O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

1

CADERNO DIDÁTICO PEDAGÓGICO

O uso da bicicleta no ensino de física

O movimento da bicicleta aplicado no ensino

de física no 1º ano do ensino médio

2

PITANGA - PARANÁ

GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

UNICENTRO – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE

NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE PITANGA

CADERNO DIDÁTICO PEDAGÓGICO

O uso da bicicleta no ensino de física

“O movimento da bicicleta aplicado no ensino

de física no 1º ano do ensino médio”

Professor PDE: Eflem Barnabé de Medeiros

Professor Orientador: Rodrigo Oliveira Bastos

Área de Atuação: Física

IES: UNICENTRO – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE

PITANGA

2009 - 2010

3

Tema: O uso da bicicleta no ensino de física

Título: O movimento da bicicleta aplicado no ensino de física no 1º ano do

ensino médio

1. Introdução Segundo Caruso e Oguri (2000), a Física é a ciência do mundo natural que

trata dos componentes fundamentais do universo, as forças que eles exercem, e

os resultados destas forças. O termo vem do grego physis, que significa natureza.

Como alerta Menezes (2005), natureza, aqui, tem sentido de realidade material

sensível. Dessa forma, o estudo de física está relacionado às várias situações da

vida cotidiana.

A problemática da Física no ensino médio e na formação inicial e

continuada de professores vem sendo amplamente discutida pela comunidade de

pesquisadores desta disciplina. No entanto, a literatura existente sobre o tema é,

em geral, dirigida à simples apresentação de tópicos modernos ou ao

levantamento de justificativas que apoiem a asserção de que é preciso renovar os

conteúdos escolares de Física, porém, o que precisa mudar é a metodologia

utilizada por professores tanto no ensino médio como nos cursos de graduação

em licenciatura em Física.

A inclusão de Física no Ensino Médio possibilita aos estudantes a

oportunidade de entender melhor a natureza que os rodeia e o mundo tecnológico

em que vivem.

O foco deste trabalho está no movimento da bicicleta, por ser o meio de

transporte mais barato, portanto democrático, ela faz parte do cotidiano de nossos

alunos. Além de utilizado como meio de transporte também serve como lazer,

seja para um simples passeio ou para a prática de esportes radicais ou de

velocidade. A Física é a disciplina mais envolvida tanto no desenvolvimento da

invenção da bicicleta ao longo da história quanto na pesquisa de novas

tecnologias para o aperfeiçoamento da mesma.

4

Pode-se dizer que a bicicleta é considerada um dos veículos mais antigos

da sociedade, pois se sabe de sua existência desde os primórdios da história.

1.1. Um breve histórico da bicicleta

O texto abaixo sobre o histórico da bicicleta foi sintetizado a partir do site :

http://www.escoladebicicleta.com.br/historiadabicicleta.html, acessado no

dia 02 de julho de 2010.

Segundo Thomas (2009), nos séculos XV e XVI foi desenvolvido diversos

veículos de duas e quatro rodas acionados por mecanismo composto de corrente,

alavanca e outros dispositivos.

Todavia a história da bicicleta tem início em 1790, quando o Conde Sivrac

da França, idealiza o Celerífer, veículo primitivo de duas rodas ligadas por uma

ponte de madeira em forma de cavalo e acionado por impulso alternado dos pés

sobre o chão. Este nome significa celer: rápido, e fero: transporte. Este veículo

era feito de madeira, sem pedais e com o movimento dos pés diretamente

tocando o solo, no mais autêntico estilo “Flinstones”. Só alcançava maior

velocidade ladeira abaixo. O Celerífer não tinha freios nem guidão móvel para

fazer curvas.

Partindo para a historicidade propriamente dita da bicicleta, pode-se dizer

que a partir de 1816 começaram a surgir os diferentes modelos.

O primeiro que se tem notícia foi do barão alemão Karl Friedrick que

adaptou uma direção ao Celerífero, junto com o primeiro guidão apareceu a

Draisiana que foi uma das precursoras da atual bicicleta. Esta era uma máquina

quase toda em madeira com duas rodas.

Em 1818, houve outro modelo criado por Drais que apresentou seu invento

no parque de Luxemburgo em Paris, e meses mais tarde faz o trajeto Beaum-

Dijon.

Em 1820 o escocês Kirkpatrick Macmillan adapta ao eixo traseiro duas

bielas, ligada por uma barra de ferro, isto provocou o avanço da roda traseira.

No ano de 1855 o francês Ernest Michaux inventa o pedal que foi instalado

num veículo de duas rodas traseiras e uma dianteira, os pedais eram ligados à

roda dianteira.

5

Em Paris, no ano de 1892, foram criados caminhos especiais nos parques

para os velocípedes para não se misturarem às charretes e carroças, surgindo

assim, as primeiras ciclovias. Neste mesmo ano Ernest Michaux consegue

fabricar 142 unidades em doze meses.

Em resumo, pode-se dizer que com o passar dos anos a bicicleta foi

tomando formas, cores e tamanhos diferentes, cada qual com sua importância e

sua criatividade, chegando ao Brasil em 1898.

1.2. Novos estudos e tecnologias

A partir desta data as modificações continuaram de maneira assídua e

permanecem até hoje sofrendo os mais variados aperfeiçoamentos em relação

aos materiais empregados e aos vários tipos de bicicletas produzidas.

Segundo Ferreira (1996), o ciclismo, em particular, tem se desenvolvido

notavelmente nas últimas décadas. No âmbito esportivo de alto rendimento

surgem preocupações diversas, questões como a posição tomada pelo atleta na

bicicleta, até acessórios como pedais, freios, assentos, pneus, entre outros, isso

tem intrigado pesquisadores forçando-os a buscar soluções para as perguntas

acerca das respostas fisiológicas e mecânicas para as alterações na carga de

trabalho ou na produção de energia, bem como dos efeitos da posição do corpo e

configuração do quadro sobre o desempenho.

De acordo com Oliveira (2005), a discussão sobre modelos biomecânicos

para a extremidade inferior durante o ciclismo geralmente enfocam o movimento

rítmico das pernas, operando em alguma escala “ótima” de movimento, projetada

para produzir o máximo de benefício partindo das propriedades mecânicas dos

músculos envolvidos, como exemplo, músculos esqueléticos nas extremidades

inferiores utilizados para dar potência à bicicleta.

6

1.3. A bicicleta como solução para o caótico sistema de transportes, e como

meio de diminuir os problemas ambientais nas grandes cidades.

Figura 1: Foto em uma cidade que procura organizar o trânsito, incentivando a bicicleta como meio de

transporte. http://www.escoladebicicleta.com.br/topicos.html

O texto abaixo sobre a bicicleta como solução para o caótico sistema de

transportes, e como meio de diminuir os problemas ambientais nas grandes

cidades foi sintetizado a partir do site:

http://www.escoladebicicleta.com.br/historiadabicicleta.html, acessado no dia 02

de julho de 2010.

Apenas pensando nas dificuldades de deslocamento em grandes cidades,

devido ao aumento do número de automóveis com congestionamentos

constantes, bem como o grave problema ambiental causado pela emissão de

gases poluentes pelos veículos automotores.

Percebe-se que algo precisa ser feito com urgência para sanar esses

problemas, e a bicicleta pode muito bem vir a ser uma solução, para

congestionamentos, poluição ambiental e inclusive para tirar muitos cidadãos da

vida sedentária que se encontram.

Ao longo do tempo verificamos que para contornar e tentar solucionar

problemas de trânsito, devido a espaço nas grandes cidades, ou até mesmo pelo

fácil acesso devido ao custo, é incentivado o uso da bicicleta.

Em 1949, devido à sua evolução e ao fato de ocupar pouco espaço, a

bicicleta começa a ter grande importância na sociedade, principalmente na

oriental, sendo utilizada como meio de transporte individual, de cargas e até

mesmo como táxi.

7

Na década de 1960, devido à crise de petróleo surge um movimento pró-

bicicleta nos Estados Unidos, tendo-a como um meio contrário ao mundo

motorizado, ou seja, uma alternativa de transporte ecologicamente correto e ideal

para uma boa saúde.

Em alguns países como Holanda, França, Espanha e Alemanha surgiram

programas governamentais colocando bicicletas disponíveis para serem utilizadas

pela população, as bicicletas comunitárias, cada País com seu programa

específico, porém, todos incentivando o uso desse meio de transporte,

ecologicamente correto e benéfico para a saúde da população.

Um bom exemplo da utilização da bicicleta na América do Sul está em

Bogotá, na Colômbia, onde há uma boa rede de ciclovias, e cerca de 4% da

população têm a bicicleta como meio de transporte.

No Brasil pode-se citar a cidade de Joinville em Santa Catarina como um

bom exemplo da utilização da bicicleta pelos trabalhadores, porém, ela vem

perdendo espaço para as motocicletas, devido à facilidade de crédito e também

pela falta da ampliação das ciclovias.

2. A física aplicada na bicicleta

2.1. Deslocamento e velocidade angular

foto: Eflem Barnabé de Medeiros

Figura 2: Bicicleta Monark Ranger 1991, com um ponto marcado na roda para explicitar o movimento

circular.

8

2.2. Movimento circular

Pode-se dizer que o ponto no pneu da bicicleta, que será chamado de A,

está em movimento circular quando sua trajetória é uma circunferência, ou seja,

quando o referencial para o movimento for o seu próprio eixo (fig. 2). Quando a

velocidade permanece constante, o movimento é denominado circular uniforme.

Neste movimento, o vetor velocidade tem módulo constante, mas a direção deste

vetor varia continuamente.

O tempo que o ponto no pneu gasta para efetuar uma volta completa é

denominado período do movimento e é representado por , no SI a unidade de

medida é o segundo (s). O espaço percorrido pelo ponto, durante um período

(uma volta completa), é o comprimento da circunferência que vale ( é o raio

da trajetória, a distância do eixo O até o ponto A).

Considerando que o movimento seja uniforme, o valor da velocidade será

dado por logo,

Indicação de vídeo: Vídeo mostrando a bicicleta e suas partes, e

explicando o fato da direção do vetor velocidade variar continuamente.

http://www.youtube.com/watch?v=oj016_1a1X4

2.3 Frequência no movimento circular

A frequência é o número de voltas que o ponto no pneu dá na unidade de

tempo. Sua unidade no SI é rotações por segundo (RPS), também denominada

Hertz (Hz). É comum, também, ser medida em rotações por minuto (RPM).

2.3.1 Relação entre frequência (f ) e Período

A frequência e o período estão relacionados, basta perceber que essas

grandezas são inversamente proporcionais e, assim, podemos estabelecer a

seguinte proporção:

no tempo (um período) é efetuada uma volta;

9

na unidade de tempo, serão efetuadas f voltas (frequência),

Ou, esquematicamente: Tempo voltas

1

1 f

Então:

podendo ser

ou

Portanto, a frequência é igual ao inverso do período e o período é igual ao

inverso da frequência.

Sugestão de experimento/demonstração sobre frequência e período

2.4 Número de voltas, rotações ou frequência

Para a realização do experimento utiliza-se de uma bicicleta, marca com

fita crepe branca um ponto no pneu traseiro. Coloca-se a bicicleta sobre duas

carteiras apoiando o guidão e assento nas carteiras, ficando os pneus para cima,

livres, de forma que estejam livres para girar quando os pedais forem acionados.

O professor explica que a frequência f é o número de voltas ou rotações

que o ponto marcado no pneu(fita crepe) dá na unidade de tempo, ou seja, em um

segundo, ou em um minuto.

Em seguida o professor pede para um aluno acionar o pedal de forma

constante (sempre com a mesma velocidade).

Assim o professor pede para os demais alunos contarem o número de

voltas que o ponto no pneu deu em um minuto, verificando portanto a frequência

do ponto ou do próprio pneu em rotações por minuto RPM, marcando-se também

um ponto na coroa, pode-se verificar qual é a frequência da coroa que é a mesma

do pedal, pois o pedal é fixo na coroa. Após o professor pode pedir para que os

alunos transformem a frequência em rotações por segundo, caso os alunos

tenham dúvidas, explica-se que para isso basta dividir o resultado por 60 já que 1

minuto é 60 segundos, obtendo a frequência em RPS ou em hertz que é a

unidade utilizada no Sistema Internacional de Unidades.

10

2.5 Período

Aproveitando o experimento/demonstração o professor explica que o

tempo ∆t, que o ponto no pneu demora em dar uma volta completa é chamado de

período , assim, pode provocar os alunos para determinarem o período , com

os dados obtidos anteriormente.

Vídeo do experimento/demonstração realizada explicando que o período

é o tempo que um ponto no pneu leva para dar uma volta completa, e para

explicar que a frequência é o número de voltas dadas em 1 s ou em 1 min,

explicando os cálculos, chegando à equação.

http://www.youtube.com/watch?v=FEPJiFi_Y-M

2.6 Velocidade angular:

foto: Eflem Barnabé de Medeiros

Figura 3. Monark Ranger 1991, entre as setas, branca e preta, está o ângulo

Considerando uma partícula em movimento circular, passando pela

extremidade da seta branca, mostrada na fig. 3, que após um intervalo de tempo

∆ , passa pela extremidade da seta preta na referida figura. Neste intervalo de

11

tempo ∆ , o raio que acompanha a partícula em seu movimento descreve o

ângulo .

A relação entre o ângulo descrito pela partícula e o intervalo de tempo

gasto para descrevê-lo é denominada velocidade angular da partícula.

Representando a velocidade angular por ω tem-se:

A velocidade definida pela relação que já é conhecida, costuma ser

denominada velocidade linear, para distinguí-la da velocidade angular que acaba

de ser definida. Observe que as definições de e ω são semelhantes: a

velocidade linear ( ) se refere à distância percorrida na unidade de tempo,

enquanto a velocidade angular (ω) se refere ao ângulo descrito na unidade de

tempo.

A velocidade angular fornece uma informação sobre a rapidez com que um

corpo está girando. De fato, quanto maior for a velocidade angular de um corpo,

maior será o ângulo que ele descreve por unidade de tempo, isto é, ele estará

girando mais rapidamente.

Como os ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos, a

velocidade angular (ω) poderá ser medida em graus/s ou em rad/s.

Uma maneira de calcular a velocidade angular é considerar a partícula

efetuando uma volta completa. Neste caso, o ângulo descrito será e

o intervalo de tempo será um período, isto é, . Logo,

2.7 Relação entre velocidade linear ( ) e velocidade angular (ω)

No movimento circular uniforme a velocidade linear pode ser obtido pela

relação:

ou

12

Como

é a velocidade angular, conclui-se que:

Esta equação permite calcular a velocidade linear , quando é conhecida a

velocidade angular ω e o raio da trajetória. Deve se observar que ela só é

válida se os ângulos estiverem medidos em radianos.

Sugestão de experimento/demonstração sobre velocidade linear e

velocidade angular:

Pedir para os alunos formarem grupos de quatro alunos. Se houver

possibilidade cada grupo pode estar com uma bicicleta e realizar o experimento.

Mas devido às duas aulas de física semanais, na rede pública, sugiro a

demonstração utilizando uma bicicleta.

Levando para a sala de aula uma bicicleta, marca-se com fita crepe branca

um ponto no pneu traseiro da mesma, e também com fita crepe branca um ponto

em um dos raios da bicicleta próximo do eixo. Primeiramente é interessante o

professor questionar os alunos sobre o que ocorrerá, verificando o conhecimento

que os alunos já têm sobre o assunto, assim o professor pergunta aos alunos qual

dos dois pontos dará mais voltas em um mesmo intervalo de tempo quando

alguém pedalar.

De posse das respostas, passa-se para o experimento/demonstração.

Coloca-se a bicicleta com o assento e o guidão apoiado na mesa, neste

momento pede para que um aluno do grupo faça as anotações, um aluno faça a

cronometragem, um aluno conte o número de voltas completas que o ponto do

pneu efetua e o outro aluno conte o número de voltas completas que o ponto

próximo ao eixo efetua, cada grupo define durante quanto tempo fará a contagem

das voltas.

É interessante que cada grupo opte por tempos diferentes, a experiência

me faz sugerir que o professor desenhe uma tabela no quadro negro com os

dados a serem anotados pelos alunos, como o quadro a seguir:

13

Ponto no pneu Ponto próximo ao eixo

Grupos N° de voltas Tempo N° voltas/Tempo N° de voltas Tempo N° voltas/Tempo

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

Grupo 5

Grupo 6

Grupo 7

Grupo 8

Definidos os tempos que cada grupo cronometrará, o professor movimenta

o pedal de forma constante até que todos os grupos tenham feito a

cronometragem. É importante que o professor preencha a tabela no quadro com

os dados de todos os grupos, e após se faça a discussão sobre os resultados

obtidos e ver a que conclusão se chega sobre qual o ponto que dá o maior

número de voltas, o ponto no pneu, ou o ponto próximo ao eixo.

O esperado é que após as discussões se chegue à conclusão que a

velocidade angular não depende do raio, pois é a mesma para ambos os pontos,

ou seja, que ambos os pontos dão o mesmo número de voltas na unidade de

tempo, portanto têm a mesma frequência.

Após o professor pode pedir para que os alunos calculem a velocidade

angular de cada um dos pontos, sendo necessário explica-se que o ângulo ∆ϴ em

uma volta completa é 360º ou , e como a velocidade angular é dada por

, onde é o tempo, para obter a velocidade angular basta multiplicar o

número de voltas pelo ângulo de uma volta e após dividir pelo tempo em

segundos que é a medida utilizada no Sistema Internacional de unidades,

obtendo-se assim a velocidade angular.

Também sugiro que seja pedido aos alunos para calcularem a

velocidade linear que o ponto no pneu e o ponto próximo ao eixo estão se

movimentando, sendo

, neste caso em uma volta a distância é ,

14

utilizando o valor de , e transformando a medida do raio R, em metros os

alunos podem calcular a velocidade linear de cada um dos pontos apenas

multiplicando o valor de obtido, pelo número de voltas, dividir pelo tempo,

após isto é interessante fazer a discussão sobre o que ocorre com o valor da

velocidade angular em cada ponto e com a velocidade linear.

Vídeo do experimento/demonstração sobre a velocidade angular e linear,

explicando um exemplo: http://www.youtube.com/watch?v=UXFKyOvURDU

2.8 Transmissão do movimento circular

Na bicicleta, que é o objeto de estudo deste trabalho, ocorre a transmissão do

movimento circular por acoplamento de engrenagens (coroa e catraca) ligadas por uma

corrente fig. 4, e também o acoplamento de polias (catraca e roda traseira) num mesmo

eixo, o que ocorre entre a catraca e a roda traseira da bicicleta.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/51/Coroa_e_catraca_bicicleta.jpg

Figura 4: Sistema de transmissão de movimento, propulsor.

Na fig. 4, observa-se que a coroa e a catraca estão ligadas por uma

corrente (acoplamento), observa-se também, que eles podem adquirir

movimentos circulares uniformes com velocidades angulares e frequências

diferentes.

Para as extremidades da seta preta (1) na catraca e amarelo (2) na coroa,

temos:

ficando;

1 1 = 2 2

15

Como < , concluímos que a polia menor (a catraca) possui

frequência maior.

Exemplo 1: Na bicicleta com coroa e catraca iguais às da figura 4, sendo o

raio da coroa = 12 cm e o raio da catraca = 4 cm. Supondo-se que o

ciclista efetua com regularidade 2 = 60 rpm nos pedais (coroa), qual será a

frequência na catraca? Sendo o raio das rodas da bicicleta igual a 28 cm, qual a

velocidade linear adquirida? Qual a velocidade angular em um ponto do pneu?

Resolução:

1 1 = 2 2 1.4 = 60.12 1 = 180 rpm ou 1 = 3rps (Hertz).

A velocidade da bicicleta é igual à velocidade da catraca, assim como:

1 = 3 rps ou 3 Hertz

sendo,

Sugestão de experimento/demonstração sobre a transmissão do

movimento circular.

Relação entre a catraca e a coroa:

Dividindo os alunos em grupos de quatro alunos. Novamente com a

bicicleta na sala de aula, marca-se com fita crepe um ponto na coroa próximo à

corrente e também um ponto na catraca próximo à corrente. Primeiramente

16

pergunta-se aos alunos qual o ponto que dará mais voltas no mesmo intervalo de

tempo, o ponto marcado na coroa ou o ponto marcado na catraca, ou se a ambos

darão o mesmo número de voltas. Após as respostas dos alunos, passa-se para a

demonstração.

Para facilitar o trabalho é bom passar a seguinte tabela para os alunos

anotarem os dados:

Ponto na coroa Ponto na catraca

Grupos 1 1 2 2

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

Grupo 5

Grupo 6

Grupo 7

Grupo 8

Após o professor pedala com velocidade constante a bicicleta durante um

minuto, um aluno verifica(conta) a frequência f1 da coroa e outro verifica a

frequência f2, outro aluno faz as anotações e mede os valores de 1 na coroa e de

2 na catraca.

Com os dados procede-se uma discussão, para concluir o que ocorre com

a frequência da coroa e da catraca.

Na sequência sugiro que o professor peça para os alunos determinarem o

período , do ponto na coroa e na catraca, bem como para calcularem a

velocidade angular e linear em cada ponto.

3. Conservação da energia mecânica no movimento de rotação

Para mostrar a conservação da energia mecânica no movimento de

rotação, será realizado um experimento. Os alunos serão divididos em seis

17

grupos de cinco alunos, sendo que um aluno de cada grupo utilizará um dos

seguintes equipamentos para descerem de uma mesma rampa(ou descida), ao

mesmo tempo. Uma bicicleta aro 26, uma bicicleta aro 14, um patinete, um roller,

um skate e um patins. Os alunos descerão ao mesmo tempo e sem impulso inicial

a rampa (descida), cada grupo observará o que ocorre, um aluno de cada grupo

cronometrará o tempo do colega do seu grupo, dois alunos medirão a distância

percorrida pelo aluno de seu grupo, e um aluno fará as anotações.

O experimento poderá ser repetido, e também será feito a descida com

apenas dois equipamentos cada vez, para ser possível observar o que ocorre

com detalhes.

3.1 Definição da energia cinética rotacional e do momento de inércia.

Imaginemos um corpo rígido girando com velocidade angular ω em torno

de um eixo fixo, em um certo referencial inercial.

foto: Eflem Barnabé de Medeiros

Figura 5. Bicicleta Monark Ranger 1991, com um ponto branco representando uma partícula no movimento de rotação.

18

Cada partícula deste corpo em rotação tem determinada energia cinética.

Uma partícula de massa , à distância do eixo de rotação, descreve uma

circunferência de raio , com velocidade angular ω em torno deste eixo e tem

velocidade linear . Portanto, sua energia cinética será

.

A energia cinética do corpo será a soma das energias cinéticas de suas

partículas.

Se o corpo for rígido, como estamos supondo, tem o mesmo valor para

todas as partículas, no caso da roda da bicicleta o raio é o mesmo em qualquer

ponto da roda, assim a energia cinética do corpo em rotação, , pode ser escrita

como

.

O termo é o produto da massa total das partículas pelo quadrado de

suas respectivas distâncias ao eixo de rotação. Se representarmos esta grandeza

por , então: , esta equação é utilizada para calcular a inércia rotacional

de um aro de massa e raio , em relação ao eixo do cilindro.

Denomina-se momento de inércia ou inércia rotacional do corpo, em

relação ao eixo de rotação considerado. Observe-se que o momento de inércia

de um corpo depende do eixo em torno do qual ele está girando e, também,

da forma do corpo e da maneira como sua massa está distribuída. O momento de

inércia tem as dimensões , sendo usualmente expresso em kg.m2 ou g.cm2.

Em termos do momento da inércia, pode-se expressar a energia cinética do

corpo rígido em rotação como:

.

Este resultado é análogo à expressão para a energia cinética de translação

de um corpo,

. Como a velocidade angular é análoga à velocidade

linear , o momento de inércia, ou inércia rotacional é análogo à massa, ou

inércia de translação, . A diferença é que a massa de um corpo não depende

19

de sua localização, já o momento de inércia de um corpo depende do eixo em

torno do qual ele está girando.

Sendo as equações da inércia rotacional , em relação ao eixo que passa

pelo centro de massa:

a) Aro em torno do eixo do cilindro.

Foto: Eflem Barnabé de Medeiros

Figura 6. Aro cilíndrico, Como a roda da bicicleta.

b) Cilindro anular (ou anel) em torno do eixo do cilindro.

foto: Eflem Barnabé de Medeiros

Figura 7. Aro anular. Possui o raio R (raio maior) e o raio r (raio menor interno).

20

c) Cilindro sólido em torno do eixo do cilindro.

foto: Eflem Barnabé de Medeiros

Figura 8. Cilindro sólido, independe do comprimento .

d) Esfera sólida em torno de qualquer diâmetro.

foto: Eflem Barnabé de Medeiros

Figura 9. Esfera sólida.

21

e) Casca esférica delgada em torno de qualquer diâmetro.

Foto: Eflem Barnabé de Medeiros

Figura 10. Casca esférica.

A equação que talvez mais se aproxime do momento de inércia das rodas

da bicicleta é a primeira, o aro em torno do eixo , inércia rotacional ou

momento de inércia é igual à massa multiplicada pelo seu raio ao

quadrado.

As rodas de bicicletas, rollers, patins, patinete e skate são objetos mais

complexos que os apresentados, sendo difícil determinar teoricamente suas

inércias de rotação. Apesar disso, analisando as fórmulas de momentos de inércia

apresentadas, podemos ter uma ideia das diferenças entre as inércias rotacionais

desses diferentes objetos.

Por exemplo, a roda de uma bicicleta possui massa maior que a roda de

um skate. Além disso, sua massa se distribui mais distante do eixo de rotação da

roda. Esses dois fatores fazem com que a inércia rotacional de uma roda de

bicicleta seja bem maior que a de uma roda de skate.

22

Exemplos:

1) Um corpo de massa m desliza, sem impulso inicial, sobre um plano

inclinado, sem atrito, conforme a figura.

h

Solo

Figura 11. Plano inclinado, com o corpo de massa m.

No topo do plano inclinado temos apenas a energia potencial , e no

momento que o corpo chega no solo temos a energia cinética

, como não

houve impulso inicial

, assim:

(Observe que independe da massa do corpo)

e

2) Consideremos um aro de cilindro, de massa e raio , rolando para baixo,

sem deslizar, em um plano inclinado. Determinar a velocidade do seu centro de

massa quando o cilindro chegar à base do plano.

A situação está ilustrada na Fig. 12. Podemos usar a conservação da

energia para a resolver este problema. O cilindro está inicialmente em repouso e,

ao rolar sobre o plano inclinado, ele perde uma quantidade Mgh de energia

potencial, sendo h a altura do plano. A energia cinética que ele adquire é dada

por

,

23

h

solo

Figura 12. Plano inclinado com um aro no topo.

Onde v é a velocidade linear do centro de massa e ω é a velocidade

angular em torno do centro de massa, no instante em que o cilindro chega ao

solo.

Temos, portanto, a relação

,

em que e

.

Então,

24

2) Analisemos agora um problema um pouco mais geral para termos uma

noção mais exata da influência da inércia rotacional , na velocidade final,

basta verificar o que ocorre na sequência abaixo:

sendo

Como, para corpos simétricos com respeito ao eixo de rotação, o momento

de inércia, em geral, é proporcional a mr2, podemos escrever, , onde é

o coeficiente de proporcionalidade (por exemplo, para o aro , e para o

cilindro maciço,

).

Podemos cancelar as massas, e os raios, e ficamos com:

2v=+c

gh

1

2

25

Observe que quanto maior , menor será a velocidade, ou melhor, quanto

maior o momento de inércia, menor será a velocidade adquirida.

Observe também que o resultado não depende das massas, nem dos

raios. Podemos concluir então que quanto maior for a inércia rotacional, menor

será a velocidade final de um corpo que rola em um plano inclinado sem deslizar,

e quanto menor a inércia rotacional, maior será a velocidade final do corpo que

rola no plano inclinado sem deslizar.

Assim, o cilindro maciço sempre iria ganhar do aro em uma corrida em que

ambos rolam ladeira abaixo.

1) Observe a figura 12, no exemplo anterior. Se no topo do plano inclinado estiver

um ciclista sobre a sua bicicleta, massa total ciclista e bicicleta = , a massa das

duas rodas com pneus da bicicleta = , a gravidade = e a altura do plano

inclinado = .

Temos:

É interessante notar que quanto maior a massa das rodas, menor será a

velocidade da bicicleta.

26

Se pudermos aproximar as rodas dos diferentes objetos (rollers, patins,

patinete e skate) como aros, semelhantemente ao que fizemos com os pneus da

bicicleta, podemos aplicar a solução do exemplo acima. E assim, verificamos que

quanto menor a massa da roda, maior será a velocidade.

Dessa maneira, na corrida experimental proposta aos alunos, sempre

ganhará quem tiver com o objeto com rodas de menor massa.

4. Momento Angular

A velocidade angular e o momento angular são paralelos, como é o

caso da bicicleta, o momento angular é dado por , em que é o momento

angular, é a inércia rotacional, e a velocidade angular.

Com relação ao momento angular os alunos serão questionados sobre o

que faz com que seja mais fácil ficar em equilíbrio sobre uma bicicleta em

movimento, do que sobre uma bicicleta parada.

Após coletadas as respostas, serão feitos experimentos para verificar o que

faz com que seja mais fácil ficar em equilíbrio sobre a bicicleta em movimento do

que sobre a bicicleta parada.

Será que se subirmos em uma rampa, e subirmos na bicicleta

conseguiremos descer sobre a bicicleta (em equilíbrio), mas com os dois pneus

freados, deslizando?

Será que se subirmos em uma bicicleta e pedalarmos a mesma sobre uma

esteira em uma academia conseguiremos permanecer em equilíbrio? Neste caso

a bicicleta estará parada, mas as rodas-pneus estarão fazendo o movimento de

rotação.

Fazendo os dois experimentos espera-se deixar claro que o que faz com

que seja fácil permanecer em equilíbrio sobre a bicicleta é o movimento de

rotação das rodas-pneus.

27

Podem-se utilizar outros experimentos sobre momento angular, utilizando

uma roda de bicicleta, girando-a e segurando em um prolongamento do eixo, aí

sentar-se em uma cadeira giratória e observar o que ocorre.

Sentar-se em uma cadeira giratória de pernas e braços abertos e pedir

para alguém girar, quando em movimento, fechar os braços e pernas, observar o

que ocorre, e novamente abrir braços e pernas, observando o que ocorre

novamente.

Convém observar, porém, que tanto no caso do equilíbrio sobre uma

bicicleta quanto nos casos da cadeira giratória, o que ocorre depende da

conservação do momento angular, pois o momento angular se conserva quando

não há torque sobre o sistema.

Vídeo do experimento/demonstração, de um aluno pedalando uma bicicleta

numa esteira, na Academia Corpus, comprovando que o que facilita o

equilíbrio é a rotação das rodas da bicicleta:

http://www.youtube.com/watch?v=b6V4wPk4i

5. Torque

Vamos estudar agora o caso particular de um corpo rígido, que apresente

apenas o movimento de rotação em torno de um eixo fixo, em um referencial

inercial. Quando se aplica um torque a uma das partículas do corpo rígido,

como todas as partículas de um corpo rígido mantêm uma relação espacial fixa

relativamente às demais partículas que constituem o corpo, pode-se admitir que o

torque atue no corpo rígido como um todo. Em geral, o vetor não estará dirigido

ao longo do eixo em torno do qual o corpo pode girar livremente.

Figura 13. Representação esquemática dos pés de vela de uma bicicleta, e da força

sendo aplicada pelo pé do ciclista.

28

Aplicando-se uma força no pedal da bicicleta, em relação ao pé de vela

(raio ), pode-se dizer que o torque que atua no pedal e que fará movimentar a

bicicleta é dado pela equação (Força aplicada sob um ângulo de 90°),

ou pela equação .

Exercício resolvido:

As rodas de uma bicicleta giram livremente em torno de seus eixos.

Aplicando uma força de 100N no pedal, e sabendo-se que o pé de vela mede 25

cm. Determine o torque aplicado “à roda traseira” da bicicleta em cada caso:

a) O ciclista aplica a força em pé, ângulo ;

Conforme se observa na figura 13.

b) O ciclista aplica a força sob o ângulo , quando encontra-se

sentado no selin.

Figura 14. Representação esquemática dos pés de vela de uma bicicleta, e da força

sendo aplicada pelo pé do ciclista, quando o mesmo encontra-se sentado no selin.

29

6. Potência, velocidade e torque

A expressão para a potência no movimento rotacional é análoga à

expressão utilizada para o movimento de translação.

Para o movimento de translação:

Como

e

Considerando o movimento de rotação em que :

Portanto para a bicicleta pode-se escrever:

Na translação, é a potência, é a força e é a velocidade linear.

Na rotação é a potência, é o torque e é a velocidade angular.

30

7. Bibliografia

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