Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 2015 Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho, 2015

© APMTAC, Portugal, 2015

DERTERMINAÇÃO DA CURVA DE ENCRUAMENTO DE CHAPAS METÁLICAS COM O ENSAIO HIDRÁULICO DE EXPANSÃO

BIAXIAL

Hugo Campos1* e Abel D. Santos2

1: INEGI, Instituto de Ciência e Inovação em Engenharia Mecânica e Engenharia Industrial Universidade do Porto

R. Dr. Roberto Frias 400, 4200-465 Porto e-mail: hcampos@inegi.up.pt, web: http://www.inegi.pt

2: FEUP, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Universidade do Porto R. Dr. Roberto Frias s/n, 4200-465 Porto

e-mail: abel@fe.up.pt web: http://www.fe.up.pt

Palavras-chave: conformação plástica, curva de encruamento, expansão biaxial, ensaio bulge, redução de espessura

Resumo. O ensaio hidráulico de expansão biaxial tem sido considerado como uma forma eficiente de caracterização de materiais metálicos em chapa, dado que a gama de deformações uniformes são superiores às obtidas no ensaio de tração uniaxial. Este ensaio, quando devidamente instrumentado, fornece dados sobre o comportamento do material, permitindo obter parâmetros importantes para as equações constitutivas mais atuais. Neste artigo são apresentados dados experimentais que têm por base o desenvolvimento de um sistema mecânico de caracterização adaptado ao ensaio de bulge, havendo ainda a análise de equações que exprimem a relação entre as variáveis obtidas experimentalmente, como o raio de curvatura da amostra e a redução de espessura no pólo, e as variáveis que permitem a caracterização do material. Para este artigo foi avaliado o comportamento plástico das ligas de alumínio AA5754-T4 e AA6061-T6, assim como as ligas de aço DP590 e DQ, sendo estes materiais usados para a aplicação e validação de diferentes metodologias de determinação do raio de curvatura e da redução de espessura.

1. INTRODUÇÃO O rigor das análises numéricas está diretamente ligado à correta caraterização do comportamento mecânico dos materiais. A correta caracterização dos materiais é influenciado quer pelos dados obtidos e pela escolha do modelo constitutivo usado para a sua caracterização. O ensaio de tração uniaxial é um método de caracterização de materiais metálicos amplamente aceite, mas a limitada quantidade de dados relativos ao comportamento plástico em regime uniforme, gera grande dispersão entre os modelos constitutivos.

Hugo Campos e Abel D. Santos

2

Uma alternativa ao ensaio uniaxial de tração é o ensaio hidráulico de expansão biaxial [1] onde é possível obter informação adicional em regime uniforme de deformações. Para a obtenção da curva de encruamento a partir do ensaio de bulge é usada a teoria da membrana para relacionar as variáveis fundamentais do ensaio [2]. Dada a reduzida relação

entre a espessura da chapa e o diâmetro da matriz, as tensões de flexão são desprezadas, 03

[3], logo:

t

p

2

2

1

1

(1)

onde 1 e

2 são as tensões principais no plano da chapa, 1 e

2 são os respetivos raios de

curvatura, p é a pressão hidráulica e t é a espessura da chapa.

Atendendo à axi-simetria da chapa do ensaio pode considerar-se que no pólo as tensões 1 e

2 iguais à tensão de membrana [4]. A mesma consideração pode ser feita para o raio de

curvatura, 21, e assim define-se:

t

pb

2

(2)

sendo determinado por:

t

hDcv

2

2/ 22

(3)

Da equação 3 temos que cvD é o diâmetro usado para a determinação da curvatura, h é a altura

do pólo da calote e t é dado por:

ttt exp0 (4)

A extensão em espessura, t , é obtida tendo em conta a incompressibilidade do material e

assim:

21 t (5)

Retomando as considerações de geometria, considera-se que as deformações no plano da chapa são iguais, logo a extensão em espessura vem:

221t (6)

onde é a extensão da membrana. Para a sua determinação é medida a expansão de um círculo

de diâmetro inicial 0stD que aumenta durante a expansão, sem variação de volume. Assim a

extensão é dada por:

Hugo Campos e Abel D. Santos

3

st

stt

D

D 0ln2 (7)

Deste modo as variáveis necessárias para a determinação do b são a pressão hidráulica

do ensaio, o raio de curvatura da amostra e a redução de espessura, como mostra a figura 1.

Figura 1. Relação entre as variáveis do ensaio

Neste artigo são apresentadas diversas metodologias onde, a partir da informação da evolução da altura total da calote da amostra é possível a determinação do raio de curvatura e da redução de espessura. Adicionalmente propõe-se e faz-se o desenvolvimento de uma metodologia mais flexível e precisa para a determinação da evolução da espessura em função da altura total. Finalmente demonstra-se a aplicabilidade da metodologia à caracterização dos materiais testados.

2. METODOLOGIA EXPERIMENTAL

O sistema de caracterização mecânico desenvolvido e usado para a aquisição dos dados do ensaio de bulge é composto por 4 componentes principais [5]: componente de medição de pressão (transdutor de pressão); componente de medição da curvatura/esfericidade (esferómetro); componente de medição da expansão circular do provete (extensómetro); componente de medição da altura total da calote (LVDT);

Este sistema de caracterização mecânico recorre a componentes de contacto que permitem a aquisição de dados relativos ao raio de curvatura, à redução de espessura e à altura total em tempo real, representando uma forma eficiente para a determinação da curva de encruamento de bulge.

Hugo Campos e Abel D. Santos

4

Figura 2. a) esquema simplificado do sistema de caracterização, b) sistema de caracterização completo

Devido às características do extensómetro e à incerteza da sua robustez, a aquisição da deformação pelo extensómetro não é realizada até à rotura da amostra devido à “explosão” de óleo no momento da fratura da amostra. Desta forma é usada a seguinte metodologia de ensaio:

realização de um primeiro ensaio até à rotura da amostra, com aquisição da pressão de rotura, da altura total da calote, raio de curvatura e medição da espessura final no pólo da amostra;

realização de um segundo ensaio até uma gama valores entre 90 a 95% da pressão de rotura da amostra e efetuando a aquisição dos valores da pressão, extensão, altura total e raio de curvatura.

Com estes dois ensaios temos a seguinte quantidade de informação, conforme figura 3:

a) b) c)

Figura 3: Evolução das variáveis fundamentais do ensaio de bulge para o aço DP590

Analisando os dados da figura 3 compreende-se a necessidade de completar a informação correspondente à zona do ensaio onde não há aquisição de dados pelo extensómetro porque a perda de informação associada ao incremento de 5 a 10% na pressão de bulge pode corresponder à perda de 30 a 40 % de informação no gráfico b

.

Na tentativa de determinar a redução de espessura correspondente aos últimos 10% do ensaio de bulge, foram testadas outras metodologias, baseadas em equações analíticas, que tornam possível completar a informação relativa ao comportamento do material até à rotura.

Hugo Campos e Abel D. Santos

5

Recorrendo ao registo da altura total da calote do provete é possível a aplicação de equações para determinação da evolução do raio de curvatura e da redução de espessura conduzindo ao aumento de informação na curva de encruamento de bulge.

3. METODOLOGIAS ANALÍTICAS

3.1. Evolução do raio de curvatura

Na determinação do raio de curvatura podem ser utilizadas duas metodologias diferentes. Segundo Hill, o raio de curvatura no pólo, , pode ser calculado tendo em conta que a calote

tem forma esférica e desprezando-se a influência da geometria da matriz [6]:

t

tm

h

hd

8

422

(8)

onde md é o diâmetro da matriz de bulge e th é a altura total da calote.

Segundo Panknin deve-se ter em consideração o efeito da geometria da matriz de bulge, isto é,

o seu raio de concordância, cr . Desta forma, a evolução da curvatura com a altura total é

calculada por [7]:

t

dctcm

h

hrhrd

2

22

2

2

(9)

Panknin validou a equação ao realizar um conjunto de ensaios experimentais onde mediu o raio de curvatura na parte superior da calote das amostras com um esferómetro. Paralelamente, calculou o raio de curvatura tendo em conta a eq. 9 e os seus pressupostos concluindo que quer o raio de curvatura calculado com base na altura total, quer o raio medido experimentalmente

estavam em consonância, desde que o se respeitasse o rácio 28.0m

t

dh . Adicionalmente,

concluiu que para valores de th superiores, o valor do raio de curvatura calculado era até 10%

superior ao medido experimentalmente. De acordo com a figura 4 pode ver-se que a equação proposta por Panknin representa uma grande aproximação com os valores experimentais para os dois tipos de materiais testados neste artigo.

Hugo Campos e Abel D. Santos

6

a) b)

Figura 4: Comparação entre metodologias para determinação do raio de curvatura, a) aço DP590, b) alumínio AA5754

3.2. Evolução da espessura no pólo

3.2.1. Equações em análise

A determinação da variação da espessura no pólo pode ser feita recorrendo a expressões analíticas que relacionam a redução de espessura com o aumento da altura total. A equação proposta por Hill para a evolução da espessura, t , assume que as deformações no plano da chapa são iguais [8]:

2

2021

1

mt dhtt (10)

Posteriormente a equação sugerida por Hill foi melhorada por Chakrabarty e Alexander introduzindo na equação o coeficiente de encruamento do material, n:

n

mt dhtt

2

2021

1 (11)

Panknin, para além de estudar a relação entre a altura total e o raio de curvatura, também investigou a influência do coeficiente de encruamento. Os resultados mostraram uma significativa influência na redução de espessura com a altura total da calote, isto é, quanto maior é o coeficiente de encruamento, menor é a redução de espessura no pólo para a mesma altura da calote. Mais tarde Kruglov propôs uma expressão analítica baseada no mesmo princípio de Hill, ou seja, que as deformações no pólo são uniformes, mas que a evolução da espessura está dependente da geometria da matriz de bulge [9]:

Hugo Campos e Abel D. Santos

7

2

0

sin

tt (12)

onde :

22

2

12

2arcsin

mc

t

t

mc

drh

h

dr (13)

Lazarescu e Banabic estudaram a equação proposta por Kruglov e concluíram que a mesma podia ser melhorada tendo em conta a não uniformidade das deformações ao longo do meridiano da amostra. Assim, Lazarescu propõe um fator de correção, C, onde incluiu o valor da espessura final e da altura total final do pólo da amostra [9]:

)sin

ln(sin

lnlnmax

maxmax

max

max0

ft

tC (14)

onde ft é a espessura final da amostra no final do ensaio correspondente ao valor de max , ou

seja:

2

max,

max,

max

22

12

2arcsin

mc

t

t

mc

drh

h

dr (15)

onde max,th é a altura total da calote da amostra no final do ensaio. A eq. 12 sugerida por Kruglov,

quando aplicado o fator de correção de Lazarescu vem:

)1(2

0

sin

c

tt (16)

3.2.2. Avaliação das equações

As equações 10 a 12 e 16 estão representadas no gráfico da figura 5 e traduzem a evolução da redução de espessura em função da altura total para o ensaio bulge da liga de aço DP590.

Hugo Campos e Abel D. Santos

8

Figura 5: Comparação entre metodologias para determinação da espessura para o DP590

Analisando as várias metodologias compreende-se que, embora existam metodologias que apresentam resultados próximos, ainda é possível melhorar a previsão do comportamento da evolução da redução de espessura em função da altura total.

3.2.3. Metodologia e equação proposta

A metodologia e equação propostas para a extrapolação dos resultados até à rotura tem como base a metodologia experimental apresentada na secção 2. deste artigo. Na secção 3.2.1. foi apresentada a metodologia usada por Lazarescu, metodologia que melhor descreve a redução de espessura com o aumento da altura da calote da amostra. Esta metodologia reproduz resultados próximos dos experimentais, quando comparada com outras metodologias, devido à medição experimental da espessura final na zona da rotura da amostra. Dado que a metodologia aqui usada fornece um conjunto de pontos até valores entre 90 a 95% da pressão de rotura da amostra, conforme mostra a figura 3c). Esse conjunto de pontos é usado no ajuste da evolução da redução de espessura até ao ponto de rotura do material. Desta forma, a evolução da redução de espessura com a altura total é ajustada recorrendo a uma das funções de ajuste do Matlab®:

cxay b (17)

de onde resulta o gráfico da figura 6:

Hugo Campos e Abel D. Santos

9

Figura 6: Ajuste dos parâmetros a, b e c da eq.17 ao gráfico da figura 4.

4. APLICAÇÃO ÀS LIGAS ENSAIADAS

Neste artigo foram testados 4 materiais metálicos em chapa, 2 ligas de aço – DP590 e DQ – e 2 ligas de alumínio – AA5754 e AA6061. Para a aplicação das diferentes metodologias apresentadas nas secções anteriores são necessários os seguintes dados:

Material 0t

[mm]

ft

[mm]

final

[mm] finalth ,

[mm]

n [mm] r

DP590 0.602 0.315 90.8 47.5 0.12 0.82 DQ 0.710 0.322 80.4 56.2 0.22 1.87

AA5754 0.991 0.657 96.7 44.9 0.21 1 AA6161 1.041 0.747 110.7 363.8 0.15 0.57

Tabela 1: Resultados obtidos com os ensaios de bulge e de tração uniaxial

Os dados apresentados na tabela 1 são provenientes dos ensaios de bulge e dos ensaios de tração uniaxial realizados aos diferentes materiais para determinação dos diversos parâmetros presentes na tabela.

Hugo Campos e Abel D. Santos

10

4.1. Ligas de aço

a) b)

Figura 7: Aplicação das metodologias sugeridas por diferentes autores e comparação com a os dados experimentais para o DP590, a) evolução do raio de curvatura, b) evolução da redução de espessura.

a) b)

Figura 8: Determinação da curva baté à rotura para o DP590 recorrendo à aplicação da metodologia aqui

apresentada neste artigo, a) determinação da evolução da redução de espessura até à rotura, b) comparação ente a curva b

calculada com os dados lidos pelo extensómetro e entre os dados determinados analiticamente.

Nos gráficos da figura 7 são comparados as diferentes metodologias quer para a determinação do raio de curvatura quer para a determinação da redução de espessura para a liga de aço DP590. Nos gráficos da figura 8 é apresentado o ajuste e a evolução até à rotura da redução de espessura e a determinação da curva de encruamento de bulge.

Hugo Campos e Abel D. Santos

11

a) b)

Figura 9: Aplicação das metodologias sugeridas por diferentes autores e comparação com a os dados experimentais para o DQ, a) evolução do raio de curvatura, b) evolução da redução de espessura.

a) b)

Figura 10: Determinação da curva baté à rotura para o DQ recorrendo à aplicação da metodologia aqui

apresentada neste artigo, a) determinação da evolução da redução de espessura até à rotura, b) comparação ente a curva b

calculada com os dados lidos pelo extensómetro e entre os dados determinados analiticamente.

Nos gráficos das figuras 9 e 10 são apresentadas as mesma metodologias que nas figuras 7 e 8 mas aplicadas à liga de aço DQ.

Hugo Campos e Abel D. Santos

12

4.1. Ligas de alumínio

a) b)

Figura 11: Aplicação das metodologias sugeridas por diferentes autores e comparação com a os dados experimentais para o AA5754, a) evolução do raio de curvatura, b) evolução da redução de espessura.

a) b)

Figura 12: Determinação da curva baté à rotura para o AA5754 recorrendo à aplicação da metodologia

aqui apresentada neste artigo, a) determinação da evolução da redução de espessura até à rotura, b) comparação ente a curva b

calculada com os dados lidos pelo extensómetro e entre os dados determinados

analiticamente.

Nos gráficos da figura 11 são comparados as diferentes metodologias quer para a determinação do raio de curvatura quer para a determinação da redução de espessura para a liga de aço AA5754. Nos gráficos da figura 12 é apresentado o ajuste e a evolução até à rotura da redução de espessura e a determinação da curva de encruamento de bulge.

Hugo Campos e Abel D. Santos

13

a) b)

Figura 13: Aplicação das metodologias sugeridas por diferentes autores e comparação com a os dados experimentais para o AA6061, a) evolução do raio de curvatura, b) evolução da redução de espessura.

a) b)

Figura 14: Determinação da curva baté à rotura para o AA6061 recorrendo à aplicação da metodologia

aqui apresentada neste artigo, a) determinação da evolução da redução de espessura até à rotura, b) comparação ente a curva b

calculada com os dados lidos pelo extensómetro e entre os dados determinados

analiticamente.

Nos gráficos das figuras 13 e 14 são apresentadas as mesma metodologias que nas figuras 11 e 12 mas aplicadas à liga de aço AA6061.

5. CONCLUSÕES

Neste artigo foi apresentado um sistema experimental de caracterização de materiais metálicos em chapa, incorporado numa máquina de ensaios bulge para a obtenção de dados relativos à pressão, raio de curvatura, redução de espessura e altura total da calote da amostra. Com os dados obtidos foi possível analisar diferentes metodologias para a determinação do raio de curvatura e da redução de espessura no pólo da amostra. Desta análise concluiu-se que a metodologia proposta por Panknin adequa-se aos materiais

Hugo Campos e Abel D. Santos

14

testados e descreve com rigor a evolução do raio de curvatura no pólo da amostra com o aumento da altura total. Relativamente às metodologias apresentadas e analisadas para a determinação da evolução da redução de espessura no pólo concluiu-se que as metodologias existentes não conseguem descrever a redução de espessura com o rigor necessário para as ligas de aço. A metodologia proposta por Lazarescu consegue descrever com o rigor necessário a evolução da redução de espessura no pólo para as ligas de alumínio testadas. No entanto para as ligas de aço testadas não apresentou o mesmo rigor porque a metodologia de Lazarescu não é sensível a diferentes tipos de encruamento dos materiais. Nesse sentido apresentou-se neste artigo uma metodologia para a determinação da evolução da redução de espessura com a altura total permitindo modelar com rigor diferentes materiais e adaptar-se, quer às ligas de alumínio, quer às ligas de aço.

6. AGRADECIMENTOS

Os autores gostariam de agradecer o financiamento deste trabalho por Fundos FEDER através do Programa Operacional Factores de Competitividade – COMPETE e por Fundos Nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnologia no âmbito do projeto PTDC/EMS-TEC/1805/2012.

REFERÊNCIAS

[1] Campos, H., A. D. Santos, B. Martis, K. I. N. Mori and F. Barlat (2014). Hydraulic bulge test for stress-strain curve determination and damage calibration for Ito-Goya model. 11th World Congress on Computational Mechanics, Barcelona, CIMNE.

[2] Atkinson, M. (1997). "Accurate Determination of Biaxial Stress-Strain Relationships from Hydraulic Bulging Tests of Sheet Metals." Int. J. Mechanical Sciences 39(7): 761-769.

[3] Ranta-Eskola, A. J. (1979). "Use of the hydraulic bulge test in biaxial tensile testing." International Journal of Mechanical Sciences 21(8): 457-465.

[4] Kular, G. S. and M. J. Hillier (1972). "Re-interpretation of some simple tension and bulge test data for anisotropic metals." International Journal of Mechanical Sciences 14(10): 631-634.

[5] Campos, H. and A. D. Santos (2014). Sistema experimental para caracterização de materiais com o ensaio de expansão. Congresso nacional de mecãnica experimental, Univ. Aveiro.

[6] R. Hill, A theory of the plastic bulging of a metal diaphragm by lateral pressure, Phil. Mag. 7 (1950) 1133–1142.

[7] Gutscher, G., H.-C. Wu, G. Ngaile and T. Altan (2004). "Determination of flow stress for sheet metal forming using the viscous pressure bulge (VPB) test." Journal of Materials Processing Technology 146(1): 1-7.

[8] Koç, M., E. Billur and Ö. N. Cora (2011). "An experimental study on the comparative assessment of hydraulic bulge test analysis methods." Materials & Design 32(1): 272-281.

Hugo Campos e Abel D. Santos

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