de trabalho. Estude-a para ajudar você a realizar seu plano de vida. Isto quer dizer que, se você não tiver um plano pessoal, de vida, você não chegará a lugar

nenhum.

Antigamente se dizia que o homem sem força de vontade é como um caniço açoitado pelo vento. Força de vontade hoje quer dizer capacidade de decisão. Quando você decide, volta atrás da decisão na primeira oportunidade? Exercite seu poder pessoal. Sem decisão firme, o homem perde o seu próprio horizonte.

Aprender é aceitar desafios a cada momento. Sempre que você se deparar com um termo, uma expressão ou um conceito que não entenda, enfrente a dificuldade com determinação. Nunca deixe o problema de

lado. Procure a resposta que falta, onde quer que seja necessário buscá-la.

4

09-(Ccvest) Calcule o det. da matriza b

b a, sabendo que 2a e x e x e 2b e x - e x .

(T.A.– A.3) Resp: 1

10-(Ccvest) Determine o conjunto solução da equação:

3x 1 0

2 1 3

4 2 2

4 2

2 5

(T.A.– A.3) Resp: s { }

11-(Ccvest) Dada a matriz A

a b 5

0 c d

6 8 e

, com a, b, c, d reais, mostrar que:

a) se c d 0, então det a 0.

b) se a 6, b 4 e e 5, então det A 0.

c) se a 3, b 4 e e 10, então det A 0.

( T.A. – A.11)

12-(Ccvest) Sem calcular os determinantes a seguir, justifique a sua nulidade.

a)

2 0 1

5 0 5

4 0 2

b

a b c

ka kb kc

x y m

c

5 4 3

4 2 2

4 5 6

d

1 2 5

m 5 4

1 2 5

e)

2 3 4

1 2 7

3 5 11

f

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

(T.A. – A.11) Resp:

a)c2 0 bL2 kL1

cC2 C1 C3

2dL1 L3

eL3 L1 L2 fC4 C2 C1 C1

13-Ccvest Calcule os determinantes abaixo. Procure usar: Laplace, Chió e Diagonalização em todos eles.

a)

1 0 1 3

2 3 4 2

0 2 5 1

4 1 0 0

b)

2 4 2 4

0 1 1 0

1 0 2 3

3 0 1 0

c

x 0 0 0 0 0

a y 0 0 0 0

k p z 0 0 0

m n p x 0 0

b c d e y 0

a b c d e z

d)

1 2 3 4 2

0 1 0 0 0

0 4 0 2 1

0 5 5 1 4

0 1 0 1 2

Resp:

a 54

b 44

cx2y²z²

d 25

14-Ccvest Determine as possíveis medidas dos ângulos internos de um triângulo ABC, isósceles em A, sabendo que o

determinante da matriz

1 0 0

1 cos2A senA

1 1 1

é igual a zero. (T.A – A.3) Resp: 30°, 75°e75°; 150°,15°e15°.

15(Ccvest) Se det A 10, calcule: a) det A t b) Det A 1 c) det A . det A 1

T.A – (A.10 e A.11) Resp: a) 10 b) 1 / 10 c) 1

16(Ccvest) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, tal que: det A . det A t 144,

calcule det A. T.A — (A.11) Resp: 12 ou -12

17(Ccvest) a) Seja A uma matriz quadrada 2x2. Se det A 4, calcule det (3.A).

b) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2. Se det A 3, calcule det (5.A t ).

T.A – ( A.11,A.12) Resp:a) 36 b) 75

21(Ccvest) Umamatriz quadrada A, 3x3, temdeterminante igual a D. Semultiplicarmos duas linhas de A por 10

e dividirmos uma coluna por 5, obtemos uma novamatriz B.Qual o valor do det B?

T.A – A.11 Resp: 20.D

22(Ccvest) Seja In amatriz identidade de ordemn. Qual é o valor do determinante damatriz 2. In ?

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

5

18(Ccvest) Determinar as possiveis medidas dos ângulos internos de umtriângulo ABC, isóscele emA, sabendo que

o deteminante da matriz abaixo é nulo.

1 0 0

1 cos 2A senA

1 1 1

T.A – A.3 Resp: 30°,75°e75°ou150°,15°e15°

19(Ccvest) Determinar o valor de cada determinante, usando o processo da diagonalização:

a)

1 a a a

1 0 a a

1 1 0 a

1 1 1 1

b

1 2 4 3

2 1 5 6

3 7 1 2

1 3 1 2

Resp:aa² a³

b 630

20(Ccvest) Se uma matriz quadrada A, 2x2, temdeterminante igual a 10,calcular o determinante das matrizes:

a) 3A b) - A c) 12A d) 5 a t

T.A. – A.11 (Lembrete: Se A é n x n temos det (kA) K n.detA ) Resp: a) 90 b) 10 c) 5 / 2 d) 250

28(Ccvest) Calcular os determinantes usando o teorema de Jacobi e Laplace ou Chió:

a)

1 2 0 3

3 8 1 5

1 2 1 3

0 4 2 2

b)

1 1 2 0

2 5 2 1

1 0 3 2

4 5 8 1

c)

1 1 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 2 3 4

T.A–A.8;6;14 Resp:

a 20

b 25

c1

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

6

23(Ccvest) Simplifique (coloque fatores comuns emevidência) e calcule:

a)

15 10 20

0 1 3

1 4 1

b)

8 5 13

20 0 7

36 9 27

T.A – A. 11 Resp: a) -145 b) 3 276

24(Ccvest) Sabe-se que

a b c

x y z

1 1 1

D. Associe:

I.

2a 2b 2c

x y z

5 5 5

II.

3a 3b 3c

3x 3y 3z

3 3 3

III.

a b c

x y z

1 1 1

IV.

a x 4

b y 4

c z 4

a) D b) -D c) 4D d) 10D e) 27D

T.A – A.11 Resp: I.d II.e III.a IV.c

26(Ccvest) Dada as matrizes A 3 7

1 2e B

1 3

2 6calcule det A, det B e det (A B).

Verifique se vale a igualdade det (A B ) det A det B. Resp: det A 13, det B 12, det (AB) 28

27(Ccvest) Verifique , sem calcular , que o determinante é nulo.

a)

4 40 2

3 30 3

7 70 5

b)

5 2 12

10 1 21

7 4 10

c)

a b 1 a b 1

c d 1 c d 1

e f 1 e f 1

d)

a a r a 2r

b b s b 2s

c c t c 2t

T.A – A.11 Resp: a) C 2 10.C1 bC3 2.C1 1.C2 dC3 C1 C2 d)C3 2C2 - C1

29(Ccvest)Calcule o valor dos determinantes:

a)

1 2 4 8

1 3 9 27

1 4 16 64

1 5 25 125

b)

1 1 1 1

2 3 5 4

4 9 25 16

8 27 125 64

c

1 1 1

log 2 log 20 log 200

log 2² log 20² log 200²

TA – A.16 Resp: a) 12 b) -12 c) 2.

25(Ccvest) Decomponha em soma os seguintes determinantes:

a)

1 a b c

1 b c a

1 c a b

b)

1 a a2 x

1 b b² y

1 c c² z

c)

x a 1 0

y b 2 1

z c 3 2

T.A – A.13 Resp: a)

1 a b

1 b c

1 c a

1 a c

1 b a

1 c b

b)

1 a a²

1 b b²

1 c c²

1 a x

1 b y

1 c z

c)

x 0

y 1

z 2

x 1 0

y 2 1

z 3 2

a 0

b 1

c 2

a 1 0

b 2 1

c 3 2

MUITOS ESTUDAM 8 HORAS POR DIA. E VOCÊ? ESTUDAR É PRECISO. FAÇA A SUA PARTE.31-(Ccvest) Calcule por diagonalização o determinante: T.A.--> A.15 Resp: -630

32-(Ccvest) Usar V ou F: ( ) det A = det A t ( ) det A . det A-1 ( ) det A . det B = det( A.B ) ( ) det A + det B = det ( A + B ) ( ) det A t . det A = ( det A ) ² T.A A.11 Resp VVVFV

33-(Ccvest) Determine as condições para que x deve satisfazer para que a matriz A seja inversível: T.A A.10 Resp: x 2

34(UFC) Sabe-se que M é uma matriz quadrada de ordem 3 e que det(M) = 2. Então det(3M) é igual a: T.A A.11. Resp: 54

35(UFC) Se S = s i j é uma matriz quadrada de ordem 3, onde: 0, se i < j Sij= i + j, se i = j . Então o valor do det de S é: I – j, se i > j T.A A.3 Resp: 48.

36(UFC) Seja F: R R definida por: F(x) = x ( x – 1). O valor do determinante da matriz F(0) F(1) F(2) F(1) F(2) F(3) é: T.A A.3 Resp: -8 F(2) F(3) F(4)

37(UFC) Seja A uma matriz 3x3 cujo det é igual a 5. Então o valor do det(2 A) vale: T.A A.11 Resp: 40

38(UNIFOR) A solução da equação 2x -1 x 0 1 1 = 10 ,no universo R, é: T.A A.3 Resp: x=3 2 -2 1

39(UNIFOR) a) O determinante da matriz A = (a ij) 3x3 I, onde é igual a: T.A.--> A.3 Resp: -4

1 2 4 -3

2 1 5 6

-3 -7 1 2

-1 3 1 -2

1 2 3 41 3 x 51 3 4 31 6 5 x

1, se i < ja ij =

-1, se i ≥ j

7

30(Ccvest) Qual o valor da soma das alternativas corretas:

01. O determinante de uma matriz que possui duas filas iguais, é igual a zero.

02. O det de uma matriz não se altera quando se quando se trocam na matriz duas filas entre si.

04. O det de uma matriz fica multiplicado por k quando se multiplica uma fila da matriz por k.

08. A adição a uma linha de uma matriz, de uma combinação linear das demais, não altera o valor do seu det.

16. O det de uma matriz que tem duas filas proporcionais é igual a zero.

T.A – A.11 Resp: 29.

b) Idem para : A = ( a ij) 2x2, onde T.A A.3 Resp: 3

40

log2(i+j),se i=j a ij =

i – j, se i j

8