O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

MARILENE PEREIRA BORGES FORNAZA

CADERNO PEDAGÓGICO

GEOMETRIA ESPACIAL E MODELAGEM MATEMÁTICA

LONDRINA-PR 2009

MARILENE PEREIRA BORGES FORNAZA

GEOMETRIA ESPACIAL E MODELAGEM MATEMÁTICA

Produção Didático-pedagógica na área de Matemática a ser implementada no Colégio Estadual Bento Mossurunga em Ivaiporã-PR. Orientador: Professor Doutor Túlio Oliveira de Carvalho

LONDRINA-PR 2009

Agradecimentos

Primeiramente agradeço a Deus pela vida, pela minha família e pela

oportunidade de estar participando do PDE.

Agradeço em especial, meu orientador Professor Túlio Oliveira de Carvalho

que me instruiu e me ajudou, não poupando esforços, com dedicação e paciência na

execução deste caderno pedagógico.

Agradeço também meu esposo e minhas filhas que silenciosamente

suportaram minha ausência nas horas de dedicação intensiva a este trabalho,

colaborando também para que o mesmo se realizasse.

SUMÁRIO

1. IDENTIFICAÇÃO .................................................................................................. 04

2. TEMA DE ESTUDO DA INTERVENÇÃO ............................................................. 04

3. TÍTULO ................................................................................................................. 04

4. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 05

5. DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES .......................................................................... 06

5.1 ATIVIDADE 1 ...................................................................................................... 06

5.2 ATIVIDADE 2 ...................................................................................................... 09

5.3 ATIVIDADE 3 ...................................................................................................... 13

5.4 ATIVIDADE 4 ...................................................................................................... 17

CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 20

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................21

4

PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

1. IDENTIFICAÇÃO

1.1 Professora PDE: Marilene Pereira Borges Fornaza

1.2 Área: Matemática

1.3 NRE: Ivaiporã

1.4 Professor orientador: Prof. Dr. Túlio Oliveira de Carvalho

1.5 IES: Universidade Estadual de Londrina

1.6 Escola de Implementação: Colégio Estadual Bento Mossurunga

1.7 Público Alvo da Intervenção: Alunos do 3º ano do Ensino Médio

2. TEMA DE ESTUDO DA INTERVENÇÃO

Geometria Espacial e Modelagem Matemática

3. TÍTULO

Modelagem para Geometria Espacial

5

4. INTRODUÇÃO

A Geometria é uma das mais belas partes da matemática, e foi desenvolvida

pelo ser humano na tentativa de compreender certos aspectos do mundo em que

vive. Os objetos encontrados na natureza têm formas padronizadas que, abstraídas

de seu contexto, podem ser estudadas através da geometria. Este trabalho oferece

uma abordagem para o ensino de Geometria Espacial, particularmente sobre sólidos

geométricos, e problemas que os relacionam com nosso cotidiano.

A Matemática reveste-se de significado quando utiliza conceitos aplicáveis na

vida diária, devido a isso a proposta a ser desenvolvida contemplará atividades

relacionadas com a vivência do aluno para que estes percebam que a matemática

não é isolada, mas presente no nosso mundo. O referencial teórico das atividades a

serem desenvolvidas é a Modelagem Matemática, pois ela tem com objetivo

interpretar e compreender os mais diversos fenômenos do nosso cotidiano,

proporcionando aplicações de conceitos matemáticos.

Em todas as atividades apresentamos os objetivos a se atingir e as

expectativas do docente em relação aos resultados da aplicação das mesmas. Tais

atividades serão aplicadas para alunos do Ensino Médio do Colégio Estadual Bento

Mossurunga, no segundo semestre de 2010.

A finalidade desta produção é descrever as atividades que serão

desenvolvidas em sala de aula.

6

5. DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES

5.1 ATIVIDADE 1

Nome da Atividade: Sólidos Geométricos

Tempo da Atividade: 6 horas/aula

Objetivo desta atividade

Estabelecer relação entre a forma de alguns objetos de seu cotidiano com os

sólidos geométricos.

Reconhecer as figuras planas na decomposição das representações de

sólidos.

Construir manualmente as representações dos sólidos de Platão.

Exercitar a visão geométrica tridimensional.

Justificativa

Pretende-se com esta atividade desenvolver a capacidade de percepção de

objetos do cotidiano do aluno, identificando-os com os sólidos geométricos.

Materiais Necessários

Papel cartão

Régua

Tesoura

Cola

Moldes de sólidos planificados

Desenvolvimento da aula

Para Introdução de Geometria Espacial será feita uma revisão destacando

que a Geometria é uma das mais antigas manifestações conhecidas da atividade

matemática e surgiu de necessidades práticas do uso do espaço e a utilização das

7

formas geométricas, que com grande riqueza e variedade pontuam a história da

humanidade.

A menção dos conceitos históricos e a descrição de cada sólido denotam uma

preocupação para com aspectos de totalidade, ou seja, provocar o entendimento do

objeto estudado como um todo fazendo um elo entre objetos reais encontrados na

natureza e os modelos geométricos entendendo a tridimensionalidade, para facilitar

a compreensão de cálculos de área, de volume e também a comparação entre

medidas.

Após a explanação do assunto os alunos irão assistir a vídeos onde

aparecem as representações dos sólidos Platônicos, tendo a oportunidade de uma

visualização melhor para formar assim um conceito mais amplo das figuras antes da

construção.

Para fazer a construção das representações de sólidos geométricos será

solicitado aos alunos que pesquisem o quadro que apresenta as características que

caracterizam um poliedro como sólido de Platão.

Quadro: Nome e características dos cinco sólidos de Platão.

Poliedro Regular Vértices Faces Tipo de Face Arestas

Tetraedro 4 4 Triângulo 6

Hexaedro 8 6 Quadrado 12

Octaedro 6 8 Triângulo 12

Dodecaedro 20 12 Pentágono 30

Icosaedro 12 20 Triângulo 30

8

Após esse trabalho de reconhecimento, os alunos terão acesso às

planificações, para então fazer a construção dos cinco sólidos.

9

5.2 Atividade 2

Nome da Atividade: Investigando a forma dos alvéolos.

Tempo da Atividade: 12 horas/aula

Objetivo desta atividade

Reconhecer formas geométricas na natureza.

Identificar o tipo de prisma utilizado pelas abelhas na construção de seus

alvéolos.

Construir prismas de forma: quadrangular, triangular e hexagonal.

Fazer cálculos do volume desses prismas, para determinar o que

armazenaria a maior quantidade de mel.

Justificativa

A natureza tem sido fonte de inspiração e pesquisa para muitos matemáticos,

com base nesse preceito pretende-se com essa atividade criar vínculos entre o meio

em que vivemos e a aprendizagem em sala aula.

Fonte: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/matematica/favomela.jpg

10

Materiais Necessários

Computador

Internet

Favos coletados com apicultores

Desenvolvimento da aula

Os alunos farão uma pesquisa prévia sobre como abelhas vivem em uma

sociedade organizada hierarquicamente, onde os membros da colônia se classificam

conforme a função que exercem.

Vistas estas preliminares, tomamos o favo da abelha como objeto a ser

tratado matematicamente, propondo-se o estudo geométrico de sua construção e

contando com a modelagem matemática como ferramenta.

Verificando o volume

Pergunta diretriz: é possível justapor prismas regulares de modo a cobrir

completamente uma região do espaço, sem deixar “buracos” (interstícios)? Tente

com prismas triangulares, quadrangulares, pentagonais e hexagonais.

Depois desta experimentação, os alunos irão concluir que os únicos prismas

regulares que justapostos não deixam interstícios são: o prisma triangular, o

quadrangular e o hexagonal. Comparando esses três prismas regulares qual é o

mais econômico? Mais precisamente, qual dos três prismas (tendo áreas laterais

iguais) tem maior capacidade de armazenar volume (de mel)?

11

Para esta atividade os alunos construirão os três prismas citados acima, com

o cuidado de fazer a medida para que todos tenham a mesma altura e o mesmo

perímetro.

Após a construção os prismas serão cheios de areia, para verificar qual deles

consegue armazenar maior quantidade de areia. Serão feitas anotações dos

resultados obtidos para uma posterior discussão na sala de aula, para se chegar às

conclusões.

A atividade um, com materiais manipuláveis, ajudará o aluno a entender

melhor o significado de volume referente a sólidos geométricos, partindo desse

ponto poderão ser usadas as fórmulas matemáticas para efetuarem cálculos, tendo

por objetivo aplicação do conteúdo trabalhado em sala de aula.

A partir do tema que foi trabalhado, outras situações-problema poderão ser

levantadas para uma melhor compreensão por parte dos alunos sobre o conteúdo

apresentado.

12

FÓRMULAS PARA CÁLCULO DE VOLUME DE PRISMAS

Triangular regular

Ab = Aequilátero = l2 / 4

Aface = Aretângulo

Al = 3 Af

At = Al + 2Ab

V = Ab . h

Quadrangular regular

Ab = l2

Aface = Aretângulo

Al = 4 Aface

At = Al + 2 Ab

V = Ab . h

Hexagonal regular

Ab = 6 Aequilátero = 6 . l2 / 4

Af = 6 Aretângulo

Al = 6Af

At = Al + 2Ab

V = Ab . h

13

5.3 Atividade 3

Nome da atividade: Construir um Teodolito caseiro para o cálculo de distâncias inacessíveis. (Imenes e Lellis, 2002) Objetivo desta atividade

Calcular distâncias inacessíveis.

Medir ângulos

Estabelecer relações entre medida de ângulos e distâncias.

Resolver situações-problema utilizando conceitos e procedimentos

matemáticos.

Explorar o uso do teodolito, necessário para medir ângulos, neste tipo de

atividade.

Justificativa

A medição de distâncias inacessíveis é mais frequente na prática. Os

procedimentos que serão abordados estão presentes em projetos de engenharia,

astronomia, topografia, e geografia. Tais situações envolvem o cálculo de áreas,

medidas indiretas e outros conceitos relacionados a semelhança.

Por isso, desenvolver habilidades apropriando-se do conceito de semelhança

é importante para se ter a compreensão geométrica do meio em que vivemos e da

idéia de proporção nele presente.

Material

Um copo plástico com tampa.

Um pedaço de cano ou de antena (15 cm).

Um pedaço de papelão quadrado de 15 cm de lado.

Um pedaço de arame de 15 cm.

Xérox de um transferidor de 360º.

Régua, lápis e borracha.

14

Como construir

No papelão, marcar os pontos médios de seus lados. Unir os pontos médios

dos lados opostos, definindo o ponto zero, que é o centro do quadrado.

Colar a Xerox do transferidor sobre o quadrado, de forma que o centro

coincida com o centro do quadrado.

A tampa do copo deverá ser colada de cabeça para baixo com o seu centro

coincidindo com o centro do transferidor, servindo de base para rotação do

teodolito.

O pedaço de arame deverá ser atravessado ao longo do diâmetro da borda

do copo, deixando aproximadamente 0,5 cm desta borda, que servirá como

ponteiro do teodolito.

No fundo do copo, pelo lado de fora, colar o cano, tendo o cuidado para que

fique paralelo ao arame, pois o cano será a mira do teodolito.

Colar uma linha em forma de cruz em uma das extremidades do cano.

15

Como efetuar a medição

Para iniciar as medições, o teodolito deverá ser colocado sobre uma

superfície plana, cuidando para que os objetos a serem visados estejam mais ou

menos no mesmo nível do teodolito.

Visar o primeiro objeto com o segmento 0º apontado para o mesmo, girar

somente o copo até visualizar o segundo objeto, fazer a leitura do ângulo medido.

O uso do teodolito caseiro é uma alternativa para o trabalho, mas a idéia é

conseguir o aparelho usado pelos engenheiros para tornar a aula e o

desenvolvimento da atividade mais interessante e também para oportunizar aos

alunos o manuseio.

Futuramente, podemos investigar porque o teodolito funciona do ponto de

vista teórico.

16

5.4 Atividade 4

Nome da atividade: A matemática na construção de tanques de peixes

Tempo da Atividade: 12 horas/aula

Objetivo desta atividade

Calcular as dimensões de um terreno para construção de um tanque de

peixes.

Ir a campo, observar um Pesque-pague e fazer uma representação

(desenho).

Reconhecer qual polígono se identifica com a forma do tanque de peixes.

Fazer estimativa do terreno necessário para a construção de um tanque.

Montar e resolver situações-problema para encontrar o volume de água desse

tanque.

Justificativa

Associar o ensino de matemática às situações reais favorece uma melhor

compreensão do conteúdo de matemática, além de proporcionar novas maneiras de

ensinar e aprender.

Materiais necessários

Teodolito

Pesquisa feita junto ao IBAMA

Local onde está ou foi construído um tanque de peixes

Entrevista com piscicultores

17

Fonte: Marilene P. B. Fornaza

Desenvolvimento da aula

Para a introdução desta atividade, os alunos verificarão um local onde tem ou

pretendem-se construir um tanque de peixes, sítios que possuem pesque-pague,

para fazer a pesquisa. O desenvolvimento do trabalho poderá precisar do apoio de

piscicultores. Em sala de aula o conteúdo trabalhado estará relacionado ao assunto

da pesquisa.

Atividades

1. O que é perímetro? Dê dois exemplos de unidades de medida do

perímetro?

2. Como se calcula a área de um quadrado? E de um retângulo?

3. Dê dois exemplos de unidade de medida de áreas?

4. Dê exemplos de unidade de medida de volume?

5. Qual a importância da mata ciliar nas nascentes, lagos e rios? O que

diz a lei ambiental de nosso estado?

6. Para a construção de um tanque de peixes, quais as normas corretas a

serem seguidas?

7. Represente aproximadamente a forma de tanque de pesque-pague

usando os sólidos geométricos vistos em sala?

18

Recordando o cálculo de volume

Ex. 1 Ex. 2

h 1,5 m

1,5 m c 2 m

Temos no exemplo (1) um paralelepípedo com as medidas (c) comprimento,

largura e (h) altura, no exemplo (2) com as medidas acima e volume igual a 4,5

metros cúbicos (m³).

Vamos completar a tabela abaixo:

Comprimento (c)

Largura (l)

Altura (h)

Metros cúbicos (m³)

Cálculo

2 metros

1,5 metros 1,5 metros 4,5 m³ V=

-----

2 metros 3 metros 6 m³ V=

1,5 metros

----- 2 metros 7,5 m³ V=

2,5 metros

1 metro ----- 5 m³ V=

19

Após essas noções sobre cálculo dessas medidas, os alunos farão uma

pesquisa para descobrir quais os pré-requisitos básicos para a construção de um

tanque de criação de peixes, seguindo as seguintes normas:

Pesquisa junto a órgãos responsáveis e piscicultores.

Conhecer um pesque-pague.

Saber como foi feita a escolha do terreno.

Fazer a medida de tanques, usando um teodolito.

Descobrir as dimensões mais usadas para a construção de um tanque.

Identificar o tipo de prisma que melhor aproxima o formato do tanque.

Calcular a área e o volume, usando a aproximação por prismas, de um

tanque de peixes.

Todos os resultados obtidos serão anotados para discussão em sala de aula,

para ao final da pesquisa as informações e conhecimentos adquiridos estejam

disponíveis para o acesso de todos que se interessarem pelo assunto.

20

CONSIDERAÇÕES FINAIS

De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL,

2004), aliar teoria à prática no ensino de matemática é um bom caminho para o

desenvolvimento do pensamento matemático.

A participação no Programa de Desenvolvimento Educacional oferece

oportunidade de crescimento pessoal e profissional, uma experiência valiosa e

gratificante que está nos possibilitando a tão almejada oportunidade de buscar

conhecimentos teóricos e práticos para fundamentar o nosso fazer pedagógico.

A Geometria Espacial é um tema delicado no ensino médio. A proposta aqui

elaborada tem elementos de lazer, com aplicações práticas no cotidiano da

comunidade. Não temos dúvida de que tal abordagem demonstrará a utilidade desta

matéria aos estudantes.

Espera-se, ainda que este trabalho contribua para as práticas pedagógicas de

outros educadores e que os resultados desta pesquisa permeiem as salas de aulas,

a fim de que os estudantes se tornem mais capazes de enfrentar as situações novas

e complexas que certamente encontrarão no decorrer de sua vida.

21

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002. 389p.

BRASIL. Ministério da Educação (MEC), Secretaria de Educação Básica (SEB),

Departamento de Políticas de Ensino Médio. Orientações Curriculares do Ensino Médio.

Brasília: MEC/SEB, 2004.

CARVALHO, P. C. P. Introdução à Geometria Espacial. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro, 2002.

LORENZATO, S. Por que não Ensinar Geometria? A Educação Matemática em Revista, Ano III, n. 4, 1º semestre, Blumenau: SBEM, 1995.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática Para Todos 8ª série. São

Paulo: Scipione, 2002.