Curso de Matemática Básica - Amostra - (Douglas Franco)

5/13/2018 Curso de Matemtica Bsica - Amostra - (Douglas Franco)

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Prof.

Douglasd

eMedeirosFranco

2012.

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Operaes Fundamentais com NmerosOperaes Fundamentais com NmerosOperaes Fundamentais com NmerosOperaes Fundamentais com NmerosElementos de lgebraElementos de lgebraElementos de lgebraElementos de lgebraRazes e ProporesRazes e ProporesRazes e ProporesRazes e Propores

Regra de TrsRegra de TrsRegra de TrsRegra de TrsPorcentagensPorcentagensPorcentagensPorcentagens

EquaesEquaesEquaesEquaesFunesFunesFunesFunesMdiasMdiasMdiasMdias

ProbabilidadeProbabilidadeProbabilidadeProbabilidade


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Introduo

Neste curso de matemtica bsica voc ter a oportunidade de rever as ferramentas matemticas aptas a atendeas principais necessidades do curso de graduao em Cincias Contbeis. Ter, ainda, a oportunidade paraprender a utilizar as calculadoras (simples e financeiras).

A didtica empregada parte gradualmente de noes fundamentais a situaes-problema comuns do dia a diprofissional. Em matemtica no existe um nico caminho para que se encontrem solues vlidas s situaeproblemas que nos deparamos; no entanto, existem tcnicas e frmulas que valem a pena serem aprendidas.

A matemtica uma importante ferramenta cientfica e prtica. A utilizao da matemtica para a compreense anlise do mundo nos trar mais rigor lgico e preciso, proporcionando sempre resultados mais confiveiAlm disso, pode ser entendida como uma linguagem que pode tornar uma explicao de fatos e fenmenomais simples e concisa. Portanto, faamos aqui um esforo para que nos tornemos cientistas mais hbeis.

1. Operaes Fundamentais com nmeros

Nmeros

Conjunto dos nmeros naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,... }

Conjunto dos nmeros inteiros: Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }

Conjunto dos nmeros racionais: Q = {x; x = p/q com p Z , q Z e q 0 }.Temos ento que nmero racional aquele que pode ser escrito na forma de uma frao p/q onde p e qso nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero.

So exemplos de nmeros racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.

Observaes:a) lembre-se que no existe diviso por zero!b) N ? Z ? Q.c) toda dzima peridica um nmero racional, pois sempre possvel escrever uma dzima

peridica na forma de uma frao. Exemplo: 0,4444... = 4/9

As Quatro Operaes

Quatro operaes so fundamentais na lgebra, assim como na Aritmtica. So elas: a adio, asubtrao, a multiplicao e a diviso.Quando dois nmeros a e b so somados, sua soma indicada pora +b. Deste modo, 3 +2 =5.Quando um nmero b subtrado de um nmero a, a diferena indicada pora -b. Assim, 6 -2 =4.


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A subtrao pode ser definida em termos da adio. Isto , podemos definir I . comrepresentando um nmero tal que - I. Por exemplo, 8 - 3 o nmero que, quandsomado a 3, resulta 8, i.e., - %; portanto, 8 - 3 = 5.O produto de dois nmeros a e b um nmero c tal que a b = c. A operao de multiplicao podser indicada por uma cruz, um ponto ou por parnteses. Assim, 5 03 =5 3 =5(3) =(5)(3) = 15onde os fatores so 5 e 3, e o produto 15. Quando so usadas letras, como na lgebra, a notao 0q deve ser evitada, uma vez que pode ser confundido com uma letra representando um nmero.Quando um nmero a dividido por um nmero b, o quociente obtido expresso por

I J J I,

onde a o dividendo e b, divisor. A expresso a/b tambm chamada de frao, tendo comnumeradora e como denominadorb. A diviso por zero no est definida.A diviso pode ser definida em termos da multiplicao. Isto , podemos considerar a/b como nmerox que, quando multiplicado porb, resulta a, ou bx =a. Por exemplo, 6/3 o nmerox tal qu3 multiplicado porx resulta 6, ou 3x = 6; portanto, 6/3 = 2.

Propriedades da adio e multiplicao de nmeros reais

(1) Propriedade comutativa da adio: a ordem da adio de dois nmeros no afeta o resultado.Assim,

I - - I - - %

(2) Propriedade associativa da adio:os termos de uma soma podem ser agrupados de qualquermodo, sem que o resultado seja afetado. Assim,

I - - {I - - I - { - - - - { - { - - %

(3) Propriedade comutativa da multiplicao:

I I

(4) Propriedade associativa da multiplicao: os fatores de um produto podem ser agrupados dequalquer modo, sem que o resultado seja afetado.

I I{ {I { {

(5) Propriedade distributiva da multiplicao em relao adio: o produto de um nmero Ipela soma de dois nmeros { - igual soma dos produtos I e I.

Extenses destas propriedades podem ser feitas a somas de vrias parcelas. Por exemplo, podemosadicionar os nmeros I agrupando-os em qualquer ordem, tal como


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Nmeros Decimais: definio

#"

#""

#"""

#""""

Lendo nmero decimais:

0,25 = Vinte e cinco centsimos; 2,24 = Dois inteiros e vinte e quatro centsimos; 12,002 = Dozeinteiros e dois milsimos; 0,0002 = Dois dcimos de milsimos

Transformando uma frao decimal em nmero decimal:

$'#""

##"

#$##" = 12,1;

$'#""

&'#"""

&$$'#" = 422,5

Observe: Denominador 10 um nmero depois da vrgula, denominador 100 dois nmeros depois davrgula, denominador 1000 trs nmeros depois da vrgula e assim por diante.

Transformando um nmero decimal em frao decimal:

Observe: Um nmero depois da vrgula denominador 10, dois nmeros depois da vrgula denominado100, trs nmeros depois da vrgula denominador 1000 e assim por diante.

Propriedade:Um nmero decimal no se altera ao acrescentarmos zeros a direita do seu ltimonmero.

Exemplos:0,4 = 0,400 = 0,4000 = 0,400000,23 = 0,230 = 0,2300 = 0,23000 = 0,2300001,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000, 1,20000

Adio com Nmeros Decimais

Na adio de nmeros decimais devemos somar os nmeros de mesma ordem de unidades, dcimcom dcimo, centsimo com centsimo. Antes de iniciar a adio, devemos colocar vrgula debaixo dvrgula.

Subtrao com Nmeros Decimais

A subtrao de nmeros decimais efetuada da mesma forma que a adio.


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4,4 - 1,21; 2,21 - 1,211; 9,1 - 4,323

Multiplicao de Nmeros Decimais

Efetuamos a multiplicao normalmente. Em seguida, contam-se as casas decimais de cada nmero eo produto fica com o nmero de casas decimais igual soma das casas decimais dos fatores.

Exemplos:

Diviso com Nmeros Decimais

Na diviso de nmeros decimais, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo nmero de casasdecimais. Devemos igual-las antes de comear a diviso.

7,02 : 3,51

11,7 : 2,34

23 : 7


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Efetuamos da mesma forma que aprendemos com os nmeros naturais.Exemplos:

{$ ; {$ {" {#

2. Elementos de lgebra

Os nmeros utilizados na aritmtica so sempre nmeros conhecidos. Um problema tpico converter5 horas e 35 minutos em minutos. Isto resolvido multiplicando 5 por 60 e somando 35; assim, 5 60+ 35 = 335 minutos.

Alguns dos nmeros utilizados na lgebra podem ser conhecidos, mas outros ou so desconhecidos ono so especificados, ou seja, so representados por letras. Por exemplo, converta h horas e mminutos em minutos. Isto feito exatamente da mesma maneira que o pargrafo acima, multiplicand

h por 60 minutos e somando m; assim, h 60 + m = 60h + m. dizemos que 60h + m uma expressalgbrica.Como expresses algbricas so nmeros, elas podem ser somadas, subtradas, e assim por dianteseguindo as mesmas leis que governam essas operaes nos nmeros conhecidos. Por exemplo, soma de 5 60 + 35 e 2 60 + 35 (5 + 2) 60 + 2 35; analogamente, a soma de h 60 + m e k 60 m (h + k) 60 + 2m.Praticando

(a)Para cada uma das seguintes afirmaes, escreva a correspondente expresso algbrica: (a)

soma dex com 2; (b) a soma de a com b; (c) a soma de 5I com 3; (d) o produto de 2I com3I; (e) o produto de 2I com 5b; (f) o nmero que 4 a mais do que 3 vezes x; (g) o nmerque 5 a menos do que duas vezes y; (h) o tempo necessrio para viajar 250 quilmetros a quilmetros por hora; (i) o custo (em centavos) de x ovos, cuja dzia custa 365 centavos.

(b)Resolva as seguintes expresses, dados = 2, = -3, = 5, I = 1/2, = -2/3.

(a) - (b) . . (c)$ (d)

&

$

(e)$ .

(c) Efetue as operaes indicadas:

(a)II$ (b){I$'=(c){I$ =


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3. Razes e Propores

Razo

A razo entre dois nmeros I e 0, nessa ordem, o quociente .

Proporo

Os nmeros I, , e , com 0 e 0, formam, nessa ordem, uma proporo se, e somente se, arazo entre I e for igual razo entre e . Representa-se por:

I

E l-se: I est para , assim como est para .Uma regra fundamental em razes e propores a prtica de fazer algo que est multiplicando numlado passar para o outro lado dividindo ou vice-versa.

Propriedades

a) 7I

b) 7

c) 7

=

Situaes-Problema

a) A secretaria de uma escola deveria telefonar para todos os professores avisando-os de umreunio de emergncia. Pela manh, ela fez 1/3 dos telefonemas; tarde, conseguiu fazer 3/dos restantes. Que frao dos professores no foi avisada?

b) Uma fotografia tem 10 cm de largura e 15 cm de cumprimento. Aps uma ampliao essfotografia ficou com 18 cm de cumprimento. Ento, quanto ficou medindo a largura?

c) Trs pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balano anual da firma acusou um lucro de R40.000.Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado,

cada scio receber, respectivamente:

d) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos nmeros#$ ,

# e

#, obtm-se, respectivamente:

a. 330, 220 e 110b. 120, 180 e 360c. 360, 180 e 120d. 110, 220 e 330e. 200, 300 e 160


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5. Porcentagem

Noes de Porcentagem

Porcentagem uma frao de denominador 100. Assim, ao escrevermos % estamos representando onmero

#"" .

Aumento e Desconto

A) Aumento1) Aumentar um valor de de equivale a multiplic-lo por{ - pois:

- - -

-

{ - B) Desconto

1) Diminuir um valor

de

equivale a multiplic-lo por

{ .

2) Dois descontos sucessivos de 10% equivalem a um nico desconto de 19% (e no de 20%)pois:

{

%

% {.

3) Um aumento de 10% seguido de um desconto de 10% equivalem a um nico desconto de1%, pois:

{

{ .

Praticando

a) Os nmeros 8%, (7%)2, e 30% de 4,2 so, respectivamente, iguais a:a. 0,08; 49%; 2%; 126b. 0,08; 49; 20%; 126c. 0,08; 0,49%; 20%; 1,26d. 0,8; 0,49%; 20%; 12,6e. 0,8; 0,49%; 20%; 1,26

b) 25% da tera parte de 1026 igual a:

Situaes-Problema

a) Um produto custa R$ 600,00 e vendido por R$ 750,00. Qual a taxa de lucro desse produto?b) Numa cidade de 50.000 habitantes, 42.000 tm menos de 40 anos de idade. Qual a

porcentagem dos que tm 40 anos ou mais?c) O aluguel de um apartamento de R$ 780,00. Se houver um reajuste de 15% sobre esse valor,

qual ser o novo aluguel?


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7. Funes

A funo uma regra que descreve uma relao entre nmeros. Para cada nmero , a funo designum nico nmero , de acordo com alguma regra. Assim, uma funo pode ser indicada pela descride uma regra como pegue o nmero e o eleve ao quadrado, ou pegue um nmero e o multipliqupor dois, e assim por diante. Escrevemos essas funes particulares como $ No raro queremos indicar que uma varively depende de outra varivel x, mas no conhecemos relao algbrica especfica entre as duas variveis. Nesse caso, escrevemos {, o que deve seinterpretado como o equivalente a dizer que a varively depende dex de acordo com a regra.Dada uma funo {, o nmero x chamado com freqncia de varivel independente, e nmero y de varivel dependente. A idia que x varia de maneira independente, mas o valor dedepende do valor dex.

Frequentemente, uma varively depende de vrias outras variveis # $ e assim por diante, de modque escrevemosy = f(# $) para indicar que, juntas, as variveis determinam o valor dey.Exemplos: no grfico esquerda observamos o comportamento do crescimento de dinheiro numacaderneta de poupana; j a direita observamos o decrescimento de vendas de cereal matinal.

Uma definio matemtica deFuno

Sejam 2 conjuntos A { } e B { }, diz-se que f uma funo de A em B se para todo elemento x

pertencente a A, associa-se um nico elemento y pertencente a B, tal que o par (x, y) pertence funo FExemplo:


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(b)Um modelo para cobrana de comisses

Uma firma de corretagem mobiliria cobra uma comisso de 6% nas compras de ouro entre $50 $300. Para compras acima de $300, a firma cobra 2% do total da compra mais $12. Sejam x o valor douro comprado (em dlares) e{ a comisso cobrada como uma funo de x.

(a)Descreva

{

(b)Encontre{ {

(c)Um modelo de custo-benefcio

Suponha que uma funo custo-benefcio seja dada por

{ . 3 3

em que a porcentagem de algum poluente a ser removido e{ o custo associado (em milhes dedlares). Encontre o custo para remover 70%, 95% e 100% do poluente.

(d)Lucro e Ponto crtico de vendas

Uma companhia de televiso a cabo estima que, com x milhares de assinantes, sua receita e custos

mensais (em milhares de reais) sejam { . ${ -

Encontre os pontos crticos de venda, ou seja, encontre o nmero de assinantes com os quais a receita igual ao custo (ver figura abaixo)


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9. Probabilidade

Definies Bsicas de Probabilidade

Historicamente, trs diferentes abordagens foram desenvolvidas para definir probabilidade e paradeterminar os valores de probabilidades: o enfoque clssico, o da frequncia relativa e o subjetivo.

Pelo enfoque clssico de probabilidade, se existem I resultados possveis e favorveis ocorrncia duma evento A e resultados possveis no favorveis ocorrncia de A, e sendo todos os resultadosigualmente verossmeis e mutuamente e exclusivos, ento a probabilidade de A ocorrer

{ II -

O enfoque clssico de probabilidade baseado na pressuposio de que todos os resultados soigualmente verossmeis. Uma vez que esta abordagem (quando for aplicvel) permite a determinaodos valores da probabilidade antes de ser observada qualquer amostra de eventos, tambm

denominada enfoque a priori.

Exemplo: em um baralho que contm 4 ases e 48 outras cartas, a probabilidade de se obter um s emuma nica retirada, ao acaso, de uma carta

{ - %

Pelo enfoqueda frequncia relativa, a probabilidade determinada com base na proporo de vezesque ocorre um resultado favorvel em um certo nmero de observaes ou experimentos. No existesuposio prvia de iguais verossimilhanas ou eqiprobabilidades. Uma vez que a determinao dos

valores da probabilidade est baseada na observao e na coleta de dados, este enfoque tambmchamado enfoque emprico.

Exemplo: antes de incluir a cobertura para certos tipos de problemas dentais em aplices de segurosade para empregados adultos, uma empresa de seguros deseja determinar a probabilidade de ocorretais problemas, para estabelecer, de acordo com ela, a taxa de seguro. Portanto, o pesquisador coletdados para 10.000 adultos nas faixas apropriadas de idade e observa que 100 pessoas tiveram problema dental particular durante o ano passado. A probabilidade de ocorrncia , portanto:

{ J

Tanto o enfoque clssico como o da freqncia relativa geram valores objetivos de probabilidade, nsentido de que tais valores indicam a taxa relativa de ocorrncia do evento no longo prazo. Acontrrio, o enfoque subjetivo particularmente apropriado quando existe apenas uma nicoportunidade para o evento ocorrer, e ele ou ocorrer ou no ocorrer naquela nica vez. Pelabordagem subjetiva, a probabilidade de um evento o grau de crena de um indivduo de que evento ir ocorrer, baseado em toda evidncia a ele disponvel. Uma vez que o valor da probabilidad um julgamento pessoal, o enfoque subjetivo tambm tem sido chamado de enfoque personalstico.


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(c)Em geral, a probabilidade de que um possvel cliente faa uma compra quando procurado porum vendedor P= 0,40. Se um vendedor seleciona do arquivo, aleatoriamente, trs clientes efaz contato com os mesmos, qual a probabilidade de que os trs faam compras?

(d)Observe o grfico abaixo (extrado do stio . ) e respondaSupondo-se que a taxa de devoluo de cheques caia 10% de maior de 2003 para julho d2003, qual a a probabilidade de que um cheque escolhido aleatoriamente no universo d

cheques compensados no ms de julho de 2003 seja devolvido

Referncias

BARROW, Michael. Statistics for Economics, Accounting and Business Studies. London : Prentice

Hall, 2006.

BLITZER, Robert. College Algebra. 3. ed. New York : Prentice Hall, 2004.

BLUMAN, Allan G.Pre-algebra Demystified. New York : McGraw-Hill, 2004.

BOSQUILHA, Alessandra; etal. Minimanual compacto de matemtica ensino mdio teoria e

prtica. 2. Ed. So Paulo : Editora Rideel, 2003

BOULOS, Paulo. Pr-clculo. Makron Books. So Paulo, 2001. New York : John Wilry & Sons, 2001

SLAVIN, Steve; CRISONINO, Ginyi.Precauculus a self-teaching guide. John Willey & Sons,

2001

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