Curso de Econometria para Graduação – Universidade Federal da Paraíba

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

DEPARTAMENTO DE ECONOMIA

CURSO DE ECONOMETRIA

Estacionariedade

PLANO DE AULA

Objetivos

Apresentar a importância da estacionariedade na utilização de série temporais. Além disso, detectar e corrigir a não-estacionariedade das

séries.

Livro Texto: GUJARATI, D. N. Econometria Básica. São Paulo: MAKRON Books, 2006.

Capítulo 12 (p.401)..

1. – INTRODUÇÃO

Um processo aleatório eu estocástico é um conjunto de variáveis aleatórias

ordenadas no tempo. Um tipo de processo estocástico que recebeu muita atenção e

escrutínio pelos analistas de séries temporais é o chamado processo estocástico

estacionário. Em linhas gerais, diz-se que um processo estocástico é estacionário

quando a sua média e variância são constantes ao longo do tempo e quando o valor da

covariância entre dois períodos de tempo depende apenas da distância, do intervalo ou

da defasagem entre dois períodos do tempo, e não do próprio tempo em que a

covariância é calculada. Na literatura sobre séries temporais, tal processo é conhecido

como fracamente estacionário, ou estacionário em covariâncias, ou estacionário de

segunda ordem, ou como processo estocástico em sentido amplo.

Para explicar a estacionariedade fraca, seja Yt uma série temporal estocástica

com as seguintes propriedades:

Média:

Variância:

Covariância:

onde : , a covariância (ou autocovariância) na defasagem k, é a covariância entre o

valores de e , isto é, entre dois valores de Y separados por k períodos. Se k=0,

obtemos , que é simplesmente a variância de Y (= σ2); se k =1, é a covariância

entre dois valores adjacentes de Y.

2. – NATUREZA DO PROBLEMA

A não-estacionariedade das séries utilizadas pode ser uma das causas da

autocorrelação residual. Ao estimar a regressão para uma variável que é uma série

temporal, em relação a outra série temporal ou outras séries temporais, com

freqüência obtemos um R2 muito elevado (superior a 0,9) embora não exista entre elas

uma relação que faça sentido. Algumas vezes não esperamos que duas variáveis

tenham alguma relação entre si, mas quando estimamos a regressão de uma em

relação à outra aparece uma relação significativa. Essa situação exemplifica o

problema da regressão espúria, ou da regressão que não faz sentido. Portanto, é muito

importante verificar se a relação entre variáveis econômicas é espúria ou sem sentido.

3 – CONSEQÜÊNCIAS DA NÃO-ESTACIONARIEDADE

Possível autocorrelação residual, além de detecção de relações espúrias (sem

sentido).

4 – Testes de Estacionariedade

4.1 – Teste informal de análise Gráfica

Antes de fazer testes formais é bom traçar as séries temporais em estudo,

pois os gráficos dão uma boa idéia inicial da provável natureza da série temporal.

4.2 – Função de Autocorrelação e Correlograma

Um teste simples de estacionariedade é baseado na função de

autocorrelação. Esta função com defasagem k, denotada por ρk , é definida como:

onde a covariância com defasagem k e a variância são definidas

anteriormente. Note que, se k=0, =1.

Como a covariância e a variância são mensuradas nas mesmas unidades de

medida, é um número sem unidades, ou número puro. Situa-se entre -1 e +1, como

qualquer coeficiente de correlação. Se traçarmos contra k, o gráfico que obtemos é

conhecido como correlograma populacional.

Como na prática temos apenas a realização (isto é, uma amostra) de um

processo estocástico, podemos calcular apenas a função de autocorrelação amostral,

. Para isso, temos de calcular primeiro a covariância amostral com defasagem k,

e a variância amostral, , que são definidas como

onde n é o tamanho da amostra e é a média da amostra.

Por conseguinte, a função de autocorrelação amostral com defasagem k é:

que é simplesmente a razão entre a covariância amostral (com defasagem k) e a

variância amostral. O gráfico de contra k é conhecido como correlograma amostral.

O correlograma acima é típico de uma série temporal estacionária. Como fica

claro neste diagrama, quando temos um processo puramente de ruído branco, a

autocorrelação fica em torno de zero em várias defasagens. Assim, se o correlograma

de uma série temporal (econômica) efetiva se assemelha a uma série temporal de

ruído branco, podemos dizer que essa série temporal provavelmente é estacionária.

Já o correlograma acima exemplifica uma série não estacionária.

Como saber se o coeficiente de correlação é estatísticamente significativo? A

significância de qualquer pode ser julgada pelo seu erro-padrão.

Barlett mostrou que, quando uma série temporal é puramente aleatória, isto

é, exibe ruído aleatório, os coeficientes de autocorrelação da amostra são

aproximandamente:

isto é, em amostras grandes, os coeficientes de autocorrelação amostral têm

distribuição normal com média zero e variância igual a 1 para o total do tamanho da

amostra.

Se o intervalo precedente inclui o valor zero, não rejeitamos a hipótese de

que o verdadeiro ρk é igual a zero, mas se esse intervalo não inclui 0, rejeitamos a

hipótese de que o verdadeiro ρk é igual a zero.

Em vez de testar a significância estatística de qualquer coeficiente de

autocorrelação individual, podemos testar a hipótese conjunta de que todos os ρk até

uma certa defasagem são simultaneamente iguais a zero. Isso pode ser feito usando a

estatística Q desenvolvida por Box e Pierce, definida como:

onde n = tamanho da amostra e m = tamanho da defasagem. A estatística Q é

usada frequentemente para testar se a série temporal é de ruído branco. Em amostras

grandes, ela representa aproximadamente a distribuição de qui-quadrado com m

graus de liberdade. Na prática se o Q calculado excede o valor crítico de Q na

distribuição de qui-quadrado ao nível de significância escolhido, podemos rejeitar a

hipótese nula de que todos os ρk são iguais a zero; pelo menos algum deles têm de ser

diferente de zero.

5 – TRANSFORMAÇÕES DE SÉRIES TEMPORAIS NÃO-ESTACIONÁRIAS

Agora que conhecemos os problemas associados às séries temporais não-

estacionárias, a questão prática é saber o que fazer. Para evitar o problema da

regressão espúria, temos de transformar a série temporal não-estacionária em uma

série temporal estacionária. O método de transformação depende de a série temporal

ser estacionária em diferenças ou estacionária em tendência. Vamos examinar cada

um desses modelos.

Processos estacionários em diferenças

Se uma série temporal tem raiz unitária, as primeiras diferenças dessa série

temporal são estacionárias. Por conseguinte, a solução aqui é tomar as primeiras

diferenças da série temporal.

Para fazer isso basta criar uma nova variável que é igual à diferença entre

períodos subseqüentes da variável escolhida. Para o PIB por exemplo, cria-se uma

nova variável definida por (PIBt - PIBt-1).

Processo estacionário em tendência

O processo estacionário em tendência é aquele que é estacionário em torno

da linha de tendência. Por conseguinte, a maneira mais fácil de tornar a série temporal

estacionária é estimar a regressão em relação ao tempo, e os resíduos dessa regressão

serão estacionários.

Em outras palavras, estime a seguinte regressão:

onde é a série temporal considerada e t é a variável de tendência medida

cronologicamente.

Agora,

será estacionária. é denominada série temporal sem tendência.

É importante notar que a tendência pode ser não-linear. Por exemplo, poderia

ser:

que é uma série quadrática. Se esse for o caso, os resíduos serão uma série

temporal com tendência removida (quadraticamente).

É necessário assinalar que, quando uma série temporal é estacionária nas

diferenças, mas nós a tratamos como estacionária em tendência, ocorre uma

subdiferenciação. Por outro lado, se a série temporal for estacionária em tendência, e

nós a tratamos como estacionária nas diferenças, isso se denomina

superdiferenciação. As conseqüências desses dois tipos de especificação podem ser

sérias, dependendo de como são tratadas as propriedades de correlação serial dos

resíduos resultantes.

A propósito, note que a maioria das séries macroeconômicas é estacionária

em diferenças, e não estacionária em tendência.