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Exercıcios

DELINEAMENTO EM BLOCOSCASUALIZADOS (DBC)

Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha

Universidade Estadual de LondrinaDepartamento de Estatıstica

08 de julho de 2017

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

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IntroducaoVantagens e desvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Introducao

O delineamento em blocos ao acaso ou o delineamento emblocos casualizados sao aqueles que levam em consideracao os3 princıpios basicos da experimentacao;

O controle local e feito na sua forma mais simples e e chamadode blocos;

Sempre que nao houver homogeneidade das condicoes expe-rimentais, deve-se utilizar o princıpio do controle local;

Estabelece-se, entao, sub-ambientes homogeneos (blocos) einstalando, em cada um deles, todos os tratamentos, igual-mente repetidos;


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Nessas condicoes, o delineamento em blocos casualizados emais eficiente que o inteiramente ao acaso e, essa eficienciadepende da uniformidade das parcelas de cada bloco;

Pode-se haver diferencas bem acentuadas de um bloco paraoutro.

O numero de blocos e de repeticoes coincide apenas quando ostratamentos ocorrem uma unica vez em cada bloco.


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Vantagens

1 controla as diferencas que ocorrem nas condicoes ambientais,de um bloco para outro;

2 conduz a uma estimativa mais exata para a variancia residual,uma vez que a variacao ambiental entre blocos e isolada.


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Desvantagens

1 pela utilizacao do princıpio do controle local, ha uma reducaono numero de graus de liberdade do resıduo;

2 a exigencia de homogeneidade das parcelas dentro de cadabloco limita o numero de tratamentos, que nao pode ser muitoelevado.


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Tabulacao dos dados

Suponha a tratamentos que serao comparados e b blocos. Suponhaainda que ha uma observacao por tratamento em cada bloco e aordem em que os tratamentos sao atribuıdos a cada um dos blocose determinado aleatoriamente. Os dados seriam da forma:

Blocos

Tratamentos 1 2 . . . b Totais Medias

1 y11 y12 · · · y1b T1 y1

2 y21 y22 · · · y2b T2 y2

......

... · · ·...

......

a ya1 ya2 · · · yab Ta ya

Totais B1 B2 . . . Bb G

Ti =b∑

j=1

yij Bj =a∑

i=1

yij yi =b∑

j=1

yijb

e y =a∑

i=1

b∑j=1

yijab

.


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Modelo estatıstico

O modelo estatıstico para este delineamento e:

yij = µ+ τi + βj + εij ,

{i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , b

(1)

em que:

a) µ e a media geral (ou uma constante);

b) yij e o valor observado na parcela que recebeu o i-esimo tratamentono j-esimo bloco;

c) τi e um parametro que representa o i-esimo efeito de tratamento;

d) βj e um parametro que representa o j-esimo efeito de bloco;

e) εij e um componente do erro aleatorio, associado ao j-esimo bloco ei-esimo tratamento, tal que εij ∼ NID(0, σ2).


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Quando se instala um experimento no delineamento em blocos aoacaso, o objetivo e, em geral, verificar se existe diferenca significa-tiva entre pelo menos duas medias de tratamentos. As hipotesestestadas sao:

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µa

H1 : µi 6= µi ′ Pelo menos duas medias de trat. diferem entre si

Uma forma equivalente de escrever as hipoteses anteriores e emtermos dos efeitos dos tratamentos τi , que e:

H0 : τ1 = τ2 = · · · = τa = 0

H1 : τi 6= 0 Pelo menos um tratamento


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Uma outra hipotese a ser testada, que nao e comum, seria o efeitode blocos, ou seja, se realmente ha heterogeneidade na area expe-rimental para justificar a subdivisao dessa area e utilizar essa in-formacao em possıveis novos experimentos.

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µb

H1 : µj 6= µj ′ Pelo menos duas medias de blocos diferem entre si

Uma forma equivalente de escrever as hipoteses anteriores e emtermos dos efeitos dos blocos βj , que e:

H0 : β1 = β2 = · · · = βb = 0

H1 : βj 6= 0 Pelo menos um bloco


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Do modelo estatıstico

yij = µ+ τi + βj + εij ,

{i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , b

(2)

Tem-se que os estimadores de mınimos quadrados para µ, τi e βj ,sao dados por:

µ = y ;τi = yi − y ; i = 1, 2, . . . , a

βj = yj − y ; j = 1, 2, . . . , b.


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ANAVA

Para verificarmos se a hipotese nula (H0) e rejeitada ou nao, completa-seo seguinte Quadro da Analise de Variancia:

Tabela 1: Quadro da Analise de Variancia.

CV S.Q. G.L. Q.M. Fcalc Ftab

Tratamentos SQtrat a− 1 SQtrat

a−1QMtrat

QMresF(α;GLtrat ,GLres )

Blocos SQblocos b − 1 SQblocosb−1

QMblocos

QMresF(α;GLblocos ,GLres )

Resıduo SQres (a− 1)(b − 1) SQres(a−1)(b−1)

Total SQtotal ab − 1

Se Fcal > Ftab, rejeita-se H0 a um nıvel α de significancia.

Em geral, nao se testa o efeito de blocos.


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Soma de Quadrados

E assim, a soma de quadrados dos desvios de todos os dados emrelacao a media e particionada da seguinte forma:

a∑i=1

b∑j=1

(yij−y)2 =a∑

i=1

b∑j=1

(yi−y)2+a∑

i=1

b∑j=1

(yj−y)2+a∑

i=1

b∑j=1

(yij+y−yi−yj)2

SQtotal = SQtrat + SQblocos + SQres


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SQtotal =a∑

i=1

b∑j=1

(yij − y)2 =a∑

i=1

b∑j=1

y2ij −

(∑a

i=1

∑bj=1 yij)

2

ab

SQtrat =a∑

i=1

b∑j=1

(yi − y)2 =

∑ai=1 T

2i

b−

(∑a

i=1

∑bj=1 yij)

2

ab

SQblocos =a∑

i=1

b∑j=1

(yj − y)2 =

∑bj=1 B

2j

a−

(∑a

i=1

∑bj=1 yij)

2

ab

em que Ti e o total do i-esimo tratamento e Bj e o total do j-esimobloco.

SQres = SQtotal − SQtrat − SQblocos


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ExercıciosExemplo 1

Exemplo 1

Com a finalidade de estudar os efeitos da administracao de raızes etuberculos, como suplementacao de inverno na alimentacao de vacasem lactacao, considerou-se um experimento em blocos casualizadoscom 4 tipos de suplementos (tratamentos) e 5 racas (blocos). Asproducoes medias diarias de leite (kg) sao apresentadas na proximaTabela.


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ExercıciosExemplo 1

Exemplo 1

Tabela 2: Valores de producao de leite (kg).

Tratamentos

Blocos Sem Batata Totaissupl.

Mandioca ArarutaDoce

Gir 6,4 10,9 12,0 11,2 40,5

Holandesa 6,2 11,6 10,9 11,6 40,3

Jersey 6,2 11,4 11,5 10,9 40,0

Nelore 7,1 10,4 11,1 12,1 40,7

Guzera 6,6 12,4 11,8 10,1 40,9∑5j=1 yij 32,5 56,7 57,3 55,9 202,4

Ao nıvel de 5% de significancia, concluir a respeito da suplementacao

pela analise de variancia


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ExercıciosExercıcio 1

Exercıcio 1

Num experimento simulado de alimentacao de poedeiras, utilizou-secinco tipos de racoes (tratamentos) e quatro repeticoes. O delinea-mento utilizado foi blocos ao acaso em que a constituicao dos blocosfoi levando em consideracao os pesos das poedeiras. Portanto, numbloco colocou-se as melhores poedeiras, no outro as de segunda es-colha e assim por diante. Na Tabela 3 sao apresentados os numerosmedios de ovos por poedeira, durante o perıodo total de postura,nos diferentes tratamentos e blocos.


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ExercıciosExercıcio 1

Exercıcio 1

Tabela 3: Numero medio de ovos por ave nos respectivos tratamentos eblocos.

Tratamentos Bloco I Bloco II Bloco III Bloco IV Total

A 202,5 200,4 180,9 190,3 774,1

B 220,3 215,4 219,6 210,5 865,8

C 210,7 205,6 200,4 190,8 807,5

D 230,4 225,6 215,7 220,1 891,8

E 200,0 194,1 180,7 190,0 764,6

Total 1063,9 1041,1 997,1 1001,7 4103,8

a) Enuncie as hipoteses e proceda a analise de variancia;

b) Caso haja significancia dos tratamentos, aplique o teste de Tukey;


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