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Deformações e isotopias deálgebras de Jordan

Maria Eugenia Martin

TESE APRESENTADA AO INSTITUTO DE

MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE

DOUTOR EM MATEMÁTICA

Orientadora: Profª. Drª. Iryna Kashuba

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autorrecebeu auxílio financeiro da CAPES e do CNPq.

Universidade de São Paulo

São Paulo, 14 de agosto de 2013

Universidade de São PauloInstituto de Matemática e Estatística

Deformações e isotopias de álgebras de Jordan

Maria Eugenia Martin

Orientadora: Profª. Drª. Iryna Kashuba

Esta é a versão original da tese apresentada ao

Instituto de Matemática e Estatística para obtençãodo título de Doutor em Matemática, tal como

submetida à Comissão Julgadora.

São Paulo, 14 de agosto de 2013

i

AGRADEC IMENTOS

Agradeço, primeiramente, à professora Iryna Kashuba por me introduzir nesta interes-

sante área da matemática, pela sua orientação, amizade e dedicação.Agradeço aos professores da banca pelas correções, comentários e sugestões. Aos profes-

sores I. Shestakov IME-USP e P. Koshlukov IMECC-UNICAMP pelos conselhos valiosose por me introduzir ao conceito de isotopias.

Agradeço ao CNPq e a CAPES por terem financiado este projeto.À minha família e amigos que sempre me incentivaram, e estiveram comigo apesar da

distância. Em especial, aos meus sogros por cuidarem da minha filha enquanto realizavaeste trabalho.

À minha filha Paloma pela paciência e compreensão dos momentos ausente.E, por último, quero agradecer muito especialmente ao meu marido Daniel pela compa-

nhia, infinitos conselhos, muitas revisões, ajuda com a língua portuguesa, em fim portudo o que ele fez para que seja possível a realização deste trabalho.

iii

RESUMO

Neste trabalho apresentamos a classificação algébrica e geométrica das álgebras de Jor-

dan de dimensões pequenas sobre um corpo k algebricamente fechado de char k 6= 2

e sobre o corpo dos números reais. A classificação algébrica foi realizada de duas ma-

neiras: a menos de isomorfismos e a menos de isotopias. Enquanto que a classificaçãogeométrica foi feita estudando as variedades de álgebras de Jordan Jorn para n 6 4 e

JorRn para n 6 3. Provamos que Jor4 tem 73 órbitas sob a ação de GL(V) e que é a união

dos fechos de Zariski das órbitas de 10 álgebras rígidas, cada um dos quais corresponde

a uma componente irredutível. Analogamente, mostramos que JorR

3 tem 26 órbitas e éa união dos fechos de Zariski das órbitas de 8 álgebras rígidas. Também obtivemos que

o número de componentes irredutíveis em Jor5 é > 26. Construímos ainda três famí-lias de álgebras rígidas não associativas, não semisimples e indecomponíveis as quais

correspondem a componentes irredutíveis de Jorn e JorR

n para todo n > 4.

Palavras-chaves: Álgebras de Jordan, Deformação, Isotopia

v

ABSTRACT

In this work we present the algebraic and geometric classification of Jordan algebras of

small dimensions over an algebraically closed field k of char k 6= 2 and over the field ofreal numbers. The algebraic classification was accomplished in two ways: up to isomor-

phism and up to isotopy. On the other hand, the geometric classification was obtainedstudying the varieties of Jordan algebras Jorn for n 6 4 and JorR

n for n 6 3. We prove

that Jor4 has 73 orbits under the action of GL(V) and it is the union of Zariski closures ofthe orbits of 10 rigid algebras, each of which correspond to one irreducible component.

Analogously, we show that JorR

3 has 26 orbits and it is the union of Zariski closures ofthe orbits of 8 rigid algebras. Also we obtain that the number of irreducible components

in Jor5 is > 26. We construct three families of indecomposable non-semisimple, non-associative rigid algebras which for any n > 4, correspond to irreducible components of

Jorn and JorR

n.

Keywords: Jordan Algebras, Deformation, Isotopy

vii

SUMÁR IO

Introdução 1

1 Introdução às Álgebras de Jordan 7

1.1 Definições e Exemplos 7

1.2 Resultados Principais 12

1.3 Decomposição de Peirce 15

1.4 Extensões e Cohomologia 17

2 Classificação Algébrica das Álgebras de Jordan de Dimensão 4 sobre um Corpo

Algebricamente Fechado 21

2.1 Álgebras de Jordan de Dimensão menor que 4 22

2.1.1 Álgebras de Jordan de Dimensão 1 22



2.2 Álgebras de Jordan de Dimensão 4 23

2.2.1 Álgebras de Jordan Semisimples 24

2.2.2 Álgebras de Jordan com Radical de Dimensão 1 25



2.2.5 Álgebras de Jordan Nilpotentes 41

2.2.6 Observações 43

3 Classificação Algébrica das Álgebras de Jordan de Dimensão 3 sobre o Corpodos Números Reais 45

3.1 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão menor que 3 46

3.1.1 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 1 46

3.1.2 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 2 46

3.2 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 3 46

3.2.1 Álgebras de Jordan Reais Semisimples 47

3.2.2 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 1 48

3.2.3 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 2 50

3.2.4 Álgebras de Jordan Reais Nilpotentes 51

3.2.5 Observações 53

ix

4 Deformações 55

4.1 Introdução à Geometria Algébrica 56

4.1.1 Variedades Algébricas 56

4.1.2 Dimensão 58

4.1.3 Ação de Grupos 59

4.2 Deformações Infinitesimais de Álgebras de Jordan 61

4.3 A Variedade Algébrica Jorn 66

4.4 O Comportamento de uma Álgebra através de Deformação 76

4.5 Algumas Componentes Irredutíveis de Jorm para m > 2 79

5 Classificação Geométrica das Álgebras de Jordan de Dimensão menor ou iguala 4 sobre um Corpo Algebricamente Fechado 85

5.1 A Variedade Algébrica Jor1 85




5.5 Algumas Propriedades da Variedade Algébrica Jor5 110

6 Classificação Geométrica das Álgebras de Jordan de Dimensão menor ou igual

a 3 sobre o Corpo dos Números Reais 113

6.1 A Variedade Algébrica JorR

1 113


2 113


3 115

6.4 Comparação das Variedades JorRn e JorC

n 122

7 Álgebras Isotópicas 125

7.1 Introdução às Isotopias 125

7.2 Classificação Algébrica a menos de Isotopias das álgebras de Jordan Reaisde dimensão 3 128

a Programas em Mathematica 131

a.1 Define o Produto de Jordan na Base Canônica 131

a.2 Verifica se duas Álgebras são Isomorfas 133

a.3 Verifica se uma Álgebra é Flexível, Alternativa, Associativa. 134

a.4 Verifica se é Subálgebra. 135

a.5 Calcula a Dimensão do Centro de uma Álgebra 137

a.6 Calcula a Dimensão das Potências 137

a.7 Calcula Grupos de Cohomologia 137

a.8 Calcula a Dimensão do Grupo de Automorfismo 143

x

a.9 Calcula o Grupo de Automorfismos: 144

a.10 Verifica se uma Álgebra tem Unidade 145

a.11 Realiza a Soma Direta de Álgebras de Jordan; 145

a.12 Decompõe uma Álgebra em Soma Direta 147

a.13 Exibe o Produto da Álgebra na Forma Matricial 147

a.14 Exibe Resumo das Propriedades da Álgebra 147

b Informações sobre as Álgebras de Jordan de Dimensão 4 151

Bibliografia 193

xi

L I STA DE F IGURAS

Fig. 4.1 Equivalências entre os diversos conceitos de deformação e rigidez 73

Fig. 5.1 Descrição completa das órbitas de Jor2 87

Fig. 5.2 Descrição quase-completa das órbitas de Jor3 91

Fig. 5.3 Descrição das órbitas de Jor4 98

Fig. 5.4 Descrição mais completa das órbitas de Jor4 99

Fig. 6.1 Descrição completa das órbitas de JorR2 114

Fig. 6.2 Descrição quase-completa das órbitas de JorR

3 121

xiii

L I STA DE TABELAS

Tabela 2.1 k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2 22

Tabela 2.2 k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 3 22

Tabela 2.3 k-álgebras de Jordan semisimples de dimensão 4 24

Tabela 2.4 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional e

Jss = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 26

Tabela 2.5 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional eJss = T5 27

Tabela 2.6 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2) 27

Tabela 2.7 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1). 29

Tabela 2.8 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (3) 30

Tabela 2.9 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1, 1) 31

Tabela 2.10 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N =

N0 34


N1 34


N0 ⊕N 12

com dimN0 = 2 35


N0 ⊕N1 com dimN0 = 2 35


N0 ⊕N 12

com dimN 12= 2 36


N0 ⊕N 12⊕N1 38


N0 ⊕N1 com dimN1 = 2 39


N 12⊕N1 com dimN1 = 2 39


N 12⊕N1 com dimN 1

2= 2 40

Tabela 2.19 k-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4 42

Tabela 3.1 R-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2 46

Tabela 3.3 R-álgebras de Jordan semisimples de dimensão 3 48

xv

Tabela 3.4 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional eTss = Re1 ⊕ Re2 48

Tabela 3.5 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional eTss = B ′

4 49

Tabela 3.6 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (2) 50

Tabela 3.7 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (1, 1) 51

Tabela 3.8 R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (3) 51

Tabela 3.9 R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (1, 1, 1) 52

Tabela 3.10 R-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 3 de tipo (2, 1) 52

Tabela 5.1 Existência de deformações em Jor2 87



Tabela 5.7 Álgebras de Jordan de dimensão 5 111

Tabela 6.1 Existência de deformações em JorR

2 115

Tabela 6.2 Existência de deformações em JorR3 119

Tabela 6.3 Existência de deformações em JorR

3 120

Tabela 6.4 Existência de deformações em JorR3 121

Tabela 6.5 Comparação das variedades JorC

n e JorR

n 123

Tabela 7.1 Quantidade de álgebras de Jordan unitárias de dimensão 3 130

xvi

I NTRODUÇÃO

Neste trabalho apresentamos a classificação algébrica e geométrica das álgebras de Jor-

dan de dimensões pequenas sobre um corpo k algebricamente fechado de char k 6= 2 esobre o corpo dos números reais.

O problema de classificação algébrica foi abordado de duas maneiras: primeiramente

determinamos todas as estruturas algébricas de uma certa dimensão n a menos de iso-morfismos e posteriormente utilizaremos esses resultados para refinar esta classificação

ao determinar todas as estruturas algébricas a menos de isotopias.

Determinar as classes de isomorfismos de uma estrutura algébrica é um problemaamplamente estudado. Apesar disso, a única classe de álgebras (associativas, Jordan e

Lie) que foi completamente descrita é a classe das álgebras simples. Em geral, a listade todas as álgebras é conhecida somente em dimensões pequenas. Em 1975, P. Gabriel

apresentou em [15] a lista de todas as álgebras associativas unitárias sobre um corpoalgebricamente fechado de dimensão menor ou igual a 4. Quatro anos mais tarde, G.

Mazzola, em seu trabalho [36], estendeu a classificação para as álgebras de dimensão 5.Por outro lado, no contexto de álgebras de Lie a classificação é conhecida até dimensão

6, veja [29].

No que diz respeito às álgebras de Jordan, H. Wesseler em [52] descreveu as álgebrasunitárias sobre um corpo algebricamente fechado até dimensão 6. Em, particular ele

mostrou que essas álgebras são especiais. De modo mais geral, em 1989, H. Sherkulovem [46] classificou todas as álgebras de Jordan não associativas de dimensão menor ou

igual a 4 e em 2011, em seu artigo [6], Ancochea Bermúdez e outros determinaram asleis das álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 3 e 4 sobre o corpo dos números

complexos. Neste trabalho generalizaremos estes resultados e classificaremos a menosde isomorfismos todas as álgebras de Jordan (unitárias e não unitárias, associativas e não

associativas) de dimensão n para n 6 4 sobre um corpo k algebricamente fechado dechar k 6= 2.

Quando consideramos um corpo arbitrário o problema da classificação algébrica é

ainda mais complicado pois a classificação depende de maneira essencial do corpo queestivermos considerando e, em geral, não é possível obter uma classificação. Para corpos

bases especiais, como por exemplo o corpo dos p-ádicos ou o corpo dos números reaiso problema pode ser completamente resolvido mas mesmo com essas restrições a deter-

minação de todas as classes de isomorfismos de álgebras de Jordan de dimensão fixa

1

sobre o corpo dos números reais R só é conhecida completamente no caso de álgebrasde Jordan semisimples. Os resultados na literatura para álgebras de Jordan (e até mesmo

Lie e associativas) sobre R são muito escassos, inclusive para dimensões pequenas. Em2007, Ancochea Bermúdez e outros classificaram algebricamente as álgebras associativas

de dimensão 2 sobre R no trabalho [4] e posteriormente, em [5], as álgebras de Jordande dimensão 2. Neste trabalho apresentaremos a lista de todas as álgebras de Jordan de

dimensão n para n 6 3 sobre o corpo dos números reais.

Tendo obtido esta classificação temos metade do caminho percorrido em relação àquestão de classificar álgebras de Jordan a menos de isotopias, pois se duas álgebras são

isomorfas então elas são isotópicas. Uma álgebra homótopa de uma álgebra de Jordané, resumidamente, uma nova álgebra de Jordan cujo produto é definido a partir de um

elemento dado da álgebra original através do produto triplo de Jordan. Homotopiasomente define uma relação de equivalência se a álgebra original é unitária e o elemento

dado é invertível, em tal caso a álgebra homótopa é chamada de isótopa.

O conceito de isotopia foi introduzido em 1958 por N. Jacobson em [22] e em [21] eledeterminou as identidades fundamentais nas quais a teoria de isotopias se baseia, i.e

identidades relativas ao produto triplo de Jordan. Já, M. Koecher, em seu trabalho [30],utilizou as propriedades funtoriais do conceito de homotopia (por ele denominado de

“mutuação”) para explicitar uma construção de espaços simétricos Hermitianos de tipocompacto como uma compactificação de uma álgebra de Jordan semisimples complexa

de dimensão finita.

Neste trabalho determinamos todas as classes de equivalências dessa relação para asálgebras de Jordan unitárias de dimensão 3 sobre o corpo dos reais. A ideia de realizar

a classificação neste trabalho surgiu como uma sugestão dos professores I. ShestakovIME-USP e P. Koshlukov IMECC-UNICAMP durante o exame de qualificação.

Ressaltamos que para álgebras associativas a noção de isotopia não desempenha papel

importante pois os conceitos de álgebras isotópicas e isomorfas coincidem. Provaremosque isso não acontece com as álgebras de Jordan reais e, assim, que o conceito de isotopia

fornece uma relação de equivalência mais ampla que o conceito de isomorfismo.

Nossa motivação para obter a classificação algébrica vem da intenção de entender avariedade das álgebras de Jordan, i.e., de descrever geometricamente tais álgebras. A

saber, seja k um corpo algebricamente fechado de char k 6= 2 ou o corpo dos númerosreais. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n sobre k, com base e1, . . . , en

fixa, para introduzirmos uma estrutura de álgebra de Jordan em V especificamos n3

constantes estruturais ckij ∈ k, de modo que o produto na álgebra resultante é dado por

ei · ej =n∑

k=1

ckijek, para todo i, j ∈ 1, . . . ,n.

2

A escolha das constantes não é arbitrária e deve refletir os fatos que a álgebra é comu-tativa e que satisfaz a identidade de Jordan. Estas restrições se manifestam através de

equações polinomiais nas constantes estruturais, e assim podemos interpretar o espaçodas constantes estruturais como um subconjunto afim Zariski-fechado da variedade kn3

que chamaremos de variedade das álgebras de Jordan de dimensão n e denotaremos porJorn. Um ponto qualquer (ckij) ∈ Jorn representa, na base fixa, uma k-álgebra de Jordan

J de dimensão n.

O problema de determinar os pontos genéricos de Jorn ou, equivalentemente, as com-ponentes irredutíveis da variedade algébrica pode ser formulado geometricamente como

segue: o grupo geral linear G = GL(V) age em Jorn via “transporte de estrutura”, de-compondo a variedade Jornem G-órbitas as quais correspondem às classes de álgebras

de Jordan isomorfas. Se uma álgebra J pertence ao fecho de Zariski da órbita de uma ou-tra álgebra J ′ da variedade então dizemos que J ′ é uma deformação de J. Uma álgebra

J cuja órbita sob a ação de G, JG, é aberta na topologia de Zariski de Jorn é chamada derígida. Álgebras rígidas são de particular interesse pois o fecho da órbita de tais álgebras

gera uma componente irredutível da variedade.

Note que analogamente podemos definir a variedade das álgebras associativas e de Lie.Denotaremos elas por Assocn e Lien, respetivamente. A geometria de ambas é bastante

complicada. Em 1890 E. Study em [48] considerou álgebras associativas complexas dedimensão 4 e mostrou que é impossível achar uma álgebra genérica, o equivalentemente,

que Assoc4 tem mais de uma componente irredutível.

Em 1964, M. Gerstenhaber em seu trabalho [16] introduziu a noção formal de deforma-ção infinitesimal entre álgebras associativas. Seja A uma álgebra associativa de dimensão

n e considere uma n3-upla g = gijk(t) de series de potências na variável t, tal que g(t)

defina uma multiplicação associativa na álgebra At = V⊗k(t) e gijk(0) coincida com

as constantes estruturais de A, então dizemos que A tem sido deformada em At. Em[13] foi demostrado que a definição analítica de deformação implica na geométrica. Em

particular, uma álgebra de dimensão finita A é rígida se toda gijk(t) satisfazendo ascondições anteriores define uma álgebra At isomorfa a A para todo t ∈ k. Também foi

provado por Gerstenhaber que se o segundo grupo de cohomologia de A ∈ Assocn comcoeficientes em A, H2(A,A), é trivial então A é uma álgebra rígida. Quatro anos depois,a teoria de deformação analítica introduzida por Gerstenhaber para álgebras associativas

foi estendida a álgebras de Lie por Nijenhuis e Richardson em [40].

Em 1968, F. Flanigan em [13] comparou a estrutura de uma álgebra deformada At

com a estrutura da álgebra original tal comparação é análoga para álgebras de Jordan.

Também em [14] ele mostrou que cada componente irredutível de Assocn ou é o fechoda órbita de uma álgebra rígida ou é o fecho da união de uma família infinita de órbitas

de álgebras que chamou de semi-rígidas.

3

Em [15, 1975] P. Gabriel descreveu todas as álgebras genéricas da subvariedade fe-chada das álgebras associativas unitárias de Assocn para n 6 4. De fato, esta é uma boa

referência para conferir as características básicas que uma componente irredutível deveter, tais como a dimensão do radical das álgebras, a dimensão do grupo de automorfis-

mos, etc. Alem disso, em [36, 1979] G. Mazzola, aluno de Gabriel, presentou o diagramade inclusão das órbitas das álgebras associativas unitárias de dimensão 5 e provou que

existem dez componentes irredutíveis nesta subvariedade de Assoc5. Outra questão con-siderada por Mazzola é relacionada com a variedade das álgebras comutativas unitárias

dentro de Assocn, ele provou que esta variedade é irredutível, veja [37, 1980] e suasreferências. Em [29, 1987] A. Kirillov e Y. Neretin descreveram as componentes da vari-

edade das álgebras de Lien para n 6 6. Uma generalização recente desta teoria ocorrequando consideremos a variedade de representações de álgebras ao invés da variedade

de álgebras.

Em relação à variedade Jorn as referencias são bastantes recentes. Em [26, 2005] foramdescritas todas as deformações todas as deformações em Jor3 e em [27, 2006] foram con-

sideradas as subvariedades fechadas das álgebras de Jordan unitárias de Jorn para n 6 5

sendo nesses casos descritas as componentes irredutíveis. Também, foram estendidos

para o caso de álgebras de Jordan algumas propriedades e fatos conhecidos para Assocne Lien. Finalmente, em [6, 2011] foram usadas deformações infinitesimais para estudar

as álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4 sobre o corpo dos complexos. O objetivodeste trabalho foi generalizar os resultados de [27] e [6] para obter uma descrição com-

pleta das componentes irredutíveis de Jorn para n 6 4 sobre um corpo algebricamentefechado e para n 6 3 sobre o corpo dos números reais.

Dividimos esta tese em 7 capítulos. O primeiro capítulo constitui uma introdução

à teoria estrutural de álgebras de Jordan de dimensão finita, onde apresentaremos osprincipais conceitos e os resultados básicos.

No Capítulo 2 trabalhamos na classificação algébrica a menos de isomorfismos das

álgebras de Jordan de dimensão n para n 6 4 sob a suposição que o corpo de definição k

é algebricamente fechado e de char k 6= 2. Estes resultados nos forneceram os conjuntos

de classes de álgebras não isomorfas em cada dimensão menor ou igual que 4 o que nospermitiu determinar o número de órbitas sobre a ação de G nas variedades Jorn quecorrespondem a: 2 órbitas em Jor1, 6 órbitas em Jor2, 20 órbitas em Jor3 e finalmente 73

órbitas em Jor4. Os resultados deste capítulo foram publicados em International Journal

of Mathematics, Game Theory and Algebra, veja [35, 2013].

No Capítulo 3, analogamente ao capítulo anterior trabalhamos na classificação algé-

brica das álgebras de Jordan a menos de isomorfismos, mas neste caso as álgebras foramconsideradas sobre o corpo dos números reais e com dimensão menor ou igual a 3, de-

notamos a variedade destas álgebras como sendo JorRn. Obtivemos que os números de

4

G-órbitas nas variedades JorRn são: 2 órbitas em JorR

1 , 7 em JorR2 e, por último, temos 26

órbitas em JorR

3 .

O Capítulo 4 contém as principais ferramentes que serão necessárias para o objetivo

da classificação geométrica. Começamos com uma rápida revisão de alguns conceitose terminologia da geometria algébrica com ênfase especial nos grupos algébricos e sua

ação em variedades. Definimos a variedade das álgebras de Jordan de dimensão n eapresentamos os métodos usados nos capítulos seguintes para descrever as componentes

irredutíveis assim como também as deformações entre as álgebras de Jordan. Além deintroduzir critérios que determinarão a não existência de deformação entre um par de

álgebras dadas. Provaremos com um exemplo que rigidez não é preservada por adjunçãoformal de um elemento identidade. Mostraremos também que em toda variedade de

álgebras de Jordan de dimensão maior ou igual a 4 temos pelo menos 3 componentesirredutíveis que provêm de álgebras rígidas que são indecomponíveis, não associativas e

não semisimples, logo as variedades Jorn para n > 4 são redutíveis. Por fim, constatamosalgumas novas equivalências entre os conceitos de rigidez.

No Capítulo 5 aplicamos os resultados do capítulo anterior para determinar e dar uma

descrição completa das componentes irredutíveis de Jorn, para n 6 4 e provamos que asvariedades consideradas são conexas e têm dimensão n2. Concluímos que a variedadeJor1 é irredutível, que a variedade Jor2 tem 2 componentes irredutíveis e que a variedade

Jor4 tem 10 componentes irredutíveis. Estes resultados foram inicialmente apresentadosno artigo [35, 28], submetido ao Journal of Algebra.

Foi provado em [26] que a variedade Jor3 tem 5 componentes irredutíveis, nos comple-

tamos esse trabalho dando uma descrição mais completa de tais componentes. Tambémmostramos que o número de componentes irredutíveis em Jor5 é maior ou igual a 26 e

que rigidez é preservada por soma direta em Jorn para n 6 5. Um estudo análogo aodo Capítulo 2 foi feito no Capítulo 6 onde foram determinadas as componentes irredutí-

veis da variedade JorRn para n 6 3, concluindo que a variedade JorR

3 tem 8 componentesirredutíveis. No final do capítulo foram comparados os resultados obtidos para Jorn e

JorRn.

Por último, no Capítulo 7 foram dadas as definições e os resultados básicos relativosà teoria de álgebras isotópicas além da classificação algébrica das álgebras de Jordan

reais de dimensão 3 a menos de isotopias. Provamos assim que o conceito de isotopiadefine uma relação de equivalência mais ampla que o conceito de isomorfismo pois

encontramos álgebras isotópicas que não são isomorfas.Este trabalho também conta com dois apêndices: o Apêndice A reúne os códigos de

vários programas de computação simbólica elaborado pela autora os quais foram utiliza-dos para calcular os invariantes geométricos das álgebras, i.e., os invariantes preservados

por deformações, tais como: as dimensões dos grupos de automorfismos, as dimensões

5

dos aniquiladores, as dimensões dos radicais nilpotentes, as dimensões das diferentespotências, as identidades satisfeitas assim como também o segundo grupo de cohomo-

logia de cada álgebra. E no Apêndice B apresentamos uma lista das propriedades dasálgebras de Jordan de dimensão 4 as quais foram obtidas utilizando os programas do

Apêndice A.

6

1 I NTRODUÇÃO ÀS ÁLGEBRAS DE JORDAN

Neste capítulo apresentaremos, com a finalidade de fixar notação, os conceitos e os resul-

tados básicos da teoria estrutural das álgebras de Jordan. Esta introdução será divididaem 4 seções, na primeira delas introduziremos os conceitos de álgebras de Jordan espe-

ciais e excepcionais e apresentaremos exemplos de tais álgebras. Lembraremos a defini-ção de álgebra de Jordan nilpotente e definiremos o tipo de nilpotência destas álgebras,

conceito que será de crucial para a classificação algébrica. Relacionados à definição deálgebras nilpotentes temos os conceitos de álgebras simples, semi-simples e de radical

nilpotente.

Na segunda seção enunciaremos duas versões do teorema de Wedderburn para álge-bras de Jordan de dimensão finita e os teoremas de classificação de álgebras de Jordan

simples de dimensão finita, primeiramente sobre um corpo algebricamente fechado elogo após para um corpo arbitrário.

Outro resultado de suma importância para levar a cabo a classificação algébrica das

álgebras de Jordan é a decomposição em subespaços de Peirce para álgebras que pos-suem um sistema de elementos idempotentes ortogonais um a um, este resultado será

apresentado na seção 1.3.

Na quarta e última seção apresentaremos os conceitos de extensão nula e segundogrupo de cohomologia de uma álgebra de Jordan sobre um bimódulo e enunciaremos

uma relação entre ambos no teorema 1.25.

Salientamos que as álgebras consideradas neste texto serão definidas sobre um corpo

arbitrário de característica diferente de 2 e reservamos o símbolo k para denotar talcorpo.

1.1 definições e exemplos

As álgebras de Jordan são uma classe importante de álgebras não associativas e foram

introduzidas em 1932 pelo físico alemão Pascual Jordan em uma tentativa de formulara base da mecânica quântica, em termos do produto de Jordan em vez do produto as-

sociativo. A teoria estrutural das álgebras de Jordan iniciou-se com o trabalho [24] de P.

7

Jordan, J. von Neumann e E. Wigner e foi desenvolvida por Albert em [3] onde foramintroduzidos os conceitos que apresentaremos a seguir.

Definição 1.1. Um conjunto A é chamado de uma álgebra sobre o corpo k, se A possuiuma estrutura de k-espaço vetorial e um produto, i.e., uma aplicação bilinear (x,y) 7→x · y para todo x,y ∈ A, que satisfaz:

x · (y+ z) = x · y+ x · z(x+ y) · z = x · z+ y · zα(x · y) = (αx) · y = x · (αy)

para x, y, z ∈ A e α ∈ k.

Chamaremos “álgebra sobre o corpo k” de k-álgebra ou, simplesmente, de álgebra edenotaremos o produto x · y simplesmente por xy quando não houver ambiguidade.

Definição 1.2. Uma k-álgebra J é chamada de k-álgebra de Jordan (ou, simplesmente,

álgebra de Jordan) se seu produto satisfaz a condição de comutatividade:

xy = yx, (1.1)

para todo x, y ∈ J e uma versão debilitada da associatividade, chamada de identidade

de Jordan:

(x2y)x = x2(yx), (1.2)

para todo x, y ∈ J.

Um subespaço vetorial S ⊆ J que satisfaz SS ⊆ S é chamado de subálgebra de J. Seum subespaço I ⊆ J satisfaz a condição mais forte JI ⊆ I então I é chamado de ideal da

álgebra de Jordan J.

Podemos reescrever a identidade de Jordan 1.2 em termos do associador (x,y, z) :=

(xy)z− x(yz), como sendo

(x2,y, x) = 0.

Linearizando completamente esta última identidade obtemos:

(xy, z, t) + (xt, z,y) + (yt, z, x) = 0, (1.3)

para todos x, y, z, t ∈ J (veja [50, eq.22, p.67]).

8

Seja A uma k-álgebra associativa (i.e. (x,y, z) = 0, para todo x, y, z ∈ A). No espaçovetorial subjacente a A podemos definir uma nova operação de produto ⊙ dada pela

fórmula

x⊙ y =1

2(xy+ yx),

para todo x, y ∈ A, onde xy denota o produto em A. Ao substituir o produto original de

A por ⊙, obtemos uma nova álgebra que será denotada por A(+). É fácil ver que A(+) éuma álgebra de Jordan.

Definição 1.3. Uma álgebra de Jordan especial é um subespaço vetorial de uma k-álgebraassociativa A fechado em relação ao produto ⊙.

É claro que qualquer subespaço vetorial de A fechado em relação ao produto ⊙ é uma

subálgebra de A(+) e, por consequência, uma álgebra de Jordan.As álgebras de Jordan que não são especiais são chamadas de excepcionais.

Observamos que a álgebra A(+) pode ser definida, analogamente, para uma k-álgebraA não necessariamente associativa, mas neste caso a álgebra resultante A(+) não neces-

sariamente será de Jordan, veja o Exemplo 1.6.

Exemplo 1.4. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo k que possui uma forma bilinear

simétrica f = f(x,y) definida em V. Consideramos a soma direta J(V, f) = k · 1⊕ V doespaço vetorial V e do espaço vetorial unidimensional k · 1 com base 1, e definimos o

produto em J(V, f) dado pela regra:

(α · 1+ x)⊡ (β · 1+ y) = (αβ+ f(x,y)) · 1+ (βx+ αy),

onde α, β ∈ k e x, y ∈ V. A álgebra (J(V, f),⊡) é uma álgebra de Jordan e é umasubálgebra de A(+) onde A é a álgebra (associativa) de Clifford de f (veja [23, Cap.VII.1,

Teo.1, p.261]), logo é uma álgebra de Jordan especial, chamada de álgebra de Jordan da

forma bilinear simétrica f. Se, além disso, a forma f for não degenerada e a dimk V > 1,

a álgebra é também simples (veja [50, Ex. 2, pág. 57]).

Exemplo 1.5. Seja U uma álgebra e seja i uma involução em U (i.e. um endomorfismodo espaço vetorial U que satisfaz i(i(u)) = u e i(uv) = i(v)i(u) para todo u,v ∈ U). O

conjunto

H(U, i) = u ∈ U | u = i(u),

dos elementos de U fixos pela ação de i, é fechado em relação ao produto ⊙ e é umasubálgebra da álgebra U(+). Se U for associativa, então U(+) é de Jordan e (H(U, i),⊙) é

uma álgebra de Jordan especial.

9

Uma k-álgebra D com um elemento identidade 1 (veja Definição 1.7) é chamada deálgebra de composição se ela possui uma aplicação n : D → k que satisfaz:

1. n(αx) = α2n(x), onde x ∈ D e α ∈ k;

2. a função f(x,y) = n(x+ y) −n(x) − n(y) é uma forma bilinear simétrica não dege-

nerada em D; e

3. n(xy) = n(x)n(y) para todo x,y ∈ D.

Esta definição nos permite compreender o seguinte exemplo de uma álgebra de Jordanespecial.

Exemplo 1.6. Seja D uma álgebra de composição com involução i e seja Dn = Matn(D)

a álgebra das matrizes de ordem n sobre D. A aplicação j : X 7→ i(X)t que leva uma

matriz X em uma outra matriz obtida da anterior aplicando a involução i a cada entradade X e transpondo, é uma involução da álgebra Dn chamada de involução padrão1

em Dn associada com i. Como Dn é associativa se D é associativa então, é claro quese D é associativa então (H(Dn, j),⊙) é uma álgebra de Jordan especial. Mas se D for a

álgebra de Cayley-Dickson C (i.e uma álgebra de tipo IV no Teorema de Classificação dasÁlgebras de Composição de [50, Teo.1, p.32]), a qual não é associativa mas é alternativa,

então a álgebra (H(Cn, j),⊙) só é de Jordan para n 6 3 (uma prova disto quando n = 3

pode ser encontrada em [50, Teorema 1, p. 54 ]) e (H(C3, j),⊙) é uma álgebra de Jordan

excepcional (veja [1], [50, Teorema 2, p. 55]).

Definição 1.7. Um elemento e em uma álgebra de Jordan J é chamado de identidade ou

unidade no caso que ex = xe = x para todo x ∈ J. Se uma álgebra de Jordan J possuium elemento identidade então J é chamada de álgebra unitária.

Se J é uma álgebra de Jordan sem unidade, então podemos considerar a soma direta

J# = J⊕ k · 1,

onde 1 é o elemento identidade de k e k · 1 é o espaço unidimensional k · 1 = α1 | α ∈ k.O produto em J# é definido por

(x+α · 1)(y+ β · 1) = (xy+αy+ βx) +αβ · 1, (1.4)

onde α, β ∈ k e x, y ∈ J. Chamaremos a álgebra J# de álgebra obtida pela adjunção

formal de um elemento identidade à álgebra J. É fácil ver que 1 é um elemento identi-

dade para a álgebra J# e J é uma subálgebra de J#. De [23, Teorema 6, p. 30] temos queJ# também é uma álgebra de Jordan.

1 A definição de involução padrão é válida para qualquer álgebra D com elemento identidade 1 e involução.

10

Definição 1.8. Sejam J e J ′ duas álgebras de Jordan sobre o corpo k. O produto de

Kronecker J⊗k J ′ é o produto tensorial J⊗k J ′ dos espaços vetoriais J, J ′ onde todos

os elementos são somas∑

x⊗ y, com x ∈ J e y ∈ J ′ e a multiplicação é definida pordistributiva e

(x1 ⊗ y1) (x2 ⊗ y2) = (x1x2)⊗ (y1y2) , onde xi ∈ J, yi ∈ J ′.

Se J e J ′ têm dimensão finita sobre k, então dim (J⊗k J ′) = (dim J) (dim J ′).Em numerosas ocasiões depararemos-nos com o caso em que J ′ é um corpo, geral-

mente uma extensão K de k. Então K contém 1, logo JK = J⊗k K contém J como umasubálgebra sobre k. Além disso, JK é visto como uma álgebra sobre K a qual é chamada

de extensão escalar de J a uma álgebra sobre K. Pode-se verificar que a álgebra JK

também é de Jordan.

Uma álgebra associativa é chamada de nilpotente se para algum número natural n oproduto de quaisquer n elementos da álgebra é zero. Para álgebras não associativas, e

em particular para álgebras de Jordan, deveríamos também indicar a ordem na qual osprodutos são tomados, i.e., a distribuição dos parêntesis.

Definição 1.9. Uma álgebra de Jordan J é chamada de nilpotente se existe um número

natural n tal que o produto de quaisquer n elementos da álgebra, com quaisquer distri-buição de parêntesis seja igual a zero.

O menor de tais números é denominado índice de nilpotência da álgebra J.

Em J definimos indutivamente uma serie de subconjuntos

J1 = J〈1〉 = J,

Jn = Jn−1J+ Jn−2J2 + · · ·+ JJn−1,

J〈n〉 = J〈n−1〉J.

O subconjunto Jn é chamado de n-ésima potência da álgebra J. Segue de imediato da

definição de potência que J ⊇ J2 ⊇ J3 ⊇ · · · onde todos os membros desta cadeia sãoideais da álgebra J. Como J é comutativa a cadeia de subconjuntos J〈1〉 ⊇ J〈2〉 ⊇ · · · ⊇J〈n〉 ⊇ · · · também consiste de ideais da álgebra J e é chamada de série central inferior

de J.

Se existir um s ∈ N tal que J〈s〉 = 0 então, como J2s ⊆ J〈s〉 para qualquer s > 1 ([50,

Prop. 1, p.82 ]), a álgebra J é nilpotente. O mínimo s para o qual isso acontece será

chamado de nil-índice de J.Se s é o nil-índice de uma álgebra de Jordan nilpotente J, definimos o tipo de nilpo-

tência de J como sendo a sequência (n1,n2,n3, · · · ,ns−1) onde ni = dim(

J〈i〉/J〈i+1〉).

11

Observamos que ni > 0 para todo i. De fato, suponha que existe um i ∈ N, 1 6 i 6

s− 1 tal que ni = 0 então dim J〈i〉 = dim J〈i+1〉 e como J〈i+1〉 ⊆ J〈i〉 temos J〈i〉 = J〈i+1〉.

Consequentemente J〈i+2〉 = J〈i〉 · J = J〈i〉, por indução J〈i〉 = J〈k〉 para todo k ∈ N, k >

i. Em particular isto acontece para k = s, então J〈i〉 = J〈s〉 = 0 o que impossível já que s

é o nil-índice de J.

Definição 1.10. Uma k-álgebra de Jordan de dimensão finita J é chamada de:

1. Simples se 0 e J são os únicos ideais de J e além disso J2 6= 0.

2. Semisimples se J é uma soma direta finita de álgebras simples.

3. Simples Central se JK é simples para toda extensão K de k.

4. Separável se JK é semisimples para toda extensão K de k.

Observamos que toda álgebra J simples central é simples e toda álgebra J separável é

semisimples.

1.2 resultados principais

Nesta seção apresentaremos alguns resultados importantes da teoria estrutural das álge-

bras de Jordan que serão ferramentas necessárias na classificação algébrica. Omitiremosas provas de tales fatos que podem ser facilmente encontradas na literatura.

Começaremos enunciando o teorema que K. McCrimmon chama de “Enlightenment

Structure Theorem” em [38] o qual reúne as propriedades principais de uma álgebra de

Jordan cuja dimensão sobre um corpo arbitrário (de char 6= 2) é finita.

Teorema 1.11. [38, Teo. 3.10, p. 79] Seja J uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um

corpo k de característica 6= 2.

1. Existe um único ideal nilpotente maximal de J, que chamaremos de radical (ou radical

nilpotente) de J e será denotado por Rad(J).

2. O quociente J/Rad(J) é uma álgebra de Jordan semisimples, à qual chamaremos de parte

semisimples de J e será denotado por Jss.

3. Se J é semisimples então ela possui um elemento identidade e sua decomposição em álgebras

simples é única.

A seguir enunciaremos um teorema conhecido como “Teorema Principal de Wedderburn”o qual tem sido provado para várias classes de álgebras. Uma prova da seguinte versão

para álgebras de Jordan de dimensão finita pode ser encontrada em [49].

12

Teorema 1.12. Se J é uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um corpo k tal que Jss

é separável então J contém uma subálgebra C tal que J = C+ Rad(J) com C ∩ Rad(J) = 0 e

C ≃ Jss.

Em [41] foi provado que quando o corpo tem char k = 0 o teorema de Wedderburnvale para toda álgebra de Jordan de dimensão finita, i.e. não é necessária a condição de

Jss ser separável:

Teorema 1.13. [41] Seja J uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um corpo k com

char k = 0 então existe uma subálgebra C de J tal que J = C+ Rad(J) com C∩ Rad(J) = 0 e

C ≃ Jss.

Observamos que se o corpo for algebricamente fechado então toda álgebra de Jordande dimensão finita semisimples é separável [23, p.246], logo segue do Teorema 1.11 que

Jss é separável e por tanto (Teorema 1.12) J admite decomposição J = Jss ⊕Rad(J) comosoma direta de subespaços.

Lembramos agora o teorema de Albert que fornece a classificação completa das álge-

bras de Jordan simples de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado.

Teorema 1.14. [23, Corolário 2, pág. 204] Seja J uma álgebra de Jordan simples de dimensão

finita sobre um corpo algebricamente fechado k. Então temos as seguintes possibilidades para J:

a.) J = k;

b.) J = (J(V, f),⊡) a álgebra de Jordan de uma forma bilinear simétrica não degenerada f sobre

um espaço vetorial de dimensão finita V tal que dim V > 1;

c.) J = (H(Dn, j),⊙), n > 3, onde (D, i) é uma álgebra de composição de dimensão 1, 2 ou

4 se n > 4 e de dimensão 1, 2, 4 ou 8 se n = 3 e j é a involução padrão de Dn associada

com i.

Seja J uma k-álgebra de Jordan, podemos associar a ela duas álgebras associativas detransformações lineares. Para isso considere qualquer elemento a ∈ J definimos uma

aplicação da álgebra J em si mesma:

Ma : x 7→ xa para todo x ∈ J.

Esta aplicação é um endomorfismo do espaço vetorial J e é chamada de operador de

multiplicação pelo elemento a. A subálgebra da álgebra de endomorfismos do espaço

vetorial J gerada por todos os possíveis operadores Ma onde a ∈ J, é chamada deálgebra de multiplicação da álgebra J e será denotada por M(J). Os elementos S ∈ M(J)

são da forma S =∑

Ma1Ma2

· · ·Mancom ai ∈ J.

13

A segunda álgebra que associaremos a J é o centroide C(J) de J o qual é o centralizadorde M(J) em Homk(J, J), ou seja C(J) é o conjunto de aplicações lineares T em J tais que

TS = ST para cada S ∈ M(J).

No caso em que J tenha dimensão finita sobre k então o centroide C(J) coincide com

o centro de M(J) ([45, Cap. II, p.13] ), i.e.

C(J) = S ∈ M(J) | TS = ST para todo T ∈ M(J)

Teorema 1.15. [45, Cap. II, p.13] Se J é uma k-álgebra de Jordan simples (de dimensão arbitrária)

então o centroide C(J) de J é um corpo (que contém k). E quando consideramos J como uma

álgebra sobre seu centroide é simples central.

Como consequência do Teorema 1.15 podemos reduzir o problema de classificar álge-

bras de Jordan simples de dimensão finita sobre um corpo arbitrário k ao problema declassificar álgebras de Jordan simples central (de dimensão finita sobre uma extensão do

corpo arbitrário k). Para isso, seja J uma tal álgebra e seja k o fecho algébrico do corpobase k, então Jk é uma álgebra de Jordan simples de dimensão finita sobre um corpoalgebricamente fechado e logo Jk é uma das álgebras listadas no Teorema 1.14, usando

essa informação para determinar J obtemos:

Teorema 1.16. [23, V.7][45, Cap.IV, p.36] Seja J uma álgebra de Jordan simples central de

dimensão finita sobre um corpo k arbitrário. Então temos as seguintes possibilidades para J:

1. J = k,

2. J = (J(V, f),⊡) a álgebra de Jordan de uma forma bilinear simétrica não degene-rada f num espaço vetorial V de dimensão finita tal que dim V > 1,

3. J = (H(A, J),⊙) onde (A, J) é uma álgebra associativa simples central de dimensão

finita com involução J de grau2 n > 3 , ou

4. J é uma álgebra tal que existe uma extensão finita K do corpo base k tal queJK ≃ (H((CK)3, j),⊙) onde (CK)3 é a álgebra das matrizes 3 × 3 com elementos

numa álgebra de Cayley C sobre K e j é a involução padrão de (CK)3 associada coma involução de C.

As únicas álgebras excepcionais na lista são as álgebras de Albert de dimensão 27 (de

tipo 4) como prova Schafer em [45, Cap.IV, Teo.9, p.38], estas foram determinadas em[44].

2 Chamamos de grau de (A, J) sobre k ao inteiro n tal que(

Ak, J)

≃ (Dn, j) onde (D, i) é uma álgebra decomposição associativa, veja [23, Cap.V.7, p.209].

14

1.3 decomposição de peirce

Nesta seção vamos desenvolver algumas das principais ferramentas para a teoria estrutu-ral das álgebras de Jordan. Estamos falando da decomposição de uma álgebra de Jordan

em subespaços de Peirce relativa a um conjunto finito de elementos idempotentes orto-gonais dois a dois. Estes subespaços têm propriedades multiplicativas importantes que

serão apresentadas nos Teoremas 1.18 e 1.19.

Definição 1.17. Um elemento e de uma álgebra de Jordan J é chamado de elemento

idempotente se e2 = e. Um idempotente próprio é um elemento idempotente e 6= 0, 1.

Dois idempotentes e, f são ditos ortogonais se ef = 0.

Como em uma álgebra de Jordan J de dimensão finita (sobre um corpo k algebrica-

mente fechado ou de char k = 0) temos decomposição J = Jss ⊕ Rad(J) com Jss umaálgebra de Jordan semisimples, pelo Teorema 1.11, existe um elemento identidade e em

Jss que pode ser “levantado” a um idempotente e da álgebra J. Então, sem perda degeneralidade, podemos considerar que toda álgebra de Jordan a ser obtida nas classifica-

ções dos Capítulos 2 e 3, ou é nilpotente ou contém um elemento idempotente e.

Pela linearização da identidade de Jordan (1.3) temos que para qualquer elemento

idempotente e ∈ J e qualquer elemento x ∈ J

0 = −(x, e, e2) − (e, e, ex) − (e, e, xe)

= −(x, e, e) − 2(e, e, xe)

= 2((xe)e)e− 3(xe)e+ xe

=[

2M3e − 3M2

e +Me

]

(x),

o que implica que 2M3e− 3M2

e+Me = 0, isto é se f(x) = (x− 1)(2x− 1)x então f(Me) = 0.Logo o polinômio minimal de Me divide f(x) e as únicas possibilidades para as raízes

características de Me são 0, 12 , 1 . Observe que 1 é com certeza uma raiz característica já

que Me(e) = e2 = e 6= 0. Também podemos deduzir que o polinômio minimal de Me

tem raízes simples. Logo, pelo Teorema da Decomposição Primária [43, Teo.7.6,p.168], Jé a soma direta de espaços vetoriais

J = P1 ⊕ P 12⊕P0, onde Pi = x ∈ J | xe = ixcom i = 0, 1

2, 1.

Esta decomposição em soma de subespaços é chamada decomposição de Peirce da

álgebra de Jordan J relativa ao idempotente e . Os subespaços Pi são chamados decomponentes (ou subespaços) de Peirce da álgebra J e suas propriedades multiplicativas

são enunciadas no seguinte teorema.

15

Teorema 1.18. [50, Teo. 4, p. 334] Seja J uma álgebra de Jordan com idempotente e. Então a

tabela de multiplicação para a decomposição de Peirce de J é:

P21 ⊆ P1, P1P0 = (0), P2

0 ⊆ P0,

P0P 12⊆ P 1

2, P1P 1

2⊆ P 1

2, P2

12

⊆ P0 +P1.

Observamos que a decomposição de Peirce é “herdada” por ideais ou por subálgebrasde J contendo e, ou seja se K é um ideal de J ou uma subálgebra contendo e então

K = K0 ⊕K 12⊕K1 onde Ki = K∩Pi, veja [38, Teo.8.1.2, p. 236].

Mais geralmente, no caso em que J seja uma álgebra de Jordan com unidade 1 =∑n

i=1 ei a qual é soma de idempotentes ei dois a dois ortogonais, então

Teorema 1.19. J se decompõe em soma direta de subespaços

J =⊕

16i6j6n

Pij

onde Pii = x ∈ J | xei = x, Pij =x ∈ J | xei = xej =

12x

e as componentes Pij satisfazem

as seguintes relações:

P2ii ⊆ Pii, PijPii ⊆ Pij, P2

ij ⊆ Pii +Pjj,

PijPjk ⊆ Pik, PiiPjj = PiiPjk = PijPkl = (0)

onde os índices i, j, k, l são todos distintos.

Segue do fato da soma ser direta que se x ∈ Pij então xek = 0 para todo k ∈1, · · · , n \ i, j. Para uma prova destes fatos veja [23, Lema 2, p. 120]. Neste caso a de-composição recebe o nome de decomposição de Peirce da álgebra de Jordan J relativa

ao sistema de idempotentes e1, . . . , en e também é herdada por ideais ou subálgebrasde J contendo o sistema de idempotentes ortogonais ([38, Teo. 13.1.4, p.280]).

Suponha agora que J não tenha unidade mas possua um número finito e1, . . . , ende elementos idempotentes dois a dois ortogonais, então vamos considerar a álgebra

J# = J⊕ k · 1 obtida pela adjunção formal de um elemento identidade à álgebra J, paraa qual temos garantida a decomposição de Peirce

J# =⊕

06i6j6n

Pij

relativa ao sistema de idempotentes e0, e1, . . . , en onde e0 = 1− e1− · · ·− en. Observa-

mos que mesmo J sendo subálgebra de J# não podemos aplicar a herda da decomposição

16

pois e0 /∈ J, mas a decomposição de Peirce de J# implica na seguinte decomposição de J

em subespaços:

J =⊕

06i6j6n

P ′ij (1.5)

onde P ′ii = x ∈ J | xei = x para i 6= 0, P ′

00 = x ∈ J | xek = 0, para todo 1 6 k 6 n,

P ′ij =

x ∈ J | xei = xej =

12x

para 0 6= i < j e P ′

0j =x ∈ J | xej =

12x

para j 6= 0. É

importante destacar que se x é um elemento de J que pertence a P ′ij então é conhecida

a ação dos idempotentes e1, . . . , en em x e isto determina a ação de e0 considerandox como um elemento de J#, logo x ∈ Pij quando considerado como um elemento da

álgebra com unidade. É claro que a recíproca é também verdadeira. Como consequênciadisso temos que a tabela de multiplicação dos P ′

ij é análoga à tabela de multiplicação

dos Pij dada no Teorema 1.19.

Todo ideal K de J é claramente um ideal de J#, então K herda a decomposição de Peirce

K =⊕

06i6j6n Kij onde Kij = K ∩ Pij quando considerado como um ideal de J# o queleva à decomposição K =

⊕

06i6j6n K ′ij onde K ′

ij = K ∩ P ′ij quando considerado como

ideal de J. Novamente não podemos aplicar a herda a subálgebras de J já que estas aoigual que J não contém o idempotente e0.

1.4 extensões e cohomologia

Nesta seção apresentaremos e relacionaremos os conceitos de extensões de uma álgebrade Jordan J por um bimódulo de Jordan M, considerando M como uma álgebra de Jordan

com multiplicação trivial e de segundo grupo de cohomologia de J com coeficientes emM. Uma referência para esta seção é o livro de N. Jacobson [23, Cap. II, seção 5 e 8].

Começamos lembrando a definição de bimódulo de Jordan. Seja J uma álgebra de

Jordan sobre um corpo k, M um espaço vetorial sobre k e suponha que temos um par deaplicações bilineares (a,m) → am e (a,m) → ma, onde a ∈ J e m ∈ M de J⊗M em M.

Logo temos

(a1 + a2)m = a1m+ a2m, a(m1 +m2) = am1 + am2,

α(am) = (αa)m = a(αm), α(ma) = (αm)a = m(αa)

para a, a1, a2 ∈ J, m, m1, m2 ∈ M e α ∈ k. Agora seja F = J⊕M o espaço vetorial da

soma direta de J com M e defina em F um produto dado por

(a1 +m1) ⋆ (a2 +m2) = a1a2 + a1m2 +m1a2.

17

É fácil ver que este produto é bilinear, então F é uma álgebra. Mais ainda, J é umasubálgebra e M é um ideal de F tal que M2 = 0.

Definição 1.20. M e as duas aplicações bilineares constituem um bimódulo de Jordan

para J se (F, ⋆) é uma álgebra de Jordan.

Definição 1.21. Seja J uma álgebra de Jordan e seja M um bimódulo de Jordan para J.

Uma aplicação bilinear h : J× J → M a qual satisfaz

h(a,b) = h(b,a)

(h(a,a)b)a+ h(a2,b)a+ h(a2b,a) = a2h(b,a) + h(a,a)(ba) + h(a2,ba)

(1.6)

para todos a, b ∈ J, é chamada de 2-cociclo de J com coeficientes em M. Denotamos o

conjunto de todos os 2-cociclos de J com coeficientes em M por Z2(J,M).

Definição 1.22. Dizemos que dois 2-cociclos h e h ′ de J com coeficientes em M sãoequivalentes se existe uma aplicação linear µ : J → M tal que

h ′(a,b) = h(a,b) − µ(ab) + aµ(b) + µ(a)b, (1.7)

para todo a, b ∈ J.

Esta é uma relação de equivalência no conjunto de todos os 2-cociclos de J com coe-ficientes em M. O conjunto das classes de equivalências determinado por esta relação é

denotado por H2(J,M) e é denominado segundo grupo de cohomologia da álgebra J

com coeficientes em M. Denotamos o conjunto de todos os 2-cociclos equivalentes a 0

por B2(J,M).

Por outro lado vamos considerar as seguintes definições que veremos no final da seçãocomo se relacionam com os conceitos de 2-cociclos e cohomologia.

Definição 1.23. Sejam J e M duas álgebras de Jordan então definimos uma extensão de

J por M como sendo uma sequência exata curta

0 → Mα→ F

β→ J → 0 (1.8)

tal que F é também uma álgebra de Jordan e α e β são homomorfismos de álgebras.

18

Definição 1.24. Duas extensões são chamadas de equivalentes se existe um diagramacomutativo

F

γ

β

0 // M

α

>>⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥

α ′

J // 0.

F ′β ′

??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧

Segue da definição que γ é um isomorfismo de F em F ′.

Dizemos que a extensão (1.8) cinde se existe um homomorfismo δ : J → F tal que

βδ = IdJ seja a aplicação identidade em J. Se este for o caso temos a decomposição emespaços vetoriais F = δ(J)⊕α(M) e δ(J) é uma subálgebra de F isomorfa a J.

Se M é uma álgebra trivial, no sentido que M2 = 0, então a extensão de J por M será

chamada de extensão nula.

Consideremos este tipo de extensões. Notemos primeiro que (1.8) implica que α éinjetora, logo podemos identificar M com α(M) e considerar α como sendo a inclusão

de M em F. Como M tem um subespaço vetorial complementar em F, existe umatransformação linear δ : J → F tal que βδ = IdJ. Assim temos a decomposição em

espaços vetoriais F = M⊕ δ(J). Se a, b ∈ J então

β(δ(a)δ(b) − δ(ab)) = ab− ab = 0.

Como a sequência(1.8) é exata isto implica que δ(a)δ(b) − δ(ab) ∈ M. Logo temos

δ(a)δ(b) = δ(ab) + h(a,b)

onde (a,b) → h(a,b) é uma aplicação bilinear de J× J em M.

Observamos que M tem estrutura de bimódulo de Jordan para J relativa ao produto

bilinear

am = ma = δ(a)m (1.9)

onde a ∈ J, m ∈ M e o produto do lado direito é o produto de F (para uma prova destefato veja [23, p. 92]) e destacamos que h definida por h(a,b) = δ(a)δ(b) − δ(ab) é um

2-cociclo de J com coeficientes em M (considerando M como um bimódulo de Jordanpara J via (1.9)) como consequência das condições impostas pela comutatividade e a

identidade de Jordan (1.2) de J.

19

Reciprocamente, seja J é uma álgebra de Jordan, M um bimódulo de Jordan para J eh um 2-cociclo de J com coeficientes em M. Seja F um espaço vetorial contendo M tal

que existe um isomorfismo linear δ : J → F que satisfaz F = δ(J)⊕M. Então F com amultiplicação definida por:

(δ(a) +m) • (δ(b) +n) = δ (ab)+h(a,b)+an+mb, a,b ∈ J e m,n ∈ M,

é uma álgebra de Jordan e M é um ideal em F tal que M2 = 0 e a estrutura de bimódulode M dada por (1.9) coincide com a original.

Estes fatos se resumem no seguinte teorema.

Teorema 1.25. [23, Teorema 12, p. 94] Seja J uma álgebra de Jordan e M um bimódulo de

Jordan para J, então existe uma bijeção de H2(J,M) no conjunto das classes de equivalências

de extensões nulas de J por M tal que a estrutura de bimódulo em M associada por (1.9) é a

dada. Nesta correspondência a classe de equivalência do 0 em H2(J,M) corresponde à classe de

isomorfismos de extensões cindidas.

20

2 CLASS I F ICAÇÃO ALGÉBR ICA DAS ÁLGEBRAS DE

JORDAN DE D IMENSÃO 4 SOBRE UM CORPO ALGEBR I -

CAMENTE FECHADO

Entendemos por “classificação algébrica” a determinação de todas as classes de isomorfis-

mos de álgebras de Jordan de dimensão fixa. O primeiro passo na classificação algébricade álgebras de Jordan foi dado por A. Albert quem determinou todas as álgebras de

Jordan simples de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado. Mas, excetopara dimensões baixas, uma classificação algébrica completa só é conhecida no caso de

álgebras de Jordan semisimples.

Neste capítulo k denotará um corpo algebricamente fechado de char k 6= 2. A seguirapresentaremos a lista de todas as álgebras de Jordan1 (unitárias e não unitárias, asso-

ciativas e não associativas) de dimensão 4 sobre k. Faremos isto em duas seções, naprimeira introduzimos as álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão menor que

4 com o fim de fixar e simplificar a notação e na segunda descrevemos as álgebras dedimensão 4 não isomorfas de acordo com a dimensão do radical e dos possíveis valores

do tipo de nilpotência.

Usaremos esta descrição para estudar deformações entre álgebras de Jordan e descre-ver a variedade Jor4 no Capítulo 5 deste texto.

Como temos visto no capítulo anterior toda álgebra de Jordan de dimensão finita

sobre um corpo algebricamente fechado pode-se decompor como soma direta de espaçosvetoriais como J = Jss⊕Rad(J), onde Jss = J/Rad(J) é semisimples e Rad(J) é o radical

de J. Consequentemente denotaremos por ei os elementos em Jss e por ni aqueleselementos que pertencem a Rad(J).

1 A classificação foi realizada inspirada no trabalho feito por H. Sherkulov em [46] onde o autor somenteapresentou a lista das álgebras de Jordan não associativas.

21

2.1 álgebras de jordan de dimensão menor que 4

2.1.1 Álgebras de Jordan de Dimensão 1

Existem somente duas k-álgebras de Jordan de dimensão 1 não isomorfas: a álgebra

simples ke com e2 = e e a álgebra nilpotente kn com n2 = 0.


Do teorema de Albert temos que a única álgebra de Jordan semisimples de dimensão

2 é ke1 ⊕ ke2. Se dim Rad(J) = 1 então J tem um elemento idempotente e1, Rad(J) égerado por n1 e a ação de e1 em n1 é dada pelo Teorema 1.18, logo temos que e1n1 = in1

para i = 0, 12 , 1. Isto define 3 álgebras não isomorfas. Finalmente, existem duas álgebras

nilpotentes: a álgebra “trivial”, isto é com multiplicação 0 e a álgebra gerada por n1,

com n31 = 0. Por tanto obtemos as seguintes três k-álgebras de Jordan indecomponíveis

de dimensão 2, que denotaremos por Bi:

Tabela 2.1: k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2

B Tabela de Multiplicação Observação

B1 e21 = e1 e1n1 = n1 n21 = 0 Associativa

B2 e21 = e1 e1n1 = 12n1 n2

1 = 0 Não Associativa

B3 n12 = n2 n1n2 = 0 n2

2 = 0 Nilpotente, Associativa


Em [26] foram descritas todas as álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre um corpo

algebricamente fechado. Dessa lista obtemos as seguintes 10 álgebras indecomponíveisde dimensão 3, que denotaremos por Ti:

Tabela 2.2: k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 3

T Tabela de Multiplicação Observação

T1e21 = e1 n2

1 = n2 n22 = 0

e1n1 = n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

UnitáriaAssociativa

T2e21 = e1 n2

1 = 0 n22 = 0

e1n1 = n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

Unitária

Associativa

22

T3n21 = n2 n2

2 = 0 n23 = 0

n1n2 = n3 n1n3 = 0 n2n3 = 0

Associativa,Nilpotente

T4n21 = n2 n2

2 = 0 n23 = 0

n1n2 = 0 n1n3 = n2 n2n3 = 0

Associativa,

Nilpotente

T5e21 = e1 e22 = e2 e23 = e1 + e2

e1e2 = 0 e1e3 = 12e3 e2e3 = 1

2e3

Unitária,

Não Associativa,Semisimples

T6e21 = e1 n2

1 = 0 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

Não Associativa

T7e21 = e1 n2

1 = 0 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = 1

2n2 n1n2 = 0Não Associativa

T8e21 = e1 n2

1 = n2 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = 0 n1n2 = 0

Não Associativa

T9e21 = e1 n2

1 = n2 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

Não Associativa

T10e21 = e1 e22 = e2 n2

1 = 0

e1e2 = 0 e1n1 = 12n1 e2n1 = 1

2n1

Unitária,

Não Associativa

2.2 álgebras de jordan de dimensão 4

Nesta seção descreveremos todas as 73 álgebras de Jordan de dimensão 4 sobre um corpok algebricamente fechado. A descrição será organizada de acordo com a dimensão do

radical Rad(J) e subsequentemente com os possíveis valores de seu tipo de nilpotência.Durante a descrição será provado que qualquer outra álgebra de Jordan de dimensão

4 sobre um corpo algebricamente fechado é isomorfa a uma das 73 e por último noTeorema 2.2 veremos que as álgebras J1 a J73 são dois a dois não isomorfas.

Quando não houver ambiguidade em relação à álgebra J chamaremos de N ao radical

nilpotente de J a fim de simplificar a notação. Também observamos que como Ji = J〈i〉

para i = 1, 2, 3 usaremos somente a notação de i-ésima potência nestes casos.

Para cada álgebra calcularemos a dimensão do seu grupo de automorfismos2 Aut(J),

de seu aniquilador Ann(J) = a ∈ J | aJ = 0 e de sua segunda potência J2.

2 para a definição veja Seção (4.3)

23

2.2.1 Álgebras de Jordan Semisimples

Para obter a classificação das álgebras semisimples é suficiente, por definição, conhecer

as simples. Para um corpo algebricamente fechado e uma álgebra de dimensão finitaestas últimas foram totalmente determinadas por A. Albert. Segue do Teorema 1.14

que se J é uma álgebra de Jordan simples de dimensão finita m 6 4 sobre um corpo k

algebricamente fechado então, ou J = k ou J é a álgebra de Jordan de uma forma bilinear

simétrica não degenerada sobre um espaço vetorial de dimensão m− 1. Observamos quedesprezamos as álgebras de Jordan J = (H(Dn, j),⊙) dos elementos de Dn para n > 3,

onde (D, i) é uma álgebra de composição, simétricos com respeito à involução padrão j

associada a i, pois no mínimo estas álgebras tem dimensão 6.

Assim, o problema de classificar as álgebras simples de dimensão menor ou igual a4, fica reduzido ao problema de classificar formas bilineares simétricas não degeneradas

sobre espaços vetoriais de dimensão finita.Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n > 2 sobre k, que possui uma forma

bilinear simétrica não degenerada f = f(x,y), de [43, Teo. 11.23, p.287] existe uma baseβ = e1, . . . , en de V tal que f(ei, ei) = 1 e f(ei, ej) = 0 para i 6= j. Então a álgebra de

Jordan (J(V, f),⊡) da forma bilinear f tem base β ′ = 1, e1, . . . , en e é definida pelosprodutos

1⊡ 1 = 1, 1⊡ ei = ei, ei ⊡ ei = 1, ei ⊡ ej = 0 para i 6= j

Logo existem somente 3 álgebras de Jordan simples não isomorfas de dimensão m 6 4:

1. ke1 de dimensão 1,

2. (J(V, f),⊡) onde dimk V = 2, de dimensão 3 e

3. (J(V, f),⊡) onde dimk V = 3, de dimensão 4.

Note que a álgebra do item 2 é isomorfa à álgebra tridimensional T5 via isomorfismo

T : (T5, ·) →(J(V, f),⊡) dado por

T(e1) =1

2· 1+ 1

2e1, T(e2) =

1

2· 1− 1

2e1, T(e3) = e2.

Considerando somas diretas de tais álgebras obtemos todas as álgebras de Jordansemisimples de dimensão 4 sobre k:

Tabela 2.3: k-álgebras de Jordan semisimples de dimensão 4

24

J Tabela de Multiplicaçãodim

Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J1 T5 ⊕ ke4 1 0 4Unitária,

Semisimples

J2

e21 = e1 e22 = e2

e1e3 = 12e3 e1e4 = 1

2e4

e2e3 = 12e3 e2e4 = 1

2e4

e3e4 = 12(e1 + e2)

3 0 4Unitária,

Semisimples

J3 ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4 0 0 4

Unitária,Semisimples,

Associativa

Novamente, note que a álgebra do item 3 é isomorfa à álgebra J2 via isomorfismoT : (J2, ·) →(J(V, f),⊡) dado por

T(e1) =1

2·1− 1

2e1, T(e2) =

1

2·1+ 1

2e1, T(e3) = −ie2+e3, T(e4) =

i

4e2+

1

4e3.

No que segue usaremos o produto dado por J2 já que estamos interessados em conhecer

os elementos idempotentes ortogonais de cada álgebra que nos fornecem a correspon-dente decomposição de Peirce.

2.2.2 Álgebras de Jordan com Radical de Dimensão 1

Considere J uma k-álgebra de Jordan tal que dimN = 1, logo a parte semisimplesJss tem dimensão 3 e pelo Teorema 1.14 temos as seguintes possibilidades ou Jss =

ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ou Jss = T5.

Nota. Quando não houver ambiguidade denotaremos P ′ij e N′

ij simplesmente por Pij eNij para simplificar a notação.

1) Suponha que Jss = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3. Então a álgebra J# = J⊕ k · 1 contém 4 idem-potentes ortogonais e1, e2, e3 e e0 = 1− e1 − e2 − e3, logo usando a decomposição de

Peirce (1.5) temos:

J = P00 ⊕P01 ⊕ P02 ⊕P03 ⊕ P11 ⊕P12 ⊕ P13 ⊕P22 ⊕ P23 ⊕P33,

e como o radical N é um ideal de J este herda a decomposição:

N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N03 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N13 ⊕N22 ⊕N23 ⊕N33,

25

onde Nij = N ∩ Pij. Seja n1 uma base de N, então J é completamente definida pelosubespaço de Peirce ao qual n1 pertence. Assim obtemos as seguintes álgebras não

isomorfas:

Tabela 2.4: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional e Jss =

ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J4 B1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 1 0 4

Unitária,Associativa,

n1 ∈ N11

J5 ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ kn1 1 1 3Associativa,

n1 ∈ N00

J6 B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3 2 0 4 n1 ∈ N01

J7 T10 ⊕ ke3 2 0 4Unitária,

n1 ∈ N12

Observamos que no caso em que n1 pertença aos subespaços Nii para i = 2, 3 temos

um elemento idempotente na álgebra agindo como 1 em n1, logo a álgebra obtida éisomorfa a J4. Se n1 ∈ N0i para i = 2, 3 temos um elemento idempotente na álgebra

agindo como 12 em n1, logo a álgebra obtida é isomorfa a J6. Por último se n1 pertence

a algum dos subespaços Ni3 temos dois elementos idempotentes na álgebra que agem

como 12 em n1, por tanto a álgebra correspondente é isomorfa a J7.

2) Suponha que Jss = T5. Então a álgebra J# = J⊕ k · 1 contém 3 elementos idempo-

tentes ortogonais e1, e2, e0 = 1− e1 − e2 o que implica na decomposição de Peirce doradical N

N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N22.

Seja n1 uma base de N então a ação dos elementos idempotentes em n1 fica definida

pela componente Nij à qual n1 pertence. Só resta estabelecer como age e3 em n1.Da tabela de multiplicação de T5 (veja a Tabela 2.2) deduzimos que e3 ∈ P12. Suponha

que n1 ∈ N00, então do Teorema 1.19 e3n1 ∈ P12P00 = 0 é zero. Agora se n1 ∈ N12,então e3n1 ∈ P2

12 ⊆ P11 ⊕ P22 e também e3n1 ∈ N = N12 ⊆ P12 logo e3n1 = 0.

Analogamente prova-se que se n1 ∈ N0i ou n1 ∈ Nii para i = 1, 2 então e3n1 = 0 masnestes casos existem elementos de J que não satisfaz a identidade (1.3)

(n1e3, e3, e2) + (n1e2, e3, e3) + (e3e2, e3,n1) 6= 0 se n1 ∈ N01 ou n1 ∈ N11,

(n1e3, e3, e1) + (n1e1, e3, e3) + (e3e1, e3,n1) 6= 0 se n1 ∈ N02 ou n1 ∈ N22.

26

Logo as álgebras resultantes dos casos n1 ∈ N0i ou n1 ∈ Nii para i = 1, 2 não sãoálgebras de Jordan, por tanto só temos duas álgebras de Jordan não isomorfas:

Tabela 2.5: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional e Jss = T5


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J8 T5 ⊕ kn1 2 1 3 n1 ∈ N00

J9

e21 = e1 e22 = e2

e23 = e1 + e2

e1e3 = 12e3 e1n1 = 1

2n1

e2e3 = 12e3 e2n1 = 1

2n1

4 0 4Unitária,

n1 ∈ N12


Seja J é uma k-álgebra de Jordan com radical N de dimensão 2. Do Teorema de Albert

temos que a única álgebra de Jordan semisimples de dimensão 2 é Jss = ke1 ⊕ ke2,logo a álgebra unitária J# = J⊕ k · 1 contém 3 elementos idempotentes ortogonais e1, e2,

e0 = 1− e1 − e2 o que implica na seguinte decomposição de N em subespaços de Peirce:

N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N22.

O ideal nilpotente maximal N pode ter dois tipos de nilpotência: (2) ou (1, 1).

1) Suponha que N tem tipo de nilpotência (2). Logo, pela definição de tipo de nilpo-tência, N2 = 0. Seja n1, n2 uma base de N então, novamente, J fica completamente

definida pelos subespaços de Peirce aos quais n1 e n2 pertencem. Assim obtemos 36

possíveis álgebras das quais as seguintes 13 são não isomorfas:

Tabela 2.6: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2)


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J10 B2 ⊕ ke2 ⊕ kn2 3 1 3 n1 ∈ N01, n2 ∈ N00

J11 T10 ⊕ kn2 3 1 3 n1 ∈ N12, n2 ∈ N00

J12 T7 ⊕ ke2 6 0 4 n1, n2 ∈ N01

J13 B2 ⊕B2 4 0 4 n1 ∈ N02, n2 ∈ N01

J14 T6 ⊕ ke2 3 0 4 n1 ∈ N01, n2 ∈ N11

J15 B2 ⊕B1 3 0 4 n1 ∈ N11, n2 ∈ N02

27

J16

e21 = e1 e22 = e2

e1n1 = 12n1

e1n2 = 12n2 e2n1 = 1

2n1

4 0 4n1 ∈ N12,

n2 ∈ N01

J17

e21 = e1 e22 = e2

e1n1 = 12n1

e1n2 = n2 e2n1 = 12n1

3 0 4Unitária,

n1 ∈ N12, n2 ∈ N11

J18

e21 = e1 e22 = e2

e1n1 = 12n1 e1n2 = 1

2n2

e2n1 = 12n1 e2n2 = 1

2n2

6 0 4Unitária,

n1, n2 ∈ N12

J19 ke1 ⊕ kn1 ⊕ ke2 ⊕ kn2 4 2 2Associativa

n1, n2 ∈ N00

J20 B1 ⊕ ke2 ⊕ kn2 2 1 3Associativa

n1 ∈ N11, n2 ∈ N00

J21 T2 ⊕ ke2 4 0 4

Unitária,Associativa

n1, n2 ∈ N11

J22 B1 ⊕B1 2 0 4

Unitária,Associativa

n1 ∈ N11, n2 ∈ N22

Qualquer outra das 26 possibilidades resulta em uma álgebra isomorfa a uma dasálgebras J10 a J22, só basta aplicar o isomorfismo que troca n1 com n2 ou e1 com e2 ou

que realiza ambas trocas.

2) Suponha que N tem tipo de nilpotência (1, 1). Vamos provar que neste caso existen ∈ N tal que N = kn + kn2 com n3 = 0. Como dimN2 = 1 existe m ∈ N tal que

N2 = km, completando a uma base de N então N = km+ kn. Agora como m ∈ N2

existem n1,n2 ∈ N tal que m = n1n2, logo

0 6= m = n1n2 = (αm+ βn)(α ′m+ β ′n)

= αα ′m2 + (αβ ′ +α ′β)mn+ ββ ′n2

como m2, mn ∈ N3 = 0 temos que m = ββ ′n2 logo N = kn2 + kn.Suponha primeiramente que N é dado por uma única componente de Peirce de dimensão

2, a saber N = Nij então do Teorema 1.19 N2ij ⊆ Nii ⊕Njj, se i 6= j então N2 = 0 o que é

uma contradição, isto implica que i = j e logo N = Nii, i = 0, 1, 2.

Suponha, agora, que N = Nij ⊕Nkl com (i, j) 6= (k, l) e dimNij = dimNkl = 1. Analisa-remos os seguintes casos no quais consideraremos os índices i, j, k todos diferentes. Se

N = Nii ⊕Nij, podemos escolher o n da base como sendo um elemento de Nij. De fato

28

se Nii = ka e Nij = kb, então temos b2 ∈ Nii ⊕Njj, mas Njj = 0, logo b2 = αa paraalgum α ∈ k. Note que α 6= 0 pois pela nilpotência já temos que a2 = ab = 0 e N2 tem

dimensão 1. Consequentemente N = kb2 + kb.Para qualquer outro par de índices i, j e k, l obtemos uma contradição ao fato de que

o tipo de nilpotência de N é (1, 1).

i. Se N = Nii⊕Njj, então pela nilpotência N2ii = N2

jj = 0 e da tabela de multiplicação

das componentes de Peirce NiiNjj = 0. Logo N2 = 0 o que leva a uma contradição.

ii. Analogamente se N = Nii ⊕Njk, novamente pela nilpotência N2ii = 0 e da tabela

de multiplicação do Teorema 1.19 N2jk ⊆ Njj ⊕Nkk=0 e NiiNjk = 0, o que é uma

contradição.

iii. Finalmente se N = Nij ⊕Nik então N2 ⊆ Nii ⊕Njj ⊕Njk ⊕Nkk = 0.

Assim temos que só existem 9 possíveis k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical

com tipo de nilpotência (1, 1) das quais as seguintes 5 álgebras são não isomorfas. Emtodas elas n2

1 = n2.

Tabela 2.7: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1).


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J23 T8 ⊕ ke2 2 1 4n1 ∈ N01,

n2 ∈ N00

J24 T9 ⊕ ke2 2 0 4n1 ∈ N01,n2 ∈ N11

J25

e21 = e1 e22 = e2

e1n2 = n2 e1n1 = 12n1

e2n1 = 12n1 n2

1 = n2

2 0 4

Unitária,n1 ∈ N12,

n2 ∈ N11

J26 B3 ⊕ ke1 ⊕ ke2 2 1 3Associativa,n1, n2 ∈ N00

J27 T1 ⊕ ke2 2 0 4

Unitária,

Associativa,n1, n2 ∈ N11

As outras 4 possibilidades: n1 ∈ N02 e n2 ∈ N00, n1 ∈ N02 e n2 ∈ N22, n1 e n2 ∈ N22,n1 ∈ N12 e n2 ∈ N22, resultam em uma álgebra isomorfa à álgebra J23, J24, J27 e J25

respetivamente, com isomorfismo que permuta e1 com e2.

29


No caso em que J seja uma álgebra de Jordan de dimensão 4 sobre k, com radical

nilpotente N de dimensão 3, então Jss é uma álgebra simples unidimensional, logoJss = ke1 e J só tem um elemento idempotente e1 ∈ J que implica na decomposição de

Peirce N

N = N0 ⊕N 12⊕N1.

Primeiramente, provaremos o seguinte lema que será frequentemente usado no queresta da classificação.

Lema 2.1. Se dimNi = 1 então N2i = 0, para i = 0, 1. Se dimN 1

2= 1 então N 1

2Ni = 0, for

i = 0, 1.

Demonstração. Como, para i = 1, 2 temos N2i ⊆ Ni, pela nilpotência esta inclusão é estrita

N2i ( Ni. Pela hipóteses temos que dimNi = 1 logo N2

i = 0. Para a segunda parte noteque N 1

2Ni ⊆ N 1

2. Suponha que acontece a igualdade, então

0 = N〈4〉 ⊇ ((N 12Ni)Ni)Ni = N 1

26= 0,

logo devemos ter N 12Ni ( N 1

2. Finalmente, pela hipóteses temos que dimN 1

2= 1 segue

que N 12Ni = 0.

O radical N pode ter os seguintes tipos de nilpotência: (3), (1, 1, 1) ou (2, 1).

1) Suponha que N tem tipo de nilpotência (3). Logo, pela definição de tipo de nilpotên-

cia, N2 = 0. Seja n1, n2, n3 uma base de N então, mais uma vez J fica completamentedefinida pelos subespaços de Peirce aos quais n1, n2 e n3 pertencem. Assim obtemos 27

possíveis álgebras das quais as seguintes 10 são não isomorfas:

Tabela 2.8: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (3)


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J28 B2 ⊕ kn2 ⊕ kn3 6 2 2 n1 ∈ N 12, n2, n3 ∈ N0

J29 T6 ⊕ kn3 4 1 3n1 ∈ N 1

2,

n2 ∈ N1,n3 ∈ N0

J30 T7 ⊕ kn3 7 1 3 n1, n2 ∈ N 12

, n3 ∈ N0

J31e21 = e1 e1n1 = n1

e1n2 = n2 e1n3 = 12n3

6 0 4 n1, n2 ∈ N1, n3 ∈ N 12

30

J32e21 = e1 e1n1 = 1

2n1

e1n2 = 12n2 e1n3 = n3

7 0 4 n1, n2 ∈ N 12

, n3 ∈ N1

J33e21 = e1 e1n1 = 1

2n1

e1n2 = 12n2 e1n3 = 1

2n3

12 0 4 n1, n2, n3 ∈ N 12

J34 ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 9 3 1Associativa,

n1, n2, n3 ∈ N0

J35 B1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 5 2 2Associativa,

n1 ∈ N1, n2, n3 ∈ N0

J36e21 = e1 e1n1 = n1

e1n2 = n2 e1n3 = n3

9 0 4Unitária, Associativa,

n1, n2, n3 ∈ N1

J37 T2 ⊕ kn3 5 1 3Associativa,

n1, n2 ∈ N1, n3 ∈ N0

Qualquer outra das 17 possibilidades resulta em uma álgebra isomorfa a uma das

álgebras J28 a J37, só basta aplicar o isomorfismo que troca n1, n2 e n3.

2) Suponha que N tem tipo de nilpotência (1, 1, 1). Lembramos, pela definição de tipo

de nilpotência, que isto significa que dimN2 = 2, dimN3 = 1 e N〈4〉 = 0.Só existe uma (a menos de isomorfismo) álgebra de Jordan de dimensão 3 nilpotente

com tipo de nilpotência (1, 1, 1) logo N = T3 e somente temos duas álgebras de Jordande dimensão 4 não isomorfas com esse radical:

Tabela 2.9: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1, 1)


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J38 T3 ⊕ ke1 3 1 3Associativa,N = N0

J39

e21 = e1 n21 = n2

e1n1 = n1 e1n2 = n2

e1n3 = n3 n1n2 = n3

3 0 4

Unitária,

Associativa,N = N1

Todos os outros casos levam a uma contradição, a saber:

i. Suponha que N = N 12

então, da tabela de multiplicação das componentes de Peircedo Teorema 1.18 temos N2 ⊆ N0 ⊕N1 = 0 o que contradiz o fato de N2 ter dimen-

são 2.

ii. Suponha agora que N = N0 ⊕N1 com dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 N21 = 0 e

pela tabela de multiplicação do Teorema 1.18 temos que N0N1 = 0 logo N2 ⊆ N0.

31

Como dimN2 = 2 = dimN0 eles coincidem, N2 = N0. Como consequência, existeum elemento n0 ∈ N0 que gera N3, i.e. N3 = kn0, escolhendo algum m0 ∈ N0 e

n1 ∈ N1 obtemos que N2 = kn0 + km0. Logo obtemos os seguintes produtos emN:

N〈4〉 ∋ n20 = n0m0 = 0,

n21 = n0n1 = m0n1 = 0,

restando somente m20 não nulo, o que contradiz o fato de dimN2 = 2. Ana-

logamente chegamos a mesma contradição se consideramos N = N0 ⊕N1, com

dimN1 = 2.

iii. Suponha que N = N0 ⊕N 12

onde dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 N2 ⊆ N0 e comodimN2 = 2 = dimN0, temos N2 = N0. Consequentemente, existe n0 ∈ N0 tal

que N3 = kn0, completando a uma base de N0 temos que existe m0 ∈ N0 tal queN2 = kn0 + km0. Completando mais uma vez a uma base de N temos que existe

n 12∈ N 1

2tal que temos os seguintes produtos em N:

N〈4〉 ∋ n20 = n0m0 = 0, N3 ∋ m2

0 = αn0

n0n 12= m0n 1

2= 0, N2 ∋ n2

12

= α ′n0 +β ′m0.

Obtemos uma álgebra de Jordan somente se α = 0 ou β ′ = 0, mas em ambos

os casos isto contradiz o fato de dimN2 = 2. analogamente a prova leva a umacontradição se considerarmos N = N1 ⊕N 1

2, com dimN1 = 2.

iv. Suponha que N = N0 ⊕N 12, onde dimN 1

2= 2. Primeiramente mostraremos que,

neste caso,

(N 12N0)N0 = (N0N 1

2)N 1

2= 0. (2.1)

Da tabela de multiplicação das componentes de Peirce do Teorema 1.18 temos que

(N 12N0)N0 ⊆ N 1

2N0 ⊆ N 1

2. Suponha que aconteça a igualdade N 1

2N0 = N 1

2então

0 = N〈4〉 ⊇ ((N 12N0)N0)N0 = N 1

26= 0,

logo a inclusão é estrita N 12N0 ( N 1

2. Considere agora a igualdade (N 1

2N0)N0 =

N 12N0, neste caso

0 = N〈4〉 ⊇ ((N 12N0)N0)N0 = N 1

2N0,

32

o que implica que N2 = N20 +N2

12

⊆ N0 mas dimN2 = 2 enquanto que dimN0 = 1.Por tanto, ambas inclusões são estritas: (N 1

2N0)N0 ( N 1

2N0 ( N 1

2e, consequente-

mente,

dim[(N 12N0)N0] < dim(N 1

2N0) < dimN 1

2= 2,

logo dim(N 12N0) = 1 e (N 1

2N0)N0 = 0 como queríamos provar.

Para provar a segunda igualdade de (2.1), procedemos de maneira análoga. DoTeorema 1.18 (N0N 1

2)N 1

2⊆ N2

12

⊆ N0. Suponha que (N0N 12)N 1

2= N0 então

0 = N〈4〉 ⊇ ((N0N 12)N 1

2)N 1

2= N0N 1

26= 0,

o que contradiz o fato de dim(N0N 12) = 1. Então, novamente a inclusão é estrita

(N0N 12)N 1

2( N0 e como por hipóteses dimN0 = 1, temos que (N0N 1

2)N 1

2= 0.

Agora, lembrando que N = T3, para o elemento n1 da base dada na Tabela 2.2temos n1 = m0 +m 1

2, onde mi ∈ Ni, i = 0, 1

2logo, usando que N2

12

⊆ N0, o Lema

2.1 e as identidades (2.1) obtemos que n21 = m ′

0m 12+m2

12

e n31 = m3

12

. Por tanto,

(m212

, e1,m 12) = (m2

12

e1)m 12−m2

12

(e1m 12) = −

1

2n31 6= 0,

e logo a álgebra J não é de Jordan.

Uma prova análoga mostra que não existe álgebra de Jordan de dimensão 4 comradical N = N1 ⊕N 1

2, onde dimN 1

2= 2.

v. Suponha que N = N0 ⊕N 12⊕N1 onde dimNi = 1 para i = 0, 1

2, 1. Do Lema 2.1 e

do Teorema 1.18 temos N2 ⊆ N0 ⊕N1 o que implica que N3 ⊆ (N0 ⊕N1)N = 0 oque é uma contradição ao fato de N3 ter dimensão 1.

3) Suponha que N tem tipo de nilpotência (2, 1). Lembramos que isto significa quedimN2 = 1 e N3 = 0. Existem duas (a menos de isomorfismo) álgebras de Jordan de

dimensão 3 nilpotente com tipo de nilpotência (2, 1) logo ou N = B3 ⊕ kn3 ou N = T4.

Analisaremos os seguintes casos dependendo da dimensão dos subespaços Ni para

i = 0, 12 , 1. Para provar que as únicas álgebras de Jordan neste caso são J40 a J60, consi-

deraremos (J, ·) uma k-álgebra de Jordan com base E1,N1,N2,N3 cujo radical tem tipo

de nilpotência (2, 1) e cujo produto satisfaz as condições obtidas em cada caso. Concluire-mos que J é isomorfa a uma das álgebras J40 a J60 exibindo um isomorfismo (J, ·) → Ji

para algum 40 6 i 6 60 que leva a base E1,N1,N2,N3 de J na base e1,n1,n2,n3 de

33

Ji. Para simplificar a notação obviaremos os casos em que o isomorfismo leva E1 7→ e1 eNi 7→ ni, para i = 1, 2, 3.

i. Suponha que N = N0. Isto implica que e1x = 0 para todo x ∈ N, logo J = ke1 ⊕N

como soma direta de álgebras. Por tanto obtemos duas álgebras associativas não

isomorfas:

Tabela 2.10: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N = N0


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J40 B3 ⊕ ke1 ⊕ kn3 5 2 2Associativa,

N = B3 ⊕ kn3

J41 T4 ⊕ ke1 4 1 2Associativa,N = T4

ii. Suponha que N = N1. Isto implica que e1x = x para todo x ∈ N, logo obtemos

duas álgebras associativas não isomorfas:

Tabela 2.11: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N = N1


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J42

e21 = e1 n21 = n2

e1n1 = n1 e1n2 = n2

e1n3 = n3

5 0 4

Unitária,

Associativa,N = B3 ⊕ kn3

J43

e21 = e1 n21 = n2

e1n1 = n1 e1n2 = n2

e1n3 = n3 n1n3 = n2

4 0 4

Unitária,

Associativa,N = T4

iii. Suponha que N = N 12

. Então N2 ⊆ N0 ⊕N1 = 0 o que contradiz o fato dedimN2 = 1 quando N tem tipo de nilpotência (2, 1).

iv. Suponha que N = N0 ⊕N 12

, com dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 e pelo Teorema 1.18,N2 ⊆ N0. Consequentemente, existe n2 ∈ N0 tal que N2 = kn2, completando a

uma base de N temos que existem n1 ∈ N 12

e n3 ∈ N0 tal que

n22, n2n3 ∈ N3 = 0, n1n2 = n1n3 = 0 pelo Lema 2.1,

n23 = αn2 e n2

1 = βn2 pois ambos pertencem a N2. (2.2)

34

Para quaisquer valores de α e β a álgebra obtida é de Jordan, mas se ambos coefici-entes são nulos então N2 = 0, contradizendo o fato que N tem tipo de nilpotência

(2, 1), logo pelo menos um deles tem que ser não nulo. Assim obtemos as seguintesálgebras:

Tabela 2.12: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N =

N0 ⊕N 12

com dimN0 = 2


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J44 T8 ⊕ kn3 4 2 3 α = 0,β 6= 0

J45e21 = e1 n2

1 = n2

n23 = n2 e1n1 = 1

2n1

3 1 3 α 6= 0,β 6= 0

J46 B2 ⊕B3 4 1 3 α 6= 0,β = 0

Provaremos a seguir que para quaisquer outros valores de α e β a álgebra obtidaé isomorfa a uma das anteriores. Para isso suponha que o produto · de J satisfaz

(2.2) para alguns α e β tal que pelo menos um deles é não nulo.

Vamos supor primeiro que o coeficiente não nulo seja β. Então se α = 0 a álgebraJ é isomorfa a J44 com isomorfismo definido por N2 7→ β−1n2. Mas se α for

também não nulo então a álgebra J é isomorfa a J45 com isomorfismo dado porN2 7→ β−1n2 e N3 7→

√α√βn3 cujo determinante

√α

(√β)

3 é bem definido e não nulo

para todo β 6= 0 e α 6= 0. Suponha agora que o coeficiente não nulo seja α. Se β = 0

o isomorfismo definido por N2 7→ α−1n2 nos da J ≃ J46.

v. Suponha que N = N0 ⊕N1, com dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 e pelo Teorema 1.18,

N2 ⊆ N0. Consequentemente, existe n2 ∈ N0 tal que N2 = kn2, completando auma base de N existem n1 ∈ N0 e n3 ∈ N1 tal que

n22, n2n1, n2n3 ∈ N3 = 0, n2

3 = n1n3 = 0, (2.3)

n21 = αn2 pois n2

1 ∈ N2.

Para quaisquer valores de α a álgebra obtida é de Jordan, mas se α = 0 entãoN2 = 0 o que contradiz o fato de N ter tipo de nilpotência (2, 1). Logo α deve ser

não nulo e obtemos uma única álgebra:


N0 ⊕N1 com dimN0 = 2

35


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J47 B1 ⊕B3 3 1 3 Associativa

Vejamos que para quaisquer outros valores de α a álgebra obtida é isomorfa a J47.Analogamente ao caso anterior suponha que o produto · de J satisfaz (2.3) para

algum α 6= 0 então o isomorfismo definido por N2 7→ α−1n2 nos da J ≃ J47.

vi. Suponha que N = N0 ⊕N 12

, com dimN 12= 2. Considere n1 ∈ N0, n2, n3 ∈ N 1

2.

Do Lema 2.1 segue que n21 = 0. Por outro lado n2

2, n23, n2n3 ∈ N2

12

⊆ N0 logo

n22 = αn1, n2

3 = βn1 e n2n3 = γn1. Agora, como n1n2, n1n3 ∈ N0N 12⊆ N 1

2

temos n1n2 = θn2 + δn3 e n1n3 = θ1n2 + δ1n3.

Verificando que a base e, n1, n2, n3 satisfaça a identidade de Jordan (1.3) obtemos

condições para as constantes. Em todos os casos as álgebras que obtemos sãoisomorfas a uma das seguintes álgebras:


N0 ⊕N 12

com dimN 12= 2


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J48e21 = e1 n2

3 = n1

e1n2 = 12n2 e1n3 = 1

2n3

5 1 4

J49

e21 = e1 n23 = n1

e1n2 = 12n2 e1n3 = 1

2n3

n2n3 = n1

4 1 4

J50e21 = e1 e1n2 = 1

2n2

e1n3 = 12n3 n1n2 = n3

5 0 3

Vejamos isso com mais detalhes, para isso considere que (J, ·) satisfaz as condições

de nosso problema para certos coeficientes α, β, γ, δ, δ1, θ e θ1. Suponha, pri-meiramente, que char k 6= 3, então obtemos3 6 condições que as constantes devem

satisfazer para a álgebra ser de Jordan, a saber:

a) θ1 = θ = δ1 = δ = α = 0 e β 6= 0. Se γ 6= 0 o isomorfismo definido porN1 7→ β−1n1 e N2 7→ −γβ−1n2 + 2γβ−1n3 cujo determinante −γβ−2 é bem

definido e não nulo, nos da J ≃ J49. Mas se γ = 0 então J ≃ J48 comisomorfismo N1 7→ β−1n1.

3 Utilizando um programa de computação simbólica elaborado pela autora.

36

b) θ1 = θ = δ1 = γ = α = β = 0. Logo, necessariamente, δ 6= 0 (caso contrárioN2 = 0 contradizendo o tipo de nilpotência de N) e temos J ≃ J50 com

isomorfismo N1 7→ δn1.

c) θ1 = θ = δ1 = δ = 0 e α 6= 0. Se ambas constantes β e γ forem não nulas,

temos duas possibilidades: ou −αβ+ γ2 6= 0 e neste caso J ≃ J49 com iso-

morfismo N1 7→ α−1n1, N2 7→ n3 e N3 7→ −

√−αβ+γ2

α n2 +γ+

√−αβ+γ2

α n3

de det =

√−αβ+γ2

α2 , ou −αβ + γ2 = 0 e então J ≃ J48 com isomorfismoN1 7→ α−1n1, N2 7→ n2 + n3 e N3 7→ α−1γn3 de det = α−2γ. Agora,

se β = γ = 0 então J ≃ J48 com isomorfismo dado por N1 7→ α−1n1,N2 7→ n3 e N3 7→ n2 com det = −α−1. Se somente um deles for nulo

então a álgebra obtida é J49 com isomorfismo N1 7→ α−1n1, N2 7→ n3 eN3 7→ −γα−1n2 + 2γα−1n3 de det = γα−2 se β = 0, e com isomorfismo

N1 7→ −β−1n1, N2 7→ i√α√βn3 e N3 7→ −n2 + n3 de det = −i

√α

(√β)

3 se γ = 0.

d) α = β = γ = 0, δ1 = −θ, δ = −θ2

θ1com θ1 6= 0 e θ 6= 0. Neste caso J ≃ J50 com

isomorfismo N1 7→ −θ2

θ1n1 e N3 7→ θ1

θ n2 + n3 cujo determinante −θ2

θ1é bem

definido e não nulo.

e) θ = δ1 = δ = α = β = γ = 0 e θ1 6= 0. Novamente J ≃ J50 com isomorfismo

N1 7→ θ1n1, N2 7→ n3 e N3 7→ n2 cujo determinante −θ1 é não nulo.

f) θ1 = θ = δ1 = δ = α = β = 0 e γ 6= 0. Neste caso J ≃ J49 com isomorfismoN1 7→ γ−1n1, N2 7→ −1

2n2 + n3 e N3 7→ n2 cujo determinante −γ−1 é bem

definido e não nulo.

Suponha agora que k é um corpo algebricamente fechado de característica 3, então

as condições dadas pela identidade (1.3) mudam. Assim obtemos as seguintes 7

condições sobre as constantes:

a) θ1 = θ = δ1 = δ = 0 e αβ + 2γ2 6= 0. Então considerando as diferentes

possibilidades para α, β e γ caímos nos casos via, vic e vif anteriores.

b) θ = δ1 = δ = α = γ = 0 e θ1 6= 0. Então temos duas possibilidades paraβ: ou β = 0 e caímos no caso vie de char k 6= 3 ou β 6= 0 mas neste caso

(N23,E1,N3) = −1

2βθ1N2 6= 0 então J não é de Jordan.

c) θ1 = θ = δ1 = β = γ = 0 e δ 6= 0. Então temos duas possibilidades paraα: ou α = 0 e caímos no caso vib de char k 6= 3 ou α 6= 0 mas neste caso

(N22,E1,N2) = −1

2αδN3 6= 0 então J não é de Jordan.

d) θ1 = θ = δ1 = δ = β = γ = 0. Então necessariamente α 6= 0 (caso contrárioN2 = 0 contradizendo o tipo de nilpotência de N) e caímos no caso vic de

char k 6= 3.

37

e) α = β = γ = 0, δ1 = −θ, δ = −θ2

θ1com θ1 6= 0 e θ 6= 0. Idem caso vid de

char k 6= 3.

f) θ1 = θ = δ1 = δ = 0, α = −2γ2

βcom β 6= 0 e γ 6= 0. Considerando que

−2 = 1 temos que α = γ2

β e logo J ≃ J48 com isomorfismo N1 7→ α−1n1,N2 7→ n2 + n3 e N3 7→ α−1γn3 cujo determinante α−2γ é bem definido e

não nulo. É interessante observar que se char k for diferente de 3 neste caso aálgebra seria J49.

g) θ1 = θ = δ1 = δ = α = γ = 0 com β 6= 0. Idem caso via de char k 6= 3 quandoγ = 0.

vii. Suponha que N = N0 ⊕N 12⊕N1 com dimNi = 1 para i = 0, 1

2 , 1. Consideren1 ∈ N 1

2, n2 ∈ N1, n3 ∈ N0 então temos os seguintes produtos em N:

n23 = n2

2 = n1n3 = n1n2 = 0 pelo Lema 2.1, n2n3 ∈ N0N1 = 0,

n21 = αn3 +βn2 pois n2

1 ∈ N212

⊆ N0 ⊕N1. (2.4)

Para quaisquer valores de α e β a álgebra obtida é de Jordan, mas se ambos co-

eficientes fossem nulos então N2 = 0, contradizendo o fato que N tem tipo denilpotência (2, 1), logo pelo menos um deles tem que ser não nulo. Assim obtemos

as seguintes álgebras:


N0 ⊕N 12⊕N1


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J51 T9 ⊕ kn3 3 1 3α = 0

β 6= 0

J52e21 = e1 n2

1 = n3

e1n2 = n2 e1n1 = 12n1

3 1 4α 6= 0

β = 0

J53e21 = e1 n2

1 = n2 +n3

e1n2 = n2 e1n1 = 12n1

2 1 4α 6= 0

β 6= 0

Para provar que não existe outra álgebra suponha que o produto · de J satisfaz 2.4 eque o coeficiente não nulo é β. Então se α = 0 o isomorfismo que leva N2 7→ β−1n2

nos dá J ≃ J51, mas se α 6= 0 então o isomorfismo dado por N2 7→ β−1n2 eN3 7→ α−1n3 prova que J ≃ J53. Caso o coeficiente não nulo seja α e β = 0 então

J é J52 com isomorfismo N3 7→ α−1n3.

38

viii. Suponha que N = N0 ⊕N1 com dimN1 = 2. Do Lema 2.1 e do Teorema 1.18 segueque N2 ⊆ N1. Consequentemente, existe n2 ∈ N1 tal que N2 = kn2, completando

a uma base de N existem n1 ∈ N1 e n3 ∈ N0 tal que

n22, n1n2 ∈ N3 = 0, n2

3 = n2n3 = n1n3 = 0,

n21 = αn2 pois n2

1 ∈ N2. (2.5)

Para quaisquer valores de α a álgebra obtida é de Jordan, mas devido ao tipo de

nilpotência que estamos considerando α deve ser não nulo. Consequentementeobtemos a seguinte álgebra:


N0 ⊕N1 com dimN1 = 2


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J54 T1 ⊕ kn3 3 1 3 Associativa

Se J satisfaz 2.5 para algum α 6= 0 então J é isomorfa a J54 com isomorfismoanálogo ao caso v.

ix. Suponha que N = N 12⊕N1 com dimN1 = 2. Pelo Lema 2.1 e pelo Teorema

1.18 segue que N2 ⊆ N1. Consequentemente existe n2 ∈ N1 tal que N2 = kn2,completando a uma base de N temos que existem n1 ∈ N1 e n3 ∈ N 1

2tal que

˙n22, n2n1 ∈ N3 = 0, n2n3 = n1n3 = 0 pelo Lema 2.1,

n21 = αn2 e n2

3 = βn2 pois ambos pertencem a N2. (2.6)

Para quaisquer valores de α e β a álgebra obtida é de Jordan, mas devido ao tipo de

nilpotência que estamos considerando não podem ser ambos nulos. Logo obtemosas seguintes álgebras:


N 12⊕N1 com dimN1 = 2


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J55

e21 = e1 n23 = n2

e1n1 = n1

e1n2 = n2 e1n3 = 12n3

4 0 4α = 0

β 6= 0

39

J56

e21 = e1 n21 = n2

e1n1 = n1

e1n2 = n2 e1n3 = 12n3

4 0 4α 6= 0

β = 0

J57

e21 = e1 n21 = n2

n23 = n2 e1n1 = n1

e1n2 = n2 e1n3 = 12n3

3 0 4α 6= 0

β 6= 0

Suponha que J satisfaz (2.6) para alguns α e β, então se o coeficiente não nulo éβ e α = 0 a álgebra J é isomorfa a J55 com isomorfismo que leva N2 7→ β−1n2 .

Mas se α for também não nulo então a álgebra J é isomorfa a J57 neste caso comisomorfismo N1 7→

√α√βn1, N2 7→ β−1n2 cujo determinante

√α

(√β)

3 é bem definido

e não nulo. Por último se o coeficiente não nulo é α e β = 0 o isomorfismo

N2 7→ α−1n2 nos da J ≃ J56.

x. Suponha, por último, que N = N 12⊕N1 com dimN 1

2= 2. Considere n1 ∈ N1,

n2, n3 ∈ N 12. Do Lema 2.1 segue que n2

1 = 0. Por outro lado n22, n2

3, n2n3 ∈ N212

⊆N1 logo n2

2 = αn1, n23 = βn1 e n2n3 = γn1. Agora, como n1n2, n1n3 ∈ N1N 1

2⊆

N 12, temos n1n2 = θn2 + δn3 e n1n3 = θ1n2 + δ1n3.

Verificando que a base e, n1, n2, n3 satisfaça a identidade de Jordan (1.3) obtemos

condições para as constantes. Em todos os casos as álgebras que obtemos sãoisomorfas a uma das seguintes álgebras:


N 12⊕N1 com dimN 1

2= 2


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J58e21 = e1 n2

3 = n1 e1n1 = n1

e1n2 = 12n2 e1n3 = 1

2n3

5 0 4

J59

e21 = e1 n23 = n1

e1n1 = n1 e1n2 = 12n2

e1n3 = 12n3 n2n3 = n1

4 0 4

J60e21 = e1 e1n1 = n1 n1n2 = n3

e1n2 = 12n2 e1n3 = 1

2n3

5 0 4

Vejamos que só existem essas álgebras. Suponha, primeiramente, que char k 6=3, então obtemos4 6 condições que as constantes devem satisfazer para a álgebra


40

ser de Jordan, que são as mesmas condições do caso vi onde N = N 12⊕N0 com

dimN 12= 2. Quando o isomorfismo não seja dado explicitamente se entenderá que

é análogo ao isomorfismo correspondente do caso vi.

a) θ1 = θ = δ1 = δ = α = 0 e β 6= 0. Se γ 6= 0 então J ≃ J59, mas se γ = 0 então

J ≃ J58.

b) θ1 = θ = δ1 = γ = α = β = 0. Logo, necessariamente, δ 6= 0 (caso contrárioN2 = 0 contradizendo o tipo de nilpotência de N) e temos J ≃ J60 com

isomorfismo que leva N3 7→ δ−1n3.

c) θ1 = θ = δ1 = δ = 0 e α 6= 0. Se ambas constantes β e γ forem não nulas,temos duas possibilidades: ou −αβ+ γ2 6= 0 e neste caso J ≃ J59, ou −αβ+

γ2 = 0 e então J ≃ J58. Agora, se β = γ = 0 então J ≃ J58. Se somente umdeles for nulo então a álgebra obtida é J59.

d) α = β = γ = 0, δ1 = −θ, δ = −θ2

θ1com θ1 6= 0 e θ 6= 0. Neste caso J ≃ J60 com

isomorfismo N3 7→ θ1

θ n2 −θ1

θ2n3 cujo determinante −θ1

θ2 é bem definido e nãonulo.

e) θ = δ1 = δ = α = β = γ = 0 e θ1 6= 0. Novamente J ≃ J60 com isomorfismo

N2 7→ θ−11 n3 e N3 7→ n2 + n3 cujo determinante −θ−1

1 é bem definido e nãonulo.

f) θ1 = θ = δ1 = δ = α = β = 0 e γ 6= 0. Neste caso J ≃ J59.

Suponha agora que k tem característica 3, então obtemos as mesmas 7 condiçõessobre as constantes que obtivemos no caso vi quando char k = 3, por isso só expli-

citaremos aquelas condições que não impliquem em algum dos casos anteriores.

a) θ = δ1 = δ = α = γ = 0 e θ1 6= 0. Se β 6= 0 então (N23,E1,N3) =

12βθ1N2 6= 0

então J não é de Jordan.

b) θ1 = θ = δ1 = β = γ = 0 e δ 6= 0. Se α 6= 0 então (N22,E1,N2) =

12αδN3 6= 0

então J não é de Jordan.

c) θ1 = θ = δ1 = δ = 0, α = −2γ2

β com β 6= 0 e γ 6= 0. Considerando que −2 = 1

temos que α = γ2

β e logo J ≃ J58. É interessante observar que se char k for

diferente de 3 neste caso a álgebra seria J59.

2.2.5 Álgebras de Jordan Nilpotentes

As álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4 sobre o corpo dos números comple-

xos foram descritas em [6]. Observamos que esta classificação é ainda válida para um

41

corpo algebricamente fechado de char 6= 2, veja [19]. Temos as seguintes álgebras nãoisomorfas:

Tabela 2.19: k-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J61n21 = n2 n2

2 = n4

n1n2 = n3 n1n3 = n4

4 1 3

Associativa,

tipo de nilpotência(1, 1, 1, 1)

J62n21 = n2 n2

4 = n2

n1n2 = n3

3 1 2tipo de nilpotência

(2, 1, 1)

J63n21 = n2 n2

4 = −n2 − n3

n1n2 = n3 n2n4 = n3


(2, 1, 1)

J64n21 = n2 n2

4 = −n2

n1n2 = n3 n2n4 = n3


(2, 1, 1)

J65n21 = n2 n1n2 = n3

n2n4 = n3


(2, 1, 1)

J66n21 = n2 n2

4 = n3

n1n2 = n3

5 1 2

Associativa,

tipo de nilpotência(2, 1, 1)

J67 T3 ⊕ kn4 6 2 2

Associativa,

tipo de nilpotência(2, 1, 1)

J68 B3 ⊕B3 6 2 2

Associativa,tipo de nilpotência

(2, 2)

J69n21 = n2

n1n3 = n4

7 2 2


(2, 2)

J70n21 = n2

n3n4 = n2

7 1 1

Associativa,

tipo de nilpotência(3, 1)

J71 T4 ⊕ kn4 8 2 1

Associativa,

tipo de nilpotência(3, 1)

42

J72 B3 ⊕ kn3 ⊕ kn4 10 3 1


(3, 1)

J73 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 ⊕ kn4 16 4 0


(4)

2.2.6 Observações

Vimos em cada caso que não existe outra álgebra de Jordan de dimensão 4 sobre k quenão seja uma das álgebras J1 a J73, para finalizar a classificação algébrica só resta provar

que todas elas são diferentes.

Teorema 2.2. As álgebras J1 a J73 são duas a duas não isomorfas.

Demonstração. Comparando os invariantes dim Rad(J), tipo de nilpotência de Rad(J),

dim Ann(J), dim Aut(J) e dim J2, junto com as propriedades de J ser indecomponível,associativa, não associativa e unitária, somente necessitamos provar que não existe iso-

morfismo entre J55, J56, J59 e entre J58 e J60.Primeiro observe que a álgebra de Jordan não associativa de dimensão 2, B2 é uma

subálgebra de J56 mas não é subálgebra de J55, então J55 6≃ J56. Mais ainda, o se-gundo grupo de cohomologia H2(J59, J59) = 0 em quanto que ambos H2(J55, J55) e

H2(J56, J56) são não nulos, logo temos J59 6≃ J55 e J59 6≃ J56.Por último veja que Rad(J58) = B3 ⊕ kn2 em quanto que Rad(J60) = T4, por tanto

J58 6≃ J60.

Como última observação temos o seguinte teorema.

Teorema 2.3. Todas as álgebras das seções anteriores são especiais.

Demonstração. Em 1979, A. M. Slin’ko em [47] provou que álgebras de Jordan nilpotentes

sobre um corpo arbitrário até dimensão 5 são especiais e em 1989, H. Sherkulov em [46]mostrou que as álgebras de Jordan não associativas e não nilpotentes sobre um corpo

arbitrário até dimensão 4 são especiais.

43

3 CLASS I F ICAÇÃO ALGÉBR ICA DAS ÁLGEBRAS DE

JORDAN DE D IMENSÃO 3 SOBRE O CORPO DOS NÚME-

ROS REA I S

O problema de classificar álgebras sobre um corpo arbitrário não é simples e a classifica-

ção depende muito do corpo que estivermos considerando. Para corpos bases especiais,como por exemplo o corpo dos p-ádicos ou o corpo dos números reais, como é o nosso

caso, o problema é facilmente resolvido e podemos obter uma classificação completa dascorrespondentes álgebras de Jordan.

A determinação de todas as classes de isomorfismos de álgebras de Jordan de dimen-

são fixa sobre o corpo dos números reais R só é conhecida completamente no caso deálgebras de Jordan semisimples. Os resultados conhecidos para álgebras de Jordan sobre

R são muito escassos, até mesmo para dimensões pequenas.

Neste capítulo apresentaremos a lista de todas as álgebras de Jordan (unitárias e nãounitárias, associativas e não associativas) de dimensão 3 sobre R. Analogamente ao

Capítulo 2 faremos isto em duas seções, na primeira introduzimos as álgebras de Jordanindecomponíveis de dimensão menor que 3 e na segunda descrevemos as álgebras de

dimensão 3 não isomorfas de acordo com a dimensão do radical e dos possíveis valoresdo tipo de nilpotência.

Usaremos esta descrição para estudar deformações entre álgebras de Jordan e descre-

ver a variedade Jor3 das álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre o corpo dos númerosreais no Capítulo 6 deste texto.

Como foi visto no Teorema 1.13 toda álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um

corpo de característica zero pode-se decompor em soma direta de espaços vetoriais comosendo J = Jss ⊕ Rad(J), logo denotaremos por ei os elementos em Jss e por ni aqueles

elementos que pertencem a Rad(J).

45

3.1 álgebras de jordan reais de dimensão menor que

3

3.1.1 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 1

Existem somente duas R-álgebras de Jordan de dimensão 1: a álgebra simples Re, ondee2 = e e a álgebra nilpotente Rn, onde n2 = 0.

3.1.2 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 2

Em [5] Ancochea Bermúdez e outros descreveram todas as álgebras de Jordan de di-mensão 2 sobre R. Dessa lista obtemos as seguintes 4 álgebras indecomponíveis, que

denotaremos por B ′i:

Tabela 3.1: R-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2

B ′ Tabela de Multiplicação Observação

B ′1 e21 = e1 e1n1 = n1 n2

1 = 0 Associativa

B ′2 e21 = e1 e1n1 = 1

2n1 n2

1 = 0

B ′3 n2

1 = n2 n1n2 = 0 n22 = 0 Associativa, Nilpotente

B ′4 e21 = e1 e1e2 = e2 e22 = −e1 Associativa, Semisimples

Note que as álgebras B ′i para i = 1, 2, 3 coincidem com as álgebras Bi do capítulo

anterior. A única álgebra “nova” que obtivemos em dimensão 2 é a álgebra semisimples

B ′4 a qual se considerada sobre um corpo k algebricamente fechado é isomorfa a ke1 ⊕

ke2, mas não o é sobre R.

3.2 álgebras de jordan reais de dimensão 3

Nesta seção descreveremos todas as 26 álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre R. A

descrição será organizada de acordo com a dimensão do radical nilpotente N e sub-sequentemente com os possíveis valores de seu tipo de nilpotência. Analogamente ao

capítulo anterior, provaremos durante a descrição que qualquer outra R-álgebra de Jor-dan de dimensão 3 é isomorfa a uma das 26 e por último no Teorema 3.1 veremos que

as álgebras T ′1 a T ′

26 são dois a dois não isomorfas.

Para cada álgebra calcularemos a dimensão do seu grupo de automorfismos Aut(T ′),

de seu aniquilador Ann(T ′) e de sua segunda potência T ′2.

46

3.2.1 Álgebras de Jordan Reais Semisimples

Para obter a classificação das álgebras de Jordan semisimples sobre R é suficiente conhe-cer as álgebras simples. Como consequência do Teorema 1.15 do Capítulo 1 podemos

reduzir o problema de classificar álgebras de Jordan simples de dimensão finita sobreR ao problema de classificar álgebras de Jordan simples centrais sobre uma extensão

K de R. Segue, então, do Teorema 1.16 que se T é uma álgebra de Jordan simples dedimensão finita m 6 3 sobre R então ou T = R ou T = C ou T é a álgebra de Jordande uma forma bilinear simétrica não degenerada sobre um espaço vetorial de dimensão

m − 1 sobre R. Observamos que desprezamos as álgebras de Jordan (H (A, J) ,⊙) doselementos de uma álgebra A associativa simples central de grau n > 3, fixos pela ação

da involução J de A, pois no mínimo estas álgebras tem dimensão 6. Por um argumentoanálogo podemos eliminar as formas bilineares definidas sobre espaços vetoriais sobre o

corpo dos complexos.

Assim, o problema de classificar as álgebras simples de dimensão menor ou igual a3, fica reduzido ao problema de classificar formas bilineares simétricas não degeneradas

sobre espaços vetoriais de dimensão finita sobre R.

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n > 2 sobre R, que possui uma forma

bilinear simétrica não degenerada f = f(x,y), pela Lei de inercia de Sylvester [43, Teo.11.25, p.287] existe uma base β = e1, . . . , en de V tal que f(ei, ei) = 1, para 1 6 i 6 p,

f(ei, ei) = −1 para p+ 1 6 i 6 n e f(ei, ej) = 0 para todo i 6= j. Então a álgebra de Jordan(J(V, f),⊡) da forma bilinear f tem base β ′ = 1, e1, . . . , en e é definida pelos produtos

1⊡ 1 = 1, 1⊡ ei = ei, ei ⊡ ej = 0 para i 6= j

ei ⊡ ei = 1 para 1 6 i 6 p, ei ⊡ ei = −1 para p+ 1 6 i 6 n

Logo existem somente 5 álgebras de Jordan reais simples não isomorfas de dimensão

m 6 3:

i. R de dimensão 1,

ii. C de dimensão 2,

iii. (J(V, f),⊡) onde dimR V = 2, f(e1, e1) = 1 e f(e2, e2) = −1 de dimensão 3,

iv. (J(V, f),⊡) onde dimR V = 2 e f(ei, ei) = −1 para i = 1, 2, de dimensão 3 e

v. (J(V, f),⊡) onde dimR V = 2 e f(ei, ei) = 1 para i = 1, 2, de dimensão 3.

Note que a álgebra do item ii é isomorfa à álgebra bidimensional B ′4.

47

Considerando somas diretas de tais álgebras obtemos todas as álgebras de Jordansemisimples de dimensão 3 sobre R:

T Tabela de Multiplicaçãodim

Aut(T)dim

Ann(T)dimT2 Observação

T ′1 Re1 ⊕ Re2 ⊕ Re3 0 0 3

Associativa,Unitária

T ′2 B ′

4 ⊕ Re3 0 0 3Associativa,

Unitária

T ′3 e22 = e1 e23 = −e1 e1ei = ei i = 1,2,3 1 0 3

Unitária,item iii

T ′4 e22 = e23 = −e1 e1ei = ei i = 1,2,3 1 0 3

Unitária,item iv

T ′5 e22 = e23 = e1 e1ei = ei i = 1,2,3 1 0 3

Unitária,item v

Tabela 3.3: R-álgebras de Jordan semisimples de dimensão 3

3.2.2 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 1

Considere T uma álgebra de Jordan real tal que dimN = 1, logo a parte semisimples

Tss tem dimensão 2 e da seção anterior temos as seguintes possibilidades ou Tss =

Re1 ⊕ Re2 ou Tss = B ′4.

1) Suponha que Tss = Re1⊕Re2. Então a álgebra T# = T⊕R · 1 contem 3 idempotentes

ortogonais e1, e2 e e0 = 1− e1 − e2, logo usando a decomposição de Peirce (1.5) temos:

T = P00 ⊕ P01 ⊕P02 ⊕P11 ⊕P12 ⊕P22,

e a correspondente decomposição de N:

N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N22,

onde Nij = N ∩ Pij. Seja n1 uma base de N, então J é completamente definida pelo

subespaço de Peirce ao qual n1 pertence. Das 6 possíveis álgebras obtemos as seguintes4 não isomorfas:

Tabela 3.4: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional e Tss =

Re1 ⊕ Re2


Aut(T)dim

Ann(T)dimT2

Observação

48

T ′6 Re1 ⊕ Re2 ⊕ Rn1 1 1 2

Associativan1 ∈ N00

T ′7 B ′

2 ⊕ Re2 2 0 3 n1 ∈ N01

T ′8 e2i = ei ein1 = 1

2n1 i = 1,2 2 0 3Unitárian1 ∈ N12

T ′9 B ′

1 ⊕ Re2 1 0 3

Associativa,Unitária

n1 ∈ N11

Observamos que no caso em que n1 pertença ao subespaço N22 temos um elementoidempotente na álgebra agindo como 1 em n1, logo a álgebra obtida é isomorfa a T ′

9. Se

n1 ∈ N02 temos um só elemento idempotente na álgebra agindo como 12 em n1, logo a

álgebra obtida é isomorfa a T ′7.

2) Suponha que Tss = B ′4. Somente temos um elemento idempotente e1 que determina

a seguinte decomposição de N:

N = N0 ⊕N1 ⊕N 12

.

Seja n1 uma base de N então a ação de e1 em n1 fica definida pela componente Ni à qualn1 pertence. Só nos resta estabelecer como age e2 em n1. Da tabela de multiplicação de

B ′4 (veja Tabela 3.1) deduzimos que e2 ∈ P1.

Suponha que n1 ∈ N0, então temos do Teorema 1.18 que e2n1 ∈ P1P0 = 0. Agora se

n1 ∈ N1 como e2n1 ∈ N temos que e2n1 = αn1 para algum α ∈ R. Verificando que abase e1, e2, n1 satisfaça a identidade de Jordan (1.3) obtemos que a única condição real

para a constante é α = 0. No último caso, quando n1 ∈ N 12, não obtemos uma álgebra

de Jordan real já que as únicas soluções de e2n1 = βn1 são β = ± i2

.

Logo obtemos as seguintes álgebras não isomorfas:

Tabela 3.5: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional e Tss = B ′4


Aut(T)

dim

Ann(T)

dim

T2Observação

T ′10 B ′

4 ⊕ Rn1 1 1 2Associativa

n1 ∈ N0

T ′11

e22 = −e1 e1n1 = n1

e1ei = ei i = 1,22 0 3

Unitárian1 ∈ N1

49

3.2.3 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 2

Suponha agora que T seja uma R-álgebra de Jordan com radical N de dimensão 2. A

única álgebra de Jordan semisimples de dimensão 1 é Tss = Re1, o que implica naseguinte decomposição de Peirce de N:

N = N0 ⊕N 12⊕N1.

O ideal N pode ter dois tipos de nilpotência: (2) ou (1, 1).

1) Suponha que N tem tipo de nilpotência (2). Logo N2 = 0. Seja n1, n2 uma basede N, então T fica completamente definida pelos subespaços de Peirce aos quais n1 e

n2 pertencem. Assim obtemos 9 possíveis álgebras das quais as seguintes 6 são nãoisomorfas:

Tabela 3.6: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (2)


Aut(T)dim

Ann(T)dimT2

Observação

T ′12 e21 = e1 e1ni =

12ni i = 1,2 6 0 3 n1, n2 ∈ N 1

2

T ′13 e21 = e1 e1ni = ni i = 1,2 4 0 3

Associativa,

Unitária,n1, n2 ∈ N1

T ′14 B ′

2 ⊕ Rn2 3 1 2 n1 ∈ N 12, n2 ∈ N0

T ′15 B ′

1 ⊕ Rn2 2 1 2Associativa,

n1 ∈ N1, n2 ∈ N0

T ′16

e21 = e1 e1n1 = 12n1

e1n2 = n2

3 0 3 n1 ∈ N 12, n2 ∈ N1

T ′17 Re1 ⊕ Rn1 ⊕ Rn2 4 2 1

Associativa,n1, n2 ∈ N0

As outras 3 possibilidades: n1 ∈ N0 e n2 ∈ N 12

, n1 ∈ N0 e n2 ∈ N1 e n1 ∈ N1 en2 ∈ N 1

2resultam em uma álgebra isomorfa à álgebra T ′

14, T ′15 e T ′

16 respetivamente, só

basta aplicar o isomorfismo que troca n1 com n2.

2) Suponha que N tem tipo de nilpotência (1, 1). Analogamente ao caso sobre umcorpo algebricamente fechado existe n ∈ N tal que N = Rn+Rn2 com n3 = 0. Suponha

primeiramente que N é dado por uma única componente de Peirce de dimensão 2, istoé N = Ni então N2

i ⊆ N0 ⊕N1. Se i = 12

então N2 = 0 o que contradiz o fato de N ter

tipo de nilpotência (1, 1), logo i = 0 ou i = 1. Agora suponha que N = Ni ⊕N 12

comi = 0, 1 e dimNi = dimN 1

2= 1, então podemos escolher o n da base como sendo um

50

elemento de N 12. De fato se Ni = Ra e N 1

2= Rb, então temos b2 ∈ Ni logo b2 = αa

para algum α ∈ R. Note que α 6= 0 pois pela nilpotência já temos que a2 = ab = 0.

Consequentemente N = Rb⊕ Rb2.Por último se N = N0 ⊕N1, então pela nilpotência N2

0 = N21 = 0 e pela tabela de mul-

tiplicação das componentes de Peirce N0N1 = 0 logo N2 = 0 o que é uma contradição.Assim obtemos as seguintes álgebras não isomorfas, onde n2

1 = n2.

Tabela 3.7: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (1, 1)


Aut(T)

dim

Ann(T)

dim

T2Observação

T ′18

e21 = e1 n21 = n2

e1ni = ni i = 1,22 0 3

Associativa,Unitária,

n1, n2 ∈ N1

T ′19 e21 = e1 n2

1 = n2 e1n1 = 12n1 2 1 3

n1 ∈ N 12,

n2 ∈ N0

T ′20

e21 = e1 n21 = e1n2 = n2

e1n1 = 12n1

2 0 3n1 ∈ N 1

2,

n2 ∈ N1

T ′21 B ′

3 ⊕ Re1 2 1 2Associativa,

n1, n2 ∈ N0

3.2.4 Álgebras de Jordan Reais Nilpotentes

Seja T uma álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 sobre R, então T pode ter osseguintes tipos de nilpotência:

1) Suponha que T tem tipo de nilpotência (3). Isto significa que T2 = 0, logo só temos

uma álgebra que satisfaz essa condição:

Tabela 3.8: R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (3)

TTabela de

Multiplicação

dim

Aut(T)

dim

Ann(T)

dim

T2Observação

T ′22 Rn1 ⊕ Rn2 ⊕ Rn3 9 3 0 Associativa

2) Suponha que T tem tipo de nilpotência (1, 1, 1). Então por definição T〈4〉 = 0,

dimT3 = 1 e dimT2 = 2. Seja n1 uma base de T3, completando a uma base de T2 e de T

51

temos que existem n2 ∈ T2 e n3 ∈ T tal que T2 = Rn1 + Rn2 e T = Rn1 + Rn2 + Rn3

com produtos

n21, n1n2, n1n3 ∈ T〈4〉 = 0 n2

3 = αn1 +βn2 pois n23 ∈ T2

n2n3 = γn1 e n22 = δn1 pois n2n3, n2

2 ∈ T3. (3.1)

Verificando que a base n1, n2, n3 satisfaça a identidade de Jordan (1.3) obtemos1

condições para as constantes: ou β = 0 ou δ = 0. Mas se β = 0 então isto implicaria que

dimT2 = 1 o que é uma contradição, logo temos que β 6= 0 e, por tanto, δ = 0. Pelomesmo argumento concluímos que γ 6= 0. Assim neste caso somente existe uma álgebra:

Tabela 3.9: R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (1, 1, 1)

TTabela de

Multiplicaçãodim

Aut(T)dim

Ann(T)dimT2

Observação

T ′23 n2n3 = n1 n2

3 = n2 3 1 2 Associativa

Considere uma álgebra (T, ·) com base N1, N2, N3 tal que o produto satisfaz (3.1)

para certos coeficientes α, β 6= 0, γ 6= 0 e δ = 0. Então T é isomorfa a T ′23 com isomor-

fismo dado por N1 7→ β−1γ−1n1 e N2 7→ − αβ2γ

n1 + β−1n2 cujo determinante 1β2γ

é

bem definido e não nulo.

3) Suponha que T tem tipo de nilpotência (2, 1). Então T3 = 0 e dimT2 = 1. Seja n3

uma base de T2, completando a uma base de T temos que existem n1, n2 ∈ T tal queT = Rn1 + Rn2 + Rn3 com produtos

n23, n1n3, n2n3 ∈ N3 = 0

n21 = αn3, n2

2 = βn3, n1n2 = γn3

Para quaisquer valores de α, β e γ a álgebra obtida T é de Jordan, mas é claro que pelomenos um deles deve ser não nulo para T ter tipo de nilpotência (2, 1). Provaremos que

T é uma das seguintes álgebras:

Tabela 3.10: R-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 3 de tipo (2, 1)

TTabela de

Multiplicaçãodim

Aut(T)dim

Ann(T)dimT2

Observação

T ′24 n2

1 = n22 = n3 4 1 1 Associativa

T ′25 B ′

3 ⊕ Rn3 5 2 1 Associativa


52

T ′26 n1n2 = n3 4 1 1 Associativa

Para isso suponha que β = 0 então, se γ 6= 0 temos que T ≃ T26 com isomorfismo

que leva N1 7→ n1 + α2γn2 e N3 = γ−1n3 de determinante γ−1. Mas se γ = 0, então

necessariamente α 6= 0 e neste caso T é isomorfa a T25 com isomorfismo definido por

N2 7→ n3 e N3 = α−1n2.

Por outro lado, se consideramos que β não é zero temos três possibilidades. Vamoschamar −αβ+ γ2 de ∆ para simplificar a notação, então:

i. Se ∆ > 0, novamente T é T26 com isomorfismo dado por N1 =(

12 + γ

2√∆

)

n1 +(

−12 + γ

2√∆

)

n2, N2 = β

2√∆n1 + β

2√∆n2 e N3 = β

2∆n3 cujo determinante β2

4∆32

ébem definido a não nulo.

ii. Se ∆ < 0, neste caso T ≃ T24 com isomorfismo N1 = n1 +γ√−∆

n2, N2 = β√−∆

n2 e

N3 = −β∆n3 de determinante β2

(−∆)32

.

iii. Por último, se ∆ = 0 então α = γ2

β e T ≃ T25. Se considerarmos que γ = 0 (elogo α = 0) então o isomorfismo é dado por N1 7→ n3, N2 7→ n1 e N3 7→ β−1n2,

mas se supomos γ 6= 0 (e por tanto α 6= 0) então o isomorfismo é definido porN1 7→ n1+n3, N2 = α−1γn1 e N3 = α−1n2 cujo determinante γ

α2 é bem definido e

não nulo.

3.2.5 Observações

Vimos em cada caso que não existe outra álgebra de Jordan de dimensão 3 sobre R que

não seja uma das álgebras T ′1 a T ′

26, para finalizar a classificação algébrica só resta provarque todas elas são diferentes.

Teorema 3.1. As álgebras T ′1 a T ′

26 são duas a duas não isomorfas.

Demonstração. Comparando os invariantes dim Rad(T), tipo de nilpotência de Rad(T),dim Ann(T), dim Aut(T) e dimT2, junto com as propriedades de T ser indecomponí-

vel, associativa, não associativa e unitária, somente necessitamos provar que não existeisomorfismo entre T ′

3, T ′4, T ′

5 e entre T ′24 e T ′

26.

Primeiro observamos que as álgebras T ′3, T ′

4 e T ′5 proveem de formas bilineares simé-

tricas não degeneradas não isomorfas, logo elas não são isomorfas.

Por último veja que a álgebra nula de dimensão 2, Rn1 ⊕ Rn2, é uma subálgebra de

T ′26 mas não é subálgebra de T ′

24, por tanto T ′24 6≃ T ′

26.

53

Analogamente ao Teorema 2.3 temos o seguinte fato:

Teorema 3.2. Todas as álgebras das seções anteriores são especiais.

54

4 DEFORMAÇÕES

Nossa principal motivação para realizar a classificação algébrica das álgebras de Jordannos capítulos anteriores vem da intenção de entender a variedade das álgebras de Jordan,

i.e., de descrever geometricamente tais álgebras. A classificação geométrica é o problemade entender a geometria da variedade das álgebras de Jordan e, em especial, de determi-

nar a lista completa das estruturas que denominaremos de rígidas pois veremos que estasálgebras determinarão as componentes irredutíveis da variedade, determinar o número

de órbitas na variedade sob a ação do grupo geral linear G = GL(V) e encontrar todasas possíveis deformações entre tais álgebras.

Este capítulo esta dividido em 5 seções. Na primeira seção apresentamos uma rápidarevisão de alguns conceitos e terminologia da geometria algébrica que serão necessários

para entender a geometria da variedade das álgebras de Jordan. Na segunda seção apre-sentaremos o conceito de deformação infinitesimal introduzido por Gerstenhaber em [16]

e os conceitos de rigidez analítica e infinitesimal. Provaremos que rigidez infinitesimalimplica em rigidez analítica.

Na terceira seção introduziremos a definição de variedade das álgebras de Jordan dedimensão n, Jorn, assim como também as noções de deformação de uma álgebra e derigidez geométrica. Reuniremos os resultados existentes na literatura que relacionam os

três conceitos de rigidez. Provaremos que, sempre que a variedade tenha um númerofinito de G-órbitas, cada componente irredutível é determinada pelo fecho de Zariski

da órbita de uma álgebra (geometricamente) rígida. Apresentaremos também certas“operações” que preservam algum dos tipos de rigidez e daremos contraexemplos de

outras em que isso não acontece.

Na quarta seção introduziremos inúmeros critérios que determinarão a não existência

de deformação entre um par de álgebras dadas, os quais nos permitirão determinar asálgebras rígidas e logo as componentes irredutíveis de uma variedade. Por último, na

Seção 4.5 mostraremos que em toda variedade de álgebras de Jordan de dimensão maiorou igual a 4 existem pelo menos 3 componentes irredutíveis que provêm de álgebras

rígidas que são indecomponíveis, não associativas e não semisimples.

55

4.1 introdução à geometria algébrica

Nesta seção daremos uma rápida revisão de alguns conceitos e terminologia da geome-tria algébrica com ênfase especial nos grupos algébricos e sua ação em variedades. No

que se segue consideraremos que o corpo k de char k 6= 2 é algebricamente fechado ouR.

Como referências para os resultados que apresentaremos recomendamos os trabalhos

[34], [10], [32] e [8].

4.1.1 Variedades Algébricas

Seja P = k[x1, . . . , xn] o anel dos polinômios em n variáveis sobre k. Um polinômio f ∈ P

define uma função f : kn → k, o valor de f em um ponto (a1, . . . ,an) ∈ kn é obtidosubstituindo os xi pelos ai em f, i.e. f leva (a1, . . . ,an) 7→ f(a1, . . . ,an). A função

definida por f é chamada de função polinomial no espaço vetorial kn de dimensão n

sobre k, com valores em k.

Diremos que f se anula em (a1, . . . ,an) ou, equivalentemente, que (a1, . . . ,an) é um

zero de f se f(a1, . . . ,an) = 0.

Dado S ⊆ P um subconjunto do anel dos polinômios definimos o anulador de S comosendo

V(S) = (a1, . . . ,an) ∈ kn | f(a1, . . . ,an) = 0 ∀f ∈ S .

Note que se I é o ideal de P gerado por S então V(I) = V(S). Mais ainda, como P éum anel noetheriano, todo ideal I tem um número finito de geradores f1, . . . , fr. Logo

V(S) pode ser expressado como os zeros comuns de um conjunto finito de polinômiosf1, . . . , fn.

Definição 4.1. Um subconjunto de kn, é dito algébrico se ele é o anulador V(S) dealgum conjunto de polinômios S.

Como⋂

i V(Si) = V(⋃

i Si), a interseção de qualquer coleção de conjuntos algébri-

cos é um conjunto algébrico. Mais ainda, se definimos S1S2 como sendo o conjuntoconsistindo de todos os produtos de um elemento de T1 por um elemento de T2 então

V(S1) ∪ V(S2) = V(S1S2) ou seja a união de dois conjuntos algébricos é de novo umconjunto algébrico. Por último ∅ = V(1) e kn = V(0) são ambos conjuntos algébricos.

Para a demostração destes fatos veja [34, Prop. 1.1 p.2].

56

As propriedades anteriores nos permitem definir uma topologia em kn considerandoos conjuntos fechados como sendo os conjuntos algébricos de kn. Esta topologia é cha-

mada de topologia de Zariski.

Definição 4.2. Um n-espaço afim An é um espaço topológico, que é kn como conjuntodotado da topologia de Zariski.

A seguinte definição que precisamos é a definição de variedade, para isso precisaremos

das seguintes duas definições.

Definição 4.3. Em um espaço topológico, um subconjunto é localmente fechado se éaberto no seu fecho ou, equivalentemente, se é a interseção de um conjunto aberto e um

fechado.

Definição 4.4. Se X ⊆ An é localmente fechado, uma função f : X → k é dita regular no

ponto p ∈ X se existe uma vizinhança aberta U com p ∈ U ⊆ X e polinômio g,h ∈ P talque h nunca se anula em U e f = g/h em U. Dizemos que f é regular em X se é regular

em todo ponto de X. O conjunto de aplicações regulares em X é denotado por

O(X) = f : X → k | f é regular em X .

Ou seja, funções regulares são funções que são localmente quocientes de polinômios.

Definição 4.5. Um subconjunto não vazio X de um espaço topológico Y é chamado de

irredutível se não pode ser decomposto como a união de dois subconjuntos fechadospróprios (onde a topologia de X é a topologia induzida da topologia de Y). Ou seja, X é

irredutível se ∅ 6= X = X1 ∪X2 com X1 e X2 fechados, implica X1 = X ou X2 = X.

Todo subconjunto aberto não vazio de um espaço irredutível é irredutível e denso.

Além disso, se X é um subconjunto irredutível de Y então seu fecho X em Y é tambémirredutível, [34, p. 3].

Definição 4.6. Uma variedade algébrica (ou simplesmente variedade) X é um subcon-

junto localmente fechado de An dotado de sua topologia e da coleção O(U) para todo U

aberto em X.

Claramente uma subvariedade de uma variedade algébrica X é um subconjunto de X

que é uma variedade. Todo subconjunto fechado de uma variedade é uma subvariedade[32, p.12].

Definição 4.7. Um morfismo φ : X → Y entre variedades é uma aplicação contínua tal

que para todo U ⊆ Y e toda aplicação regular θ : U → k a composição

φ−1(U)φ

// Uθ // k

57

é regular.

Observamos que um isomorfismo neste caso é um morfismo com uma inversa, o que

não é o mesmo que um morfismo bijetivo.

Conjuntos algébricos são exemplos de um tipo especial de variedade que definiremos

a seguir.

Definição 4.8. Uma variedade afim é uma variedade que é isomorfa a um subconjunto

fechado de An para algum n.

Note que X× Y tem estrutura de variedade, mas não com a topologia produto. Em

vez disso An × Am ≃ An+m. O produto de variedades irredutíveis é irredutível.

Definição 4.9. Seja Y um subconjunto fechado de um espaço topológico X. Um ponto

x ∈ Y é chamado de ponto genérico de Y se Y = x, o fecho de x em X.

Se Y tem um ponto genérico então Y é irredutível [32, p.25].

Toda variedade afim admite uma decomposição em um número finito de componen-

tes irredutíveis, i.e. subconjuntos fechados irredutíveis maximais ([34, Prop.1.5, p.5], [32,Cor. 2.15, p.13]). Como as componentes irredutíveis são fechadas elas são subvariedades.

Observamos que neste trabalho a definição de variedade algébrica não é a padrão. Ge-ralmente, variedades são definidas como sendo irredutíveis, no entanto, de acordo com

a literatura de classificação geométrica de estruturas algébricas, não impomos esta condi-ção pois o objetivo do problema da classificação geométrica é determinar as componentesirredutíveis de uma variedade algébrica.

4.1.2 Dimensão

Nesta seção daremos um significado algébrico preciso à noção geométrica de dimensão.

Se X é um espaço topológico, definimos a dimensão de X, que denotamos dimX, comosendo o supremo dos comprimentos das cadeias X0 ⊂ X1 ⊂ · · · ⊂ Xn de subconjuntos

fechados irredutíveis não vazios distintos de X. Em particular, definimos a dimensão de

uma variedade algébrica como sendo sua dimensão como espaço topológico.

A dimensão de uma variedade algébrica possui as seguintes propriedades:

i. Se X ⊆ Y então dimX 6 dimY. A desigualdade é estrita se Y é irredutível e X é

fechado.

ii. dim An = n.

iii. dim ∅ = −∞.

58

iv. Se U 6= ∅ é aberto em uma variedade irredutível X então dimU = dimX.

v. Se X e Y são variedades irredutíveis então dimX× Y = dimX+ dim Y.

vi. Se Xi são localmente fechados em Y então dim∪ni=1Xi = max16i6n dimXi.

vii. dimX é independente da escolha do corpo de definição k.

Para a demostração destes fatos consulte [32, Prop.II.3.11] e [10, Cap.3]

4.1.3 Ação de Grupos

Nesta seção apresentaremos alguns resultados sobre grupos algébricos, em especial sobre

a ação desses grupos em variedades algébricas. Esses resultados serão importantes para acaracterização geométrica da variedade das álgebras de Jordan, Jorn, que apresentaremos

na Seção 4.3.

Para maiores informações sobre os resultados aqui apresentados, veja [9, 20, 11, 12].

Definição 4.10. Um grupo algébrico é uma variedade G junto com:

i. um elemento e ∈ G;

ii. um morfismo µ : G×G → G denotado por (x,y) 7→ xy;

iii. um morfismo i : G×G → G denotado por x 7→ x−1,

em relação aos quais (o conjunto) G é um grupo.

Um morfismo de grupos algébricos é um morfismo de variedades que é também um

homomorfismo de grupos. Denominaremos isomorfismos os morfismos que possuaminversas e estas também sejam morfismos.

Exemplo 4.11. [20, Cap II.7.1 e II.7.3] O conjunto Matn(k) de todas as matrizes n× n

com entradas em k pode ser identificado com An2e o grupo geral linear GLn(k), i.e.,

o conjunto das matrizes invertíveis n× n com entradas em k, com o subconjunto abertodefinido pelo não-anulamento do polinômio det, visto assim como uma variedade afim,

mais ainda GLn(k) é uma variedade irredutível. As expressões para a multiplicação einversão de matrizes deixam claro que GLn(k) é um grupo algébrico.

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo k dimensão finita n. O grupo geral linear

de V, i.e., o conjunto de todas as transformações lineares bijetivas de V em V, denotadopor GL(V), junto com a composição de funções como operação de grupo, é isomorfo a

GLn(k) e, por tanto, é também um grupo algébrico.

59

Por simplicidade, doravante, vamos assumir que o grupo G é uma variedade irredutí-vel pois nosso principal interesse está na ação do grupo algébrico GL(V) que é irredutível.

Definição 4.12. Dizemos que um grupo algébrico G age numa variedade algébrica X seexiste um morfismo ϕ : G× X → X que é uma ação de grupo.

Seja G um grupo algébrico agindo em uma variedade X. Para cada ponto x em X

definimos a órbita de x sobre a ação de G como sendo o conjunto xG = g · x | g ∈ G eo subgrupo estabilizador de x como sendo o conjunto de todos os elementos em G que

fixam x, i.e., StabG(x) = g ∈ G | g · x = x.

As propriedades de grupo garantem que a relação definida por “x ∼ y se e somente se

existe g ∈ G tal que g · x = y” seja uma relação de equivalência. As órbitas são então asclasses de equivalência sob essa relação. Logo dois elementos x e y são equivalentes se e

somente se suas órbitas são as mesmas, i.e., xG = yG.

Lema 4.13. [10, 20, Cap.8.2,8.3]Seja G um grupo algébrico agindo em uma variedade X, então:

i. Cada órbita xG é localmente fechada e irredutível.

ii. dim xG = dim G−dim StabG(x).

iii. xG \ xG é uma união de órbitas de dimensão estritamente menor que dim xG, ondexG representa o fecho algébrico da órbita de x na topologia de Zariski. Em particu-

lar, órbitas de dimensão minimal são fechadas.

iv. A aplicação x 7→ dim StabG(x) é semicontínua superiormente, logo o conjuntox ∈ X | dim xG 6 s

é fechado e conjunto

x ∈ X | dim xG = s

é localmente fe-

chado.

v. Se Y é uma componente irredutível de X então Y é invariante sob a ação de G, i.e.,Y = YG = g · y | y ∈ Y e g ∈ G.

Segue do item iii que se a variedade X tem um número finito de órbitas então xG =

xG ∪(⋃n

i=1 xGi

)

com dim xGi < dim xG para todo 1 6 i 6 n. Então dos resultados da

Seção 4.1.2 temos

dim xG = max16i6n

dim xG, dim xG

i

= dim xG.

60

4.2 deformações infinitesimais de álgebras de jor-

dan

Seja J uma álgebra de Jordan sobre um corpo k de char k 6= 2 e V o espaço vetorial

subjacente à J. Denotamos por R = k[[t]] ao anel das séries de potências formais em umavariável t, por K = k((t)) ao corpo de frações de R e por VK ao espaço vetorial obtido

de V estendendo o domínio de coeficientes de k a K, i.e., VK = V⊗kK. Observamos quequalquer função bilinear f : V×V → V (em particular o produto de J) pode ser estendida

a uma função bilinear sobre K de VK ×VK em VK.

Suponha que é dada uma função bilinear ft : VK×VK → VK expressa na forma

ft(a,b) = ab+ tF1(a,b) + t2F2(a,b) + · · · ,

onde Fi é uma função bilinear definida sobre k e F0(a,b) = ab é o produto em J. Supo-nha ainda que ft é um produto de Jordan, i.e.,

ft(a,b) = ft(b,a),

ft(ft(a,a), ft(b,a)) = ft(ft(ft(a,a),b),a), (4.1)

para todo a, b ∈ VK (ou equivalentemente, para todo a, b ∈ V). Então podemos con-siderar a álgebra de Jordan Jt cujo espaço vetorial subjacente é VK e cujo produto é

ft.

Definição 4.14. Nas condições acima dizemos que Jt = (VK, ft) (ou, quando for neces-sário fazer referencia à multiplicação, diremos que ft) é um elemento genérico de uma

família de deformações a um parâmetro de J.

Definição 4.15. Se J1 e J2 são duas k-álgebras de Jordan dizemos que J1 deforma-se em

J2 se existir um elemento genérico (J1)t de uma família de deformações a um parâmetrode J1 o qual é K-isomorfo a (J2)K = J2 ⊗k K.

A condição (4.1) de que ft seja um produto de Jordan é equivalente às seguintes rela-ções, para todo a, b ∈ V e todo ν inteiro não negativo:

Fν(a,b) = Fν(b,a),∑

cλ+µ+γ=νλ>0 µ>0 γ>0

Fγ(Fµ(a,a), Fλ(b,a)) − Fγ(Fµ(Fλ(a,a),b),a) = 0. (4.2)

61

Para ν = 0 obtemos a comutatividade e a identidade de Jordan do produto original. Paraν = 1, a relação (4.2) pode ser expressa da forma

F1(a,b) = F1(b,a),

F1(a2,ba) − F1(a

2b,a) + a2F1(b,a) − F1(a2,b)a+ F1(a,b)(ba) − (F1(a,a)b)a = 0,

i.e., F1 é um elemento do grupo Z2(J, J) de 2-cociclos de J com coeficientes em J, vejaDefinição 1.21. A aplicação bilinear F1 considerada como uma aplicação de V×V em V,

é chamada de diferencial da família.

Observamos que um elemento arbitrário F1 ∈ Z2(J, J) não necessariamente é o dife-

rencial de uma família de deformações a um parâmetro de J. Se esse for o caso, dizemosque F1 é integrável.

Definição 4.16. Uma família de deformações a um parâmetro de uma álgebra de Jordan

definida pelo produto gt é chamada de trivial se existe uma aplicação linear não-singularΦt : VK → Vk (um automorfismo de VK) da forma:

Φt(a) = a+ tφ1(a) + t2φ2(a) + · · · , (4.3)

onde todos os φi : VK → VK são aplicações lineais definidas sobre k, tais que

gt(a,b) = Φ−1t (Φt(a) ·Φt(b)).

A álgebra então obtida Jt é claramente isomorfa à álgebra JK = J ⊗k K, de fato o

isomorfismo é dado pela aplicação linear Φt considerada como uma aplicação de Jt emJK.

Definição 4.17. Duas famílias ft e gt de deformações a um parâmetro de uma álgebrade Jordan J serão chamadas de equivalentes se existir um automorfismo Φt : VK → Vk

da forma (4.3) tal que

gt(a,b) = Φ−1t ft(Φt(a),Φt(b)).

Da última definição temos que a família ft é trivial se é equivalente à deformaçãoidentidade gt definida por gt(a,b) = ab.

Observação 4.18. Duas famílias ft e gt de deformações a um parâmetro de J equivalentes

satisfazem:

G1(a,b) = F1(a,b) + (δφ1)(a,b), (4.4)

62

onde (δφ1)(a,b) = aφ1(b) + bφ1(a) −φ1(ab). Ou seja os diferenciais de duas famíliasde deformações a um parâmetro de J equivalentes, pertencem à mesma classe de equi-

valência em H2(J, J), onde H2 é o segundo grupo de cohomologia definido na Seção 1.4do Capítulo 1.

Demonstração. Como ft e gt são equivalentes existe um automorfismo Φt da forma 4.3

tal que

Φt(gt(a,b)) = ft(Φt(a),Φt(b)).

Por um lado temos que

ft(Φt(a),Φt(b) = ft(a+ tφ1(a) + t2φ2(a) + · · · ,b+ tφ1(b) + t2φ2(b) + · · · )= ft(a+ tφ1(a),b+ tφ1(b)) + t2(· · · ) + · · ·= (a+ tφ1(a)) (b+ tφ1(b)) + tF1 (a+ tφ1(a),b+ tφ1(b)) + · · ·= ab+ tbφ1(a) + taφ1(b) + tF1(a,b) + t2(· · · ) + · · ·

e pelo outro

Φt(gt(a,b)) = gt(a,b) + tφ1(gt(a,b)) + t2φ2(gt(a,b)) + · · ·= ab+ tG1(a,b) + tφ1(ab) + t2(· · · ) + · · · ,

isto implica que

bφ1(a) + aφ1(b) + F1(a,b) = G1(a,b) +φ1(ab).

Definição 4.19. Uma álgebra de Jordan é chamada de analiticamente rígida se ela so-

mente possui as deformações a um parâmetro triviais.

Em [16], Gerstenhaber denominou tais álgebras de “rígidas” mas, por precisão, nós

utilizaremos o termo “analiticamente rígida” para diferenciar os três conceitos de rigidez,como feito em [17].

Diremos que uma álgebra de Jordan J é infinitesimalmente rígida se H2(J, J) = 0.Para álgebras de dimensão finita existe ainda um terceiro conceito de rigidez será apre-

sentado na Seção 4.3.

A seguinte proposição é um dos resultados fundamentais na teoria de deformações.

63

Proposição 4.20. Seja ft uma família de deformações a um parâmetro de uma álgebra de Jordan

J. Então ft é equivalente a uma família

gt(a,b) = ab+ tnFn(a,b) + tn+1Fn+1(a,b) + · · · ,

onde o primeiro termo não nulo Fn pertence a Z2(J, J) e não é cohomólogo a zero.

Demonstração. Seja ft(a,b) = ab+ tnFn(a,b) + · · · então fazendo ν = n em (4.2) segueque Fn satisfaz (1.6) ou seja Fn ∈ Z2(J, J). Se adicionalmente Fn ∈ B2(J, J) ou seja Fn

é um 2-cociclo equivalente a 0, i.e. Fn = −δφn para alguma aplicação linear φn, entãoescolhendo Φt(x) = x+ tnφn(x) e procedendo analogamente à prova da Observação

4.18 temos que

ft(Φt(a),Φt(b) = ft(a+ tnφn(a),b+ tnφn(b))

= (a+ tnφn(a)) (b+ tnφn(b)) + tnFn (a+ tnφn(a),b+ tnφn(b)) + · · ·= ab+ tnbφn(a) + tnaφn(b) + tnFn(a,b) + tn+1(· · · ) + · · ·

e que

Φt(ab+ tn+1Fn+1(a,b) + · · · ) = ab+ tn+1Fn+1(a,b) + tnφn(ab+ tn+1Fn+1(a,b)) + · · ·= ab+ tnφn(ab) + tn+1(· · · ) + · · · ,

e por tanto

Φ−1t ft(Φt(a),Φt(b)) = ab+ tn+1Fn+1(a,b) + · · · ;

e de novo Fn+1 ∈ Z2(J, J).

A seguinte proposição é a condição suficiente para rigidez analítica mais eficaz e sim-ples e é enunciada em termos do segundo grupo de cohomologia.

Proposição 4.21. Para uma álgebra de Jordan sobre um corpo k rigidez infinitesimal implica

rigidez analítica.

Este resultado foi originalmente obtido em [16, Cor, p.65] para álgebras associativas ede Lie, para o caso de álgebras de Jordan a prova é análoga e segue como consequência

direta da Proposição 4.20.Observamos que se H3(J, J) = 0 (para a definição de H3 veja [51, Cap. 9]) então todo

F1 ∈ Z2(J, J) é integrável [16, p.64]. Suponha então que neste caso, reciprocamente àproposição anterior, J seja uma álgebra analiticamente rígida e que F1 seja um 2-cociclo

de J com coeficientes em J então F1 é o diferencial de uma família ft de deformações a

64

um parâmetro de J, mas como J é analiticamente rígida ft é equivalente à deformaçãoidentidade gt(a,b) = ab. Segue da Observação 4.18 que

0 = F1(a,b) + aφ1(b) + bφ1(a) −φ1(ab), (4.5)

onde φ1 é a aplicação linear dada pela equivalência de ft e gt. Isto implica que H2(J, J) =0, logo provamos a seguinte recíproca da Proposição 4.21:

Proposição 4.22. Seja J uma álgebra de Jordan analiticamente rígida e tal que H3(J, J) = 0

então J é infinitesimalmente rígida.

Em particular segue de [51, Teo. 9.2.11 p. 310] que para qualquer álgebra separável de

dimensão finita A e qualquer bimódulo M de A, Hn(A,M) = 0 para n > 0, isto implicaque:

Corolário 4.23. Toda álgebra de Jordan semisimples de dimensão finita sobre um corpo algebrica-

mente fechado é analiticamente rígida.

Exemplo 4.24. Considere B2 ∈ Jor2 (veja 2.1.2) e seja h : B2 ×B2 → B2 uma aplicação

bilinear satisfazendo (1.6) ou seja, h é um 2-cociclo de B2 com coeficientes em B2, entãosimplificando as equações (1.6) obtemos:

h(e1, e1) = αe1, h(e1,n1) = βe1 +α

2n1, h(n1,n1) = 2βn1

para quaisquer α,β ∈ k. Defina uma aplicação linear µ : B2 → B2 como sendo µ(e1) =

−αe1 +n1 e µ(n1) = −2βe1 + n1, logo temos que

0 = h(a,b) − µ(ab) + aµ(b) + µ(a)b,

para todo a, b ∈ B2, i.e. h é equivalente a 0, por tanto H2(B2,B2) = 0 o que implica que

B2 é analiticamente rígida.

Vamos agora comprar a estrutura da álgebra deformada Jt com a de J, mais pre-cisamente com a de JK. Do Teorema 1.12 temos que qualquer álgebra de Jordan de

dimensão finita (sobre um corpo algebricamente fechado ou R) admite decomposição:J = Jss ⊕ Rad(J). Seja Jt um elemento genérico de uma família de deformações a um

parâmetro de J, com produto ft. Então podemos construir uma deformação equivalenteà dada tal que a nova deformação preserva tanto o produto original em (JK)ss como a

ação de (JK)ss em Rad(J).

Teorema 4.25. [27, Teorema 2.3, p. 66] Seja Jt um elemento genérico de uma família a um

parâmetro de deformações de J com multiplicação ft. Então existe Gt um elemento genérico de

65

uma família de deformações a um parâmetro de J, com produto gt o qual é equivalente a ft e tal

que o radical da álgebra Gt é Rad(Gt) = R⊗k K, onde R é um ideal nilpotente de J. Mais ainda,

para todo x, y ∈ (JK)ss, gt(x,y) = x ·y e para todo x ∈ (JK)ss e z ∈ Rad(JK), gt(x, z) = x · z.

4.3 a variedade algébrica Jorn

Nesta seção definiremos a variedade das álgebras de Jordan de dimensão n. O corpode definição será denotado por k e representará um corpo algebricamente fechado de

char k 6= 2 ou R. E explicaremos os métodos usados nos Capítulos 5 e 6 para descreveras componentes irredutíveis de Jorn para n 6 4 se k = k e para n 6 3 se k = R, assim

como também as deformações entre álgebras de Jordan.

Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo k com base e1, . . . , en fixa.O nosso objetivo é introduzir uma estrutura de álgebra de Jordan em V, o que pode ser

feito especificando n3 constantes estruturais ckij ∈ k, de modo que o produto na álgebraresultante seja definido como:

ei · ej =n∑

k=1

ckijek, para todo i, j ∈ 1, . . . ,n.

É importante notar que álgebras isomorfas em geral possuem constantes estruturais

diferentes.

A escolha das constantes estruturais não é arbitrária pois deve refletir os fatos que aálgebra é comutativa 1.1, isto é:

ckij = ckji, (4.6)

e que satisfaz a identidade de Jordan (1.2):

n∑

a=1

caij

n∑

b=1

cbklcpab −

n∑

a=1

cakl

n∑

b=1

cbjacpib +

n∑

a=1

calj

n∑

b=1

cbkicpab−

−

n∑

a=1

caki

n∑

b=1

cblacplb +

n∑

a=1

cakj

n∑

b=1

cbilcpab −

n∑

a=1

cail

n∑

b=1

cbjacpkb = 0, (4.7)

para todos i, j, k, l, p ∈ 1, . . . ,n.

Estas restrições se manifestam através de equações polinomiais nas constantes estru-turais, e assim podemos interpretar o espaço das constantes estruturais como uma vari-

edade em An3definida pelas equações (4.6) e (4.7) que chamaremos de variedade das

66

álgebras de Jordan de dimensão n e que denotaremos por Jorn. Um ponto qualquer(ckij) ∈ Jorn representa, na base fixa, uma k-álgebra de Jordan J de dimensão n.

As afirmações acima provam que:

Lema 4.26. A variedade Jorn é um conjunto algébrico e logo uma variedade afim.

O grupo G = GL(V) age em Jorn via “transporte de estrutura”, i.e.

G× Jorn → Jorn

(g, (J, ·)) 7→ (J, ·g), onde x ·g y = g(g−1x · g−1y), (4.8)

para toda J ∈ Jorn, g ∈ G e x, y ∈ V. As órbitas desta ação são dadas por JG =

(J, ·g) ∈ Jorn | g ∈ G e o estabilizador de uma álgebra sob a ação de G, StabG(J) =

g ∈ G | (J, ·g) = (J, ·), coincide com o grupo de automorfismos da álgebra Aut(J) =

g ∈ G | g é um endomorfismo de álgebras. De fato g ∈ StabG(J) se e somente se a álge-bra J com o produto ·g coincide com a álgebra J com o produto original, i.e. g−1(x ·y) =g−1(x) · g−1(y) se e somente se g−1 é um endomorfismo se e somente se g ∈ Aut(J).

Dois conjuntos de constantes estruturais geram álgebras isomorfas se e somente se

existe um elemento de G que leva uma álgebra na outra como em (4.8), assim temos oseguinte lema:

Lema 4.27. Sejam (J, ·) e (J1, •) ∈ Jorn. Então J ≃ J1 se e somente se JG = JG1 .

Demonstração. Se J ≃ J1 então o isomorfismo (J, ·) → (J1, •) é dado por uma transforma-

ção linear bijetiva g ∈ G tal que g(x · y) = g(x) • g(y) logo x · y = g−1(g(x) • g(y)) paratodo x,y ∈ V ou seja (J, ·) = (J1, •g−1) por tanto J ∈ JG

1 e logo JG = JG1 . Reciprocamente,

se JG = JG1 então existe uma transformação linear bijetiva g ∈ G tal que (J1, •) = (J, ·g)

o que implica que x • y = g(g−1x · g−1y) logo g−1(x • y) = g−1x · g−1y, por tanto a

transformação linear g é um isomorfismo entre as álgebras J e J1.

Como consequência deste lema temos que as órbitas de Jorn sob a ação de G podem

ser identificadas com a classe de isomorfismos de álgebras de Jordan de dimensão n.

Agora introduziremos um conceito muito importante no estudo da variedade Jorn, a

ideia de deformação, a qual nos permitirá determinar as componentes irredutíveis dessavariedade.

Definição 4.28. Dizemos que a álgebra de Jordan J1 de dimensão n, é uma deformação

da álgebra de Jordan da mesma dimensão J2 ou, equivalentemente, que J1 domina J2

ou, ainda, que J2 deforma-se em J1, se a órbita JG2 está contida no fecho de Zariski da

órbita JG1 e denotamos tal fato por J1 → J2.

67

Claramente sempre que J2 ∈ JG1 então JG

2 = JG1 ou seja J2 ≃ J1 e também JG

2 ⊆ JG1 logo

J1 → J2. Nos referiremos a uma deformação deste tipo como uma deformação trivial,

caso contrário será denominada de deformação não trivial.

Proposição 4.29. A relação J1 → J2 é uma relação de ordem parcial em Jorn.

Demonstração. Para cada J ∈ Jorn temos a deformação trivial J → J. Por outro lado se

J → J1 e J1 → J2 então JG2 ⊆ JG

1 ⊆ JG o que implica que J → J2. Por último, se J → J1

e J1 → J então JG1 ⊆ JG e JG ⊆ JG

1 . Suponha que J 6≃ J1 então JG 6= JG1 o que significa

que JG ∩ JG1 = ∅, logo JG

1 ⊆ JG \ JG. Pelo Lema 4.13 dim JG1 < dim JG e analogamente

dim JG < dim JG1 o que é uma contradição. Logo J ≃ J1.

O seguinte lema relaciona as definições de família de deformações a um parâmetro

4.15 e de deformação 4.28 quando o corpo é algebricamente fechado. Uma prova podeser encontrada em [13, Lema 7a, p. 77].

Lema 4.30. Seja k um corpo algebricamente fechado. Se J1 e J2 são duas k-álgebras de Jordan

tal que J1 é uma deformação de J2 no sentido da Definição 4.15, i.e., existe um elemento genérico

(J2)t de uma família de deformações a um parâmetro de J2 o qual é K-isomorfo a (J1)K, onde

K = k((t)). Então a órbita JG2 está contida no fecho de Zariski da órbita JG

1 .

Definição 4.31. Chamamos de álgebras de Jordan geometricamente rígidas ou simples-

mente de álgebras de Jordan rígidas, às álgebras para as quais sua órbita sob a ação deG é um subconjunto Zariski-aberto em Jorn.

Proposição 4.32. [17, p. 61] As seguintes condições são equivalentes:

i. J é geometricamente rígida.

ii. J tem uma vizinhança na qual todo ponto representa una álgebra isomorfa a J sobre alguma

extensão de k.

iii. A componente de Jorn que contém J tem um ponto genérico o qual representa uma álgebra

isomorfa a J sobre alguma extensão de k. (A componente deve então ser única)

Uma das questões que nos perguntamos na hora da classificação geométrica sobre umcorpo k algebricamente fechado e sobre R é se toda álgebra rígida permanece rígida sob

uma extensão escalar, a resposta é consequência direta da proposição anterior:

Lema 4.33. [17, p. 61] J é geometricamente rígida se e somente se J⊗k L é geometricamente

rígida sempre que L é uma extensão de k.

Uma das perguntas que surgem ao respeito de rigidez é como se relacionam os trêsconceitos de rigidez introduzidos neste capítulo. A resposta é dada nos Teoremas 4.34 e

4.35 a seguir:

68

Teorema 4.34. [17, Teo. 3.2,p.61] Para uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um corpo

k rigidez analítica implica rigidez geométrica.

Ou seja, quando consideramos álgebras de dimensão finita temos:

rigidez infinitesimal ⇒ rigidez analítica ⇒rigidez geométrica

Em geral, as recíprocas não são verdadeiras. Álgebras geometricamente rígidas de di-mensão finita que não são infinitesimalmente rígidas foram primeiramente construídas

por Richardson na categoria de álgebras de Lie complexas em toda dimensão par maiorque 16 em [42]. Já para as álgebras associativas com unidade sobre um corpo algebrica-

mente fechado P. Gabriel provou em [15, Corolário 2.5, p.142] que os conceitos de rigidezgeométrica e rigidez infinitesimal coincidem.

No Teorema 6.1 de [17] M. Gerstenhaber e S. Schack construíram uma álgebra analiti-

camente rígida associativa A de dimensão alta sobre um corpo de característica positivatendo H2(A,A) 6= 0 e uma álgebra associativa geometricamente rígida que não é analiti-

camente rígida.

O cenário muda quando assumimos que o corpo tem característica 0, neste caso temos

que os conceitos de rigidez geométrica e rigidez analítica coincidem:

Teorema 4.35. [17, Teo 7.1,p.73] Seja k um corpo de característica zero e seja J uma k-álgebra

de Jordan de dimensão finita. Suponha que J é geometricamente rígida e seja ft(a,b) = ab+

tF1(a,b) + t2F2(a,b) + · · · uma deformação a um parâmetro de J. Então ft é trivial. Logo J é

analiticamente rígida.

Vimos na Seção 4.1 que toda variedade afim admite uma decomposição em um número

finito de componentes irredutíveis, i.e. subconjuntos fechados irredutíveis maximais.É nessa hora, quando pretendemos decompor a variedade afim Jorn em componentes

irredutíveis, que as álgebras rígidas demostram sua importância pois provaremos naseguinte proposição que cada álgebra rígida é um ponto genérico (veja Definição 4.9) de

alguma componente irredutível de Jorn.

Proposição 4.36. Se J ∈ Jorn é uma álgebra rígida então existe uma componente irredutível T

tal que T = JG.

Demonstração. Se J é uma álgebra rígida, então a órbita JG é um subconjunto Zariski-

aberto (não vazio) de Jorn. Por outro lado

∅ 6= JG ⊆ Jorn =⋃

i∈I

Ti

69

onde Ti são as componentes irredutíveis de Jorn. Logo existe Ti tal que J ∈ Ti e do Lema4.13 segue que Ti é invariante sob a ação de G logo JG ⊆ Ti e é um aberto não vazio,

como Ti é irredutível todo aberto é denso, assim JGTi= Ti o que implica que

Ti = JGTi= Ti ∩ JGJorn logo Ti ⊆ JGJorn .

Agora, do Lema 4.13 cada órbita é irredutível, ou seja JG é um subconjunto fechado e

irredutível de Jorn que contém Ti logo Ti = JG.

A recíproca não é sempre verdadeira, i.e. não toda componente irredutível vem deuma álgebra rígida quando isto não acontece a componente é o fecho de uma família

infinita de órbitas, como prova a seguinte proposição:

Proposição 4.37. Cada componente irredutível da variedade das álgebras de Jordan, Jorn, ou é o

fecho de Zariski da órbita de uma álgebra rígida ou é o fecho de uma família infinita de órbitas.

Demonstração. Seja T uma componente irredutível de Jorn e suponha que existe um con-junto finito J1, · · · , JN tal que ∪N

i=1JGi ⊆ T . Suponha que existe J ∈ T tal que J 6∈ ∪N

i=1JGi .

Segue do Lema 4.13 que T é invariante sob a ação de G logo JG ⊆ T e por tantoT = ∪N

i=1JGi . Do mesmo lema temos que as órbitas JG

i são localmente fechadas, logo

da Seção 4.1.2 temos que

m = dim(T) = dim(∪Ni=1J

Gi ) = max

16i6N(dim(JG

i )).

SejaT 6= ∅ o interior de T , então

T também é invariante sob a ação de G: considere

g ∈ G então a aplicação g : Jorn → Jorn que leva (J, ·) 7→ (J, ·g) é um homeomorfismo e

por tanto g(T) é um aberto de Jorn e g(

T) ⊆ g(T) ⊆ T . Logo

T

G=⋃

g∈G

g(T) ⊆ T

e por tantoT

G⊆

T . Isto implica, sem perda de generalidade, que

T = ∪M

i=1JGi e dos

resultados da Seção 4.1.2 temos

max16i6M

(dim(JGki)) = dim(

T) = dim(T) = m.

Do Lema 4.13 sabemos que ∆ =J ∈ Jorn | dim(JG) > m

é aberto em Jorn e logo

∅ 6=T ∩∆ =

J ∈T | dim(JG) = m

é também aberto em Jorn, não vazio e G-invariante.

70

Assim podemos escrever, sem perda de generalidade, queT ∩ ∆ = ∪L

i=1JGi onde cada

órbita JGi tem dimensão m. Em particular, JG

1 ⊆ T e logo JG1 ⊆ T , i.e. um conjunto

fechado está contido num conjunto irredutível e segue da observação do Lema 4.13 que

ambos tem a mesma dimensão, logo T = JG1 .

Por outro ladoT ∩∆ ⊆ T , logo ∪L

i=1JGi ⊆ JG

1 ou seja ∪Li=2J

Gi ⊆ JG

1 o que implica queJGi ⊆ JG

1 para todo i = 2, · · · , L. Suponha que JGi ⊆ JG

1 \ JG1 então dim JG

i < dim JG1 o que

é um absurdo pois ambas órbitas tem dimensão m, logo JGi = JG

1 para todo i = 2, · · · , L.

O que implica queT ∩∆ = JG

1 , logo a órbita de J1 é aberta em Jorn e J1 é uma álgebrarígida.

É importante destacar que as variedades que queremos descrever geometricamente

tem um número finito de órbitas. Se o corpo for algebricamente fechado temos 2 órbitasem Jor1, 6 em Jor2, 20 em Jor3 e 73 em Jor4. No caso de álgebras sobre R temos 2 órbitas

em Jor1, 7 em Jor2 e 26 em Jor3. Então o seguinte corolário será útil no objetivo destetrabalho.

Corolário 4.38. Se Jorn se decompõe como um número finito de órbitas então cada componente

irredutível da variedade é o fecho de Zariski da órbita de uma álgebra rígida.

No caso em que uma componente irredutível de Jorn possua um número infinito deórbitas, podemos ainda caracterizar um aberto da componente como uma união infinita

de órbitas de álgebras que diferem somente em seus radicais e apresentar uma sériede propriedades que as álgebras devem satisfazer, como descrito no seguinte teorema,

o qual é enunciado para álgebras de Jordan, mas foi inicialmente demonstrado paraálgebras associativas por Flanigan em [13, Teo.5,p.74]. A prova do caso associativo pode

ser facilmente adaptada ao contexto das álgebras de Jordan.

Teorema 4.39. [25, Teo.2.2.6] Seja T uma componente irredutível de Jorn que se decompõe como

um número infinito de órbitas. Então T contém um subconjunto aberto que consiste de uma união

infinita de órbitas de k-álgebras J, J ′, · · · com as seguintes propriedades: se J = Jss ⊕ Rad(J) e

J ′ = J ′ss ⊕ Rad(J ′) então:

i. Jss e J ′ss são isomorfas como k-álgebras,

ii. dim Rad(J) = dim Rad(J ′) e essa dimensão é minimal entre todas as álgebras de T ,

iii. nilındice(Rad(J)) = nilındice(Rad(J’)) e essa dimensão é maximal entre todas as álge-

bras de T ,

iv. as ações de Jss e J ′ss em Rad(J) e Rad(J ′) respetivamente, são equivalentes,

71

v. dimHq(J, J) = dimHq(J ′, J ′) (cohomologia de Hochschild) para um conjunto específico

de índices q e, mais ainda, essas dimensões são minimais em T ,

vi. as órbitas JG, J ′G, · · · têm a mesma dimensão.

Em [13], Flanigan mostra que a segunda alternativa da Proposição 4.37 de fato ocorre,

exibindo uma componente de Assoc3 que consiste inteiramente das órbitas de uma fa-mília de álgebras nilpotentes. Outros exemplos para álgebras associativas com unidade

sobre um corpo algebricamente fechado foram obtidos em [15] por Gabriel (a família infi-nita denominada por (18) dependendo continuamente do parâmetro λ 6= 1) em dimensão

4 e em [36] por Mazzola em dimensão 5.

Como consequência dos resultados anteriores temos:

Proposição 4.40. Seja Jorn uma variedade de álgebras de Jordan com um número finito de órbitas.

Uma álgebra de Jordan J ∈ Jorn é rígida se e somente se qualquer deformação de J é isomorfa a J.

Demonstração. Seja J1 uma deformação de uma álgebra rígida J, então por definição

JG ⊆ JG1 . Seja J2 ∈ JG então como J2 pertence ao fecho de JG

1 para toda vizinhança U deJ2 temos que U∩ JG

1 6= ∅. Em particular, JG é uma vizinhança de J2, logo JG1 ∩ JG 6= ∅ o

que implica que JG = JG1 e do Lema 4.27 temos J ≃ J1.

Reciprocamente, seja J ∈ Jorn uma álgebra tal que qualquer deformação de J é iso-morfa a J. Seja T uma componente irredutível de Jorn que contém J, então como já

vimos T é G-invariante e logo JG ⊆ T . Do Corolário 4.38 existe uma álgebra rígida J1

tal que T = JG1 , ou seja JG ⊆ JG

1 o que implica por hipóteses que J ≃ J1 e por tanto J é

rígida.

Resumimos os resultados até aqui obtidos no seguinte diagrama (Figura 4.1) que rela-

ciona os três conceitos de rigidez e as noções de deformação e deformação a um parâme-tro1.

O seguinte lema é uma ferramenta básica para a determinação da existência de uma

deformação entre duas álgebras. A prova segue diretamente da definição de deformação.

Lema 4.41. [36, p.13] A existência de curva γ em Jorn que mora genericamente numa subvarie-

dade U e a qual corta JG em um ponto especial implica que J ∈ U e reciprocamente.

Dadas duas álgebras J e J ′, sempre que pudermos construir uma curva que mora

genericamente em JG e que corta J ′G diremos que J ′ é uma especialização de J. Parailustrar o lema vamos dar um exemplo considerando a variedade Jor4:

1 No diagrama, a sigla NFO significa “Número Finito de Órbitas”.

72

Não existe Deformação Geométrica

Não existe Deformação Analítica

char=0 e NFO Alg. Fech.

Geometricamente Rígida

NFO

Analiticamente Rígida

Def.

char=0Alg. Fech.

Def.

Infinitesimalmente Rígida

H³=0

Fig. 4.1: Equivalências entre os diversos conceitos de deformação e rigidez

Exemplo 4.42. Seja e1, e2, e3, e4 a base da álgebra de Jordan J1 de dimensão 4 obtida naclassificação algébrica da Seção 2.2. Considere a mudança de base At = e1 + e4, Bt = e2,

Ct = te3 e Dt = t2e1 de J1 para algum parâmetro t. Para qualquer t 6= 0 o determinanteda mudança é −t3 6= 0 logo a nova álgebra (J1)t é isomorfa a J1. Mas calculando os

produtos temos

A2t = At B2

t = Bt C2t = Dt + t2Bt D2

t = t2Dt

AtBt = 0 AtCt =1

2Ct AtDt = Dt

BtCt =1

2Ct BtDt = 0 CtDt =

1

2t2Ct

e fazendo t = 0 obtemos

A2t = At B2

t = Bt C2t = Dt D2

t = 0

AtBt = 0 AtCt =1

2Ct AtDt = Dt

BtCt =1

2Ct BtDt = 0 CtDt = 0

que é o produto na álgebra J25. Logo do lema anterior J1 → J25.

O seguinte lema é análogo à Proposição 2.2 de [15] enunciada no caso da variedade

das álgebras associativas unitárias sobre um corpo algebricamente fechado. Mostrare-

73

mos que em Jorn existe uma única órbita fechada que consiste de álgebras isomorfas a⊕n

i=1kni .

Lema 4.43. Seja J ∈ Jorn uma k-álgebra de Jordan de dimensão n. A órbita de J em Jorn é

fechada sob a ação de G se e somente se J ≃ ⊕ni=1kni. Logo a variedade Jorn é conexa para todo

n.

Demonstração. Mostraremos primeiramente que cada álgebra em Jorn é uma deforma-

ção da álgebra ⊕ni=1kni. Para isso, seja J ∈ Jorn com base e1, · · · , en tal que eiej =

∑nk=1 c

kijek onde os coeficientes ckij ∈ k são as constantes estruturais. Considere para

t ∈ k \ 0 a nova base de J: fi = tei para i = 1, · · · ,n em relação à qual as novas constan-tes estruturais são dk

ij = tckij. Estas constantes estruturais definem uma álgebra Jt a qual

tende a ⊕ni=1kni quando t tende a 0.

Isto implica que(

⊕ni=1kni

)G ⊆ JG para toda J ∈ Jorn. Logo de Lema 4.13 iii temos

que dim(

⊕ni=1kni

)G6 dim JG para toda J ∈ Jorn. Por tanto a órbita de ⊕n

i=1kni temdimensão minimal logo é fechada. Reciprocamente, suponha agora que J tem órbita

fechada, i.e. JG = JG logo J ≃ ⊕ni=1kni.

Também observamos a existência de pelo menos uma órbita aberta em Jorn que cor-responde à órbita da álgebra semisimples ⊕n

i=1kei que ao ser analiticamente rígida (Co-

rolário 4.23) é geometricamente rígida.A seguinte observação, apesar de ser simples é muito útil e nos da uma condição

suficiente para a existência de uma deformação entre álgebras decomponíveis.

Fato 4.44. Sejam Ji e J ′i em Jorni

, for i = 1, 2. Se Ji → J ′i então J1 ⊕ J2 → J ′

1 ⊕ J ′2.

De fato, pelo Lema 4.41 temos que existem curvas γi que moram genericamente em

JiGi tais que estas curvas cortam J ′G

i , então a curva γ1 × γ2 está genericamente contidaem J1

G1 × J2G2 ⊆ (J1 ⊕ J2)

G e, claramente, essa curva corta J ′1 ⊕ J ′

2.

Exemplo 4.45. Em Jor2, a deformação ke1 ⊕ ke2 → B1 é consequência de B1 ser uma

especialização de ke1 ⊕ke2 a qual é dada pela mudança de base At = e1 + e2 e Bt = te2

que para qualquer t 6= 0 tem det = t 6= 0 e logo a álgebra obtida pertence à órbita de

ke1 ⊕ ke2 enquanto que uma conta simples mostra que para t = 0 pertence à órbita deB1. Segue do Fato 4.44 que J4 → J22 pois J4 = B1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 e J22 = B1 ⊕B1.

Em seu trabalho [37, Teo. p.291] G. Mazzola provou a recíproca do fato anterior na vari-

edade das álgebras associativas unitárias de dimensão n sobre um corpo algebricamentefechado, Assoc1n. A saber,

Teorema 4.46. Sejam A, A ′ ∈ Assoc1n tal que A ≃ A1 ⊕A2 com Ai ∈ Assoc1nipara i = 1, 2.

Então A ′ → A se existem A ′i ∈ Assoc1ni

satisfazendo A ′i → Ai para i = 1, 2 e tal que A ′ ≃

A ′1 ⊕A ′

2.

74

Observamos que no teorema anterior a condição da existência da unidade é essencial,pois como veremos a afirmação acima é falsa na variedade das álgebras de Jordan:

Exemplo 4.47. Considere as álgebras T5 e T8 da variedade Jor3, segue de [26] que T5 →T8. Somando diretamente a álgebra unidimensional kn obtemos então do Fato 4.44 queT5 ⊕ kn → T8 ⊕ kn, isto é J8 → J44 na variedade Jor4. Mas contradizendo o teorema

temos que existe uma álgebra indecomponível, J45, tal que

J8 ≃ T5 ⊕ kn → J45 → T8 ⊕ kn ≃ J44,

veja a Seção 5.4 para uma descrição de tais deformações.

O nosso objetivo agora é estudar o que acontece quando consideramos somas diretas

de álgebras rígidas, para isso enunciaremos o seguinte teorema cuja prova para o casogeral, i.e o caso quando k é um anel comutativo, J e J ′ são k-álgebras arbitrárias e M

e M ′ são J e J ′-bimódulos respetivamente, pode ser encontrada em [51, Teorema 9.1.8,p.305].

Teorema 4.48. Sejam J e J ′ duas k-álgebras de Jordan, seja M um bimódulo de Jordan para J e

respetivamente M ′ um bimódulo de Jordan para J ′. Então Hn(J⊕ J ′,M⊕M ′) ≃ Hn(J,M)⊕Hn(J ′,M ′).

Como corolário imediato do teorema anterior temos que:

Corolário 4.49. Uma soma direta de álgebras infinitesimalmente rígidas é uma álgebra infinite-

simalmente rígida.

E, como consequência, soma direta de álgebras de dimensão finita infinitesimalmente

rígidas é analiticamente rígida e geometricamente rígida. Provaremos no Teorema 5.3da Seção 5.5 que soma direta de álgebras geometricamente rígidas é geometricamente

rígida em Jorn para n 6 5.No contexto das álgebras de Lie, Y. Neretin em seu trabalho [39] mostrou que as

álgebras de Lie (sl(2)⊕C)⋌V2 e sl(2)⋌V2 são analiticamente rígidas e indecomponíveismas sua soma direta não é analiticamente rígida. Onde ⋌ designa o produto semi-direto,

Vα é o sl(2)-módulo irredutível de dimensão α e C é uma álgebra abeliana.Para finalizar o nosso estudo de somas diretas provaremos o seguinte fato:

Fato 4.50. Seja Jorn uma variedade com um número finito de órbitas sob a ação de G. Seja

J ∈ Jorn uma álgebra rígida tal que J = J1 ⊕ J2 com Ji ∈ Jornipara i = 1, 2. Então J1 e J2

também são álgebras rígidas.

Demonstração. Suponha que uma delas J1 não é rígida, então da Proposição 4.40 segue

que existe uma deformação não trivial, i.e. existe J ′1 ∈ Jorn1

, J ′1 6≃ J1 e tal que J ′

1 → J1.

75

Logo do Fato 4.44 J ′1 ⊕ J2 → J1 ⊕ J2 e J ′

1 ⊕ J2 6≃ J1 ⊕ J2 contradizendo a rigidez deJ.

Uma das questões que surgiu durante a realização deste trabalho foi o que acontececom uma álgebra rígida à qual adjuntamos formalmente um elemento identidade, a

resposta foi que nem sempre ela permanece rígida, vejamos os seguintes exemplos:

Exemplo 4.51. Considere a variedade Jor3, segue de [26] que as álgebras T7, T9 e B2 ⊕ke2 são rígidas. Adjuntando formalmente a unidade de k (veja o Capítulo 1 ,(1.4)) obte-

mos que

T#7 = J18 T#

9 = J25 (B2 ⊕ ke2)# ≃ J7.

Vimos no Exemplo (4.42) que J1 → J25 e veremos no Capítulo 5 da classificação geomé-trica de Jor4 que J9 → J18 e que J1 → J7. Logo as álgebras T#

7, T#9 e (B2 ⊕ ke2)

#não são

álgebras rígidas.

O próximo e último exemplo desta seção mostra que rigidez é um conceito local, e que

depende da variedade que estivermos considerando. Mostraremos que o fato de umaálgebra ser rígida na interseção de duas variedades não implica que seja rígida em cada

uma das variedades independentemente.

Exemplo 4.52. Foi provado em [6] que as álgebras J61 e J62 são álgebras rígidas navariedade das álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4. Mas, como veremos no

Capítulo 5, a álgebra J47 é uma deformação de J61 o que implica que J61 não é umaálgebra rígida na variedade das álgebras associativas de dimensão 4. Por outro lado, a

álgebra J53 é uma deformação de J62 logo J62 não é uma álgebra rígida na variedadedas álgebras de Jordan de dimensão 4.

4.4 o comportamento de uma álgebra através de de-

formação

A não existência de deformação entre um par de álgebras dadas, J1 9 J, pode ser obtidada violação de uma das condições que apresentamos a seguir. De modo paradigmático,

essas condições são definidas de tal modo que as álgebras que as satisfaçam formem sub-conjuntos fechados invariantes de Jorn e assim qualquer deformação de J deve satisfazer

a mesma condição.

Fato 4.53. Se J → J1 é uma deformação não trivial então dim JG > dim JG1 .

76

Demonstração. Da definição de deformação não trivial temos que JG1 ⊆ JG \ JG. Do Lema

4.13 iii segue que dim(JG \ JG) < dim JG.

A partir do Lema 4.13 ii temos que dim JG = dim G−dim StabG(J) e como provamos

no início da Seção 4.3, quando G = GL(V), StabG(J) coincide com o grupo de automor-fismo de J, logo como consequência do fato anterior segue que:

Fato 4.54. Se J → J1 é uma deformação não trivial então dim Aut(J) < dim Aut(J1).

O seguinte fato relaciona as dimensões dos radicais nilpotentes de uma álgebra e desua deformação e mostra que tal dimensão não aumenta através de uma deformação.

Fato 4.55. Se J → J1, então dim Rad(J) 6 dim Rad(J1).

Demonstração. É suficiente provar que os conjuntos J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s são fecha-

dos na topologia de Zariski em Jorn para todo s ∈ N. Isto implicará que se J1 → J2

e dim Rad(J1) = s então JG2 ⊆ JG

1 ⊆ J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s logo dim Rad(J2) >

dim Rad(J1).

Considere para qualquer número natural m 6 n a Grassmaniana Gr(m,n), i.e. oconjunto dos subespaços de dimensão m de um k-espaço vetorial V ≃ kn. Consi-

dere também os pares (J, I) no produto de variedades Jorn×Gr(m,n), onde I é umideal nilpotente de dimensão m de J. Tais pares formam um conjunto fechado Ωm emJorn×Gr(m,n). Como Gr(m,n) é completa como uma variedade algébrica, i.e. para

qualquer variedade Y o morfismo projeção Gr(m,n)× Y → Y é uma aplicação fechada, aprojeção Fm de Ωm em Jorn é fechada na topologia de Zariski. Então segue de

J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s =⋃

s6m6n

Fm

que o conjunto J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s é Zariski-fechado.

Observamos que a desigualdade não é estrita no caso da dimensão do radical nilpo-tente como é no caso da dimensão do grupo de automorfismos o da dimensão da órbita,

pois de fato em [6] foram obtidas deformações entre álgebras nilpotentes não isomorfas.

Analogamente ao que acontece com Rad(J) temos o seguinte resultado que relacionaas dimensões dos aniquiladores das álgebras. Lembrando que Ann(J) = a ∈ J | aJ = 0.

Fato 4.56. Se J → J1, então dim Ann(J) 6 dim Ann(J1).

Demonstração. Procederemos de maneira análoga à prova do Fato 4.55, mostrando queo conjunto J ∈ Jorn | dim Ann(J) > s é fechado. Vamos descrever o que dim Ann(J).

Seja e1, · · · , en uma base da álgebra J ∈ Jorn e a =∑n

i=1 αiei um elemento de Ann(J),

77

logo aJ = 0 ou seja aej = 0 para todo j = 1, · · · ,n. As equações aej = 0 se escrevemcomo aej =

∑nk=1 β

jkek = 0 onde βj

k é uma combinação linear dos αi e βjk = 0. Ou seja

cada uma das n equações aej = 0 resulta em n novas equações βjk = 0 para k = 1, · · · ,n

com os αi como incógnitas. Seja então Pn2,n a matriz deste sistema de n2 equações com

n incógnitas. Então dim Ann(J) = n− rank(Pn2,n), logo dim Ann(J) > s é equivalente an− s+ 1 > rank(Pn2,n) o que a sua vez é equivalente ao fato de que todos os menores

de ordem n− s+ 1 são nulos. Ou seja o conjunto fica definido por um número finito deidentidades polinomiais logo é Zariski-fechado.

Em contrapartida do que acontece com Rad(J) e Ann(J) temos que a dimensão de

qualquer potência de J não diminui através de uma deformação.

Fato 4.57. Se J → J1 então dim Jr > dim Jr1, para qualquer inteiro positivo r.

Demonstração. Seja e1, · · · , en uma base da álgebra J ∈ Jorn e considere Ωn,r o conjunto

de todas as palavras não associativas de comprimento r nas variáveis e1, . . . , en. Deno-temos por l(r) = |Ωn,r| a cardinalidade de Ωn,r. Qualquer tal palavra pode ser escrita

como wl(e1, . . . , en) = fl1e1 + · · · + flnen onde cada fli é um polinômio nas constantesestruturais ckij de J. Considere a matriz Pl(r),n, onde cada linha consiste das n coorde-

nadas da palavra correspondente. Então dim Jr = rank(Pl(r),n) e o fato que dim Jr 6 s

é equivalente ao fato que todos os menores de ordem s + 1 sejam nulos e por tanto

J ∈ Jorn | dim Jr 6 s é fechado.

Provaremos a seguir que identidades polinomiais são preservadas quando uma álge-bra J domina J1:

Fato 4.58. Se J → J1 então toda identidade polinomial de J é válida em J1. Em particular,

qualquer deformação de uma álgebra não associativa é uma álgebra não associativa.

Demonstração. Seja S um conjunto de identidades polinomiais satisfeitas por J. EntãoV(S) é um conjunto algébrico e logo é fechado na topologia de Zariski de An3

o que

implica que V(S)⋂

Jorn é um subconjunto fechado de Jorn, G-invariante e tal que J ∈V(S)

⋂

Jorn, logo JG1 ⊆ JG ⊆ V(S)

⋂

Jorne por tanto J1 também satisfaz as identidades

polinomiais S.

Denote por MA(J) = max dimA | A é uma subálgebra associativa de J então usando

um argumento análogo à prova do Fato 4.55 temos o seguinte resultado:

Fato 4.59. Se J → J1 então MA(J) 6 MA(J1).

Demonstração. Considere para qualquer número natural m 6 n a Grassmaniana Gr(m,n).Considere também os pares (J,A) no produto de variedades Jorn×Gr(m,n), onde A

é uma subálgebra associativa de dimensão m de J. Tais pares formam um conjunto

78

fechado que denotaremos por Ωm em Jorn×Gr(m,n). Como Gr(m,n) é completa aprojeção Fm de Ωm em Jorn é fechada na topologia de Zariski. Então segue de

J ∈ Jorn | MA(J) > s =⋃

s6m6n

Fm

que o conjunto J ∈ Jorn | MA(J) > s é Zariski-fechado.

Finalmente, usaremos frequentemente o fato que deformação preserva tanto o produtooriginal em Jss como a ação de Jss em Rad(J). Este resultado é análogo ao Teorema 4.25

enunciado para família de deformações a um parâmetro. A saber,

Fato 4.60. [26, Prop.2.2]Para uma álgebra de Jordan não nilpotente J considere o par (Jss, Γ(J)) ,

onde Γ(J) representa a multiplicação dos elementos de J por elementos de Jss. Então para

qualquer componente irredutível T de Jorn, (Jss, Γ(J)) é constante em um subconjunto aberto

de T . Se J1 ∈ T então (J1)ss é uma subálgebra de Jss e Γ(J1) é a restrição de Γ(J) em (J1)ss.

Como consequências diretas do fato anterior temos os seguintes dois resultados:

Fato 4.61. Se J → J1 e ambas álgebras tem o mesmo número de elementos idempotentes ortogo-

nais então a deformação preserva a correspondente decomposição de Peirce.

Fato 4.62. Se J → J1 e J1 é uma álgebra unitária, então J deve ser também uma álgebra unitária.

4.5 algumas componentes irredutíveis de Jorm para

m > 2

Provamos na Proposição 4.36 que toda álgebra rígida gera uma componente irredutível.

Os seguintes fatos mostram que em toda variedade de álgebras de Jordan de dimensãomaior ou igual a 4 temos pelo menos 3 componentes irredutíveis que provem de álgebras

rígidas que são indecomponíveis, não associativas e não semisimples. A rigidez dasálgebras segue como consequência do Fato 4.60 e da tabela de multiplicação para as

componentes de Peirce.

Fato 4.63. Para m ∈ N finito e m > 2, a álgebra de Jordan J ∈ Jorm sobre um corpo qualquer

k com char k 6= 2, que possui base e1,n1, · · · ,nm−1 com e1 ∈ Jss idempotente e ni ∈Rad(J) com produto comutativo definido por e21 = e1, e1ni = 1

2ni e ninj = 0 para todo

i, j = 1, · · · ,m − 1 é uma álgebra rígida. A componente irredutível por ela determinada tem

dimensão m.

79

Demonstração. Primeiramente provaremos que de fato a álgebra J assim definida é deJordan, i.e. satisfaz a identidade (1.2) para todo x,y ∈ J pois já é comutativa por definição.

Sejam então x = αe1 +∑m−1

i=1 βini e y = α ′e1 +∑m−1

i=1 β ′ini para α,α ′,βi,β ′

i ∈ k, logotemos

(x2,y, x) =

(

α2e1 +

m−1∑

i=1

αβini,α ′e1 +m−1∑

i=1

β ′ini,αe1 +

m−1∑

i=1

βini

)

=(

α2e1,α ′e1,αe1)

+

(

α2e1,α ′e1,m−1∑

i=1

βini

)

+

+

(

α2e1,m−1∑

i=1

β ′ini,αe1

)

+

(

α2e1,m−1∑

i=1

β ′ini,

m−1∑

i=1

βini

)

+

+

(

m−1∑

i=1

αβini,α ′e1,αe1

)

+

(

m−1∑

i=1

αβini,α ′e1 +m−1∑

i=1

βini

)

+

+

(

m−1∑

i=1

αβini,m−1∑

i=1

β ′ini,αe1

)

+

(

m−1∑

i=1

αβini,m−1∑

i=1

β ′ini,

m−1∑

i=1

βini

)

=

m−1∑

i=1

1

4α2α ′βini −

m−1∑

i=1

1

4α2α ′βini = 0

Suponha que J1 ∈ Jorm é uma deformação de J, logo do Fato 4.60 em alguma base J1

deve ter um elemento idempotente, que chamaremos de E1, que age nos m− 1 restantescomo 1

2, i.e. E1Ni =

12Ni para i = 1, · · · ,m− 1. Só falta definir os produtos NiNj.

Agora, J1 se decompõe em subespaços de Peirce em relação a E1 como sendo J1 =

P1 ⊕ P 12

com P1 = kE1 e P 12= 〈N1, · · · ,Nm−1〉. Da tabela de multiplicação dos subes-

paços de Peirce do Teorema 1.18 temos que para todo i, j = 1, · · · ,m− 1

NiNj ∈ P212

⊆ P0 ⊕ P1 = P1

ou seja NiNj = αijE1 para certos αij ∈ k.

Como J1 é também uma álgebra de Jordan, para todo i = 1, · · · ,m− 1 deve satisfazer

0 =(

N2i ,E1,Ni

)

=(

N2iE1

)

Ni −N2i (E1Ni)

=1

2αiiNi −

1

4αiiNi =

1

4αiiNi

por tanto αii = 0.

80

Por outro lado J1 também deve satisfazer a linearização da identidade de Jordan (1.3),logo para todo i, j = 1, · · · ,m− 1 temos

0 =(

NiNj,Ni,Nj

)

+(

NiNj,Ni,Nj

)

+(

NjNj,Ni,Ni

)

= 2(

αijE1,Ni,Nj

)

= 2

(

1

2αijNiNj −α2

ijE1

)

= α2ijE1 − 2α2

ijE1 = −α2ijE1

logo αij = 0. Por tanto J somente tem as deformações triviais, logo da observação daProposição (4.40) segue que J é rígida.

Para provar a última parte do fato, seja f ∈ Aut(J) então f tem que ser definido por

f(e1) = e1 +∑m−1

i=1 a0ini com a01 ∈ k, e f(ni) =∑m−1

j=1 aijnj para i = 1, · · · ,m− 1 ecom aij ∈ k. Isto implica que dim Aut(J) = m2 −m logo

dim JG = m2 − dim Aut(J) = m.

Fato 4.64. Para m ∈ N finito e m > 4, a álgebra de Jordan J ∈ Jorm sobre um corpo qualquer k

com char k 6= 2, que possui base e1, e2,n1, · · · ,nm−2 com ei ∈ Jss idempotentes ortogonais e

ni ∈ Rad(J) com produto comutativo definido por

e2i = ei para i = 1, 2 e1e2 = 0 e1nj =1

2nj para j = 1, · · · ,m− 2

e2nk = 0 para k = 2, · · · ,m− 2 e2n1 =1

2n1 ninj = 0 para i, j = 1, · · · ,m− 2

é uma álgebra rígida.

Demonstração. Primeiramente provaremos que de fato a álgebra J assim definida é uma

álgebra de Jordan. Sejam x =∑2

i=1 αiei +∑m−2

i=1 βini e y =∑2

i=1 α′iei +

∑m−2i=1 β ′

ini

para αi,α ′i,βi,β ′

i ∈ k, logo temos

(x2,y, x) =

(

2∑

i=1

α2i ei +

m−2∑

i=1

α1βini +α2β1n1,y, x

)

=

(

2∑

i=1

α2i ei,y, x

)

+

(

m−2∑

i=1

α1βini,y, x

)

+ (α2β1n1,y, x)

81

=1

4

(

(

−α22α

′1 + α2

2α′2 − α2

1α′2

)

β1n1 +

m−2∑

i=1

α21α

′1βini

)

−

−1

4

(

(

−α2α1α′1 +α2α1α

′2 − α2

1α′2

)

β1n1 +

m−2∑

i=1

α21α

′1βini

)

+

+1

4

(

−α2α1α′1 +α2α1α

′2 + α2

2α′1 −α2

2α′2

)

β1n1

= 0

Suponha que J1 ∈ Jorm é uma deformação de J logo, em alguma base, J1 deve ter doiselementos idempotentes ortogonais, que chamaremos de E1 e E2, tal que um deles, E1,

age nos m− 1 restantes como 12 , e o outro age em um dos restantes, a saber N1, como 1

2

e como 0 nos demais. Só falta definir os produtos NiNj.

A decomposição de Peirce de J1 em relação ao sistema E1,E2 é J1 = P11 ⊕ P22 ⊕P12 ⊕ P01 com P11 = kE1, P22 = kE2, P12 = kN1 e P01 = 〈N2, · · · ,Nm−2〉. Da tabela

de multiplicação dos subespaços de Peirce do Teorema 1.19 temos que para todo i, j =2, · · · ,m− 2

NiNj ∈ P201 ⊆ P00 ⊕P11 = P11

N1Ni ∈ P12P01 ⊆ P02 = 0

N21 ∈ P2

12 ⊆ P11 ⊕P22

ou seja NiNj = αijE1, N1Ni = 0 e N21 = βE1 + γE2 para certos αij,β,γ ∈ k.

Como J1 é também uma álgebra de Jordan, para todo i = 2, · · · ,m− 1 deve satisfazer

0 =(

N2i ,E1,Ni

)

=1

2αiiNi −

1

4αiiNi =

1

4αiiNi

por tanto αii = 0. Também temos que

0 =(

N21,E1,N1

)

=1

4(β− γ)N1

logo β = γ. Por outro lado J1 também deve satisfazer a linearização da identidade de

Jordan, logo para todo i, j = 2, · · · ,m− 2 temos

0 =(

E2N1,Ni,Nj

)

+(

E2Nj,Ni,N1

)

+(

N1Nj,Ni,E2

)

=

(

1

2N1,Ni,Nj

)

= −1

2N1

(

αijE1

)

= −1

4αijN1

82

logo αij = 0. E também

0 = (E2N1,N1,N2) + (E2N2,N1,N1) + (N1N2,N1,E2)

=

(

1

2N1,N1,N2

)

=1

4βN2

o que implica que β = γ = 0. Por tanto J somente possui as deformações triviais, segueque J é rígida.

Fato 4.65. Para m ∈ N finito e m > 4, a álgebra de Jordan J ∈ Jorm sobre um corpo qualquer k

com char k 6= 2, que possui base e1, e2,n1, · · · ,nm−2 com ei ∈ Jss idempotentes ortogonais e

ni ∈ Rad(J) com produto comutativo definido por

e2i = ei para i = 1, 2 e1e2 = 0

e1nj =1

2nj para j = 1, · · · ,m− 2

e2nk =1

2nk para k = 2, · · · ,m− 2

e2n1 = 0 ninj = 0 para i, j = 1, · · · ,m− 2

é uma álgebra rígida.

Demonstração. Uma conta longa, análoga à do fato anterior mostra que a álgebra J assimdefinida é uma álgebra de Jordan. Suponha que J1 ∈ Jorm é uma deformação de J logo,

em alguma base, J1 deve ter dois elementos idempotentes ortogonais, E1 e E2, tal queE1, age nos m− 1 restantes como 1

2 , e E2 age em N1 como 0 e como 12 nos demais. Só

falta definir os produtos NiNj.

A decomposição de Peirce de J1 em relação ao sistema E1,E2 é J1 = P11 ⊕ P22 ⊕P12 ⊕ P01 com P11 = kE1, P22 = kE2, P01 = kN1 e P12 = 〈N2, · · · ,Nm−2〉. Da tabela

de multiplicação dos subespaços de Peirce temos que para todo i, j = 2, · · · ,m− 2

NiNj ∈ P212 ⊆ P11 ⊕P22

N1Ni ∈ P01P12 ⊆ P02 = 0

N21 ∈ P2

01 ⊆ P00 ⊕P11 = P11

ou seja NiNj = αijE1+βijE2, N1Ni = 0 e N21 = γE1 para certos αij,βij,γ ∈ k.

83

Como J1 é também uma álgebra de Jordan, deve satisfazer a linearização da identidadede Jordan, logo para todo i, j = 2, · · · ,m− 2 temos

0 =(

E2N1,Ni,Nj

)

+(

E2Nj,Ni,N1

)

+(

N1Nj,Ni,E2

)

=

(

1

2Nj,Ni,N1

)

=1

4αijN1

logo αij = 0 e

0 = (E2N1,N1,N2) + (E2N2,N1,N1) + (N1N2,N1,E2)

=

(

1

2N2,N1,N1

)

= −1

4γN2

o que implica em γ = 0. A álgebra J1 também deve satisfazer a identidade de Jordan,logo para todo i = 2, · · · ,m− 2 temos

0 =(

N2i ,E1,Ni

)

= −1

4βiiNi

por tanto βii = 0. Por último, se i, j = 2, · · ·m− 2 com i 6= j temos

0 =(

N2i ,E1,Nj

)

+(

NiNj,E1,Ni

)

+(

NiNj,E1,Ni

)

= 2(

βijE2,E1,Ni

)

= −1

2βijNi

logo βij = 0. Por tanto J somente possui as deformações triviais, segue que J é rígida.

84

5 CLASS I F ICAÇÃO GEOMÉTR ICA DAS ÁLGEBRAS DE

JORDAN DE D IMENSÃO MENOR OU IGUAL A 4 SOBRE

UM CORPO ALGEBR ICAMENTE FECHADO

As álgebras deste capítulo serão consideradas sobre um corpo k algebricamente fechadode char k 6= 2. O objetivo deste capítulo é determinar as componentes irredutíveis de Jor4.Para isso primeiramente descreveremos as álgebras rígidas das variedades Jorn para

n 6 3 e sempre que possível daremos uma descrição completa das órbitas e componentesirredutíveis em cada caso.

A lista completa das 73 álgebras de Jordan de dimensão 4 foi obtida no Capítulo 2.Para cada uma destas álgebras foram calculados: o grupo de automorfismos, dimensão

do grupo de automorfismos, dimensão do aniquilador, dimensão do radical nilpotente,dimensão da segunda potência J2, subálgebras de dimensões 2 e 3. E foram verificadas:

identidades que satisfazem: associatividade, alternatividade, etc., se a álgebra tem uni-dade e quais são essas unidades; se a álgebra tem segundo grupo de cohomologia comcoeficientes nela mesma nulo; se a álgebra é indecomponível e caso contrário qual é a

sua decomposição em soma direta de álgebras de dimensões menores.

Para levar a cabo tais contas foram programados diferentes algoritmos usando o aplica-

tivo Mathematica, os respetivos códigos se encontram no Apêndice A. Toda a informaçãoobtida para cada uma das 73 álgebras se encontra disponível no Apêndice B.

5.1 a variedade algébrica Jor1

Em Jor1 a única álgebra rígida é a álgebra simples ke e é claro que ke → kn. Logo

só temos uma componente irredutível em Jor1 dada pelo fecho de Zariski da órbita daálgebra ke, por tanto Jor1 é uma variedade afim conexa é irredutível de dimensão 1 com

2 órbitas sob a ação de GL(V).

85


Existem seis k-álgebras de Jordan de dimensão 2 não isomorfas, a saber: B1, B2, B3

indecomponíveis, descritas na Tabela 2.1, da Seção 2.1.2 e as álgebras decomponíveiske1 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1 e kn1 ⊕ kn2.

Teorema 5.1. A variedade algébrica Jor2 é uma variedade afim conexa de dimensão 4 com 6

órbitas sob a ação de GL(V) e 2 componentes irredutíveis dadas pelos fechos de Zariski das órbitas

das álgebras ke1 ⊕ ke2 e B2.

Demonstração. A álgebra ke1 ⊕ ke2 é rígida por ser uma álgebra semisimples e a álgebraB2 é rígida pois foi provado no Exemplo 4.24 que H2(B2,B2) = 0.

Todas as álgebras associativas de dimensão 2 podem ser deformadas em ke1 ⊕ke2, defato: ke1⊕ke2 → ke1⊕kn1 pelo Fato 4.44 e do Exemplo 4.45 segue que ke1⊕ke2 → B1.

Para ver que B1 → B3, para t 6= 0 escolha a base At = te1 + n1 e Bt = −t2e1 de B1,então as constantes estruturais desta base especializam-se às de B3 quando t = 0. A

mudança de base At = te1 + n1 e Bt = t2e1 de ke1 ⊕ kn1 mostra que ke1 ⊕ kn1 → B3.Lembramos do Lema 4.43 que a órbita de kn1 ⊕ kn2 é fechada e logo toda B ∈ Jor2 é

uma deformação de kn1 ⊕ kn2 o que implica que Jor2 é uma variedade afim conexa.

Como Jor2 é uma união finita de órbitas que são localmente fechadas então a dimensãoda variedade é o máximo das dimensões de suas órbitas, assim temos que

dim Jor2 = dim(ke1 ⊕ ke2)G = 22 − dim Aut(ke1 ⊕ ke2) = 4.

Finalmente, para completar a descrição geométrica de Jor2 falta mostrar que essas sãoas únicas deformações não triviais que existem. Para isso observe que dim Aut(ke1 ⊕kn1) = dim Aut(B1) = 1 logo, pelo Fato 4.54, temos ke1 ⊕ kn1 6→ B1 e B1 6→ ke1 ⊕ kn1.Analogamente dim Aut(B2) = dim Aut(B3) = 2 logo B2 6→ B3 e, também pelo Fato

4.54 B2 6→ ke1 ⊕ kn1 nem B2 6→ B1. O restante das existências ou não existênciasde deformações segue das propriedades de transitividade e anti-simetria da relação de

ordem parcial “→”.

Uma completa descrição das órbitas de Jor2 é dada na Tabela 5.1 e o diagrama das

álgebras de Jordan de dimensão 2 é dado na Figura 5.1.

86

dim AutB = 0 ke1 ⊕ ke2

ww♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

%%

dim AutB = 1 ke1 ⊕ kn1

''

B1

yysssssssssss

dim AutB = 2 B2

++❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱ B3

dim AutB = 4 kn1 ⊕ kn2

Fig. 5.1: Descrição completa das órbitas de Jor2

Um resumo da existência de deformações é dado na seguinte tabela, onde → repre-

senta que a álgebra da linha é uma deformação da álgebra na coluna e 6→ representaque a álgebra da linha não é uma deformação da álgebra na coluna. Os símbolos estão

acompanhados de siglas que justificam tales fatos, i.e.:

i. →DT : existe Deformação Trivial;

ii. →T : existe deformação pela propriedade Transitiva da relação de ordem parcial →;

iii. →: existe deformação e a especialização foi exibida anteriormente;

iv. 6→H2 : não existe deformação, pois a álgebra na coluna tem segundo grupo de

cohomologia nulo;

v. 6→SS: não existe deformação, pois a álgebra na coluna é semisimples;

vi. 6→AS: não existe deformação pela propriedade Anti-Simétrica da relação de ordem

parcial →;

vii. 6→Aut: não existe deformação pelo Fato 4.54 que relaciona a dimensão dos grupos

de automorfismos das álgebras envolvidas.

Tabela 5.1: Existência de deformações em Jor2→ ke1 ⊕ ke2 ke1 ⊕ kn1 B1 B2 B3 kn1 ⊕ kn2

ke1 ⊕ ke2 →DT → → 6→H2 →T →T

ke1 ⊕ kn1 6→SS →DT 6→Aut 6→H2 → →T

B1 6→SS 6→Aut →DT 6→H2 → →T

B2 6→SS 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut →

87

B3 6→SS 6→AS 6→AS 6→H2 →DT →kn1 ⊕ kn2 6→SS 6→AS 6→AS 6→H2 6→AS →DT


Em [26] I. Kashuba e I. Shestakov determinaram que Jor3 é uma variedade afim conexade dimensão 9 com 5 componentes irredutíveis dadas pelos fechos de Zariski das órbitas

das álgebras ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, T5, T7, T9 e B2 ⊕ ke2.

Daremos aqui uma descrição quase-completa das órbitas de Jor3. Com quase-completaqueremos dizer que conseguimos determinar em um 98, 5% das vezes se uma álgebra de

Jordan de dimensão 3 pertence ou não ao fecho de Zariski da órbita de outra álgebra.

Sabemos que em Jor3 existem 20 órbitas representadas pelas 10 álgebras indecom-poníveis Ti para 1 6 i 6 10 dadas na Tabela 2.2 e as 10 álgebras que são soma di-

reta de álgebras de dimensões menores: T11 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, T12 = B1 ⊕ ke2,T13 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, T14 = B1 ⊕ kn2, T15 = B3 ⊕ ke1, T16 = ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2,

T17 = B3 ⊕ kn3, T18 = kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T19 = B2 ⊕ ke2 e T20 = B2 ⊕ kn2.

Por ser soma direta de alguma álgebra de Jor2 com ke ou kn, segue do Fato 4.44 e daclassificação geométrica da seção anterior que:

T11 → T12; T11 → T13;

T12 → T14 T12 → T15; T13 → T14;

T13 → T15; T15 → T16;

T16 → T17; T17 → T18;

T19 → T16; T19 → T20.

Segue de [26] e [25] que existem as seguintes deformações:

T12 → T1; T1 → T2; T14 → T3;

T3 → T4; T4 → T17; T5 → T8;

T5 → T10; T9 → T6; T10 → T20.

E das seguintes contrações obtemos as respetivas deformações:

i. Considere, para t 6= 0, a mudança de base At = e1, Bt = n2 e Ct = tn1 de T8.

Fazendo t tender a zero obtemos a estrutura da álgebra T20. Logo T8 → T20.

88

ii. Analogamente se consideramos a base At = te1 + tn1, Bt = t2n1 e Ct = t2e1 +

t3n1 +n2 de T2 obtemos a álgebra T17 quando t tende a zero. Por tanto, T2 → T17.

iii. A mudança de base At = e1 + e2, Bt = te2 e Ct = n1 de T10 , nos da T10 → T2.

iv. A mudança de base At = e1 + e2, Bt = n1 e Ct = te2 de T19 tende a T6 quando

t → 0 o que implica que T19 → T6.

v. Para o caso da deformação T1 → T3 considere a família de automorfismo At =

te1 + n1, Bt = −t2e1 + n2 e Ct = t3e1 de T1, passando o limite quando t → 0 este

limite existe e é T3.

vi. A família de automorfismos At = te1 + n1, Bt = t2e1 + t3n1 + n2 e Ct = t3e1 deT15 nos da T15 → T3.

vii. Se considerarmos a mudança de base At = te1 + n2, Bt = t2e1 + 2tn2 e Ct =

n1 + 2n2 de T6, fazendo t = 0 temos a álgebra T4 e por tanto T6 → T4.

viii. Por último, a mudança de base At = te1 + n1, Bt = t2e1 e Ct = 2n1 + n2 de T20

nos da T20 → T4.

Para completar a descrição geométrica de Jor3 provaremos que não existem outras defor-

mações.

Do Fato 4.58 toda deformação de uma álgebra não associativa é uma álgebra não

associativa, logo Ti 6→ Tj para i = 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e j = 6, 8, 10, 20. Segue doFato 4.60 que a ação da parte semisimples TSS é preservada através de uma deformação,

logo:

T1 6→ T16; T5 6→ Ti para i = 6, 14, 15, 16; T6 6→ Ti para i = 2, 16

T8 6→ T16; T9 6→ Ti para i = 2, 16, 20; T10 6→ Ti para i = 6, 16

T14 6→ T16; T19 6→ T2; T20 6→ T16.

As álgebras T3 e T4 são nilpotentes logo elas não podem ser deformações de álgebrasnão nilpotentes, assim temos T3,T4 6→ T2,T16 e como dim Rad(T8) = dim Rad(T9) = 2 e

dim Rad(T10) = 1 do Fato 4.55 segue que T8,T9 6→ T10.

Do Fato 4.56 segue que a dimensão do aniquilador de uma álgebra não aumenta sob

deformações, por tanto temos:

T8 6→ T1,T2T6; T13 6→ T1,T12; T14,T15 6→ T1,T2;

T16 6→ T2,T4; T20 6→ T2,T6

89

pois dim Ann(Ti) = 0 para i = 1, 2, 6, 12, dim Ann(Ti) = 1 para i = 4, 8, 13, 14, 15, 20 edim Ann(T16) = 2.

Segue do Fato 4.54 que a dimensão do grupo de automorfismos diminui atravésde uma deformação não trivial, logo dado que dim Aut(Ti) = 1 para i = 5, 12, 13,

dim Aut(Ti) = 2 para i = 1, 8, 9, 10, 14, 15, 19, dim Aut(Ti) = 3 para i = 3, 6, 20, dim Aut(Ti) =

4 para i = 2, 4, 16, dim Aut(T17) = 5 e dim Aut(T7) = 6 temos:

T1 6→ Ti para i = 13, 14, 15; T2 6→ Ti para i = 3, 4, 14, 15, 16;

T5 6→ Ti para i = 12, 13; T6 6→ Ti para i = 1, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 20;

T7 6→ Ti para i = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20;

T8 6→ Ti para i = 12, 13, 14, 15; T9 6→ Ti para i = 1, 8, 12, 13, 14, 15;

T10 6→ Ti para i = 1, 8, 12, 13, 14, 15; T12 6→ T13; T14 6→ T15;

T15 6→ T14; T16 6→ Ti para i = 1, 3, 14;

T19 6→ Ti para i = 1, 8, 10, 12, 13, 14, 15; T20 6→ Ti para i = 1, 3, 12, 13, 14, 15;

Por último não pôde ser determinado se existem ou não as seguintes deformações:

T5?

99K T1 e T5,T8,T9,T10,T19?

99K T3. O restante das existências ou não existências

de deformações segue das propriedades de transitividade e anti-simetria da relação deordem parcial “→”.

O diagrama completo das álgebras de Jordan de dimensão 3, a menos de 6 deforma-ções, é dado na Figura 5.2. Os super-índices A, S, U e N nos nomes das álgebras signifi-

cam queTi é Associativa, Semisimples, Unitária e Nilpotentes, respetivamente. Isto nospermitirá enxergar como se comportam estas características sob deformações.

Um resumo da existência de deformações é dado na seguinte tabela, onde → repre-senta que a álgebra da linha é uma deformação da álgebra na coluna e 6→ representa que

a álgebra da linha não é uma deformação da álgebra na coluna. Observamos que nãoforam colocadas as colunas das álgebras rígidas T5, T7, T9, T11 e T19 com o propósito

de ganhar espaço, já que a tabela ficou muito grande. Nessas colunas só teria o símbolo“6→R” o qual representa que “não existe deformação, pois foi provado em [26] que a álgebra da

coluna é rígida”, além de obviamente “→DT” a existência da deformação trivial.

Os símbolos estão acompanhados de siglas que justificam tales fatos de acordo com a

seção anterior e adicionamos os seguintes:

i. 6→Ass: não existe deformação pelo Fato 4.58, pois a álgebra da linha é associativa ea álgebra da coluna não o é.

ii. 6→npa: não existe deformação pois não é preservada a ação da parte semisimples,

Fato 4.60.

90

0

1

2

3

4

5

6

9

dim Aut(T)

TSAU11

TAU12 TA

13

TA14 TA

15

TA16

TAN17

TAN18

T19

T20

TAU1

TAU2

TAN3

TAN4

TSU5

T6

T7

T8 T9TU10

Fig. 5.2: Descrição quase-completa das órbitas de Jor3

iii. 6→Rad: não existe deformação pelo Fato 4.55 que relaciona as dimensões dos radicaisnilpotentes das álgebras envolvidas.

iv. 6→Ann: não existe deformação pelo Fato 4.56 que relaciona as dimensões dos aniqui-

ladores das álgebras envolvidas.

v.?

99K: não foi possível determinar a existência ou não existência de deformação.

91

Tabela 5.2: Existência de deformações em Jor3→ T1 T2 T3 T4 T6 T8 T10 T12 T13 T14 T15 T16 T17 T18 T20

T1 →DT → → →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T 6→Ass

T2 6→AS →DT 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→AS 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T 6→Ass

T3 6→AS 6→Rad →DT → 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→Rad →T →T 6→Ass

T4 6→AS 6→Rad 6→AS →DT 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→Rad → →T 6→AS

T5?

99K →T?

99K →T 6→npa → → 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→npa →T →T →T

T6 6→Aut 6→npa 6→Aut → →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T 6→Aut

T7 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut

T8 6→Ann 6→Ann?

99K →T 6→Ann →DT 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T →T9 6→Aut 6→npa

?99K →T → 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T 6→npa

T10 6→Aut → ?99K →T 6→npa 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T →

T11 →T →T →T →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass → → →T →T →T →T →T 6→Ass

T12 → →T →T →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass →DT 6→Aut → → →T →T →T 6→Ass

T13 6→Ann → →T →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→Ann →DT → → →T →T →T 6→Ass

T14 6→Ann 6→Ann → →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS →DT 6→Aut 6→npa →T →T 6→Ass

T15 6→Ann 6→Ann → →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→Aut →DT → →T →T 6→Ass

T16 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→Aut 6→AS →DT → →T 6→Ass

T17 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS →DT 6→AS 6→AS

T18 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS →DT 6→AS

T19 6→Aut 6→npa?

99K →T → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T →T →T20 6→Aut 6→Ann 6→Aut → 6→Ann 6→AS 6→AS 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T →DT

92


Agora estamos prontos para enunciar o principal teorema deste capítulo.

Teorema 5.2. A variedade algébrica Jor4 é uma variedade afim conexa de dimensão 16 com 73

órbitas sob a ação de GL(V) e 10 componentes irredutíveis dadas pelos fechos de Zariski das

órbitas das álgebras

Ω = J1, J2, J3, J6, J12, J13, J16, J24, J33, J59 .

Demonstração. Vamos dividir a prova em duas partes: primeiramente, mostraremos que

as álgebras em Ω são rígidas e depois provaremos que elas são as únicas rígidas, i.e.provaremos que toda outra álgebra de J1 a J73 da classificação algébrica do Capítulo 2

pode ser deformada em uma das álgebras anteriores.Existem três álgebras semisimples J1,J2 e J3 logo pelo Corolário 4.23 elas são rígidas.

Nenhuma álgebra em Jor4 domina J6: Do Fato 4.55 as únicas possíveis candidatas aserem deformação de J6 são J1 a J9, pelo Fato 4.54 podemos excluir J2, J7 e J9 da lista,

enquanto que as álgebras J5 e J8 não dominam J6 devido ao Fato 4.56. Uma álgebranão associativa não pode ser deformada em uma álgebra associativa, por tanto J3 9 J6

e J4 9 J6. Finalmente, a decomposição de Peirce de J1 relativa a e1, e2, e4 produz acomponente de Peirce P12 6= 0, enquanto que para J6 e seus idempotentes ortogonais

e1, e2, e3 se i < j, Pij = 0 logo J1 não domina J6 pelo Fato 4.61. Isto prova que J6 érígida.

Considere J ∈ Jor4, tal que J → J12, então pelo Fato 4.60 em uma base adequada(J12)ss é uma subálgebra de Jss tal que a ação da parte semisimples é preservada. Esco-lhemos a base a, b, c, d de J onde os produtos são a2 = a, b2 = b, ac = 1

2c, ad = 1

2d e

ab = bc = bd = 0 logo, usando a tabela de multiplicação para a decomposição de Peirce(veja o Teorema 1.19), temos c2 = αa, d2 = βa, cd = γa para certos α,β,γ ∈ k. Como

a base deve satisfazer a versão linearizada da identidade de Jordan (1.3) obtemos queα = β = γ = 0. Logo J ≃ J12 e J12 é rígida.

Verificaremos que J13 é rígida. Como dim Rad(J13) = 2 temos que se Ji → J13 então1 6 i 6 27. Mais ainda, Ji tem que ser não associativa logo i 6= 3, 4, 22 e 27, enquanto

que usando o argumento da dimensão do grupo de automorfismo e da dimensão doaniquilador, deduzimos que J13 não se deforma em J9, J12, J16, J18, J19 e J21, respetiva-

mente em J5, J8, J10, J11, J20, J23 e J26. As álgebras J14, J15 e J17 não são deformaçõesde J13 pelo Fato 4.60. A álgebra J2 não domina J13 pois na decomposição de Peirce

de J2 relativa a e1, e2 obtemos uma componente P12 não trivial. Finalmente, note queJ13 não tem nenhuma subálgebra associativa de dimensão 3, logo nenhuma das álgebras

restantes poderia dominar J13 pelo Fato 4.59.

93

Para provar a rigidez de J16 usamos os mesmos argumentos que provaram a rigidezde J13. Primeiro observe que as dimensões de Rad, Aut e Ann de J16 são as mesmas

de J13 e J16é também não associativa o que reduz a lista de possíveis deformações a∆ = J1, J2 J6, J7, J14, J15, J17, J24, J25. Analogamente para provar que as álgebras

J14, J15 e J17 não dominam J16 usamos o Fato 4.60. Para ver que a álgebra J2 não éuma deformação de J16 notamos que J16 tem a componente de Peirce P01 não trivial.

Finalmente, a álgebra J16 não tem subálgebra associativa de dimensão 3 logo nenhumadas álgebras restantes é uma deformação de J16.

Observe que não existe álgebra em Jor4 que deforme-se em J24: J24 é não associativa

e ambas dimensões do aniquilador e do radical coincidem com as dimensões de J16,enquanto que dim Aut J24 = 2 por tanto as possíveis álgebras J que podem dominar J24são aquelas que pertencem a ∆ e que dim Aut J < 2, o que leva somente a J1. Finalmente,a ação de quaisquer dois idempotentes de J1 não é preservada em J24, logo J1 9 J24 e

J24 é rígida.

Para J33 calcularemos o segundo grupo de cohomologia. Seja h : J33 × J33 → J33 um2-cociclo de Jordan de J33, i.e uma aplicação bilinear satisfazendo (1.6), então

h(e1, e1) = αe1, h(e1,ni) = βie1 +α

2ni, h(ni,nj) = βjni + βinj

para quaisquer α,βi ∈ k e 1 6 i, j 6 3. Definimos uma aplicação linear µ : J33 → J33

via µ(e1) = −αe1 e µ(ni) = −2βie1 + ni para i = 1, 2, 3, então (1.7) é válida e logoH2(J33, J33) = 0, o que implica que J33 é rígida.

Finalmente, suponha que J ∈ Jor4 e J → J59 então pelo Fato 4.60 podemos escolher

uma base tal que (J59)ss ⊆ Jss e a ação de (J59)ss deveria ser preservada, então J

somente poderia ser J12, J13, J32, J58 ou J60 mas então dim Aut(J) > 4, por tanto J59 é

rígida.

Resta mostrar que para qualquer álgebra J ∈ Jor4 existe uma álgebra J ′ ∈ Ω tal que J ′

é uma deformação de J. No que segue todas as transformações foram dadas usando as

bases do Capítulo 2 na ordemei,nj

onde 1 6 i, j 6 4.

Mostraremos que J1 domina J7, J8, J10, J11, J17, J23, J25, J28, J44, J45, J46, J52, J53,J62, J63, J64 e J65. Do Exemplo 4.42 temos J1 → J25. Além disso J25 → J17, de fato

para t 6= 0 escolhemos a base At = e1, Bt = e2, Ct = tn1 e Dt = n2 de J25, em particularC2t = t2Dt e logo J25 → J17 quando t → 0.

A deformação J1 → J53 é dada pela especialização de J1, via a base At = e1 + e4,

Bt = te3, Ct = t2e1 e Dt = t2e2, e a deformação J53 → J62 via At = te1 + tn2 − tn3,Bt = t2n2 + t2n3, Ct = −t3n3 e Dt = tn1. Além disso, de [6] temos as deformações

entre álgebras nilpotentes: J62 → J65, J62 → J63 e J63 → J64.

94

Por outro lado, combinando os resultados para álgebras de Jordan de dimensão 3 daSeção 5.3 com o Fato 4.44 obtemos J1 → J23, J1 → J7, J7 → J10, J1 → J8 e J8 → J11.

Para mostrar que J11 → J46, seja a mudança de base At = e1, Bt = n1, Ct = te2 − n2 eDt = tn2, para t 6= 0, de J11. Como BtCt = tBt

2e C2

t = Dt + tCt obtemos a estrutura de

J46 quando t tende a zero.

Para a deformação J8 → J45, considere a base At = e1, Bt = te3, Ct = t2e2 eDt = te2 + n1 de J8, então quando t = 0 obtemos J45. A mudança de base At = e1,

Bt = n1, Ct = n2 e Dt = tn3 de J45 funciona para J45 → J44, enquanto J44 → J28

tomando At = e1, Bt = tn1, Ct = n2 e Dt = n3 em J44.

Finalmente, para ver que J23 → J52, considere a mudança de base At = e1 + e2,Bt = n1, Ct = te2 e Dt = n2 de J23.

Agora mostraremos que J2 domina J9, J18, J48 e J49. Para ver que J2 → J9 considere,

para t 6= 0, a base At = e1, Bt = e2, Ct = e3 + e4 e Dt = te4 de J2. Como C2t = At + Bt,

CtDt = t(At+Bt

2) e D2

t = 0 obtemos a álgebra J9 quando t = 0. Para a deformação

J9 → J18, é suficiente considerar a base At = e1, Bt = e2, Ct = te3 e Dt = n1 de J9.Então, como C2

t = t2(At + Bt), fazendo t tender a zero obtemos J18. Analogamente

J2 → J49 com base At = e1, Bt = te2, Ct = 2te3 e Dt = te3 + e4 e J49 → J48 com baseAt = e1, Bt = n1, Ct = tn2 e Dt = n3.

Todas as álgebras associativas, ou seja J4, J5, J19, J20, J21, J22, J26, J27, J34, J35, J36,

J37, J38, J39, J40, J41, J42, J43, J47, J54, J61, J66, J67, J68, J69, J70, J71, J72 e J73 sãodominadas por J3.

Combinando o Fato 4.44 com a descrição geométrica de Jor2 dada na Seção 5.2 obtemos

J3 → J4, J3 → J5, J5 → J20, J5 → J26, J26 → J19, J19 → J35, J40 → J34, J72 → J73,J4 → J22 e J26 → J47. Novamente, usando o Fato 4.44 e a descrição geométrica de Jor3dada na seção anterior temos J4 → J27, J27 → J21, J21 → J37, J20 → J54, J38 → J41,J41 → J40 e J71 → J72. Finalmente, de [6] temos as seguintes deformações entre álgebras

nilpotentes J61 → J67, J66 → J68, J66 → J70, J68 → J69 e J69 → J71.

Para ver que J20 → J38, para t 6= 0 consideramos a mudança de base At = e2,Bt = te1 + n1 + n2, Ct = tn1 − tn2 e Dt = t2n1 de J20. Analogamente la dominância

J38 → J66 é dada pela base At = tn1, Bt = t2n2, Ct = t3n3 e Dt = te1 − t2n3 deJ38. Para a deformação J47 → J61 tome t 6= 0 e considere a base At = te1 + n1 + n2,

Bt = tn1 − tn2 +n3, Ct = t2n1 − tn3 e Dt = t2n3 de J47, então quando t = 0 obtemosJ61.

Para mostrar que J22 → J39, para t 6= 0 usamos a base At = e1 + e2, Bt = te2 + n1 +

n2, Ct = −tn1 + tn2 e Dt = t2n2 de J22. Como B2t = Ct + tBt e BtDt = tDt obtemos

a estrutura da álgebra J39 quando t tende a zero. No caso de J39 → J43 consideramos

a base At = e1, Bt = −tn1, Ct = −t2n3 e Dt = tn2 + tn3 de J39. Analogamente, para

95

mostrar que J43 → J42 é suficiente considerar a mudança de base At = e1, Bt = n1,Ct = n2 e Dt = tn1 − tn3 de J43.

Por último, para completar la dominância de J3 só resta provar que J42 → J36. Parat 6= 0 considere a mudança de base At = e1, Bt = tn1, Ct = n2 e Dt = n3 de J42.

A dominância das álgebras rígidas J6 sobre J15 e J12 sobre J30 segue do Fato 4.44.

Mostraremos a seguir que J12 → J32, para isso considere a base At = e1 + e2, Bt = n1,Ct = n2 e Dt = te2, para t 6= 0, de J12. Como D2

t = tDt obtemos a estrutura da álgebra

J32 quando t = 0.

Agora, vejamos que J13 domina J60. Para t 6= 0, é suficiente considerar a base At =

e1 + e2, Bt = −2te1, Ct = n1 + n2 e Dt = tn2 de J13 e então quando fazemos t tendera zero obtemos J60. Analogamente J16 domina J50, usando a base At = e1, Bt = te2,

Ct = 2n1 + n2 e Dt = tn1 de J16.

As álgebras J14, J29, J31, J51, J55, J56 e J57 são dominadas por J24. Uma vez mais

combinamos o Fato 4.44 e as deformações obtidas na Seção 5.3 e obtemos que J24 → J51,J51 → J29 e J24 → J14. No caso de J14 → J56 e J24 → J57, usamos para ambas álgebras

a base At = e1 + e2, Bt = t2e1 + n2, Ct = t2n2 e Dt = tn1, então quando t = 0 temosJ56 e J57 respetivamente. Só resta provar que J56 → J31 e J57 → J55. Analogamente,

considere a base At = e1, Bt = tn1, Ct = n2 e Dt = n3, t 6= 0 de J56 e J57, como emambos casos B2

t = t2Ct, fazendo t = 0 obtemos J31 e J55, respetivamente.

Para completar a descrição das componentes irredutíveis da variedade Jor4 só restamostrar que J59 domina J58. Para t 6= 0, é suficiente considerar a base: At = e1, Bt = n1,

Ct = tn2 e Dt = n3 de J59. Como CtDt = tBt é claro que as contantes estruturais destabase especializam-se em aquelas de J58 quando fazemos t = 0.

A órbita de J73 é fechada (Lema 4.43) e logo toda J ∈ Jor4 é uma deformação de J73 oque implica que Jor4 é uma variedade afim conexa.

Como Jor4 é uma união finita de órbitas que são localmente fechadas então a dimensãoda variedade é o máximo das dimensões de suas órbitas, assim temos que

dim Jor4 = max16i673

dim JG

i

= dim JG

3 = 42 − dim Aut(J3) = 16.

O diagrama das álgebras de Jordan de dimensão 4 no qual é possível compreender a

prova do Teorema 5.2 é dado na Figura 5.3. Uma descrição quase-completa (e assim menoscompreensível) das órbitas e, por tanto, das componentes irredutíveis de Jor4 é dado na

Figura 5.4. Com quase-completa queremos dizer que conseguimos determinar em um95, 6% das vezes se uma álgebra de Jordan de dimensão 4 pertence ou não ao fecho de

Zariski da órbita de outra álgebra. Novamente, usamos os super-índices A, S, U e N nos

96

nomes das álgebras para fazer referência a que Ji é Associativa, Semisimples, Unitáriae Nilpotente respetivamente, com o fim de poder enxergar melhor o comportamento

dessas características sob deformações.Resumimos a existência ou não existência de deformações em várias tabelas. A sim-

bologia utilizada respeita o padrão das tabelas das seções anteriores e adicionamos osseguintes:

i. 6→1: não existe deformação pelo Fato 4.62, pois a álgebra da linha não é unitária ea álgebra da coluna sim o é.

ii. →⊕: existe deformação pelo Fato 4.44, pois as álgebras envolvidas são soma direta

de álgebras de dimensões menores, tal que uma é uma deformação da outra.

iii. →Anc: existe deformação e a contração foi dada em [6].

Observamos que as álgebras não aparecem na ordem lexicográfica isso foi proposital, co-

locamos separadamente álgebras associativas de não associativas e álgebras nilpotentesde não nilpotentes com o fim de poupar um pouco de espaço, já que desse modo não foi

colocada uma tabela de 1020 células onde todas elas só teriam o símbolo “6→Ass” o qualrepresenta que “Associativa 6→ Não-Associativa”.

97

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

16

dim Aut(J)

JUS1

JUS2

JAUS3

JAU4JA5

J6JU7 J8

JU9

J10 J11

J12

J13

J14 J15

J16

JU17

JU18

JA19

JA20

JAU21

JAU22 J23 J24JU25JA26 JAU

27

J28

J29

J30

J31

J32

J33

JA34

JA35

JAU36

JA37

JA38 JAU39

JA40

JA41

JAU42

JAU43 J44

J45

J46

JA47

J48

J49

J50

J51J52

J53

JA54

J55J56

J57

J58

J59

J60

JAN61

JN62

JN63

JN64

JN65

JAN66

JAN67 JAN

68

JAN69 JAN

70

JAN71

JAN72

JAN73

Fig

.5.3

:Descrição

das

órbitasd

eJor

4

98

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

16

dim Aut(J)

JUS1

JUS2

JAUS3

JAU4JA5

J6 JU7 J8

JU9

J10 J11

J12

J13

J14J15

J16

JU17

JU18

JA19

JA20

JAU21

JAU22 J23J24 JU25JA26 JAU

27

J28

J29

J30

J31

J32

J33

JA34

JA35

JAU36

JA37

JA38 JAU39

JA40

JA41

JAU42

JAU43 J44

J45

J46

JA47

J48

J49

J50

J51 J52

J53

JA54

J55J56

J57

J58

J59

J60

JAN61

JN62

JN63

JN64

JN65

JAN66

JAN67 JAN

68

JAN69JAN

70

JAN71

JAN72

JAN73

Fig

.5.4

:Descrição

mais

comp

letad

asórbitas

deJor

4

99

J61 J66 J67 J68 J69 J70 J71 J72 J73 J3 J4 J5 J39 J38 J41 J43 J40 J47

J61 6→Aut 6→ →Anc 6→ →T →Anc →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J66 6→Aut 6→Aut →Anc →Anc →T →Anc →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J67 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →Anc 6→ →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J68 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →Anc 6→ →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J69 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →Anc →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J70 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →Anc →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J71 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J72 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J73 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J3 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut → → →T →T →T →T →T →T

J4 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T →T →T →T →T

J5 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1 →T →T 6→1 →T →T

J39 → →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ → 6→ 6→Aut

J38 → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→1 →T 6→Aut

J41 6→Aut →T →T →T → →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut

J43 6→Aut →T →T → →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J40 6→Aut 6→Aut →⊕ →⊕ →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J47 → →T →⊕ →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→1 6→ 6→Aut

J54 → →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→1 6→ 6→Aut

J42 6→Aut 6→Aut → →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J34 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J35 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→ →T 6→ →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J36 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J37 6→Aut 6→Aut → 6→ →T 6→ →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J19 6→Aut →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut

J20 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1 →⊕ →T 6→1 →T →⊕J21 6→Aut →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut

J22 →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→ 6→ →T 6→ →⊕J26 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1 →⊕ →T 6→1 →T →⊕J27 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →⊕ →T →T →T 6→J10 →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→1 →T 6→Aut

J11 →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→1 6→ 6→Aut

J12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J13 6→Aut →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J14 →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→1 →T 6→Aut

100




J17 →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→ 6→Aut

J18 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J23 →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1 →T 6→1 →T 6→J24 →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1 →T 6→1 →T 6→J25 →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→J28 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→ →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J29 6→Aut 6→ →T 6→ →T 6→ →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J30 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J31 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→ →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J32 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J33 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut



J53 →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1 6→ 6→ 6→1 6→ 6→J44 6→Aut →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J45 →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→1 6→ 6→Aut




J57 →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→1 6→ 6→Aut

J48 6→Aut 6→Aut →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J49 6→Aut →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut



J59 6→Aut →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut


J6 →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1 →T 6→1 →T

J7 →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→J8 →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1 6→ 6→ 6→1 6→ 6→J9 6→Aut →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J1 →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→J2 →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→ 6→Aut

J62 6→ →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

101


J63 6→Aut →Anc →T →T →T →T →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J64 6→Aut 6→Aut →Anc 6→ →T 6→ →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J65 6→Aut →Anc →T →T →T →T →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

102

J54 J42 J34 J35 J37 J19 J20 J21 J22 J26 J27 J10 J11 J12 J13 J14 J15 J16 J17 J18

J61 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Ass 6→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass









J3 →T →T →T →T →T →T →T →T →T →T →T 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J4 →T →T →T →T →T →T →⊕ →T →⊕ →⊕ →⊕ 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J5 →T 6→1 →T →T →T →T →⊕ 6→1 6→1 →⊕ 6→1 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J39 6→Aut →T 6→ 6→ 6→ 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J38 6→Aut 6→1 →T 6→ 6→ 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J41 6→Aut 6→1 →T 6→ 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J43 6→Aut → 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J40 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J47 6→Aut 6→1 6→ →⊕ 6→ 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J54 6→Aut 6→1 6→ 6→ →⊕ 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J42 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J34 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass


J36 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass


J19 6→Aut 6→1 →T →⊕ 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J20 →⊕ 6→1 →T →T →T 6→ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J21 6→Aut →T 6→ →⊕ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J22 6→ →T 6→ →T 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J26 6→ 6→1 →T →T 6→ →⊕ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J27 →⊕ →T →T 6→ →T 6→ 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J10 6→Aut 6→1 →T 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→1

J11 6→Aut 6→1 6→ 6→ →⊕ 6→ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→1

J12 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J13 6→Aut 6→1 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1

J14 6→Aut 6→1 →T 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→1

103


J15 6→Aut 6→1 6→ →⊕ 6→ 6→ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→1

J16 6→Aut 6→1 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1

J17 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→J18 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J23 6→ 6→1 →T 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→ 6→H2 6→H2 6→ 6→ 6→H2 6→1 6→1

J24 6→ 6→1 →T 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→ 6→H2 6→H2 →⊕ 6→ 6→H2 6→1 6→1

J25 6→ → 6→ 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→ 6→H2 6→H2 6→ 6→ 6→H2 → 6→J28 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J29 6→Aut 6→1 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad

J30 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut



J33 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J51 6→Aut 6→1 6→ 6→ 6→ 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad


J53 6→ 6→1 6→ 6→ 6→ 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad







J48 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad






J6 6→ 6→1 →T →T 6→ →⊕ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→ 6→H2 6→H2 →⊕ →⊕ 6→H2 6→1 6→1

J7 →T 6→ →T 6→ 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ →⊕ 6→H2 6→H2 6→ 6→ 6→H2 → 6→J8 6→1 6→ 6→ →T 6→ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ →⊕ 6→H2 6→H2 6→ 6→ 6→H2 6→1 6→1

J9 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →J1 →T →T 6→ →T 6→ 6→ →T 6→ 6→ →T →T 6→H2 6→H2 6→ 6→ 6→H2 →T 6→J2 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut →T

J62 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

104





105


J7 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut →T 6→ 6→ 6→ 6→ 6→J10 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →⊕ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→J11 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→J12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut → 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J13 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→ 6→ →T 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J14 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ →⊕ 6→ →T 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ → 6→Aut 6→ 6→J15 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→ 6→ →T 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ → 6→Aut 6→ 6→J16 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut →T → 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J17 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T → 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→J18 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J23 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ → 6→Aut →T → →T 6→ 6→ 6→ 6→ 6→J24 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ →T 6→ →T 6→ 6→H2 →⊕ 6→Aut 6→ 6→ 6→ →T →T → 6→ 6→J25 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→ 6→ 6→ 6→H2 → 6→Aut →T → →T 6→ 6→ 6→ 6→ 6→J28 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J29 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J30 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J31 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J32 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J33 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J51 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ →⊕ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→J52 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ → 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→J53 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ →T 6→ 6→ 6→ 6→H2 → → 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→J44 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J45 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut → 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→J46 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J55 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ → 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J56 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ → 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J57 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→ 6→ →T 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ → → 6→Aut 6→ 6→J48 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut → 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J49 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut →T 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut

J50 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut → 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J58 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→ → 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J59 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→ →T 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut

J60 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→ → 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J6 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→ →T 6→ 6→H2 6→Aut →T →T 6→ 6→

106


J7 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→Aut →T 6→ 6→ 6→ 6→ 6→J8 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→ 6→Aut →T → →T 6→ 6→ 6→ 6→ 6→J9 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut →T 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut

J1 →⊕ 6→H2 → →T →T 6→ 6→ 6→ 6→H2 →T →T → →T →T →T 6→ 6→ 6→ 6→ 6→J2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→ →T 6→ 6→ 6→H2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→ 6→ 6→Aut →T →J62 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad




107

Tabela 5.6: Existência de deformações em Jor4J10 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T

J11 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut


J13 6→ 6→Aut → 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J14 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T


J16 → 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut → 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut



J23 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad →T




J29 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut







J53 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad → →T →T →T

J44 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut







J49 6→ 6→Aut 6→ → 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut



J59 6→ → 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut


J6 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Rad →T

108


J2 6→ 6→H2 6→ →T → 6→ 6→H2 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J7 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Rad →T

J8 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Rad

J9 6→ 6→Aut 6→ → 6→Aut 6→ 6→Aut 6→ 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J1 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→ 6→ 6→ 6→ 6→H2 6→ 6→H2 →⊕ →⊕ 6→ 6→Aut 6→H2 →T →T →T →T

J62 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut →Anc →T →Anc

J63 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut →Anc 6→Aut

J64 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J65 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut

109

5.5 algumas propriedades da variedade algébrica

Jor5

Teorema 5.3. Soma direta de álgebras rígidas é de novo uma álgebra rígida em Jorn para n 6 5.

Demonstração. Vimos nas Seções 5.1, 5.2 e 5.3 e no Teorema 5.2 que ke é a única álgebra

rígida em Jor1 e que a álgebra soma direta ke1 ⊕ ke2 é rígida em Jor2, T11 = ke1 ⊕ke2 ⊕ ke3 é rígida em Jor3 e J3 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4 é rígida em Jor4. Além dissoB2 é rígida em Jor2 e as álgebras decomponíveis T19 = B2 ⊕ ke2 é rígida em Jor3 e

J6 = B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3 e J13 = B2 ⊕B2 são rígidas em Jor4. Mais ainda em ˙Jor3 temosas álgebras rígidas indecomponíveis T5, T7 e T9 das quais derivam as álgebras rígidas

de Jor4: J1 = T5 ⊕ ke4, J12 = T7 ⊕ ke2 e J24 = T9 ⊕ ke2. Fazendo as somas diretas dasálgebras rígidas de dimensões 1, 2, 3 e 4 com o fim de gerar uma álgebra de dimensão 5

obtemos as seguintes 13 álgebras decomponíveis de Jor5:

C1 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4 ⊕ ke5; C2 = B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4;

C3 = B2 ⊕B2 ⊕ ke3; C4 = T5 ⊕ ke4 ⊕ ke5; C5 = T7 ⊕ ke2 ⊕ ke3;

C6 = T9 ⊕ ke2 ⊕ ke3; C7 = J2 ⊕ ke5; C8 = J16 ⊕ ke3;

C9 = J33 ⊕ ke2; C10 = J59 ⊕ ke2; C11 = B2 ⊕ T5;

C12 = B2 ⊕ T7; C13 = B2 ⊕ T9;

Verificamos utilizando um programa de computação simbólica elaborado pela autora(veja Apêndice A) que H2(Ci,Ci) = 0 para todo 1 6 i 6 13 e por tanto Ci é rígida.

Teorema 5.4. O número de componentes irredutíveis em Jor5 é maior ou igual a 26.

Demonstração. Sabemos da Proposição 4.36 que cada álgebra rígida de uma variedade

gera uma componente irredutível. Vejamos que em Jor5 temos no mínimo 26 álgebrasrígidas.

Foi provado no Teorema 5.3 que as 13 álgebras de Jordan decomponíveis de dimensão

5, Ci com 1 6 i 6 13, são álgebras rígidas e claramente não isomorfas. Temos mais 3

álgebras rígidas provenientes dos Fatos 4.63, 4.64 e 4.65. Denotemos elas por C14, C15 e

C16, respetivamente. Como elas são indecomponíveis, não são isomorfas às álgebras deTeorema 5.3. Agora dim Aut(C14) = 20 enquanto que dim Aut(C15) = dim Aut(C16) = 8

e a álgebra J12 de dimensão 4 é uma subálgebra de C15 mas não é subálgebra de C16.

As seguintes 10 álgebras de Jordan de dimensão 5 indecomponíveis têm segundogrupo de cohomologia nulo, isso foi calculado usando um programa de computação

simbólica elaborado pela autora (veja Apêndice A) assim como também as dimensões

110

dos respetivos grupos de automorfismos e aniquilador. O produto nas álgebras serádado em todos os casos na base e1, e2, e3, e4, e5.

C Tabela de Multiplicaçãodim

Aut(C)dim

Ann(C)dim

Rad(C)Obs.

C17

e21 = e1 e22 = e2 e23 = e3e1e5 = e2e5 = 1

2e5e2e4 = e3e4 = 1

2e4

4 0 2 Unitária

C18

e21 = e1 e22 = e2 e23 = e1 + e2e1e3 = e2e3 = 1

2e3 e3e4 = 1

2e5

e3e5 = e1e4 = 12e4 e2e5 = 1

2e5

4 0 2

C19e21 = e1 e22 = e2 e23 = e5

e24 = e5 e1e3 = 12e3 e2e4 = 1

2e43 1 3

C20

e21 = e1 e22 = e2 e3e4 = e5e1e3 = 1

2e3 e2e4 = 1

2e4

e1e5 = e2e5 = 12e5

5 0 3

C21

e21 = e1 e22 = e2 e23 = e4e25 = e4 e1e3 = 1

2e3 e1e4 = e4e1e5 = e2e5 = 1

2e5

3 0 3

C22

e21 = e1 e22 = e2 e24 = e5e1e3 = 1

2e3 e2e5 = e5

e1e4 = e2e4 = 12e4

4 0 3

C23e21 = e1 e22 = e2 e23 = e5

e1e3 = 12e3 e1e4 = e2e4 = 1

2e44 1 3

C24

e21 = e1 e1e5 = 12e5

e1e2 = e23 = e4e5 = e2e1e3 = 1

2e3 e1e4 = 12e4

7 0 4

C25

e21 = e1 e1e5 = 12e5

e1e2 = e25 = e2 e1e4 = 12e4

e1e3 = e24 = e4e5 = e3

4 0 4

C26

e21 = e22 = e23 = e24 = e25 = e1e1e2 = e2 e1e3 = e3e1e4 = e4 e1e5 = e5

6 0 0Unitária

Semisimples

Tabela 5.7: Álgebras de Jordan de dimensão 5

Fica claro pelas dimensões e pelo fato das álgebras serem decomponíveis ou inde-componíveis que todas as 26 álgebras são diferentes, logo em Jor5 temos no mínimo 26

componentes irredutíveis.

111

6 CLASS I F ICAÇÃO GEOMÉTR ICA DAS ÁLGEBRAS DE

JORDAN DE D IMENSÃO MENOR OU IGUAL A 3 SOBRE

O CORPO DOS NÚMEROS REA I S

Neste capítulo JorR

n denotará a variedade algébrica das álgebra de Jordan de dimensãon sobre o corpo dos números reais R.

É pouca a teoria que se conhece sobre R em relação a deformações e álgebras rígidas.

Ancochea Bermúdez e outros classificaram algébrica e geometricamente as álgebras as-sociativas de dimensão 2 sobre R no trabalho [4] e as álgebras de Jordan de dimensão 2

em [5].

6.1 a variedade algébrica JorR

1

Analogamente ao caso sobre um corpo algebricamente fechado, em JorR

1 a única álgebra

rígida é a álgebra simples Re e é claro que Re → Rn. Logo só temos uma componenteirredutível em JorR

1 dada pelo fecho de Zariski da órbita da álgebra Re, por tanto JorR1

é uma variedade afim conexa é irredutível de dimensão 1 com 2 órbitas sob a ação deGL(V).


2

No trabalho [5] os autores determinaram todas as contrações das álgebras de Jordanreais de dimensão 2, isto nos permitiu determinar a existência de deformações entre tais

álgebras e junto com os critérios de invariância através de deformações conseguimosdar uma descrição geométrica completa da variedade das álgebras de Jordan reais de

dimensão 2.

Teorema 6.1. A variedade algébrica JorR2 é uma variedade afim conexa de dimensão 4 com 7


das álgebras B ′2, B ′

4 e Re1 ⊕ Re2.

113

Demonstração. Que JorR2 é uma variedade afim segue do Lema 4.26, conexa pelo Lema

4.43 e que tem 7 órbitas sob a ação de G foi provado na Seção 3.1.2, elas são as órbitas

representadas pelas álgebras B ′1, B ′

2, B ′3, B ′

4, Re1⊕Re2, Re1⊕Rn1 e Rn1⊕Rn2. Assimtemos que JorR

2 é uma união finita de órbitas que são conjuntos localmente fechados

então a dimensão da variedade é o máximo das dimensões de suas órbitas

dim JorR

2 = dim(

B ′4

)G= 22 − dim Aut(B ′

4) = 4.

Em [5, Prop.6] foi provado que não existem perturbações não triviais das álgebras B ′2, B ′

4

e Re1 ⊕ Re2 e que isso implica que as correspondentes órbitas são abertas, logo elas sãorígidas e seus fechos geram as componentes irredutíveis. Só resta provar que não existem

outras álgebras rígidas, mas isto segue do fato que toda contração B ′ de B correspondea um ponto no fecho da órbita BG, logo B é uma deformação de B ′, B → B ′. Por tanto

segue da Proposição 7 de [5] que B ′2, B ′

4 e Re1 ⊕ Re2 são as únicas álgebras rígidas deJorR

2 .

As deformações são descritas na Figura 6.1 na qual é dado o diagrama completo dasálgebras de Jordan de dimensão 2 sobre R.

dim Aut(B ′) = 0 Re1 ⊕ Re2

ww♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

%%

B ′4

~~⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥

dim Aut(B ′) = 1 Re1 ⊕ Rn1

''

B ′

1

yyttttttttttt

dim Aut(B ′) = 2 B ′2

++❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱❱❱ B ′

3

dim Aut(B ′) = 4 Rn1 ⊕ Rn2

Fig. 6.1: Descrição completa das órbitas de JorR2

Um resumo da existência de deformações é dado na Tabela 6.1 e a simbologia respeitao padrão das tabelas do Capítulo 2 a menos de:

i. 6→R: não existe deformação, pois foi provado em [5] que a álgebra da coluna é

rígida;

ii. →: existe deformação e uma contração foi exibida em [5].

114

B ′1 B ′

2 B ′3 B ′

4 Re1 ⊕ Re2 Re1 ⊕ Rn1 Rn1 ⊕ Rn2

B ′1 →DT 6→R → 6→R 6→R 6→Aut →T

B ′2 6→Aut →DT 6→Aut 6→R 6→R 6→Aut →

B ′3 6→AS 6→R →DT 6→R 6→R 6→AS →

B ′4 → 6→R →T →DT 6→R 6→npa →T

Re1 ⊕ Re2 → 6→R → 6→R →DT → →T

Re1 ⊕ Rn1 6→Aut 6→R → 6→R 6→R →DT →T

Rn1 ⊕ Rn2 6→AS 6→R 6→AS 6→R 6→R 6→AS →DT

Tabela 6.1: Existência de deformações em JorR2


3

Daremos a seguir uma descrição geométrica quase-completa das álgebras de Jordan reais

de dimensão 3. Conseguimos determinar em um 97% das vezes se uma álgebra de Jordanreal de dimensão 3 pertence ou não ao fecho de Zariski da órbita de outra álgebra.

Teorema 6.2. A variedade algébrica JorR

3 é uma variedade afim conexa de dimensão 9 com 26


das álgebras

Ω =T ′1,T ′

2,T ′3,T ′

4,T ′5,T ′

7,T ′12,T ′

20

.

Demonstração. Sabemos que JorR

3 é uma variedade afim pelo Lema 4.26, que é conexa

segue do Lema 4.43 e que tem 26 órbitas sob a ação de G foi provado na Seção 3.2.Assim temos que JorR

3 =⋃26

i=1

(

T ′i

)G é uma união finita de órbitas que são conjuntos

localmente fechados então a dimensão da variedade é o máximo das dimensões de suasórbitas

dim JorR

3 = max16i626

dim(

T ′1

)G

= dim(

T ′1

)G= 32 − dim Aut(T ′

1) = 9.

Analogamente a como foi feito na prova do Teorema 5.2, dividiremos o resto da provaem duas partes. Primeiramente, mostraremos que as álgebras em Ω são rígidas e depois

provaremos que não existe outra álgebra rígida em JorR3 .

As álgebras T ′1, T ′

2 têm dimAut(T ′i) = 0 logo, do Fato 4.54, nenhuma outra álgebra

pode ser uma deformação delas. Logo T ′1 e T ′

2 são álgebras rígidas. Pelo mesmo critério

as únicas álgebras que podem ser deformação de T ′3, T ′

4 e T ′5 são as álgebras T ′

1 e T ′2 mas,

do Fato 4.58, uma álgebra associativa não pode ser uma deformação de uma álgebra não

associativa. Logo T ′3, T ′

4 e T ′5 também são as álgebras rígidas.

115

Nenhuma álgebra em JorR3 domina T ′

7: pelo Fato 4.55 as únicas candidatas a seremdeformação de T ′

7 são as álgebras para as quais dim Rad(T ′i) 6 1, i.e. as álgebras T ′

1

a T ′11. Uma álgebra associativa não pode ser uma deformação de uma álgebra não

associativa pelo Fato 4.58, logo podemos excluir da lista as álgebras T ′1, T ′

2, T ′6, T ′

9 e T ′10.

Como a dim Aut(T ′i) = 2, para i = 7, 8, 11 nem T ′

8 nem T ′11 podem ser deformações de T ′

7

pois esta dimensão aumenta através de deformações não triviais. A parte semisimples de

T ′7,(

T ′7

)

ss, é Re1 ⊕Re2 logo segue do Fato 4.60 que se uma das três álgebras restantes é

uma deformação de T ′7 então Re1 ⊕ Re2 é uma subálgebra dela, com o qual concluímos

que T ′4 6→ T ′

7.

Finalmente, a decomposição de Peirce de T ′i para i = 3, 5 relativa a e1, e2 é P11 ⊕

P22 ⊕ P12, enquanto que T ′7 apresenta a componente de Peirce não nula P01 . Logo,

pelo Fato 4.61 nenhuma das álgebras domina T ′7. Concluímos que T ′

7 somente tem asdeformações triviais, logo da Proposição 4.40 T ′

7 é rígida.

Observamos que a álgebra T ′12 é do tipo da álgebra do Fato 4.63, logo é rígida.

Por último, vejamos que não existe uma álgebra em JorR3 que deforme-se em T ′

20:Como dim Rad(T ′

20) = 2 nenhuma álgebra nilpotente, i.e. T ′i para 22 6 i 6 26, é defor-

mação de T ′20. Pelo argumento da dimensão do grupo de automorfismos, nenhuma das

álgebras T ′i para i = 7, 8, 11, · · · , 21 domina T ′

20. Também podemos excluir da lista as

álgebras associativas T ′1, T ′

2, T ′6, T ′

9 e T ′10 pois T ′

20 não é associativa. Por último, T ′20 tem

um elemento idempotente que age como 12

e 1 nos outros dois elementos, esta ação não

é preservada em T ′i para i = 3, 4, 5 por tanto a álgebra T ′

20 é rígida.

Vejamos agora que para cada álgebra T ′i para i = 1, · · · , 26 da lista da Seção 3.2 existe

uma álgebra T ′ ∈ Ω tal que T ′ é uma deformação de T ′i. No que segue todas as con-

trações serão dadas usando as bases do Capítulo 3 das álgebras, respeitando a ordemei,nj onde 1 6 i, j 6 3.

Primeiramente vejamos que as órbitas das álgebras T ′6, T ′

21 e T ′24, pertencem a

(

T ′1

)G:

combinando as deformações para álgebras de Jordan reais de dimensão 2 obtidas naSeção 6.2 com o Fato 4.44 temos: T ′

1 → T ′6 e T ′

6 → T ′21. Se consideramos a família de

automorfismos de T ′21 dada por At = tn1, Bt = t2e1 − n2 e Ct = t2n2 fazendo t tender

a 0 obtemos a álgebra T ′24. Logo T ′

21 → T ′24.

As órbitas das álgebras T ′9, T ′

10, T ′13, T ′

15, T ′18, T ′

23, T ′25, e T ′

26, pertencem a(

T ′2

)G: nova-mente, combinando as deformações para álgebras de Jordan reais de dimensão 2 obtidas

na Seção 6.2 com o Fato 4.44 temos: T ′2 → T ′

9, T ′2 → T ′

10 e T ′10 → T ′

15. Observamos queas contrações entre álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre um corpo algebricamente

fechado obtidas na Seção 5.3 servem para as álgebras consideradas sobre R pois as fa-mílias de automorfismos ft pertencem na verdade a GL(3, R) ⊆ GL(3, C). Logo temos

T ′9 → T ′

18, T ′18 → T ′

13, T ′15 → T ′

23, T ′23 → T ′

26 e T ′26 → T ′

25.

116

A álgebra rígida T ′3 domina T ′

8 e T ′14: considere, para t 6= 0, a família de automorfismos

de T ′3 dada por At = 1

2e1 +

12e2, Bt = 1

2e1 −

12e2 e Ct = te3 quando fazemos t tender a

0 obtemos a álgebra T ′8. Logo T ′

3 → T ′8. Obtemos T ′

8 → T ′14 das contrações obtidas na

Seção 5.3.

A álgebra T ′11 pertence ao fecho da órbita de T ′

4. Para ver isso é só considerar a família

de automorfismos de T4 dada por At = e1, Bt = e2 e Ct = te3 quando fazemos t tendera 0 obtemos a álgebra T ′

11. Da Seção 5.3 temos que a álgebra rígida T ′5 domina T ′

19,

analogamente T ′20 domina T ′

16 e da Seção 6.2 segue que T ′7 → T ′

17.

Por último observamos que para qualquer T ′ ∈ JorR

3 , a mudança de base At = te1,

Bt = te2 e Ct = te3 tende a T ′22, quando t → 0.

Esto completa a prova.

Verificamos1 que todas as álgebras T ′ em Ω do Teorema 6.2 satisfazem a condição

suficiente para rigidez dada na Proposição 4.21, i.e. H2(T ′,T ′) = 0.

Para dar uma descrição geométrica o mais completa possível das álgebras de Jordanreais de dimensão 3 daremos a seguir todas as deformações que conseguimos achar, o

que nos dará uma descrição mais completa das órbitas e das componentes irredutíveisde JorR

3 .

Da combinação das deformações obtida na Seção 6.2 com o Fato 4.44 temos as seguin-tes deformações dado que as álgebras envolvidas são soma direta de uma álgebra de

Jordan real de dimensão 2 e Re ou Rn:

T ′1 → T ′

9; T ′6 → T ′

15; T ′7 → T ′

14; T ′21 → T ′

17

T ′9 → T ′

15; T ′9 → T ′

21; T ′17 → T ′

25.

Da Seção 5.3 temos as seguintes deformações sobre R:

T ′5 → T ′

8; T ′8 → T ′

13; T ′19 → T ′

14;

T ′18 → T ′

23; T ′7 → T ′

16; T ′21 → T ′

23;

T ′14 → T ′

26; T ′16 → T ′

26; T ′13 → T ′

25.

E das seguintes contrações obtemos as respetivas deformações:

i. Considere, para t 6= 0, a mudança de base At = e1, Bt = te2 e Ct = tn1 de T ′11.

Fazendo t tender a zero obtemos a estrutura da álgebra T ′13. Logo T ′

11 → T ′13.

1 Utilizando um programa de computação simbólica elaborado pela autora, veja Apêndice A.

117

ii. Analogamente se consideramos a base At = 12e1 +

12e2, Bt = te3 e Ct = −t2

2 e1 +t2

2e2 de T ′

3 obtemos a álgebra T ′19 quando t tende a zero. Por tanto, T ′

3 → T ′19.

iii. A mudança de base At = n1, Bt = n3 e Ct = tn2 de T ′24 , nos da T ′

24 → T ′25.

iv. A mudança de base At =t2e1 −

t2e2, Bt =

t2e1 +

t2e2 + 2t2n1 e Ct =

t2

2 e1 −t2

2 e2 +

t3n1 de T ′11 tende a T ′

24 quando t → 0 o que implica que T ′11 → T ′

24.

v. Para o caso da deformação T ′20 → T ′

24 considere a família de automorfismo At =

te1 + t3n2, Bt = t2n1 e Ct = t2e1 + 2t4n2 de T ′20, passando o limite quando t → 0

este limite existe e é T ′24.

vi. A família de automorfismos At = te1 +−tn2, Bt = tn1 + n2 e Ct = t2e1 de T ′19

nos da T ′19 → T ′

24.

vii. Se considerarmos a mudança de base At = te1+ tn2, Bt = tn1 e Ct = t2e1+ 2t2n2

de T ′18, fazendo t → 0 temos a álgebra T ′

24 e por tanto T ′18 → T ′

24.

viii. Por último, a mudança de base At = e1, Bt = e2 +√2e3 e Ct = te2 +

t√2e3 de T ′

3

nos da T ′3 → T ′

11.

Mais uma vez resumimos a existência ou não existência de deformações numa tabela.A simbologia utilizada respeita o padrão das tabelas dos capítulos e seções anteriores.

Dividiremos a tabela em três, na Tabela 6.2 colocaremos as linhas correspondentes àsálgebras T ′

1 a T ′21 e colunas da T ′

1 à T ′13, na Tabela 6.3 as mesmas linhas e as colunas

restantes e na Tabela 6.4 colocaremos as linhas T ′22 a T ′

26 correspondentes às álgebrasnilpotentes.

118

→ T ′1 T ′

2 T ′3 T ′

4 T ′5 T ′

6 T ′7 T ′

8 T ′9 T ′

10 T ′11 T ′

12 T ′13

T ′1 →DT 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Ass → 6→Ass 6→Ass → 6→npa 6→Ass 6→Ass →T

T ′2 6→Aut →DT 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→npa 6→Ass 6→Ass → → 6→Ass 6→Ass →T

T ′3 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa → 6→Aut 6→Aut → 6→npa →T

T ′4 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Aut 6→Aut → 6→npa →T

T ′5 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→npa → 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa →T

T ′6 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Ass 6→Ass 6→Ann 6→npa 6→Ass 6→Ass 6→Ann

T ′7 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa

T ′8 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →

T ′9 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ass 6→Ass →DT 6→npa 6→Ass 6→Ass →T

T ′10 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ass 6→Ass 6→Ann →DT 6→Ass 6→Ass 6→Ann

T ′11 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut →DT 6→npa →

T ′12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut

T ′13 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass →DT

T ′14 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→Ann

T ′15 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Ann

T ′16 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa

T ′17 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut

T ′18 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass →

T ′19 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Ann 6→Ann

T ′20 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→npa 6→npa

T ′21 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Ann

Tabela 6.2: Existência de deformações em JorR

3

119

→ T ′14 T ′

15 T ′16 T ′

17 T ′18 T ′

19 T ′20 T ′

21 T ′22 T ′

23 T ′24 T ′

25 T ′26

T ′1 6→Ass →T 6→Ass →T →T 6→Ass 6→Ass →T →T →T →T →T →T

T ′2 6→Ass →T 6→Ass →T →T 6→Ass 6→Ass →T →T →T →T →T →T

T ′3 →T 6→npa 6→npa 6→npa

?99K → 6→npa 6→npa →T

?99K →T →T →T

T ′4 6→npa 6→npa 6→npa 6→npa

?99K 6→npa 6→npa 6→npa →T

?99K →T →T

?99K

T ′5 →T 6→npa 6→npa 6→npa

?99K → 6→npa 6→npa →T

?99K →T →T →T

T ′6 6→Ass → 6→Ass →T 6→Ann 6→Ass 6→Ass → →T →T →T →T →T

T ′7 → 6→Aut → → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T

?99K

?99K →T →T

T ′8 → 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T

?99K

?99K →T →T

T ′9 6→Ass → 6→Ass →T → 6→Ass 6→Ass → →T →T →T →T →T

T ′10 6→Ass → 6→Ass 6→npa 6→Ann 6→Ass 6→Ass 6→npa →T →T

?99K →T →T

T ′11 6→npa 6→npa 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa →T

?99K → →T

?99K

T ′12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

T ′13 6→Ass 6→Aut 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut → 6→Aut

T ′14 →DT 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut

?99K →T →

T ′15 6→Ass →DT 6→Ass 6→npa 6→Ann 6→Ass 6→Aut 6→npa →T → ?

99K →T →T

T ′16 6→Aut 6→Aut →DT 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut

?99K →T →

T ′17 6→Ass 6→Aut 6→Ass →DT 6→Aut 6→Ass 6→Aut 6→Aut →T 6→Aut 6→Aut → 6→Aut

T ′18 6→Ass 6→npa 6→Ass 6→npa →DT 6→Ass 6→Aut 6→npa →T → → →T →T

T ′19 → 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Ann →DT 6→Aut 6→npa → ?

99K → →T →T

T ′20 6→npa 6→npa → 6→npa 6→npa 6→npa →DT 6→npa →T

?99K → →T →T

T ′21 6→Ass 6→npa 6→Ass → 6→Ann 6→Ass 6→Aut →DT →T → → →T →T


3

120

Na seguinte tabela colocaremos a relação de existência de deformações somente entreas álgebras nilpotentes, pois nas colunas que omitimos só teria o símbolo “6→Rad” o qual

representa que “não existe deformação pelo Fato 4.55 que relaciona as dimensões dos radicais

das álgebras envolvidas”.

T ′22 T ′

23 T ′24 T ′

25 T ′26

T ′22 →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

T ′23 →T →DT

?99K →T →

T ′24 →T 6→Aut →DT → 6→Aut

T ′25 → 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut

T ′26 →T 6→Aut 6→Aut → →DT


3

O diagrama quase-completo das álgebras de Jordan reais de dimensão 3 é dado na

Figura 6.2.

0

1

2

3

4

5

6

9

dim Aut(T ′)

T ′11

T ′12

T ′13

T ′14

T ′15

T ′16

T ′17

T ′18 T ′

19 T ′20

T ′1T ′

2

T ′3T ′

4 T ′5 T ′

6

T ′7T ′

8

T ′9T ′

10

T ′21

T ′22

T ′23

T ′24

T ′25

T ′26

Fig. 6.2: Descrição quase-completa das órbitas de JorR

3

121

6.4 comparação das variedades JorR

n e JorC

n

Nesta seção daremos uma rápida comparação das propriedades obtidas neste capítulopara a variedade das álgebras de Jordan reais com as propriedades obtidas no Capítulo 5

para álgebras de Jordan sobre um corpo algebricamente fechado, especificamente sobreo corpo C dos números complexos.

Tal como enuncia Gerstenhaber no seu trabalho [17] “uma k-álgebra J é rígida se esomente se J ⊗k L é rígida sempre que L é uma extensão de k”, as 8 R-álgebras de

Jordan rígidas de dimensão 3: T ′1, T ′

2, T ′3, T ′

4, T ′5, T ′

7, T ′12, e T ′

20 são também rígidasquando consideradas como álgebras sobre C, pois

T ′1 ⊗R C ≃C T ′

2 ⊗R C ≃C T11

T ′3 ⊗R C ≃C T ′

4 ⊗R C ≃C T ′5 ⊗R C ≃C T5

T ′7 ⊗R C ≃C T19 T ′

12 ⊗R C ≃C T7 T ′20 ⊗R C ≃C T9.

Ou seja que, nos nossos casos em que sempre temos um número finito de órbitas, não

existe nenhuma deformação não trivial de uma R-álgebra de Jordan J se e somente senão existe nenhuma deformação não trivial de J⊗R C. Observe a importância neste caso

da palavra “nenhuma”, pois não é verdade que se J1 não é deformação J então J1 ⊗R C

não é deformação de J⊗R C, veja o seguinte contraexemplo

Exemplo 6.3. Vimos nas Tabelas 6.2 e 6.4 da seção anterior que pelo fato da ação da partesemisimples não ser preservada (Fato 4.60) não existem as seguintes deformações entre

R-álgebras:

T ′2 6→ T ′

6 T ′1 6→ T ′

10 T ′4 6→ T ′

8 T ′5 6→ T ′

11

T ′4 6→ T ′

19 T ′10 6→ T ′

21 T ′10 6→ T ′

17 T ′11 6→ T ′

14.

Mas da Seção 5.3 sabemos que sim existem as deformações das respetivas extensões

das álgebras sobre C:

T11 ≃C T ′2 ⊗R C → T ′

6 ⊗R C ≃C T13 T11 ≃C T ′1 ⊗R C → T ′

10 ⊗R C ≃C T13

T5 ≃C T ′4 ⊗R C → T ′

8 ⊗R C ≃C T10 T5 ≃C T ′5 ⊗R C → T ′

11 ⊗R C ≃C T10

T5 ≃C T ′4 ⊗R C → T ′

19 ⊗R C ≃C T8 T13 ≃C T ′10 ⊗R C → T ′

21 ⊗R C ≃C T15

T13 ≃C T ′10 ⊗R C → T ′

17 ⊗R C ≃C T16 T10 ≃C T ′11 ⊗R C → T ′

14 ⊗R C ≃C T20.

Isso nos diz que J⊗R C pode estar contido no fecho da órbita de J1 ⊗R C sobre a ação

de GL(n, C) mesmo quando JGL(n,R) * JGL(n,R)

1 .

122

A seguinte tabela reúne e compara as informações obtidas nas seções anteriores sobreo número de órbitas e número de componentes irredutíveis das variedades Jorn e JorR

n

em dimensões baixas.

JorR

n JorC

n

n nº órbitas nº componentes nº órbitas nº componentes1 2 1 2 1

2 7 3 6 2

3 26 8 20 5

4 > 109 > 18 73 10

5 - - ≫ 223 > 26

Tabela 6.5: Comparação das variedades JorC

n e JorR

n

123

7 ÁLGEBRAS I SOTÓP ICAS

Neste capítulo as álgebras de Jordan serão consideradas sobre um corpo k arbitrário de

char k 6= 2. Como referências para este capítulo citamos [23, Cap.I.12], [38, Cap.3.2, 4.6 e7] e [31, Cap. IV.2].

Na Seção 7.1 trabalharemos majoritariamente com álgebras de Jordan unitárias e dare-mos as definições e resultados relativos a álgebras isotópicas. Omitiremos as provas dos

resultados, mas elas podem ser facilmente encontradas na literatura.

Se duas álgebras são isomorfas então elas são isotópicas. Para álgebras associativas oupara álgebras sobre corpos algebricamente fechados a noção de isotopia não desempenha

um papel importante pois os conceitos de álgebras isotópicas e isomorfas coincidem.Provaremos na Seção 7.2 que isso não acontece com as álgebras de Jordan, pois o conceito

de isotopia da uma relação de equivalência mais ampla que o conceito de isomorfismo.Faremos isso dando a classificação das álgebras de Jordan reais de dimensão 3 a menos

de isotopias.

7.1 introdução às isotopias

Uma álgebra homótopa de uma álgebra de Jordan é resumidamente uma nova álgebra

de Jordan definida a partir de um elemento dado da álgebra original. A homótopa éunitária se e somente se a álgebra original é unitária e o elemento dado é invertível, em

tal caso a álgebra homótopa é chamada de isótopa.

Definição 7.1. Seja J uma álgebra de Jordan com um elemento identidade 1. Então umelemento a ∈ J é chamado de invertível (ou Jordan invertível) se existe um elemento

b ∈ J tal que

ab = 1 a2b = a.

Se o elemento b existe ele é único e o chamaremos de elemento inverso de a e será

denotado por a−1.

Uma álgebra de Jordan unitária na qual todo elemento não nulo é um elemento inver-

tível é chamada de álgebra de divisão.

125

Em J definimos a produto triplo de Jordan como sendo a identidade

a,b, c = (ab)c+ a(bc) − b(ac). (7.1)

Denotaremos a aplicação linear que leva x 7→ a, x,b por Ua,b e abreviaremos Ua,a=Ua.

Definição 7.2. Um elemento x de uma álgebra de Jordan J é chamado de trivial se

Ux(J) = 0 e x2 = 0.

A identidade (7.1) nos permite definir, para um elemento qualquer a ∈ J, o que cha-maremos de a-multiplicação em J

x ·a y = x,a,y.

Esta multiplicação é claramente bilinear em x e em y, é comutativa e satisfaz a identi-dade de Jordan (1.2). Logo a álgebra J com produto ·a é uma álgebra de Jordan que

denotaremos por (J,a) e chamaremos de a-homótopa de J.Observamos que homotopia é reflexiva pois (J, 1) = J e transitiva já que a b-homótopa

da a-homótopa da álgebra de Jordan J é a a,b,a-homótopa de J. Mas em geral nãoé simétrica, e por tanto não é uma relação de equivalência. Se a não é invertível nãopodemos recuperar J de (J,a) e perdermos informação ao passar à homótopa.

Vamos a assumir agora que J tem um elemento identidade 1 e que a ∈ J é invertível.Então chamaremos (J,a) de a-isótopa1 de J. A álgebra (J,a) é também uma álgebra

unitária com elemento identidade a−1 já quea−1,a, x

= x. É fácil ver que 1 e a−2 são

inversos em (J,a) e também satisfazema,a−2,a

= 1 logo J é a a−2-isótopa de (J,a).

Definição 7.3. Sejam J e J ′ duas álgebras de Jordan. Então uma aplicação α : J → J ′ échamada de homotopia se α é linear e existe b ∈ J ′ tal que α(xy) = α(x),b,α(y). Se J

e J ′ têm elementos identidades e α é um isomorfismo linear do espaço vetorial J sobreJ ′ e b é invertível, então chamaremos α de uma isotopia de J sobre J ′ e diremos que J e

J ′ são isotópicas.

Esta definição de homotopia corresponde à definição de um homomorfismo de J nab-homótopa de J ′ e a definição de isotopia corresponde à definição de um isomorfismo

de J sobre a b-isótopa de J ′.

Proposição 7.4. [38, Prop.7.2.1, p.223] Isotopia é uma relação de equivalência na classe das

álgebras de Jordan unitárias.

Observamos que se J e J ′ são isomorfas, então o isomorfismo entre elas é uma isotopiacom b = 1, logo J e J ′ são isotópicas. A noção de isotopia não desempenha um papel

1 A noção de isótopa é também chamada de mutação por alguns autores.

126

importante na teoria de álgebras associativas pois álgebras associativas isotópicas são iso-morfas. No contexto de álgebras de Jordan não associativas as isotopias fornecem uma

relação de equivalência mais ampla que isomorfismos. Veremos na Seção 7.2 que exis-tem álgebras isotópicas que não são isomorfas. A seguinte proposição é uma condição

suficiente para álgebras isótopas serem isomorfas.

Proposição 7.5. [23, p.60] Se b é um quadrado de um elemento invertível então J e sua b-isótopa

(J,b) são isomorfas.

Segue da proposição anterior que se J é uma álgebra de Jordan de dimensão finitasobre um corpo algebricamente fechado, então toda isótopa de J é isomorfa a J.

O seguinte teorema nos da uma caracterização de quando uma aplicação é uma isoto-pia.

Teorema 7.6. [23, p.59] Uma aplicação α : J → J ′ é uma isotopia se e somente se α é bijetiva

e linear e existe um β ∈ Homk(J, J ′) tal que αUc = Uα(c)β para c ∈ J. Em particular, a

restrição de α ao conjunto dos elementos invertíveis de J é uma bijeção linear deste conjunto sobre

o conjunto de elementos invertíveis de J ′.

Considere o conjunto Γ(J) das isotopias de J sobre si mesma. Claramente Γ(J) é um

grupo de transformações lineares no espaço vetorial subjacente a J a qual chamaremosde grupo de estrutura de J. Pode-se provar que Γ(J) é na realidade um grupo algébrico,

veja [31, p.79]

Teorema 7.7. [23, p.60] J e qualquer isótopa (J,a) têm o mesmo grupo de estrutura.

Se α ∈ Γ(J) tal que α(1) = 1 então α é um isomorfismo de J sobre (J, 1) = J, logo α é

um automorfismo de J. Segue que o grupo de automorfismo Aut(J) de J é o subgrupodo grupo de estrutura Γ(J) que consiste de elementos que tem 1 como ponto fixo, i.e.

Aut(J) = StabΓ(J)(1).

Proposição 7.8. [38, Prop.7.2.1, p.223] Uma isótopa tem exatamente os mesmos elementos trivi-

ais e invertíveis que a álgebra original:

x é trivial em (J,a) ⇔ x é trivial em J;

x é invertível em (J,a) ⇔ x é invertível em J,

com x(−1,a) = U−1a x−1.

Em particular, (J,a) é uma álgebra de divisão se e somente se J é uma álgebra de divisão.

127

7.2 classificação algébrica a menos de isotopias das

álgebras de jordan reais de dimensão 3

Nesta seção classificaremos as álgebras de Jordan reais unitárias de dimensão 3 a menosde isotopias. Veremos que o número de álgebras obtidas é 9 estritamente menor ao

número de álgebras unitárias quando a classificação é feita a menos de isomorfismos.Isto prova que no cenário da álgebras de Jordan o conceito de isotopia da uma relação

de equivalência mais ampla que o conceito de isomorfismo, a diferença do que acontececom as álgebras associativas onde ambos conceitos coincidem.

Se J e J ′ são duas álgebras de Jordan unitárias e isomorfas, então o isomorfismoentre elas é uma isotopia com elemento invertível b = 1, logo J e J ′ são isotópicas.

Então a classificação algébrica feita no Capítulo 3, reduz o nosso problema a buscarisotopias entre as 10 álgebras de Jordan reais unitárias de dimensão 3. Ou seja, dada T ′

uma álgebra de Jordan unitária real de dimensão 3 então T ′ é isotópica a alguma (nãonecessariamente uma) das álgebras T ′

i para i = 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 13, 18.

Agora, segue do fato que álgebras associativas isotópicas são isomorfas que as álgebras

T ′i para i = 1, 2, 9, 13, 18 são duas a duas não isotópicas e também não são isotópicas a

nenhuma das álgebras restantes.

Resta só verificar se as álgebrasT ′3,T ′

4,T ′5,T ′

8,T ′11

são duas a duas isotópicas.

Segue da Proposição 7.5 que se J é uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobreum corpo algebricamente fechado, então toda isótopa de J é isomorfa a J. Por outro lado,

toda isotopia de R-álgebras pode ser estendida a uma isotopia de C-álgebras. Logo, seduas R-álgebras de dimensão finita T e T ′ são isotópicas então as C-álgebras T ⊗R C e

T ′ ⊗R C são isomorfas. Isto implica que as R-álgebras T ′i e T ′

j para i = 3, 4, 5 e j = 8, 11não são isotópicas, restando somente comparar os seguintes pares de álgebras:

T ′3 e T ′

5 T ′3 e T ′

4 T ′4 e T ′

5 T ′8 e T ′

11

Em T ′5 considere o elemento invertível a = e2 + e3 cujo inverso é b = e2

2+ e3

2. Então a

álgebra a-isótopa a T ′5 é dada pelo produto

(

T ′5,a)

e1 e2 e3

e1 e2 + e3 e1 e1

e2 e1 e2 − e3 e2 + e3

e3 e1 e2 + e3 −e2 + e3

128

e é isomorfa a T ′3 com isomorfismo α : T ′

3 →(

T ′5,a)

dado por α(e1) = 12e2 + 1

2e3,α(e2) = − 1√

2e1 e α(e3) = −1

2e2 +

12e3. Logo α e uma isotopia de T ′

3 sobre T ′5 e por tanto

as álgebras T ′3 e T ′

5 são isotópicas e não-isomorfas.

Agora vamos comparar T ′3 (ou, equivalentemente, T ′

5) com T ′4. Observamos primeira-

mente que T ′4 é uma álgebra de divisão, i.e. é uma álgebra unitária cujos elementos não

nulos são todos invertíveis. Seja, então, a = αe1 + βe2 + γe3 um elemento não nulo de

T ′4 com α,β,γ ∈ R e pelo menos um deles é não nulo, então a−1 = αe1

∆ − βe2

∆ − γe3

∆

onde ∆ = α2 +β2 + γ2 6= 0.

A álgebra a-isótopa a T ′4 é dada pelo produto

(

T ′4,a)

e1 e2 e3

e1 αe1 +βe2 + γe3 −βe1 + αe2 αe3 − γe1

e2 −βe1 +αe2 −αe1 −βe2 + γe3 −βe3 − γe2

e3 αe3 − γe1 −βe3 − γe2 −αe1 + βe2 − γe3

e é isomorfa a T ′4 com isomorfismo T : T ′

4 →(

T ′4,a)

dado por

T(e1) =α

∆e1 −

β

∆e2 −

γ

∆e3,

T(e2) =γ

√

(

β2 + γ2)

∆e2 −

β√

(

β2 + γ2)

∆e3,

T(e3) =

√

β2 + γ2

∆e1 +

αβ

∆√

β2 + γ2e2 +

αγ

∆√

β2 + γ2e3,

cujo determinante é 1√∆3

que é não nulo e está bem definido já que a 6= 0. Logo toda

isótopa de T ′4 é isomorfa a T ′

4. Por tanto T ′3 e T ′

5 não são isotópicas a T ′4.

Vejamos que também toda isótopa de T ′11 é isomorfa a T ′

11. Seja a = αe1 + βe2 + γe3

com α,β,γ ∈ R um elemento invertível de T ′11 então α e β não são ambos nulos. O

inverso de a é a−1 = αe1

∆− βe2

∆− γe3

∆onde ∆ = α2 +β2 6= 0.

A álgebra a-isótopa a T ′11 é dada pelo produto

(

T ′11,a

)

e1 e2 e3

e1 αe1 + βe2 + γe3 −βe1 +αe2 αe3

e2 −βe1 +αe2 −αe1 − βe2 + γe3 −βe3

e3 αe3 −βe3 0

129

e é isomorfa a T ′11 com isomorfismo T : T ′

11 →(

T ′11,a

)

dado por

T(e1) =α

∆e1 −

β

∆e2 −

γ

∆e3,

T(e2) =β

∆e1 +

α

∆e2,

T(e3) = e3,

cujo determinante é 1∆ que é não nulo e está bem definido já que ∆ 6= 0. Isto implica que

T ′8 não é isotópica a T ′

11.

Assim, provamos o seguinte resultado:

Teorema 7.9. Seja T ′ uma álgebra de Jordan unitária real de dimensão 3 então T ′ é isotópica a

uma e somente uma das álgebras T ′i para i = 1, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 18.

Na seguinte tabela reunimos e comparamos os resultados obtidos em relação à clas-sificação algébrica das álgebras de Jordan unitárias de dimensão 3, seja a menos de

isomorfismos ou a menos de isotopias, sobre R ou sobre C.

nº de álgebras a menos de: sobre R sobre C

isomorfismos 10 6

isotopias 9 6

Tabela 7.1: Quantidade de álgebras de Jordan unitárias de dimensão 3

130

A PROGRAMAS EM MATHEMATICA

a.1 define o produto de jordan na base canônica

Para o funcionamento dos programas a seguir. Devemos definir o produto de todas as

álgebras de dimensão 2, 3, 4 como no exemplo a seguir:

Álgebra JA42

g[e1,e1,JA42]= e1;

g[e2,e2,JA42]=e2;

g[e3,e3,JA42]= 0;

g[e4,e4,JA42]=0;

g[e1,e2,JA42]=g[e2,e1,JA42]=0;

g[e1,e3,JA42]=g[e3,e1,JA42]=0;

g[e1,e4,JA42]=g[e4,e1,JA42]=0;

g[e2,e3,JA42]=g[e3,e2,JA42]=0;

g[e2,e4,JA42]=g[e4,e2,JA42]=0;

g[e3,e4,JA42]=g[e4,e3,JA42]=0;

Lista de Álgebras

algdim1 = FE1, F01;

algdim2 = BA1, BA2, B3, BASS, BAN1, BAN2;

algdim3 = TA11, TA12, TA13, TA14, TA1, TA2, TA3, TA4,

TA5, TA6, TA7, TA8, TJ1, TJ2, TJ3, TJ4, TJ5, TJ6, TJ7, TJ8;

algdim4 = AN1, AN6, AN7, AN8, AN9, AN10, AN11, AN12, AN13,

JASS3, JA1, JA2, JA13, JA12, KA7, KA8, KA0, KA5, KA9, KA1,

JA32, JA33, JA35, JA36, JA42, JA44, JA51, JA53, JA55, JA56,

R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10, R11, R12, R13, R14,

R15, R16, R17, R18, R19, R20, R21, R22, R23, R24, R25, R26,

R27, R28, R29, R30, R31, R32, R33, R34, R35, R36, R37, SS1,

SS2, N2, N3, N4, N5;

131

Dimensão

A função dimensao[z] retorna a dimensão da álgebra.

dimensao[z_] := Which[MemberQ[algdim1, z], 1,

MemberQ[algdim2, z], 2, MemberQ[algdim3, z], 3,

MemberQ[algdim4, z], 4]

Base Canônica da Álgebra como Espaço Vetorial:

Base Canônica e Mudanças de Representação

Clear[e1, e2, e3, e4];

base = e1, e2, e3, e4;

basecan=e1->1,0,0,0, e2->0,1,0,0,e3->0,0,1,0,

e4->0,0,0,1,0->0,0,0,0;

Ingressando um elemento da forma a·e1+b·e2+c·e3+d·e4, "paracan" retorna um vetor daforma a,b,c,d.

paracan[z_]:=z/.basecan;

basecan3=e1->1,0,0, e2->0,1,0,e3->0,0,1,0->0,0,0;

paracan3[z_]:=z/.basecan3;

basecan2=e1->1,0, e2->0,1,0->0,0;

paracan2[z_]:=z/.basecan2;

Ingressando um vetor da forma a,b,c,d, "decan" retorna um elemento da forma

a · e1 + b · e2 + c · e3 + d · e4.

decan[z_]:=If[z=!=0,Sum[z[[i]]*base[[i]],i,1,4],0];

decan3[z_]:=If[z=!=0,Sum[z[[i]]*base[[i]],i,1,3],0];

decan2[z_]:=If[z=!=0,Sum[z[[i]]*base[[i]],i,1,2],0];

Estendendo o Produto na Álgebra por Linearidade.

Ingressando dois vetores na forma a · e1 + b · e2 + c · e3 + d · e4, "g" retorna o produto

deles na álgebra na forma a,b,c,d.

132

g[v_,w_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*w[[j]]*g[base[[i]],base[[j]],

algebra],i,1,4,j,1,4]];

g3[v_,w_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*w[[j]]*g[base[[i]],base[[j]],

algebra],i,1,3,j,1,3]];g2[v_,w_,algebra_]:=

paracan[Sum[v[[i]]*w[[j]]*g[base[[i]],base[[j]],algebra],

i,1,2,j,1,2]];

Ingressando dois elementos na forma a · e1 +b · e2 + c · e3 +d · e4, "G" retorna o produto

deles na álgebra na forma a·e1+b·e2+c·e3+d·e4.

G[v_,w_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" ||

ToString[w]=="0",0,decan[g[paracan[v],paracan[w],algebra]]];

G3[v_,w_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" ||

ToString[w]=="0",0,decan[g3[paracan[v],paracan[w],algebra]]];

G2[v_,w_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" ||

ToString[w]=="0",0,decan[g2[paracan[v],paracan[w],algebra]]];

a.2 verifica se duas álgebras são isomorfas

TEF[z_]:=z/.e1->f1, e2->f2,e3->f3,e4->f4;

(*Mudança de base: troca ei por fi*)

Relacoes[z_,w_]:=DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[

Table[Simplify[-TEF[G[base[[i]],base[[j]],z]]+

G[TEF[base[[i]]],TEF[base[[j]]],w]],i,1,4,j,1,4],2]]]]

Relacoes3[z_,w_]:=DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[

Table[Simplify[-TEF[G3[base[[i]],base[[j]],z]]+


Relacoes2[z_,w_]:=DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[

Table[Simplify[-TEF[G2[base[[i]],base[[j]],z]]+


Isomorfismos entre duas Álgebras

A função isomorfismo[z,w] retorna o grupo de isomorfismo entre as álgebras z e w. A

função Qisomorfas[z,w] retorna se duas álgebras são isomorfas.

133

isomorfismo[z_,w_]:=Block[alg1=z,alg2=w,

sol=Simplify[DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes[alg1,alg2]==0,a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,

a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44]]];matriz=a11,a12,a13,a14,

a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;

semdup=DeleteDuplicates[Simplify[matriz/.sol]];

grupoOMO=Table[MatrixForm[semdup[[i]]],i,1,Length[semdup]];

grupodeisomorfismo=Select[semdup,Simplify[Det[#]]=!=0&];

Print[Table[MatrixForm[grupodeisomorfismo[[i]]],

i,1,Length[grupodeisomorfismo]]]]

Qisomorfas[z1_,z2_]:=Block[,

sol=Simplify[DeleteDuplicates[Solve[Relacoes[z1,z2]==0,

a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,

a41,a42,a43,a44]]];

matriz=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,

a41,a42,a43,a44;

semdup=DeleteDuplicates[Simplify[matriz/.sol]];

grupoOMO=Table[MatrixForm[semdup[[i]]],i,1,Length[semdup]];

grupodeisomorfismo2=Select[semdup,Simplify[Det[#]]=!=0&];

If[grupodeisomorfismo2===,False,True]]

a.3 verifica se uma álgebra é flexível, alternativa,

associativa.

A função Asso[z] retorna se uma álgebra é associativa. A função AltD[z] retorna se umaálgebra é alternativa à direita. A função AltE[z] retorna se uma álgebra é alternativa à

esquerda. A função Flex[z] retorna se uma álgebra é flexível. A função Jor[z] verifica sez é uma álgebra de Jordan.

um=a1*e1+a2*e2+a3*e3+a4*e4;

dois=b1*e1+b2*e2+b3*e3+b4*e4;

tres=c1*e1+c2*e2+c3*e3+c4*e4;

quatro=d1*e1+d2*e2+d3*e3+d4*e4;

Ass[x_,y_,z_,alg_]:=G[G[x,y,alg],z,alg]-G[x,G[y,z,alg],alg]

AltD[alg_]:=Block[z=alg,bla1=Simplify[Ass[um,um,dois,z]];

134

If[bla1===0,

Print[ToString["É uma álgebra alternativa à direita."]],

Print[ToString["NÃO é uma álgebra alternativa à direita."]]]]

AltE[alg_]:=Block[z=alg,bla2=Simplify[Ass[um,dois,dois,z]];

If[bla2===0,Print[ToString["É uma álgebra alternativa à esquerda."]],

Print[ToString["NÃO é uma álgebra alternativa à esquerda."]]]]

Flex[alg_]:=Block[z=alg,bla3=Simplify[Ass[um,dois,um,z]];

If[bla3===0,Print[ToString["É uma álgebra flexível."]],

Print[ToString["NÃO é uma álgebra flexível."]]]]

Jor[alg_]:=Block[z=alg,bla4=Simplify[Ass[G[um,um,z],dois,um,z]];

If[bla4===0,Print[ToString["É uma álgebra de Jordan."]],

Print[ToString["NÃO é uma álgebra de Jordan."]]]]

Asso[alg_]:=Block[z=alg,bla5=Simplify[Ass[um,dois,tres,z]];

If[bla5===0, Print[ToString["É uma álgebra associativa."]],

Print[ToString["NÃO é uma álgebra associativa."]]]]

LinearJord[alg_]:=Block[z=alg,

bla6=Simplify[Ass[G[um,dois,z],tres,quatro,z]+

Ass[G[um,quatro,z],tres,dois,z]+Ass[G[dois,quatro,z],tres,um,z]];

If[bla6===0,Print[ToString["Satisfaz a linearização

da identidade de Jordan."]],

Print[ToString["NÃO satisfaz a linearização da identidade de Jordan."]]]]

a.4 verifica se é subálgebra.

Verifica se é uma Subálgebra de Dimensão 3:

A função subalgebradim34[z,w] retorna se z é uma subálgebra de dimensão 3 de w.

subalgebradim34[z_,w_]:=Block[alg1=z,alg2=w,

sol1=Simplify[DeleteDuplicates[Solve[Relacoes3[alg1,alg2]==0,

a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44]]];

matriz1=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34;

semdup1=DeleteDuplicates[Simplify[matriz1/.sol1]];

esubalgebra=Select[semdup1,MatrixRank[#]==3&];];

135

Fornece as Subálgebras de Dimensão 3 de uma Álgebra.

A função sub34[z] retorna a lista de todas as subálgebras de dimensão 3 de w.

sub34[z_]:=Table[Block[alg=z,

subalgebradim34[T[[i]],alg];

If[esubalgebra=!=,Print[Style["A álgebra "<>ToString[T[[i]]]<>

" é uma subálgebra de dimensão 3 da álgebra "<>

ToString[alg]<>".","SubSection"]],0]], i,1,Length[T]]

DeleteCases[listasub34[z_]:=Table[Block[alg=z,

subalgebradim34[T[[i]],alg];

If[esubalgebra=!=,T[[i]],0]],i,1,Length[T]],0]

Verifica se é uma Subálgebra de Dimensão 2

A função subalgebradim24[z,w] retorna se z é uma subálgebra de dimensão 2 de w.

subalgebradim24[z_,w_]:=Block[alg1=z,alg2=w,

sol2=Simplify[DeleteDuplicates[Solve[Relacoes2[alg1,alg2]==0,

a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,

a44]]];

matriz2=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24;


esubalgebra2=Select[semdup2,MatrixRank[#]==2&];];

Fornece as Subálgebras de Dimensão 2

A função sub24[z] retorna a lista de todas as subálgebras de dimensão 3 de w.

sub24[z_]:=Table[Block[alg=z,

subalgebradim24[B[[i]],alg];

If[esubalgebra2=!=,

Print[Style["A álgebra "<>ToString[B[[i]]]<>

"é uma subálgebra de dimensão 2 da álgebra

"<>ToString[alg]<>".","SubSection"]],0]],i,1,Length[B]]

136

a.5 calcula a dimensão do centro de uma álgebra

A função centro[z] retorna o centro de uma álgebra..

centro[alg_]:=4-MatrixRank[Table[paracan[Simplify[G[um,x[[i]],alg]]],

i,1,4]]

a.6 calcula a dimensão das potências

A função Potencia2[z] retorna z2.A função Potencia3[z] retorna z3. A função Potencia4[z]

retorna z4.

x=e1,e2,e3,e4;

produto2[u1_,u2_,w_]:=paracan[G[u1,u2,w]];

produto3[u1_,u2_,u3_,w_]:=paracan[G[G[u1,u2,w],u3,w]],

paracan[G[u3,G[u1,u2,w],w]];

produto4[u1_,u2_,u3_,u4_,w_]:=

paracan[G[G[G[u1,u2,w],u3,w],u4,w]],

paracan[G[G[u3,G[u1,u2,w],w],u4,w]], paracan[G[u4,G[G[u1,u2,w],u3,w],w]],

paracan[G[u4,G[u3,G[u1,u2,w],w],w]], paracan[G[G[u1,u2,w],G[u3,u4,w],w]]

Potencia2[w_]:=MatrixRank[Flatten[Table[Simplify[

produto2[x[[i]],x[[j]],w]], i,1,4,j,1,4],1]];


produto3[x[[i]],x[[j]],x[[k]],w]],

i,1,4,j,1,4,k,1,4],3]];


produto4[x[[i]],x[[j]],x[[k]],x[[l]],w]],

i,1,4,j,1,4,k,1,4,l,1,4],4]];

a.7 calcula grupos de cohomologia

Verifica se o Segundo Grupo de Cohomologia é Nulo

a=a1*e1+a2*e2+a3*e3+a4*e4;

137

b=b1*e1+b2*e2+b3*e3+b4*e4;

c=c1*e1+c2*e2+c3*e3+c4*e4;

d=d1*e1+d2*e2+d3*e3+d4*e4;

Defino h (2-cociclo) e U (aplicação linear que dá a equivalência a 0) genericamente:

g[e1,e1,H]=a111*e1+a112*e2+a113*e3+a114*e4;

g[e2,e2,H]=a221*e1+a222*e2+a223*e3+a224*e4;

g[e3,e3,H]=a331*e1+a332*e2+a333*e3+a334*e4;

g[e4,e4,H]=a441*e1+a442*e2+a443*e3+a444*e4;

g[e1,e2,H]=g[e2,e1,H]=a121*e1+a122*e2+a123*e3+a124*e4;






u[e1,J]=u11*e1+u12*e2+u13*e3+u14*e4;

u[e2,J]=u21*e1+u22*e2+u23*e3+u24*e4;

u[e3,J]=u31*e1+u32*e2+u33*e3+u34*e4;

u[e4,J]=u41*e1+u42*e2+u43*e3+u44*e4;

u[v_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*u[base[[i]],

algebra],i,1,4]];

U[v_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" ,0,decan[u[paracan[v],algebra]]];

Condições linearizadas para h ser um 2-cociclo de Jordan, calculadas na base h(ei, ej).

As condições para h ser um 2-cociclo de Jordan são:

h(a,b) = h(b,a)

(h(a,a)b)a+ h(a2b,a) + h(a2,b)a = a2h(b,a) + h(a,a)(ba) + h(a2,ba)

A linearização da última fica:

(h(x,y)b)z+(h(x, z)b)y+(h(y, z)b)x+h((xy)b, z)+h((xz)b,y)+h((yz)b, x)+h(xy,b)z+

h(xz,b)y+h(yz,b)x = (xy)h(b, z)+ (xz)h(b,y)+ (yz)h(b, x)+h(x,y)(bz)+h(x, z)(by)+

h(y, z)(bx) + h(xy,bz) + h(xz,by) + h(yz,bx)

Relacoes5[z_]:=Simplify[DeleteDuplicates[Flatten[

paracan[Flatten[Table[Simplify[G[G[G[base[[i]],base[[j]],H],

base[[l]],z],base[[m]],z]+

G[G[G[base[[i]],base[[m]],H],base[[l]],z],base[[j]],z]+

G[G[G[base[[j]],base[[m]],H],base[[l]],z],base[[i]],z]+

138

G[G[G[base[[i]],base[[j]],z],base[[l]],z],base[[m]],H]+

G[G[G[base[[i]],base[[m]],z],base[[l]],z],base[[j]],H]+

G[G[G[base[[j]],base[[m]],z],base[[l]],z],base[[i]],H]+

G[G[G[base[[i]],base[[j]],z],base[[l]],H],base[[m]],z]+

G[G[G[base[[i]],base[[m]],z],base[[l]],H],base[[j]],z]+

G[G[G[base[[j]],base[[m]],z],base[[l]],H],base[[i]],z]-

G[G[base[[i]],base[[j]],z],G[base[[l]],base[[m]],H],z]-

G[G[base[[i]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[j]],H],z]-

G[G[base[[j]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[i]],H],z]-

G[G[base[[i]],base[[j]],H],G[base[[l]],base[[m]],z],z]-

G[G[base[[i]],base[[m]],H],G[base[[l]],base[[j]],z],z]-

G[G[base[[j]],base[[m]],H],G[base[[l]],base[[i]],z],z]-

G[G[base[[i]],base[[j]],z],G[base[[l]],base[[m]],z],H]-

G[G[base[[i]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[j]],z],H]-

G[G[base[[j]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[i]],z],H]],

i,1,4,j,1,4,m,1,4,l,1,4],2]]]]];

Resolve as condições para h ser um 2-cociclo nas incógnitas akij

Relacoes6[z_]:=Block[alg=z,

sol3=Simplify[DeleteDuplicates[Solve[Relacoes5[alg]==0,

a111,a112,a113,a114,a121,a122,a123,a124,a131,a132,a133,a134,a141,

a142,a143,a144,a211,a212,a213,a214,a221,a222,a223,a224,a231,a232

,a233,a234,a241,a242,a243,a244,a311,a312,a313,a314,a321,a322,a323,

a324,a331,a332,a333,a334,a341,a342,a343,a344,a411,a412,a413,a414,

a421,a422,a423,a424,a431,a432,a433,a434,a441,a442,a443,a444]]];

matriz3=Simplify[Table[G[base[[i]],base[[j]],H],i,1,4,j,1,4]];


grupoOMO3=Flatten[Table[semdup3[[i]],i,1,Length[semdup3]],1];

Define h com as condições obtidas, chama ela de H1

g[e1,e1,H1]= grupoOMO3[[1]][[1]];

g[e2,e2,H1]= grupoOMO3[[2]][[2]];

g[e3,e3,H1]=grupoOMO3[[3]][[3]];

g[e4,e4,H1]=grupoOMO3[[4]][[4]];

g[e1,e2,H1]=g[e2,e1,H1]=grupoOMO3[[1]][[2]];



139




Busca a aplicação linear U:J->J que dá a equivalência. Ela tem que satisfazer as condiçõesde equivalência na base, i.e.: h(a,b) = U(ab) − aU(b) − bU(a)

Simplify[DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[Table[

Simplify[+U[G[base[[i]],base[[j]],z],J]-G[base[[i]],U[base[[j]],J],z]-

G[U[base[[i]],J],base[[j]],z]-G[base[[i]],base[[j]],H1]],

i,1,4,j,1,4],2]]]]]];

Verifica se o sistema das condições de equivalência têm ou não solução nas incógnitasuij, no caso que tenha solução, o segundo grupo de cohomologia da álgebra é nulo e por

tanto a álgebra é rígida.

Cohomologia[z_]:=Block[alg1=z,sol4=Simplify[DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes6[alg1]==0,

u11,u12,u13,u14,u21,u22,u23,u24,u31,u32,u33,u34,u41,u42,u43,u44]]];

If[sol4===,Print[ToString["O segundo grupo de

cohomologia H^2("<>ToString[alg1]<>",

"<>ToString[alg1]<>") é não nulo."]],

Print[ToString["É uma álgebra rígida."]]]]

Verifica se o Segundo Grupo de Cohomologia na Variedade das Álgebras de Jordan Associa-

tivas é Nulo.

Defino ha (2-cociclo de Jordan "associativo") e Ua (aplicação linear que dá a equivalênciaa 0) genericamente:

l=l1*e1+l2*e2+l3*e3+l4*e4;

m=m1*e1+m2*e2+m3*e3+m4*e4;

n=n1*e1+n2*e2+n3*e3+n4*e4;

g[e1,e1,HA]=b111*e1+b112*e2+b113*e3+b114*e4;

g[e2,e2,HA]=b221*e1+b222*e2+b223*e3+b224*e4;

g[e3,e3,HA]=b331*e1+b332*e2+b333*e3+b334*e4;

g[e4,e4,HA]=b441*e1+b442*e2+b443*e3+b444*e4;

g[e1,e2,HA]=g[e2,e1,HA]=b121*e1+b122*e2+b123*e3+b124*e4;


140





u[e1,JA]=v11*e1+v12*e2+v13*e3+v14*e4;

u[e2,JA]=v21*e1+v22*e2+v23*e3+v24*e4;

u[e3,JA]=v31*e1+v32*e2+v33*e3+v34*e4;

u[e4,JA]=v41*e1+v42*e2+v43*e3+v44*e4;

Condições para ha ser um 2-cociclo de Jordan associativo, calculadas na base ha(e1,ej).As condições para h ser um 2-cociclo de Jordan associativo são:

h(a,b) = h(b,a)

h(a,b)c+ h(ab, c) = ah(b, c) + h(a,bc)

Relacoes11[z_]:=Simplify[DeleteDuplicates[Flatten[paracan[

Flatten[Table[Simplify[G[G[base[[i]],base[[j]],HA],base[[k]],z]+

G[G[base[[i]],base[[j]],z],base[[k]],HA]-G[base[[i]],G[base[[j]],

base[[k]],HA],z]-

G[base[[i]],G[base[[j]],base[[k]],z],HA]],i,1,4,j,1,4,

k,1,4],2]]]]];

Resolve as condições para ha ser um 2-cociclo de Jordan associativo nas incógnitas bkij

Relacoes12[z_]:=Block[alg=z,sol11=Simplify[DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes11[alg]==0,b111,b112,b113,b114,b121,b122,b123,

b124,b131,b132,b133,b134,b141,b142,b143,b144,b211,

b212,b213,b214,b221,b222,b223,b224,b231,b232,b233,

b234,b241,b242,b243,b244,b311,b312,b313,b314,b321,

b322,b323,b324,b331,b332,b333,b334,b341,b342,b343,

b344,b411,b412,b413,b414,b421,b422,b423,b424,b431,

b432,b433,b434,b441,b442,b443,b444]]];

matriz11=Simplify[Table[G[base[[i]],base[[j]],HA],i,1,4,j,1,4]];


grupoOMO11=Flatten[Table[semdup11[[i]],i,1,Length[semdup11]],1];

141

Define ha com as condições obtidas,chama ela de HA1

g[e1,e1,HA1]= grupoOMO11[[1]][[1]];

g[e2,e2,HA1]= grupoOMO11[[2]][[2]];

g[e3,e3,HA1]=grupoOMO11[[3]][[3]];

g[e4,e4,HA1]=grupoOMO11[[4]][[4]];

g[e1,e2,HA1]=g[e2,e1,HA1]=grupoOMO11[[1]][[2]];






Busca a aplicação linear Ua : A → Aque dá a

equivalência. Ela tem que satisfazer as condições de equivalência na base, i.e.:

ha(a,b) = Ua(ab) − aUa(b) − bUa(a)

Simplify[DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[Table[

Simplify[+U[G[base[[i]],base[[j]],z],JA]-G[base[[i]],

U[base[[j]],JA],z]-G[U[base[[i]],JA],base[[j]],z]-

G[base[[i]],base[[j]],HA1]],i,1,4,j,1,4],2]]]]]];

Busca a aplicação linearU : J → J que dá a equivalência. Ela tem que satisfazer ascondições de equivalência na base,i.e.:

h(a,b) = U(ab) − aU(b) − bU(a)

Verifica se o sistema das condições de equivalência têm ou não solução nas incógnitasvij, no caso que tenha solução, o segundo grupo de cohomologia da álgebra associativo

é nulo e por tanto a álgebra é rígida na variedade das álgebras de Jordan Associativas

CohomologiaA[z_]:=Block[alg1=z,sol12=Simplify[DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes12[alg1]==0,v11,v12,v13,v14,v21,v22,v23,v24,

v31,v32,v33,v34,v41,v42,v43,v44]]];

If[sol12===,Print[ToString["O segundo grupo de cohomologia H^2("

<>ToString[alg1]<>","<>ToString[alg1]<>") na variedade das álgebras

de Jordan ASSOCIATIVAS é não nulo."]],

142

Print[ToString[ToString[alg1]<>

é uma álgebra rígida na variedade

das álgebras de Jordan ASSOCIATIVAS."]]]]

a.8 calcula a dimensão do grupo de automorfismo

Condições para ser Automorfismo

Relacoes7[z_]:=Simplify[DeleteDuplicates[Flatten[

paracan[Flatten[Table[Simplify[-TEF[G[base[[i]],base[[j]],z]]+

G[TEF[base[[i]]],TEF[base[[j]]],z]],i,1,4,j,1,4],2]]]]]

Testemono[x_]:=If[Length[Variables[x]]==1,

If[Length[MonomialList[x]]==1,Variables[x][[1]],0],0]

nul[z_]:=DeleteCases[DeleteDuplicates[Table[

Testemono[Relacoes7[z][[i]]],i,1,Length[Relacoes7[z]]]],0]

anul[z_]:=DeleteDuplicates[Table[Testemono[Relacoes7[z][[i]]]->0,

i,1,Length[Relacoes7[z]]]]

Relacoes8[z_]:=Union[Relacoes7[z]/.anul[z],nul[z]]

Calcula a Dimensão do Grupo de Automorfismos:

dim[z_]:=Block[alg=z,sol5=DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes7[alg]==0]];

matriz5=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,

a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;

solnot0=Select[sol5,Det[matriz5/.#]=!=0&];

dimensao=Max[Table[16-Length[solnot0[[i]]],

i,1,Length[solnot0]]];

dimensaoerrada=Max[Table[16-Length[sol5[[i]]],

i,1,Length[sol5]]];dimensao];

dim2[z_]:=Block[alg=z,sol7=DeleteDuplicates[

Simplify[Solve[Relacoes8[alg]==0]]];

matriz7=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,

a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;

143

solnot02=Select[sol7,Simplify[Det[matriz7/.#]]=!=0&];

dimensao2=Max[Table[16-Length[solnot02[[i]]],

i,1,Length[solnot02]]];

dimensaoerrada2=Max[Table[16-Length[sol7[[i]]],

i,1,Length[sol7]]];dimensao2];

a.9 calcula o grupo de automorfismos:

grupo[z_]:=If[z===KA8,

Block[alg=z,sol6=Simplify[DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes7[alg]==0]]];

matriz6=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,

a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;


grupoOMO6=Table[MatrixForm[semdup6[[i]]],

i,1,Length[semdup6]];

grupodeautomorfismo=Select[semdup6,Simplify[Det[#]]=!=0&];

Print[Table[MatrixForm[grupodeautomorfismo[[i]]],

i,1,Length[grupodeautomorfismo]]]],

Block[alg=z,sol6=Simplify[DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes8[alg]==0]]];

matriz6=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,

a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;


grupoOMO6=Table[MatrixForm[semdup6[[i]]],

i,1,Length[semdup6]];

grupodeautomorfismo=Select[semdup6,Simplify[Det[#]]=!=0&];

Print[Table[MatrixForm[grupodeautomorfismo[[i]]],

i,1,Length[grupodeautomorfismo]]]]]

Calcula a Dimensão do Grupo de Automorfismos Através de Álgebras de Lie

Relacoes10[z_]:=DeleteDuplicates[Flatten[paracan[

Flatten[

Table[-TEF[G[base[[i]],base[[j]],z]]+

G[TEF[base[[i]]],TEF[base[[j]]],z],

144

i,1,4,j,1,4],2]]]]

matriz7=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,

a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;

Variaveis=Flatten[matriz7];

Subs=Table[Variaveis[[i]]->ToExpression[ ToString[Variaveis[[i]]]<>"[t]"],

i,1,Length[Variaveis]];

Subzero=Flatten[Table[ ToExpression["a"<>ToString[i]<>

ToString[j]<>"[0]"]->

KroneckerDelta[i,j],i,1,4,j,1,4]];

Subrev=Table[ToExpression[ ToString[Variaveis[[i]]]<>"’[0]"]->Variaveis[[i]],

i,1,Length[Variaveis]];

Relacoest[z_]:=Relacoes10[z]/.Subs

Relacoesderiv[z_]:=D[Relacoest[z],t]/.t->0/.Subzero/.Subrev

limpo[z_]:=Select[DeleteDuplicates[Relacoesderiv[z]],#=!=0&]

matrizsist[z_]:=Table[Coefficient[limpo[z][[i]],

Variaveis[[j]]],

i,1,Length[limpo[z]],j,1,16]

diml[z_]:=If[matrizsist[z]=!=,16-MatrixRank[matrizsist[z]],16]

a.10 verifica se uma álgebra tem unidade

Unidade[alg_]:=Block[vet=a1,a2,a3,a4,

unidade:=Solve[Table[paracan[G[decan[vet],

base[[i]],alg]]-

paracan[base[[i]]]==0,i,1,4],vet],

If[unidade===,

Print["A álgebra não possui unidades."];,

Print["É uma álgebra Unitária.

Unidades:"<>ToString[decan[

Flatten[vet/.unidade,1]]]];]];

a.11 realiza a soma direta de álgebras de jordan;

mais[x_,y_]:=ToString[x]<>""<>ToString[y];

Soma31[x_,y_]:=If[(dimensao[x]==3)

145

&&(dimensao[y]==1),

g[e1,e1,mais[x,y]]=g[e1,e1,x];



g[e4,e4,mais[x,y]]=Replace[g[e1,e1,y],e1->e4];







g[e1,e4,mais[x,y]]=g[e4,e1,mais[x,y]]=0;

g[e2,e4,mais[x,y]]=g[e4,e2,mais[x,y]]=0;

g[e3,e4,mais[x,y]]=g[e4,e3,mais[x,y]]=0;]

Soma22[x_,y_]:=If[(dimensao[x]==2)&&(dimensao[y]==2),



g[e3,e3,mais[x,y]]=Replace[g[e1,e1,y],e1->e3,e2->e4];




g[e1,e3,mais[x,y]]=0;









g[e4,e3,mais[x,y]]=Replace[g[e2,e1,y],e1->e3,e2->e4];]

algebras31=Flatten[Table[mais[algdim3[[i]],algdim1[[j]]],

i,1,Length[algdim3],j,1,Length[algdim1]]];

geraalgebras31=Flatten[Table[Soma31[algdim3[[i]],algdim1[[j]]],


algebras22=Flatten[Table[mais[algdim2[[i]],algdim2[[j]]],


geraalgebras22=Flatten[Table[Soma22[algdim2[[i]],algdim2[[j]]],

146


algebradim4soma=Union[algebras31,algebras22];

a.12 decompõe uma álgebra em soma direta

Decomp2[z_]:=DeleteCases[Table[If[

Qisomorfas[z,algebradim4soma[[i]]],algebradim4soma[[i]],0],

i,1,Length[algebradim4soma]],0]

Decomp[z_]:=Block[dec=Decomp2[z], If[dec===,

Print["A álgebra é indecomponível"],

Print["A álgebra se decompoe como:" ]

Print[dec]]]

a.13 exibe o produto da álgebra na forma matricial

Exibir[z_]:=Which[MemberQ[Union[algdim4,algebradim4soma],z],

Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,4,j,1,4],

MemberQ[algdim3,z],Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,3,j,1,3],

MemberQ[algdim2,z],Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,2,j,1,2],

MemberQ[algdim1,z],Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,1,j,1,1]]

//MatrixForm

a.14 exibe resumo das propriedades da álgebra

Todo[z_]:=Block[alg=z,

Print[Style["Álgebra "<>ToString[alg],"Section"]];

Print[Style["O produto na álgebra é "produtomatricial[alg],"SubSection"]];

(*Jor[alg];

LinearJord[alg];*)

Asso[alg];

AltD[alg];

AltE[alg];

Flex[alg];

Unidade[alg];

147

Print[Style["A dimensão do grupo de automorfismos(forma linear)é

"<>ToString[diml[alg]]<>".","SubSection"]];

Print[Style["A dimensão do centro da álgebra é

"<>ToString[centro[alg]]<>".","SubSection"]];

Print[Style["A dimensão de "<>ToString[alg]<>"^2 é

"<>ToString[Potencia2[alg]]<>".","SubSection"]];





Cohomologia[alg];

If[bla5===0,CohomologiaA[alg];,0];

Decomp[alg];

sub34[alg];

sub24[alg];]

Todo2[z_]:=Block[alg=z,

Print[Style["Álgebra "<>ToString[alg],"Section"]];

Print[Style["O produto na álgebra é "produtomatricial[alg],"SubSection"]];

(*Jor[alg];

LinearJord[alg];*)

Asso[alg];

AltD[alg];

AltE[alg];

Flex[alg];

Unidade[alg];

Print[Style["A dimensão do grupo de automorfismos é

"<>ToString[dim2[alg]]<>".","SubSection"]];

Print[Style["A dimensão do grupo de automorfismos (forma linear) é

"<>ToString[diml[alg]]<>".","SubSection"]];

Print[Style["O grupo de automorfismos é ","SubSection"]];grupo[alg]

Print[Style["A dimensão do centro da álgebra é

"<>ToString[centro[alg]]<>".","SubSection"]];







148

Cohomologia[alg];

If[bla5===0,CohomologiaA[alg];,0];

Decomp[alg];

sub34[alg];

sub24[alg];]

149

B I NFORMAÇÕES SOBRE AS ÁLGEBRAS DE JOR-

DAN DE D IMENSÃO 4

Todas as álgebras desta seção serão apresentadas na base e1, e2, e3, e4.

álgebra J1

O produto na álgebra é:

J1 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2 0e42

e3 0 0 e3 0

e4e42

e42 0 e1 + e2

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidades: e1 + e2 + e3. A dimensão dogrupo de automorfismos é 1. O grupo de automorfismos é:

1+a44

21−a44

2 0

√

1−a244

21−a44

21+a44

2 0 − 12

√

1−a244

0 0 1 0

−

√

1−a244

√

1−a244 0 a44

,

1+a44

21−a44

2 0 − 12

√

1−a244

1−a44

21+a44

2 0

√

1−a244

2

0 0 1 0√

1−a244 −

√

1−a244 0 a44

,

1−a44

21+a44

2 0 − 12

√

1−a244

1+a44

21−a44

2 0

√

1−a244

2

0 0 1 0

−

√

1−a244

√

1−a244 0 a44

,

1−a44

21+a44

2 0

√

1−a244

21+a44

21−a44

2 0 − 12

√

1−a244

0 0 1 0√

1−a244 −

√

1−a244 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 −1

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 −1

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

151

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decompõecomo: T5⊕ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1⊕ke2⊕ke3, B1⊕ke2, T5, ke1⊕kn1,

B1 ,ke1 ⊕ ke2,

álgebra J2


J2 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32

e42

e2 0 e2e32

e42

e3e32

e32 0

e1+e22

e4e42

e42

e1+e22 0

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidades: e1 + e2. A dimensão do grupode automorfismos é 3. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida.A álgebra é indecomponível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T5, T10, B1, B2, ke1 ⊕ ke2.

álgebra J3


J3 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 e3 0

e4 0 0 0 e4

É uma álgebra associativa, unitária, com unidades: e1 + e2 + e3 + e4, a dimensão do

grupo de automorfismos é 0, a dimensão do aniquilador da álgebra é 0 e é uma álgebrarígida. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke1 ⊕ ke2, ke1 ⊕ ke2 ⊕ e3 ⊕ ke.

Subálgebras de dimensão: 2 e 3 : ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, ke1 ⊕ ke2.

álgebra J4


J4 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 e3 e4

e4 0 0 e4 0

É uma álgebra associativa, unitária, com unidades: e1 + e2 + e3. A dimensão do grupo

de automorfismos é 1. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe

152

como: BA2⊕ ke1 ⊕ ke2, B1 ⊕ ke2 ⊕ ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ke3, B1 ⊕ ke2, ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, ke1 ⊕ kn1, B1 ke1 ⊕ ke2.

álgebra J5


J5 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 e3 0

e4 0 0 0 0

É uma álgebra associativa, não possui unidades. A dimensão do grupo de automorfis-

mos é 1.

O grupo de automorfismos é:

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 a44

,

0 0 1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕ kn1 ⊕ke1 ⊕ ke2, ke1 ⊕ ke2 ⊕ e3 ⊕ kn, ke1 ⊕ke2 ⊕ kn1 ⊕ ke. Subálgebras de dimensão 2 e

3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, ke1 ⊕ kn1, ke1 ⊕ ke2.

álgebra J6


J6 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 e3 0

e4e42 0 0 0

É uma álgebra não associativa, não possui unidades. A dimensão do grupo de automor-

fismos é 2. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebrase decompõe como: B2,⊕ke1 ⊕ ke2, B2 ⊕ ke2 ⊕ ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3:

ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, B2 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1 ,B2 ke1 ⊕ ke2.

153

álgebra J7


J7 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2 0e42

e3 0 0 e3 0

e4e42

e42 0 0

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidades: e1+ e2 + e3. A dimensão dogrupo de automorfismos é 2. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra sedecompõe como: T10 ⊕ ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, B1 ⊕ ke2,

T10 B2 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1, B1, B2, ke1 ⊕ ke2.

álgebra J8


J8 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32 0

e2 0 e2e32 0

e3e32

e32 e1 + e2 0

e4 0 0 0 0


fismos é 2.O grupo de automorfismos é:

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 01−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 0

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 0

0 0 0 a44

,

1+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 0

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 0√

1−a233 −

√

1−a233 a33 0

0 0 0 a44

,

1−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 0

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 0

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 0

0 0 0 a44

,

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 01+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 0

√

1−a233 −

√

1−a233 a33 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 a44

,

154

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T5 ⊕ kn.

Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1⊕ke2⊕kn1, B1⊕kn2, T5, ke1⊕kn1, B1, ke1⊕ke2,kn1 ⊕ kn2.

álgebra J9


J9 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32

e42

e2 0 e2e32

e42

e3e32

e32 e1 + e2 0

e4e42

e42 0 0

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidades: e1 + e2. A dimensão do grupo

de automorfismos é 4.


1−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 −a24

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 a24

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 −a24

1+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 a24

√

1−a233 −

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 −a24

1−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 a24

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 −a24

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 a24√

1−a233 −

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 0

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 0

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 01+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 0

√

1−a233 −

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 01−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 0

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

155

1+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 0

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 0√

1−a233 −

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

0 1 0 −a24

1 0 0 a24

0 0 −1 a34

0 0 0 a44

,

0 1 0 −a24

1 0 0 a24

0 0 1 a34

0 0 0 a44

,

1 0 0 −a24

0 1 0 a24

0 0 −1 a34

0 0 0 a44

,

1 0 0 −a24

0 1 0 a24

0 0 1 a34

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 −1 a34

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 a34

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 a34

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 a34

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras de

dimensão 2 e 3: T2, T5,T10, B1, B2, ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕ kn2.

álgebra J10


J10 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32 0

e2 0 e2 0 0

e3e32 0 0 0

e4 0 0 0 0


fismos é 3.


1 0 a13 0

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B2, ⊕ke1 ⊕kn1 , B2⊕ke2⊕kn, B2⊕kn2⊕ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1⊕ke2⊕kn1,

ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, B2 ⊕ ke2, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕ kn2.

156

álgebra J11


J11 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32 0

e2 0 e2e32 0

e3e32

e32 0 0

e4 0 0 0 0



0 1 −a23 0

1 0 a23 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

,

1 0 −a23 0

0 1 a23 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T10 ⊕ kn.Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1 B1 ⊕ kn2 T10 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B1

B2 ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕ kn2

álgebra J12


J12 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32

e42

e2 0 e2 0 0

e3e32 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 6. A dimensão do grupo de automorfismos é 6.O grupo de automorfismos é:

1 0 a13 a14

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decompõecomo: T7 ⊕ ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕kn2 T7 B2 ⊕ ke2 ke1 ⊕ kn1

B2 ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕ kn2

157

álgebra J13


J13 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2e32 0

e3 0e32 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 4.


0 1 a13 0

1 0 0 a24

0 0 0 a34

0 0 a43 0

,

1 0 0 a14

0 1 a23 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decompõe

como: B2,⊕B2. Subálgebras de dimensão: 2 e 3: T7 B2 ⊕ ke2 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B2

ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕ kn2

álgebra J14


J14 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3e42

e2 0 e2 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 3.


1 0 0 a14

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: T6 ⊕ ke.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2 ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 T6 B2 ⊕ ke2 ke1 ⊕ kn1 B1

B2 ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕ kn2

158

álgebra J15


J15 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2 e3 0

e3 0 e3 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 3.


1 0 0 a14

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: B2,⊕BA2.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2 B1 ⊕ kn2 T6 B2 ⊕ke2 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕kn1 B1

B2 ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕ kn2

álgebra J16


J16 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32

e42

e2 0 e2e32 0

e3e32

e32 0 0

e4e42 0 0 0

É uma álgebra não associativa, não possui unidades. A dimensão do grupo de automor-fismos é 4.


1 0 −a23 a14

0 1 a23 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 a14

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra é indecom-ponível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T6 T7 T10 B2 ⊕ ke2 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B1 B2


159

álgebra J17


J17 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32 e4

e2 0 e2e32 0

e3e32

e32 0 0

e4 e4 0 0 0

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidades: e1 + e2. A dimensão do grupode automorfismos é 3.


1 0 −a23 0

0 1 a23 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2 T2 T6 T10 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B1 B2 ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕ kn2

álgebra J18


J18 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32

e42

e2 0 e2e32

e42

e3e32

e32 0 0

e4e42

e42 0 0

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidades: e1 + e2. A dimensão do grupo

de automorfismos é 6. A dimensão do grupo de automorfismos é 6.O grupo de automorfismos é:

0 1 −a23 −a24

1 0 a23 a24

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

1 0 −a23 −a24

0 1 a23 a24

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

0 1 0 −a24

1 0 0 a24

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

1 0 0 −a24

0 1 0 a24

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

0 1 −a23 0

1 0 a23 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

1 0 −a23 0

0 1 a23 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

160

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: T2 T7 T10 B1 B2 ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕ kn2

álgebra J19


J19 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 0

É uma álgebra associativa, não possui unidades. A dimensão do grupo de automorfis-mos é 4.


0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕kn1,⊕ke1⊕kn1, , kn1⊕kn2⊕ke1⊕ke2, ke1⊕ke2⊕kn1⊕kn, ke1⊕kn1⊕kn2⊕ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1 ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1


álgebra J20


J20 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 e4

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 0 0

e4 e4 0 0 0



1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

161

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕kn1,⊕BA2, B1⊕ke2⊕kn, B1⊕kn2⊕ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ke2

ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1 B1 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B1 ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕ kn2

álgebra J21


J21 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3 e4

e2 0 e2 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 e4 0 0 0

É uma álgebra associativa, unitária, com unidades: e1 + e2. A dimensão do grupo de

automorfismos é 4.


1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: T2 ⊕ ke.

Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2 T2 ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B1 ke1 ⊕ ke2,kn1 ⊕ kn2

álgebra J22


J22 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3 0

e2 0 e2 0 e4

e3 e3 0 0 0

e4 0 e4 0 0

É uma álgebra associativa, unitária, com unidades: e1 + e2. A dimensão do grupo deautomorfismos é 2.


0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 a34

0 0 a43 0

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

162

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: BA2⊕ BA2.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2 T2 B1 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B1 ke1 ⊕ ke2, kn1 ⊕kn2

álgebra J23


J23 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e3



1 0 a214 a14

0 1 0 0

0 0 a244 0

0 0 2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44


Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1 B3 ⊕ ke1

T8 ke1 ⊕ kn1 ke1 ⊕ ke2, B3

álgebra J24


J24 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3e42

e2 0 e2 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 e3

. Subálgebras de dimensão 2 e 3: É uma álgebra

não associativa, não possui unidades. A dimensão do grupo de automorfismos é 2.O grupo de automorfismos é:

1 0 −a214 a14

0 1 0 0

0 0 a244 0

0 0 −2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decompõe

como: T9 ⊕ ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2 B3 ⊕ ke1

163

T9 ke1 ⊕ kn1 B1 ke1 ⊕ ke2, B3

álgebra J25


J25 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3e42

e2 0 e2 0e42

e3 e3 0 0 0

e4e42

e42 0 e3

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidades: e1 + e2. A dimensão do grupode automorfismos é 2.


1 0 −a224 −a24

0 1 a224 a24

0 0 a244 0

0 0 2a24a44 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44


dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2 T1

T8 T9 ke1 ⊕ kn1 B1 ke1 ⊕ ke2, B3

álgebra J26


J26 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 e4 0

e4 0 0 0 0



0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 a33 a34

0 0 0 a233

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 0 a233

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B3 ⊕ ke1 ⊕ke2, B3 ⊕ ke1 ⊕ ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1 B3 ⊕ ke1 ke1 ⊕kn1 ke1 ⊕ ke2, B3

164

álgebra J27


J27 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3 e4

e2 0 e2 0 0

e3 e3 0 e4 0

e4 e4 0 0 0

É uma álgebra associativa, unitária, com unidades: e1 + e2. A dimensão do grupo deautomorfismos é 2.


1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 0 a233

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: T1 ⊕ ke.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2 T1

B3 ⊕ ke1 ke1 ⊕ kn1 B1 ke1 ⊕ ke2, B3

álgebra J28


J28 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 6. A dimensão do grupo de automorfismos é 6.


1 0 0 a14

0 a22 a23 0

0 a32 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: B2,⊕kn1 ⊕kn2, B2⊕kn2⊕kn. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1⊕kn1⊕kn2 kn1⊕kn2⊕kn3

B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B2 kn1 ⊕ kn2

165

álgebra J29


J29 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 0e42

e2 e2 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 4.


1 0 0 a14

0 a22 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44


Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 T6 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B1

B2 kn1 ⊕ kn2

álgebra J30


J30 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 0

e42

e2e22 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 0




1 a12 0 a14

0 a22 0 a24

0 0 a33 0

0 a42 0 a44


Subálgebras de dimensão 2 e 3: kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 T7 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B2 kn1 ⊕ kn2

166

álgebra J31


J31 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3e42

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 0




1 0 0 a14

0 a22 a23 0

0 a32 a33 0

0 0 0 a44


dimensão 2 e 3: T2 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 T6 B1 B2 kn1 ⊕ kn2

álgebra J32


J32 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 e3

e42

e2e22 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 0




1 a12 0 a14

0 a22 0 a24

0 0 a33 0

0 a42 0 a44


dimensão 2 e 3: kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 T6 T7 B1 B2 kn1 ⊕ kn2

167

álgebra J33


J33 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22

e32

e42

e2e22 0 0 0

e3e32 0 0 0

e4e42 0 0 0

É uma álgebra não associativa, não possui unidades. A dimensão do grupo de automor-fismos é 12. A dimensão do grupo de automorfismos é 12.


1 a12 a13 a14

0 a22 a23 a24

0 a32 a33 a34

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra é indecom-ponível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 T7 B2 kn1 ⊕ kn2

álgebra J34


J34 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 0


mos é 9. A dimensão do grupo de automorfismos é 9.


1 0 0 0

0 a22 a23 a24

0 a32 a33 a34

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕kn1,⊕kn1 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 ⊕ ke. Subálgebras de di-

mensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 ke1 ⊕ kn1 kn1 ⊕ kn2

168

álgebra J35


J35 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3 0

e2 0 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 0 0 0 0


mos é 5.


1 0 0 0

0 a22 0 a24

0 0 a33 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: BA2⊕ kn1 ⊕kn2, B1 ⊕ kn2 ⊕ kn. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2

kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 ke1 ⊕ kn1 B1 kn1 ⊕ kn2

álgebra J36


J36 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 e4

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 e4 0 0 0

É uma álgebra associativa, unitária, com unidades: e1. A dimensão do grupo de auto-

morfismos é 9. A dimensão do grupo de automorfismos é 9.


1 0 0 0

0 a22 a23 a24

0 a32 a33 a34

0 a42 a43 a44


dimensão 2 e 3: T2 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 B1 kn1 ⊕ kn2

169

álgebra J37


J37 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 0

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 0 0 0 0


mos é 5.


1 0 0 0

0 a22 a23 0

0 a32 a33 0

0 0 0 a44


Subálgebras de dimensão 2 e 3: T2 B1 ⊕ kn2 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 ke1 ⊕ kn1 B1 kn1 ⊕ kn2

álgebra J38


J38 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 0 0 e3

e3 0 0 0 0

e4 0 e3 0 e2


mos é 3.


1 0 0 0

0 a244 2a42a44 0

0 0 a344 0

0 a42 a43 a44


Subálgebras de dimensão 2 e 3: T3 ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 kn1 ⊕ kn2

170

álgebra J39


J39 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 e4

e2 e2 0 0 e3

e3 e3 0 0 0

e4 e4 e3 0 e2


morfismos é 3.


1 0 0 0

0 a244 2a42a44 0

0 0 a344 0

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: T2 T3 B1 kn1 ⊕ kn2

álgebra J40


J40 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 e2


mos é 5.


1 0 0 0

0 a244 0 0

0 a32 a33 0

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕kn1,⊕B3, B3 ⊕ ke1 ⊕ kn, B3 ⊕ kn3 ⊕ ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ ke1

ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 B3 ⊕ kn3 ke1 ⊕ kn1 kn1 ⊕ kn2 B3

171

álgebra J41


J41 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 e2 0

e4 0 0 0 e2


mos é 4.O grupo de automorfismos é:

1 0 0 0

0 a243 +a2

44 0 0

0 a32 −a44 a43

0 a42 a43 a44

,

1 0 0 0

0 a243 +a2

44 0 0

0 a32 a44 −a43

0 a42 a43 a44

,

1 0 0 0

0 a244 0 0

0 a32 −a44 0

0 a42 0 a44

,

1 0 0 0

0 a244 0 0

0 a32 a44 0

0 a42 0 a44


Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ ke1

ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 T4 ke1 ⊕ kn1 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J42


J42 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 e4

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 e4 0 0 e2


morfismos é 5.O grupo de automorfismos é:

1 0 0 0

0 a244 0 0

0 a32 a33 0

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: T1

T2 B3 ⊕ kn3 B1 kn1 ⊕ kn2 B3

172

álgebra J43


J43 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 e4

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 e2 0

e4 e4 0 0 e2

É uma álgebra associativa, unitária, com unidades: e1. A dimensão do grupo de auto-morfismos é 4.


1 0 0 0

0 a233 +a2

34 0 0

0 a32 a33 a34

0 a42 a34 −a33

,

1 0 0 0

0 a233 +a2

34 0 0

0 a32 a33 a34

0 a42 −a34 a33

,

1 0 0 0

0 a233 +a2

43 0 0

0 a32 a33 −a43

0 a42 a43 a33

,

1 0 0 0

0 a233 +a2

43 0 0

0 a32 a33 a43

0 a42 a43 −a33

1 0 0 0

0 a233 0 0

0 a32 a33 0

0 a42 0 −a33

,

1 0 0 0

0 a233 0 0

0 a32 a33 0

0 a42 0 a33

,

1 0 0 0

0 a243 0 0

0 a32 0 −a43

0 a42 a43 0

,

1 0 0 0

0 a243 0 0

0 a32 0 a43

0 a42 a43 0


dimensão 2 e 3: T1

T2 T4 B1 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J44


J44 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e3


fismos é 4.

173


1 0 a214 a14

0 a22 a23 0

0 0 a244 0

0 0 2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 a22 a23 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: T8 ⊕ kn.Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 B3 ⊕ kn3 T8 ke1 ⊕ kn1 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J45


J45 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e3 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e3



1 0 a214 a14

0 −a44 a23 0

0 0 a244 0

0 0 2a14a44 a44

,

1 0 a214 a14

0 a44 a23 0

0 0 a244 0

0 0 2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 −a44 a23 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 a44 a23 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: B3 ⊕ ke1

T4 T8 ke1 ⊕ kn1 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J46


J46 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e3 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 0

174



1 0 0 a14

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B2,⊕B3.

Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ ke1

B3 ⊕ kn3 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B2 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J47


J47 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3 0

e2 0 e4 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 0 0 0 0



1 0 0 0

0 a22 0 a24

0 0 a33 0

0 0 0 a222

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. de Jordan Associativas é não nulo. A álgebrase decompõe como: BA2⊕B3,. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2 B3 ⊕ ke1

B3 ⊕ kn3 ke1 ⊕ kn1 B1 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J48


J48 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 0

e42

e2e22 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e3

175



1 a12 a214 a14

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 a42 2a14a44 a44

,

1 a12 0 0

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 a42 0 a44


dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3 T8 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B2 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J49


J49 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 0

e42

e2e22 0 0 e3

e3 0 0 0 0

e4e42 e3 0 e3



1 a12 a14(2a12 +a14) a14

0 2a42 +a44 2a14(2a42 +a44) 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44

,

1 a12 a14(2a12 +a14) a14

0 −a44 2(2a12 +a14)a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44

,

1 a12 0 0

0 2a42 +a44 0 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2a12a44 a44

,

1 a12 0 0

0 −a44 4a12a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2a12a44 a44

,

1 0 a214 a14

0 −a44 2a14a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2a14(a42 +a44) a44

,

1 0 a214 a14

0 2a42 +a44 2a14(2a42 +a44) 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2a14(a42 +a44) a44

,

1 0 0 0

0 −a44 0 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 0 a44

,

1 0 0 0

0 2a42 +a44 0 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 0 a44

176

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: T4 T8 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B2 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J50


J50 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 0

e42

e2e22 0 0 0

e3 0 0 0 e2

e4e42 0 e2 0



1 a12 0 a14

0 a33a44 0 0

0 −2a14a33 a33 0

0 a42 0 a44

,

1 a12 0 0

0 a33a44 0 0

0 0 a33 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: T4 T7 B2 ⊕ kn2 ke1 ⊕ kn1 B2 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J51


J51 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 0e42

e2 e2 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e2


fismos é 3.


1 −a214 0 a14

0 a244 0 0

0 0 a33 0

0 −2a14a44 0 a44

,

1 0 0 0

0 a244 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44


Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2 B3 ⊕ kn3 T9 ke1 ⊕ kn1 B1 kn1 ⊕ kn2 B3

177

álgebra J52


J52 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 0e42

e2 e2 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e3


fismos é 3.


1 0 a214 a14

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 0 2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44


dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2 B3 ⊕ kn3 T8 ke1 ⊕ kn1 B1 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J53


J53 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 0e42

e2 e2 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e2 + e3


fismos é 2.


1 −a214 a2

14 a14

0 a244 0 0

0 0 a244 0

0 −2a14a44 2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 a244 0 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44


dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2 B3 ⊕ kn3 ke1 ⊕ kn1 B1 kn1 ⊕ kn2 B3

178

álgebra J54


J54 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 0

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 e2 0

e4 0 0 0 0



1 0 0 0

0 a233 0 0

0 a32 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T1 ⊕ kn.Subálgebras de dimensão 2 e 3: T1

B1 ⊕ kn2 B3 ⊕ kn3 ke1 ⊕ kn1 B1 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J55


J55 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3e42

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 e3


fismos é 4.


1 0 −a214 a14

0 a22 a23 0

0 0 a244 0

0 0 −2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 a22 a23 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44


dimensão 2 e 3: T2 B3 ⊕ kn3 T9

B1 kn1 ⊕ kn2 B3

179

álgebra J56


J56 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3e42

e2 e2 e3 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 0



1 0 0 a14

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 0 a44


B3 ⊕ kn3 T6 B1 B2 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J57


J57 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3e42

e2 e2 e3 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 e3



1 0 −a214 a14

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 −2a14a22 a22

,

1 0 −a214 a14

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 2a14a22 −a22

,

1 0 0 0

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 0 −a22

,

1 0 0 0

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 0 a22


T4 T9

180

B1 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J58


J58 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 e3

e42

e2e22 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 e3



1 a12 −a214 a14

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 a42 −2a14a44 a44

,

1 a12 0 0

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3 T6 T9

B1 B2 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J59


J59 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 e3

e42

e2e22 0 0 e3

e3 e3 0 0 0

e4e42 e3 0 e3



1 a12 −a14(2a12 +a14) a14

0 2a42 +a44 −2a14(2a42 +a44) 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44

,

1 a12 −a14(2a12 +a14) a14

0 −a44 −2(2a12 +a14)a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44

,

1 a12 0 0

0 2a42 +a44 0 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2a12a44 a44

,

181

1 a12 0 0

0 −a44 −4a12a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2a12a44 a44

,

1 0 −a214 a14

0 −a44 −2a14a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2a14(a42 +a44) a44

,

1 0 −a214 a14

0 2a42 +a44 −2a14(2a42 +a44) 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2a14(a42 +a44) a44

,

1 0 0 0

0 −a44 0 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 0 a44

,

1 0 0 0

0 2a42 +a44 0 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra é indecom-

ponível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T4 T6 T9

B1 B2 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J60


J60 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 e3

e42

e2e22 0 0 0

e3 e3 0 0 e2

e4e42 0 e2 0



1 a12 0 a14

0 a33a44 0 0

0 2a14a33 a33 0

0 a42 0 a44

,

1 a12 0 0

0 a33a44 0 0

0 0 a33 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: T4 T6 T7 B1 B2 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J61


J61 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 e4 0

e2 e3 e4 0 0

e3 e4 0 0 0

e4 0 0 0 0

182



a11 a12 a13 a14

0 a211 2a11a12 a2

12 + 2a11a13

0 0 a311 3a2

11a12

0 0 0 a411


dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J62


J62 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 e2



a11 0 a13 0

0 a211 0 0

0 0 a311 0

0 0 a43 −a11

,

a11 0 a13 0

0 a211 0 0

0 0 a311 0

0 0 a43 a11


dimensão 2 e 3: T3 T4 B3 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J63


J63 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 e3

e3 0 0 0 0

e4 0 e3 0 −e2 − e3

É uma álgebra não associativa, não possui unidades. A dimensão do grupo de auto-morfismos é 4. A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra é indecomponível.

Subálgebras de dimensão 2 e 3: T3 T4 B3 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 B3

183

álgebra J64


J64 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 e3

e3 0 0 0 0

e4 0 e3 0 −e2



a44 −a42 a13 a41

0 −a241 +a2

44 −2a42(a41 +a44) 0

0 0 −(a41 −a44)(a41 +a44)2 0

a41 a42 a43 a44

,

a44 −a42 a13 0

0 a244 −2a42a44 0

0 0 a344 0

0 a42 a43 a44


dimensão 2 e 3: T3 T4 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J65


J65 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 e3

e3 0 0 0 0

e4 0 e3 0 0



a11 0 a13 a14

0 a211 0 0

0 0 a211(a11 +a14) 0

0 0 a43 a11 +a14


dimensão 2 e 3: T3 T4 B3 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 B3

184

álgebra J66


J66 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 e3


mos é 5.


a11 a12 a13 a14

0 a211 2a11a12 +a2

14 0

0 0 a311 0

0 −√a11a14 a43 a

3/211

,

a11 a12 a13 a14

0 a211 2a11a12 +a2

14 0

0 0 a311 0

0√a11a14 a43 −a

3/211


dimensão 2 e 3: T3 B3 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J67


J67 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 e3




a11 a12 a13 a14

0 a211 2a11a12 0

0 0 a311 0

0 0 a43 a44


Subálgebras de dimensão 2 e 3: T3 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2

185

álgebra J68


J68 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 e3




0 a12 a13 a14

0 0 0 a213

a31 a32 0 a34

0 a231 0 0

,

a11 a12 0 a14

0 a211 0 0

0 a32 a33 a34

0 0 0 a233

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: B3 ⊕ B3.

Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J69


J69 e1 e2 e3 e4

e1 e2 0 e4 0

e2 0 0 0 0

e3 e4 0 0 0

e4 0 0 0 0




a11 a12 a13 a14

0 a211 0 2a11a13

0 a32 a33 a34

0 0 0 a11a33


dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 B3

186

álgebra J70


J70 e1 e2 e3 e4

e1 e2 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 e2

e4 0 0 e2 0


mos é 7. A dimensão do grupo de automorfismos é 7. A dimensão do aniquilador daálgebra é 3. A álgebra é indecomponível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T4 B3 ⊕ kn3

kn1 ⊕ kn2 B3

álgebra J71


J71 e1 e2 e3 e4

e1 e2 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 e2 0

e4 0 0 0 0



−a33 a12 a31 a14

0 a231 +a2

33 0 0

a31 a32 a33 a34

0 a42 0 a44

,

a33 a12 −a31 a14

0 a231 +a2

33 0 0

a31 a32 a33 a34

0 a42 0 a44

,

−a33 a12 0 a14

0 a233 0 0

0 a32 a33 a34

0 a42 0 a44

,

a33 a12 0 a14

0 a233 0 0

0 a32 a33 a34

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra se decompõe como: T4 ⊕ kn .

Subálgebras de dimensão 2 e 3: T4 B3 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 kn1 ⊕ kn2 B3

187

álgebra J72


J72 e1 e2 e3 e4

e1 e2 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 0


mos é 10. A dimensão do grupo de automorfismos é 10.O grupo de automorfismos é:

a11 a12 a13 a14

0 a211 0 0

0 a32 a33 a34

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra se decompõe como: kn1 ⊕ kn2 ⊕B3, B3 ⊕kn3 ⊕ kn. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕kn3 kn1 ⊕ kn2 ⊕kn3 kn1 ⊕kn2 B3

álgebra J73


J73 e1 e2 e3 e4

e1 0 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 0


mos é 16. A dimensão do grupo de automorfismos é 16.O grupo de automorfismos é:

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 4. A álgebra se decompõe como: kn1 ⊕ kn2 ⊕kn1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 ⊕ kn. Subálgebras de dimensão 2 e 3: kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3

kn1 ⊕ kn2

188

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192

Í ND ICE REMISS IVO

2 -cociclo, 18

equivalentes, 18

A

a -homótopa, 126

a -isótopa, 126

a -multiplicação, 126

adjunção formal, 10

álgebra, 8

analiticamente rígida, 63

associativa, 9

nilpotente, 11

de composição, 10

de divisão, 125

de Jordan, 8

de uma forma bilinear simétrica, 9

especial, 9

excepcional, 9

ideal, 8

subálgebra, 8

de multiplicação, 13

infinitesimalmente rígida, 63

nilpotente, 11

semisimples, 12

separável, 12

simples, 12

central, 12

unitária, 10

álgebras

geometricamente rígidas, 68

rígidas, 68

analiticamente rígida, 63

aniquilador, 23

anulador, 56

associador, 8

B

bimódulo de Jordan, 18

C

centroide, 14

cociclo, 18

componentes

de Peirce, 15

conjunto algébrico, 56

constantesestruturais, 66

D

decomposiçãode Peirce, 15

deformação, 67

a um parâmetro, 61

trivial, 62

trivial, 68

deformaçõesequivalentes, 62

diferencial, 62

dimensão, 58

E

elementoidempotente, 15

inverso, 125

invertível, 125

trivial, 126

193

espaço afim, 57

especialização, 72

estabilizador, 60

excepcional, 9

extensão

cinde, 19

de álgebras, 18

nula, 19

extensão escalar, 11

extensões

equivalentes, 19

F

função polinomial, 56

função regular, 57

G

geometricamente rígidas, 68

grupo

algébrico, 59

de estrutura, 127

H

homótopa, 126

homotopia, 126

I

ideal, 8

idempotente

próprio, 15

idempotentes ortogonais, 15

identidade, 10

identidade de Jordan, 8

índice

de nilpotência, 11

infinitesimalmente rígida, 63

integrável, 62

involução, 9

padrão, 10

irredutível, 57

isótopa, 126

isotopia, 126

isotópicas, 126

L

localmente fechado, 57

M

morfismo, 57

de grupos algébricos, 59

N

n -espaço afim, 57

nil-índice, 11

nilpotente, 11

O

operadorde multiplicação, 13

órbita, 60

P

parte semisimples, 12

ponto genérico, 58

potência, 11

produtode Kronecker, 11

produto triplo de Jordan, 126

R

radical, 12

nilpotente, 12

rígida

analiticamente, 63

infinitesimalmente, 63

rígidasgeometricamente, 68

S

segundo grupo de cohomologia, 18

194

série central inferior, 11

subálgebra, 8

subvariedade, 57

T

tipo de nilpotência, 11

topologia de Zariski, 57

transporte de estrutura, 67

U

unidade, 10

unitária, 10

V

variedade, 57

afim, 58

algébrica, 57

das álgebras de Jordan, 67

195

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