DETEÇÃO E ESTIMAÇÃO Aula X: Curva ROC e teste de hipóteses M-ário.
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DETEÇÃO E ESTIMAÇÃO
Aula X: Curva ROC e teste de hipóteses M-ário
Motivação Risco de Bayes depende
essencialmente da probabilidade de falso alarme (falso positivo) e da probabilidade de deteção (falso negativo)
Trade-off entre falso alarme e deteção
Curva ROC (Receiver Operating Characteristic) permite avaliar graficamente o desempenho de um sistema de deteção
Exemplo (cont. do ex. 2.5)Ex. 2.1
Critério de decisão
Se Hip. 0 é verdadeira: Se Hip. 1 é verdadeira:
Falso alarme vs deteção
Curva ROC Curva ROC é côncava Pontos (0,1) e (1,0)
sempre estão na ROC Performance melhora
quando distância entre distribuições aumenta
Exemplo 2.6 (Cont. de ex. 2.2)Ex. 2.2:
Hip. 0: Normal com var. sigma 0
Hip. 1: Normal com var. sigma 1
Mesma média Critério de decisão
Falso alarme vs deteção – Duas observações
Transf. de var.
Falso alarme vs deteção – Inúmeras observações Função
característica
Distribuições
Dist. Gamma
Falso alarme vs deteção – Inúmeras observações Prob. de falso alarme
Prob. de deteção
Onde
Falso alarme vs deteção – Inúmeras observações Caso prático
Propriedadas da curva ROC Curva ROC é côncova Curva ROC está acima da curva Inclinação da curva num ponto
é igual ao eta que leva àquele ponto
Conclusões de teste de hipóteses binários Tanto critério de Bayes quanto
Neyman-Pearson levam à LRT Estatística suficiente pode simplificar
cálculos Descrição completa da performance
da LRT através da curva ROC
Problema
M hipótesesM Prob. A priori M^2 possibilidades
M^2 custos a determinar
Risco de Bayes
Solução Associar cada R à região em que o
integrando é mínimo
Alternativamente
Exemplo 2.9
Prioris igualmente prováveis a priori Custos de erro idênticos
Problema equivale a calcular a mínima prob.de erro
Exemplo 2.9 Solução
Basta encontrar a hipótese de maior prob. a posteriori
No caso, equivale a achar o a hip. que maximiza
Que por sua vez equivale a minimizar
Probabilidade de erro