Curso de Linguagem Matematica

7/22/2019 Curso de Linguagem Matematica

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SequnciasSequnciasSequnciasSequncias numricasnumricasnumricasnumricasUma sequncia numrica infinita um conjunto numrico ordenado com as seguintes propriedades:

IIII.... Existe o primeiro termo: aaaa1111

IIIIIIII.... Todo termo esta associado a um nico sucessor: aaaannnnaaaan+1n+1n+1n+1IIIIIIIIIIII.... O primeiro termo no sucessor de nenhum dos termos da sequncia: nnnn*

No caso das sequncias finitas, h tambm o ltimo termo, e este ltimo termo no possui sucessor.Os termos de uma sequncia numrica costumam ser apresentados entre parnteses e separados por

vrgulas. Veja alguns exemplos:A sequncia dos mltiplos positivos do nmero 4: (4, 8, 12, 16, 20, 24, ...)

A sequncia dos sucessores naturais dos mltiplos positivos do nmero 4: (5, 9, 13, 17, 21, 25, ...)

A sequncia das potncias naturais do nmero 5: (1, 5, 25, 125, 625, ...)

A sequncia dos triplos das potncias naturais do nmero 5: (3, 15, 75, 375, ...)

A sequncia dos antecessores naturais dos triplos das potncias positivas de 5: (2, 14, 74, 374, ...)

A sequncia das metades das metades das metades do nmero 8: (4, 2, 1, 12

, 14

, 18

, ...)

A sequncia das fraes unitrias: (1

2,1

3,

1

4,

1

5,

1

6,

1

6,

1

8,

1

9,

1

10, ...)

A sequncia dos quadrados perfeitos: (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...)

A sequncia dos nmeros cem unidades maiores que os cubos perfeitos: (100,101,108,127,164, ...)

A sequncia, em radianos, dos mltiplos positivos de um arco de 30: (

6,

3,

2, 2

3, 5

6, , ...)

A sequncia dos senos dos mltiplos positivos de 90: (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)

A sequncia de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)A sequncia dos nmeros fatoriais: (1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...)

A sequncia dos nmeros triangulares: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...)

A linha de nmero 6 do Tringulo de Pascal: (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)A sequncia, em ordem decrescente, dos divisores positivos do nmero 30: (30, 15, 10, 6, 5, 3, 1)

O ponto de abscissa 3 e ordenada 2 do plano cartesiano: (3, 2)A origem do espao tridimensional cartesiano: (0, 0, 0)

As coordenadas de um ponto no plano cartesiano formam uma sequncia de apenas dois termoschamada par ordenado. No h necessidade de estudar as leis de formaes de sequncias de dois outrs nmeros. J a sequncia dos nmeros primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...) infinita e ainda

hoje no somos capazes de enunciar sua lei de formao, embora um dia algum tenha esbarrado numacuriosa lei de formao tal que somando-se sucessivamente os nmeros pares positivos ao nmero 41obtm-se uma srie de nmeros primos. Veja:

41414141 53535353 = 41+2+4+6 93939393 = 41+2+4+6+8+10+1243434343 = 41+2 61616161 = 41+2+4+6+8 107107107107 = 41+2+4+6+8+10+12+1447474747 = 41+2+4 71717171 = 41+2+4+6+8+10 123123123123 = 41+2+4+6+8+10+12+14+16

Est sequncia no apresenta todos os nmeros primos maiores que 40. Ela salta alguns como 59, 63e 73, mas de fato, essa lei de formao gera apenas nmeros primos at o quadragsimo termo e, pormuito tempo acreditou-se que todos os termos desta sequncia fossem primos. Mas a evoluo danotao matemtica mostra claramente que o quadragsimo primeiro termo dessa sequncia no primo. Observando-se a sequncia (41, 43, 47, 53, 61, ...) a imagem da funo ordinal f(n)=n2+n+41,

percebe-se que f(41) = 412 +41+41 mltiplo de 41. H duas maneiras distintas de se enunciar aformao de uma sequncia infinita como esta: a recursiva e a iterativa.

aaaa1111=41414141 e aaaan+1n+1n+1n+1= aaaannnn++++2n ,2n ,2n ,2n , n* a a a annnn= nnnn2222++++nnnn++++41414141


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Modelagem recursivaModelagem recursivaModelagem recursivaModelagem recursivaA maneira recursiva ou recorrente declara o valor de pelo menos um termo, e associa os demais

termos da sequncia aos dos valores dos termos declarados atravs de expresses com ndices variveisde domnio ordinal. Essas expresses so denominadas leis de recorrncia

A sequncia dos mltiplos positivos do nmero 4, por exemplo: (4, 8, 12, 16, 20, 24, ...) pode serdefinida pelo seguinte par de informaes:

1111

n+ 1 nn+ 1 nn+ 1 nn+ 1 n

a = 4a = 4a = 4a = 4

a = a + 4a = a + 4a = a + 4a = a + 4

n = 1 = 4

n = 2 = + 4 = 4 + 4 = 8

n = 3 = + 4 = 8 + 4 = 12

1111

2 12 12 12 1

3 23 23 23 2

aaaa

a aa aa aa a

a aa aa aa a

As informaes so que o primeiro termo da sequncia o numero 4 e que cada um dos termossucessores pode ser obtido adicionando-se 4 unidades ao termo anterior. importante observar queesta segunda informao tambm poderia ser apresentada pela expresso a n = an1 + 4 para todo nnatural tal que n 2, pois assim, o termo an1antecede o termo an.

Note que nnnn varivel ordinal da sequncia, ou seja, n = 1 significa primeiro, n = 2 significa segundo,n = 10 significa dcimo e assim por diante:

a ==== (aaaa1111, aaaa2222, aaaa3333, ... , aaaannnn, ...)

n* n {1, 2, 3, ...} n = 1, 2, 3, ...

Modelagem iterativaModelagem iterativaModelagem iterativaModelagem iterativaA maneira iterativa consiste na apresentao de uma frmula para obter cada um dos termos de uma

sequncia a partir do nmero que indica a posio deste termo, ou seja, obter o valor do primeiro termoa partir do nmero 1, do segundo termo a partir do nmero 2 e assim por diante.

Esta formula conhecida como termo geral TG, e no nada alm de uma funo, cujo domnio o

conjunto dos ordinais {1o, 2o, 3o, 4o, ...}, escrita de uma maneira particular em que a varivel apresentada como ndice e no entre parnteses. Assim a notao tradicional f(x) substituda pelanotao an.

Observe que f:{1, 2, 3, 4, ...} tal que f(x)=4x uma funo ordinal cuja imagem o conjuntodos mltiplos positivos do nmero quatro. Agora, considerando-se os elementos da imagem dessafuno em ordem crescente define-se a sequncia (4, 8, 12, 16, ...).

A notao do termo geral das sequncias numricas indicar esta mesma funo na forma aaaannnn= 4n= 4n= 4n= 4n, ese no houver meno sobre o domnio da varivel nnnn devemos consider-lo como o conjunto dosnmeros inteiros positivos, ou seja, dos nmeros ordinais.

ProgressProgressProgressProgresses aritmes aritmes aritmes aritmticasticasticasticas

A sequncia dos sucessores naturais dos mltiplos positivos do nmero 4 : (5, 9, 13, 17, 21, 25, ...)que pode ser definida por aaaa1111=5555 e aaaan+1n+1n+1n+1= a= a= a= annnn++++4444 para todo n inteiro positivo ou pela funo aaaannnn====4n4n4n4n+1+1+1+1.Para obter a lei de recorrncia de uma sequncia como essa basta encontrar uma relao entre dois

termos consecutivos que seja obedecida em toda a sequncia:

Essa foi declarada como sendo a dos sucessores dos mltiplos positivos do nmero 4, pode-sededuzir que todo elemento desta sequncia, a partir do segundo, obtido da adio de quatro unidadesao elemento anterior a ele.

As sequncias que obedecem a leis de formao deste tipo ((((adiadiadiadio de umo de umo de umo de um valor constantevalor constantevalor constantevalor constante)))) so

chamadas progresses aritmticas (PA)(PA)(PA)(PA) e essa constante, que pode ser encontrada subtraindo-se doistermos consecutivos da sequncia, chamada de razo da PA. Por isso, costuma-se indicar a razo deuma progresso aritmtica usando-se a letra rrrr, inicial da palavra restorestorestoresto.

( 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , ... )

++++4444 ++++4444 ++++4444 ++++4444 ++++4444 ++++4444

, n*


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Para se obter a expresso do termo geral de uma progresso aritmtica, deve-se encontrar umafuno ordinal que faa aaaannnn ==== f(n)f(n)f(n)f(n), e um fato importante sobre as progresses aritmticas que seustermos gerais so expressos por funes constantes ou funes de primeiro grau. Sendo assim, devemosprocurar de uma funo do tipo: f(f(f(f(nnnn) = a) = a) = a) = annnn + b+ b+ b+ b.

Observe que o coeficiente angular aaaa da funo ffff sempre coincidir com o valor da razo da PA que aimagem da funo ffff, j o valor do coeficiente linear bbbb poder ser encontrado ajustando-se qualquertransformao da funo. No exemplo acima, sabemos que: f(n) = 4n + bf(n) = 4n + bf(n) = 4n + bf(n) = 4n + b, pois a razo desta PA vele 4 e

como f(1) =f(1) =f(1) =f(1) = 4+b4+b4+b4+b deve ser o valor do primeiro termo da PA, encontramos o valor de bbbb para que 4+bresulte no nmero 5555. Pode-se resumir o termo geral da PA, na forma de uma funo ordinal, como:

an= (razo) n + (ajuste)ProgressProgressProgressProgresses geomes geomes geomes geomtricastricastricastricas

As relaes entre os termos de duas ou mais sequncias podem facilitar a obteno de suas leis deformao. Nos trs exemplos a seguir, note que os elementos da sequncia bbbb so os triplos doselementos da sequncia aaaa e tambm so os sucessores inteiros dos elementos da sequncia cccc, portanto,sobre estas sequncias pode-se afirmar: 3a3a3a3annnn==== bbbbnnnn==== 1+1+1+1+ccccnnnn.

Lei de recorrncia Lei de recorrncia Lei de recorrncia Lei de recorrncia SequnciaSequnciaSequnciaSequncia Termo geral Termo geral Termo geral Termo geral

a1

=

1 e an+1= 5an,

n

*

a

=

(1, 5, 25, 125, 625, ...) an=

n-1

5 b1=3 e bn+1= 5bn, n* b= (3, 15, 75, 375, 1875, ...) bn= 3 n-15

c1=2 e cn+1= 4+5cn, n* c= (2, 14, 74, 374, 1874, ...) cn= 3 n-15 1

Nas dias primeiras sequncias acima temos que todos os termos a partir do segundo podem serobtidos multiplicando-se o termo antecessor por 5. As sequncias que obedecem a leis de formaodeste tipo ((((multiplmultiplmultiplmultipliiiicacacacaoooo sucessiva porsucessiva porsucessiva porsucessiva por um valor constanteum valor constanteum valor constanteum valor constante)))) so chamadas progresses geomtricas (P(P(P(PGGGG)))),e esse fator constante que pode ser obtido dividindo-se dois termos consecutivos da sequncia, chamado de razo da PG. Por isso, costuma-se indicar a razo de uma progresso geomtrica usando aletra qqqq, inicial da palavra quocientequocientequocientequociente.

A expresso do termo geral de uma progresso geomtrica de termos positivos e razo diferente de 1so funes exponenciais do tipo: f(f(f(f(nnnn))))====aaaabbbbnnnn, cuja base bbbb coincide com a razo da PG, e o coeficiente aaaa

serve para ajustar as potncias da razo aos termos da sequncia como nos dois exemplos a seguir:

f(n) = Ajuste(Razo)n

Veja como proceder em (1, 5, 25, 125, ... ):

nI. f(n) = a 5

II. f(1) = 1 a 15 = 1 a =

1

5 f(n) =

1

5 n5 n-15

Veja como proceder em (3, 15, 75, 375, ... ):

nI. g(n) = a 5

II. g(1) = 3 a 15 = 3 a =

3

5 g(n) =

3

5 n5 3 n-15

Embora, a sequncia (2, 14, 74, 374, ... ) no seja PG, podemos obter seu termo geral atravs de uma

translao da sequncia anterior (3, 15, 75, 375, ... ): h(n)h(n)h(n)h(n) ==== g(n)g(n)g(n)g(n) 1111 ==== n-13 5 - 1.

* 10 20 30 40 50 60 ...

SeSeSeSeququququnciancianciancia 5555 ,,,, 9999 ,,,, 11113333,,,, 17171717,,,, 21212121,,,, 25252525, ..., ..., ..., ...

f :f :f :f :*PPPP....AAAA.... tal que f(n) = an + bf(n) = an + bf(n) = an + bf(n) = an + b

f(1) = a1+b = 5 a + b = 5 (IIII)f(2) = a2+b = 9 2a + b = 9 (IIIIIIII)

Resolvendo-se o sistema formado pelasequaes IIII e IIIIIIII obtemos a = 4 e b = 1. Assim:

f(n) = 4n + 1f(n) = 4n + 1f(n) = 4n + 1f(n) = 4n + 1

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