CV511 – Mecânica dos Sólidos IIjls/PP420/EstadoDeTens%e3oEmUmPonto%20-… · Universidade...
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Universidade Estadual de CampinasUniversidade Estadual de CampinasFaculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
Departamento de EstruturasDepartamento de Estruturas
CV511 – Mecânica dos Sólidos II
• Estado de tensão em um ponto
Abril de 2010Abril de 2010
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Estado de tensões em um ponto
nP
2
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Estado de tensões: corte passando por um ponto P
F
F
n
z
y
x
FFF
F
A
P
y
z
xn
y
z
y
x
nnn
xx F
1
xz
z
yA
z
y
FF
A1lim
0
xz
O estado de tensão no ponto P fica caracterizado pelo conhecimento de p ppara qualquer plano de corte definido ao se variar a normal
n
3
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Equilíbrio de forças em um elemento tetraédrico
y
x
y
x
nn
ny
z
y
z
y
n
)n (normalinclinada face daárea:A
znA
eixos aos ortogonais faces dasáreas:,,)(
zyx AnAnAn
Equilíbrio de forças no tetraedro resulta:x xz zzx
A n
q ç
031
AhbAnAnAniA xzzxyyxxx x
z
xyyx yz
zyxnA n
1
031
AhbAnAnAnjA yzzyyyxxy
ynAz y
A
: força resultante das tensões atuantes na face inclinada, ortogonal a n
031
AhbAnAnAnkA zzzyyzxxz
h é a altura do tetraedro relativo à base Ag h é a altura do tetraedro relativo à base A.bx , by , bz são as componentes das forças de volume.Assim o último termo de cada equação
4
Assim, o último termo de cada equação representa a contribuição da resultante das forças de volume.
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Dividindo por A≠0:
031
hbnnni xzzxyyxxx
zyx kji
;;como
0313
hbnnnj yzzyyyxxy
zyx j
zzxyyxxxx
nnn
nnn
031
hbnnnk zzzyyzxxz
zzyyzxxzz
zzyyyxxyy
nnn
nnn
Fazendo h0:
0 zzxyyxxx nnni
Escrevendo em forma matricial:
0
0
zzyyyxxy
zzxyyxxx
nnnk
nnnj
y
x
zyyxy
zxyxx
y
x
nnn
0zzyyzxxz nnnk
zzyzxzz n
5
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Isto significa que para conhecermos o estado dydzdxdxdzdy 0g q pde tensão em um ponto não é necessárioobter o vetor de tensão em todas as infinitas direções, mas sim conhecer os
yxxy
yxxy
dzdydx
dydzdxdzdxdy
dydzdxdxdzdy
0pormembrosambosDividindo
0
zxyxx
elementos da matriz: yxxy
dzdydx
0por membrosambosDividindo
Repetindo o procedimento para as
zyzxz
zyyxy
I t é d ú i fi it dyzyzzyxz e
Repetindo o procedimento para as demais componentes de cisalhamento:
Isto é, em vez de um número infinito de informações, precisaríamos conhecerapenas 9.
yyy
Desta maneira ficamos com:
y
x
yzyxy
xzxyx
y
x
nnn
Teorema de CauchiFazendo equilíbrio de momentosem um paralelepípedo elementar:
Isto é, a matriz é simétrica. Isto significa
zzyzxzz n
yx
que para caracterizar o estado de tensãoem um ponto, para satisfazer equilíbrio, precisamos de apenas 6 valores
xyyx
xydy
dz
6dx
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Estado de tensões em um ponto P
yy
• O estado de tensão em um ponto pode ser representado por 6 componentes
xyyx
yzzy
p p p
tocisalhamendetensõesnormais tensões,, zyx
xxz
y
z zx ),, :(Obstocisalhamendetensões,,
xzzxzyyzyxxy
zxyzxy
xzy
y’
''yx''xy
''zy
'yy• Se os eixos sofrem rotação, o mesmo estado de
tensão é representado por um conjunto yx
''zx'x''yz
' ''xz
diferente de componentes.
''' ,, zyx 'z
xx’
z'''''' ,, xzzyyx
y
z’7
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Componentes normal e tangencial na face inclinada
y
y
x
yzyxy
xzxyx
y
x
nnn
sn
zzyzxzz n
A a paralelo s
s
n nn
x
z
y
x
yzyxy
xzxyx
zyxn
nnn
nnn
n n
z
Aanormalunitáriovetor:n
zzyzxz n
222
A
: força resultante das tensões
A a paralelo unitário vetor : sA a normal unitário vetor :
n
xzzxzyyzyxxy
zzyyxxn
nnnnnn
nnn
222
222
atuantes na face A
ns nn
8
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Tensões principais
2yy’
Exitem três direções ortogonais entre si emque as tensões de cisalhamento são nulas. Essas direções são chamadas direções
y Essas direções são chamadas direçõesprincipais e as correspondentes componentesnormais são chamadas tensões principais e
1
3
indicadas por
e3
xx’
z’
321, e
z’
9
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Estado triplo de tensão
yy
• O estado de tensão em um ponto pode ser representado por 6 componentes independentes
xyyx
yzzy
p p p p
xzxyx
xxz
y
z zx
zyzxz
yzyxy
xz2y
y’• Se os eixos são orientados segundo as
y direções principais, o estado de tensão fica caracterizado por:
1
3
2
1
0000
3
xx’
z e pelas direções principais
300
z’ e pelas direções principais
10
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Componentes normal e tangencial em estado plano de tensão
Equilíbrio do elemento prismático com faces perpendiculares aos eixos x, y, e x’.
y
senAAAF xyxxx coscoscos0
p p , y,
X cosAx
AxAxy
AAAF
senAsenA
xyxyxy
xyy
coscossincos0
cossin
cosAxy
x
sensenAsenA xyy
yyy
cos sinAy
sinAxy
0nulas são posterior e
anterior faces nas tensõesas:Obs.
sensen
sen
xyy
xyxx
cossin
coscoscos
0 zyzxz
(estado plano de tensão)
sensensen
sen
xyy
xyxyx
xyy
cos
coscoscos
coss
xyy
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L b dLembrando que:
22cos1cos
cos2cos2
22
22
2cos12cos2cos
2
22
sensen
22coscos22 sensensensen
As equações podem ser reescritas como: q ç p
22cos12
22cos1
sen yxyxx
222cos
22 sensen
yxyxyx
Que rearranjadas resultam em:
22cos22 xy
yxyxx sen
Que rearranjadas resultam em:
2cos22 xy
yxyx sen
12
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Repetindo a primeira equação com (+90º)Repetindo a primeira equação com (+90º) de modo a determinar uma equação para ´y
22cos22
senxyyxyx
y
Resultando:
22cos22 xy
yxyxx sen
22cos22
22
xyyxyx
y
xyx
sen
2cos22
22
xyyx
yx sen
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Círculo de Mohr para representação de estado plano de tensão
Fazendo: ''
2yx
m
e
'x''yx
22
2 xyyxR
R
min
Essas equações podem ser
R
''yx
'O
Essas equações podem ser reescritas como:
'x
m 222 Ryxmx
Que é a equação de um círculo no plano yxx
max
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Círculo de Mohr para representação de estado plano de tensão:
A õ i i i l
tensões principais'x''yx
As tensões principais ocorrem nos planos em
que as tensões de cisalhamento são nulasR ''yx
min
222
2
minmax, xyyxyx
yx
'xOm
22tan xy
max
2tanyx
yp
min p
laresperpendicu mutuamente planos dois são principais planos os :Obs
maxp
p
maxmin
p
15
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Representação de Mohr para estado triplo de tensões
Repetindo o procedimento para os planos ortogonais a cada uma das tensões principais:
n
p p
n123
As circunferências correspondem a planos ortogonais aAs circunferências correspondem a planos ortogonais a cada uma das tensões principais
As áreas hachuriadas correspondem aos demais planosAs áreas hachuriadas correspondem aos demais planos
16
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Critério de Resistência de Tresca no plano de Mohr
max nCritério
Tresca: max n
123
A ser detalhado em “Critérios de resistência”
17
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Critério de Resistência de Mohr-Coulomb no plano de Mohr
tgc nn Critério:
n
cCoulomb: tgc nn c
n123
-c
A ser detalhado em “Critérios de resistência”
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Deformações – Relações tensão-deformação
P
PP
A
PAP
P
ELei de Hooke (elasticidade linear)
EE: módulo de elasticidade
(Y ’ d l )
1E
trecho linearreversível
(Young’s modulus)
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Coeficiente de Poisson
AP x
x
Ex
x
xxzy
E
Exzy
: Coeficiente de Poisson(Poisson’s ratio)
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Superposição de efeitos
yEEE
zyxx
x EEEzyx
y
EEEzyx
z
zEEE
Reagrupando:
zyxx E
1
zxyy E
1
yxzz E
1
21
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Incluindo deformações transversais temos:
1
zyxx E
1
1
zxyy E
1
1
yxzz E
1
Gxy
xy
Gxz
xz
Gyz
yz
22
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Estas 6 equações podem ser reescritas em forma matricial como
0001
y
x
y
x
vv
00010001
xy
z
xy
z
E
001200000011
yz
xz
yz
xz
12000000120000
Lembrando que EGLembrando que
12G
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Invertendo as relações
zyxxE
1
211
zxyy
y
E
1
211
zxyy
E
1
211
yxzz
1211
Deformações transversais:
G
xzxz
xyxy
GG
G
yzyz G
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Estas 6 equações podem ser reescritas em forma matricial como
v 0001
y
x
y
x v
2100010001
xy
z
xy
z E
0210000
00221000
211
yz
xz
yz
xz
22100000
02
0000
2
Lembrando que EGLembrando que
12G
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Estado plano de tensão (plane stress)
0 yzxzz Exemplo: viga
Impondo essas condições resulta:
yxx E
1
x xy E
xx
xyy E
1E
xyxy GE
aindae
yxz E
ainda e
yxz E
26
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Estado plano de deformação (plane strain)
0 yzxzz Exemplo: laje
E 1
yxx
E
1
1211
xyy
G
1211
xz xx zxyxy
E
G
:ainda e
yxzE
211
27