DESENVOLVIMENTO DA CÉLULA BASE DE MICROESTRUTURAS ... · Nascimento que me proporciona vários...

Dorgival Albertino da Silva Júnior

DESENVOLVIMENTO DA CÉLULA BASE DEMICROESTRUTURAS PERIÓDICAS DE COMPÓSITOS

SOB OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA

Natal – RN

Julho – 2015

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA MECÂNICA

DESENVOLVIMENTO DA CÉLULA BASE DEMICROESTRUTURAS PERIÓDICAS DE COMPÓSITOS

SOB OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA

Tese submetida à


como parte dos requisitos para obtenção do grau de

DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA


Natal – RN

Julho – 2015


PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA MECÂNICA

DESENVOLVIMENTO DA CÉLULA BASE DE MICROESTRUTURAS

PERIÓDICAS DE COMPÓSITOS SOB OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA


Esta tese foi julgada adequada para obtenção do título de

DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA

sendo aprovada em sua forma final.

Prof. Dr. João Carlos Arantes Costa Júnior - OrientadorDepto. de Engenharia Mecânica - UFRN

Banca Examinadora:

Prof. Dr. João Carlos Arantes Costa JúniorPresidente da Banca Examinadora

Prof. Dra. Karilany Dantas CoutinhoExaminador Interno

Prof. Dr. Daniel Nelson MacielExaminador Interno

Prof. Dra. Laura Camila Diniz dos SantosExaminador Externo

Prof. Dr. Antonio Marques dos SantosExaminador Externo

Epígrafe

“A persistência é o menor caminho para o êxito.”

(Charles Chaplin)

Dedicatória

Esta tese é dedicada aos meus avós:

Pedro Guilhermino da Silva (in memorian) e Alice Pereira da Silva

e a minha mãe Lucineide Guilhermino da Silva (in memorian)

Agradecimentos

Muitos anos se passaram, e ao longo deles, conheci pessoas que fizeram parte da minha

trajetória acadêmica e hoje fazem parte da minha vida pessoal. Todos os meus professores e

colegas de universidade contribuiram a sua maneira para a minha formação técnica e científica.

Agradeço também a minha família que me proporcionou a oportunidade de estudar e de certa

forma as minhas conquistas também são de vocês.

Ao meu avô Pedro Guilhermino da Silva que investiu em mim, a minha avó Alice Pereira

da Silva que sempre cuidou de mim juntamente com as minhas tias Lucimar Guilhermino da

Silva, Luciene Guilhermino da Silva e Gedalva Guilhermino da Silva e com aos meus tios

Alberto Guilhermino da Silva e Luciano Guilhermino da Silva.

Aos meus primos que sempre estiveram próximos, especialmente ao Guilherme Silva do

Nascimento que me proporciona vários momentos de diversão. Além deles, às minhas cinco

irmãs: Lidiane Guilhermino da Silva, Laisla Guilhermino da Silva, Sayonara Queiroz da Silva,

Samara Queiroz da Silva, Clarissa Queiroz da Silva. Ao meu sobrinho Luís Miguel Guilhermino

Honorato e a minha afilhada Laura Alice de Medeiros que trazem felicidade onde chegam.

Ao meu orientador João Carlos Arantes Costa Júnior que além de compartilhar seu conhe-

cimento de forma generosa, mostrou-se extremamente dedicado e de uma paciência rara para

orientação. Além da contribuição profissional agradeço-lhe pela amizade formada nesses quatro

anos.

A professora Karilany Dantas Coutinho, ao professor Daniel Nelson Maciel, a professora

Laura Camila Diniz dos Santos, e ao professor Antônio Marques dos Santos que gentilmente

aceitaram participar dessa banca.

A CAPES pela concessão da bolsa de estudos. E ao Programa de Pós-graduação de Enge-

nharia Mecânica da UFRN pela oportunidade de estudos.

Sumário

Lista de Símbolos

Lista de Siglas

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Resumo

Abstract

1 Apresentação 1

1.1 Contribuição Científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Estado da Arte 5

2.1 Evolução Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Otimização Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Otimização Multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Otimização Topológica em Microestruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Fabricação de Microestruturas Otimizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6 Determinação da Célula Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Materiais e Métodos 21

3.1 Definição do Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Método de Homogeneização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Determinação das Componentes do Tensor Constitutivo do Material . . . . 27

3.3 Método da Energia de Deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1 Equação Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2 Campo de Deformações Prescrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.3 Cálculo das Componentes da Matriz Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.4 Modelo Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.5 Sensibilidade em Relação à Variável de Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Formulação Discreta do Problema de Ótimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Solução do Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.1 Método do Lagrangeano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.2 Penalidade Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.3 Lagrangeana Aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.4 Método do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5.5 Método do Gradiente Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.6 Método da Secção Áurea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.7 Dualidade e Condições de Karush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 Refino da Malha de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6.1 Estratégia da Qualidade da Malha do Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6.2 Processo de Suavização da Malha de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6.3 Estimador de Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.4 Implementação do Refino Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.5 Estratégia para seleção dos elementos a serem refinados . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Resultados e Discussões 53

4.1 Comparação de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Problemas com Prescrição de Deslocamento em Apenas uma Direção . . . . . . . . . 58

4.2.1 Primeiro Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.2 Segundo Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.3 Terceiro Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.4 Quarto Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.5 Quinto Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Problemas com Mudança na Prescrição de Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66




4.3.4 Quarto Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 Problemas com Mudança na Restrição de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70




4.4.4 Quarto Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4.5 Quinto Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 Classe de Problemas com Vários Valores Iniciais das Densidades Relativas . . . . . 75




4.5.4 Quarto Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.6 Problema com Cisalhamento Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79




4.7 Problema com Deslocamento Prescrito na Horizontal e na Vertical . . . . . . . . . . . . 82

5 Conclusões 83

Referências Bibliográficas 84

Anexo A -- Resultados Testes do Processo de Otimização 91

A.1 Máxima rigidez horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

A.2 Máxima rigidez vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

A.3 Máxima rigidez horizontal e vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.3.1 Primeiro Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.3.2 Segundo Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

A.3.3 Terceiro Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

A.3.4 Quarto Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A.3.5 Quinto Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.3.6 Comparação entre as células bases e microestruturas formadas . . . . . . . . . 110

A.4 Otimização para Diferentes Valores Iniciais das Variáveis de Projeto . . . . . . . . . . . 111

A.5 Otimização para Diferentes Valores da Restrição de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Anexo B -- Método de Direção de Descida 114

B.1 Método do Gradiente Projetado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

B.2 Aproximação de Quasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Anexo C -- Funções de Forma dadas pelo MEF 117

Lista de Símbolos

Ae Área do elemento triangular

B Vetor derivada das funções de interpolação

d Direção conjugada

Di j Elemento da matriz constitutiva que indica a direção do carregamento

DH Matriz constitutiva homogeneizada do material

E(εεε) Energia de deformação média da microestrutura

e(ρ) Erro local do deslocamento

F Vetor carregamento na microestrutura

Fn Número de Fibbonacci

f (ρρρ) Função objetivo

〈ge(ρρρ)〉 Parte positiva da restrição de tensão em cada elemento

g(ρρρ) Restrição de tensão média da malha

h Gradiente da Lagrangeana Aumentada

K0e Matriz de rigidez do elemento com o material base sólido

L Função Lagrangeana

LA Função Lagrangeana Aumentada

nume Número de elementos

numnp Número de nós

p Norma da restrição de tensão

P(ρρρ) Função penalidade exterior

Pe Perímetro do elemento triangular

r Parâmetro de penalidade

Si Direção de descida

T (ρρρ) Função objetivo com penalidade exterior

u Campo de deslocamentos

u(ρ) Solução exata dos deslocamentos da malha de elementos finitos

uh(ρ) Solução aproximada da malha de elementos finitos

u Vetor deslocamento da microestrutura

V Volume prescrito

wi Pesos da função objetivo

wi j Parâmetro relacionado à preferência na direção da máxima rigidez

x Escala macroscópica

y Escala microscópica

α Tamanho do passo

βi Parâmetro de Polak-Ribièri

γ Razão Áurea

Γ Condição de contorno

δ Relação entre a dimensão macroscópica e microscópica

εεε Deformação média da microestrutura homogeneizada

εεε Deformação pontual

η Parâmetro de penalidade das densidades intermediárias

θ(x) Função de integração

ρρρ Campo de densidades

ρej Densidade no j-ésino nó do elemento

ρρρ∗ Variáveis de projeto otimizadas

ρρρe Vetor densidade do e-ésimo elemento

χklp Função periódica na microestrutura

Ψi Somatório das densidades nodais

Ωe Domínio representativo do elemento

Ω Região de projeto

Lista de Siglas

BESO - Bidirectional Evolutionary Structural Optimization

CB - Célula base

CN - Conjunto de Nível

ESO - Evolutionary Structural Optimization

MOT - Método de Otimização de Topologia

MLA - Método do Lagrangeano Aumentado

MEF - Método dos Elementos Finitos

MGC - Método dos Gradientes Conjugados

ODM - Otimização Discreta de Material

ROM - Reduced Order Model

SSL - Sinterização Seletiva a Laser

SIMP - Solid Isotropic with Microstructure Penalized

KKT - Condições de Karush-Kuhn-Tucker

Lista de Figuras

Figura 1.1 Célula Base e Microestrutura de material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Figura 2.1 Otimização de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Figura 2.2 Otimização de forma e topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Figura 2.3 Otimização topológica: (a) região inicial de projeto, (b) região otimizada topo-

logicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Figura 2.4 Dependência da malha de elementos finitos no problema de otimização topoló-

gica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Figura 2.5 Representação de mínimos de uma função: (a) Dois mínimos locais, (b) Vários

mínimos, e (c) um mínimo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Figura 2.6 Estrutura fabricada com mínimo coeficiente de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Figura 2.7 Otimização microestrutural de leiaute em uma viga simplesmente engastada . . 18

Figura 2.8 Processo de homogeneização microestrutural 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Figura 2.9 Processo de homogeneização microestrutural 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Figura 2.10 Processo de homogeneização inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Figura 3.1 Fluxograma da metodologia utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Figura 3.2 Carregamento macroscópico em uma estrutura composta por microestrutura

periódica regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 3.3 Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento ho-

rizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 3.4 Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento ver-

tical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 3.5 Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento ci-

salhante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 3.6 Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento ho-

rizontal e vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 3.7 Processo de otimização topológica usado nessa tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 3.8 Malha de Elementos Finitos Triangulares sem Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 3.9 Malha de Elementos Finitos Triangulares com Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 4.1 Implementação da metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 4.2 Resultados de cisalhamento prescrito: (a) P = 0.05, (b) P = 0.1, (c) P = 0.2 e

(d) P = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 4.3 Resultados de cisalhamento prescrito: (a) 200 elementos, (b) 708 elementos,

(c) 2472 elementos e (d) 8116 elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 4.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 4.5 Região de projeto do problema de microestruturas com deslocamento horizon-

tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 4.6 Sequência de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 4.7 Microestrutura para solicitação preferencial na direção horizontal sem refino . 58

Figura 4.8 Quarto de simetria para solicitação preferencial na direção horizontal com pri-

meiro refino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 4.9 Quarto de simetria para solicitação preferencial na direção horizontal com se-

gundo refino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 4.10 Quarto de simetria para solicitação preferencial na direção horizontal com ter-

ceiro refino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 4.11 Célula base para solicitação preferencial na direção horizontal com terceiro

refino 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


refino 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 4.13 Microestrutura para solicitação preferencial na direção horizontal com terceiro

refino 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 4.14 CB com prescrição horizontal 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


refino 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62



refino 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63



refino 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64



refino 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 4.22 Célula Base 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Figura 4.23 Microestrutura para solicitação preferencial na direção vertical . . . . . . . . . . . . . . 66


Figura 4.25 Microestrutura para solicitação preferencial na direção vertical . . . . . . . . . . . . . . 67


Figura 4.27 Microestrutura com solicitação preferencial na direção vertical . . . . . . . . . . . . . . 68


Figura 4.29 Microestrutura com pesos iguais para as direções horizontal e vertical. . . . . . . . 69


Figura 4.31 Microestrutura com restrição de volume de 50%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70










Figura 4.41 Microestrutra partindo de um valor inicial para as variáveis de projeto de 0.6 . 75


Figura 4.43 Microestrutura com um valor inicial para as variáveis de projeto de 0.7 . . . . . . 76






Figura 4.49 Microestrutura com malha regular de 200 elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


Figura 4.51 Microestrutura com malha irregular de 7652 elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


Figura 4.53 Microestrutura com malha irregular de 8134 elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


Figura 4.55 Microestrutura com malha regular de 200 elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Figura A.1 Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento ho-

rizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Figura A.2 Quarta parte da região de projeto do problema de microestruturas com desloca-

mento horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Figura A.3 Quarta parte da região de projeto do problema de microestruturas com desloca-

mento horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Figura A.4 Célula base para uma solicitação puramente horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Figura A.5 Microestrutura para uma solicitação puramente horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Figura A.6 Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento ver-

tical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Figura A.7 Região de projeto do problema de microestruturas com deslocamento vertical 95

Figura A.8 Região de projeto do problema de microestruturas com deslocamento vertical 95

Figura A.9 Célula base para uma solicitação puramente vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Figura A.10Microestrutura para uma solicitação puramente vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Figura A.11Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento ho-

rizontal e vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Figura A.12Quarta parte da célula base gerada com a malha inicial de elementos finitos . . 97

Figura A.13Quarta parte da célula base gerada após o primeiro refino da malha de elementos

finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Figura A.14Quarta parte da célula base gerada após o segundo refino da malha de elementos

finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Figura A.15Célula base com a malha de elementos finitos refinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Figura A.16Microestrutura gerada a partir da repetição periódica da célula base . . . . . . . . . . 100

Figura A.17Microestrutura com e sem a definição da quarta parte gerada inicialmente . . . . 100


Figura A.19Quarta parte da célula base gerada após o primeiro refino da malha de elementos

finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Figura A.20Quarta parte da célula base gerada após o segundo refino da malha de elementos

finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Figura A.21Célula base com e sem a malha de elementos finitos refinada . . . . . . . . . . . . . . . . 103


Figura A.23Microestrutura com maior solicitação na vertical do que na horizontal . . . . . . . 104










Figura A.33Células base e suas respectivas microestruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Figura A.34Células base e suas respectivas microestruturas com valor inicial de 0.1 a 0.4 . 111




Lista de Tabelas

Tabela 4.1 Dados dos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Tabela A.1 Microestruturas para a máxima rigidez horizontal e para a máxima rigidez ver-

tical respectivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Resumo

Esta tese desenvolve uma nova técnica para projetos de microestruturas de compósitos pelo

processo de Otimização Topológica, com objetivo de maximizar a rigidez, fazendo uso do Mé-

todo da Energia de Deformação e utilizando um esquema de refino h-adaptativo visando obter

uma melhor definição do contorno topológico da microestrutura. Isso é feito ao se distribuir ma-

terial de forma otimizada em uma região de projeto preestabelecida denominada como Célula

Base. Neste trabalho, o Método dos Elementos Finitos é utilizado para descrição do domínio

e para solução da equação de governo. A malha é refinada de forma iterativa de modo que o

refino da malha de elementos finitos é feito em todos os elementos que representem materiais

sólidos e todos os elementos vazios que contenham ao menos um nó em uma região de material

sólido. O elemento finito escolhido para o modelo de aproximação é o triangular linear de três

nós. Já para a resolução do problema de programação não linear com restrições foi utilizado o

Método Lagrangiano Aumentado e um algoritmo de minimização com base na direção do tipo

Quasi-Newton e das condições de Armijo-Wolfe auxiliando no processo de descida. A Célula

Base que representa o compósito é encontrada a partir da equivalência entre um material fic-

tício e um material preescrito, distribuído de forma ótima na região de projeto. A utilização

do Método da Energia de Deformação se justifica por proporcionar menor custo computacional

devido a uma formulação mais simplificada do que o tradicional Método de Homogeneização.

Os resultados são apresentados com mudança na prescrição de deslocamento, com mudança na

restrição de volume e a partir de vários valores iniciais das densidades relativas.

Palavras-chave: Células Base, Microestruturas, Método de Otimização de Topológica, Mé-

todo Elementos Finitos.

Abstract

This thesis develops a new technique for composite microstructures projects by the Topo-

logy Optimization process, in order to maximize rigidity, making use of Deformation Energy

Method and using a refining scheme h-adaptative to obtain a better defining the topological

contours of the microstructure. This is done by distributing materials optimally in a region of

pre-established project named as Cell Base. In this paper, the Finite Element Method is used to

describe the field and for government equation solution. The mesh is refined iteratively refining

so that the Finite Element Mesh is made on all the elements which represent solid materials,

and all empty elements containing at least one node in a solid material region. The Finite Ele-

ment Method chosen for the model is the linear triangular three nodes. As for the resolution

of the nonlinear programming problem with constraints we were used Augmented Lagrangian

method, and a minimization algorithm based on the direction of the Quasi-Newton type and

Armijo-Wolfe conditions assisting in the lowering process. The Cell Base that represents the

composite is found from the equivalence between a fictional material and a preescribe material,

distributed optimally in the project area. The use of the strain energy method is justified for pro-

viding a lower computational cost due to a simpler formulation than traditional homogenization

method. The results are presented prescription with change, in displacement with change, in

volume restriction and from various initial values of relative densities.

Keywords: Cell Base, Finite Element Method, Microstructures, Topology Optimization

Method.

1

1 Apresentação

A proposta dessa tese é obter uma distribuição ótima de material em uma região denomi-

nada de Célula Base (CB) que, devido a sua repetição periódica, produza uma microestrutura1

de material [YAN et al., 2014; CHAVES; CUNHA, 2014; HUANG et al., 2015] com máxima

rigidez possível. A CB e sua respectiva microestrutura são mostradas na Figura 1.1.

Figura 1.1: Célula Base e Microestrutura de material

Esse procedimento é feito a partir da utilização do Método da Energia de Deformação

(MED), o qual possui menor custo computacional e implementação mais simplificada do que

o Método da Homogeneização (MH) [ZHANG et al., 2007]. Como contribuição desta tese,

será utilizada uma técnica de refino da malha de elementos finitos para melhorar a definição do

contorno de material.

Para o processo de otimização, uma grandeza é necessária para configurar cada solução do

projeto. Essa grandeza é descrita como uma função de um conjunto de parâmetros, os quais

descrevem as várias soluções ótimas do projeto. Muitas vezes, mas não obrigatoriamente, é

necessário conceber restrições para obtenção de um conjunto viável. O processo de otimiza-

1A definição de microestrutura utilizada neste trabalho é o mesmo difundido na literatura de Métodos de Homo-geneização e trabalhado em Teoria Assintótica, como sendo uma pequena fração da variável independente original,que no caso de estruturas é uma região muito pequena desta.

2

ção busca soluções, ou seja, melhores valores dos parâmetros, dentro desse conjunto viável

[ARORA, 2004].

Essas funções, assim como as restrições, utilizadas para a busca do projeto ótimo em es-

truturas contínuas possuem grande versatilidade na sua definição, podendo ser concebidas de

diferentes formas. Por exemplo, pode-se fazer com que essa função apresente como resposta

a máxima rigidez de uma estrutura, para uma quantidade máxima de material, como também

fazer com que a massa da estrutura seja a mínima possível, utilizando restrição de tensão.

Para a aproximação do problema de otimização no domínio contínuo, ou seja, para avaliar

a função objetivo e suas restrições, utiliza-se o Método dos Elementos Finitos (MEF), pois

esse método pode fornecer o campo de deslocamento, de tensões ou de deformações na região

de projeto proposta. Após essa aproximação do domínio, o processo de otimização encontra

um conjunto de variáveis que é a solução do problema de ótimo. Uma técnica muito utilizada

nos processos de otimização é o Método do Lagrangeano Aumentado (MLA) [NOCEDAL;

WRIGHT, 2006].

A capacidade de processamento e de armazenamento de dados na memória volátil, assim

como o desenvolvimento das linguagens de programação, proporcionaram um avanço nos mé-

todos de programação matemática, pois o tempo de obtenção da resposta ficou reduzido. Da

mesma forma, novas técnicas de otimização foram desenvolvidas e melhoradas ao longo do

tempo. Com isso é possível ampliar o campo de atuação do Método de Otimização de Topolo-

gia (MOT) e a aplicação em projetos complexos [BELEGUNDU; CHANDRUPATLA, 2011].

A formulação matemática, base do processo de otimização, leva em consideração um con-

junto de variáveis que descrevem o sistema, assim como um conjunto de restrições impostas

no projeto. A otimização estrutural possui ampla aplicação, pois sempre é desejável obter os

melhores resultados a partir de certas variáveis sujeitas às condições impostas. Ao se utilizar o

método de otimização de estruturas, é possível diminuir os custos de fabricação e de operação.

Para mensurar a rigidez da microestrutura, é verificada a energia total de deformação devido

a deslocamentos prescritos na microestrutura. Segundo a primeira lei da termodinâmica, essa

energia é igual ao trabalho realizado pelas forças externas. Esse trabalho é dado pelo produto

interno do vetor de deslocamentos nodais com o vetor de forças externas, ambos calculados

através do MEF.

Uma metodologia comum é utilizar um material virtual com porosidade que possibilite o

trabalho em regiões com ausência de material no ponto considerado. O modelo de microestru-

tura sólida, isotrópica com penalização - Solid Isotropic with Microstructure Penalized (SIMP)

- é o mais popular na literatura devido a sua fácil implementação [BENDSØE, 1989].

1.1 Contribuição Científica 3

Zhou et al. [2012] conseguiram desenvolver microestruturas otimizadas de materiais bifá-

sicos com propriedades desejadas de transferência de calor. No trabalho de [QUERIN et al.,

2000] foi utilizada a tecnologia Bi-directional Evolutionary Structural Optimization para ob-

tenção da microestrutura. Nesta tese será encontrada a microestrutura que possua a máxima

rigidez dada uma restrição de volume utilizando a tecnologia SIMP.

Segundo Zhang et al. [2007] o Método da Homogeneização é largamente utilizado para

obter as propriedades efetivas do compósito e para otimizar as microestruturas de materiais

compósitos. Embora o método seja matematicamente consistente, a análise de sensibilidade é

muito complicada e com um custo computacional superior ao do Método da Energia de Defor-

mação. Para Novotny e Fancello [1998] a utilização de técnicas adaptativas diminui o tempo de

processamento evitando um refino desnecessário. Assim, devido a redução da dimensão da ma-

triz de rigidez, os métodos que utilizam refino adaptativo possuem menor custo computacional

em relação aos métodos convencionais de análise por Elementos Finitos.

1.1 Contribuição Científica

A contribuição científica desta tese é desenvolver um procedimento para encontrar a célula

base heterogênea que possua propriedades equivalentes as de uma célula base homogênea que

atenda as condições impostas macroscopicamente. Ou seja, ao contrário dos procedimentos

comumente utilizados na literatura, aqui a célula base não será definida para então serem oti-

mizados os seus parâmetros, mas ela própria será encontrada de modo a atender as condições

de contorno. Após cada processo de otimização, é utilizado o refino h-adaptativo por possuir

menor custo computacional do que os métodos evolucionários existentes.

1.2 Objetivos

• Apresentar uma metodologia para a obtenção de um projeto ótimo de compósitos com

células bases periódicas que resulte em uma microestrutura com a máxima rigidez;

• Determinar um contorno refinado a baixo custo computacional, o qual é uma problemática

do processo de otimização topológica;

• Definir um processo de otimização Topológica que utiliza microestrutura realizável em

formulação consistente sem utilização de técnicas heurísticas;

1.3 Organização do Trabalho 4

• Encontrar a matriz constitutiva de material homogeneizado a partir do Método da Energia

de Deformação;

• Desenvolver um processo de refino h-adaptativo para proporcionar uma melhor definição

do contorno material e com performance superior aos métodos existentes;

• Desenvolver microestruturas periódicas a partir da otimização multiobjetivo.

1.3 Organização do Trabalho

O trabalho está organizado em quatro capítulos, sendo estruturado do seguinte modo: No

primeiro capítulo está a apresentação do trabalho, no segundo capítulo está o Estado da Arte

contendo a evolução histórica dos processos de otimização, alguns exemplos de otimização

topológica, e os métodos de otimização em microestruturas. No terceiro capítulo está a meto-

dologia com os métodos utilizados para a elaboração da tese. O quarto capítulo apresenta os

resultados e discussões, e o último capítulo faz as conclusões do trabalho.

2 Estado da Arte 5

2 Estado da Arte

2.1 Evolução Histórica

Os projetos de engenharia envolvem a seleção de materiais, assim como a geometria do

sistema, necessária para atender as condições desejadas. Após essa fase, busca-se melhorar o

projeto, seja diminuindo a massa da estrutura, seja redefinindo a geometria, de forma que os

esforços fiquem melhor distribuidos, o custo seja reduzido e a segurança seja melhorada.

Pessoas otimizam. Engenheiros ajustam parâmetros para otimizar a perfor-mance dos seus projetos. Fábricas buscam a máxima eficiência em produçãoe qualidade. Para fazer uso dessa ferramenta, é necessário identificar algumobjetivo, uma quantidade mensurável do sistema. Este objetivo pode ser custo,tempo, energia potencial, ou qualquer quantidade, ou combinação de quantida-des que resulte em um número. Ele depende de certos parâmetros do sistema,conhecidos como variáveis de projeto. O propósito da otimização é encontraros valores das variáveis de projeto que otimizam o objetivo. Frequentementeexistem restrições, por exemplo, a densidade de elétrons em uma moléculanão pode ser negativa. E a modelagem do sistema é o processo de identificar oobjetivo, as variáveis de projeto e as restrições.[NOCEDAL; WRIGHT, 2006]

Os primeiros métodos de otimização estrutural eram feitos sem o auxílio computacional,

isso limitava a quantidade de projetos que poderiam ser otimizados. No final do século XIX,

Maxwell [1872] buscava o menor volume para estruturas uniaxiais sob carregamento. No iní-

cio do século XX, Michell [1904] deu prosseguimento aos trabalhos de otimização estrutural

iniciado por Maxwell [1872].

Os trabalhos de Michell [1904] buscavam diminuir o peso das estruturas sob restrições de

tensões. Este foi referenciado apenas no final dos anos 50 no trabalho de Cox [1958]. O método

de otimização numérica foi popularizado por Schmit [1960] e Fox [1965], quando do advento

do uso de computadores mais extensivamente usado pela comunidade científica. Eles foram os

primeiros a utilizar técnicas de otimização não linear, mas ainda sem solidez.

Até os anos 70, a otimização estrutural era restrita à otimização dimensional de treliças.

Então Hemp [1973] e Prager [1974], iniciaram um processo de utilização dos métodos de otimi-

2.1 Evolução Histórica 6

zação estrutural em problemas de formas, como uma extensão do método proposto por Maxwell

[1872] e Michell [1904]. Rozvany [1981] apresentou uma formulação mais geral da teoria pro-

posta por Michell [1904]. Outros trabalhos dessa natureza foram propostos por Kirsch [1989] e

Rozvany [1992].

Até então os problemas reais não eram bem suportados pelas técnicas de otimização exis-

tentes: dimensionais e de forma. Isso porque, essas técnicas não eram robustas o bastante para

atender a complexidade dos muitos projetos existentes. Além disso, a maioria dos problemas de

otimização não eram bem formulados [KOHN; STRANG, 1986]. Para tornar o problema bem

posto, Kohn e Strang [1986] sugeriram a utilização de um compósito fictício, contendo uma

microestrutura composta por material e por vazios, ou seja, um material poroso.

Em relação a transferência de calor, Murat e Tartar [1985] utilizaram a otimização de forma

em materiais compostos. Alguns matemáticos utilizaram nessa época os procedimentos de

otimização [CHENG; OLHOFF, 1981], sendo tomados como referência por muitos outros pes-

quisadores.

Na década de 80, Bendsøe e Kikuchi [1988] ampliaram as pesquisas em otimização com a

utilização de microestruturas artificiais tornando mais acessível o procedimento de otimização

topológica. Até então, a maioria das publicações era em relação a redução do volume ou a

maximização da rigidez. A partir do trabalho de Bendsøe e Kikuchi [1988], outros problemas

puderam ser resolvidos, tais como problemas em placas, cálculo da carga de flambagem, entre

outros.

O objetivo da otimização de estruturas é determinar os melhores valores para as variáves

que definem o melhor projeto, sendo atendidas todas as restrições [CHENG, 1992]. Para obter

o melhor projeto, faz-se uso das técnicas de otimização buscando minimizar a função objetivo

previamente formulada. Os processos de otimização podem ser classificados como otimiza-

ção paramétrica, de forma ou topológica. Todas essas formulações podem ser auxiliadas pelo

Método dos Elementos Finitos para a obtenção da melhor estrutura.

A otimização de estruturas se tornou importante devido a exigência de se utilizar a menor

quantidade de material possível para atender o mercado que exige baixo custo, estruturas leves

e com alta performance. Na otimização paramétrica, figura 2.1, as variáveis de projeto são

definidas a partir das propriedades do material e da geometria da estrutura. Dessa forma, a

região do domínio (estrutura base) permanece inalterada durante o processo de otimização.

Este método pode ser usado, por exemplo, quando se deseja reduzir o peso dos componentes.

2.1 Evolução Histórica 7

Figura 2.1: Otimização de parâmetros

Na otimização de forma, figura 2.2, diferentemente da paramétrica, o domínio é modificado

através das suas fronteiras. Mas mesmo alterando o contorno do projeto, a otimização de forma

não permite, de modo natural, a criação de cavidades onde não houver a necessidade de material.

A técnica de otimização topológica busca a melhor performance de uma estrutura satisfazendo

vários tipos de restrições, como exemplo, a restrição de material. Quando comparada com a

otimização paramétrica e de forma, a otimização topológica providencia muito mais liberdade

e permite ao projetista desenvolver uma estrutura com alta eficiência.

Figura 2.2: Otimização de forma e topológica

2.2 Otimização Topológica 8

Nas últimas duas décadas, foram desenvolvidas diversas abordagens para a resolução de

problemas de otimização de projetos, dentre as quais, o Método da Homogeneização [BENDSØE;

KIKUCHI, 1988], método do material poroso SIMP [BENDSØE; KIKUCHI, 1988; BENDSØE,

1995], Evolutionary Structural Optimization (ESO) [XIE; STEVEN, 1993, 1997] e a técnica

Conjunto de Nível (CN) [SETHIAN; WIEGMANN, 2000; WANG; WANG; GUO, 2003].

A tecnologia ESO foi desenvolvida originalmente baseada no conceito de retirar gradual-

mente material posto em local ineficiente. Uma versão mais nova do método ESO, é conhecida

como método BESO, o qual permite não somente a remoção de material, mas também a adição

de material na região de domínio [HUANG; XIE, 2007, 2009]. Tem sido demonstrado que o

método BESO é capaz de gerar topologias confiáveis para vários tipos de estruturas com alta

eficiência computacional [HUANG; XIE, 2010].

Atualmente, a técnica de otimização topológica é usada principalmente para resolver o pro-

blema em que as variáveis de projeto estão em uma única escala, ou para obter um projeto ótimo

de macroestruturas melhorando sua performance, ou para desenvolver microestruturas com pro-

priedades prescritas extremas [HUANG et al., 2012]. O projeto ótimo de uma macroestrutura

é feito a partir de um material que pode ser selecionado a partir de um conjunto de materiais

disponíveis para a confecção da estrutura.

Assim, a otimização topológica tem sido desenvolvida como uma ferramenta eficiente para

obter a configuração ótima de uma estrutura em um domínio especificado através de multicri-

térios [ALLAIRE; JOUVE; TOADER, 2004; HINTON; SIENZ, 1995; XIE; STEVEN, 1993].

Nesse sentido, tem-se pesquisado diferentes algoritmos e formulações para os vários critérios

individuais, sejam eles mecânicos [BENDSØE; KIKUCHI, 1988; XIE; STEVEN, 1993], tér-

micos [BRUNS, 2007; LI et al., 2004] e magnéticos [YOO; HONG, 2004], ou em projetos

multicritérios como piezoelétricos [ROHAN; MIARA, 2006], termoelásticos [LI; STEVEN;

XIE, 2001, 1999; RODRIGUES; FERNANDES, 1995; XIA; WANG, 2008] e termoelétricos

[TORQUATO; HYUN; DONEV, 2002, 2003].

2.2 Otimização Topológica

A otimização topológica consiste em encontrar a distribuição ótima de material em um

especificado domínio de projeto atendendo as demais condições impostas.

A natureza possui vários sistemas de organização ótima. Em metais e suasligas, os átomos assumem posições de mínima energia para formar as célulasunitárias. Essas células unitárias definem a estrutura cristalina dos materiais.


Líquido em gravidade nula apresenta-se como uma esfera perfeita, a qual é aforma geométrica com menor área superficial para um dado volume. A luzsegue seu caminho no menor tempo possível, que nem sempre é a menor dis-tância (Princípio de Fermat) [NOCEDAL; WRIGHT, 2006]

O processo de otimização topológica, figura 2.3, visa obter o projeto de melhor desempe-

nho, o qual é conseguido por um processo de distribuição material. Este processo é avaliado

por meio de uma função desenvolvida a partir de variáveis do sistema estrutural, as variáveis

de projeto. A tecnologia de otimização busca minimizar essa função, tendo de atender todas

as demais condições de projeto impostas, configurando o domínio factível de projeto. A deter-

minação da estrutura está condicionada ao resultado obtido pelo MOT que atende aos critérios

de parada, condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), definindo assim a distribuição ótima de

material.

Figura 2.3: Otimização topológica: (a) região inicial de projeto, (b) região otimizada topologicamente

As propriedades elásticas da estrutura, assim como sua sensibilidade efetiva, são resulta-

dos do alocamento de material. A aproximação das equações de estado é feita utilizando o

método de Elementos Finitos. O problema contínuo é descrito por um modelo discreto aproxi-

mado pelo Método dos Elementos Finitos, através de uma malha de elementos que fornece os

deslocamentos nodais, permitindo o cálculo e análise dos campos de deformação e tensões.

Em relação aos compósitos, a combinação e a disposição desses materiais numa análise

microscópica gera produtos capazes de apresentar propriedades pré-definidas de acordo com

a necessidade, como por exemplo, alta resistência à fratura, elevado módulo de elasticidade,

baixa ou alta condutibilidade térmica. A combinação dos componentes, assim como de suas

quantidades e disposição, influencia nas propriedades do composto resultante [CALLISTER,

2007].


A grande vantagem dos materiais compósitos é a de que eles são capazes dealiar as melhores qualidades de seus constituintes. O sucesso dos materiaiscompósitos reside na habilidade de se fazer uso das seguintes características:baixa densidade; alta resistência; alta rigidez; grande resistência à fadiga; pos-sibilidade de escolha da orientação da fibra; versatilidade de projeto; largavariedade de combinações de fibras e de matrizes; grande resistência à corro-são; estabilidade dimensional; baixa transmissão de ruídos; vida longa. Obvi-amente nem todas estas vantagens podem ser exploradas ao mesmo tempo e,geralmente, não há essa necessidade. [CAVALCANTI, 2006]

O domínio do projeto é o espaço onde o algoritmo de otimização topológica pode formar

a estrutura. Na implementação numérica, o domínio é aproximado através do Método dos

Elementos Finitos. Desta forma, o modelo de elementos finitos não é modificado durante a

otimização, apenas a distribuição de material na microestrutura é alterada. Isso facilita o projeto

de otimização, já que as derivadas de qualquer função é feita em um domínio fixo. As variáveis

de projeto são aquelas que podem ser alteradas para obter a forma ótima da estrutura. A escolha

adequada dessas variáveis é de fundamental importância no processo de otimização estrutural,

pois a dimensão do problema aumenta conforme a quantidade das variáveis de projeto cresce

[BELEGUNDU; CHANDRUPATLA, 2011].

A função objetivo depende das variáveis de projeto e tem por fim ser minimizada ou maxi-

mizada, sendo portanto uma medida da eficiência do projeto. A função objetivo é dita simples,

ou mono-objetivo, quando se tem apenas um objetivo, e é denominada multiobjetivo quando

tenta-se otimizar várias funções ao mesmo tempo. A solução do problema de otimização é in-

fluenciada pela forma da função objetivo, e esta por sua vez sensível a cada variável de projeto.

As limitações impostas no projeto são denominadas restrições, as quais podem ser de igual-

dade ou desigualdade. A utilização da função lagrangeana permite transformar um problema

de otimização com restrições em um problema equivalente de otimização sem restrições, com

o prejuízo de aumentar a dimensão do espaço de projeto. [NOCEDAL; WRIGHT, 2006]

O MOT [BENDSØE; KIKUCHI, 1988] foi desenvolvido para projetos de maximização

de rigidez de estruturas, mas também tem sido usado recentemente com sucesso em projetos

microestruturais [LEMAIRE et al., 2008]. Atuadores piezoelétricos flextensionais foram de-

senvolvidos por Nishiwaki et al. [2001]. A otimização topológica é um método genérico e

sistemático, por isso pode ser utilizado para projetar estruturas [BENDSØE, 1995], e atuadores

piezoelétricos [ANTON; SOLDANO, 2007]. Augusta e Leal [2010] utilizaram o método para

homogeneizar células unitárias.

Na área da construção civil, Chaves e Cunha [2014] se valeram da otimização topológica

para reforços em lajes. Em sua proposta, eles minimizaram a flexibilidade da estrutura, o que é

equivalente a minimizar a sua energia de deformação, o que corresponde também a maximizar


a sua rigidez global. No processo tiveram dificuldades de convergência da solução numérica

principalmente devido a forte não-linearidade do problema.

O processo de minimização da flexibilidade utilizando a função lagrangeana aumentada

foi feito por Jeong et al. [2014] utilizando a metodologia de campo de fase com restrição de

volume. O método é descrito a partir de uma função chamada de campo de fase, a qual é

definida sobre todo o domínio e representa uma média da fase material considerada. A partir

dessa metodologia Jeong et al. [2014] conseguiram desenvolver a otimização topológica e a

otimização de forma. A validação desse método foi feito gerando vários resultados a partir de

problemas de otimização.

A utilização de software comercial para a análise de problemas de otimização da flexibili-

dade foi feito por Chang et al. [2012]. Essa flexibilidade foi analisada em implantes de dentes

molares com a utilização do software ANSYS 11.0, produzindo a osseointegração do dente

com a mandíbula. A restrição de volume imposta no problema de otimização mostrou que o

volume sugerido nos resultados foi aproximadamente 18% menor do que o volume sugerido

nos métodos de implantes tradicionais.

O modelo material é representado por uma equação que define a combinação de dois ou

mais materiais assim como o vazio. Existem alguns modelos materiais que tornam possível a

otimização topológica, tais como a formulação baseada no Material Intermediário. No modelo

SIMP [BENDSØE, 1989], a microestrutura pode ser preenchida por um modelo material pena-

lizado, a qual possui comportamento intermediário entre sólido e vazio para evitar problemas

de instabilidade. No entanto, a resposta apresenta apenas uma microestrutura com ou sem ma-

terial. O material é sólido quando a densidade é igual a um e é considerado vazio quando ela

assume o valor zero1.

Assim, a densidade, como função objetivo relacionada a todo o domínio, determina o tensor

constitutivo do material. Segundo Bendsøe e Kikuchi [1988], o parâmetro mais importante

é a densidade relativa do material no domínio, justificando assim a utilização dos modelos

artificiais. Este método indica que existem na microestrutura de compósito, materiais com

módulos de elasticidade variando de zero até o módulo de elasticidade do material de base.

O parâmetro de penalização é o termo responsável por desfavorecer as densidades interme-

diárias [BENDSØE, 1989], contribuindo assim, para um projeto coerente com o modelo físico.

Já as densidades intermediárias são necessárias para considerações matemáticas de continui-

dade. No entanto, é desejável que a topologia resultante apresente apenas regiões com ou sem

material, condizente com a realidade.1Para não ocasionar uma matriz singular é utilizado um valor ínfimo representativo.


As variáveis de projeto, utilizando a abordagem SIMP, são caracterizadas pelas densida-

des relativas do material. Assim, essas densidades assumem valores entre zero e um. Para

aplicações práticas, o material poroso é penalizado de forma que a rigidez dos elementos com

densidades entre zero e um seja reduzida. No método SIMP, a penalidade é imposta no módulo

de elasticidade do material [BENDSØE; SIGMUND, 1999]. Assim, após o término do proces-

samento, as densidades intermediárias são descartadas e a resposta apresenta-se com valores de

densidades nulos ou unitários. Nesse trabalho, é utilizado o modelo material SIMP, que consi-

dera o módulo de elasticidade efetivo para uma densidade relativa intermediária, E(ρ), sendo

dada por:

E(ρ) = ρηE0 (2.1)

Em que E0 é o módulo de elasticidade do material sólido e η é o parâmetro de penalidade.

Esse parâmetro penaliza as densidades intermediárias de forma a produzir a topologia ótima

com predominância de regiões com ou sem material. Segundo Bendsøe e Sigmund [1999], os

valores dos parâmetros de penalidade η ≥ 3 fazem com que a microestrutura represente uma

realização física de um compósito, e a equação constitutiva homogeneizada indica as proprie-

dades do material poroso.

A otimização para valores contínuos de existência, ou não de material, não possui solução

única devido a existência de mínimos locais, ou seja, é sempre possível encontrar novos mí-

nimos locais. Muitas vezes utilizam-se técnicas de relaxação para que as variáveis de projeto

possam assumir valores intermediários entre 0 e 1, vazio e cheio, durante a otimização. Os es-

tágios intermediários das variáveis de projeto não possuem significado físico quando utilizando

microestruturas artificiais, sendo apenas uma técnica para utilizar métodos de otimização do

contínuo e evitar os procedimentos heurísticos existentes nos métodos de otimização discreta.

No entanto, esse procedimento aumenta o espaço de soluções que pode viabilizar o projeto

[COSTA JUNIOR, 2003].

A distribuição de material é considerada um problema de material/vazio [BENDSØE, 1995].

Em cada ponto do domínio, o material pode ou não preencher a microestrutura para atender as

condições de contorno, e minimizar a função objetivo satisfazendo as restrições. O Método de

Otimização Topológica atua de forma contínua, no entanto, dependendo do modelo discreto de

aproximação a ser utilizado podem ocorrer problemas devido à instabilidade numérica, como a

dependência da malha, a instabilidade de tabuleiro, os mínimos locais, e a singularidade.

O aparecimento de instabilidades na solução, caracterizadas por uma forma-ção xadrez no leiaute ótimo, que se assemelha com um tabuleiro de damas, do


original em inglês checkerboard solution problems, pode ser contornada atra-vés da modificação da formulação dos problemas ou da utilização de filtros.Segundo Bendsøe [1995] a origem da formação de xadrez está relacionada àscaracterísticas de aproximação do elemento finito e são de mesma naturezaque os padrões observados em algumas análises de elementos finitos, na distri-buição espacial de pressão de escoamento de fluidos de Stokes. Essa hipóteseé sustentada no fato de que as soluções encontradas para controlar os proble-mas de escoamento de fluidos de Stokes também funcionam nos problemas dehomogeneização.[COSTA JUNIOR, 2003]

Quando elementos com baixa densidades são rodeados por elementos com alta densidade,

a resposta não é satisfatória e não pode ser utilizada na prática. Esse é o clássico problema de

checkboard, também conhecido como problema de tabuleiro. Algumas alternativas são propos-

tas para a resolução desse problema [MING-HSIU; YEH-LIANG, 2005], sendo a mais comum

a utilização de filtros [CARDOSO; FONSECA, 2003]. A técnica de filtragem faz com que os

elementos próximos tenham densidades semelhantes entre si. Essa técnica pode ser utilizada

nas densidades ou ao gradiente da função objetivo quando se trata de otimização de topologia,

sendo mais comum a utilização do filtro no gradiente.

A instabilidade de tabuleiro surge quando existe uma região em que há alternância de ma-

terial/vazio. Isso é indesejável, pois não expressa a configuração ótima da estrutura. Esse pro-

blema ocorre devido à formulação do elemento finito utilizado no processo de otimização. A

instabilidade de tabuleiro pode ser evitada usando diferentes funções de interpolação de mesma

ordem para os campos de densidades e deslocamentos. Também é possível evitar aumentando

a ordem do elemento finito [MING-HSIU; YEH-LIANG, 2005].

Figura 2.4: Dependência da malha de elementos finitos no problema de otimização topológica.

O problema da dependência da malha mostrado na figura 2.4 [ALBERTINO, 2013] ocorre

quando ao se refinar a malha, ao invés de apenas os contornos serem melhorados, existe também

a formação de novas distribuições de material, fazendo com que o processo de otimização seja

dependente da malha de elementos finitos.

2.3 Otimização Multiobjetivo 14

A maioria dos problemas de projeto topológico são não convexos, o que acar-reta a existência de muitos mínimos locais. Um exemplo típico é o projetode uma estrutura sujeita à tensão uniaxial. A estrutura constituída por umaúnica barra é uma solução tão boa quanto várias barras com mesma área de se-ção transversal total. A não-convexidade do problema leva a possibilidade deencontrarmos muitos mínimos locais e diferentes soluções para o mesmo pro-blema discretizado quando são utilizados diferentes estimativas iniciais paraas variáveis e diferentes parâmetros dos algoritmos de otimização. Isto ocorreporque as provas de convergência dos algoritmos funcionam para programa-ção convexa, enquanto que para programação não convexa apenas garante-se aconvergência para pontos estacionários, que não são necessáriamente mínimosglobais (nem os melhores projetos). Os algoritmos de otimização global dispo-níveis são, em sua maioria, incapazes de lidar com uma grande quantidade devariáveis de projetos, o que é o caso da otimização topológica. Alguns autoressugerem a utilização de métodos de continuação para garantir de certa formauma convergência estável na direção de bons projetos.[BAHIA, 2005]

Figura 2.5: Representação de mínimos de uma função: (a) Dois mínimos locais, (b) Vários mínimos, e(c) um mínimo local

A figura 2.5 mostra alguns casos de mínimos locais. A não convexidade do problema de

otimização possibilita encontrar várias soluções representadas pelos mínimos locais. Isso pro-

voca a situação inconveniente de se obter várias soluções para o mesmo problema de otimização

quando se escolhem diferentes valores iniciais e fatores de penalidade.

2.3 Otimização Multiobjetivo

Embora as técnicas de otimização sejam na maior parte das vezes descritas de forma a

minimizar uma função objetivo, a grande parte dos problemas reais requer que vários objetivos

sejam atendidos com eficiência [TICONA, 2003]. Isso geralmente recai em um conflito, pois

muitas vezes não existe uma solução que otimize todos os objetivos ao mesmo tempo.

Assim, esses problemas são conhecidos como problemas de otimização multiobjetivo, pois

é necessário encontrar o ponto ótimo da função que compreende cada objetivo. Nesse caso,

2.4 Otimização Topológica em Microestruturas 15

o projetista deve definir os pesos de cada objetivo de modo a minimizar uma única função

que compreenda todos os objetivos ou segundo Arroyo [2002] escolher uma dentre as soluções

apresentadas para a minimização de cada objetivo.

Coello [1999] definiu a otimização multiobjetivo como sendo o problema de encontrar um

vetor em que seus elementos representassem as funções objetivos, sendo que essas funções,

a partir do critério de otimalidade, estão em conflito entre si. Portanto, o sentido da otimiza-

ção passa a ser o de encontrar um conjunto de soluções as quais não podem ser otimizadas

simultâneamente.

2.4 Otimização Topológica em Microestruturas

O comportamento mecânico de certos materiais heterogêneos é determinado pelas pro-

priedades relevantes dos seus constituintes, mas também por sua topologia na microescala. A

teoria da homogeneização tem sido reconhecida como um modelo metodológico rigoroso para

caracterizar o comportamento mecânico de compósitos com microestruturas periódicas. O pro-

blema inverso é projetar uma microestrutura a partir de uma célula unitária representativa que

resulte em um projeto com propriedades físicas prescritas.

Nas duas últimas décadas, vários algorítmos de otimização topológica foram desenvolvi-

dos utilizando várias metodologias, por exemplo, o método da homogeneização [BENDSØE;

KIKUCHI, 1988], o SIMP [BENDSØE; SIGMUND, 2003; ZHOU; ROZVANY, 1991], o ESO

[XIE; STEVEN, 1993, 1997] e a técnica Conjunto de Nível (CN) [SETHIAN; WIEGMANN,

2000; WANG; WANG; GUO, 2003]. Esses processos de otimização topológica foram muito

utilizados para resolver não somente problemas macroscópicos, mas também para projetar a

melhor microestrutura de compósitos. Weihong et al. [2007] fizeram um estudo comparativo

entre o método da energia de deformação e o clássico método da homogeneização. Seus resul-

tados numéricos mostraram que ambos os métodos convergiam para a mesma resposta. Nesta

tese é usado o método da energia de deformação para produzir a microestrutura.

Park e Sutradhar [2015] usaram uma implementação de otimização topologica em micro-

estruturas com diferentes níveis de aproximação para a malha, e utilizando o método de Gauss-

Seidel foi possível resolver cada subproblema de ótimo. Foi verificado que a introdução do

conceito de multimaterial (materiais e vazio) em otimização topológica possui uma certa com-

plexidade, mas também gera novas possibilidades para o projeto de estruturas que não são

intuitivas.

2.4 Otimização Topológica em Microestruturas 16

Kang et al. [2012] utilizaram otimização topológica em microestruturas para proporcionar

a integração de tecidos com geometrias macroscópicas de uma liga de titânio. As complexas

geometrias de implantes foram fabricadas e a precisão dessa metodologia foi feita comparando

volumes e áreas da seção transversal de implantes fabricados com o previsto pelo processo.

Xia e Breitkopf [2014b] apresentaram um modelo em multiescala para projetos estruturais ma-

croscópicos considerando microestruturas de materiais não lineares. Seu modelo denominando

Reduced Order Model (ROM) foi utilizado com uma ligação entre a estrutura macroscópica

e a microscópica com a proposta de reduzir o alto custo computacional de procedimentos em

multiescala não-lineares.

Usando a tecnologia BESO, Xia e Breitkopf [2014a] trabalharam com maximização da

rigidez estrutural em escala macroscópica através de variáveis de projeto, que eram definidas

tanto em escala macro quanto em microescala. Os modelos de células materiais utilizados foram

definidos em escala microscópica, sendo otimizadas para dar a resposta física para a máxima

rigidez.

No trabalho de Yan et al. [2014] foi proposto uma microestrutura composta de dois materi-

ais baseado na abordagem BESO. Utilizou-se variáveis de projeto discretas, com a justificativa

de que a abordagem BESO é a mais adequada na otimização simultânea de microestruturas e

macroestruturas. Isso se deve ao fato de não ser necessário assumir nenhuma propriedade ou

microestrutura para materiais intermediários na análise de elementos finitos.

A aplicação de microestruturas de materiais compósitos produzidas a partir de otimização

topológica foi feita por Vatanabe, Paulino e Silva [2013] em materiais piezoelétricos com o

objetivo de melhorar a sua performance na conversão de energia mecânica em elétrica, modi-

ficando por exemplo a direção de polarização do material homogeneizado. Eles verificaram a

influência da direção de polarização no material piezoelétrico utilizando o método da Otimiza-

ção Discreta de Material (ODM), o qual combina gradientes com programação matemática para

resolver um problema de otimização discreta. Na parte microestrutural foi utilizado a teoria da

homogeneização para criar o compósito.

Utilizando a teoria da homogeneização juntamente com otimização topológica, Naksha-

trala, Tortorelli e Nakshatrala [2013] conseguiram criar microestruturas otimizadas para o com-

portamento elástico. Para otimizar as propriedades homogeneizadas da célula unitária, eles

utilizaram a otimização topológica, homogeneização computacional e programação paralela.

O modelo material utilizado foi o SIMP [BENDSØE, 1989] e a análise de sensibilidades foi

computada analiticamente através do Método Adjunto (MA) [MICHALERIS; TORTORELLI;

2.5 Fabricação de Microestruturas Otimizadas 17

VIDAL, 1994] combinado com o Método das Assíntotas Móveis (MAM) [SVANBERG, 1987]

para a resolução do problema de otimização microestrutural.

Guest [2015] utilizou otimização topológica para a criação de uma microestrutura periódica

de material em que as propriedades do tensor elástico foram otimizadas. O comportamento

microestrutural apresentado por ele está ligado ao comportamento macroestrutural a partir da

teoria da homogeneização. O problema resolvido foi o de homogeneização inversa, no qual con-

siste em identificar a microestrutura que resulta nas propriedades estruturais ótimas. Todos os

resultados gerados foram resolvidos utilizando o Método das Assintotas Móveis [SVANBERG,

1987], a qual resolve uma sequência de subproblemas convexos.

A utilização do método BESO para criar microestruturas ótimas de materiais compósitos

viscoelásticos foi feita por Huang et al. [2015] a partir de variáveis discretas. O problema

inverso de homogeneização investigado buscou a microestrutura ótima de uma célula unitária a

partir da técnica de otimização topológica, onde microestruturas de materiais compósitos foram

desenvolvidas com pelo menos uma fase viscoelástica. Então o problema de ótimo foi posto

de forma a encontrar a distribuição ótima de dois materiais em uma célula unitária em que o

compósito resultante tivesse a máxima rigidez. Assim, a teoria da homogeneização foi usada

para calcular as propriedades efetivas do compósito viscoelástico.

2.5 Fabricação de Microestruturas Otimizadas

O projeto de materiais com propriedades elásticas extremas pode ser feita a partir da oti-

mização topológica, como por exemplo coeficiente de Poisson negativo [ANDREASSEN; LA-

ZAROV; SIGMUND, 2014].

Figura 2.6: Estrutura fabricada com mínimo coeficiente de Poisson

2.6 Determinação da Célula Base 18

A sua função objetivo foi minimizar o coeficiente de Poisson, e a restrição utilizada foi a de

volume. A microestrutura periódica otimizada foi fabricada com a tecnologia de Sinterização

Seletiva a Laser (SSL)2, conforme mostrado na figura (2.6).

2.6 Determinação da Célula Base

A otimização topológica define como deve ser distribuido material em uma região de pro-

jeto sob solicitação de forma a atender às restrições impostas. Classicamente, esse processo

de otimização é feito de modo a distribuir contínuamente material na topologia encontrada.

Pesquisas nessa área estão avançando no sentido de encontrar um subdomínio que atendam as

condições de contorno. Então, o material não é mais distribuído de forma contínua na topologia

encontrada, mas sim de forma discreta, preenchendo uma região periódica regular (CB), a qual

constitui a unidade fundamental da microestrutura.

Figura 2.7: Otimização microestrutural de leiaute em uma viga simplesmente engastada

A Figura 2.7 (a) mostra um domínio particular submetido às condições de contorno. Na

Figura 2.7 (b) é mostrada a topologia formada com a microestrutura periódica. Já na Figura

2.7 (c) a topologia macroscópica aproxima-se do processo clássico quando a célula base da

microestrutura é muito menor do que a região de projeto inicial.

2A fundição de forma seletiva a laser de materiais em pó é feita a partir de um modelo 3D.


Figura 2.8: Processo de homogeneização microestrutural 1

As pesquisas em microestruturas de materiais compósitos é feita a partir da otimização

de parâmetros para que as propriedades das células bases otimizadas sejam as mesmas que as

apresentadas por um novo material homogêneo. O processo é mostrado na figura 2.8, em que a

unidade representativa da microestrutura - célula base - é mostrada. Mas também, a célula base

homogênea equivalente.

Figura 2.9: Processo de homogeneização microestrutural 2

Esses parâmetros, como mostrados na figura 2.9, podem ser: o raio do círculo circunscrito,

os lados de um triângulo equilátero, os lados do quadrado inscrito na célula base, dentre outros.

Assim, o material inicialmente é tomado como totalmente denso e homogêneo, e será en-

contrada uma célula base heterogenea que contenha outros materiais capazes de apresentar a

caracteristica desejada de máxima energia de deformação, equivalente à célula base homoge-

neizada sob volume prescrito.


Figura 2.10: Processo de homogeneização inversa

O processo de obtenção de microestruturas de compósito que gera propriedades desejadas

macroscopicamente é feito a partir da equivalência entre as propriedades mecânicas do meio

homogeneizado com o meio microestrutural periódico regular. Com isso, são obtidas as propri-

edades mecânicas homogeneizadas do sistema macroscópico a partir de um meio heterogêneo

periódico regular. Assim, é necessário utilizar métodos que façam essa equivalência, como o

Método da Homogeneização ou o da Energia de Deformação.

3 Materiais e Métodos 21

3 Materiais e Métodos

O desenvolvimento da célula base que proporciona a macroestrutura possuir máxima rigi-

dez sob determinadas condições é mostrado através do fluxograma 3.1.

Figura 3.1: Fluxograma da metodologia utilizada

3.1 Definição do Problema de Otimização 22

3.1 Definição do Problema de Otimização

O problema de otimização topológica pode ser definido como segue:

• Γu é a parte do contorno com deslocamento prescrito;

• Γt é a parte do contorno com tração prescrita;

• Ω é o domínio do corpo com ∂Ω = Γu∪Γt e Γu∩Γt =∅.

Em que deve-se minimizar a flexibilidade como mostrado:

minimizar uT F (3.1)

onde F é o campo de forças e u é o campo de deslocamentos. E as restrições do problema

são:

• Restrição de volume

∫Ω

ρρρdΩ≤V (3.2)

com V sendo o volume de material prescrito.

• Restrições de estabilidade

‖∂ρρρ(x)∂x‖− (Ce

x)≤ 0 (3.3)

‖∂ρρρ(x)∂y‖− (Ce

y)≤ 0 (3.4)

os termos (Cex) e (Ce

y) são definidos como os limites laterais para as componentes do

gradiente da densidade relativa e cujos valores são obtidos a partir da distância entre os

nós do elemento e o seu baricentro.

• Restrições laterais

ρin f −ρ(x)i ≤ 0,∀ x ∈Ω (3.5)

3.2 Método de Homogeneização 23

ρ(x)i−ρsup ≤ 0,∀ x ∈Ω (3.6)

com i = 1, · · · ,n, sendo n o número de nós, ρin f e ρsup como, respectivamente, os valores

ínfimos e supremos da densidade relativa.

3.2 Método de Homogeneização

Nessa seção, a matriz constitutiva homogeneizada do material é obtida a partir do método

da homogeneização como foi descrito por Hassani e Hinton [1998].

Figura 3.2: Carregamento macroscópico em uma estrutura composta por microestrutura periódicaregular

Pode-se modelar um problema, figura 3.2, em um domínio Ω, sujeito a restrição de desloca-

mento Γu e com região onde admite-se carregamentos Γt através de um sistema de coordenadas

gerais para problemas bidimensionais. A relação entre a solicitação e a resposta, campo de

deslocamentos, é dada na equação (3.7):

−fδ (uδk ) = f (3.7)

em que f é uma componente do vetor de carga f que atua na região Γt , e o operador fδ é

expresso como:

fδ =∂

∂x j

[Di jkl

(x,

xδ

)∂

∂xl

](3.8)


o tensor Di jkl representa a matriz constitutiva do material. O termo δ sobrescrito indica a de-

pendência tanto do campo de deslocamento, quanto do operador com a relação entre a dimensão

macroscópica e microscópica δ = xy . Aplicando o operador da equação (3.8) na equação (3.7),

obtem-se:

−Dhi jkl

∂ 2uk(x)∂x j∂xl

= f (3.9)

O termo Dhi jkl é o tensor elástico homogeneizado. Este tensor elástico é considerado uni-

forme macroscopicamente, variando apenas na microescala y e de forma Y -periódica.

Di jkl = Di jkl(y) (3.10)

Pode-se então determinar a equação que descreve o comportamento mecânico do material

microscopicamente expandindo o campo de deslocamento u de forma assintótica:

uδk (x) = u0

k(x,y)+δu1k(x,y)+δ

2u2k(x,y)+ · · · (3.11)

Aplicando a regra da cadeia na equação (3.8), após desconsiderar a constante, obtém-se:

fδ =∂

∂x j

[Di jkl

∂

∂xl

]+

∂y∂x

∂

∂y j

[Di jkl

∂

∂xl

](3.12)

substituindo o termo ∂y∂x por 1

δ:

fδ =∂

∂x j

[Di jkl

∂

∂xl

]+

1δ

∂

∂y j

[Di jkl

∂

∂xl

](3.13)

Aplicando o operador, apresentado em (3.13), na equação (3.11) e substituindo na (3.7)

resulta em:

∂

∂x j

[Di jkl

∂u0k

∂xl

]+

1δ

∂

∂y j

[Di jkl

∂u0k

∂xl

]+δ

∂

∂x j

[Di jkl

∂u1k

∂xl

]+

∂

∂y j

[Di jkl

∂u1k

∂xl

](3.14)

+δ2 ∂

∂x j

[Di jkl

∂u2k

∂xl

]+δ

∂

∂y j

[Di jkl

∂u2k

∂xl

]=− f

Aplicando novamente a regra da cadeia, obtém-se:


∂

∂x j

[Di jkl

∂u0k

∂xl

]+

1δ

∂

∂x j

[Di jkl

∂u0k

∂yl

]+

1δ

∂

∂y j

[Di jkl

∂u0k

∂xl

]+

1δ 2

∂

∂y j

[Di jkl

∂u0k

∂yl

]

+δ∂

∂x j

[Di jkl

∂u1k

∂xl

]+

∂

∂x j

[Di jkl

∂u1k

∂yl

]+

∂

∂y j

[Di jkl

∂u1k

∂xl

]+

1δ

∂

∂y j

[Di jkl

∂u1k

∂yl

](3.15)

+δ2 ∂

∂x j

[Di jkl

∂u2k

∂xl

]+δ

∂

∂x j

[Di jkl

∂u2k

∂yl

]+δ

∂

∂y j

[Di jkl

∂u2k

∂xl

]+

∂

∂y j

[Di jkl

∂u2k

∂yl

]=− f

Todos os operadores da equação anterior multiplicados por δ ω , com ω 6= 0, não encontram

correspondentes, portanto são nulos. Assim, por exemplo, pode-se escrever:

1δ 2

∂

∂y j

[Di jkl

∂u0k

∂xl

]=

1δ 2 0 (3.16)

ou melhor

∂

∂y j

[Di jkl

∂u0k

∂xl

]= 0 (3.17)

Para não carregar a notação, fazem-se as seguintes substituições:

f1 =∂

∂y j

[Di jkl

∂

∂yl

](3.18)

f2 =∂

∂x j

[Di jkl

∂

∂yl

]+

∂

∂y j

[Di jkl

∂

∂xl

](3.19)

f3 =∂

∂x j

[Di jkl

∂

∂xl

](3.20)

Portanto, as equações (3.21), (3.22) e (3.23) têm de ser atendidas:

f1(u0k) = 0 (3.21)

f2(u0k)+f1(u1

k) = 0 (3.22)

f3(u0k)+f2(u1

k)+f1(u2k) =− f (3.23)


Então pode-se definir a equação:

∂

∂y j

[Di jkl

∂uφ

k∂xl

]= J (3.24)

para uma dada função uφ , Y-periódica, em que a solução seja

J =1‖Y‖

∫Ys

JdY (3.25)

Onde ‖Y‖ representa o volume da célula microscópica geralmente tomado como unidade.

Ao observar as equações (3.24) e (3.25), conclui-se que a equação (3.17) apresenta solução

única pelo fato de que quando φ = 0, J = 0. Assim, verifica-se que u0 é função apenas de x, ou

seja, o primeiro termo do lado direito da equação (3.11) depende somente da escala macroscó-

pica x. Então, pode-se escrever:

u0k = u0

k(x) (3.26)

Fazendo a substituição da equação (3.26) na (3.22) resulta:

∂

∂x j

[Di jkl

∂u0k(x)

∂yl

]+

∂

∂y j

[Di jkl

∂u0k(x)

∂xl

]+

∂

∂y j

[Di jkl

∂u1k

∂yl

]= 0 (3.27)

Consequentemente

∂

∂y j

[Di jkl

∂u0k(x)

∂xl

]+

∂

∂y j

[Di jkl

∂u1k

∂yl

]= 0 (3.28)

Então

∂u1k

∂yl=−

∂u0k(x)

∂xl(3.29)

A solução da equação diferencial (3.29) é dada após integrar ambos os lados:

u1k(x,y) =−χ

klp (y)

∂u0k(x)

∂xl+θ(x) (3.30)

em que χklp é uma função Y-periódica. Substituindo a equação (3.30) na (3.28), e após simplificar

a derivada do produto, obtém-se:


− ∂

∂y j

[Di jpq(y)

∂ χklp (y)

∂yq

∂u0k(x)

∂xl

]=− ∂

∂y j

[Di jkl(y)

∂u0k(x)

∂xl

](3.31)

E a equação de equivalência entre o material compósito e o homogeneizado é expressa por:

∂

∂y j

(Di jpq(y)

∂ χklp (y)

∂yq

)=

∂

∂y jDi jkl(y) (3.32)

3.2.1 Determinação das Componentes do Tensor Constitutivo do Material

As componentes do tensor constitutivo do material podem ser encontradas a partir da equa-

ção (3.25), no caso em que f1(u2k) deve apresentar solução única.

1‖Y‖

∫Ys

f1(u2k)dY = 0 (3.33)

Utilizando a equação (3.23), pode-se fazer:

1‖Y‖

∫Ys

[− f −f3(u0

k)−f2(u1k)]

dY = 0 (3.34)

como o carregamento não tem dependência microscópica (ele é imposto na macroestrutura),

pode-se fazer:

1‖Y‖

∫Ys

[f3(u0

k)+f2(u1k)]

dY =− f (3.35)

1‖Y‖

∫Ys

[∂

∂x j

[Di jkl

∂

∂xl(u0

k)

]+

∂

∂x j

[Di jkl

∂

∂yl(u1

k)

]+

∂

∂y j

[Di jkl

∂

∂xl(u1

k)

]]dY =− f (3.36)

Substituindo a expansão assintótica (3.11) na equação (3.36) e após um pouco mais de

álgebra, obtém-se:

3.3 Método da Energia de Deformação 28

− 1‖Y‖

∫Ys

[Di jkl(y)−Di jpq(y)

∂ χklp (y)

∂yq

]dY

∂ 2u0k(x)

∂x j∂xl

+1‖Y‖

∫Ys

[∂(χkl

p (y)Di jpq(y))

∂y j

]dY

∂ 2u0p(x)

∂ 2xq

− 1‖Y‖

∫Ys

∂

∂y j

[Di jpq(y)

∂θ(x)∂xq

]dY =− f (3.37)

A partir da equação (3.37) e da (3.9) conclui-se que:

Dhi jkl =

1‖Y‖

∫Ys

[Di jpq(y)

∂ χklp (y)

∂yq−Di jkl(y)

]dY (3.38)

as componentes da matriz constitutiva homogeneizada do compósito, ou seja, as propriedades

elásticas do material, Dhi jkl , dependem somente do comportamento microscópico do material. O

processo de homogeneização descrito na equação (3.38) é utilizado classicamente na otimização

microestrutural como em [MEI; WANG, 2004; SILVA; FONSECA; KIKUCHI, 1997; ZHOU;

LI, 2008; YAN et al., 2014; HUANG et al., 2015; ANDREASSEN; LAZAROV; SIGMUND,

2014].

3.3 Método da Energia de Deformação

O método baseado na Energia de Deformação proposto por Zhang et al. [2007] é de-

senvolvido para prever as propriedades elásticas efetivas e para calcular as sensibilidades destas

propriedades. Tanto o método da energia de deformação, quanto o da homogeneização são equi-

valentes em prever as propriedades efetivas de materiais, embora para a análise de sensibilidade,

o método com base na energia de deformação seja mais simples e eficiente.

3.3.1 Equação Constitutiva

As propriedades elásticas efetivas de um material composto periódico podem ser ca-

racterizadas pelo domínio representativo do elemento Ωe. A microestrutura periódica de um

material composto pode ser substituída pela média homogeneizada equivalente com o mesmo

volume a nível macroscópico [ZHANG et al., 2007].

1Ω

∫σσσdΩ = σσσ (3.39)


1Ω

∫εεεdΩ = εεε (3.40)

A tensão e a deformação média segue a Lei de Hooke descrita na equação

σσσ = DHεεε (3.41)

com DH sendo a matriz constitutiva homogeneizada do material, escrita como

DH =

DH

1111 DH1122 0

DH1122 DH

2222 0

0 0 DH1212

Então o problema é encontrar esses termos da matriz constitutiva homogeneizada do mate-

rial. Isso é feito nesse trabalho a partir de considerações energéticas, em que cada um desses

termos representa a energia necessária para a deformação do material nas suas respectivas di-

reções. A Teoria da Energia de Deformação será utilizada para encontrar a matriz constitutiva

homogeneizada do material.

3.3.2 Campo de Deformações Prescrito

Com o objetivo de determinar a matriz constitutiva homogeneizada do material DH é ne-

cessário analisar a resposta da célula unitária sujeita a 4 deformações testes independentes,

respectivamente. As figuras 3.3, 3.4, 3.5 e 3.6 são representadas respectivamente pelos vetores

εεε(1) = [1 0 0]T , εεε

(2) = [0 1 0]T , εεε(3) = [0 0 1]T e εεε

(4) = [1 1 0]T .

Figura 3.3: Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento horizontal


Figura 3.4: Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento vertical

Figura 3.5: Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento cisalhante

Figura 3.6: Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento horizontal evertical

Essas são as deformações impostas na microestrutura homogeneizada. Essas prescrições

poderiam assumir qualquer valor, no entanto, em todo o campo de deformações utilizado nesse

trabalho, o valor imposto de deformação foi a unidade. Isso significa que a análise da flexi-

bilidade toma como base uma deformação unitária para um dado carregamento. Ou seja, ao

contrário dos problemas tradicionais de flexibilidade onde os carregamentos são preescritos e a


solução ocorre para as deformações, nessa proposta, a deformação é que é imposta. Assim, o

cálculo da flexibilidade vai encontrar os carregamentos atuantes na microestrutura necessários

para produzir tais deformações.

3.3.3 Cálculo das Componentes da Matriz Constitutiva

A deformação imposta no caso mostrado na figura 3.3 é

εεε(1) = [1 0 0]T (3.42)

Enquanto que a tensão média na microestrutura homogeneizada no referido caso é dada por

σσσ(1) = [DH

1111 DH1122 0]T (3.43)

A componente da matriz constitutiva para a direção horizontal é dada por DH1111 = σσσ

(1) ·εεε(1), que é exatamente o dobro da energia de deformação nessa direção. Então DH

1111 = 2E(1).

Seguindo esse raciocínio, a energia de deformação e a matriz constitutiva para cada campo de

deformação teste será utilizada para calcular a matriz constitutiva do material homogeneizado:

• Solicitação horizontal:

E(1)=

12

σσσ(1) · εεε(1) (3.44)

DH1111 = 2E(1) (3.45)

• Solicitação vertical:

E(2)=

12

σσσ(2) · εεε(2) (3.46)

DH2222 = 2E(2) (3.47)

• Solicitação cisalhante:

E(3)=

12

σσσ(3) · εεε(3) (3.48)

DH1212 = 2E(3) (3.49)

• Solicitação horizontal e vertical:

σσσ(4) = (DH

1111 +DH1122)εεε

(1)+(DH2211 +DH

2222)εεε(2) (3.50)


O cálculo da energia de deformação da célula unitária para o caso mostrado na Figura 3.6

é dado por:

E(4)=

12

σσσ(4) · εεε(4) (3.51)

E(4)=

12

σσσ(4) · (εεε(1)+ εεε

(2)) (3.52)

E(4)=

12(DH

1111 +DH1122 +DH

2211 +DH2222) (3.53)

DH1122 = E(4)−E(1)−E(2) (3.54)

Assim, a matriz constitutiva do material homogeneizado é dada explicitamente por meio

das energias de deformações nas direções do campo de deformações prescrito:

DH =

2E(1) E(4)−E(1)−E(2) 0

E(4)−E(1)−E(2) 2E(2) 0

0 0 2E(3)

Com essa definição explicita, agora é necessário encontrar essas energias de deformação

para cada direção de solicitação, o que será feito a partir do cálculo da matriz de rigidez do

elemento finito, a qual será montada na matriz de rigidez global da célula base. Para calcular a

matriz de rigidez do elemento é necessário tratar com um modelo material, o qual transforma

o modelo discreto de cheio ou vazio, em um modelo contínuo para atender as condições de

diferenciabilidade exigidas pelo método de otimização que utiliza as informações do gradiente

para encontrar a direção de descida.

3.3.4 Modelo Material

Um modelo de material que defina a microestrutura do domínio fixo de projeto é carac-

terizado pela presença, ausência de material (sólido/vazio) ou ainda por estágios intermediários

entre as condições sólido e vazio, propiciando consistência física ao problema através da poro-

sidade.

Para contornar o problema de otimização paramétrica (sólido/vazio), aplica-se uma técnica

de relaxação do problema que consiste na utilização de um material composto caracterizado pela


presença de microestruturas porosas, parametrizadas por sua densidade relativa. O modelo mi-

croestrutural utilizado é denominado SIMP, Solid Isotropic Material with Penalty [BENDSØE,

1989], que caracteriza o comportamento constitutivo de um material artificial, e é definido por

uma função paramétrica associada com a densidade do material. Neste modelo, a matriz de

rigidez é definida em termos da densidade relativa, denotada pela variável ρ0.

O número de pontos de integração foi utilizado para encontrar o peso no somatório dentro

do elemento finito na i-ésima posição wi, e as constantes de integração também na i-ésima

posição ζi e εi (coordenadas naturais do elemento finito). Com essas constantes de integração e

com o número de nós do elemento, encontramos as funções de interpolação e suas derivadas.

A partir das derivadas das funções de interpolação e das coordenadas dos nós no elemento

foi possível calcular o determinante do Jacobiano detJi e juntamente com a densidade nodal do

e-ésimo elemento finito ρej , tornar possível o cálculo de

[Ke(ρej )] =

(nint pt

∑i=1

(nodes

∑j=1

ρej Ψi(εi,ζi)

)η

widetJi

)BT D0B. (3.55)

Sendo Ψi as funções de interpolação do elemento, B as derivadas das funções de interpo-

lação, D0 a matriz constitutiva do material denso, o índice e é o correspondente ao e-ésimo

elemento e η é o parâmetro de penalidade da microestrutura SIMP. Segundo Bendsøe e Sig-

mund [1999], os valores dos parâmetros de penalidade η ≥ 3 fazem com que seja possível a

realização física da microestrutura. Assim, nesta tese foram utilizados valores de SIMP iguais

a 3 e iguais a 7 para gerar as microestruturas otimizadas.

Para não tornar a notação muito carregada, é proposto a igualdade:

c j(ρej ,η) =

(nint pt

∑i=1

(nodes

∑j=1

ρej Ψi(εi,ζi)

)η

widetJi

)(3.56)

A função c j(ρej ,η) corresponde a integração da função distribuição de densidade no e-

ésimo nó.

3.3.5 Sensibilidade em Relação à Variável de Projeto

A análise de sensibilidade é responsável por boa parte do custo computacional, sendo por-

tanto, um ponto de extrema importância no processo de busca do ótimo. A precisão com que


ela é calculada indica a melhor direção de descida para o algoritmo, assim imprecisões na sua

determinação levam a direções não otimizadas e fazem com que o processo dure ainda mais.

A expressão sensibilidade está relacionada com a susceptibilidade de a função variar com

a variação dessa propriedade. Assim, é interessante dar esse significado físico ao deixar claro

que as derivadas indicam essa variação da função. A variável de projeto utilizada é a densidade

relativa do material. No caso da energia de deformação, essa expressão pode ser apresentada

como:

∂E∂ρe

j=

∂

∂ρej

(12

uT F)

(3.57)

∂E∂ρe

j=

12

∂

∂ρej

(uT F

)(3.58)

Fazendo uso da derivada do produto, pode-se simplificar a equação (3.58) como segue:

∂

∂ρej(uT F) =

∂uT

∂ρejF+uT ∂F

∂ρej

(3.59)

como o deslocamento na célula base de material homogeneizado, u, não depende da variá-

vel de projeto, ρej , a primeira parcela do lado direito da equação será nula, então:

∂

∂ρej(uT F) = uT ∂F

∂ρej

(3.60)

mas a expressão para o carregamento externo é dado por: F = [K(ρρρ)]u. Substituindo na

equação (3.60), resulta em:

∂F∂ρe

j=

∂ ([K(ρρρ)]u)∂ρe

j=

∂ [K(ρρρ)]

∂ρej

u (3.61)

Sendo assim, a sensibilidade da energia de deformação em relação a densidade do elemento

resume-se a:

∂E∂ρe

j=

12

(uT ∂ [K(ρρρ)]

∂ρej

u

)(3.62)

Fazendo uso do operador de montagem da matriz de rigidez [K(ρρρ)] =∧nume

e=1 [Ke(ρej )]


∂E∂ρe

j=

12

(uT ∂ [

∧numee=1 [Ke(ρ

ej )]]

∂ρej

u

)(3.63)

Aplicando o modelo material SIMP, Ke(ρej ) = c j(ρ

ej ,η)K0

e , então

∂E∂ρe

j=

12

(uT ∂ [

∧numee=1 [c j(ρ

ej ,η)K0

e ]]

∂ρej

u

)(3.64)

∂E∂ρe

j=

12

(uT ∂ [

∧numee=1 [c j(ρ

ej ,η)]

∂ρej

K0eu

)(3.65)

Fazendo E0e = 1

2uT K0eu então:

∂E∂ρe

j=

∂ [∧nume

e=1 [c j(ρej ,η)]

∂ρej

E0e (3.66)

Sendo assim, as derivadas parciais dos termos da matriz constitutiva poderão ser determi-

nadas por:

∂DH1111

∂ρej

=∂ [∧nume

e=1 [c j(ρej ,η)]

∂ρej

2E(1)e (3.67)

∂DH2222

∂ρej

=∂ [∧nume

e=1 [c j(ρej ,η)]

∂ρej

2E(2)e (3.68)

∂DH1212

∂ρej

=∂ [∧nume

e=1 [c j(ρej ,η)]

∂ρej

2E(3)e (3.69)

∂DH1122

∂ρej

=∂ [∧nume

e=1 [c j(ρej ,η)]

∂ρej

(E(4)

e −E(1)e −E(2)

e

)(3.70)

A análise de sensibilidade na matriz constitutiva homogeneizada pode ser compactada como

segue

∂DH

∂ρej=

∂DH

1111∂ρe

j

∂DH1122

∂ρej

0∂DH

1122∂ρe

j

∂DH2222

∂ρej

0

0 0 ∂DH1212

∂ρej

3.4 Formulação Discreta do Problema de Ótimo 36

ou seja,

∂DH

∂ρej=

∂ [∧nume

e=1 [c j(ρej ,η)]

∂ρej

2E(1)

e E(4)e −E(1)

e −E(2)e 0

E(4)e −E(1)

e −E(2)e 2E(2)

e 0

0 0 2E(3)e

As derivadas da matriz constitutiva homogeneizada dependem somente da energia de defor-

mação do elemento. O termo ∂DH

∂ρej

contêm as energias de deformação do elemento, Ee, enquanto

que o termo DH contêm as energias de deformação da célula base, E.

3.4 Formulação Discreta do Problema de Ótimo

Figura 3.7: Processo de otimização topológica usado nessa tese

A otimização topológica usada nessa tese é mostrada em forma de fluxograma na figura 3.7.

Assim, os procedimentos serão descritos seguindo essa sequência. A microestrutura de mate-

rial compósito homogeneizado é projetada para minimizar a flexibilidade da estrutura sujeita a

restrição de volume. De forma que o problema de otimização pode ser escrito como sendo:

3.4 Formulação Discreta do Problema de Ótimo 37

Minimizar f (ρρρ) (3.71)

com f (ρρρ) = w1DH1111 +w2DH

2222 +w3DH1122 +w4DH

1212. Sujeito às seguintes restrições:

g1(ρρρ) =∫

Ω

ρdΩ−V Ω≤ 0 (3.72)

g2(ρρρ)e =

(∂ρρρ

∂x

)2

e− (Ce

x)2 ≤ 0 (3.73)

g3(ρρρ)e =

(∂ρρρ

∂y

)2

e− (Ce

y)2 ≤ 0 (3.74)

g4(ρρρ)i = ρin f −ρ(x)i ≤ 0,∀ x ∈Ω (3.75)

g5(ρρρ)i = ρ(x)i−ρsup ≤ 0,∀ x ∈Ω (3.76)

para e = 1, · · · ,nume e i = 1, · · · ,numnp, e com ρin f e ρsup sendo, respectivamente, os valores

ínfimos e supremos da densidade relativa. o termo V é o material preescrito, enquanto que wi

são os pesos inseridos pelo usuário. Os quais indicam a preferência na direção a ser otimizada.

Por exemplo, quando w1 = 1, w2 = 0, w3 = 0 e w4 = 0, a célula base gerada minimizará a

flexibilidade na direção horizontal.

Os termos (Cex)

2 e (Cey)

2 são definidos como os limites laterais para as componentes do

gradiente da densidade relativa e cujos valores são obtidos a partir da distância entre os nós do

elemento e o seu baricentro como mostrado por COSTA JUNIOR [2003]. As restrições g2 e g3

são necessárias para evitar o problema de instabilidade de tabuleiro [BENDSØE, 1995].

As sensibilidades da função objetivo são dadas por:

∂ f (ρρρ)∂ρρρ

= w1∂DH

1111∂ρρρ

+w2∂DH

2222∂ρρρ

+w3∂DH

1122∂ρρρ

+w4∂DH

1212∂ρρρ

(3.77)

essas sensibilidades são comparadas com as derivadas numéricas, as quais necessitam apenas

da função objetivo. No entanto, essas derivadas numéricas, além de trabalharem com um erro

explícito, são calculadas por um método iterativo, o que faz com que o custo computacional au-

3.5 Solução do Problema de Otimização 38

mente substancialmente. Assim, essas derivadas numéricas são desativadas quando da obtenção

da topologia final da microestrutura.

3.5 Solução do Problema de Otimização

Existem várias técnicas de resolução de um problema de ótimo. Elas podem ser divididas

em:

• Técnicas sem Restrições

• Técnicas com Restrições

No caso desse trabalho, existe a restrição de volume, a de estabilidade e as laterais. No

entanto, o problema será resolvido como um problema de ótimo sem restrição. Isso porque,

as restrições serão impostas dentro da função objetivo conhecida como função Lagrangeana,

L (ρρρ,µµµ). Assim o problema que antes era considerado restrito agora será resolvido como um

problema sem restrição. A implicação direta desse tipo de metodologia é que a dimensão do

problema aumenta.

3.5.1 Método do Lagrangeano

Por existir o vetor restrição g(ρρρ), que é uma restrição de desigualdade, o problema de oti-

mização é definido como sendo um problema com restrição. Um dos métodos para a resolução

de problemas com restrição consiste em transformar o problema restrito em outro equivalente

irrestrito. Isso é feito através da adição da restrição à função objetivo como na equação (3.78).

Esse procedimento é feito com a utilização do multiplicador de lagrange, µ , o qual é um parâ-

metro indicador da qualidade da resposta.

L (ρρρ,µ) = f (ρρρ)+µµµT g(ρρρ) (3.78)

No entanto, ao transformar o problema com restrições em outro equivalente sem restrições,

acontece o aumento da dimensão do problema. Isso porque, agora, é necessário calcular não

apenas as densidades - váriáveis de projeto - mas também os coeficientes de Lagrange.


3.5.2 Penalidade Exterior

Para resolver o problema de otimização dado nas equações (3.71), (3.72), (3.73) e (3.74)

é utilizado uma penalidade exterior, a qual é responsável por permitir com que a resposta do

ótimo seja obtida fora do conjunto viável. Isso significa que, mesmo existindo a restrição de

desigualdade impedindo que o algoritmo busque o ótimo fora do conjunto factível, o método

da penalidade exterior acrescenta uma função que no caso deste trabalho é quadrática à função

objetivo. A adição dessa nova função é necessária devido as condições de diferenciabilidade,

porque muitas vezes, o encontro da função objetivo com a restrição forma uma região não suave,

impedindo assim a sua diferenciação e a consequente verificação do ponto ótimo.

Utilizamos então a definição da penalidade exterior como em Belegundu e Chandrupatla

[2011] mostrada abaixo:

Pl(ρρρ) = [max(0,gl(ρρρ))]2 (3.79)

O vetor P é formado pelo elementos Pl . Então a nova função a ser minimizada torna-se:

T(ρρρ) = f (ρρρ)+ rT P(ρρρ) (3.80)

em que r é o parâmetro de penalidade e assume o valor positivo definido de forma prescrita. A

atualização desse parâmetro de penalidade é feita como segue:

rk+1 =

γrk se rk+1 < rcrit ;

onde γ ∈ (0,1)

rk se rk+1 ≥ rcrit

(3.81)

Quanto maior o valor do parâmetro de penalidade, maior é a possibilidade de se encontrar

uma solução longe da restrição.

Observando que

dTdρρρ

=d fdρρρ

+2numnp+2nume+1

∑l=1

2rl[max(0,gl(ρρρ))]dgl

dρρρ(3.82)

é semelhante a


dL

dρρρ=

d fdρρρ

+µµµT dg

dρρρ(3.83)

então o multiplicador de lagrange pode ser obtido como:

µk = 2rk[max(0,gk(ρρρ))] (3.84)

de forma que a atualização desse multiplicador de lagrange é dada como:

µk+1 = µ

k +2rk[max(0,gk(ρρρ))] (3.85)

onde k é um índice a ser atualizado.

Com a utilização de uma penalidade exterior quadrática, apenas a condição de primeira

ordem é necessária para definir o ponto de mínimo. Isso porque, a condição necessária também

é suficiente.

3.5.3 Lagrangeana Aumentada

A função lagrangeana aumentada, LA, é definida de forma a unir as características da fun-

ção lagrangeana, L , e a da penalidade exterior, P. Isso é feito de modo semelhante ao que foi

feito com a lagrangeana comum, adicinando os termos necessários a resolução do problema de

ótimo microestrutural.

LA(ρρρ,µµµ;r) = f (ρρρ)+µµµT g(ρρρ)+ rT P(ρρρ) (3.86)

os dois primeiros termos do lado direito da equação (3.86) indica a função lagrangeana, en-

quanto que o último termo dessa equação faz referência a função penalidade exterior. Assim, o

termo Lagrangeana Aumentada existe por unir as duas características descritas anteriormente.

A sensibilidade da função Lagrangeana Aumentada é necessária para o cálculo da direção

de descida e para a verificação do erro para o critério de parada. Então escrevemos a equação

(3.87) como:

∇LA(ρρρ,µµµ;r) = ∇ f (ρρρ)+µµµT

∇g(ρρρ)+2numnp+2nume+1

∑l=1

2rl[max(0,gl(ρρρ))]dgl

dρρρ(3.87)


Computacionalmente é necessário seguir um procedimento o qual é descrito no algoritmo

(1) para resolver a função Lagrangeana Aumentada dada na equação (3.86).

Algoritmo 1 Método Lagrageano Aumentado1: procedure ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO LAUMENTADO(ρρρ i)2: k = 1 . Iniciar contador de iteração3: rk . Estimar a Penalidade Inicial4: rcrit . Definir a Penalidade Limite5: Determinar µk usar a equação (3.84) . Multiplicador de Lagrange Inicial6: repeat7: call ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO CONJUGADO(ρρρ i)8: erroµ = µk+1−µk

9: Determinar µk+1 usar equação (3.85) . Multiplicador de Lagrange10: Determinar rk+1 usar equação (3.81) . Parâmetro de Penalidade11: k = k+112: until (erroµ < tol) . Teste de convergência13: print ρρρ i . Resultado de pós-processamento14: end procedure

No algoritmo (1) existe a chamada para a subrotina do Gradiente Conjugado. A utilização

desse método foi escolhida por ele não necessitar do cálculo da matriz Hessiana, ou seja, não

é necessário que a função Lagrangeana Aumentada seja de classe C2. Na verdade, no método

original descrito na literatura como em [BELEGUNDU; CHANDRUPATLA, 2011], necessita

da matriz Hessiana, embora seus termos sejam calculados apenas uma vez, diferentemente dos

métodos de Newton.

Neste trabalho foi utilizado o método de Quasi-Newton como direção de descida com con-

dições de Armijo e Wolfe como algoritmo de minimização. Sendo assim, será desenvolvida de

forma didática uma formulação do Gradiente conjugado com o Método da Seção Áurea com

fins didáticos e a aproximação de Quasi-Newton é mostrada no apêndice B.

A distância com que o algoritmo deve percorrer sobre uma direção de descida, ou seja, o

tamanho do passo deve ser determinado. Pode-se escolher esse valor de várias formas, fazendo

com que ele possa ser uma constante, uma função decrescente qualquer, ou utilizar um algo-

rítmo de busca para saber qual é o melhor valor a ser utilizado como tamanho do passo em cada

iteração do algoritmo principal. Nessa tese, foi escolhida a última opção.

3.5.4 Método do Gradiente

O método do gradiente é utilizado para embasar o método do gradiente conjugado. Este

último é utilizado para resolver o problema de ótimo, o qual consiste em definir qual é o me-


nor valor apresentado pela função Lagrangeana Aumentada, LA(ρρρ,µ;r), mostrada na equação

(3.86).

O gradiente de uma função aponta na direção de maior crescimento dela, ou seja, indica

onde deve estar o ponto de máximo valor que pode ser apresentado pela função em análise.

Este método utiliza essa informação, porque se o gradiente é definido dessa forma, então o seu

oposto deve indicar a direção onde está o menor valor da função. Assim, o próximo ponto a ser

analisado pode ser dado como:

ρρρ i+1 = ρρρ i +α(−∇LA(ρρρ i,µ;r)) (3.88)

Este método exige que a função Lagrangeana Aumentada, LA(ρρρ,µ;r), seja de classe C1,

isso porque serão utilizadas as informações dadas na equação (3.87) para encontrar a direção de

descida em busca do ponto ótimo. A introdução do parâmetro α , conhecido como tamanho do

passo, é necessária para informar o quanto, na nova direção, o próximo ponto deve se afastar do

anterior.

3.5.5 Método do Gradiente Conjugado

A direção de descida para o próximo ponto candidato a mínimo da função Lagrangeana

Aumentada, Equação (3.86), é encontrada utilizando o Método do Gradiente. No entanto, a

sua taxa de convergência é baixa, porque as direções de descida são sempre perpendiculares à

direção anterior.

Então é necessário utilizar o Método do Gradiente Conjugado, o qual faz uso de informa-

ções atuais e anteriores para encontrar uma direção de descida combinada, tornando-se mais

eficiente que o método anterior por evitar a variação perpendicular nas direções de descida.

Define-se como conjugados os vetores que satisfazem

diAd j = 0 (3.89)

com i 6= j e A sendo uma matriz positiva definida. No Método dos Gradientes Conjugados faz-

se uma alteração em relação ao Método do Gradiente, que é adicionar, após a segunda iteração,

informações a partir do gradiente anterior - esse é o motivo de o termo ser adicionado somente a

partir da segunda iteração. Substituindo então na equação (3.88) o termo Si =−∇LA(ρρρ i,µ;r):


ρρρ i+1 = ρρρ i +αiSi (3.90)

E a nova direção de descida é encontrada a partir da expressão

Si+1 =−∇LA(ρρρ i+1,µ;r)+βiSi (3.91)

Por questão de comodidade, faz-se hi+1 = ∇LA(ρρρ i+1,µ;r), de modo que:

STi+1 =−hT

i+1 +βiSTi (3.92)

Ao utilizar a propriedade do conjugado, pode-se escrever

STi+1ASi =−hT

i+1ASi +βiSTi ASi = 0 (3.93)

E o valor de βi é determinado como segue:

Si =(ρρρ i+1−ρρρ i)

αi(3.94)

ASi =(hi+1−hi)

αi(3.95)

Substituindo esse valor na equação (3.93), obtem-se:

−hTi+1

(hi+1−hi)

αi+βi

hTi hi

αi= 0 (3.96)

βi = hTi+1

(hi+1−hi)

hTi hi

(3.97)

O parâmetro βi mostrado na equação (3.97) é conhecido como parâmetro de Polak-Ribièri.

Quando aplicado a funções altamente não lineares, com tamanho do passo inexato, este método

apresenta-se bem eficiente [NOCEDAL; WRIGHT, 2006]. Uma modificação nesse método é

conhecida como Método de Fletcher-Reeves, mostrado na equação (3.98):

βi =hT

i+1hi+1

hTi hi

(3.98)


βi =∇L T

A (ρρρ i+1,µ;r)∇LA(ρρρ i+1,µ;r)∇L T

A (ρρρ i,µ;r)∇LA(ρρρ i,µ;r)(3.99)

Substituindo na equação (3.91), obtem-se:

Si+1 =−∇LA(ρρρ i+1,µ;r)+βiSi (3.100)

Substituindo então o valor de β pelo encontrado na equação (3.99) resulta em:

Si+1 =−∇LA(ρρρ i+1,µ;r)+∇L T

A (ρρρ i+1,µ;r)∇LA(ρρρ i+1,µ;r)∇L T

A (ρρρ i,µ;r)∇LA(ρρρ i,µ;r)Si (3.101)

com os valores de Si e ρρρ i preescritos, encontramos então a nova direção de descida Si+1 e com

isso podemos atualizar o novo ponto de váriáveis de projeto, ρρρ i+2. O algoritmo (2) descreve

esse processo.

Algoritmo 2 Método do Gradiente Conjugado1: procedure ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO CONJUGADO(ρρρ i)2: i = 0 . Início do contador3: tol . Tolerância de parada4: Si Calcular a direção de descida inicial5: while (‖Si‖ > tol) do . Critério de parada6: Calcular αi usar o algoritmo (3) . Tamanho do passo7: Calcular ρρρ i+1 usar equação (3.88) . Variável de projeto8: Calcular βi usar equação (3.99) . Parâmetro de ajuste direcional9: Calcular Si+1 usar equação (3.101) . Nova direção de descida

10: Atualizar i = i+1 . Atualização do contador11: Atualizar ρρρ i = ρρρ i+112: end while13: end procedure

O critério de parada do algoritmo é feito através da norma do gradiente da função Lagran-

geana Aumentada, o processo continua enquanto essa norma for maior do que a tolerância.

3.5.6 Método da Secção Áurea

Para a utilização do Método da Secção Áurea, a função a ser analisada tem de ser unimodal

e não existe a necessidade de ela ser de classe C1. Pela caracteristica de unimodalidade, pode-se

encontrar a solução global do problema em um intervalo menor. O valor áureo pode ser obtido

a partir da sequência de Fibbonacci:


Fn = Fn−1 +Fn−2 (3.102)

Dividindo os membros da equação (3.102) por Fn−1

Fn

Fn−1= 1+

Fn−2

Fn−1(3.103)

e tomando o limite do número de termos ao infinito

limn→∞

Fn

Fn−1= limn→∞

Fn−2

Fn−1(3.104)

γ = 1+ γ−1 (3.105)

O que resulta em γ = 1+√

52 . Conhecido como número de ouro, o qual aparece na natureza

de diversas formas, muitas vezes também relacionado com padrões estéticos utilizados em ge-

ometria e na arte. A secção áurea ocorre quando o intervalo é dividido em duas partes tais que

a relação do intervalo original com o intervalo maior é igual a relação do intervalo maior com o

intervalo menor.

O Método da Seção Áurea é iniciado quando o valor do ponto ótimo está confinado em uma

região de unimodalidade. Para isso, é necessário encontrar essa região e definí-la muito bem.

O algoritmo deve utilizar a função a ser analisada, equação (3.88), e verificar se o novo ponto,

ρi+1, faz com que a equação (3.88) tenha um valor menor do que no ponto anterior, ρi. Se isso

o ocorrer, indica que a função está caminhando para um valor mínimo. O critério de parada

ocorre quando o valor da função em ρi é menor do que em ρi+1. O algoritmo (3) é semelhante

àquele apresentado por [BELEGUNDU; CHANDRUPATLA, 2011].

O algoritmo (3) mostra o processo iterativo de busca do ponto mínimo. O critério de parada

é um valor prescrito. Assim, s é o tamanho do passo para o método da razão áurea. Ele vai

ficando cada vez menor em cada passo antes de confinar a resposta em um vale. O seu novo

valor sempre é dividido pelo valor áureo. Isso faz com que o processo de confinamento da

resposta demore mais do que no método em que o algoritmo dá passos iguais. Um processo de

confinamento mais rápido é aquele em que o tamanho do passo, s, ocorre de forma acelerada.

Aqui existe uma consideração. Quanto mais acelerado ocorrer o processo de confinamento

da resposta, maior será o espaço a ser procurado o ponto de ótimo. Consequentemente, quanto

mais desacelerado ocorrer o confinamento, menor será o espaço de procura do mínimo global.


Algoritmo 3 Método da Secção Áurea1: procedure ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO ÁUREO(αi)2: s . Tamanho do passo3: Determinar α2 = α1 + s. Verificar o valor de ρ2 com a equação (3.88)4: Se ρ2 > ρ1 então troque α2 por α1 e faça s =−s . Caso esteja na parte crescente5: s = s

γ; α4 = α2 + s; Calcular o valor de ρ4 . Razão áurea

6: Se ρ4 > ρ2 vá para o 77: Renomeie 2, 4 como 1, 2 respectivamente: vá para o 48: α3 = γα4 +(1− γ)α1; Calcule ρ3 . Razão áurea9: if (α2 < α3) then

10: α4 = α1,α1 = α311: else12: α1 = α2,α2 = α3,ρ2 = ρ313: end if14: Verificar o critério de parada. Se tiver ok, vá para o 10, senão vá para o 715: print αi = α2 . Tamanho ótimo do passo16: end procedure

Considerando o algoritmo (3), após calcular todas as funções ρ1,ρ2,ρ3,ρ4, como no passo

7, pode-se comparar qual tem o maior valor entre ρ1 e ρ4. Ora, se a função é unimodal, os

valores de ρ2 e ρ3 são menores do que pelo menos um dos valores de ρ1 e ρ4. Assim, o maior

valor dentre estes dois é descartado. Caso o valor de ρ1 seja o maior, α1 recebe o valor de α2 e

α2 recebe o valor de α3. Após a mudança, os valores das funções ρi são calculados novamente,

comparados e o processo se repete. No entanto, caso o valor de ρ4 seja maior, o processo ocorre

de forma semelhante.

3.5.7 Dualidade e Condições de Karush-Kuhn-Tucker

A teoria da dualidade mostra que é possível definir um problema alternativo ao problema de

otimização original. Essa alternativa é conhecida como problema dual, enquanto que o original

é conhecido como primal. Em alguns casos, o problema dual possui resolução mais fácil do

que o primal [NOCEDAL; WRIGHT, 2006]. O problema de otimização pode ser descrito

formalmente através das condições de Karush-Kuhn-Tucker, em que o problema dual é escrito

na equação (3.106):

∇LA(ρρρ∗,µµµ∗;r) = 0 (3.106)

com condições de não positividade dada na equação (3.107):

3.6 Refino da Malha de Elementos Finitos 47

g(ρρρ∗)≤ 0 (3.107)

com condição de não negatividade em (3.108):

µµµ∗ ≥ 0 (3.108)

e a condição de complementariedade na equação (3.109):

µµµ∗T g(ρρρ∗) = 0 (3.109)

onde ρρρ∗ representa o vetor de variáveis de projeto otimizadas. Essas condições, se atendidas no

problema dual, atendem também o problema primal, e as variáveis de projeto encontradas são

mínimos da função objetivo considerada LA(ρρρ,µµµ;r).

3.6 Refino da Malha de Elementos Finitos

A idéia principal na melhora da resposta da microestrutura otimizada é a utilização do refino

h-adaptativo em um elemento finito triangular Tri3 semelhante a proposta feita por COSTA

JUNIOR [2003], isso porque este elemento finito proporciona topologias com boa resolução

a baixo custo computacional. Assim, a combinação da otimização topológica com o refino h-

adaptativo tem como resposta uma topologia com melhor contorno da estrutura do que uma

resposta sem o refino.

Figura 3.8: Malha de Elementos Finitos Triangulares sem Compatibilidade

A figura 3.8 mostra a malha de elementos finitos sem refino na região à esquerda da figura,

e a região com refino à direita. Na interface entre as duas, estão elementos em que os nós


estão no meio do elemento finito triangular adjacente. Isso torna a malha incompatível, o que

impossibilita a solução do problema de ótimo. Já a figura 3.9 mostra a malha de elementos

finitos compatibilizada, ou seja, os elementos dessa malha estão ligados apenas pelos seus nós.

Figura 3.9: Malha de Elementos Finitos Triangulares com Compatibilidade

O refino da malha de elementos finitos é feito em todos os elementos que representem

materiais sólidos e todos os elementos vazios que contenham ao menos um nó em uma região

de material sólido. O modelo apresentado proporciona uma melhora na resposta topológica

do problema analisado. Uma função de baixa ordem, descrita pelo elemento finito triangular

Tri3 reduz o tempo de processamento para obter a topologia da microestrutura otimizada. No

entanto vários problemas de instabilidade de tabuleiro podem surgir nesse processo. Para evitar

esse problema, foi utilizado uma restrição local ao gradiente da variável de projeto (densidade

relativa) como foi feito por [SIGMUND; PETERSSON, 1998].

Na estratégia de refino, a otimização topológica é feita para determinar a melhor distribui-

ção de material no espaço de projeto com a malha inicial. Logo após, a malha é refinada, ou

seja, os elementos tornam-se menores. Esse processo é repetido várias vezes, sempre utilizando

a malha anterior para gerar a nova malha refinada. Nessa estratégia, pode-se utilizar um crité-

rio de parada para o processo, ou um número prescrito de refinos. O critério de parada pode

ser o tamanho do elemento, pois em cada refino do elemento finito triangular, o lado do novo

elemento é igual a metade do lado do elemento finito da malha anterior sem ser refinado. No

entanto, muitas vezes é necessário um número muito grande de iterações o que faz com que o

tempo de processamento do problema seja demasiado, considerando que com menos refinos o

processo de otimização ja apresenta um bom contorno da microestrutura.

Neste trabalho um número prescrito de refinos foi estabelecido para a solução ótima, isso

porque muitos refinos faz com que o processo se torne caro computacionalmente, e a resposta


não varia muito depois de algumas iterações. Assim, é mais eficiente indicar uma quantidade

de iterações do que fazer com que o sistema pare apenas quando atingir a convergência.

3.6.1 Estratégia da Qualidade da Malha do Elemento Finito

O processo de refino do elemento finito triangular ao longo da etapa de processamento

altera a forma com que o sistema é tratado, isso porque o elemento finito sofre distorção ao

longo do processo iterativo.

O controle automático da criação da malha de elementos finitos no processo iterativo de

refino h-adaptativo é conseguido a partir de uma estratégia de verificação da medida da triangu-

lação do elementos finito. O processo feito nessa tese é semelhante ao que foi feito por COSTA

JUNIOR [2003]. Ou seja, impõe-se que os elementos finitos triangulares sejam semelhantes à

triangulos equiláteros, sendo escrito como:

Qe =2√

3Ae

LemaxPe

(3.110)

em que Qe é a medida da qualidade de elemento, a qual varia de 0 a 0.5, com máxima qualidade

igual a 0.5 representando um elemento finito equilátero; Ae é a área do elemento triangular;

Lemax = maxab, ac, bc é o maior comprimento da aresta do elemento triângular; Pe é o perí-

metro do elemento triangular.

A geração da malha triangular inicial consiste basicamente na aproximação do domínio

para as condições iniciais do problema de otimização. Uma vez que o elemento finito sofre

uma perturbação a cada iteração, isto ocasiona uma degeneração do elemento finito triangu-

lar, conseqüentemente, a perda na generalidade do modelo matemático. Por isso, para evitar

a degeneração durante o processo faz-se necessário uma estratégia para avaliar a medida da

triangulação do elemento finito para determinar o controle para geração automática da malha.

3.6.2 Processo de Suavização da Malha de Elementos Finitos

Uma técnica para melhorar a qualidade da malha de elementos finitos depois de tê-los refi-

nados é utilizar um processo de suavização denominado de Laplaciano condicional. Assim, os

elementos finitos que sofreram grande deformação após o refino da malha, deverão ser remode-

lados para que se aproximem de elementos finitos triangulares equilateros.

Todos os nós dos vértices que estão dentro da malha sofrem esse processo de suavização,

e todos os nós do contorno se mantêm fixos. Esse procedimento de suavização só é utilizado


se a qualidade da malha de elementos finitos melhorar. Essa qualidade é medida a partir do

elemento finito mais deformado, sendo dada pela equação (3.110).

Esse procedimento se faz necessário porque quando o elemento finito triangular está com

um dos lados muito menor do que os outros, sua área se torna próximo de zero, fazendo com

que a matriz jacobiana se torne singular. Isso prejudica o processo, uma vez que impossibilita a

passagem das informações das coordenadas naturais para as coordenadas globais.

3.6.3 Estimador de Erro

O estimador de erro usado nessa tese é o mesmo que foi proposto por Zienkiewicz e Zhou

[1990].

e(ρρρ) = u(ρρρ)−uh(ρρρ) (3.111)

em que u(ρρρ) é a solução exata e uh(ρρρ) é a aproximada. Sendo assim, a norma de energia pode

ser escrita como:

‖e(ρρρ)‖2E =

∫Ω

[Dh(ρρρ)](εεε(ρρρ)− εεεh(ρρρ)) · (εεε(ρρρ)− εεεh(ρρρ))dΩ (3.112)

A distribuição exata da deformação não é conhecida, portanto, faz-se a aproximação da

deformação real εεε pela deformação aproximada εεε∗. Assim, o estimador de erro é:

‖e(ρρρ)‖2E =

∫Ω

[Dh(ρρρ)](εεε∗(ρρρ)− εεεh(ρρρ)) · (εεε∗(ρρρ)− εεεh(ρρρ))dΩ (3.113)

A solução de εεε∗(ρρρ) é dada por mínimos quadrados do potencial dado por:

ψ(ρρρ) =∫

Ω

‖(εεε∗(ρρρ)− εεεh(ρρρ))‖2dΩ (3.114)

Com a solução melhorada, εεε∗(ρρρ), determinada, pode-se calcular o erro médio global Θ ,

como:

ΘG =1Ω

∫Ω


E o erro médio do elemento ocorre da seguinte forma:


Θe =1

Ωe

∫Ωe


3.6.4 Implementação do Refino Adaptativo

A implementação do refino h-adaptativo da malha de elementos finitos ocorre através da

criação de um módulo específico para a programação do problema de ótimo microestrutural. O

algoritmo (4) mostra a sequência de passos necessária para fazer com que o programa Patran

seja aberto e execute todo o processo de refino dos elementos finitos que estejam no contorno

da topologia.

Algoritmo 4 Refino Adaptativo1: procedure REFINO ADAPTATIVO(lista,ii)2: Ler o caminho e o nome do arquivo a ser gravadas as informações do refino3: Criar arquivo do refino4: Abrir arquivo para escrever as instruções que serão executadas no pré-processamento5: Definir a tolerância do modelo6: Refinar elementos selecionados contidos no vetor lista (ítem 3.6.5)7: Renumerar os nós e elementos finitos8: Suavizar a malha de elementos finitos9: Reavaliar as condições de contorno

10: Otimizar a largura de banda11: Atualizar as condições de contorno e compilar novo arquivo12: Salvar e fechar o arquivo de instruções do pré-processador13: Disparar o pré-processador e executar as informações na sua linha de comando14: end procedure

Este módulo recebe uma lista de elementos a serem refinados e utiliza o pré-processador

para executar o refino. Sendo necessário indicar a posição do arquivo de dados (database) e

também indentificar a posição de um arquivo responsável pela atualização das condições de

contorno e pela escrita do novo arquivo de entrada de dados.

3.6.5 Estratégia para seleção dos elementos a serem refinados

Para identificar o conjunto de elementos a serem refinados, é feito um ponteiro de vetor

lista(e), com e = 1, ...,ne sendo n o número de elementos da malha. Caso lista(e) = 1 o e-

ésimo elemento será refinado, com e ∈ Jr. Senão, lista(e) = 0 e não haverá refino, com e /∈ Jr.

Estando o ponteiro Jr definido para identificar todos os elementos, apresenta-se a estratégia de

refino:

• Iniciar ponteiro lista(e) = 0, e = 1, ...,ne;


• Verificar para cada elemento se ρe ∈ [0,5 ,ρsup] e fazer lista(e) = 1, então, o elemento

material pertencente ao Jr será refinado; No entanto, se ρe ∈ [ρin f ,0,5) o elemento é

vazio, assim é verificado se o elemento tem ao menos um nó pertencente ao contorno

material. Caso afirmativo o valor do ponteiro é feito como lista(e) = 1. Portanto, esse

elemento também será refinado, pois pertence ao conjunto Jr;

• Determinar a medida de qualidade Q(e) de cada elemento sendo definida como no item

3.6.1. Então, se Q(e) > 0,55 faz-se o valor do ponteiro para lista(e) = 1. Assim, todos

os elementos distorcidos serão refinados;

• Determinar o erro global e o erro médio dos elementos como no item 3.6.3. Mas, se

Θe > (1+φ)Θe para um dado φ > 0 (aqui é utilizado φ = 0,8), o ponteiro assume o valor

lista(e) = 1, indicando que o elemento será refinado.

Após esse processo, é obtida uma primeira estimativa do conjunto Jr. Assim esse conjunto

pode ser aumentado com um critério de refino para suavização. A estratégia de refino apresen-

tada refina todos os elementos materiais e todos os elementos vazios que tem pelo menos um nó

pertencente ao contorno material. Dessa forma, se a fração de volume for pequena o aumento

das variáveis de projeto não é relevante. Para grandes frações de volume o aumento das variá-

veis de projeto é considerável. Para evitar esse problema, deve-se refinar apenas os elementos

materiais que têm no mínimo uma aresta pertencente ao contorno material. No entanto, essa

estratégia muitas vezes ocasiona regiões de vazios internos aos grandes elementos materiais não

refinados, o que proporciona uma região com definição de baixa qualidade [COSTA JUNIOR,

2003]. Como a maioria dos problemas práticos prescrevem pequenas frações de volume, houve

a decisão de refinar todos os elementos materiais.

4 Resultados e Discussões 53

4 Resultados e Discussões

Para resolver um problema computacionalmente, é necessário considerar algumas etapas:

pré-processamento, processamento e pós-processamento.

Figura 4.1: Implementação da metodologia

4.1 Comparação de Resultados 54

• Pré-processamento

Na fase de pré-processamento, é feita a caracterização do problema, ou seja, como são as

características geométricas do sistema físico, as propriedades dos materiais envolvidos,

as condições de contorno impostas ao sistema e a geração da malha de elementos finitos.

Logo após a entrada desses parâmetros, é gerado um arquivo de entrada de dados que será

usado na fase de processamento. Esse arquivo contém todas as informações do modelo

a ser estudado, como o número de elementos finitos, o número de nós do elemento finito

utilizado, as coordenadas desses nós, a conectividade dos elementos finitos, as condições

de contorno e as propriedades do material.

• Processamento

A fase de processamento consiste em processar os dados, a partir de um código compu-

tacional formado por um conjunto de programas escritos em linguagem Fortran 95, de

acordo com a formulação proposta nessa tese. Assim, o arquivo gerado na fase de pro-

cessamento é lido, processado, e então é gerado um arquivo de saída para ser analisado

na parte de pós-processamento.

• Pós-processamento

Esse arquivo de saída da fase de processamento é utilizado então no programa comercial

GID, versão 11, o qual fornece visualmente a topologia processada na fase anterior.

4.1 Comparação de Resultados

Os resultados mostrados na Figura 4.2 são apresentados no artigo do Weihong et al. [2007]

com as topologias formadas utilizando o módulo de elasticidade E = 4000, poisson µ = 0.3 e

restrição de volume V = 0.5. As diferenças entre as topologias são ocasionadas pelos diferentes

valores do termo que evita o problema de instabilidade de tabuleiro. Na Figura 4.2 (a) P = 0.05,

(b) P = 0.1, (c) P = 0.2, e (d) P = 0.5.

Os resultados mostrados na Figura 4.3 foram obtidos usando o módulo de elasticidade E =

4000, poisson µ = 0.3 e restrição de volume V = 0.5. A Figura 4.3 (a) foi obtida com uma

malha regular de 200 elementos finitos triangulares de três nós, já a Figura 4.3 (b) foi gerada

após ocorrer o refino dos elementos finitos e assim essa malha possui 708 elementos. A malha

mostrada na Figura 4.3 (c) possui 2472 elementos. Já a Figura 4.3 (d) mostra apenas a topologia

gerada, com malha possuindo 8116 elementos.


Figura 4.2: Resultados de cisalhamento prescrito: (a) P = 0.05, (b) P = 0.1, (c) P = 0.2 e (d) P = 0.5.

Figura 4.3: Resultados de cisalhamento prescrito: (a) 200 elementos, (b) 708 elementos, (c) 2472elementos e (d) 8116 elementos.


Os resultados do artigo do Zhang et al. [2007] são mostrados na Figura 4.4. A Figura 4.4

(a) mostra o resultado da otimização topológica com 50% de prescrição de deslocamento tanto

para a direção horizontal quanto para a vertical com 50% de restrição de volume, a malha utili-

zada é composta de elementos finitos quadrilaterais de quatro nós. Os mesmos parâmetros são

usados para gerar a topologia mostrada na Figura 4.4 (b) com malha assimétrica de elementos

triangulares de três nós.

Figura 4.4: Resultados

Os problemas apresentados nas seções a seguir utilizam os mesmos valores para as propri-

edades do material, portanto, é conveniente organizá-los como mostrados na Tabela 4.1 com o

objetivo de evitar repetições.

Descrição Valor

Elasticidade longitudinal 210 GPaCoeficiente de Poisson 0.3Restrição de volume 60 %Densidades iniciais 0.5

Tabela 4.1: Dados dos problemas

Todos os problemas são resolvidos com o auxílio da simetria do sistema. Assim, eles são

otimizados para o primeiro quadrante da célula base, com as condições de contorno proporcio-

nais a essa região. Após a topologia final ser gerada, é feito um espelhamento para reproduzir

os outros 3/4 restantes.


Figura 4.5: Região de projeto do problema de microestruturas com deslocamento horizontal

A região de projeto é mostrada na figura (4.5) com dimensões 1x1 unidades de compri-

mento representando a célula base da microestrutura. Esse domínio é mostrado com a malha

de elementos finitos inicial, e sem material, pois somente após o processo de otimização é que

será obtida a resposta ótima para a solicitação imposta.

Figura 4.6: Sequência de resultados

4.2 Problemas com Prescrição de Deslocamento em Apenas uma Direção 58

4.2 Problemas com Prescrição de Deslocamento em Apenasuma Direção

4.2.1 Primeiro Problema

Uma prescrição de deslocamento apenas na direção horizontal sugere como resposta barras

que suportem essa prescrição, as quais devem diferenciar-se devido a restrição de volume na

célula base. O problema é calculado com um quarto de simetria com o objetivo de diminuir

o custo computacional. Assim, a figura 4.7 mostra o primeiro quadrante da célula base com

prescrição de deslocamento apenas na direção horizontal.

Figura 4.7: Microestrutura para solicitação preferencial na direção horizontal sem refino

Essa é a primeira distribuição de material do processo de otimização, ou seja, uma resposta

ainda não convergida. No entanto, didaticamente, ela é importante pois mostra elementos fini-

tos representando regiões com material denso, outras com material vazio, e alguns elementos

possuindo um gradiente de densidade. Observa-se que essa é a malha inicial de elementos fi-

nitos, mostrando que ainda não ocorreu o processo de refino. Embora a resposta mostrada na

figura 4.7 não seja utilizável, ela apresenta-se coerente devido ao tamanho inicial do elemento

e pela tendência de formar barras na direção horizontal conforme esperado. A imagem forma

uma superfície muito irregular, a qual tende a suavizar depois do refino.

A figura 4.8 mostra a topologia gerada após o refino dos elementos finitos da figura 4.7.

A região entre material e vazio apresenta-se mais regular com um gradiente de densidade no

interior de elementos com menores dimensões.


Figura 4.8: Quarto de simetria para solicitação preferencial na direção horizontal com primeiro refino

E a figura 4.9 mostra mais uma etapa do refino com melhor definição da interface material-

vazio e com a tendência de formação de barras horizontais.

Figura 4.9: Quarto de simetria para solicitação preferencial na direção horizontal com segundo refino

A topologia mostrada na figura 4.10 é o último processo de otimização, em que a topologia

da microestrutura será obtida a partir da reprodução periódica da célula base. A célula base

formada é mostrada na figura 4.11. A grande quantidade de elementos finitos faria com que o

tempo de processamento aumentasse muito, sendo portanto, necessário valer-se da simetria do

problema.


Figura 4.10: Quarto de simetria para solicitação preferencial na direção horizontal com terceiro refino

Figura 4.11: Célula base para solicitação preferencial na direção horizontal com terceiro refino 1

A microestrutura mostrada na figura 4.13 foi feita a partir da reprodução periódica da célula

base apresentada na figura 4.11. Essa é a menor microestrutura a ser formada com as caracterís-

ticas de prescrição dadas no problema. Quanto maior for a representação da microestrutura, ou

seja, quanto mais células bases estiverem contidas na microestrutura a ser apresentada, menor

será a influência das imperfeições na interface entre a região com e sem material.



Figura 4.13: Microestrutura para solicitação preferencial na direção horizontal com terceiro refino 1

A resposta apresenta-se coerente com a condição inicial de prescrição, ou seja, não era de se

esperar a formação de suportes verticais já que não há solicitação nessa direção. Assim, o pro-

blema encontra uma resposta fisicamente coerente ao gerar, com refino da malha de elementos

finitos, a topologia da microestrutura.


4.2.2 Segundo Problema

É importante verificar o que acontece quando a relação de prescrição de volume é alterada.

Ao invés de utilizar um volume prescrito de 60%, como mostrado no problema anterior, será

utilizado uma prescrição de volume de 70%. A célula base otimizada é mostrada na figura 4.14.

Figura 4.14: CB com prescrição horizontal 1

• D1111 = 143,24 GPa

• Elementos = 596

A comparação entre a célula base da figura 4.14 e da figura 4.12 revela que a com 70% de

prescrição de volume, a topologia gerada apresenta barras mais espessas na região de projeto.


A microestrutura formada pela repetição periódica desta célula base é mostrada na figura

4.15, com dezesseis células bases compondo-a.


4.2.3 Terceiro Problema

O problema anterior mostrou-se coerente ao inserir mais material para reforçar o domínio

devido ao aumento da prescrição de volume. Ou seja, era de se esperar que a resposta apre-

sentasse barras mais espessas para suportar o carregamento nessa direção. Assim, é coerente

analisar o caso em que a prescrição é inferior a 60%, nesse caso 50% de restrição, e esperar que

menos material seja adicionado na célula base. O resultado é mostrado na figura 4.16


• D1111 = 97,13 GPa

• Elementos = 550

A célula base apresentada na figura 4.16 mostrou-se coerente conforme esperado, ao dimi-

nuir proporcionalmente material para suportar o carregamento horizontal. A sua microestrutura

é mostrada na figura 4.17.



4.2.4 Quarto Problema

Novamente, pode-se analisar o que acontece quando a quantidade máxima de volume na

região de projeto é diminuida, agora para 40% de restrição. A célula base mostrada na figura

4.18 apresenta-se com menos material do que nas células bases apresentadas anteriormente.


• D1111 = 77,30 GPa

• Elemento = 531

E a microestrutura correspondente devido a repetição periódica da célula base é mostrada

na figura 4.19.



4.2.5 Quinto Problema

Para finalizar essa classe de exemplos, uma restrição de 30% no volume gerou uma topolo-

gia na célula base como mostrada na figura 4.20.


• D1111 = 56,24 GPa

• Elementos = 449

Assim, a microestrutura correspondente a célula base mostrada na figura 4.20 é apresentada

na figura 4.21.


4.3 Problemas com Mudança na Prescrição de Deslocamento 66

4.3 Problemas com Mudança na Prescrição de Deslocamento


A intenção é variar os pesos das funções objetivos nas direções vertical e horizontal e ve-

rificar a topologia gerada na célula base assim como na microestrutura. Assim, com os pesos

w11 = 0.2 e w22 = 0.8 foi gerada a célula base mostrada na figura 4.22:

Figura 4.22: Célula Base 1

DH =

23,2731 0 0

0 155,5683 0

0 0 34,8461

.109

Elementos = 554

Exite uma distribuição preferencial de material na direção onde existe a maior solicitação,

sem comprometer a resistência horizontal. Assim, é posto material de forma menos expressiva

para suportar os carregamentos horizontais. A microestrutura correspondente é mostrada na

figura 4.23:

Figura 4.23: Microestrutura para solicitação preferencial na direção vertical



Os novos pesos dados por w11 = 0.3 e w22 = 0.7 foram responsáveis por modificar a função

objetivo a tal ponto de formar a célula base mostrada na figura 4.24:


DH =

67,8429 0 0

0 94,3675 0

0 0 41,7548

.109

Elementos = 541

A microestrutura correspondente a célula base mostrada na figura 4.24 é apresentada na

figura 4.25:

Figura 4.25: Microestrutura para solicitação preferencial na direção vertical

A distribuição de material, mostrada na figura 4.25, ficou de acordo com o esperado em

comparação com a microestrutura mostrada na figura 4.23, o material foi posto um pouco mais

para suportar o carregamento horizontal em detrimento do vertical.



Agora os pesos foram alterados para w11 = 0.4 e w22 = 0.6 e a célula base apresentada em

4.26 foi gerada. Esse resultado segue a tendência apresentada pelos anteriores, redristibuindo

material para suportar melhor os carregamentos horizontais.


DH =

70,1153 0 0

0 92,9346 0

0 0 42,6130

.109

Elementos = 600

A microestrutura gerada a partir da figura 4.26 é apresentada na figura 4.27. Essa micro-

estrutura apresenta regiões de vazios quase circulares, de forma que evidencia a tendência de

resistir aos carregamentos nas direções horizontal e vertical de forma semelhante.

Figura 4.27: Microestrutura com solicitação preferencial na direção vertical



Por último, é considerado o caso em que as solicitações são iguais, ou seja, w11 = 0.5 e

w22 = 0.5. O resultado da topologia gerada está mostrado na figura 4.28.


DH =

67,8429 0 0

0 94,3675 0

0 0 41,7548

.109

Elementos = 600

A microestrutura correspondente a essa célula base é mostrada na figura 4.29. A micro-

estrutura não é perfeitamente simétrica, pois a resposta é dependente da malha inicial. Uma

malha perfeitamente simétrica poderia tender a resposta a uma direção preferencial. Assim, foi

escolhida uma malha não simétrica para dar mais liberdade ao programa encontrar uma solução

ótima sem um direcionamento na malha inicial.

Figura 4.29: Microestrutura com pesos iguais para as direções horizontal e vertical.

4.4 Problemas com Mudança na Restrição de Volume 70

4.4 Problemas com Mudança na Restrição de Volume


A sequência de problemas apresentada a seguir está relacionada com a restrição de volume,

partindo da restrição de 50%, como mostrado na figura 4.30. O material foi modificado sendo

usado um com módulo de elasticidade longitudinal de 200 GPa e com pesos de w11 = 0.4 e

w22 = 0.6.


DH =

42,2090 0 0

0 74,1671 0

0 0 34,1703

.109

Elementos = 582

A microestrutura correspondente a célula base acima é mostrada na figura 4.31 com su-

portes para sustentar tanto o carregamento na direção horizontal quanto na direção vertical. A

direção vertical está mais reforçada de material.

Figura 4.31: Microestrutura com restrição de volume de 50%.



A célula base gerada com a restrição de 60% é apresentada na figura 4.32. A quantidade de

material preenchendo a região de projeto é maior do que a apresentada na figura 4.30, o que era

de se esperar.


DH =

66,7757 0 0

0 88,4934 0

0 0 40,5713

.109

Elementos = 600

A microestrutura correspondente a essa célula base é apresentada na figura 4.33 mostrando

a repetição da menor estrutura de forma periódica.




A topologia gerada na célula base com restrição de 70% de volume é mostrada na figura

4.34. A célula base é apresentada com mais material do que as mostradas nas figuras 4.32 e

4.30.


DH =

83,8863 0 0

0 108,1020 0

0 0 48,3997

.109

Elementos = 672

A repetição periódica da célula base, figura 4.34, é mostrada na forma de microestrutura na

figura 4.35. Ao invés de diminuir o vazio do exemplo anterior, figura 4.33, a nova microestrutura

é gerada com furos adicionais. Isso mostra a versatilidade da otimização topológica, que por

definição pode gerar furos internos na célula base.




A restrição de 80% de material proporcionou a formação da topologia mostrada na célula

base dada na figura 4.36.


DH =

120,7444 0 0

0 130,4867 0

0 0 55,5223

.109

Elementos = 672

A reprodução periódica desta célula base é dada na microestrutura apresentada na figura

4.37. A quantidade de material nesta microestrutura é maior do que aquele apresentado na

figura 4.35.



4.4.5 Quinto Problema

A célula base apresentada na figura 4.38 é decorrente da restrição de 90% de material na

região de projeto.


DH =

155,9342 0 0

0 168,0456 0

0 0 78,6988

.109

Elementos = 672

Assim, a microestrutura formada devido a reprodução periódica da célula base acima é

apresentada na figura 4.39.


4.5 Classe de Problemas com Vários Valores Iniciais das Densidades Relativas 75

4.5 Classe de Problemas com Vários Valores Iniciais das Den-sidades Relativas


As respostas apresentadas a seguir são obtidas a partir de diferentes valores iniciais das

variáveis de projeto. Todos os outros valores são os mesmos apresentados na Tabela 4.1. As

variáveis de projeto são inicializadas com 0.6.


DH =

70,1138 0 0

0 92,9405 0

0 0 42,5893

.109

Elementos = 600

A microestrutura gerada a partir desses valores iniciais das variáveis de projeto é mostrada

na figura 4.41.

Figura 4.41: Microestrutra partindo de um valor inicial para as variáveis de projeto de 0.6



Ao inicializar as variáveis de projeto com o valor de 0.7, a topologia gerada da célula base

é mostrada na figura 4.42.


DH =

27,9679 0 0

0 106,5139 0

0 0 31,4591

.109

Elementos = 672

A correspondente microestrutura gerada pela repetição periódica da célula base acima é

mostrada na figura 4.43.

Figura 4.43: Microestrutura com um valor inicial para as variáveis de projeto de 0.7



Partindo de valores iniciais das densidades relativas com 0.8, foi possível gerar a topologia

da célula base mostrada na figura 4.44


DH =

28,4426 0 0

0 106,3918 0

0 0 31,4811

.109

Elementos = 672

A reprodução periódica da célula base acima produz a microestrutura mostrada na figura

4.45




Com 0.9 de valores inicias das variáveis de projeto, a topologia da célula base foi gerada e

é apresentada na figura 4.46


DH =

70,1153 0 0

0 92,9347 0

0 0 42,6130

.109

Elementos = 600

A microestrutura gerada a partir da figura 4.46 é mostrada na figura 4.47.


4.6 Problema com Cisalhamento Puro 79

4.6 Problema com Cisalhamento Puro


Com uma restrição de 40% de volume e malha regular inicialmente com 200 elementos, a

célula base foi gerada conforme a figura 4.48


DH =

0,521 0 0

0 0,524 0

0 0 0,707

.103

Elementos = 7338


Figura 4.49: Microestrutura com malha regular de 200 elementos



Com uma restrição de 40% de volume e com malha inicialmente não regular de 450 ele-

mentos, a célula base foi gerada conforme a figura 4.50


DH =

0,523 0 0

0 0,521 0

0 0 0,892

.103

Elementos = 8204


Figura 4.51: Microestrutura com malha irregular de 7652 elementos



Com uma restrição de 60% de volume e com malha inicialmente regular de 200 elementos,

a célula base foi gerada conforme a figura 4.52


DH =

1,043 0 0

0 1,043 0

0 0 0,991

.103

Elementos = 9171


Figura 4.53: Microestrutura com malha irregular de 8134 elementos

4.7 Problema com Deslocamento Prescrito na Horizontal e na Vertical 82

4.7 Problema com Deslocamento Prescrito na Horizontal ena Vertical

Com uma restrição de 40% de volume e malha regular inicialmente com 68 elementos, a

célula base foi gerada conforme a figura 4.54


DH =

33,16 106,78 0

106,78 30,09 0

0 0 4,02

.109

Elementos = 9601


Figura 4.55: Microestrutura com malha regular de 200 elementos

5 Conclusões 83

5 Conclusões

O método da energia de deformação aplicado em microestruturas mostrou-se efetivo na

criação de uma topologia que atendesse as condições de máxima rigidez do problema.

A abordagem proposta resulta em uma formulação muito promissora para o processo de

obtenção de materiais ultra resistentes, ou extremamentes flexíveis.

A técnica de refino h-adaptativo da malha de elementos finitos foi utilizada nos elementos

materiais, e nos elementos vazios com pelo menos um nó dentro do contorno material. Isso

melhorou o contorno da microestrutura otimizada e reduziu o número das variáveis de projeto,

proporcionando menor custo computacional.

O controle da malha de elementos finitos após o refino é feita a partir de um fator de qua-

lidade da malha, e um estimador de erro. Esse procedimento foi suficiente para garantir a

qualidade imposta da malha nos refinos feitos.

Neste trabalho utilizou-se a microestrutura artificial SIMP, na qual a única variável do pro-

jeto é a densidade do material, e em que a descrição das propriedades nos pontos com densi-

dade relativa intermediária são baseadas na relação constitutiva para materiais porosos. Outra

vantagem desta proposta, é que ela permite penalizar a formação de regiões com densidades

intermediárias, o que é desejável para uma melhor interpretação do projeto.

A proposta de otimização somado ao refino h-adaptativo da malha de elementos finitos

proporcionaram topologias com contornos bem definidos e com baixo custo computacional

devido a utilização de elementos finitos com baixa ordem de interpolação.

Referências Bibliográficas

ALBERTINO, D. A. da S. J. Projeto de estruturas ótimas para minimização da massa utilizando

elementos quadrilaterais de quatro nós (trabalho de conclusão de curso). Natal - RN, Maio 2013.

ALLAIRE, G.; JOUVE, F.; TOADER, A. M. Structural optimization using sensitivity analysis

and a level-set method. J Comput Phys, v. 71, p. 363–393, 2004.

ANDREASSEN, E.; LAZAROV, B. S.; SIGMUND, O. Design of manufacturable 3d extremal

elastic microstructure. Mechanics of Materials, v. 69, p. 1–10, 2014.

ANTON, S. R.; SOLDANO, H. A. Structural optimization using sensitivity analysis and a level-

set method. J Comput Phys, v. 16, n. 3, p. R1–R21, Jun 2007.

ARORA, J. S. Introduction to Optimum Design. 2a. ed. New York: McGraw-Hill Book Com-

pany, 2004.

ARROYO, J. E. C. Heurísticas e metaheurísticas para otimização combinatória multi-

objetivo. Tese (Doutorado) — Unversidade Estadual de Campinas - UNICAMP, 2002.

AUGUSTA, M. N.; LEAL, R. Analysis and optimization of heterogeneous materials using the

variational asymptotic method for unit cell homogenization. Composite Structures, 2010.

BAHIA, M. T. Otimização topológica aplicada ao projeto de mecanismos flexíveis (mestrado).

Florianópolis - SC, Novembro 2005.

BELEGUNDU, A. D.; CHANDRUPATLA, T. R. Optimization Concepts and Application in

Engeneering. 2a. ed. New York: Cambridge University Press, 2011.

BENDSØE, M. P. Optimal shape design as a material distribution problem. Structural and

Multidisciplinary Optimization, v. 1, n. 4, p. 193–202, December 1989.

BENDSØE, M. P. Optimization of structural topology, shape, and material. Berlin Heidelberg:

Springer-Verlag, Berlin heidelberg, p. 271, 1995.

BENDSØE, M. P.; KIKUCHI, N. Generating optimal topologies in structural design using a

homogenization method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 71,

p. 197–224, 1988.


BENDSØE, M. P.; SIGMUND, O. Material interpolation schemes in topology optimization.

Archive of Applied Mechanics, v. 69, p. 635–54, 1999.

BENDSØE, M. P.; SIGMUND, O. Topology optimization: Theory, methods and applications.

Springer, 2003.

BRUNS, T. E. Topology optimization of convection-dominated, steady-state heat transfer pro-

blems. Int J Heat Mass Transf, p. 2859–2873, 2007.

CALLISTER, W. D. Materials Science and Engineering. 7a. ed. New York: Wiley, 2007.

CARDOSO, E. L.; FONSECA, J. S. O. Complexity control in the topology optimization of con-

tinuum structures. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Science and Engineering,

v. 25, p. 293–301, 2003.

CAVALCANTI, W. S. COMPÓSITOS POLIÉSTER/TECIDOS TRAMADOS VEGETAL-

VIDRO: CARACTERIZAÇÃO MECÂNICA E SIMULAÇÃO DA SORÇÃO DE ÁGUA.

Tese (Doutorado), Campina Grande - Paraíba, Março 2006.

CHANG, C. L.; CHEN, C. S.; HUANG, C. H.; HSU, M. L. Finite element analysis of the dental

implant using a topology optimization method. Medical Engineering and Physics, v. 34, p.

999–1008, 2012.

CHAVES, L. P.; CUNHA, J. Design of carbon fiber reinforcement of concrete slabs using to-

pology optimization. Construction and Building Materials, v. 73, p. 688–698, 2014.

CHENG, G. D. Introduction to structural optimization: Theory, methods and solution. Lecture

Notes, Dalian University of Technology, 1992.

CHENG, K. T.; OLHOFF, N. An investigation concerning optimal design of solid elastic plates.

Int. J. Solids Structures, v. 17, p. 305–323, April 1981.

COELLO, C. A. C. An updated survey of ga-based multiobjective optimization techniques:

state of the art and future trends. CEC, v. 1, p. 3–13, 1999.

COSTA JUNIOR, J. C. A. C. J. Otimização topológica com Refinos H-adaptativos. Tese

(Doutorado), Florianópolis - SC, Novembro 2003.

COX, H. L. The theory of design. Aeronaut. Res. Council Rep., 1958.

FISH, J.; BELYTSCHKO, T. A First Course in Finite Elements. England: Wiley, 2007.


FOX, R. L. Constraint surface normals for structural synthesis techniques. AIAA Journal, v. 3,

n. 8, 1965.

GUEST, J. K. Optimizing the layout of discrete objects in structures and materials: A

projection-based topology optimization approach. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.,

v. 283, p. 330–351, 2015.

HASSANI, B.; HINTON, E. A review of homogenization and topology optimization i - ho-

mogenization theory for media with periodic structure. Computers and Structure, v. 69, p.

707–717, 1998.

HEMP, W. S. Optimum structures. Oxford: Claredon, p. 123, 1973.

HINTON, E.; SIENZ, J. Fully stressed topological design of structures using an evolutionary

procedure. Eng Comput, p. 229–244, 1995.

HUANG, X.; XIE, Y. M. Convergent and mesh-independent solutions for the bi-diretional evo-

lutionary structural optimization method. p. 1039–1049, 2007.

HUANG, X.; XIE, Y. M. Bi-diretional evolutionary topology optimization of continuum struc-

tures with one or multiple materials. Comput Mech, p. 393–401, 2009.

HUANG, X.; XIE, Y. M. A further review of eso type methods for topology optimization.

Struct Multi Optim, p. 671–683, 2010.

HUANG, X.; XIE, Y. M.; JIA, B.; LI, Q.; ZHOU, S. W. Evolutionary topology optimization

of periodic composites for extremal magnetic permeability and electrical permittivity. Struct

Multi Optim, p. 385–398, 2012.

HUANG, X.; ZHOU, S.; SUN, G.; LI, G.; XIE, Y. M. Topology optimization for microstruc-

tures of viscoelastic composite materials. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., v. 283, p.

503–516, 2015.

JEONG, S. H.; YOON, G. H.; TAKEZAWA, A.; CHOI, D. H. Development of a novel phase-

field method for local stress-based shape and topology optimization. Computers and Structu-

res, v. 132, p. 84–98, 2014.

KANG, H.; LONG, J. P.; GOLDNER, G. D. U.; GOLDSTEIN, S. A.; HOLLISTER, S. J. A

paradigm for the development and evaluation of novel implant topologies for bone fixation:

Implant design and fabrication. Journal of Biomechanics, v. 45, p. 2241–2247, 2012.

KIRSCH, U. Optimal topologies of structures. Appl. Mech. Rev., n. 8, 1989.


KOHN, R. V.; STRANG, G. Optimal design and relaxation of variational problem. Comm.

Pure App. Math., p. 1–25, 1986.

LEMAIRE, E.; ROCHUS, V.; GOLINVAL, J. C.; DUINSYNKS, P. Microbeam pull-in voltage

topology optimization including material deposition constraint. Comput. Meth. Appl. Mech.

Engrg., 2008.

LI, Q.; STEVEN, G. P.; XIE, Y. M. Displacement minimization of thermoelastic structures by

evolutionary thickness design. Comput Methods Appl Mech Eng, p. 361–378, 1999.

LI, Q.; STEVEN, G. P.; XIE, Y. M. Thermoelastic topology optimization for problems with

varying temperature fields. J Thermal Stress, p. 347–366, 2001.

LI, Q.; STEVEN, G. P.; XIE, Y. M.; QUERIN, O. M. Evolutionary topology optimization for

temperature reduction of heat conducting fields. Int J Heat Mass Transf, p. 5071–5083, 2004.

MAXWELL, J. C. On reciprocal figures, frames and diagrams of force. Transactions of the

Royal Society of Edinburgh, v. 26, n. 1, 1872.

MEI, Y. L.; WANG, X. M. A level set method for microstructure design of composite materials.

Acta Mech Solida, p. 239–250, 2004.

MICHALERIS, P.; TORTORELLI, D. A.; VIDAL, C. A. Tangent operators and design sensiti-

vity formulations for transient nonlinear coupled problems with application to elastoplasticity.

Int. J. Numer. Methods Engrg., v. 37, p. 2471–2499, 1994.

MICHELL, A. G. M. The limits of economy of materials in frame structures. Philosophical

Magazine, v. 8, n. 47, p. 589–597, 1904.

MING-HSIU, H.; YEH-LIANG, H. Generalization of two- and three-dimensional structural

topology optimization. Philosophical Magazine, v. 37, p. 83–102, 2005.

MURAT, F.; TARTAR, L. Optimality condition and homogenization in nonlinear variation pro-

blems. Pitman Advanced Publishing Program, v. 37, p. 1–8, 1985.

NAKSHATRALA, P. B.; TORTORELLI, D. A.; NAKSHATRALA, K. B. Nonlinear structural

design using multiscale topology optimization. part i: Static formulation. Comput. Methods

Appl. Mech. Engrg., v. 261, p. 167–176, 2013.

NISHIWAKI, S.; FRECKER, M. I.; MIN, S. J.; KIKUCHI, N. Topology optimization mecha-

nisms using the homogenization method. International Journal For Numerical Methods In

Engineering, John Wiley & Sons Ltd, v. 42, n. 3, p. 535–559, 2001.


NOCEDAL, J.; WRIGHT, S. J. Numerical Optimization. 2a. ed. USA: Springer, 2006.

NOVOTNY, A. A.; FANCELLO, E. A. Um refinamento h, p e hp adaptativo na análise de

flexão de placas semi-espessas. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo

y Diseño en Ingeniería., v. 14, n. 1, p. 25–48, 1998.

PARK, J.; SUTRADHAR, A. A multi-resolution method for 3d multi-material topology. Com-

put. Methods Appl. Mech. Engrg., v. 285, p. 571–586, 2015.

PRAGER, W. A. Note on discretized michell structures. Comput. Mechs. Appl. Mech. Eng.,

v. 3, 1974.

QUERIN, O. M.; YOUNG, V.; STEVEN, G. P.; XIE, Y. M. Computational efficiency and

validation of bi-directional evolutionary structural optimization. Comput. Meth. Appl. Mech.

Engng., v. 189, p. 559–73, 2000.

RODRIGUES, H.; FERNANDES, P. A material based model for topology optimization of ther-

moelastic structures. Int J Numer Methods Eng, p. 1951–1965, 1995.

ROHAN, E.; MIARA, B. Homogenization and shape sensitivity of microstructures for design

of piezoelectric bio-materials. Mech Adv Mater Struct, p. 473–485, 2006.

ROZVANY, G. I. N. Optimality criteria for grids, shells and arches, in optimization of distribu-

ted parameter structures. Proceedings of NATO ASI, 1981.

ROZVANY, G. I. N. Layout theory for grid-type structures. Topology design of structures,

NATO ASI Series, p. 251–272, 1992.

SCHMIT, L. A. Structural design by systematic systhesis. Conference on Eletronic Compu-

tation, ASCE, New York, 1960.

SETHIAN, J. A.; WIEGMANN, A. Structural boundary design via level set and immersed

interface methods. J Comput Phys, p. 489–528, 2000.

SIGMUND, O.; PETERSSON, J. Numerical instabilities in topology optimization: a survey

on procedures dealing with checkerboards, mesh dependencies and local minima. Structural

Optimization, v. 16, p. 68–75, 1998.

SILVA, E. C. N.; FONSECA, J. S. O.; KIKUCHI, N. Optimal design of piezoelectric micros-

tructures. Comput Mech, p. 397–410, 1997.

SVANBERG, K. The method of moving asymptotes a new method for structural optimization.

Int. J. Numer. Methods Engrg., v. 24, p. 359–373, 1987.


TICONA, W. G. C. Algoritmos evolutivos multi-objetivo para a reconstrução de árvores

filogenéticas. Tese (Doutorado) — Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - USP,

São Carlos, 2003.

TORQUATO, S.; HYUN, S.; DONEV, A. Multifunctional composites: optimizing microstruc-

tures for simultaneous trasnport of heat and electricity. Phys. Rev. Lett., 2002.

TORQUATO, S.; HYUN, S.; DONEV, A. Optimal design of manufacturable three-dimensional

composites with multifunctional characteristics. J. Appl. Phys., p. 5748–5755, 2003.

VATANABE, S. L.; PAULINO, G. H.; SILVA, E. C. N. Design of functionally graded piezocom-

posites using topology optimization and homogeneization - toward effective energy harvesting

materials. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., v. 266, p. 205–218, 2013.

WANG, M. Y.; WANG, X.; GUO, D. A level set method for structural topology optimization.

Comput. Methods Appl. Mech. Eng., I Congresso Sul Catarinense de Computação, p. 227–

246, 2003.

WEIHONG, Z.; DAI, G.; WANG, F.; SUN, S.; BASSIR, H. Using strain energy-based predic-

tion of effective elastic properties in topology optimization of material microstructures. Sprin-

ger, v. 23, p. 77–89, 2007.

XIA, L.; BREITKOPF, P. Concurrent topology optimization design of material and structure

within fe nonlinear multiscale analysis framework. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.,

v. 278, p. 524–542, 2014.

XIA, L.; BREITKOPF, P. A reduced multiscale model for nonlinear structural topology optimi-

zation. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., v. 280, p. 117–134, 2014.

XIA, Q.; WANG, M. Y. Topology optimization of thermoelastic structures using level set

method. Comput Mech, v. 42, p. 837–857, 2008.

XIE, Y. M.; STEVEN, G. P. A simple evolutionary procedure for structural optimization. Com-

put. Struct., p. 885–896, 1993.

XIE, Y. M.; STEVEN, G. P. Evolutionary structural optimization. Springer, 1997.

YAN, X.; HUANG, X.; ZHA, Y.; XIE, Y. M. Concurrent topology optimization of structures

and their composite microstructures. Computers and Structures, v. 133, p. 103–110, 2014.

YOO, J.; HONG, H. A modifield density approach for topology optimization in magnetic fields.

Int. J. Solids Struct., p. 2461–2477, 2004.


ZHANG, W.; DAI, G.; WANG, F.; SUN, S.; BASSIR, H. Using strain energy-based prediction

of effective elastic properties in topology optimization of material microstructures. Springer,

v. 23, p. 77–89, 2007.

ZHOU, S.; CADMAN, J.; CHEN, Y.; LI, W.; XIE, Y. M.; HUANG, X.; APPLEYARD, R.;

SUN, G.; LI, Q. Design and fabrication of biphasic cellular materials with transport properties

- a modified bidirectional evolutionary structural optimization procedure and matlab program.

International Journal of Heat and Mass Transfer, v. 55, p. 8149–8162, 2012.

ZHOU, S.; LI, Q. A microstructure diagram for known bounds in conductivity. J. Mater. Res.,

p. 798–811, 2008.

ZHOU, S.; ROZVANY, G. I. N. The coc algorithm, part ii: topological, geometry and generali-

zed shape optimization. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., p. 197–224, 1991.

ZIENKIEWICZ, O. C.; ZHOU, J. Z. The three r’s of engineering analysis and error estimation

and adaptivity. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg, v. 82, p. 95–113, 1990.

ANEXO A -- Resultados Testes do Processo de Otimização

A.1 Máxima rigidez horizontal 92

A.1 Máxima rigidez horizontal

Quando se deseja obter a máxima rigidez numa certa direção, é preciso especificar quais são

os pesos dados à função multiobjetivo. Se uma única direção for especificada para a máxima

energia de deformação, então os pesos, para a mínima flexibilidade na direção horizontal podem

ser dados por w11 = 1 w22 = 0, em que na função objetivo representada pelo problema de

minimização da flexibilidade na direção horizontal será atribuído o valor de w11 e para a direção

vertical, o valor de w22. A figura (A.1) representa a condição de contorno imposta quando a

máxima rigidez é necessária para a direção horizontal. Essa condição de contorno é colocada

de forma a existir um deslocamento de um centésimo de unidades de comprimento.

Figura A.1: Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento horizontal

O processamento é feito apenas na quarta parte da região de projeto, isso porque o sistema

apresenta uma simetria que possibilite isso. Na figura (A.2), o contorno da interface entre

material e vazio fica mais bem definido após o melhoramento da malha.

Figura A.2: Quarta parte da região de projeto do problema de microestruturas com deslocamentohorizontal

A.1 Máxima rigidez horizontal 93

Embora haja uma melhor definição entre a região com e sem material, esses elementos

finitos refinados geram maior custo computacional ao sistema. No entanto, a técnica utilizada

possui alta eficiência porque não refina todos os elementos, mas apenas aqueles em que existe

material e na sua vizinhança.

Figura A.3: Quarta parte da região de projeto do problema de microestruturas com deslocamentohorizontal

Após o terceiro nível de refino, a figura (A.3) mostra uma região de contorno bem mais

definida do que as apresentadas na figura (A.2).

Figura A.4: Célula base para uma solicitação puramente horizontal

A célula base mostrada na figura (A.4) é feita após o espelhamento da topologia obtida na

figura (A.3) para os outros três quadrantes. E a microestrutura, figura (A.5), é mostrada a partir

da união de quatro células bases. É importante frisar que a microestrutura pode ser formada por

mais do que quatro células base.

A.2 Máxima rigidez vertical 94

Figura A.5: Microestrutura para uma solicitação puramente horizontal

A.2 Máxima rigidez vertical

Quando se deseja obter a máxima rigidez numa certa direção, é preciso especificar quais são

os pesos dados à função multiobjetivo. Se uma única direção for especificada para a máxima

energia de deformação, então os pesos, para a mínima flexibilidade na direção vertical podem

ser dados por w11 = 1 w22 = 0, em que na função objetivo representada pelo problema de

minimização da flexibilidade na direção vertical será atribuído o valor de w11 e para a direção

vertical, o valor de w22. A figura (A.6) representa a condição de contorno imposta quando a

máxima rigidez é necessária para a direção vertical. Essa condição de contorno é colocada de

forma a existir um deslocamento de um centésimo de unidade de comprimento.

Figura A.6: Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento vertical


O processamento é feito apenas na quarta parte da região de projeto, isso porque o sistema

apresenta uma simetria que possibilite isso. Na figura (A.7), o contorno da interface entre

material e vazio fica mais bem definido após o melhoramento da malha.

Figura A.7: Região de projeto do problema de microestruturas com deslocamento vertical

Embora haja uma melhor definição entre a região com e sem material, esses elementos

finitos refinados geram maior custo computacional ao sistema. No entanto, a técnica utilizada

possui alta eficiência porque não refina todos os elementos, mas apenas aqueles em que existe

material e na sua vizinhança.

Figura A.8: Região de projeto do problema de microestruturas com deslocamento vertical

Após o terceiro nível de refino, a figura (A.8) mostra uma região de contorno bem mais

definida do que as apresentadas na figura (A.7).

A célula base mostrada na figura (A.9) é feita após o espelhamento da topologia obtida na

figura (A.8) para os outros três quadrantes. E a microestrutura, figura (A.10), é mostrada a partir


Figura A.9: Célula base para uma solicitação puramente vertical

da união de quatro células bases. É importante frisar que a microestrutura pode ser formada por

mais do que quatro células.

Figura A.10: Microestrutura para uma solicitação puramente vertical

A.3 Máxima rigidez horizontal e vertical 97

A.3 Máxima rigidez horizontal e vertical

Figura A.11: Condições de contorno do problema de microestruturas com deslocamento horizontal evertical

A.3.1 Primeiro Problema

A figura (A.12) mostra a quarta parte da microestrutura gerada com o objetivo de propor-

cionar um material compósito com a máxima rigidez tanto na direção horizontal quanto na

vertical com pesos iguais a w11 = 0.5 e w22 = 0.5. A topologia foi gerada com uma malha po-

bre, ou seja, com poucos elementos finitos, assim, a resposta não foi suave, mas mesmo assim,

proporcionou uma clara separação entre a região com e sem material.

Figura A.12: Quarta parte da célula base gerada com a malha inicial de elementos finitos


Uma melhor definição ocorreu após o refino adaptativo da malha de elementos finitos, isso

proporcionou uma melhor suavidade na interface entre a região com material e sem material

como mostrado na figura (A.13).

Figura A.13: Quarta parte da célula base gerada após o primeiro refino da malha de elementos finitos

O último nível de refino da malha de elementos finitos gerou a topologia mostrada na figura

(A.14) com melhor contorno na interface cheio vazio do que nas figuras (A.12) e (A.13). Ob-

serve que o refino ocorre na região onde existe material e na sua vizinhança. Isso faz com que o

custo computacional seja menor pois a dimensão da matriz de rigidez global diminui, fazendo

com que haja menos cálculos na resolução do sistema linear.

Figura A.14: Quarta parte da célula base gerada após o segundo refino da malha de elementos finitos


A figura (A.15) mostra a célula base formada a partir da reprodução da resposta simétrica

apresentada na figura (A.14). A resposta não apresenta-se perfeitamente simétrica porque os

elementos finitos foram postos a serem distribuídos de forma assimétrica, para evitar com que

houvesse uma direção preferencial para a resposta. A distribuição de elementos finitos na malha

de forma simétrica, conhecida como isomesh, proporciona esse direcionamento, mas dificulta o

solver encontrar respostas assimétricas. Assim a forma randômica de distribuição de elementos

finitos foi escolhida para deixar com que o programa desenvolvido na parte de processamento

tivesse mais liberdade para encontrar respostas tanto simétricas quanto não simétricas.

Figura A.15: Célula base com a malha de elementos finitos refinada

A microestrutura formada pelas células base dadas pela figura (A.15) mostradas na figura

(A.16) foi apresentada ainda com a malha de elementos finitos para mostrar que essa resposta

só seria obtida com essa qualidade se houvesse uma malha de elementos finitos muito refinada

caso o problema fosse rodado sem utilizar a simetria do problema.


Figura A.16: Microestrutura gerada a partir da repetição periódica da célula base

A microestrutura gerada é apresentada na figura (A.17) com e sem a delimitação da topolo-

gia gerada com um quarto de simetria na célula base. Observe que quanto mais a microestrutura

é reproduzida, maior é a definição entre a região com e sem material.

Figura A.17: Microestrutura com e sem a definição da quarta parte gerada inicialmente


A.3.2 Segundo Problema



vertical com pesos iguais a w11 = 0.1 e w22 = 0.9. A topologia foi gerada com uma malha po-

bre, ou seja, com poucos elementos finitos, assim, a resposta não foi suave, mas mesmo assim,

proporcionou uma clara separação entre a região com e sem material.


Uma melhor definição ocorreu após o refino adaptativo da malha de elementos finitos, isso

proporcionou uma melhor suavidade na interface entre a região com material e sem material

como mostrado na figura (A.19).

Figura A.19: Quarta parte da célula base gerada após o primeiro refino da malha de elementos finitos


O último nível de refino da malha de elementos finitos gerou a topologia mostrada na figura

(A.20) com melhor contorno na interface cheio vazio do que nas figuras (A.18) e (A.19). Ob-

serve que o refino ocorre na região onde existe material na sua vizinhança. Isso faz com que o

custo computacional seja menor pois a dimensão da matriz de rigidez global diminui, fazendo

com que haja menos cálculos na resolução do sistema linear.

Figura A.20: Quarta parte da célula base gerada após o segundo refino da malha de elementos finitos

A figura (A.25) mostra a célula base, com e sem a malha de elementos finitos, formada

a partir da reprodução da resposta simétrica apresentada na figura (A.20). A resposta não

apresenta-se perfeitamente simétrica porque os elementos finitos foram postos a serem dis-

tribuídos de forma assimétrica, para evitar com que houvesse uma direção preferencial para a

resposta. A distribuição de elementos finitos na malha de forma simétrica, conhecida como iso-

mesh, proporciona esse direcionamento, mas dificulta o solver encontrar respostas assimétricas.

Assim a forma randômica de distribuição de elementos finitos foi escolhida para deixar com

que o programa desenvolvido na parte de processamento tivesse mais liberdade para encontrar

respostas tanto simétricas quanto não simétricas.


Figura A.21: Célula base com e sem a malha de elementos finitos refinada

A microestrutura formada pelas células base, dadas pela figura (A.26), mostradas na figura

(A.25) foi apresentada ainda com a malha de elementos finitos para mostrar que essa resposta

só seria obtida com essa qualidade se houvesse uma malha de elementos finitos muito refinada

caso o problema fosse rodado sem utilizar a simetria do problema.


A microestrutura gerada é apresentada na figura (A.23), em que existe mais material re-

forçando a direção vertical do que a horizontal. Observe que quanto mais a microestrutura é

reproduzida, maior é a definição entre a região com e sem material.


Figura A.23: Microestrutura com maior solicitação na vertical do que na horizontal

A.3.3 Terceiro Problema

A figura (A.24) mostra a quarta parte da microestrutura gerada com o objetivo de proporcio-

nar um material compósito com a máxima rigidez tanto na direção horizontal quanto na vertical

com pesos iguais a w11 = 0.01 e w22 = 0.99. A topologia foi gerada inicialmente com uma ma-

lha pobre, ou seja, com poucos elementos finitos, assim, a resposta não foi suave, mas mesmo

assim, proporcionou uma clara separação entre a região com e sem material.



Em seguida, uma melhor definição ocorreu após o refino adaptativo da malha de elementos

finitos. Isso proporcionou uma melhor suavidade na interface entre a região com material e sem

material. O último nível de refino da malha de elementos finitos gerou a topologia com melhor

contorno na interface cheio vazio do que nos refinos anteriores. Observe que o refino ocorre

na região onde existe material e na sua vizinhança. Isso faz com que o custo computacional

seja menor pois a dimensão da matriz de rigidez global diminui, fazendo com que haja menos

cálculos na resolução do sistema linear.












(A.25), é apresentada mostrando o reforço material na direção vertical em detrimento da hori-

zontal. Observe que quanto mais a microestrutura é reproduzida, maior é a definição entre a

região com e sem material.



A.3.4 Quarto Problema



vertical com pesos iguais a w11 = 0.003 e w22 = 0.997. A topologia foi gerada inicialmente

com uma malha pobre, ou seja, com poucos elementos finitos, assim, a resposta não foi suave,

mas mesmo assim, proporcionou uma clara separação entre a região com e sem material.














A.3.5 Quinto Problema

A figura (A.30) mostra a quarta parte da microestrutura gerada com o objetivo de proporcio-

nar um material compósito com a máxima rigidez tanto na direção horizontal quanto na vertical

com pesos iguais a w11 = 0.0035 e w22 = 0.9975. A topologia foi gerada inicialmente com

uma malha pobre, ou seja, com poucos elementos finitos, assim, a resposta não foi suave, mas

mesmo assim, proporcionou uma clara separação entre a região com e sem material.
















A.3.6 Comparação entre as células bases e microestruturas formadas

Os diversos problemas apresentados nas subseções A.3.2, A.3.3, A.3.4 e A.3.5 produziram

como respostas as topologias das células bases mostradas na Figura A.33.

Figura A.33: Células base e suas respectivas microestruturas

Essa figura mostra um claro aumento na espessura horizontal conforme a solicitação na

direção vertical aumenta, isso implica um reforço de material para suportar o carregamento

nessa direção. No problema multiobjetivo, essa direção preferencial foi obtida com um aumento

do peso w22 relacionado a direção vertical e uma proporcional redução do peso w11 referente a

direção horizontal.

Tabela A.1: Microestruturas para a máxima rigidez horizontal e para a máxima rigidez verticalrespectivamente

A.4 Otimização para Diferentes Valores Iniciais das Variáveis de Projeto 111

Não é necessário fazer o mesmo procedimento através de um aumento gradual do peso w11

e diminuição do w22, pois como o problema exibe simetria, os resultados seriam semelhan-

tes aos apresentados na Figura A.33, logicamente rotacionados de 90 graus, como o exemplo

apresentado na Tabela A.1.

A.4 Otimização para Diferentes Valores Iniciais das Variá-veis de Projeto

Em problemas de otimização, a mudança do ponto de partida inicial pode resultar em di-

ferentes projetos ótimos. Assim, a partir dos dados da tabela 4.1, serão obtidas as topologias

para uma solicitação de 70% na horizontal e de 30% na vertical para diferentes valores iniciais

das variáveis de projeto. Esses valores para os pesos da função multiobjetivo foram escolhi-

dos aleatoriamente, de forma que é possível escolher quaisquer valores para relacionar com as

direções horizontal e vertical.

Figura A.34: Células base e suas respectivas microestruturas com valor inicial de 0.1 a 0.4

Os resultados apresentados nas Figuras A.34 e A.35 mostram uma pequena variação entre

as respostas mostradas através das células base otimizadas. Como o solver desenvolvido na

parte de processamento é para otimização local, a resposta apresentada indica que o problema

pode ser convexo. Como a topologia da célula base permaneceu praticamente a mesma para

todos os valores iniciais das variáveis de projeto propostos, de 0.1 a 0.8, as suas microestruturas

correspondentes tiveram o mesmo formato em todos os valores iniciais.

A.5 Otimização para Diferentes Valores da Restrição de Volume 112


A.5 Otimização para Diferentes Valores da Restrição de Vo-lume

A restrição de volume é o que faz com que o solver não coloque material em toda a região de

projeto. Sem ela, logicamente, o domínio seria todo preenchido de material de forma a garantir

que a estrutura seja a mais rígida possível. Isso é possível observar na tendência apresentada nas

Figuras A.36 e A.37. O material que foi depositado na célula base possui módulo de elasticidade

longitudinal de 200 GPa e coeficiente de Poisson de 0,3. Os pesos foram modificados para 60%

na direção horizontal e 40% para a vertical. Todos esses valores foram escolhidos de forma

aleatória, para mostrar que a metodologia apresentada pode ser utilizada para qualquer material,

sendo imposto qualquer valor dos pesos para as solicitações.

A.5 Otimização para Diferentes Valores da Restrição de Volume 113



ANEXO B -- Método de Direção de Descida

O Método do Lagrangeano Aumentado faz com que o problema se reduza a uma sequência

de problemas de Otimização Topológica com restrições do tipo caixa, a qual é resolvida por um

método de projeção de segunda ordem que usa um Método de Quasi-Newton sem memória. A

direção de descida é mostrada aqui.

B.1 Método do Gradiente Projetado

O método de projeção a ser considerado é caracterizado por iterações cujos movimentos

são nas direções de descida, os quais são restringidos a residirem em domínios poliédricos.

Conseqüentemente os pontos obtidos ao longo do processo iterativo são factíveis e o valor da

função objetivo decresce constantemente.

Para descrever o processo, considera-se o seguinte problema de otimização com restrições

do tipo caixa:

Minimizar

f (x) (B.1)

sujeito a

xin fi ≤ xi ≤ xsup

i (B.2)

com i = i, ...,m.

Seja xk um ponto factível, da k-ésima iteração do problema de otimização, o qual tem

associado q restrições de desigualdades ativas. Definem-se por restrições ativas, as restrições

de desigualdade lateral que satisfazem:

B.1 Método do Gradiente Projetado 115

|xi− xin fi |< tolg (B.3)

ou

|xsupi − xi|< tolg (B.4)

com i = 1, ...,m.

As restrições laterais podem ser expressas como:

g2i−1(x) = xin fi − xi ≤ 0; (B.5)

g2i(x) = xi− xsupi ≤ 0; (B.6)

em que

∂g2i−1

∂x j=−δi j (B.7)

∂g2i

∂x j= δi j (B.8)

A matriz [Nq] é definida como aquela que compreende os gradientes das restrições ativas,

assim:

[Nq] = [Ogi1... · · · ...Ogiq] (B.9)

O método do gradiente projetado consiste basicamente em partir de xk e determinar xk+1

através de uma iteração do tipo de descida:

xk+1 = xk +αksk (B.10)

em que αk é o passo ótimo na direção de descida sk, em relação a k-ésima iteração. Assim, o

problema resume-se em determinar uma direção de descida s que produza a máxima diminuição

em f (x) para um passo unitário, (‖s‖M =√

s · [M]s = 1), no subespaço das restrições ativas.

B.2 Aproximação de Quasi-Newton 116

B.2 Aproximação de Quasi-Newton

A aproximação da matriz Hessiana é dada por [M]. A sua inversa é [S] = [M]−1, e a direção

de descida é

[SBFGSk+1 ] = [SBFGS

k ]+

(1+

yk · [SBFGSk ]yk

dk ·yk

)[dk⊗dk]

dk ·yk−

[dk⊗yk][SBFGSk ]

dk ·yk−

[yk⊗dk][SBFGSk ]

dk ·yk(B.11)

Se dk ·O f k ≤−(epsilon)12‖dk‖2‖O f k‖2, senão [SBFGS

k+1 ] = [I]. Aqui, faz-se: yk = O fk+1−O fk

e dk = xk+1−xk.

ANEXO C -- Funções de Forma dadas pelo MEF

A função de aproximação utilizada para cada elemento finito triangular de três nós é dada

por uma função das coordenadas x e y:

θe(x,y) = α

e0 +α

e1x+α

e2y. (C.1)

em que αei são parâmetros arbitrários [FISH; BELYTSCHKO, 2007]. A equação C.1 pode ser

escrita na forma matricial como mostrada abaixo:

θe(x,y) = [1 x y][αe

0 αe1 α

e2]

T (C.2)

θe(x,y) = p(x,y)αααe (C.3)

Para construir as funções de forma, deve-se considerar os valores nos nós:

θe1(x,y) = α

e0 +α

e1xe

1 +αe2ye

1. (C.4)

θe2(x,y) = α

e0 +α

e1xe

2 +αe2ye

2. (C.5)

θe3(x,y) = α

e0 +α

e1xe

3 +αe2ye

3. (C.6)

Matricialmente, pode-se escrever da seguinte forma:

θ e

1

θ e2

θ e3

=

1 xe

1 ye1

1 xe2 ye

2

1 xe3 ye

3

αe0

αe0

αe0

Anexo C -- Funções de Forma dadas pelo MEF 118

De forma mais compacta:

de = Meααα

e (C.7)

O inverso da equação C.7 pode ser escrita de forma a resultar nos parâmetros em termos

dos valores nodais:

αααe = (Me)−1de (C.8)

Assim,

θe(x,y) = p(x,y)(Me)−1de (C.9)

Então as funções de forma são dadas por:

Ne(x,y) = p(x,y)(Me)−1 = [Ne1(x,y) Ne

2(x,y) Ne3(x,y)] (C.10)

DESENVOLVIMENTO DA CÉLULA BASE DE MICROESTRUTURAS ... · Nascimento que me proporciona vários...

Documents

Transcript of DESENVOLVIMENTO DA CÉLULA BASE DE MICROESTRUTURAS ... · Nascimento que me proporciona vários...