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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

ELIANE PINHEIRO GÓIS CRUZ ARRUDA

UNIDADE DIDÁTICA

IES: UEL - UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

ORIENTADOR: Me ANTONIO CARLOS MASTINE

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

JULHO - 2010

LONDRINA

SUMÁRIO

IDENTIFICAÇÃO ..................................................................................................................................... 3

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 4

2 JUSTIFICATIVA .................................................................................................................................... 5

3 OBJETIVO GERAL ............................................................................................................................... 7

3.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................................................................... 7

4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................................................ 8

5 ESTRATÉGIAS DE AÇÃO ................................................................................................................. 11

6 SUGESTÃO DE ATIVIDADES PARA O 1º MOMENTO .................................................................... 14

7 SUGESTÃO DE ATIVIDADES PARA O 2º MOMENTO .................................................................... 18

8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 27

9 ANEXOS ............................................................................................................................................. 28

10 REFERÊNCIAS ................................................................................................................................ 40

3

IDENTIFICAÇÃO

Área: Matemática

Professora PDE: Eliane Pinheiro Góis Cruz Arruda

Professor Orientador: Me Antônio Carlos Mastine

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Londrina

Tema de estudo da intervenção: O estudo das equações algébricas a partir da Resolução de Problemas.

Título: Álgebra: um caminho para a resolução de problemas.

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1 INTRODUÇÃO

Com o objetivo de apresentar a História da Álgebra e a aplicação desse

conhecimento na resolução de problemas, foi elaborada uma Unidade Didática com

sugestões de atividades e problemas a serem aplicados para alunos da 6ª série do

Ensino Fundamental.

Para a realização das atividades será utilizada a estratégia da Resolução de

Problemas para o desenvolvimento dos conteúdos de Equações do 1º Grau. As

Diretrizes Curriculares do Paraná (PARANÁ, 2006, p.26) considera “um dos desafios

do ensino da Matemática é a abordagem de conteúdos por meio da Resolução de

Problemas”.

Para a elaboração dos problemas propostos utilizamos como recurso alguns

problemas e ou adaptações da OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática Das

Escolas Públicas, por considerar importante e interessante e também por que os

alunos se sentem desafiados em resolvê-los. Utilizamos ainda problemas práticos

decorrentes do cotidiano e também questão histórica que envolveu os pensadores

da história da Matemática.

As atividades foram apresentadas de modo que o aluno possa reconhecer

que a linguagem algébrica é muito importante para resolver problemas, sistematizar

conceitos e sintetizar fórmulas. Evitamos assim o cálculo algébrico mecânico e

trabalhamos o uso dos símbolos de forma significativa com o uso de problemas e

situações contextualizadas.

Utilizar a resolução de problemas como estratégia para o desenvolvimento

do conteúdo de Equações do 1º Grau e fazer uso da História da Álgebra em sala de

aula possibilita a transformação e elaboração de conceitos que favorecem a

reconstrução desses conteúdos de forma significativa, natural e não abstrata.

5

2 JUSTIFICATIVA

Fonte: blog.educacional.com.br

Há muito tempo a álgebra ocupa um lugar de destaque no currículo de

matemática representando, para muitos alunos, a culminação de anos de estudo de

aritmética e também o início de estudo de outros ramos da matemática. Talvez seja

por isso que poucos contestam sua importância, embora muitos tenham apenas

noções superficiais de seu significado e seu alcance.

Cabe a nós, educadores, verificar a realidade de nossos dias e assim,

reexaminar em toda sua extensão, o currículo de matemática e a maneira adequada

de ensiná-lo.

Desse modo a proposta é abordar as idéias da álgebra e conceitos tão

abstratos junto aos alunos da 6ª série do ensino fundamental de forma mais clara,

dando-lhes oportunidade de apresentar possibilidades de representar uma situação

problema de forma diferente, assim, os primeiros passos para o pensamento

algébrico terá mais sentido e o uso das “letras” para essa representação se fará

naturalmente.

A passagem da linguagem natural para o simbolismo formal utilizando as

letras no contexto da introdução à álgebra na escola é de extrema importância,

porém, constitui-se em um processo complexo, por isso muitos alunos apresentam

6

aversão pelo estudo da álgebra, então, cabe ao professor proporcionar ampla

oportunidade para que os educandos por sua própria experiência constatem que a

linguagem dos símbolos matemáticos facilita a resolução dos problemas e ajuda no

raciocínio.

Auxiliá-lo nessa experiência constitui uma das mais importantes tarefas do

professor. (POLYA, 1995, p.101)

Diante deste quadro, é importante pensar na educação algébrica de modo

que se estabeleça relação intrínseca entre pensamento e linguagem, e nesta

perspectiva constatamos a importância do conhecimento da História da Álgebra

pelos professores de matemática e ainda a utilização da Resolução de Problemas

como estratégia para motivar e incentivar o ensino da álgebra.

De acordo com Schoenfeld (1997), os professores devem se envolver em

práticas metodológicas que apontam para resolução de problemas, as quais tornam

as aulas de matemática mais dinâmicas e não restringem o ensino de matemática a

modelos clássicos de ensino, tais como: exposição oral e resolução de exercícios

que não apresentam nenhum significado para o aluno.

Assim, os problemas propostos nesta Unidade Didática servirão como

estratégia para introduzir a álgebra em problemas que contextualizem e

desenvolvam o saber algébrico, pois o que tradicionalmente se vê no ensino da

álgebra, é que o professor de matemática quase sempre tende a valorizar mais a

etapa operacional que seu desenvolvimento e encaminhamento para a solução do

problema proposto.

Por isso, optar pelo ensino das equações algébricas a partir do

conhecimento da história da Álgebra e utilizar a Resolução de Problemas para o

desenvolvimento dos estágios de evolução para a construção do pensamento

algébrico em direção a formalização da linguagem simbólica e do desenvolvimento

do raciocino lógico para, desta forma, minimizar a dificuldade enfrentada pelos

alunos tornando este conteúdo menos abstrato, tem sido o motivo desta pesquisa.

7

3 OBJETIVO GERAL

• Traduzir para a linguagem algébrica situações expressas em linguagem

usual.

3.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Conhecer as noções de álgebra a partir do estudo da história da álgebra.

• Resolver problemas envolvendo equações do 1º grau com uma incógnita.

• Reconhecer nos problemas as regularidades e propriedades, analisando os

procedimentos envolvidos e a solução encontrada.

8

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Um pouco de história

Há indícios de que o uso de letras do alfabeto para indicar entes

matemáticos começou com o grego Hipócrate de Quios (460-380 a. C), numa obra

de geometria que se perdeu, precursora de os Os Elementos de Euclides. Ele

empregou letras do alfabeto grego para indicar pontos e retas de figuras

geométricas. Esse uso, com a generalidade que proporciona, parece ter contribuído

para que a geometria fosse o primeiro campo da matemática a atingir um nível

elevado de organização lógica. Mas foi a partir da contribuição do grande

matemático árabe Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi (780-850) com a mais

importante obra o Kitab AL-jabr w’al-muqâbalah o primeiro livro escrito sobre Álgebra

onde trata basicamente de técnicas para a resolução de equações, o que

determinou de certa maneira a associação forte da álgebra à resolução de equações

em uma parte significativa de sua história. Porém, anterior a isso, temos o mais

antigo documento que contém relações denominadas algébricas, o papiro de Rhind,

principal fonte de informação a respeito da matemática egípcia, cuja origem remonta

à época da construção das grandes pirâmides. Atualmente exposto no Museu

Britânico, tal papiro representa a solução de equações algébricas como + = 17,

cuja solução envolve o método da falsa posição, que consiste em atribuir uma

solução qualquer à equação e procurar seu verdadeiro valor por meio de

aproximações sucessivas, geradas a partir da aplicação de tal tentativa à equação.

Na obra de Al-Khowarizmi, os cálculos e resoluções de equações eram

escritos com palavras. Atualmente utilizamos os cálculos com , etc. É claro

que o uso de letras para representar quantidades é muito importante porque facilita

à escrita e os cálculos. Isso já havia sido representado, entre outros, por Diofante de

Alexandria (200 – 284), matemático grego do século III, que também estudou

equações. No entanto, essa ideia foi ignorada pelo inovador Al-Khowarizmi. Porém

nos séculos seguintes, a representação de quantidades por letras ressurgiu com

muito poder. A partir do século IX, que a álgebra tomou novas proporções e

progrediu muito nas mãos dos árabes, persas e indianos. Por volta do século XIII, a

9

obra de Al-Khowarizmi tornou-se conhecida na Europa, provocando um

renascimento matemático. Novas descobertas foram feitas, e a maneira de registrar

as equações foram sendo aperfeiçoadas, até assumir, no século XVII, a forma atual.

Foi o matemático francês François Viète (1540 – 1603) também advogado e

apaixonado pela álgebra, um dos grandes responsáveis pelo avanço da álgebra

nesse período, pois criou uma forma de registro que facilitou os cálculos e as

deduções de fórmulas matemáticas.

A “história da Matemática registra, entre os babilônios, cerca de dois mil anos

antes de Cristo, a existência de uma aritmética transformada numa álgebra

estabelecida” (STRUIK, 1997, p.58), proveniente do uso de escritas que se

manifestavam vinculadas a conceitos que se expressavam por meio de sinais.

A álgebra obteve contribuição de diversas culturas, entre elas: Álgebra

egípcia, babilônica, pré-diofantina, diofantina, chinesa, hindu, arábica e da cultura

européia renascentista. A utilização sistemática de símbolos algébricos foi

evidenciada com Diofanto, no século III d.C.. Tal sistematização é muito significativa,

pois estabelece uma notação algébrica bem desenvolvida que possibilita a solução

de problemas de maior complexidade não abordados, nem resolvidos anteriormente.

O avanço no conhecimento algébrico ocorreu a partir do século VII com a

influência da cultura árabe na Europa. Surgiram então, os tratados sobre Álgebra,

influenciando o desenvolvimento do conhecimento algébrico até os primeiros tempos

da Renascença.

Para Miguel e Miorim (2004), o conhecimento da história da matemática

deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da

Matemática, bem como, para a promoção de ensino e da aprendizagem da

Matemática escolar baseado na compreensão e significação. Conhecer a história da

Matemática possibilita ao estudante entender como o conhecimento matemático é

historicamente construído e este pode ser desenvolvido a partir da resolução de

problemas.

Segundo Polya,

“A resolução de problemas foi e é a coluna vertebral da instrução

matemática desde o Papiro de Rhind “(1977).

10

E de acordo com o CNPM - Conselho Nacional

de Professores de Matemática,

“O currículo de Matemática deve ser organizado em torno da resolução de problemas”. (EUA, 1980)

Assim, utilizar a resolução de problemas como

estratégia para introduzir o pensamento algébrico, tem

sido o desafio desta proposta, pois por meio da resolução de problemas, os alunos

se sentirão desafiados e motivados a encontrar as soluções matemáticas aos

problemas propostos. Informações e imagens sobre o papiro de Rhind disponível no

site: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/rhind/inicio.htm.

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5 ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

Para o desenvolvimento do projeto sobre a resolução de Equações do 1º

Grau, a partir da resolução de problemas, a professora PDE1 definirá com as turmas

da 6ª série ou 7º ano do Ensino Fundamental, do período vespertino do Colégio

Estadual Vicente Rijo, as estratégias para implementação do projeto. O projeto será

desenvolvido no horário normal das aulas, com registros de todas as atividades

desenvolvidas pelos alunos.

Para iniciar o conteúdo sobre equações do 1º grau será apresentado à

classe um vídeo de curta duração desenvolvido pelo Novo Telecurso sobre a história

da Álgebra e sua aplicação, cuja finalidade é de despertar a curiosidade e o

interesse do aluno pelo estudo das equações algébricas. Após a apresentação do

vídeo, a professora investigará sobre o quanto o aluno sabe sobre o termo Álgebra.

É muito importante que os alunos verbalizem e descrevam o que conhecem sobre a

Álgebra, mesmo que de modo ainda informal, por isso, será aplicado em seguida um

questionário que permitirá essa sondagem por parte da professora e também servirá

de subsidio para a elaboração dos novos encaminhamentos das atividades e para a

elaboração do artigo que deverá ser apresentado ao final deste projeto.

Dando continuidade às atividades e a fim de direcionar o trabalho, a

professora dividirá a turma em grupos e esses receberão neste primeiro momento:

10 tiras de papel, com uma frase escrita em cada tira. Esta atividade será realizada

em duplas. Deverá ser entregue separadamente a um dos alunos da dupla uma

frase que deverá ser adivinhada pelo outro colega. O aluno da dupla que ficou sem a

tira, fala um número qualquer e o outro que está com a frase executa com esse

número a operação que sua frase indica, dizendo ao colega apenas o resultado que

obteve. Isto deve ser repetido até que o aluno que disse o número descubra a regra

escrita na frase. Ao descobrir a regra, a dupla deve tentar reescrever a frase usando

símbolos matemáticos. Após a descoberta, as tiras contendo as frases devem ser

trocadas com outras duplas, de modo que todos trabalhem com todas as frases.

Este trabalho com as tiras deverá ser sistematizado, usando na medida do

possível, as escritas simbólicas que tenham aparecido entre os alunos, mostrando

1PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional.

12

que cada uma das frases pode ser escrita simbolicamente utilizando uma letra

qualquer para representar o número dado.

Para o segundo momento, será entregue aos grupos de 4(quatro) alunos,

problemas previamente separados pela professora, que depois de lidos pelos

integrantes do grupo, devem ser resolvidos entre eles e apresentados à classe para

discussão e levantamento de hipóteses e possíveis soluções encontradas pelo

grupo. Toda e qualquer definição e demonstração ainda não foram expressos pela

professora. A idéia é fazer com que aluno perceba a importância do uso das letras, e

ainda, que a linguagem matemática expressa por meio da utilização dos símbolos,

facilite o desenvolvimento dos problemas, bem como, sua resolução.

Após a apresentação dos problemas pelos alunos e a fim de sanar possíveis

dúvidas, a professora, neste momento, poderá resgatar a história da Álgebra com a

finalidade de destacar a grande contribuição dos matemáticos responsáveis por esta

linguagem algébrica que serve para expressar um problema e assim traduzi-lo numa

equação algébrica. O que se espera é que os alunos sejam capazes de representar

as equações e resolvê-las.

O último passo na resolução de problemas envolve a reflexão sobre todo o

processo na busca da solução do problema proposto. Há necessidade então, de

interpretar os resultados obtidos, com uma atitude crítica e de validar todo o

processo.

Todo o trabalho desenvolvido em sala de aula com a resolução de

problemas envolvendo equações do 1º grau poderá ser acompanhado e

demonstrado em atividades disponíveis em softwares educativos. Como sugestão

ao professor (a) indicamos os recursos tecnológicos com atividades interessantes.

Tais atividades podem ser demonstradas e exploradas utilizando a balança de dois

pratos, com “animação”. Nessas atividades os alunos deverão igualar valores de

massa, desenvolvendo assim o raciocínio lógico das operações propostas.

Sugerimos tais atividades, pois servem para estimular o interesse do aluno por esse

conteúdo e estão disponíveis em CDs ou ainda no site:

http://www.portalpositivo.com.br/cadastro. Caso o professor (a) deseje dar

continuidade ao conteúdo partindo para o estudo de Funções, o mesmo poderá

recorrer ao software Geogebra, para isso faz-se necessário acessar o site:

www.geogebra.org e instalar o programa que se encontra disponível gratuitamente

na internet. O programa permite que o aluno faça diversas construções geométricas.

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O estudo das equações e dos sistemas de equações só faz sentido se

vinculado à resolução de problemas. É o que demonstraremos nas atividades

propostas nesta unidade didática.

Todas as experiências e demonstrações serão registradas para que ao final

desta pesquisa, possamos avaliar as vantagens e dificuldades encontradas nesta

nova forma de trabalhar os conceitos algébricos junto aos alunos da 6ª série do

Ensino Fundamental.

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6 SUGESTÃO DE ATIVIDADES PARA O 1º MOMENTO

Atividade 1: Vídeo” O x do problema”, apresentado pelo Novo Telecurso.

Tempo de duração da Atividade: 02 aulas

Desenvolvimento

Apresentação de um vídeo pelo Novo Telecurso - Matemática e disponível no site You

Tube (www.youtube.com/watch?v=NKFmvpeS5hs&feature=related) sobre a história

da Álgebra, cuja finalidade é de despertar a curiosidade e o interesse pelo estudo

das equações algébricas.

• Nesta proposta inicial são apresentadas aos alunos algumas informações

sobre a história da Álgebra por meio do vídeo e em seguida a professora

deverá investigar sobre o quanto o aluno sabe sobre o termo Álgebra. É

fundamental a interação com a professora e necessário que os alunos

verbalizem o que conhecem sobre a Álgebra, mesmo que de modo ainda

informal. Todas as questões levantadas serão retomadas durante o

desenvolvimento das atividades propostas e na conclusão da unidade; logo, a

professora não deve sanar todas as incompreensões que surgirem nesse

momento.

• Apresentação de um questionário que deverá ser respondido pelos alunos,

sobre o quanto sabem sobre o termo Álgebra ou sobre a história da Álgebra.

Questão 1: Quais situações semelhantes às apresentadas no vídeo você já

resolveu?

Questão 2: Você já utilizou os símbolos algébricos na resolução de

problemas? Em que momento?

Questão 3: Para você o que representa o termo Álgebra?

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Atividade 2 - TIRAS DE EXPRESSÕES (Fonte: Inspirado no livro Ensinar e

Aprender 2 - matemática; p.39. CENPEC - 1997)

Tempo de duração da atividade: 02 aulas

Participantes:

• Atividade em duplas

Material necessário:

• 10 ou mais tiras de papel, com uma frase escrita em cada tira de papel

• Canetas hidrográficas

Modelo para confecção das tiras de expressões:

� Indique o dobro do número

� Indique o sucessor do número

� Indique o quadrado do número menos um

� Indique o triplo de número mais um

� Indique o número mais cinco

� Indique o quadrado do número

� Indique dez vezes o número

� Indique o dobro do número menos um

� Indique quatro vezes o número menos um

� Indique a soma da metade com a terça parte de um número racional

� Célia tem, atualmente 25 anos. Qual é a expressão algébrica que representa a

idade que ela terá daqui a anos?

� A 6ª série A tem alunos. Sabe-se que 15% desses alunos não praticam

esportes. Qual é a expressão algébrica que representa o número de alunos da

6ª série A que não praticam esportes?

� Repartir 280 figurinhas entre duas pessoas, de modo que a segunda ganhe o

triplo da primeira.

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Objetivo

• Aprimorar as noções dos alunos sobre Álgebra, estimular o trabalho coletivo.


usual.

Encaminhamento da atividade em sala:

• Distribuir para cada dupla 5 tiras com as expressões algébricas. O aluno da

dupla que ficou sem a tira, fala um número qualquer e o outro que está com a

frase executa com o número dito, a operação que sua frase indica, dizendo

ao colega apenas o resultado que obteve. Isto deve ser repetido até que o

aluno que disse o número descubra a regra escrita na frase. Ao descobrir a

regra, a dupla deve tentar reescrever a frase, usando símbolos matemáticos.

Após a descoberta, as tiras contendo as frases devem ser trocadas com

outras duplas, de modo que todos trabalhem com todas as frases.

Variantes da Atividade

• Este trabalho com as tiras deverá ser sistematizado, usando na medida do

possível, as escritas simbólicas que tenham aparecido entre os alunos,

mostrando que cada uma das frases pode ser escrita simbolicamente, se

usarmos uma letra qualquer para representar o número dado.

• Este trabalho com as tiras poderá ser diversificado com outras frases ou

situações problemas, sendo que o aluno deverá expressar matematicamente

o que está escrito na sua tira numa folha de papel ou diretamente no quadro

de giz. A seguir deverão ser apresentadas aos colegas da classe as

considerações e conclusões sobre o trabalho. Desta forma, os alunos

explorarão a habilidade de tradução da linguagem textual para a linguagem

algébrica.

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PROBLEMOTECA Objetivos:

� Revisar conteúdos trabalhados em sala de aula.

� Desenvolver a capacidade de interpretar e resolver problemas.

Desenvolvimento:

Pegue uma caixa e encape. Escreva por fora da

caixa a palavra Problemoteca. Em seguida escreva

vários problemas ou atividades diversas contendo os

conteúdos trabalhados anteriormente e coloque-os

dentro da caixa. Assim estará pronta sua Problemoteca.

O professor poderá usá-la na sala de aula de várias formas, por exemplo:

• Em uma competição com a turma.

• Para que os alunos que já terminaram as atividades propostas em sala de

aula não fiquem dispersos ou ociosos, o professor (a) poderá recorrer à

Problemoteca, que contem problemas interessantes e desafiadores, ou

ainda a atividades interessantes para que possam ser resolvidas

mentalmente.

ESTOURE E RESPONDA

Atenção: A mesma atividade acima pode ser diversificada

utilizando os balões.

Objetivos:

� Fixar os conceitos trabalhados.

� Trabalhar com os alunos a linguagem algébrica por meio dos problemas

propostos de forma lúdica.

Desenvolvimento:

Escreva os problemas e coloque-os dentro dos balões, os alunos deverão

estourar os balões e resolver o problema proposto, esta atividade serve para

encerramento da atividade e também para avaliar a aprendizagem do aluno de

forma descontraída e lúdica.

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7 SUGESTÃO DOS PROBLEMAS PARA O 2º MOMENTO

Atividade 3 – Aplicação dos problemas envolvendo Equações do 1º Grau

Tempo de duração da atividade – 08 aulas

Objetivo

• Desenvolver o raciocínio lógico do aluno.


usual.

• Conhecer as noções de álgebra a partir do estudo da história da álgebra.

• Resolver as equações determinadas pela situação-problema e interpretar o

resultado obtido.

• Reconhecer nos problemas as regularidades e propriedades, analisando os

procedimentos envolvidos e a solução encontrada.

Desenvolvimento:

• Os problemas propostos podem ser resolvidos por equações do 1º grau,

porém é importante deixar que o aluno resolva da maneira que conseguir. A

intenção é que os alunos procurem a solução por qualquer outro

procedimento, tentativa e erro, mentalmente etc. O que há por trás desse tipo

de resolução são as hipóteses iniciais levantadas até se chegar ao que se

pretende.

• Trabalho em Grupo: Para o segundo momento será entregue aos grupos

formados por 4 (quatro) alunos problemas previamente separados pela

professora que depois de lidos pelos integrantes dos grupos, devem ser

resolvidos entre eles e apresentados à classe, para discussão e levantamento

de hipóteses e possíveis soluções encontradas pelos grupos. Toda e

qualquer definição e demonstração da idéia de equações ainda não foram

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expressos pela professora. O objetivo é fazer com que aluno perceba a

importância do uso das letras e que a linguagem matemática expressa por

meio da utilização de símbolos facilita o desenvolvimento dos problemas, bem

como, sua resolução.

• Após a apresentação dos problemas pelos alunos e a fim de sanar possíveis

dúvidas, a professora poderá resgatar a história da Álgebra que foi

apresentada anteriormente por meio do vídeo e ainda destacar a grande

contribuição dos matemáticos responsáveis por esta linguagem algébrica, que

serve para expressar um problema e assim traduzi-lo numa equação

algébrica.

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Problemas Propostos:

1 - Qual é o número? - (OBMEP- N1, 2010) Quando Joana entrou em sua sala de

aula, a professora estava apagando o quadro negro, mas ela ainda pôde ver algo

escrito, conforme mostra a figura. Qual o número que foi apagado? Fonte: http://www.obmep.org.br/bq/bancoobmep2010.pdf

a) 8

b) 9

c) 11

d) 12

e) 13

2 – As figurinhas - Alex e Pedro são amigos e colecionam figurinhas e já possuem

45 figurinhas. Alex tem 7 figurinhas a mais do que Pedro. Quantas figurinhas têm

cada um?

Sugestão: A professora pode sugerir aos alunos para que pensem na situação-

problema dando a dois alunos da classe 45 figurinhas ou outro objeto como:

bolinhas, feijões etc. Pedir para que eles os dividam entre si nas mesmas condições

do problema e demonstrem a situação na prática. A classe toda será convidada a

participar e todas as sugestões serão analisadas. Logo a classe perceberá que,

dando inicialmente a Alex as 7 figurinhas que ele possui a mais do que Pedro e, em

seguida repartindo em partes iguais as figurinhas restantes, o problema estará

resolvido.

O aluno pode escolher ainda representar por meio de desenho a resolução do

problema proposto. É importante que todas as formas encontradas de resoluções

sejam incentivadas e valorizadas.

Se for o número de figurinhas de Pedro. Como ficaria a representação?

Fonte: http://4.bp.blogspot.com/_BSjc0WpjJQc/SvDMu87-CJI/AAAAAAAAEMk/a-blQbstAE8/s400/3939436170_fec68d0fe7.jpg

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3 - Três irmãos – Flávio, Fernando e Farley são três

irmãos que formam uma banda. Flávio é 8 anos mais

velho que Fernando e dois anos mais velho que

Farley. Determine a idade de cada um, sabendo que a

soma das três idades é 134.

4 - O carro de Maria – (Adaptado OBMEP,N1, 2010). Em Londrina, um litro de

álcool em alguns postos de combustível é vendido a

R$ 1,50. O carro de Maria percorre 25 km com 3

litros de álcool. Quantos reais Maria gastará com o

álcool necessário para percorrer 600 km? Fonte: http://www.obmep.org.br/bq/bancoobmep2010.pdf

5 - Copa do Mundo 2010 (Adaptado OBMEP,N2, 2010)- Para resolver as próximas

questões, utilize as informações da tabela, que mostra o desempenho das seleções

da Copa do Mundo de 2010. Nessas partidas de futebol, a equipe vencedora

ganha três pontos e a perdedora não ganha nem perde pontos; em caso de empate,

as duas ganham um ponto.

Seleção Jogos Vitórias Empates Derrotas Gols

Marcados

Gols

Sofridos

Pontos

Brasil 3 2 1 0 5 2 7

Coréia do Norte 3 0 0 0 1 11 ?

Costa do Marfim 3 1 1 1 4 ? 4

Portugal 3 1 2 0 7 0 5

a) Quantos pontos obteve a seleção da Coréia do Norte? a) 4 b) 0 c) 2 d) 1 e) 7

b) Quantos gols sofreu a seleção da Costa do Marfim? a) 2 b) 4 c) 1 d) 5 e) 3

Fonte

:http://ego.globo.com/Gente/foto/0,,190430

16-GDH,00.jpg

Fonte: http://robertocordeiro.files.wordpress.com/2009/07/flex.jpg

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6 - O carteiro - Um carteiro entregou 100 telegramas em 5

dias. A cada dia, a partir do primeiro, entregou 7 telegramas

a mais que no dia anterior. Quantos telegramas entregou em

cada dia?

7- Espanha x Holanda - A grande campeã da Copa do Mundo de 2010 foi a

Seleçao Espanhola numa final inédita entre Espanha e Holanda. A partida foi

realizada em 11 de julho às 20h30min, no estádio Soccer City, em Joanesburgo,

com um público estimado em aproximadamente de sua capacidade total. Se

nesta partida comparecessem 9470 pessoas a mais, o estadio estaria com sua

capacidade total. Qual é a quantidade total de pessoas que o estadio comporta?

Fonte: http://andressoares.files.wordpress.com/2010/03/soccer_city.jpg

8 - Festa na Escola - (OBMEP-N2, 2009) Para a festa de aniversário da escola,

Ana, Pedro, Miriam e Fábio levaram juntos 90 docinhos. A professora deles

observou que:

• Se Ana tivesse levado 2 docinhos a mais;

• Se Pedro tivesse levado 2 docinhos a menos;

• Se Miriam tivesse levado o dobro;

• Se Fábio tivesse levado a metade;

os 4 amigos teriam levado todos o mesmo número de docinhos. Quantos docinhos

levaram cada um dos amigos? Fonte:: http://www.slinestorsantos.seed.pr.gov.br/redeescola/escolas/11/2590/17/arquivos/File/Biblioteca/om_bq2009-final.pdf

Fonte:

http://vaitrabalhar.blogsome.com/im

ages/carteiro1.jpg

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9 – A Gripe H1N1 x Vacina – Faça a leitura do texto e responda as questões:

Imunização contra H1N1 atingiu 81 milhões de pessoas, diz Temporão Cidades que ainda não cumpriram meta continuam a vacinar.

Proteção contra nova gripe atingiu mais de 88% do público-alvo - http://notapajos.globo.com/lernoticias (acesso 21de julho 2010) Foto: Arquivo Brasil

O ministro da Saúde, José Gomes Temporão, anunciou nesta quinta-feira (17) que 81 milhões de pessoas foram vacinadas em 2010 contra a gripe A (H1N1). O número, registrado às 9h da manhã, representa mais de 88% do público-alvo da vacinação.

"É a maior vacinação que já aconteceu [na história do país]", disse o ministro durante entrevista coletiva em Brasília.

Segundo Temporão, o Brasil foi o país que mais vacinou em termos percentuais a população contra o vírus A H1N1. "42% da população brasileira foi vacinada. O Brasil vacinou um número de pessoas praticamente igual à população da Alemanha", disse.

Em Londrina - Saúde amplia vacinação contra gripe A H1N1 para crianças de 5

e 6 anos Fonte: http://portal.rpc.com.br/jl/online/conteudo.phtml?id=1015656

As doses remanescentes serão disponibilizadas porque, das 20 mil doses disponíveis para os professores e profissionais ligados à educação, somente 2,1 mil procuraram os postos de Saúde.

a) Segundo o Ministro da Saúde, José Gomes Temporão, qual deve ser o

público-alvo de pessoas a serem vacinas?

b) De acordo com o IBGE (2007), a população atual do Brasil é de 183,9 milhões

de habitantes. Quantos brasileiros não foram vacinados?

c) Com base no texto, quantos professores e profissionais ligados à educação

foram vacinados em Londrina e quantas doses foram transferidas para a

vacinação de crianças de 5 a 6 anos?

24

10 - A compra de revistas - Se Paulo comprasse revistinhas de R$15,00 cada,

ficaria com R$ 10,00 sobrando. Se comprasse o mesmo número de revistinhas,

porém de R$ 18, 00 cada, ficaria faltando R$2,00. Quantas revistinhas Paulo deseja

comprar? FONTE: livro Explorando o Ensino Vol.2 pag.57-MEC

Observação: O professor pode sugerir e orientar para que as crianças façam a

encenação em sala de aula da situação-problema proposta. Alguns

questionamentos que podem ser levantados neste momento.

Para trocar as revistinhas de R$15,00 por revistinhas de R$18,00, Paulo terá

que pagar R$3,00 a mais por revistinhas.

Não tendo dinheiro suficiente, poderá tomar emprestado os R$2,00 que

faltam e efetuar a troca. Como tinha R$10,00, tomando emprestados R$2,00

ficará com R$12,00.

Quantas vezes R$3,00 estiverem contidas em R$12,00, são quantas

revistinhas poderá comprar, isto é, 4 revistinhas de R$18,00.

11- O ciclismo – - Em uma corrida ciclista, os três

primeiros colocados foram premiados. Eles dividiram o

prêmio de R$10.000,00 da seguinte forma:

• O 3º colocado recebeu a menor parte.

• O 2º colocado recebeu R$ 2000,00 a mais que o

3º colocado.

• O 1º colocado recebeu o dobro da quantia do 2º

colocado.

a) Escreva uma equação que expresse os dados da situação problema.

b) Quanto recebeu cada ciclista, se o 2º colocado recebeu R$3000,00?

c) Quanto receberia cada ciclista, se o prêmio fosse de R$ 14000,00?

Fonte:

http://3.bp.blogspot.com/_QZeM81Sh3Tw/

S3MVS2Va2oI/AAAAAAAAAC0/lUDuiUsb

cUU/S640/Esportes.+Ciclismo.bmp

25

12 - Coleta seletiva e reciclagem – A reciclagem de materiais depende da coleta

seletiva do lixo. Esse processo consiste em coletar separadamente latas e outros

objetos de metal, papel e papelão, plástico e vidro. No Brasil, apenas 3,5% dos

municípios adotam programas de coleta seletiva de lixo.

O material reciclado em maior quantidade é o alumínio,

gerando uma renda de 1,8 bilhões para cerca de 180 mil

pessoas. Cada 75 latas recicladas produzem um quilo

de alumínio. A cada quilo de alumínio reciclado, cinco

quilos de bauxita (minério de onde se produz o alumínio)

são poupados. Para se reciclar uma tonelada de

alumínio, se gasta somente 5% da energia que seria

necessária para se produzir a mesma quantidade de alumínio primário, ou seja, a

reciclagem do alumínio proporciona uma economia de 95% de energia elétrica. Fonte: http://www.novelis.com.br/NovelisBrasil/SalaNoticias/Noticias/Reciclagem+da+lata+de+aluminio.htm

a) Cada lata reciclada fornece que massa de alumínio?

b) Quantas toneladas de alumínio resultam de 9 bilhões de latas recicladas ?

c) Se as latas não tivessem sido recicladas, para onde teria ido essa massa de

alumínio?

d) Além da economia de matéria-prima de bauxita, qual outro benefício pode obter

com a reciclagem do alumínio?

13 - A cantina do colégio - A venda de salgados na cantina do CE Vicente Rijo, na

segunda semana de aula no período vespertino, está registrada no gráfico a seguir.

Qual o total de salgados vendidos nesta semana? Sabendo que cada salgado é

vendido a R$2,50, qual o lucro da cantina nesta semana?

Fonte http://petragaleria.files.wordpress.com/2009/02/2007_lixo_reciclavel_coleta_seletiva_recicling_trash

26

DESAFIO

A idade de Diofanto - Como curiosidade e segundo historiadores, Diofanto foi o

primeiro matemático a utilizar letras para resolver problemas. Ele é conhecido como

o “Pai da Álgebra”, sabe-se que Diofanto viveu por volta do século III. A sua carreira

decolou em Alexandria, no Egito, mas sabe-se muito pouco sobre sua vida. Na

lápide de seu túmulo aparece a seguinte descrição:

“DIOFANTO PASSOU 1/6 DE SUA VIDA COMO CRIANÇA, 1/12 COMO

ADOLESCENTE E MAIS 1/7 NA CONDIÇÃO DE SOLTEIRO. CINCO ANOS

DEPOIS DE SE CASAR, NASCEU-LHE UM FILHO QUE MORREU 4 ANOS

ANTES DELE, COM METADE DA SUA IDADE”. FONTE: APOSTILA POSITIVO -

MATEMÁTICA 1º VOLUME P.64

• Escreva uma expressão algébrica que possibilite determinar com quantos

anos Diofanto faleceu:

• Escreva essa expressão na forma mais simplificada possível:

• Escreva uma equação que possibilite calcular quantos anos Diofanto viveu.

Em seguida, resolva:

• Com quantos anos Diofanto:

• Casou-se?

• Foi pai?

• Faleceu?

Desafio

27

8 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os problemas apresentados nesta Unidade Didática podem ser

solucionados utilizando a equação do 1º grau com uma incógnita (que é a solução

sugerida).

O aluno pode encontrar a solução usando outro tipo de raciocínio, neste

caso, é muito importante valorizar a contribuição do aluno e este pode ser o

momento ideal para se demonstrar as várias formas de resolver um problema. A

professora pode aproveitar este momento para ressaltar que o uso dos símbolos,

muitas vezes, facilita a resolução de diversos problemas.

É preciso enfatizar que o importante não é saber a regra, mas ter entendido

o raciocínio. A apresentação do problema pode ser facilitada quando utilizamos um

desenho da situação descrita para representá-lo, contribuindo desta maneira para a

compreensão e solução do problema.

Ao propor o estudo da Álgebra a partir da Resolução de Problemas,

esperamos que o aluno se interesse pela matemática e se sinta incentivado e

encorajado a refletir sobre os problemas e não somente sobre que operações devem

executar para resolvê-las.

28

9 ANEXOS

29

O

Objetivo:

• Aprimorar as noções dos alunos sobre Álgebra, estimular o trabalho coletivo.


usual.

Participantes:

• Atividade em duplas

Material necessário:

• 10 ou mais tiras de papel, com uma frase escrita em cada tira de papel

• Canetas hidrográficas

Modelo para confecção das tiras de expressões:

� Indique o dobro do número

� Indique o sucessor do número

� Indique o quadrado do número menos um

� Indique o triplo de número mais um

� Indique o número mais cinco

� Indique o quadrado do número

� Indique dez vezes o número

� Indique o dobro do número menos um

� Indique quatro vezes o número menos um

� Indique a soma da metade com a terça parte de um número racional

� Célia tem, atualmente 25 anos. Qual é a expressão algébrica que representa a

idade que ela terá daqui a anos?

� A 6ª série A tem alunos. Sabe-se que 15% desses alunos não praticam

esportes. Qual é a expressão algébrica que representa o número de alunos da

6ª série A que não praticam esportes?

� Repartir 280 figurinhas entre duas pessoas, de modo que a segunda ganhe o

triplo da primeira.

Colégio Estadual Vicente Rijo Aluno(a)____________________________ Nº_____ Data: ___/___/____ Profª: ____________________________

Atividade 1 – Tira de expressões

30

Objetivo:

� Despertar a curiosidade e o interesse pela história da Álgebra e pelo estudo

das equações algébricas.

Desenvolvimento

Apresentação de um vídeo pelo Novo Telecurso de Matemática e disponível no site

You Tube (www.youtube.com/watch?v=NKFmvpeS5hs&feature=related) sobre a

história da Álgebra.

1 - Quais situações semelhantes às apresentadas no vídeo você já resolveu?

2 - Você já utilizou os símbolos algébricos na resolução de problemas? Em

que momento?

3 - Para você o que representa o termo Álgebra?


Atividade 2 – Vídeo: O “X” do problema.

31

Objetivo:

� Desenvolver o raciocínio lógico do aluno.

� Traduzir para a linguagem algébrica situações expressas em linguagem usual.

� Conhecer as noções de álgebra a partir do estudo da história da álgebra.

� Resolver as equações determinadas pela situação-problema e interpretar o resultado obtido.

Qual é o número? - (OBMEP- N1, 2010) Quando Joana entrou em sua sala de

aula, a professora estava apagando o quadro negro, mas ela ainda pôde ver algo

escrito, conforme mostra a figura. Qual o número que foi apagado? Fonte:

http://www.obmep.org.br/bq/bancoobmep2010.pdf

f) 8

g) 9

h) 11

i) 12

j) 13

As figurinhas - Alex e Pedro são amigos e colecionam figurinhas e já possuem 45

figurinhas. Alex tem 7 figurinhas a mais do que Pedro. Quantas figurinhas têm cada

um? Se for o número de figurinhas de Pedro. Como ficaria a representação?


Atividade 3 - Problemas Propostos

Fonte: http://4.bp.blogspot.com/_BSjc0WpjJQc/SvDMu87-CJI/AAAAAAAAEMk/a-blQbstAE8/s400/3939436170_fec68d0fe7.jpg

32

Três irmãos – Flávio, Fernando e Farley são três irmãos

que formam uma banda. Flávio é 8 anos mais velho que

Fernando e dois anos mais velho que Farley. Determine

a idade de cada um, sabendo que a soma das três

idades é 134.

O carro de Maria – (Adaptado OBMEP, N1, 2010). Em Londrina, um litro de álcool

em alguns postos de combustível é vendido a R$

1,54. O carro de Maria percorre 25 km com 3 litros

de álcool. Quantos reais Maria gastará com o álcool

necessário para percorrer 600 km? Fonte: http://www.obmep.org.br/bq/bancoobmep2010.pdf

O Carteiro - Um carteiro entregou 100 telegramas em 5

dias. A cada dia, a partir do primeiro, entregou 7

telegramas a mais que no dia anterior. Quantos

telegramas entregou em cada dia?



Fonte

:http://ego.globo.com/Gente/foto/0,,190

43016-GDH,00.jpg

Fonte:

http://vaitrabalhar.blogsome.com/images/

carteiro1.jpg

Fonte: http://robertocordeiro.files.wordpress.com/2009/07/flex.jpg

33

Copa do Mundo 2010 - (Adaptado OBMEP,N2, 2010)- Para resolver as próximas

questões, utilize as informações da tabela, que mostra o desempenho das seleções

da Copa do Mundo de 2010. Nessas partidas de futebol, a equipe vencedora

ganha três pontos e a perdedora não ganha nem perde pontos; em caso de empate,

as duas ganham um ponto.

Seleção Jogos Vitórias Empates Derrotas Gols

Marcados

Gols

Sofridos

Pontos

Brasil 3 2 1 0 5 2 7

Coréia do Norte 3 0 0 0 1 11 ?

Costa do Marfim 3 1 1 1 4 ? 4

Portugal 3 1 2 0 7 0 5

b) Quantos pontos obteve a seleção da Coréia do Norte? a) 4 b) 0 c) 2 d) 1 e) 7

b) Quantos gols sofreu a seleção da Costa do Marfim?

a) 2 b) 4 c) 1 d) 5 e) 3

Festa na Escola - (OBMEP-N2, 2009) Para a festa de aniversário da escola, Ana,

Pedro, Miriam e Fábio levaram juntos 90 docinhos. A professora deles observou

que:

• Se Ana tivesse levado 2 docinhos a mais;

• Se Pedro tivesse levado 2 docinhos a menos;

• Se Miriam tivesse levado o dobro;

• Se Fábio tivesse levado a metade; os 4 amigos teriam levado todos o mesmo

número de docinhos. Quantos docinhos levaram cada um dos amigos? Fonte:: http://www.slinestorsantos.seed.pr.gov.br/redeescola/escolas/11/2590/17/arquivos/File/Biblioteca/om_bq2009-final.pdf



34

Espanha X Holanda - A grande campeã da Copa do Mundo de 2010 foi a Seleçao

Espanhola, numa final inédita entre Espanha e Holanda. A partida foi realizada em

11 de julho às 20h30min, no estádio Soccer City, em Joanesburgo, com um público

estimado em aproximadamente de sua capacidade total. Se nesta partida

comparecessem 9470 pessoas a mais, o estadio estaria com sua capacidade total.

Qual é a quantidade total de pessoas que o estadio comporta?

Fonte: http://andressoares.files.wordpress.com/2010/03/soccer_city.jpg acesso 21/07/10

A compra de revistas - Se Paulo comprasse revistinhas de R$15,00 cada, ficaria

com R$ 10,00 sobrando. Se comprasse o mesmo número de revistinhas, porém de

R$ 18, 00 cada, ficaria faltando R$2,00. Quantas revistinhas Paulo deseja comprar? FONTE: livro Explorando o Ensino Vol.2 pag.57-MEC



35

O ciclismo - Em uma corrida ciclista, os três primeiros

colocados foram premiados. Eles dividiram o prêmio de

R$10.000,00 da seguinte forma:

• O 3º colocado recebeu a menor parte.

• O 2º colocado recebeu R$ 2000,00 a mais que o

3º colocado.

• O 1º colocado recebeu o dobro da quantia do 2º

colocado.

a) Escreva uma equação que expresse os dados da

situação problema.

b) Quanto recebeu cada ciclista, se o 2º colocado recebeu R$3000,00?

c) Quanto receberia cada ciclista, se o prêmio fosse de R$ 14000,00?

A cantina do colégio - A venda de salgados na cantina do C.E. Vicente Rijo, na

segunda semana de aula no período vespertino, está registrado no gráfico a seguir.

Qual o total de salgados vendidos nesta semana? Sabendo que cada salgado é

vendido a R$2,50, qual o lucro da cantina nesta semana?



Fonte:

http://3.bp.blogspot.com/_QZeM81Sh3Tw/S3MVS2

Va2oI/AAAAAAAAAC0/lUDuiUsbcUU/S640/Esporte

s.+Ciclismo.bmp

36

Coleta seletiva e reciclagem – A reciclagem de materiais depende da coleta

seletiva do lixo. Esse processo consiste em coletar separadamente latas e outros

objetos de metal, papel e papelão, plástico e vidro.

No Brasil, apenas 3,5% dos municípios adotam

programas de coleta seletiva de lixo. O material

reciclado em maior quantidade é o alumínio,

gerando uma renda de 1,8 bilhões para cerca de

180 mil pessoas. Cada 75 latas recicladas

produzem um quilo de alumínio. A cada quilo de

alumínio reciclado, cinco quilos de bauxita (minério

de onde se produz o alumínio) são poupados. Para se reciclar uma tonelada de

alumínio, se gasta somente 5% da energia que seria necessária para se produzir a

mesma quantidade de alumínio primário, ou seja, a reciclagem do alumínio

proporciona uma economia de 95% de energia elétrica. Fonte:http://www.novelis.com.br/NovelisBrasil/SalaNoticias/Noticias/Reciclagem+da+lata+de+aluminio.htm

a) Cada lata reciclada fornece que massa de alumínio?

b) Quantas toneladas de alumínio resultam de 9 bilhões de latas recicladas ?

c) Se as latas não tivessem sido recicladas, para onde teria ido essa massa de

alumínio?

d) Além da economia de matéria-prima de bauxita, qual outro benefício pode obter

com a reciclagem do alumínio?



Fonte http://petragaleria.files.wordpress.com/2009/02/2007_lixo_reciclavel_coleta_seletiva_recicling_trash_.jpg

37

A Gripe H1N1 x Vacina - A partir da leitura do texto abaixo, responda as questões:

9 – A Gripe H1N1 x Vacina – Faça a leitura do texto e responda as questões:

Imunização contra H1N1 atingiu 81 milhões de pessoas, diz Temporão Cidades que ainda não cumpriram meta continuam a vacinar.

Proteção contra nova gripe atingiu mais de 88% do público-alvo - http://notapajos.globo.com/lernoticias (acesso 21de julho 2010) Foto: Arquivo Brasil

O ministro da Saúde, José Gomes Temporão, anunciou nesta quinta-feira (17) que 81 milhões de pessoas foram vacinadas em 2010 contra a gripe A (H1N1). O número, registrado às 9h da manhã, representa mais de 88% do público-alvo da vacinação.

"É a maior vacinação que já aconteceu [na história do país]", disse o ministro durante entrevista coletiva em Brasília.

Segundo Temporão, o Brasil foi o país que mais vacinou em termos percentuais a população contra o vírus A H1N1. "42% da população brasileira foi vacinada. O Brasil vacinou um número de pessoas praticamente igual à população da Alemanha", disse.

Em Londrina - Saúde amplia vacinação contra gripe A H1N1 para crianças de 5

e 6 anos Fonte: http://portal.rpc.com.br/jl/online/conteudo.phtml?id=1015656

As doses remanescentes serão disponibilizadas porque, das 20 mil doses disponíveis para os professores e profissionais ligados à educação, somente 2,1 mil procuraram os postos de Saúde.

a) Segundo o Ministro da Saúde, José Gomes Temporão, qual deve ser o

público-alvo de pessoas a serem vacinas?



38

b) De acordo com o IBGE (2007), a população atual do Brasil é de 183,9 milhões

de habitantes. Quantos brasileiros não foram vacinados?

c) Com base no texto, quantos professores e profissionais ligados à educação

foram vacinados em Londrina e quantas doses foram transferidas para a

vacinação de crianças de 5 a 6 anos?

39

A idade de Diofanto - Como curiosidade e segundo historiadores, Diofanto foi o

primeiro matemático a utilizar letras para resolver problemas. Ele é conhecido como

o “Pai da Álgebra”, sabe-se que Diofanto viveu por volta do século III. A sua carreira

decolou em Alexandria, no Egito, mas sabe-se muito pouco sobre sua vida. Na

lápide de seu túmulo aparece a seguinte descrição:

“DIOFANTO PASSOU 1/6 DE SUA VIDA COMO CRIANÇA, 1/12 COMO

ADOLESCENTE E MAIS 1/7 NA CONDIÇÃO DE SOLTEIRO. CINCO ANOS

DEPOIS DE SE CASAR, NASCEU-LHE UM FILHO QUE MORREU 4 ANOS

ANTES DELE, COM METADE DA SUA IDADE”. FONTE: APOSTILA POSITIVO -

MATEMÁTICA 1º VOLUME P.64

• Escreva uma expressão algébrica que possibilite determinar com quantos

anos Diofanto faleceu:

• Escreva essa expressão na forma mais simplificada possível:

• Escreva uma equação que possibilite calcular quantos anos Diofanto viveu.

Em seguida, resolva:

• Com quantos anos Diofanto:

• Casou-se?

• Foi pai?

• Faleceu?


Atividade 10 - Problema Proposto (Desafio)

40

10 REFERÊNCIAS

BÜRGERS, Beth; PACHECO, Elis. Problemas à vista! São Paulo: Moderna, 2001.

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Matemática, Brasília: MEC/ SEF, 1998. 146 p.

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R.E.A. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual

Editora, 2005. P. 32-48.

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1997.

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41

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GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. Makron Books. 1997.

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desafios. Belo Horizonte, 2004

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– Proposições. Campinas, n. 1 [7], p.39-54, mar.1992

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STRUIK, D.J. Série Cadernos de Educação e Matemática. Lisboa, n.3, p.21-31,

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TAHAN, Malba. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 2008.

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