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Vitor Bruno – Engenharia Civil
Função e Equação do segundo grau
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1
Função do Segundo Grau
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Chama-se função do segundo grau ou função quadrática a função f: R R que associa, a cada número real x, o número real ax² + bx + c, com a, b e c reais e a diferente de zero.
Exemplos:
F(x) = 2x² + 5x + 6, onde a = 2, b = 5, c = 6
F(x) = -x² + x – 1, onde a = -1, b = 1, c = -1
Gráfico da Função Quadrática
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Em um sistema cartesiano ortogonal, o gráfico de uma função quadrática é representado por uma curva, à qual damos o nome de parábola.
Exemplo:
Gráfico da Função Quadrática
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Concavidade da Parábola
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A concavidade de parábola está relacionada com o coeficiente a. De modo que:
Gráfico de uma Função Quadrática
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Posteriormente veremos que pode-se obter o gráfico de uma equação quadrática através da obtenção das raízes, das coordenadas do vértice, a classificação de Y do vértice e a interseção da curva com o eixo Y.
Raízes da Função Quadrática
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Quando fazemos ax² + bx + c = 0, isto é, y = f(x) = 0, podemos encontrar valores de x Є R, aos quais denominamos raízes ou zeros da função. Para isto, usaremos a seguinte equação:
A Importância do Delta (Δ)
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Como já visto anteriormente o delta(Δ) é definido por:
Δ = b² - 4ac
Descobrindo-se o Δ é possível saber quantas raízes reais a equação terá. Vejamos algumas situações:
(I) Para Δ < 0, a equação não tem raiz real;
(II) Para Δ = 0, a equação tem uma raiz real;
(III) Para Δ > 0, a equação tem duas raízes reais;
Raízes da Função Quadrática
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Exemplo 1: Determinar os zeros das funções quadráticas abaixo:
a) y = -x² + 2x + 3
b) y = x² - 2x + 1
c) y = -x² + x – 1
Exemplo 2 : O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás é igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?
Exercícios
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Exemplo 3: Determinar os zeros das funções quadráticas abaixo:
a) y = x² + 2x – 15
b) f(t) = t² - 9
c) y = x² + x – 2
d) y = x² - 2x
Soma e Produto
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Podemos utilizar o método da soma e produto para resolver uma equação do segundo grau e, assim, determinar as raízes de uma função quadrática.
Soma das raízes x’ + x’’ = -b/a
Produto das raízes x’ . x’’ = c/a
Sendo ax² + bx + c = 0, dividindo-se tudo por a, obtemos:
x² + (b/a)x + (c/a) = 0. Logo:
x² - Sx + P = 0
Soma e Produto
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Exemplo 4: Determine a soma e o produto de 6x² - 9x + 3 = 0. Em seguida encontre as raízes usando sistema de equações.
Exercícios
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1. Determine as raízes das equações abaixo através do método soma e produto.
a) x² + x – 2 = 0
b) x² + 3x + 1 = 0
c) x² - 7x + 10 = 0
Vértice da Parábola
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O vértice V é representado pelo ponto de intersecção do eixo de simetria com a própria parábola. Assim sendo, as coordenadas do vértice V são:
Vértice da Parábola
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Exemplo 5: Encontre as coordenadas do vértice para cada função quadrática e classifique o Yv em máximo ou mínimo.
a) y = x² - 4x + 3
b) y = -x² - 10x + 11
Gráfico da Função Quadrática
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Podemos esboçar o gráfico de uma função quadrática através dos seguintes passos:
1. Encontrar as raízes;
2. Encontrar as coordenadas do vértice;
3. Classificar o Yv;
4. Encontrar a intersecção da curva com o eixo Y.
Gráfico da Função Quadrática
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Exemplo 6: Esboce o gráfico das funções abaixo.
a) y = 2x² - 3x + 1
b) y = -x² + x + 6
Comparar gráficos utilizando o GEOGEBRA!
Conjunto Imagem da Função Quadrática
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O conjunto imagem da função quadrática y = ax² + bx + c é determinado a partir da ordenada(Yv) da parábola.
Consideramos dois casos:
Se a > 0 Se a < 0
Apresenta um ponto de Apresenta um ponto de
mínimo, em Yv. Assim: máximo em Yv. Assim:
Conjunto Imagem da Função Quadrática
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Exemplo 7: Determine o conjunto imagem das funções quadráticas.
a) y = x² - 2x + 3
b) y = -x² + 6x + 9
Tópico Complementar
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Esta seção visa abordar as equações biquadradas, posto que estão intimamente relacionadas com as equações do segundo grau.
Equação Biquadrada
Considere a equação:
a𝑥4 + bx² + c = 0, se x² = y, temos ay² + by + c = 0, onde:
Equação Biquadrada
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A resolução de uma equação biquadrada pode ser obtida da seguinte maneira:
1. Substituir 𝑥4 por y² e x² por y;
2. Resolver a equação ay² + by + c = 0
3. Determinar as raízes quadradas de cada uma das raízes da equação ay² + by + c = 0, após isso, substituir e
.
Obs: Cada raiz positiva da equação dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada. Raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz para a biquadrada.
Equação Biquadrada
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Composição da equação biquadrada:
Toda equação biquadrada de raízes x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela seguinte fórmula:
Equação Biquadrada
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Propriedades:
1. A soma das raízes da equação biquadrada é nula:
2. A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a:
3. O produto das raízes reais e não-nulas de uma equação biquadrada é igual a:
Equação Biquadrada
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Exemplos: Resolva as equações biquadradas abaixo:
a) 𝑥4 − 13𝑥2 + 36 = 0
b) 9𝑥4 − 13𝑥2 + 4 = 0
c) 𝑥4 − 5𝑥2 + 6 = 0
Obrigado pela atenção!
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