DepartamentodeMatemática-UEL -2010 UlyssesSodré · Seção1 Retasnoplanoesuasinclinações 2 1...

Matemática EssencialDerivadas de Funções Reais

Departamento de Matemática - UEL - 2010

Ulysses Sodréhttp://www.mat.uel.br/matessencial/

Conteúdo

1 Retas no plano e suas inclinações 2

2 Circunferências e algumas relações 8

3 Tangentes e secantes em gráficos de funções 10

4 Derivadas de funções reais 12

5 Derivadas laterais 14

6 Regras gerais de derivação 16

7 Regra da cadeia 16

8 Fórmulas para derivadas de algumas funções 17

9 Exercícios especiais aplicados 17

‘O temor do Senhor é o princípio do conhecimento; mas os insensatosdesprezam a sabedoria e a instrução.’ A Bíblia Sagrada, Provérbios 1:7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arquivo: derivadas.tex - Londrina-PR,9 de Junho de 2010.

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Seção 1 Retas no plano e suas inclinações 2

1 Retas no plano e suas inclinações

1. Uma reta no plano cartesiano possui a equação reduzida na forma

y = ax +b

se ela não é uma reta vertical e

(a) a é o coeficiente angular (ou declividade, ou inclinação), e

(b) b é o coeficiente linear (ou intercepto) da reta.

2. O coeficiente angular a é a tangente do ângulo α formado entre a retae o eixo OX orientado positivamente, isto é, a = tan(α).

Figura 1: Uma reta e os seus coeficientes

3. O coeficiente linear b (ou intercepto) é a distância marcada no eixo OYdesde a origem do sistema até o ponto da reta que corta o eixo OY .

4. A reta horizontal que passa por P = (a,b) é denotada por y = b.

Figura 2: Uma reta vertical e outra reta horizontal

5. A reta vertical que passa pelo ponto P = (a,b) é denotada por x = a.

Matemática Essencial - Derivadas de Funções Reais - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010


6. A reta com equação reduzida y = x representa a função identidade.

7. As três retas definidas por y = 2x − 3, y = 2x e y = 2x + 3, possuemo mesmo coeficiente angular a = 2, o que significa que elas são retasparalelas, pois possuem coeficientes lineares diferentes.

Figura 3: Três retas paralelas com coeficiente angular a=2

8. As três retas definidas por y =−2x −3, y =−2x e y =−2x +3, possuemo mesmo coeficiente angular a = −2, significando que elas são retasparalelas, pois possuem coeficientes lineares diferentes.

Figura 4: Três retas paralelas com coeficiente angular a=-2

9. Quando uma reta tem equação y = kx onde k ∈ R, esta reta passapela origem do sistema, representando um tipo muito importante defunção denominada função linear.



10. Seja uma família de retas da forma y = kx. Usando os valores reais dek =−3,−2,−1,−1

2 ,0, 12 ,1,2,3 podemos observar as suas formas gráficas.

Figura 5: Retas passando pela origem com coeficientes angulares diferentes

11. Dada uma variável x, que assume dois valores x0 (x inicial) e x1 (x final),definimos a diferença entre estes dois valores por

∆x = x1 −x0 = xfinal −xinicial

A diferença entre x0 = 5 e x1 = 12 é igual a

∆x = x1 −x0 = 12−5 = 7

e a diferença entre x0 =−5 e x1 = 12 é igual a

∆x = x1 −x0 = 12− (−5) = 17

12. Se y = g (x) e y0 = g (x0) e y1 = g (x1), definimos a diferença entre estesdois valores y0 (y inicial) e y1 (y final) por

∆y = y1 − y0 = yfinal − yinicial = g (x1)− g (x0)

Se y = g (x) = x3, x0 = 5 e x1 = 7, a diferença entre y0 = g (5) = 125 ey1 = g (7) = 343 é igual a

∆y = y1 − y0 = g (x1)− g (x0) = g (7)− g (5) = 343−125 = 218



Se y = g (x) = x3, x0 =−3 e x1 = 7, a diferença entre y0 = g (−3) =−27 ey1 = g (7) = 343 é igual a

∆y = y1 − y0 = g (x1)− g (x0) = g (7)− g (−3) = 343− (−27) = 370

13. Para determinar o coeficiente angular de uma reta, devemos ter doispontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2) da reta e construir a razão:

a = ∆y

∆x= y2 − y1

x2 −x1

Figura 6: Coeficiente angular de uma reta

14. Cuidado: Mantenha a mesma ordem dos índices tanto no numeradorcomo no denominador.

15. Se A = (−2,3) e B = (5,8) são pontos de uma reta, então ∆y = 8−3 = 5,∆x = 5− (−2) = 7, e o coeficiente angular da reta é obtido por:

a = ∆y

∆x= 5

7

16. Se A = (5,8) e B = (−2,3) são pontos de uma reta, então∆y = 3−8 =−5,∆x = (−2)−5 =−7, e o coeficiente angular da reta é obtido por:

a = ∆y

∆x= −5

−7= 5

7



17. Calcular os coeficientes angulares das retas y = 2x+3 e y =−2x+3 quepassam pelo ponto P = (0,3) e têm o mesmo coeficiente linear b = 3.Dica: Usar as medidas da grade quadriculada no desenho:

Figura 7: Retas com coeficientes lineares iguais

18. Com o coeficiente angular a calculado e com as informações do pontoA = (x1, y1) podemos obter a equação reduzida da reta:

y − y1 = a(x −x1)

19. A equação geral da reta possui a forma geral

px +q y + r = 0

onde p, q e r são números reais.

20. Temos duas retas paralelas, quando as duas: (a) são horizontais, ou (b)são verticais, ou (c) possuem o mesmo coeficiente angular.

21. Se o coeficiente angular de uma reta é a, então o coeficiente angular

da reta perpendicular é igual a k =−1

a.

22. Se uma reta passa pelos pontos A = (1,3) e B = (4,7), então a = 4

3e a

sua equação reduzida é dada por

y −3 = 4

3(x −1)



O coeficiente angular da reta perpendicular é k = −3

4e a equação

reduzida da reta perpendicular que passa por A = (1,3) é dada por

y −3 =−3

4(x −1)

23. Temos duas retas perpendiculares (ou ortogonais), quando, (a) uma éhorizontal e a outra é vertical, ou, (b) se uma tem coeficiente angular

k1 = a, a outra tem coeficiente angular k2 =−1

a. Tais retas formam um

ângulo de 90 graus.

Figura 8: Retas perpendiculares

24. Alternativamente, duas retas px + q y + r = 0 e p ′x + q ′y + r ′ = 0 sãoperpendiculares se

p ·p ′+q ·q ′ = 0

25. As retas y = 2x + 3 e y = −1

2x + 5 são perpendiculares. Escrever estas

retas formando um sistema com 2 equações e 2 incógnitas.

2x −1y =−3

1x +2y = 10

Resolvendo este sistema, podemos obter o ponto P = (x0, y0) que estána interseção destas retas perpendiculares.


Seção 2 Circunferências e algumas relações 8

Exercícios: Com as propriedades indicadas em cada item, obter a equaçãoda reta que passa por:

1. A = (6,−2) e B = (9,4)

2. A = (2,3) e B = (2,5)

3. A = (2,3) e B = (5,3)

4. A = (−1,2) e declividade a = 3

5. (5,3) e é paralela à reta y = 2x+7

6. (5,3) e é paralela ao eixo OX

7. (5,3) e é paralela ao eixo OY

8. (0,0) e (1,1)

9. (5,3) e é ortogonal ao eixo OX

10. (5,3) e é ortogonal ao eixo OY

11. (1,2) e é perpendicular à retay = 1

2 x +5

12. (1,2) e é paralela à retay = 1

2 x +5

2 Circunferências e algumas relações

1. A equação da circunferência centrada no ponto C = (0,0) e raio r > 0 é:

x2 + y2 = r 2

Se o raio r = 1 então a equação é x2 + y2 = 1.

Figura 9: Circunferência com raio unitário

Se r = 0, a equação fica na forma x2 + y2 = 0 e esta equação representao ponto C = (0,0), que é uma circunferência degenerada.


Seção 2 Circunferências e algumas relações 9

2. A circunferência centrada em C = (a,b) e tendo raio r > 0 tem equação

(x −a)2 + (y −b)2 = r 2

Se C = (3,4) e o raio r = 7 a equação é (x −3)2 + (y −4)2 = 49.

3. Se P = (x0, y0) é um ponto da circunferência com equação x2 + y2 = r 2

onde (r > 0), então a equação da reta tangente a esta circunferência eque passa pelo ponto P = (x0, y0) é dada por

x0x + y0y = r 2

Por exemplo, a reta tangente à circunferência x2+ y2 = 100 e que passapelo ponto P = (6,8) tem equação

6x +8y = 100

Figura 10: Circunferência e reta tangente em um ponto

Exercícios:

1. Obter a interseção da circunferência x2 + y2 = 9 com a reta y = 2x +3.

2. Obter valores de b para que a reta y = 2x +b tenha interseção com acircunferência x2 + y2 = 9 em dois pontos.


Seção 3 Tangentes e secantes em gráficos de funções 10

3. Obter valor de b de modo que a reta y = 2x + b seja tangente àcircunferência x2 + y2 = 9.

4. Obter valores de b de modo que a reta y = 2x +b não tenha interseçãocom a circunferência x2 + y2 = 9. Exibir um de tais valores.

5. Obter a equação da circunferência centrada no ponto C = (3,3) e que étangente aos eixos OX e OY .

3 Tangentes e secantes em gráficos de funções

1. O quociente das diferenças (de Newton) de uma função y = f (x) noponto x0 é definido como

QN = ∆y

∆x= f (x)− f (x0)

x −x0

sendo que x deve ser um número próximo de x0.

2. Seja a função f : R → R definida por f (x) = 5x2, cujo gráfico é umaparábola dada por y = 5x2.

Figura 11: Gráfico da função f (x) = 5x2

3. Ligando dois pontos da parábola, obtemos uma reta secante à parábola.

4. A equação da reta que passa pelos pontos P = (1,5) e Q = (2,20) temcoeficiente angular:

a = ∆y

∆x= 20−5

2−1= 15


Seção 3 Tangentes e secantes em gráficos de funções 11

e a equação desta reta é da forma y = 15(x−1)+5, ou seja, y = 15x−10.

5. A equação da reta que passa pelos pontos P = (1,5) e Q = (1.8,16.2)tem coeficiente angular:

a = ∆y

∆x= 16.2−5

1.8−1= 11.2

0.8= 14

e a equação desta reta é da forma y = 14(x −1)+5, ou seja, y = 14x −9.

6. A equação da reta que passa pelos pontos P = (1,5) e Q = (1.6,12.8)tem coeficiente angular:

a = ∆y

∆x= 12.8−5

1.6−1= 7.8

0.6= 13

e a equação desta reta é da forma y = 13(x −1)+5, ou seja, y = 13x −8.

7. Podemos montar uma tabela com estas informações e muitas outras:

P Q ∆x ∆y a Reta secante(1,5) (2.0,20.00) 1.00 15.00 15.0 y = 15.0x −10(1,5) (1.9,18.05) 0.90 13.05 14.5 y = 14.5x −9.5(1,5) (1.8,16.20) 0.80 11.20 14.0 y = 14.0x −9(1,5) (1.7,14.45) 0.70 9.45 13.5 y = 13.5x −8.5(1,5) (1.6,12.80) 0.60 7.80 13.0 y = 13.0x −8(1,5) (1.5,11.25) 0.50 6.25 12.5 y = 12.5x −7.5(1,5) (1.4,9.80) 0.40 4.80 12.0 y = 12.0x −7(1,5) (1.3,8.45) 0.30 3.45 11.5 y = 11.5x −6.5(1,5) (1.2,7.20) 0.20 2.20 11.0 y = 11.0x −6(1,5) (1.1,6.05) 0.10 1.05 10.5 y = 10.5x −5.5(1,5) (1.01,5.1005) 0.01 0.1005 10.05 y = 10.05x −5.05(1,5) (1.001,5.010005) 0.001 0.010005 10.005 y = 10.005x −5.005

↓ ↓ ↓ ↓ ↓(1,5) (1,5) 0 0 10 y = 10x −5

8. Em geral, quando há mudança de x0 = 1 para x1 = 1+h, ocorre umavariação ∆x = x1 − x0 = h e o valor de f (x) muda de y0 = f (1) paray1 = f (1+h), sendo que a variação de y é dada por:

∆y = y1−y0 = f (1+h)− f (1) = 5(1+h)2−5 = 5(1+2h+h2)−5 = 10h+5h2


Seção 4 Derivadas de funções reais 12

Assim, o coeficiente angular da reta secante é o quociente de Newton:

ah = ∆y

∆x= 10h +h2

h= 10+5h

9. Desse modo, calculamos o quociente de Newton da função f (x) = 5x2

no ponto x = 1 e depois calculamos o limite

limh→0

∆y

∆x= lim

h→0

10h +h2

h= lim

h→0(10+5h) = 10

10. Quando o limite do quociente de Newton existe em um dado ponto,dizemos que o limite é a derivada de f = f (x) neste ponto.

4 Derivadas de funções reais

1. Se y = f (x) é uma função contínua sendo x a variável independente ey a variável dependente de x e x0 é um ponto pertencente ao domíniode f = f (x) e x é um ponto móvel próximo a x0, podemos tomar asdiferenças ∆x = x −x0 e ∆y = y1 − y0, onde y0 = f (x0) e y = f (x).

2. O quociente das diferenças (de Newton) é definido por

∆y

∆x= y − y0

x −x0= f (x)− f (x0)

x −x0

3. Derivada de uma função: Se existe o limite do quociente de Newtonquando x se aproxima de x0, este limite recebe o nome de derivada dafunção f = f (x) em x0 e indicado por qualquer uma das formas abaixo:

f ′(x0) = limx→x0

∆y

∆x= lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x −x0= lim

h→0

f (x0 +h)− f (x0)

h

4. Notações para a derivada de uma função y = f (x) no ponto x0, são:

f ′(x0) D f (x0)d f

d x(x0)

d y

d x(x0)

•f (x0)


Seção 4 Derivadas de funções reais 13

5. Obtemos a derivada de y = f (x) = x2 em x0 = 3, com o limite:

f ′(3) = limh→0

f (3+h)− f (3)

h= lim

h→0

(3+h)2 −32

h

= limh→0

(9+6h +h2)−9

h= lim

h→0

6h +h2

h= lim

h→0(6+h) = 6

6. Interpretação geométrica: Ver Figura 12. O valor f ′(3) = 6 significaque a reta tangente à curva y = x2 no ponto P = (3,9) tem coeficienteangular a = 6 e a reta tangente é y = 6(x −3)+9, isto é, y = 6x −9.

Figura 12: Circunferência e reta tangente em um ponto

7. Função derivada: Podemos derivar uma função f = f (x) em um pontoarbitrário x do seu domínio, construindo uma outra função f ′ = f ′(x)que é a função derivada da função f = f (x). Por exemplo, se f (x) = x3,então a função derivada é f ′(x) = 3x2, pois:

f ′(x) = limh→0

f (x +h)− f (x)

h= lim

h→0

(x +h)3 −x3

h

= limh→0

(x3 +3x2h +3xh2 +h3)−x3

h

= limh→0

3x2h +3xh2 +h3

h= lim

h→0(3x2 +3xh +h2) = 3x2


Seção 5 Derivadas laterais 14

8. Com a notação da derivadad y

d x= f ′(x), semelhante a uma fração

com numerador d y e denominador d x, definimos a diferencial d y dafunção y = f (x) por

d y = f ′(x)d x = y ′(x)d x

onde d x =∆x, isto é a expressão∆x é definida como sendo d x, quando∆x é muito pequeno (próximo de zero).

Por exemplo, se y = x3 então d y = y ′(x)d x = 3x2d x.

9. Taxa média de variação: A taxa média de variação ym da variável ycom respeito à variável x, é obtida pelo quociente de Newton:

ym = ∆y

∆x

Exemplo: Se uma pessoa viaja 140 km em 2 horas, segue que ∆e = 140e ∆t = 2, logo a velocidade média na viagem foi de

vm = ∆e

∆t= 140

2= 70km/h

10. Taxa de variação instantânea: A derivada de uma função y = f (x)pode ser pensada como uma taxa de variação instantânea da variávely com respeito à variável x, de modo que

f ′(x) = lim∆x→0

∆y

∆x

Exemplo: Se um carro viaja em uma estrada satisfazendo a equaçãohorária e = f (t ) = 100 + 156t − 4t 2, a sua velocidade instantânea noinstante t = 10, denotada por v(10) é dada pela derivada de e = f (t )calculada no ponto t = 10, isto é,

v(10) = f ′(10) = [ f ′(t )]t=10 = [156−8t ]t=10 = 156−80 = 76

5 Derivadas laterais

1. Para analisar se uma função possui derivada em x = a, devemosestudar dois tipos de derivadas laterais: pela esquerda do ponto x = a(x < a) e pela direita do ponto x = a (x > a).


Seção 5 Derivadas laterais 15

2. A derivada lateral pela esquerda é o coeficiente angular da reta tan-gente à curva y = f (x) no ponto x = a analisando apenas a parte dacurva à esquerda do ponto x = a, isto é, quando x < a

3. A derivada lateral pela direita é o coeficiente angular da reta tangenteà curva y = f (x) no ponto x = a analisando apenas a parte da curva àdireita do ponto x = a, isto é, quando x > a

4. Devemos calcular estas derivadas laterais, pois a função pode ter umcomportamento quando os valores de x são menores do que a e outrocomportamento quando os valores de x são maiores do que a.

5. Seja a função modular f (x) = |x|, com o gráfico mostrado na Figura 13.A tangente à curva y = |x| à esquerda de x = 0 tem inclinação a =−1, ea tangente à curva y = |x| à direita de x = 0 tem inclinação a =+1, logo,esta função contínua não possui derivada em x = 0.

Figura 13: Função modular e as derivadas laterais em x=0

6. Uma função f = f (x) tem derivada lateral pela esquerda em x = a, seexiste o limite

f ′(a−) = limh→0h<0

f (a +h)− f (ax)

h

e tem derivada lateral pela direita em x = a, se existe o limite

f ′(a+) = limh→0h>0

f (a +h)− f (ax)

h


Seção 6 Regras gerais de derivação 16

7. Se as duas derivadas laterais de f = f (x) no ponto x = a são iguais,dizemos que a função f = f (x) tem derivada em x = a.

8. Se as duas derivadas laterais de f = f (x) no ponto x = a são diferentes,dizemos que a função f = f (x) não tem derivada em x = a.

6 Regras gerais de derivação

Se u = u(x) e v = v(x) são funções contínuas reais que possuem derivadasem um ponto x e α ∈R é uma constante, então:

1. (α)′ = 0

2. (u + v)′(x) = u′(x)+ v ′(x)

3. (u − v)′(x) = u′(x)− v ′(x)

4. (αv)′(x) =αv ′(x)

5. (u.v)′(x) = u′(x).v(x)+u(x).v ′(x)

6.(u

v

)′(x) = v(x).u′(x)−u(x).v ′(x)

v2(x)

7. (α)′ = 0

8. (u + v)′ = u′+ v ′

9. (u − v)′ = u′− v ′

10. (αv)′ =αv ′

11. (u.v)′ = u′.v +u.v ′

12.(u

v

)′= v.u′−u.v ′

v2

7 Regra da cadeia

É usual definirmos uma função y = g (x) e depois definirmos x = f (t ).Assim, temos uma composição das funções g e f , que é denotada pory = g ( f (t )). A derivada da função composta g ◦ f é dada por

(g ◦ f )′(t ) = g ′( f (t )) · f ′(t )

Exemplo: Se g (x) = x4 e x = 1+ t 7, então (g ◦ f )(t ) = g ( f (t )) = g (1+ t 7) =(1+ t 7)4 e desse modo a derivada é dada por

(g ◦ f )′(t ) = g ′( f (t )) · f ′(t ) = (4x3)(7t 6) = 4(1+ t 7)3(7t 6) = 28t 6(1+ t 7)3

Exemplo: Se g (x) = sin(x) e x = 1+2t , então (g ◦ f )(t ) = g ( f (t )) = g (1+2t ) =sin(1+2t ) e assim a derivada é dada por

(g ◦ f )′(t ) = g ′( f (t )) · f ′(t ) = cos(x)(2t ) = cos(1+2t ) ·2t = 2t cos(1+2t )


Seção 8 Fórmulas para derivadas de algumas funções 17

8 Fórmulas para derivadas de algumas funções

1. (α)′ = 0

2. (x)′ = 1

3. (x2)′ = 2x

4. (x3)′ = 3x2

5. (xn)′ = nxn−1

6. (αxn)′ =αnxn−1

7. (sin(x))′ = cos(x)

8. (cos(x))′ =−sin(x)

9. (ex)′ = ex

10. (ln(x))′ = 1

x

11. (ax)′ = ln(a)ax

12. (tan(x))′ = sec2(x)

13. (sin(2x))′=2cos(x)

14. (cos(5x))′ = −5sin(5x)

15. (ekx)′ = kekx

16. (ln(ax))′ = 1

x

17. (52x)′ = 2ln(5)52x

18. (tan(3x))′ = 3sec2(3x)

9 Exercícios especiais aplicados

1. Extraído de Risebrough,R.W. “Effects of environmental pollutants uponanimals other tham man” Proceedings of the 6th Berkeley Symposiumon Mathematics and Statistics, VI, p.443-463. (Berkeley, University ofCalifornia Press, 1972).

Altos níveis de PCB (Bifenil Policlorado), no ambiente afetam peli-canos. Ver http://pt.wikipedia.org/wiki/Bifenilpoliclorado ehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Ascarel.

A tabela abaixo mostra que o aumento da concentração (ppm)1 de PCBnas cascas dos ovos, diminui a espessura da casca (mm)2, provavel-mente causando a quebra de ovos.

Concentração c (ppm) 87 147 204 289 356 452Espessura h (mm) 0,44 0,39 0,28 0,23 0,22 0,14

Obter a taxa média de variação na espessura da casca quando aconcentração de PCB varia de 87 ppm para 452 ppm. Não deixe deindicar o resultado nas unidades apropriadas.Solução:

∆h

∆c= .

.1ppm = partes por milhão2mm = milímetros


Seção 9 Exercícios especiais aplicados 18

2. Extraído de “Investigating the next ‘Silent Spring’.” US News e WorldReport, p.50-52. (11 de março de 1996).Alguns cientistas suspeitam que certos produtos químicos sintéticosinterferem no sistema hormonal humano. Em estudo controversofeito na Dinamarca em 1992, foi relatado que a contagem média deesperma masculino humano tinha decrescido de 113 milhões pormililitro em 1940 para 66 milhões por mililitro em 1990.

(a) Obter a taxa média de variação da contagem de esperma.

(b) Sabe-se que a fertilidade de um homem é afetada se a sua con-tagem de esperma cai abaixo de 20 milhões por mililitro. Se ataxa média de variação continuar igual à obtida no estudo daDinamarca, em que ano a contagem média de esperma masculinocairá abaixo de 20 milhões por mililitro?

3. Nas montanhas dos Andes, no Perú, o número de espécies de morce-gos decresce quando a elevação3 aumenta. Seja a figura: Zoólogos

Figura 14: Número de morcegos em função da elevação

afirmam que o número N de espécies de morcegos em uma dadaelevação é uma função da elevação h (metros), tal que N = f (h).

(a) Interpretar a afirmação f (150) = 100 em função do número deespécies de morcegos.

(b) Quais são os significados de k no intercepto vertical e de c na linhahorizontal.

3elevação = altura do local em relação ao nível do mar.



4. O número S de sons emitidos a cada minuto por um grilo de árvoreé uma função da temperatura T medida em graus Fahrenheit, pelaequação S = f (T ) = 4T −160. Obter a taxa média de variação de sonspor minuto S quando a temperatura muda de 600 F para 700 F.

5. Em geral, quanto mais fertilizante se usa, melhor é o rendimento dacolheita, mas, se for aplicado muito fertilizante o rendimento da col-heita cai rapidamente. Esboçar um gráfico que mostra o rendimentoda colheita em função da quantidade de fertilizante aplicado.

6. Extraído de “Average Weight of Americans by Height and Age” TheWorld Almanac (New Jersey) Funk and Wagnalls, p.956., 1979.Segundo o estudo sobre Figuras e Pressão sanguínea, realizado pelaSociedade dos Atuários, que fornece o peso médio w (libras) parahomens americanos de 60 a 70 anos, para várias alturas h (polegadas).

Altura h 68 69 70 71 72 73 74 75Peso w 167 172 176 181 186 191 196 200

De acordo com a tabela acima:

(a) Obter uma função linear que fornece uma boa aproximação dopeso médio em função da altura para homens nesta faixa etária.

(b) Indicar a inclinação desta reta obtida no item anterior.

(c) Indicar as unidades para esta inclinação.

(d) Interpretar esta inclinação em função da altura e do peso.

7. O gráfico da temperatura em graus Fahrenheit 0F em função da tem-peratura em graus Celcius 0C é uma reta. Temos que 2120F corre-sponde a 1000C 4 e 320F corresponde a 00C 5.

(a) Obter a inclinação e a equação da reta F = F (C ).

(b) Usar a equação da reta F = F (C ) para obter a temperatura emgraus Fahrenheit que corresponde a 200C.

(c) obter o valor numérico em que a temperatura em graus Celsiuscoincide com a temperatura em graus Fahrenheit.

4ponto de ebulição da água5ponto de congelamento da água



8. Uma empresa de fotocópias possui duas tabelas de preços. A primeiratabela indica um preço fixo de $100 mais $0,03 por cópia, mas asegunda tabela indica um preço fixo de $200 mais $0,02 por cópia.

(a) Para cada tabela, obter a função que indica o custo total em funçãodo número de cópias.

(b) Construir os gráficos das duas retas.

(c) Determinar qual tabela é mais barata para obter 5000 cópias.

(d) Indicar o número de cópias cujo preço é igual nas duas tabelas.

9. Extraído de K. Schmidt-Nielson: Scaling-Why is Animal Size is Impor-tant? (Cambridge: CUP, 1984).A massa do coração de um mamífero é linearmente proporcional àmassa do seu corpo.

(a) Obter uma fórmula para a massa H do coração em função damassa B do corpo do mamífero.

(b) Um ser humano com massa B = 70 kg tem um coração com massaH = 0,42 kg. Use esta informação para obter a constante deproporcionalidade.

(c) Avaliar a massa do coração de um cavalo, cuja massa corporal éB = 650 kg.

10. Extraído de Scientific American, p.112, (September, 1989).Se N é o número médio de espécies em uma ilha com área A, obser-vações mostram que N é aproximadamente proporcional à raiz cúbicade A. Escrever uma fórmula para N em função da área A e construir ográfico desta função. A constante de k de proporcionalidade dependeda região do mundo onde você faz a observação.

11. A área S da superfície de um mamífero satisfaz à equação S = kM 2/3

onde M é a massa do corpo e a constante k de proporcionalidadedepende da forma do corpo do mamífero. Um ser humano de massaM = 70 kg possui uma área superficial S = 18600 cm2. Obter aconstante k para seres humanos. Obter a área da superfície de um serhumano com 60 kg.



12. Extraído de US News & World Report, August 18, 1997, p.79.Biólogos estimam que o número N de espécies animais com um certocomprimento de corpo é inversamente proporcional ao quadrado docomprimento L do corpo. Escrever uma fórmula para o número Nem função do comprimento L. Pergunta: Existem mais espécies comgrande comprimento ou com pequeno comprimento?

13. O tempo T de circulação de um mamífero6 é proporcional à raiz quartada massa B do mamífero.

(a) Escrever uma fórmula para o tempo T de circulação em função damassa B do corpo.

(b) Se um elefante tem B = 5230 kg com um tempo de circulação deT = 148 s, obter a constante de proporcionalidade.

(c) Determinar o tempo de circulação de um ser humano que possuia massa B = 70 kg.

14. A massa S de sangue de um mamífero é proporcional à massa B docorpo. Um rinoceronte com massa B = 3000 kg tem massa de sangueS = 150 kg. Obter uma fórmula para a massa S de sangue de ummamífero em função da massa do corpo B e avaliar a massa de sangueS de um ser humano cuja massa corporal é B = 70 kg.

15. Extraído de Problems of Relative Growth, J.S.Huxley: (Dover,1972) e de“On the Dynamics of Exploited Fish Populations” por R.J.Beverton andS.J.Holt, Fischery Investigations, Series II, 19, 1957.Alometria estuda o tamanho relativo de diferentes partes do corpo emfunção do crescimento. Aqui analisamos a equação alométrica: “amassa de um peixe é proporcional ao cubo do seu comprimento”.

x(cm) 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43m(g) 332 363 391 419 455 500 538 574 623 674 724

A tabela associa a massa m de um tipo de peixe ao seu comprimentox. Os dados se ajustam à curva m = kx3 de modo aproximado? Seé verdade, obtenha a constante k de proporcionalidade, explicandocada resposta.

6circulação = tempo médio que leva todo o sangue no corpo para circular uma vez e voltar ao coração



Figura 15: Curva cúbica ajustada aos dados da tabela


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