Método de Gauss - Jordan y Matriz Inversa

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 2: MÉTODOS PARA LA

SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES.

MÉTODO DE GAUSS – JORDAN E

INVERSIÓN DE MATRICES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Abril de 2015.

Capítulo 2. Métodos para la solución de sistemas lineales. Método de Gauss - Jordan / Matriz inversa.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. 51

2.4.- MÉTODO DE GAUSS – JORDAN.

Matriz diagonal. Definición.

Una matriz diagonal de orden n es una matriz )( ijdD con la propiedad de que 0ijd

siempre que ji .

Matriz identidad. Definición.

La matriz identidad de orden n, )( ijnI , es la matriz diagonal con elementos

ji

jiij

si0

si1 (2.15)

Cuando el tamaño de In está claro, esta matriz se escribe simplemente como I.

La matriz identidad de orden tres es

100

010

001

3I (2.16)

La matriz identidad de orden cuatro es

1000

0100

0010

0001

4I (2.17)

Método de Gauss – Jordan.

El método de Gauss – Jordan es una variación de la eliminación de Gauss. La principal

diferencia consiste en que cuando una incógnita se elimina en el método de Gauss – Jordan,

ésta es eliminada de todas las otras ecuaciones, no solo de las subsecuentes. Además, todos

los renglones se normalizan al dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma, el paso

de eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular. En consecuencia, no

es necesario usar la sustitución hacia atrás para obtener la solución.



1,

1,3

1,2

1,1

1...000

...

0...100

0...010

0...001

nn

n

n

n

a

a

a

a

(2.18)

La solución del sistema es:

1,11 nax , 1,22 nax , …, 1, nnn ax (2.19)

Ejemplo 2.12.

Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de Gauss-Jordan.

24 321 xxx

425 321 xxx

66 321 xxx

Solución.

Este ejercicio fue resuelto en el ejemplo 2.2 aplicando el método de eliminación Gaussiana

y sustitución hacia atrás. Aquí será resuelto aplicando el método de Gauss – Jordan para

establecer diferencias entre los métodos. Se comienza determinando la matriz ampliada de

coeficientes.

Matriz ampliada.

6

4

2

116

215

114

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

El elemento pivote es )0(411 a . Se procede a normalizar el renglón 1 dividiendo dicho

renglón entre 4.

4

11

EE

Las operaciones están indicadas a continuación:



6

4

116

215

42

41

41

44

Y obtenemos:

6

4

5.0

116

215

25.025.01

4,3

4,2

4,1

333231

232221

13121

a

a

a

aaa

aaa

aa

Una primera diferencia entre el método de eliminación Gaussiana y sustitución hacia atrás

y el método de Gauss – Jordan es que en el primero no se requiere normalizar el renglón 1.

Ya normalizado el renglón 1 ( 111 a ), el objetivo es crear un cero en las posiciones donde

están 21a y 31a mediante operaciones en base al primer renglón. Se definen las siguientes

operaciones:

Renglón 2: 122 5EEE

Obsérvese que el valor que multiplica al renglón que contiene al pivote ( 5 ), es el mismo

que se debe convertir en cero (5) en el renglón 2.


Obsérvese que el valor que multiplica al renglón que contiene al pivote (6), es el mismo

que se debe convertir en cero (5) en el renglón 3.


)5.0(66

)5.0(54

5.0

)25.0(61)25.0(61)1(66

)25.0(52)25.0(51)1(55

25.025.01

Y obtenemos:

9

5.6

5.0

5.25.00

25.325.00

25.025.01

4,3

4,2

4,1

3332

2322

1312

0

0

1

a

a

a

aa

aa

aa

El elemento pivote es )0(25.022 a . Se procede a normalizar el renglón 2. La

normalización de renglones es necesaria con el objeto de obtener los elementos de la



diagonal iguales a la unidad. Obsérvese que al igual que en el primer paso del

procedimiento de Gauss – Jordan, en este paso el método de eliminación Gaussiana y

sustitución hacia atrás no requiere normalización de renglones, mientras que en el método

de Gauss – Jordan siempre será necesario tal como se ha ilustrado. Para normalizar el

renglón 2, se divide dicho renglón entre –0.25

25.0

22

EE


9

5.0

5.25.00

25.025.01

25.05.6

25.025.3

25.025.0

25.00

Y obtenemos:

9

26

5.0

5.25.00

1310

25.025.01

4,3

4,2

4,1

3332

23

1312

0

10

1

a

a

a

aa

a

aa


están 12a y 32a mediante operaciones en base al segundo renglón. He aquí otra diferencia

entre el método de eliminación de Gauss con sustitución hacia atrás y el método de Gauss –

Jordan, puesto que en el primero, se creaba el cero sólo en la posición donde está 32a ,

mientras que en el segundo se deben crear en las dos posiciones citadas ( 12a y 32a ).

Evidentemente el método de Gauss – Jordan involucra mayor cantidad de operaciones

aritméticas y por lo tanto requiere una cantidad adicional de tiempo para su ejecución.

Se definen las siguientes operaciones:

Renglón 1: 211 25.0 EEE

Renglón 3: 233 5.0 EEE




)26(5.09

26

)26(25.05.0

)13(5.05.2)1(5.05.0)0(5.00

1310

)13(25.025.0)1(25.025.0)0(25.01

Y obtenemos:

4

26

6

400

1310

301

4,3

4,2

4,1

33

23

13

00

10

01

a

a

a

a

a

a

El elemento pivote es )0(433 a . Se procede a normalizar el renglón 3 dividiendo dicho

renglón entre –4.

4

33

EE


44

44

40

40

26

6

1310

301

Y obtenemos:

1

26

6

100

1310

301

4,3

4,2

4,1

23

13

100

10

01

a

a

a

a

a


están 13a y 23a mediante operaciones en base al tercer renglón. Se definen las siguientes

operaciones:




1

)1(1326

)1(36

100

)1(1313)0(131)0(130

)1(33)0(30)0(31



Y obtenemos:

1

13

3

100

010

001

4,3

4,2

4,1

100

010

001

a

a

a

La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss-Jordan es:

31 x , 132 x y 13 x .

Finalmente, dentro de las diferencias entre los métodos de eliminación Gaussiana con

sustitución hacia atrás y de Gauss – Jordan se encuentra que en el primero la solución debe

ser obtenida aplicando las fórmulas de sustitución hacia atrás, mientras que en el segundo

dicha sustitución no es necesaria, puesto que se obtiene la solución del sistema (cuando

tenga solución) en una forma directa, lo cual representa una ventaja para el método de

Gauss - Jordan.

Ejemplo 2.13.

Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de Gauss – Jordan.

2421 xxx

12 4321 xxxx

432 4321 xxxx

323 4321 xxxx

Solución.

3

4

1

2

2113

1321

1112

1011

5,4

5,3

5,2

5,1

44434241

34333231

24232221

14131211

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Normalizar el primer renglón. El primer renglón ya se encuentra normalizado ( 111 a ).

3

4

1

2

2113

1321

1112

1011

5,4

5,3

5,2

5,1

44434241

34333231

24232221

1413121

a

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaa



Crear cero en las posiciones 21a , 31a y

41a .

122 2EEE

133 EEE

144 3EEE

9

6

3

2

1140

0330

1110

1011

5,4

5,3

5,2

5,1

444342

343332

242322

141312

0

0

0

1

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaa

Normalizar el segundo renglón.

1

22

EE

9

6

3

2

1140

0330

1110

1011

5,4

5,3

5,2

5,1

444342

343332

2423

141312

0

0

10

1

a

a

a

a

aaa

aaa

aa

aaa

Crear cero en las posiciones 12a , 32a y 42a .

211 EEE

233 3EEE

244 4EEE

3

3

3

1

3300

3000

1110

0101

5,4

5,3

5,2

5,1

4443

3433

2423

1413

00

00

10

01

a

a

a

a

aa

aa

aa

aa

Normalizar el tercer renglón. No es posible normalizar el tercer renglón, puesto que 033 a

. Si intercambian los renglones 3 y 4.

43 EE



3

3

3

1

3000

3300

1110

0101

Normalizar el tercer renglón.

3

33

EE

3

1

3

1

3000

1100

1110

0101

5,4

5,3

5,2

5,1

4443

34

2423

1413

00

100

10

01

a

a

a

a

aa

a

aa

aa

Crear cero en las posiciones 13a , 23a y 43a . Obsérvese que 043 a , por lo cual no se

requiere operación sobre el renglón 3.

311 EEE

322 EEE

3

1

2

0

3000

1100

0010

1001

5,4

5,3

5,2

5,1

44

34

24

14

000

100

010

001

a

a

a

a

a

a

a

a

Normalizar el cuarto renglón.

3

44

EE

1

1

2

0

1000

1100

0010

1001

5,4

5,3

5,2

5,1

34

24

14

1000

100

010

001

a

a

a

a

a

a

a

Crear cero en las posiciones 14a , 24a y 34a . Obsérvese que 024 a , por lo cual no se

requiere operación sobre el renglón 2.

411 EEE



433 EEE

1

0

2

1

1000

0100

0010

0001

5,4

5,3

5,2

5,1

1000

0100

0010

0001

a

a

a

a

La solución del sistema de ecuaciones planteado utilizando el método de Gauss-Jordan es:

11 x , 22 x , 03 x y 14 x .

Ejemplo 2.14.

[BF] Resuelva el siguiente sistema lineal usando el método de Gauss-Jordan.

3321 xxx (A)

2321 xxx (B)

83 321 xxx (C)

Solución.

Matriz ampliada.

8

2

3

131

111

111

4,3

4,2

4,1

333231

232221

131211

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Normalizar el primer renglón. No es necesario normalizar el primer renglón, puesto que

111 a .

8

2

3

131

111

111

4,3

4,2

4,1

333231

232221

13121

a

a

a

aaa

aaa

aa

Crear cero en las posiciones 21a y 31a .

122 EEE

133 EEE



5

5

3

020

020

111

4,3

4,2

4,1

3332

2322

1312

0

0

1

a

a

a

aa

aa

aa

Normalizar el segundo renglón.

2

22

EE

5

5.2

3

020

010

111

4,3

4,2

4,1

3332

23

1312

0

10

1

a

a

a

aa

a

aa

Crear cero en las posiciones 12a y 32a .

211 EEE

133 2EEE

0

5.2

5.0

000

010

101

4,3

4,2

4,1

33

23

13

00

10

01

a

a

a

a

a

a

Normalizar el tercer renglón. No es posible normalizar el tercer renglón, pues 033 a y

puesto que es el último renglón, no hay adicionales para intercambiar. No se puede seguir

el procedimiento de Gauss – Jordan. En este caso el sistema equivalente es:

5.031 xx (1)

5.22 x (2)

00 (3)

El sistema admite infinitas soluciones, puesto que la ecuación (3) es una igualdad.

La razón por la cual el sistema planteado tiene infinitas soluciones es porque una ecuación

resulta de la combinación lineal de las otras. En el ejemplo anterior se puede demostrar que

CBA 2 .

En la implementación real de cualquiera de los métodos directos se puede tener

especial cuidado para darse cuenta de las operaciones que no se necesitan realizar, como

por ejemplo, una multiplicación cuando se sabe que uno de los factores es uno, o una resta



cuando se conoce que el sustraendo es cero. Para ambos métodos, el número de

multiplicaciones y divisiones requerido puede reducirse.

Ejercicios adicionales.

9. [CC] Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordan para resolver:

12 321 xxx

4225 321 xxx

53 321 xxx

Compruebe las respuestas por sustitución de las ecuaciones originales.

10. [CC] Resuelva:

3321 xxx

2226 321 xxx

143 321 xxx

mediante la eliminación de Gauss - Jordan.

11. [BF] Usar el método de Gauss – Jordan y aritmética de redondeo a 2 dígitos para

resolver los sistemas del ejercicio 6.

12. [BF] Repetir el ejercicio 8 usando el método de Gauss – Jordan.

13. [BF] Considere el siguiente método híbrido de eliminación Gaussiana – Gauss – Jordan

para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Primero se aplica la técnica de eliminación

Gaussiana para reducir el sistema a la forma triangular mostrada en la página 3. Después se

usa la n-ésima ecuación para eliminar los coeficientes de nx en cada uno de los primeros

1n renglones. Cuando esto se completa, se usa la ecuación 1n para eliminar los

coeficientes de 1nx en los primeros 2n renglones, etc. El sistema eventualmente tendrá

la forma del sistema reducido

1,

1,3

1,2

1,1

33

22

11

...000

...

0...00

0...00

0...00

nn

n

n

n

nna

a

a

a

a

a

a

a

(2.20)



La solución se obtiene tomando

ii

ni

ia

ax

1, (2.21)

a) Use el método híbrido descrito y aritmética de 2 dígitos para resolver los sistemas en el

ejercicio 6.

b) Repetir el ejercicio 8 usando el método descrito.

2.5.- INVERSA DE UNA MATRIZ.

Matriz inversa. Definición.

Se dice que una matriz A de nn es no-singular si existe una matriz 1A de nn tal que

IAAAA 11 (2.22)

La matriz 1A se llama inversa de A. Una matriz que no tiene inversa se llama singular.

Cálculo de la matriz inversa.

La inversa se puede calcular en forma de columna por columna, generando soluciones con

vectores unitarios como las constante del lado derecho. Por ejemplo, si la constante del lado

derecho de la ecuación tienen un número 1 en la primera posición, y ceros en las otras

0

0

1

}{b

la solución resultante será la primera columna de la matriz inversa. En forma similar, si se

emplea un vector unitario que tiene un número 1 en el segundo renglón

0

1

0

}{b

el resultado será la segunda columna de la matriz inversa.

Ejemplo ilustrativo 1.

Sea

873

752

321

A



Para calcular 1A debemos resolver los tres sistemas lineales

132 321 xxx

0752 321 xxx

0873 321 xxx

032 321 xxx

1752 321 xxx

0873 321 xxx

032 321 xxx

0752 321 xxx

1873 321 xxx

Los cálculos se realizan convenientemente en la matriz aumentada más grande, formada

combinando las matrices:

100

010

001

873

752

321

Ya que la matriz de coeficientes reales no cambia, debemos efectuar la misma secuencia de

operaciones de renglón para cada sistema lineal. Primero, efectuando

122 2EEE y

133 3EEE

103

012

001

110

110

321

En seguida, efectuando

233 EEE



111

012

001

200

110

321

Se podría hacer una sustitución hacia atrás en cada una de las tres matrices aumentadas,

1

2

1

200

110

321

1

1

0

200

110

321

1

0

0

200

110

321

para encontrar todos los elementos de 1A , pero frecuentemente, es más conveniente usar la

reducción de renglones adicional. En particular la operación

2

33

EE nos lleva a:

5.05.05.0

012

001

100

110

321

y

311 3EEE

322 EEE

5.05.05.0

5.05.05.2

5.15.15.0

100

010

021

Finalmente 211 2EEE

5.05.05.0

5.05.05.2

5.05.25.4

100

010

001

La matriz aumentada final representa a las soluciones de los tres sistemas lineales

5.41 x 5.21 x 5.01 x

5.22 x 5.02 x 5.02 x

5.03 x 5.03 x 5.03 x



así que

5.05.05.0

5.05.05.2

5.05.25.41A

En el ejemplo, ilustramos como calcular 1A . Como vimos en ese ejemplo, es conveniente

arreglar la matriz aumentada más grande

IA

Llevando a cabo la eliminación siguiendo el algoritmo de Gauss, obtenemos una matriz

aumentada de la forma

YU

Donde U es una matriz nn con 0iju siempre que ji y Y representa la matriz de

nn obtenida al efectuar las mismas operaciones a la identidad I que fueron realizadas

para pasar de A a U. Aquí, hay que elegir entre n aplicaciones del algoritmo de sustitución

hacia atrás o reducción adicional hasta llegar a

1AI

¿Cómo sabemos si una matriz A es invertible o no?

Si aplicamos el procedimiento de transformar IA a su forma reducida y si en cualquier

etapa encontramos que cualquiera de los renglones a la izquierda de la línea vertical sólo

consta de ceros, entonces puede probarse que 1A no existe.

Ejemplo 2.15.

Determine 1A si existe, dada

1073

752

321

A

Solución.

100

010

001

1073

752

321

122 2EEE



133 3EEE

103

012

001

110

110

321

211 2EEE

233 EEE

111

012

025

000

110

101

Dado que el tercer renglón a la izquierda de la línea vertical sólo consta de ceros, la

reducción no puede completarse. Debemos concluir que 1A no existe y que A es una

matriz singular.

Ejemplo 2.16.

Determine 1A si existe, dada

131

111

111

A

Solución.

100

010

001

131

111

111

122 EEE

133 EEE

101

011

001

020

020

111

2

22

EE



101

05.05.0

001

020

010

111

211 EEE

233 2 EEE

112

05.05.0

05.05.0

000

010

101

Dado que el tercer renglón a la izquierda de la línea vertical sólo consta de ceros, la

reducción no puede completarse. Debemos concluir que 1A no existe y que A es una

matriz singular.

Recuérdese que esta matriz es la misma matriz de coeficientes del ejemplo 2.14.

Como regla general tenemos que cualquier sistema en el cual la matriz de coeficientes sea

singular, dicho sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

Las inversas de matrices tienen muchos usos, uno de los cuales está en la solución

de sistemas de ecuaciones. En secciones precedentes, resolvimos sistemas de ecuaciones

lineales transformando la matriz aumentada a su forma reducida. En el caso en que

tengamos n ecuaciones con n variables, también podemos resolver el sistema encontrando

la inversa de la matriz de coeficientes.

Un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como

BXA (2.23)

Si la matriz de coeficientes A es invertible, existe 1A . Multiplicando ambos lados de la

ecuación matricial dada por 1A , obtenemos

BAXAA 11 )( (2.24)

Usando la propiedad asociativa y simplificando, podemos escribir esto de la manera

siguiente:

BAXAA 11 )(



BAXI 1

BAX 1 (2.25)

Así, hemos obtenido una expresión que proporciona la solución X del sistema de

ecuaciones dados.

Ejemplo 2.17.

Resuelva el sistema de ecuaciones lineales siguiente (Véase ejemplos 2.2 y 2.12):

24 321 xxx

425 321 xxx

66 321 xxx

Solución.

Determinación de la matriz inversa.

100

010

001

116

215

114

4

11

EE

100

010

0025.0

116

215

25.025.01

122 5EEE

133 6EEE

105.1

0125.1

0025.0

5.25.00

25.325.00

25.025.01

25.0

22

EE



105.1

045

0025.0

5.25.00

1310

25.025.01

211 25.0 EEE

233 5.0 EEE

121

045

011

400

1310

301

4

33

EE

25.05.025.0

045

011

100

1310

301

311 3EEE

322 13EEE

25.05.025.0

25.35.275.1

75.05.025.0

100

010

001

La matriz inversa es

25.05.025.0

25.35.275.1

75.05.025.01A

La solución del sistema es:

BAX 1

6

4

2

25.05.025.0

25.35.275.1

75.05.025.0

X



)6()25.0()4()5.0()2()25.0(

)6()25.3()4()5.2()2()75.1(

)6()75.0()4()5.0()2()25.0(

X

1

13

3

X

A primera vista, puede parecer que este método de resolver un sistema de

ecuaciones es mucho menos conveniente que el método más simple de reducción de

renglones (Gauss y Gauss – Jordan). La ventaja de usar la matriz inversa se hace patente en

casos en que deben resolverse varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de

coeficientes. En problemas de este tipo, las soluciones de todos los sistemas pueden

determinarse de inmediato una vez que se ha encontrado la inversa de la matriz de

coeficientes; no es necesario usar la reducción de renglones una y otra vez sobre cada

sistema.

Ejemplo 2.18.

Resolver los tres sistemas lineales de 44 .

Sistema 1. Sistema 2. Sistema 3.

22 4321 xxxx 22 4321 xxxx 32 4321 xxxx

4332 421 xxx 2332 421 xxx 2332 421 xxx

24321 xxxx 24321 xxxx 44321 xxxx

823 431 xxx 223 431 xxx 423 431 xxx

Solución.

Obsérvese que los tres sistemas tienen la misma matriz de coeficientes.

2103

1111

3032

2111

A

Se determina la matriz inversa:



1000

0100

0010

0001

2103

1111

3032

2111

122 2 EEE

133 EEE

144 3EEE

1003

0101

0012

0001

4430

1020

1210

2111

1

22

EE

1003

0101

0012

0001

4430

1020

1210

2111

211 EEE

233 2EEE

244 3EEE

1039

0125

0012

0013

71000

3400

1210

3301

4

33

EE



1039

025.05.025.1

0012

0013

71000

75.0100

1210

3301

311 3EEE

222 2EEE

344 10EEE

15.225.3

025.05.025.1

05.005.0

075.05.075.0

5.0000

75.0100

5.0010

75.0001

5.0

44

EE

2547

025.05.025.1

05.005.0

075.05.075.0

1000

75.0100

5.0010

75.0001

411 74.0 EEE

422 5.0 EEE

433 75.0 EEE

2547

5.15.35.24

1223

5.15.45.36

1000

0100

0010

0001

La matriz inversa es:

2547

5.15.35.24

1223

5.15.45.36

1A



La solución de cada sistema de ecuaciones es:

Sistema 1.

4

3

2

1

8

2

4

2

2547

5.15.35.24

1223

5.15.45.36

X

Sistema 2.

1

0

1

0

2

2

2

2

2547

5.15.35.24

1223

5.15.45.36

X

Sistema 3.

1

1

1

1

4

4

2

3

2547

5.15.35.24

1223

5.15.45.36

X

Otra forma de resolver el problema es aplicando el método de Gauss – Jordan a la matriz

aumentada

4104

434

272

316

2103

1111

3032

2111

, el cual al ser reducido, conduce a:

104

113

102

111

1000

0100

0010

0001

, teniéndose que las soluciones son:

Sistema 1. Sistema 2. Sistema 3.



4

3

2

1

X

1

0

1

0

X

1

1

1

1

X

Ejercicios adicionales.

14. [BF] Determine cuáles de las siguientes matrices son no-singulares y calcule, si es

posible, sus inversas.

a)

312

703

624

b)

113

112

021

c)

4201

5112

2421

1111

d)

7396

173

5142

2132

23

e)

1145

01119

0076

0004

f)

3413

1312

2011

2102

15. [NS] Los siguientes conjuntos de ecuaciones lineales tienen coeficientes comunes pero

distintos términos del lado derecho.

a) 1321 xxx b) 2321 xxx c) 2321 xxx

432 321 xxx 532 321 xxx 132 321 xxx

2223 321 xxx 1223 321 xxx 4223 321 xxx

Los coeficientes y los tres conjuntos de términos del lado derecho se pueden combinar en

un arreglo

412

154

221

223

312

111

Si aplicamos el esquema de Gauss – Jordan a este arreglo y reducimos las tres primeras

columnas a la forma de la matriz identidad, las soluciones para los tres problemas se

obtienen en forma automática en las columnas cuarta, quinta y sexta al terminar la

eliminación. Calcule la solución de esta forma.

16. [BF] Dados los cuatro sistemas lineales de 33 con la misma matriz de coeficientes



232 321 xxx 632 321 xxx 032 321 xxx 132 321 xxx

1321 xxx 4321 xxx 1321 xxx 0321 xxx

03 321 xxx 53 321 xxx 33 321 xxx 03 321 xxx

a) Resuelva los sistemas lineales aplicando eliminación Gaussiana a la matriz aumentada

0350

0141

1062

311

111

132

b) Resuelva los sistemas lineales aplicando el método de Gauss – Jordan a la matriz

aumentada de (a).

c) Resuelva los sistemas lineales encontrando la inversa de

311

111

132

A

y multiplicando.

d) ¿Cuál método parece más fácil? ¿Cuál método requiere más operaciones?

17. [BF] Repetir el ejercicio 15 usando los sistemas lineales:

62 4321 xxxx 12 4321 xxxx

4431 xxx 1431 xxx

2432 4321 xxxx 2432 4321 xxxx

5432 xxx 1432 xxx



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

2.4.- MÉTODO DE GAUSS – JORDAN.

9. 141 x , 322 x , 53 x .

10. 25.01 x , 5.02 x , 2.253 x .

2.5.- INVERSA DE UNA MATRIZ.

14. a) Singular; b)

375.0625.0125.0

125.0125.0625.0

25.025.025.0

; c) Singular; d) Singular; e)

1115.0

01571429.1107143.0

00142857.0214286.0

00025.0

; f)

1333333.1333333.00

0666667.0666667.01

1666667.1666667.11

1101

15.

161

43

1617

1627

413

165

41

41 2

100

010

001

Sistema a. Sistema b. Sistema c.

1617

165

41

X

43

413

2

X

161

1627

41

X

16. a)

4.08.22.86.0

5.0112

1062

8.200

5.15.20

132

b)

142857.01928571.2214286.0

285714.01357143.1928571.0

142857.01428571.2285714.0

100

010

001

c)

357143.0071429.0142857.0

214286.0357143.0285714.0

142857.0571429.0142857.01A

d) El método c) es el más fácil, y requiere menor cantidad de operaciones.



17. a)

11

08

02

16

1000

8800

2310

1211

b)

11

12

16

13

1000

0100

0010

0001

c)

125.025.075.0

1125.0625.0875.0

1125.0375.0125.0

0125.0625.0125.0

1A

d) El método c) es el más fácil, y requiere menor cantidad de operaciones.

Método de Gauss - Jordan y Matriz Inversa

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