Apostila de Clculo II 1 Apostila de Clculo II Antiderivada e Integral Indefinida Uma antiderivada ou primitiva da funo f no intervalo [a,b], uma funo F, tal que: dF () = () para todo x [a,b]x fx dx Notao de Leibniz: Outra notao empregada para designar a operao de primitivao de uma funo f , no intervalo [a,b] , notao de Leibniz. O smbolo ( esse alongado de soma ), o sinal da integral. d (f(x) dx)= f ( x )dx Exemplo: Se a derivada em relao a x da funo f (x) = x2+4 df = f '(x) = Dx f (x) = 2x + 0 = 2x ,dx df 2ento: Uma primitiva de = 2x f(x)=x2 +0 =x;dx outra primitiva f(x)=x22 , outra primitiva f(x)=x2+3 , 2 Apostila de Clculo II 3 Assim, a funo f ( x ) = x2 + C primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C uma constante arbitrria, chamada constante de integrao. Variando o valor de C, obtm-se uma infinidade de primitivas. A integral f ' (x)dx = f(x) + C , chamada integral indefinida e representa uma famlia de primitivas. No caso, f(x) = x2 + C uma famlia de parbolas. Numa famlia de curvas, os seus grficos diferem entre si apenas por uma translao vertical . Significado geomtrico da constante de integrao C : Geometricamente: a constante de integrao C, representa a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo 0y. x y y = f (x ) + C1 y = f (x ) + C2 C1 y = f (x ) + C3 y = f ( x ) + C4 C3 C2 C4Apostila de Clculo II Propriedades da integral indefinida: C f(x)dx = C f(x)dx, onde C ; [f(x) g(x)]dx =f(x) dx g(x) dx Tabela das integrais indefinidas fundamentais: Definio: Seja I R; a funo G uma primitiva de em I, se e somente se: ( ) ( ) Ixparaxf dx Gxd "= 1. 1nparaC 1n u u du 1n n - + + = + 2 +== - Cln u u duduu 1 3 += Calna dua uu += Cee du uu 4 Csenucosu du += 5 += - Ccosusenu du 6 Ctg uu dusec 2 += 7 += - Ccot g ucosec u du2 8 Csec usec u. tgu du += 9 += - Ccos sec ucos sec u . cot gu du 10 Carc cosuCarc senu u1 du 2 += - += - CucosCusen u1 du 11 2 += - += - -- ou 11 Carc cot guCarc tg u u1 du 2 += -+= + Cucot gCutg u1 du 11 2 += -+= + -- ou 4 Apostila de Clculo II Obs: f -1 (x) indica funo inversa de f (x). MTODOS DE INTEGRAO: 1) Integrao por Mudana de Diferencial As frmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois no se pode us-las diretamente para calcular integrais como por exemplo x + 1 dx . Pode-se usar o seguinte artifcio para resolv-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a 3 1 2 2mudana de varivel fica-se com u = u + C . Voltando a varivel inicial 3 2 x + 1 dx = 2 (x + 1)32 + C. 3 Aps fazer a substituio u = g (x) pode ser necessrio inserir um fator constante k no integrando para se obter uma forma adequada f(u) du . Deve-se 1multiplicar por para manter a igualdade. k Exerccio Resolvido: Calcular dx75x + Seja u= 5x + 7 e du= 5 dx . Como du contm o fator 5, a integral a resolver no est na forma f(u) du . Pode-se fazer ento 1 1 5 x + 7 dx = 5 x + 7 .5 . dx = . 5 x + 7 . 5 dx . Agora tem se 5 5 3 u du = 1 21 1 u2 . Voltando a varivel original 5x + 7 dx = 2 (5x + 7)3 + C 5 53 15 2 5 Apostila de Clculo II Exerccios: Calcular as integrais: 1) cos 4x dx 732) (2x + 1) dx x2 -13) 6 dx 3(x - 3x + 1) 4) dxx6-7.x 3 2 5) dx x xcos 6) cos35x.sen5x dx 1 -3 1 7) 1+ dx x x2 8) sen (1+ 6x) dx sen 4x9) dx cos 2x 110) dx tg 4x . sen 4x 2) Integrao por Substituio Algbrica Este mtodo consiste em substituir uma expresso por uma varivel, com a finalidade de eliminar um radical, eliminar adies e subtraes do denominador, etc. O problema resolvido na nova varivel. Exerccio Resolvido: 6 Apostila de Clculo II 9xCalcular a integral I = dx 3x - 2 t + 2 dtFazendo 3x - 2 = t \ x = dx = 33 t + 2 9 3 dt t dt\I = = dt + 2 = t + 2 lnt + c t3t t Voltando para a varivel x: 9xI= dx = 3x 2 + 2 ln (3x 2 ) + c 3x - 2 1) Mtodo da Integrao por Partes Sejam u e v duas funes de x. Da frmula da derivada do produto, tem-se que: d(u.v) = u dv + v du u dv = d(u.v)-v du u dv =d (u.v) -vdu Esta tcnica de integrao consiste em substituir a integral que se deseja calcular por outra integral, de preferncia mais simples do que a integral original. A primeira coisa a ser feita na aplicao desta frmula a escolha para os termos u e dv, que deve seguir os seguintes critrios. a) Voc deve ser capaz de calcular a integral dv para encontrar a expresso de v. Se no conseguir calcular esta integral, faa outra escolha para u e dv. 7 Apostila de Clculo II b) Voc dever obter uma integral v duque seja mais simples ou pelo menos semelhante integral original; afinal de contas, esta a integral que voc efetivamente calcular. Em geral, a integral v duser mais simples quando a expresso u simplificada pela diferenciao. Exemplos: 1) Calcular a integral x ex dx. No use as expresses u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa do que a original; use as expresses u=x e dv=ex dx e o problema se resolve facilmente. Ento: u = x dv= ex dx du = dx v =ex dx = ex xxxxx xx .e dx= x.e -e dx = x.e - e + C= e (x -1)+ C 2) Calcular a integral x sen x dx Basta usar as expresses u=x e dv = sen x dx u = x dv= sen x dx du = dx v =- cos x x .sen x dx = -x.cos x-cos x dx = -x.cos x - sen x + C 3) Calcular a integral x2 e3x dx 8 Apostila de Clculo II Use as expresses u = x2 edv= e3x dx ; neste caso a integral subsequente dever ser calculada aplicando-se novamente a frmula de integrao por partes. u = x2 dv= e3x dx 3x 13xdu = 2x dx v =e dx = e 3 23x 213x 1 3x 213x2 3xx .e dx = x.e - e 2x dx = x.e - x e dx 33 33 Reaplica-se o mtodo na integral do ltimo termo x e3xdx: u = x dv= e3x dx 3x 13xdu = dx v =e dx = e 3 3x 13x 1 3x 13x13xx .e dx = x. e - e dx = x. e - e. 33 39 A integral inicial fica: 23x 213x2 3x23xx .e dx = x.e - x e + e + C 39 27 Exerccios: Calcular as integrais: 1) x.cos x dx 2) x .e2x dx 9 Apostila de Clculo II 3) ln x dx 4) x .sec2x dx 5) x .e-x dx6) x .e-3x dx7) ex .sen x dx 2) Mtodo da Integrao por Substituies Trigonomtricas Se o integrando contm expresses das formas nn2222 22(a - x )(x - a ) ou (a + x )n , tente fazer substituies imediatas (do tipo 2222 2u=a-x, u=x-aou u=a+x2), que sero teis desde que hajam outros termos no integrando que simplifiquem a nova integral. Se no for este o caso, proceda da seguinte forma para realizar uma substituio trigonomtrica: a) Desenhe um tringulo retngulo. b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do tringulo retngulo; lembre-se de que um dos lados do tringulo dever representar uma das expresses ( ) ( ) ( )222222 xaouax,xa +-- que aparecem na sua integral. c) Use as definies das funes trigonomtricas e obtenha a substituio correspondente. Temos os seguintes tipos de substituies: 10 Apostila de Clculo II 22(a) Se no integrando aparece a expresso (a - x )n , use a substituio: 22x = a sen . , dx = acos . d. e (a - x )= a cos . . 22Substituio trigonomtrica: x = a sen . , dx = acos . d. e (a - x )= a cos . . 22(b) Se no integrando aparece a expresso (x - a )n , use a substituio 22x = a sec . , dx = a sec . tg . d. e (x - a )= a tg . . 22Substituio trigonomtrica: x = a sec . , dx = a sec . tg . d. e (x - a )= a tg . 22(c) Se no integrando aparece a expresso (a + x )n , use a substituio 2 ( 22x = a tg . , dx = a sec . d. ea + x )= a sec . . 2 ( 22Substituio trigonomtrica: x = a tg . , dx = a sec . d. ea + x )= a sec . 11 Apostila de Clculo II No h necessidade de memorizar todas estas substituies; basta desenhar o tringulo apropriado e ler as expresses correspondentes na figura. Resolvidos 11) Calcular a integral ( ) dx x16x 22 - Faz-se a substituio x = 4 sen . , com dx = 4 cos . d. e 16-x2 = 4 cos. 1 1 111 ( dx = 2 .4 cos . d. = 2d. =cossec2. 22x 16 - x )(16. sen .). 4 cos . 16 sen . 16 1 = -cotg . 16 16 - x2 Voltando a varivel original 12) Calcular a integral ( ) ( ) C x16 1 -dx x16x 1 22 += - dx x4 2 + Faz-se a substituio x = 2 tg . , com dx = 2 sec2 . d. e4 + x2 = 2 sec . . 11 2 dx = 2 sec . d. =sec . d. = ln sec. + tg. + C. 2 2 sec .4 + x 1 4 + x2 xVoltando a varivel original dx = ln + + C 224 + x2 3) Calcular a integral x dx9x2 - Faz-se a substituio x = 3 sec . , com dx = 3 sec . tg . d. e x2 + 9 = 3 tg . . 12 Apostila de Clculo II x2 - 9 3tg . 22 2 dx= 3 sec. tg. d. = 3 tg . d. = 3 (sec . -1)d. = 3sec . d. - 3d. = x 3 sec . = 3 tg. - 3 . x2 - 9 xVoltando a varivel original dx= x2 - 9 - 3arcsen + C x 3 Exerccios: Calcular as integrais: dx dx dx3) 3 2(6 - x )2 14) dx 81+ x2 1 dx 1) 2x-16 2) - 25x2 5) dx 362 -x 6) + 2x1x 13 Apostila de Clculo II 4) Mtodo de Integrao: Decomposio em Fraes Parciais Apresenta-se uma seqncia de passos que se usam para calcular integrais de funes racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q so polinmios em x e o grau de p estritamente menor do que o grau de q (funes racionais prprias). A tcnica de integrao de funes racionais por fatorao em fraes parciais dividida em dois casos: linear e quadrtico. Caso linear Trata-se do caso em que o denominador fatorvel em diferentes fatores lineares (repetidos ou no). 5 x3 -6 x2-68 x -16Consideremos a integral 3 2 dx. x -2 x -8 x 1) Reduza as funes racionais imprprias a fraes prprias atravs de diviso. Por 5 x3 -6 x2 -68 x -16exemplo, a funo racional imprpria, pois o grau do x3 -2 x2 -8 x numerador igual ao grau do denominador. Fazemos ento a diviso e obtemos 32 25 x -6 x -68 x -16 4 x -28 x -16 = 5 + . A integral transforma-se em 32 32x -2 x -8 x x -2 x -8 x 32 25 x -6 x -68 x -16 4 x -28 x -16 dx = 5 + dx , cuja primeira parcela trivial. 32 32x -2 x -8 x x -2 x -8 x Concentramo-nos agora na frao prpria, que est preparada para ser fatorada em fraes parciais. 2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3-2x28x=x(x-4)(x+2). 3) Decomponha a funo racional em uma soma de funes racionais bsicas 4 x2 -28 x -16atravs de fraes parciais. No caso da funo racional 3 2 basta x -2 x -8 x 4 x2-28 x -16 A B C escrever = 32 ++ . Usando algum mtodo para resolver x -2 x -8 x x x-4 x + 2 esta equao (por exemplo, calculando a soma das parcelas do lado direito e 14 Apostila de Clculo II resolvendo o sistema de equaes lineares que se obtm igualando termos de mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3. 4) Se o denominador de uma funo racional bsica da forma (ax+b), use a substituio u=(ax+b). Neste exemplo, temos 4 x2 -28 x -16 2 83 143 5 + 32 dx =5 dx + - + dx e esta ltima integral se x -2 x -8 x x x-4 x + 2 resolve facilmente usando as substituies indicadas para cada parcela. 5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k, use k fraes parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral 3 x2 + 4 x + 2 2 dx usamos a decomposio em fraes parciais, que tem a forma x(x + 1) 3 x2 + 4 x + 2AB1 B2 2 ++ . Resolvendo esta equao, obtemos A=2, B1=1, = x(x + 1) xx + 1 (x + 1)2 3 x2 + 4 x + 2 21 1 B2=-1. Portanto, temos dx = +- 2 dx e esta ltima x(x + 1)2 xx + 1 (x + 1) integral se resolve facilmente atravs de substituies indicadas (u=ax+b) para cada parcela. Caso quadrtico Trata-se do caso em que o denominador no fatorvel apenas em fatores lineares; o denominador apresentar, portanto, termos quadrticos (repetidos ou no). Consideremos a integral . 1) Reduza as funes racionais imprprias a fraes prprias atravs de diviso. Neste exemplo, j partimos de uma funo prpria e esta etapa j est feita. 15 Apostila de Clculo II 2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 irredutvel (isto , no pode ser escrito como o produto de dois polinmios de grau 1 com coeficientes reais). 3) Decomponha a funo racional em uma soma de funes racionais bsicas. Devemos escrever a funo racional dada na forma 8 x2 + 3 x + 20 A x + BC =+ . Resolvendo esta equao, encontramos A=3, B=0 32 2x + x + 4 x + 4x + 4x + 1 8 x2 + 3 x + 203x 5 e C=5. Dessa forma =+32 2x + x + 4 x + 4x + 4x + 1 8 x2 + 3 x + 20 3x 5 4) Finalmente podemos calcular a integral dx = + dx32 2x + x + 4 x + 4 x + 4x + 1 fazendo substituies imediatas. 5) Se o denominador possui fatores quadrticos repetidos da forma (ax2+bx+c)k, use k fraes parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral x3 + x + 2 2 2 dx usamos a decomposio em fraes parciais, que tem a forma x (x + 1) x3 + x + 2 A B1x + C1 B2x + C2= ++ . Resolvendo esta equao, obtemos A=2, 22 2 2x (x + 1)x x + 1 (x + 1)2 x3 + x + 2B1=-2, C1=1, B2=-2 e C2=0. Portanto, temos 2 dx = 2x (x + 1) .2 1-2x 2x+- dx . Observe que a primeira e terceira parcelas podem 22 xx + 12 (x + 1) ser feitas por substituies bvias; porm a segunda parcela parece diferente. 22x1 2x- +- dx+, o Reescrevendo tudo desta forma: 22 2 xx + 1x + 1 (x2 )+ 1 problema se resolve facilmente. Exerccios: 16 Apostila de Clculo II 17 Calcular as integrais: 1) dx x 1 2 2 - 2) dx x 2x 3x4x 13x 9 3 2 2 + -+ - 3) ( )( ) dx x 1 x 2 3 x - 18 x 29 x - 4 3 3 2 + -+ 4) dx 2 x - x 8 4 x - x - 21 3 2 2 + - x 5) dx x 4x x 6 x 3x 16 3 3 2 + + + + A Integral Definida Seja f uma funo contnua num intervalo [a,b] e tal que f (x) 0 para todo x[a,b]. Apostila de Clculo II 18 Vamos calcular a rea da regio compreendida entre o grfico de f e o eixo x, para x variando em [ a, b]. Para tanto, vamos considerar uma partio do intervalo [a,b], constituda pelo conjunto de pontos P {a x ,x x ,.....,x b} 0 1, 2 n = = = . Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma [ ] i-1 i x ,x , sendo que o ndice i varia de 1 at n, isto , 1 i n . No caso de tomarmos as n divises de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos subintervalos ter comprimento i i-1 Dx = x - x , para 1 i n . Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos [ ] i-1 i x ,x , obtendo um valor aproximado para a rea da regio, que dado por: Qualquer uma das somas i ni 1 *i x ). (x f D = denominada soma de Riemann para a funo f, relativa partio P e aos nmeros xi, para - Quando fazemos crescer indefinidamente o nmero de pontos da partio, isto , fazemos n , obtemos: i ni 1 *i n x ). (x f lim D = = lim [ s (P,f)] A n = Apostila de Clculo II 19 Definio: a integral definida da funo f, sendo f (x) 0 no intervalo [a,b], igual ao limite da soma das reas dos n retngulos, quando o nmero desses retngulos tende a infinito. Nesse caso a integral fornece a rea da regio compreendida entre o eixo horizontal e o grfico da funo f, para x percorrendo o intervalo [a,b]. A integral definida verifica algumas propriedades: Propriedade 1: Se f e g so funes integrveis no intervalo [a,b], ento a funo f g integrvel em [a,b] e: [ ] = b ba a ba f (x) g (x) dx f (x) dx g (x) dx . Propriedade 2: Se k uma constante e f uma funo integrvel no intervalo [a,b], ento a funo k.f integrvel em [a,b] e : . Propriedade 3: Se f uma funo integrvel no intervalo [a,b] e f (x) 0 em [a,b] ento . Propriedade 4: Se f uma funo integrvel no intervalo [a,b] e c um ponto qualquer do intervalo [a,b], ento : .Apostila de Clculo II 20 Teorema Fundamental do Clculo Integral O Teorema Fundamental do Clculo estabelece a importante conexo entre o Clculo Diferencial e o Clculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a rea de uma figura plana Teorema : Seja f uma funo contnua no intervalo [a,b]. A funo F, dada por = xa F (x) f (t) dt , derivvel em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua derivada dada por F'(x)=f (x). O Teorema Fundamental do Clculo nos permite facilmente calcular reas pois, a partir dele, podemos mostrar que: Se f uma funo contnua no intervalo [a,b], ento = ba f ( t) dt G(b) - G(a) , onde G uma qualquer primitiva de f, isto , tal que G'=f. Resolvidos Calcular as integrais definidas: 1) 2 0 x2 dx 38 3 0 3 2 3 x x dx 3 3 20 2 3 0 2 = = - = 2) p 0 sen x dx sen x dx cos x - cos - (- cos 0 ) -(-1) - (-1) 2 0 0 = - = p = = p pApostila de Clculo II 1 23) (x + 1)2dx 0 2 5312 42 x 2 x 1 12 28 (x + 1) dx = 1 (x + 2x + 1)dx =+ + x = + + 1= 00 53 0 53 15 4 . 32 4) 5 x -2 x + dx 1 x3 3 4 41 22 -2 32 -3 5x2 x x 4 259 5 x -2 x + dx = 5 x -2 x2 + 32 x dx =- + 32 = 1 x3 1 23 -2 16 2 Exerccios: Calcular as integrais definidas: 21) 4 (x -4 x + 3)dx 1 32) 3 (8z + 3z -1)dz 2 12 3) dz 7 9 t-34) 4 8 25) (3s + 2)ds 0 2 6) - 1 (2 x + 3) dx 0 4 x dt t 7) dx 9x0 2 + 21 Apostila de Clculo II 22 a b y = f (x) a b f (x) g (x) 8) dx 2x 3 sen 30 p 9) ( + ) 40 3 1 sen 2x . cos 2x dx p 10) dx 7 x 1 x 0 3 5 4 + Aplicaes da Integral Definida Clculo de reas Se f (x) contnua e positiva no intervalo [a,b], ento a rea limitada por f (x), o eixo x e as retas x=a e x=b dada por: = ba A f (x) dx Se f (x) e g(x ) so contnuas em [a,b] com f (x) g (x) , " x [a,b], ento a rea limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b dada por: = ( ) ba A f (x) - g (x) dx Apostila de Clculo II 23 a b f (x) g (x) c No caso de no intervalo [a,b] a funo f (x) nem sempre for maior que g(x), ento: = ( ) + ( ) bc ca A f (x) - g (x) dx g (x) - f (x) dx Podemos ainda isolar x em cada uma das funes obtendo x = f (y) e x = g (y). Se f (y) g (y) no intervalo [ c,d ], ento a rea entre os grficos de f (y), g (y) e as retas y = c e y = d ser: = [ ] dc A f (y) - g (y) dy Resolvidos 1) Obter a rea limitada pelas curvas y = x2 e y = x . a) esboar a regio, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g (x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de interseco das regies. Nessa caso a=0 e b=1. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.2 0.4 0.6 0.81yApostila de Clculo II b) esboar um retngulo vertical tpico e designar por dx a largura. 1) Expressar a rea do retngulo como [ f (x)-g (x)]. dx . Nesse caso a rea vale ( x - x2 ).dx 2) Obter o valor da rea atravs do clculo da integral: 3 1 1 21 2 22 x x3 11A = ( x- x )dx = x - x dx =- = 00 33 03 . 2 2) Achar a rea limitada pelas curvas y + x2 = 6e y + 2 x -3 = 0 y -1 1 2 3 x -2 2 4 6 2 x1 = a =-1 pontos de interseco -x + 6 = 3 - 2x x = b = 3 2 33 .22 x3 2 3 32A = [(-x + 6)- (- 2x + 3)]dx = (-x + 2x + 3)dx =- + x + 3x = 3 -13-1 -1 3) Obter a rea limitada pelas curvas 2 y2 = x + 4 e y2 = x. y= c = -22 21pontos de interseco 2 y - 4 = y y = d = 2 2 24 Apostila de Clculo II y -4 -2 2 4 x -2 -1 1 2 . 2 223 A = [y2 -(2 y2 - 4)]dy = [y2 - 2 y2 + 4]dy = [- y2 + 4]dy = -y + 4 y 2 -2 32 = 3 3-2 -2 -2 Exerccios: 1) Calcular a rea limitada pelos grficos das funes y = x2 + 1 e x-y= 2 e as retas x=-2 e x=2. 2) Calcular a rea limitada pelo grfico das funes f(x) =-2x2 e g(x ) = 2x2 -4 x. 3) Encontre a rea da regio limitada pela curva y = x3 - 2 x2 - 5 x + 6 ,oeixox eas retas x =-1 e x =2. Clculo de Volumes de Rotao Uma rea ao girar em torno de um eixo gera um slido de revoluo de volume V. a) Giro em torno do eixo x Seja f (x) contnua em [ a,b ]. O volume V do slido de revoluo gerado pela rotao da regio delimitada pelos grficos de f, de x= a, de x=b e do eixo dos x dado por: 25 Apostila de Clculo II b 2V =p [f (x)] dx a b) Giro em torno do eixo y Seja f (y) contnua em [ c,d ]. O volume V do slido de revoluo gerado pela rotao da regio delimitada pelos grficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y dado por d 2V =p [f (y)] dy c c) Giro em torno do eixo x, com a rea no apoiada no eixo x. Seja uma regio limitada pelos grficos de x=a, x=b e pelos grficos de duas funes contnuas f e g , com f (x) g (x) 0 para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa rea girar em torno do eixo x, obtm-se um slido cujo volume dado por: bb b 22 22V =p [f (x)] dx -p [g (x)] dx = p{ [f (x)] -[g (x)]}dx aa a d) Giro em torno do eixo y, com a rea no apoiada no eixo y. Seja uma regio limitada pelos grficos de y=c, y=d e pelos grficos de duas funes contnuas f e g , com f (y) g (y) 0 para todo y em [ c,d ]. Fazendo-se essa rea girar em torno do eixo y, obtm-se um slido cujo volume dado por: dd d 22 22V =p [f (y)] dy -p [g (y)] dy = p{ [f (y)] -[g (y)]}dy cc c Exemplos: 1) A rea limitada pelo grfico de y = x2 + 1, retas x = -1 e x = 1 e o eixo x, gera um volume V. Determinar o valor de V. 26 Apostila de Clculo II ( )y3 2 11 5 22 42 x x3 1 56pV = p(x + 1) dx = p(x + 2x + 1)dx =p + 2 + x =. 53 -1 15 -1 -1 2) A regio limitada pelo eixo y e os grficos de y = x3, y= 1 e y= 8 gira em torno do eixo y. determine o volume do slido resultante. 5 1 2 82 y3 8 93pV =p dy =p y 3 dy =p = 5 1511 . 3 . Exerccios: 211) A rea limitada pelos grficos de y = x + 2, y = x + 1, x = 0 e x = 1 gira em 2 torno do eixo x. Determinar o volume do slido resultante. 2) A rea do exerccio anterior gira em torno da reta y = 3. Determine o volume gerado. 3) Esboce a regio R e determine o volume do slido gerado pela rotao de R em torno do eixo indicado para: a) y = x2 - 4x, y=0 ;emtornodoeixodos x. b)y = x,x +y=4 , x =0;emtornodoeixodos x. 27