UNIFACS DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA E ARQUITETURA

DERIVADAS

CÁLCULO DIFERENCIAL

Fernanda Laureano da Silva

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função.

DERIVADAS

Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por f’(x0), é dada por:

se este limite existir.

DERIVADAS

x

xfxxfxf 00

0x0

lim)('

x representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando x = x - x0 então x = x0 +x; a derivada f em x0 pode também ser expressa por:

Notações: f’(x0), y’, Dxy, Dxf(x), ,

DERIVADAS

o

o

xxo xx

xfxfxf

o

)()(lim)('

dx

xdf o )(

dx

dy

Interpretação Física: A derivada de uma função f em um ponto x0 fornece a taxa de variação instantânea de f em x0. Veja como isso ocorre:

A taxa de variação instantânea de uma função está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da velocidade de corpos, (...) enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento.

DERIVADAS

Exemplo: Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com uma velocidade inicial de 64m/s. A equação do movimento é dada por

a) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de 1s. A bola está subindo ou descendo?

b) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de 3s. A bola está subindo ou descendo?

c) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto?

DERIVADAS

.)( t64t16ts 2

Exemplo: Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com uma velocidade inicial de 64m/s. A equação do movimento é dada por

DERIVADAS

.)( t64t16ts 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

10

20

30

40

50

60

70

sm32v /

2t

0v

sm32v /

A velocidade média de um móvel cuja equação do movimento é y = s(t), num intervalo de tempo de t0 a t0 +Δt é dada por:

A velocidade instantânea é o limite da velocidade média, quando consideramos um intervalo de tempo tendendo a zero, o que é fornecido pela derivada da função posição, no instante desejado.

DERIVADAS

t

tsttsv 00

0t

lim

Interpretação Geométrica: A derivada de uma função f no ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)).

DERIVADAS

m

x

xfxxfxf 00

0x0

lim)('

m

Dada uma curva que representa o gráfico de f, se conhecemos um ponto P(a, f(a)), então a equação da reta tangente t à curva em P é dada por:

y - f(a)= m (x – a),

onde m é o coeficiente angular da reta.

Portanto, basta conhecermos o coeficiente angular m da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua equação. 

DERIVADAS

Podemos também obter a equação da reta Normal à curva conhecendo m. A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente neste ponto e, portanto, seu coeficiente angular satisfaz: mn= -1/mt.

Logo a equação da reta normal é dada por:

DERIVADAS

a) -(x m

1- =f(a) -y

Exemplo: Determinar a equação da reta tangente e da reta normal à curva definida pela equação no ponto P(4, 2).

DERIVADAS

x

xxx0x

lim

xxx

xxx

x

xxx0x

.lim

xxxx

xxx0x

lim

xxf

DERIVADAS

xxxx

x0x

lim

xxx

10x

lim

xx

1

4

1

22

1

44

1

A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P(4, 2) é:

A equação da reta normal ao gráfico de f no ponto P(4, 2) é:

DERIVADAS

4) -(x 4

1 =2 -y 1

4

x =y

4) -(x 4- =2 -y 184x - =y

Resolva: Calcule as seguintes derivadas usando a definição 

a)

b)

c)

d)

e)

DERIVADAS

5xf

1x2xf

6x4xf

2xxf 2

3xxxf 2

x

xfxxfxf 00

0x0

lim)('

Regras de Derivação: f(x) = c, onde c Є R, então f’(x) = 0 f(x) = x então f’(x) = 1 f(x) = xn, onde n Є R*, então f’(x) = n.xn-1

f(x) = c.g(x), então f’(x) = c. g’(x) h(x)= f(x) ± g(x) se f e g são diferenciáveis em x, então h’(x)= f’(x) ± g’(x)

A derivada da soma ou da diferença é a soma ou a diferença das derivadas.

h(x)= f(x).g(x) se f e g são diferenciáveis em x, então h’(x)=f’(x).g(x) +g’(x).f(x)

se f e g são diferenciáveis em x, então

DERIVADAS

xg

xfxh

2xg

xgxfxfxgxh

'.'.'

h(x)= f(x).g(x) se f e g são diferenciáveis em x, então h’(x)= f’(x).g(x)+g’(x).f(x) Demonstração:

Adicionando e subtraindo ao numerador a expressão f(x +x) .g(x) temos:

DERIVADAS

x

xfxxfxf

0x

)()(lim'

x

xgxxgxg

0x

)()(lim'

x

xgxfxxgxxf0x

)().()().(lim

x

xgxf .g(x) )x +f(x .g(x) )x +f(x xxgxxf0x

)().()().(lim

DERIVADAS

x

xf )x +f(x g(x)g(x)xxgxxf

0x

)(.)().(lim

x

xf )x +f(x g(x)g(x)xxgxxf

0x

)(.)().(lim

x

xf )x +f(x g(x)

x

g(x)xxgxxf

0x0x

)(.lim

)().(lim

x

xf )x +f(x g(x)

x

g(x)xxgxxf

0x0x0x0x

)(lim.lim

)(lim).(lim

xfxgxgxf '.'.

Exemplo: Usando as regras de derivação encontre a derivada das seguintes funções:

a)

b)

c)

d)

DERIVADAS

32

x

1x3)x(f

)xx2)(x2x()x(f 235

1x

1x2x)x(f

4

23

))()(()( x2x51x31xxf 32

se f e g são diferenciáveis em x, então

Demonstração:

DERIVADAS

x

xfxxfxf

0x

)()(lim'

x

xgxxgxg

0x

)()(lim'

xg

xfxh

2xg

xgxfxfxgxh

'.'.'

x

xgxf

xxg

xxf

0x

)()(

)(

)(

lim

)().(

)().()().(lim

xgxxg

xxgxfxgxxf

x

10x

Adicionando e subtraindo ao numerador a expressão f(x) .g(x) temos:

DERIVADAS

)().(

)().()().(lim

xgxxg

xxgxf .g(x) f(x) .g(x) f(x)xgxxf

x

10x

)().(

)()(.

)(

limxgxxg

x

g(x)xxg. f(x)xg

x

f(x)xxf

0x

)(lim).(lim

)(limlim)(lim.

)(lim

xgxxgx

g(x)xxg. f(x)xg

x

f(x)xxf

0x0x

0x0x0x0x

xgxg

xgxfxgxf

.

'..'

2xg

xgxfxgxf '..'