def_coor_cart (1)

SEO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAO E CONSTRUO

Ps-graduao em Engenharia de Transportes

El ti id d li d I f t t d T tElasticidade aplicada Infraestrutura de Transportes

MAJ MONIZ DE ARAGO

DEFORMAES: Campo de deslocamentos; Componentes de deformao;

Relaes deformao-deslocamento; Deformao linear especfica numa direo qualquer; Deformaes Principaisespecfica numa direo qualquer; Deformaes Principais.

Referncias bibliogrficas: Introduo Teoria da Elasticidade, Villaa, S. F., Taborda Garcia,

L. F., COPPE/UFRJ, 4 Ed., 2000. Theory of Elasticity, Timoshenko, S. P., Goodier, J.N., McGraw-Hill

Classic Textbook Reissue Series, 3rd Ed., 1970.

Deformaes:Campo de deslocamentosCampo de deslocamentos

Solicitaes externas atuando em um corpo deformvel:Solicitaes externas atuando em um corpo deformvel:

Mudana de forma e dimensesdimenses

Configurao inicial indeformada Configurao final deformada


Um ponto A do corpo que na configurao inicial tem as coordenadasUm ponto A do corpo, que na configurao inicial tem as coordenadas x, y, z, sofre um deslocamento u, e passa para a posio A*.

wvu ,,u

zyxvv ,, zyxuu ,,

zyxww ,, zyxww ,,

As coordenadas A* so ento dadas por x+u, y+v, z+w, e o

CAMPO DE DESLOCAMENTOS determinado pelas funes u, v, w.


Observaes:Observaes:

Tendo em vista a continuidade do slido no processo de deformao, as funes escalares u, v, w devem ser contnuas e unvocas.

O campo de deslocamentos pode ser decomposto em duas parcelas:

Movimento de corpo rgido (translao do ponto)

Deslocamento com mudana de forma e dimenses do corpo (alongamentos, encurtamentos)

O movimento do corpo rgido pode ser sempre eliminado mediante a O movimento do corpo rgido pode ser sempre eliminado mediante a introduo adequada de vnculos.

Ex: Deslocamento com mudana de dimenses

Movimento de Corpo rgidomudana de dimenses Corpo rgido

F

Componentes de DeformaoComponentes de Deformao

D f ( t i ) Deformao (strain)

Deformao linear especfica

Alongamento relativos

Alongamento relativo

Deformao no ponto A e na direo s:

Relao entre o alongamento sofrido pelo segmento elementar e o seu comprimento inicial, ao passar da configurao inicial para aao passar da configurao inicial para a deformada.

ss dsds dsdsds

ABABBA 1*

***


D f l ( h i t i ) Deformao angular (shearing strain)

Distorost

Distoro no ponto A associada s direes s, t :

BACst***

2

2

Reduo do ngulo originariamente reto entre AB e BC.


O estado de deformao em um ponto A fica completamenteO estado de deformao em um ponto A fica completamente determinado se forem conhecidas as componentes de deformao (linear e angular) em trs direes ortogonais.

Referindo-se ao sistema cartesiano global xyz, tem-se as seguintes componentes de deformao:

, , , , , yzxzxyzyx

De forma anloga ao estado de tenses, conhecidas essas componentes possvel calcular a deformao linear numa direo qualquer, ou a d f l i d d di t i ideformao angular associada a um par de direes ortogonais quaisquerno ponto A.


A deformao em todo o corpo fica determinada conhecendo-se o campo de deformaes, ou seja, as componentes de deformao como funes de posio:como funes de posio:

zyx zyx

zyxz,y,xz,y,x

yy

xx

zyxz,y,xz,y,x

xzxz

xyxy

z,y,xzz z,y,xyzyz

Relaes Deformao Deslocamento( d d t i )(coordenadas cartesianas)Sejam (A*) (B*) (C*) as projees de A* B* C* no plano xy Logo:Sejam (A ), (B ), (C ) as projees de A , B , C no plano xy. Logo:

O deslocamento (de primeira ordem) na direo x do ponto B igual a:

du dxx

u

devido ao aumento de

dxxu

da funo u com o aumento da coordenada x

Relaes Deformao - Deslocamento

Sejam (A*) (B*) (C*) as projees de A* B* C* no plano xy Logo:Sejam (A ), (B ), (C ) as projees de A , B , C no plano xy. Logo:

cosBAudxuudx **

cosBAudxx

udx

cosCAvdyvvdy **

cosCAvdyy

vdy

*** BAC BAC2

dxxv

sen

** BA

sen

dyyu

** CAysen


Hiptese de pequenas mudanas de configurao; Hiptese de pequenas mudanas de configurao;

Componentes de deformao consideradas muito pequenas em presena da unidade;

y****

x****

dyCACA

dxBABA

1

1

y

****** BACBAC xy****** BACBAC 22

11

cos ;sen

cos ;sen


Reescrevendo se as equaes tem se: Reescrevendo-se as equaes, tem-se:

xu1dxuBAudx

xuudx xx

cos** xx

yv1dyvCAvdy

yvvdy yy

cos**yy

xyxy*** BAC 2 vu 2

vdxxvdx

xv

sen

xyxy

xdxBAsen

x**

1

dyudyu

Com as projees nos outros dois planos cartesianos, so obtidas as demais expresses das

yu

dy

yy

CA

yysen

y**

1

relaes deformao-deslocamento.

Relaes Deformao Deslocamento LinearesRelaes Deformao Deslocamento Lineares

Na notao cartesiana: ,,,, 321 zyxxxx Na notao cartesiana:,,,,,,,,

321

321

wvuuuuzyxxxx

...,,...,, xyxx1211

u

1vu1

vxu

y

x

xzxz

xyxy

1wu121

xv

yu

21

zwy

z

y

yzyz

xzxz

21

yw

zv

21

2xz2

z 2yz2

x o alongamento relativo da projeo em x de um segmento elementar originalmente na direo x.

x o alongamento relativo de um segmento elementar na direo x.

Relaes Deformao Deslocamento LinearesRelaes Deformao Deslocamento Lineares

Na notao cartesiana:Na notao cartesiana:

,,,, 321wvuuuuzyxxxx

vxu

x

...,,...,,,,,,

xyxx1211321 wvuuuu

wyv

y

zz

x o alongamento relativo da projeo em x de um segmento elementar originalmente na direo x.

x o alongamento relativo de um segmento elementar na direo x.

Deformaes angulares g

vuyxxy

yw

zv

xy

zyyz

yxxy

xw

zu

yz

zxxz

Deformaes angulares g

yxxyyxxy xv

yu

21

21

21 conveniente imaginar uma rotao

de corpo rgido do elemento em torno

zxxzzxxz xw

zu

xy

21

21

21

222p gdo eixo transversal de forma a seobter uma deformao angular igualsofrida por cada uma das faces

zyyzzyyz yw

zv

21

21

21transversais, com magnitude igual

metade de distoro total no plano.

Tensor

Assim, modificando-se as relaes para deformaes angulares para xy ,yz e xz , obtm-se o tensor (de deformaes), que uma entidadematemtica que obedece a certas leis de transformao:matemtica que obedece a certas leis de transformao:

xzxyxx

yzyyyx

xzxyxx

zzzyzx

Notar que os termos da diagonal principal representam as deformaeslineares enquanto os termos situados fora da diagonal, cujos valores sosimtricos em relao diagonal, so as deformaes transversais(angulares).

Conveno de sinais nas deformaes

Deformao linear positiva: extenso do comprimento unitrio

Deformao angular positiva:reduo do ngulo originariamente retoreduo do ngulo originariamente reto

Deformao linear numa direo qualquer q q

Na figura abaixo um segmento elementar PQ de comprimento ds e direo s Na figura abaixo, um segmento elementar PQ de comprimento ds e direo s representado na sua configurao inicial.

co-senos diretores:co senos diretores:

xs

dsdx ,cos

ysds

dymds

,cos

zs

dsdzn ,cos


Aps a deformao o segmento passa para a posio P*Q* de comprimento ds*Aps a deformao o segmento passa para a posio P Q de comprimento ds .

As projees dos deslocamentos up e uq sobre a direo s so dadas por:

wnvmuuu PPs

ddus dsds

uu sPsQs


Considerando se a hiptese de pequenas mudanas de configurao:Considerando-se a hiptese de pequenas mudanas de configurao:

dsudsduuds s

*

dsdu

ds

dsudsds

uds

dsdsds s

ss

s

*

Desenvolvendo a derivada direcional da funo u nadirecional da funo u na direo s....


Desenvolvendo a derivada direcional da funo u na direo s....

ssss udzdudydudxdudu

ss udsdzdsdydsdxds

ndz

wnvmudmdy

wnvmuddx

wnvmud

mndydw

dzdvn

dzdu

dxdwm

dydu

dxdvn

dzdwm

dydv

dxdu

222

mnnmnm 222 mnnmnm yzxzxyzyxs


s

xzxyxx

T

nm

nm yzyyyxs

M

nn zzzyzx

222 mnnmnm yzxzxyzyxs 222


mnnmnm yzxzxy2

z2

y2

xs

A expresso acima nos d a deformao linear em torno de um ponto emuma direo qualquer (definida pelos seus co-senos diretores) em funo q q ( p ) das deformaes lineares segundo os eixos coordenados e dasdistores nos planos coordenados.

V-se assim que as deformaes segundo trs eixos coordenados, ou seja, um tensor de deformaes, suficiente para definir o

ESTADO DE DEFORMAO

em torno de um ponto qualquer (assim como nas tenses).

Deformao angular numa direo qualquer g q q

Analogamente pode-se demonstrar que a distoro entre duas direesAnalogamente, pode se demonstrar que a distoro entre duas direes s e t pode ser colocada como:

tstsxytsztsytsxst mmnn2mm22 tstsyztstsxz

tstsxytsztsytsxst

mnnmnn

Deformaes Principais p

Pode-se mostrar pela anlise das expresses anteriores de deformao linear ePode se mostrar pela anlise das expresses anteriores de deformao linear e distoro segundo direes arbitrrias, ou pelas propriedades dos Tensores, que o Tensor deformao segundo trs novas coordenadas x, y, z pode ser colocado como:

xzxyxxxzxyxxzxyxxxzxyxxx ''''''''''''

colocado como:

zzzyzx

yzyyyx

zzzyzx

yzyyyx

zzyzxz

zyyyxy

zzyzxz

zyyyxy

'''

'''

'''

'''

''''''

''''''

onde

)'cos()'cos()'cos(),'cos(),'cos(),'cos('''131211

zyyyxyzxyxxxzxyxxx

R

onde:

),'cos(),'cos(),'cos(),cos(),cos(),cos(

'''

'''

333231

232221

zzyzxzzyyyxy

zzyzxz

zyyyxy

R

tRR 'Lei de Transformao do Tensor de 2 ordem:


Tal como na anlise de tenses pode se considerar por hiptese que num pontoTal como na anlise de tenses, pode-se considerar por hiptese que num ponto de um slido em estado de deformao existem trs direes ortogonais (principais) em relao s quais a distoro nula.

As deformaes lineares em tais direes so as deformaes principais:

Pelas propriedades dos tensores as trs direes principais (ortogonais)

321 ,, 321 Pelas propriedades dos tensores, as trs direes principais (ortogonais) correspondem representao do tensor deformao segundo uma matriz diagonal.

Logo, as razes da equao caracterstica do tensor de deformaes correspondem s deformaes principais, e seus coeficientes so denominados p p p ,de invariantes do estado de deformao.


Seja a direo e ma direo principal onde h apenas ma deformao

Seja a direo e uma direo principal, onde h apenas uma deformao sem distores:

mm yzyyyx

xzxyxx

ee

nn zzzyzx

00

nm

nm

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

e

e

e

00

0000

0

nmexyz I

zzzyzxe n

As deformaes principais so os autovalores da matriz (tensor) de deformaesAs deformaes principais so os autovalores da matriz (tensor) de deformaes


0eij Idet 0yzeyyx

xzxyex

ezzyzx

0JJJ 3e22e1

3e JJJ 3e2e1e

321iizyx1J

323121zzy

yzy

zzx

xzx

yyx

xyx2J

yxyy

321

xzxyx

3J

321zzyzx

yzyyx3J

Deformaes Principais: slidos isotrpicos p p

Tenses Principais, Deformaes principais, Direes Principais


T P i i i D f i i i Di P i i iTenses Principais, Deformaes principais, Direes Principais


Tenses Principais, Deformaes principais, Direes Principais


T P i i i D f i i i Di P i i iTenses Principais, Deformaes principais, Direes Principais

Rosetas de Deformaes

yxOBxy 2

Compatibilidade de Deformaesp

preciso garantir a integrabilidade das relaes preciso garantir a integrabilidade das relaes deformaes-deslocamentos;

bt d d d l t obteno de um campo de deslocamentos cinematicamente admissvel, representado por funes contnuas e unvocas;contnuas e unvocas;

preservao do meio slido no processo (de forma a no surgirem trincas ou fissuras);surgirem trincas ou fissuras);

uma maneira de se assegurar que as deformaes sejam t i i i i d d l tcompatveis iniciar um campo de deslocamentos

contnuo e unvoco e desenvolver as deformaes a partir deste campo de conformidadedeste campo de conformidade.

Compatibilidade de Deformaesp

u 1vu1

vxu

y

x

xyxy

1wu121

xv

yu

21

zwy

z

y

yzyz

xzxz

21

yw

zv

21

2xz2

z 2yz2

32 ux 0222

xyyx22 yxy

32 vy

022

yxxyyyx

0222

xzzx

22 xyxy

332 vuxy 0

0

222

22

zxxz

yzzy

xzzx

22 xyyxyxxy

022

zyyz

yzy

Bibliografia ComplementarBibliografia Complementar

Exemplos numricos prticos: Shames, I. H., Introduo Mecnica dos Slidos, Prentice

Hall 1983 (Cap 3 e 12)Hall, 1983 (Cap. 3 e 12)

Propriedades dos Tensores:p Reddy, J.N., Energy Principles and Variationl Methods in

Applied Mechanics, John Wiley & Sonx, 2nd Ed., 2002 (Captulo 2 3)(Captulo 2.3)

Crculo de Mohr Crculo de Mohr Beer Johnston, Resistncia dos Materiais Riley, Mecnica dos Materiais

def_coor_cart (1)

Documents

Transcript of def_coor_cart (1)