APLICAÇÕES ADICIONAIS DA DERIVADA

Aula 05 – Matemática I - Agronomia

Prof. Danilene Donin Berticelli

FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES

•Intuitivamente, sabemos que uma função f(x) é crescente quando a curva de f se inclina para cima e decrescente quando a curva se inclina para baixo.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

PDB/Ano

Gráfico dos gastos

com armamentos dos

países do antigo

bloco soviético como

porcentagem do PDB

durante o período

crucial de 1990 a

1995 que se seguiu

à extinção da União

Soviética.

DEFINIÇÃO

Função Crescente e Função Decrescente: Seja f(x) uma função definida no intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 e sejam 𝑥1 e 𝑥2 dois números no intervalo. Nesse caso,

𝑓(𝑥) é crescente no intervalo se 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) para qualquer 𝑥2 > 𝑥1.

𝑓(𝑥) é decrescente no intervalo se 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1) para qualquer 𝑥2 > 𝑥1.

Como se pode ver nas figuras acima, se as inclinações das retas tangentes à curva de uma função f(x) são

todas positivas no intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, a inclinação da curva é para cima e f(x) é crescente no intervalo.

Como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada f’(x), concluímos que f(x) é crescente nos

intervalos em que 𝑓’(𝑥) > 0. Da mesma forma, f(x) é decrescente nos intervalos em que 𝑓’(𝑥) < 0.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Um experimento de resposta do feijão (g/vaso) à adição de fósforo x, em que 0 ≤ 𝑥 ≤ 210 (ppm P),

aproximou-se pela função:

𝑓 𝑥 = −0,00000083𝑥3 + 0,0000678 𝑥2 + 0,061792𝑥+ 6,7287

Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente e o ponto de inflexão e justifique seu

significado.

USO DA DERIVADA PERA DETERMINAR OS INTERVALOS EM QUE A FUNÇÃO F É CRESCENTE E DECRESCENTE

1º passo: Determine todos os valores de x para os quais 𝑓’(𝑥) = 0 ou 𝑓’(𝑥) não é contínua e assinale estes valores em uma reta de números dividindo, assim, a reta em um certo número de intervalos abertos.

2º passo: Escolha um número de teste c para cada intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 determinado no 1º passo e calcule 𝑓’(𝑐).

Se 𝑓’(𝑐) > 0, a função 𝑓(𝑥) é crescente no intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.

Se 𝑓’(𝑐) < 0, a função 𝑓(𝑥) é decrescente no intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.

EXEMPLO 1

Determine os intervalos em que a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥³ + 3𝑥² − 12𝑥 − 7 é crescente ou decrescente.

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Valores Y

EXEMPLO 2

Determine os intervalos em que a função 𝑓 𝑥 = 𝑥²

𝑥−2 é crescente e decrescente.

𝑓 𝑥 = −0,00000083𝑥 3 + 0,0000678 𝑥 2 + 0,061792𝑥 + 6,7287

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 50 100 150 200 250

Valores Y

𝑓´ 𝑥 = −0,00000249𝑥2 + 0,0001356𝑥 + 0,061792

𝑓´ 𝑥 = 0

𝑥´ = −132,64 𝑒 𝑥´´ = 187,1

𝑓´ 𝑐 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −132,64 𝑒 − 132,64 < 𝑥 < 187,1 ⇒ 𝑓 𝑥 é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑓´ 𝑐 < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 187,1 ⇒ 𝑓 𝑥 é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

EXERCÍCIOS

Determine os intervalos em que a função dada está aumentando e diminuindo:

A) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5

B) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 − 4

C) 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥4 + 100

0

5

10

15

20

25

30

-4 -2 0 2 4 6 8

f(x)=x²-4x+5

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

f´(x)=2x-4

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)=x³-3x-4

-5

0

5

10

15

20

25

30

-4 -2 0 2 4 6

f´(x)=3x²-3

𝑓 𝑥 = 𝑥 5 − 5𝑥 4 + 100

-175

-150

-125

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

125

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

-4 -2 0 2 4 6

𝑓´ 𝑥 = 5𝑥 4 − 20𝑥 3

EXEMPLO

A receita obtida com a venda de um tipo de máquina t semanas após o lançamento do produto é dada por:

𝑅 𝑡 =63𝑡−𝑡²

𝑡2+63 0 ≤ 𝑡 ≤ 63

milhões de reais.

Em que instante a receita é máxima?

Qual é esta receita?

Receita máxima?

EXTREMOS RELATIVOS A simplicidade dos gráficos das figuras anteriores pode ser enganadora.

A figura a seguir mostra um gráfico mais geral.

Observe que existem “picos” e “vales”. Mas

só é possível traçar tangentes horizontais em

alguns pontos.

Em x5 temos um “ponto de quebra”, não

existe tangente.

O ponto x1 existe uma tangente horizontal

que não é um pico nem um vale.

EXTREMOS RELATIVOS Como os métodos do cálculo podem ser usados para localizar e identificar os “picos”

e “vales” de uma função?

(o que, por sua vez, facilita o traçado da curva associada e ajuda a resolver problemas de otimização).

Os “picos” de uma função f são chamados de máximos relativos

de f e os “vales” são chamados de mínimos relativos.

Os máximos e mínimos relativos são conhecidos pelo nome global

de extremos relativos.

EXTREMOS RELATIVOS

Dizemos que uma função 𝑓(𝑥) possui um máximo relativo no ponto 𝑥 = 𝑐 se 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para todos os valores de x em um intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 que contenha o ponto c. Uma função 𝑓(𝑥) possui um mínimo relativo no ponto 𝑥 = 𝑐 se 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para todos os valores de x em um intervalo 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 que contenha o ponto c. Os máximos e mínimos relativos de f são conhecidos pelo nome global de extremos relativos.

NÚMEROS CRÍTICOS E PONTOS CRÍTICOS

Como uma função 𝑓(𝑥) é crescente quando 𝑓’(𝑥) > 0 e decrescente quando 𝑓’(𝑥) < 0, os únicos pontos nos quais 𝑓(𝑥) pode possuir um extremo relativo são aqueles em que 𝑓’(𝑥) é nula ou não existe. Estes pontos são tão importantes que recebem um nome especial.

Números Críticos e Pontos Críticos – um número 𝑐 pertencente ao domínio

de 𝑓(𝑥) é chamado de número crítico se 𝑓’(𝑐) = 0 ou se 𝑓’(𝑐) não existe.

O ponto correspondente (𝑐, 𝑓(𝑐)) no gráfico de 𝑓(𝑥) é chamado de ponto

crítico de 𝑓(𝑥). Os extremos relativos podem ocorrer apenas em pontos

críticos. gráficos

Três pontos críticos

(c, f(c)) nos quais

f´(c)=0.

Máximo Relativo

Mínimo Relativo Nem máximo nem mínimo Relativo

Como

fica f´(x)

em cada

caso?

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 2 4 6

Três pontos críticos

(c, f(c)) nos quais

não existe.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5

Máximo

Relativo

Mínimo

Relativo

Nem Máximo

nem Mínimo

Relativo

O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Podemos usar o sinal da derivada para determinar os pontos críticos como máximos relativos, mínimos relativos ou nenhuma coisa nem outra.

Seja um número crítico de 𝑓(𝑥) (isto é, 𝑓´(𝑐) = 0 ou 𝑓´(𝑐) não existe). Neste caso, o ponto crítico 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) é:

Um máximo relativo se 𝑓´(𝑥) >0 à esquerda de c e

𝑓´(𝑥) < 0 à direita de 𝑐.

Um mínimo relativo se 𝑓´(𝑥) < 0 à esquerda de c e

𝑓´(𝑥) > 0 à direita de 𝑐.

Um ponto ordinário se 𝑓´(𝑥) > 0 ou 𝑓´(𝑥) < 0 dos

dois lados de 𝑐.

Representar graficamente.

EXEMPLO

Determine todos os números críticos da função: 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 4𝑥² + 3.

APLICAÇÕES

Depois de determinar os intervalos nos quais a função f(x) é crescente ou decrescente e localizar os extremos relativos, podemos esboçar a curva da função.

Segue uma descrição passo a passo do método para esboçar o gráfico de uma função contínua usando a derivada.

MÉTODO PARA ESBOÇAR UM GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO CONTÍNUA 𝑓(𝑥) USANDO A DERIVADA 𝑓´(𝑥)

1º passo: Determinar o domínio de 𝑓(𝑥). Construa uma reta de números restrita

apenas aos números do domínio de 𝑓(𝑥).

2º passo: Determine 𝑓´(𝑥) e assinale os números críticos na reta de números obtida

no 1º passo.

3º passo: Para cada número crítico c, calcule o valor de 𝑓(𝑐) e plote o ponto crítico

𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) em um sistema de eixos coordenados, com uma “copa” ∩ em P se P for

um máximo relativo (↗ ↘) ou um “copo” ∪ se P for um mínimo relativo (↘ ↗). Plote

também os pontos correspondentes a interseções com eixos x e y e outros pontos

fáceis de determinar.

4º passo: Desenhe o gráfico de 𝑓 como uma curva suave ligando os pontos críticos

de tal forma que a curva suba nas regiões em que 𝑓´(𝑥) > 0, desça das regiões

em que 𝑓´(𝑥) < 0 e tenha uma tangente horizontal nos pontos em que 𝑓´(𝑥) = 0.

EXEMPLO

Trace a curva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 8𝑥3 + 18𝑥² − 8.

Trace a curva da função 𝑔 𝑥 = 3 − 2𝑥 − 𝑥².

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)=x4 +8x3 + 18x²-8

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

g(x) = (3-2x-x²)1/2

EXERCÍCIOS

1) Determine os intervalos em que a função está aumentando e diminuindo:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 1

b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥5 − 5𝑥3

2) Determine os pontos críticos da função dada e classifique como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário:

a) 𝑓 𝑡 = 10𝑡6 + 24𝑡5 − 15𝑡4 + 3

b) 𝑓 𝑥 = 3 − (𝑥 + 1)3

3) Use os métodos de cálculo para traçar o gráfico da função dada:

A) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2

B) 𝑓 𝑥 = 𝑥3(𝑥 + 5)2

4) O custo para produzir x unidades de uma mercadoria é C(x) milhares de reais, onde 𝐶 𝑥 = 𝑥3 − 20𝑥2 + 179𝑥 + 242.

A) Determine 𝐴´(𝑥), onde 𝐴(𝑥) =𝐶(𝑥)

𝑥 é a função custo médio.

B) Para que valores de x a função A(x) é crescente? Para que valores é decrescente?

C) Para que nível de produção x o custo médio é mínimo? Qual é este custo?

5) Uma empresa determina que se x milhares de reais forem investidos na propaganda de um produto, S(x) unidades do produto serão vendidas, onde 𝑆 𝑥 = −2𝑥3 + 27𝑥2 + 132𝑥 + 207 0 ≤ 𝑥 ≤ 17.

A) Desenhe a curva de S(x).

B) Quantas unidades serão vendidas se a empresa não investir em publicidade?

C) Quanto a empresa deveria investir em publicidade para maximizar as vendas? Qual é o nível máximo de vendas?