Derivada-Antiderivada

5/10/2018 Derivada-Antiderivada - slidepdf.com

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Calculo Diferencial e Integral I

Antiderivada de uma Funcao

Luiz C. M. de Aquino

[email protected]://sites.google.com/site/lcmaquinohttp://www.youtube.com/LCMAquino

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Antiderivada de uma FuncaoIntroducao

Em algumas situacoes nao conhecemos diretamente uma funcao,mas apenas a sua taxa de variacao.Nesses casos, precisamos descobrir a funcao utilizando essainformacao.Nesta aula estudaremos o conceito de antiderivada (ou primitiva)de uma funcao.

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Antiderivada de uma FuncaoDefinicao

Dizemos que F e uma antiderivada (ou primitiva) de f no intervaloI , se

F

(x ) = f (x ),

para todo x ∈ I .

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Antiderivada de uma FuncaoDefinicao

Dizemos que F e uma antiderivada (ou primitiva) de f no intervaloI , se

F

(x ) = f (x ),

para todo x ∈ I .

ExemploA funcao F (x ) = 1

3x 3 e uma antiderivada de f (x ) = x 2, pois

F (x ) = f (x ).

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Antiderivada de uma FuncaoTeorema

Se F e uma antiderivada de f no intervalo I , entao

F + c ,

com c uma constante, e uma antiderivada de f .

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Antiderivada de uma FuncaoTeorema

Se F e uma antiderivada de f no intervalo I , entao

F + c ,

com c uma constante, e uma antiderivada de f .

Observacao

Dizemos que F + c e uma famılia de antiderivadas de f .

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Antiderivada de uma FuncaoExercıcio

Exemplo 1: Determine uma famılia de antiderivadas def (x ) = x 2 − 1. Em seguida, determine a antiderivada g tal queg (1) = 2.

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Precisamos pensar em uma funcao F tal que

F (x ) = x 2 − 1.

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Precisamos pensar em uma funcao F tal que

F (x ) = x 2 − 1.

Percebendo que13x

3

= x 2 e (−x ) = −1, temos que umafamılia de antiderivadas de f sera

F (x ) =1

3x 3 − x + c .

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Precisamos agora determinar uma antiderivada g (x ) = 13x

3 − x + c

tal que g (1) = 2.

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3 − x + c

tal que g (1) = 2. Ou seja, temos que resolver a equacao

1

3 · 13

− 1 + c = 2.

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3 − x + c

tal que g (1) = 2. Ou seja, temos que resolver a equacao

1

3 · 13

− 1 + c = 2.

E facil notar que a solucao dessa equacao e c = 83 . Desse modo,

temos que

g (x ) =1

3x 3 − x +8

3 .

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Exemplo 2: Seja f (x ) = x n, com n ∈ R \ {−1}. Prove que uma

famılia de antiderivadas de f sera dada por F (x ) =1

n + 1x n+1 + c .

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n + 1x n+1 + c .

Para provar que F e uma famılia de antiderivadas de f basta

verificar se F

(x ) = f (x ).

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n + 1x n+1 + c .

Para provar que F e uma famılia de antiderivadas de f basta

verificar se F

(x ) = f (x ).De fato, temos que

F (x ) = (n + 1) ·1

n + 1x n+1−1 + 0,

F (x ) = x n.

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Exemplo 3: Um movel desloca-se em linha reta e sua velocidade(em m/s) no tempo t e dada pela funcao v (t ) = 4t + 5. Se emt = 1 s a posicao do movel e s = 10 m, determine a sua posicaono tempo t .

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Sabemos que a velocidade e a taxa de variacao do espaco sobre otempo. Em outras palavras, temos que s (t ) = v (t ). Isso significa

que a funcao s e uma antiderivada da funcao v .

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Utilizando o resultado do exercıcio anterior, temos que

s (t ) = 2t 2 + 5t + c .

A id i d d F ˜

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Utilizando o resultado do exercıcio anterior, temos que

s (t ) = 2t 2 + 5t + c .

Sabemos que s (1) = 10. Dessa informacao, e facil obter quec = 3. Portanto, temos que

s (t ) = 2t 2 + 5t + 3.

A id i d d F ˜

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Exemplo 4: Qual e a aceleracao constante necessaria paraaumentar a velocidade de um carro de 30 km/h para 50 km/h em5 s?

A tid i d d F ˜

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Sabemos que a aceleracao e a taxa de variacao da velocidade sobreo tempo. Em outras palavras, temos que v (t ) = a(t ). Issosignifica que a funcao v e uma antiderivada da funcao a.

A tid i d d F ˜

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Sabemos que a aceleracao e a taxa de variacao da velocidade sobreo tempo. Em outras palavras, temos que v (t ) = a(t ). Issosignifica que a funcao v e uma antiderivada da funcao a.

Ja que a aceleracao deve ser constante, isto e, a(t ) = k , temos que

v (t ) = kt + c .

A tid i d d F ˜

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Sabemos que a aceleracao e a taxa de variacao da velocidade sobreo tempo. Em outras palavras, temos que v (t ) = a(t ). Isso

significa que a funcao v e uma antiderivada da funcao a.

Ja que a aceleracao deve ser constante, isto e, a(t ) = k , temos que

v (t ) = kt + c .

Supondo que v (0) = 30 e v (5) = 50, e facil obter que c = 30 ek = 4. Portanto, devemos ter uma aceleracao constante de 4km/h2.

Antiderivada de uma Funcao

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Antiderivada de uma FuncaoTabela Basica

Utilizando o conhecimento da tabela basica de derivadasconstruıda em aula anterior, podemos criar uma tabela basica deantiderivadas.

Funcao Antiderivada

x n, com n = −1 1n + 1x n+1

1

x ln |x |

ax , com a > 0 e a = 11

ln aax

sen x − cos x

cos x sen x

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