Curso completo de raciocãnio lã³gico prof. sã©rgio carvalho

CURSOS ON-LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO – PROF. SÉRGIO CARVALHO

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AULA 0: ORIENTAÇÕES INICIAIS

Olá, amigos!

Venho hoje apresentar-lhes o novo Curso on-line de RACIOCÍNIO LÓGICO!

Antes de tratarmos acerca do conteúdo, uma breve palavra sobre a matéria. Do que se trata? Trata-se de uma disciplina bastante nova no cenário dos concursos públicos. Tal como a Informática, o Raciocínio Lógico começou ainda muito timidamente a freqüentar os editais lá pelos idos de 1996, só que de forma ainda bastante esporádica.

Todavia, de algum tempo para cá, vêm-se multiplicando as provas que passaram a exigir o Raciocínio Lógico em seus programas. São exemplos: Auditor-Fiscal e Técnico da Receita Federal (até 1998), Fiscal do Trabalho, Analista e Técnico de Finanças e Controle, Tribunal de Contas da União (TCU) e Tribunais de Contas Estaduais, Especialista de Políticas Públicas e Gestão Governamental (MPOG), Analista de Planejamento e Orçamento (MPOG), Assistente de Chancelaria (MRE), Auditor de Tributos Estaduais e Municipais, Analista do Serpro, Analista e Técnico do MPU, entre outros.

A grande novidade é que até concursos dos Tribunais Regionais (TRF, TRE e TRT) passaram, mais recentemente, a exigir também o Raciocínio Lógico. E o que parecia ainda mais improvável: até para cargos jurídicos, como é o caso do Delegado da Polícia Federal, está-se exigindo a disciplina. Aliás, no caso específico da Polícia Federal, todos os cargos – Delegado, Perito, Escrivão, Agente e Papiloscopista – fazem esta prova!

Enfim, a quem pode interessar este curso on-line? A toda e qualquer pessoa que pretende prestar concurso público.

Outra coisa que sempre me perguntam: qualquer pessoa pode aprender Raciocínio Lógico? Sem hipocrisia, a resposta é sim. Se não cresse nisso, sequer me atreveria a iniciar este curso. Obviamente que, a princípio, alguns têm mais facilidade em resolver as questões que outros, mas o importante é que, ao passar a conhecer as técnicas de resolução, todos serão capazes de chegar ao resultado! O curso é, portanto, escrito para os alunos que nunca viram a matéria, para que estes possam – logo, logo – chegar ao nível daqueles que sabem tudo!

Para isso, abusaremos da resolução de questões de provas passadas. Não se aprende o Raciocínio Lógico sem se resolver o máximo de exercícios!

Estou muito confiante que este curso on-line será um marco na preparação de quem o fizer. E muito contente, pois terei ao meu lado um professor que ainda não é conhecido do grande público concurseiro, senão no Recife, que é o meu grande amigo Weber Campos. Trata-se, a meu ver, de um dos maiores conhecedores do Raciocínio Lógico para concursos do Brasil. Será meu parceiro nesta empreitada, e sua participação somente enriquecerá nossas aulas. O Prof. Weber tem graduação e mestrado em Engenharia de Telecomunicações pelo IME – Instituto Militar de Engenharia, e é uma das pessoas mais inteligentes e brilhantes que conheço.

Passemos a falar do curso em si.

Dividiremos as aulas por módulos, que correspondem aos diferentes assuntos a serem estudados. O conteúdo destas aulas abrangerá o mais completo dos programas da disciplina, elaborado pela Esaf. Após a apresentação de cada módulo, seguem duas questões de prova que se referem ao respectivo assunto, somente para dar uma noção do que tratará aquele estudo.

A programação que seguiremos é a seguinte:

Módulo I – Conceitos Iniciais do Raciocínio Lógico

Esse módulo tratará dos primeiros conceitos, imprescindíveis ao entendimento da matéria. Falaremos sobre proposições, valores lógicos, conectivos, tabelas-verdade, tautologia, contradição, equivalência entre proposições, validade dos argumentos, entre vários outros. Trabalharemos este módulo em duas aulas.

Questões Modelo:



01. (Papiloscopista 2004 CESPE) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P ∨ Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ∧ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.

A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes. 1. As tabelas de valorações das proposições P∨Q e Q ¬P são iguais. 2. As proposições (P∨Q) S e (P S) ∨ (Q S) possuem tabelas de valorações iguais.

02. (AFC 2002 ESAF) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente

equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

Módulo II – Estruturas Lógicas e Lógica de Argumentação

Um dos assuntos prediletos da Esaf e de outras mesas elaboradoras! Questão costumeiramente certa nas provas de raciocínio lógico. Aqui conheceremos a fundo os tipos de estrutura lógica e como são trabalhadas nos enunciados. Usaremos três aulas neste módulo.

Questões Modelo:

01. (Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana,

a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado. b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia. c) Didi não estudou e Didi foi aprovado. d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque. e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.

02. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:

a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto. b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia. c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto. e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

Módulo III – Questões de Associação

Também um estilo de questão quase sempre presente nas provas. Às vezes, enunciados imensos deixam os alunos sem estímulo para resolvê-los. Aprenderemos as técnicas necessárias para ganhar tempo nestas resoluções! Usaremos duas aulas.

Questões Modelo:



01. (TCE-RN 2000 ESAF) Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas, sentaram-se, lado a lado, à beira do cais, para apreciar o pôr-do-sol. Um deles é flamenguista, outro é palmeirense, e outro vascaíno. Sabe-se, também, que um é arquiteto, outro é biólogo, e outro é cozinheiro. Nenhum deles sentou-se ao lado da esposa, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra e Tânia. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. O vascaíno está sentado em uma das pontas, e a esposa do cozinheiro está sentada à sua direita. Mário está sentado entre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de Oscar são, respectivamente:

a) Regina e Sandra b) Tânia e Sandra c) Sandra e Tânia d) Regina e Tânia e) Tânia e Regina

02. (Fiscal do Trabalho 2003 - ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que: a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas; b) marido e esposa não jogam entre si. Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectivamente:

a) Celina e Alberto b) Ana e Carlos c) Júlia e Gustavo d) Ana e Alberto e) Celina e Gustavo

Módulo IV – Verdades e Mentiras

Questão igualmente obrigatória nas provas. Talvez seja este o assunto em que mais se evidencia a necessidade da técnica de resolução. Uma pessoa que não conhece a técnica será até capaz de acertar a questão, mas certamente suará muito mais para isso! Trabalharemos esse tema em duas aulas.

Questões Modelo:

01. (AFC 2002 ESAF) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei que era um pouco surdo não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram:

Bebelim: Cebelim é inocente . Cebelim: Dedelim é inocente . Dedelim: Ebelim é culpado . Ebelim: Abelim é culpado .

O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram . O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era: a) Abelim b) Bebelim c) Cebelim d) Dedelim e) Ebelim

02. (MPU 2004/ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre



os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:

Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. d) 4. c) 3. e) 5.

Módulo V – Diagramas Lógicos

Um assunto bem tranqüilo. Um oásis, depois de verdades e mentiras! Estudo para apenas uma aula.

Questões Modelo:

01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que

a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C

02. (AFC-STN 2000 ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então: a) nenhum professor de violão é professor de canto b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro d) todos os professores de piano são professores de canto e) todos os professores de piano são professores de violão

Módulo VI – Análise Combinatória

Estudaremos detalhadamente teorias do Arranjo, Combinação e Permutação, com todas as suas variações, explorando, sobretudo, os tópicos mais comumente cobrados nas provas. Duas aulas.

Questões Modelo:

01. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente,

a) 1112 e 1152. b) 1152 e 1100. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384.



02. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a

a) 2 d) 48 b) 4 e) 120 c) 24

Módulo VII – Probabilidade

Um assunto que às vezes assusta muita gente! Felizmente, o grau de complexidade das questões de concurso sobre probabilidade não é assim tão profundo! Resolvendo o máximo de exercícios extraídos de provas recentes, certamente nos familiarizaremos com alguns segredos muito importantes! Duas aulas nesse estudo.

Questões Modelo:

01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a

a) 0,624. b) 0,064. c) 0,216. d) 0,568. e) 0,784.

02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a

probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a

a) 0,25. b) 0,35. c) 0,45. d) 0,15. e) 0,65.

Módulo VIII – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Assuntos vistos por todos nós, no ensino médio (antigo 2º grau). Certamente que muitos já estão esquecidos daqueles dias... (e outros tantos talvez fizeram questão de esquecê-los!), mas na verdade não são questões difíceis! Teremos, obviamente, que relembrar vários conceitos. E o faremos em duas aulas.

Questões Modelo:

01. (AFTN/98 ESAF) - Sejam as matrizes

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

, B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4/257/48/75/3

, C = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 4/297/3

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e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é: a) - 7/8 b) 4/7 c) 0 d) 1 e) 2

02. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser

representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes



A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a:

a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169

Módulo IX – Trigonometria

Para quem se lembra, o estudo deste assunto no colégio é feito em um semestre, aproximadamente. Ou até um pouco mais! Gastaremos apenas uma aula, para recordar as relações trigonométricas mais importantes. Felizmente (ou não!) este não é um dos assuntos mais cobrados em prova!

Questões Modelo:

01. (Fiscal do Trabalho 98 ESAF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica:

(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0

representa uma identidade é:

a) 2 b) 0 c) -1 d) -2 e) 1

02. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Sabendo que x = 3 sen t e y = 4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por:

a) 16 y2 - 9 x2 = 144 b) 16 x2 - 9 y2 = 144 c) 16 y2 + 9 x2 = 144 d) 16 x2 + 9 y2 = 144 e) 9 y2 - 16 x2 = 144

Módulo X – Geometria

Este tópico está presente em alguns editais, aonde vem escrito Geometria Básica. Veremos noções de geometria plana e espacial de acordo com o que tem sido exigido nos concursos.

Também veremos que alguns enunciados podem ser rapidamente resolvidos pelo uso da geometria. Usaremos uma aula em seu estudo.

Questões Modelo:

01. (Oficial de Chancelaria - MRE 2002 ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer ABC mede 76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C deste triângulo vale: a) 50° b) 52° c) 56° d) 64° e) 128°

02. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente daquele) em que é possível ouvir simultaneamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra



Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em linha reta, do ponto onde está João Guilherme. Fernando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer ponto até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra.

Portanto, a distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno e João Guilherme é: a) 650 b) 600 c) 500 d) 700 e) 720

Módulo XI – Porcentagem

Um assunto elementar e essencial para o Raciocínio Lógico. Muitas questões já foram cobradas em concurso. Outras tantas ainda o serão! Esse tema merece, portanto, a nossa atenção. Uma aula.

Questões Modelo:

01. (Fiscal do Trabalho 2003) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é:

a) 50 b) 10 c) 20 d) 40 e) 70

02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser igual a

a) R$ 25,00. d) R$ 50,00. b) R$ 30,00. e) R$ 60,00. c) R$ 40,00.

Módulo XII – Questões envolvendo Movimento

Algumas questões de raciocínio lógico nos fazem relembrar um pouco da física que estudamos no ensino médio, nas quais trabalharemos conceitos como velocidade e espaço. Veremos que algumas dessas questões poderão ser resolvidas até mesmo sem o uso de nenhuma fórmula da cinemática. Em duas aulas concluiremos este módulo.

Questões Modelo:

01. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas no mesmo instante, cada um com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam pelo mesmo percurso, mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam quando se cruzaram. Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de Paulo. Já Paulo chegou à casa de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a uma velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, foi de a) 60 minutos b) 50 minutos



c) 80 minutos d) 90 minutos e) 120 minutos

02. (AFC/CGU - 2003/2004 ESAF) Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco vai de um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro vai de um lado ao outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado para outro, sem perder qualquer tempo nas viradas. Durante esses 12 minutos, eles podem encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão nadando em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos estão fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o número de vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 minutos é:

a) 10 d) 18 b) 12 e) 20 c) 15

Módulo XIII – Questões Variadas

Haverá questões de prova que não trazem um assunto específico. Simplesmente não poderiam ser enquadradas em nenhum dos tópicos anteriores. São problemas que se resolvem, muitas vezes, com um mero e rápido raciocínio. E olha que não são tão poucas as questões deste tipo. Dedicaremos a elas duas aulas.

Questões Modelo:

01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

02. (MPOG 2003 ESAF) Ana, Bia e Cátia disputaram um torneio de tênis. Cada vez que uma

jogadora perdia, era substituída pela jogadora que estava esperando sua vez de jogar. Ao final do torneio verificou-se que Ana venceu 12 partidas e Bia venceu 21 partidas. Sabendo-se que Cátia não jogou a partida inicial, o número de vezes em que Ana e Bia se enfrentaram foi: a) 14 d) 17 b) 15 e) 18 c) 16

Módulo Final – Simulados

Usaremos as duas últimas aulas do curso para fazermos dois grandes simulados, os quais contemplarão, na medida do possível, o maior número de assuntos estudados, com destaque para os mais freqüentes. Será o arremate dos trabalhos.

É isso mesmo, meus amigos: previsão inicial de vinte e cinco aulas.

Praticamente seis meses de curso! Tempo suficiente para ficarmos craques nesta disciplina, que poderá vir a ser um grande diferencial em concursos que virão em breve.

O valor do investimento é de R$200,00 (duzentos reais), podendo ser dividido em três parcelas fixas de R$66,67 (sessenta e seis reais e sessenta e sete centavos).

Quem já fez algum curso on-line comigo sabe da seriedade com a qual eu assumo estes compromissos. E sabe da minha dedicação e empenho em fazer sempre o melhor que posso.



Com a Matemática Financeira foi assim. Com a Estatística também. Com o Raciocínio Lógico não será diferente.

A data prevista para início do curso é 29 de junho, e assim seguirão as nossas aulas, sempre às quartas-feiras, até a provável data de encerramento, que é 15 de dezembro.

Que Deus abençoe este novo projeto, e a cada um de vocês.

Forte abraço a todos! E até breve!

CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO

www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos

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AULA 1: CONCEITOS INICIAIS

Olá, amigos! É uma alegria recebê-los para darmos início a mais este projeto. Dentro de algumas semanas, se Deus quiser, e contando com o esforço e a vontade de cada um, estaremos muito mais preparados para enfrentar o desafio de resolver uma prova de Raciocínio Lógico de concurso.

Gostaria, antes de dar início, de ratificar a presença, na feitura destas aulas, do Prof. Weber Campos. É um curso escrito a quatro mãos, e estou certo que todos só têm a ganhar com isso. O prof. Weber é profundo conhecedor da matéria, e isso se fará ver ao longo das semanas que virão.

Iniciemos, pois, tratando dos fundamentos da lógica.

Fundamentos da Lógica:

# Primeiros Conceitos:

O conceito mais elementar no estudo da lógica – e portanto o primeiro a ser visto – é o de Proposição.

Trata-se, tão somente, de uma sentença – algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos – e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso.

Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição, cujo valor lógico é verdadeiro.

Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).

E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. Concluímos, pois, que...

sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”

sentenças interrogativas: “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?”

sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”.

... não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas – que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas.

Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São outros exemplos de proposições, as seguintes:

p: Pedro é médico.

q: 5 < 8

r: Luíza foi ao cinema ontem à noite.

Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F.

Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes:

Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade);

Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não-Contradição);

Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído).

Proposições podem ser ditas simples ou compostas.

Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada mais fácil de ser entendido.

Exemplos:



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Todo homem é mortal.

O novo papa é alemão.

Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos:

João é médico e Pedro é dentista.

Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.

Ou Luís é baiano, ou é paulista.

Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.

Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria.

Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas.

Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de conectivo que as une.

# Conectivo “e”: (conjunção)

Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “∧”. Então, se temos a sentença:

“Marcos é médico e Maria é estudante”

... poderemos representá-la apenas por: p ∧ q

onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante.

Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras.

Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é estudante.

Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas.

Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento.

Retomemos as nossas premissas:

p = Marcos é médico e q = Maria é estudante.

Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos:

Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p ∧ q V V V

Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos:

Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p ∧ q V F F



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Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos:

Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p ∧ q F V F

Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que:

Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante p q p ∧ q F F F

Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora disso não há! Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”. Teremos:

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos.

Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola e te darei uma bicicleta”. Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também verdadeiras!

Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes (p e q), saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo a seguinte estrutura:

p q

Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois “vês” seguidos de dois “efes”. Assim:

p q V V F F

Enquanto a variação das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas, para a premissa q é diferente: “vês” e “efes” se alternando a cada linha, começando com um V. Assim:

p q V V V F F V F F



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Essa estrutura inicial é sempre assim, para tabelas-verdade de duas proposições p e q. A terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No caso do conectivo “e”, ou seja, no caso da conjunção, já aprendemos a completar a nossa tabela-verdade:


Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção " p e q " corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos: p ∩ q Passemos ao segundo conectivo.

# Conectivo “ou”: (disjunção)

Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “∨”. Portanto, se temos a sentença:

“Marcos é médico ou Maria é estudante”

... então a representaremos por: p ∨ q.

Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro! Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola ou te darei uma bicicleta.” Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção.

Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis situações:

Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p ∨ q V V V

Ou:

Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p ∨ q V F V

Ou:

Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p ∨ q F V V

p q



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Ou, finalmente:

Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p ∨ q F F F

Juntando tudo, teremos:

P q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas!

Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima – as colunas do p e do q – são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjunção (p e q). Muda apenas a terceira coluna, que agora representa um “ou”, a disjunção.

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção "p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q,

p ∪ q

# Conectivo “ou ... ou...”: (disjunção exclusiva)

Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:

“Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”

“ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”

A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola.

Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa.

Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas.

Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva.

E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.

O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “v”. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte:

p q



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p q ou p ou q V V F V F V F V V F F F

# Conectivo “Se ... então...”: (condicional)

Estamos agora falando de proposições como as que se seguem:

Se Pedro é médico, então Maria é dentista.

Se amanhecer chovendo, então não irei à praia.

Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença.

Se nasci em Fortaleza, então sou cearense.

Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. Por exemplo:

Se nasci em Belém, então sou paraense.

Se nasci em Niterói, então sou fluminense.

E assim por diante. Pronto?

Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.

Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense.

Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou cearense, então este conjunto estará todo falso.

Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras: suficiente e necessário.

Uma condição suficiente gera um resultado necessário.

Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. Teremos:

“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a:

“Se Pedro for rico, então Maria é médica”

Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma:

“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a:

“Se Pedro for rico, então Maria é médica”

O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos.

Não podemos, pois esquecer disso:

Uma condição suficiente gera um resultado necessário.

Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira.



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A sentença condicional “Se p, então q” será representada por uma seta: p q.

Na proposição “Se p, então q” , a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a proposição q é dita conseqüente.

Teremos:

p q p q V V V V F F F V V F F V

As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se p, então q":

Se A, B. A é condição suficiente para B. B, se A. B é condição necessária para A. Quando A, B. A somente se B. A implica B. Todo A é B.

Daí, a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das seguintes maneiras:

Se chove, faz frio.

Faz frio, se chove. Quando chove, faz frio. Chover implica fazer frio. Chover é condição suficiente para fazer frio. Fazer frio é condição necessária para chover. Chove somente se faz frio. Toda vez que chove, faz frio.

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a

proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q):

p ⊂ q

# Conectivo “... se e somente se ...”: (bicondicional)

A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas sentenças simples.

Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser:

“Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”.

É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais:

“Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre”.

Ou ainda, dito de outra forma:

“Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre”.

São construções de mesmo sentido!

q

p



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Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa.

Sabendo que a frase “p se e somente se q” é representada por “p↔q”, então nossa tabela-verdade será a seguinte:

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição composta: “se p então q e se q então p”, ou seja,

“ p ↔ q “ é a mesma coisa que “ (p → q) e (q → p) “

São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se q" as seguintes expressões:

A se e só se B. Se A então B e se B então A. A somente se B e B somente se A. A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A. B é condição necessária para A e A é condição necessária para B. Todo A é B e todo B é A. Todo A é B e reciprocamente.

Via de regra, em questões de prova, só se vê mesmo a bicondicional no seu formato

tradicional: “p se e somente se q”.

# Partícula “não”: (negação)

Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição.

No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos:

João é médico. Negativa: João não é médico.

Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante.

Reparemos que, caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não), então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim:

João não é médico. Negativa: João é médico.

Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante.

Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques!

p = q



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O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), antecedendo a frase. (Adotaremos o til). Assim, a tabela-verdade da negação é mais simplificada que as demais já vistas. Teremos:

p ~p V F F V

Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões: Não é verdade que A. É falso que A.

Daí as seguintes frases são equivalentes:

Lógica não é fácil.

Não é verdade que Lógica é fácil.

É falso que Lógica é fácil.

# Negativa de uma Proposição Composta:

O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. Já sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição.

Veremos, pois, uma a uma:

Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q)

Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte:

1) Negaremos a primeira (~p);

2) Negaremos a segunda (~q);

3) Trocaremos e por ou.

E só!

Daí, a questão dirá: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”, e pedirá que encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta fornecida.

Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é verdade que...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida.

E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção!

Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma explicada acima:

1) Nega-se a primeira parte: (~p): “João não é médico”

2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Pedro não é dentista”

3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte:

“João não é médico ou Pedro não é dentista”.

Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que:

~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q

Como fomos chegar à essa conclusão? Ora, por meio da comparação entre as tabelas-verdade das duas proposições acima. Vejamos como foi isso. Primeiro, trabalhemos a tabela-verdade do ~(p ∧ q).

Tudo começa com aquele formato básico, que já é nosso conhecido:



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p q V V V F F V F F

Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjunção (e). Teremos:


Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira. Ora, já sabemos que com a negativa, o que é verdadeiro vira falso, e o que é falso vira verdadeiro.

Logo, teremos:

p q (p ∧ q) ~(p ∧ q) V V V F V F F V F V F V F F F V

Guardemos, pois, essa última coluna (em destaque). Ela representa o resultado lógico da estrutura ~(p ∧ q).

Agora, construamos a tabela-verdade da estrutura ~p v ~q, e comparemos os resultados.

No início, teremos:

p q V V V F F V F F

Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de q. Para isso, conforme já sabemos, quem for V virará F, e vice-versa. Teremos:

p q ~p ~q V V F F V F F V F V V F F F V V

Agora, passemos à coluna final: ~p v ~q. Aqui nos lembraremos de como funciona uma disjunção. A disjunção é a estrutura do ou. Para ser verdadeira, basta que uma das sentenças também o seja. Daí, teremos:

p q ~p ~q ~p ∨ ~q V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V

Finalmente, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ∨ ~q) com aquela que estava guardada da estrutura ~(p ∧ q). Teremos:



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~(p ∧ q) ~p ∨ ~q F F V V V V V V

Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p e q, negaremos p, negaremos q, e trocaremos e por ou.

Já sabendo disso, não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para saber como se faz a negativa de uma conjunção! Esse exercício que fizemos acima, de comparar as colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica.

Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a outra, basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas.

Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q)

Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte:

1) Negaremos a primeira (~p);

2) Negaremos a segunda (~q);

3) Trocaremos ou por e.

Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”.

Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima, faremos:

1) Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista”

2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro”

3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte:

“Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”.

Na linguagem apropriada, concluiremos que:

~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q

Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovação – via tabelas-verdade – desta conclusão acima. Somos curiosos? Claro! Tomemos a primeira parte: ~(p ∨ q). Teremos, de início:

p q V V V F F V F F

Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q), teremos:

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

Finalmente, fazendo a negação da coluna da disjunção, teremos:



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p q p ∨ q ~(p ∨ q) V V V F V F V F F V V F F F F V

Guardemos essa coluna resultado para o final. E passemos à segunda parte da análise: a estrutura ~p ∧ ~q. Teremos, a princípio, o seguinte:

p q V V V F F V F F

Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos:

p Q ~p ~q V V F F V F F V F V V F F F V V

Finalmente, fazendo a conjunção ~p e ~q, teremos o seguinte resultado:

p Q ~p ~q ~p ∧ ~q V V F F F V F F V F F V V F F F F V V V

Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ∧ ~q) com aquela que estava guardada da estrutura ~(p ∨ q). Teremos

~(p ∨ q) ~p ∧ ~q V V V V V V F F

Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar “p ou q”, negaremos p, negaremos q, e trocaremos ou por e.

Negação de uma Proposição Condicional: ~(p q)

Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma:

1º) Mantém-se a primeira parte; e

2º) Nega-se a segunda.

Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”?

1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e

2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.

Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.



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Na linguagem lógica, teremos que:

~(p q) = p ∧ ~q

Vejamos a questão seguinte, que caiu na prova de Gestor Fazendário de Minas Gerais, realizada há poucos dias:

(GEFAZ/MG-2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:

a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’. b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’. c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.

Sol.: Vamos pensar juntos. Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade que...”. Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposição condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”.

Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional, manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos:

1) Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e

2) Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”.

O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”.

Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos! Só há duas opções de resposta que começam com “É verdade que...”, que são as letras a e e. Estão, pois, descartadas essas duas opções.

Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com “Não é verdade que...”. Ou seja, começam com uma negação! Daí, fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris, a qual havíamos chegado.

Ou seja, a proposição Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris será o resultado de uma negação!

Ora, aprendemos há pouco que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção (e), e vice-versa. Vejamos:

~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q e ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q

Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjunção (e):

~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q

Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao resultado ~p ∧ ~q, que é a segunda parte da igualdade.

Estamos à procura da primeira parte, que é ~(p ∨ q).

Logo, teremos que:

o til (~) corresponde a: “Não é verdade que...”

o p corresponde a: “Pedro não está em Roma”;

o ∨ corresponde a ou;

o q corresponde a: “Paulo está em Paris”.

E chegamos a:

“Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.



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Esta é nossa resposta! Letra d.

Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta:

1º) Fizemos a negação de uma proposição condicional (se...então). O resultado deste primeiro passo é sempre uma conjunção (e).

2º) Achamos a proposição equivalente à conjunção encontrada no primeiro passo.

Na seqüência, apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até este momento. Vejamos:

: Estrutura

lógica É verdade quando É falso quando

p ∧ q p e q são, ambos, verdade um dos dois for falso

p ∨ q um dos dois for verdade p e q, ambos, são falsos

p → q nos demais casos p é verdade e q é falso

p ↔ q p e q tiverem valores lógicos iguais p e q tiverem valores lógicos diferentes

~p p é falso p é verdade

Negativas das Proposições Compostas:

negação de (p e q) é ~p ou ~q

negação de (p ou q) é ~p e ~q

negação de (p → q) é p e ~q

negação de (p ↔ q) é [(p e ~q) ou (q e ~p)]

Encerraremos esta primeira aula com uma lista de questões de concurso, as quais poderemos tentar resolver somente com os conhecimentos já adquiridos. É o nosso...

DEVER DE CASA

01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:

a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:

a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.



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03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro

05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas

06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:

a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:

a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista; d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

Não esgotamos ainda o tópico de conceitos iniciais! Ainda há vários deles a serem explanados, o que será feito na próxima aula.

Voltaremos também a falar em Tabela-Verdade, e faremos muitos exercícios com elas!

Essas aulas iniciais são de fundamental importância, pois muitos destes conceitos nos acompanharão por todo o curso.

Por isso, é importante que vocês leiam e releiam tudo o que foi visto aqui hoje. Com calma, sem aperreios! E não esqueçam de tentar fazer as questões do dever de casa. As resoluções serão trazidas na próxima aula.

Ficamos hoje por aqui. Forte abraço a todos, e fiquem com Deus!



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AULA 2: CONCEITOS INICIAIS (Continuação)

Olá, amigos!

Retornamos hoje para dar seqüência aos Fundamentos da Lógica – conceitos iniciais – que demos início na aula passada.

Convém sabermos que estas duas primeiras aulas são, por assim dizer, os pilares do curso inteiro. É possível que hoje tenhamos uma aula de muitas páginas, mas faremos o máximo esforço para que tudo seja explicado da forma mais minuciosa possível.

Doravante, passaremos a ter o cuidado de numerar todas as tabelas do texto, a fim de facilitar futuras referências a qualquer uma delas.

Comecemos com duas erratas da aula um. A primeira delas foi logo na primeira página, quando estávamos apresentando o conceito de proposição, e citamos alguns exemplos, chamando-as de proposições p, q e r. Pois bem, a premissa q tinha o texto: “5 < 8”. Acharam? Logo em seguida, dissemos que o valor lógico dessa proposição era falso (VL(q)=F)! Erramos! Obviamente que é verdadeiro que 5<8. Corrigiremos, trocando o sinal de ‘menor que’ pelo ‘maior que’ (>). E aí, sim, terá valor lógico falso a proposição “5 > 8”.

A segunda correção diz respeito à última tabela que apresentamos na página 12, no momento em que estávamos comparando as tabelas-verdade que resultam das estruturas ~(p v q) e ~p ∧~q. Na ocasião, concluímos que:

~(p ∨ q) ~p ∧ ~q V V V V V V F F

Ora, os resultados destas duas estruturas são, sim, iguais! Só que, na verdade, seus resultados são, corrigindo as tabelas acima, os seguintes:

~(p ∨ q) ~p ∧ ~q F F F F F F V V

Correções feitas, passemos a uma breve revisão (breve mesmo!) do que vimos até aqui, e do que temos obrigação de saber até agora:

REVISÃO DA AULA PASSADA:

# Proposição: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso); haverá proposições simples ou compostas.

# As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas estruturas, dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições componentes. Assim, haverá proposições compostas chamadas conjunções (E), disjunções (OU), disjunções exclusivas (OU...OU...), condicionais (SE...ENTÃO...), e bicondicionais (...SE E SOMENTE SE...).

# Para entendermos mais facilmente o funcionamento dos três primeiros tipos de proposições compostas (conjunção, disjunção e disjunção exclusiva), podemos fazer uma analogia com a promessa de um pai para um filho. Lembram-se? “Te darei uma bola e te darei uma bicicleta”; “te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”, “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”.

TABELA 01

TABELA 02



2

# Conjunção é aquela proposição composta que assume o formato “proposição p E proposição q”. Uma conjunção somente será verdadeira se ambas as sentenças componentes também forem verdadeiras. A tabela-verdade de uma conjunção será, portanto, a seguinte:


Recordando: a promessa do pai só terá sido cumprida se as duas partes dela forem observadas!

# Disjunção é a proposição composta que assume o formato “proposição p OU proposição q”. Para que uma disjunção seja verdadeira, basta que uma das sentenças componentes também o seja. A tabela-verdade de uma disjunção será, portanto, a seguinte:

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

Recordando: basta o pai cumprir uma das partes da promessa e toda ela já terá sido cumprida!

# Disjunção Exclusiva é a proposição que tem o formato “OU proposição p OU proposição q”. Na disjunção exclusiva, o cumprimento de uma parte da promessa exclui o cumprimento da outra parte. A tabela-verdade de uma disjunção exclusiva será, portanto, a seguinte:

p q p ∨ q V V V V F F F V F F F V

Recordando: a promessa do pai só é válida se ele der apenas um presente!

# Condicional é a proposição composta que tem o formato “SE proposição p, ENTÃO proposição q”. Para o melhor entendimento deste tipo de estrutura, somente para efeitos didáticos, lembraremos da seguinte proposição:

“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.

A estrutura condicional é de tal forma que “uma condição suficiente gera um resultado necessário”. Ora, o fato de alguém ter nascido em Fortaleza já é condição suficiente para o resultado necessário: ser cearense.

Pensando desta forma, a única maneira de tal estrutura se tornar FALSA seria no caso em que existe a condição suficiente, mas o resultado (que deveria ser necessário!) não se verifica!

Ou seja, só é falsa a condicional se a primeira proposição (condição suficiente) for VERDADEIRA e a segunda proposição (resultado necessário) for FALSA. A tabela-verdade de uma condicional será, portanto, a seguinte:


TABELA 03

TABELA 04

TABELA 05

TABELA 06



3

Como já era o esperado, a maioria das dúvidas enviadas para o nosso fórum versaram acerca da condicional. Uma coisa tem que ficar perfeitamente clara: o exemplo com o qual trabalhamos acima (“se nasci em Fortaleza então sou cearense”) foi escolhido exclusivamente para efeitos didáticos! Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o conteúdo das proposições componentes da condicional.

Por exemplo, poderemos ter a seguinte sentença:

“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão”

Viram? O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma condição suficiente para a obtenção de um resultado necessário. Este resultado necessário será justamente a segunda parte da condicional.

Voltemos a pensar na frase modelo da condicional:

“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.

No fórum, alguém perguntou como seria possível considerar a condicional VERDADEIRA, sendo a primeira parte dela falsa e a segunda verdadeira (vide terceira linha tabela-verdade):


Ora, seria possível que eu não tenha nascido em Fortaleza, e ainda assim que eu seja cearense? Claro! Posso perfeitamente ter nascido em qualquer outra cidade do Ceará, que não Fortaleza! Certo? Ou seja, não invalida a condicional o fato de a primeira parte ser falsa e a segunda ser verdadeira. Ok?

É imprescindível que fique guardado na memória de vocês a seguinte conclusão:

Esta é a informação crucial. Mesmo que a compreensão da estrutura não tenha, neste primeiro momento, ficado inteiramente clara para alguém, o mais importante, por hora, é guardar bem a conclusão acima. Ok? Ao longo das aulas, temos certeza que alguns pontos irão clareando mais e mais.

# Bicondicional é a proposição composta do formato “proposição p SE E SOMENTE SE proposição q”. Nesta estrutura, as duas partes componentes estão, por assim dizer, amarradas: se uma for VERDADEIRA, a outra também terá que ser VERDADEIRA; se uma for FALSA, a outra também terá que ser FALSA.

Será, portanto, válida a estrutura bicondicional se esta característica se verificar: ambas as proposições verdadeiras, ou ambas falsas. A tabela-verdade de uma bicondicional será, portanto, a seguinte:

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

TABELA 07

A condicional somente será FALSA quando o antecedente for VERDADEIRO e o conseqüente for FALSO!

TABELA 08



4

# Negação de uma Proposição Simples:

Nada mais fácil: o que é VERDADEIRO torna-se falso, e vice-versa!

A tabela-verdade será, portanto, a seguinte:

p ~p V F F V

# Negação de uma Proposição Composta:

Negação de uma Conjunção:

A negativa de uma conjunção se faz assim:

1º) Nega-se a primeira parte;

2º) Nega-se a segunda parte;

3º) Troca-se o E por um OU.

Ou seja: ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q

Assim, para negar a seguinte sentença:

“Te darei uma bola E te darei uma bicicleta”

Faremos:

“Não te darei uma bola OU não te darei uma bicicleta”

Negação de uma Disjunção:

A negativa de uma disjunção se faz assim:

1º) Nega-se a primeira parte;


3º) Troca-se o OU por um E.

Ou seja: ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q


“Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”

Faremos:

“Não te darei uma bola E não te darei uma bicicleta”

Negação de uma Condicional:

A negativa de uma condicional se faz assim:

1º) Mantém-se a primeira parte; E


Ou seja: ~(p → q) = p ∧ ~q

TABELA 09



5


“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão”

Faremos:

“A baleia é uma mamífero E o papa não é alemão”

Essencialmente, foi este o conteúdo de nossa primeira aula.

Passemos a analisar algumas questões do dever de casa que ficou para vocês fazerem.

RESOLUÇÃO DO DEVER DE CASA

Resolveremos ainda hoje as oito questões que ficaram pendentes! Na seqüência, faremos algumas delas. As demais, em páginas mais adiante.

Comecemos com a questão 2:

02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:

a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

Sol.: Ora, aqui percebemos que há uma proposição simples no enunciado, e que precisa ser analisada. Qual é essa proposição? A seguinte:

“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”

Se observarmos bem, veremos que esta sentença contém duas negações. Vejamos em destaque:

“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”

Também é fato que nosso cérebro trabalha mais facilmente com afirmações que com negações. Tiremos a prova! Vamos trocar essas expressões negativas da frase acima por afirmações correspondentes. Podemos, então, trocar “não é verdade” por “é mentira”. Todos concordam? É a mesma coisa? Claro! Trocaremos também “não dormem a sesta” por “ficam acordados”. Pode ser? Teremos:

“É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados”

Agora interpretemos a frase acima: ora, se é mentira que todos os aldeões ficam acordados, significa que pelo menos um deles dorme! Concordam? É a resposta da questão, opção C!

Daqui, extrairemos uma lição: a palavra-chave da frase em questão é TODOS. É esta palavra que está sendo negada! E, conforme vimos, a negação de TODOS é PELO MENOS UM (=ALGUM).

Podemos até criar a seguinte tabela:

p ~p TODO A é B ALGUM A não é B

ALGUM A é B NENHUM A é B

TABELA 10



6

Questão semelhante já havia sido cobrada também pela Esaf. A frase em análise então era a seguinte: “Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras”. Como interpretar essa frase? Do mesmo jeito: primeiramente, troquemos as partes negativas por afirmações correspondentes. Teríamos o seguinte: “É mentira que todas as pessoas daquela família são gordas”. Ora, se é mentira que todas são gordas, então é porque pelo menos uma delas é magra! Só isso e mais nada.

Adiante!

03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

Sol.: Esta é bem simples! Trata-se da negação (“não é verdade que...) de uma conjunção (E). Ora, sabemos que na hora de negar uma conjunção, teremos: ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q

Daí, negando a primeira parte, teremos: Pedro não é pobre. Negando a segunda parte: Alberto não é alto. Finalmente, trocando o E por um OU, concluiremos que:

Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto

é igual a:

Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. Resposta (letra A)!

Deixemos a questão 4 para daqui a pouco. 05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas

Sol.: Esta questão agora se tornou muito fácil, após termos feito a questão dois. Aprendemos, inclusive com uma tabela apropriada, que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM (=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos”, o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase! Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo menos um economista não é médico! É nossa resposta – opção A! Pulemos a sexta, por enquanto! 07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:

a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

Sol.: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de uma condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a segunda! Daí, concluiremos o seguinte:



7

"se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva"

é igual a:

“está chovendo E eu não levo o guarda-chuva” Resposta (letra E)!

Ao longo desta aula, resolveremos as questões que ficaram faltando!

# TABELAS-VERDADE:

Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE.

Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas.

Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso?

Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado por:

Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões

Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade terá 4 linhas, já que 22=4.

E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p, q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 23=8.

E assim por diante.

TABELAS-VERDADES PARA p E q:

Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade será sempre aquela que já aprendemos na aula passada. Qual seja:

p q V V V F F V F F

E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que estarão presentes na proposição composta.

Já sabemos construir, pelo menos, cinco tabelas-verdade de proposições compostas! Claro! A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, da disjunção exclusiva, da condicional e da bicondicional.

Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer outra proposição condicional formada por duas proposições componentes (p e q). Designaremos tal proposição composta da seguinte forma: P(p, q).

Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta:

P(p, q)=~(p v ~q)

...e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme sabemos, sempre o mesmo. Teremos:

TABELA 11



8

p q V V V F F V F F

Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando [~(p v ~q)] e comparemos o que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o ~q? Ainda não! Então, é nosso próximo passo: construir a coluna da negação de q. Teremos:

p q ~q V V F V F V F V F F F V

Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente ao parênteses (p v ~q). Trata-se pois, de uma disjunção, cujo funcionamento já é nosso conhecido (só será falsa se as duas partes forem falsas!). Colocaremos em destaque (sombreado) as colunas de nosso interesse para a formação desta disjunção. Teremos:

p q ~q p v ~q V V F V V F V V F V F F F F V V

Ficou claro para todo mundo? Vejamos de novo: colocando as duas colunas (p e ~q) lado a lado, veremos que só na terceira linha ocorre a situação FALSO e FALSO, a qual torna também FALSA a conjunção. Vejamos:

p ~q p v ~q V F V V V V F F F F V V

Por fim, concluindo a análise desta proposição composta, resta-nos construir a coluna que é a própria proposição: ~(p v ~q). Ou seja, faremos a negação da conjunção acima. Para isso, quem for VERDADEIRO vira FALSO e vice-versa. Teremos:

p Q ~q p v ~q ~(p v ~q) V V F V F V F V V F F V F F V F F V V F

É este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposição ~(p v ~q).

Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de construirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma certa ordem de precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a uma seqüência.

Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois, passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte ordem:

TABELA 12

TABELA 13

TABELA 14

TABELA 15

TABELA 16



9

1º) Faremos as negações (~);

2º) Faremos as conjunções (E) ou disjunções (OU), na ordem em que aparecerem;

3º) Faremos a condicional (SE...ENTÃO...);

4º) Faremos a bicondicional (...SE E SOMENTE SE...).

Confira novamente o trabalho que fizemos acima, para construir a tabela-verdade da proposição [~(p v ~q)]. Vide tabelas 12 a 16 supra. Primeiro, trabalhamos o parênteses, fazendo logo uma negação (tabela 13). Depois, ainda dentro do parênteses, fizemos uma disjunção (tabela 14). E concluímos trabalhando fora do parênteses, fazendo nova negação. Observemos que só se passa a trabalhar fora do parênteses quando não há mais o que se fazer dentro dele.

Passemos a um exercício mais elaborado de tabela-verdade! Caso você queira, pode tentar a resolução sozinho e depois conferir o seu resultado. Vamos a ele:

EXERCÍCIO: Construa a tabela-verdade da seguinte proposição composta:

P(p,q)= (p ^ ~q) v (q ^ ~p)

Sol.: Observamos que há dois parênteses. Começaremos, pois, a trabalhar o primeiro deles, isoladamente. Nossos passos, obedecendo à ordem de precedência dos conectivos, serão os seguintes:

1º Passo) A negação de q:

p q ~q V V F V F V F V F F F V

2º Passo) A conjunção:

p q ~q p ∧ ~q V V F F V F V V F V F F F F V F

Deixemos essa coluna-resultado de molho para daqui a pouco, e passemos a trabalhar o segundo parênteses. Teremos:

3º Passo) A negação de p:

p q ~p V V F V F F F V V F F V

4º Passo) A conjunção:

p q ~p q ∧ ~p V V F F V F F F F V V V F F V F

TABELA 17

TABELA 18

TABELA 19

TABELA 20



10

5º Passo) Uma vez trabalhados os dois parênteses, faremos, por fim, a disjunção que os une. Teremos:

(p ∧ ~q) (q ∧ ~p) (p ∧~q) v (q ∧~p) F F F V F V F V V F F F

Se quiséssemos, poderíamos ter feito tudo em uma única tabela maior, da seguinte forma:

TABELA 22

p q ~q p ∧ ~q ~p q ∧ ~p (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) V V F F F F F V F V V F F V F V F F V V V F F V F V F F

Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelas-verdades para proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com três proposições simples (p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade?

TABELAS-VERDADE PARA TRÊS PROPOSICOES (p, q E r):

A primeira coisa a saber é o número de linhas que terá esta tabela-verdade. Conforme já aprendemos, este cálculo será dado por Nº linhas = 2 Nº de proposições. Daí, teremos que haverá oito linhas (23=8) numa tabela-verdade para três proposições simples.

Vimos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte:

p q r

A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro V alternando com quatro F; a coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F; por fim, a coluna da proposição r alternará sempre um V com um F. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura inicial:

p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Saber construir esta tabela acima é obrigação nossa! Ela corresponde, como já foi dito, à estrutura inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples!

TABELA 21

TABELA 23

TABELA 24



11

Suponhamos que alguém (uma questão de prova, por exemplo!) nos peça que construamos a tabela-verdade da proposição composta seguinte:

P(p,q,r)=(p ∧ ~q) (q v ~r)

A leitura dessa proposição é a seguinte: Se p e não q, então q ou não r.

Vamos fazer esse exercício? Começaremos sempre com a estrutura inicial para três proposições. Teremos:

p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Daí, já sabemos que existe uma ordem de precedência a ser observada, de modo que trabalharemos logo os parênteses da proposição acima. Começando pelo primeiro deles, faremos os seguintes passos:

1º Passo) Negação de q:

P q r ~q V V V F V V F F V F V V V F F V F V V F F V F F F F V V F F F V

2º Passo) A conjunção do primeiro parênteses: (Só recordando: somente se as duas partes forem verdadeiras é que a conjunção (e) também o será!)

p q r ~q p ∧ ~q V V V F F V V F F F V F V V V V F F V V F V V F F F V F F F F F V V F F F F V F

3º Passo) Trabalhando agora com o segundo parênteses, faremos a negação de r:

p q r ~r V V V F V V F V V F V F V F F V F V V F F V F V F F V F F F F V

TABELA 25

TABELA 26

TABELA 27

TABELA 28



12

4º Passo) A disjunção do segundo parênteses:

Só recordando: basta que uma parte seja verdadeira, e a disjunção (ou) também o será!

p q r ~r q v ~r V V V F V V V F V V V F V F F V F F V V F V V F V F V F V V F F V F F F F F V V

5º Passo) Finalmente, já tendo trabalhado os dois parênteses separadamente, agora vamos fazer a condicional que os une:

Só recordando: a condicional só será falsa se tivermos VERDADEIRO na primeira parte e FALSO na segunda!

p ∧ ~q q v ~r (p ∧ ~q) (q v ~r) F V V F V V V F F V V V F V V F V V F F V F V V

Novamente, se assim o quiséssemos, poderíamos ter feito todo o trabalho em uma só tabela, como se segue:

TABELA 31

p q r ~q p ∧ ~q ~r q ∨ ~r (p ∧ ~q) (q ∨ ~r) V V V F F F V V V V F F F V V V V F V V V F F F V F F V V V V V F V V F F F V V F V F F F V V V F F V V F F F V F F F V F V V V

Pronto! Concluímos mais uma etapa! Já estamos aptos a construir qualquer tabela-verdade para proposições compostas de duas ou de três proposições componentes!

Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, Contradição e Contingência.

# TAUTOLOGIA:

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.

Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso! Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p ∨ q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

TABELA 29

TABELA 30



13

p q p ∧ q p ∨ q (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V V

V F F V V

F V F V V

F F F F V

Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ∧ q) → (p ∨ q), que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro. Passemos a outro exemplo de Tautologia: [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p .

Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma tautologia:

TABELA 33:

p q s p ∨ q p ∧ s (p ∨ q) ∧ (p ∧ s) [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p

V V V V V V V

V V F V F F V

V F V V V V V

V F F V F F V

F V V V F F V

F V F V F F V

F F V F F F V

F F F F F F V Demonstrado! Observemos que o valor lógico da proposição composta [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p, que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos que p, q e s assumem. # CONTRADIÇÃO:

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.

Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição. Exemplo 1:

A proposição "p ↔ ~p" (p se e somente se não p) é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente do valor lógico de p, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

p ~p p ↔ ~p V F F F V F

Exemplo 2: A proposição (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) também é uma contradição, conforme verificaremos por meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos:

TABELA 32

TABELA 34



14

p q (p ↔ ~q) (p ∧ q) (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q)

V V F V F

V F V F F

F V V F F

F F F F F

Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q), que aparece na última coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso, independentemente dos valores lógicos que p e q assumem. # CONTINGÊNCIA:

Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição.

Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição (só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência! Exemplo:

A proposição "p ↔ (p ∧ q)" é uma contingência, pois o seu valor lógico depende dos valores lógicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

p q (p ∧ q) p ↔ (p ∧ q) V V V V

V F F F

F V F V

F F F V

E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma tautologia e nem é uma contradição! Por isso! Vejamos agora algumas questões de concurso sobre isso. # Questões de Concurso: (TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza:

(A) um silogismo. (B) uma tautologia. (C) uma equivalência. (D) uma contingência. (E) uma contradição.

Sol: Com a finalidade de montarmos a tabela verdade para verificar se a proposição apresentada no enunciado da questão é uma tautologia ou uma contradição, definiremos a seguinte proposição simples:

p : o candidato A será eleito

Então, a sentença “o candidato A será eleito OU não será eleito” passará ser representada simbolicamente como: p ∨ ~p .

Construindo a tabela- verdade, teremos que:

p ~p p ∨ ~p V F V F V V

TABELA 35

TABELA 36

TABELA 37



15

Pronto! Matamos a charada! Como a última linha desta tabela-verdade só apresenta o valor lógico Verdadeiro, estamos inequivocamente diante de uma Tautologia. A alternativa correta é a letra B.

Passemos a mais uma questão.

(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Sol: Para simplificar e facilitar esta resolução, assumiremos as seguintes proposições simples: p : João é alto.

q : Guilherme é gordo.

Daí, utilizando estas definições feitas acima para as proposições p e q, as alternativas da questão poderão ser reescritas simbolicamente como:

a) p → (p ∨ q) (=se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo) b) p → (p ∧ q) (=se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo) c) (p ∨ q) → q (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo) d) (p ∨ q)→(p ∧ q) (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo) e) (p ∨ ~p) → q (=se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo) O que resta ser feito agora é testar as alternativas, procurando por aquela que seja uma Tautologia. Para isso, construiremos a tabela-verdade de cada opção de resposta.

Teste da alternativa “a”: p → (p ∨ q)

p q (p ∨ q) p → (p ∨ q) V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

Pronto! Mal começamos, e já chegamos à resposta! Observemos que a última coluna da tabela-verdade acima só apresentou valores lógicos verdadeiros! Com isso, concluímos: a proposição da opção A – Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo – é uma Tautologia!

Daí: Resposta: Letra A!

Só para efeitos de treino, vamos testar também a alternativa B: Teste da alternativa B: p → (p ∧ q)

p q (p ∧ q) p → (p ∧ q)

V V V V

V F F V

F V F F

F F F V

TABELA 38

TABELA 39



16

Como podemos observar na última coluna da tabela-verdade acima, o valor lógico da proposição p → (p ∧ q) pode ser verdadeiro ou falso. Isto nos leva a concluir, portanto, que esta proposição não é uma tautologia, nem uma contradição, mas, sim, a chamada contingência. Antes de seguirmos adiante, façamos uma solução alternativa para a questão acima: Observem que em todas as alternativas aparece o conectivo “→”, ou seja, todas as proposições são condicionais. Na tabela verdade do conectivo “→” só temos o valor lógico falso quando na proposição condicional o antecedente for verdade e o conseqüente for falso. Sabendo que uma tautologia sempre tem valor lógico verdade, então dentre as proposições condicionais apresentadas nas alternativas, aquela em que nunca ocorrer o antecedente verdade e o conseqüente falso será uma tautologia. - Análise do item ‘a’: p → (p ∨ q) Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, também o conseqüente será verdade, e assim a proposição nunca será falsa, logo esta proposição é uma tautologia. A questão terminou, mas vamos analisar os restantes. - Análise do item ‘b’: p → (p ∧ q) Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, o conseqüente será verdade se q for verdade, e falso se q for falso. Assim, a proposição pode assumir os valores lógicos de verdade e falso. Não é uma tautologia. - Análise do item ‘c’: (p ∨ q) → q O antecedente desta proposição sendo verdade, o valor lógico de q pode ser verdade ou falso, e daí o conseqüente que é dado por q também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. - Análise do item ‘d’: (p ∨ q) → (p ∧ q) O antecedente desta proposição sendo verdade, os valores de p e q podem ser verdade ou falso, e portanto o conseqüente também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia.

- Análise do item ‘e’: (p ∨ ~p) → q Observem que o antecedente é sempre verdade independente do valor lógico de p, já o conseqüente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso. Portanto, concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. Passaremos agora a tratar de um tema da maior relevância no Raciocínio Lógico, e que, inclusive, já foi exaustivamente exigido em questões de provas recentes de concursos. Estamos nos referindo à Equivalência Lógica. Ou seja, vamos aprender a identificar quando duas proposições compostas são equivalentes uma à outra. Vamos lá! # PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES:

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos.

Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.

A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p ⇔ q , ou simplesmente por p = q.

Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convém conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões.



17

Equivalências Básicas:

1ª) p e p = p

Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente

2ª) p ou p = p

Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema

3ª) p e q = q e p

Exemplo: o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte

4ª) p ou q = q ou p

Exemplo: o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco

5ª) p ↔ q = q ↔ p

Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo

6ª) p ↔ q = (p q) e (q p)

Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo

Para facilitar a nossa memorização, colocaremos essas equivalências na tabela seguinte:

p e p = P

p ou p = P

p e q = q e p

p ou q = q ou p

p ↔ q = q ↔ p

p ↔ q = (p → q) e (q → p)

Equivalências da Condicional:

As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Inclusive, serão utilizadas para resolver algumas questões do dever de casa que ficaram pendentes.

Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. São as seguintes as equivalências da condicional:

1ª) Se p, então q = Se não q, então não p.

Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove

2ª) Se p, então q = Não p ou q.

Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso

TABELA 40



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Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorização, teremos:

p → q = ~q → ~p

p → q = ~p ou q

Tomemos as questões restantes do dever de casa, e as resolvamos agora:

01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:

a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

Sol.: Conforme aprendemos na aula passada, a estrutura condicional pode ser traduzida também com uso das expressões condição suficiente e condição necessária. Lembrados? Usando essa nomenclatura, teremos que:

a primeira parte da condicional é uma condição suficiente; e

a segunda parte da condicional é uma condição necessária.

Daí, tomando a sentença “Se Marcos não estuda, então João não passeia”, teremos que:

Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear ou

João não passear é condição necessária Marcos não estudar.

Ocorre que nenhum desses dois resultados possíveis acima consta entre as opções de resposta! Daí, resta-nos uma saída: teremos que encontrar uma condicional equivalente à esta da questão. Qual seria? Basta ver a primeira linha da Tabela 39 acima: p q = ~q ~p. Teremos:

Se Marcos não estuda, então João não passeia = Se João passeia, então Marcos estuda.

Viram o que foi feito? Fizemos as duas negativas e trocamos a ordem!

Daí, agora analisando esta condicional equivalente, concluiremos que:

João passear é condição suficiente para Marcos estudar ou

Marcos estudar é condição necessária para João passear. Resposta! (Letra E)

04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro

Sol.: Aqui temos uma questão mais bonita! Teremos que usar as duas equivalências da condicional para resolvê-la. Vejamos: o enunciado nos trouxe uma disjunção. Replicando a tabela 39, temos que...

p → q = ~q → ~p

p → q = ~p ou q

TABELA 41

TABELA 42



19

... a segunda linha da equivalência da condicional resulta numa disjunção! Ora, podemos tentar começar a desenvolver nosso raciocínio por aí. Invertendo a ordem desta segunda linha da tabela acima, concluímos que: ~p ou q = p q.

Daí, chamaremos André é artista ou Bernardo não é engenheiro de ~p ou q.

Assim:

André é artista = ~p e Bernardo não é engenheiro = q.

Encontrando agora a estrutura equivalente p q, teremos:

“Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro”.

Ocorre que esta sentença acima não figura entre as opções de resposta. Isso nos leva a concluir que teremos ainda que mexer com essa condicional, encontrando uma condicional equivalente a ela. Daí, usaremos a equivalência da primeira linha da tabela acima: p q = ~q ~p. Teremos, pois que:

“Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro” é o mesmo que:

“Se Bernardo é engenheiro, então André é artista” Resposta! (Letra D)

06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

Sol.: Aqui também teremos que transformar uma disjunção em uma condicional. Já sabemos, pela resolução da questão anterior, que poderemos usar a seguinte equivalência: ~p ou q = p q.

Teremos, pois que:

Pedro não é pedreiro = ~p

Paulo é paulista = q

Daí, a condicional equivalente a esta disjunção será a seguinte:

Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. Resposta! (Letra A)

08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:

a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista; d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

Sol.: A questão nos trouxe uma condicional e pediu uma proposição equivalente. Podemos testar as duas equivalências da condicional que conhecemos.

Comecemos pela seguinte: p q = ~q ~p

Daí, considerando que:

Pedro é economista = p e Luísa é solteira = q

Sua condicional equivalente será:

Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. Resposta! (Letra E)



20

Tivemos sorte de encontrar a resposta logo na primeira tentativa! Todavia, se não houvesse essa sentença entre as opções de resposta, teríamos que tentar a segunda equivalência da condicional, a qual resulta em uma disjunção. Teríamos, pois que: p q = ~p ou q.

Daí:

Se Pedro é economista, então Luísa é solteira = Pedro não é economista ou Luísa é solteira.

Seria a segunda resposta possível.

Pronto! Terminamos de resolver as questões que haviam ficado do dever de casa, mas ainda não terminamos a aula de hoje! Demos seqüência ao estudo das equivalências! Adiante!

Equivalências com o símbolo da negação:

Este tipo de equivalência já foi estudado por nós na primeira aula. Trata-se, tão somente, das negações das proposições compostas! Como tais equivalências já foram inclusive revisadas nesta aula de hoje, nos limitaremos apenas a reproduzi-las novamente. Teremos:

~(p e q) = ~p ou ~q

~(p ou q) = ~p e ~q

~(p → q) = p e ~q

~(p ↔ q) = [(p e ~q) ou (~p e q)]

Talvez alguma dúvida surja em relação à última linha da tabela acima. Porém, basta nos lembrarmos do que foi aprendido também na última linha da tabela 38 (página 16):

(p ↔ q) = (p q) e (q p)

(Obs.: é por isso que a bicondicional tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!) Daí, para negar a bicondicional acima, teremos na verdade que negar a sua conjunção

equivalente. E para negar uma conjunção, já sabemos, negam-se as duas partes e troca-se o E por um OU.

Fica também como tarefa para casa a demonstração desta negação da bicondicional. Ok?

Outras equivalências:

Algumas outras equivalências que podem ser relevantes são as seguintes:

1ª) p e (p ou q) = p

Exemplo: Paulo é dentista, e Paulo é dentista ou Pedro é médico = Paulo é dentista

2ª) p ou (p e q) = p

Exemplo: Paulo é dentista, ou Paulo é dentista e Pedro é médico = Paulo é dentista

Por meio das tabelas-verdade, estas equivalências também podem ser facilmente demonstradas. Para auxiliar nossa memorização, criaremos a tabela seguinte:

p e (p ou q) = p

p ou (p e q) = p

Equivalência entre “nenhum” e “todo”:

Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito freqüentes em questões de prova. É uma equivalência simples, e de fácil compreensão. Vejamos:

TABELA 43

TABELA 44



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1ª) Nenhum A é B = Todo A é não B

Exemplo:Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (=Todo médico não é louco)

2ª) Todo A é B = Nenhum A é não B

Exemplo: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é bela)

Colocando essas equivalências numa tabela, teremos:

Nenhum A é B = Todo A é não B

Todo A é B = Nenhum A é não B

# LEIS ASSOCIATIVAS, DISTRIBUTIVAS E DA DUPLA NEGAÇÃO:

Na seqüência, algumas leis que podem eventualmente nos ser úteis na análise de alguma questão. São de fácil entendimento, de modo que nos limitaremos a apresentá-las.

Leis associativas:

(p e q) e s = p e (q e s)

(p ou q) ou s = p ou (q ou s)

Leis distributivas:

p e (q ou s) = (p e q) ou (p e s)

p ou (q e s) = (p ou q) e (p ou s)

Lei da dupla negação:

~(~p) = p

Daí, concluiremos ainda que:

S não é não P = S é P Todo S não é não P = Todo S é P Algum S não é não P = Algum S é P Nenhum S não é não P = Nenhum S é P

Exemplos: 1) A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica 2) Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional 3) Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural 4) Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural

TABELA 45

TABELA 46

TABELA 47

TABELA 48

TABELA 49



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Bem! Acreditamos que por hoje já houve uma dose suficiente de informações!

A princípio, planejávamos uma aula ainda maior, mas decidimos ficar por aqui, e deixar que vocês tenham condições de ler com calma o conteúdo visto até este momento, e de fixar bem o que aprenderam.

E não há jeito melhor no mundo de fixar o aprendizado do que resolvendo questões, não é mesmo? Por isso, trazemos na seqüência o Dever de Casa, para vocês se divertirem durante esta semana! Não deixem passar a oportunidade de tentar resolvê-las! Mesmo que surjam algumas dificuldades, não desanimem! Há muito mais mérito em tentar e não conseguir, do que em ficar esperando a resolução pronta na aula seguinte! Lembrem-se disso.

E chega de lero-lero. Fiquem todos com Deus! Um grande abraço nosso! E estudem!

DEVER DE CASA

(Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE) Texto para os itens de 01 a 08

Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

01. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é verdadeira.

02. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.

03. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira.

--------------------------------------

Considere as sentenças abaixo.

i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.

ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.

iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.

iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.

v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido.

Q Fumar deve ser encorajado.

R Fumar não faz bem à saúde.

T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

04. A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).

05. A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).

06. A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.

07. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.



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08. A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)).

Gabarito: 01. E 02. E 03. C 04. E 05. C 06. C 07. C 08. E

(TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:

09. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬P (¬R ∧ ¬Q)

10. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q

11. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P Q é falsa.

12. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) P é inferior a 9. Gabarito: C C E C

13. (Analista Ambiental - Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE)

Julgue o item seguinte: ~(P → ~Q) é logicamente equivalente à (Q → ~P).

(SERPRO 2004 – CESPE)

14. Julgue o item seguinte: A tabela de verdade de P → Q é igual à tabela de verdade de (P → ¬Q) → ¬P .

(Analista Petrobrás 2004 CESPE)

Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS:

Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.

Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima.

15. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.

16. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.

Gabarito: C, E

(Papiloscopista 2004 CESPE)

Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.



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A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.

17. As tabelas de valorações das proposições P→Q e Q → ¬P são iguais.

18. As proposições (P∨Q)→S e (P→S) ∨ (Q→S) possuem tabelas de valorações iguais.

Gabarito: E, E

19. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:

P: “A ou B”

Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:

A: “Carlos é dentista”

B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. 20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que: a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo. c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo. d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. 21. (AFC/STN-2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que: a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.



1

AULA TRÊS: Lógica de Argumentação

Olá, amigos!

Nosso assunto de hoje – Lógica de Argumentação – é um tópico constantemente presente nos programas de diversos editais de concursos!

Antes disso, vejamos algumas correções que têm que ser feitas referentes à aula passada. Tais correções foram reclamadas por vocês próprios, no fórum, pelo que agradecemos e nos desculpamos! São as seguintes:

Logo na página 2, nos equivocamos ao construir a Tabela 05, referente à disjunção exclusiva. A tabela correta, como já sabíamos, é a seguinte:

p q p ∨ q V V F V F V F V V F F F

No finalzinho da página 15, na Tabela 39, trocamos dois valores lógicos da terceira coluna: assim, na segunda linha, onde há um V, leia-se F; e na terceira linha, o inverso: onde há um F, leia-se V. A Tabela 39 correta é a seguinte:

p q (p ∧ q) p → (p ∧ q)

V V V V

V F F F

F V F V

F F F V

Na página 18, ao resolver as questões 1 e 4, em dois momentos fizemos referência à Tabela 39, quando o correto seria mencionar a Tabela 41 (que trata das equivalências da condicional)!

Finalmente, na página 20, após a Tabela 43, onde se lê “Tabela 38 pág. 16”, leia-se “Tabela 40, página 17”.

Até agora, foi o que encontramos! Novamente nos desculpamos com vocês.

Na seqüência, a resolução das questões do dever de casa passado.

DEVER DE CASA

(Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE) Texto para os itens de 01 a 08

Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

01. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é verdadeira.

Sol.: Para este tipo de questão, um artifício útil é o de substituir a letra que representa a proposição pelo seu respectivo valor lógico. Neste caso, vemos que o enunciado definiu que as proposições (P e Q) são ambas verdadeiras! Daí, em lugar de P e de Q, usaremos o valor lógico V.

TABELA 05

TABELA 39



2

Teremos:

(~P) ∨ (~Q)

= (~V) ∨ (~V)

Ora, a negação (~) do Verdadeiro é o Falso (~V=F) e vice-versa (~F=V). Daí, teremos:

= F ∨ F

Estamos diante de uma disjunção (OU), a qual já conhecemos bem: basta que uma das partes seja verdadeira, que a disjunção será verdadeira. Mas, se as duas partes forem falsas, como neste caso, então, a disjunção é FALSA. Teremos, finalmente, que:

F ∨ F = F Resposta! O item 1 está errado!

02. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.

Sol.: Usaremos o mesmo artifício da questão acima. Teremos:

R (~T)

F (~V)

F F

Redundamos numa condicional. Conforme sabemos, a condicional só é falsa quando a primeira parte é verdadeira e a segunda é falsa. Lembrados? Daí, como não é o caso, teremos:

F F = V Resposta! O item 2 está errado!

03. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P∧R)→(¬Q) é verdadeira.

Sol.: Mais uma vez, a resolução seguirá o mesmo caminho já utilizado acima. Teremos:

(P ∧ R) (~Q)

(V ∧ F) (~V)

Trabalhemos o primeiro parênteses, observando que se trata de uma conjunção. Como já é do conhecimento de todos, somente se as duas partes forem verdadeiras é que a conjunção o também o será! Não é o nosso caso. Assim, teremos:

F (~V)

Ora, sabemos que ~V=F. Daí:

F F

E agora? O que dizer desta condicional? Teremos:

F F = V Resposta! O item 3 está correto!

Considere as sentenças abaixo.

i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.

ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.

iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.

iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.

v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.



3

P Fumar deve ser proibido.

Q Fumar deve ser encorajado.

R Fumar não faz bem à saúde.

T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

04. A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).

Sol.: Façamos o caminho inverso: partindo da simbologia, construiremos a frase.

Ora, P ∧ (~T) = P e não T

= Fumar deve ser proibido e não é verdade que muitos europeus fumam.

Conclusão: o item 4 está errado!

A representação correta para a sentença I é P ∧ T .

05. A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).

Sol.: Tomemos a representação simbólica e façamos sua tradução. Teremos:

(~P) ∧ (~R) = não P e não R

= Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.

Conclusão: o item 5 está correto!

06. A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.

Sol.: Temos que R P = Se R, então P. Daí:

= Se fumar não faz bem à saúde, então fumar deve ser proibido.


07. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.

Sol.: Temos que (R ∧ (~T)) P

= Se R e não T, então P

= Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.


08. A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)).

Sol.: Temos que: T ((~R) ∧ (~P))

= Se T, então não R e não P

= Se muitos europeus fumam, então é falso que fumar não faz bem à saúde e é falso que fumar deve ser proibido.

Percebam que a sentença V inverte a ordem da condicional acima.

Ora, sabemos que p q não é equivalente a q p.

Daí, o item 8 está errado!

A representação correta para a sentença V é ((~R) ∧ (~P)) T .



4

(TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:

09. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬P (¬R ∧ ¬Q)

Sol.: Usemos o mesmo artifício: tomemos a sentença em simbologia e façamos sua tradução.

Sabendo que:

P = hoje choveu

Q = José foi à praia

R = Maria foi ao comércio

Teremos:

~P (~R ∧ ~Q) = Se não P, então não R e não Q

= Se hoje não choveu, então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia.


10. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q

Sol.: Tomando a sentença P ∧ ~Q , teremos que sua tradução será a seguinte:

= Hoje choveu e José não foi à praia.


11. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P Q é falsa.

Sol.: Questão semelhante às primeiras que resolvemos hoje! Usaremos o mesmo artifício.

Primeiramente, observemos que a questão atribuiu valores lógicos às seguintes sentenças: Hoje não choveu = (~P) = F ; e

José foi à praia = Q = V

~P Q

F V

Ora, sabemos que a única situação em torna a condicional falsa é Verdadeiro na primeira parte e Falso na segunda! Como isso não está ocorrendo, teremos que:

F V = V


12. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) P é inferior a 9.

Sol.: Observem que se trata de uma proposição composta, formada por três proposições simples (P, Q e R). Daí, se fôssemos formar uma tabela-verdade para esta sentença composta, quantas linhas ela teria?

Teremos que nos lembrar da aula passada, na página 7, que:

Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões

Daí, se há 3 proposições, teremos que:

Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 3 = 8



5

Finalmente, para matar essa questão, só precisaríamos saber que o número de valorações possíveis de uma proposição composta corresponde justamente ao número de linhas da sua tabela-verdade!


13. (Analista Ambiental - Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE)

Julgue o item seguinte: ~(P → ~Q) é logicamente equivalente à (Q → ~P).

Sol.: Tomemos a segunda parte desta equivalência: (Q ~P).

Agora, vamos nos lembrar de um tipo de equivalência da condicional que aprendemos na aula passada: a b = ~b ~a.

Esta equivalência se forma, portanto, da seguinte maneira: trocam-se as proposições de lugar, e negam-se ambas! Só isso!

Daí, retomemos nossa sentença: (Q ~P).

Agora, invertamos as posições: (~P Q)

Agora, façamos as duas negativas: (P ~Q)

Pronto! Achamos a proposição equivalente! Teremos, pois, que:

(P ~Q)=(Q ~P)

Conclusão: o item está errado, pois colocou um sinal de negação (~) antes da primeira parte!

Haveria outra forma de se chegar a essa resposta? Obviamente que sim! Poderíamos, por exemplo, construir as tabelas-verdades de ambas as proposições e compará-las. Vejamos. Comecemos com ~(P ~Q). Teremos:

p q ~q p ~q ~(p ~q) V V F F V V F V V F F V F V F F F V V F

Agora, a segunda parte: (Q ~P). Teremos:

p q ~p (q ~p) V V F F V F F V F V V V F F V V

Comparando os resultados, concluímos igualmente que tais sentenças não são equivalentes!

(SERPRO 2004 – CESPE)

14. Julgue o item seguinte: A tabela de verdade de P → Q é igual à tabela de verdade de (P → ¬Q) → ¬P.

Sol.: Façamos o que manda a questão: comparemos as tabelas-verdade. A primeira sentença é uma mera condicional. Teremos, pois, que:


TABELA 01

TABELA 02

TABELA 03



6

Agora, passemos à segunda parte: (P ~Q) ~P. Teremos:

P q ~q p ~q ~p (p ~q) ~p V V F F F V V F V V F F F V F V V V F F V V V V


(Analista Petrobrás 2004 CESPE)

Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS:

Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.

Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima.

Sol.: Para simplificar e facilitar a resolução dos dois itens seguintes, definiremos as seguintes proposições simples p e q:

p: o governo brasileiro instituiu o monopólio da exploração de petróleo. e

q: a PETROBRAS atingiu a produção de 100 mil barris/dia.

Assim, teríamos que a assertiva desta questão ficaria simbolizada apenas como: p → q

Analisemos o item 15.

15. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.

Traduzindo essa sentença para a linguagem simbólica, tomando por base as proposições p e q definidas acima, encontraremos o seguinte: ~q → ~p

Ora, já aprendemos que uma forma de fazer a equivalência da condicional é invertendo as posições e negando as duas partes. Daí, resta-nos ratificar que: p q = ~q ~p.


16. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.

A tradução da sentença acima para a linguagem simbólica nos faz chegar a: ~p → ~q

Daí, sabemos que não há equivalência lógica entre essa construção e a condicional (p q).


(Papiloscopista 2004 CESPE)

Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.

TABELA 04



7

A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.

17. As tabelas de valorações das proposições P→Q e Q → ¬P são iguais.

Sol.: Sequer necessitaríamos construir as respectivas tabelas-verdades, uma vez que já sabemos que não há equivalência lógica entre essas duas condicionais! Na verdade, a única condicional que seria equivalente a p q seria a seguinte: ~q ~p.

Todavia, caso queiramos realmente comparar as tabelas-verdade, e começando com a condicional, teremos:

p q (p q) V V V V F F F V V F F V

Já a tabela-verdade da segunda construção (q ~p) será a seguinte:

p q ~p q ~p V V F F V F F V F V V V F F V V

Como queríamos demonstrar, não há equivalência lógica entre as duas construções analisadas. Conclusão: o item 17 está errado!

18. As proposições (P∨Q)→S e (P→S) ∨ (Q→S) possuem tabelas de valorações iguais.

Sol.: Faremos o mesmo procedimento: construiremos as duas tabelas-verdade. Para a sentença (p∨q) s, teremos:

p q s p v q s (p v q) s V V V V V V V V F V F F V F V V V V V F F V F F F V V V V V F V F V F F F F V F V V F F F F F V

Para a segunda sentença: (p s) v (q s), teremos:

P q S p s q s (p s) v (q s) V V V V V V V V F F F F V F V V V V V F F F V V F V V V V V F V F V F V F F V V V V F F F V V V

Comparando os dois resultados acima, concluímos que o item 18 é errado!

TABELA 05

TABELA 06

TABELA 07

TABELA 08



8

19. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:

P: “A ou B”

Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:

A: “Carlos é dentista”

B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. Sol.: Essa questão é muitíssimo recente. Temos aí uma proposição composta no formato de uma disjunção: A ou B. Ora, logo em seguida o enunciado disse que esta disjunção é falsa! Ora, dizer que uma sentença qualquer é falsa é o mesmo que colocar as palavras “não é verdade que...” antes dela. Em suma: a questão quer que façamos a negação da disjunção. É isso! Como negar uma disjunção é algo que já sabemos fazer: 1º) Nega-se a primeira parte; 2º) Nega-se a segunda parte; 3º) Troca-se o ou por um e. Teremos: ~(A ou B) = ~A e ~B Vamos por partes! Negando A, teremos: ~A = Carlos não é dentista. Agora chegou a hora de fazermos a negação de B. Só temos que observar que a proposição B é uma condicional. Como se nega uma condicional? Já sabemos:

1º) Repete-se a primeira parte; e 2º) Nega-se a segunda parte. Teremos:

~B = Ênio é economista e Juca não é arquiteto. Finalmente, concluímos que: ~(A ou B) = ~A e ~B = Carlos não é dentista e Ênio é economista e Juca não é arquiteto. Resposta! = Opção B. 20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que: a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo. c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo. d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo. Sol.: Uma questão interessante! Vamos simplificar nossa vida, definindo as seguintes proposições simples. Teremos: P = Pedro é pintor C = Carlos é cantor M = Mário é médico S = Sílvio é sociólogo



9

Daí, a sentença trazida pelo enunciado será a seguinte: (P ou C) → (~M e ~S).

Até aqui, tudo bem? Vamos em frente!

A questão quer saber qual das opções de resposta traz uma conclusão decorrente da sentença do enunciado. Isto é o mesmo que saber qual é a alternativa que é sempre verdadeira se nós considerarmos a sentença do enunciado como verdadeira.

Para resolver a questão é aconselhável também traduzir para a linguagem simbólica cada uma das alternativas. Executando este procedimento, teremos:

a) (P e ~C) → (M ou S)

b) (P e ~C) → (M ou ~S)

c) (P e C) → (M e ~S)

d) (P e C) → (M ou S)

e) (~P ou C) → (~M e S)

Como já foi dito, precisaremos atribuir à sentença trazida no enunciado da questão o valor lógico Verdade. Simbolicamente, teremos que: (P ou C) → (~M e ~S) é Verdade.

Ora, em uma proposição condicional, se a sua 1ª parte tiver o valor lógico verdade, a 2ª parte também deverá ter este mesmo valor lógico, a fim de que toda a condicional seja verdadeira, não é isso? (Sabemos que uma condicional será falsa se sua primeira componente for verdadeira e a segunda for falsa).

Assim, considerando a 1ª parte da condicional – (P ou C) – como verdade, a 2ª parte da condicional – (~M e ~S) – necessariamente será também verdade.

Daí, para que (P ou C) seja Verdade, em se tratando de uma disjunção, teremos as seguintes combinações possíveis: (basta lembrar da tabela-verdade da disjunção):

- P é V e C é V

- P é V e C é F

- P é F e C é V

Obs.: Estamos lembrados que para a disjunção ser verdadeira, basta que uma de suas partes o seja.

Trabalhemos agora com a segunda parte da nossa condicional. Para que (~M e ~S) seja Verdade, em se tratando de uma conjunção, concluímos que só há uma combinação possível:

- M é F e S é F.

Obs.: Lembramos que uma conjunção só será verdadeira se ambas as suas componentes também o forem. Daí, neste caso, ~M e ~S são verdadeiras; logo, as suas negativas (M e S) são falsas!

Pois bem! Entendido isto, agora vamos testar estas combinações de valores lógicos em cada uma das alternativas da questão, a fim de encontrar a nossa resposta. Lembrando que a alternativa correta é aquela que apresenta uma sentença cujo valor lógico é sempre Verdade.

Todas as alternativas desta questão trazem proposições condicionais, e sabemos que a condicional só é F quando a 1ª parte é V e a 2ª parte é F .

Iniciaremos os testes analisando a segunda parte das condicionais das opções de resposta, lembrando-nos de que M e F são ambas falsas! Chegaremos aos seguintes resultados:

a) ... → (M ou S) = (F ou F) = F

b) ... → (M ou ~S) = (F ou V) = V

c) ... → (M e ~S) = (F e V) = F

d) ... → (M ou S) = (F ou F) = F

e) ... → (~M e S) = (V e F) = F



10

Somente a alternativa B tem a segunda parte da condicional com valor lógico verdade, significando que ela jamais será falsa, ou em outras palavras, ela sempre será verdade.

Conclusão: a opção correta é a B.

Observemos que sequer foi necessário testar, nas alternativas de resposta, a primeira parte das condicionais. Fica para cada um realizar esse teste.

Mais adiante, resolveremos novamente esta mesma questão, por um outro caminho.

A propósito, esta questão também poderia ter sido resolvida construindo-se a tabela-verdade de cada alternativa de resposta, mas cada tabela teria 16 linhas, pois há quatro proposições simples, o que tornaria a resolução demasiadamente custosa e quase que inviável para o tempo da prova.

21. (AFC/STN-2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que: a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo. d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo. e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo. Sol.: Uma questão muitíssimo recente. Temos aí uma proposição composta, formada por três proposições simples interligadas pelo conectivo ou. Para simplificar, definiremos as seguintes proposições simples: A = Alda é alta B = Bino é baixo C = Ciro é calvo Traduzindo a afirmação apresentada no enunciado para a linguagem simbólica, tomando por base as proposições A, B e C definidas acima, encontraremos o seguinte: A ou ~B ou C

Segundo o enunciado da questão, a afirmação trazida é falsa! Ora, dizer que uma afirmação qualquer é falsa, e solicitar a verdade, é o mesmo que pedir a negação daquela sentença.

Iniciemos, portanto, fazendo a negação da sentença trazida no enunciado. Ou seja, façamos a negação da proposição composta: A ou ~B ou C

Como se faz a negação de p ou q ou r ?

Dispensando a demonstração, simplesmente assim: ~p e ~q e ~r

Daí, a negação de A ou ~B ou C é: ~A e B e ~C

Traduzindo esta linguagem simbólica para uma sentença em palavras, obtemos:

“Alda não é alta, e Bino é baixo, e Ciro não é calvo” ,

Esta poderia ser a resposta da questão! Todavia, nenhuma das opções apresenta este texto!

Vemos que todas as alternativas de resposta trazem o conectivo “se ... então”, ou seja, o formato da condicional. Ora, a equivalente de uma condicional, como já sabemos, ou será uma outra condicional, ou, alternativamente, uma disjunção. (Aprendemos isso na aula passada!).

Daí, não há como fazer facilmente a equivalência entre a sentença acima, que é formada por conjunções, e as alternativas de resposta! O que fazer? Nesta situação, o melhor será traduzirmos em símbolos estas alternativas, tomando por base as proposições A, B e C definidas anteriormente, e assim, teremos:

a) B → A e ~B → ~C

b) A → B e B → C

c) A → B e ~B → ~C

d) ~B → A e B → C

e) ~A → ~B e C → ~B



11

Para não termos que construir a tabela-verdade para cada alternativa (procurando por uma proposição equivalente a ~A e B e ~C), utilizaremos o seguinte artifício:

A proposição ~A e B e ~C utiliza somente o conectivo “e” . Então, para que esta sentença inteira tenha valor lógico verdade, é necessário que estas três partes que a compõem sejam todas verdadeiras. Daí, concluiremos que:

se ~A é V, então A é F.

B é V.

se ~C é V, então C é F.

Ou seja, teremos: A é F

B é V

C é F

Daí, a alternativa que for equivalente a ~A e B e ~C deverá necessariamente apresentar valor lógico V ao substituímos A por F, B por V e C por F.

Fazendo esse teste para cada opção de resposta, teremos:

a) B → A e ~B → ~C ⇒ (V→F) e (~V→~F) valor lógico é F

b) A → B e B → C ⇒ (F→V) e (V→F) valor lógico é F

c) A → B e ~B → ~C ⇒ (F→V) e (~V→~F) valor lógico é V

d) ~B → A e B → C ⇒ (~V→F) e (V→F) valor lógico é F

e) ~A → ~B e C → ~B ⇒ (~F→~V) e (F→~V) valor lógico é F

A única alternativa que possui valor lógico V é a alternativa correta!

Conclusão: nossa resposta é a opção C.

É isso! Esperamos que todos tenham se esforçado para resolver essas questões! Mais importante que conseguir é tentar! E a melhor coisa do mundo é errar em casa, pois aprendemos com o erro e não o repetimos na prova!

Na seqüência, passaremos a falar em Lógica da Argumentação, que é nosso assunto de hoje. Adiante!

# Argumento:

Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra proposição final, que será conseqüência das primeiras!

Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p1, p2, ... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusão do argumento.

No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes hipótese e tese, respectivamente.

Vejamos alguns exemplos de argumentos:

Exemplo 1) p1: Todos os cearenses são humoristas.

p2: Todos os humoristas gostam de música.

c : Todos os cearenses gostam de música.



12

Exemplo 2) p1: Todos os cientistas são loucos.

p2: Martiniano é louco.

c : Martiniano é um cientista.

O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja, silogismo é aquele argumento formado por duas premissas e a conclusão.

Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se eles são válidos ou inválidos! É isso o que interessa. Então, passemos a seguir a entender o que significa um argumento válido e um argumento inválido.

# Argumento Válido:

Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas.

Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a própria conclusão poderão ser visivelmente falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, será considerado válido. Isto pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente a validade deste.

Exemplo: O silogismo...

p1: Todos os homens são pássaros.

p2: Nenhum pássaro é animal.

c: Portanto, nenhum homem é animal.

... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a veracidade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis.

Repetindo: o que vale é a construção, e não o seu conteúdo! Ficou claro? Se a construção está perfeita, então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão!

Num raciocínio dedutivo (lógico), não é possível estabelecer a verdade de sua conclusão se as premissas não forem consideradas todas verdadeiras. Determinar a verdade ou falsidade das premissas é tarefa que incumbe à ciência, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer tema, como Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, Química, Direito etc., assuntos que talvez desconheçamos por completo! E ainda assim, teremos total condição de averiguar a validade do argumento!

Agora a questão mais importante: como saber que um determinado argumento é mesmo válido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento é utilizando-se de diagramas de conjuntos. Trata-se de um método muito útil e que será usado com freqüência em questões que pedem a verificação da validade de um argumento qualquer. Vejamos como funciona, usando esse exemplo acima.

Quando se afirma, na premissa p1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos representar essa frase da seguinte maneira:

Conjunto dos pássaros

Conjunto dos homens



13

Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao conjunto maior (dos pássaros).

E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, um dentro do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra todo.

Ficou claro? Pois bem! Façamos a representação gráfica da segunda premissa.

Temos, agora, a seguinte frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavra-chave desta sentença é nenhum. E a idéia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois conjuntos. Vejamos como fica sua representação gráfica:

Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”: dois conjuntos separados, sem nenhum ponto em comum.

Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e as analisemos em conjunto. Teremos:

Agora, comparemos a conclusão do nosso argumento – Nenhum homem é animal – com o desenho das premissas acima. E aí? Será que podemos dizer que esta conclusão é uma conseqüência necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens está totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais.

Resultado: este é um argumento válido!

Ficou entendido? Agora, vejamos o conceito de argumento inválido.

# Argumento Inválido:

Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.

Entenderemos melhor com um exemplo.

Conjunto dos Animais

Conjunto dos Pássaros

Homens

Pássaros

Animais



14

Exemplo:

p1: Todas as crianças gostam de chocolate.

p2: Patrícia não é criança.

c: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.

Veremos a seguir que este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão.

Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa não afirmou que somente as crianças gostam de chocolate.

Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade do argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifício, que o argumento em análise é inválido. Vamos lá:

Comecemos pela primeira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. Já aprendemos acima como se representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos:

Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. O que temos que fazer aqui é pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar localizada a Patrícia, obedecendo ao que consta nesta segunda premissa.

Vemos facilmente que a Patrícia só não poderá estar dentro do círculo vermelho (das crianças). É a única restrição que faz a segunda premissa! Isto posto, concluímos que a Patrícia poderá estar em dois lugares distintos do diagrama: 1º) Fora do conjunto maior; 2º) Dentro do conjunto maior (sem tocar o círculo vermelho!). Vejamos:

crianças

Pessoas que gostam de chocolate

crianças

Pessoas que gostam de chocolate

PATRÍCIA PATRÍCIA



15

Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado (se esta conclusão) é necessariamente verdadeiro! O que vocês dizem? É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, respondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo azul), mas também pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo azul)!

Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram a veracidade da conclusão!

Passemos a uma questão de concurso que versa sobre esse tema.

TCU-2004/CESPE) Julgue o item a seguir.

Considere o seguinte argumento:

Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é considerada irregular. A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular. Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato antieconômico.

Nessa situação, esse argumento é válido.

Sol.: A questão apresenta um argumento (um silogismo) e deseja saber se ele é válido. Ora, vimos que um argumento só será válido se a sua conclusão for uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas.

No argumento em tela temos duas premissas e a conclusão, que se seguem:

p1: Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é considerada irregular.

p2: A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular.

c: Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato antieconômico.

Usaremos o método dos diagramas para verificar a validade (ou não) do argumento.

Começando pela primeira premissa, observemos que a palavra cada tem o mesmíssimo sentido de toda. Daí, teremos:

Analisemos agora a segunda premissa que afirma que “a prestação de contas da prefeitura de uma cidade (qualquer) foi irregular”.

Ora, no desenho acima, vamos indicar quais as possíveis localizações (se houver mais de uma!) desta prestação de contas da cidade qualquer.

Teremos:

Conta irregular

Conta com ato antieconômico



16

Daí, verificamos que há duas posições em que a tal prestação de contas desta cidade qualquer poderia estar. Ora, por ser irregular, terá necessariamente que estar dentro do círculo maior (azul). Uma vez dentro do círculo azul (conta irregular), surgem duas novas possibilidades: ou estará dentro do círculo vermelho (conta com ato antieconômico), ou fora dele. Em outras palavras: a prestação de contas desta cidade qualquer, embora irregular, pode ter apresentado uma conta com ato antieconômico, ou não!

Analisemos agora a conclusão do argumento: “a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato antieconômico”. Será que esta é uma conclusão necessária, ou seja, obrigatória, em vista do que foi definido pelas premissas? A resposta, como vimos acima, é negativa!

Concluímos, pois, que se trata de um argumento inválido, e este item está errado!

Vimos que a utilização de diagramas de conjuntos pode ajudar-nos a descobrir se um argumento é válido. Ocorre que, em alguns exercícios, será mais conveniente utilizarmos outros procedimentos. Aprenderemos a seguir alguns diferentes métodos que nos possibilitarão afirmar se um argumento é válido ou não!

1º MÉTODO) Utilizando diagramas de conjuntos:

Esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras todo, algum e nenhum, ou os seus sinônimos: cada, existe um etc.

Consiste na representação das premissas por diagramas de conjuntos, e posterior verificação da verdade da conclusão. Já fizemos acima alguns exercícios com uso deste método!

2º MÉTODO) Utilizando a tabela-verdade:

Esta forma é mais indicada quando não se puder resolver pelo primeiro método, o que ocorre quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os conectivos “ou” , “e”, “→” e “↔”.

Baseia-se na construção da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão.

Após a construção da tabela-verdade, verificam-se quais são as suas linhas em que os valores lógicos das premissas têm valor V. Se em todas essas linhas (com premissas verdadeiras), os valores lógicos da coluna da conclusão forem também Verdadeiros, então o argumento é válido! Porém, se ao menos uma daquelas linhas (que contêm premissas verdadeiras) houver na coluna da conclusão um valor F, então o argumento é inválido.

Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve várias proposições simples.

Passemos a um exemplo com aplicação deste método.

Conta irregular

Conta com ato antieconômico

Prest. Cidade qualquer

Prest. Cidade qualquer



17

Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:

(p ∧ q) → r

~r_______

~p ∨ ~q

Sol.:

Como interpretar este argumento sem frases? A primeira coisa a saber é que o que há acima da linha são as premissas, enquanto que abaixo dela encontra-se a conclusão! Neste caso, temos duas premissas e a conclusão (um silogismo).

As premissas e a conclusão deste argumento poderiam ser frases que foram traduzidas para linguagem simbólica.

1º passo) Construir as tabelas-verdade para as duas premissas e para a conclusão. Teríamos, portanto, três tabelas a construir. Para economizarmos espaço, ganharmos tempo e facilitarmos a execução do 2º passo, faremos somente uma tabela-verdade, em que as premissas e a conclusão corresponderão a colunas nesta tabela, como pode ser visto abaixo.

Observemos que as premissas e a conclusão são obtidas pelos seguintes procedimentos:

- A 1ª premissa (5ª coluna da tabela) é obtida pela condicional entre a 4ª e a 3ª colunas.

- A 2ª premissa (6ª coluna) é obtida pela negação da 3ª coluna.

- A conclusão (9ª coluna) é obtida pela disjunção entre a 7ª e a 8ª colunas.

TABELA 09

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª

p q r (p ∧ q) 1ª Premissa

(p ∧ q) → r

2ª Premissa

~r ~p ~q

Conclusão

~p ∨ ~q

1ª V V V V V F F F F

2ª V V F V F V F F F

3ª V F V F V F F V V

4ª V F F F V V F V V

5ª F V V F V F V F V

6ª F V F F V V V F V

7ª F F V F V F V V V

8ª F F F F V V V V V

2º passo) Agora, vamos verificar quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas são todos V. Daí, observamos que a 4ª, 6ª e 8ª linhas apresentam todas as duas premissas com valor lógico V.

Prosseguindo, temos que verificar qual é o valor lógico da conclusão para estas mesmas 4ª, 6ª e 8ª linhas. Em todas elas a conclusão é também V. Portanto, o argumento é válido.

3º MÉTODO) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as premissas verdadeiras.

Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a validade de um argumento. Porém, só devemos utilizá-lo na impossibilidade do primeiro método.

Iniciaremos aqui considerando as premissas como verdades. Daí, por meio das operações lógicas com os conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em verdade, para que o argumento seja considerado válido.



18


p ∨ q

~p___

q

Sol.:

Este terceiro método de teste de validade de argumentos se dá considerando-se as premissas como verdades e, por meio de operações lógicas com os conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar em verdade, para que o argumento seja válido.

1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é:

para a 1ª premissa o valor lógico de p ∨ q é verdade

para a 2ª premissa o valor lógico de ~p é verdade.

2º passo) Partimos para descobrir o valor lógico das proposições simples p e q, com a finalidade de, após isso, obter o valor lógico da conclusão.

Vamos iniciar pela análise da 2ª premissa, a fim de obter o valor lógico da proposição simples p. (Se iniciássemos pela 1ª premissa não teríamos como obter de imediato o valor lógico de p, e nem de q.)

- Análise da 2ª premissa: ~p é verdade

Como ~p é verdade, logo p é falso.

- Análise da 1ª premissa: p ∨ q é verdade

Sabendo que p é falso, e que p ∨ q é verdade, então o valor lógico de q, de acordo com a tabela verdade do “ou”, é necessariamente verdade.

Em suma, temos até o momento:

O valor lógico de p é Falso

O valor lógico de q é Verdade

3º passo) Agora vamos utilizar os valores lógicos obtidos para p e q a fim de encontrar o valor lógico da Conclusão.

Como a conclusão é formada somente pela proposição simples q, então a conclusão tem o mesmo valor lógico de q, ou seja, verdade. Desta forma, o argumento é válido.

Passemos a mais um exemplo utilizando o terceiro método.

Exemplo: Vamos verificar a validade do seguinte argumento:

1ª premissa: A → (~B ∧ C)

2ª premissa: ~A → B

3ª premissa: D ∧ ~C_

Conclusão: B → ~D



19

Sol.:

1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é:

para a 1ª premissa o valor lógico de A → (~B ∧ C) é verdade

para a 2ª premissa o valor lógico de ~A → B é verdade

para a 3ª premissa o valor lógico de D ∧ ~C é verdade

2º passo) Partimos para descobrir o valor lógico das proposições simples A, B, C e D, com a finalidade de obter o valor lógico da conclusão. Vamos iniciar pela análise da 3ª premissa, pois somente esta pode fornecer de imediato o valor lógico de pelo menos uma proposição simples, conforme veremos a seguir.

- Análise da 3ª premissa: D ∧ ~C é verdade

Para que a proposição D ∧ ~C seja verdade, é necessário (segundo a tabela-verdade do conectivo “e”) que o valor lógico de D seja verdade e de ~C seja verdade. Logo, o valor lógico de C é falso.

- Análise da 1ª premissa: A → (~B ∧ C) é verdade

Sabemos que C é falso, então a proposição (~B ∧ C) também terá valor lógico falso. E o valor lógico de A? Pela tabela-verdade da condicional, sabemos que quando o conseqüente é falso, é necessário que o antecedente também seja falso, para que a condicional seja verdadeira. Então, como a proposição composta A→(~B ∧ C) deve ser verdade e como o valor lógico obtido para (~B∧C) foi falso, conclui-se que o valor lógico de A é falso.

- Análise da 2ª premissa: ~A → B é verdade

O valor lógico de A é falso, daí ~A é verdadeiro! Então, de acordo com a tabela verdade da condicional, para que a proposição ~A → B seja verdade é necessário que B seja verdade.

- Em suma:

O valor lógico de D é verdade

O valor lógico de C é falso

O valor lógico de A é falso

O valor lógico de B é verdade

3º passo) Obtenção do Valor Lógico da Conclusão:

A conclusão é dada pela condicional B→~D, e sabemos que o valor lógico de B é verdade e o valor lógico de D também é verdade. Então qual será o valor lógico da conclusão?

Substituindo os valores lógicos de B e de D na conclusão, obteremos:

verdade → não (verdade) = verdade → falso = falso.

Daí, como a conclusão é falsa, o argumento é inválido.

4º MÉTODO) Utilizando as operações lógicas com os conectivos, considerando premissas verdadeiras e conclusão falsa.

É indicado este caminho quando notarmos que a aplicação do terceiro método (supra) não possibilitará a descoberta do valor lógico da conclusão de maneira direta, mas somente por meio de análises mais complicadas.



20

Foi descrito no segundo método que, se após a construção da tabela-verdade houver uma linha em que as colunas das premissas têm valor lógico V e a conclusão tem valor lógico F, então o argumento é inválido.

Ou seja, um argumento é válido se não ocorrer a situação em que as premissas são verdades e a conclusão é falsa. Este quarto método baseia-se nisso: faremos a consideração de que as premissas são verdades e a conclusão é falsa, e averiguaremos se é possível a existência dessa situação. Se for possível, então o argumento será inválido.

Para a solução do próximo exemplo, vamos utilizar o 4º método. Não utilizaremos o 3º, pois não teríamos condições de descobrir de maneira direta o valor lógico da conclusão, senão por meio de uma análise mais trabalhosa.

Exemplo: Vamos verificar a validade do seguinte argumento:

A → (B ∨ C)

B → ~A

D → ~C____

A → ~D

Sol.: De acordo com o este método, consideraremos as premissas como verdades e a conclusão como falsa, e verificaremos se é possível a existência dessa situação. Se for possível, então o argumento é inválido.

1º passo) Considerando as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, teremos:

para a 1ª premissa o valor lógico de A → (B ∨ C) é verdade

para a 2ª premissa o valor lógico de B → ~A é verdade

para a 3ª premissa o valor lógico de D → ~C é verdade

para a Conclusão o valor lógico de A → ~D é falso

2º passo) Quando usamos este método de teste de validade, geralmente iniciamos a análise dos valores lógicos das proposições simples pela conclusão.

- Análise da conclusão: A → ~D é falso

Em que situação uma condicional é falsa? Isso já sabemos: quando a 1ª parte é verdade e a 2ª parte é falsa. Daí, concluímos que o valor de A deve ser V e o de ~D deve ser F. Conseqüentemente D é V.

- Análise da 2ª premissa: B → ~A é verdade

Na análise da proposição da conclusão, obtivemos que A é V. Substituindo, A por V na proposição acima, teremos: B → ~V , que é o mesmo que: B → F . Como esta proposição deve ser verdade, conclui-se que B deve ser F, pela tabela-verdade da condicional.

- Análise da 3ª premissa: D → ~C é verdade

O valor lógico de D é V, obtido na análise da conclusão. Substituindo este valor lógico na proposição acima, teremos: V → ~C . Para que esta proposição seja verdade é necessário que a 2ª parte da condicional, ~C, seja V. Daí, C é F.

Observemos que, se quiséssemos, poderíamos ter analisado esta 3ª premissa antes da 2ª, sem qualquer prejuízo à resolução.



21

- Agora, só resta analisar a 1ª premissa: A → (B ∨ C) é verdade

Até o momento, temos os seguintes valores lógicos: A é V, B é F, C é F e D é V .

Substituindo estes valores na proposição acima, teremos: V → (F ∨ F) . Usando o conectivo da disjunção, a proposição simplifica-se para V → F , e isto resulta em um valor lógico Falso. Opa!!! A premissa A → (B ∨ C) deveria ser verdade!!!

Este contradição nos valores lógicos ocorreu porque não foi possível, considerando todas as premissas verdadeiras, chegarmos a uma conclusão falsa. Daí, concluímos que nosso argumento é válido.

Em outras: para que o argumento fosse dito inválido, teriam que se confirmar todos os valores lógicos previstos no 1º passo acima. Em não se confirmando qualquer deles, concluímos (como fizemos!) que o argumento é válido!

Vamos aproveitar o ensejo para resolver novamente a questão 20 do dever de casa da aula passada, só que agora de uma maneira diferente: usando o quarto método que acabamos de aprender. Vejamos:

20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que: a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo. c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo. d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo. Sol.: Iniciaremos definindo as seguintes proposições simples: P = Pedro é pintor C = Carlos é cantor M = Mário é médico S = Sílvio é sociólogo Daí, a sentença trazida pelo enunciado será a seguinte: (P ou C) → (~M e ~S).

Até aqui, tudo bem? Vamos em frente!

A questão quer saber qual das opções de resposta traz uma conclusão decorrente da sentença do enunciado.

Podemos considerar que estamos diante de um argumento com uma premissa e queremos encontrar uma conclusão válida para este argumento, entre as apresentadas nas alternativas.

Para resolver a questão é aconselhável também traduzir para a linguagem simbólica cada uma das opções de resposta. Executando este procedimento, obtemos:

a) (P e ~C) → (M ou S)

b) (P e ~C) → (M ou ~S)

c) (P e C) → (M e ~S)

d) (P e C) → (M ou S)

e) (~P ou C) → (~M e S)

Usando o 4º método, consideraremos as premissas verdades e a conclusão falsa, e verificaremos se essa situação é possível de ocorrer. Se possível, então o argumento é inválido, ou seja, a conclusão não é conseqüência obrigatória das premissas. Se não é possível a ocorrência daquela situação, então o argumento é válido, conseqüentemente a conclusão é conseqüência obrigatória das premissas. E aí, achamos a alternativa correta.

Vamos analisar as alternativas:



22

Análise da alternativa “a”: (P e ~C) → (M ou S)

Vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do argumento. Pelo 4º método, devemos designar o valor lógico falso para a proposição da conclusão. Daí: (P e ~C) → (M ou S) é falso

Para que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1ª parte, (P e ~C), tenha valor V e a 2ª parte, (M ou S), tenha valor F. Daí:

- Para que (P e ~C) seja V, é necessário que: P é V e ~C é V (e é claro C é F).

- Para que (M ou S) seja F, é necessário que: M é F e S é F .

Em suma: P é V , C é F, M é F e S é F

A premissa (P ou C) → (~M e ~S) pode ser verdade com esses valores lógicos? Vamos testar substituindo os valores lógicos:

(V ou F) → (~F e ~F) , que é o mesmo que: (V ou F) → (V e V) .

Resolvendo esta última proposição, obtemos V → V, que resulta no valor lógico V.

Portanto, acabamos de verificar que é possível existir a situação: conclusão falsa e premissa verdade. Logo, esta conclusão não é conseqüência obrigatória da premissa, e por isso esta alternativa não é a correta.

Análise da alternativa “b”: (P e ~C) → (M ou ~S)

Agora vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do argumento. Pelo 4º método, devemos designar o valor lógico falso para a proposição da conclusão. Daí: (P e ~C) → (M ou ~S) é falso

Para que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1ª parte, (P e ~C), tenha valor V e a 2ª parte, (M ou ~S), tenha valor F. Daí:

- Para que (P e ~C) seja V, é necessário que: P é V e ~C é V (e é claro C é F).

- Para que (M ou ~S) seja F, é necessário que: M é F e ~S é F (e é claro S é V).

Em suma: P é V , C é F, M é F e S é V

A premissa (P ou C) → (~M e ~S) pode ser verdade com esses valores lógicos? Vamos testar substituindo os valores lógicos:

(V ou F) → (~F e ~V) , que é o mesmo que: (V ou F) → (V e F) .

Resolvendo esta última proposição, obtemos V → F, que resulta no valor lógico F.

Portanto, acabamos de verificar que não é possível existir a situação: conclusão falsa e premissa verdade. Logo, esta conclusão é conseqüência obrigatória da premissa, e por isso esta alternativa é a resposta da questão.

Pronto! Por hoje é só de teoria! Esta aula de hoje é uma que merece ser estudada e revisada com calma e com carinho, procurando-se sempre entender cada passo de resolução explicado! Nossas duas próximas serão bem, digamos, interessantes: trabalharemos um assunto chamado Estruturas Lógicas!

Portanto, nossa recomendação é a seguinte: aproveitem, enquanto ainda estamos na fase inicial do curso, e revisem, durante esta semana, tudo o que foi visto. Refaçam os exercícios todos, rememorizem os conceitos, as tabelas, as negações, as equivalências, tudo!

A partir da próxima aula a bola de neve ganhará mais e mais volume! E um número crescente de informações será passado a cada módulo.

Façam, pois, bom proveito desta semana! Não percam esta oportunidade, ok?

Um abraço forte a todos! Fiquem com Deus, e com o nosso dever de casa!



23

DEVER DE CASA

(TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir:

Item 1. A seguinte argumentação é inválida.

Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.

Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.

Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.

Item 2. A seguinte argumentação é válida.

Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.

Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.

Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.

Gabarito: 1.E, 2.E

(SERPRO/2004/ CESPE) Julgue o item a seguir.

Item 3. A argumentação

• Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.

• Lógica não é fácil.

• Sócrates não foi mico de circo.

é válida e tem a forma

• P → Q

• ¬P

• ¬Q

Gabarito: 3.E

(Agente da Polícia Federal/2004/CESPE)

Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

Item 4. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.

Item 5. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.

Item 6. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.

Item 7. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal.

Gabarito: 4.E, 5.E, 6.E, 7.C



24

Questão 8: (TRT-9ª Região/2004/FCC) Observe a construção de um argumento:

Premissas: Todos os cachorros têm asas.

Todos os animais de asas são aquáticos.

Existem gatos que são cachorros.

Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.

Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:

(A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.

(B) A não é válido, P e C são falsos.

(C) A é válido, P e C são falsos.

(D) A é válido, P ou C são verdadeiros.

(E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.

Questão 9: (SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que:

a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.

b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.

c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.

d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.

e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.

Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos:

10. P → Q

¬P____

¬Q

11. P ∨ Q

Q ∨ R_

P ∨ R

12. P → Q

R → ¬Q

R______

¬P

13. Se x=1 e y=z, então y>2

Y = 2________________

y ≠ z



25

14. Se trabalho não posso estudar.

Trabalho ou serei aprovado em Matemática.

Trabalhei.___________________________

Fui aprovado em Matemática.

Gabarito: 10. inválido 11. inválido 12. válido 13. inválido 14. inválido

15. Assinale a alternativa que contém um argumento válido.

a) Alguns atletas jogam xadrez.

Todos os intelectuais jogam xadrez.

Conclusão: Alguns atletas são intelectuais.

b) Se estudasse tudo, eu passaria.

Eu não passei.

Conclusão: Eu não estudei tudo.

Gabarito: 15.b

16. Considere as premissas:

P1. Os bebês são ilógicos.

P2. Pessoas ilógicas são desprezadas.

P3. Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.

Assinale a única alternativa que não é uma conseqüência lógica das três premissas apresentadas.

a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.

b) Pessoas desprezadas são ilógicas.

c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos.

d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos.

e) Bebês são desprezados.

Gabarito: 16. b



1

AULA QUATRO: Estruturas Lógicas

Olá, amigos!

Sem mais demora, daremos início hoje fazendo uma revisão sucinta da essência de nossa aula passada. Foram várias as dúvidas trazidas ao nosso fórum, sobretudo questionando acerca da escolha do melhor método para averiguar a validade de um argumento.

Na seqüência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mão de um ou de outro, em cada caso. Vejamos: (TABELA 01)

Deve ser usado quando... Não deve ser usado quando...

1º Método

Utilização dos Diagramas

(circunferências)

O argumento apresentar as palavras todo, nenhum, ou algum

O argumento não apresentar tais

palavras.

2º Método

Construção das Tabelas-Verdade

Em qualquer caso, mas preferencialmente quando o

argumento tiver no máximo duas proposições simples.

O argumento apresentar três ou mais proposições

simples.

3º Método

Considerando as premissas

verdadeiras e testando a conclusão verdadeira

O 1º Método não puder ser empregado, e houver uma

premissa...

...que seja uma proposição simples; ou

... que esteja na forma de uma conjunção (e).

Nenhuma premissa for uma proposição simples ou uma

conjunção.

4º Método

Verificar a existência de

conclusão falsa e premissas verdadeiras

O 1º Método não puder ser empregado, e a conclusão...

...tiver a forma de uma proposição simples; ou

... estiver a forma de uma disjunção (ou); ou

...estiver na forma de uma condicional (se...então...)

A conclusão não for uma proposição

simples, nem uma disjunção, nem uma

condicional.

Vejamos o exemplo seguinte:


(p ∧ q) → r

~r_______

~p ∨ ~q

Sol.: Esse mesmo exercício foi resolvido na aula passada. Lá, utilizamos o 2º método (tabelas-verdade) para resolvê-lo, pois estávamos interessados em ensinar como se fazia a tabela-verdade para uma sentença formada por três premissas (p, q e r).



2

Todavia, vamos seguir um roteiro baseado no quadro acima, para chegarmos ao melhor caminho de resolução. Poderemos usar as seguintes perguntas:

1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum?

A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos à pergunta seguinte.

2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples?

A resposta também é não! Temos aí três proposições simples! Portanto, descartamos também o 2º método. Adiante.

3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção?

A resposta é sim! A segunda proposição é (~r). Podemos optar então pelo 3º método? Sim, perfeitamente! Mas caso queiramos seguir adiante com uma próxima pergunta, teríamos:

4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma condicional?

A resposta também é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso queiramos, poderemos utilizar, opcionalmente, o 4º método!

Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º métodos. Obviamente que, na prova, ninguém vai fazer isso! Basta resolver uma vez! Adiante:

Resolução pelo 3º Método)

Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão verdadeira. Teremos:

2ª Premissa) ~r é verdade. Logo: r é falsa!

1ª Premissa) (p∧q) r é verdade. Sabendo que r é falsa, concluímos que (p∧q) tem que ser também falsa. E quando uma conjunção (e) é falsa? Quando as duas partes são falsas. Logo: p é falsa e q é falsa.

Em suma, obtivemos que: p, q e r são todos falsos!

Agora vamos testar a conclusão, a qual terá que ser verdadeira, com base nos valores lógicos obtidos acima. Teremos:

~p ∨ ~q = V ou V = V

Só precisaremos nos lembrar de que o teste, aqui no 3º método, funciona assim: se a conclusão for também verdadeira, então o argumento é válido!

Conclusão: o argumento é válido!

Resolução pelo 4º Método)

Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos:

Conclusão) ~p v ~q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verdadeiro!

Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas verdadeiras! Teremos:

1ª Premissa) (p∧q) r é verdade. Sabendo que p e q são verdadeiros, então a primeira parte da condicional acima também é verdadeira. Daí, resta que a segunda parte não pode ser falsa. Logo: r é verdadeiro.

2ª Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que ~r é falso! Opa! A premissa deveria ser verdadeira, e não foi!



3

Neste caso, precisaríamos nos lembrar de que o teste, aqui no 4º método, é diferente do teste do 3º: não havendo a existência simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras, teremos que o argumento é válido!

Conclusão: o argumento é válido!

Nem poderia ser outro modo! Vimos, pois, que os distintos métodos, se aplicados da forma correta, não podem ter resultados diferentes. Na aula passada, resolvemos esse mesmo exercício usando o 2º método, e a conclusão foi a mesma: argumento válido!

Passemos agora à resolução do dever de casa.

DEVER DE CASA

(TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir:

Item 1. A seguinte argumentação é inválida.

Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.

Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.

Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.

Sol.: Claramente vemos que é possível usarmos o 1º método. Teremos:

A conclusão nos diz que João não sabe lidar com orçamento, logo, o argumento é válido!

Como a questão afirma que a argumentação é inválida, teremos que o item é ERRADO!

Item 2. A seguinte argumentação é válida.

Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.

Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.

Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.

Conhece contabilidade

JOÃO

Paga imposto

É honesto

CARLOS

CARLOS

Sabe lidar com

orçamento



4

Carlos não necessariamente é uma pessoa honesta! Vejam que ele pode estar simplesmente dentro do círculo maior (azul) e sem tocar o menor (vermelho)!

Daí, o argumento é inválido! Como a questão diz que é válido, o item está ERRADO!

(SERPRO/2004/ CESPE) Julgue o item a seguir.

Item 3. A argumentação

• Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.

• Lógica não é fácil.

• Sócrates não foi mico de circo.

é válida e tem a forma

• P → Q

• ¬P

• ¬Q

Sol.: A forma simbólica está correta. Isso é facilmente constatado. O que temos que analisar é sobre a validade do argumento.

Qual o melhor método a ser utilizado? Vamos ao roteiro aprendido acima!

1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum?

Resposta: Não! Descartamos o 1º método!

2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples?

Resposta: Sim! Se quisermos, podemos usar o 2º método, facilmente!


Resposta: Sim! A segunda premissa é uma proposição simples! Se quisermos, poderemos usar o 3º método!


Resposta: Sim, também! A conclusão é uma proposição simples. Opcionalmente, poderemos igualmente usar o 4º método!

São três alternativas: poderemos concluir acerca da validade do argumento, por meio do 2º ou do 3º ou do 4º método! Como são apenas duas proposições simples, optaremos pelo 2º método, e construiremos a tabela-verdade! Teremos:

P Q P Q ~P ~Q

V V V F F

V F F F V

F V V V F

F F V V V

TABELA 02



5

Da tabela-verdade acima nos interessarão somente as duas últimas linhas! Por que isso? Porque são as duas únicas em que as premissas têm, simultaneamente, valor lógico verdade! Daí, para que o argumento fosse válido, seria preciso que a conclusão (última coluna) fosse também verdade nas duas linhas! Como isso não ocorre (vide terceira linha!), diremos que o argumento é inválido!

O item está, portanto, ERRADO!

(Agente da Polícia Federal/2004/CESPE)

Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

Item 4. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.

Sol.: A bem da verdade, para responder a este item (e aos próximos), podemos até deixar de lado as palavras do enunciado. Já sabemos o que é um argumento válido!

Já é do nosso conhecimento que a análise da validade do argumento se prende à forma, e não ao conteúdo das premissas (ou da conclusão!). Logo, mesmo uma premissa sendo absurda em seu conteúdo, ou seja, mesmo sendo falsa, pode perfeitamente gerar um argumento válido.

O item 4 está, portanto, ERRADO!

Item 5. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.

Sol.: Mesmo raciocínio do item anterior. O que se leva em conta na verificação da validade do argumento é se a construção é perfeita em sua forma. A conclusão pode ter conteúdo falso, e isso não necessariamente redundará em um argumento inválido!

O item 5 está ERRADO!

Item 6. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.

Sol.: Não necessariamente! A idéia é a mesma dos dois itens anteriores.

O item 6 está ERRADO!

Item 7. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal.

CACHORRO

VERDE

VEGETAL



6

Os diagramas acima não deixam qualquer dúvida: a conclusão é resultado necessário das premissas! Ou seja, o argumento é válido.

O item 7 está, pois, CORRETO!

Questão 8: (TRT-9ª Região/2004/FCC) Observe a construção de um argumento:

Premissas: Todos os cachorros têm asas.

Todos os animais de asas são aquáticos.

Existem gatos que são cachorros.

Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.

Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:

(A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.

(B) A não é válido, P e C são falsos.

(C) A é válido, P e C são falsos.

(D) A é válido, P ou C são verdadeiros.

(E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.

Sol.: Para dizer se a conclusão (C) ou se as premissas (P) são verdadeiras ou falsas, observaremos o que há em seu conteúdo.

Ora, sabemos que cachorros não têm asas; que gatos não são cachorros; e que não existem gatos aquáticos! Portanto, são falsas tanto as premissas quanto a conclusão!

Há duas opções de resposta que nos dizem isso: as letras B e C.

O que vai definir a resposta da questão é a análise da validade do argumento!

Façamos tal análise com uso do 1º método (diagramas). Teremos:

Mais uma vez o desenho é inequívoco: necessariamente a conclusão do argumento será verdadeira, uma vez consideradas verdadeiras as premissas! Ou seja, o argumento é válido!

Isso somente ratifica o que dissemos na análise dos itens anteriores: mesmo sendo absurdos os conteúdos das premissas e da conclusão, a construção é perfeita em sua forma, o que nos leva a um argumento válido!

A resposta da questão é a LETRA C.

CACHORROS

TEM ASAS

AQUÁTICOS

GATOS



7

Questão 9: (SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que:

a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.

b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.

c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.

d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.

e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.

Sol.: Trata-se de uma questão meramente conceitual, e de resolução, portanto, imediata.

Se o enunciado está afirmando que um argumento qualquer é inválido, isso significa, tão-somente, que a conclusão não é decorrência necessária (obrigatória) das premissas!

É o que diz a opção A Resposta!

Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos:

10. P → Q

¬P____

¬Q

Sol.: Mesmo argumento já foi analisado no item 03 supra! Como o argumento traz apenas duas proposições simples (p e q), usamos o 2º método, da construção da tabela-verdade. Chegamos a:

P Q P Q ~P ~Q

V V V F F

V F F F V

F V V V F

F F V V V

Pela análise das duas últimas linhas, concluímos que o argumento é inválido!

11. P ∨ Q

Q ∨ R_

P ∨ R

Sol.: Temos três proposições simples neste argumento, de sorte que não é muito conveniente usarmos o 2º método. Vamos escolher entre o 3º e o 4º.

Façamos as duas últimas perguntas do roteiro. Teremos:

TABELA 03



8


Resposta: Não! Descartemos, pois, o 3º método!


Resposta: Sim! A conclusão é uma condicional. Adotaremos, pois, o 4º método!

4º Método)

Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos:

Conclusão) P v R é falso. Logo: P é falso e R é falso!

Agora, passamos a testar as premissas. Teremos:

1ª Premissa) P v Q é verdade. Sabendo que P é falso, teremos que Q terá que ser verdadeiro!

2ª Premissa) Q v R é verdade.

Os valores lógicos obtidos anteriormente foram: Q é V e R é F. Substituindo estes valores lógicos nesta premissa (Q v R), teremos como resultado um valor verdadeiro. O que concorda com a consideração feita inicialmente de que a premissa era verdadeira.

Lembramos que, no 4º método, quando se confirma a situação premissas verdadeiras e conclusão falsa, constataremos que o argumento é inválido!

12. P → Q

R → ¬Q

R______

¬P

Sol.: Aplicaremos novamente aqui o 4º método. Teremos:

Conclusão) ~P é falso. Logo: P é verdadeiro!

Considerando as premissas verdadeiras e testando-as, teremos:

1ª Premissa) P Q é verdade. Sabendo que P é verdadeiro, teremos que Q terá que ser também verdadeiro!

2ª Premissa) R ~Q é verdade. Sabendo que Q é verdadeiro então ~Q é falso. Daí, sendo ~Q falso, teremos que R terá que ser também falso.

3ª Premissa) Sabendo (da 2ª premissa) que R é falso, constatamos que a 3ª premissa é falsa! Ou seja, se a conclusão é falsa, e 1ª e 2ª premissa são verdadeiras, então esta premissa não pode ser verdadeira!

Ora, falhou a situação premissas verdadeiras e conclusão falsa! Daí, o argumento é válido!

13. Se x=1 e y=z, então y>2

Y = 2________________

y ≠ z

Sol.: Aplicando o 3º método, iremos considerar as premissas verdadeiras e testar a conclusão. Teremos:



9

2ª Premissa: y=2 é verdadeira!

1ª Premissa: Ora, se é verdadeiro que y=2, então a segunda parte da 1ª premissa (y>2) é falsa. E sendo falso que y>2, teremos que a primeira parte desta condicional deverá ser também falsa. Ou seja, é falso que x=1 e y=z. Daí, teremos que: x≠1 OU y≠z.

Este ou da análise acima denota que não é uma conclusão necessária que y≠z. Pode ser, ou não! Daí, diremos que o argumento é inválido!

14. Se trabalho não posso estudar.

Trabalho ou serei aprovado em Matemática.

Trabalhei.___________________________

Fui aprovado em Matemática.

Sol.: Só para variar, vamos resolver essa aqui por meio da Tabela-Verdade, embora sejam três proposições simples a compor esse argumento. Vamos chamar de:

P = trabalho

Q = estudo

R = aprovado em matemática

Daí, nosso argumento em linguagem simbólica será o seguinte:

P ~Q

P ou R

P

R

Nossa tabela-verdade será a seguinte: TABELA 04:

P Q R ~Q P ~Q P ou R P R

V V V F F V V V

V V F F F V V F

V F V V V V V V

V F F V V V V F

F V V F V V F V

F V F F V F F F

F F V V V V F V

F F F V V F F F

Nossa análise se prenderá à terceira e à quarta linhas, nas quais os valores lógicos das premissas são, simultaneamente, verdadeiro! Daí, vemos que na terceira linha a conclusão é verdadeira, mas o mesmo não se dá na quarta linha.

Logo, constatamos que o argumento é inválido!



10

15. Assinale a alternativa que contém um argumento válido.

a) Alguns atletas jogam xadrez.

Todos os intelectuais jogam xadrez.

Conclusão: Alguns atletas são intelectuais.

Sol.: Fazendo os diagramas do 1º método, teremos:

Observemos que não é um resultado necessário que haja um ponto em comum entre o diagrama dos intelectuais e dos atletas. Logo, este argumento é inválido!

b) Se estudasse tudo, eu passaria.

Eu não passei.

Conclusão: Eu não estudei tudo.

Sol.: Terceiro método! Começando pela 2ª premissa. Teremos:

“Eu não passei” é verdade. Logo, que eu passei é falso.

1ª premissa) “Se estudasse tudo, eu passaria” é verdade! Sabendo que a segunda parte é falsa, então a primeira parte (estudei tudo) é também falsa!

Analisando a conclusão: “Eu não estudei tudo”, vemos que será verdadeira!

Com isso, constatamos: o argumento é válido!

16. Considere as premissas:

P1. Os bebês são ilógicos.

P2. Pessoas ilógicas são desprezadas.

P3. Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.

Assinale a única alternativa que não é uma conseqüência lógica das três premissas apresentadas.

a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.

b) Pessoas desprezadas são ilógicas.

c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos.

d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos.

e) Bebês são desprezados.

ATLETAS

ENXADRISTAS

INTELECTUAIS



11

Sol.: Trabalhando com o 1º método, teremos:

Analisando as opções de resposta com base no desenho acima, vemos que a única delas que não apresenta um resultado necessariamente verdadeiro é justamente a constante na letra B.

Notem que pode haver pessoas desprezadas que não são necessariamente ilógicas! São aqueles que estão no círculo maior (marrom) mas não tocam o círculo azul.

Passemos agora ao nosso assunto de hoje!

O tipo de questão que estudaremos agora é o que chamamos de Estruturas Lógicas. Caracteriza-se por apresentar um conjunto de afirmações (premissas), formado por proposições compostas (os termos são interligados pelos conetivos lógicos: e, ou, se...então, se e somente se), e também podem apresentar proposições simples.

A resposta solicitada para este tipo de questão é a alternativa que traz uma conclusão que é necessariamente verdadeira para o conjunto de premissas fornecidas no enunciado.

Assim, notamos que as questões de estruturas lógicas se assemelham às de Argumento Válido, pois apresenta premissas (trazidas no enunciado) e uma conclusão válida (que será a própria resposta procurada!).

Para resolver as questões de estruturas lógicas utilizaremos os métodos de teste de validade de argumentos apresentados na AULA TRÊS, basicamente o 3º e o 4º métodos.

Dividiremos as questões de Estruturas lógicas em dois tipos, a saber:

1º tipo: Quando uma das premissas apresenta somente uma forma de ser verdadeira. Isso ocorre em duas situações:

1) o conjunto de premissas traz alguma proposição simples; ou

2) o conjunto de premissas traz alguma proposição composta em forma de conjunção (com o conectivo “e” interligando os seus termos).

BEBÊS

ILÓGICOS

DESPREZADOS

AMESTRADORES DE CROCODILOS



12

2º tipo: Quando todas as premissas do argumento possuem mais uma forma de ser verdadeira.

Nesta presente aula, veremos somente o 1º tipo, deixando o 2º para a próxima.

O 1º tipo, definido acima, é resolvido utilizando-se o 3º método de teste de validade de argumentos, já nosso conhecido! Como já vimos, o 3º método é realizado por meio dos seguintes passos:

1º passo: consideram-se as premissas verdadeiras, e com o conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, descobrimos os valores lógicos das proposições simples que compõe o argumento.

2º passo: A partir dos valores lógicos das proposições simples, devemos encontrar qual é a alternativa que traz uma proposição que é conseqüência obrigatória das premissas, ou seja, que possui valor lógico necessariamente verdadeiro.

Não há melhor maneira de se aprender a trabalhar questões de Estruturas Lógicas do que por meio da resolução de questões! Passemos a elas!

EXEMPLO 01:

(AFC 2002 ESAF) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo,

a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol.

b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem.

c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol.

d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol.

e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.

Solução:

O enunciado da questão traz três afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo: P1. Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. P2. Carmem não é cunhada de Carol. P3. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol.

Da mesma forma que já fizemos em diversas soluções de questões, vamos traduzir simbolicamente as frases acima, a fim de tornar a solução mais rápida. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:

A = Carina é amiga de Carol B = Carina é cunhada de Carol C = Carmem é cunhada de Carol

Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:

P1. A → C P2. ~C P3. ~B → A

Agora vamos a solução propriamente dita. Observe os passos abaixo: 1º PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A , B e C). Veja o procedimento seqüencial feito abaixo:



13

a) Começamos pela 2ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só possui uma forma de ser verdadeira.

P1. A → C

P2. ~C ⇒ Como ~C é verdade, logo C é F

P3. ~B → A

Resultado: O valor lógico de C é F.

b) Substitua C pelo seu valor lógico F

P1. A → F ⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que A tenha valor lógico F

P2. ~F

P3. ~B → A

Resultado: O valor lógico de A é F.

c) Substitua A pelo seu valor lógico F

P1. F → F

P2. ~F

P3. ~B → F ⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que ~B tenha valor lógico F, e daí B é V.

Resultado: O valor lógico de B é V.

- Em suma:

A é F , significa que: “Carina é amiga de Carol” é falso.

Daí: (“Carina não é amiga de Carol” é verdade)

B é V , significa que: “Carina é cunhada de Carol” é verdade.

C é F , significa que: “Carmem é cunhada de Carol” é falso.

Daí: (“Carmem não é cunhada de Carol” é verdade)

2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificaremos qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira.

Não há necessidade de traduzirmos as frases das alternativas da questão para linguagem simbólica. Observemos como é fácil descobrir a alternativa correta:

falso falso

a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. falso



14

verdade verdade

b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. verdade

falso falso

c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. falso

falso falso

d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. falso

falso verdade

e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. falso

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a letra “B” Resposta!

EXEMPLO 02:

(ANEEL 2004 ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,

a) estudo e fumo.

b) não fumo e surfo.

c) não velejo e não fumo.

d) estudo e não fumo.

e) fumo e surfo.

Solução:

O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo:

P1. Surfo ou estudo.

P2. Fumo ou não surfo.

P3. Velejo ou não estudo.

P4. Não velejo.

Ora, as premissas são frases pequenas, então não há necessidade de definir letras para representar as proposições simples. Vamos trabalhar do jeito que está!

Agora vamos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:

1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Vejamos a seqüência abaixo:

a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.



15

P1. Surfo ou estudo

P2. Fumo ou não surfo

P3. Velejo ou não estudo

P4. Não velejo ⇒ Como ‘Não velejo’ é verdade, logo ‘velejo’ é F

Resultado: O valor lógico ‘velejo’ é F.

b) Substitua ‘velejo’ por F, e ‘não velejo’ por V

P1. Surfo ou estudo


P3. F ou não estudo ⇒ para que a disjunção seja verdade é necessário que ‘não estudo’ tenha valor lógico V . Daí ‘estudo’ é F.

P4. V

Resultado: O valor lógico de ‘estudo’ é F.

c) Substitua ‘estudo’ por F, e ‘não estudo’ por V

P1. Surfo ou F ⇒ para que a disjunção seja verdade é necessário que ‘surfo’ tenha valor lógico V.


P3. F ou V

P4. V

Resultado: O valor lógico de ‘surfo’ é V.

d) Substitua ‘surfo’ por V, e ‘não surfo’ por F

P1. V ou F

P2. Fumo ou F ⇒ para que a disjunção seja verdade é necessário que ‘Fumo’ tenha valor lógico V.

P3. F ou V

P4. V

Resultado: O valor lógico de ‘Fumo’ é V.

- Em suma, as verdades são:

‘não velejo’ ; ‘não estudo’

‘surfo’ ; ‘Fumo’



16

2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira.

F V

a) estudo e fumo falso

F V

b) não fumo e surfo falso

V F

c) não velejo e não fumo falso

F F

d) estudo e não fumo falso

V V

e) fumo e surfo verdade

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a “E” Resposta!

EXEMPLO 03:

(Fiscal Recife 2003 ESAF) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo:

a) Caio e Beto são inocentes d) Caio e Dênis são culpados

b) André e Caio são inocentes e) André e Dênis são culpados

c) André e Beto são inocentes

Solução:


P1. André é inocente ou Beto é inocente.

P2. Se Beto é inocente, então Caio é culpado.

P3. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado.

P4. Dênis é culpado.

Apesar de as premissas serem frases pequenas, nós as traduziremos para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:

A = André é inocente

B = Beto é inocente

C = Caio é inocente

D = Dênis é culpado



17


P1. A ou B

P2. B → ~C

P3. C ↔ D

P4. D

Agora passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:

1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, C e D). Vejamos a seqüência abaixo:

a) Começaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.

P1. A ou B

P2. B → ~C

P3. C ↔ D

P4. D ⇒ D é V

Resultado: O valor lógico de D é V .

b) Substitua D por V

P1. A ou B

P2. B → ~C

P3. C ↔ V ⇒ para que a bicondicional seja verdade, é necessário que C tenha valor lógico V

P4. V

Resultado: O valor lógico de C é V.

c) Substitua C por V, e ~C por F

P1. A ou B

P2. B → F para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor lógico F.

P3. V ↔ V

P4. V

Resultado: O valor lógico de B é F.



18

d) Substitua B por F

P1. A ou F ⇒ para que a conjunção seja verdade, A deve ser V.

P2. F → F

P3. V ↔ V

P4. V

Resultado: O valor lógico de A é V.

- Em suma:

A é V , significa que é verdade que: “André é inocente”

B é F , significa que é verdade que: “Beto não é inocente”, ou seja, “Beto é culpado”

C é V , significa que é verdade que: “Caio é inocente”

D é V , significa que é verdade que: “Dênis é culpado”


a) Caio e Beto são inocentes. falso

b) André e Caio são inocentes verdade

c) André e Beto são inocentes falso

d) Caio e Dênis são culpados falso

e) André e Dênis são culpados falso

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a “B” Resposta!

EXEMPLO 04:

(Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de inglês nem a professora de francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo,

a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula.

b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião.

c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião.

d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião.

e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula.

Solução:




19

P1. Se a professora de matemática foi à reunião, então nem a professora de inglês nem a professora de francês deram aula.

P2. Se a professora de francês não deu aula, então a professora de português foi à reunião.

P3. Se a professora de português foi à reunião, então todos os problemas foram resolvidos.

P4. Pelo menos um problema não foi resolvido.

Na premissa P1 aparece a palavra nem. Podemos reescrever esta premissa tirando tal palavra, mas sem mudar o sentido:

P1. Se a professora de matemática foi à reunião, então a professora de inglês não deu aula e a professora de francês não deu aula.

Na premissa P3 temos a proposição: “todos os problemas foram resolvidos”, e na premissa P4 temos a proposição: “Pelo menos um problema não foi resolvido”. Qual a relação entre estas duas proposições?

Ora, a proposição “Pelo menos um problema não foi resolvido” é a negação de “todos os problemas foram resolvidos”. Vamos utilizar este resultado na representação simbólica das premissas que será feita abaixo.

Traduziremos as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:

M = a professora de matemática foi à reunião

I = a professora de inglês deu aula

Fr = a professora de francês deu aula

P = a professora de português foi à reunião

R = todos os problemas foram resolvidos

Assim, as frases traduzidas para a linguagem simbólica serão as seguintes:

P1. M → (~I e ~Fr)

P2. ~Fr → P

P3. P → R

P4. ~R

Agora vamos a solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:

1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a seqüência abaixo:


P1. M → (~I e ~Fr)

P2. ~Fr → P

P3. P → R

P4. ~R ⇒ Como ~R é V , então R é F

Resultado: O valor lógico de R é F.



20

b) Substitua R por F, e ~R por V

P1. M → (~I e ~Fr)

P2. ~Fr → P

P3. P → F ⇒ para que a condicional seja verdade, P deve ser F

P4. V

Resultado: O valor lógico de P é F.

c) Substitua P por F

P1. M → (~I e ~Fr)

P2. ~Fr → F ⇒ para que a condicional seja verdade, ~Fr deve ser F, daí Fr é V

P3. F → F

P4. V

Resultado: O valor lógico de Fr é V.

d) Substitua ~Fr por F

P1. M → (~I e F) ⇒ Como um dos termos da conjunção (~I e F) é falso, logo toda a conjunção será falsa. Daí a condicional passa a ser: M → F . Para que esta condicional seja verdadeira, M deve ser F.

P2. F → F

P3. F → F

P4. V

Resultado: O valor lógico de M é F.

- Em suma:

M é F , significa que é verdade que: “a professora de matemática não foi à reunião”.

I é indeterminado, significa que pode ser falso ou verdade que:“a professora de inglês deu aula”

Fr é V , significa que é verdade que: “a professora de francês deu aula”.

P é F , significa que é verdade que: “a professora de português não foi à reunião”.

R é F , significa que é verdade que: “Pelo menos um problema não foi resolvido”.



21


V F

a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula.

falso

V V

b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião.

verdade

F V

c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião.

falso

F F

d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião.

falso

indeterminado F

e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula. falso

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a B Resposta!

EXEMPLO 05:

(AFC-SFC 2001 ESAF) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo,

a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento

b) Camile e Carla não foram ao casamento

c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou

d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou

e) Vera e Vanderléia não viajaram

Solução:


P1. Se Vera viajou, então nem Camile nem Carla foram ao casamento.

P2. Se Carla não foi ao casamento, então Vanderléia viajou.

P3. Se Vanderléia viajou, então o navio afundou.

P4. O navio não afundou



22

Na 1ª premissa aparece a palavra 'nem'. Vamos reescrever esta premissa tirando tal palavra, mas preservando o sentido:

P1. Se Vera viajou, então Camile não foi ao casamento e Carla não foi ao casamento.

Agora, vamos traduzir as premissas acima para a forma simbólica, a fim de tornar mais rápida a solução. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:

A = Vera viajou

B = Vanderléia viajou

C = Camile foi ao casamento

D = Carla foi ao casamento

E = o navio afundou


P1. A → (~C e ~D)

P2. ~D → B

P3. B → E

P4. ~E

Passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:

1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, C, D e E). Vejamos a seqüência abaixo:

a) Começamos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.

P1. A → (~C e ~D)

P2. ~D → B

P3. B → E

P4. ~E ⇒ Como ~E é verdade, logo E é F

Resultado: O valor lógico de E é F.

b) Substitua E por F , e ~E por V

P1. A → (~C e ~D)

P2. ~D → B

P3. B → F ⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor lógico F

P4. V

Resultado: O valor lógico de B é F.



23

c) Substitua B por F

P1. A → (~C e ~D)

P2. ~D → F ⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que ~D tenha valor lógico F, daí D é V.

P3. F → F

P4. V

Resultado: O valor lógico de D é V.

d) Substitua D por V, e ~D por F

P1. A → (~C e F) ⇒ A conjunção (~C e F) tem um termo F, daí o valor da conjunção também é F . Logo a condicional simplifica para: A → F . Esta condicional deve ser verdadeira, então A é F .

P2. F → F

P3. F → F

P4. V

Resultado: O valor lógico de A é F.

- Em suma:

A é F , significa que é verdade que: “Vera não viajou”

B é F , significa que é verdade que: “Vanderléia não viajou”

D é V , significa que é verdade que: “Carla foi ao casamento”

E é F , significa que é verdade que: “o navio não afundou”


Não há necessidade de traduzir as frases das alternativas da questão para linguagem simbólica. Observe como é que descobriremos qual é a alternativa correta.

V F

a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. falso

indeterminado F

b) Camile não foi ao casamento e Carla não foi ao casamento falso



24

F V

c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou falso

F F

d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou falso

V V

e) Vera não viajou e Vanderléia não viajou verdade

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a E Resposta!

EXEMPLO 06)

(MPOG 2002 ESAF) Se M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w – 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M = 0, então M+H = 1. Ora, M+H ≠ 1. Logo,

a) 2w – 3r = 0

b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r

c) M ≠ 2x + 3y

d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r

e) M = 2w – 3r

Solução:

O enunciado da questão traz cinco afirmações (premissas), que são descritas abaixo:

P1. Se M=2x+3y, então M=4p+3r.

P2. Se M=4p+3r, então M=2w–3r.

P3. M=2x+3y, ou M=0.

P4. Se M=0, então M+H=1.

P5. M+H≠1

Quando a questão se apresenta desta forma é melhor não substituirmos as proposições simples por letras, mas somente simplificar os conectivos. Assim teremos:

P1. M=2x+3y → M=4p+3r.

P2. M=4p+3r → M=2w–3r.

P3. M=2x+3y ou M=0.

P4. M=0 → M+H=1.

P5. M+H≠1

Observemos os passos de resolução abaixo:

1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a seqüência abaixo:



25


P1. (M=2x+3y) (M=4p+3r)

P2. (M=4p+3r) (M=2w–3r)

P3. (M=2x+3y) ou (M=0)

P4. (M=0) (M+H=1)

P5. (M+H≠1) ⇒Todas as premissas são verdadeiras, então (M+H≠1) é V

Resultado: O valor lógico de (M+H≠1) é V

b) Substitua (M+H≠1) por V, e (M+H=1) por F

P1. (M=2x+3y) (M=4p+3r)

P2. (M=4p+3r) (M=2w–3r)

P3. (M=2x+3y) ou (M=0)

P4. (M=0) F ⇒ Esta condicional deve ser verdadeira, logo (M=0) é F

P5. V

Resultado: O valor lógico de (M=0) é F

c) Substitua (M=0) por F

P1. (M=2x+3y) (M=4p+3r)

P2. (M=4p+3r) (M=2w–3r)

P3. (M=2x+3y) ou F ⇒ Para que esta disjunção seja verdade, é necessário que (M=2x+3y) tenha valor lógico V.

P4. F F

P5. V

Resultado: O valor lógico de (M=2x+3y) é V

d) Substitua (M=2x+3y) por V

P1. V (M=4p+3r) ⇒ Para que esta condicional seja verdade, é necessário que (M=4p+3r) tenha valor lógico V.

P2. (M=4p+3r) (M=2w–3r)

P3. V ou F

P4. F F

P5. V

Resultado: O valor lógico de (M=4p+3r) é V



26

e) Substitua (M=4p+3r) por V

P1. V V

P2. V (M=2w–3r) ⇒ Para que esta condicional seja verdade, é necessário que (M=2w–3r) tenha valor lógico V.

P3. V ou F

P4. F F

P5. V

Resultado: O valor lógico de (M=2w–3r) é V

- Em suma:

(M+H≠1) é V , significa que é verdade que: “(M+H ≠ 1)”

(M=0) é F , significa que é verdade que: “(M ≠ 0) ”

(M=2x+3y) é V , significa que é verdade que: “(M = 2x+3y) ”

(M=4p+3r) é V , significa que é verdade que: “(M = 4p+3r)”

(M=2w–3r) é V , significa que é verdade que: “(M = 2w–3r)”


a) 2w – 3r = 0 Temos que M=2w–3r e que M≠0 , daí 2w–3r ≠ 0 falso

b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r Temos que M=4p+3r e que M=2w–3r , daí 4p+3r = 2w–3r

falso

c) M ≠ 2x + 3y falso

d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r Temos que M=2x+3y e que M=2w–3r , daí 2x+3y = 2w–3r .

falso

e) M = 2w – 3r verdade

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a E Resposta!



27

EXEMPLO 07)

(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo:

a) Pedro é português e Frederico é francês

b) Pedro é português e Alberto é alemão

c) Pedro não é português e Alberto é alemão

d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês

e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês

Solução:

O enunciado da questão traz quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo:

P1. Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão.

P2. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol.

P3. Se Pedro não é português, então Frederico é francês.

P4. Nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.

Na premissa P4 aparece a palavra nem. Vamos reescrever esta premissa de outra maneira (sem mudar o sentido):

P4. Egídio não é espanhol e Isaura não é italiana.

Traduziremos as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:

Fr = Frederico é francês

A = Alberto é alemão

P = Pedro é português

E = Egídio é espanhol

I = Isaura é italiana


P1. Fr → ~A

P2. ou A ou E

P3. ~P → Fr

P4. ~E e ~I

Passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:

1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a seqüência abaixo:



28

a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição composta que usa somente o conectivo “e”, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.

P1. Fr → ~A

P2. ou A ou E

P3. ~P → Fr

P4. ~E e ~I ⇒ para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem ser verdade, daí ~E deve ser V e ~I deve ser V. Portanto, E é F e I é F.

Resultado: O valor lógico de E é F , e o de I também é F.

b) Substitua E por F (e ~E por V), e I por F (e ~I por V).

P1. Fr → ~A

P2. ou A ou F ⇒ para que a conjunção exclusiva seja verdade, A deve ser V.

P3. ~P → Fr

P4. V e V


c) Substitua A por V (e ~A por F)

P1. Fr → F ⇒ para que a condicional seja verdade, Fr deve ser F.

P2. ou V ou F

P3. ~P → Fr

P4. V e V

Resultado: O valor lógico de Fr é F.

d) Substitua Fr por F

P1. F → F

P2. ou V ou F

P3. ~P → F ⇒ para que a condicional seja verdade, ~P deve ser F, daí P é V.

P4. V e V

Resultado: O valor lógico de P é V.

- Em suma:

Fr é F , significa que é verdade que: “Frederico não é francês”.

A é V , significa que é verdade que: “Alberto é alemão”



29

P é V , significa que é verdade que: “Pedro é português”.

E é F , significa que é verdade que: “Egídio não é espanhol”.

I é F , significa que é verdade que: “Isaura não é italiana”.

2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificaremos qual é a alternativa que traz uma proposição necessariamente verdadeira.

V F

a) Pedro é português e Frederico é francês falso

V V

b) Pedro é português e Alberto é alemão verdade

F V

c) Pedro não é português e Alberto é alemão falso

F F

d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês falso

V F

e) Se Alberto é alemão, então Frederico é francês. falso

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a B Resposta!

EXEMPLO 08)

(ACExt TCU 2002 ESAF) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

Solução: O enunciado da questão traz três afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo: P1. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente

para a duquesa ir ao jardim. P2. o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é

condição necessária para a duquesa ir ao jardim. P3. O barão não sorriu.



30

Para resolver esta questão devemos relembrar alguns conceitos dados na AULA UM: 1) A proposição condicional: “Se p, então q” , pode ser expressa das seguintes maneiras:

“p é condição suficiente para q” ou “q é condição necessária para p”. 2) A proposição bicondicional: “p se e só se q” , pode ser expressa das seguintes maneiras:

“p é condição suficiente e necessária para q” ou “q é condição suficiente e necessária para p”.

A partir disto vamos reescrever as premissas utilizando os conectivos do condicional (se...então) e do bicondicional (se e só se): P1. Se o duque sair do castelo, então o rei vai a caça, e

se o rei vai a caça, então a duquesa vai ao jardim.

P2. O conde encontra a princesa se e só se o barão sorrir e se a duquesa vai ao jardim, então o conde encontra a princesa. P3. O barão não sorriu. Agora vamos traduzir as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples: D = o duque sair do castelo. R = o rei vai a caça. J = a duquesa vai ao jardim C = o conde encontra a princesa. B = o barão sorrir. Destarte, as premissas traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim: P1. (D → R) e (R → J)

P2. (C ↔ B) e (J → C) P3. ~B

Agora vamos a solução propriamente dita. Observe os passos abaixo: 1º PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a sequência abaixo: a) Iniciaremos pela 3ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.

P1. (D → R) e (R → J)

P2. (C ↔ B) e (J → C)

P3. ~B Como ~B é V , então B é F

Resultado: O valor lógico de B é F. b) Substitua B por F, e ~B por V P1. (D → R) e (R → J)

P2. (C ↔ F) e (J → C) para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem ser verdade, daí (C ↔ F) é V , e (J → C) é V. Para que a bicondicional (C ↔ F) seja V, C deve ser F. E para que a condicional (J → C) seja V, J deve ser F, já que C é F.

P3. V

Resultado: O valor lógico de C é F, e o de J também é F.



31

c) Substitua C por F, e J por F

P1. (D → R) e (R → F) para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem ser verdade, daí (D → R) é V , e (R → F) é V. Para que a condicional (R → F) seja V, R deve ser F. E para que a condicional (D → R) seja V, D deve ser F, já que R é F.

P2. (F ↔ F) e (F → F)

P3. V

Resultado: O valor lógico de R é F, e o de D também é F. - Em suma: D é F , significa que é verdade que: “o duque não sai do castelo”. R é F , significa que é verdade que: “o rei não vai a caça” J é F , significa que é verdade que: “a duquesa não vai ao jardim”. C é F , significa que é verdade que: “o conde não encontra a princesa”. B é F , significa que é verdade que: “o barão não sorrir”.


F F

a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. falso

V F

b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. falso

V V

c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. verdade

F V

d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. falso

F V

e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. falso

A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a c Resposta!

Com estes exemplos resolvidos acima, esperamos que fique paulatinamente automatizado o raciocínio para matarmos quaisquer outras questões semelhantes. E há muitas delas!

Na seqüência, apresentamos o dever de casa para esta semana!

O bonde está andando, meus amigos! O melhor é não perder a viagem! E isso se faz estudando a aula da semana, revisando tudo e resolvendo as questões propostas! Sem isso, não há aprendizado!

Um abraço forte a todos e fiquem com Deus!



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DEVER DE CASA

01. (AFC 2002 ESAF) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.

b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.

c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.

d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.

e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

02. (MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje

a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor.

b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.

c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.

d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.

e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.

03. (MPU Controle Interno 2004 ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,

a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.

b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.

c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.

d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.

e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

04. (AFTN 1996 ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra Fogo" , mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:

a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido

b) Luís e Júlio não estão enganados

c) Júlio está enganado, mas não Luís

d) Luís está engando, mas não Júlio

e) José não irá ao cinema



33

05. (TFC-SFC 2001 ESAF) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:

a) Anaís será professora e Anelise não será cantora

b) Anaís não será professora e Ana não será atleta

c) Anelise não será cantora e Ana será atleta

d) Anelise será cantora ou Ana será atleta

e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista


a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.

b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.

c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.

d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.

e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.

07. (Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q > R, logo:

a) S > T e Z ≤ P

b) S ≥ T e Z > P

c) X ≥ Y e Z ≤ P

d) X > Y e Z ≤ P

e) X < Y e S < T

Gabarito: 01.A 02.C 03.D 04.E 05.A 06.A 07.A



1

AULA CINCO: Estruturas Lógicas (Continuação)

Olá, amigos!

Iniciaremos nossa aula de hoje com a resolução do dever de casa da semana passada! Esperamos que todos tenham resolvido – ou ao menos tentado, o que é mais importante! - as oito questões que foram propostas. Passemos às resoluções.

Dever de Casa

01. (AFC 2002 ESAF) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

Sol.: Como vimos na aula passada, dividiremos nossa resolução em dois passos. Antes disso, convém traduzirmos as premissas do enunciado para a linguagem simbólica. Teremos:

I: Iara fala italiano.

A: Ana fala alemão.

C: Ching fala chinês.

D: Débora fala dinarmaquês.

E: Elton fala espanhol.

F: Francisco fala francês.

Uma vez definidas tais proposições simples, as sentenças do enunciado estarão assim traduzidas:

P1: ~I A P2: I (C ou D) P3: D E P4: E ↔ ~(~F) P5: ~F e ~C Antes de passarmos à resolução propriamente dita, façamos uma rápida análise da premissa quatro (P4) acima. Ela é curiosa, pois traz, na segunda parte da condicional, a negação de uma negação! Vejamos: Não é verdade que Francisco não fala francês.

Ora, negar uma negação é o mesmo que afirmar! Aprendemos isso na primeira aula!

Assim, podemos reescrever a quarta premissa, sem prejuízo do sentido original, da seguinte forma: P4: E ↔ F. Só isso! Nossas premissas agora são as seguintes:

P1: ~I A

P2: I (C ou D)

P3: D E

P4: E ↔ F

P5: ~F e ~C

Passemos aos passos efetivos de resolução.



2

1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:

a) Iniciaremos pela 5ª premissa, uma vez que é uma conjunção e, como tal, só tem um jeito de ser verdadeira!

P1. ~I A

P2. I (C ou D)

P3. D E

P4. E ↔ F

P5. ~F e ~C ⇒ ~F é verdade e ~C é verdade

Resultado: F é Falso e C é Falso.

b) Substitua F por F, e C por F

P1. ~I A

P2. I (F ou D)

P3. D E

P4. E ↔ F ⇒ Na bicondicional, ambas as sentenças têm que ter o mesmo valor lógico! Logo: E é Falso!

P5. V e V

Resultado: O valor lógico de E é F.

c) Substitua E por F:

P1. ~I A

P2. I (F ou D)

P3. D F ⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que D seja também falsa. Logo: D é Falso!

P4. F ↔ F

P5. V e V

Resultado: O valor lógico de D é F.

d) Substitua D por F

P1. ~I A

P2. I (F ou F) ⇒ A disjunção que está na segunda parte desta condicional é falsa. Logo, para que a condicional seja verdadeira, é preciso que I seja também falsa. Logo: I é Falso!

P3. F F

P4. F ↔ F

P5. V e V



3

Resultado: O valor lógico de I é F.

e) Substitua I por F (e ~I por Verdadeiro!)

P1. V A ⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que A seja também verdadeira. Logo: A é Verdadeiro!

P2. F (F ou F)

P3. F F

P4. F ↔ F

P5. V e V


Compilando os resultados obtidos acima, teremos:

A é V ⇒ É verdade que Ana fala alemão.

C é F ~C é V ⇒ É verdade que Ching não fala chinês.

D é F ~D é V ⇒ É verdade que Débora não fala dinamarquês.

E é F ~E é V ⇒ É verdade que Elton não fala espanhol.

F é F ~F é V ⇒ É verdade que Francisco não fala francês.

I é F ~I é V ⇒ É verdade que Iara não fala italiano.

2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:

V V

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.

verdade

V F

b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.

falso

V F

c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.

falso

F F

d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.

falso

V F

e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. falso

Resposta: alternativa A.



4

02. (MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje





e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.

Sol.: Iniciaríamos fazendo a tradução das proposições para a linguagem simbólica. Mas, como as frases são curtas, deixemos como está! Nossas premissas são, pois, as seguintes:

P1. ~Vejo Carlos ~Passeio ou Deprimida

P2. Chove ~Passeio e Deprimida

P3. ~Faz calor e Passeio ~Vejo Carlos

P4. ~Chove e Deprimida ~Passeio

P5. Passeio


a) Iniciaremos pela 5ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem um jeito de ser verdadeira!

P1. ~Vejo Carlos ~Passeio ou Deprimida

P2. Chove ~Passeio e Deprimida

P3. ~Faz calor e Passeio ~Vejo Carlos

P4. ~Chove e Deprimida ~Passeio

P5. Passeio ⇒ Passeio é verdade

Resultado: Passeio é verdade.

b) Substitua Passeio por V , e ~Passeio por F

P1. ~Vejo Carlos F ou Deprimida

P2. Chove F e Deprimida ⇒ A conjunção (segunda parte desta condicional) é falsa. Logo, para que a condicional seja verdadeira, é preciso que Chove seja falso!

P3. ~Faz calor e V ~Vejo Carlos

P4. ~Chove e Deprimida F

P5. V



5

Resultado: O valor lógico de Chove é F.

c) Substitua Chove por F , e ~Chove por V

P1. ~Vejo Carlos F ou Deprimida

P2. F F e Deprimida


P4. V e Deprimida F ⇒ A conjunção (primeira parte desta condicional) terá que ser falsa. Para tanto, é preciso que Deprimida seja falso!

P5. V

Resultado: O valor lógico de Deprimida é F.

d) Substitua Deprimida por F

P1. ~Vejo Carlos F ou F ⇒ A disjunção (segunda parte desta condicional) é falsa. Logo, para que a condicional seja verdadeira, é preciso que ~Vejo Carlos seja falso!

P2. F F e F


P4. V e F F

P5. V

Resultado: O valor lógico de ~Vejo Carlos é F.

e) Substitua ~Vejo Carlos por F

P1. F F ou F

P2. F F e F

P3. ~Faz calor e V F ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que a conjunção (primeira parte)seja falsa. Para tanto, teremos ~Faz calor seja falso!

P4. V e F F

P5. V

Resultado: O valor lógico de ~Faz calor é F.



6


Passeio é V ⇒ É verdade que Passeio.

Chove é F ~Chove é V ⇒ É verdade que não chove.

Deprimida é F ~Deprimida é V ⇒ É verdade que não fico deprimida.

~Vejo Carlos é F Vejo Carlos é V ⇒ É verdade que Vejo Carlos.

~Faz calor é F Faz calor é V ⇒ É verdade que Faz calor.


V V F V


falso

F F F V


falso

V V V V


verdade

F F V F


falso

V F V V

e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor. falso

Resposta: alternativa C.

03. (MPU Controle Interno 2004 ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,

a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.





Sol.: Nesta questão, há um trabalho preliminar a ser realizado! Antes de iniciarmos os passos efetivos de resolução, teremos que traduzir essas tais condições necessárias e condições suficientes para a linguagem convencional de uma estrutura condicional (ou bicondicional, conforme o caso). Isso também já aprendemos como se faz. Teremos, pois, que:

João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir

É o mesmo que: Se Maria sorri, então João está feliz.



7

E:

João estar feliz é condição suficiente para Daniela abraçar Paulo

É o mesmo que: Se João está feliz, então Daniela abraça Paulo.

Por fim, sabemos que:

Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio

É o mesmo que: Daniela abraça Paulo se e somente se Sandra abraça Sérgio

Feito isto, podemos reescrever as sentenças do enunciado, da seguinte forma:

P1. Maria sorri João está feliz

P2. João está feliz Daniela abraça Paulo

P3. Daniela abraça Paulo ↔ Sandra abraça Sérgio

P4. Sandra não abraça Sérgio

Podemos definir cada proposição simples por uma única letra, se assim o quisermos. Teremos:

M = Maria sorri

J = João está feliz

D = Daniela abraça Paulo

S = Sandra abraça Sérgio

Daí, traduziremos as premissas do enunciado para a linguagem reduzida da lógica, da seguinte forma:

P1. M J

P2. J D

P3. D ↔ S

P4. ~S

Passemos à resolução em si.



P1. M J

P2. J D

P3. D ↔ S

P4. ~S ⇒ ~S é verdade



8

Resultado: ~S é verdade.

b) Substitua ~S por V , e S por F

P1. M J

P2. J D

P3. D ↔ F ⇒ Na bicondicional, as duas partes têm que ter mesmo valor lógico. Daí: D é Falso.

P4. V

Resultado: D é falso.

c) Substitua D por F

P1. M J

P2. J F ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que J seja também Falso.

P3. F ↔ F

P4. V

Resultado: J é falso.

d) Substitua J por F

P1. M F ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que M seja também Falso.

P2. F F

P3. F ↔ F

P4. V

Resultado: M é falso.


~S é V ⇒ É verdade que Sandra não abraça Sérgio.

D é F ~D é V ⇒ É verdade que Daniela não abraça Paulo.

J é F ~J é V ⇒ É verdade que João não está feliz.

M é F ~M é V ⇒ É verdade que Maria não sorri.


F V F

a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. falso



9

V F V


falso

F F V


falso

V V V


verdade

V F F


falso

Resposta: alternativa D.

04. (AFTN 1996 ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra Fogo" , mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:

a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido b) Luís e Júlio não estão enganados c) Júlio está enganado, mas não Luís d) Luís está engando, mas não Júlio e) José não irá ao cinema

Sol.: Começaremos atribuindo letras às proposições do enunciado. Teremos:

M = Maria está certa

J = Júlio está certo

L = Luís está certo

F = Filme sendo exibido

Jo = José irá ao cinema

Agora, traduzindo as premissas da questão, teremos:

P1. M ~J

P2. ~J ~L

P3. ~L ~F

P4. Ou F ou ~Jo

P5. M



10




P1. M ~J

P2. ~J ~L

P3. ~L ~F

P4. Ou F ou ~Jo

P5. M ⇒ M é verdade

Resultado: M é verdade.

b) Substitua M por V

P1. V ~J ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que ~J seja também verdade

P2. ~J ~L

P3. ~L ~F

P4. Ou F ou ~Jo

P5. V

Resultado: ~J é verdade.

c) Substitua ~J por V

P1. V V

P2. V ~L ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que ~L seja também verdade

P3. ~L ~F

P4. Ou F ou ~Jo

P5. V

Resultado: ~L é verdade.



11

d) Substitua ~L por V

P1. V V

P2. V V

P3. V ~F ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que ~F seja também verdade

P4. Ou F ou ~Jo

P5. V

Resultado: ~F é verdade.

e) Substitua ~F por V e F por Falso.

P1. V V

P2. V V

P3. V V

P4. Ou F ou ~Jo ⇒ Para que a disjunção exclusiva seja verdadeira, é preciso que ~Jo seja verdade

P5. V

Resultado: ~Jo é verdade.


M é V É verdade que Maria está certa.

~J é V É verdade que Júlio está enganado.

~L é V É verdade que Luís está enganado.

~F é V É verdade que o filme não está sendo exibido.

~Jo é V É verdade que José não irá ao cinema.


F

a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido

falso

F F

b) Luís não está enganado e Júlio não está enganado

falso

V F

c) Júlio está enganado, e Luís não está enganado

falso

V F

d) Luís está enganado, e Júlio não está enganado.

falso



12

V

e) José não irá ao cinema verdade

Resposta: alternativa E.

05. (TFC-SFC 2001 ESAF) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:





e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista

Sol.: Aqui, pela similitude dos nomes, é melhor fazer o seguinte:

Anaís = Anaís será professora

Anelise = Anelise será cantora

Anamélia = Anamélia será pianista

Ana = Ana será atleta

Daí, nossas premissas são as seguintes:

P1. Ou Anaís, ou Anelise, ou Anamélia

P2. Ana Anamélia

P3. Anelise Ana

P4. ~Anamélia




P1. Ou Anaís, ou Anelise, ou Anamélia

P2. Ana Anamélia

P3. Anelise Ana

P4. ~Anamélia ⇒ ~Anamélia é verdade

Resultado: ~Anamélia é verdade.



13

b) Substitua ~Anamélia por V e Anamélia por F

P1. Ou Anaís, ou Anelise, ou F

P2. Ana F ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que Ana seja também falsa

P3. Anelise Ana

P4. V

Resultado: Ana é falso.

c) Substitua Ana por F

P1. Ou Anaís, ou Anelise, ou F

P2. F F

P3. Anelise F ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que Analise seja também falsa

P4. V

Resultado: Anelise é falso.

d) Substitua Analise por F

P1. Ou Anaís, ou F, ou F ⇒ Para que a disjunção seja verdadeira, é preciso que Anaís seja também verdadeira

P2. F F

P3. F F

P4. V

Resultado: Anaís é verdadeira.


~Anamélia é V ⇒ É verdade que Anamélia não será pianista.

Ana é F ⇒ É verdade que Ana não será atleta.

Anelise é F ⇒ É verdade que Anelise não será cantora.

Anaís é V ⇒ É verdade que Anaís será professora.



14


V V


verdade

F V


falso

V F


falso

F F


falso

F V

e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista falso







e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.

Sol.: Iniciemos fazendo uma tradução das proposições simples do enunciado para uma linguagem resumida. Teremos:

Ch = Chiquita vai ao parque

Didi est = Didi estuda

Didi aprov = Didi é aprovado

Dadá missa = Dadá vai à missa

Dadá tia = Dadá vai visitar tia Célia

Agora, passando as premissas para o formato definido acima, teremos:



15

P1. ~Ch

P2. Didi est Didi aprov

P3. ou Dadá missa ou Dada tia

P4. Dada tia Ch

P5. Dadá missa Didi est




P1. ~Ch ⇒ ~Ch é verdade


P3. ou Dadá missa ou Dada tia

P4. Dada tia Ch


Resultado: ~Ch é verdade.

b) Substitua ~Ch por V e Ch por F

P1. V


P3. ou Dadá missa ou Dadá tia

P4. Dada tia F ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que Dadá tia seja também falso


Resultado: Dadá tia é falso.

c) Substitua Dadá tia por F

P1. V


P3. ou Dadá missa ou F ⇒ Para que a disjunção exclusiva seja verdadeira, é preciso que Dadá missa seja também verdade

P4. F F


Resultado: Dadá missa é verdade.



16

d) Substitua Dadá missa por V

P1. V


P3. ou V ou F

P4. F F

P5. V Didi est ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que Didi est seja verdade

Resultado: Didi est é verdade.

e) Substitua Didi est por V

P1. V

P2. V Didi aprov ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que Didi aprov seja verdade

P3. ou V ou F

P4. F F

P5. V V

Resultado: Didi aprov é verdade.


~Ch é V ⇒ É verdade que Chiquita não vai ao parque.

Dadá tia é F ⇒ É verdade que Dadá não vai visitar tia Célia.

Dadá missa é V ⇒ É verdade que Dadá vai à missa.

Didi est é V ⇒ É verdade que Didi estuda.

Didi aprov é V ⇒ É verdade que Didi é aprovado.


V V


verdade

F V


falso

F V


falso



17

V F


falso

F F

e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado. falso


07. (Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q > R, logo:

a) S > T e Z ≤ P b) S ≥ T e Z > P c) X ≥ Y e Z ≤ P d) X > Y e Z ≤ P e) X < Y e S < T

Sol.: Nesta questão as proposições simples já são – elas próprias – letras! Daí, só nos resta colocá-las na linguagem da lógica. Teremos:

P1. (X ≥ Y) (Z > P) ou (Q ≤ R)

P2. (Z > P) (S ≤ T)

P3. (S ≤ T) (Q ≤ R)

P4. Q > R



P1. (X ≥ Y) (Z > P) ou (Q ≤ R)

P2. (Z > P) (S ≤ T)

P3. (S ≤ T) (Q ≤ R)

P4. Q > R ⇒ (Q > R) é verdade

Resultado: (Q > R) é verdade.

b) Substitua (Q > R) por V e (Q ≤ R) por F

P1. (X ≥ Y) (Z > P) ou F

P2. (Z > P) (S ≤ T)

P3. (S ≤ T) F ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que (S ≤ T) seja falsa

P4. V

Resultado: (S ≤ T) é falso.



18

c) Substitua (S ≤ T) por F

P1. (X ≥ Y) (Z > P) ou F

P2. (Z > P) F ⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que (Z > P) seja falsa

P3. F F

P4. V

Resultado: (Z > P) é falso.

d) Substitua (Z > P) por F

P1. (X ≥ Y) F ou F ⇒ A disjunção (segunda parte) é falsa. Daí, para que a condicional seja verdadeira, é preciso que (X ≥ Y)seja falsa

P2. F F

P3. F F

P4. V

Resultado: (X ≥ Y) é falso.


(Q > R) é V ⇒ É verdade que (Q > R).

(S ≤ T) é F ⇒ É verdade que (S > T).

(Z > P) é F ⇒ É verdade que (Z ≤ P).

(X ≥ Y) é F ⇒ É verdade que (X < Y).


V V

a) (S > T) e (Z ≤ P)

verdade

F F

b) (S ≥ T) e (Z > P)

falso

F V

c) (X ≥ Y) e (Z ≤ P)

falso

F V

d) (X > Y) e (Z ≤ P)

falso

V F

e) (X < Y) e (S < T) falso




19

Daremos início agora ao estudo do 2º tipo de questão de Estruturas Lógicas. Até o momento, estudamos um tipo de enunciado, em que havia sempre (pelo menos) uma sentença apropriada para ser o ponto de partida da resolução. E por que isso? Porque esta tal sentença estava na forma de uma proposição simples ou de uma conjunção. Assim, só haveria uma forma de ela ser verdadeira!

Na seqüência, veremos questões um pouco mais, digamos, interessantes: nelas, não haverá nenhuma sentença em forma de proposição simples ou de conjunção, de sorte que não estará previamente definido qual o ponto de partida da resolução. A análise se aprofunda um pouco.

Aprenderemos esse tipo de resolução da mesma forma que aprendemos o anterior: resolvendo questões. Na seqüência, apresentamos vários enunciados de provas recentes, em que se trabalha esse segundo tipo de estruturas lógicas.

Com um pouco de calma e paciência, aprenderemos tranqüilamente. Adiante.

01. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo,

a) não durmo, estou furioso e não bebo b) durmo, estou furioso e não bebo c) não durmo, estou furioso e bebo d)) durmo, não estou furioso e não bebo e) não durmo, não estou furioso e bebo

Sol.: Resolveremos essa questão de duas formas diferentes!

Temos, no enunciado, as seguintes premissas:

P1: Se não durmo, bebo.

P2: Se estou furioso, durmo.

P3: Se durmo, não estou furioso.

P4: Se não estou furioso, não bebo.

Indicaremos essas premissas para a seguinte representação simbólica:

D = Durmo

B = Bebo

E = estou furioso

Traduzindo-as para a forma simbólica, teremos:

P1: ~D → B

P2: E → D

P3: D → ~E

P4: ~E → ~B

1ª Solução:

Para resolvermos esta questão, devemos:

1º Passo) consideraremos todas as premissas verdadeiras;

2º Passo) atribuiremos um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples (neste caso, D, B,ou E);

3º Passo) Finalmente, substituiremos este valor lógico (escolhido do 2º passo) nas premissas e verificaremos se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos.



20

Vamos escolher a proposição D que aparece na 1ª parte da condicional de P3, e atribuir o valor lógico V. (Se atribuíssemos F não teríamos como descobrir o valor lógico de E em P3, pois se E é V ou se E é F a premissa seria verdadeira). Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja para sabermos se está certo que D é V.

Teremos:

1° passo

(trocar D por V)

2° passo

(trocar E por F, e ~E é V)

3° passo

(trocar B por F)

P1: ~D → B F → B F → B F → F ⇒ V

P2: E → D E → V F → V F → V ⇒ V

P3: D → ~E V → ~E , daí

~E é V (e E é F)

V → V V → V ⇒ V

P4: ~E → ~B ~E → ~B V → ~B , daí

~B é V (e B é F)

V → V ⇒ V

Veja que não houve contradição em considerar que D é V. E com esse teste também descobrimos o valor lógico de todas as proposições simples, que são os seguintes:

D é V , daí: durmo!

B é F , daí: não bebo!

E é F , daí: não estou furioso!

Portanto, a resposta é a alternativa D.

2ª Solução:

Como as sentenças são proposições condicionais, então podemos resolver esta questão por encadeamento lógico das premissas. Isto é feito modificando-as de forma que a segunda parte da condicional de uma premissa seja igual à primeira parte da condicional da premissa seguinte. Isto é uma espécie de quebra-cabeça no qual temos que encaixar uma premissa na outra!

O encadeamento das premissas é feito por tentativa e erro. Durante a execução do encadeamento, muito provavelmente teremos que usar a seguinte equivalência, vista na primeira aula: (p → q) = (~q → ~p). (Podemos memorizar essa equivalência com as palavras inverte e troca. Vejamos: inverte-se a ordem das proposições e trocam-se os sinais. Daí, apenas inverte e troca!)

Vamos tentar montar o quebra-cabeça:

- Vamos iniciar pela premissa P2: Fu → D

- Depois da P2 vamos colocar a premissa P3: D → ~Fu

- Depois da P3 vamos colocar a premissa P4: ~Fu → ~B

- Finalmente, colocamos o equivalente condicional de P1: ~B → D



21

Assim, teremos o seguinte encadeamento:

Fu → D → ~Fu → ~B → D

Uma vez que estamos trabalhando apenas com estruturas condicionais, devemos lembrar que a única situação inadmissível para uma condicional é V na primeira parte e F na segunda. Assim, de modo que nunca ponhamos um V antes de um F, teremos os seguintes possíveis valores lógicos a serem analisados:

Fu → D → ~Fu → ~B → D

1ª linha: V V V V V

2ª linha: F V V V V

3ª linha: F F V V V

4ª linha: F F F V V

5ª linha: F F F F V

6ª linha: F F F F F

Daí, resta-nos analisar qual dessas linhas lógicas é aceitável.

- Análise da 1ª linha:

Na 1ª coluna de valores lógicos Fu é V e na 3ª coluna ~Fu também é V. Isto é impossível! Daí devemos descartar esta 1ª linha!


Não há contradições nesta linha, então vamos mantê-la!


Na 2ª coluna de valores lógicos D é F e na última coluna D é V. Isto é impossível! Daí devemos descartar esta 3ª linha!


Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.




Na 1ª coluna de valores lógicos Fu é F e na última coluna ~Fu é F. Isto é impossível! Daí devemos descartar esta 4ª linha!

Da 2ª linha que restou, obtivemos os seguintes valores lógicos:

D é V , daí: durmo!

~B é V (B é F) , daí: não bebo!

Fu é F , daí: não estou furioso!



22

Portanto, a resposta é a alternativa D.

Lembrando apenas que essa segunda solução foi possível porque estávamos trabalhando apenas com estruturas condicionais.

02. (MPU Administrativa 2004 ESAF) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo,

a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.

b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente.

c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.

d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.

e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.

Solução:

Temos aqui as seguintes premissas:

P1: Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado

P2: Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados.

P3: Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente.

P4: Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado.

Na premissa P2 podemos fazer uma simplificação, pois de acordo com a definição de disjunção vista na primeira aula, quando se diz: “ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados”, isto é o mesmo que dizer: “Beltrano é culpado ou Sicrano é culpado”. A ESAF usou a forma menos simplificada para tentar dificultar a solução da questão!

Indicaremos as premissas com a seguinte representação simbólica:

Fu = Fulano é culpado

B = Beltrano é culpado

S = Sicrano é culpado

Traduzindo para a forma simbólica, teremos:

P1: Fu → B

P2: ~Fu → (B ou S)

P3: ~S → ~B

P4: S → Fu



23

Uma vez que nossas sentenças são todas condicionais, poderemos também utilizar duas soluções. Vejamos.

1ª Solução:

Iniciemos fazendo uma escolha: vamos escolher a proposição Fu que aparece na 1ª parte da condicional de P1, e atribuir-lhe o valor lógico V. (Se atribuíssemos F não teríamos como descobrir o valor lógico de B em P1, pois se B é V ou se B é F a premissa seria verdadeira).

Executando os seguintes passos, mostrados abaixo, testaremos se está certo que Fu é V.

1° passo

(trocar Fu por V, e ~F por F)

2° passo

(trocar B por V, e ~B por F)

3° passo

(trocar S por V, e ~S por F )

P1: Fu → B V → B , daí B é V V → V V → V ⇒ V

P2: ~Fu → (B ou S) F → (B ou S) F → (V ou S) F → (V ou F) ⇒ V

P3: ~S → ~B ~S → ~B ~S → F , daí

~S é F (S é V)

F → F ⇒ V

P4: S → Fu S → V S → V V → V ⇒ V

Vejamos que não houve contradição em considerar que Fu é V. E com esse teste, também descobrimos o valor lógico de todas as proposições. Obtemos que:

Fu é V , daí: Fulano é culpado!

B é V , daí: Beltrano é culpado!

S é V , daí: Sicrano é culpado!

Portanto, a resposta é a alternativa E.

2ª Solução:

Como as sentenças são proposições condicionais, então podemos resolver esta questão por encadeamento lógico das premissas. Já vimos como isso é feito, no exercício anterior.

Atentemos que, quando há uma disjunção dentro de uma condicional, sempre devemos considerar esta disjunção como primeiro ou último termo do encadeamento. Vamos arbitrar como primeiro termo, e tentar montar o quebra-cabeça. Teremos:

- Na premissa P2 vamos usar a outra forma equivalente da condicional: ~(B ou S) → Fu

- Esta última condicional pode ser encadear com a premissa P1: Fu → B

- Podemos encadear a premissa P1 com o equivalente condicional de P3 dado por: B → S

- Esta última condicional pode ser encadeada com a premissa P4: S → Fu

Assim teremos o seguinte encadeamento:

~(B ou S) → Fu → B → S → Fu



24

Conforme já explicado na questão passada, teremos os seguintes valores lógicos a serem analisados:

~(B ou S) → Fu → B → S → Fu

1ª linha: V V V V V

2ª linha: F V V V V

3ª linha: F F V V V

4ª linha: F F F V V

5ª linha: F F F F V

6ª linha: F F F F F

Analisemos qual dessas linhas lógicas é aceitável:


É possível que ~(B ou S) seja V, quando se tem que B é V e S é V ? Obviamente que não! Vamos descartar essa linha.


É possível que ~(B ou S) seja F, quando se tem que B é V e S é V ? Lógico que sim! Esta linha permanece!


Na 2ª coluna lógica, o valor de Fu é F, e na última coluna Fu é V. Isto é impossível! Logo, devemos descartar essa linha!






É possível que ~(B ou S) seja F, quando se tem que B é F e S é F ? Lógico que não! Vamos descartar essa linha.

Da 3ª linha, a única que foi aceita, obtivemos os seguintes valores lógicos:

Fu é V , daí: Fulano é culpado!

B é V , daí: Beltrano é culpado!

S é V , daí: Sicrano é culpado!




25

03. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,

a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.

b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.

c)) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.

e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.

Solução:

Eis nossas premissas:

P1: Homero não é honesto, ou Júlio é justo

P2: Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso.

P3: Beto é bondoso, ou Júlio não é justo.

P4: Beto não é bondoso, ou Homero é honesto.

Vamos usar a seguinte representação simbólica:

H = Homero é honesto

J = Júlio é justo

B = Beto é bondoso

Traduzindo as premissas para a forma simbólica, teremos:

P1: ~H ou J

P2: H ou J ou B

P3: B ou ~J

P4: ~B ou H

Façamos nossa escolha. Vamos escolher a proposição J que aparece em P1, e atribuir-lhe o valor lógico F. (Se atribuíssemos V não teríamos como descobrir o valor lógico de H em P1, pois se H é V ou se H é F a premissa seria sempre verdadeira).

Daí, vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar se está certo que J é F (e ~J é V). Teremos:

1° passo

(trocar J por F, e ~J por V)

2° passo

(trocar H por F, e ~H por V)

P1: ~H ou J ~H ou F , daí

~H é V (H é F)

V ou F

P2: H ou J ou B H ou F ou B F ou F ou B , daí

B é V

P3: B ou ~J B ou V B ou V

P4: ~B ou H ~B ou H ~B ou F , daí

~B é V (B é F)



26

Opa! Vejamos que houve uma contradição, pois no 2º passo, obtivemos na premissa P1 que B é V e na premissa P2 que B é F. Logo, está errado atribuir F para J. Então, J só pode ser V.

Vamos substituir este valor lógico nas premissas iniciais para achar o valor lógico das outras proposições:

1° passo

(trocar J por V, e ~J por F)

2° passo

(trocar B por V, e ~B por F)

3° passo

(trocar H por V, e ~H por F)

P1: ~H ou J ~H ou V ~H ou V F ou V ⇒ V

P2: H ou J ou B H ou V ou B H ou V ou V V ou V ou V ⇒ V

P3: B ou ~J B ou F , daí B é V V ou F V ou F ⇒ V

P4: ~B ou H ~B ou H F ou H , daí H é V F ou V ⇒ V

Daí, obteremos que:

H é V , daí: Homero é honesto!

J é V , daí: Júlio é justo!

B é V , daí: Beto é bondoso!

Portanto, a resposta é a alternativa C.

Este exercício serviu para mostrar que nem sempre acertaremos de primeira na escolha do valor lógico para uma das proposições simples. Somente o teste nos dirá se a hipótese criada foi feliz ou não.

Adiante.

04. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que:

a)) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina

b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina

c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina

d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática

e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia

Solução:

Observe que nas questões anteriores, as opções de resposta (A, B, C, D, E) eram formadas somente por afirmações interligadas pelo conectivo “e” ou por vírgula (que funciona da mesma maneira que o conectivo “e”). Aqui, as alternativas C, D e E, apresentam outros conectivos.

Quando isso ocorrer, ou seja, se algumas ou todas as alternativas apresentarem conectivos que não sejam o conectivo “e”, então é aconselhável utilizarmos o quarto método do teste de validade de argumentos. Já havíamos dito no início da quarta aula que usaríamos este método para solução de questões de Estruturas Lógicas.



27

Este método consiste, conforme já é do nosso conhecimento, em se verificar a existência simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras.

Obviamente que, em enunciados de estruturas lógicas, somente são fornecidas as premissas, e a conclusão será uma das cinco alternativas da questão.

Daí, devemos realizar testes com as opções de resposta, a fim de descobrimos a correta, que será aquela em que a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras não for possível.

Qual é a primeira alternativa que testaremos? Vamos obedecer à seguinte precedência:

1º) Testar as alternativas que são disjunções (conectivo “ou”);

2º) Testar as condicionais (conectivo “se...então”);

3º) Testar as bicondicionais (conectivo “se e somente se”).

Passemos à solução desta questão. Temos as seguintes premissas:

P1: Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática.

P2: Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina.

P3: Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia.

Usaremos a seguinte representação simbólica:

L = Luís estuda História

P = Pedro estuda Matemática

H = Helena estuda Filosofia

J = Jorge estuda Medicina


P1: L → P

P2: H → J

P3: L ou H

De acordo com a precedência de teste das alternativas, poderemos iniciar os testes pela alternativa A ou pela alternativa E, uma vez que ambas são disjunções. O gabarito desta questão aponta para a alternativa A, então para que façamos pelo menos dois testes, iniciaremos pela alternativa E.

- Teste da alternativa E (Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia):

Traduzindo esta alternativa para a forma simbólica teremos:

C: P ou ~H

Agora vamos verificar a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras.



28

Fazendo a conclusão falsa teremos: (P ou ~H) é F . Sabemos que uma disjunção é falsa somente quando os termos que a compõe também são falsos.

Daí, obtemos que P é F e ~H é F (e H é V).

Agora, substituindo estes valores lógicos de P e H nas premissas, teremos:

1° passo

(trocar P por F e H por V)

2° passo

(trocar L por F e J por V)

P1: L → P L → F , daí L é F F → F ⇒ V

P2: H → J V → J , daí J é V V → V ⇒ V

P3: L ou H L ou V F ou V ⇒ V

Concluímos que é possível a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras, daí a alternativa utilizada como conclusão não pode ser a resposta da questão. Passemos a testar a alternativa A.

- Teste da alternativa A (Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina):


C: P ou J


Fazendo a conclusão ser falsa, teremos: (P ou J) é F .

Daí, obteremos que P é F e J é F.

Agora, substituindo estes valores lógicos de P e J nas premissas, teremos:

1° passo

(trocar P por F e J por F)

2° passo

(trocar L por F e H por F)

P1: L → P L → F , daí L é F F → F ⇒ V

P2: H → J H → F , daí H é F F → F ⇒ V

P3: L ou H L ou H F ou F ⇒ F

Concluímos que não é possível a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras, daí a alternativa utilizada como conclusão é a resposta da questão.




29

05. (ANEEL 2004 ESAF) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, compreendo. Se é feriado, não desisto. Então,

a)) se jogo, não é feriado. b) se não jogo, é feriado. c) se é feriado, não leio. d) se não é feriado, leio. e) se é feriado, jogo.

Solução:

Nesta questão, todas as opções de resposta são estruturas condicionais, portanto usaremos o mesmo método aplicado na solução da questão anterior.

Temos as seguintes premissas:

P1: Se não leio, não compreendo.

P2: Se jogo, não leio.

P3: Se não desisto, compreendo.

P4: Se é feriado, não desisto.

Vamos usar a seguinte representação simbólica:

L = Leio

C = Compreendo

J = Jogo

D = Desisto

E = fEriado


P1: ~L → ~C

P2: J → ~L

P3: ~D → C

p4: E → ~D

De acordo com a precedência de teste das alternativas, poderemos iniciar por qualquer uma. Iniciemos pela alternativa A.

- Teste da alternativa A (se jogo, não é feriado):


C: J → ~E


Fazendo a conclusão ser falsa teremos: (J → ~E) é F . Sabemos que uma condicional é falsa somente quando a primeira parte é V e a segunda parte é F, daí obtemos que J é V e ~E é F (logo E é V). Agora vamos substituir estes valores lógicos de J e E nas premissas. Teremos:



30

1° passo

(trocar J por V e E por V)

2° passo

(trocar L por F e D por F)

P1: ~L → ~C ~L → ~C V → ~C , daí

~C é V (C é F)

P2: J → ~L V → ~L , daí

~L é V (L é F)

V → V

P3: ~D → C ~D → C V → C , daí

C é V

P4: E → ~D V → ~D , daí

~D é V (D é F)

V → V

Observemos que ocorreu uma contradição quanto ao valor lógico de C, pois no 2º passo obtivemos, na linha de P1, que C é F, e na linha de P3 que C é V. Daí concluímos que não é possível a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras.

Daí, a alternativa utilizada como conclusão é a resposta da questão.


06. (AFTN 1998 ESAF) Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas:

a) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga

b) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga

c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga

d)) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga

e) são inconsistentes entre si

Solução:

Vamos resolver esta questão por encadeamento lógico, como a própria questão sugere.

Temos as seguintes premissas:

P1: se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade;

P2: se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga;

P3: se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga.

Vamos usar a seguinte representação simbólica para as proposições simples:

P = Patrícia é uma boa amiga

R = Vítor diz a verdade

H = Helena é uma boa amiga



31


P1: P → R

P2: R → ~H

P3: ~H → P

Observemos que é muito fácil encadear estas premissas. Iniciaremos o encadeamento por P1, seguido de P2 e finalmente por P3, assim teremos:

P → R → ~H → P

Teremos os seguintes valores lógicos a serem analisados:

P → R → ~H → P

1ª linha: V V V V

2ª linha: F V V V

3ª linha: F F V V

4ª linha: F F F V

5ª linha: F F F F

Vamos analisar qual dessas linhas lógicas é aceitável.




Na 1ª coluna lógica, o valor de P é F, e na última coluna P é V. Isto é impossível! Logo, devemos descartar essa linha!









Então as linhas que possuem valores lógicos aceitáveis são: a 1ª e a 6ª linhas. Isto significa que teremos duas situações válidas para os valores lógicos das proposições simples.



32

- Da 1ª linha obtivemos os seguintes valores lógicos válidos:

P é V , R é V , ~H é V (H é F) , P é V

Ou seja:

Patrícia é uma boa amiga!

Vítor diz a verdade!

Helena não é uma boa amiga!

- Da 6ª linha obtivemos os seguintes valores lógicos válidos:

P é F , R é F , ~H é F (H é V) , P é F

Ou seja:

Patrícia não é uma boa amiga!

Vítor não diz a verdade!

Helena é uma boa amiga!

Por meio de uma análise rápida das alternativas da questão, percebemos que a alternativa correta só pode ser a D, ou seja, são admissíveis, neste encadeamento, as duas situações: Patrícia ser uma boa amiga, ou Patrícia não ser uma boa amiga. Em ambos os casos, as premissas são consistentes.

Resposta: alternativa D.

Esta última foi uma questão mais diferenciada. (E muito rara, também!)

É preciso que vocês estudem essa aula de hoje com muito carinho. Lendo atentamente, percebendo os detalhes das resoluções apresentadas e, obviamente, tentando resolver as questões do dever de casa, que se segue.

Iniciaremos a próxima aula com as respectivas resoluções!

Bom estudo a todos! Forte abraço e fiquem com Deus!

DEVER DE CASA

01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente,

a) branco, preto, azul

b) preto, azul, branco

c) azul, branco, preto

d) preto, branco, azul

e) branco, azul, preto



33

02. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:

a) Caio e José

b) Caio e Adriano

c) Adriano e Caio

d) Adriano e José

e) José e Adriano

03. (Técnico MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,

a) professor, médico, músico.

b) médico, professor, músico.

c) professor, músico, médico.

d) músico, médico, professor.

e) médico, músico, professor.

04. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:

1) Se Homero é culpado, então João é culpado.

2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.

3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.

4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.

As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:

a) Homero, João e Adolfo são inocentes.

b)) Homero, João e Adolfo são culpados.

c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.

d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.

e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.

05. (AFRE MG 2005 ESAF) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente:

a) Culpado, culpado, culpado.

b) Inocente, culpado, culpado.

c) Inocente, culpado, inocente.

d) Inocente, inocente, culpado.

e) Culpado, culpado, inocente.



34

06. (AFC/STN 2005 ESAF) Se Pedro não bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele lê poesias. Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias. Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana. Segue-se, portanto que, Pedro:

a) bebe, visita Ana, não lê poesias.

b) não bebe, visita Ana, não lê poesias.

c) bebe, não visita Ana, lê poesias.

d) não bebe, não visita Ana, não lê poesias.

e) não bebe, não visita Ana, lê poesias.

07. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que:

a) Lauro é culpado e Sônia é culpada

b) Sônia é culpada e Roberto é inocente

c)) Pedro é culpado ou Roberto é culpado

d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado

e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente



1

AULA SEIS: Diagramas Lógicos

Olá, amigos!

Iniciamos nossa presente aula com uma notícia: hoje trataremos de um assunto que estava previsto para ser estudado em um encontro futuro. Todavia, melhor analisando, julgamos que é mais conveniente – didaticamente – encaixarmos o assunto “Diagramas Lógicos” agora. Daí, a troca é apenas essa: Diagramas Lógicos em vez de Associação Lógica. Este último assunto será visto oportunamente.

Atentem que não haverá, portanto, qualquer redução do conteúdo inicialmente previsto para este curso, senão uma mera troca na seqüência dos dois referidos assuntos.

Nos próximos dias colocaremos no fórum do curso on-line, uma síntese dos métodos utilizados nas soluções de questões de estruturas lógicas.

Pois bem! Iniciemos com a resolução do dever de casa que estava pendente da aula passada. Adiante!

DEVER DE CASA

01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente,

a) branco, preto, azul

b) preto, azul, branco

c) azul, branco, preto

d) preto, branco, azul

e)) branco, azul, preto

Sol.:

O enunciado informa que:

- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta.

- Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul.

Também temos, no enunciado, as seguintes premissas:

P1: ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.

P2: ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.

P3: ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.

P4: ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.

Para resolvermos esta questão, devemos:

1º) considerar todas as premissas verdadeiras;

2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e

3º) Finalmente, substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos.



2

Vamos escolher a proposição Fiesta é branco que aparece na 1ª premissa, e atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Fiesta é branco é V.

Teste da hipótese: Fiesta é branco é V.

1º. F 1º. V

P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.

4º. F 3º. V

P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.

1º. F 2º. V

P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.

3º. F 1º. F

P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.

1º passo) Da hipótese Fiesta é branco é V (em P1), e como cada carro possui cores diferentes, teremos: Gol é branco é F (em P1), Fiesta é azul é F (em P3) e Fiesta é preto é F (em P4).

2º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Corsa é azul é V.

3º passo) Atribuir: Corsa é preto é F (em P4) e Corsa é azul é V (em P2).

4º passo) P2 é uma disjunção exclusiva, daí Gol é preto tem que ser F.

Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Claro que sim, pois obtemos que o Gol não é preto, nem branco e nem azul! Daí, a hipótese Fiesta é branco é Falsa! Vamos estabelecer outra hipótese (com relação ao Fiesta): Fiesta é preto é Verdade!

Teste da hipótese: Fiesta é preto é V.

2º. V 1º. F

P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.

1º. F 3º. V

P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.

1º. F 3º. V

P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.

1º. F 1º. V

P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.



3

1º passo) A hipótese é Fiesta é preto é V (em P4), e como cada carro deve ter cor diferente, teremos: Corsa é preto é F (em P4), Fiesta é branco é F (em P1), Gol é preto é F (em P2) e Fiesta é azul é F (em P3).

2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí Gol é branco é V.

3º passo) P2 e P3 devem ser verdadeiras, daí Corsa é azul é V.

Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Agora não houve!

Resultados obtidos:

Fiesta é preto!

Gol é branco!

Corsa é azul!


02. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:

a) Caio e José

b)) Caio e Adriano

c) Adriano e Caio

d) Adriano e José

e) José e Adriano

Sol.:


P1: ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço.

P2: ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho.

A receita de bolo é a mesma. Ou seja, devemos agora:



3º) substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos.

Vamos escolher a proposição Adriano é o mais velho que aparece na 2ª premissa, e atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Adriano é o mais velho é V.



4

Teste da hipótese: Adriano é o mais velho é V.

1º. F 1º. F

P1. ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço

1º. V 1º. F

P2. ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho

1º passo) Da hipótese Adriano é o mais velho é V (em P2), teremos, mesmo sem fazer nenhuma operação com conectivos, que: Caio é o mais velho é F (em P2), José é o mais velho é F (em P1) e Adriano é o mais moço é F (em P1).

Só tivemos um passo!

Ao verificar a primeira premissa concluímos facilmente que, com os valores lógicos obtidos, esta não será verdadeira! Sabemos que para uma disjunção exclusiva ser verdadeira, é preciso que uma das proposições seja verdadeira e a outra, falsa. Daí, ocorreu uma contradição, pois a premissa deveria ser verdadeira!

Agora, vamos testar a seguinte hipótese: Adriano é o mais moço é V.

Teste da hipótese: Adriano é o mais moço é V.

2º. F 1º. V

P1. ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço

1º. F 3º. V

P2. ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho

1º passo) Da hipótese Adriano é o mais moço é V (em P1), teremos, sem fazer nenhuma operação com conectivos, que: Adriano é o mais velho é F (em P2).

2º passo) P1 é uma disjunção exclusiva, daí José é o mais velho tem que ser F.

3º passo) P2 deve ser verdadeira, daí Caio é o mais velho é V.

Resultados obtidos: Adriano é o mais moço!

Caio é o mais velho!

Portanto, a resposta é a alternativa B.



5

03. (Técnico MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,

a) professor, médico, músico.

b) médico, professor, músico.

c) professor, músico, médico.

d) músico, médico, professor.

e)) médico, músico, professor.

Sol.:


P1: ou Ricardo é médico, ou Renato é médico.

P2: ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico.

P3: ou Renato é músico, ou Rogério é músico.

P4: ou Rogério é professor, ou Renato é professor.

Nossos passos de resolução serão aqueles mesmos:



3º) substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos.

Vamos escolher a proposição Rogério é professor que aparece na 4ª premissa, e atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Rogério é professor é V.

Teste da hipótese: Rogério é professor é V.

P1. ou Ricardo é médico, ou Renato é médico.

1º. F 1º. F

P2. ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico.

1º. F

P3. ou Renato é músico, ou Rogério é músico.

1º. V 1º. F

P4. ou Rogério é professor, ou Renato é professor.



6

1º passo) Da hipótese Rogério é professor é V (em P4), teremos sem fazer nenhuma operação com conectivos que: Renato é professor é F (em P4), Ricardo é professor é F (em P2) e Rogério é músico é F (em P3).

Só tivemos um passo!

Ao verificar a segunda premissa concluímos facilmente que, com os valores lógicos obtidos, esta disjunção exclusiva não é verdadeira! daí ocorre uma contradição, pois a premissa deveria ser verdadeira!

Agora, vamos testar a seguinte hipótese: Rogério é músico é V.

Teste da hipótese: Rogério é músico é V.

4º. V 3º. F

P1. ou Ricardo é médico, ou Renato é médico.

1º. F 1º. V

P2. ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico.

1º. F 1º. V

P3. ou Renato é músico, ou Rogério é músico.

1º. F 2º. V

P4. ou Rogério é professor, ou Renato é professor.

1º passo) Da hipótese Rogério é músico é V (em P4), teremos, sem precisar fazer nenhuma operação com conectivos, que: Ricardo é professor é F (em P2), Renato é músico é F (em P3) e Rogério é professor é F (em P4).

2º passo) P4 é uma proposição verdadeira, daí Renato é professor é V.

3º passo) Como Renato é professor é V, em P1 vamos atribuir a Renato é médico o valor F.

4º passo) P4 é uma proposição verdadeira, daí Ricardo é médico é V.

Resultados obtidos: Rogério é músico!

Renato é professor!

Ricardo é médico!




7

04. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:

1) Se Homero é culpado, então João é culpado.

2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.

3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.

4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.

As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:

a) Homero, João e Adolfo são inocentes.

b)) Homero, João e Adolfo são culpados.

c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.

d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.

e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.

Sol.:


P1: Se Homero é culpado, então João é culpado.

P2: Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.

P3: Se Adolfo é inocente, então João é inocente.

P4: Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.

Os passos de resolução são os mesmos já nossos conhecidos.

Vamos escolher a proposição Homero é culpado que aparece na 1ª e 4ª premissas, e atribuir o valor lógico V. Executaremos os seguintes passos abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Homero é culpado é V.

Teste da hipótese: Homero é culpado é V.

1º. V 2º. V

P1. Homero é culpado → João é culpado.

1º. F 3º. F

P2. Homero é inocente → (João ou Adolfo são culpados)

4º. F 3º. F

P3. Adolfo é inocente → João é inocente.

5º. V 1º. V

P4. Adolfo é culpado → Homero é culpado.



8

1º passo) Da hipótese Homero é culpado é V (em P1 e P4), teremos que: Homero é inocente é F (em P2).

2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí João é culpado tem que ser V.

3º passo) Como João é culpado é V, em P3 vamos atribuir a João é inocente o valor F e na premissa P2 a disjunção João ou Adolfo são culpados vai ter valor V.

4º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Adolfo é inocente tem que ser F.

5º passo) Como Adolfo é inocente é F, em P4 atribuiremos a Adolfo é culpado o valor V.

Resultados obtidos: Homero é culpado!

João é culpado!

Adolfo é culpado!

Não houve contradição entre os resultados obtidos! E todas as premissas assumiram o valor lógico verdade!


05. (AFRE MG 2005 ESAF) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente:

a) Culpado, culpado, culpado.

b) Inocente, culpado, culpado.

c)) Inocente, culpado, inocente.

d) Inocente, inocente, culpado.

e) Culpado, culpado, inocente.

Sol.:

Esta questão é muito parecida com a anterior. Para termos uma solução diferente da que fizemos anteriormente, vamos utilizar o método do encadeamento das premissas.


P1: Se André é culpado, então Bruno é inocente.

P2: Se André é inocente, então Bruno é culpado.

P3: Se André é culpado, então Leo é inocente.

P4: Se André é inocente, então Leo é culpado.

P5: Se Bruno é inocente, então Leo é culpado



9

Vamos atribuir letras as proposições simples;

A = André é inocente

B = Bruno é inocente

L = Leo é inocente

Traduzindo as premissas para a forma simbólica, obteremos:

P1: ~A → B

P2: A → ~B

P3: ~A → L

P4: A → ~L

P5: B → ~L

Agora, vamos efetuar o encadeamento das premissas. Da aula passada, vimos que não há uma regra para a seqüência em que ficarão as premissas, devemos fazer por tentativa e erro, e modificando as premissas de forma que a segunda parte da condicional de uma premissa seja igual à primeira parte da condicional da premissa seguinte.

Para modificar as proposições condicionais devemos utilizar a regra de equivalência: (p → q) = (~q → ~p). (Podemos memorizar essa equivalência com as palavras inverte e troca. Vejamos: inverte-se a ordem das proposições e trocam-se os sinais. Daí, apenas inverte e troca!)

Vamos tentar montar o quebra-cabeça:

- Vamos iniciar pelo equivalente condicional de P2: B → ~A

- Depois da P2 vamos colocar a premissa P1: ~A → B

- Depois da P1 vamos colocar a premissa P5: B → ~L

- Depois da P5 vamos colocar o equivalente condicional de P3: ~L → A

- Finalmente, depois da P4 vamos colocar a premissa P4: A → ~L

Assim, teremos o seguinte encadeamento:

B → ~A → B → ~L → A → ~L

Uma vez que estamos trabalhando apenas com estruturas condicionais, devemos lembrar que a única situação inadmissível para uma condicional é V na primeira parte e F na segunda. Assim, de modo que nunca ponhamos um V antes de um F, teremos os seguintes possíveis valores lógicos a serem analisados:

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

B → ~A → B → ~L → A → ~L

1ª linha: V V V V V V

2ª linha: F V V V V V

3ª linha: F F V V V V

4ª linha: F F F V V V

5ª linha: F F F F V V

6ª linha: F F F F F V

7ª linha: F F F F F F



10

Vamos analisar qual dessas linhas lógicas é aceitável.


Na 2ª coluna de valores lógicos ~A é V e na 5ª coluna A também é V. Isto é impossível! Daí devemos descartar esta 1ª linha!


Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 1ª linha!


Na 1ª coluna de valores lógicos B é F e na terceira coluna B é V. Isto é impossível! Daí devemos descartar esta 3ª linha!


Não há contradições entre os valores lógicos, então mantemos esta linha!


Na 4ª coluna de valores lógicos ~L é F e na sexta coluna ~L é V. Isto é impossível! Daí devemos descartar esta 5ª linha!





Da 4ª linha que restou, obtemos os seguintes valores lógicos:

A é V , daí: André é inocente!

B é F , daí: Bruno é culpado!

~L é F (e L é V) , daí: Leo é inocente!


06. (AFC/STN 2005 ESAF) Se Pedro não bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele lê poesias. Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias. Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana. Segue-se, portanto que, Pedro:

a) bebe, visita Ana, não lê poesias.

b)) não bebe, visita Ana, não lê poesias.

c) bebe, não visita Ana, lê poesias.

d) não bebe, não visita Ana, não lê poesias.

e) não bebe, não visita Ana, lê poesias.



11

Sol.: Podemos resolver esta questão pelo Método da Atribuição, ou pelo Método do Encadeamento, e também pelo Método da Tabela-Verdade. Vamos escolher este último método para a solução desta questão.


P1: Se Pedro não bebe, ele visita Ana.

P2: Se Pedro bebe, ele lê poesias.

P3: Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias.

P4: Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana.


B = Pedro bebe

A = Pedro visita Ana

P = Pedro lê poesias


P1: ~B → A

P2: B → P

P3: ~A → ~P

P4: P → ~A

Devemos construir a tabela-verdade para cada uma das premissas! Como faremos uma comparação entre os valores lógicos obtidos das premissas é interessante que construamos uma única tabela que contenha todas elas, conforme é mostrado abaixo.

P1 P2 P3 P4

1ª B A P ~B ~B → A B P B → P ~A ~P ~A → ~P P ~A P → ~A

2ª V V V F V V V V F F V V F F

3ª V V F F V V F F F V V F F V

4ª V F V F V V V V V F F V V V

5ª V F F F V V F F V V V F V V

6ª F V V V V F V V F F V V F F

7ª F V F V V F F V F V V F F V

8ª F F V V F F V V V F F V V V

9ª F F F V F F F V V V V F V V

Temos que verificar qual é a linha da tabela acima cujos valores lógicos das premissas são todos V. Encontramos esta situação na 7ª linha! Passemos a observar na 7ª linha quais são os valores lógicos das proposições simples: B, A e P.

Resultados: B é F , daí: Pedro não bebe!

A é V , daí: Pedro visita Ana!

P é F , daí: Pedro não lê poesias!




12

07. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que:

a) Lauro é culpado e Sônia é culpada

b) Sônia é culpada e Roberto é inocente

c)) Pedro é culpado ou Roberto é culpado

d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado

e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente

Sol.:


P1: Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente.

P2: Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente.

P3: Pedro é culpado ou Sônia é culpada.


P = Pedro é inocente

L = Lauro é inocente

R = Roberto é inocente

S = Sônia é inocente


P1: P → L

P2: R → S

P3: ~P ou ~S

Nesta questão, há quatro proposições simples (P, L, R e S), de sorte que fica muito trabalhoso utilizar o método da Tabela-verdade. Como nas alternativas de resposta aparece uma disjunção na alternativa “C” e uma condicional na alternativa “D”, é mais aconselhável utilizarmos o Método da Conclusão Falsa.

Este método consiste, conforme aprendemos, em se verificar a existência simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras.

Obviamente que, em enunciados de estruturas lógicas, somente são fornecidas as premissas, e a conclusão será uma das cinco alternativas da questão.

Daí, devemos realizar testes com as opções de resposta, a fim de descobrimos a correta, que será aquela em que a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras não for possível.

Pela regra de precedência dos testes das alternativas, iniciaremos pela alternativa C.

- Teste da alternativa C (Pedro é culpado ou Roberto é culpado):


Conclusão: ~P ou ~R



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Fazendo a conclusão falsa teremos: (~P ou ~R) é F . Sabemos que uma disjunção é falsa somente quando os termos que a compõe também são falsos.

Daí, teremos que ~P é F (e P é V), e ~R é F (e R é V).

Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo:

1º. V 2º. V

P1. P → L

1º. V 3º. V

P2. R → S

1º. F 4º. F

P3. ~P → ~S

1º passo) Substituir as proposições simples pelos valores lógicos obtidos acima, ou seja, P por V (em P1), ~P por F (em P3) e R por V (em P2).

2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí L é V.

3º passo) P2 deve ser verdadeira, daí S é V.

4º passo) Do resultado obtido no 3º passo, vamos substituir ~S por F (em P3).

Opa! A premissa P3 deve ser verdadeira, mas pelos valores lógicos que aparecem em P3, a premissa é falsa!

Daí, utilizando a alternativa C como conclusão falsa, concluímos que não é possível a existência de premissas verdadeiras e conclusão falsa.




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É isso! Passemos ao nosso assunto de hoje!

Na aula quatro, vimos a importância do uso de diagramas de círculos na análise da validade dos argumentos. Hoje, vamos tecer mais detalhes sobre o uso de diagramas de círculos (ou diagramas lógicos), e também sobre questões de lógica que envolvem as palavras todo, algum e nenhum.

São ditas proposições categóricas as seguintes:

Todo A é B

Nenhum A é B

Algum A é B e

Algum A não é B

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A.

Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.

Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam.

Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B.

Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A.

Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.

Como nesta aula teremos várias questões envolvendo as palavras todo, algum e

nenhum, resolvemos listar algumas regras que já foram vistas na aula dois.

Todo A é B = Todo A não é não B Algum A é B = Algum A não é não B Nenhum A é B = Nenhum A não é não B Todo A é não B = Todo A não é B Algum A é não B = Algum A não é B Nenhum A é não B = Nenhum A não é B Nenhum A é B = Todo A é não B Todo A é B = Nenhum A é não B A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa)

A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e vice-versa)



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Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas

Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B. pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

Nenhum A é B é falsa.

Algum A é B é verdadeira.

Algum A não é B é falsa.

2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

Todo A é B é falsa.

Algum A é B é falsa.

Algum A não é B é verdadeira.

3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:

Nenhum A é B é falsa.

Todo A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).

Algum A não é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4).

A

B

A B

A B

A = B

A B

B A A = B

1 2

3 4

1 2



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4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

Todo A é B é falsa.

Nenhum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2).

Algum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3).

Alguém vai perguntar: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor é buscar entender tudo isso! A rigor, conforme veremos pela resolução das questões abaixo, conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dos diagramas lógicos!

Ou seja, a coisa é bem mais fácil do que aparenta. Passemos às resoluções!

Exercício: (Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

Sol.:

livro

instrutivo

A B A

B 1 2

3

A B



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Pode haver questão mais fácil que esta?

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa!

A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam como todos os elementos do diagrama vermelho estão inseridos no diagrama azul. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

Resposta: opção B.

01. (TTN-98 ESAF) Se é verdade que "Alguns A são R" e que "Nenhum G é R", então é necessariamente verdadeiro que:

a)) algum A não é G; d) algum G é A;

b) algum A é G. e) nenhum G é A;

c) nenhum A é G;

Sol.: Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas: 1. Alguns A são R 2. Nenhum G é R Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta. Na verdade, para esta questão, não é necessário fazer representações gráficas, pois se observarmos as alternativas, já podemos excluir as alternativas “b” e “d” (pois algum A é G é equivalente a algum G é A, e não podemos ter duas respostas corretas), e também excluir as alternativas “c” e “e” (pois nenhum A é G é o mesmo que nenhum G é A). Só restando-nos a alternativa “a” para marcar como correta. Mas para efeitos didáticos vamos também resolver esta questão por diagramas de círculos! Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos separados, sem nenhum ponto em comum. Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão. Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações.

G R

R A



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Para facilitar a solução da questão não faremos todas as representações gráficas possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão, desenhamos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as alternativas que foram verdadeiras no teste anterior. Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção entre eles.

Teste das alternativas: 1º) Teste da alternativa “a” (algum A não é G) Observando os desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira

para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão em G.

Passemos para o teste da próxima alternativa. 2º) Teste da alternativa “b” (algum A é G) Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está

mais a direita, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que não estão em G.

Pelo mesmo motivo a alternativa “d” não é correta. Passemos para a próxima. 3º) Teste da alternativa “c” (Nenhum A é G) Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está

mais a esquerda, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G.

Pelo mesmo motivo a alternativa “e” não é correta.

Portanto, a resposta é a alternativa “A”.

02. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que

a) todo C é B

b) todo C é A

c)) algum A é C

d) nada que não seja C é A

e) algum A não é C

G R A A



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Sol.: Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas: 1. Existe pelo menos um A que é B (= Algum A é B) 2. Todo B é C Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta. A alternativa “d” traz a seguinte sentença: nada que não seja C é A, isto é o mesmo que nenhum não C é A, ou de outra forma nenhum A é não C. Podemos também passar para a forma equivalente: Todo A é C. Daí, a alternativa “d” ficou igual a alternativa “b”, portanto estas alternativas não podem ser resposta da questão. Vamos iniciar pela representação da proposição categórica Todo B é C: Para a proposição categórica do Algum A é B, usaremos a representação mostrada abaixo: Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e C, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, B e C). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações. Usando o mesmo procedimento da questão anterior, passaremos ao teste das alternativas usando o seguinte desenho (colocamos duas situações para o conjunto A):

1º) Teste da alternativa “a” (todo C é B) Observando o desenho acima, claramente esta alternativa está errada. Passemos para o teste da próxima alternativa. 2º) Teste da alternativa “b” (todo C é A) Observando o desenho acima, claramente esta alternativa está errada. Passemos para a próxima.

B

C

B A

B

C

A A



20

3º) Teste da alternativa “c” (algum A é C) Para as duas representações feitas para o conjunto A, esta alternativa é verdadeira. 4º) Teste da alternativa “d” (nada que não seja C é A) Vimos que “nada que não seja C é A” é o mesmo que “todo C é A”, e igualmente a

alternativa b, este item é incorreto. 5º) Teste da alternativa “e” (algum A não é C) Observe que em uma das representações do conjunto A, todos os elementos de A estão

dentro de C, e portanto esta alternativa é incorreta.

Daí, a resposta é a alternativa “C”. 03. (SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de

inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:

a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.

b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.

c)) nenhum aluno de português é aluno de matemática.

d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.

e) todos os alunos de informática são alunos de português.

Sol.:

O enunciado traz as seguintes proposições categóricas:

1. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês

2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história

3. Todos os alunos de português são também alunos de informática

4. Alguns alunos de informática são também alunos de história

5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês

6. Nenhum aluno de português é aluno de história

Veja que há várias proposições categóricas, e devemos fazer a representação gráfica de

cada uma para encontrar a resposta correta.

Por qual proposição categórica devemos iniciar os desenhos dos círculos? Não há uma

ordem única na realização dos desenhos, devemos ir rabiscando um a um, de forma que ao

final dos desenhos, tenhamos atendido a todas as proposições categóricas.

Após os rabiscos efetuados para cada proposição categórica, chegamos ao seguinte

desenho final:



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Teste das Alternativas

1°) Teste da alternativa “a” (pelo menos um aluno de português é aluno de inglês)

Pelo desenho, já descartamos essa alternativa.

2°) Teste da alternativa “b” (pelo menos um aluno de matemática é aluno de história)

Também pelo desenho, descartamos essa alternativa.

3°) Teste da alternativa “c” (nenhum aluno de português é aluno de matemática)

Observando o desenho, vemos claramente que este item é verdadeiro.

4°) Teste da alternativa “d” (todos os alunos de informática são alunos de matemática)

Pelo desenho, temos que esta alternativa está errada.

5°) Teste da alternativa “e” (todos os alunos de informática são alunos de português)

Pelo desenho, temos que esta alternativa também está errada.


04. (AFCE TCU 99 ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente,

a) todo responsável é artista

b) todo responsável é filósofo ou poeta

c)) todo artista é responsável

d) algum filósofo é poeta

e) algum trabalhador é filósofo

Sol.:

O enunciado traz as seguintes afirmações:

1. Todo trabalhador é responsável.

2. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta.

3. Não há filósofo e não há poeta que não seja responsável.

Iniciaremos pelo desenho da primeira afirmação “Todo trabalhador é responsável”.

Mat

Ing Hist Info

Port



22

Vamos passar a análise da terceira afirmação, porque esta faz uma relação entre o

conjunto dos responsáveis e os conjuntos dos filósofos e o dos poetas, que permitirá fazer o

desenho destes dois últimos conjuntos. A terceira afirmação feita foi: “Não há filósofo e não

há poeta que não seja responsável”. Isto é o mesmo que dizer: “Não há filósofo irresponsável

e também não há poeta irresponsável”. Permanece o mesmo sentido! Daí, os conjuntos dos

filósofos e o dos poetas vão estar dentro do conjunto dos responsáveis.

Observe, no desenho acima, que os três conjuntos (trabalhadores, filósofos e poetas)

estão dentro do conjunto dos responsáveis. Desenhamos sem intersecção entre eles. Como a

questão não afirma sobre a relação entre estes três conjuntos, então o desenho acima é uma

das situações possíveis, mas é claro que existem outras situações, como por exemplo, uma

intersecção entre os três.

Na segunda afirmação, quando se diz que “Todo artista, se não for filósofo, ou é

trabalhador ou é poeta”, pelo raciocínio lógico, isto é o mesmo que afirmar: “Todo artista ou é

filósofo ou é trabalhador ou é poeta”. Permanece o mesmo sentido! Desta forma, o conjunto

dos artistas ou está dentro do conjunto dos filósofos ou está dentro do conjunto dos

trabalhadores ou dentro do conjunto dos poetas.

Responsáveis

Trabalhadores

Responsáveis

Filósofos

Trabalhadores

Poetas



23

O próximo passo é analisar cada uma das alternativas a fim de encontrar a resposta

correta. Lembrando que a resposta correta é aquela que é verdadeira para qualquer situação

desenhada para os conjuntos. Após estas considerações, concluímos facilmente que a

alternativa correta só pode ser a “C”.


Responsáveis

Filósofos

Trabalhadores

Poetas

Artistas

Artistas Artistas



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Dever de Casa

01. (AFCE TCU 99 ESAF) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que "Nenhum músico é poeta", então, também é necessariamente verdade que

a) nenhum músico é escritor

b) algum escritor é músico

c) algum músico é escritor

d) algum escritor não é músico

e) nenhum escritor é músico

02. (MPOG 2002 ESAF) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:

a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio.

b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.

d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

03. (AFC-STN 2000 ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:

a) nenhum professor de violão é professor de canto

b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro

c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro

d) todos os professores de piano são professores de canto

e) todos os professores de piano são professores de violão

04. (MPOG 2002 ESAF) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:

a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.



25

c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

e) nenhuma menina alegre é loira.

05. (SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:



c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.



06. (SERPRO 2001 ESAF) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário estiveram, antes, na festa de aniversário de Betinha. Como nem todas amigas de Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha, conclui-se que, das amigas de Aninha,

a) todas foram à festa de Aninha e algumas não foram à festa de Betinha.

b) pelo menos uma não foi à festa de Aninha.

c) todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.

d) algumas foram à festa de Aninha mas não foram à festa de Betinha.

e) algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.

Gabarito: 01. d 02. b 03. a 04. e 05. c 06. b



1

AULA SETE: Associação Lógica

Olá, amigos!

Conforme combinado na aula passada, nosso assunto de hoje será Associação Lógica. Com isso, doravante nossa programação voltará ao normal, conforme estabelecido na aula de apresentação.

Podemos dizer que ingressamos agora em uma segunda fase do nosso curso. A parte mais exigente, que envolve um maior arcabouço teórico, já passou! Daqui para frente, trataremos de assuntos cujas questões são mais práticas e diretas.

Iniciaremos, como já é de praxe, resolvendo as questões pendentes do último dever de casa. Adiante!

DEVER DE CASA

01. (AFCE TCU 99 ESAF) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que

"Nenhum músico é poeta", então, também é necessariamente verdade que

a) nenhum músico é escritor

b) algum escritor é músico

c) algum músico é escritor

d) algum escritor não é músico

e) nenhum escritor é músico

Sol.:

Tratemos de traduzir as frases do enunciado para a linguagem dos diagramas. A começar pela primeira: Alguns escritores são poetas. Como é que fica? Assim:

Agora, completando a resolução, traduziremos a segunda frase: Nenhum músico é poeta. Teremos três situações possíveis para enquadrar a circunferência dos músicos, sempre obedecendo ao comando da referida frase. Teremos:

escritores poetas

escritores poetas

mús.

mús. mús.



2

Ficou claro? São três as situações em que pode se encontrar o diagrama referente aos músicos! E em todos esses casos, estará obedecida a ordem que nenhum músico seja poeta!

Uma vez concluído esse desenho, fica muito fácil confrontá-lo com as opções de resposta!

Concluiremos, de pronto, que a única resposta necessariamente verdadeira é a letra D. Vejamos as opções, uma a uma.

Opção A) nenhum músico é escritor.

É falsa por quê? Por conta das duas possibilidades em destaque abaixo:

Opção B) Algum escritor é músico.

Falsa! Por conta da seguinte possibilidade, em destaque abaixo:

Opção C) Algum músico é escritor.

Falsa também, em face da seguinte possibilidade:

escritores poetas

mús.

mús. mús.

escritores poetas

mús.

mús. mús.

escritores poetas

mús.

mús. mús.



3

Opção E) Nenhum escritor é músico.

Falso também por força das duas possibilidades em destaque abaixo:

Por via de exceção, restou-nos a letra D, que será a resposta!

Mas onde está o algum escritor que não é músico? Na interseção dos diagramas dos escritores e dos poetas. Nesta pequena área, há pessoas que são, ao mesmo tempo, escritores e poetas. Logo, neste espaço há escritores que jamais serão músicos!

Logo: Resposta) Letra D.

02. (MPOG 2002 ESAF) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:

a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio.

b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.

d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Sol.:

Construindo a representação dos diagramas para a primeira frase (Todos os que foram à formatura foram ao casamento), teremos:

escritores poetas

mús.

mús. mús.

escritores poetas

mús.

mús. mús.



4

Segunda frase: nem todos os amigos foram ao casamento! Teremos as seguintes possibilidades:

Pelo desenho acima, fica quase imediato concluir que a resposta da questão é a letra B: dos amigos de Hélcio, pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

03. (AFC-STN 2000 ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:

a) nenhum professor de violão é professor de canto

b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro

c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro

d) todos os professores de piano são professores de canto

e) todos os professores de piano são professores de violão

formatura

casório

formatura

casório

amigos

amigos



5

Sol.: Esta questão é semelhante a uma que foi resolvida na aula passada (questão 3). Inclusive, ao construirmos os diagramas, obedecendo às frases do enunciado, chegaremos ao mesmo desenho, que é o seguinte:

Vamos fazer passo a passo, até chegarmos ao desenho acima.

Começando pela primeira frase: todo professor de canto é professor de dança.

A segunda frase reza que nenhum professor de dança é professor de teatro. Daí, teremos:

Segundo a terceira frase, todos os professores de violão são também professores de piano.

Ora, até então, estávamos trabalhando com três grupos: professores de dança, canto e teatro. Nesta nova frase, surgiram dois novos grupos. Daí, como não temos ainda como saber a localização destes novos em relação aos primeiros grupos, preferível será deixarmos para trabalhar essa terceira frase daqui a pouco.

Adiante!

Quarta frase: algum professor de piano é professor de teatro.

Teremos:

canto

dança teatro piano

violão

canto

dança

canto

dança teatro



6

Agora, retornaremos à terceira frase – todo professor de violão é professor de piano – e teremos que:

Por fim, a derradeira frase somente confirma a correção do desenho acima, quando diz que não há um só professor que ensine, ao mesmo tempo, piano, violão e teatro.

Pronto!

Em vista do desenho acima, de imediato concluímos que a opção A está perfeitamente escorreita: (nenhum professor de violão é professor de canto).

Logo, resposta: Letra A.

04. (MPOG 2002 ESAF) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:

a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

e) nenhuma menina alegre é loira.

canto

dança teatro piano

canto

dança teatro piano

violão



7

Sol.: Mais uma questão semelhante e de desenho idêntico! Vejamos:

Pelo desenho acima, fica claro que a opção correta é a letra E: (nenhum menina alegre é loira).

Logo, resposta: Letra E.

05. (SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:



c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.



Sol.: Mais uma questão semelhante e de raciocínio e desenho idênticos! Vejamos:

É impressionante como se repetem as resoluções extraídas de questões de provas diferentes! Mudam as palavras, mas o raciocínio é o mesmo!

Daí, pelo desenho acima, fica evidenciado que a opção correta é a letra C: (nenhum aluno de português é aluno de matemática).

Logo, resposta: Letra C.

loiras

altas e magras

olhos azuis

cabelos crespos

alegres

mat.

inglês história informática

português



8

06. (SERPRO 2001 ESAF) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário estiveram, antes, na festa de aniversário de Betinha. Como nem todas amigas de Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha, conclui-se que, das amigas de Aninha,

a) todas foram à festa de Aninha e algumas não foram à festa de Betinha.

b) pelo menos uma não foi à festa de Aninha.

c) todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.

d) algumas foram à festa de Aninha mas não foram à festa de Betinha.

e) algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.

Sol.:

Antes de resolver, façamos um paralelo entre este enunciado e o da segunda questão deste nosso dever de casa. Vejamos:

(SERPRO 2001 ESAF) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário estiveram, antes, na festa de aniversário de Betinha. Como nem todas amigas de Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha, conclui-se que, das amigas de Aninha,

(MPOG 2002 ESAF) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:

Ora, se olharmos com atenção, veremos que a essência destes dois enunciados é a mesma. O que muda são os personagens e os eventos. Na questão de cima, existe a Aninha, e os eventos são o aniversário de Aninha e o aniversário de Betinha. Na questão de baixo, teremos o Hélcio, e os eventos são a formatura do Hélcio e o casamento do Hélcio.

Em suma, as questões são idênticas. É o mesmo que aprender a somar maçãs, e agora alguém pedir que você some pêras. Quem sabe somar soma qualquer coisa!

Pois bem, reprisando o raciocínio desenvolvido na segunda questão, chegaremos ao seguinte desenho:

Resta evidente que a única resposta compatível com o desenho acima é a opção B – pelo menos uma amiga de Aninha não foi à festa de Aninha.

Resposta) Letra B.

Festa da Aninha

Festa da Betinha

Amigas de Aninha

Amigas de Aninha



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Passemos a falar em nosso assunto de hoje: Associação Lógica!

Como dissemos no início desta aula, os assuntos que veremos, de hoje em diante, serão menos teóricos e mais práticos.

Aprenderemos a reconhecer e a resolver questões de associação lógica do jeito mais rápido possível: resolvendo-as!

Passemos, pois, a uma série de resoluções que enunciados de associação, cobrados em provas recentes, e vejamos como é fácil trabalhá-las!

01. (AFTN 96 ESAF) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente:

a) cinza, verde e azul d)) cinza, azul e verde b) azul, cinza e verde e) verde, azul e cinza c) azul, verde e cinza

Sol.: Temos as seguintes pessoas: Artur, Bernardo e César. Temos os seguintes carros: Brasília, Parati e Santana. As cores dos carros são: cinza, verde, e azul. São feitas as seguintes afirmações verdadeiras: 1. O carro de Artur é cinza; 2. O carro de César é o Santana; 3. O carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. A questão pede a associação entre cada carro e a sua cor. Vamos fazer um quadro relacionando os nomes das pessoas com os modelos de carros, e outro quadro relacionando os nomes das pessoas com as cores dos carros: Artur Bernardo César Artur Bernardo César Brasília cinza Parati verde Santana azul Agora vamos colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação correta, e um N quando incorreta. Em cada quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna. Sempre é assim! Pois se tivermos, por exemplo, dois X na 1ª coluna do 1º quadro, isto significa que Artur tem dois carros. E se não tivermos X nessa coluna, significa que Artur não tem carro. Ambas essas situações não interessam as questões do tipo associação. Portanto, sempre que colocarmos um X em uma célula de um quadro, automaticamente devemos colocar N nas outras células da mesma linha e mesma coluna! 1º passo: O carro de Artur é cinza! Marcamos um X na célula correspondente a Artur e cinza. Automaticamente, marcamos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.

Artur Bernardo César Artur Bernardo César Brasília cinza X N N Parati verde N

Santana azul N



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2º passo: O carro de César é o Santana! Marcamos um X na célula correspondente a César e Santana. Automaticamente, marcamos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.

Artur Bernardo César Artur Bernardo César Brasília N cinza X N N Parati N verde N

Santana N N X azul N 3º passo: O carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília! Marcamos um N na célula correspondente a Bernardo e verde, e outro N na célula correspondente a Bernardo e Brasília.

Artur Bernardo César Artur Bernardo César Brasília N N cinza X N N Parati N verde N N

Santana N N X azul N 4º passo: Cada linha e coluna devem conter uma célula marcada com X! Assim, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as outras células.

Artur Bernardo César Artur Bernardo César Brasília X N N cinza X N N Parati X N verde N N X

Santana N N X azul N X Depois, marcamos N para completar as linhas (ou colunas).

Artur Bernardo César Artur Bernardo César Brasília X N N cinza X N N Parati N X N verde N N X

Santana N N X azul N X N Conclusão: Artur tem uma Brasília cinza! Bernardo tem uma Parati azul! César tem um Santana verde! Resposta: alternativa D. 02. (ANEEL 2004 ESAF) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e

vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”.

Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”. Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”.

Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”! Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente,



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a) rainha, bruxa, princesa, fada. b) rainha, princesa, governanta, fada. c) fada, bruxa, governanta, princesa. d)) rainha, princesa, bruxa, fada. e) fada, bruxa, rainha, princesa.

Temos as seguintes pessoas: Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla. Temos os seguintes papéis da peça de teatro: Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. São feitas as seguintes afirmações:

1. Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”. (Palpites errados!)

Daí, é verdade que: Fátima não é a Governanta, e Beatriz não é a Fada, e Sílvia não é a Bruxa, e Carla não é a Princesa!

2. Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. (Palpites errados!) Daí, é verdade que: Fátima não é a Princesa e Fátima não é a Bruxa! 3. Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”. (Palpites errados!) Daí, é verdade que: Silvia não é a Governanta e Silvia não é a Rainha! 4. Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. (Palpite errado!) Daí, é verdade que: Silvia não é a Princesa! 5. Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”. (Palpites errados!) Daí, é verdade que: Carla não é a Bruxa e Beatriz não é a Bruxa!

A questão pede a associação entre os nomes das pessoas e os respectivos papéis de teatro. Vamos fazer um quadro relacionando os nomes das pessoas com os respectivos papéis de teatro.

Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta

Agora vamos colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação correta, e um N quando incorreta. No quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna. Se tivermos, por exemplo, dois X na 1ª coluna, significa que Fátima tem dois papéis. E se não tivermos X nessa coluna, significa que Fátima não tem um papel de teatro. 1º passo: Fátima não é a Governanta, e Beatriz não é a Fada, e Sílvia não é a Bruxa,

e Carla não é a Princesa! Marcamos um N na célula correspondente a Fátima e Governanta, outro N na célula correspondente a Beatriz e Fada, outro N na célula correspondente a Sílvia e Bruxa, e finalmente um N na célula correspondente a Carla e Princesa.



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Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada N Bruxa N Rainha Princesa N Governanta N

2º passo: Fátima não é a Princesa e Fátima não é a Bruxa! Marcamos um N na célula correspondente a Fátima e Princesa, e outro N na célula correspondente a Fátima e Bruxa.

Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada N Bruxa N N Rainha Princesa N N Governanta N

3º passo: Silvia não é a Governanta e Silvia não é a Rainha! Marcamos um N na célula correspondente a Silvia e Governanta, e outro N na célula correspondente a Silvia e Rainha.

Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada N Bruxa N N Rainha N Princesa N N Governanta N N

4º passo: Silvia não é a Princesa! Marcamos um N na célula correspondente a Silvia e Princesa.

Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada N Bruxa N N Rainha N Princesa N N N Governanta N N

5º passo: Carla não é a Bruxa e Beatriz não é a Bruxa! Marcamos um N na célula correspondente a Carla e Bruxa, e outro N na célula correspondente a Beatriz e Bruxa.

Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada N Bruxa N N N N Rainha N Princesa N N N Governanta N N

6º passo: Cada linha e coluna devem conter uma célula marcada com X! Assim, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as outras células.



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Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada N X Bruxa N N X N N Rainha N Princesa N N N Governanta N N

Depois, marcamos N para completar as linhas (ou colunas) que já possui um X.

Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada N N N X N Bruxa N N X N N Rainha N N Princesa N N N N Governanta N N N

Novamente, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as outras células.

Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada N N N X N Bruxa N N X N N Rainha X N N Princesa N X N N N Governanta N N N

Novamente, marcamos N para completar as linhas (ou colunas) que já possui um X.

Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada N N N X N Bruxa N N X N N Rainha X N N N N Princesa N X N N N Governanta N N N N

Novamente, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as outras células.

Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada N N N X N Bruxa N N X N N Rainha X N N N N Princesa N X N N N Governanta N N N N X

Conclusão: Fátima é a Rainha! Beatriz é a Princesa! Gina é a Bruxa! Sílvia é a Fada! Carla é a Governanta! Resposta: alternativa D.



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03. (AFC 2002 ESAF) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loura é Sara e vai à Espanha. b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e)) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Sol.: Temos as seguintes amigas: Bete, Elza e Sara. Características de cor de cada uma delas: loura, morena e ruiva. Elas viajaram para os seguintes países: Alemanha, França e Espanha. São feitas as seguintes afirmações verdadeiras: 1. A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. 2. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. 3. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”. Vamos fazer um quadro relacionando os nomes das amigas com as tonalidades de cada uma, e outro quadro relacionando os destinos de viagem com as tonalidades. Não há necessidade de fazer um quadro relacionando os nomes das amigas com os destinos de viagem, porque não há relação entre estes dois últimos nas afirmações verdadeiras citadas acima. Mas pode fazer mais este quadro se vocês desejarem!

Bete Elza Sara Alemanha França Espanha loura loura morena morena ruiva ruiva

Agora vamos colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação correta, e um N quando incorreta. Em cada quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna. 1º passo: A loura: “Não vou à França nem à Espanha”! Marcamos um N na célula correspondente a loura e França, e outro N na célula correspondente a loura e Espanha.

Bete Elza Sara Alemanha França Espanha loura loura N N morena morena ruiva ruiva

Daí, já podemos marcar um X na célula vazia da 1ª linha do 2º quadro, e consequentemente marcamos N para completar a 1ª coluna do 2º quadro.

Bete Elza Sara Alemanha França Espanha loura loura X N N morena morena N ruiva ruiva N



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2º passo: A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”! Marcamos um N na célula correspondente à morena e Elza, e outro N na célula correspondente a morena e Sara.

Bete Elza Sara Alemanha França Espanha loura loura X N N morena N N morena N ruiva ruiva N

Daí, já podemos marcar um X na célula vazia da 2ª linha do 1º quadro, e consequentemente marcamos N para completar a 1ª coluna do 1º quadro.

Bete Elza Sara Alemanha França Espanha loura N loura X N N morena X N N morena N ruiva N ruiva N

3º passo: A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”! Marcamos um N na célula correspondente a ruiva e França, e outro N na célula correspondente a Elza e França (na verdade não fizemos esse quadro, então guarde este resultado). Observe que podemos obter mais uma informação da afirmação acima: A ruiva não é Elza! Assim, marcamos um N na célula correspondente a ruiva e Elza.

Bete Elza Sara Alemanha França Espanha loura N loura X N N morena X N N morena N ruiva N N ruiva N N

Daí, já podemos marcar um X nas células vazias das linhas e colunas.

Bete Elza Sara Alemanha França Espanha loura N loura X N N morena X N N morena N X ruiva N N X ruiva N N X

Vamos completar com N as células das linhas e colunas que já tem X.

Bete Elza Sara Alemanha França Espanha loura N N loura X N N morena X N N morena N X N ruiva N N X ruiva N N X

E finalmente:

Bete Elza Sara Alemanha França Espanha loura N X N loura X N N morena X N N morena N X N ruiva N N X ruiva N N X

Conclusão: Do 1º quadro temos: Bete é morena. Elza é loura. Sara é ruiva.



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Do 2º quadro temos: A loura vai à Alemanha. A morena vai à França. A ruiva vai à Espanha. Assim, temos: Bete é morena e vai à França. Elza é loura e vai à Alemanha. Sara é ruiva e vai à Espanha. Resposta: alternativa E. 04. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há

apenas um tabuleiro, eles combinam que: a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas; b) marido e esposa não jogam entre si. Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectivamente:

a) Celina e Alberto d) Ana e Alberto b) Ana e Carlos e) Celina e Gustavo c) Júlia e Gustavo

Sol.: Temos as seguintes mulheres: Celina, Ana, Júlia e Helena. Temos os seguintes homens: Alberto, Carlos, Gustavo e Tiago. Eles combinam que:

a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas; b) marido e esposa não jogam entre si.

Temos as seguintes partidas:

MULHERES HOMENS

1ª partida: Celina x Alberto 2ª partida: Ana X marido de Júlia 3ª partida: esposa de Alberto X marido de Ana 4ª partida: Celina X Carlos 5ª partida: esposa de Gustavo X Alberto

Primeiramente, vamos verificar qual o nome de mulher que mais aparece nas partidas acima. Celina e Ana aparecem mais vezes! Então, vamos analisar quem pode ser o marido de Celina. - Análise para obter o nome do marido de Celina: 1º passo: Da 1ª partida temos que Alberto não pode ser marido de Celina.

Alberto Carlos Gustavo Tiago 2º passo: Da 4ª partida temos que Carlos não pode ser marido de Celina.

Carlos Gustavo Tiago



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3º passo: Como a Celina jogou a 4ª partida, então, pelo acordo entre os casais, ela não pode jogar a partida seguinte (5ª). Daí, Celina não é esposa de Gustavo.

Gustavo Tiago Concluímos que: Tiago é o marido de Celina. Deste resultado, a alternativa correta é A ou E. Agora, vamos verificar qual o nome do homem que mais aparece nas partidas acima. Alberto é o que mais aparece! Então, vamos analisar quem pode ser a esposa de Alberto (Poderíamos ter feito esta análise, antes da análise do marido de Celina). - Análise para obter o nome da esposa de Alberto: 1º passo: Como o Alberto jogou a 1ª partida, então, pelo acordo entre os casais, ele não pode jogar a partida seguinte (2ª). Daí, Alberto não é marido de Júlia.

Ana Júlia Helena 2º passo: Como a esposa de Alberto jogou a 3ª partida, então, pelo acordo entre os casais, ela não pode jogar a partida anterior (2ª). Daí, a esposa de Alberto não é Ana.

Ana Helena Concluímos que: Helena é a esposa de Alberto. Portanto, a resposta é a alternativa A. Resposta: alternativa A. 05. (MPOG 2003 ESAF) Três amigos, Beto, Caio e Dario, juntamente com suas namoradas,

sentaram-se, lado a lado, em um teatro, para assistir a um grupo de dança. Um deles é carioca, outro é nordestino, e outro catarinense. Sabe-se, também, que um é médico, outro é engenheiro e outro é professor. Nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As namoradas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Lúcia, Samanta e Teresa. O médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Lúcia do que de Dario ou do que do carioca. O catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor está sentada à sua direita. Beto está sentado entre Teresa, que está à sua esquerda, e Samanta. As namoradas de Caio e de Dario são, respectivamente:

a) Teresa e Samanta b)) Samanta e Teresa c) Lúcia e Samanta d) Lúcia e Teresa e) Teresa e Lúcia

Sol.: Temos os seguintes amigos: Beto, Caio e Dario. As namoradas são: Teresa, Samanta e Lúcia. As regiões dos três são: carioca, nordestino e catarinense. As profissões dos três são: médico, engenheiro e professor. As afirmações trazidas no enunciado são: 1. Nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de

outra do mesmo sexo.



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2. O médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Lúcia do que de Dario ou do que do carioca.

3. O catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor está sentada à

sua direita. 4. Beto está sentado entre Teresa, que está à sua esquerda, e Samanta. É importante que façamos um desenho das seis posições que os casais ocupam. E consideraremos que todos estão olhando na direção da seta mostrada abaixo.

1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição 5ª posição 6ª posição

1º passo: Pela 3ª afirmação supracitada, e considerando o sentido da seta que nós definimos, o catarinense só pode estar na 1ª posição, para que assim a namorada do professor fique a sua direita.

1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição 5ª posição 6ª posição

catarinense namorada do

professor

2º passo: Da 1ª afirmação, homens e mulheres devem sentar alternados. Como na 1ª posição está o catarinense, a partir dele vamos alternando homens e mulheres. E como nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, então o professor só pode estar na 5ª posição.

1ª posição Homem

2ª posição Mulher

3ª posição Homem


5ª posição Homem



professor professor

3º passo: Da 2ª afirmação, o médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, logo ele sentou-se na 3ª posição.

1ª posição Homem


3ª posição Homem


5ª posição Homem



professor médico professor

4º passo: Ainda da 2ª afirmação, o médico está mais próximo de Lúcia do que de Dario ou do que do carioca. Logo, o carioca não é médico e só pode estar na 5ª posição, assim Dário, como não é médico e nem carioca, estará na 1ª posição, e Lúcia pode está na 2ª posição ou na 4ª posição.

1ª posição Homem


3ª posição Homem


5ª posição Homem


Dário

Catarinense

Lúcia pode está aqui

namorada do

professor

médico Lúcia pode está aqui

Carioca

professor



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5º passo: Da 4ª afirmação, Beto está sentado entre Teresa e Samanta, sendo que a primeira está à sua esquerda e a segunda à sua direita. Como Beto é homem, então ele pode está na na 3ª ou 5ª posição. Beto não pode estar na 3ª posição, porque sendo assim Lúcia não poderia estar nem na 2ª e nem na 4ª posição, contrariando o 4º passo. Então Beto só pode estar na 5ª posição. Daí, Caio só pode ser o médico.

1ª posição Homem


3ª posição Homem


5ª posição Homem


Dário

Catarinense


namorada do

professor

Caio

Médico


Beto

Carioca

Professor

6º passo: Já temos condições de colocar as mulheres em seus lugares. Teresa está à

esquerda de Beto, e Samanta à direita de Beto, sobrando a 2ª posição para Lúcia. E

1ª posição Homem


3ª posição Homem


5ª posição Homem


Dário

Catarinense

Lúcia

namorada do professor

Caio

Médico Teresa

Beto

Carioca

Professor

Samanta

Conclusão: Já temos condições de saber quem são as namoradas de cada um dos amigos, com base na afirmação: nenhum deles sentou-se ao lado da namorada. Beto namora com Lúcia! Caio namora com Samanta! Dário namora com Teresa! Resposta: alternativa D. É isso! Esperamos que estas resoluções sejam analisadas com calma por vocês, pois nelas há elementos suficientes a capacitá-los a resolver outras questões de associação, como as do dever de casa que se segue. Um abraço a todos e até a semana que vem, se Deus quiser!

Dever de Casa 01. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de

uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo,

a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c)) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco. e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.



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02. (AFC-SFC 2001 ESAF) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, cursos e respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem:

a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo c)) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis


A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loura é Sara e vai à Espanha. b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e)) A loura é Elza e vai à Alemanha.

04. (Analista MPU 2004 ESAF) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, então, dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma única filha, e todas têm nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é, no barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil são, respectivamente,

a) Mara, Nair, Paula, Olga, Laís. b) Laís, Mara, Olga, Nair, Paula. c) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga. d) Paula, Olga, Laís, Nair, Mara. e)) Laís, Mara, Paula, Olga, Nair.

05. (Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Quatro meninas que formam uma fila estão usando blusas de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto. A menina que está imediatamente antes da menina que veste blusa azul é menor do que a que está imediatamente depois da menina de blusa azul. A menina que está usando blusa verde é a menor de todas e está depois da menina de blusa azul. A menina de blusa amarela está depois da menina que veste blusa preta. As cores das blusas da primeira e da segunda menina da fila são, respectivamente:

a) amarelo e verde. d) verde e preto. b) azul e verde. e) preto e amarelo. c)) preto e azul.



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06. (MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,

a)) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

07. (MPOG 2003 ESAF) Três amigos, Beto, Caio e Dario, juntamente com suas namoradas,

sentaram-se, lado a lado, em um teatro, para assistir a um grupo de dança. Um deles é carioca, outro é nordestino, e outro catarinense. Sabe-se, também, que um é médico, outro é engenheiro e outro é professor. Nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As namoradas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Lúcia, Samanta e Teresa. O médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Lúcia do que de Dario ou do que do carioca. O catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor está sentada à sua direita. Beto está sentado entre Teresa, que está à sua esquerda, e Samanta. As namoradas de Caio e de Dario são, respectivamente:

a) Teresa e Samanta b)) Samanta e Teresa c) Lúcia e Samanta d) Lúcia e Teresa e) Teresa e Lúcia

08. (Analista MPU 2004 ESAF) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fora eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada uma havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema foram, respectivamente, para,

a) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa. b)) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô. c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa. d) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô. e) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia.



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AULA OITO: Verdades e Mentiras

Olá, amigos! Daremos hoje seguimento ao nosso curso, estudando um assunto deveras interessante, e freqüentemente cobrado em provas de raciocínio lógico!

Estamos falando de questões de verdades e mentiras! Um outro assunto muito prático e quase sem teoria. Aprenderemos a técnica de resolução deste estilo de problema, e treinaremos por meio de exemplos variados.

Conforme nossa programação inicial, destinaremos duas aulas para este assunto!

Antes disso, como de costume, passamos à resolução do dever de casa da aula passada (associação lógica). Esperamos que todos tenham se saído bem com os exercícios.

Dever de Casa

01. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo,

a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.

b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.

c)) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.

d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco.

e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.

Sol.: Os dados com os quais trabalharemos são os seguintes:

Nomes das amigas: Ana, Júlia e Marisa;

Cores dos vestidos: azul, preto e branco;

Cores dos sapatos: azul preto e branco.

São fornecidas ainda as seguintes informações:

somente Ana tem vestido e sapatos da mesma cor;

Júlia não usa nem vestido e nem sapatos brancos;

Marisa usa sapatos azuis.

De posse desses dados, construiremos os seguintes quadros:

Ana Júlia Marisa Ana Júlia Marisa Vestido azul Sapatos azuis Vestido preto Sapatos pretos Vestido branco Sapatos brancos

Da forma como aprendemos na aula passada, colocaremos um X nas células do quadro quando houver uma associação correta, e um N quando incorreta. Em cada quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna.



2

1º passo: Marisa usa sapatos azuis. Marcamos um X na célula correspondente a Marisa e sapatos azuis. Automaticamente, marcaremos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.

Ana Júlia Marisa Ana Júlia Marisa Vestido azul Sapatos azuis N N X Vestido preto Sapatos pretos N

Vestido branco Sapatos brancos N

2º passo: Júlia não usa nem vestidos e nem sapatos brancos. Marcamos um N nas células que referenciam Júlia com vestido branco e com sapato branco. Teremos:

Ana Júlia Marisa Ana Júlia Marisa Vestido azul Sapatos azuis N N X Vestido preto Sapatos pretos N

Vestido branco N Sapatos brancos N N

Daí, sabendo que cada linha e cada coluna somente pode apresentar um X, complementaremos, no quadro da direita, a terceira linha e a segunda coluna, já que só restaram para ambas o espaço para o X. Teremos:

Ana Júlia Marisa Ana Júlia Marisa Vestido azul Sapatos azuis N N X Vestido preto Sapatos pretos X N

Vestido branco N Sapatos brancos X N N

Seguindo o mesmo raciocínio, fecharemos o quadro da direita, da seguinte forma:

Ana Júlia Marisa Ana Júlia Marisa Vestido azul Sapatos azuis N N X Vestido preto Sapatos pretos N X N

Vestido branco N Sapatos brancos X N N

3º passo: somente Ana tem vestido e sapatos da mesma cor. Ora, pelo resultado encontrado no quadro da direita, já sabemos que a Ana calça

sapatos brancos! Daí, marcaremos um X na esquina entre Ana e vestido branco. Teremos:

Ana Júlia Marisa Ana Júlia Marisa Vestido azul Sapatos azuis N N X Vestido preto Sapatos pretos N X N

Vestido branco X N Sapatos brancos X N N

Complementando as linhas e colunas com os respectivos N, teremos:

Ana Júlia Marisa Ana Júlia Marisa Vestido azul N Sapatos azuis N N X Vestido preto N Sapatos pretos N X N

Vestido branco X N N Sapatos brancos X N N

4º passo: se é verdade que somente Ana tem vestido e sapatos da mesma cor, é óbvio que as duas outras moças (Júlia e Marisa) calçam e vestem, respectivamente, sapatos e vestidos de cores diversas! Ora, pelo quadro da direita, já sabemos que Júlia calça sapatos pretos, e que Marisa calça sapatos azuis. Logo, concluímos que Júlia não usa vestido preto, e que Marisa não usa vestido azul. Anotando essas conclusões no quadro da esquerda, teremos:



3

Ana Júlia Marisa Ana Júlia Marisa Vestido azul N N Sapatos azuis N N X Vestido preto N N Sapatos pretos N X N

Vestido branco X N N Sapatos brancos X N N Finalmente, sabendo que cada linha e cada coluna terão apenas um X, complementaremos as células restantes do quadro da esquerda, da seguinte forma:

Ana Júlia Marisa Ana Júlia Marisa Vestido azul N X N Sapatos azuis N N X Vestido preto N N X Sapatos pretos N X N

Vestido branco X N N Sapatos brancos X N N

Conclusões finais:

Ana usa vestido e sapatos brancos;

Júlia usa vestido azul e sapatos pretos;

Marisa usa vestido preto e sapatos azuis.

Resposta: C) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.

02. (AFC-SFC 2001 ESAF) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, cursos e respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem:

a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo

b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo

c)) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo

d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis

e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis

Sol.:

Os dados envolvidos neste enunciado são os seguintes:

Pessoas: Márcia, Berenice e Priscila;

Cursos: Medicina, Biologia e Psicologia;

Cidades: Belo Horizonte, Florianópolis e São Paulo.

Há ainda, as seguintes informações:

Márcia estudou em Belo Horizonte;

Priscila estudou Psicologia;

Berenice nem estudou em São Paulo e nem fez Medicina.

Construiremos os seguintes quadros:



4

Márcia Berenice Priscila Márcia Berenice Priscila Belo Horizonte Medicina Florianópolis Biologia São Paulo Psicologia

Lembrando sempre que cada quadro terá somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna, iniciaremos nossa análise. 1º passo: Márcia estudou em Belo Horizonte. Marcamos um X na célula correspondente a Márcia e a Belo Horizonte. Automaticamente, marcaremos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.

Márcia Berenice Priscila Márcia Berenice Priscila Belo Horizonte X N N Medicina Florianópolis N Biologia São Paulo N Psicologia

2º passo: Priscila estudou psicologia. Marcamos um X na célula correspondente a Priscila e a psicologia. Automaticamente, marcaremos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.

Márcia Berenice Priscila Márcia Berenice Priscila Belo Horizonte X N N Medicina N Florianópolis N Biologia N São Paulo N Psicologia N N X

3º passo: Berenice não estudou em São Paulo e nem fez medicina. Marcamos um N nas células que ligam Berenice a São Paulo e à medicina. Teremos:

Márcia Berenice Priscila Márcia Berenice Priscila Belo Horizonte X N N Medicina N N Florianópolis N Biologia N São Paulo N N Psicologia N N X

Ora, lembrando apenas que em cada linha deve haver um X, o mesmo se dando com cada coluna, faremos:

Márcia Berenice Priscila Márcia Berenice Priscila Belo Horizonte X N N Medicina X N N Florianópolis N X Biologia X N São Paulo N N X Psicologia N N X

Daí, finalmente, chegamos ao seguinte:

Márcia Berenice Priscila Márcia Berenice Priscila Belo Horizonte X N N Medicina X N N Florianópolis N X N Biologia N X N São Paulo N N X Psicologia N N X

Conclusões:

Márcia estudou medicina, na cidade de Belo Horizonte;

Berenice estudou Biologia, na cidade de Florianópolis; Resposta) C.

Priscila estudou psicologia, na cidade de São Paulo.



5


A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.

A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.

A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:

a) A loura é Sara e vai à Espanha.

b) A ruiva é Sara e vai à França.

c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.

d) A morena é Bete e vai à Espanha.

e)) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Sol.: Por engano, essa questão foi colocada novamente aqui, no Dever de Casa, mas já havia sido resolvida no texto da aula sete. Pedimos desculpas. Quem quiser conferir novamente a resolução, favor consultar a página 14 da aula passada! No fórum SETE pedimos para colocar no lugar desta questão a seguinte:

(MPU 2004 ESAF) Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Logo, a) Mário é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e o economista é

mais novo do que Luís. b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luís é mais velho

do que o matemático. c) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro, e Oscar é mais velho

do que o agrônomo. d) Luís é arquiteto, e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo, e Pedro é mais velho do

que o matemático. e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais velho do que o matemático, e Mário é mais velho

do que o economista. Sol.: Temos cincos irmãos: Luís, Oscar, Mário, Pedro e Nédio. E as profissões são: engenheiro, matemático, arquiteto, agrônomo e economista. O enunciado traz as seguintes afirmações: 1ª. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que

Oscar. 2ª. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. 3ª. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. 4ª. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. 5ª. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é

mais moço do que o arquiteto. Vamos fazer um quadro relacionando os nomes dos irmãos com as profissões.



6

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro matemático arquiteto agrônomo economista

Agora vamos colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação correta, e um N quando incorreta. Lembrem que, no quadro acima, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna. Vamos analisar as afirmações dadas na questão através dos passos abaixo, mas procuraremos avaliar somente a correspondência entre os nomes dos irmãos e a profissão, e não nos preocuparemos agora em saber quem é o mais velho ou o mais novo. 1º passo: Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e

mais velho do que Oscar! Desta afirmação, obtemos que Luís não é agrônomo e também não é engenheiro. Também obtemos que Oscar não é engenheiro. Assim, marcamos um N na célula correspondente a Luís e agrônomo, outro N na célula correspondente a Luís e engenheiro, e outro N na célula correspondente a Oscar e engenheiro

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N matemático arquiteto agrônomo N economista

2º passo: O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro! Desta afirmação, obtemos que Mário não é agrônomo e também não é economista. Assim, marcamos um N na célula correspondente a Mário e agrônomo, e outro N na célula correspondente a Mário e economista.

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N matemático arquiteto agrônomo N N economista N

3º passo: O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo! Desta afirmação, obtemos que Luís não é economista e não é matemático. Assim, marcamos um N na célula correspondente a Luís e economista, e um N na célula correspondente a Luís e matemático.

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N matemático N arquiteto agrônomo N N N economista N N



7

Observe que na 1ª coluna há somente uma célula sem marcação, e como devemos ter um X em cada coluna, daí marcamos um X.

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N matemático N arquiteto X agrônomo N N N economista N N

Marcamos N nas células da 3ª linha, pois ela já tem um X.

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N matemático N arquiteto X N N N N agrônomo N N N economista N N

4º passo: O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio! Desta afirmação, obtemos que Mário não é matemático e Nédio não é matemático. Assim, marcamos um N na célula correspondente a Mário e matemático, e outro N na célula correspondente a Nédio e matemático.

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N matemático N N N arquiteto X N N N N agrônomo N N N economista N N

Observe que na 3ª coluna há somente uma célula sem marcação, então marcamos um X.

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N X matemático N N N arquiteto X N N N N agrônomo N N N economista N N

Marcamos N nas células da 1ª linha, pois ela já tem um X.

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N X N N matemático N N N arquiteto X N N N N agrônomo N N N economista N N

5º passo: O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este,

por sua vez, é mais moço do que o arquiteto! Desta afirmação, obtemos que Nédio não é economista, Pedro não é economista, Pedro não é arquiteto e Nédio não é arquiteto. Assim, marcamos um N na célula correspondente a Nédio e economista, outro N na célula correspondente a Pedro e economista, outro N na célula correspondente a Pedro e arquiteto, e outro N na célula correspondente a Nédio e arquiteto. Estes dois últimos já haviam sido marcados.



8

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N X N N matemático N N N arquiteto X N N N N agrônomo N N N economista N N N N

Observe que na última coluna e na última linha há somente uma célula sem marcação, então marcamos um X nestas células.

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N X N N matemático N N N arquiteto X N N N N agrônomo N N N X economista N X N N N

Marcamos N nas células da 2ª coluna e 4ª linha, pois elas já têm um X.

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N X N N matemático N N N N arquiteto X N N N N agrônomo N N N N X economista N X N N N

E finalmente:

Luís Oscar Mário Pedro Nédio engenheiro N N X N N matemático N N N X N arquiteto X N N N N agrônomo N N N N X economista N X N N N

E as profissões correspondentes a cada irmão são: Luís é arquiteto. Oscar é economista. Mário é engenheiro. Pedro é matemático. Nédio é agrônomo. Com estes resultados ainda não temos condições de marcar a alternativa correta, temos que avaliar a relação entre as idades dos irmãos. Das cinco afirmações que foram escritas no início desta solução, somente duas, a 1ª e a 5ª, trazem dados sobre as idades dos irmãos. Vejam elas duas: 1ª. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que

Oscar. 5ª. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é

mais moço do que o arquiteto. - Da 1ª afirmação, obtemos: Luís(arquiteto) é mais moço que Mário(engenheiro), e mais velho que Oscar(economista). Oscar Luís Mário (mais velho)



9

- Da 5ª afirmação, obtemos: Oscar(economista) é mais velho que Nédio(agrônomo), e mais moço que Pedro(matemático). Pedro(matemático) é mais moço que Luís(arquiteto). Nédio Oscar Pedro Luís (mais velho) - Juntando os resultados obtidos nas duas afirmações acima, teremos: Nédio Oscar Pedro Luís Mário (mais velho) Agora, com mais estes resultados já podemos marcar a alternativa A. Resposta: alternativa A.

04. (Analista MPU 2004 ESAF) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, então, dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma única filha, e todas têm nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é, no barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil são, respectivamente,

a) Mara, Nair, Paula, Olga, Laís.

b) Laís, Mara, Olga, Nair, Paula.

c) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga.

d) Paula, Olga, Laís, Nair, Mara.

e)) Laís, Mara, Paula, Olga, Nair.

Sol.: Trabalharemos aqui com os seguintes dados:

Nomes dos pais: Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil;

Nomes das filhas: Laís, Mara, Nair, Olga e Paula.

As informações adicionais desta questão são as seguintes:

1ª) Os pais irão batizar seus respectivos barcos, mas não podem usar o nome da própria filha, e sim a da filha de outrem;

2ª) Décio e Éder queriam usar o nome de Laís;

3ª) Décio usou o nome de Laís e Éder usou o nome de Mara.

4ª) Gil convenceu o pai de Olga ...

5ª) O pai de Olga pôs o nome de Paula em seu barco;

6ª) Caio usou o nome de Nair;

7ª) O pai de Nair usou o nome de Olga.



10

Construiremos dois quadros, um para associar os nomes dos homens aos nomes que usaram nos barcos, e outro para a associação entre os nomes dos homens e de suas respectivas filhas. Teremos:

(Quadro dos barcos) (Quadro das filhas)

Barco Laís

Barco Mara

Barco Nair

Barco Olga

Barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio Caio Décio Décio Éder Éder Felipe Felipe

Gil Gil

1º passo:

Da 2ª e da 3ª informações acima, vemos que Décio usou o nome Laís no barco, e que Éder usou o nome Mara no barco. Daí, nas células do quadro dos barcos que relacionam Décio com barco Laís, e Éder com barco Mara, marcaremos um X.

Também, da 2ª e da 3ª informações acima, concluímos que Décio não é pai de Laís, e que Éder não é pai de Laís e nem de Mara. Daí, nas células do quadro das filhas que relacionam Décio com filha Laís, e Éder com filha Laís e com filha Mara, marcaremos um N.

Então, teremos:

barco Laís

barco Mara

barco Nair

barco Olga

barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio Caio Décio X Décio N Éder X Éder N N Felipe Felipe

Gil Gil

No quadro dos barcos, marcamos N nas células da 1ª coluna, 2ª coluna, 2ª linha e 3ª linha, pois elas já têm um X.

barco Laís

barco Mara

barco Nair

barco Olga

barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio N N Caio Décio X N N N N Décio N Éder N X N N N Éder N N Felipe N N Felipe

Gil N N Gil

2º passo:

Da 6ª informação, Caio usou o nome Nair no barco. Daí, nas células do quadro dos barcos que relacionam Caio com barco Nair marcaremos um X.

Da 4ª, concluímos que Gil não é pai de Olga. E da 6ª, que Caio não é pai de Nair. Daí, nas células do quadro das filhas que relacionam Gil com filha Olga, e Caio com filha Nair marcaremos um N.

Daí, teremos:



11

barco Laís

barco Mara

barco Nair

barco Olga

barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio N N X Caio N Décio X N N N N Décio N Éder N X N N N Éder N N Felipe N N Felipe

Gil N N Gil N

No quadro dos barcos, marcamos N nas células da 3ª coluna, pois ela já tem um X.

barco Laís

barco Mara

barco Nair

barco Olga

barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio N N X N N Caio N Décio X N N N N Décio N Éder N X N N N Éder N N Felipe N N N Felipe

Gil N N N Gil N

3º passo: Da 5ª informação, o pai de Olga usou o nome Paula no barco. Observe no quadro dos barcos, quem usa o nome Paula no barco ou é o Felipe ou é o Gil. Daí, temos que o pai de Olga ou é o Felipe ou é o Gil.

Mas, do quadro das filhas, vemos que Gil não é o pai de Olga, portanto o pai de Olga só resta ser o Felipe. No quadro das filhas, marcamos X na célula que relaciona Felipe com a filha Olga. E no quadro dos barcos, marcamos N na célula que relaciona Felipe com o barco Olga.

Daí, teremos:

barco Laís

barco Mara

barco Nair

barco Olga

barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio N N X N N Caio N Décio X N N N N Décio N Éder N X N N N Éder N N Felipe N N N N Felipe X

Gil N N N Gil N

Completando algumas linhas e colunas dos dois quadros com N e X, obteremos:

barco Laís

barco Mara

barco Nair

barco Olga

barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio N N X N N Caio N N Décio X N N N N Décio N N Éder N X N N N Éder N N N Felipe N N N N X Felipe N N N X N

Gil N N N X N Gil N

4º passo: Da 7ª informação, o pai de Nair usou o nome Olga no barco. Pelo quadro dos barcos, quem usou o nome Olga no barco foi Gil, daí Gil é o pai de Nair. No quadro das filhas, marcamos X na célula que relaciona Gil com a filha Nair.

barco Laís

barco Mara

barco Nair

barco Olga

barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio N N X N N Caio N N Décio X N N N N Décio N N Éder N X N N N Éder N N N Felipe N N N N X Felipe N N N X N

Gil N N N X N Gil X N



12

No quadro das filhas, marcamos N nas células da 3ª coluna e 5ª linha, pois elas já têm um X.

barco Laís

barco Mara

barco Nair

barco Olga

barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio N N X N N Caio N N Décio X N N N N Décio N N N Éder N X N N N Éder N N N N Felipe N N N N X Felipe N N N X N

Gil N N N X N Gil N N X N N

Observando o quadro das filhas, devemos marcar N na célula vazia da 1ª coluna e na célula vazia da 3ª linha. E logo depois completamos com N as linhas e colunas que já tem um X.

barco Laís

barco Mara

barco Nair

barco Olga

barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio N N X N N Caio X N N N N Décio X N N N N Décio N N N N Éder N X N N N Éder N N N N X Felipe N N N N X Felipe N N N X N


E finalmente obtemos:

barco Laís

barco Mara

barco Nair

barco Olga

barco Paula

filha Laís

filha Mara

filha Nair

filha Olga

filha Paula

Caio N N X N N Caio X N N N N Décio X N N N N Décio N X N N N Éder N X N N N Éder N N N N X Felipe N N N N X Felipe N N N X N


Conclusão:

A filha de Caio é Laís.

A filha de Décio é Mara.

A filha de Éder é Paula.

A filha de Felipe é Olga.

A filha de Gil é Nair.

Resposta: alternativa E.



13

05. (Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Quatro meninas que formam uma fila estão usando blusas de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto. A menina que está imediatamente antes da menina que veste blusa azul é menor do que a que está imediatamente depois da menina de blusa azul. A menina que está usando blusa verde é a menor de todas e está depois da menina de blusa azul. A menina de blusa amarela está depois da menina que veste blusa preta. As cores das blusas da primeira e da segunda menina da fila são, respectivamente:

a) amarelo e verde. d) verde e preto.

b) azul e verde. e) preto e amarelo.

c)) preto e azul.

Sol.:

A presente questão envolve apenas cores de blusas e as posições que as meninas estão ocupando. Neste caso, trabalharemos com o seguinte quadro das posições:

1ª posição 2ª posição 3ª posição 4ª posição

São os seguintes os dados trazidos pelo enunciado:

Cores das blusas: amarelo, verde, azul e preto.

As seguintes informações são também acrescidas:

1ª) a menina que está antes (e vizinha!) da de blusa azul é menor da que está depois (e também vizinha) da de blusa azul;

2ª) a menina de verde é a menor de todas e está depois da de blusa azul.

3ª) a menina de blusa amarela está depois da de blusa preta.

1º passo: Analisando a primeira informação, conseguimos chegar ao seguinte: a menina de blusa azul está entre outras duas. Logo, ela não poderia ocupar nem a primeira e nem a quarta posições (pois estaria na ponta da fila!). Ora, haverá, portanto, uma dessas duas possibilidades:


(azul) (azul)

2º passo: a menina de verde é a menor de todas e está depois da de blusa azul!

Vejam as três situações possíveis para as meninas de azul e verde:

1ª situação: A de blusa azul na 2ª posição, e a de blusa verde na 3ª posição.


(azul) (verde)

2ª situação: A de blusa azul na 2ª posição, e a de blusa verde na 4ª posição.


(azul) (verde)



14

3ª situação: A de blusa azul na 3ª posição, a de blusa verde na 4ª posição.


(azul) (verde)

Da primeira informação temos que a menina que está imediatamente depois da de azul é maior que a menina que está imediatamente antes da de azul. Assim, a menina de verde não pode ser a que está imediatamente depois da de azul, pois na segunda afirmação é dito que a de verde é a menor de todas. Então, vamos descartar a segunda e a terceira situações, restando-nos somente a primeira situação. Daí, temos:


azul verde

3º passo: a menina de blusa amarela está depois da de blusa preta!

Só restam-nos dois lugares, e como a menina de blusa amarela está depois da de blusa preta, logo passaremos a seguinte situação final:


preta azul amarela verde

Daí, as cores das blusas da primeira e da segunda menina da fila são, respectivamente, preto e azul. Resposta) Letra C.

06. (MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,

a)) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.

b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.

c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.

d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.

e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

Sol.:

Trabalharemos com os seguintes dados:

Pessoas: Oliveira, Paulo, Norton e Vasconcelos;

naturalidade: mineiro, paulista, carioca e baiano.

As informações adicionais do enunciado são as seguintes:

1ª) Oliveira é o mais antigo e é mineiro;

2ª) Paulo está à direita de Oliveira;

3ª) Norton está à direita do paulista;

4ª) Vasconcelos não é carioca e está à frente de Paulo.



15

O ideal aqui é que desenhemos a tal mesa quadrada! Assim, poderemos definir melhor as posições! Cada pessoa está olhando para o sentido da seta, conforme indicado abaixo, e também estão indicadas a direita e a esquerda de cada um:

1º Passo) Escolheremos um lugar qualquer para o Oliveira, já sabendo que ele é o mineiro, e logo em seguida, colocamos Paulo à sua direita, conforme a 2ª informação acima.

Teremos:

2º Passo) A quarta informação nos diz que Vasconcelos está à frente do Paulo. Sabendo disso, já somos capazes de complementar as quatro posições da mesa. Teremos:

3º Passo) Pela quarta informação, segundo a qual Norton está à direita do paulista, concluímos que este último (o paulista!) só pode ser o Paulo. E como Vasconcelos não é carioca, só restou ser o baiano. Daí, Norton é o carioca. Vejamos:

De acordo com os resultados obtidos, chegamos à nossa resposta: Alternativa A.

D

E

D

D

D

E

E

E

D

E

D

D

D

E

E

E

Oliveira (mineiro)

Paulo

D

E

D

D

D

E

E

E

Oliveira (mineiro)

Paulo Vasconcelos (não é carioca)

Norton

D

E

D

D

D

E

E

E

Oliveira (mineiro)

Paulo (paulista)

Vasconcelos (baiano)

Norton (carioca)



16

07. (MPOG 2003 ESAF) Três amigos, Beto, Caio e Dario, juntamente com suas namoradas, sentaram-se, lado a lado, em um teatro, para assistir a um grupo de dança. Um deles é carioca, outro é nordestino, e outro catarinense. Sabe-se, também, que um é médico, outro é engenheiro e outro é professor. Nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As namoradas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Lúcia, Samanta e Teresa. O médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Lúcia do que de Dario ou do que do carioca. O catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor está sentada à sua direita. Beto está sentado entre Teresa, que está à sua esquerda, e Samanta. As namoradas de Caio e de Dario são, respectivamente:

a) Teresa e Samanta d) Lúcia e Teresa

b)) Samanta e Teresa e) Teresa e Lúcia

c) Lúcia e Samanta

Sol.: Outro pequeno equívoco: esta questão também foi resolvida no texto na aula passada. Vide, por obséquio, a resolução na página 15 da aula sete. E novamente nos desculpamos.

08. (Analista MPU 2004 ESAF) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fora eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada uma havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema foram, respectivamente, para,

a) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa.

b)) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô.

c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa.

d) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô.

e) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia.

Sol.: São cinco as moças envolvidas no enunciado, e estas abaixo são as posições que ocupam, segundo o enunciado: (as letras E e D significam, respectivamente, a esquerda e a direita das moças!)

A única informação adicional é que cada uma delas votou na pessoa que votou em quem estava à sua esquerda.

Testaremos as opções da questão para obtermos a correta.

Ana

Bia

Clô Déa

Ema

E D

E

E

E

E

D

D

D

D



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O que diz a opção A? Diz que:

Ana votou em Ema

Bia votou em Ana

Clô votou em Bia

Déa votou em Clô

Ema votou em Déa

Vamos testar esses resultados!

Ora, se é dito que Ana votou em Ema, resta que Ema teria que ter votado em quem está à esquerda de Ana. Ou seja, Ema teria que ter votado em Bia.

Isso é previsto na opção A? Não!

Passemos à análise da opção B. Ela nos diz que:

Ana votou em Déa

Bia votou em Ema

Clô votou em Ana

Déa votou em Bia

Ema votou em Clô

Vamos lá! Se é dito que Ana votou em Déa, resta que Déa teria que ter votado em quem está à esquerda de Ana. Ou seja, Déa teria que ter votado em Bia. Vejamos:

A opção B, por enquanto, está correta!

Ana

Bia

Clô Déa

Ema

E D

E

E

E

E

D

D

D

D

Ana

Bia

Clô Déa

Ema

E D

E

E

E

E

D

D

D

D



18

A opção B diz agora que Bia votou em Ema. Logo, Ema teria que ter votado em Clô. Vejamos:

A opção B continua certa!

Agora a opção B diz que Clô votou em Ana. Logo, Ana teria que ter votado em Déa.

E isso é exatamente o que diz esta opção B!

Em suma: a opção B está inteiramente compatível! Logo, é a resposta que procuramos!

Resposta: Alternativa B.

Ana

Bia

Clô Déa

Ema

E D

E

E

E

E

D

D

D

D

Ana

Bia

Clô Déa

Ema

E D

E

E

E

E

D

D

D

D



19

Passemos a falar em nosso assunto de hoje: Verdades e Mentiras!

Como dissemos no início desta aula, este assunto é muito prático e quase sem teoria. Aprenderemos a técnica de resolução deste estilo de problema, e treinaremos por meio de exemplos variados. Nós destinaremos duas aulas para resolver questões de concursos deste assunto!

Passemos, pois, a uma série de resoluções de questões de “verdades e mentiras” cobradas em provas de concursos públicos, e vejamos como é fácil trabalhá-las!

01) (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:

Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu"

Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso Sol.: Percebemos que as cinco pessoas envolvidas na trama do enunciado (Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso) estão fazendo uma declaração! Que pode ser uma verdade ou uma mentira! Como procederemos? O primeiro passo será, senão outro, relacionar todas as declarações feitas no enunciado. Façamos isso: Armando: "Sou inocente"

Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu"

Agora, veremos que, além das declarações, o enunciado dessas questões de “verdade e

mentira” SEMPRE nos fornecerão alguma ou algumas INFORMAÇÕES ADICIONAIS! Estas informações adicionais serão a base do raciocínio que iremos desenvolver para

resolver a questão! Em geral, são informações referentes às pessoas envolvidas na situação do enunciado, ou referentes ao número de pessoas que estariam mentindo ou dizendo a verdade, em suas declarações!

Procuremos nesse nosso enunciado, se há e quais são essas informações adicionais! Achamos? Claro. São as seguintes: 1º) O crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa. Podemos inclusive traduzir essa informação apenas como sendo:

Só há um culpado! E, teremos ainda: 2º) Apenas um dos suspeitos mentiu e todos os outros disseram a verdade. Traduziremos por:

Só há um mentiroso! Percebamos que, até aqui, nada fizemos, além de reunir os dados do enunciado, com os

quais iremos trabalhar a nossa resolução. Mas esse procedimento é ESSENCIAL! Passemos à resolução propriamente dita!



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Como só há um mentiroso no grupo dos cinco suspeitos, então teremos cinco possíveis hipóteses de quem diz a verdade e quem mente. Vejam abaixo essas possíveis hipóteses associadas às declarações de cada suspeito. (Usamos M para mentira e V para verdade!)

DECLARAÇÕES 1ªHipótese 2ªHipótese 3ªHipótese 4ªHipótese 5ªHipótese 1ª. Armando: "Sou inocente" M V V V V 2ª. Celso: "Edu é o culpado" V M V V V 3ª. Edu: "Tarso é o culpado" V V M V V 4ª. Juarez: "Armando disse a

verdade" V V V M V

5ª. Tarso: "Celso mentiu" V V V V M No esquema acima, o que representa a 1ª hipótese? Respondendo, a 1ª hipótese

supõe que Armando está mentido, restará perfeitamente claro que as demais pessoas estarão dizendo a verdade (uma vez que sabemos que só há um mentiroso)!

E agora, o que fazer? Em princípio, devemos testar cada hipótese a fim de

descobrirmos a correta. Mas para que não tenhamos que testar todas as hipóteses, e com isso economizarmos tempo na solução, podemos analisar as declarações para verificarmos quais são as hipóteses que podem ser descartadas.

Procure entre as declarações, duas que não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. A 2ª e a 3ª declarações podem ser ambas verdadeiras? Pense! É claro que não, pois

senão teríamos dois culpados: Edu e Tarso! Daí, dessas duas declarações (2ª e 3ª), concluímos que uma deve ser mentira e a outra verdade. Observem na tabela acima, que somente a 2ª hipótese e a 3ª hipótese obedecem a esta conclusão (devemos descartar as outras hipóteses!).

Neste momento, podemos testar as duas hipóteses restantes (2ª e 3ª) para

verificarmos a correta, ou podemos procurar mais duas declarações que não podem ser ambas verdadeiras. Vamos optar por esta última solução!

A 2ª e a 5ª declarações podem ser ambas verdadeiras? Pense! Novamente não! Pois para que a 2ª declaração seja verdadeira é necessário que Celso diga a verdade, mas pela 5ª declaração, Tarso afirma que Celso mente, ocorrendo, assim, uma contradição. Daí, dessas duas declarações (2ª e 5ª), concluímos que uma deve ser mentira e a outra verdade. Observem na tabela acima, que somente a 2ª hipótese e a 5ª hipótese obedecem a esta conclusão (devemos descartar as outras hipóteses!). Mas da análise feita anteriormente, havíamos descartado a 5ª hipótese, dessa forma a única hipótese que restou foi a segunda hipótese.

Da segunda hipótese, temos que Celso mente e os outros dizem a verdade! Como

Edu diz a verdade, então é verdadeira a sua declaração: "Tarso é o culpado". Assim, descobrimos que o culpado é Tarso!

Resposta: alternativa E. Para fins didáticos, vejamos a seguinte solução alternativa. Caso tivéssemos optado por testar a segunda hipótese, devemos extrair dela as

nossas conclusões. Teremos: CONCLUSÕES OBTIDAS DA 2ª HIPÓTESE:

Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Armando está dizendo, então, concluímos que: Armando é inocente. Da segunda declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Celso está declarando, então, concluímos que: Edu é inocente.



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Da terceira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Edu está declarando, então, concluímos que: Tarso é culpado.

Da quarta declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Juarez está declarando, então, concluímos que: Armando diz a verdade. Neste momento, temos que nos reportar ao ARMANDO, e confirmar se ele, nesta nossa hipótese, está mesmo dizendo a verdade! E aí? Armando diz a verdade ou não? Sim, ele diz. Então, esta nossa quarta conclusão está COERENTE com as demais.

Da quinta e última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Tarso está dizendo, então, concluímos que: Celso mentiu. Também aqui nos reportaremos ao CELSO, e conferiremos se ele de fato mentiu! E aí, Celso mentiu ou não? Sim! Pela nossa hipótese em análise, Celso de fato mentiu. Deste modo, novamente, não achamos nenhuma INCOMPATIBILIDADE entre essa conclusão e as demais.

Feita essa análise, eu pergunto: as conclusões que extraímos da nossa SEGUNDA

HIPÓTESE estão COMPATÍVEIS ENTRE SI? Estão de acordo com o que mandam as INFORMAÇÕES ADICIONAIS? Ou, ao contrário, estariam entrando em choque umas com as outras? Ora, observamos que as conclusões são COMPATÍVEIS, e estão plenamente de acordo com as informações adicionais do enunciado. Daí, diremos que esta segunda hipótese é a que de fato resolve a questão!

Quem foi o culpado do crime? O culpado foi Tarso, e somente ele! Questão respondida!

02) (CVM 2000 ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: – “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. – “Foi a Mara”, disse Manuel. – “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria

Sol.: Novamente temos aqui cinco pessoas envolvidas na situação do enunciado. Cada qual faz uma declaração, e nós não sabemos, a priori, quem está falando a verdade ou quem está mentindo. Daí, não resta dúvida: estamos diante de uma questão de “verdades & mentiras”. Reunindo as DECLARAÇÕES e as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, teremos:

INFORMAÇÕES ADICIONAIS: 1º) Só há um que entrou sem pagar. 2º) Só há um mentiroso.

DECLARAÇÕES: 1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel" 2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria" 3º) Manuel: "Foi a Mara" 4º) Mara: "Mário está mentindo" 5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos" Como só há um mentiroso entre os cinco colegas, então teremos cinco possíveis

hipóteses de quem diz a verdade e quem mente. Vejamos a seguir essas possíveis hipóteses associadas às declarações de cada um deles. (Usamos M para mentira e V para verdade!)



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DECLARAÇÕES 1ªHipótese 2ªHipótese 3ªHipótese 4ªHipótese 5ªHipótese 1ª. Marcos: "Não foi o Marcos;

Não foi o Manuel" M V V V V

2ª. Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria"

V M V V V

3ª. Manuel: "Foi a Mara" V V M V V 4ª. Mara: "Mário está mentindo” V V V M V 5ª. Maria: "Foi a Mara ou foi o

Marcos" V V V V M

Com já dissemos na questão anterior, em princípio, devemos testar cada hipótese a fim

de descobrirmos a correta. Mas para que não tenhamos que testar todas as hipóteses, podemos analisar as declarações para verificarmos quais são as hipóteses que podem ser descartadas.

Procure entre as declarações, duas que não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. A 2ª e a 3ª declarações podem ser ambas verdadeiras? Pense! É claro que não, pois

senão teríamos duas ou três pessoas que entraram sem pagar: Mara e o Manoel ou a Maria, ou ambos! Daí, dessas duas declarações (2ª e 3ª), concluímos que uma deve ser mentira e a outra verdade. Observem na tabela acima, que somente a 2ª hipótese e a 3ª hipótese obedecem a esta conclusão (devemos descartar as outras hipóteses!).

Neste momento, podemos testar as duas hipóteses restantes (2ª e 3ª) para

verificarmos a correta, ou podemos procurar mais duas declarações que não podem ser ambas verdadeiras. Vamos novamente optar por esta última solução!

A 2ª e a 4ª declarações podem ser ambas verdadeiras? Pense! Novamente não! Pois para que a 2ª declaração seja verdadeira é necessário que Mário diga a verdade, mas pela 4ª declaração, Mara afirma que Mário mente, ocorrendo, assim, uma contradição. Daí, dessas duas declarações (2ª e 4ª), concluímos que uma deve ser mentira e a outra verdade. Observem na tabela acima, que somente a 2ª hipótese e a 4ª hipótese obedecem a esta conclusão (devemos descartar as outras hipóteses!). Mas da análise feita anteriormente, havíamos descartado a 4ª hipótese, dessa forma a única hipótese que restou foi a segunda hipótese.

Da segunda hipótese, temos que Mário mente e os outros dizem a verdade! Como Manuel diz a verdade, então é verdadeira a sua declaração: "Foi a Mara". Assim, descobrimos que quem entrou sem pagar foi Mara!

Resposta: alternativa C. Novamente, para fins didáticos, vejamos a seguinte solução alternativa. Caso tivéssemos optado por testar a segunda hipótese, devemos extrair dela as

nossas conclusões. Teremos: CONCLUSÕES OBTIDAS DA 2ª HIPÓTESE:

Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Marcos está dizendo, então, concluímos que: Não foi o Marcos e não foi o Manuel. Da segunda declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Mário está dizendo, então, concluímos que: Não foi o Manuel e não foi a Maria.

Da terceira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Manuel está dizendo, então, concluímos que: Foi a Mara.

Da quarta declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Mara está dizendo, então, concluímos que: Mário está mentindo. Aqui, como já sabemos, temos que parar, e procurar saber se o Mário está mesmo mentindo, ou se não está. E aí, de acordo com a nossa hipótese II, o Mário está mesmo mentindo? SIM. Vemos, pois, que esta quarta conclusão está coerente. Seguimos em frente!



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Da última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Maria está dizendo, então, concluímos que: Foi a Mara ou foi o Marcos. Isso quer dizer que um dos dois entrou no parque sem pagar. Ou um, ou outro! Vamos analisar o que nos dizem as demais conclusões que extraímos acima, acerca da Mara e acerca do Marcos. A primeira conclusão nos diz: “Não foi o Marcos”. E a terceira conclusão nos diz: “Foi a Mara”. Então está perfeito! Ou seja, essa nossa última conclusão (Foi a Mara ou foi o Marcos) está inteiramente de acordo, inteiramente compatível com as demais conclusões.

Enfim, percebemos que a segunda HIPÓTESE, que acabamos de analisar, forneceu-nos

conclusões que não conflitaram entre si, e nem foram incompatíveis com as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado. Em outras palavras: a HIPÓTESE II funcionou! É ela quem nos dará a resposta da questão. E então, quem foi a pessoa que entrou sem pagar? Foi a Mara. Questão respondida! 03) (Fiscal Trabalho 98) Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Teresa, Regina b) Sandra, Regina, Teresa c) Regina, Sandra, Teresa d) Teresa, Regina, Sandra e) Teresa, Sandra, Regina Sol.: Sem mais delongas, transcrevamos as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado e as DECLARAÇÕES. Teremos:

INFORMAÇÕES ADICIONAIS: 1º) O marido de Sandra mentiu. 2º) O marido de Tereza disse a verdade.

DECLARAÇÕES: 1º) Nestor: "Marcos é casado com Tereza" 2º) Luís: "Marcos e casado com Regina" 3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra"

Observem que as três declarações acima são a respeito da esposa de Marcos. Daí, somente uma declaração é verdadeira (porque Marcos não pode ser casado com duas mulheres!) e as outras duas são falsas. Dessa forma teremos três hipóteses possíveis:

DECLARAÇÕES 1ª Hipótese 2ª Hipótese 3ª Hipótese 1ª. Nestor: "Marcos é casado com Tereza" V M M 2ª. Luís: "Marcos e casado com Regina" M V M 3ª. Marcos: "Marcos é casado com Sandra" M M V Vamos testar as hipóteses, iniciando pela primeira hipótese. 1) Teste da 1ª hipótese (somente Nestor está dizendo a verdade)

Ora, segundo uma das INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, sabemos que aquele

quem diz a VERDADE é o marido de Tereza. Daí, decorre que se estamos supondo (nesta primeira HIPÓTESE) que o Nestor disse a VERDADE, então teremos que Nestor é o marido



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de Tereza. Mas, se assim é, vejamos o que foi que o Nestor, falando a VERDADE, declarou: “Marcos é casado com Tereza”.

Percebemos aí um choque de informações! A Tereza estaria sendo casada com o Nestor e com o Marcos. E não pode!

Daí, resta-nos concluir que essa primeira HIPÓTESE falhou! Ou seja, constatamos que Nestor não pode estar dizendo a VERDADE. Partiremos para uma nova HIPÓTESE!

2) Teste da 2ª hipótese (somente Luís está dizendo a verdade)

Já sabemos que aquele quem diz a VERDADE é o marido de Tereza. Daí, decorre que se

estamos supondo (nesta segunda HIPÓTESE) que Luís disse a VERDADE, então teremos que Luís é o marido de Tereza. Vejamos o que foi que o Luís, falando a VERDADE, declarou: “Marcos é casado com Regina”. Encontramos mais um casal! Só sobraram a Sandra e o Nestor, logo estes dois formam um casal!

Pela segunda hipótese, temos que Nestor mente, daí a declaração que ele fez: "Marcos é casado com Tereza", é uma mentira! Isto se confirma, pois já havíamos achado que Marcos é casado com Regina! Não houve contradições!

Pela segunda hipótese, temos que Marcos mente, daí a declaração que ele fez: "Marcos é casado com Sandra", é uma mentira! Isto também se confirma, pois já havíamos achado que Marcos é casado com Regina! Também não houve contradições!

A segunda hipótese é correta!

Pronto! Chegamos à definição dos três casais: Luís é casado com Tereza; Marcos é casado com Regina; e Nestor é casado com Sandra.

Resposta: alternativa D. 04) (MPU 2004/ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:

Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”.

Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. Sol.: Transcrevamos as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado e as DECLARAÇÕES. Teremos:

INFORMAÇÕES ADICIONAIS: 1º) Os andróides do tipo V sempre dizem a verdade. 2º) Os andróides do tipo M sempre mentem.

DECLARAÇÕES: 1º) Alfa: (resposta não ouvida!) 2º) Beta: Alfa respondeu que sim. 3º) Gama: Beta está mentindo. 4º) Delta: Gama está mentindo. 5º) Épsilon: Alfa é do tipo M.



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Não é difícil matar a charada neste enunciado. Bastava prestar atenção à pergunta que foi feita ao Alfa. Foi a seguinte: “Alfa, você é do tipo M?” Ora, o tipo M é o tipo dos mentirosos. Daí, em outras palavras, a pergunta dirigida ao Alfa foi essa: “Alfa, você mente?” Essa é uma pergunta que, em qualquer caso, só admite uma única resposta: a negação. Pois, se perguntarmos a alguém veraz se ele mente, ele, dizendo a verdade, responderá que não. Por outro lado, se perguntarmos a alguém mentiroso se ele mente, ele, mentindo, dirá que não! Ou seja, a resposta a essa pergunta será sempre não! Foi isso, portanto, que o Alfa respondeu. Teremos:

1º) Alfa: Não sou do tipo M. 2º) Beta: Alfa respondeu que sim. 3º) Gama: Beta está mentindo. 4º) Delta: Gama está mentindo. 5º) Épsilon: Alfa é do tipo M.

Agora, vamos analisar a declaração de Beta. O que ele disse? Disse que “Alfa respondeu que sim”. Beta está dizendo a verdade ou está mentindo? Mentindo! Pois Alfa, conforme já havíamos concluído, respondeu que não! Logo, Beta é mentiroso! Passemos à declaração do Gama. Ele disse que “Beta está mentindo”. O Gama está correto? Sim! Está dizendo a verdade, uma vez que havíamos concluído que Beta mente. Logo, Gama está dizendo a verdade! Vamos ao Delta: ele diz que “Gama está mentindo”. Está certo isso? Não! Está errado. Vimos que o Gama é veraz. Logo, Delta é mentiroso! Restaram duas declarações: a do Épsilon e a do Alfa. Épsilon diz que Alfa é mentiroso. Ora, se for verdadeira a declaração do Épsilon, então Épsilon será veraz, e Alfa será mentiroso. Contrariamente, se Épsilon estiver mentindo, então Alfa estará dizendo a verdade. Desse modo, concluímos que, entre Épsilon e Alfa, haverá somente um que mente e somente um que diz a verdade, embora não sabemos quem seja o veraz e o mentiroso. Ora, só queremos saber o número daqueles que dizem a verdade. Logo, concluímos que os verazes são Gama e um segundo andróide, que poderá ser Alfa ou Épsilon, um ou outro.

Ou seja, o número de andróides verazes é igual a dois Resposta: alternativa B.

05) (AFTN 96 ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica d) Angélica, Tânia e Janete b) Janete, Angélica e Tânia e) Tânia, Angélica e Janete c) Angélica, Janete e Tânia Sol.: Temos três amigas: Tânia, Janete e Angélica, que estão sentadas lado a lado em um teatro. Sabemos sobre as três amigas que: 1) Tânia sempre fala a verdade. 2) Janete às vezes fala a verdade. 3) Angélica nunca fala a verdade. Temos as seguintes declarações: 1) A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". 2) A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". 3) A que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio".



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Considere as seguintes posições no teatro, com as respectivas declarações:

ESQUERDA MEIO DIREITA Tânia está no meio! Eu sou Janete! Angélica está no meio!

Temos que Tânia sempre fala a verdade. Logo, não pode ser a da esquerda nem pode ser a do meio, restando, assim, a posição direita para Tânia.

ESQUERDA MEIO Tânia Tânia está no meio! Eu sou Janete! Angélica está no meio!

Como Tânia está à direita e sempre fala a verdade, a sua declaração: “Angélica está no meio!” é verdade! E esta, que está na posição do meio, declara que ela é Janete. Isto está de acordo com o que é dito no enunciado: Angélica sempre mente!

ESQUERDA Angélica Tânia Tânia está no meio! Eu sou Janete! Angélica está no meio!

Só resta a posição esquerda, que claramente será ocupada pela única que ainda não tem posição, a Janete. Esta faz a seguinte declaração: “Tânia está no meio”, e aí descobrimos que também ela mente! Isso não contraria as informações dadas no enunciado: Janete às vezes fala a verdade.

Janete Angélica Tânia Tânia está no meio! Eu sou Janete! Angélica está no meio!

Portanto, obtemos as seguintes posições para as três amigas: Na esquerda: Janete. No meio: Angélica. Na direita: Tânia. Resposta: alternativa B.



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É isso! Esperamos que estas resoluções sejam analisadas com calma por vocês, pois nelas há elementos suficientes a capacitá-los a resolver outras questões de “verdades e mentiras”, como as do dever de casa que se segue. Um abraço a todos e até a semana que vem!

DEVER DE CASA



O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era: a) Abelim d) Dedelim b) Bebelim e) Ebelim c) Cebelim

02. (ACExt TCU 2002 ESAF) Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados

à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:

a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

03. (TTN 1997 ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto” Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente,

a) André, Caio, Beto, Denis b) André, Caio, Dênis, Beto c) Beto, André, Dênis, Caio d) Beto, André, Caio, Dênis e) Caio, Beto, Dênis, André



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04. (CVM 2000 ESAF) Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontrase uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição:

Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.” Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres

na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.” Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.”

Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se, respectivamente: a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão d) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro e) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro

05. (Técnico - SERPRO 2001 ESAF) Depois de um assalto a um banco, quatro testemunhas

deram quatro diferentes descrições do assaltante segundo quatro características, a saber: estatura, cor de olhos, tipo de cabelos e usar ou não bigode.

Testemunha 1: “Ele é alto, olhos verdes, cabelos crespos e usa bigode.” Testemunha 2: “Ele é baixo, olhos azuis, cabelos crespos e usa bigode.” Testemunha 3: “Ele é de estatura mediana, olhos castanhos, cabelos lisos e usa bigode.” Testemunha 4: “Ele é alto, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.” Cada testemunha descreveu corretamente uma e apenas uma das características do assaltante, e cada característica foi corretamente descrita por uma das testemunhas. Assim, o assaltante é: a) baixo, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode. b) alto, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode. c) baixo, olhos verdes, cabelos lisos e não usa bigode. d) estatura mediana, olhos verdes, cabelos crespos e não usa bigode. e) estatura mediana, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.

Gabarito: 01. C 02. A 03. B 04. E 05. C



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AULA NOVE: Verdades e Mentiras (Continuação)

Olá, amigos! Como se saíram no dever de casa?

Começaremos hoje resolvendo aquelas questões que ficaram pendentes! E, na seqüência, apresentaremos a resolução de mais alguns problemas de verdades e mentiras.

Adiante!

DEVER DE CASA



O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era: a) Abelim d) Dedelim b) Bebelim e) Ebelim c) Cebelim

Sol.: Comecemos elencando as informações adicionais que o enunciado nos forneceu. São as seguintes: Abelim não foi ouvido; Só há um culpado; O culpado é veraz (diz a verdade!); Os inocentes estão todos mentindo.

Passemos agora a relacionar as declarações dos envolvidos na situação em tela. Observemos que os nomes dessas pessoas começam com A, B, C, D e E. Usaremos, portanto, apenas suas iniciais. Teremos:

B C é inocente C D é inocente D E é culpado E A é culpado

Ora, sabemos que só há um culpado, conforme a informação adicional do enunciado! Daí, de imediato, já podemos perceber que há duas informações acima que colidem entre si! Quais? As duas primeiras! Se ambas forem mentiras, haveria dois culpados! E só pode haver um! Daí, criamos as duas hipóteses possíveis de serem trabalhadas. Teremos:

Hipótese I Hipótese II B C é inocente Verdade Mentira C D é inocente Mentira Verdade D E é culpado Mentira Mentira E A é culpado Mentira Mentira

O que nos resta fazer agora é testar as hipóteses, a fim de verificar qual delas é a boa! Comecemos pelo teste da primeira hipótese. Teremos:



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B diz a verdade, logo: C é inocente; C mente, logo: D é culpado; Ora, paremos por aí. Se foi concluído acima que D é culpado, resta que ele teria que dizer a verdade, pois isso foi previsto pelo enunciado (o culpado é veraz!). Porém, de acordo com essa primeira hipótese, temos que D mente. Ou seja, houve um conflito entre as conclusões desta hipótese e as informações do enunciado. Conclusão: a primeira hipótese não é a boa! Passemos ao teste da segunda hipótese. Teremos: B mente, logo: C é culpado; C diz a verdade, logo: D é inocente; Podemos dar continuidade à esta análise? Sim, pois até agora, o culpado C é aquele que diz a verdade! Em frente! D mente, logo: E é inocente; E mente, logo: A é inocente. De acordo, pois, com as conclusões emanadas da segunda hipótese, encontramos os seguinte resultado: só há um culpado, que o Cebelim, e ele é o único que diz a verdade! Resultado este totalmente compatível com as informações da questão! Logo: Letra C Resposta da Questão! 02. (ACExt TCU 2002 ESAF) Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados

à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:

a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

Sol.: As informações adicionais do enunciado são as seguintes: Os envolvidos vestem camisa branca, ou azul ou preta;

Só há um culpado; O culpado às vezes mente e às vezes fala a verdade; Entre os inocentes, um sempre mente e o outro sempre fala a verdade.

As declarações dos envolvidos foram, conforme o enunciado, as seguintes:

Camisa Azul: Eu sou o culpado Camisa Branca: O de camisa azul é o culpado Camisa Preta: Eu sou o culpado

Ora, se o enunciado amarrou que só há um culpado, fica evidenciado que entre a primeira declaração e a última há uma delas que será necessariamente mentirosa. Concordam? Caso contrário, haveria dois culpados (e só pode haver um!). Com isso, criaremos as seguintes hipóteses:



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Hipótese I Hipótese II

Camisa Azul: Eu sou o culpado Verdade Mentira Camisa Branca: O de camisa azul é o culpado ... ... Camisa Preta: Eu sou o culpado Mentira Verdade

Vamos aos testes das hipóteses acima. Começando pela primeira: Camisa Azul diz a verdade, logo: Camisa azul é o culpado; Camisa Preta mente, logo: Camisa Preta é inocente; Neste caso, restará que a declaração do de Camisa Branca será verdadeira, uma vez que o culpado, conforme esta hipótese, é mesmo o de Camisa Azul. Daí, teremos que:

Camisa Azul: Eu sou o culpado Às vezes diz a verdade, às vezes mente

(neste caso, disse a verdade!) Camisa Branca: O de camisa azul é o culpado Sempre diz a verdade Camisa Preta: Eu sou o culpado Sempre mente

Importante perceber aqui que, entre os dois inocentes, há um que mente e um que diz a verdade! Este é o resultado que não conflita, em nada, com as informações adicionais do enunciado! Está tudo compatível, de modo que concluímos que a Hipótese I é a boa! Caso fôssemos testar a segunda hipótese (faça isso!), veríamos que entre os inocentes haveria dois mentirosos! E isso não seria possível, conforme o enunciado. Conclusão: Letra A Resposta da Questão! 03. (TTN 1997 ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro

primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto” Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente,

a) André, Caio, Beto, Denis b) André, Caio, Dênis, Beto c) Beto, André, Dênis, Caio d) Beto, André, Caio, Dênis e) Caio, Beto, Dênis, André

Sol.: A única informação adicional que temos é que, entre as declarações dos juízes, uma será verdadeira e a outra, falsa.

Faremos aqui uma tabela para facilitar nosso raciocínio. Teremos:

Juiz 1 André foi o 1º Beto foi o 2º Juiz 2 André foi o 2º Dênis foi o 3º Juiz 3 Caio foi o 2º Dênis foi o 4º

Para criarmos a primeira hipótese, podemos supor que as declarações do Juiz 1 são,

respectivamente, verdadeira e falsa. Teremos:



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Juiz 1 André foi o 1º verdade

Beto foi o 2º mentira

Juiz 2 André foi o 2º Dênis foi o 3º Juiz 3 Caio foi o 2º Dênis foi o 4º

Feito isso, daremos continuidade à análise das declarações dos demais juízes, de acordo

com o que foi previsto na hipótese acima. Teremos: Juiz 2:

André foi o 2º: Terá que ser mentira (uma vez que já era sabido que André foi o 1º); Dênis foi o 3º: Terá que ser verdade (uma vez que a declaração acima foi mentira)

Juiz 3:

Dênis foi o 4º: Terá que ser mentira (uma vez que já era sabido que Dênis foi o 3º); Caio foi o 2º: Terá que ser verdade (uma vez que a declaração acima foi mentira).

De acordo com a análise supra, teríamos, finalmente, os seguintes resultados: 1º colocado) André 2º colocado) Caio 3º colocado) Dênis 4º colocado) Beto

Resultado este inteiramente compatível com o enunciado, ou seja, não houve empates

e as declarações dos juízes têm, todas elas, uma verdade e uma mentira! Conclusão: Letra B Resposta da Questão!

04. (CVM 2000 ESAF) Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada

uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição:

Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.” Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres

na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.” Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.”

Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se, respectivamente: a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão d) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro e) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro

Sol.: As informações adicionais são as seguintes: Há, atrás das três portas, uma princesa, um dragão e um tesouro; Somente uma porta é mentirosa; as outras duas, verdadeiras. As inscrições das portas são as seguintes:

Porta 1: Princesa na porta 2 Porta 2: Tesouro na porta 2 e dragão na porta 3 Porta 3: Dragão não está aqui



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Ora, sabendo que só há uma porta mentirosa, concluímos de pronto que as inscrições das portas 2 e 3 são incompatíveis. Ou seja, não podem ambas ser, ao mesmo tempo, verdadeiras. Uma delas será falsa! Concordam?

Com isso, podemos criar as seguintes hipóteses:

Hipótese I Hipótese II Porta 1: Princesa na porta 2 Verdade Verdade Porta 2: Tesouro na porta 2 e

dragão na porta 3 Mentira Verdade

Porta 3: Dragão não está aqui Verdade Mentira

O teste da segunda hipótese não sobrevive, sequer, a um olhar mais apurado. Senão, vejamos: nela é dito, pela porta 1, que a princesa está na porta 2. E a porta 2, por sua vez, diz que quem está na porta 2 é o tesouro. Ou seja, conclusões incompatíveis que nos fazem concluir que a hipótese 2 não é a boa!

Testando a primeira hipótese, e já sabendo que é a hipótese boa, teremos:

Porta 1 é veraz, logo: Princesa na porta 2; Porta 3 é veraz, logo: Dragão não está na porta 3.

Ora, se é verdade que o dragão não está na porta 3, e que quem está na porta 2 é a princesa, resta que o dragão só poderia estar, finalmente, na porta 1.

Porta 2 mente, logo: Tesouro não está na porta 2 e dragão não está na porta 3.

Percebamos que estas últimas conclusões são compatíveis com as primeiras. Ou seja, o tesouro não está, de fato, na porta 2. (Quem está na porta 2 é a princesa!). E o dragão não está realmente na porta 3.

Daí, as conclusões emanadas desta primeira hipótese são as seguintes:

Porta 1: Dragão Porta 2: Princesa Porta 3: Tesouro

Conclusão final: Letra E Resposta da Questão!

05. (Técnico - SERPRO 2001 ESAF) Depois de um assalto a um banco, quatro testemunhas

deram quatro diferentes descrições do assaltante segundo quatro características, a saber: estatura, cor de olhos, tipo de cabelos e usar ou não bigode.

Testemunha 1: “Ele é alto, olhos verdes, cabelos crespos e usa bigode.” Testemunha 2: “Ele é baixo, olhos azuis, cabelos crespos e usa bigode.” Testemunha 3: “Ele é de estatura mediana, olhos castanhos, cabelos lisos e usa bigode.” Testemunha 4: “Ele é alto, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.” Cada testemunha descreveu corretamente uma e apenas uma das características do assaltante, e cada característica foi corretamente descrita por uma das testemunhas. Assim, o assaltante é: a) baixo, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode. b) alto, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode. c) baixo, olhos verdes, cabelos lisos e não usa bigode. d) estatura mediana, olhos verdes, cabelos crespos e não usa bigode. e) estatura mediana, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.

Sol.: Comecemos com as informações adicionais do enunciado. Teremos: Cada testemunha descreveu corretamente apenas uma das características;



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Cada característica foi descrita corretamente por apenas uma das testemunhas. Daí, deduzimos que se houver duas respostas iguais acerca de uma característica qualquer, essa resposta não poderá ser verdadeira! Façamos a seguinte tabela:

Estatura? Cor dos olhos? Cabelos? Usa bigode? Testemunha 1 Alta Verdes Crespos Usa Testemunha 2 Baixa Azuis Crespos Usa Testemunha 3 Mediana Castanhos Lisos Usa Testemunha 4 Alta negros crespos Não usa

Nosso teste consistirá, a princípio em identificar respostas iguais, referentes a cada característica descrita. Estas respostas, já sabemos, serão todas falsas! Teremos:

Estatura? Cor dos olhos? Cabelos? Usa bigode? Testemunha 1 Alta Verdes Crespos Usa Testemunha 2 Baixa Azuis Crespos Usa Testemunha 3 Mediana Castanhos Lisos Usa Testemunha 4 Alta negros Crespos Não usa

Somente por essa análise inicial, já podemos chegar a duas conclusões: a testemunha 3 disse a verdade sobre os cabelos: são lisos; a testemunha 4 disse a verdade sobre o bigode: não é usado. Como o enunciado disse que cada testemunha acertou apenas uma característica, resta que as demais respostas dessas duas que acabamos de tratar (terceira e quarta) serão necessariamente falsas. Vejamos como fica:


Daí, só restou uma resposta possível para a estatura. Qual? Baixa! E essa é a resposta da Testemunha 2. Daí, as demais respostas da Testemunha 2 são necessariamente falsas. Teremos:


Finalmente, restou apenas uma possibilidade para a cor dos olhos! As características reais desse ladrão são as seguintes em destaque:


Ou seja, o ladrão é baixo, tem olhos verdes, cabelos lisos e não usa bigode. Conclusão: Letra C Resposta da Questão!



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É isso! Esperamos que vocês tenham se saído bem nestas resoluções! Na seqüência, apresentamos a solução de outras quatro questões, todas de Verdades e Mentiras, antes de propormos o nosso Dever de Casa de hoje! Vamos a elas!

01. (MPU Administrativa 2004) Você está à frente de duas portas. Uma delas conduz a um tesouro; a outra, a uma sala vazia. Cosme guarda uma das portas, enquanto Damião guarda a outra. Cada um dos guardas sempre diz a verdade ou sempre mente, ou seja, ambos os guardas podem sempre mentir, ambos podem sempre dizer a verdade, ou um sempre dizer a verdade e o outro sempre mentir. Você não sabe se ambos são mentirosos, se ambos são verazes, ou se um é veraz e o outro é mentiroso. Mas, para descobrir qual das portas conduz ao tesouro, você pode fazer três (e apenas três) perguntas aos guardas, escolhendo-as da seguinte relação:

P1: O outro guarda é da mesma natureza que você (isto é, se você é mentiroso ele também o é, e se você é veraz ele também o é)?

P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro?

P3: O outro guarda é mentiroso?

P4: Você é veraz?

Então, uma possível seqüência de três perguntas que é logicamente suficiente para assegurar, seja qual for a natureza dos guardas, que você identifique corretamente a porta que leva ao tesouro, é

a) P2 a Cosme, P2 a Damião, P3 a Damião.

b) P3 a Damião, P2 a Cosme, P3 a Cosme.

c) P3 a Cosme, P2 a Damião, P4 a Cosme.

d) P1 a Cosme, P1 a Damião, P2 a Cosme.

e) P4 a Cosme, P1 a Cosme, P2 a Damião.

Sol.:

Esta é mais uma questão que envolve “verdades e mentiras”, mas não é fornecido qualquer indício de quem fala a verdade e de quem mente. Também diferentemente das outras questões que já resolvemos, aqui não são feitas declarações, mas sim perguntas aos guardas.

Vamos aos dados trazidos na questão:

Dados da questão:

- Há duas portas. Uma delas conduz a um tesouro e a outra, a uma sala vazia.

- Cosme guarda uma das portas, enquanto Damião guarda a outra.

- Cada um dos guardas sempre diz a verdade ou sempre mente.

Perguntas para descobrir a porta do tesouro:

P1: O outro guarda é da mesma natureza que você (isto é, se você é mentiroso ele também o é, e se você é veraz ele também o é)?

P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro?

P3: O outro guarda é mentiroso?

P4: Você é veraz?



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Pede-se a seqüência de 3 perguntas necessárias para identificar a porta que leva ao tesouro!

Da mesma forma que procedemos nas soluções das questões de “verdades e mentiras” feitas na aula passada, também vamos definir hipóteses.

Como temos dois guardas (Cosme e Damião), e não sabemos se mentem ou se dizem a verdade, então devemos estabelecer quatro hipóteses possíveis mostradas a seguir:

1ª) Cosme veraz e Damião veraz.

2ª) Cosme veraz e Damião mente.

3ª) Cosme mente e Damião veraz.

4ª) Cosme mente e Damião mente.

Estabelecidas as hipóteses, temos que testar as alternativas, as quais são compostas por três perguntas. Para ganharmos tempo na solução da questão, podemos tentar descartar algumas alternativas com base nas perguntas que cada uma contém. Nesta questão não tem como descartar as hipóteses!

A pergunta P4 – Você é veraz? – não tem valor para a solução da questão, porque se fizermos essa pergunta a uma pessoa que diz a verdade e a uma pessoa que mente, a resposta será a mesma: SIM. Então, podemos eliminar as alternativas que contém essa pergunta P4, que neste caso são as alternativas C e E. Restando-nos as alternativas A, B e D.

A pergunta P2 só tem sentido de ser feita depois que descobrirmos quem mente e quem diz a verdade, porque senão a resposta a essa pergunta não fornece nenhum subsídio para descobrirmos a porta do tesouro. Portanto, esta pergunta deve ser deixada por último! As únicas alternativas que tem P2 como última pergunta são a D e a E. Mas, a E já foi descartada anteriormente, então resta-nos somente a D. Vamos testar esta alternativa para termos certeza!

Testar cada pergunta da alternativa D: “P1 a Cosme, P1 a Damião, P2 a Cosme”.

Teste das duas primeiras perguntas: P1 a Cosme e P1 a Damião.

HIPÓTESES P1 a Cosme P1 a Damião

Cosme veraz e Damião veraz Cosme responde SIM Damião responde SIM

Cosme veraz e Damião mente Cosme responde NÃO Damião responde SIM

Cosme mente e Damião veraz Cosme responde SIM Damião responde NÃO

Cosme mente e Damião mente Cosme responde NÃO Damião responde NÃO

Observemos que o par de respostas, na tabela acima, são diferentes para cada hipótese. Desta maneira, saberemos se os guardas mentem ou dizem a verdade de acordo com o par de respostas. Exemplificando: se Cosme responde SIM e Damião responde SIM, logo Cosme e Damião falam sempre a verdade; se Cosme responde NÃO e Damião responde SIM, logo Cosme fala sempre a verdade e Damião sempre mente. E assim por diante!

Agora só falta analisar a terceira pergunta da alternativa D : “P2 a Cosme”.

Pelas respostas às duas primeiras perguntas da alternativa “d”, já sabemos se Cosme é mentiroso ou veraz, portanto saberemos onde está o tesouro após ser feita a última pergunta (P2 a Cosme).



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Exemplificando: considerando que obtemos que Cosme é mentiroso, e ele respondendo NÃO à pergunta P2, então saberemos que o tesouro estará sim sob a sua guarda; mas se ele responde SIM, então o tesouro não está sob a sua guarda, logo está sob a guarda de Damião.

Concluímos que a alternativa D traz as perguntas necessárias para identificarmos a porta que leva ao tesouro!

Resposta: Alternativa D.

02. (Fiscal do Trabalho 2003) Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as seguintes indicações: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”. Depois, já em Beta, encontra dois sinais com as indicações: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”. Ao chegar a Gama, encontra mais dois sinais: “Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”. Soube, então, que, em uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; em outra, todos os sinais têm indicações corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem indicação errada (não necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente: a) 5 e 3 d) 4 e 3 b) 5 e 6 e) 5 e 2 c) 4 e 6 Sol.:

Temos os seguintes dados:

- As vilas são Alfa, Beta e Gama.

- Em Alfa, ele avista: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”.

- Em Beta, ele avista: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”.

- Em Gama, ele avista: “Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”.

- Uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas;

- Em outra, todos os sinais têm indicações corretas;

- E na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem indicação errada.

Como temos 3 tipos de placas, então teremos SEIS (permutação de três) possíveis hipóteses:

VILAS 1ª Hipótese 2ª Hipótese 3ª Hipótese 4ª Hipótese 5ª Hipótese 6ª Hipótese

Alfa corretas corretas erradas corretas e erradas

erradas corretas e erradas

Beta erradas corretas e erradas

corretas corretas corretas e erradas

erradas

Gama corretas e erradas

erradas corretas e erradas

erradas corretas corretas

Alfa Beta Gama



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Fazendo uma análise superficial das indicações das placas em cada vila, já poderíamos descartar algumas dessas hipóteses. Porém, testaremos uma a uma até acharmos a hipótese correta, pois os testes são fáceis e rápidos.

- Teste da 1ª hipótese: Alfa - corretas, Beta - erradas, Gama - corretas e erradas.

1) Em Alfa, ele avista: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”. Daí, teremos o seguinte desenho:

2) Por esta hipótese: placas erradas em Beta. Vamos verificar se ocorre contradições!

Em Beta, ele avista: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”. E pelo desenho acima, realmente estas duas indicações estão erradas!

3) Por esta hipótese: placa correta e placa errada em Gama! Vamos verificar se ocorre contradições!

Em Gama, ele avista: “Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”. E pelo desenho acima, a indicação Alfa a 7 km está correta e a indicação Beta a 3 km está errada!

Concluímos que esta hipótese está certa, daí a distância entre Alfa e Beta é de 5 km e a distância entre Beta a Gama é de 2 km.

Resposta: Alternativa E.

03. (Técnico SERPRO 2001 ESAF) Daniel encontra-se em visita ao país X. Este país é formado por apenas duas tribos, a saber, a tribo dos Nuncamentem e a dos Semprementem. Embora utilizem exatamente a mesma língua, os Nuncamentem sempre dizem a verdade, e os Semprementem jamais dizem a verdade. Daniel ainda não domina o idioma local. Sabe que “balá” e “melé” são as palavras utilizadas para significar “sim” e “não”. O que Daniel não sabe é qual delas significa “sim” e qual delas significa “não”. Daniel encontra três amigos, habitantes de X, sem saber quantos deles são Nuncamentem e quantos são Semprementem. Daniel pergunta a cada um dos três separadamente: “Os teus dois amigos são Nuncamentem?”. A esta pergunta, todos os três respondem “balá”. A seguir, Daniel pergunta a cada um dos três separadamente: “Os teus dois amigos são Semprementem?”. A esta pergunta, os dois primeiros respondem “balá”, enquanto o terceiro responde “melé”. Daniel pode, então, concluir corretamente que:

a) exatamente dois amigos são Semprementem e “balá” significa “sim”.

b) exatamente dois amigos são Nuncamentem e “balá” significa “sim”.

c) exatamente dois amigos são Semprementem e “balá” significa “não”.

d) os três amigos são Semprementem e “balá” significa “não”.

e) exatamente dois amigos são Nuncamentem e “balá” significa “não”.

Alfa Beta Gama

5 km 2 km



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Sol.:

Dados fornecidos na questão:

- Daniel encontra-se em visita ao país X.

- O país é formado por apenas duas tribos: a dos Nuncamentem (sempre dizem a verdade) e a dos Semprementem (jamais dizem a verdade).

- “balá” e “melé” são as palavras utilizadas para significar “sim” e “não”.

E também temos as seguintes perguntas e respostas:

1ª pergunta)Daniel pergunta a 3 habitantes: “Os teus dois amigos sempre dizem a verdade?”

1º habitante responde: balá



2ª pergunta)Daniel pergunta a 3 habitantes: “Os teus dois amigos sempre mentem?”.



3º habitante responde: melé

Como de praxe, vamos estabelecer hipóteses! Temos três habitantes e não sabemos se mentem ou dizem a verdade, daí devemos estabelecer oito hipóteses mostradas a seguir (V simboliza que o habitante diz a verdade e m que diz mentiras):

1ª Hip. 2ª Hip. 3ª Hip. 4ª Hip. 5ª Hip. 6ª Hip. 7ª Hip. 8ª Hip.

1º habitante V V V V m m m m

2º habitante V V m m V V m m

3º habitante V m V m V m V m

Não devemos testar todas as hipóteses, pois assim perderemos muito tempo na solução! O que devemos fazer? Observem que nas respostas às duas perguntas que Daniel fez aos três habitantes, tanto o 1º habitante como o 2º habitante respondem a mesma coisa, já o 3º habitante responde diferente na segunda pergunta. Isso nos leva a deduzir que os dois primeiros habitantes são de uma mesma tribo, enquanto o terceiro é de outra tribo.

Seguindo essa linha de raciocínio, só temos duas hipóteses que podem ser verídicas: a 2ª hipótese e a 7ª hipótese. Vamos testar essas duas hipóteses!

- Teste da 2ª hipótese: V, V, m

Para testarmos esta hipótese, escreveremos junto a cada habitante se ele diz a verdade ou se ele mente! E procederemos a análise de cada resposta!

1ª pergunta)Daniel pergunta a 3 habitantes:“Os teus dois amigos sempre dizem a verdade?”.



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1º habitante (diz a verdade) responde: balá O 1º habitante deve responder NÃO, porque um dos outros dois amigos mentem.

2º habitante (diz a verdade) responde: balá O 2º habitante também deve responder NÃO, porque um dos outros dois amigos mentem.

3º habitante (mente) responde: balá O 3º habitante deveria responder SIM, porque os outros dois amigos dizem a verdade, mas como ele é mentiroso, então ele responde NÃO.

Concluímos da análise acima, que balá significa NÃO, daí melé só resta significar SIM! E até este momento não houve contradições para descartarmos esta hipótese! Passemos a análise das respostas da outra pergunta.

2ª pergunta)Daniel pergunta a 3 habitantes: “Os teus dois amigos sempre mentem?”.

1º habitante (diz a verdade) responde: balá O 1º habitante deve responder NÃO, porque um dos outros dois amigos diz a verdade.

2º habitante (diz a verdade) responde: balá O 2º habitante também deve responder NÃO, porque um dos outros dois amigos diz a verdade.

3º habitante (mente) responde: melé O 3º habitante deveria responder NÃO, porque os outros dois amigos dizem a verdade, mas como ele é mentiroso, então ele responde SIM.

Os resultados desta análise concordam com os obtidos na análise anterior, de que balá significa NÃO e de que melé significa SIM! Não houve contradições nesta hipótese! Portanto, obtemos que dois amigos sempre dizem a verdade (tribo dos Nuncamentem) e um amigo sempre mente (tribo dos Semprementem).


04. (Analista MPU/ESAF) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que “Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam “sim” e “não”, mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, conseqüentemente, qual significa “não”. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta:

– Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?

– Milango –, responde o jovem.

– E a tua aldeia é maior do que a desse homem? –, voltou Sócrates a perguntar.

– Milango –, tornou o jovem a responder.



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– E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates.

– Nabungo –, disse o jovem.

Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que

a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.

b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena.

c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.

d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.

e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.

Sol.:

Temos os seguintes dados trazidos no enunciado da questão:

Os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem.

Sabe, também, que “Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam “sim” e “não”.

Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta:


– Milango –, responde o jovem.


– Milango –, tornou o jovem a responder.


– Nabungo –, disse o jovem.

Vamos iniciar analisando a última pergunta, pois esta não envolve nem o homem nem a mulher, somente o jovem.

É importante saber e lembrar, que quando se pergunta a uma pessoa se ela mente, a resposta sempre será não, independentemente se a pessoa sempre mente ou se sempre diz a verdade.

A última pergunta feita ao jovem é indagando se ele é da aldeia maior, isso é o mesmo que perguntar se ele mente, pois quem é da aldeia maior mente. Já sabemos que a resposta a este tipo de pergunta sempre é não. Logo, descobrimos que Nabungo quer dizer não. Resta que Milango é sim.

Substituindo Nabungo por não e Milango por sim, reescreveremos as respostas do enunciado:


– Não –, disse o jovem.


– Sim –, tornou o jovem a responder.



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– Sim –, responde o jovem.

Vamos supor que o Jovem diz sempre a verdade (ou seja, que é da aldeia menor) e testaremos esta hipótese.

Agora, vamos analisar a seguinte pergunta e sua resposta:


– Sim –, tornou o jovem a responder.

A resposta do jovem deveria ser não, independente de o homem ser da aldeia menor ou maior, já que supomos que o jovem é da aldeia menor. Logo, chegamos a uma contradição, portanto a suposição de que o Jovem diz sempre a verdade é falsa. Obtemos, assim, que o jovem mente, ou seja, ele é da aldeia maior.

Vamos analisar esta pergunta novamente, mas sabendo agora que o jovem mente e que é da aldeia maior. O jovem mentiroso respondeu sim, logo a verdade é não. Isto significa que a aldeia do jovem não é maior do que a aldeia do homem, e, portanto, obtemos que o homem também é da aldeia maior.

Agora, vamos analisar a seguinte pergunta e sua resposta:


– Sim –, responde o jovem.

Sabemos até o momento que o jovem e o homem são da aldeia maior. Como o jovem mente, a resposta verdadeira à pergunta acima deveria ser não. Isto significa que a mulher também é da aldeia grande, ou seja, a mulher também mente.

Concluímos que o casal (o homem e a mulher) e o jovem são da aldeia maior e que todos mentem!


É isso, minha gente!

Quem acompanha provas de raciocínio lógico, sobretudo elaboradas pela Esaf, sabe que uma questãozinha de Verdades e Mentiras é quase sempre cobrada!

Convém, sem dúvida alguma, revisar com cuidado esta aula e a anterior, refazer as questões (todas elas!), no intuito de nos familiarizarmos cada vez mais com este estilo de raciocínio!

Na seqüência, apresentamos o Dever de Casa de hoje!

Forte abraço a todos e até semana que vem, se Deus quiser!



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DEVER DE CASA

01. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações:

O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”

O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.”

O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.”

Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que:

a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro.

b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo.

c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.

d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro.

e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.

02. (CGM RJ 2003 FJG) Juca, João e José fizeram as seguintes afirmações:

Juca: Eu fui aprovado no concurso ou José foi aprovado no concurso.

João: Se José não foi aprovado no concurso, então eu fui aprovado no concurso.

José: Eu fui aprovado no concurso ou João foi aprovado no concurso.

Admitindo-se que apenas uma das três afirmações acima seja verdadeira, é correto concluir que:

A) José foi aprovado no concurso

B) Juca foi aprovado no concurso

C) Juca e João foram aprovados no concurso

D) José e João foram aprovados no concurso

03. (MPOG 2002) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5



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04. (Analista MPU/ESAF) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe:

Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”.

Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set”.

Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”.

Denise: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante”.

Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”.

Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que

a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante.

b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante.

c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante.

d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set.

e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set.

05. (CVM – 2000) Beatriz encontrava-se em viagem por um país distante, habitado pelos vingos e pelos mingos. Os vingos sempre dizem a verdade; já os mingos sempre mentem. Certo dia, vendo-se perdida em uma estrada, Beatriz dirigiu-se a um jovem que por ali passava e perguntou-lhe: “Esta estrada leva à Aldeia Azul?”. O jovem respondeu-lhe: “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”. Como não soubesse se o jovem era vingo ou mingo, Beatriz fez-lhe outra pergunta: “E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias?”. E o jovem respondeu: “Responderia que sim”. Dadas as respostas do jovem, Beatriz pôde concluir corretamente que

a) o jovem era mingo e a estrada não levava à Aldeia Azul

b) o jovem era mingo e a estrada levava à Aldeia Azul

c) o jovem era vingo e a estrada não levava à Aldeia Azul

d) o jovem era vingo e a estrada levava à Aldeia Azul

e) o jovem poderia ser vingo ou mingo, e a estrada levava à Aldeia Azul

Gabarito: 01. b 02. b 03. d 04. b 05. a



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AULA DEZ: Análise Combinatória (Parte I)

Olá, amigos!

Hoje iniciamos um assunto novo: Análise Combinatória! É este também um dos mais freqüentes nas provas de Raciocínio Lógico, quer elaboradas pela Esaf, quer por outra qualquer mesa elaboradora!

Antes de mais nada, porém, passemos à correção do dever de casa da aula passada.

DEVER DE CASA

01. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.” O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.” O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.” Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir

corretamente que: a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro. b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo. c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro. e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo. Sol.: - Temos as seguintes informações sobre os três homens: 1) O marceneiro sempre diz a verdade; 2) O pedreiro sempre mente; 3) O ladrão ora mente, ora diz a verdade. - Os três homens fazem as seguintes declarações: 1) O primeiro homem diz: “Eu sou o ladrão.” 2) O segundo homem diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.” 3) O terceiro homem diz: “Eu sou o ladrão.”

Pela questão, não se sabe quem, entre eles, é quem! Faremos algumas suposições para identificar os homens que fizeram as declarações! Vamos supor a um dos declarantes que ele diz a verdade (ou seja, é o marceneiro), e depois testaremos esta suposição! Assim, devemos realizar três testes, conforme mostramos abaixo:

1º teste: Supor que o primeiro homem que declara é o marceneiro; 2º teste: Supor que o segundo homem que declara é o marceneiro; 3º teste: Supor que o terceiro homem que declara é o marceneiro.

Realizando os testes: 1º teste: Supor que o primeiro homem que declara é o marceneiro: O primeiro homem declara: “Eu sou o ladrão”! Portanto, este homem não pode ser o marceneiro, pois o marceneiro sempre diz a verdade, e assim nunca se declararia que é ladrão! Concluímos que o primeiro homem não é o marceneiro!



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Veja que tanto o primeiro homem quanto o terceiro homem declaram a mesma coisa! Daí, o 3º teste terá um resultado similar ao obtido pelo 1º teste: o marceneiro não pode ser o terceiro homem! Então, com certeza, o 2º teste terá um resultado positivo, pois foi o único que restou! Donde concluímos que o segundo homem é o marceneiro! E como o marceneiro é o segundo homem, então é verdadeira a sua declaração! Daí, obtemos que o primeiro homem diz a verdade! Como o primeiro homem diz a verdade, então ele é o ladrão (não pode ser o pedreiro, pois este sempre mente!). Resta que o terceiro homem é o pedreiro, que sempre mente! Resposta: alternativa B. 02. (MPOG 2002) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda.

As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por:

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

Sol.: O enunciado traz as seguintes informações:

- Há cinco amigas: Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, que são tias ou irmãs de Zilda. - As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem.

Também, temos as seguintes declarações feitas pelas cinco amigas:

1) Ana diz: Bia é tia de Zilda 2) Bia diz: Cati é irmã de Zilda 3) Cati diz: Dida é irmã de Zilda 4) Dida diz: Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda 5) Elisa diz: Ana é tia de Zilda

Vamos supor que a primeira declarante seja tia de Zilda, ou seja, estamos supondo que Ana é tia de Zilda, e como as tias sempre dizem a verdade, então Ana sempre diz a verdade! Agora, testaremos esta suposição: Ana diz: Bia é tia de Zilda. Como Ana diz a verdade, então Bia é tia de Zilda!

Logo, Bia diz a verdade!

Bia diz: Cati é irmã de Zilda Também Bia diz a verdade, então Cati é irmã de Zilda! Logo, Cati mente!

Cati diz: Dida é irmã de Zilda Temos que Cati mente, então Dida não é irmã de Zilda, mas sim tia de Zilda! Logo, Dida diz a verdade!

Dida diz: Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda.

Como Dida diz a verdade, e como obtemos anteriormente que Bia é tia de Zilda, então concluímos que Elisa é irmã de Zilda! Logo, Elisa mente!

Elisa diz: Ana é tia de Zilda Elisa mente, logo Ana não é tia de Zilda! Porém, isto

contradiz a suposição inicial que fizemos: Ana é tia de Zilda! Assim, como ocorreu uma contradição, então a suposição inicial está errada, restando-nos considerar que, com certeza, Ana é irmã de Zilda!



3

Sabendo que Ana é irmã de Zilda, faremos uma nova análise nas declarações de cada amiga, para identificarmos cada uma delas quanto ao parentesco com Zilda. Ana diz: Bia é tia de Zilda. Como Ana é irmã de Zilda, logo Ana mente, daí Bia

não é tia de Zilda, mas sim irmã! Logo, Bia mente!

Bia diz: Cati é irmã de Zilda Como Bia mente, então Cati não é irmã de Zilda, mas sim tia! Logo, Cati diz a verdade!

Cati diz: Dida é irmã de Zilda Temos que Cati diz a verdade, então Dida é irmã de Zilda! Logo, Dida mente!

Dida diz: Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda.

Como Dida mente, então Bia e Elisa têm iguais graus de parentesco com Zilda, como obtemos anteriormente que Bia é irmã de Zilda, então concluímos que Elisa também é irmã de Zilda! Logo, Elisa mente!

Elisa diz: Ana é tia de Zilda Elisa mente, então Ana não é tia de Zilda! Este

resultado está de acordo com o que estabelecemos inicialmente!

- Resultados obtidos:

Ana é irmã de Zilda! Bia é irmã de Zilda! Cati é tia de Zilda! Dida é irmã de Zilda! Elisa é irmã de Zilda!

Resposta: alternativa D. 03. (Analista MPU/ESAF) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o

jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe:

Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”. Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set”. Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”. Denise: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar

é a equipe visitante”. Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”. Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe

visitante. b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe

visitante. c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe

visitante. d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o

primeiro set. e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set.



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Sol.: Entre as cinco amigas de Fernanda: Amanda, Berenice, Camila, Denise e Eunice, duas delas estão mentindo e as outras três dizem a verdade. Para descobrirmos quem mente e quem diz a verdade, temos que escolher uma das amigas de Fernanda e supor que ela está falando a verdade! Escolheremos Denise, pois a sua declaração contém várias informações.

Teste da suposição: “Denise diz a verdade”. Considerando que Denise diz a verdade, obtemos da sua declaração: - É verdade que: o escore não está 13 a 12. - É verdade que: a Ulbra está perdendo este set. - É verdade que: quem vai sacar é a equipe visitante. A partir destes resultados, analisaremos as declarações das quatro outras amigas para identificar quem mente e quem diz a verdade. Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”. Amanda mente!

Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já

ganhou o primeiro set”. Nada podemos afirmar sobre Berenice!

Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”. Camila mente!

Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra

está ganhando este set”. Eunice mente!

Da análise acima, temos que três amigas mentem! Entretanto, isso contradiz o enunciado da questão que afirma que só há duas mentindo! Portanto, a suposição inicial que Denise diz a verdade está errada! Logo, Denise mente! Ainda falta identificar sobre a verdade das declarações das outras quatro amigas: Amanda, Berenice, Camila e Eunice. Sabemos, agora, que entre estas somente uma mente! A partir disso, adotaremos o seguinte procedimento que já adotado na aula passada: observaremos, entre as declarações destas quatro amigas, duas que não podem ser ambas verdadeiras! Rapidamente, obtemos que Amanda e Berenice não podem, ambas, estarem dizendo a verdade! Pois uma diz que o escore está 13 a 12, e a outra diz que não está 13 a 12! Portanto, uma mente e a outra diz a verdade! Observe que a declaração de Berenice também entra em choque com a declaração de Camila! Portanto, uma mente e outra diz a verdade! Com estes dois resultados, concluímos que Berenice mente! Como duas mentem e três dizem a verdade, chegamos aos seguintes resultados finais: Amanda diz a verdade! Berenice mente! Camila diz a verdade! Denise mente! Eunice diz a verdade! Quais são as respostas às seguintes perguntas?

1) O escore está 13 a 12? Amanda diz que SIM! 2) A Ulbra está vencendo este set? Camila e Eunice dizem que SIM! 3) Quem vai sacar é a equipe visitante? Eunice diz que SIM!

Resposta: alternativa B.



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04. (CVM – 2000) Beatriz encontrava-se em viagem por um país distante, habitado pelos vingos e pelos mingos. Os vingos sempre dizem a verdade; já os mingos sempre mentem. Certo dia, vendo-se perdida em uma estrada, Beatriz dirigiu-se a um jovem que por ali passava e perguntou-lhe: “Esta estrada leva à Aldeia Azul?”. O jovem respondeu-lhe: “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”. Como não soubesse se o jovem era vingo ou mingo, Beatriz fez-lhe outra pergunta: “E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias?”. E o jovem respondeu: “Responderia que sim”. Dadas as respostas do jovem, Beatriz pôde concluir corretamente que

a) o jovem era mingo e a estrada não levava à Aldeia Azul b) o jovem era mingo e a estrada levava à Aldeia Azul c) o jovem era vingo e a estrada não levava à Aldeia Azul d) o jovem era vingo e a estrada levava à Aldeia Azul e) o jovem poderia ser vingo ou mingo, e a estrada levava à Aldeia Azul

Sol.: Temos as seguintes informações trazidas no enunciado da questão:

1) Um país distante é habitado pelos vingos e pelos mingos. 2) Os vingos sempre dizem a verdade; já os mingos sempre mentem.

Beatriz faz duas perguntas a um jovem:

1ª) Esta estrada leva à Aldeia Azul? Resposta: “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”. 2ª) E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias? Resposta: “Responderia que sim”.

Até o momento não sabemos se o jovem é vingo ou mingo! Vamos supor que ele seja vingo, e analisaremos as perguntas e respostas acima para testar esta suposição!

Análise da 1ª pergunta e resposta: Esta estrada leva à Aldeia Azul? “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”.

Como supomos que o jovem é vingo, logo a sua resposta é verdadeira, e obtemos que é verdade que a estrada leva à Aldeia Azul! Vamos analisar a outra pergunta!

Análise da 2ª pergunta e resposta: E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias? “Responderia que sim”.

Como supomos que o jovem é vingo, a resposta a pergunta acima deve ser NÃO! Entretanto, o jovem respondeu SIM! Ou seja, ocorreu uma contradição, daí a suposição inicial de que o jovem é vingo não é correta! Então, o jovem é mingo! Sabendo que o jovem é mingo (mentiroso), vamos analisar novamente as perguntas e respostas para descobrir se a estrada leva, ou não, a aldeia azul!

Análise da 1ª pergunta e resposta: Esta estrada leva à Aldeia Azul? “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”.

Já sabemos que o jovem mente, portanto quando ele diz SIM na resposta acima, significa que a resposta verdadeira (correta) é NÃO! Assim, a estrada não leva à Aldeia Azul! Assim, obtemos: O jovem é mingo! A estrada não leva à Aldeia Azul! Resposta: alternativa A.



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05. (CGM RJ 2003 FJG) Juca, João e José fizeram as seguintes afirmações: Juca: Eu fui aprovado no concurso ou José foi aprovado no concurso. João: Se José não foi aprovado no concurso, então eu fui aprovado no concurso. José: Eu fui aprovado no concurso ou João foi aprovado no concurso.

Admitindo-se que apenas uma das três afirmações acima seja verdadeira, é correto concluir que: A) José foi aprovado no concurso B) Juca foi aprovado no concurso C) Juca e João foram aprovados no concurso D) José e João foram aprovados no concurso Sol.: De acordo com os dados fornecidos na questão, temos três hipóteses possíveis:

1ª hipótese 2ª hipótese 3ª hipótese Afirmação de Juca verdadeira falsa falsa Afirmação de João falsa verdadeira falsa Afirmação de José falsa falsa verdadeira

Vamos testar a 1ª hipótese:

- Segundo a 1ª hipótese, temos: 1ª) Juca: Eu fui aprovado no concurso ou José foi aprovado no concurso ⇒ verdadeira. 2ª) João: José não foi aprovado no concurso → eu fui aprovado no concurso ⇒ falsa. 3ª) José: Eu fui aprovado no concurso ou João foi aprovado no concurso ⇒ falsa.

A afirmação de João é uma condicional, e para que ela seja falsa, é necessário que a 1ª

parte da condicional seja verdadeira e a segunda seja falsa, ou seja: “José não foi aprovado no concurso” é verdade! “Eu (João) fui aprovado no concurso” é falso! A afirmação de José é uma disjunção, e para que ela seja falsa, é necessário que ambas

as partes sejam falsas, ou seja: “Eu (José) fui aprovado no concurso” é falso! “João foi aprovado no concurso” é falso! Até o momento não houve contradições, e já obtemos que: “José não foi aprovado no concurso” é verdade! “João não foi aprovado no concurso” é verdade! Passemos a analisar a afirmação de Juca! A segunda parte da sua afirmação é falsa,

então para que a afirmação como um todo seja verdadeira é necessário que a primeira parte seja verdadeira, ou seja: “Eu (Juca) fui aprovado no concurso” é verdade!

Finalizamos o teste da 1ª hipótese e não encontramos contradições nela, daí esta hipótese

está correta! E os resultados obtidos para esta hipótese foram: “José não foi aprovado no concurso” é verdade! “João não foi aprovado no concurso” é verdade! “Juca foi aprovado no concurso” é verdade! Resposta: alternativa B.



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Falaremos, agora, acerca da Análise Combinatória!

O assunto não é difícil, ao contrário. Só precisa ser bem entendido.

Questões de análise combinatória serão aquelas que perguntarão de quantas formas pode ocorrer um determinado evento. Vejamos alguns exemplos:

1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de cinema?

2) Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo-se dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5)?

3) Quantos tipos de saladas, feita de três tipos de frutas diferentes, podem ser formados com as seguintes frutas: banana, maçã, pêra, uva, laranja, mamão, melão?

Enfim! Situações como essas acima serão resolvidas por meio de técnicas que conheceremos a partir de agora. Ou seja, a Análise Combinatória se presta ao seguinte: a descobrir o número de maneiras possíveis de se realizar um determinado evento, sem que seja necessário descrever todas essas maneiras!

Um exemplo melhor, para esclarecer o que foi dito: suponhamos que eu tenho uma moeda na mão e vou lançá-la três vezes para o ar. A pergunta é: quantos são os resultados possíveis para esses três lançamentos da moeda?

Ora, se fôssemos tentar descrever todas as possibilidades, poderíamos fazê-lo por intermédio de um desenho, chamado diagrama da árvore. Da seguinte forma:

1º Lançamento 2º Lançamento 3º Lançamento Resultados

Cara ------ C, C, C

Cara

Coroa ------ C, C, K

Cara

Cara ------ C, K, C

Coroa

Coroa ------ C, K, K

Cara ------ K, C, C

Cara

Coroa ------ K, C, K

Coroa

Cara ------- K, K, C

Coroa

Coroa ------ K, K, K

Nos resultados, chamamos cara de C, e coroa de k. E assim, por meio do desenho acima, percebemos que há oito diferentes possíveis resultados para o lançamento de uma moeda três vezes! Ocorre que seria muito custoso termos que, a cada novo problema, fazer o tal do diagrama da árvore!

Aí entra a Análise Combinatória! Usando técnicas simples, podemos chegar ao resultado procurado, sem precisar desenhar as resultados possíveis!



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# Princípio Fundamental da Contagem:

Chamaremos essa primeira técnica apenas de Princípio Fundamental. Ok?

Consiste em quê? Consistem em dividirmos o nosso evento em etapas. E para cada uma dessas etapas, individualmente analisadas, descobriremos qual o seu número de resultados possíveis!

Tomemos o exemplo da moeda acima. O evento consiste em lançar uma moeda três vezes. Daí, fica bem fácil dividi-lo em etapas: cada etapa será um lançamento. Confere?

Destarte, teremos:

1ª etapa) 1º lançamento da moeda;

2ª etapa) 2º lançamento da moeda;

3ª etapa) 3º lançamento da moeda.

Pois bem! Conforme dissemos, temos que descobrir os resultados possíveis individuais de cada etapa.

Ou seja, ao lançarmos a moeda a primeira vez, quantos serão os resultados possíveis para esse primeiro lançamento? Dois, obviamente! (Cara ou coroa!). O mesmo se dará com o segundo lançamento e com o terceiro. Daí, teremos:

1ª etapa) 1º lançamento da moeda 2 resultados possíveis



Finalmente, o Princípio Fundamental vem nos dizer: agora, basta multiplicar os resultados parciais (de cada etapa), e teremos o resultado total (para todo o evento)!

Teremos: 2x2x2= 8 A mesma resposta do diagrama da árvore!

Sem precisarmos fazer desenho algum, concluímos que há oito possíveis resultados para o lançamento de uma moeda três vezes!

Passemos a outro exemplo, igualmente simples:

“Num hospital, existem 3 portas de entrada (P1, P2 e P3) que dão para um saguão, no qual existem 4 elevadores (E1, E2, E3 e E4). Um visitante deve dirigir-se ao 5º andar, utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?

Caso decidíssemos tentar desenhar uma resolução, mediante o diagrama da árvore, faríamos o seguinte: E1 (P1, E1) E2 (P1, E2) P1 E3 (P1, E3) E4 (P1, E4)

E1 (P2, E1) E2 (P2, E2) . P2 E3 (P2, E3) E4 (P2, E4)

E1 (P3, E1) E2 (P3, E2) P3 E3 (P3, E3) E4 (P3, E4)

Em azul, estão as doze possibilidades distintas de, usando uma das três portas e um dos quatro elevadores, chegarmos ao quinto andar!



9

Ocorre que já aprendemos que o tal desenho acima é desnecessário! Mais rápido e eficaz será utilizar o princípio da contagem. Para tanto, dividiremos o evento (chegar ao 5º andar do hospital) em duas etapas:

1ª etapa) a escolha de uma porta de entrada;

2ª etapa) a escolha de um elevador.

Feito isso, descobriremos o número de resultados possíveis, individualmente, para cada etapa. Teremos:

1ª etapa) a escolha de uma porta de entrada 3 resultados possíveis;

2ª etapa) a escolha de um elevador ---------- 4 resultados possíveis.

Manda o princípio da contagem que multipliquemos os resultados parciais, e teremos:

3x4=12 A mesma resposta do diagrama da árvore!

A partir dos dois exemplos que acabamos de ver, já é possível apresentar formalmente o princípio fundamental da contagem. Vejamos:

Enunciado do Princípio da Contagem: Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa; P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa; . . Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, então:

(P1 x P2 x ... x Pk) é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer! Seguiremos apresentando e resolvendo alguns outros exemplos que podem ser resolvidos empregando-se o princípio fundamental da contagem:

Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares?

Sol.:

Quais serão as etapas desse evento? Ora, a definição do 1º colocado, a do 2º e a do 3º!

Três etapas, portanto. Teremos:

1ª etapa) Definição do 1º colocado 4 resultados possíveis;

2ª etapa) Definição do 2º colocado 3 resultados possíveis;

3ª etapa) Definição do 3º colocado 2 resultados possíveis.

Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

4x3x2 = 24 Resposta!

Ou seja, podem ser formados 24 diferentes resultados de 1º, 2º e 3º colocados numa corrida, dispondo-se de 4 competidores.



10

De quantos modos três pessoas podem ficar em fila indiana?

Sol.:

Fila indiana, você sabe, é aquela em que uma pessoa fica atrás da outra.

Daí, as etapas do evento serão: definir quem vai na cabeça da fila, quem vai no meio e quem vai no fim.

Teremos:

1ª etapa) definição do 1º da fila: 3 resultados possíveis;

2ª etapa) definição do 2º da fila: 2 resultados possíveis;

3ª etapa) definição do 3º da fila: 1 resultado possível.

Daí, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

3x2x1 = 6 Resposta!

Podem ser formadas seis diferentes filas indianas, com três pessoas!

João vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?

Sol.:

Qual é o evento? Ora, é fazer uma refeição! Pelos dados da questão, as etapas para a composição deste evento (e os resultados possíveis para cada uma delas) serão as seguintes:

1ª etapa) definição da carne 8 resultados possíveis;

2ª etapa) definição da sobremesa 5 resultados possíveis.


8x5 = 40 Resposta!

Podem ser compostas 40 distintas refeições, dispondo-se de oito tipos de carne e 5 tipos de sobremesa!

Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?

Sol.:

O objetivo é formar um casal. Ora, um casal é composto de um homem e uma mulher! Logo, para cumprir esse objetivo, dividiremos o evento em duas etapas:

1ª etapa) escolha do homem 80 resultados possíveis;

2ª etapa) escolha da mulher 90 resultados possíveis.

Pelo princípio da contagem, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

80x90 = 7200 Resposta!

O sistema telefônico de São Paulo utiliza sete dígitos para designar os diversos telefones. Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2), e que o dígito zero (0) não seja utilizado para designar estações (2º e 3º dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos ter?

Sol.:



11

O evento agora é compor um número de telefone, observando as restrições previstas no enunciado! Como teremos 7 dígitos, trabalharemos também com 7 etapas! Cada etapa corresponde, naturalmente, à escolha do respectivo dígito.

Este exemplo se diferencia dos anteriores, pois aqui teremos que redobrar nossa atenção, uma vez que o enunciado estabelece exigências específicas para algumas das etapas do evento. Por exemplo, é dito que o primeiro dígito será sempre 2. É dito também que na escolha do segundo e do terceiro dígitos não poderemos usar o algarismo zero!

Essas restrições terão que ser observadas quando formos fazer o cálculo dos resultados parciais! Teremos:

1ª etapa) Definição do 1º dígito 1 resultado possível (só pode ser “2”);

2ª etapa) Definição do 2º dígito 9 resultados possíveis.

Senão, vejamos: dispomos dos algarismos do sistema decimal, para escolher um deles que ocupará o 2º dígito. São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. São dez algarismos! Ocorre que o enunciado amarra que o algarismo zero não pode ocupar essa segunda casa! Daí, restam nove resultados possíveis! Idêntico raciocínio se repetirá para a próxima etapa.


4ª etapa) Definição do 4º dígito 10 resultados possíveis!

Aqui não há nenhuma exigência específica, e nenhuma restrição! Ou seja, pode ser usado qualquer algarismo do sistema decimal (e são 10!). O mesmo raciocínio se repetirá para as três últimas etapas.




Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

1x9x9x10x10x10x10 = 810.000 Resposta!

# Arranjo e Combinação:

Duas outras técnicas serão comumente usadas na resolução de problemas de Análise Combinatória. Estamos falando do Arranjo e da Combinação!

O importante é sabermos que, para cada caso específico de situação, haverá um caminho de resolução adequado. Se o diagnóstico de uma questão é Arranjo, ela terá que ser resolvida por Arranjo; se é Combinação, terá que ser resolvida por combinação!

Ou seja, se a questão é de tal forma que a resolução correta se faz por Arranjo e você equivocadamente a resolve por Combinação, infelizmente a sua resposta estará errada, e você acaba de perder um ponto precioso na prova!

Com isso, concluímos que a alma da Análise Combinatória consiste em saber identificar qual é o correto caminho de resolução!

E isso, amigos, é extremamente fácil! Traçaremos um método! Vejamos:

Elementos iguais no subgrupo

Elementos distintos no subgrupo

Princípio Fundamental da

Contagem

Arranjo ou Combinação



12

Esse diagrama acima será nosso guia! Por meio dele não há como errarmos na escolha do caminho de resolução!

Mas, o que significa esse comando: elementos iguais no subgrupo ou elementos distintos no subgrupo?

Ora, sempre que formos pensar um problema de análise combinatória, estaremos trabalhando com elementos de um conjunto universo e tentando construir conjuntos menores, chamados subgrupos.

Vejamos os três exemplos seguintes, que nos ajudarão a entender melhor:

Exemplo 1) Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Quem é o conjunto universo? 1, 2, 3, 4, 5

E quem será o subgrupo? Será um conjunto de apenas três algarismos!

Formar esse subgrupo é o nosso objetivo!

Neste exemplo, a questão especificou que os elementos do subgrupo tenham que ser distintos? Ou podem ser iguais? Ora, se a questão não amarrou que o subgrupo tem que ter elementos diferentes, então fica subentendido que eles podem ser repetidos!

Daí, já sabemos que o caminho de resolução será o Princípio da Contagem!

Exemplo 2) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Quem é o conjunto universo? O mesmo do exemplo anterior: 1, 2, 3, 4, 5

O subgrupo agora terá quantos elementos? Três, da mesma forma!

Podem os elementos do subgrupo repetir-se? Não! A questão estabeleceu que terão de ser elementos distintos!

Com isso, concluímos: o caminho de resolução seguirá pelo Arranjo ou pela Combinação!

Mas qual dos dois? Arranjo ou Combinação? Güenta aí, que explicaremos já!

Exemplo 3) Dispondo das seguintes espécies de frutas maçã, mamão, melão, banana, pêra, uva, laranja e melancia, quantos tipos de saladas podem ser formadas, contendo três tipos de frutas?

Quem é o conjunto universo? É o das frutas disponíveis:

maçã, mamão, melão, banana, pêra, uva, laranja e melancia

E o subgrupo, qual será? Será aquela salada que formaremos, com apenas três tipos de frutas! A pergunta: o subgrupo terá que ter elementos diferentes? Obviamente que sim! Não dá para formar uma salada com banana, banana e banana. Concordam? Embora o enunciado não tenha dito isso expressamente, fica entendido, por evidente, que a salada tem que ser formada por três tipos distintos de frutas!

Assim sendo, concluímos: o caminho de resolução é o do Arranjo ou da Combinação! Mas qual desses dois? Arranjo ou Combinação?

# Decidindo entre o Arranjo e a Combinação:

Uma vez superado o primeiro momento, e considerando que já sabemos que a questão será resolvida por Arranjo ou Combinação, seguiremos os passos seguintes, a fim de nos definirmos por uma ou por outra técnica de resolução. Vejamos:

1º Passo) Criaremos um resultado possível para o subgrupo;



13

2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1º passo);

3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão diante de nós (1º e 2º passos):

Se forem resultados diferentes: resolveremos a questão por Arranjo!

Se forem resultados iguais: resolveremos a questão por Combinação!

Retornemos aos dois últimos exemplos, para os quais já havíamos decidido que seriam resolvidos por Arranjo ou por Combinação. Teremos:


E agora, Arranjo ou Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (1 2 3)

O número cento e vinte e três. Pode ser? Claro!

2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1)

Chegamos ao número trezentos e vinte e um.

3º Passo) A comparação! São iguais ou diferentes os dois resultados acima?

Ora, tratando-se de números, é claro que são distintos!

Conclusão: resolveremos a questão por Arranjo!


Será Arranjo ou será Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível: (mamão, melão e maçã)

Gostaram da minha salada? Se não gostaram, vai ela mesma!

2º Passo) Invertamos a ordem! Teremos: (maçã, melão e mamão)

3º Passo) Comparemos:

A salada do primeiro passo é igual ou é diferente da salada do segundo passo? O sabor é o mesmo? Claro que sim! Os resultados são iguais!

Conclusão: a questão sai por Combinação!

É somente isso! Se vocês se lembrarem destes três exemplos simples acima, serão capazes de identificar o caminho de resolução de qualquer questão de Análise Combinatória!

# Resolvendo questões por Arranjo:

Uma vez sabendo identificar quais as questões que se resolvem por Arranjo, resta saber como se dá tal resolução!

A fórmula do Arranjo é a seguinte:

)!(!

, pnnA pn −

=

Onde:

n é o número de elementos do conjunto universo; e

p é o número de elementos do subgrupo.



14

Para quem anda mais esquecido, esse sinal de interrogação (!) significa a operação fatorial. Trata-se, tão-somente, de um produto que se inicia com o próprio valor (que antecede o sinal “!”) e vai se reduzindo até chegar a um.

Exemplos:

8!=8x7x6x5x4x3x2x1

5!=5x4x3x2x1

E assim por diante!

Observem que, sempre que formos fazer uma divisão entre fatoriais, repetiremos o menor deles, e desenvolveremos o maior até que se iguale ao menor.

Exemplo:

!5

!5678!5!8 xxx=

Viram? E agora? Ora, agora resta cortarmos o 5! do numerador com o do denominador. E teremos apenas que:

678!5

!5678!5!8 xxxxx

==

Fácil, não? Mais fácil que roubar doce de criança! Pois bem, voltemos ao exemplo dois da página anterior:


Sol.:

Primeira análise: os elementos do subgrupo podem ser iguais ou têm que ser distintos? Distintos, pois assim estabelece o enunciado. Daí, resolveremos por Arranjo ou Combinação!

Segunda análise: sairá por Arranjo ou Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (1 2 3)

2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1)

3º Passo) A comparação: os resultados são distintos! Arranjo!

Arranjo de quantos em quantos? De 5 em subgrupos de 3. Teremos:

)!(!

, pnnA pn −

= ====−

= 345!2

!2345!2!5

)!35(!5

3,5 xxxxxA 60 Resposta!

Ou seja, podemos formar 60 números com 3 algarismos distintos, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.

Uma pergunta deveras oportuna seria: não dava para resolver essa questão pelo Princípio da Contagem? Vejamos: nosso evento é formar um número de três algarismos distintos. Podemos dividi-lo em três etapas: definição do primeiro algarismo, definição do segundo e definição do terceiro. Teremos:

1ª etapa) definição do primeiro algarismo: 5 resultados possíveis;

2ª etapa) definição do segundo algarismo: 4 resultados possíveis;

3ª etapa) definição do terceiro algarismo: 3 resultados possíveis.


5x4x3= 60 Resposta!

Mesma resposta que chegamos pelo Arranjo!



15

Olhemos de novo, e com mais calma, o diagrama dos caminhos de resolução:



Repare bem na seta em cor verde! Reparou?

O que ela quer indicar? O seguinte: se você descobrir que a questão deve ser resolvida por Arranjo, então poderá também resolvê-la pelo Princípio da Contagem!

Observe que se trata de uma seta com sentido único! De Arranjo para Princípio da Contagem! Apenas isso! O caminho de volta – Princípio da Contagem para Arranjo – nem sempre será possível!

E de Combinação para Princípio da Contagem? Dá certo? De jeito nenhum! Basta olhar para o desenho acima, e não tem erro! Ok?

Próxima pergunta recorrente: ora, se questão de Arranjo sai pelo Princípio da Contagem, então eu preciso mesmo saber esse tal de Arranjo? A resposta é SIM, você precisa! Mais adiante, veremos o porquê!

# Resolvendo questões por Combinação:

A fórmula da Combinação é a seguinte:

)!(!!

, pnpnC pn −

=

Onde:

n é o número de elementos do conjunto universo; e

p é o número de elementos do subgrupo.

Retornemos ao exemplo 03, apresentado anteriormente:


Primeira análise: os elementos do subgrupo podem ser iguais ou têm que ser distintos? Distintos, pois, embora não dito isso expressamente pelo enunciado, fica claro que não podemos formar saladas com frutas iguais! Uma salada já é, por si, uma mistura de frutas de tipos diferentes! Daí, usaremos Arranjo ou Combinação!

Segunda análise: sairá por Arranjo ou Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (macã, pêra e uva)

2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (uva, pêra e maçã)

3º Passo) A comparação: os resultados são iguais! Combinação!

Combinação de quantos em quantos? De 8 (tipos de frutas do conjunto universo) em subgrupos de 3 (tipos de frutas da salada que formaremos!). Teremos:


Contagem




16

)!(!!

, pnpnC pn −

= ====−

=123678

123!.5!5678

!5!.3!8

)!38(!3!8

3,8 xxxx

xxxxxC 56 Resposta!

Ou seja: podem ser formados 56 tipos de saladas, com três espécies de frutas, dispondo daquelas oito espécies relacionadas!

# Permutação:

A Permutação, meus amigos, é tão-somente um caso particular do Arranjo!

Caso nos omitíssemos de falar em Permutação, vocês acertariam a questão do mesmo jeito, aplicando o Arranjo! Mas não é o caso! Melhor é conhecê-la!

Quando estivermos em uma questão de Arranjo (já sabemos como identificá-la!) e observarmos que o n (número de elementos do “conjunto universo”) é igual ao p (número de elementos dos subgrupos), então estaremos diante de uma questão de Permutação!

Consideremos os exemplos abaixo, os quais são meras variações dos que vimos no Arranjo.

Exemplo 1) Dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de cinco dígitos distintos poderão ser formados?

Sol.: A questão é de Arranjo, conforme já havíamos verificado. Arranjo de quanto em quanto?

O grupo maior tem cinco elementos, ou seja: n=5.

E os subgrupos terão também cinco elementos, ou seja: p=5.

Ora, quando a questão é de Arranjo, e temos que n = p, dizemos então que estamos em um caso de Permutação.

Em outras palavras: A5,5 = P5 (leia-se: “permutação de cinco”)

O bom é que o cálculo da Permutação é até mais fácil.

Fórmula da Permutação: !nPn =

Onde: n é o número de elementos do conjunto universo, que é também o mesmo número de elementos dos subgrupos que serão formados!

Voltando ao nosso exemplo, teremos que:

A5,5 = P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Resposta!

Exemplo 02) Quatro carros (C1, C2, C3 e C4) disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os quatro primeiros lugares?

Sol.: Também já sabemos que é uma questão de Arranjo! Agora, o grupo maior tem 4 elementos (n=4) e os subgrupos que serão formados também terão esse mesmo número de elementos (p=4). Daí, caímos no caso particular da Permutação!

Teremos, pois, que:

A4,4 = P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Resposta!

Agora, passemos a estudar um tipo de questão que é bastante abordado em concursos. Explanaremos este tema em seis situações possíveis. Adiante!



17

# Seis Amigos no Cinema: SITUAÇÃO 1) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas?

Sol.:

Iniciemos nossa análise do princípio!

1ª Indagação: na hora de formar os subgrupos, poderemos usar elementos iguais? Ou terão que ser distintos?

Ora, os elementos do subgrupo serão pessoas! Logo, não há como formar um subgrupo com várias pessoas iguais! Obviamente, os elementos terão de ser diferentes! Primeira conclusão: o caminho de resolução é o do Arranjo ou da Combinação!

2ª Indagação: Arranjo ou Combinação?

Daí, seguimos aquele procedimento já nosso conhecido:

1º Passo) criamos um resultado possível. (Chamemos as pessoas de A, B, C, D, E e F). Teremos, pois, que um resultado possível seria esse mesmo:

A-B-C-D-E-F

(Com a pessoa A na ponta da esquerda e a pessoa F na da direita!)

2º Passo) Invertemos a ordem dos elementos do resultado acima. Teremos:

F-E-D-C-B-A

3º Passo) Comparamos os resultados!

Atenção à pergunta seguinte: as pessoas dos dois resultados são as mesmas?

A resposta é sim! Mas, e as duas filas, são as mesmas?

Não! São diferentes! E o que interessa neste caso são as filas formadas!

Temos, portanto, resultados distintos! Conclusão: Trabalharemos com Arranjo!

Arranjo de quantos em quantos? São 6 pessoas no conjunto universo, e são seis elementos na fila (no subgrupo). Logo, Arranjo de 6 em 6: A6,6, que é igual a Permutação de 6. Ou seja: A6,6 = P6

Então, para esse enunciado, faremos:

P6 = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 Resposta!

SITUAÇÃO 2) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que as três moças fiquem sempre juntas?

Sol.:

Este enunciado difere do anterior por um breve detalhe! É exigido aqui que as três moças permaneçam juntas!

Ora, já nos é possível concluir, seguindo o mesmíssimo raciocínio do exemplo anterior, que esta questão será resolvida pelo caminho da Permutação!

Em face da exigência anunciada, lançaremos mão de um artifício: passaremos a considerar as pessoas que têm de estar sempre juntas como sendo uma única pessoa!



18

Além disso, neste presente exemplo, em vez de trabalharmos apenas com uma permutação, teremos que trabalhar com duas:

1ª Permutação) Para todo o conjunto de pessoas (atentando para o fato de que as três moças que são inseparáveis serão consideradas uma só);

Daí, com três homens e uma mulher (três inseparáveis = uma apenas!), somamos um total de quatro pessoas! Permutando-as, teremos: P4 = 4! = 24 formações.

2ª Permutação) Para o conjunto dos elementos inseparáveis (as três moças):

Permutando as três mulheres, teremos: P3 = 3! = 6 formações

Vejamos a ilustração abaixo:

P3 = 3x2x1 = 6

P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24

Esses dois resultados parciais (24 e 6), referentes ao conjunto inteiro e aos elementos inseparáveis, terão que ser agora multiplicados, para chegarmos ao resultado final. Teremos:

6x24= 144 Resposta!

SITUAÇÃO 3) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que os três rapazes fiquem sempre juntos e as três moças fiquem sempre juntas?

Sol.:

Agora a exigência específica cria dois subgrupos de elementos inseparáveis. Já sabemos como proceder com eles.

Teremos:

P3=3x2x1=6 P3=3x2x1=6

P2 = 2! = 2x1 = 2

Observemos que a permutação para o conjunto completo foi apenas P2. Claro! Uma vez que os três rapazes são considerados um só, e as três moças idem! É o nosso artifício dos elementos inseparáveis! Não podemos esquecer dele!

Daí, compondo nosso resultado, teremos:

6x6x2= 72 Resposta!

SITUAÇÃO 4) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que as três moças fiquem separadas?



19

Sol.: O enunciado agora não exige mais que alguns elementos fiquem juntos, mas separados!

Ora, se do total de formas possíveis de organizar os amigos (resposta da situação 1) subtrairmos o número de formas pelas quais as moças ficarão sempre juntas (resposta da situação 2), o resultado que encontraremos é exatamente o que pede neste exemplo. Ou seja:

– =

Daí, faremos: 720 – 144 = 576 Resposta!

SITUAÇÃO 5) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que rapazes e moças fiquem sempre alternados?

Sol.:

Agora é o seguinte: rapaz sempre ao lado de moça, e vice-versa! Teremos duas situações possíveis: 1a) a fila começando com um rapaz na esquerda; e 2a) a fila começando com uma moça na esquerda. Trabalhando a primeira situação possível, teremos:

R M R M R M

Neste caso, teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se dá em relação às moças!

Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6

Permutação das moças: P3 = 3! = 3x2x1 = 6

Compondo nosso resultado, para esta primeira situação, teremos:

6x6= 36

Ocorre que a questão não acaba aí, uma vez que já havíamos constatado que há uma outra possibilidade: a de que a fila comece com uma moça à esquerda (ao invés de um rapaz)! Teremos:

M R M R M R

Aqui novamente as três moças permutarão entre si, enquanto que os três rapazes também permutarão entre si! Faremos:



Compondo nosso resultado, para esta segunda situação, teremos igualmente:

6x6= 36

Finalmente, somando os resultados parciais (rapaz à esquerda e moça à esquerda), teremos:

36+36= 72 Resposta!

Total de formações

possíveis dos 6 amigos

Total de formações com as

moças juntas

Total de formações com as moças

separadas



20

SITUAÇÃO 6) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que somente as moças fiquem todas juntas?

Sol.:

O que se pede nesta questão (por conta da palavra somente) é o número de maneiras diferentes em que as 3 moças fiquem sempre juntas enquanto que os 3 rapazes não fiquem todos juntos.

1ª Solução:

Assim, para que os três homens não fiquem todos juntos é necessário que as moças fiquem juntas no meio da fila. Reparem que as moças não podem estar juntas nas pontas, pois assim os três homens ficariam juntos! Há duas situações possíveis para o posicionamento das moças:

1ª situação:

R M M M R R

2ª situação:

R R M M M R

Na primeira situação teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se dá em relação às moças!




6x6= 36

Da mesma forma, na segunda situação teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se dá em relação às moças!



Compondo nosso resultado, para esta segunda situação, teremos:

6x6= 36

Finalmente, somando os resultados parciais teremos:

36+36= 72 Resposta!

3 moças

3 moças



21

2ª solução:

Se do total de formas possíveis em que as mulheres ficam juntas (resposta da situação 2) subtrairmos o número de formas pelas quais os três rapazes fiquem sempre juntos e as três moças fiquem sempre juntas (resposta da situação 3), o resultado que encontraremos é exatamente o que se pede neste exemplo. Ou seja:

– =

Daí, faremos: 144 – 72 = 72 Resposta!

Pois bem, meus amigos! A essência do assunto já foi vista!

De aqui em diante, trabalharemos com questões e mais questões, mesclando resoluções de Arranjo, Permutação e de Combinação, até nos familiarizarmos definitivamente com essa tal de Análise Combinatória!

Conceitos incidentais surgirão, possivelmente, ao longo das próximas resoluções, conforme veremos!

Mas a essência do assunto, insistimos, já é do conhecimento de todos!

# Exercícios Diversos:

01) Um edifício tem 8 (oito) portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?

Sol.:

Iniciemos nossa análise. Qual é o objetivo da questão? Fazer com que uma pessoa entre e saia de um edifício. Para tanto, disporá a pessoa de um total de oito portas!

Ocorre que o enunciado determina que a porta de saída deverá ser diferente da de entrada. Em suma: precisamos escolher uma porta para entrar e uma para sair, de um total de oito portas!

Daí:

Conjunto Universo: Porta1, Porta2, Porta3, Porta4, Porta5, Porta6, Porta7, Porta8

Subgrupo: Porta de entrada Porta de saída

1ª Pergunta) Os elementos do subgrupo podem ser iguais? Não! O enunciado estabelece que têm que ser diferentes! Conclusão: seguiremos pelo Arranjo ou Combinação!

2ª Pergunta) Arranjo ou Combinação?

Criemos um resultado possível: Entrada: Porta 1 – Saída: Porta 2

Invertamos a ordem do resultado criado: Entrada: Porta 2 – Saída: Porta 1

Comparemos os resultados acima: Iguais ou diferentes? Diferentes

Logo, resolveremos por Arranjo!

Dá na mesma resolver pelo Princípio da Contagem? Claro! (Não esqueçamos da seta verde do caminho das pedras!)

Total de formações em que somente as

mulheres ficam juntas


juntas


juntas e com os homens juntos



22

Daí, teremos:

1ª etapa) Escolha da porta de entrada: 8 resultados possíveis;

2ª etapa) Escolha da porta de saída: 7 resultados possíveis.

Multiplicando-se os resultados individuais, teremos:

8 x 7 = 56 Resposta!

Obs.: Você pode (e deve!) conferir que esse resultado é o mesmo ao qual chegaríamos caso tivéssemos resolvido por Arranjo! (A8,2=56).

02) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI? P9=9!

Sol.:

A primeira coisa a se fazer aqui é explicar o conceito de anagrama.

Anagrama é apenas uma formação qualquer que se possa criar com um determinado grupo de letras. Essa formação qualquer não precisa ser uma palavra, um vocábulo que conste no dicionário! Pode ser algo mesmo ininteligível. Contanto que seja formado por aquelas letras.

Daí, se eu tenho as letras da palavra SAPO, são exemplos de anagramas os seguintes:

(S O P A) , (A S P O) , (A S O P), (P S O A), (O P S A) etc.

Perceba que, no anagrama, cada letra é utilizada uma só vez! Ou seja, se vou criar anagramas com as letras da palavra sapo (4 letras!), então meus anagramas terão também 4 letras!

Ficou claro?

Pois bem! Daí, nosso conjunto universo é o seguinte: A, B, C, D, E, F, G, H, I

E o subgrupo será o próprio anagrama, ou seja, um conjunto que terá o mesmo número de letras do conjunto universo!

1ª Pergunta) Poderemos repetir os elementos do conjunto universo no subgrupo? Não! Se o fizéssemos, estaríamos fugindo do conceito de anagrama. Conclusão: Arranjo ou Combinação!

2ª Pergunta) Arranjo ou Combinação?

Criando um resultado possível, teremos: A B C D E F G H I

Invertendo-se a ordem, teremos: I H G F E D C B A

São anagramas iguais? Não! São diferentes! Logo, trabalharemos com Arranjo!

Arranjo de quantos em quantos? De 9 (número de elementos do conjunto universo) em 9 (número de elementos do subgrupo)!

Ora, estamos diante de uma Permutação! Uma vez que: A9,9=P9.

Daí, podemos até generalizar: se a questão é de anagrama, sairá sempre por Arranjo!

(Diga-se de passagem que a Esaf não gosta muito de anagramas...)

Teremos, pois, que: A9,9= 9! Resposta!



23

03) Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas podemos formar uma comissão de 3 pessoas? 165 Comb

Sol.:

Conjunto universo: 5 homens, 6 mulheres

Subgrupo: 3 pessoas.

Elementos do subgrupo podem ser iguais? Não! São pessoas, logo, têm que ser diferentes! Daí, Arranjo ou Combinação!

Um resultado possível: João, Maria, José

Invertendo: José, Maria, João

Pergunta: a comissão formada por João, Maria e José é diferente da formada por José, Maria e João? Claro que não! São a mesmíssima comissão! Daí: Combinação!

De quantos em quantos? De 11 (total de elementos do conjunto universo) em 3 (total de elementos do subgrupo). Teremos:

====6

990123!.8

!891011!8!.3

!113,11 xx

xxxC 165 Resposta!

04) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma vogal e terminando por uma consoante?

Sol.:

Vimos agora há pouco (questão 2), que anagrama se resolve por permutação! E o que há de novo neste enunciado? Ora, aqui são feitas duas exigências, referentes aos elementos que ocuparão a primeira e a última posição do anagrama!

Perceberam? Foi amarrado pelo enunciado que o nosso anagrama tem que começar por vogal e que terminar por uma consoante.

Daí, trabalharemos em separado as posições contempladas por essas exigências.

Vejamos nosso conjunto universo: A B C D E F G H I

E nosso subgrupo:

O artifício consistirá sempre nisso: trabalhar em separado as posições para as quais foi feita alguma exigência específica. Teremos:

8 resultados possíveis

(tem que ser consoante!)

3 resultados possíveis (tem que ser vogal!)

E quanto aos elementos do meio do anagrama? Permutação neles! Teremos:

P7

3 8



24

Finalmente, para chegarmos ao resultado final, multiplicaremos os resultados parciais!

Teremos: 6x3xP7 = 6x3x7! = Resposta!

05) Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7, e desejamos escolher 4 lugares entre os existentes. De quantas formas isso pode ser feito?

Sol.:

Nosso conjunto universo é uma seqüência de sete cadeiras:

1 2 3 4 5 6 7

O objetivo é formar subgrupos com quarto dessas cadeiras!

Tem que ser cadeiras distintas? Claro! Obviamente que sim! Daí, o caminho de resolução segue o Arranjo ou a Combinação! Qual deles?

Criando um resultado possível: cadeira 1, cadeira 2, cadeira 3, cadeira 4

Invertendo o resultado: cadeira 4, cadeira 3, cadeira 2, cadeira 1

Pergunta: o primeiro conjunto de cadeiras é diferente do segundo?

Não! São exatamente iguais! Conclusão: trabalharemos com a Combinação! Teremos:

===123!4!4567

!3!.4!7

4,7 xxxxxxC 35 Resposta!

06) Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares?

Sol.:

Conjunto universo: 20 times

Objetivo da questão: formar subgrupos de 3 times – os 3 primeiros colocados.

Tem que ser times distintos? Claro! Não dá (infelizmente) para termos o Corinthians como primeiro, segundo e terceiro colocado do campeonato... Daí, os elementos do subgrupo terão que ser distintos! Conclusão: usaremos Arranjo ou Combinação para resolver o problema!

Qual deles?

Criando um resultado possível: 1º)Corinthians, 2º Flamengo), 3º) Fortaleza

Invertendo: 1º) Fortaleza, 2º)Flamengo, 3º)Corinthians

São resultados iguais? Claro que não! Daí, trabalharemos com o Arranjo! Teremos:

===!17

!17181920!17!20

3,20xxxA 6.840 Resposta!

07) Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? R) 3003 Comb

Sol.:

Conjunto universo: 15 questões

O objetivo é selecionar um subgrupo de 10 questões!



25

Obviamente que tem ser questões diferentes! Logo, arranjo ou combinação!

Um resultado possível: Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6, Q7, Q8, Q9, Q10

Invertendo-se a ordem:Q10, Q9, Q8, Q7, Q6, Q5, Q4, Q3, Q2, Q1

São provas diferentes? Não! São perfeitamente iguais! Logo, Combinação! Teremos:

===12345!.10

!101112131415!5!10

!1510,15 xxxx

xxxxxC 3.003 Resposta!

08) Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada, respectivamente?

Sol.:

O conjunto universo é um grupo de 16 estações.

O objetivo é formar um bilhete, que defina uma partida e uma chegada.

Estação de partida e estação de chegada podem ser iguais? Não! Tem que ser distintas! Logo, trabalharemos com Arranjo ou Combinação!

Criando um resultado possível:

Partida Chegada

Estação A Estação B

Invertendo o resultado acima:

Partida Chegada

Estação B Estação A

São bilhetes iguais? Obviamente que não! São distintos! Daí, concluímos: vamos trabalhar com Arranjo! Teremos:

===!14

!141516!14!16

2,16xxA 240 Resposta!

09) Em uma reunião social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia na reunião? Comb

Sol.:

Primeiramente, vamos descobrir do que se trata. Há um conjunto maior (conjunto universo), formado pelas pessoas que estão participando de uma reunião. Dispondo desse conjunto de pessoas, formaremos grupos menores (subgrupos) de duas pessoas cada. Serão as pessoas que trocarão apertos de mão. (É de se supor que esses apertos de mão estão sendo trocados entre duas pessoas, obviamente)!

Daí, se os subgrupos são formados por duas pessoas que vão trocar um aperto de mão, também se depreende que essas pessoas têm que ser distintas. (Não se imagina ninguém cumprimentando a si mesmo com um aperto de mão, certo? Estamos numa reunião social, não num hospício!)

E chegamos à primeira conclusão: se os elementos dos subgrupos serão necessariamente distintos, trabalharemos ou com Arranjo ou com Combinação!

Criemos um resultado possível: um aperto de mão entre o JOÃO e o JOSÉ. Invertamos esse resultado: um aperto de mão entre o JOSÉ e o JOÃO. É o mesmo resultado ou outro diferente? Claro que é o mesmo resultado. Daí, concluímos: trabalharemos com Combinação.



26

Sabemos que os subgrupos são formados por dois elementos (p=2), mas e o conjunto universo? Conhecemos quantos elementos tem? Não! É isso o que a questão quer saber. Chamaremos esse número de X.

E quanto a esse valor “45”, fornecido pelo enunciado? Será o resultado da Combinação. Ou seja, é o número de “duplas” que poderão ser formadas, combinando as pessoas que estão naquela reunião.

Daí, teremos: Cx,2 = 45 .

Desenvolvendo nossos cálculos, teremos:

212)1.(

)!2!.(2)!2).(1.(

)!2(!2! 2

2,XX

xXX

XXXX

XXCX

−=

−=

−−−

=−

=

Sabendo que: Cx,2 = 45 , teremos:

452

2

=− XX

X2 – X – 90 = 0 (Equação do 2º grau)

Para os mais esquecidos, uma equação do 2º grau, ou seja, uma equação do tipo ax2+bx+c=0 será resolvida da seguinte forma:

acabbX

.2..42 −

±−=

Resolvendo a equação acima, teremos:

acabbX

.2..42 −

±−= 2

19123611

12901411 ±=±=

+±=

xxxX

Haverá duas raízes (dois resultados) para nossa equação, quais sejam:

X’ = (1+19)/2 X’=10 e X’’ = (1-19)/2 X’’=-9

Como X representa um número de pessoas, jamais poderia ser um valor negativo. Desprezamos, portanto, o resultado X’’=-9, e concluímos que nossa resposta será X=10.

X=10 Resposta!

10) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ..., 9. O segredo do cofre é formado por uma seqüência de 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? (Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos.) 720 Arr

Sol.:

Nosso conjunto universo é formado pelos algarismos do sistema decimal: 0, 1, 2,...,9

O objetivo é criar uma senha com três dígitos distintos!

Ora, se o subgrupo será composto por elementos distintos, então trabalharemos com Arranjo ou Combinação!

Para definir o caminho de resolução aplicável a este problema, criamos um resultado possível: a senha 1 – 2 – 3



27

Invertendo os elementos desta senha, teremos: 3 – 2 – 1.

São senhas iguais? Não! São distintas! Logo, trabalharemos com Arranjo. Teremos:

===!7

!78910!7!10

3,10xxxA 720 Resposta!

Já temos material suficiente para estudarmos esta semana!

Convém que vocês refaçam todos os exemplos apresentados até aqui. Para cada um deles, relembre o raciocínio utilizado para descobrirmos o caminho de resolução adequado!

Na seqüência, apresentamos algumas outras questões, no nosso Dever de Casa!

E na próxima semana, daremos continuidade ao estudo deste assunto, complementando o que foi visto com alguns conceitos restantes!

Fiquem todos com Deus e um forte abraço!

Dever de Casa

01. (BNB 2002 FCC) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos

lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B? a) Oito b) Dez c) Quinze d) Dezesseis e) Vinte

02. (AFCE TCU 99 ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma

seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por: a) 226 310 b) 262 103 c) 226 210 d) 26! 10! e) C26,2 C10,3

03. (Anal. Orçamento MARE 99 ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é

preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é a) 518 400 b) 1 440 c) 720 d) 120 e) 54



28


a) 1112 e 1152. b) 1152 e 1100. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384.

05. (Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba

e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:

a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48

Gabarito:

1.c 2.b 3.a 4.c 5.e



1

AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II)

Olá, amigos!

Tudo bem com vocês? Esta é nossa décima primeira aula, e ainda sequer chegamos à metade de nosso curso! Longo é o caminho do Raciocínio Lógico... Muitos assuntos estão ainda por vir! Mas o fato é que estamos seguindo sempre em frente!

Já dizia o sábio que toda grande caminhada se inicia com o primeiro passo! E em se tratando de preparação para concursos, isso se torna muito verdadeiro! O importante é não se deixar esmorecer! Força e coragem são as palavras de ordem!

E por falar nisso, criemos coragem e passemos à resolução do dever de casa da aula passada! Adiante!

Dever de Casa

01. (BNB 2002 FCC) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por

diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B? a) Oito b) Dez c) Quinze d) Dezesseis e) Vinte

Sol.:

A questão é das mais simples. Nosso objetivo aqui é o de, partindo da cidade A, chegar a Roma, passando necessariamente pela cidade B.

Facilmente percebemos que há como dividir esse evento em duas etapas bem definidas: 1ª) Partir de A e chegar a B; 2ª) Partir de B e chegar a Roma.

Trabalharemos com o Princípio da Contagem!

Da cidade A para a cidade B, teremos: 3 caminhos possíveis;

Da cidade B para Roma, teremos: 5 caminhos possíveis.

Multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos:

3 x 5 = 15 Número total de possibilidades do evento completo!

Resposta) Letra C.

02. (AFCE TCU 99 ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma

seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por: a) 226 310 b) 262 103 c) 226 210 d) 26! 10! e) C26,2 C10,3



2

Sol.:

Nosso conjunto universo consiste do seguinte: 26 letras, 10 algarismos.

(Todos perceberam que são dez algarismos? Cuidado: de zero a nove, temos dez algarismos!)

Pois bem! O objetivo agora é o de formar uma senha, composta por duas letras e por três algarismos. Ou seja, nosso subgrupo será o seguinte:

Letra Letra Número Número Número

Vamos lá! Primeiro questionamento: na hora de formar o subgrupo, poderemos usar elementos repetidos (iguais)? Sim! Pois assim dispõe o enunciado: Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos! O “ou não” aí ficou inutilizado!

Ora, se os elementos do subgrupo podem ser iguais, então trabalharemos com o Princípio Fundamental da Contagem! Não foi assim que aprendemos na aula passada? Claro! Para quem está mais esquecido, segue aí o esquema de memória auxiliar:



Daí, trabalhando pelo Princípio, dividiremos o evento em cinco etapas, e descobriremos o número de resultados possíveis para a realização de cada uma delas. Teremos:

1ª Etapa) Definição da primeira letra Há 26 possibilidades;

2ª Etapa) Definição da segunda letra Há 26 possibilidades;

3ª Etapa) Definição do primeiro algarismo Há 10 possibilidades;

4ª Etapa) Definição do segundo algarismo Há 10 possibilidades;

5ª Etapa) Definição do terceiro algarismo Há 10 possibilidades.

Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos o resultado final para todo o evento. Teremos:

Total de Possibilidades para todo o Evento = 26x26x10x10x10 = 262x103

Resposta) Letra B.

Antes de passarmos à próxima questão, façamos um breve comentário sobre um aspecto desse enunciado.

Disse ele que o programa (que cria a senha) não faz distinção entre letras maiúsculas ou minúsculas. O que significa isso? Ora, significa que se você usar uma letra S (maiúscula) ou s (minúscula), para o programa não haveria qualquer diferença! Tanto faz!


Contagem




3

E daí? Daí que se houvesse sido dito o contrário, ou seja, que o programa faz distinção entre maiúsculas e minúsculas, então usar uma letra S (maiúscula) seria algo diferente de se usar um s (minúsculo)! Ou seja, na prática, isso implicaria que teríamos, no conjunto universo, não apenas 26 letras, mas o dobro disso! Claro! Seriam 26 letras minúsculas e mais 26 letras maiúsculas! Seriam dois alfabetos completos! Um total de 52 letras.

Esta consideração, obviamente, alteraria por completo o resultado da questão, dado que teríamos, pelo uso do Princípio da Contagem, a seguinte resposta: 522x103.

Entendido? Adiante!

03. (Anal. Orçamento MARE 99 ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma

empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é a) 518 400 b) 1 440 c) 720 d) 120 e) 54

Sol.:

Novamente a questão da senha! Só que aqui, com uma diferença crucial (em relação à questão anterior): foi estabelecido que, na hora de formar a senha (o subgrupo), teremos que usar algarismos distintos! Ou seja, os elementos do subgrupo não podem ser repetidos (iguais)! Com isso, nosso caminho de resolução será ou o do Arranjo ou o da Combinação!

Arranjo ou Combinação? Para respondermos, criamos uma senha possível:

1-2-3. Pode ser? Claro! Agora, invertamos os elementos dessa senha. Teremos:

3-2-3.

E aí? As senhas são iguais? Obviamente que não! Logo, concluímos que a resolução se fará mediante o caminho do Arranjo!

Aqui há uma particularidade neste enunciado: na realidade, estamos trabalhando com dois eventos, em vez de apenas um. Queremos compor duas senhas (uma para cada cadeado)! Então, neste caso, e em todos os assemelhados a este, usaremos o seguinte expediente: resolveremos a questão de forma bipartida, como se fossem duas questões (uma para cada evento)! Depois disso, multiplicaremos os resultados parciais encontrados!

Daí, trabalhando para compor a primeira senha, teremos:

Conjunto Universo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (10 algarismos)

Subgrupo:

(3 algarismos distintos)

Daí, teremos: ===!7

!78910!7!10

3,10xxxA 720 possíveis senhas!

Seguindo um raciocínio idêntico ao desenvolvido acima, concluímos que haverá também 720 possíveis senhas para o segundo cadeado (uma vez que se trata de dois eventos iguais!).

Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais de cada evento, chegaremos ao seguinte:

720 x 720 = 518.400 Resposta! (Letra A)



4


a) 1112 e 1152. b) 1152 e 1100. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384.

Sol.:

Nosso conjunto universo aqui é formado por oito pessoas – quatro homens e quatro mulheres. O primeiro objetivo é colocá-los em lugares alternados! Comecemos, portanto, por esse primeiro exercício.

Na hora de formar os subgrupos, teremos que usar elementos distintos? Claro que sim, uma vez que se trata de pessoas! Logo, trabalharemos com Arranjo ou Combinação!

Criemos um resultado possível (vamos chamar as pessoas de A, B, C, D, E, F, G, H):

(A-B-C-D-E-F-G-H)

Invertendo-se a ordem do resultado acima, passamos a ter o seguinte:

(H-G-F-E-D-C-B-A)

São as mesmas pessoas? Sim. Mas são as mesmas filas? Não! São filas diversas! Logo, como os resultados acima são diferente, trabalharemos com o Arranjo!

Arranjo de quantos em quantos? De 8 (total do conjunto universo) em subgrupos também de 8. Daí, lembraremos que estamos diante de um caso particular do Arranjo, chamado de Permutação!

Ora, para cumprir a exigência de que homens e mulheres estejam sempre alternados, haverá duas possíveis formações. As seguintes:

1ª Situação) com um homem na ponta da esquerda!

H M H M H M H M

Ou, então: 2ª Situação) com uma mulher na ponta da esquerda!

M H M H M H M H

Já sabemos que a questão sai por Permutação! Daí, percebemos que, quer estejamos trabalhando na primeira situação, quer na segunda, teremos que os quatro homens permutarão de lugar entre si, o mesmo ocorrendo com as quatro mulheres. Daí, teremos:

P4=4!=24

H M H M H M H M

P4=4!=24



5

Multiplicando-se estas duas permutações (a dos homens e a das mulheres), chegaremos ao resultado para esta primeira situação (homem na ponta da esquerda)!. Teremos:

24x24=576

Seguindo o mesmíssimo raciocínio, percebemos que haverá também 576 possíveis maneiras de alocar as oito pessoas, alternando-se homens e mulheres, caso tenhamos uma mulher na ponta da esquerda.

Finalmente, somando-se os resultados das duas situações que respondem à questão, teremos:

576 + 576 = 1052 Resposta!

Mas a questão na acaba aí! Agora o enunciado quer que coloquemos as oito pessoas nas cadeiras, de sorte que os homens permaneçam juntos, o mesmo se dando com as mulheres!

Vimos, na aula passada, que quando o enunciado amarra que tais elementos devem estar sempre juntos, passaremos a tratá-los como sendo um único elemento! Lembrados disso? Daí, teremos:

P4=4!=24 P4=4!=24

H H H H M M M M

P2=2!=2

Multiplicando-se essas permutações parciais, teremos:

24x24x2=1052 Reposta!

Resposta) Letra C!

A pergunta que fica no ar é a seguinte: foi coincidência esses dois resultados iguais (1052)? Absolutamente não! Essas duas situações requeridas pelo enunciado (1ª: homens e mulheres alternados; e 2ª: homens juntos e mulheres juntas) produzirão sempre os mesmos resultados! Caso já soubéssemos disso antes de começar a questão, nem precisaríamos resolvê-la, haja vista que somente uma opção de resposta traz dois resultados iguais! Marcaríamos prontamente a opção C.

Você pode (e deve!) tentar fazer esses mesmos dois exercícios (“homens e mulheres alternados” e “homens juntos e mulheres juntas”) para seis pessoas (três rapazes e três moças) e para dez pessoas (cinco rapazes e cinco moças), e comparar os resultados encontrados!



6

05. (Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:

a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48

Sol.:

Aqui não tem mais segredo! A questão especifica que dois elementos têm que estar sempre juntos! Daí, consideraremos como se fossem um só elemento!

Já aprendemos, pelos exemplos da aula anterior, que iremos resolver essa questão por Permutação. E teremos:

P2=2!=2

P4=4!=24

Daí, multiplicando-se as permutações parciais, teremos:

2 x 24 = 48 Resposta! (Letra E)

Esse dever de casa foi muito fácil, vocês não acharam? Realmente!

Daremos, agora, continuidade ao estudo da Análise Combinatória, passando a conhecer alguns aspectos específicos do assunto, os quais, embora não sejam nada complicados, merecem uma atenção especial da nossa parte.

Praticamente, o que nos falta conhecer são dois tópicos referentes à Permutação – Permutação Circular e Permutação com Repetição – e um tipo específico de questão de Combinação que já foi muito e muito explorado em provas recentes!

Comecemos com a Permutação Circular.

# Permutação Circular:

Comparemos os dois exemplos abaixo:

Exemplo 1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas – João, José, Pedro e Paulo – em uma fila indiana?

Sol.:

Até já trabalhamos esse exemplo, mas vale aqui a reprise.

Fila indiana, vocês sabem, é aquela em que as pessoas ficam uma após a outra.



7

O conjunto universo é formado pelas quatro pessoas. E o subgrupo também!

Para formar o subgrupo, poderemos usar elementos iguais? Obviamente que não, uma vez que estamos trabalhando com pessoas. Daí, constatamos que a solução virá pelo caminho do Arranjo ou da Combinação. Mas qual dos dois?

Criando um resultado possível, teremos: João, José, Pedro, Paulo

Eis a nossa fila indiana!

Agora, invertendo a ordem acima, teremos: Paulo, Pedro, José, João

São filas iguais? Não! Apesar de serem as mesmas pessoas, as filas são distintas! Logo, o caminho de resolução é o Arranjo.

Arranjo de quantos em quantos? De quatro em quatro. Ou seja, Permutação de 4.

P4=4!=4x3x2x1=24 Resposta!

Exemplo 2) De quantas maneiras podemos colocar quatro pessoas em quatro posições ao redor de uma mesa redonda?

Sol.:

Vamos desenvolver todo o raciocínio.

O conjunto universo é formado por quatro pessoas. E o subgrupo também!

Os elementos do subgrupo têm que ser distintos, uma vez que são pessoas!

Criemos um resultado possível:

Mudando a ordem dos elementos do resultado acima, teremos:

As mesas são iguais? Não! São diferentes!

João

José

Pedro

Paulo

Pedro

Paulo

João

José



8

Daí, trabalharemos com Arranjo!

De quantos em quantos? De quatro em quatro. Ou seja, Permutação de 4.

Paremos um pouco!

Até aqui, tudo foi igual ao exemplo anterior!

A única diferença entre esses dois enunciados consiste no fato de que agora pretendemos dispor os elementos do conjunto universo em um formato circular! No caso, uma mesa redonda!

Apenas por esta disposição circular dos elementos, inserida em um enunciado que será resolvido por Permutação, diremos que estamos diante de uma chamada Permutação Circular!

Daí, concluímos, Permutação Circular é um caminho de resolução que será utilizado quando estivermos em um problema que sai por Permutação, e em que os elementos do subgrupo estarão dispostos em uma forma circular!

Além da mesa redonda, são outros formatos circulares, que podem estar presentes numa questão de Permutação Circular, um colar de pérolas, uma roda de crianças etc.

É fácil identificar esse formato circular!

Pois bem! Quando estivermos diante de um enunciado de Permutação Circular, saberemos que a fórmula tradicional da Permutação sofrerá uma pequena variação. Teremos:

P CIRCULAR n = (n-1)!

Só isso! Nada mais que isso!

Daí, voltando ao nosso exemplo, teremos:

PCIRCULAR 4 = (4-1)!=3!=3X2X1=6 Entendido? Passemos a um novo conceito. # Permutação com Repetição:

Passemos a mais dois exemplos:

Exemplo 1) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra SAPO?

Sol.:

Aprendemos na aula passada o que é um anagrama! E vimos também que (e aqui podemos generalizar!) questões de anagrama se resolvem por permutação! Lembrados?

Daí, teremos: P4=4!=4x3x2x1=24 Resposta!

Exemplo 2) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra PAPAI?

Sol.:

Nova questão de anagrama, e novamente trabalharemos com a Permutação!

Qual seria a diferença entre este segundo exemplo e o anterior? A diferença é que agora formaremos anagramas, partindo de uma palavra (papai) em que algumas letras se repetem! Vejamos: P A P A I.

Percebamos que a letra P se repete duas vezes, e o mesmo se dá com a letra A.



9

A questão sai por Permutação, e disso já sabemos! Uma vez que alguns elementos do conjunto universo são repetidos, diremos que a questão se resolve por Permutação com Repetição!

Em suma, a Permutação com Repetição é um caminho de resolução que usaremos quando a questão for de Permutação, e houver um ou mais de um elemento repetido no conjunto universo!

Neste nosso caso, designaremos assim: 2,25P (Permutação de 5 com repetição de 2, e

de 2). Por que repetição de 2 e de 2? Porque a primeira letra que se repete (P) aparece duas vezes, e a segunda letra que se repete (A) aparece também duas vezes! Daí, teremos:

2,25P = ===

260

12!2!2345

!2!2!5

xxxxx

x30 Resposta!

Ou seja, a fórmula da Permutação com Repetição é a seguinte:

!!.....!.!,...,,

WZYXP WZY

X =

Onde: X é o número de elementos do conjunto universo; Y, Z,..., W é o número de repetições de cada elemento que se repete! Façamos mais um exemplo de Permutação com Repetição. Exemplo) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra PAPAGAIO?

Sol.:

A questão é de anagrama, logo se resolve por Permutação!

Daí, a pergunta: entre os elementos do conjunto universo, há algum que se repete? Sim! Vejamos:

P A P A G A I O

Ou seja, a letra P aparece duas vezes, e a letra A aparece três vezes!

Daí, teremos uma Permutação com Repetição! Teremos:

===12!3

!345678!3!.2

!83,28 xx

xxxxxP 3.360 Resposta!

E apenas isso! Mais nada!

# Questão Especial de Combinação:

Na realidade, a questão de Combinação que veremos só foi aqui chamado de especial porque já foi objeto de prova várias vezes. Só por isso! Na verdade, ela é muito fácil de ser resolvida.

Aprendamos com um exemplo.

Exemplo 1) Dispondo de um conjunto formado por sete médicos e cinco enfermeiros, queremos formar equipes compostas por três médicos e dois enfermeiros. Quantas equipes podem ser formadas, nessas condições?

Sol.:



10

Para identificarmos o caminho de resolução, vamos considerar apenas a existência dos médicos. Ok? Daí, o conjunto universo seria de sete médicos, e o subgrupo que queremos formar terá três médicos.

Os elementos do subgrupo podem ser iguais? Claro que não: são pessoas! Daí, Arranjo ou Combinação!

Criemos um resultado possível: João, José, Pedro

Invertamos a ordem do resultado supra: Pedro, José, João

A equipe formada pelos médicos João, José e Pedro é diferente da equipe formada pelos médicos Pedro, José e João? Claro que não! São a mesma equipe! Daí, concluímos: vamos trabalhar com Combinação!

Pois bem! O que traz de novidade este enunciado?

A única novidade é que nosso conjunto universo é formado por duas categorias distintas! Neste caso, médicos e enfermeiros! (Poderia ser: alunos e alunas, homens e mulheres, operários e operárias, gerentes e diretores etc). E a questão estabelece que, na hora de formar o subgrupo, participarão tantos elementos de uma categoria, e tantos da outra.

Entendido?

Como faremos agora? Simples: dividiremos a questão em duas! Cada categoria será trabalhada em separado da outra. Ou seja, faremos duas operações de Combinação! Teremos:

Conjunto Universo: 7 médicos , 5 enfermeiros

Subgrupo:

===123!.4!4567

!3!.4!7

3,7 xxxxxC 35 ===

12!.3!345

!2!.3!5

2,5 xxxC 10

Daí, multiplicaremos os resultados de cada lado, e chegaremos à resposta! Entendido? Apenas isso! Reprisando: a questão sai por Combinação, e teremos o conjunto universo formado por duas (ou mais!) categorias. A questão ainda dirá quantos elementos de cada categoria estarão presentes no subgrupo. Daí, dividiremos a questão e resolveremos o problema da combinação para cada categoria separadamente! Depois disso, multiplicaremos os resultados parciais e chegaremos à resposta! Mais um exemplo: (AFTN 98 ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:

a) 5400 b) 165 c) 1650 d) 5830 e) 5600

Sol.:

35x10=350 Resposta!



11

Para identificar o caminho de resolução, consideremos apenas a categoria das mulheres (por exemplo). Daí, existem 10 mulheres no conjunto universo e queremos formar subgrupos com duas delas. Como são pessoas, os elementos do subgrupo têm que ser distintos! Arranjo ou Combinação! Qual?

Criando um resultado possível: Maria e Marta

Invertendo: Marta e Maria

A comissão formada por Maria e Marta é diferente da formada por Marta e Maria? Não! São exatamente iguais! Logo, a questão sai por Combinação!

Pois bem! Sabendo que o caminho de resolução é a Combinação, observamos também que o conjunto universo é, na verdade, composto por duas categorias: a dos homens e a das mulheres. Daí, já sabemos: partiremos a questão em duas metades, e resolveremos a combinação de cada categoria em separado. Teremos:

Conjunto Universo: 10 homens , 10 mulheres

Subgrupo:

===123!.7

!78910!3!.7

!103,10 xx

xxxC 120 ===12!.8

!8910!2!.8

!102,10 x

xxC 45

Daí, multiplicaremos os resultados de cada lado, e chegaremos à resposta! (AFC 2005 ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a: a) 286 d) 371 b) 756 e) 752 c) 468 Sol.: Esta questão é parecida com a anterior, e pelos mesmos motivos expostos anteriormente, ela também se trata de uma questão de combinação!

Porém, esta questão torna-se diferente da anterior porque o número de meninas e meninos pode variar dentro do grupo das seis crianças!

A questão pede pelo menos duas meninas no grupo de seis crianças, daí teremos três formações possíveis quanto ao número de meninas e meninos dentro do grupo:

1. Duas meninas e quatro meninos.

2. Três meninas e três meninos.

3. Quatro meninas e dois meninos.

Dessa forma, para cada uma das formações acima teremos que calcular o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas. Ao final desses cálculos, somaremos os resultados parciais obtidos para acharmos a resposta da questão.

120x45=5400 Resposta!



12

1º) Número de maneiras com duas meninas e quatro meninos.

Temos 4 meninas para escolher 2, e temos 7 meninos para escolher 4.

4,72,4 CC × = !4!.3

!7!2!.2

!4× = 356× = 210

2º) Número de maneiras com três meninas e três meninos.


3,73,4 CC × = !3!.4

!7!3!.1

!4× = 354× = 140

3º) Número de maneiras com quatro meninas e dois meninos.


2,74,4 CC × = !2!.5

!7!4!.0

!4× = 211× = 21

Total de maneiras = 210 + 140 + 21 = 371 Resposta!

(Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a: a) 504 d) 90 b) 252 e) 84 c) 284

Sol.:

Sem dúvidas, trata-se de uma questão de combinação!

Dados fornecidos:

- Uma turma de quinze formandos (dez rapazes e cinco moças).

- A comissão é composta por seis formandos.

- Marcela participa da comissão e Mário não participa.

O Mário não participará, de maneira nenhuma, da comissão, então podemos fazer de conta que ele não existe, e assim teremos somente catorze formandos (nove rapazes e cinco moças)!

A Marcela tem lugar garantido na comissão de seis formandos, restando cinco lugares a serem disputados entre os catorze formandos. Portanto, para descobrirmos o total de diferentes comissões, basta fazer uma combinação de catorze formandos para cinco lugares:

=××=××××××××

=×××××××××

== 111314123451011121314

12345.!9!91011121314

!5!.9!14

5,14C 2002 Resposta!

Esta questão foi anulada porque nenhuma das alternativas continha a resposta correta!



13

Compreendido, meus amigos? Ótimo!

Podemos dizer que já somos detentores do conhecimento suficiente e necessário para resolver questões de prova de Análise Combinatória!

Na seqüência, as questões do nosso Dever de Casa de hoje! Ok?

Um abraço forte a todos! Fiquem com Deus e até a próxima aula!

Dever de Casa

01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a

a) 2 d) 48 b) 4 e) 120 c) 24

02. (MPOG 2000 ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem

sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é igual a:

a) 6 d) 36 b) 12 e) 48 c) 24

03. (IDR-1997) Em um teste psicológico, uma criança dispõe de duas cores de tinta: azul e

vermelho, e de um cartão contendo o desenho de 6 quadrinhos, como na figura abaixo. O teste consiste em pintar os quadrinhos de modo que, pelo menos quatro deles sejam vermelhos. É correto afirmar que o número de modos diferentes de pintura do cartão é de:

a) 6 d) 24 b) 12 e) 36 c) 22

04. (Téc de controle interno Piauí 2002 ESAF) Em um grupo de dança participam dez

meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por:

a) 5.400 b) 6.200 c) 6.800 d) 7.200 e) 7.800

05. (Ministério Público de Santa Catarina 2004 ACAFE) Seis pessoas, entre elas Pedro,

estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria, onde José não é o presidente, será:

a) 120 b) 360 c) 60 d) 150 e) 300



14

06. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?

a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65 07. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras

podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que nenhum membro seja matemático?

a) C20,10

b) C15,10

c) C20,15

d) C10,10

e) C20,20

08. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras

podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da comissão?

a) C20,10

b) C15,10

c) C20,15

d) C15,5

e) C20,20

09. (AFRE MG 2005 ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão

participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60

10. (MPU 2004 ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-

los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a

a) 20. b) 30. c) 24. d) 120. e) 360.

GABARITO 01 d 06 d 02 c 07 b 03 c 08 d 04 a 09 a 05 e 10 d



1

AULA DOZE: PROBABILIDADE (Parte I)

Olá, amigos!

Hoje, daremos início a um novo assunto, o qual, assim como a Análise Combinatória,tem sido também constantemente cobrado em provas de Raciocínio Lógico. Trata-se daProbabilidade. Faremos esse estudo em duas aulas, conforme nossa programação original. Eantes que alguém se assuste, achando que se trata de algo muito difícil, convém saber que,em provas de concurso, este tema recebe um enfoque muito peculiar, e que passará a serinteiramente de nosso conhecimento!

Antes de iniciarmos o novo estudo, resolvamos as questões pendentes do dever de casapassado.

Dever de Casa

1. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejamsentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelasquais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moçasfiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a

a) 2 d) 48b) 4 e) 120c) 24

Sol.:

Já resolvemos uma questão parecida com esta na aula anterior! Então, creio que todosconseguiram chegar à resposta!

A questão especifica que duas moças têm que estar sempre juntas! Daí,consideraremos como se fossem uma só moça! Com esta consideração, passamos a ter 4pessoas na fila!

O número de maneiras possíveis que estas 4 pessoas podem distribuir-se nos assentos,pode ser determinado pela fórmula da permutação.

P4=4!=24 maneiras possíveis

As duas moças podem trocar de posição, mantendo-se ainda juntas, e mais uma vezusaremos a fórmula da permutação!

P2=2!=2 maneiras possíveis

Daí, multiplicando-se as permutações parciais obtidas acima, teremos:

24 x 2 = 48 maneiras possíveis Resposta: (Letra D)!

M M R R R

M M



2

2. (MPOG 2000 ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moçaspodem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquemtodas juntas é igual a:

a) 6 d) 36b) 12 e) 48c) 24

Sol.:

O que se pede nesta questão (por conta da palavra somente) é o número de maneirasdiferentes em que as 2 moças fiquem sempre juntas enquanto que os 3 rapazes não fiquemtodos juntos.

Assim, para que os três homens não fiquem todos juntos é necessário que as moçasfiquem juntas no meio da fila. Reparem que as moças não podem estar juntas nas pontas, poisassim os três homens ficariam juntos! Há duas situações possíveis para o posicionamento dasmoças:

1ª situação:

R M M R R

2ª situação:

R R M M R

Na primeira situação teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que omesmo se dá em relação às moças!


Permutação das moças: P2 = 2! = 2x1 = 2


6x2= 12

Da mesma forma, na segunda situação teremos os três rapazes permutando entresi, enquanto que o mesmo se dá em relação às moças!


Permutação das moças: P2 = 2! = 2x1 = 2

Compondo nosso resultado, para esta segunda situação, teremos:

6x2= 12

Finalmente, somando os resultados parciais teremos:

12+12= 24 Resposta: (Letra C)!

2 moças

2 moças



3

3. (IDR-1997) Em um teste psicológico, uma criança dispõe de duas cores detinta: azul e vermelho, e de um cartão contendo o desenho de 6 quadrinhos,como na figura abaixo.

O teste consiste em pintar os quadrinhos de modo que, pelo menos quatrodeles sejam vermelhos.É correto afirmar que o número de modos diferentes de pintura do cartão é de:

a) 6 d) 24 b) 12 e) 36c) 22

Sol.:Cada quadrinho do cartão será pintado, ou na cor vermelha, ou na cor azul! Para

ilustrarmos, veja abaixo o cartão com quatro quadrinhos na cor vermelha e dois quadrinhos nacor azul:

O número de maneiras diferentes de pintura do cartão, com quatro quadrinhos nacor vermelha, pode ser obtido permutando-se as cores azul e vermelha mostradas na figuraacima. Então, já descobrimos que a questão é de permutação! E uma vez que algunselementos são repetidos, diremos que a questão se resolve por Permutação com Repetição!

Além de calcularmos o número de maneiras diferentes de pintura do cartão com quatroquadrinhos na cor vermelha, também devemos calcular com cinco quadrinhos na cor vermelhae seis quadrinhos na cor vermelha, pois o enunciado pede: o número de maneiras diferentesde pintura do cartão com pelo menos quatro quadrinhos vermelhos.

Passaremos aos cálculos para os três casos:

1º) Número de maneiras diferentes com quatro quadrinhos na cor vermelha:

Neste caso, designaremos assim: 2,46P (Permutação de 6 com repetição de 4, e de 2),

porque o vermelho se repete 4 vezes e o azul 2 vezes! Daí, teremos:

2,46P ===

⋅⋅⋅=⋅x15

2º) Número de maneiras diferentes com cinco quadrinhos na cor vermelha:

Designaremos assim: 1,56P (Permutação de 6 com repetição de 5, e de 1), porque o

vermelho se repete 5 vezes e o azul 1 vez! Daí, teremos:

1,56P = =

⋅⋅

=⋅ 1!5

!56!1!5

!6 6

3º) Número de maneiras diferentes com seis quadrinhos na cor vermelha:

É claro que só há 1 maneira para este caso!

O total de maneiras é obtido pela soma dos resultados obtidos nos três casos acima:15 + 6 + 1 = 22 Resposta: (Letra C)!



4

4. (Téc de controle interno Piauí 2002 ESAF) Em um grupo de dança participamdez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças,que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem trêsmeninos e duas meninas é dado por:

a) 5.400 d) 7.200b) 6.200 e) 7.800c) 6.800

Sol.:

A ordem dentro do grupo de cinco crianças escolhidas é irrelevante! Daí, trata-se deuma questão de combinação!

Para compor o grupo de cinco crianças, selecionaremos três meninos entre os dezexistentes e duas meninas entre as dez existentes! Para este cenário, o número total dediferentes maneiras pode ser obtido por:

2,103,10 CC × = !8!.2!10

!3!.7!10× = 45120× = 5400 Resposta: (Letra A)!

5. (Ministério Público de Santa Catarina 2004 ACAFE) Seis pessoas, entre elasPedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta éformada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e umtesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria, onde Josénão é o presidente, será:

a) 120 d) 150 b) 360 e) 300 c) 60

Sol.:Trata-se de uma questão de análise combinatória em que a ordem dos elementos é

importante, e assim podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) pararesolver esta questão.

Nas questões de P.F.C. devemos sempre iniciar a análise das possibilidades por onde setem uma restrição. A restrição fornecida no enunciado é a de que Pedro não pode serpresidente. Então, iniciaremos a análise das possibilidades pelo cargo de presidente.

Temos ao todo 6 pessoas, como Pedro não pode ocupar a posição de presidente, entãohá 5 pessoas que podem ser presidente. Para a posição de vice, há 5 possibilidades, já queuma das seis pessoas já ocupou o cargo de presidente. Para a posição de secretário, há 4possibilidades, já que das seis pessoas, uma é presidente e a outra é vice. Resta para aposição de tesoureiro 3 possibilidades. Veja o desenho abaixo, que mostra os cargos e aspossibilidades de ocupação de cada um deles.

_____5p___ ______5p______ ___4p____ ___3p_____ presidente vice-presidente secretário tesoureiro

Daí, o total de maneiras para compor a diretoria é:5 x 5 x 4 x 3 = 300 Resposta: (Letra E)!

6. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoaspodem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?

a) 25 d) 55b) 35 e) 65c) 45

Sol.: Faremos duas soluções, a fim de que vocês entendam bem o procedimento deresolução desse estilo de questão.



5

1ª Solução:

Número de comissões contendo 1 diretor: C3,1 x C5,4 = 3 x 5 = 15

Número de comissões contendo 2 diretores: C3,2 x C5,3 = 3 x 10 = 30

Número de comissões contendo 3 diretores: C3,3 x C5,2 = 1 x 10 = 10

Logo, a resposta é: 15 + 30 + 10 = 55 Resposta: (Letra D)!

2ª Solução:

O total de comissões de 5 pessoas que podemos formar com estas 8 pessoas (3diretores e 5 gerentes) é dado por:

C8,5 = 56

O total de comissões de 5 pessoas que podemos formar de maneira que nãocontenham diretores, mas somente os 5 gerentes, é dado por:

C5,5 = 1

Logo, o total de comissões de 5 pessoas que podemos formar contendo no mínimo umdiretor é dado pela subtração dos dois resultados parciais obtidos acima:

56 – 1 = 55 Resposta: (Letra D)!

7. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantasmaneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que nenhummembro seja matemático?

a) C20,10 d) C10,10

b) C15,10 e) C20,20

c) C20,15

Sol.:Novamente, temos uma questão de combinação!A comissão é formada por 10 pessoas! Quem pode participar da composição

dessa comissão? Segundo o enunciado, das 20 pessoas que formam o grupo, somente osnão matemáticos poderão participar da comissão. Como há cinco matemáticos no grupodos 20, isto significa que há um total de 15 (=20–5) não matemáticos.

O número de comissões diferentes com 10 pessoas que podem ser formadas apartir de 15 não matemáticos é: C15,10 . Resposta: (Letra B)!

Combinação de 3 diretorespara 1 vaga na comissão.

Combinação de 5 gerentes para o restantedas vagas (4) na comissão.

Combinação de 3 diretorespara 2 vagas na comissão.

Combinação de 5 gerentes para orestante das vagas (3) na comissão.

Combinação de 3 diretorespara 3 vagas na comissão.

Combinação de 5 gerentes para orestante das vagas (2) na comissão.



6

8. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantasmaneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos osmatemáticos participem da comissão?

a) C20,10 d) C15,5

b) C15,10 e) C20,20

c) C20,15

Sol.:Na questão anterior os matemáticos não podiam participar da comissão, já nesta

questão todos os matemáticos devem fazer parte da comissão!E temos os seguintes dados fornecidos:- Grupo consta de 20 pessoas, dos quais 5 são matemáticos.- A comissão é de 10 pessoas.

Ora, se os matemáticos devem fazer parte da comissão, então cinco lugares dacomissão vão ficar reservados para os cinco matemáticos, restando cinco vagas ainda a serempreenchidas. Estas vagas serão disputadas pelos não matemáticos, que são um total de 15.

Assim, para obtermos o número de comissões diferentes que podem ser formadas,faremos uma combinação de 15 pessoas para 5 lugares, ou seja: C15,5. Resposta: (Letra D)!

9. (AFRE MG 2005 ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise,vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou queas modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas porexatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderáser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá sera primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadasé igual a:

a) 420 d) 240b) 480 e) 60c) 360

Sol.:Temos os seguintes dados fornecidos pelo enunciado:1°) Há sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise.2°) Serão formadas filas com exatamente quatro modelos.3°) A última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise.4°) Denise não poderá ser a primeira da fila.

Como se trata de formar uma fila de pessoas, onde teremos que ordenar as posições(1ª da fila, 2ª da fila, ...), então a ordem é relevante, e, assim, não resta dúvidas quepodemos utilizar o princípio fundamental da contagem.

Primeiramente, desenharemos as quatro posições da fila:

1ª da fila 2ª da fila 3ª da fila 4ª da fila

A última posição da fila só pode ser ocupada por quatro das sete modelos, as quais são:Ana, Beatriz, Carla ou Denise. Agora, calcularemos o número de diferentes filas que podemser formadas tendo cada uma dessas modelos na última posição da fila.

1. Número de diferentes filas com Ana sendo a última da fila:


Vamos calcular o número de possibilidades de ocupação para cada uma das trêsprimeiras posições:

Ana



7

a) A 1ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) enem por Denise (devido a restrição feita no enunciado), assim há cinco modelos quepodem ocupar a 1ª posição.

b) A 2ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) enem pela modelo que já ocupou a 1ª posição, daí há cinco modelos que podem ocupar a 2ªposição.

c) A 3ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) enem pelas modelos que já ocuparam a 2ª e a 3ª posições, daí há quatro modelos quepodem ocupar a 3ª posição.

O número de diferentes filas é obtido pela multiplicação dos resultados parciais, ou seja:5 x 5 x 4 = 100 filas diferentes.

2. Número de diferentes filas com Beatriz sendo a última da fila:


O procedimento é idêntico ao anterior, só muda o nome de Ana para Beatriz. Por isso, oresultado será o mesmo: 100 filas diferentes.

3. Número de diferentes filas com Carla sendo a última da fila:


O procedimento também é idêntico ao primeiro caso, só muda o nome de Ana paraCarla. Por isso, o resultado será o mesmo: 100 filas diferentes.

4. Número de diferentes filas com Denise sendo a última da fila:


Esse caso é um pouco diferente dos outros, conforme mostraremos abaixo.Vamos calcular o número de possibilidades de ocupação para cada uma das três

primeiras posições:

a) A 1ª posição da fila só não pode ser ocupada por Denise (pois ela está na última posiçãoe também pela restrição feita no enunciado), assim há seis modelos que podem ocupar a1ª posição.

b) A 2ª posição da fila não pode ser ocupada por Denise (pois ela está na última posição) enem pela modelo que já ocupou a 1ª posição, daí há cinco modelos que podem ocupar a 2ªposição.

c) A 3ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) enem pelas modelos que já ocuparam a 2ª e a 3ª posições, daí há quatro modelos quepodem ocupar a 3ª posição.

O número de diferentes filas é obtido pela multiplicação dos resultados parciais, ou seja:6 x 5 x 4 = 120 filas diferentes.

A resposta da questão é dada pela soma dos resultados obtidos para cada um dosquatro casos acima: 100 + 100 + 100 + 120 = 420 Resposta: (Letra A)!

Beatriz

Carla

Denise



8

10. (MPU 2004 ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari equer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros sãoassinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquerordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordemcronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras queos seis quadros podem ser expostos é igual a

a) 20. d) 120.b) 30. e) 360.c) 24.

Sol.:A questão envolve os seguintes quadros: 3 quadros de Gotuzo e 4 de Portinari.

Solicita-se o número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos,desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, daesquerda para a direita.

Os quadros de Gotuzo são três, que designaremos por: G1, G2 e G3.Os quadros de Portinari são três, que designaremos por: P1, P2 e P3.

O número de diferentes maneiras na qual os 6 quadros podem ser expostos, emqualquer ordem, é:

Permutação de 6 = 6! = 720

Dentro dessas 720 maneiras em que os seis quadros aparecem, os 3 quadros deGotuzo se apresentam em seis (= permutação de 3) diferentes ordens, que são ilustradasabaixo.

Na ilustração acima, os quadros de Gotuzo não estão necessariamente um ao lado do outro!

Qualquer que seja a exposição dos seis quadros, uma das seqüências acima dosquadros de Gotuzo estará presente. Pergunto: qual é das sequências dos quadros de Gotuzoque mais se repetirá entre as 720 maneiras de se expor os seis quadros? É claro que todas assequências dos quadros de Gotuzo se repetirão a mesma quantidade de vezes. Daí, comotemos um total de 720 maneiras diferentes em que os seis quadros podem ser apresentados e6 possíveis seqüências para os quadros de Gotuzo, então cada uma dessas seqüênciasaparecerá:

720 / 6 = 120 vezes

A sequência (G1, G2, G3) representa os quadros de Gotuzo em ordem cronológica, ecomo já sabemos, ela se repetirá 120 vezes. Resposta: (Letra D)!

G1 G2 G3

G1 G3 G2

G2 G1 G3

G2 G3 G1

G3 G1 G2

G3 G2 G1

1ª sequência:

2ª sequência:

3ª sequência:

4ª sequência:

5ª sequência:

6ª sequência:



9

Agora, sim, passemos a falar em Probabilidade!

Pelo exame das últimas questões de concurso (sobretudo da Esaf), percebemos que hásete tópicos relacionados à Probabilidade, os quais, se bem compreendidos, serão a chavepara acertarmos qualquer questão de prova. Senão, vejamos!

Esses referidos tópicos são os seguintes:

Conceito de probabilidade;

Árvore de probabilidades;

Situações excludentes;

“Caminho de probabilidades”

Eventos independentes;

Probabilidade da união de dois eventos; e

Probabilidade condicional.

Aprenderemos esses tópicos, um a um, por meio da resolução de exercíciosdiversos.

# Conceito de Probabilidade:

Exemplo 01) Uma urna contém dez bolinhas, sendo quatro delas azuis e seisvermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual aprobabilidade que ela seja vermelha?

Sol.:

O conceito de Probabilidade é facílimo. Trata-se de uma divisão!

Antes de mais nada, convém saber que a questão de Probabilidade é inconfundível.Haverá no enunciado sempre a pergunta: Qual a probabilidade de ...? No máximo, a questãotrocará a palavra probabilidade pela palavra chance. (Mas isso também não é algo comum deocorrer)!

Daí, procuraremos saber qual é a probabilidade de realização de um determinadoevento! Teremos, então, que o conceito que buscamos é o seguinte:

Probabilidade = possíveisresultadosdenfavoráveisresultadosden

°°

Pois bem! Vejamos como é fácil a coisa. Qual é o evento em análise neste exemplo?Retirar uma bola azul da urna! Ora, a tal urna contém dez bolas. Daí, se quero retirar apenasuma delas, quantos serão os resultados possíveis para essa retirada? Dez, é claro! Já temoso nosso denominador!

Passemos ao numerador, os resultados favoráveis. A pergunta é: favoráveis a quem?Favoráveis à realização do evento! Ora, se eu pretendo retirar uma bola azul da urna, entãoquantos serão os resultados que satisfarão essa exigência do evento (bola azul)? Quatro! (Sóhá quatro bolas azuis na urna!).

De posse dos resultados favoráveis e possíveis para o evento em tela, faremos:

P = 4 / 10 = 0,40 = 40% Resposta!

De antemão, convém sabermos que a Probabilidade tem valor máximo de 100%. Nestecaso (P=100%), estaremos diante do chamado evento certo!

Por exemplo: qual a probabilidade de obtermos um valor menor que 7 no lançamentode um dado? Ora, trata-se de um evento certo! Há aqui uma certeza matemática! Aprobabilidade será, portanto, de 100%.



1

A idéia oposta ao do evento certo é a do evento impossível: aquele cuja probabilidadede ocorrência é de 0% (zero por cento)! Exemplo: qual a probabilidade de eu ganhar na loteriasem jogar? Nenhuma! Qualquer criança acerta essa resposta!

Entre um evento impossível e um evento certo, infindáveis são as possibilidades (e asprobabilidades!).

Este é, pois, o conceito de probabilidade!

Façamos outro exemplo:

Exemplo 02) Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao retiraraleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha umnúmero par?

Sol.:

Retomemos o nosso conceito:

Probabilidade = possíveisresultadosdenfavoráveisresultadosden

°°

O evento agora é retirar uma bola da urna, e queremos que ela seja par!

Daí, para retirar uma bola de urna que contém dez bolas, haverá – irrefutavelmente –dez resultados possíveis! Concordam? (Já temos o denominador!)

Acerca do numerador, perguntaremos: qual é a exigência do evento? É que a bolaretirada tenha um número par. Quantos são os resultados que atendem, que satisfazem, essaexigência? Ora, são cinco (as bolas de números 2, 4, 6, 8 e 10).

Pronto! Lançando os valores no conceito, teremos:

P=(5/10)=0,50=50% Resposta!

# Situações Excludentes, Árvore de Probabilidades e Eventos Independentes:

Vejamos esses conceitos, por meio do exemplo seguinte:

Exemplo 03) (TCE-RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5.Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estarvivo daqui a 5 anos é de:

Sol.:

Vamos analisar a primeira frase do enunciado: “a probabilidade de um gato estar vivodaqui a 5 anos é 3/5”.

Temos que nos habituar a ler uma frase que fala da probabilidade de ocorrência de umevento, já tentando vislumbrar se existe uma situação excludente para aquele evento. Comoé isso? Ora, o evento que estamos tratando é o gato estar vivo daqui a 5 anos. A situaçãoexcludente para o gato estar vivo é justamente o gato estar morto!

Claro! Por que razão chamamos situações excludentes? Porque uma exclui a outra!Ou seja, se o gato estiver vivo é porque não estará morto; e vice-versa: se estiver morto éporque não estará vivo. E não há uma terceira possibilidade!

O que devemos saber sobre as situações excludentes? Devemos saber que a soma dasprobabilidades de ocorrência de situações excludentes será sempre igual a 100%.

Ou seja, se somarmos a probabilidade de o gato estar vivo daqui a cinco anos e aprobabilidade de o gato estar morto daqui a cinco anos, teremos que 100% será o resultadodesta soma!



1

Daí, sabendo que a probabilidade de o gato estar vivo é de (3/5), então a fração querepresentará o evento de o gato estar morto será exatamente de (2/5). Claro! Pois somando(2/5) a (3/5) dará igual a 1, que é 100%.

Ora, apenas analisando essa primeira frase, já podemos começar a compor a nossaárvore de probabilidades! O que é isso? É apenas um desenho, que nos ajudará a enxergarmelhor a questão. Daí, até aqui, teremos que:

VIVO (3/5)

GATO

MORTO (2/5)

Prosseguindo a leitura do enunciado, é dito que a probabilidade de um cão estar vivodaqui a 5 anos é 4/5. Facilmente conseguimos imaginar a situação excludente para o cãoestar vivo. Qual será? O cão estar morto! Claro! E se somarmos essas duas probabilidades(cão vivo e cão morto), o resultado será 100% (ou então 1, se estivermos trabalhando com anotação unitária)!

Daí, de quanto será a probabilidade de o cão estar morto daqui a cinco anos? É a fraçãoque falta a 4/5 para chegar a 5/5, ou seja, para chegar a 100%. Será, portanto, de 1/5.

Com isso, já dá para completarmos a árvore de probabilidades dessa questão.Teremos:

VIVO (3/5)

GATO MORTO (2/5)

VIVO (4/5)

CÃO MORTO (1/5)

Pois bem! Até aqui, já aprendemos a desenhar uma árvore de probabilidades, e asaber o que são situações excludentes, e que a soma das probabilidades dessas situaçõesexcludentes será sempre 100% (ou sempre 1, que é o mesmo que 100%)!

Prosseguindo a leitura do enunciado, veremos o seguinte: “Considerando os eventosindependentes...”

Então esses quatro eventos que temos acima na árvore de probabilidades (gato vivo,gato morto, cão vivo, cão morto) são eventos independentes!

O que temos que saber acerca de eventos independentes? Apenas que se quisermoscalcular a probabilidade de ocorrência simultânea de dois ou mais desses eventos, teremosque multiplicar as probabilidades de cada um deles.

Ou seja, se temos que:

P(cão vivo)=4/5 e P(gato vivo)=3/5

E quisermos saber a probabilidade, ao mesmo tempo, de o cão estar vivo e de o gatoestar vivo, faremos:

P(gato vivo & cão vivo) = P(gato vivo) x P(cão vivo) = (3/5) x (4/5) = 12/25

Então é isso que precisamos saber sobre eventos independentes!

Agora retornemos ao enunciado: a probabilidade de somente o cão estar vivodaqui a 5 anos é de?



1

A palavra chave dessa pergunta é a palavra somente! Ora, a questão falava de duasfiguras: o cão e o gato. Se se deseja saber a probabilidade de somente o cão estar vivo daquia 5 anos, podemos traduzir essa pergunta de outra forma: “Qual a probabilidade de o cãoestar vivo daqui a 5 anos & o gato estar morto?”

Ora, se quero somente o cão vivo, é porque quero também o gato morto!

Olhemos de novo para a nossa árvore de probabilidades:

VIVO (3/5)

GATO MORTO (2/5)

VIVO (4/5)

CÃO MORTO (1/5)

Já vimos que esses eventos (cão vivo & gato morto) são eventos independentes! Daí,se procuramos a probabilidade de ocorrência simultânea desses dois eventos, faremos:

P(cão vivo & gato morto)= P(cão vivo)xP(gato morto) = (4/5)x(2/5) =8/25

(Resposta!)

Com base nessa resolução, você já temos plenas condições de resolver a questãoseguinte, que por sinal também é da Esaf, e foi cobrada na prova do MPOG/2003. Foi aseguinte:

EXEMPLO 04) (MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados paraparticiparem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido paraparticipar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participardo mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente daescolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar dotorneio é igual a:

a) 4/5 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 4/5

Sol.:

Procuremos, na primeira leitura, verificar a existência de algum evento que admita umasituação excludente. Tem? Sim: Paulo ser escolhido! Qual seria a situação excludente? Ora,seria Paulo não ser escolhido, obviamente! O mesmo se dá para o evento Roberto serescolhido, cuja situação excludente seria Roberto não ser escolhido.

Aprendemos há pouco que a soma das probabilidades de situações excludentes ésempre igual a 100%. Daí, nossa árvore de probabilidades para esse exemplo será a seguinte:

PARTICIPAR (3/5)

PAULO NÃO PARTICIPAR (2/5)

PARTICIPAR (1/5)

ROBERTO NÃO PARTICIPAR (4/5)



1

A questão também informa que estamos diante de eventos independentes! Ou seja,caso queiramos descobrir a probabilidade simultânea de mais de um deles, teremos que fazero produto das respectivas probabilidades!

Por fim, a questão pergunta qual é a probabilidade de somente o Paulo participar dotorneio. Ora, ninguém se engana mais! Traduziremos esse questionamento da seguinte forma:Qual a probabilidade de o Paulo participar &, ao mesmo tempo, de o Roberto não participar dotorneio? Entendido? Teremos:

PARTICIPAR (3/5)

PAULO NÃO PARTICIPAR (2/5)

PARTICIPAR (1/5)

ROBERTO NÃO PARTICIPAR (4/5)

P(Paulo participar & Roberto não participar) = (3/5) x (4/5) = 12/25 Resposta!

# Caminho de Probabilidades:

Conheceremos esse conceito por meio do exemplo seguinte:

EXEMPLO 05) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, ooutro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Numdeterminado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também aoacaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juizvê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:

Sol.:

Começaremos analisando a questão dos cartões que o juiz tem no bolso. São três, e oenunciado disse que o juiz irá tirar qualquer um deles, de forma aleatória! Ora, se a retirada éfeita de forma aleatória, a probabilidade de ser retirado qualquer dos três cartões será amesma e igual a 1/3 (um cartão favorável em três possíveis)!

Daí, já podemos começar a desenhar nossa árvore de probabilidades! Teremos:

Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)

Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)

Cartão (amarelo-vermelho) (1/3)



1

Só que a questão não pára por aí. Segue com a seguinte pergunta: qual a probabilidadede, ao retirar o cartão do bolso, a face vermelha fique voltada para o juiz e a face amarelafique voltada para o jogador?

Ora, para que fique uma cor voltada para o juiz e outra cor voltada para o jogador, éóbvio que o cartão retirado do bolso terá que ser o de duas cores! De outra forma, seriaimpossível. Concordam?

Ocorre que, ao retirar o cartão de duas cores do bolso, surgem aqui duas novassituações, as quais deverão ser acrescidas à nossa árvore de probabilidades! São as seguintes:



Face Vermelha p/ o juiz e

Face Amarela p/ o jogador


Face Amarela p/ o juiz e

Face Vermelha p/ o jogador

Observemos que essas duas novas situações são também situações excludentes! Claro!Se ocorrer a de cima, é porque não ocorreu a de baixo, e vice-versa! Como são apenas duassituações excludentes, as probabilidades de cada uma ocorrer é 1/2.

Concluindo, portanto, nossa árvore de probabilidades, teremos:



Vermelho p/ o juiz e (1/2)

Amarelo p/ o jogador


Amarelo p/ o juiz e (1/2)

Vermelho p/ o jogador



1

Aqui, olhando para essa árvore acima, veremos que surge um novo conceito!Estamos falando do caminho de probabilidades! O que é isso? É tão-somente um caminhoem que há duas (ou mais) probabilidades que se sucedem! Ou em outras palavras, é umcaminho em que há mais de um evento, de modo que um é posterior ao outro.

Olhando para o desenho acima, vemos que existem dois caminhos deprobabilidade. Vou destacar primeiro um, e depois o outro. Vejamos:



Vermelho p/ o juiz e (1/2)





Está em azul nosso caminho de probabilidades. Nele, vemos que um evento sesucede ao outro. O primeiro é a escolha do cartão de duas faces; o segundo é o fato de a facevermelha ficar voltada para o juiz, e a amarela para o jogador!

O que interessa saber acerca de um caminho de probabilidade é que quandoestivermos diante de um, não nos interessará mais a probabilidade individual de um evento oudo outro: interessar-nos-á a probabilidade de todo o caminho!

E para descobrirmos a probabilidade que é o resultado de um caminho deprobabilidades, teremos sempre que multiplicar as probabilidades individuais de cadaevento que compõe aquele caminho.

Daí, para chegarmos à probabilidade que resulta deste caminho azul acima, faremos(1/3)x(1/2), e chegaremos ao seguinte:



Vermelho p/ o juiz e (1/2) ⇒ (1/6)


Cartão (amar.-verm.) (1/3)





1

Essa probabilidade que encontramos (1/6) é o resultado deste caminho deprobabilidade e representa a ocorrência dos dois eventos que compõem este caminho.

Ou seja, (1/6) é justamente a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelhae de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela. É exatamente isso o que a questãoestá perguntando!

Daí, nossa resposta, encontrada apenas pelo resultado de um caminho deprobabilidades, é igual a (1/6).

Observemos que para acertar essa questão, tivemos que usar os seguintesconhecimentos: 1º) saber o que são situações excludentes; 2º) saber desenhar uma árvore deprobabilidades; 3º) saber o que é um caminho de probabilidades, e como se chega a suaprobabilidade resultante!

Passemos a mais um exemplo!

EXEMPLO 06) (SERPRO 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes,de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. Aprobabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele forde navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%.Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso éde 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar docongresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é:

Sol.:

Numa leitura calma deste enunciado, vemos que ele é todo muito propício para quefaçamos o desenho da árvore de probabilidades, observando atentamente as situaçõesexcludentes que nos são apresentadas!

Senão, vejamos: a primeira coisa que nos diz a questão é que o Genésio só pode viajarde dois modos: navio ou avião. E diz também que estes dois modos de ele viajar sãomutuamente excludentes! Ora, aqui foi dito de forma expressa: são duas situaçõesexcludentes!

Foi dito ainda quais são as probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião.

Daí, já podemos iniciar o desenho da árvore de probabilidades!

Teremos:

Navio (40%)

Avião (60%)

Só uma observação: na hora que o enunciado falou que viajar de navio e viajar deavião são situações excludentes, e acrescentou que a probabilidade de o Genésio ir de navio éde 40%, então não seria necessário ter informado que a probabilidade de ele ter ido de avião éde 60%. Já seria nossa obrigação saber disso, uma vez que a soma das probabilidades desituações excludentes é sempre 100%. Não é verdade?

Pois bem! Só que o enunciado não parou por aí! Surgem, na seqüência da leitura, maisduas outras situações. Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião,ele poderá chegar com atraso ao congresso! Isso é dito pelo enunciado!



1

E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente,ele pode também chegar em tempo, ou seja, sem atraso. É evidente que se Genésio chegarem tempo é porque não atrasou; e se atrasar, é porque não conseguiu chegar em tempo.Concordam? Ou seja, essas duas situações – chegar atrasado e chegar em tempo – sãosituações excludentes! O enunciado traz quais são as probabilidades de Genésio chegaratrasado nos dois casos (tendo ido de navio e tendo ido de avião), de modo que já teremoscomo completar a nossa árvore de probabilidades, da seguinte forma:

Atrasado (8,5%)

Navio (40%)

Em tempo (91,5%)

Atrasado (1%)

Avião (60%)

Em tempo (99%)

Boa oportunidade essa para nós explorarmos o desenho acima!

Quantos caminhos de probabilidade nós temos nessa árvore de probabilidades?

Temos quatro caminhos:

1º) viajar de navio & chegar atrasado;

2º) viajar de navio & chegar em tempo;

3º) viajar de avião & chegar atrasado;

4º) viajar de avião & chegar em tempo.

Já sabemos que, diante de um caminho de probabilidades, as probabilidadesindividuais já deixaram de ser interessantes para nós! Só nos vão interessar as probabilidadesresultantes de cada caminho! Sabemos também que, para chegar a essas probabilidadesresultantes, teremos que multiplicar as probabilidades individuais de cada caminho! Não éisso mesmo? É isso mesmo!

Daí, analisemos esta árvore e esses caminhos, caso a questão fizesse uma dessasseguintes perguntas:

a) Qual a probabilidade de Genésio ir de navio e de chegar atrasado?

O que lhes parece? Será que isso que está sendo pedido acima é o resultado de algumcaminho de probabilidade? Claro! É logo do primeiro caminho! Vejamos:

Atrasado (8,5%)

Navio (40%)

Em tempo (91,5%)

Atrasado (1%)

Avião (60%)

Em tempo (99%)

Daí, multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos:

(0,40)x(0,085)= 0,034 = 3,4% Resposta!

Na linguagem da probabilidade, diremos: P(navio & atrasado)=0,034



1

b) Qual a probabilidade de Genésio ir de avião e chegar atrasado?

Novamente a pergunta feita acima nos remete a um dos caminhos de probabilidade.Qual deles? O terceiro. Vejamos:

Atrasado (8,5%)

Navio (40%)

Em tempo (91,5%)

Atrasado (1%)

Avião (60%)

Em tempo (99%)

Multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos:

(0,60)x(0,01)= 0,006 = 0,6% Resposta!

Na linguagem da probabilidade, diremos: P(avião & atrasado)=0,006

c) Qual a probabilidade de Genésio chegar atrasado?

A pergunta aqui foi diferente! Só falou no evento “atraso”, sem estabelecer o meio detransporte! Daí, fica claro que há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado chegaratrasado. E são justamente os seguintes:

Atrasado (8,5%) ⇒ 3,4%

Navio (40%)

Em tempo (91,5%)

Atrasado (1%) ⇒ 0,6%

Avião (60%)

Em tempo (99%)

Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremosportanto que somar essas duas probabilidades resultantes de ambos. Teremos, pois, que:

3,4% + 0,6% = 4% Resposta!

Na linguagem da probabilidade, diremos: P(chegar atrasado)=0,04

d) Qual a probabilidade de Genésio chegar em tempo?

Aqui também não foi estabelecido qual seria o meio de transporte que levaria Genésio anão se atrasar! De modo que essa pergunta ficou muito fácil de ser respondida. Senão,vejamos: no item anterior, encontramos que a probabilidade de Genésio chegar atrasado(independente do transporte utilizado) foi de 4%.



1

Ora, será que chegar atrasado e chegar em tempo não são situações excludentes? Claroque sim! Já sabemos disso! Logo, se somarmos as probabilidades dessas duas situações(chegar atrasado e chegar em tempo), teremos que chegar a 100%. Daí, faremos:

P(atrasado) + P(em tempo) = 100%

4% + P(em tempo) = 100%

P(em tempo)=100% - 4%

P(em tempo) = 96% Resposta!

Na linguagem da probabilidade, diremos: P(em tempo)=0,96

Com essas quatro perguntas acima, queremos mostrar que uma questão deprobabilidade pode morrer tão somente pela análise desses tais caminhos de probabilidade,oriundos da árvore de probabilidades! Ou não!

Por que “ou não”? Porque pode haver mais! E o que pode haver a mais? Pode haver amais o seguinte: pode ocorrer de a questão, após fornecer todos os elementos necessários esuficientes para que nós desenhemos a árvore de probabilidades, ela trazer (assim comoquem não quer nada!) mais uma informação.

Essa informação adicional, que muito pode nos parecer inservível, será na verdadeessencial para nossa resolução. O que temos de saber é que essa informação adicional nãovirá nos falando de uma probabilidade! Não! Ela virá falando de um FATO!

Ou seja, uma informação que é um fato dado; algo que passa a ser do nossoconhecimento!

Vamos fazer um teste: vamos recolocar abaixo o nosso enunciado. Você vai lê-lonovamente, com muita calma e muita atenção, tentando descobrir se foi fornecida pelaquestão esta tal de informação adicional; este fato dado, que passa a ser do seuconhecimento. Ok? Aí segue o enunciado:

“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebraparticipar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio irde navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade dechegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião aprobabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se queGenésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. Aprobabilidade de ele ter ido de avião é:”

E aí? Alguém achou uma frase suspeita? Uma frase que veio sozinha? E que não falounada de probabilidade? E que só nos informou um fato dado?

NÃO?????? Não é possível...! Tente novamente:


E agora, melhorou? Agora todo mundo vai dizer que já tinha visto da primeira vez...

Pois é, minha gente! Aqui teremos novidades: quando a questão fornecer todos oselementos necessários para desenharmos a árvore de probabilidades e para construirmos oscaminhos de probabilidades, mas não se contentar apenas com isso, de modo a nos revelarainda um fato, estaremos diante de uma questão da chamada probabilidade condicional.

E o que é isso? É muito fácil. Probabilidade condicional será a probabilidade deocorrência de um evento “A”, dado que sabemos que ocorreu um outro evento “B”.



2

Esse evento “B” é justamente aquele que nos é dado a conhecer pela informaçãoadicional; por aquela frase que vem sozinha, e apenas nos revela um fato dado; algo quepassa a ser do nosso conhecimento.

Retornemos novamente ao nosso enunciado, para ver se entendemos o que está sendosolicitado por esta questão.

Vamos por partes! Podemos dividir esse enunciado em três pedaços, representadosabaixo em cores diferentes:


1º) O primeiro pedaço que destacamos (em vermelho) servirá apenas para uma coisa: paradesenharmos a árvore de probabilidades e os respectivos caminhos de probabilidade.

2º) A segunda parte do enunciado (destacada em azul) se resume a uma única frase: é o fatodado! É aquela informação que passa a ser conhecida por nós todos! Repito: não é umaprobabilidade: é um fato!

3º) A terceira e última parte do enunciado (destacada em verde) é a pergunta!

Pronto! Estamos quase lá! Agora só nos resta definir exatamente o que a questão querde nós. Para saber isso, começaremos pela pergunta do enunciado: a terceira parte! Qual aprobabilidade de Genésio ter ido de avião?

Sabendo que esta é a pergunta da questão, só nos falta averiguar uma coisa: foifornecido pelo enunciado aquela informação adicional? Aquele fato dado? Foi? Sim!

E qual foi mesmo esse fato dado? Foi que Genésio chegou atrasado!

Daí, o que a questão está mesmo querendo saber é o seguinte:

“Qual a probabilidade de Genésio ter ido de avião, dado que chegou atrasado?”

Essa é a pergunta completa!

Essa é a pergunta da probabilidade condicional. Por que condicional? Porque estásubmetida a uma condição! Qual condição? A de que exista um fato que nós estamos certosque ocorreu!

Veja como a pergunta acima se enquadra perfeitamente no modelo da probabilidadecondicional:

“Qual a probabilidade de ocorrência de um evento “A”, dado que sabemosque ocorreu um evento “B”?

Observemos que o que virá após o dado que será sempre o fato fornecido peloenunciado!

Utilizando a nomenclatura própria da matemática, reduziremos a pergunta acima aoseguinte: P(A dado B)=?

Esta é a pergunta da probabilidade condicional. Para respondê-la, teremos queaplicar a seguinte fórmula:

)()()(

BPBeAPBdadoAP =

Aplicando a fórmula acima à nossa questão, teremos:

P(avião dado atrasado) = P(avião & atrasado) / P(atrasado)



2

Vejamos que o numerador desta fórmula P(avião & atrasado) é exatamente aresposta da “pergunta b”, que foi analisado há pouco por nós, e em que concluímos que:P(avião & atrasado)=0,006.

Vejamos ainda que o denominador da fórmula P(atraso) corresponde, por sua vez, àresposta da “pergunta c” , vista acima, com o que concluímos que: P(atrasado)=0,04.

Pronto! Dispondo dos elementos todos da fórmula da probabilidade condicional,chegaremos ao seguinte:

P(avião dado atraso) = P(avião & atraso) / P(atraso)

P(avião dado atraso) = 0,006 / 0,04 = 0,15 = 15% Resposta!

Passemos a outro exemplo, cobrado na prova do Analista do MPU, ainda recente!

Exemplo 07) (Analista MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa nomesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheirosque lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlospede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidadede que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?

Sol.: Convém relermos o enunciado, tentado já ver se é possível estabelecermos aqueladivisão em partes! Será que é possível. Vejamos:

“Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feitade forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes asopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. Joãosalga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% dasvezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la,verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feitapor José é igual a?”

A primeira parte é aquela que usaremos para desenhar a árvore de probabilidades,observando as situações excludentes, e construindo, se for o caso, os caminhos deprobabilidade.

A segunda parte (em vermelho) é um informação adicional que nos revela um fato.Algo que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um fato dado!

A terceira parte é a pergunta da questão!

Trabalhando a primeira parte do enunciado, chegaremos à seguinte árvore deprobabilidades:



2

sopa salgada (10%)

JOÃO (40%)

sopa normal (90%)

sopa salgada (5%)

JOSÉ (40%)

sopa normal (95%)

sopa salgada (20%)

MARIA (20%)

sopa normal (80%)

Agora temos que formular a pergunta completa da questão!

O que está sendo questionado na última parte do enunciado? A pergunta é qual aprobabilidade de João ter feito a sopa?

Existe dentro do enunciado uma informação adicional, que nos dá a conhecer um fato?Sim! Qual é esse fato? É que a sopa ficou salgada! Ora, que a sopa ficou salgada é um fatodado pela questão. É algo do qual agora temos conhecimento.

Daí, a pergunta completa desta questão é a seguinte:

“Qual a probabilidade de João ter feito a sopa, dado que a sopa ficou salgada?”

Estamos diante de uma probabilidade condicional.

Na linguagem da probabilidade, teremos: P(João dado salgada)=?

Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos:

P(João dado salgada)= P(João & salgada) / P(salgada)

O numerador P(João & salgada) será a probabilidade resultante de um único caminhode probabilidade. O primeiro deles! Vejamos:

sopa salgada (10%) ⇒ 0,04

JOÃO (40%)

sopa normal (90%)

sopa salgada (5%)

JOSÉ (40%)

sopa normal (95%)

sopa salgada (20%)

MARIA (20%)

sopa normal (80%)

Já no tocante ao denominador P(salgada), teremos que somar as probabilidadesresultantes de três caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos:



2


JOÃO (40%)

sopa normal (90%)


JOSÉ (40%)

sopa normal (95%)


MARIA (20%)

sopa normal (80%)

Daí, jogando os dados na fórmula da probabilidade condicional, teremos que:

P(João dado salgada)= 0,04 / 0,10 = 0,40 = 40% Resposta!

Por hoje, já temos teoria bastante!

Na seqüência, apresentamos as questões do nosso Dever de Casa de hoje, todocomposto por questões extraídas de provas recentes! Algumas bem interessantes! Vale a penavocês tentarem resolvê-las! (Lembrem-se: o mais importante de tudo é tentar!)

Na aula seguinte, prosseguiremos este nosso estudo das Probabilidades, acrescendoalguns outros conceitos não vistos aqui nesta presente aula, e resolvendo outra bateria deexercícios!

Seguem as questões!

Um forte abraço a todos e fiquem com Deus!

DEVER DE CASA

01. (MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com asinformações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estarhoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e quea probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos entãorecebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com ainformação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente quea probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:a) 1/7 d) 5/7b) 1/3 e) 4/7c) 2/3

02. (MPU/2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazeruma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões decompra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que ovendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a:a) 0,624 d) 0,568b) 0,064 e) 0,784c) 0,216



2

03. (MPU/2004) André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cadaquestão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André saberesolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marcaaleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então,a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de umaquestão escolhida ao acaso) é igual a:a) 0,62 d) 0,80b) 0,60 e) 0,56c) 0,68

04. (MPU/2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de elapedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir paraverificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificarambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em umposto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificara pressão nos pneus é igual a:a) 0,25 d) 0,15b) 0,35 e) 0,65c) 0,45

05. (MPOG 2001 ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de umamoeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente umnúmero X do intervalo X ∈ Ν 1 ≤ X ≤ 3; se ocorrer coroa, seleciona-sealeatoriamente um número Y do intervalo Y ∈ Ν 1 ≤ Y ≤ 4, onde Ν representa oconjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par éigual a:a) 7/18 d) 1/27b) 1/2 e) 2/9c) 3/7

06. (AFC-STN-2000 ESAF) Uma companhia preocupada com sua produtividadecostuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência,verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado o cursode treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Poroutro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha freqüentadoo mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir comsua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% freqüentaramo curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentementeadmitido na companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua quota deprodução éa) 11,70%b) 27,40%c) 35%d) 83%e) 85%

07. (AFC-SFC 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana irpara o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegaratrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegouatrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é:a) 10%b) 30%c) 40%d) 70%e) 82,5%



2

08. (SERPRO 96) Uma clinica especializada trata apenas de três tipos de doentes:dos que sofrem de problemas cardíacos, dos que tem calculo renal e dos hipertensos.Temos que 50% dos pacientes que procuram a clinica são cardíacos, 40% sãoportadores de calculo renal e apenas 10% são hipertensos. Os problemas cardíacossão curados em 80% das vezes, os problemas de calculo renal em 90% das vezes eos hipertensos em 95% das vezes. Um enfermo saiu curado da clinica. Qual aprobabilidade de ele sofresse de calculo renal?a) 43,1% b) 42,1% c) 45,1% d) 44,1% e) 46,1%

GABARITO: 1. b 2. e 3. c 4. e 5. a 6. b 7. b 8. b



1

AULA TREZE: Probabilidade (Parte II)

Olá, amigos!

Continuaremos (e concluiremos) hoje nosso estudo sobre Probabilidade. Estamos ingressando na segunda metade do nosso Curso! Convém tentarmos manter os estudos em dia, resolvendo sempre o dever de casa, anotando as dúvidas, fazendo resumos etc.

Passemos agora à resolução do dever de casa passado.

DEVER DE CASA

01. (MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:

a) 1/7 d) 5/7 b) 1/3 e) 4/7 c) 2/3 Sol.: Conforme procedemos na aula 12, tentaremos estabelecer uma divisão em partes do enunciado dessa questão! Vejamos:

“Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a?”

A primeira parte (em azul) informa algumas probabilidades, que repetimos abaixo:

P (Ana em Paris) = 3/7

P (Beatriz em Paris) = 2/7

P (Ana em Paris e Beatriz em Paris) = 1/7

A segunda parte (em vermelho) é uma informação adicional que nos revela um fato. Algo que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um fato dado!

A terceira parte (em verde) é a pergunta da questão! Juntando essa pergunta ao fato dado, teremos a seguinte pergunta completa que a questão tem interesse:

“Qual a probabilidade de

Beatriz estar hoje em Paris, dado que Ana estar hoje em Paris?”

Estamos diante de uma probabilidade condicional!

Na linguagem da probabilidade, teremos: P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris)=?


P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) = P(Beatriz em Paris e Ana em Paris)

P(Ana em Paris)

Nós já dispomos das probabilidades que aparecem no numerador e no denominador da fórmula acima, daí, é só nós substituirmos os valores e efetuarmos a divisão:

P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) = 1/7 = 1_ Resposta! 3/7 3



2

02. (MPU/2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624 d) 0,568 b) 0,064 e) 0,784 c) 0,216 Sol.: O enunciado fornece os seguintes dados:

Probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4, que representaremos por: P(fazer uma venda a um cliente) = 0,4

As decisões de compra dos clientes são eventos independentes. Isso significa que a decisão de compra de um determinado cliente não é influenciada pela decisão de compra de outro cliente. E em termos de probabilidade, a independência significa que:

P(vender para A e vender para B) = P(vender para A) x P(vender para B)

e também:

P(ñ vender para A e ñ vender para B) = P(ñ vender para A) x P(ñ vender para B)

A questão solicita a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas. A melhor maneira de obtermos o resultado dessa probabilidade é calculando a probabilidade do evento excludente (é a negação do evento dado).

Temos o evento: o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas.

O evento excludente é: o vendedor não faça nenhuma venda em três visitas.

A soma das probabilidades desses dois eventos é igual a 1, ou seja:

P(no mínimo uma venda) + P(nenhuma venda) = 1

Daí, se encontrarmos a probabilidade do evento excludente, basta subtrairmos de 1 para obtermos a resposta da questão.

Passemos ao cálculo da probabilidade: P(nenhuma venda) !

Considere que os três clientes sejam: A, B e C. Dessa forma, a probabilidade acima pode ser definida assim:

P(não vender para A e não vender para B e não vender para C)

Como foi dito na questão que as decisões de compra dos clientes são independentes, então essa probabilidade pode ser transformada no produto de três probabilidades:

P(não vender para A) x P(não vender para B) x P(não vender para C)

Foi dado no enunciado que: P(fazer uma venda a um cliente) = 0,4.

Logo, P(não fazer uma venda a um cliente) = 1 – 0,4 = 0,6

Daí, P(não vender para A) x P(não vender para B) x P(não vender para C) será igual a:

0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

Substituindo este resultado na equação:

P(no mínimo uma venda) + P(nenhuma venda) = 1 ,

teremos:

P(no mínimo uma venda) + 0,216 = 1

E, assim:

P(no mínimo uma venda) = 0,784 Resposta!



3

03. (MPU/2004) André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a: a) 0,62 d) 0,80 b) 0,60 e) 0,56 c) 0,68 Sol.:

O André ao tentar resolver uma questão do teste, ele pode saber resolver a questão ou não! Se ele sabe, é claro que acertará a questão, e se ele não sabe, ainda poderá acertar a questão chutando uma das cinco alternativas, com probabilidade de acerto de (1/5). Veja que essa questão apresenta ramificações, caminhos, que darão um resultado final. Logo, podemos utilizar a árvore de probabilidades para traçar os possíveis caminhos e nos ajudar a obter a alternativa correta.

Nossa árvore de probabilidades:

sabe resolver (60%) acerta (100%) acerta (1/5) não sabe resolver (40%) erra (4/5)

Qual é a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste?

Há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado acertar uma questão. E são justamente os seguintes:

sabe resolver (60%) acerta (100%) ⇒ 0,6 x 1 = 0,6 acerta (1/5) ⇒ 0,4 x 1/5 = 0,08 não sabe resolver (40%) erra (4/5)

Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos portanto que somar essas duas probabilidades resultantes de ambos. Teremos, pois, que:

0,6 + 0,08 = 0,68 Resposta!

questão qualquer do teste

questão qualquer do teste



4

04. (MPU/2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus é igual a: a) 0,25 d) 0,15 b) 0,35 e) 0,65 c) 0,45 Sol.: Vamos anotar as probabilidades fornecidas no enunciado:

P(ver o óleo) = 0,28

P(ver os pneus) = 0,11

P(ver o óleo e ver os pneus) = 0,04

E a questão solicita a seguinte probabilidade:

P(não ver o óleo e não ver os pneus)

Se a questão afirmasse que os eventos ver o óleo e ver os pneus são independentes, então podíamos separar a probabilidade acima em um produto de duas probabilidades, mas não é o caso dessa questão!

Será que essa questão se resolve por evento excludente, como fizemos na segunda questão? Vamos tentar? Vamos lá!

Temos o evento: não ver o óleo e não ver os pneus.

O evento excludente será a negação do evento acima. Para fazermos a negação desse evento, devemos lembrar da negação do conectivo “e” (1ª aula):

a negação de (A e B) é igual a (não A ou não B)

a negação de (não A e não B) é igual a (A ou B)

Daí, o evento excludente será: ver o óleo ou ver os pneus.

A soma das probabilidades do evento dado e do evento excludente, como já sabemos, é igual a 1.

Passemos a calcular a probabilidade do evento excludente:

P(ver o óleo ou ver os pneus)

Vamos aplicar a regra de probabilidade do “ou” :

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

Assim, teremos:

P(ver o óleo ou pneus) = P(ver o óleo) + P(ver os pneus) – P(ver o óleo e pneus)

Substituindo os dados fornecidos na questão, obteremos:

P(ver o óleo ou pneus) = 0,28 + 0,11 – 0,04

Daí, P(ver o óleo ou pneus) = 0,35

Mas a questão ainda não terminou, pois o que se deseja é a probabilidade:

P(não ver o óleo e não ver os pneus)

E sabemos que:

P(não ver o óleo e não ver os pneus) = 1 - P(ver o óleo ou pneus)

Daí, P(não ver o óleo e não ver os pneus) = 1 – 0,35 = 0,65 Resposta!



5

05. (MPOG 2001 ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo X ∈ Ν 1 ≤ X ≤ 3; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do intervalo Y ∈ Ν 1 ≤ Y ≤ 4, onde Ν representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é igual a: a) 7/18 d) 1/27 b) 1/2 e) 2/9 c) 3/7 Sol.:

Primeiramente vamos encontrar os valores que X e Y podem assumir.

Como X é um número natural e (1 ≤ X ≤ 3), então os valores que X pode assumir são: 1, 2 e 3.

Como Y é um número natural e (1 ≤ Y ≤ 4), então os valores que Y pode assumir são: 1, 2, 3 e 4.

O enunciado afirma que no lançamento de uma moeda se o resultado é cara, então se escolhe um valor X (1, 2 ou 3), e se o resultado for ímpar, se escolhe um valor Y (1, 2, 3 ou 4). A probabilidade de se escolher um valor X (1, 2 ou 3) é (1/3), e a probabilidade de se escolher um valor Y (1, 2, 3 ou 4) é (1/4). Mais uma vez, observamos caminhos alternativos que darão um resultado final. Logo, podemos utilizar a árvore de probabilidades para traçar os possíveis caminhos e nos ajudar a obter a alternativa correta.

Nossa árvore de probabilidades: cara (2/3) coroa (1/3)

Qual é a probabilidade de ocorrer um número par?

Há três caminhos que nos conduzem a esse resultado um número par. E são justamente os seguintes: cara (2/3) coroa (1/3)

Ora, como são três os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos portanto que somar essas três probabilidades resultantes. Teremos, pois, que:

2/9 + 1/12 + 1/12 = 14/36 = 7/18 Resposta!

moeda

1 (1/3)

2 (1/3)

3 (1/3)

1 (1/4)

2 (1/4)

3 (1/4)

4 (1/4)

moeda

1 (1/3)

2 (1/3) ⇒ 2/3 x 1/3 = 2/9

3 (1/3)

1 (1/4)

2 (1/4) ⇒ 1/3 x 1/4 = 1/12

3 (1/4)

4 (1/4) ⇒ 1/3 x 1/4 = 1/12



6

06. (AFC-STN-2000 ESAF) Uma companhia preocupada com sua produtividade costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência, verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado o curso de treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por outro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha freqüentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% freqüentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente admitido na companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua quota de produção é a) 11,70% b) 27,40% c) 35% d) 83% e) 85% Sol.:

Construiremos a árvore de probabilidades com os dados trazidos no enunciado:

com curso (80%) sem curso (20%)

Qual é a probabilidade de que um funcionário não cumpra sua quota de produção?

Há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado não cumpre a quota. E são justamente os seguintes:

com curso (80%) sem curso (20%)

Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos portanto que somar essas duas probabilidades resultantes. Teremos, pois, que:

0,144 + 0,13 = 0,274 = 27,4% Resposta!

funcionário

cumpre a quota (82%)

não cumpre a quota (18%)


não cumpre a quota (65%)

funcionário


não cumpre a quota (18%) ⇒ 0,8 x 0,18=0,144


não cumpre a quota (65%) ⇒ 0,2 x 0,65=0,13



7

07. (AFC-SFC 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é: a) 10% d) 70% b) 30% e) 82,5% c) 40%

Sol.: Construiremos a árvore de probabilidades com os dados trazidos no enunciado:

de carro (60%) de metrô (40%)

No cálculo da probabilidade de Ana ter ido de carro, devemos levar em conta que ela chegou atrasada, pois foi um fato que ocorreu segundo o enunciado, e isso vai interferir na resposta da questão.

A pergunta completa que a questão quer que nós respondamos é:

Qual é a probabilidade de Ana ter ido de carro, dado que ela chegou atrasada?


Na linguagem da probabilidade, teremos:

P(de carro dado atrasada)=?


P(de carro dado atrasada) = P(de carro e atrasada) / P(atrasada)

Passemos ao cálculo das probabilidades que aparecem no numerador e no denominador da fórmula acima.

O numerador P(de carro e atrasada) será a probabilidade resultante de um único caminho de probabilidade. O primeiro deles! Vejamos:


Ana vai ao trabalho

atrasada (5%)

não atrasada (95%)

atrasada(17,5%)

não atrasada (82,5%)

Ana vai ao trabalho

atrasada (5%) ⇒ 0,6 x 0,05 = 0,03

não atrasada (95%)

atrasada(17,5%)




8

Já no tocante ao denominador P(atrasada), teremos que somar as probabilidades resultantes de dois caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos:


Ou seja, P(atrasada) = 0,03 + 0,07 = 0,1


P(de carro dado atrasada) = 0,03 / 0,1 = 0,3 = 30% Resposta!

08. (SERPRO 96) Uma clinica especializada trata apenas de três tipos de doentes: dos que sofrem de problemas cardíacos, dos que tem calculo renal e dos hipertensos. Temos que 50% dos pacientes que procuram a clinica são cardíacos, 40% são portadores de calculo renal e apenas 10% são hipertensos. Os problemas cardíacos são curados em 80% das vezes, os problemas de calculo renal em 90% das vezes e os hipertensos em 95% das vezes. Um enfermo saiu curado da clinica. Qual a probabilidade de ele sofresse de calculo renal? a) 43,1% b) 42,1% c) 45,1% d) 44,1% e) 46,1% Sol.: Construiremos a árvore de probabilidades com os dados trazidos no enunciado:

cardíaco (50%) renal (40%) hipertenso (10%)

No cálculo da probabilidade do enfermo sofrer de calculo renal, devemos levar em conta o fato dado, ocorrido e informado no enunciado: o enfermo saiu curado da clinica.

Ana vai ao trabalho

atrasada (5%) ⇒ 0,6 x 0,05 = 0,03

não atrasada (95%)

atrasada(17,5%) ⇒ 0,4 x 0,175 = 0,07


doente

curado (80%)

não curado (95%)

curado (90%)

não curado (82,5%)

curado (95%)

não curado (95%)



9

A pergunta completa que a questão quer que nós respondamos é:

Qual é a probabilidade do enfermo sofresse de cálculo renal, dado que ele saiu curado da clínica?


Na linguagem da probabilidade, teremos:

P(renal dado curado)=?


P(renal dado curado) = P(renal e curado) / P(curado)

O numerador P(renal e curado) será a probabilidade resultante de um único caminho de probabilidade. Vejamos:


Já no tocante ao denominador P(curado), teremos que somar as probabilidades resultantes de três caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos:


Ou seja, P(curado) = 0,4 + 0,36 + 0,095 = 0,855


P(renal dado curado) = 0,36 / 0,855 = 0,421 = 42,1% Resposta!

doente

curado (80%)

não curado (95%)

curado (90%) ⇒ 0,4 x 0,9 = 0,36

não curado (82,5%)

curado (95%)

não curado (95%)

doente

curado (80%) ⇒ 0,5 x 0,8 = 0,4

não curado (95%)

curado (90%) ⇒ 0,4 x 0,9 = 0,36

não curado (82,5%)

curado (95%) ⇒ 0,1 x 0,95 = 0,095

não curado (95%)



10

E aí? Conseguiram fazer as questões? Esperamos que sim!

O importante, sobretudo, é tentar!

Dando continuidade ao estudo da Probabilidade, veremos hoje mais alguns conceitos que não foram comentados na aula passada. Quais sejam:

Probabilidade da união de dois eventos; e

Probabilidade binomial.

Aprenderemos igualmente esses tópicos por meio da resolução de exercícios diversos.

# Probabilidade da União de Dois Eventos:

Esta situação se verificará sempre que a questão de probabilidade trouxer uma pergunta referente a dois eventos, conectados entre si pela partícula ou.

Por exemplo, pode ser que a questão apresente uma série de dados e no final pergunte: Qual a probabilidade de ocorrência do evento A ou do evento B?

Saberemos, então, de imediato, que a partícula ou significará união! Trabalharemos, assim, com uma fórmula própria: a da Probabilidade da União de Dois Eventos:

P(evento A ou evento B)=P(evento A)+P(evento B) – P(evento A e evento B)

Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: P(evento A e evento B). Esta parcela trata acerca da probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B.

Aprendemos na aula passada que, caso os eventos A e B sejam eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto das probabilidades individuais! Lembrados disso?

Pois bem! Vejamos alguns exemplos que nos ajudarão a entender melhor essa teoria.

Exemplo 1) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de se observar um múltiplo de 2 ou de 4?

Sol.: Vemos facilmente que esta questão trata de dois eventos, e não apenas de um! Quais são esses dois eventos?

Retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de dois; e

retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de quatro.

Na pergunta da questão, esses dois eventos estão conectados entre si pela partícula ou, o que nos leva a concluir que estamos trabalhando com a probabilidade da união de dois eventos!

Teremos, pois, que:

P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=P(múltiplo de 2)+P(múltiplo de 4)-P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)

O que temos a fazer é descobrir o valor de cada uma das parcelas. Vamos lá!

P(múltiplo de 2)=?

Sabemos que probabilidade é uma fração: Resultados favoráveis / resultados possíveis!

Daí, na hora de retirarmos uma bolinha de uma urna que contém dez delas, quantos serão os resultados possíveis? Serão 10, obviamente! É esse nosso denominador.

Queremos agora que a bolinha retirada seja múltiplo de 2. Quantos são os resultados que satisfazem essa exigência (resultados favoráveis)? Ora, são 5. Senão, vejamos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ⇒ (cinco múltiplos de 2)!



11

Daí, teremos:

P(múltiplo de 2)= (5/10)

Passemos a trabalhar a segunda parcela da equação:

P(múltiplo de 4)=?

Quantos são os resultados possíveis para a retirada de uma bola, se a urna tem dez bolas? Dez. (É o nosso denominador)!

E quantos são os resultados que satisfazem a exigência de a bola retirada ser múltiplo de 4? Ou seja, quantos são os resultados favoráveis? São 2. Vejamos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ⇒ (dois múltiplos de 4)!

Daí, teremos que:

P(múltiplo de 4)=(2/10)

Pois bem! Só nos falta calcular agora a terceira parcela da equação:

P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)=?

Já sabemos que há dez resultados possíveis para a retirada de uma bola dessa urna!

Mas quantos serão os resultados favoráveis? Ou seja, quantos serão os resultados que satisfazem, ao mesmo tempo, a exigência de a bola retirada ser um múltiplo de 2 e um múltiplo de 4? Essa é fácil. Vejamos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ⇒ (são também apenas 2 resultados, ao mesmo tempo, múltiplos de 2 e múltiplos de 4)!

Daí, teremos que:

P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)=(2/10)

Finalmente, lançando todos esses resultados na equação da união de dois eventos, teremos:

P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=(5/10)+(2/10)–(2/10)

E:

P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=(5/10)=0,50= 50% Resposta!

Ou seja, não tem segredo! Basta recordar da fórmula e aplicá-la! Mais um exemplo.

Exemplo 2) (ESAF) Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é: a) 1/5 b) 1/4 c) 2/4 d) 3/5 e) 3/4 Sol.: Percebemos que aqui também haverá dois eventos envolvidos: o lançamento de um dado e o lançamento de uma moeda. Obviamente que lançar um dado e lançar uma moeda são eventos que não dependem um do outro, ou seja, o resultado de um não influencia em nada o resultado do outro. Em outras palavras, são eventos independentes, embora o enunciado não tenha dito isso expressamente!

Pois bem! Vamos ao nosso raciocínio.

Trabalhando primeiro com o dado. Quantas possibilidades de resultado há no lançamento de um dado? Ora, há seis possibilidades: 1, 2, 3, 4, 5, 6.



12

E quantos modos diferentes há de esse resultado ser um numero ímpar? Vejamos: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ora, haverá três possibilidades.

Daí, ao lançarmos um dado, a probabilidade de o resultado ser ímpar será:

P(resultado ímpar no dado)21

63==

Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possíveis há no lançamento de uma moeda “não viciada”? Dois: cara, coroa.

Quantos resultados possíveis de “coroa”? Apenas um. Logo, a probabilidade de, ao lançarmos uma moeda, dar coroa é de:

P(coroa na moeda)21

=

Quase lá! Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda, estará falando, obviamente, da união entre esses dois eventos. Já sabemos que a existe uma fórmula própria para esses casos. Teremos:

P(ímpar no dado ou coroa na moeda)=P(ímpar dado)+P(coroa moeda)–P(ímpar dado e coroa moeda)

Pois bem! As duas primeiras parcelas da equação acima já foram calculadas. Resta-nos a última! Eis o xis da questão: esta última parcela há que ser muito bem pensada por nós. Por quê? Porque se estivermos trabalhando com eventos independentes – e esse é o nosso caso! – então esta parcela será encontrada pelo produto das probabilidades dos dois eventos.

Teremos:

P(ímpar no dado e coroa na moeda)=P(ímpar no dado) x P(coroa na moeda)

Daí, encontraremos que:

P(ímpar no dado e coroa na moeda)= (1/2) x (1/2) = (1/4)

Finalmente, aplicando os resultados obtidos na nossa equação, encontraremos que:

P(ímpar no dado ou coroa na moeda)=(1/2)+(1/2)–(1/4)=(3/4) Resposta!

# Probabilidade Binomial:

Este é um tipo de questão de probabilidade que não costuma ser cobrado em prova com muita freqüência, mas que já esteve presente, inclusive em um concurso da Receita Federal.

Vamos tentar aprendê-lo da forma mais simples possível.

Quando diremos que estamos diante de uma questão de probabilidade binomial? Quando a situação que se nos apresentar for a seguinte:

1º) Haverá um evento que se repetirá um determinado número de vezes;

2º) Para esse evento específico, só há dois resultados possíveis;

3º) Esses dois resultados possíveis do evento são mutuamente excludentes, ou seja, ocorrendo um deles, o outro está descartado!

4º) A questão perguntará pela probabilidade de ocorrer um desses resultados um certo número de vezes.

Por meio de alguns exemplos entenderemos mais facilmente. Vejamos:



13

Exemplo 1) Um casal apaixonado pretende ter cinco filhos. Considerando que não haja gêmeos entre eles, qual a probabilidade de que sejam exatamente duas meninas?

Vamos analisar.

O evento é o nascimento de um filho. Ora, para esse evento só há dois resultados possíveis: ou será menino ou será menina. Além disso, um resultado exclui o outro. Observem que o enunciado está desconsiderando a possibilidade de gêmeos. Assim, se for um menino é porque não foi uma menina, e vice-versa. (Resultados excludentes!)

Por fim, o evento se repetirá por cinco vezes, e a questão pergunta pela probabilidade de o resultado nascer uma menina se repita por exatamente duas vezes.

Como pudemos verificar, esse enunciado traz todas as características de uma questão de Probabilidade Binomial. Ficou entendido?

Mais um exemplo.

Exemplo 2) Uma moeda honesta será lançada oito vezes. Qual a probabilidade de se verificar exatamente cinco vezes o resultado cara?

Analisemos.

O evento é o lançamento de uma moeda. Ele se repetirá por oito vezes.

Os resultados possíveis para esse evento são apenas dois: cara ou coroa. E em se verificando um desses resultados, é porque o outro não ocorreu. Certo? Ou seja, são resultados excludentes!

Finalmente, a questão pergunta pela probabilidade de que um evento se verifique por exatamente cinco vezes.

Novamente, aqui, estão presentes todas as características de uma questão de Probabilidade Binomial.

Agora, sim, passemos a aprender como se resolve este tipo de questão!

O primeiro passo de nossa resolução será, ao identificar qual é o evento que estamos trabalhando, definir quais são os dois resultados possíveis! Daí, observaremos a pergunta da questão!

Trabalhemos com o exemplo 1 apresentado acima:

Exemplo 1) Um casal apaixonado pretende ter cinco filhos. Considerando que não haja gêmeos entre eles, qual a probabilidade de que sejam exatamente duas meninas?

O evento é o nascimento de um filho. Os dois resultados possíveis são menino e menina.

Vejamos agora a pergunta da questão: qual a probabilidade de que sejam exatamente duas meninas?

Daí, tomaremos esse resultado que consta na pergunta da questão, e passaremos a chamá-lo de sucesso! Ou seja, o sucesso, neste caso, é o nascimento de uma menina. E quanto ao outro resultado possível, como o chamaremos? Fracasso!

Obviamente que essa nomenclatura é meramente técnica! Certo?

Pois bem! Sabendo disso, nosso próximo passo será calcular duas probabilidades: a de ocorrência de um evento sucesso, e a de ocorrência de um evento fracasso! Faremos:

P(menina)=?

Ora, se vai nascer uma criança, então são dois os resultados possíveis!



14

Queremos que seja menina. Quantos resultados satisfazem essa exigência? Somente um, claro! Daí, teremos:

P(menina)=(1/2)

Com isso, já encontramos a probabilidade do evento sucesso!

Resta-nos calcular a probabilidade do outro resultado. Teremos:

P(menino)=?

Seguindo o mesmíssimo raciocínio acima, encontramos que:

P(menino)=(1/2)

Até aqui, tudo bem?

Ótimo! Feito isso, aplicaremos agora a equação da probabilidade binomial, que é a seguinte:

P(de “s” eventos sucesso)=[Combinação N, S]x [P(sucesso)S] x [P(fracasso)F]

Onde:

N é o número de repetições do evento;

S é o número de sucessos desejados;

F é o número de fracassos.

Neste nosso exemplo, teremos o seguinte:

O evento vai se repetir por cinco vezes (serão cinco filhos!). Logo: N=5

O evento sucesso é o nascimento de uma menina. A questão pede que sejam exatamente duas meninas. Logo: S=2.

Se serão cinco nascimentos e duas meninas, resta que o número de meninos será a diferença. Ou seja, serão 3 meninos. Lembrando que o evento sucesso são as meninas, então o evento fracasso serão os meninos. Logo: F=3.

Finalmente, aplicando os resultados obtidos para este exemplo na equação da Probabilidade Binomial, encontraremos que:

P(de duas meninas)=[C 5, 2]. [P(menina)2] x [P(menino)3]

Teremos:

10220

12!.3!345

!2!.3!5

2,5 ====xxxC

Daí:

P(de duas meninas)=[C 5, 2]. [P(menina)2] x [P(menino)3]

P(de duas meninas)=10 x (1/2)2 x (1/2)3 = 3125,03210

81

4110 ==xx

P(de duas meninas)= 31,25% Resposta!

Somente isso! Não é fácil? Façamos agora o exemplo 2.



15

Exemplo 2) Uma moeda honesta será lançada oito vezes. Qual a probabilidade de se verificar exatamente cinco vezes o resultado cara?

O evento é o lançamento de uma moeda. Será repetido por oito vezes! (Já sabemos, então, que N=8). A questão pede exatamente cinco resultados “cara”.

Logo, “cara” é o evento sucesso, e S=5.

Conseqüentemente, “coroa” é o evento fracasso, e F=3.

Certo?

Daí, calcularemos a probabilidade de um evento sucesso e a de um evento fracasso. Teremos:

P(cara)=(1/2)

(São dois resultados possíveis, e somente um satisfaz a exigência que seja “cara”).

Segundo o mesmo raciocínio, teremos:

P(coroa)=(1/2)

Finalmente, aplicando a equação da Probabilidade Binomial, teremos:


P(de 5 caras)=(C8,5) x [P(cara)5] x [P(coroa)3]

Daí: 56123!.5!5678

!3!.5!8

5,8 ===xxxxxC

E: P(de 5 caras)= 56 x [(1/2)5] x [(1/2)3] = 25656

81

32156 =xx

Chegamos a: P(de 5 caras) = 0,2187 = 21,87% Resposta!

É isso, meus amigos!

Com toda a teoria explicada na aula anterior, e ora complementada, damos por encerrado o estudo da Probabilidade, tal como sói se apresentar nos concursos públicos!

Na seqüência, as questões do nosso dever de casa de hoje!

Forte abraço a todos, fiquem com Deus, e até a próxima!

Dever de Casa

01. (MPOG 2001 ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo X ∈ Ν 1 ≤ X ≤ 3; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do intervalo Y ∈ Ν 1 ≤ Y ≤ 4, onde Ν representa o conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é igual a: a) 7/18 b) ½ c) 3/7 d) 1/27 e) 2/9



16

02. (AFCE TCU 99 ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é: a) 1/5 d) 3/5 b) 3/10 e) 7/10 c) 2/5

03. (Anal. Orçamento MARE 99 ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?

a) 25% b) 37,5% c) 42% d) 44,5% e) 50%

04. (TFC 1995) Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos

e duas meninas é: a) 3/8 b) 1/2 c) 6/8 d) 8/6 e) 8/3

05. (AFTN 98 ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas

dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é:

a) (0,1)7 (0,9)3 b) (0,1)3 (0,9)7 c) 120 (0,1)7 (0,9)3 d) 120 (0,1) (0,9)7 e) 120 (0,1)7 (0,9)

Gabarito:

01. A 02. E 03. B 04. A 05. C



1

AULA QUATORZE: Matrizes & Determinantes (Parte I)

Olá, amigos!

Daremos hoje início ao estudo de Matrizes e Determinantes. Pelo histórico das últimas provas elaboradas pela Esaf, este assunto tem sido exigido amiúde, tanto em certames de nível médio, quanto de nível superior.

Embora seja uma matéria (em tese) já vista por todos no ensino médio (antigo 2º grau), e que, por isso mesmo, possa causar algum tipo de mal-estar, convém sabermos logo que sua exigência em concursos se restringe a certos estilos de questão, muito fáceis de serem trabalhados.

Dito isto, iniciemos a resolução do dever de casa passado, para após falarmos em Matrizes. Adiante!

Dever de Casa

01. (AFCE TCU 99 ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é: a) 1/5 d) 3/5 b) 3/10 e) 7/10 c) 2/5

Sol.: Aqui há dois eventos envolvidos: o lançamento de um dado e o lançamento de uma moeda.

Foi dado que a probabilidade de se obter um número par é 3/5. Vamos escrever de maneira mais simplificada: P(par) = 3/5.

Ao lançar um dado só podemos obter dois resultados: par ou ímpar. Daí, P(par) + P(ímpar) = 1

E: P(ímpar) = 1 – P(par) P(ímpar) = 1 – 3/5 P(ímpar) = 2/5

Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possíveis há no lançamento de uma moeda “não viciada”? Dois: cara, coroa.

Quantos resultados possíveis de “coroa”? Apenas um. Logo, a probabilidade de, ao lançarmos uma moeda, dar coroa é de:

P(coroa)21

=

Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda, estará falando, obviamente, da união entre esses dois eventos. Já sabemos que a existe uma fórmula própria para esses casos. Teremos:

P(ímpar ou coroa) = P(ímpar) + P(coroa) – P(ímpar e coroa)

Nós já dispomos das probabilidades P(ímpar) e P(coroa), mas ainda temos que calcular a probabilidade: P(ímpar e coroa).

Os eventos “ímpar no dado” e “coroa na moeda” são independentes? A questão não

afirma nada sobre isso, então podemos fazer a seguinte pergunta para descobrir se eles são independentes: o resultado obtido no lançamento do dado influencia no resultado do lançamento da moeda? Facilmente concluímos que não, podemos jogar um dado e ele pode dar par ou ímpar, mas isto não influencia no resultado cara ou coroa da moeda.

Assim, como são dois eventos independentes, podemos dizer que:

P(ímpar e coroa) = P(ímpar) x P(coroa)



2

Substituindo essa probabilidade na expressão de probabilidade que devemos calcular, teremos:

P(ímpar ou coroa) = P(ímpar) + P(coroa) – P(ímpar) x P(coroa) Só precisamos substituir os valores de probabilidades que já dispomos para obter a

resposta da questão: P(ímpar ou coroa) = 2/5 + 1/2 – 2/5 x 1/2

Daí, P(ímpar ou coroa) = 6/10 – 2/10 E, P(ímpar ou coroa) = 4/10 Resposta!

02. (Anal. Orçamento MARE 99 ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?

a) 25% b) 37,5% c) 42% d) 44,5% e) 50%

Sol.: O evento é o lançamento de uma moeda. Ele se repetirá por quatro vezes.

Os resultados possíveis para esse evento são apenas dois: cara ou coroa. E são resultados excludentes!

Finalmente, a questão pergunta pela probabilidade de que nos quatro lançamentos obtenha-se cara por exatamente duas vezes e coroa exatamente duas vezes. Não havia necessidade de dizer que o resultado coroa deve ocorrer exatamente duas vezes, pois como já está se dizendo que nos quatro lançamentos ocorre exatamente duas caras é claro que vai ocorrer duas coroas.


Vamos encontrar os elementos que lançaremos na fórmula da Probabilidade Binomial.

Como são quatro lançamentos, então N=4.

A questão pede exatamente dois resultados “cara”, então podemos considerar que “cara” é o evento sucesso, e S=2.

Conseqüentemente, “coroa” é o evento fracasso, e F=2.

Certo?


P(cara)=(1/2)

(São dois resultados possíveis, e somente um satisfaz a exigência que seja “cara”).

Segundo o mesmo raciocínio, teremos:

P(coroa)=(1/2)



P(de 2 caras)=(C4,2) x [P(cara)2] x [P(coroa)2]



3

Daí: 6!2!.2

!234!2!.2

!42,4 =

××==C

E: P(de 2 caras)= 6 x [(1/2)2] x [(1/2)2] = 83

41

416 =××

Chegamos a: P(de 2 caras) = 3/8 = 37,5% Resposta!

03. (TFC 1995) Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois

meninos e duas meninas é: a) 3/8 b) 1/2 c) 6/8 d) 8/6 e) 8/3

Sol.:

O evento é o nascimento de uma criança. Ora, para esse evento só há dois resultados possíveis: ou será menino ou será menina. Além disso, um resultado exclui o outro. Observem que o enunciado está desconsiderando a possibilidade de gêmeos. Assim, se for um menino é porque não foi uma menina, e vice-versa. (Resultados excludentes!)

Por fim, o evento se repetirá por quatro vezes, e a questão pergunta pela probabilidade de o resultado nascer um menino se repita por exatamente duas vezes. Obviamente, se nascem exatamente dois meninos entre as quatro crianças, é porque as outras duas crianças são duas meninas.

Como podemos verificar, esse enunciado traz todas as características de uma questão de Probabilidade Binomial. Ficou entendido?

Vamos encontrar os elementos que lançaremos na fórmula da Probabilidade Binomial.

Como são quatro crianças, então N=4.

A questão pede exatamente dois meninos, então podemos considerar que “menino” é o evento sucesso, e S=2.

Conseqüentemente, “menina” é o evento fracasso, e F=2. Certo?

Pois bem! Sabendo disso, nosso próximo passo será calcular duas probabilidades: a de ocorrência de um evento sucesso, e a de ocorrência de um evento fracasso! Faremos:

P(menino)=?

Ora, se vai nascer uma criança, então são dois os resultados possíveis!

Queremos que seja menino. Quantos resultados satisfazem essa exigência? Somente um, claro! Daí, teremos:

P(menino)=(1/2)

Com isso, já encontramos a probabilidade do evento sucesso!

Resta-nos calcular a probabilidade do outro resultado. Teremos:

P(menina)=?

Seguindo o mesmíssimo raciocínio acima, encontramos que:

P(menina)=(1/2)





4

P(de 2 meninos)=(C4,2) x [P(menino)2] x [P(menina)2]

Daí: 6!2!.2

!234!2!.2

!42,4 =

××==C

E: P(de 2 caras)= 6 x [(1/2)2] x [(1/2)2] = 83

41

416 =××

Chegamos a: P(de 2 caras) = 3/8 Resposta!

04. (AFTN 98 ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez

pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é:

a) (0,1)7 (0,9)3 b) (0,1)3 (0,9)7 c) 120 (0,1)7 (0,9)3 d) 120 (0,1) (0,9)7 e) 120 (0,1)7 (0,9)

Sol.: O evento é pesquisar se uma pessoa possui um carro importado. Ele se repetirá por dez vezes, pois dez pessoas foram selecionadas.

Os resultados possíveis para esse evento são apenas dois: “possui carro importado” ou “não possui carro importado”. E como um é a negação do outro, é claro que são resultados excludentes!

Finalmente, a questão pergunta pela probabilidade de que exatamente 7 das 10 pessoas selecionadas possuam carro importado.


Vamos encontrar os elementos que lançaremos na fórmula da Probabilidade Binomial!

Como dez pessoas foram selecionadas para ver se tem carro importado, então N=10.

A questão pede exatamente sete resultados “possui carro importado”, então podemos considerar que “possui carro importado” é o evento sucesso, e S=7.

Conseqüentemente, “não possui carro importado” é o evento fracasso, e F=3.

Certo?


P(possui carro importado) = (10%) = 0,10

Pois, foi informado no enunciado da questão que 10% das pessoas (10 em cada 100 pessoas) possuem carro importado.

Como um evento é a negação do outro, temos a seguinte relação entre eles:

P(não possuir carro importado) + (possuir carro importado) = 1

Daí, P(não possuir carro importado) = 1 – 0,10 = 0,90



5



P(de 7 importados)=(C10,7)x[P(possui carro importado)2]x[P(não possui carro importado)2]

Daí: 1206!.7

!78910!3!.7

!107,10 =

×××==C

E: P(de 7 importados)= 120 x [(0,10)7] x [(0,90)3]

Chegamos a: P(de 7 importados) = 120 (0,1)7 (0,9)3 Resposta!

05. (MPU 2004.2 ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a

a) 1/3. d) 4/5. b) 1/5. e) 3/5. c) 9/20. Sol.: Temos as seguintes informações retiradas do enunciado: Maria ganhou de João 9 pulseiras: 4 de prata e 5 de ouro Maria ganhou de Pedro 11 pulseiras: 8 de prata e 3 de ouro Total de pulseiras = 20 (sendo 12 de prata e 8 de ouro) A questão solicita: Qual é a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João? Mas observe que foi dada uma informação que se deve levar em consideração no cálculo da probabilidade solicitada: Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Compondo a probabilidade solicitada com o fato dado, formamos a seguinte pergunta a qual buscaremos a resposta:

Qual é a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João, dado que ela retirou uma pulseira de prata?

Lembram como se chama essa probabilidade acima? É claro que é a conhecida e bem solicitada probabilidade condicional! Antes de passarmos para a fórmula da probabilidade condicional, vamos fazer uma notação mais simplificada da probabilidade requerida acima:

P(a pulseira seja uma das que ganhou de João dada que é de prata) = ? A fórmula da probabilidade condicional é dada por: P(A dado B) = P(A e B) P(B)

Assim teremos que calcular:



6

P(a pulseira seja uma das que ganhou de João e seja de prata) = ? P(seja de prata)

Passemos ao cálculo das probabilidades que estão no numerador e no denominador!

Cálculo da probabilidade do numerador: Pela definição fundamental de probabilidade (nº de casos favoráveis/nº de casos possíveis) vamos calcular a probabilidade:

P(a pulseira seja uma das que ganhou de João e seja de prata) = 4 de prata que João deu 20 pulseiras no total

P(a pulseira seja uma das que ganhou de João e seja de prata) = 4/20 = 0,2

Cálculo da probabilidade do denominador: P(seja de prata) = 12 de prata = 12/20 = 0,6 20 pulseiras no total Com estes resultados podemos calcular a probabilidade condicional que é pedida na questão.

P(a pulseira seja uma das que ganhou de João e seja de prata) = 0,2 = 1/3 (resposta!) P(seja de prata) 0,6

06. (MPU 2004.2 ESAF) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portas e lhe diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas não-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: “Temível imperador, não quero mais a porta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que não abriste”. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é igual a

a) 1/2. c) 2/3. e) 1. b) 1/3. d) 2/5. Solução: Vamos designar as portas por: P1, P2 e P3. E vamos fazer a seguinte consideração: atrás de P1 tenha a barra de ouro, atrás de P2 tenha um tigre e atrás de P3 tenha um tigre. Há 3 possibilidades na 1ª escolha da porta por Luís: ou P1 ou P2 ou P3, com probabilidades de escolha de 1/3 para cada porta. Vamos analisar as situações possíveis:

Se a primeira escolha for a porta P1 (a porta do ouro), então o imperador poderá abrir a porta P2 ou P3 (ambas do tigre), e assim a segunda escolha de Luís poderá ser ou a porta P3 ou a porta P2. Desta forma, Luís não encontrará o ouro.



7

Se a primeira porta escolhida for a porta P2 (a porta de um dos tigres), então o imperador abrirá a porta P3 (a do outro tigre) e assim a segunda escolha de Luís será a porta P1 (do ouro). Desta forma, Luís encontrará o ouro.

Se a primeira porta escolhida for a porta P3 (a porta de um dos tigres), então o imperador abrirá a porta P2 (a do outro tigre) e assim a segunda escolha de Luís será a porta P1 (do ouro). Desta forma, Luís encontrará o ouro. Pela análise acima, Luís só descobrirá a porta do ouro, se a primeira escolha for a porta do tigre (duas possibilidades em três), ou seja, a probabilidade é de 2/3 (resposta!). Para um melhor entendimento da solução da questão, as situações supracitadas estão representadas no diagrama de árvore abaixo: 1ª Escolha 2ª Escolha de Luís de Luís P2 (Luís escolhe a porta do tigre) P1 P3 (Luís escolhe a porta do tigre) P2 P1 (Luís escolhe a porta do ouro) 1/3 x 1 = 1/3 P3 P1 (Luís escolhe a porta do ouro) 1/3 x 1 = 1/3 Daí, a probabilidade de Luís escolher a porta do ouro, com estas duas chances de escolha é: 1/3 + 1/3 = 2/3 (resposta!)

Agora, sim, falemos sobre Matrizes! # Conceito:

Dito da forma mais simples possível, uma Matriz nada mais é que uma tabela, que serve para a organização de dados numéricos.

Esta tabela será limitada por colchetes, dentro dos quais estarão dispostos os valores numéricos. Assim, teremos que são exemplos de Matrizes:

3 5 3 1

a) 2 -3 1 b) 2 c) 3 4 7

1 4 2 3

A princípio, precisamos saber que todas as Matrizes têm uma dimensão! E esta será definida da seguinte forma:

Dimensão da matriz = Número de linhas x Número de colunas.

Assim, diremos que a matriz do exemplo (a) acima:

1/3

1/3

1/3

1

1/2

1

1/2



8

3 5 3

a) 2 -3 1 é uma Matriz 3x3 (lê-se matriz três por três).

1 4 2

Significa isso que ela tem três linhas e três colunas!

É imprescindível que guardemos essa ordem: linhas e colunas. Para efeitos mnemônicos, podemos gravar a palavra LI-CO, designando a ordem linha e coluna.

Dependendo de qual seja a dimensão de uma matriz, ela poderá receber determinadas nomenclaturas. Alguns nomes dados a certas matrizes são os seguintes:

Matriz Quadrada: é aquela que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Vejamos:

3 5 3

a) 2 -3 1 é uma Matriz 3x3, por isso, chamada de Matriz Quadrada de Ordem 3.

1 4 2

Ou ainda: Matriz Quadrada de 3ª Ordem, ou simplesmente Matriz de 3ª Ordem. Já ficará subentendido que estamos falando de uma Matriz Quadrada, formada por três linhas e três colunas.

Outros exemplos de Matrizes Quadradas são os seguintes:

5 -3

b) é uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem, ou Matriz de 2ª Ordem.

-2 4

Matriz Linha: é aquela, como o próprio nome sugere, formada por apenas uma linha! Vejamos alguns exemplos:

a) 3 4 7 é uma Matriz Linha, de dimensão 1x3, ou seja, tem 1 linha e 3 colunas.

b) 3 5 é uma Matriz Linha, de dimensão 1x2, ou seja, tem uma linha e duas colunas.

Matriz Coluna: aquela que apresenta uma única coluna. Por exemplo:

3

a) 5 é uma Matriz Coluna, de dimensão 3x1, ou seja, formada por 3 linhas e uma coluna.

2

Matriz Nula: aquela cujos elementos são todos iguais a zero! Exemplos:

0 0

a) é uma Matriz Nula de 2ª Ordem.

0 0



9

0 0 0

b) é uma Matriz Nula de dimensão 2x3, ou seja, duas linhas e três colunas.

0 0 0

# Ainda Sobre a Matriz Quadrada:

Convém sabermos que toda matriz quadrada tem duas diagonais, que serão ditas diagonal principal e diagonal secundária. Pelos desenhos abaixo, aprenderemos a reconhecer cada uma delas. Vejamos:

3 5 3

2 -3 1

1 4 2

Diagonal Principal

3 5 3

2 -3 1

1 4 2

Diagonal Secundária

A diagonal principal, portanto, começa do elemento à esquerda na primeira linha, e vai descendo para o sentido da direita. O inverso ocorre com a diagonal secundária.

É fundamental que tenhamos em mente os nomes dessas duas diagonais. Somente ratificando: só falaremos nelas (nas diagonais) quando estivermos trabalhando com Matrizes Quadradas! Certo?

Pois bem! Já estamos prontos para conhecer outros tipos específicos de Matrizes. Vejamos:

Matriz Identidade: é aquela cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1, e os demais elementos da matriz, iguais a 0 (zero). Vejamos:

1 0

a) é uma Matriz Identidade de 2ª Ordem, designada por I2.

0 1

1 0 0

b) 0 1 0 é uma Matriz Identidade de 3ª Ordem, designada por I3.

0 0 1

Mais adiante, quando estudarmos operações com matrizes, veremos a importância de se reconhecer uma matriz identidade!



10

Matriz Diagonal: é aquela matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são diferentes de zero, e todos os demais elementos são iguais a zero. Vejamos alguns exemplos:

Matriz Triangular: é aquela matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 (como na matriz identidade), e cujos elementos de um dos triângulos criados pela diagonal principal são iguais a zero. Vejamos:

1 3

a) é uma Matriz Triangular de 2ª Ordem.

0 1

1 0 0

b) 3 1 0 é uma Matriz Triangular de 3ª Ordem.

2 5 1

# Elementos da Matriz e Lei de Formação de uma Matriz:

Cada elemento de uma matriz mora em um endereço certo! Ou seja, cada posição da matriz pode ser designada por um endereço. É muito fácil aprender a localizar a posição de um elemento na Matriz.

Por exemplo, se estamos trabalhando com a matriz A (em geral, matrizes são chamadas por letras maiúsculas), de dimensão 3x3, seus elementos serão os seguintes:

a11 a12 a13

A= a21 a22 a23

a31 a32 a33

Observem que cada elemento (designado por uma letra minúscula) é acompanhado de dois índices (dois números): o primeiro deles indicará a linha a qual pertence o elemento; a segunda, a coluna.

Assim, se temos o elemento a11, este será o que ocupa a primeira linha e a primeira coluna da matriz. Por sua vez, o elemento a32 será aquele que ocupa a terceira linha e a segunda coluna da matriz. Ficou entendido? Nada mais fácil.

Precisaremos conhecer essa nomenclatura para acertarmos um tipo de questão muito freqüente em provas de raciocínio lógico. Ora, muitas vezes as questões já trazem as matrizes prontas, com seus respectivos valores numéricos. Outras vezes, a questão apresenta apenas uma lei de formação da matriz. Neste caso, cabe a nós construirmos a matriz, obedecendo àquela lei.

Como é isso? Vejamos alguns exemplos.

3 0 0 2

3 0 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 2

2 0 0 0 3 0 0 0 4



11

Exemplo 1) Se a questão trouxer, em seu enunciado, a matriz quadrada de 3ª ordem

X=xi,j , tal que xi,j=(i+j)2

O que significa isso? Significa que teremos que calcular elemento por elemento (xi,j) da matriz X, sempre obedecendo essa relação apresentada.

Ora, se a questão disse que se trata de uma matriz quadrada de 3ª ordem, seus elementos serão os seguintes:

x11 x12 x13

X= x21 x22 x23

x31 x32 x33

Observem que os índices i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna do elemento que estará sendo calculado. Assim, teremos que:

x11= (1+1)2 = 22 = 4

x12= (1+2)2 = 32 = 9

x13= (1+3)2 = 42 = 16

x21= (2+1)2 = 32 = 9

x22= (2+2)2 = 42 = 16

x23= (2+3)2 = 52 = 25

x31= (3+1)2 = 42 = 16

x32= (3+2)2 = 52 = 25

x33= (3+3)2 = 62 = 36

E agora sim, acabamos de compor nossa matriz X, que é a seguinte:

4 9 16

X= 9 16 25

16 25 36

De posse dessa matriz, podemos fazer com ela tudo o que a questão vier a solicitar. Somá-la com outra, multiplicá-la por outra (ou por uma constante), encontrar sua matriz transposta, e mais uma porção de outras coisas. Só não sairíamos do canto, se não soubéssemos construí-la.

Exemplo 2) Construir a matriz quadrada de 2ª ordem Y=yi,j , tal que yi,j=(i)j.

Sendo uma matriz de 2ª ordem, seus elementos serão os seguintes:

y11 y12

Y=

y21 y22

Obedecendo à lei de construção desta matriz, teremos:



12

y11= (1)1 = 1

y12= (1)2 = 1

y21= (2)1 = 2

y22= (2)2 = 4

1 1

Teremos, pois, que a matriz Y será a seguinte: Y =

2 4

# Operações com Matrizes:

Aprenderemos agora alguns tipos de operações que podem ser realizadas entre duas ou mais matrizes.

Igualdade de Matrizes:

Duas matrizes serão ditas iguais quando apresentarem todos os elementos correspondentes iguais.

Exemplo 1)

5 3 8 5 3 8

4 2 1 = 4 2 1

7 6 2 7 6 2

Se duas matrizes são ditas iguais, então iguais são os seus elementos correspondentes!

Só isso e mais nada!

Adição de Matrizes:

Trata-se da operação mais fácil. A primeira coisa a ser dita é a seguinte: só é possível somar matrizes de mesma dimensão! E mais: o resultado da soma entre matrizes será sempre uma outra matriz, de mesma dimensão daquelas que foram somadas!

Com isso, já matamos a seguinte charada: suponhamos que um enunciado diga que, ao somarmos as matrizes A e B, tal soma resultará numa matriz Z, de 2ª ordem. Ora, com isso, saberemos imediatamente que as matrizes A e B são também matrizes quadradas de 2ª ordem! E vejam que isso não foi dito expressamente pela questão! Essa informação estava nas entrelinhas! Entendido?

Para somarmos duas matrizes, só teremos que somar os elementos que estejam nas posições correspondentes! Vejamos um exemplo:

Sejam as matrizes A e B, tais que:

2 5 4 3

3 8 2 1

Qual será a Matriz S resultante da soma A+B?

Teremos:

A= e B=



13

2 5 4 3 6 8

3 8 2 1 5 9

As cores servem para ajudar. Vejam: o elemento que ocupa a posição 11 (primeira linha e primeira coluna) na matriz A será somado exatamente ao elemento correspondente da matriz B. E assim por diante! O resultado da soma ocupará a mesma posição dos elementos somados. Ou seja:

s11 = a11 + b11

s12 = a12 + b12

s21 = a21 + b21

s22 = a22 + b22

Enfim, não há segredo algum na soma de matrizes! Vejamos mais alguns exemplos:

Exemplo 1) Somar as matrizes A e B:

-5 3 7 -6

-8 -2 4 -3

Teremos:

-5 3 7 -6 (-5+7) (3-6) 2 -3

-8 -2 4 -3 (-8+4) (-2-3) -4 -5

Exemplo 2) Somar as matrizes A e B:

-9 5 4 -8

Teremos:

-9 5 4 -8 = [-5 -3 ]

Pois bem! Só com o que aprendemos até aqui, já temos condições de resolver algumas questões de provas recentes de Raciocínio Lógico, elaboradas pela Esaf. Senão, vejamos!

# Exercícios Resolvidos: 01. (AFC-SFC 2001) A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das

matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que aij = i2 +j2 e que bij = 2ij, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32

+ =

+ =

A= e B=

=

A= e B=

+



14

Sol.: Comecemos pela seguinte análise: o enunciado diz que a matriz S é a que resulta da soma de duas outras matrizes, e que se trata de uma matriz quadrada de terceira ordem. Daí, concluiremos que as duas matrizes que estão sendo somadas são igualmente matrizes quadradas de terceira ordem!

Ora, a questão não nos deu as matrizes A e B já construídas. Em vez disso, forneceu-nos as respectivas leis de formação de uma e de outra. Teríamos, pois, a princípio, ter que construir estas duas matrizes, para depois somá-las.

Ocorre que, numa leitura mais atenta do enunciado, percebemos que a resposta procurada diz respeito apenas a dois elementos da matriz soma, quais sejam, s31 e s13. Assim, nem será necessário construir toda a matriz A ou toda a matriz B. Claro que não!

Apenas nos lembraremos que:

S13 = A13 + B13 e S31 = A31 + B31

Daí, encontraremos os elementos correspondentes às posições 13 e 31 nas duas matrizes que estão sendo somadas. Teremos:

A13 = (1)2+(3)2 A13 = 1 + 9 A13 = 10

A31 = (3)2+(1)2 A31 = 9 + 1 A31 = 10

B13 = 2x1x3 = 6

B31 = 2x3x1 = 6

Com isso, chegaremos a:

S13 = A13 + B13 S13 = 10 + 6 S13=16 e

S31 = A31 + B31 S31 = 10 + 6 S31=16

Finalmente, chegaremos ao que nos pede a questão, da seguinte forma:

S13 + S31 = 16 + 16 = 32 Resposta!

02. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij ) = i2 +j2 e que bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 determinante da matriz S é igual a

a) 1. b) 3. c) 4. d) 2. e) 6.

Sol.: Observem que esta questão foi de 2004, enquanto a anterior foi de 2001. Mas são praticamente iguais! Quase nenhuma diferença entre as duas!

Seguindo, pois, idêntico raciocínio, teremos que:

S12 = A12 + B12 e S22 = A22 + B22

Daí, encontraremos os elementos correspondentes às posições 13 e 31 nas duas matrizes que estão sendo somadas. Teremos:

A12 = (1)2+(2)2 A12 = 1 + 4 A12 = 5

A22 = (2)2+(2)2 A22 = 4 + 4 A22 = 8

B12 = 12 = 1

B22 = 22 = 4

Com isso, chegaremos a:



15

S12 = A12 + B12 S12 = 5 + 1 S12= 6 e

S22 = A22 + B22 S22 = 8 + 4 S22=12

Finalmente, chegaremos ao que nos pede a questão, da seguinte forma:

S22 / S12 = 12 / 6 = 2 Resposta!

Produto de uma Constante por uma Matriz:

Este tipo de operação também não tem nenhum segredo. Apenas multiplicaremos a constante por cada um dos elementos da matriz. E chegaremos à matriz resultante!

Vejamos um exemplo:

4 3 12 9

2 1 6 3

Compreendido? Fácil, não? Facílimo!

Produto entre Matrizes:

Aqui se costuma fazer alguma confusão! Embora seja igualmente muito fácil se multiplicar duas matrizes. Vamos aprender com calma.

Antes de qualquer coisa, convém sabermos que há uma exigência para que se possa multiplicar duas matrizes. Ou seja, não são quaisquer duas matrizes que podem ser multiplicadas! Para que seja possível se efetuar o produto de duas matrizes, é preciso que se verifique o seguinte: que o número de linhas da primeira matriz seja igual ao número de colunas da segunda matriz.

Se essa exigência se verificar, então o produto é possível. Caso contrário, nada feito!

Outra coisa importante: ao se multiplicar duas matrizes, qual será a dimensão da matriz resultante? Aprenderemos da seguinte forma: suponhamos que pretendemos multiplicar a matriz A, de dimensão 3x2, com a matriz B, de dimensão 2x5.

Teremos, então, que analisar os valores das dimensões das duas matrizes, da seguinte forma:

(A3x2) x (B2x5)

(3x2) x (2x5) “meios”

“extremos”

Funciona assim: para que o produto de duas matrizes seja possível, compararemos as dimensões dos “meios”. Se forem iguais, então diremos que é possível, sim, realizar esse produto! Se os meios, ao contrário, fossem diferentes, já nem poderíamos multiplicar as matrizes!

Uma vez constatado que o produto é possível, verificaremos os “extremos”: e aí nós temos qual será a dimensão da matriz produto!

3 x =



16

Neste nosso exemplo acima, teremos que a matriz resultante do produto entre A e B será uma matriz de dimensão 3x5.

Compreendido? Reprisando: os “meios” dizem se é possível o produto; os “extremos” dizem a dimensão da matriz resultado do produto.

Pois bem! Precisamos agora aprender como se faz essa multiplicação. Tomemos o exemplo seguinte:

Exemplo 1) Multipliquemos (se possível) as duas matrizes

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

452312

A e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

213321

B .

Sol.:

O se possível do enunciado serve para lembrarmos de que nem sempre poderemos multiplicar duas matrizes. É preciso que se verifique uma exigência, já nossa conhecida. Daí, começaremos fazendo justamente isso: averiguando a possibilidade do produto, e qual seria a dimensão da matriz resultante. Teremos:

(A3x2) x (B2x3)

(3x2) x (2x3) “meios”

“extremos”

Conclusão: o produto é possível, e a matriz resultante terá dimensão 3x3.

Ou seja, teremos:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

452312

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡213321

=

Usamos as designações dos elementos da matriz produto todas em letras maiúsculas, para podermos enxergar melhor!

Os índices desses elementos da matriz produto terão uma interpretação especial. Temos que saber o seguinte: para achar um elemento da matriz produto, estaremos sempre multiplicando uma linha da primeira matriz por uma coluna da segunda matriz.

Sempre assim!

Daí, na hora de calcular o valor do elemento P11, faremos o produto entre os elementos da 1ª linha da 1ª matriz, com os elementos da 1ª coluna da 2ª matriz. Ou seja, os índices desse elemento P11 (da matriz produto) significam o seguinte:

P11

1ª linha da 1ª matriz 1ª coluna da 2ª matriz

P11 P12 P13

P21 P22 P23

P31 P32 P33



17

Assim, na hora de calcular o elemento P11, faremos:

x P11=(2x1)+(1x3)=2+3=5

Observem que, na hora de fazer esse produto, multiplicamos o (1º elemento da linha pelo 1º elemento da coluna), e somamos com o produto do (2º elemento da linha pelo 2º elemento da coluna).

Vamos adiante, para fixarmos melhor esse procedimento do produto de matrizes. Encontremos agora o elemento P12. Faremos:

P12


x P12=(2x2)+(1x1)=4+1=5

Calculemos agora o P13. Teremos:

P13


x P13=(2x3)+(1x2)=6+2=8

Calculemos o P21. Teremos:

P21


2 1

3 2

5 4

1 2 3 3 1 2

2 1

3 2

5 4

1 2 3 3 1 2

2 1

3 2

5 4

1 2 3 3 1 2



18

x P21=(3x1)+(2x3)=3+6=9


P22


x P21=(3x2)+(2x1)=6+2=8


P23


x P21=(3x3)+(2x2)=9+4=13


P31


x P21=(5x1)+(4x3)=5+12=17

2 1

3 2

5 4

1 2 3 3 1 2

3 1

3 2

5 4

1 2 3 3 1 2

4 1

3 2

5 4

1 2 3 3 1 2

5 1

3 2

5 4

1 2 3 3 1 2



19


P32


x P21=(5x2)+(4x1)=10+4=14

Calculemos, finalmente, o P33. Teremos:

P33


x P21=(5x3)+(4x2)=15+8=23

Com isso, chegamos ao nosso resultado final, ou seja, à matriz produto P, que é a seguinte:

P =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2314171389855

Pois bem! Será sempre esse o caminho utilizado para se fazer o produto de duas matrizes! Com um pouquinho de calma e atenção, logo estará assimilado.

Agora que já sabemos multiplicar matrizes, vejamos o que ocorre se uma das matrizes que estiverem sendo multiplicadas for a matriz identidade. Façamos um exemplo:

Exemplo) Multiplique as matrizes A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321

e B= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

.

Sol.:

Observem que o enunciado não diz expressamente que a matriz B é a a matriz identidade de 2ª ordem! Isso você já tem que saber! Daí, o primeiro passo será averiguar se é mesmo possível fazer esse produto e, em caso afirmativo, qual será a dimensão da matriz produto. Faremos:

6 1

3 2

5 4

1 2 3 3 1 2

7 1

3 2

5 4

1 2 3 3 1 2



20

(A2x2) x (B2x2)

(2x2) x (2x2) “meios”

“extremos”

Conclusão: o produto é possível, e a matriz resultante terá dimensão 2x2.

Passemos, agora, ao cálculo de cada elemento da matriz P (Produto). Teremos:

P11


x P11=(1x1)+(2x0)=1+0=1

P12


x P12=(1x0)+(2x1)=0+2=2

P21


x P21=(3x1)+(4x0)=3+0=3

1 2

3 4

1 0 0 1

1 2

3 4

1 0 0 1

1 2

3 4

1 0 0 1



21

P22


x P22=(3x0)+(4x1)=0+4=4

E chegamos finalmente ao seguinte: P= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321

.

Ora, se observarmos bem, veremos que a matriz produto P é exatamente igual à matriz A. Não foi coincidência! Com esse exemplo, concluiremos que sempre que multiplicarmos uma matriz A qualquer pela matriz identidade, o resultado será a própria matriz A.

Essa informação pode ser útil na hora de resolver alguma questão de prova, como veremos daqui a pouco!

# Matriz Transposta:

Trata-se de um conceito muito visado pelas elaboradoras! E também um conceito muito simples. Se temos uma matriz A qualquer, diremos que a matriz transposta de A, designada por At, será aquela que resultar de uma transposição entre linhas e colunas da matriz original.

Dito de uma forma mais fácil: para chegarmos à matriz transposta, tomaremos a matriz original e, nesta última, quem é linha vai virar coluna! Só isso!

Vejamos por meio de alguns exemplos:

Exemplo) Encontre a matriz transposta da matriz A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321

.

Sol.:

Muito simples! Quem é a primeira linha da matriz A? Vejamos: A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321

Pois bem! Vai virar primeira coluna da transposta! Teremos:

At = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡21

Agora, quem é a segunda linha da matriz A? Vejamos: A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321

Vai virar segunda coluna da matriz transposta! Teremos:

At = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡43

1 2

3 4

1 0 0 1



22

Enfim, é apenas isso: na matriz transposta, quem era linha virou coluna! E só! Vejamos:

Se A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321

, então, a matriz At = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4231

Passemos a mais uma questão de prova, que reúne alguns dos conceitos já aprendidos até aqui.

# Questão Resolvida:

(ESAF/AFTN/98) - Sejam as matrizes

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0110

, B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4/257/48/75/3

, C = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 4/297/3

00

e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é: a) - 7/8 b) 4/7 c) 0 d) 1 e) 2

Sol.:

Essa caiu no Fiscal da Receita de 1998. Não é questão difícil. Vejamos.

O enunciado pede alguma coisa relacionada com elementos de uma matriz Y, e afirma que essa matriz Y é dada por Y=(A.B)+C.

Ora, seria bem trabalhoso termos que fazer o produto entre as matrizes A e B, não fosse pelo fato de a matriz A ser a própria matriz identidade! Todos viram isso?”

Claro! E assim sendo, já sabemos que esse produto é desnecessário, pois acabamos de aprender que o resultado dessa multiplicação será a própria matriz B.

Daí, concluímos que: Y=B+C.

Precisamos agora somar essas matrizes B e C. E isso é facílimo. Teremos:

Y= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4/257/48/75/3

+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 4/297/3

00= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

4/47/78/75/3

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−11

8/75/3

Pois bem! Dispondo agora da matriz Y, precisamos encontrar a sua transposta. Teremos:

Yt = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 18/715/3

Finalmente, pede o enunciado que somemos os elementos da segunda coluna dessa matriz transposta que acabamos de encontrar. Teremos:

Yt = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 18/715/3

1+(-1) = 0 Resposta!



23

Restam ainda alguns conceitos de matrizes, os quais devemos conhecer para concluir nosso estudo. Todavia, para chegarmos a estudá-los, convém antes falarmos acerca dos Determinantes!

# Determinantes:

Um determinante é, por assim dizer, como um resultado de uma matriz quadrada!

Observem que só há que se falar em determinante se estivermos trabalhando com uma matriz quadrada!

Precisamos, pois, conhecer os métodos para cálculo dos determinantes. Faremos isso, progredindo com as respectivas dimensões das matrizes quadradas.

Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem:

Se a matriz é quadrada de 1ª ordem, significa que ela tem apenas uma linha e uma coluna. Trata-se de uma matriz de dimensão 1x1. Ora, em tal matriz só há um único elemento!

E seu determinante será o próprio elemento que compõe a matriz!

Assim, teremos:

Se A=[2], então det A=2

Se B=[-5], então det B=-5


Será calculado em dois passos. No primeiro passo, multiplicaremos os elementos da diagonal principal e os elementos da diagonal secundária. No segundo, subtrairemos esses resultados do primeiro passo: (produto da diagonal principal menos produto da diagonal secundária). É realmente muito fácil. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo) Calcule o determinante da matriz A= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2133

Sol.:

Reconhecendo as diagonais e fazendo o produto de seus elementos, teremos:

3 3

1 2

Diag. Principal: 3x2=6

3 3

1 2

Diag. Secundária: 3x1=3

Daí, teremos que: det A = (6) – (3) = 3



24

Exemplo) Calcule o determinante da matriz B= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321

.

Sol.:

Faremos: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321

(2x3)=6 (1x4)=4

Exemplo) Calcule o determinante da matriz C= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

5431

.

Sol.:

Faremos: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

5431

(-3x4)=-12 (1x-5)=-5


Há vários métodos que podem ser utilizados neste caso. Apresentaremos um que nos parece o mais simples. Seguiremos os passos abaixo, mostrados nos exemplos abaixo. Vejamos:

Exemplo) Calcular o determinante da matriz A=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

211122231

Sol.:

1º Passo) Tomaremos os elementos extremos da primeira linha e os projetaremos para baixo, colocando-os numa quarta linha fictícia. Da seguinte forma:

1 3 2

2 2 1

1 1 2

1 2

2º Passo) Faremos o mesmo com os elementos extremos da terceira linha, só que projetando-os para cima, para uma fictícia nova primeira linha! Assim:

1 2

1 3 2

2 2 1

1 1 2

1 2

Daí, teremos que: det B = 4 – 6 = -2

Daí, teremos que:det C=-5–(-12)=-5+12=7



25

Com esses dois passos iniciais, é como se passássemos agora a trabalhar com uma matriz de cinco linhas (embora a primeira nova linha e a última nova linha sejam incompletas)! Vejamos:

1 2

1 3 2

2 2 1

1 1 2

1 2

Pois bem! Com isso, olhando atentamente, seremos capazes de identificar três diagonais, no mesmo sentido da diagonal principal. Vejamos:

1 2

1 3 2

2 2 1

1 1 2

1 2

3º Passo) Calcularemos os produtos dos elementos de cada uma das três diagonais identificadas acima, e somaremos esses resultados. Teremos:

1 2

1 3 2

2 2 1

1 1 2 1x3x1=3

1 2 1x2x2=4

2x1x2=4

Soma = 11

4º Passo) Identificaremos agora as três diagonais, só que no sentido da diagonal secundária. Daí, uma vez identificadas, encontraremos os produtos de cada uma delas, e os somaremos.

Assim, teremos:



26

1 2

1 3 2

2 2 1

1 1 2

1 2

Soma = 17

5º Passo) Fazer a diferença entre os resultados encontrados no dois passos anteriores, ou seja, a diferença entre as diagonais principais e as diagonais secundárias. Teremos:

det A = 11 – 17 = -6

Percebamos que, a cada vez que aumenta a dimensão da matriz quadrada, piora o cálculo do determinante. Assim, parece-nos realmente inviável, na hora de uma prova, que seja exigido o cálculo de um determinante de uma matriz de 4ª ordem!

Todavia, há algo importante que precisamos saber. Vejamos:

# IMPORTANTE: Se estivermos trabalhando com uma matriz diagonal ou com uma matriz triangular, o seu determinante será calculado como o produto dos elementos da diagonal principal.

Esses conceitos – matriz diagonal e matriz triangular – foram vistos mais no início desta aula de hoje. Quem estiver meio esquecido, é só dar uma conferida! Vejamos alguns exemplos:

det ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3002

= 2 x 3 = 6

det ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3042

= 2 x 3 = 6

Com essa informação, somos capazes de resolver a seguinte questão, cobrada muito recentemente em concurso elaborado pela Esaf.

Vejamos:

2x3x2=12

2x2x1=4

1x1x1=1

det

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

300020001

=1x2x3=6

det

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

354023001

=1x2x3=6



27

(Técnico MPU/2004-2) O determinante da matriz X=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

6000500

0022

baaa

b

, onde a e b são

inteiros positivos tais que a>1 e b>1, é:

a) -60a b) 0 c) 60a d) 20ba2 e) a(b-60)

Sol.:

Ora, tudo o que precisávamos era ter percebido que essa matriz X fornecida pelo enunciado é uma matriz triangular. Vejamos novamente:

X=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

6000500

0022

baaa

b

Com isso, teremos que o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal.

Ou seja:

X=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

6000500

0022

baaa

b

det X = 2x(-a)x5x6 = -60a Resposta!

Resolução em um minuto ou menos!

Três conceitos de matrizes ainda restam ser estudados por nós: matriz dos cofatores, matriz adjunta e matriz inversa! Temos também algumas propriedades de determinantes para comentar. Mas esses tópicos faltantes ficarão mesmo para a próxima aula.

Por hoje, já aprendemos (ou relembramos) muita coisa!

Seguem as questões do Dever de Casa. É importante, como sempre frisamos, que vocês façam o possível para tentar resolver essas questões!

Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus!



28

Dever de Casa

01. (TFC-97) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e

(4x2), então a expressão [A . (B . C)]2 tem ordem igual a: a) 2 x 2 b) 3 x 3 c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 12

02. (TFC 1995) Dada as matrizes ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1021

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

12

B e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ba

X , assinale os valores de a

e b, de modo que AX=B a) a=0 e b=1 b) a=1 e b=0 c) a=0 e b=0 d) a=1 e b=1 e) a=0 e b=-1

03. (AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser

representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a:

a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169

04. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Sejam as matrizes

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

43215431

336241

BeA

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 2. b) 1/2. c) 3. d) 1/3. e) 1.

05. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual

a 5. O determinante da matriz 2A é igual a: a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 80



29

06. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:

a) –2 b) –1/2 c) 4 d) 8 e) 10

07. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual

a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a

a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81



1

AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II)

Olá, amigos!

Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 15 na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas ei-nos aqui, para encerramos o assunto iniciado na aula passada – Matrizes.

Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto e que tenham resolvidos as questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém tenha encontrado alguma dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções, apresentadas na seqüência. Vamos a elas!

Dever de Casa

01. (TFC-97) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3),

(3x4) e (4x2), então a expressão [A . (B . C)]2 tem ordem igual a: a) 2 x 2 b) 3 x 3 c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 12

Sol.:

Uma questão que trata unicamente acerca da ordem (dimensão) das matrizes. E isso já aprendemos perfeitamente. Vamos, portanto, substituir a letra da matriz pela sua dimensão, conforme nos forneceu o enunciado. Ok?

Teremos:

[A. (B . C)]2 = (2x3).[(3x4).(4x2)]2

Primeiramente devemos fazer o produto das matrizes B e C, que estão dentro do parêntese! Teremos:

(B3x4) x (C4x2)

(3 x 4) x (4 x 2)

“meios”

“extremos”

O resultado, conforme podemos ver no esquema acima, será uma nova matriz de dimensão (3x2), que são os extremos das dimensões das matrizes multiplicadas!

Pois bem! Teremos agora é multiplicar a matriz A, de dimensão (2x3) pela matriz produto que acabamos de encontrar, de dimensão (3x2). Teremos:

(2 x 3) x (3 x 2)

“meios”

“extremos”

Daí, chegamos a uma nova matriz, de dimensão (2x2), conforme percebemos pelo esquema acima. Esse é o resultado final do produto [A . (B . C)].



2

Só que a questão quer mais! Quer que elevemos esse resultado ao quadrado! Viram? É preciso, finalmente, que nós multipliquemos essa matriz resultante por ela mesma. Teremos, pois, que:

(2 x 2) x (2 x 2)

“meios”

“extremos”

Ou seja, o resultado final da expressão trazida pelo enunciado é justamente uma matriz quadrada de 2ª ordem: uma matriz de dimensão (2x2) Resposta!

02. (TFC 1995) Dada as matrizes

=

1021

A ,

=

12

B e

=ba

X , assinale os valores

de a e b, de modo que AX=B a) a=0 e b=1 b) a=1 e b=0 c) a=0 e b=0 d) a=1 e b=1 e) a=0 e b=-1

Sol.: A questão quer que façamos o produto entre as matrizes A e X, e que igualemos esse resultado à matriz B. Comecemos, pois, pelo produto. Teremos:

A . X =

1021

x

ba

=

+=

++

bba

baba 2

1021

Daí, igualando a matriz produto encontrada acima à matriz B, teremos:

=

+122

bba

Dessa igualdade, extrairemos os seguintes resultados: a+2b=2 e b=1 Pronto! Se b=1, então, substituindo esse resultado na primeira equação acima, teremos que: a+2b=2 a=2-2b a=2-2(1) a=2-2 a=0 Com isso, chegamos ao nosso resultado: a=0 e b=1 Resposta!

03. (AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a



3

matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a:

a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169

Sol.: Resolvemos questões praticamente iguais a essa na aula passada. Se o enunciado pede que calculemos o valor de X31 e de X13, e é dito que a matriz X é a que resulta da soma entre as matrizes A e B, então, na verdade, somente nos interessarão os valores dos seguintes elementos: A31 e A13, B31 e B13. Mais do que isso não precisa, uma vez que teremos que:

X31 = A31 + B31 e

X13 = A13 + B13

A lei de formação da matriz A é dada pela questão como sendo aij = i2. Daí, teremos que:

A31 = (3)2 = 9 e A13 = (1)2

= 1

Já no tocante à matriz B, teremos que sua lei de formação é a seguinte: bij = (i-j)2. Daí:

B31 = (3-1)2 = 4 e B13 = (1-3)2

= 4

De posse desses resultados, vamos chegar agora ao seguinte:

X31 = A31 + B31 X31 = 9+4 = 13

X13 = A13 + B13 X13 = 1+4 = 5

O que nos pede, finalmente, a questão? Pede que multipliquemos esses dois últimos resultados obtidos. Teremos, pois, que:

X31 . X13 = 13 x 5 = 65 Resposta!

04. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Sejam as matrizes

=

=

43215431

336241

BeA

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 2. b) 1/2. c) 3. d) 1/3. e) 1.

Sol.: Mais uma bem ao estilo da Esaf. O primeiro a ser feito é multiplicarmos as duas matrizes fornecidas pelo enunciado. Teremos o seguinte:



4

=

++++++++

++++=

272115634261882116115

)4353()3343()2333()1313()4652()3642()2632()1612(

)4451()3441()2431()1411(

43215431

336241

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

Pois bem! Teremos agora que pegar essa matriz produto que encontramos acima, e construir a sua transposta! Ora, sabemos que na matriz transposta, quem é linha vira coluna, e só! Teremos, pois, que a matriz X será a seguinte:

X=(A.B)t =

273421212616

151811060805

Daí, o próximo passo será descobrir quais são os valores que ocupam as posições X31 e X12. Quais são? Ora, é só olhar! Encontraremos que: X31=16 e X12=8.

Finalmente, a questão pede que nós calculemos a razão entre X31 e X12. Teremos:

X31/X12=16/8 = 2 Resposta!

05. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui

determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a: a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 80

Sol.: Se, na hora da prova, ficar difícil de enxergar um caminho para o resultado, é aconselhável que você crie uma matriz com as características que o enunciado pede. Neste caso, uma de dimensão (3x3) cujo determinante seja igual a 5.

Aprendemos como fazer isso na aula passada! Lembrados? Bastaria zerarmos todos os valores da matriz, exceto os da diagonal principal, os quais teriam que ser escolhidos, de modo que seu produto seja exatamente igual a 5. Uma possibilidade é a seguinte:

A=

500010001

Concordam? Vejam que o produto dos elementos da diagonal principal é 5. Como todos os outros elementos da matriz são iguais a zero, concluímos que o determinante dessa matriz é 5. Agora a questão pede que nós construamos a matriz 2A e que calculemos o novo determinante. Façamos isso. Teremos:

Se A=

500010001

, então 2A=

1000020002

Percebamos que os elementos não pertencentes à diagonal principal continuaram todos iguais a zero. Logo, o determinante da nova matriz será também o produto dos elementos de sua diagonal principal.

Ou seja: det(2A)=2x2x10=40 Resposta!



5

06. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém

trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:

a) –2 b) –1/2 c) 4 d) 8 e) 10

Sol.: Aqui nos fala a questão acerca de uma matriz (2x2) cujo determinante é igual a 2. Poderemos construir uma matriz com essas característica. Uma possível seria a seguinte:

A=

2001

Daí, a matriz transposta de A seria dada por: At=

2001

, que é a própria matriz A.

Agora, descobriremos qual é a matriz que representa o dobro da encontrada acima. Teremos:

2.At = 2x

2001

=

4002

, cujo determinante é 8 Resposta!

07. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui

determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a

a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

Sol.: Questão semelhante à anterior, só que agora estamos diante de uma matriz de dimensão (3x3), cujo determinante é igual a 3. Criando uma matriz assim, teremos:

X=

300010001

Daí, a transposta de X será igual à própria matriz X. Concordam? Agora, teremos que multiplicar essa matriz por 3. Teremos:

Se X=

300010001

, então 3X=

900030003

, cujo determinante é 81 Resposta!

Passemos a nossa aula de hoje! Nesta aula encerramos os assuntos de Matriz e Determinante.



6

# MENOR COMPLEMENTAR Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2, seja aij um elemento de M. Definimos menor complementar do elemento aij , e indicamos por Dij , como sendo o determinante da matriz que se obtém, suprimindo a linha i e a coluna j de M. Exemplo 01) Calcule o menor complementar dos elementos da 1ª coluna da matriz M. Sol.: Os elementos da 1ª coluna são: a11 , a21 e a31, daí o menor complementar desses elementos serão indicados, respectivamente, por: D11 , D21 e D31. 1) Cálculo de D11

D11 = 5x6 – 4x1 D11 = 26 2) Cálculo de D21 D21 = 0x6 – 4x(-1) D21 = 4 3) Cálculo de D31

D31 = 0x1 – 5x(-1) D31 = 5 # COFATOR Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2, seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij , e indicamos por Aij , como sendo o número (-1)i+j. Dij .

2 0 -1 M= 3 5 1

-2 4 6

2 0 -1 M= 3 5 1

-2 4 6

5 1 Daí: D11 = det 4 6

2 0 -1 M= 3 5 1

-2 4 6

0 -1 Daí: D21 = det 4 6

2 0 -1 M= 3 5 1

-2 4 6

0 -1 Daí: D31 = det 5 1



7

Exemplo 02) Calcule o cofator para cada elemento da 1ª coluna da matriz M. Sol.: No exemplo anterior havíamos calculado o menor complementar para cada elemento da 1ª coluna, e obtivemos os seguintes resultados: D11 = 26 , D21= 4 e D31 = 5 Este exemplo pede os seguintes cofatores: A11 , A21 e A31 . Aplicaremos a fórmula do cofator de um elemento: Aij = (-1)i+j. Dij A11 = (-1)1+1. D11 A11 = (-1)2. 26 A11 = 26 A21 = (-1)2+1. D21 A21 = (-1)3. 4 A21 = -4 A31 = (-1)3+1. D31 A21 = (-1)4. 5 A31 = 5 # TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAPLACE O determinante de uma matriz M, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Como demonstração, calcularemos o determinante da matriz dada no exemplo anterior. De acordo com o teorema acima, qualquer linha ou coluna pode ser usada para o cálculo do determinante. Como faremos o produto do elemento pelo seu cofator, é interessante que escolhamos uma linha ou coluna que tenha a maior quantidade de zeros, pois é desnecessário calcular o cofator dos elementos que são iguais a zero. Na matriz M abaixo, deveríamos escolher a 1ª linha ou a 2ª coluna, pois ambas tem um zero. Porém, como no exemplo anterior escolhemos a 1ª coluna para calcularmos os cofatores, então usaremos a 1ª coluna no cálculo do determinante da matriz M. Cálculo do determinante da matriz M: Usando a 1ª coluna, o determinante de M é dado por: det M = a11A11 + a21A21 + a31A31 Havíamos obtido no exemplo anterior: A11=26 , A21=-4 e A31=5 . Daí: det M = 2.26 + 3.(-4) + (-2).5 det M = 52 – 12 – 10 E, finalmente: det M = 30

2 0 -1 M= 3 5 1

-2 4 6

2 0 -1 M= 3 5 1

-2 4 6



8

# INVERSA DE UMA MATRIZ

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é uma matriz inversível se existir uma matriz, chamada de A-1 , tal que A.A-1 = A.A-1 = In . Onde In é a matriz identidade de ordem n. Se A não é inversível, dizemos que A é uma matriz singular. Exemplo 03) Calcule a inversa da matriz M.

Conforme a definição de matriz inversível, o produto da matriz M pela sua inversa M-1 é

igual a matriz identidade. Portanto, teremos: M-1 x M = I Já vimos como se multiplica duas matrizes, portanto só daremos o resultado do produto

M-1 x M . Teremos: Para que as duas matrizes acima sejam iguais é necessário que: 2b = 1 -a+b = 0 2d = 0 -c+d = 1 Encontraremos os valores de a, b, c e d. Como 2b=1, então b=0,5. Como 2d=0, então d=0. -a+b=0 -a+0,5=0 a=0,5 -c+d=1 -c+0=1 c=-1 Daí, a inversa da matriz M será a seguinte matriz:

Exemplo 04) Calcule a inversa da matriz B.

Sol.: Para uma matriz de ordem maior que 2, o método que usamos no exemplo

anterior para o cálculo da matriz inversa pode ser mais trabalhoso. Mostraremos um outro método para encontrar a inversa de uma matriz.

0 -1 M = 5 1

a b Procuramos por M-1 que representaremos pela matriz: c d

a b 0 -1 1 0 c d

x 2 1

= 0 1

2b -a+b 1 0 2d -c+d

= 0 1

0 -1 M = 5 1

0,5 0,5 M-1 = -1 0

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1



9

Podemos obter a inversa de uma matriz pela fórmula:

MMM

det1 =−

Onde: M é a matriz adjunta. O que é matriz adjunta? Matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. E o que é matriz dos cofatores? É a matriz que se obtém de M , substituindo cada elemento de M por seu cofator. Vamos calcular a matriz dos cofatores da matriz B dada abaixo: 1) Cofator A11 = ? A11 = (-1)1+1. D11 = (-1)2. D11 = D11

D11 = 2x1 – 4x(-4) =18 A11 = D11 = 18 2) Cofator A12 = ? A12 = (-1)1+2. D12 = (-1)3. D12 = –D12 D12 = 3x1 – (-2)x(-4) = –5 A12 = –D12 = –(–5) = 5 3) Cofator A13 = ? A13 = (-1)1+3. D13 = (-1)4. D13 = D13 D13 = 3x4 – (-2)x2 = 16 A13 = D13 = 16

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1

2 -4 D11 = det 4 1

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1

3 -4 D12 = det -2 1

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1

3 2 D13 = det -2 4



10

4) Cofator A21 = ? A21 = (-1)2+1. D21 = (-1)3. D21 = –D21 D21 = 0x1 – 4x(-1) = 4 A21 = –D21 = –4 5) Cofator A22 = ? A22 = (-1)2+2. D22 = (-1)4. D22 = D22 D22 = 2x1 – (-2)x(-1) = 0 A22 = D22 = 0 6) Cofator A23 = ? A23 = (-1)2+3. D23 = (-1)5. D23 = –D23 D23 = 2x4 – (-2)x0 = 8 A23 = –D23 = –8 7) Cofator A31 = ? A31 = (-1)3+1. D31 = (-1)4. D31 = D31 D31 = 0x(-4) – 2x(-1) = 2 A31 = D31 = –8 8) Cofator A32 = ? A32 = (-1)3+2. D32 = (-1)5. D32 = –D32 D32 = 2x(-4) – 3x(-1) = -5 A32 = –D32 = –(–5) = 5

0 -1 D21 = det 4 1

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1

2 -1 D22 = det -2 1

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1

2 0 D23 = det -2 4

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1

0 -1 D31 = det 2 -4

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1

2 -1 D32 = det 3 -4



11

9) Cofator A33 = ? A33 = (-1)3+3. D33 = (-1)6. D33 = D33 D33 = 2x2 – 3x0 = 4 A33 = D33 = 4

Portanto, a matriz dos cofatores de B é a seguinte matriz:

A matriz adjunta de B ( B ) é a transposta da matriz dos cofatores, então teremos que:

Só falta calcular o determinante da matriz B para obtermos a matriz inversa B-1. Utilizaremos o Teorema de Laplace para calcularmos o determinante da matriz B. Por

este teorema, o determinante de uma matriz é igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Escolheremos a primeira linha da matriz B! Aplicando o teorema: det B = 2A11 + 0A12 + (-1)A13 det B = 2x18 + 0x5 + (-1)x16

det B = 20

Agora é só aplicar a fórmula da inversa de uma matriz: BBB

det1 =−

20

48165058418

1

−

−−

=−B

−

−−

=−

204

208

2016

205

200

205

208

204

2018

1B

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1

2 0 D32 = det 3 2

18 5 16 -4 0 -8 -8 5 4

18 -4 -8 Matriz adjunta: B = 5 0 5

16 -8 4

2 0 -1 B= 3 2 -4

-2 4 1



12

−−

−−=−

2,04,08,025,0025,0

4,02,09,01B ( E finalmente encontramos a inversa!)

# PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

1. Matriz Transposta Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então:

det(Mt) = det(M) 2. Fila Nula

Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então:

det(M) = 0 3. Multiplicação de uma fila por uma constante

Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M.

det(k vezes uma fila de M) = k.det(M)

4. Multiplicação de uma Matriz por uma constante

Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de M.

det (k.M) = kn det(M)

5. Filas paralelas iguais

Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais, então:

det(M) = 0

6. Filas paralelas proporcionais

Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então:

det(M) = 0

7. Troca de filas Paralelas

Seja A uma matriz de ordem n ≥ 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas obteremos uma nova matriz B tal que:

det(A) = – det(B)

8. Produto de Matrizes

Seja A e B são matrizes quadradas de ordem n, então:

det(A.B) = det(A).det(B) 9. Matriz Triangular O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.



13

Ex.1 :

−=

300160021

A → det(A) = 1 x 6 x 3 = 18

Ex.2:

−−=

3210105002

B → det(B) = 2 x 10 x (-3) = -60 .

10. Matriz Inversa Seja B a matriz inversa de A, então a relação entre os determinantes de B e A é dado por:

)det(1)det(A

B =

# SISTEMAS LINEARES 1. Conceito de Equação Linear Antes de conhecermos um Sistema Linear, devemos saber o que é uma equação linear. Chamamos de equação linear toda equação do tipo:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b , onde: x1, x2, x3, ... , xn são as variáveis ou incógnitas, a1, a2, a3, ... , an são números reais chamados de coeficientes, e b é um número real chamado de termo independente da equação. Exemplos de equações lineares:

1) 2x1 + 5x2 + x3 = 4 2) –3x1 + x2 + 10x3 – x4 = –7 3) 6x1 + 2x2 = 15

Outros exemplos de equações lineares, mas com outras letras para as variáveis: 1) 2x – 3y + z = 1 2) 5y + w = –2

2. Conceito de Sistema Linear Um sistema linear é um conjunto de equações lineares. São exemplos de sistemas lineares:

1)

=+=−

74152

yxyx

2)

=−+=++−=+−

1924152332

zyxzyxzyx

3)

=−−=++

=−+

1091456

83

yxzyxzyx



14

3. Representação de um Sistema Linear em Forma Matricial Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Encontraremos a forma matricial dos três exemplos dados acima. Ao mesmo tempo aprenderemos a construir a matriz incompleta e a matriz de cada variável de um sistema linear, que serão úteis mais adiante.

1)

=+=−

74152

yxyx

=

⋅

−71

4152

yx

Matriz incompleta do sistema =

−4152

Matriz de X =

−4751

(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de x pelos termos independentes)

Matriz de Y =

7112

(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de y pelos termos independentes)

2)

=−+=++−=+−

1924152332

zyxzyxzyx

=

⋅

−−

−

1913

124512311

zyx

Matriz incompleta do sistema =

−−

−

124512311

Matriz de X =

−

−

1219511313

(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de x pelos termos independentes)

forma matricial

forma matricial

coeficientes de x

coeficientes de y

termos independentes

coeficientes de x

coeficientes de y termos independentes

coeficientes de z



15

Matriz de Y =

−−

1194512331

(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de y pelos termos independentes)

Matriz de Z =

−

19194112331

(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de z pelos termos independentes)

3)

=−−=++

=−+

1091456

83

yxzyxzyx

−=

⋅

−

−

101

8

091456113

zyx

4. Solução de um Sistema Linear

Considere o seguinte sistema, composto por duas equações lineares:

=+=−

74152

yxyx

Um par de valores (x, y) é solução desse sistema, se for solução das duas equações.

1º exemplo) Encontre a solução do sistema

=+=−

74152

yxyx

Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações, mostraremos uma forma baseada em determinantes. O valor de x que satisfaz o sistema é dado por: x = determinante da matriz de x___ determinante da matriz incompleta E o valor de y que satisfaz o sistema é dado por: y = determinante da matriz de y___ determinante da matriz incompleta Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes.

matriz incompleta =

−4152

determinante = 2 x 4 – 1 x (-5) = 13

matriz de x =

−4751

determinante = 1 x 4 – 7 x (-5) = 39

forma matricial



16

matriz de y =

7112

determinante = 2 x 7 – 1 x 1 = 13

Calculados os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: x = determinante da matriz de x___ = 39 = 3 determinante da matriz incompleta 13 y = determinante da matriz de y___ = 13 = 1 determinante da matriz incompleta 13 Resposta: uma única solução:(x=3 , y=1) Sistema Possível e Determinado!


−=+−=−

3156152

yxyx

Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes.

matriz incompleta =

−

−156

52 determinante = 2 x 15 – (-6) x (-5) = 0

matriz de x =

−

−153

51 determinante = 1 x 15 – (-3) x (-5) = 0

matriz de y =

−− 3612

determinante = 2 x (-3) – (-6) x 1 = 0

Calculados os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: x = determinante da matriz de x___ = 0 = infinitos valores (indeterminado) determinante da matriz incompleta 0 y = determinante da matriz de y___ = 0 = infinitos valores (indeterminado) determinante da matriz incompleta 0

Resposta: existem infinitos pares (x,y) que são soluções! Sistema Possível e Indeterminado!

Vejamos algumas dessas possíveis soluções! Isolando a incógnita y na 1ª equação (ou na 2ª equação) obteremos: 2x – 5y = 1 y = (2x – 1)/5 Fazendo x=3, o valor de y é: y = (2x – 1)/5 y = (2 . 3 – 1)/5 y = 1 Fazendo x=4, o valor de y é: y = (2x – 1)/5 y = (2 . 4 – 1)/5 y = 7/5 Para cada valor de x teremos um y, cujos valores são soluções do sistema.



17


=+−=−

5123104

yxyx


matriz incompleta =

−

−123

41 determinante = 1 x 12 – (-3) x (-4) = 0

matriz de x =

−125

410 determinante = 10 x 12 – 5 x (-4) = 140

matriz de y =

− 53

101 determinante = 1 x 5 – (-3) x 10 = 35

Obtidos os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: x = determinante da matriz de x___ = 140 = não existe (impossível) determinante da matriz incompleta 0 y = determinante da matriz de y___ = 35 = não existe (impossível) determinante da matriz incompleta 0 Resposta: Não existe um par (x,y) que seja solução! Sistema Impossível! Através dos três exemplos resolvidos acima, mostramos as três situações possíveis que podemos encontrar na solução de um sistema linear. Quanto à solução de um sistema linear, temos a seguinte classificação:

1º) O sistema linear é chamado de “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução. Por sua vez, temos:

O sistema linear possível é chamado de “determinado” quando a solução for única;

O sistema linear possível é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções.

2º) O sistema linear é chamado de “impossível” se não houver solução.

Para classificar um sistema quanto ao nº de soluções, utilizaremos a seguinte orientação:

1) O sistema será possível e determinado se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero. No cálculo das incógnitas (x, y, ...) o determinante da matriz incompleta está no denominador, e se este determinante é diferente de zero, então teremos um único resultado para cada incógnita, e, assim, o sistema será possível e determinado. Veja o 1º exemplo resolvido acima! 2) O sistema será possível e indeterminado se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e os determinantes das matrizes das variáveis também forem iguais a zero. Se os determinantes dessas matrizes são iguais a zero, então teremos zero no numerador e no denominador da fórmula de cálculo das incógnitas. Veja o 2º exemplo resolvido acima!



18

3) O sistema será impossível se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e pelo menos um dos determinantes das matrizes das variáveis for diferente de zero. Na fórmula de cálculo de uma incógnita, se o numerador é diferente de zero, mas o denominador é igual a zero, então não existirá valor para essa incógnita, e, consequentemente, não existirá solução para o sistema. Veja o 3º exemplo resolvido acima!

Obs.: Um sistema linear homogêneo (termos independentes iguais a zero) é sempre possível. Se o sistema linear homogêneo for possível e determinado apresentará apenas uma solução (a solução nula, também chamada de solução trivial ou imprópria), e se for possível e indeterminado apresentará além da solução nula, outras soluções não nulas, também chamadas de soluções próprias. Exemplos de sistemas lineares homogêneos:

1)

=+=−

0104052

yxyx

2)

=−+=++−

=+−

024052

032

zyxzyx

zyx

EXEMPLOS RESOLVIDOS DE SISTEMAS LINEARES: 01. (TFC SFC 2001) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou

“compatível” quando admite pelo menos uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X - Y = 2 e 2X + WY = Z, pode-se afirmar que se W = -2 e Z = 4, então o sistema é: a) impossível e determinado b) impossível ou determinado c) impossível e indeterminado d) possível e determinado e) possível e indeterminado

Sol.: No início do enunciado da questão se faz uma conceituação do que é sistema possível, impossível, determinado e indeterminado, que pode nos ajudar caso esqueçamos esses conceitos no momento da prova. Mas é melhor memorizarmos esses conceitos, pois não podemos contar que isso sempre vai ocorrer! O enunciado fornece duas equações: 1ª) X – Y = 2 2ª) 2X + WY = Z Se substituirmos os valores de W=-2 e de Z=4 na segunda equação, obteremos: 2ª) 2X – 2Y = 4 O sistema linear formado pelas duas equações é o seguinte:

=−=−

4222yx

yx




19

matriz incompleta =

−−

2211

determinante = 1 x (-2) – 2 x (-1) = 0

matriz de x =

−−

2412

determinante = 2 x (-2) – 4 x (-1) = 0

matriz de y =

4221

determinante = 1 x 4 – 2 x 2 = 0

Obtidos os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: x = determinante da matriz de x___ = 0 = infinitos valores (indeterminado) determinante da matriz incompleta 0 y = determinante da matriz de y___ = 0 = infinitos valores (indeterminado) determinante da matriz incompleta 0

Resposta: existem infinitos pares (x,y) que são soluções! Sistema Possível e Indeterminado!

02. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações lineares é

chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções.

=+=+42

03mbambma

Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m=0, o sistema é impossível. c) se m=6, o sistema é indeterminado. d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado.

Sol.: - A classificação de um sistema linear é dada por: - E lembrem-se que: 1) O sistema será possível e determinado se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero. 2) O sistema será possível e indeterminado se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e os determinantes das matrizes das variáveis também forem iguais a zero.

sistema linear

impossível (nenhuma solução)

possível indeterminado (infinitas soluções)

determinado (uma única solução)



20

3) O sistema será impossível se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e pelo menos um dos determinantes das matrizes das variáveis for diferente de zero. - Inicialmente encontraremos o determinante da matriz incompleta: A matriz incompleta é retirada a partir do sistema de equações.

=+=+42

03mbambma

matriz incompleta do sistema =

mmm

23

Determinante da matriz incompleta:

determinante de

mmm

23

= m.m – 2.3m = m2 – 6m

Vamos analisar para que valores de m o sistema é possível e determinado:

O determinante da matriz incompleta deve ser diferente de zero!

m2 – 6m ≠ 0 m(m-6) ≠ 0

≠→≠−

≠

606

0

mme

m

Para que m(m-6) seja diferente de zero é necessário que se tenha m≠0 e m≠6. Ou seja, se m≠0 e m≠6 , então o sistema é possível e determinado! Acabamos de achar a solução da questão, veja o item e:

e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado. Resposta: Alternativa E! Para aprendermos mais sobre sistemas lineares, veremos outras análises.

Analisaremos para que valores de m o sistema será impossível e que será possível e indeterminado:

Temos que o determinante da matriz incompleta é igual a: m2 – 6m Calcularemos os determinantes da matriz de x e de y:

matriz de x =

mm

430

determinante = 0 x m – 4 x 3m = -12m

matriz de y =

420m

determinante = m x 4 – 2 x 0 = 4m

Consideremos que o determinante da matriz incompleta é igual a zero:



21

m2 – 6m = 0 m(m-6) = 0

=→=−

=

606

0

mmou

m

Para que m(m-6) seja igual a zero é necessário que se tenha m=0 ou m=6. O que acontece com os determinantes das matrizes de x e de y quando m=0? determinante da matriz x = -12m = -12 x 0 = zero determinante da matriz y = 4m = 4 x 0 = zero O que acontece com os determinantes das matrizes de x e de y quando m=6? determinante da matriz x = -12m = -12 x 6 = -72 determinante da matriz y = 4m = 4 x 6 = 24 Em suma: Se m=0 teremos: o determinante da matriz incompleta é igual a zero! o determinante da matriz de x é igual a zero! o determinante da matriz de y é igual a zero! Concluímos, se m=0, o sistema é possível e determinado! Se m=6 teremos: o determinante da matriz incompleta é igual a zero! o determinante da matriz de x é diferente de zero! o determinante da matriz de y é diferente de zero! Concluímos, se m=6, o sistema é impossível! ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Como já dissemos, esta aula encerra os assuntos de Matrizes e Determinantes. Estes assuntos são muito importantes e sempre tem questões presentes nos concursos. Seguem as questões do Dever de Casa. É importante, como sempre frisamos, que vocês façam o possível para tentar resolver essas questões! Atenção, repetimos três questões do dever de casa passado, pois queremos que vocês utilizem as propriedades dos determinantes para resolvê-las. Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus!

DEVER DE CASA 01. (AFC/97) Considerando-se as matrizes

A =

1342

e B =

2111

.

A soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: a) -10 b) -2 c) I d) 2 e) 10



22

02. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a:

a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 80 03. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando

linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:

a) –2 b) –1/2 c) 4 d) 8 e) 10

04. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3.

Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

05. (Oficial de Chancelaria 2002) Dada a matriz:

111

X

e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual a:

a) -1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2

06. (BNB 2002 FCC) Dadas as matrizes

=

=

3 2 c2 3 b1 5 a

B e 6 4 22 3 5c b a

A ,

de determinantes não nulos, para quaisquer valores de “a”, “b” e “c”, temos

A. det(A) = det(B) B. det(B) = 2.det(A) C. det(A) = 2.det(B) D. det(A) = –2.det(B) E. det(A) = – det(B)

07. (SERPRO 1996) As matrizes:

=

735642321

X ,

=

1535652321

Y e

=

302510652321

Z

apresentam, respectivamente, determinantes iguais a: a) 0, 0 e 0 b) 1, 1 e 1 c) 0, 1 e 1 d) 2, 3 e 4 e) -1, -1 e -1



23

08. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Sabendo-se que a matriz

=

1011

A e que Ν∈n

e 1≥n então o determinante da matriz An – An-1 é igual a a) 1 d) n b) -1 e) n-1 c) 0

09. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) 36- Considere as matrizes

=

=

cb

aYX

356232

;735642321

onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a a) 0. d) a+b. b) a. e) a+c. c) a+b+c. 10. (Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B,

sendo que B = 21/4 A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2-1/2, então o determinante da matriz B é igual a:

a) 21/2 d) 2–1/2 b) 2 e) 1 c) 2–1/4 11. (AFRE MG 2005 ESAF) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e

diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a:

a) A-1 B C d) A B C-1 b) A C-1 B-1 e) C-1 B-1 A-1 c) A-1 C B-1 12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A

primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:

a) –x-6 d) –1 b) –x6 e) 1 c) x3

13. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema

=+=−0202

axyax

de

incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema

a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a.

14. Encontre os valores de a para que o sistema seja possível e determinado, possível e

indeterminado e impossível.

=+=+4203

ayxayax



1AULA DEZESSEIS: TRIGONOMETRIA

Olá, amigos!

Novamente pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 16 na semana passada. Este final de ano está muito corrido e atribulado!

Daremos hoje início a um novo assunto: Trigonometria!

Como de praxe, apresentaremos muitas questões de concursos passados que servirão no nosso aprendizado, e também para sabermos qual é a profundidade exigida deste assunto dentro das provas de Raciocínio Lógico.

Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto de Matrizes e Sistemas Lineares e que tenham resolvidos as questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém tenha encontrado alguma dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções, apresentadas na seqüência. Vamos a elas!

DEVER DE CASA 01. (AFC/97) Considerando-se as matrizes

A =

1342

e B =

2111

.

A soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: a) -10 b) -2 c) I d) 2 e) 10 Sol.: Simbolicamente a matriz D é dada por:

D = AtB-1, onde At é a transposta de A, e B-1 é a inversa de B. 1º passo) Cálculo da matriz transposta de A.

Temos que A =

1342

e queremos a sua transposta.

Ora, sabemos que na matriz transposta, quem é linha vira coluna, e só! Teremos, pois, que a matriz At será a seguinte:

At =

1432

2º passo) Cálculo da matriz inversa de B.

Temos que B =

2111

e queremos a sua inversa B-1.

Representaremos B-1 pela matriz:

dcba

Conforme a definição de matriz inversível, o produto da matriz B pela sua inversa B-1 é

igual a matriz identidade. Portanto, teremos:

B-1 x B = I

dcba

x

2111

=

1001



2 Após a multiplicação das matrizes, teremos:

++++dcdcbaba

22

=

1001

Para que as duas matrizes acima sejam iguais é necessário que: a+b = 1 (I) a+2b = 0 (II) c+d = 0 (III) c+2d = 1 (IV) Encontraremos os valores de a, b, c e d. De (II), temos que: a = -2b. Substituindo esse resultado em (I), teremos:

a+b = 1 -2b + b = 1 b = -1 De (I), obtemos o valor de a:

a+b = 1 a + (-1) = 1 a = 2 De (III), temos que: c = -d. Substituindo esse resultado em (IV), teremos:

c+2d = 1 -d + 2d = 1 d = 1 De (III), obtemos o valor de c:

c+d = 0 c + 1 = 0 c = -1 Daí, a inversa da matriz B será a seguinte matriz:

B-1 =

−

−1112

3º passo) Cálculo da matriz D = At B-1

D = At B-1 =

1432

x

−

−1112

Multiplicando as duas matrizes, teremos como resultado:

D =

− 3711

A questão solicita a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, daí:

1 + (-3) = -2 (Resposta: alternativa B!) 02. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante

igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a: a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 80

Sol.: Usaremos a seguinte propriedade dos determinantes:

Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de M.

det (k.M) = kn det(M)



3 Aplicando a propriedade acima para calcular o determinante da matriz 2A, teremos:

det (2A) = 23 det(A) Daí: det (2A) = 8 det(A) det (2A) = 8 x 5 E, portanto: det (2A) = 40 (Resposta: alternativa D!) 03. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém

trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:

a) –2 b) –1/2 c) 4 d) 8 e) 10

Sol.: Na solução desta questão usaremos a propriedade usada na solução da questão anterior e também a seguinte propriedade:

Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então: det(Mt) = det(M) Designaremos a matriz qualquer comentada no enunciado por M. Segundo o enunciado, M é uma matriz de segunda ordem e det(M)=2, e ele deseja o cálculo do determinante do dobro de sua matriz transposta, ou seja, o determinante da matriz 2Mt. Vamos ao cálculo do determinante da matriz 2Mt. det(2Mt) = 22 . det(Mt) = 4 . det(M) = 4 . 2 = 8 (Resposta: alternativa D!) 04. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante

igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

Sol.: A solução desta questão é praticamente idêntica a da anterior, e usaremos as mesmas duas propriedades. Segundo o enunciado, X é uma matriz quadrada de terceira ordem e det(X)=3. Solicita-se no enunciado o determinante da matriz Y = 3Z = 3Xt. Vamos ao cálculo do determinante da matriz Y = 3Xt. det (Y) = det(3Xt) = 33 . det(Xt) = 27 . det(X) = 27 x 3 = 81 Resposta: alternativa E!



4 05. (Oficial de Chancelaria 2002) Dada a matriz:

111

X

e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual a:

a) -1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2

Sol.: Na solução dessa questão, usaremos a seguinte propriedade:

Seja A-1 a matriz inversa de A, então a relação entre os determinantes de A-1 e A é dado por:

)det(1)det( 1

AA =−

Consideraremos que a matriz A =

111

X.

Segundo o enunciado, o determinante da matriz inversa de A é igual a 1/2, ou seja, det(A-1) = 1/2. Aplicando a propriedade descrita acima, obteremos o determinante da matriz A. Teremos:

)det(

1)det( 1

AA =−

)det(12/1A

= 2)det( =A

Passaremos ao cálculo do determinante da matriz A =

111

X.

det(A) = 1 . 1 – X . 1 det(A) = 1 – X Mas já sabíamos que det(A)=2, daí podemos obter o valor de X. Teremos:

1 – X = 2 X = -1 (Resposta: Alternativa A) 06. (BNB 2002 FCC) Dadas as matrizes

A =

642235cba

e B =

322315

cba

, de determinantes não nulos, para quaisquer valores de “a”, “b” e “c”, temos A. det(A) = det(B) B. det(B) = 2.det(A) C. det(A) = 2.det(B) D. det(A) = –2.det(B)



5E. det(A) = – det(B) Sol.: As alternativas da questão trazem relações entre os determinantes de A e B, portanto na solução da questão tentaremos obter inicialmente uma relação entre as matrizes A e B para depois encontrar uma relação entre os seus determinantes. Observe que há duas linhas da matriz A que são iguais a duas colunas da matriz B, então faremos a transposta de B para ficar parecido com a matriz A.

A transposta da matriz B será: Bt =

321235cba

A matriz Bt é muito parecida com a matriz A, somente a última linha que é diferente, mas perceberam a relação entre a terceira linha de A e a terceira linha de Bt ? Está fácil de ver! Os elementos da terceira linha de A são o dobro dos elementos correspondentes na terceira linha de Bt. Por tudo isso, podemos fazer a seguinte relação entre A e B: a matriz A é igual a matriz obtida multiplicando-se por dois a terceira linha da transposta de B. Simbolicamente, temos:

A = 2 x (a terceira linha de Bt) Para estabelecer uma relação entre os determinantes de A e B, usaremos as seguintes propriedades dos determinantes:

Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M.

Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então: det(Mt) = det(M) Aplicando as propriedades acima, teremos a seguinte relação entre os determinantes de A e B: det(A) = det(2 x (a terceira linha de Bt)) det(A) = 2 x det(Bt) det(A) = 2 x det(B) det(A) = 2 x det(B)

det(A) = 2det(B) (Resposta!)

07. (SERPRO 1996) As matrizes:

=

735642321

X ,

=

1535652321

Y e

=

302510652321

Z

apresentam, respectivamente, determinantes iguais a: a) 0, 0 e 0 b) 1, 1 e 1 c) 0, 1 e 1 d) 2, 3 e 4 e) -1, -1 e -1



6Sol.:

Observando os elementos das três matrizes acima, chegaremos aos seguintes resultados:

Os elementos da segunda linha da matriz X são exatamente o dobro dos elementos correspondentes da primeira linha.

Os elementos da terceira coluna da matriz Y são exatamente o triplo dos elementos correspondentes da primeira coluna.

Os elementos da terceira linha da matriz Z são exatamente o quíntuplo dos elementos correspondentes da terceira coluna. Para obter os determinantes das matrizes acima, usaremos a seguinte propriedade dos determinantes:

Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então: det(M) = 0. Concluímos, então, que os determinantes de X, Y e Z são iguais a zero. Resposta: alternativa A.

08. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Sabendo-se que a matriz

=

1011

A e

que Ν∈n e 1≥n então o determinante da matriz An – An-1 é igual a a) 1 d) n b) -1 e) n-1 c) 0

Sol.: A questão solicita o determinante da matriz An – An-1, onde:

=

1011

A

Ν∈n e 1≥n A multiplicação de matrizes goza das propriedades seguintes:

1) é associativa: (AB)C = A(BC) 2) é distributiva à direita: (A+B)C = AC + BC 3) é distributiva à esquerda: C(A+B) = CA + CB 4) (kA)B = A(kB) = k(AB)

Daqui a pouco usaremos a terceira propriedade descrita acima. Temos a expressão matricial An – An-1. Mas podemos reescrevê-la, sem alterar o resultado, por:

(An-1. A) – (An-1. I) Se colocarmos em evidência o termo An-1 , a expressão matricial passa a ser:

An-1 (A – I)

Agora, vamos substituir a matriz A e a matriz identidade I que estão dentro do parêntese, pelas suas respectivas matrizes. Então, teremos:



7

An-1 (

1011

–

1001

)

Subtraindo as matrizes que estão dentro do parêntese, obteremos:

An-1 (

0010

)

Para calcular o determinante da expressão matricial acima, usaremos a seguinte propriedade dos determinantes: det(AB) = det(A).det(B).

Daí: det( An-1 (

0010

) ) = det(An-1) . det(

0010

)

O determinante de

0010

é igual a zero, porque essa matriz possui uma coluna com

elementos iguais a zero.

Daí: det(An-1) . det(

0010

) = det(An-1) . 0 = 0

Resposta: alternativa C. 09. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) 36- Considere as matrizes

=

=

cb

aYX

356232

;735642321

onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a a) 0. d) a+b. b) a. e) a+c. c) a+b+c.

Sol.: Observando os elementos da matriz X, chegaremos ao seguinte resultado:

Os elementos da segunda linha da matriz X são exatamente o dobro dos elementos correspondentes da primeira linha. Daí, já descobrimos que o determinante da matriz X é igual a zero. A questão solicita o determinante do produto das matrizes X e Y, ou seja, o det(XY). Pelas propriedades dos determinantes, sabemos que det(XY) = det(X).det(Y). Daí: det(XY) = det(X).det(Y) = 0 . det(Y) = 0 Resposta: alternativa A.



810. (Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A

e B, sendo que B = 21/4 A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2-1/2, então o determinante da matriz B é igual a:

a) 21/2 d) 2–1/2 b) 2 e) 1 c) 2–1/4

Sol.: A relação entre as matrizes A e B, segundo o enunciado, é: B = 21/4 A, onde A e B são matrizes quadradas de segunda ordem. O determinante de B é dado por:

det (B) = det(21/4 A) Para calcular o determinante de B, usaremos a seguinte propriedade dos determinantes:

Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de M, ou seja:

det (k.M) = kn det(M) Aplicando a propriedade, teremos: det (B) = det(21/4 A) = (21/4)2.det(A) det (B) = (21/2).det(A) Segundo o enunciado, o determinante de A é igual a 2-1/2. Daí: det (B) = (21/2) . 2-1/2 = 21/2 - 1/2 = 20 = 1 (Resposta: alternativa E!) 11. (AFRE MG 2005 ESAF) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não

singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a:

a) A-1 B C d) A B C-1 b) A C-1 B-1 e) C-1 B-1 A-1 c) A-1 C B-1

Sol.: Do enunciado, temos que a seguinte igualdade: C = AZB. Para encontrarmos a matriz Z, ela deve ficar isolada em um dos lados da igualdade, como se encontra o C neste momento. Para isolar o Z, devemos efetuar multiplicações entre matrizes. Considere os seguintes passos: 1º passo) Multiplicaremos ambos os lados da igualdade por A-1 a fim de desaparecer a matriz A do segundo membro da igualdade.

A-1. C = A-1 . AZB Essa igualdade pode ser escrita assim: A-1C = (A-1.A)ZB O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. Daí:

A-1C = (I)ZB O produto de uma matriz pela matriz identidade, não altera a matriz. Daí:



9A-1C = ZB

2º passo) Multiplicaremos ambos os lados da igualdade por B-1 a fim de desaparecer a matriz B do segundo membro da igualdade.

A-1C . B-1 = ZB . B-1 Essa igualdade pode ser escrita assim: A-1C B-1 = Z (B . B-1) O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. Daí:

A-1C B-1 = Z (I) O produto de uma matriz pela matriz identidade, não altera a matriz. Daí:

A-1C B-1 = Z Portanto, encontramos que Z = A-1C B-1 (Resposta: alternativa C !) 12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e

B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:

a) –x-6 d) –1 b) –x6 e) 1 c) x3

Sol.: Temos as seguintes informações:

A e B são matrizes quadradas de terceira ordem. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. O determinante de A é igual a x3.

A questão solicita o produto entre os determinantes das matrizes A e B, ou seja:

det(A).det(B) = ? Já sabemos que o det(A) = x3, falta-nos encontrar o det(B). Podemos descrever a matriz B em função das colunas de A, da seguinte maneira:

B = terceira coluna de A segunda coluna de A primeira coluna de A

Para encontrar o determinante de B, usaremos a seguinte propriedade dos determinantes:

Seja X uma matriz de ordem n ≥ 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas obteremos uma nova matriz Z tal que: det(Z) = – det(X).

Pelo desenho da matriz B acima, observamos que a matriz B é obtida pela troca de posição entre a primeira coluna e a terceira coluna da matriz A. Daí:

det(B) = - det(A)



10 E, portanto: det(B) = - x3

O produto det(A).det(B) será igual a:

det(A).det(B) = x3 . (- x3) = -x6 (Resposta: alternativa B !)

13. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema

=+=−0202

axyax

de

incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a.

Sol.:

As variáveis (incógnitas) do sistema acima são x e y. A segunda equação do sistema não apresenta a variável y, daí podemos obter facilmente o valor de x do sistema. Da segunda equação, teremos:

x + 2a = 0 x = -2a Substituindo este valor de x na primeira equação, encontraremos o valor de y do sistema:

ax – 2y = 0 a . (-2a) – 2y = 0 -2a2 – 2y = 0 y = -a2 A solução do sistema é:

x = -2a e y = -a2 Destes resultados, concluímos que x e y tem uma infinidade de valores, que dependerão do valor de a. Se a for zero teremos a solução trivial x=0 e y=0, e para quaisquer outros valores de a teremos soluções não triviais.

Resposta: alternativa A. Agora, sim, falemos sobre Trigonometria!



11NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA

1. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Denominamos de triângulo retângulo, o triângulo que possui ângulo interno de um de seus vértices igual a 90º.

Triângulo retângulo Na figura acima α e β são os ângulos agudos do triângulo retângulo, e eles são complementares (α + β = 90º). O lado maior c é chamado de hipotenusa e os lados a e b são chamados de catetos. As razões trigonométricas fundamentais usando o ângulo α são:

ab

hipotenusasen ==

αα aoposto cateto

ac

hipotenusa==

αα a adjacente catetocos cbtg ==

ααα a adjacente cateto

a oposto cateto

As razões trigonométricas fundamentais usando o ângulo β são:

ac

hipotenusasen ==

ββ aoposto cateto

ab

hipotenusa==

ββ a adjacente catetocos bctg ==

βββ a adjacente cateto

a oposto cateto

Das razões trigonométricas fundamentais acima, podemos demonstrar as relações mostradas abaixo: 1º) βα cos=sen e αβ cos=sen

2º) 1cos22 =+ ααsen

3º) ααα

cossentg = e

βββ

cossentg =

4º) 1=× βα tgtg 2. O CICLO TRIGONOMÉTRICO

Arcos e Ângulos Seja uma circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B. A abertura do ângulo α descreve na circunferência o arco AB.

α

a b

c

β

A



12 As unidades do ângulo e do arco são dadas em graus (º) ou radianos (rad). Devemos lembrar da relação entre estas unidades:

π rad = 180º (meia volta) ou 2π rad = 360º (1 volta) Mostraremos como se converte de graus para radianos, e vice-versa.

Conversão de graus para radianos 1) 60º Para converter de graus para radianos podemos usar uma simples regra de três;

x rad ------- 60º π rad ------- 180º

Daí: 180x = 60π 18060π

=x 3π

=x

Resposta: 60º = 3π

rad

2) 270º

Também podemos usar a seguinte regra prática: multiplicar o valor em graus por 180π

.

Daí: 180

270 π⋅ =

180270π

= 2

3π

Resposta: 270º = 2

3π rad

Conversão de radianos para graus

1) 6π

Usaremos uma simples regra de três:

x ------- 6π

rad

180º ------- π rad

Daí: πx = 180.6π

6

180=x 30=x

B

αO



13

Resposta: 6π

rad = 30º

2) 3

2π

Também podemos usar a seguinte regra prática: multiplicar o valor em radianos por π

180.

Daí: π

π 1803

2× =

3360

= 120

Resposta: 3

2π rad = 120º

Classificação do ângulo O ângulo é chamado de agudo quando ele é menor que 90º(ou π/2). O ângulo é chamado de obtuso quando ele é maior que 90º(ou π/2). O ângulo é chamado de reto quando ele é igual a 90º(ou π/2). O ângulo é chamado de raso quando ele é igual a 180º(ou π).

Relação entre dois ângulos: Dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 90º(ou π/2). Dois ângulos são suplementares quando a soma deles é igual a 180º(ou π). Dois ângulos são replementares quando a soma deles é igual a 360º(ou 2π). Dois ângulos são explementares quando a subtração deles é igual a 180º(ou π).

α

α

α

α



14

O Ciclo Trigonométrico Para estudar as funções trigonométricas do seno, coseno, ... precisamos antes conhecer o ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico apresenta uma circunferência de raio unitário, dois eixos ortogonais cruzando-se no centro da circunferência e são orientados conforme as indicações: o vertical, com sentido para cima, e o horizontal, para a direita. Os eixos ortogonais dividem o ciclo trigonométrico em quatro quadrantes, conforme mostrado abaixo. O ângulo positivo é marcado no ciclo trigonométrico a partir do ponto origem A e no sentido anti-horário. O ponto P marca a extremidade do arco descrito pelo ângulo. Mostraremos alguns exemplos: 1º) Marcação do ângulo de 60º 2º) Marcação do ângulo de 120º

1º Quadrante

2º Quadrante

3º Quadrante

4º Quadrante

A

1º Q 2º Q

3º Q 4º Q

A

60º

0º 180º

90º

270º

P

1º Q 2º Q

3º Q 4º Q

A

120º

0º 180º

90º

270º

P



15 3º) Marcação do ângulo de 300º O ângulo negativo é marcado no ciclo trigonométrico a partir do ponto origem A e no sentido horário. O ponto P marca a extremidade do arco descrito pelo ângulo. Mostraremos alguns exemplos: 1º) Marcação do ângulo de –120º

Ângulos Côngruos ou Congruentes: Um ângulo maior em valor absoluto que 360º (ou 2π) percorre mais de uma volta no ciclo trigonométrico, e possui um ângulo congruente a ele que é menor que 360º. Dois ângulos são congruentes quando possuem o mesmo ponto inicial (A) e o mesmo ponto final (P). Qual é o ângulo congruente a 480º? Para calcular esse ângulo devemos fazer uma operação de divisão por 360º. (120) 1 O quociente 1 significa o número de voltas completas que o 480º dá no ciclo trigonométrico. O resto 120 é exatamente o ângulo congruente a 480º. Portanto, temos que 480º é congruente a 120º (ou 480º=120º).

360 480

1º Q 2º Q

3º Q 4º Q

A -120º

0º 180º

90º

270º

P

1º Q 2º Q

3º Q 4º Q

A

300º 0º 180º

90º

270º

P



16 Outro exemplo: Qual é o ângulo congruente a 1105º? (25) 3 O quociente 3 significa o número de voltas completas que o 1105º dá no círculo trigonométrico. O resto 25 é exatamente o ângulo congruente a 1105º. Portanto, temos que 1105º é congruente a 25º (ou 1105º=25º). Outro exemplo: Qual é o ângulo congruente a –1580º? (140) 4 O quociente 4 significa o número de voltas completas que o –1580º dá no círculo trigonométrico no sentido horário. O resto 140 é o valor absoluto em graus que o ângulo de –1580º percorre após completar as 4 voltas, daí –1580º é congruente a –140º (ou –1580º=–140º). Podemos ainda determinar qual é o ângulo positivo congruente a um ângulo negativo. Explicaremos através de um exemplo. Qual é o ângulo positivo congruente a –130º? Para o –150° completar uma volta falta percorrer um valor absoluto em graus de 210º (= 360º–150º). Daí, 210º é o ângulo positivo congruente a –150º. Veja o desenho.

Forma generalizada de congruência de um ângulo Todos os ângulos de origem A e extremidade P (diferindo apenas por um número inteiro k de voltas) são considerados ângulos congruentes entre si, pois ao somarmos ou subtrairmos a um ângulo um valor múltiplo de 360º (ou 2π) só estamos dando voltas no ciclo, mas sempre terminando no mesmo ponto P. A forma generalizada de todos os ângulos congruentes a um certo ângulo α é dada pela expressão: Em radianos: α + 2kπ Em graus: α + k.360º onde K pertence ao conjunto dos números inteiros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....

360 1105

360 1580

1º Q 2º Q

3º Q 4º Q

A

–150º

0º 180º

90º

270º

P

210º



17 Simetrias

No ciclo trigonométrico, interessam-nos diretamente três tipos de simetrias, a saber: em relação ao eixo vertical, em relação ao eixo horizontal e em relação ao centro. Essas simetrias serão úteis na parte de funções circulares. Para o estudo de cada uma delas, tomaremos um arco de medida α, do 1º quadrante e da 1ª volta, ou seja, 0< α < 90º. # Simetria em relação ao eixo vertical Seja P a extremidade do ângulo de medida α. O simétrico de P em relação ao eixo vertical é o ponto P’, extremidade do ângulo de medida π-α. Os ângulos α e π-α são suplementares. Observe na figura que os pontos P e P’ possuem a mesma projeção no eixo vertical e também terão as mesmas projeções no eixo horizontal, porém invertidas. Para designar o conjunto dos ângulos que possuem extremidade P, podemos escrever α+2kπ, e para os ângulos de extremidades P’, (π-α)+2kπ. # Simetria em relação ao eixo horizontal Seja P a extremidade do ângulo de medida α. O simétrico de P em relação ao eixo horizontal é o ponto P’, extremidade do ângulo de medida 2π-α. Os ângulos α e 2π-α são replementares. Observe na figura que os pontos P e P’ possuem a mesma projeção no eixo horizontal e também terão as mesmas projeções no eixo vertical, porém invertidas. Para designar o conjunto dos ângulos que possuem extremidade P, podemos escrever α+2kπ, e para os ângulos de extremidades P’, (2π-α)+2kπ.

1º Q 2º Q

3º Q 4º Q

A 0º 180º

90º

270º

P

α

P’ π-α

1º Q 2º Q

3º Q 4º Q

0º 180º

90º

270º

P

α2π-α

P’



18# Simetria em relação ao centro do ciclo Seja P a extremidade do ângulo de medida α. O simétrico de P em relação ao eixo centro do ciclo é o ponto P’, extremidade do ângulo de medida α+π. Os ângulos α e α+π são explementares. Observe na figura que os pontos P e P’ possuem a mesma projeção no eixo horizontal e também no eixo vertical, porém ambas são invertidas. Para designar o conjunto dos ângulos que possuem extremidade P, podemos escrever α+2kπ, e para os ângulos de extremidades P’, (α+π)+2kπ.

FUNÇÕES CIRCULARES Seja α um ângulo agudo, de tal forma que o arco correspondente a ele possua extremidade P.

Unindo O a P, obtemos o raio unitário OP .

Construindo dois triângulos retângulos, ambos com ângulo agudo α e hipotenusa OP , obtemos sobre os eixos ortogonais os pontos P1 e P2. O ponto P1 é a projeção de P sobre o eixo vertical, e P2 é a projeção ortogonal de P sobre o eixo horizontal. O quadrilátero OP2PP1 é um retângulo, pois possui os quatro ângulos retos. Assim, temos:

21 PPOP = e 12 PPOP =

1º Q 2º Q

3º Q 4º Q

0º 180º

90º

270º

P

απ+α

P’

P

α

α

P2

P1

O



19

Função Seno

Observando a figura anterior, podemos escrever sen α = OPPP2 e, por conseqüência,

sen α = 1OP , pois 12 OPPP = e OP é unitário. Assim, para encontrarmos o seno de um ângulo, basta projetar ortogonalmente sua extremidade sobre o eixo vertical – daqui por diante denominado eixo dos senos – e medir a distância entre essa projeção e o centro O do ciclo, sempre levando em conta a orientação do eixo (para cima). Para o caso dos ângulos fora do 1º quadrante, o procedimento é análogo. Na figura abaixo, sejam x, y e z os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente. Projetando suas extremidades, obtemos, respectivamente, os pontos X, Y e Z. Temos, então:

sen x = OX (positivo)

sen y = OY (negativo)

sen z = OZ (negativo) # A função y = sen x O domínio (os valores que x pode assumir) da função seno é igual ao conjunto dos reais. Sendo a unidade de x em radianos ou graus. Pelo ciclo trigonométrico constatamos que o seno de x é um valor no intervalo [-1, 1], ou seja, -1 ≤ sen x ≤ 1.

P

α

P1

O

x X

O

Z

Y y

z

senos



20 # Sinais da função seno Considerando a orientação do eixo dos senos, percebemos que os ângulos do 1º e 2º quadrantes associam-se valores positivos de senos, e a ângulos do 3º e 4º quadrantes associam-se valores negativos de senos. # Valores Notáveis Os valores constantes na tabela abaixo são fundamentais, pois, a partir deles, são encontrados os valores dos senos de muitos outros ângulos.

x 0 30º(π/6) 45º(π/4) 60º(π/3) 90º(π/2) 180º(π) 270º(3π/2) 360º(2π) sen x 0 1/2 2/2 2/3 1 0 -1 0

Função Cosseno

Na figura abaixo, utilizando o triângulo retângulo OPP2, podemos escrever cos α = OPOP2 .

Como OP é raio, temos cos α = 2OP . Dessa forma, para encontramos o cosseno de um ângulo, basta projetar ortogonalmente a extremidade do arco correspondente sobre o eixo horizontal – daqui por diante denominado eixo dos cossenos – e medir a distância entre essa projeção e o centro O do ciclo, sempre levando em conta a orientação do eixo (para a direita).

I

senos

II

III IV

P

αP2 O cossenos



21 Para o caso dos ângulos fora do 1º quadrante, o procedimento é análogo. Na figura abaixo, sejam x, y e z os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente. Projetando suas extremidades sobre o eixo dos cossenos, obtemos, respectivamente, os pontos X, Y e Z. Temos, então:

cos x = OX (negativo)

cos y = OY (negativo)

cos z = OZ (positivo) # A função y = cos x O domínio (os valores que x pode assumir) da função cosseno é igual ao conjunto dos reais. Sendo a unidade de x em radianos ou graus. Pelo ciclo trigonométrico constatamos que o cosseno de x é um valor no intervalo [-1, 1], ou seja, -1 ≤ cos x ≤ 1. # Sinais da função cosseno Considerando a orientação do eixo dos cossenos, percebemos que os ângulos do 1º e 4º quadrantes associam-se valores positivos de cossenos, e a ângulos do 2º e 3º quadrantes associam-se valores negativos de cossenos.

I

cossenos

II

III IV

P

αP2 O cossenos

x

X

O Z Y

y z

cossenos 1 -1



22# Valores Notáveis Os valores constantes na tabela abaixo são fundamentais, pois, a partir deles, são encontrados os valores dos cossenos de muitos outros ângulos.

x 0 30º(π/6) 45º(π/4) 60º(π/3) 90º(π/2) 180º(π) 270º(3π/2) 360º(2π) cos x 1 2/3 2/2 1/2 0 -1 0 1

Relações entre senos e cossenos No início desta aula vimos as Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo, onde foram apresentadas algumas relações entre senos e cossenos. Vamos retomá-las, agora de uma forma mais geral. # Ângulos Complementares O complementar do ângulo x é o ângulo (90º –x). E temos as seguintes relações entre ângulos complementares:

sen x = cos(90º–x) e cos x = sen(90º–x) E significa que “o seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento”; ou “o cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complemento”. # Relação Fundamental Temos a seguinte relação entre o seno e o cosseno de um ângulo x qualquer.

(sen x)2 + (cos x)2 = 1, ou escrito da seguinte forma:

sen2x + cos2x = 1 Assim, dado o seno de um ângulo qualquer, é possível, por meio da relação acima, obter o cosseno desse mesmo ângulo, e vice-versa.

Função Tangente Para obter os valores das tangentes dos ângulos, podemos utilizar a relação:

xxsenxtg

cos=

Quando o cosseno de x for zero a tangente não estará definida. O sinal da função tangente pode ser obtida a partir do sinal das funções seno e cosseno. Como a tangente é dada pela razão entre o seno e o cosseno, ela será positiva quando o seno e o cosseno tiverem o mesmo sinal (1º quadrante e 3º quadrante) e será negativa quando o seno e o cosseno tiverem sinais diferentes (2º quadrante e 4º quadrante).

I II

III IV



23 Função Cotangente

Para obter os valores das cotangentes dos ângulos, podemos utilizar a relação:

xsenxxg coscot = ou

xtgxg 1cot =

Quando o seno de x for zero a cotangente não estará definida. O sinal da função cotangente é o mesmo da função tangente.

Função Secante Para obter os valores das secantes dos ângulos, podemos utilizar a relação:

xx

cos1sec =

Quando o cosseno de x for zero a secante não estará definida. O sinal da função secante é o mesmo da função cosseno.

Função Cossecante Para obter os valores das cossecantes dos ângulos, podemos utilizar a relação:

xsenx 1seccos =

Quando o seno de x for zero a cossecante não estará definida. O sinal da função cossecante é o mesmo da função seno.

Valores Notáveis para as funções sen, cos, tg, cotg, sec e cossec

x sen x cos x tg x cotg x sec x cossec x

0º 0 1 0 0 1 0

30º 21

23

33

33

3

2 2

45º 22

22

1 1 2

2

22

60º 2

3

21

3 3

1 2

32

90º 1 0 -- 0 -- 1

180º 0 -1 0 -- -1 --

270º -1 0 -- 0 -- -1



24 Relações Importantes da Trigonometria

# Relações Fundamentais: As relações fundamentais permitem que, dado o valor de uma das funções circulares de um ângulo qualquer, encontremos os valores das demais funções circulares do mesmo ângulo (se existirem). 1) sen2x + cos2x = 1

2) xxsenxtg

cos=

3) xtg

xg 1cot =

4) x

xcos

1sec =

5) xsen

x 1seccos =

# Relações Decorrentes: A partir das relações fundamentais, podemos deduzir outras relações, que são úteis na simplificação de expressões trigonométricas.

1) xxtg 22 sec1=+

2) xxg 22 seccos1cot =+ # Fórmulas de Multiplicação Dadas as funções circulares de um ângulo x, é possível encontrarmos as funções circulares do ângulo 2x.

1) xsenxx 22cos2cos −= 2) xxsenxsen cos22 = Há diversas outras fórmulas trigonométricas, mas que não mostraremos aqui, pois para resolvermos as questões de trigonometria das provas de Raciocínio Lógico, bastam essas que foram apresentadas.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TRIGONOMETRIA

01. (AFC 2002 ESAF) A expressão dada por y = 4(cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é:

a) -4 ≤ y ≤ 8 b) 0 < y ≤ 8 c) -∞ ≤ y ≤ ∞ d) 0 ≤ y ≤ 4 e) 0 ≤ y ≤ 8

Sol.: A expressão fornecida no enunciado envolve a função cosseno. Assim, encontraremos o intervalo de variação de y, a partir do intervalo de variação da função cosseno.



25 Da função cosseno sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o valor máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que:

cos x ≥ -1 e cos x ≤ 1

A partir da expressão cos x ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de y. Temos que cos x ≥ -1 , se multiplicarmos por 4 ambos os lados, obteremos:

4.cos x ≥ 4.(-1) Daí:

4cos x ≥ -4 Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos:

4cos x + 4 ≥ -4 + 4 Daí:

4cos x + 4 ≥ 0

E como y=4cos x +1, então encontramos que y ≥ 0. Agora, a partir da expressão cos x ≤ 1, obteremos uma outra expressão de variação de y. Temos que cos x ≤ 1, se multiplicarmos por 4 ambos os lados, obteremos:

4.cos x ≤ 4.1 Daí:

4cos x ≤ 4 Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos:

4cos x + 4 ≤ 4 + 4 Daí:

4cos x + 4 ≤ 8

E como y=4cos x +1, então encontramos que y ≤ 8. Dos resultados obtidos: y ≥ 0 e y ≤ 8, encontramos o intervalo de variação de y:

0 ≤ y ≤ 8 (Resposta!)

02. (TFC 1995 ESAF) Se x é um arco do segundo quadrante e sen x = 4/5, então

cos x é: a) -5/3 b) 5/3 c) ± 3/5 d) 3/5 e) -3/5

Sol.: O enunciado informa que x é um ângulo do segundo quadrante, e de acordo com o sinal da função cosseno, temos que o cosseno de x é negativo. Assim, a alternativa correta ou é a A ou é a E. Pela relação fundamental: sen2x + cos2x = 1, podemos encontrar o valor do cosseno de x a partir do conhecimento do seno de x. Temos que sen x = 4/5, substituindo esse valor na relação fundamental acima, teremos: (4/5)2 + cos2x = 1 16/25 + cos2x = 1 cos2x = 1 – 16/25

cos2x = 9/25 cos x = 25/9 cos x = ±3/5



26 No início dessa solução, já havíamos concluído que o cos x devia ser negativo. Portanto, descartaremos o valor de +3/5, e a resposta será:

cos x = –3/5 (Resposta!)

03. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Sabe-se que o

seno de 60º é igual a (31/2)/2, e que co-seno de 60º é igual a ½. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo α é igual ao dobro do produto do seno de α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 600 é:

a) - ½ b) - (31/2) c) 31/2 d) (31/2)/2 e) - (31/2)/2

Sol.: Dois ângulos são considerados suplementares, se a soma deles é igual a 180º (x+y=180º). Então o suplemento de um ângulo x é o ângulo (180º-x). Dessa forma, o ângulo suplementar a 60º é:

120º (=180º–60º) A partir desse resultado e de acordo com o enunciado, devemos calcular a tangente de 120º para encontrarmos a resposta da questão. Para calcular esta tangente usaremos os outros dados fornecidos no enunciado, que são: 1ª) sen 60º = (31/2)/2 2ª) cos 60º = 1/2 3ª) sen 2α = 2.senα.cosα A tangente pode ser calculada a partir do seno e do cosseno, pela seguinte fórmula:

xxsenxtg

cos=

Então tangente de 120º é igual a:

º120cosº120º120 sentg =

Devemos encontrar o valor do seno e do cosseno de 120º. O sen 120º pode ser obtido usando-se a fórmula sen 2α = 2.senα.cosα , fazendo α=60º. Teremos: sen 120º= 2.sen60º.cos60º sen 120º= 2 . (31/2)/2 . 1/2

sen 120º= (31/2)/2 Podemos calcular o cos 120º a partir da relação fundamental: sen2x + cos2x = 1. Teremos: sen2x + cos2x = 1 (sen120º)2 + (cos120º)2 = 1 ((31/2)/2)2 + cos2120º = 1 3/4 + cos2120º = 1

cos2120º = 1/4 cos120º = ± 41

cos 120º = ± 1/2

O cos 120º é positivo ou negativo? O ângulo de 120º está no 2º quadrante, daí o cos 120º é negativo. Daí: cos 120º = -1/2



27 Encontrados os valores do seno e do cosseno de 120º, já podemos obter o valor da tangente de 120º, teremos:

º120cosº120º120 sentg =

2/12/)3(º120

2/1

−=tg

E, finalmente: tg 120º = - (31/2) Resposta: alternativa b. 04. (AFTN 1998/ESAF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica:

(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: a) 2 b) 0 c) -1 d) -2 e) 1

Sol.: Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos a variável envolvida nas funções trigonométricas. Na expressão do enunciado, temos a variável x envolvida com as funções seno e cosseno. Vamos desenvolver o termo (cosx + senx)2 que aparece na expressão dada no enunciado. Teremos: (cosx + senx)2 = cos2x + 2.cosx.senx + sen2x (cosx + senx)2 = sen2x + cos2x + 2.cosx.senx (cosx + senx)2 = 1 + 2.cosx.senx

Substituindo o termo (cosx + senx)2 por 1+2.cosx.senx na expressão dada no enunciado, teremos:

1+2.cosx.senx + ysenx.cosx - 1 = 0 2.cosx.senx + ysenx.cosx = 0 Colocando em evidência o termo senx.cosx , teremos: senx.cosx (2 + y) = 0 Se (2+y) for igual a zero, então para qualquer valor de x a expressão acima será verificada, daí:

(2+y)=0 y=–2 (Resposta!) 05. (AFC 2005 ESAF) O sistema dado pelas equações x sen a – y cos a = –cos 2a x cos a + y sen a = sen 2a

possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a a) 1 b) 2 c) 4 d) sen π e) cos π



28 Sol.: A questão afirma que x e y são as raízes do sistema. Então a soma dos quadrados das raízes, solicitada na questão, será dada por:

x2 + y2 Para que apareça nas equações do sistema os valores de x2 e y2 , devemos elevar ao quadrado ambos os lados das equações do sistema. Assim, teremos: (x.sen a – y.cos a)2 = (–cos 2a)2

(x.cos a + y.sen a)2 = (sen 2a)2

(x.sen a)2 – 2(x.sen a)(y.cos a) + (y.cos a)2 = (–cos 2a)2

(x.cos a)2 + 2(x.cos a)(y.sen a) + (y.sen a)2 = (sen 2a)2 x2.sen2a – 2xy.sen a.cos a + y2cos2a = cos22a

x2.cos2a + 2xy.cos a.sen a + y2.sen2a = sen22a Somando membro a membro as duas equações do sistema, teremos: x2.sen2a + x2.cos2a + 0 + y2cos2a + y2.sen2a = cos22a + sen22a

x2(sen2a + cos2a) + y2(cos2a + sen2a) = cos22a + sen22a

x2(1) + y2(1) = 1 x2 + y2 = 1 Resposta: A soma dos quadrados das raízes é igual a 1.

Dever de Casa 01. (AFC-STN-2000 ESAF) A expressão dada por y = 3senx + 4 é definida para todo número x

real. Assim, o intervalo de variação de y é a) -1 ≤ y ≤ 7 b) -7 < y < 1 c) -7 < y ≤ -1 d) 1 ≤ y < 7 e) 1 ≤ y ≤ 7

02. A expressão dada por y = –2senx + 5 é definida para todo número x real. Assim, o

intervalo de variação de y é a) -1 ≤ y ≤ 7 b) y ≤ 3 ou y ≥ 7 c) 3 < y ≤ 5 d) 3 ≤ y ≤ 8 e) 3 ≤ y ≤ 7

03. (TFC 1995 ESAF) Simplificando a expressão (sen a. tg a. cossec a) / (cos a. cotg a. sec a),

obtém-se: a) 0 b) 1 c) sen2a d) sec2a e) tg2a



2904. (SERPRO 1996 ESAF) Se sen x = 0,5, então (1 / cotg x) vale:

a) 3

b) 33

c) 3

2

d) 23

e) 43

05. (MPOG 2003 ESAF) Sabendo que x é o ângulo correspondente a um arco do segundo

quadrante, e que seno de x é igual a 12/13, então a tangente de x é igual a: a) –12/5 b) –10/13 c) 10/13 d) 12/13 e) 12/5

06. (Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 2002 ESAF) Sabe-se que a

função inversa da função seno é a função cossecante e que o seno do dobro de um arco é dado por sen 2x = 2sen x cos x. Sabendo-se que x é um arco do segundo quadrante e que o cosseno da metade deste arco é igual a 1/3, então a cossecante de x vale: a) – 2 b) 0 c) -1 d) 2 e) 1

07. (TFC 1997 ESAF) Sabe-se que o seno do dobro de um ângulo α é igual ao dobro do produto

do seno de α pelo co-seno de α. Assim, sendo o seno de um ângulo de 120º igual a 23 , o seno de um ângulo de 240º é:

a) 23− c) 3 e) 33

b) 23 d) 32 08. (AFC-SFC 2001 ESAF) A condição necessária e suficiente para a identidade sen2α = 2senα

ser verdadeira é que α seja, em radianos, igual a: a) π/3 b) π/2 c) n π sendo n um número inteiro qualquer d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer

09. (SERPRO 1996 ESAF) Sendo p uma constante real, os valores de x e de y que solucionam o

sistema: x.sen p – y.cos p = -cos 2p x.cos p + y.sen p = sen 2p

a) (sen p,cos p) b) (sen 2,cos 2p) c) (sen 2p,cos p) d) (sen p,-cos p) e) (-sen p,-cos 2p)



3010. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Sabendo que x = 3sent e y = 4cost, então, uma

relação entre x e y, independente de t é dada por: a) 16 y2 - 9 x2 = 144 b) 16 x2 - 9 y2 = 144 c) 16 y2 + 9 x2 = 144 d) 16 x2 + 9 y2 = 144 e) 9 y2 - 16 x2 = 144

11. Simplificando a expressão 1sec

cot.2 −xgxtgx

, obteremos:

a) x2sec

b) xg 2cot

c) xtg 2

d) x2seccos

e) x2cos 12. Determine o valor de x e y nas figuras abaixo:

x y 12 60o 20 GABARITO 01 e 06 a 11 b 02 e 07 a 12 X=14 e y=6(3)1/2

03 b 08 c 04 b 09 a 05 a 10 d



1

AULA DEZESSETE: GEOMETRIA BÁSICA

Olá, amigos!

Novamente pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 17 na semana passada.

Daremos hoje início a um novo assunto: GEOMETRIA!

Como de praxe, apresentaremos muitas questões de concursos passados que servirão no nosso aprendizado, e também para sabermos qual é a profundidade exigida deste assunto dentro das provas de Raciocínio Lógico.

Apresentaremos a seguir, a solução do dever de casa da aula passada, sobre o assunto de Trigonometria. Vamos a elas!

DEVER DE CASA

01. (AFC-STN-2000 ESAF) A expressão dada por y = 3senx + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é a) -1 ≤ y ≤ 7 b) -7 < y < 1 c) -7 < y ≤ -1 d) 1 ≤ y < 7 e) 1 ≤ y ≤ 7

Sol.: A expressão fornecida no enunciado envolve a função seno. Assim, encontraremos o intervalo de variação de y, a partir do intervalo de variação da função seno. Da função seno, sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o valor máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que:

sen x ≥ -1 e sen x ≤ 1

A partir da expressão sen x ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de y. Temos que sen x ≥ -1 , se multiplicarmos por 3 ambos os lados, obteremos:

3.sen x ≥ 3.(-1) Daí:

3sen x ≥ -3 Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos:

3sen x + 4 ≥ -3 + 4 Daí:

3sen x + 4 ≥ 1

E como y=3sen x +4, então encontramos que y ≥ 1. Agora, a partir da expressão sen x ≤ 1, obteremos uma outra expressão de variação de y. Temos que sen x ≤ 1, se multiplicarmos por 4 ambos os lados, obteremos:

3.sen x ≤ 3.1 Daí:

3sen x ≤ 3 Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos:

3sen x + 4 ≤ 3 + 4 Daí:

3sen x + 4 ≤ 7



2

E como y=3sen x +4, então encontramos que y ≤ 7. Dos resultados obtidos: y ≥ 1 e y ≤ 7, encontramos o intervalo de variação de y:


02. A expressão dada por y = –2senx + 5 é definida para todo número x real. Assim,

o intervalo de variação de y é a) -1 ≤ y ≤ 7 b) y ≤ 3 ou y ≥ 7 c) 3 < y ≤ 5 d) 3 ≤ y ≤ 8 e) 3 ≤ y ≤ 7

Sol.: A expressão fornecida no enunciado envolve a função seno. Assim, encontraremos o intervalo de variação de y, a partir do intervalo de variação da função seno. Da função seno, sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o valor máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que:

sen x ≥ -1 e sen x ≤ 1

A partir da expressão sen x ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de y. Temos que sen x ≥ -1 , se multiplicarmos por -2 ambos os lados, obteremos:

-2.sen x ≤ -2.(-1) Observe que o sinal inverteu, era um sinal de “maior” e passou para um sinal de “menor”, isso ocorreu porque multiplicamos por um valor negativo (-2). Continuando, teremos: -2sen x ≤ 2 Se somarmos 5 a ambos os lados da expressão acima, teremos:

-2sen x + 5 ≤ 2 + 5 Daí:

-2sen x + 5 ≤ 7

E como y=-2sen x +5, então encontramos que y ≤ 7. Agora, a partir da expressão sen x ≤ 1, obteremos uma outra expressão de variação de y. Temos que sen x ≤ 1, se multiplicarmos por -2 ambos os lados, obteremos:

-2.sen x ≥ -2.1 Novamente, invertemos o sinal, agora de menor para maior, porque multiplicamos por um valor negativo (-2). Continuando, teremos: -2sen x ≥ -2 Se somarmos 5 a ambos os lados da expressão acima, teremos:

-2sen x + 5 ≥ -2 + 5 Daí:

-2sen x + 5 ≥ 3

E como y=-2sen x +5, então encontramos que y ≥ 3. Dos resultados obtidos: y ≥ 3 e y ≤ 7, encontramos o intervalo de variação de y:




303. (TFC 1995 ESAF) Simplificando a expressão (sen a. tg a. cossec a) / (cos a. cotg

a. sec a), obtém-se: a) 0 b) 1 c) sen2a d) sec2a e) tg2a

Sol.: O que temos que fazer para resolver esta questão é substituir as funções: tg, cossec, cotg e sec, pelas funções seno e cosseno.

Sabemos que: xxsenxtg

cos= ,

xsenxxg coscot = ,

xx

cos1sec = e

xsenx 1seccos = .

A expressão dada no enunciado é: (sen a. tg a. cossec a) / (cos a. cotg a. sec a), se colocarmos tudo em função do seno e cosseno, teremos:

(sen a. aasen

cos.

asen1

) / (cos a. asenacos

. acos

1)

(sen a. aasen

cos.

asen1

) / (cos a. asenacos

. acos

1)

(aasen

cos /

asenacos

)

(aasen

cos x

aasen

cos)

(aasen

2

2

cos) ( atg 2 ) (Resposta: alternativa E)

04. (SERPRO 1996 ESAF) Se sen x = 0,5, então (1 / cotg x) vale:

a) 3

b) 33

c) 3

2

d) 23

e) 43

Sol.: É bom iniciarmos a solução da questão definindo os quadrantes em que o ângulo x pode estar. Como senx=0,5 , temos que o seno é positivo, daí o ângulo x pode está no 1º quadrante ou no 2º quadrante.

A expressão dada no enunciado é: (1 / cotg x) , e sabemos que xsenxxg coscot = . Daí, se

colocarmos a cotangente em função do seno e cosseno, teremos:

(1 / xsenxcos

) (xxsen

cos)



4 Para descobrirmos o valor da expressão acima, temos que achar o cosseno de x. Pela relação fundamental: sen2x + cos2x = 1, podemos encontrar o valor do cosseno de x a partir do valor do seno de x. Temos que senx=1/2, substituindo esse valor na relação fundamental acima, teremos: (1/2)2 + cos2x = 1 1/4 + cos2x = 1 cos2x = 1 - 1/4 cos2x = 3/4 cos x = 4/3 cos x = ± 3 /2 Obtemos dois valores para o cosseno de x, um positivo e outro negativo. Agora, temos que analisar qual destes devemos escolher. No início dessa solução, vimos que o ângulo x poderia estar no 1º quadrante ou no 2º quadrante. Daí, faremos duas análises:

O valor do cosseno no 1º quadrante é positivo, daí se o x está no 1º quadrante, então

devemos escolher o valor positivo: cos x = 3 /2.

O valor do cosseno no 2º quadrante é negativo, daí se o x está no 2º quadrante, então

devemos escolher o valor negativo: cos x = - 3 /2. A questão solicita o valor da expressão (1 / cotg x), que como já vimos é igual a:

xxsen

cos. Substituiremos os valores do seno e cosseno nesta expressão.

Para senx=1/2 e cosx= 3 /2, teremos:

xxsen

cos =

2/32/1 =

31 =

3331

×× =

33 (resposta para x no 1º quadrante)

Para senx=1/2 e cosx= - 3 /2, teremos:

xxsen

cos = –

33 (resposta para x no 2º quadrante)

Portanto, temos duas respostas, porém a única que aparece nas alternativas é a

resposta 33 . E é claro, devemos marcar a alternativa B.

A questão deveria ter definido qual era o quadrante de x para que tivéssemos somente uma resposta! 05. (MPOG 2003 ESAF) Sabendo que x é o ângulo correspondente a um arco do

segundo quadrante, e que seno de x é igual a 12/13, então a tangente de x é igual a: a) –12/5 b) –10/13 c) 10/13 d) 12/13 e) 12/5

Sol.:



5 O enunciado informa que x é um ângulo do segundo quadrante, portanto a tangente de x é um valor negativo. Assim, a alternativa correta ou é a A ou é a B. Pela relação fundamental: sen2x + cos2x = 1, podemos encontrar o valor do cosseno de x a partir do valor do seno de x. Temos que senx=12/13, substituindo esse valor na relação fundamental acima, teremos: (12/13)2 + cos2x = 1 144/169 + cos2x = 1 cos2x = 1 – 144/169 cos2x = 25/169 cos x = 169/25 cos x = ± 5/13 No início dessa solução, já havíamos concluído que o cos x devia ser negativo. Portanto, descartaremos o valor de +3/5, e a resposta será:

cos x = –3/5 (Resposta!)

06. (Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 2002 ESAF) Sabe-se

que a função inversa da função seno é a função cossecante e que o seno do dobro de um arco é dado por sen 2x = 2sen x cos x. Sabendo-se que x é um arco do segundo quadrante e que o cosseno da metade deste arco é igual a 1/3, então a cossecante de x vale:

a) 3

32−

b) 3

22−

c) 33

d) 3

32

e) 1 Sol.: O enunciado afirma que a função inversa da função seno é a função cossecante, isto quer dizer que:

cossec x = 1 / sen x Também o enunciado traz as seguintes informações: sen 2x = 2senx . cosx x é um arco do segundo quadrante cos(x/2) = 1/3 Para calcularmos a cossecante de x, devemos obter primeiramente o valor do sen x. Para isso, vamos utilizar as informações dadas no enunciado. A equação sen 2x = 2senx.cosx pode ser escrita de maneira diferente, mas equivalente, da seguinte forma: sen x = 2sen(x/2) . cos(x/2). Desta última expressão, observamos que já temos o cos(x/2) e para calcularmos o senx, necessitamos encontrar o valor do sen(x/2). Faremos isso através da relação fundamental: sen2x + cos2x = 1. Podemos escrever a relação fundamental acima da seguinte forma: sen2(x/2)+cos2(x/2)=1. Substituiremos o valor de cos(x/2) nesta expressão.



6 sen2(x/2)+cos2(x/2)=1 sen2(x/2) + (1/3)2 = 1 sen2(x/2) = 1 – 1/9 sen2(x/2) = 8/9

sen(x/2) = ± 98

sen(x/2) = ± 3

22

O seno de x/2 é positivo ou negativo? Como o x é um arco do 2º quadrante, então x/2 será do 1º quadrante e, portanto, o seno de x/2 é positivo. Daí, descartamos o valor negativo acima e ficamos com:

sen(x/2) = 3

22

Agora é só substituir o valor do sen(x/2) e do cos(x/2) na expressão abaixo para encontrarmos o valor do senx.

sen x = 2sen(x/2) . cos(x/2) sen x = 2 . 3

22 .

31

sen x = 9

24

Daí, cossecante de x é igual a:

cossec x = 1 / sen x cossec x = 1 / 9

24

cossec x = 24

9 cossec x =

829

(Resposta!)

Observe que esta resposta não aparece entre as alternatives, foi por este motivo que a ESAF teve que anular esta questão. 07. (TFC 1997 ESAF) Sabe-se que o seno do dobro de um ângulo α é igual ao dobro do

produto do seno de α pelo co-seno de α. Assim, sendo o seno de um ângulo de

120º igual a 23 , o seno de um ângulo de 240º é:

a) 23− c) 3 e) 33

b) 23 d) 32 Sol.: E enunciado traz a seguinte informação: sen 2α = 2senα.cosα. Nesta expressão, fazendo α igual a 120º, podemos obter o seno de 240º. sen 240º = 2.sen120º.cos120º Falta calcular o valor do seno de 120º. Usaremos a relação fundamental: sen2x+cos2x=1.

sen2120º + cos2120º = 1 ( 23 )2 + cos2120º = 1 cos2120º = 1 - 43 cos2120º = 1/4

cos 120º = ± 4/1 cos 120º = ± 1/2



7 O cosseno de 120º é positivo ou negativo? Como o ângulo de 120º é do 2º quadrante, então o cosseno de 120º é negativo. Daí, descartamos o valor positivo acima e ficamos com:

cos 120º = –1/2 De posse do seno e do cosseno de 120º, já podemos obter o seno de 240º. Teremos:

sen 240º = 2.sen120º.cos120º sen 240º = 2. 23 .(–1/2)

sen 240º = – 23 (Resposta!) 08. (AFC-SFC 2001 ESAF) A condição necessária e suficiente para a identidade sen2α

= 2senα ser verdadeira é que α seja, em radianos, igual a: a) π/3 b) π/2 c) n π sendo n um número inteiro qualquer d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer

Sol.: Uma das fórmulas apresentadas na aula dezesseis, e que já usamos em algumas questões resolvidas acima, foi esta:

xxsenxsen cos22 =

Assim o valor de sen2α = 2senα.cosα . Substituiremos o valor de sen2α na expressão dada no enunciado da questão. sen2α = 2senα 2senαcosα = 2senα 2senαcosα – 2senα = 0 2senα(cosα – 1) = 0 O valor de α que satisfaz esta última expressão, pode ser obtido fazendo-se: 2senα=0 ou (cosα – 1)=0 1) Vamos calcular os valores de α para que 2senα=0. 2senα=0 senα=0 O seno é igual a zero para os arcos 0, ±π, ±2π, ±3π, ... . Generalizando:

α = kπ , onde k = 0, ±1, ±2, ...

2) Vamos calcular os valores de α para que (cosα – 1) = 0. (cosα – 1) = 0 cosα = 1 O cosseno é igual a um para os arcos 0, ±2π, ±4π, ... . Generalizando:

α = k.2π , onde k = 0, ±1, ±2, ...



8 Resumindo: Para que 2senα = 0 , devemos ter α = kπ , onde k é um inteiro qualquer. Para que (cosα–1)=0 , devemos ter α = k.2π , onde k é um inteiro qualquer. A solução é: α = kπ ou α = k.2π , mas como α=kπ também abrange os valores de α=k.2π , então podemos dizer que a solução é simplesmente:

α = kπ , onde k é um inteiro qualquer (Resposta: alternativa C)

09. (SERPRO 1996 ESAF) Sendo p uma constante real, os valores de x e de y que

solucionam o sistema: x.sen p – y.cos p = -cos 2p x.cos p + y.sen p = sen 2p

a) (sen p,cos p) b) (sen 2,cos 2p) c) (sen 2p,cos p) d) (sen p,-cos p) e) (-sen p,-cos 2p)

Sol.: Os valores de x e de y são as raízes do sistema. Devemos elevar ao quadrado ambos os lados das equações do sistema, para que possamos utilizar a relação fundamental: sen2p+cos2p=1 , e, assim, teremos: (x.sen p – y.cos p)2 = (–cos 2p)2

(x.cos p + y.sen p)2 = (sen 2p)2

(x.sen p)2 – 2(x.sen p)(y.cos p) + (y.cos p)2 = (–cos 2p)2

(x.cos p)2 + 2(x.cos p)(y.sen p) + (y.sen p)2 = (sen 2p)2 x2.sen2p – 2xy.sen p.cos p + y2cos2p = cos22p

x2.cos2p + 2xy.cos p.sen p + y2.sen2p = sen22p Somando membro a membro as duas equações do sistema, teremos: x2.sen2p + x2.cos2p + 0 + y2cos2p + y2.sen2p = cos22p + sen22p

x2(sen2p + cos2p) + y2(cos2p + sen2p) = cos22p + sen22p

x2(1) + y2(1) = 1 x2 + y2 = 1 Os únicos valores de x e de y que satisfazem a equação x2 + y2 = 1 são os que são apresentados na alternativa A e D, mas se substituímos o valor de x e de y da alternativa d na segunda equação do sistema, verificaremos facilmente que estes valores não servem. Daí, resposta: alternativa A.



910. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Sabendo que x = 3sent e y = 4cost,

então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: a) 16 y2 - 9 x2 = 144 b) 16 x2 - 9 y2 = 144 c) 16 y2 + 9 x2 = 144 d) 16 x2 + 9 y2 = 144 e) 9 y2 - 16 x2 = 144

Sol.: Devemos elevar ao quadrado os valores de x e de y, para que possamos utilizar a relação fundamental: sen2t+cos2t=1 . Fazendo isso, teremos: x = 3sent x2 = (3sent)2 x2 = 9sen2t (1) y = 4cost y2 = (4cost)2 y2 = 16cos2t (2) Para que apareça a relação sen2t+cos2t=1 , devemos multiplicar a 1ª equação por 16 e a 2ª equação por 9, e depois somarmos as duas. 16x2 = 16.9sen2t 16x2 = 144sen2t 9y2 = 9.16cos2t 9y2 = 144cos2t Somando, membro a membro, teremos: 16x2 + 9y2 = 144sen2t + 144cos2t 16x2 + 9y2 = 144(sen2t + cos2t) 16x2 + 9y2 = 144 (Resposta: alternativa D)

11. Simplificando a expressão 1sec

cot.2 −xgxtgx

, obteremos:

a) x2sec

b) xg 2cot

c) xtg 2

d) x2seccos

e) x2cos Sol.: Da aula dezesseis, temos as seguintes fórmulas que usaremos na solução dessa questão, são elas: cotgx = 1/tgx

xxtg 22 sec1=+ Substituindo essas fórmulas na expressão do enunciado, teremos:

1sec

cot.2 −xgxtgx

xtgtgx

tgx

2

1.

xtg 21

xg 2cot (Resposta: alternativa B)



10 12. Determine o valor de x e y nas figuras abaixo:

x y 12 60o 20 Sol.:

x y 12 60o 20

12 60o

Sabemos que: sen 60º = 23

e que cos 60º = ½.

1) Cálculo de y sen 60º = cateto oposto / hipotenusa

23

= y / 12 y = 36

2) Cálculo de x cos 60º = cateto adjacente / hipotenusa 1/2 = (20-x) / 12 (20-x) = 6 x = 14

Agora, sim, falaremos sobre Geometria!

x 20 - x

y

20 - x

y



11

GEOMETRIA 1. ÂNGULOS 1.1. Definição Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto. Indica-se por: AÔB ou α. Em que: OA e OB são os lados do ângulo; O é o vértice do ângulo. 1.2. Ângulo agudo É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto. 1.3. Ângulo obtuso É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso. 1.4. Ângulos opostos pelo vértice α e γ são opostos pelo vértice. θ e β são opostos pelo vértice.

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes.

A

B

O α

α

α

α γ

β

θ



12

1.5. Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes. α = β 1.6. Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma

transversal Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados:

ângulos correspondentes: a e α, b e β, c e γ, d e θ; ângulos alternos internos: c e α, d e β; ângulos alternos externos: a e γ, b e θ; ângulos colaterais internos: c e β, d e α; ângulos colaterais externos: a e θ, b e γ;

Propriedades:

Ângulos alternos internos são congruentes. Ângulos alternos externos são congruentes. Ângulos correspondentes são congruentes. Ângulos colaterais internos são suplementares. Ângulos colaterais externos são suplementares.

α β bissetriz

b a

c d

α β

γ θ

r

s

t



13

2. TEOREMA DE TALES Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais.

Posto isso, teremos: EFDE

BCAB

=

Conseqüência:

Considerando que MN é paralelo a BC, então temos: BCMN

ACAN

ABAM

== .

3. POLÍGONOS 3.1. Nomenclatura Seja o polígono da figura:

A

B

C

D

E

F

r1

r2

r3

t1 t2

A

B C

M N

A

B C

M N

B C

A

M N

A

B C

D



14

Em que: A, B, C e D são os vértices do polígono. AB, BC, CD e DA são os lados do polígono. Alguns tipos de polígonos convexos: triângulo – 3 lados quadrilátero – 4 lados pentágono – 5 lados hexágono – 6 lados decágono – 10 lados icoságono – 20 lados 3.2. Número de diagonais de um polígono O número de diagonais d de um polígono de n lados é dado por:

d = 2

)3( −nn

3.3. Soma das Medidas dos ângulos Internos e Externos

Soma dos ângulos internos de um polígono: Si = i1+i2+...+in = (n-2).180º

Soma dos ângulos externos de um polígono: Se = e1+e2+...+en = 360º Observação:

Se o polígono for regular, ele tem todos os lados e os ângulos congruentes, logo:

ângulo interno de um polígono de n lados: nSi

ângulo externo de um polígono de n lados: 2

º360

i1

i2

i3 i4

i5

in

e1

e2

e3

e4

e5

en



15

4. TRIÂNGULOS 4.1. Classificação:

Eqüilátero: tem os três lados iguais e os três ângulos iguais (60º).

Isóceles: tem dois lados iguais e dois ângulos iguais.

Escaleno: os três lados são diferentes e também os três ângulos. 4.2. Relações no triângulo qualquer: 1) Qualquer lado é menor que a soma dos outros dois: a < b + c b < a + c c < a + b 2) A soma dos ângulos internos é 180°: A

) + B

) + C

) = 180º

4.3. Mediana È o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

c

b

a

A C

B

A

B

C M

mediana



16

4.4. Altura É o segmento que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto. 4.5. Bissetriz A bissetriz do ângulo Â divide este ângulo em duas partes iguais e intercepta o lado oposto no ponto D. O segmento AD denomina-se bissetriz interna relativa ao vértice A.

Teorema da bissetriz interna: a bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.

Da figura acima, temos: ACAB

DCBD

=

4.6. Semelhança de Triângulos Dois triângulos ABC e A’B’C’ são dito semelhantes, se:

• os ângulos correspondentes forem congruentes ( 'AA))

= , 'BB))

= e 'CC))

= ).

• os lados correspondentes forem proporcionais (''' cc

bb

aa

== ).

A

B C D

A

B C

b

a

c

A’

B’ C’

b’

a’

c’

A

B

C H

altura

A

B

C H

altura



17

4.7. Relações Métricas no Triângulo Retângulo a – hipotenusa b e c – catetos h – altura relativa a hipotenusa m e n – projeções dos catetos sobre a hipotenusa Relações métricas: 1) bc = ah 2) c2 = a.m 3) b2 = a.n 4) h2 = m.n Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 5. QUADRILÁTEROS Quadrilátero é o polígono de quatro lados. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é: 360º. i1 + i2 + i3 + i4 = 360º 5.1. Classificação

Paralelogramo É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Os ângulos opostos são congruentes. Paralelogramos Notáveis

Retângulo: é o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes e de medida igual a 90º.

b c

a

h

n m

i1

i2

i3

i4



18

Losango: é o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.

Quadrado: é o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos iguais entre si.

Trapézio É o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si. AB é paralela a CD. AB é a base maior. CD é a base menor. DH é a altura. Propriedade:

2CDABMN +

=

6. Ângulos na Circunferência 6.1. Ângulo Central É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que ele enxerga.

A B

C D

H

A B

C D

ponto médio

M N ponto médio

α = AB O α

A

B



19

6.2. Ângulo inscrito A medida de um ângulo inscrito é igual à medida do arco que ele enxerga.

Se AB corresponde à metade da circunferência (180º), então o ângulo α é reto.

O triângulo inscrito é retângulo. 6.3. Ângulo de Vértice Interno A medida de um ângulo de vértice interno à circunferência é igual a semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados. 6.4. Ângulo de Vértice Externo A medida de um ângulo de vértice externo à circunferência é igual a semi-diferença das medidas dos arcos determinados pelos seus lados. 6.5. Ângulo de Segmento É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus lados secante e o outro, tangente à circunferência.

α

A

B

V α = AB 2

O A B

A

B C

D

V α α = AB + CD

2

α = AB - CD 2

A

B C

D

V α



20

A medida de um ângulo de segmento é igual a metade do arco por ele determinado. 7. ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS Retângulo: Quadrado: Paralelogramo: Trapézio: Losango:

A α

V=B α = AB 2

a

b área = a . b

a

a área = a2

a

b h área = base x altura = a x h

c

B

d

b

h área = (B + b).h 2

a

a

a

a

D d área = D . d

2 d = diagonal menor D = diagonal maior



21

Triângulo: Triângulo Eqüilátero:

h = 2

3a e área =

432a

Área do Círculo Setor Circular: Hexágono Regular: no seu interior há seis triângulos equiláteros

área = 4

362a

×

b c

a

h área = base x altura = a x h ou 2 2

a

a a h

O r área = πr2

r α

l

área = απr2_ 360º

Comprimento de uma circunferência: C = 2πr

a

a a

a

a

a a

a

α área = a.b.senα 2



22

8. VOLUME DOS SÓLIDOS Paralelepípedo retângulo b Cubo Cilindro h

Esfera

R = raio da esfera Área total = 4π 2R

Volume = 3

4 3Rπ

Pirâmide (tetraedro regular: as faces são triângulos equiláteros)

Volume = área da base x altura = a . b . c Área total = 2(ab +ac + bc)

Volume = área da base x altura = a2. a = a3

Área total = área da base x altura = 6a2

Área lateral = 2πr . h Área total = área lateral + área das bases = 2πrh + 2πr2 Volume = área da base x altura = πr2 . h

c

a

b

a

a a

r

h

Volume = área da base x altura 3

Volume = 3

432

ha×

h



23

Cone

Partiremos direto para o dever de casa, na próxima aula traremos todas as questões resolvidas.

DEVER DE CASA DE GEOMETRIA BÁSICA 01. (AFTN 1998/ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a

hipotenusa um ângulo de 45º. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a soma das medidas dos catetos é igual a: a) 8 cm2 d) 16 cm2 b) 16 cm e) 8 cm c) 4 cm

02. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y, onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A+X é igual a 45º, segue-se que: a) Y = -2 X d) Y = X b) Y = (31/2)/2 X e) Y = 2 X c) Y = 31/2 X

03. (AFC-STN-2000 ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,

respectivamente, x e (y-2). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a a) 2y (x + 1) d) 2 (x + y) b) y (2 + 2 2 ) e) x2 + y2

c) x (2 + 2 ) 04. (AFTN 1998/ESAF) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base

menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é igual a: a) 10 d) 17 b) 5 e) 12 c) 7

h

r

Volume = área da base x altura = πr2 . h 3 3



24

05. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Em um

triângulo eqüilátero de lado igual a 12 cm, traça-se um segmento XY paralelo ao

lado BC de modo que o triângulo fique decomposto em um trapézio e em um novo triângulo. Sabendo-se que o perímetro do trapézio é igual ao perímetro do novo

triângulo, então o comprimento do segmento de reta XY , em centímetros, vale a) 5 c) 9 e) 12 b) 6 d) 10

06. (TFC 1996 ESAF) Os pontos X, Y e Z estão todos no mesmo plano. A distância, em linha reta, do ponto X ao ponto Y é de 30 cm, e do ponto X ao ponto Z é de 22 cm. Se d é a distância em centímetros, também em linha reta, do ponto Y ao ponto Z, então o conjunto dos possíveis valores para d é dado por: a) 8 ≤ d ≤ 30 d) 22 ≤ d ≤ 52 b) 8 ≤ d ≤ 52 e) 30 ≤ d ≤ 52 c) 22 ≤ d ≤ 30

07. (TCU 2002 ESAF) As medidas dos ângulos do triângulo AYG são tais que Â < Y

< 90° e G > 90°. As bissetrizes externas dos ângulos Â e G cortam os prolongamentos dos lados opostos YG e AY nos pontos P e Q, respectivamente. Sabendo que, AG = GQ = AP, então a soma dos ângulos Y e G é igual a: a) 48° d) 148° b) 64° e) 168° c) 144°

08. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer

ABC mede 76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C deste triângulo vale: a) 50° d) 64° b) 52° e) 128° c) 56°

09. (Assistente de Chancelaria MRE 2002) Num triângulo ABC, o ângulo interno de

vértice A mede 60°. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede: a) 45° c) 90° e) 150° b) 60° d) 120°

10. (Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 2002 ESAF) Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50%, então o acréscimo percentual em seu comprimento será igual a: a) 25% d) 80% b) 50% e) 85% c) 75%

11. (TFC/SFC 2001 ESAF) As rodas de um automóvel têm 40 cm de raio. Sabendo-

se que cada roda deu 20.000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel, em quilômetros(Km), foi de: a) 16 Km d) 1,6 . 103π Km b) 16 π Km e) 1,6 . 103π2 Km c) 16 π2 Km



25

12. (AFC 2002 ESAF) A circunferência é uma figura constituída de infinitos pontos, que tem a seguinte propriedade: a distância de qualquer ponto P(x,y), da circunferência até o seu centro C(a,b) é sempre igual ao seu raio R. A forma geral da circunferência é dada por: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Assim, a equação da circunferência de centro na origem dos eixos e que passa pelo ponto (3,4) é: a) x2 + y2 = 4 d) x2 + y2 = 25 b) x2 + y2 = 9 e) x2 + y2 = 49 c) x2 + y2 = 16

13. (AFC 2005 ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta

transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a: a) 6, 30 e 54 d) 14, 26 e 50 b) 6, 34 e 50 e) 14, 20 e 56 c) 10, 30 e 50

14. (Analista de Recursos Financeiros SERPRO 2001 ESAF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m. A área do segundo triângulo será igual a: a) 6 m2 d) 48 m2 b) 12 m2 e) 60 m2 c) 24 m2

15. (AFC 2005 ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2 cm e

um outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a a) 313− c) 212− e) 1

b) 212 d) 23

16. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Um trapézio ABCD, com altura igual a h, possui bases AB = a e CD = b, com a > b. As diagonais deste trapézio determinam quatro triângulos. A diferença entre as áreas dos triângulos que têm por bases AB e CD respectivamente e por vértices opostos a interseção das diagonais do trapézio é igual a:

a) 2

)( ba + c)

2)( hba −

e) 2

)( hab −

b) 2

)( hba + d)

2)( ba −

17. (AFC-SFC 2001 ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a 2/3 m, então a área, em metros, do hexágono é igual a:

a) 9 34

d) 3 3

b) 3

7 e) 3

3

c) 2 3



26

18. (TCE-RN 2000/ESAF) A reta R1, que possui coeficiente linear igual a 8 e que é perpendicular à reta R2= -1/3 x + 8, forma com os eixos coordenados e com a reta x = 2 uma figura cuja área, em metros quadrados, é igual a: a) 16 d) 48 b) 18 e) 50 c) 22

19. (TTN 1998 ESAF) A área de um círculo localizado no segundo quadrante e cuja

circunferência tangencia os eixos coordenados nos pontos (0,4) e (- 4,0) é dada por a) 16 π b) 4 π c) 8 π d) 2 π e) 32 π

20. (AFC 2002 ESAF) Um dos lados de um retângulo é 7 cm maior do que o outro

lado. Se a diagonal deste retângulo mede 13 cm, então o volume de um prisma regular, de 5 cm de altura, e que tem como base este retângulo, é igual a: a) 50 cm3 c) 150 cm3 e) 300 cm3 b) 65 cm3 d) 200 cm3

21. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente daquele) em que é possível ouvir simultaneamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em linha reta, do ponto onde está João Guilherme. Fernando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer ponto até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra. Portanto, a distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno e João Guilherme é: a) 650 b) 600 c) 500 d) 700 e) 720

22. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo vértice de um polígono regular. Num dado momento, os três começam a caminhar na borda do polígono. Todos os três caminham em velocidades constantes, sendo que a velocidade de Augusto é o dobro da de Vinicius e o quádruplo da de Romeu. Augusto desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo tempo, Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a seguir, exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O número de arestas do polígono é: a) 10 b) 15 c) 12 d) 14 e) 11

23. (SERPRO 1996 ESAF) O ponto de intersecção das retas 2x + y – 1 = 0 e x – y + 16 = 0 têm coordenadas iguais a: a) (-11,-5) d) (11,5) b) (-11,3) e) (-5,11) c) (-5,-1)

24. (AFC-SFC 2001 ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x+β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, a) α > 0 e β > 0 d) α < -1 e β < 0 b) α > 0 e β < 0 e) α > -1 e β > 0 c) α < 0 e β < 0



1

AULA DEZOITO: PORCENTAGEM

Olá, amigos!

Hoje iniciamos um assunto novo: Porcentagem! Um assunto elementar e essencial para o Raciocínio Lógico. Considero este assunto um dos mais fáceis do Curso, mas é bom estudar e fazer exercícios para que não haja falhas no momento da prova.

Antes de mais nada, porém, passemos à correção do dever de casa da aula passada.

DEVER DE CASA DE GEOMETRIA BÁSICA 01. (AFTN 1998/ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma

com a hipotenusa um ângulo de 45º. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a soma das medidas dos catetos é igual a: a) 8 cm2 d) 16 cm2 b) 16 cm e) 8 cm c) 4 cm

Sol.: Vamos desenhar um triângulo retângulo de catetos b e c, e hipotenusa a. Com um ângulo de 45º entre a hipotenusa e um dos catetos, conforme diz o enunciado da questão: A área do triângulo retângulo é de 8 cm2. A área calculada a partir do desenho acima é igual a: área = base x altura área = b x c 2 2 Então, b x c = 8 b x c = 16 2 Acabamos de descobrir uma relação entre os catetos b e c, mas precisamos de outra. Sabemos que a tangente de um ângulo dentro de um triângulo retângulo é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Daí, teremos: tg 45º = cateto oposto = c _ cateto adjacente b A tangente do ângulo de 45º é igual a 1, conforme vimos na aula 16. Daí: c _ = 1 c = b (significa que os catetos são iguais) b

45º

a c

b



2

Tínhamos que b x c = 16, e como b =c, então vem que: b2 = 16 b = 4 Conclusão: os dois catetos têm valores iguais a 4 cm. A soma dos catetos é igual a: 4 cm + 4 cm = 8 cm (Resposta: alternativa E) 02. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Os

catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y, onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A+X é igual a 45º, segue-se que: a) Y = -2 X d) Y = X b) Y = (31/2)/2 X e) Y = 2 X c) Y = 31/2 X

Sol.: De acordo com as informações dadas no enunciado da questão podemos desenhar o seguinte triângulo retângulo: Sabemos que a tangente de um ângulo no triângulo retângulo é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Daí, teremos: tg 45º = cateto oposto = A+X _ cateto adjacente A+Y A tangente do ângulo de 45º é igual a 1. Daí: A+X _ = 1 A+X = A+Y A+Y E: X = Y (Resposta: alternativa D) 03. (AFC-STN-2000 ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,

respectivamente, x e (y-2). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a a) 2y (x + 1) d) 2 (x + y) b) y (2 + 2 2 ) e) x2 + y2

c) x (2 + 2 ) Sol.:

45º

A+X

A+Y



3

Esta questão é muito parecida com as duas anteriores. De acordo com as informações dadas no enunciado da questão podemos desenhar o seguinte triângulo retângulo: Sabemos que a tangente de um ângulo no triângulo retângulo é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Daí, teremos: tg α = cateto oposto = x _ cateto adjacente y-2 A tangente do ângulo α é igual a 1. Daí: x _ = 1 x = y-2 (significa que os catetos são iguais) y-2 A partir deste resultado podemos atualizar o desenho anterior para: A hipotenusa a pode ser encontrada a partir do Teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2 Aplicando este teorema, teremos: a2 = x2 + x2

a2 = 2x2 a = 22x a = x 2 Portanto, temos que os catetos medem x e a hipotenusa x 2 . E já podemos calcular o perímetro do triângulo que é dado pela soma dos lados. perímetro = x + x + x 2 = 2x + x 2 = x(2 + 2 ) (Resposta: alternativa C)

α

x

y-2

α

x

x

a



4

04. (AFTN 1998/ESAF) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é igual a: a) 10 d) 17 b) 5 e) 12 c) 7

Sol.: A questão não especifica como é exatamente o formato do trapézio, então desenharemos como mostrado abaixo, incluindo os valores fornecidos. Prolongando-se os lados não-paralelos do trapézio, obteremos: A questão solicita a altura h do triângulo de base 8 que pode ser visto no desenho acima. Encontraremos essa altura através da semelhança dos dois triângulos mostrados abaixo. Da semelhança, temos que os lados correspondentes dos dois triângulos são proporcionais:

208

15=

+hh

Daí: )15(820 += hh 120820 += hh h = 10 (Resposta: alternativa A)

20

8

15

20

8

15

h

8

h

20

h+15



5

05. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Em

um triângulo eqüilátero de lado igual a 12 cm, traça-se um segmento XY

paralelo ao lado BC de modo que o triângulo fique decomposto em um trapézio e em um novo triângulo. Sabendo-se que o perímetro do trapézio é igual ao perímetro do novo triângulo, então o comprimento do segmento

de reta XY , em centímetros, vale a) 5 c) 9 e) 12 b) 6 d) 10 Sol.:

O triângulo equilátero de lado igual a 12 cm é desenhado a seguir:

Passaremos um segmento paralelo a base de modo que o triângulo fique decomposto em um trapézio e em um novo triângulo. E designaremos letras para representar os tamanhos dos segmentos. Teremos:

O perímetro do triângulo de base x é igual a: perímetro = a + a + x = 2a + x

O perímetro do trapézio de base 12 é igual a: perímetro = x + (12-a) + 12 + (12-a) = 36 + x – 2a

A questão afirma que os perímetros calculados acima são iguais, daí:

2a + x = 36 + x – 2a

4a = 36

a = 9

Temos que encontrar x que é a resposta da questão. Substituindo o valor do a no desenho acima, teremos:

12

12 12

12

x

a a

12-a 12-a



6

Da semelhança dos triângulos de base x e de base 12, temos que os lados correspondentes são proporcionais:

129

12=

x

Daí: x = 9 Este resultado também poderia ter sido obtido a partir da observação do desenho acima. Observe que o triângulo de base x também é eqüilátero. pois os três ângulos são iguais a 60º. E, portanto, o valor de x deve ser igual ao lado, ou seja, x=9. (Resposta: alternativa C)

06. (TFC 1996 ESAF) Os pontos X, Y e Z estão todos no mesmo plano. A

distância, em linha reta, do ponto X ao ponto Y é de 30 cm, e do ponto X ao ponto Z é de 22 cm. Se d é a distância em centímetros, também em linha reta, do ponto Y ao ponto Z, então o conjunto dos possíveis valores para d é dado por: a) 8 ≤ d ≤ 30 d) 22 ≤ d ≤ 52 b) 8 ≤ d ≤ 52 e) 30 ≤ d ≤ 52 c) 22 ≤ d ≤ 30

Sol.: Desenharemos primeiramente os pontos X e Y de acordo com os dados fornecidos: O ponto Z está a uma distância de 22 cm de X, portanto Z pode estar em qualquer ponto da circunferência de raio 22 e de centro no ponto X, como mostrado abaixo: A maior distância que Z pode ficar de Y é mostrada abaixo:

12

x

9 9

3 3

12

X Y

30cm

X Y

30cm

22cm

Z

X Y

30cm

Z

22cm



7

Então a maior distância é igual a: 22 + 30 = 52 A menor distância que Z pode ficar de Y é mostrada abaixo: Então a menor distância é igual a: 30 – 22 = 8 Portanto, os valores de d estão entre 8 e 52, ou seja, 8 ≤ d ≤ 52. Resposta: alternativa B. 07. (TCU 2002 ESAF) As medidas dos ângulos do triângulo AYG são tais que

Â<Y<90° e G>90°. As bissetrizes externas dos ângulos A)

e G)

cortam os prolongamentos dos lados opostos YG e AY nos pontos P e Q, respectivamente. Sabendo que, AG = GQ = AP, então a soma dos ângulos Y)

e G)

é igual a: a) 48° d) 148° b) 64° e) 168° c) 144°

Sol.: O ângulo interno G

) do triângulo é obtuso. Dizemos, então, que o triângulo é

obtusângulo. Quando todos os ângulos internos do triângulo são agudos, então o triângulo é chamado de acutângulo. Observe na figura a seguir o triângulo AYG. Vamos construir as bissetrizes externas dos ângulos A

) e G

).

Faremos os prolongamentos dos lados YG e AY que interceptaram as bissetrizes externas desenhadas acima nos pontos P e Q, respectivamente.

X Y

30cm

Z

22cm

G)

>90º e A)

<G)

AG

Y

g a

y

AG

Y

g a

y



8

Na figura acima observa-se que: AP=AG=QG. Desse modo aparecem alguns triângulos isósceles com dois lados e dois ângulos iguais. Repare no triângulo GAP, observe que os lados AG e AP são iguais o que o torna um triângulo isósceles com também dois ângulos iguais, a saber:

(ângulo do vértice G) = (ângulo do vértice P) = 180º–g Repare agora no triângulo AGQ, observe que os lados GA e GQ são iguais o que o torna um triângulo isósceles com também dois ângulos iguais, a saber:

(ângulo do vértice A) = (ângulo do vértice Q) = a Lembre-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. A partir disso, retiraremos relações entre os ângulos.

Triângulo GAP (180-g) + (180-g) + (180-a) = 180º 2 (180-g) + (180-g) + (90-a/2) = 180º -2g – a/2 = -270º 2g + a/2 = 270º (I)

Triângulo AGQ (a) + (a) + ( g + (180º-g) ) = 180º 2 (a) + (a) + ( g + (90º-g/2) ) = 180º 2a + g/2 + 90º = 180º 2a + g/2 = 90º (II) Das equações (I) e (II), encontraremos os valores de a e g. 2g + a/2 = 270º 2a + g/2 = 90º

A G

Y

P

Q

g

y

a 180º–g

180º–g 2

180º–g

a

180º–a

180º–a 2



9

Vamos multiplicar por -4 a segunda equação: 2g + a/2 = 270º -8a - 2g = -360º Somando as equações membro a membro, teremos: -8a + a/2 = -90º Daí: -15a/2 = -90º a = 12º

Do triângulo inicial AYG, temos: a + g + y = 180º g + y = 180º – a g + y = 180º – 12º g + y = 168º (Resposta: alternativa E) 08. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) O ângulo A de um triângulo

qualquer ABC mede 76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C deste triângulo vale: a) 50° d) 64° b) 52° e) 128° c) 56°

Sol.: O enunciado apenas diz que o ângulo A do triângulo ABC mede 76º, então podemos simplificar a solução da questão construindo um triângulo isósceles. Construiremos agora as bissetrizes externas dos ângulos B e C, e calcularemos os ângulos envolvidos na figura.

A

76º

52º52º B C

76º

52º52º

A

B C

128º128º

64º64º

64º64º

64º 64º

α

P



10

A soma dos ângulos do triângulo BCP tem que ser igual a 180º, daí achamos o ângulo α formado pelas duas bissetrizes externas.

α + 64º + 64º = 180º

Daí: α = 180º - 128º α = 52º (Resposta: alternativa B) 09. (Assistente de Chancelaria MRE 2002) Num triângulo ABC, o ângulo

interno de vértice A mede 60°. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede: a) 45° c) 90° e) 150° b) 60° d) 120°

Sol.: Novamente, o enunciado apenas diz que o ângulo A do triângulo ABC mede 60º, então podemos simplificar a solução da questão construindo um triângulo equilátero. Construiremos agora as bissetrizes internas dos ângulos B e C, e calcularemos os ângulos envolvidos na figura.

Temos dois ângulos entre as bissetrizes internas: o ângulo α e ângulo β. A questão solicita o maior dentre esses ângulos. A soma dos ângulos do triângulo BPC deve ser igual a 180º, daí achamos o valor de α:

α + 30º + 30º = 180º Daí: α = 120º (Resposta: alternativa D)

60º

30º

A

B C30º30º

30º

α

βP

60º

60º60º B C

A



11

10. (Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 2002 ESAF) Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50%, então o acréscimo percentual em seu comprimento será igual a: a) 25% d) 80% b) 50% e) 85% c) 75%

Sol.: O comprimento de uma circunferência é dado por:

C = 2πr Portanto, o comprimento da circunferência antes do aumento do raio é igual a:

C1 = 2πr1

Se o raio aumentar em 50%, o tamanho do raio passará a ser:

r2 = r1 + 50%r1 = r1 + 0,5r1 r2 = 1,5r1

O comprimento da circunferência após o aumento do raio será igual a:

C2 = 2πr2 = 2π(1,5r1) C2 = 3πr1

O acréscimo percentual no comprimento da circunferência pode ser obtido pela razão: C2 – C1 C1

Daí: 3πr1 – 2πr1 = πr1 = 1_ = 50% 2πr1 2πr1 2 Poderíamos ter evitado essas contas, pois sabemos que o comprimento de uma circunferência é proporcional ao tamanho do seu raio ( C=2πr ), daí se o raio aumentar em 50%, então o comprimento da circunferência também aumentará em 50%. (Resposta: alternativa B) 11. (TFC/SFC 2001 ESAF) As rodas de um automóvel têm 40 cm de raio.

Sabendo-se que cada roda deu 20.000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel, em quilômetros (Km), foi de: a) 16 Km d) 1,6 . 103π Km b) 16 π Km e) 1,6 . 103π2 Km c) 16 π2 Km

Sol.: O comprimento de uma circunferência é dada por 2πr. Portanto, o comprimento da circunferência da roda é igual a:

C = 2π.(40cm) = 80π cm

Cada volta que a roda executa, o carro anda uma distância correspondente ao comprimento da circunferência da roda, ou seja, 80π cm. Como a roda deu 20.000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel é igual a:

20.000 x 80π cm = 1.600.000π cm = 16π km (Resposta: alternativa B)



12

12. (AFC 2002 ESAF) A circunferência é uma figura constituída de infinitos pontos, que tem a seguinte propriedade: a distância de qualquer ponto P(x,y), da circunferência até o seu centro C(a,b) é sempre igual ao seu raio R. A forma geral da circunferência é dada por: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Assim, a equação da circunferência de centro na origem dos eixos e que passa pelo ponto (3,4) é: a) x2 + y2 = 4 d) x2 + y2 = 25 b) x2 + y2 = 9 e) x2 + y2 = 49 c) x2 + y2 = 16

Sol.: A equação da circunferência é dada por: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Onde o par coordenado (a, b) é o centro da circunferência. O enunciado afirma que a circunferência tem centro na origem, ou seja, (0, 0). Isso significa que a=0 e b=0. Substituindo os valores de a e b na equação da circunferência, teremos:

(x - 0)2 + (y - 0)2 = R2 x2 + y2 = R2 Como a circunferência passa pelo ponto (3,4), então podemos fazer x=3 e y=4 na equação da circunferência para encontrarmos o valor do R.

x2 + y2 = R2 32 + 42 = R2 R2 = 25 R = 5 Portanto, a equação da circunferência com centro na origem e que passa pelo ponto (3,4) é igual a:

x2 + y2 = 25 (Resposta: alternativa D) 13. (AFC 2005 ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta

transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a: a) 6, 30 e 54 d) 14, 26 e 50 b) 6, 34 e 50 e) 14, 20 e 56 c) 10, 30 e 50

Sol.: O segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm, daí:

x + y + z = 90

A B

2

10

18

x

y

z



13

Segundo o Teorema de Tales, um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais. Portanto, teremos:

18102zyx

==

De acordo com as propriedades da proporção, podemos fazer a igualdade:

1810218102 ++++

===zyxzyx

Sabemos que x + y + z = 90, daí:

33090

18102====

zyx

Cálculo de x:

32=

x x=6

Cálculo de y:

310

=y

y=30

Cálculo de z:

318

=z

z=54

(Resposta: alternativa A) 14. (Analista de Recursos Financeiros SERPRO 2001 ESAF) Um triângulo tem

lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m. A área do segundo triângulo será igual a: a) 6 m2 d) 48 m2 b) 12 m2 e) 60 m2 c) 24 m2

Sol.: Se os dois triângulos são semelhantes, então os lados correspondes são proporcionais. Designaremos como a, b e c os lados do segundo triângulo.

1086cba

==

O perímetro do segundo triângulo é 12. Daí: a + b + c = 12. De acordo com as propriedades da proporção, podemos fazer a igualdade:

10861086 ++++

===cbacba

Sabemos que a + b + c = 12, daí:

5,02412

1086====

cba



14

Cálculo de a:

5,06=

a a=3

Cálculo de b:

5,08=

b b=4

Cálculo de c:

5,010

=c

c=5

Já temos os valores dos lados do triângulo. A área desse triângulo pode ser encontrada através da seguinte fórmula:

))()(( cpbpappárea −−−= ,

onde p é o semi-perímetro e a, b, e c os lados do triângulo. O semi-perímetro do triângulo de lados 3, 4, e 5 é igual a 12/2 = 6. Substituindo os valores, teremos:

)56)(46)(36(6 −−−=área 1236 ⋅⋅⋅=área 6=área

Já achamos a resposta da questão, porém queremos apresentar outra solução para o cálculo da área. O triângulo que tem lados iguais a 3, 4 e 5 é um triângulo retângulo. Veja como os lados seguem o teorema de Pitágoras: 52 = 32 + 42. Então fiquem alertas, se aparecer um triângulo com esses lados ou múltiplos desses lados (6, 8 e 10 ou 9, 12 e 15 ou ...), então trata-se de um triângulo retângulo. A área de um triângulo retângulo é facilmente obtida, pois um dos catetos é a altura e o outro cateto é a base. área = (base x altura)/2 = (3 x 4)/2 = 6 (Resposta: alternativa A) 15. (AFC 2005 ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2

cm e um outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a a) 313− c) 212− e) 1

b) 212 d) 23 Sol.: Para o cálculo da área basta a simples aplicação da fórmula:

área = (a x b x senα)/2 Onde: a e b são lados do triângulo, e α é o ângulo entre esses lados.

3

4 5



15

Aplicando a fórmula, teremos: área = ( 2 x 2 x sen45º)/2

O seno de 45º é 2 /2. Temos que memorizar os senos e cossenos dos ângulos notáveis apresentados na aula de trigonometria. Daí: área = ( 2 x 2 x 2 /2)/2 = 2/2 = 1 (Resposta: alternativa E) 16. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Um trapézio ABCD, com altura

igual a h, possui bases AB = a e CD = b, com a > b. As diagonais deste trapézio determinam quatro triângulos. A diferença entre as áreas dos triângulos que têm por bases AB e CD respectivamente e por vértices opostos a interseção das diagonais do trapézio é igual a:

a) 2

)( ba + c)

2)( hba −

e) 2

)( hab −

b) 2

)( hba + d)

2)( ba −

Sol.: Desenhamos abaixo o trapézio conforme o enunciado. A área do triângulo que tem por base AB é igual a:

área = (base x altura)/2 = (a x h1)/2 A área do triângulo que tem por base CD é igual a:

área = (base x altura)/2 = (b x h2)/2

A relação entre h1 e h2 pode ser obtida pela semelhança entre os dois triângulos:

ba

hh

=2

1 ou bh

ah 21 =

De acordo com as propriedades da proporção, podemos fazer a igualdade:

bahh

bh

ah

++

== 2121

Sabemos que h1 + h2 = h, daí:

bah

bahh

bh

ah

+=

++

== 2121

C D

A B

b

a

h

h1

h2



16

h1 em função de h, a e b:

bah

ah

+=1

baahh+

=1

h2 em função de h, a e b:

bah

bh

+=2

babhh+

=2

Substituiremos estes resultados de h1 e h2 nas áreas dos triângulos. A área do triângulo que tem por base AB é igual a:

área = 2

1ha× =

2

+×

baaha

= )(2

2

baha+

A área do triângulo que tem por base CD é igual a:

área = 2

2hb× =

2

+×

babhb

= )(2

2

bahb+

A diferença entre as áreas dos dois triângulo é igual a:

)(2

2

baha+

– )(2

2

bahb+

= )(2

22

bahbha

+−

= )(2

)( 22

babah

+−

= )(2

))((bababah

++−

= 2

)( bah −

(Resposta: alternativa C) 17. (AFC-SFC 2001 ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu

centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a 2/3 m, então a área, em metros, do hexágono é igual a:

a) 9 34

d) 3 3

b) 3

7 e) 3

3

c) 2 3 Sol: Desenhamos abaixo o hexágono regular e os seus seis triângulos eqüiláteros.



17

A área do triângulo eqüilátero é dada por: 4

32a , onde a é o lado do triângulo.

Substituindo o valor de a pelo valor do lado informado no enunciado, teremos que a área é igual a:

área do triângulo = 4

3)2/3( 2

= 4

32/3 =

833

A área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, daí:

área do hexágono = 8

336× = 4

39 (Resposta: alternativa A)

18. (TCE-RN 2000/ESAF) A reta R1, que possui coeficiente linear igual a 8 e

que é perpendicular à reta R2= -1/3 x + 8, forma com os eixos coordenados e com a reta x = 2 uma figura cuja área, em metros quadrados, é igual a: a) 16 d) 48 b) 18 e) 50 c) 22

Sol.: A equação de uma reta é dada por:

y = ax +b ,

onde: a é o coeficiente angular, e b é o coeficiente linear. O produto dos coeficientes angulares de duas retas que são perpendiculares entre si é igual a -1. Como o coeficiente angular da reta R2 é igual a -1/3, então o coeficiente angular da reta R1 será igual a:

a1 x a2 = -1 a1 x (-1/3) = -1 a1 = 3 Como já temos o coeficiente angular e também o linear da reta R1, então já podemos escrever a equação da reta R1.

y = ax +b y = 3x + 8 A reta R1 corta o eixo do y no ponto em que o x=0, daí:

x=0 ⇒ y = 3 x 0 + 8 y = 8

x

x

y

R1x=2

2

8

14



18

A reta R1 corta a reta x=2 no ponto em que x=2, daí:

x=2 ⇒ y = 3 x 2 + 8 y = 14 A figura compreendida entre a reta R1, os eixos coordenados e a reta x = 2 é a de um trapézio. Área do trapézio = (base maior + base menor) x h 2 Substituindo os valores de acordo com o desenho mostrado acima, teremos: Área do trapézio = (14 + 8) x 2 = 22 (Resposta: alternativa A) 2 19. (TTN 1998 ESAF) A área de um círculo localizado no segundo quadrante e

cuja circunferência tangencia os eixos coordenados nos pontos (0,4) e (-4,0) é dada por a) 16 π b) 4 π c) 8 π d) 2 π e) 32 π

Sol.: Desenhamos o círculo abaixo conforme os dados fornecidos no enunciado. Repare que o raio do círculo é igual a 4. Portanto, a área do círculo será igual a:

πr2 = π(4)2 = 16π (Resposta: alternativa A) 20. (AFC 2002 ESAF) Um dos lados de um retângulo é 7 cm maior do que o

outro lado. Se a diagonal deste retângulo mede 13 cm, então o volume de um prisma regular, de 5 cm de altura, e que tem como base este retângulo, é igual a: a) 50 cm3 c) 150 cm3 e) 300 cm3 b) 65 cm3 d) 200 cm3 Sol.: Desenho do retângulo:

x

(0,4)

(-4,0)

y

a

a+7

13

a+7

a



19

Com base nos valores fornecidos no enunciado temos condições de determinar os lados do retângulo. Aplicaremos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela diagonal e os lados do retângulo:

132 = a2 + (a+7)2 169 = a2 + (a2 + 14a + 49) 169 = 2a2 + 14a + 49 2a2 + 14a – 120 = 0 a2 + 7a – 60 = 0 As raízes dessa equação do 2º grau são: a’ = -12 e a’’= 5. O valor negativo

deve ser descartado e, portanto, a=5. Os lados do retângulo serão: 5 e 12. O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula:

V = área da base do prisma x altura

A área da base do prisma é a área do retângulo de lados 5 e 12. A área desse retângulo é igual a: 5 x 12 = 60.

Substituindo os valores, teremos:

V = 60 x 5 = 300 (Resposta: alternativa A)

21. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente daquele) em que é possível ouvir simultaneamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em linha reta, do ponto onde está João Guilherme. Fernando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer ponto até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra. Portanto, a distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno e João Guilherme é: a) 650 b) 600 c) 500 d) 700 e) 720

Sol.: Quando um deles grita é possível ouvir em qualquer ponto até uma certa distância máxima de onde ele se encontra. A única distância de alcance do grito informada no enunciado foi a de Fernando que é de 250 metros. Então, a distância máxima que se consegue ouvir Fernando é uma circunferência de raio igual a 250m.

Fernando

250m



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A distância máxima que se consegue ouvir os outros dois também são circunferências, mas os raios não foram informados no enunciado. Como só existe um ponto em que se pode ouvir Fernando e João Guilherme, então as circunferências dos gritos dos dois se tocarão em um único ponto. Também só existe um ponto em que se pode ouvir Fernando e Bruno, e ainda um único ponto que se pode ouvir João Guilherme e Bruno. Então, as circunferências dos gritos dos três ficarão de acordo com o desenho abaixo. Chamamos de rB o raio do grito de Bruno, e chamamos de rJG o raio do grito de João Guilherme. A distância entre Fernando e João Guilherme foi fornecida na questão e é igual a 350 metros. Pelo desenho acima a distância entre eles é de (250+rJG). Daí, podemos obter o valor de rJG.

(250+rJG) = 350 rJG = 350 - 250 rJG = 100 A distância entre Fernando e Bruno foi fornecida na questão e é igual a 650 metros. Pelo desenho acima a distância entre eles é de (250+rB). Daí, podemos obter o valor de rB.

(250+rB) = 650 rB = 650 - 250 rB = 400

A questão solicita a distância entre Bruno e João Guilherme. Pelo desenho acima a distância entre eles é de (rJG+rB). Daí, a distância entre eles é de:

(rJG+rB) = (100+400) = 500 (Resposta: alternativa C)

Fernando

250m

João Guilherme

Fernando

250m

João Guilherme

rJG

rB rB

rJG 250m

Bruno



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22. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo vértice de um polígono regular. Num dado momento, os três começam a caminhar na borda do polígono. Todos os três caminham em velocidades constantes, sendo que a velocidade de Augusto é o dobro da de Vinicius e o quádruplo da de Romeu. Augusto desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo tempo, Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a seguir, exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O número de arestas do polígono é: a) 10 b) 15 c) 12 d) 14 e) 11 Atenção: Esta questão envolve velocidade, e como no nosso planejamento inicial

separamos uma aula só para questões envolvendo movimento, então decidimos fazer a solução dessa questão dentro dessa aula.

Não fiquem ansiosos, a aula de Movimento já está chegando!

23. (SERPRO 1996 ESAF) O ponto de intersecção das retas 2x + y – 1 = 0 e x – y + 16 = 0 têm coordenadas iguais a: a) (-11,-5) d) (11,5) b) (-11,3) e) (-5,11) c) (-5,-1)

Sol.: A primeira reta é dada pela equação: 2x + y – 1 = 0 y = -2x + 1 A segunda reta é dada pela equação: x – y + 16 = 0 y = x + 16 A abscissa do ponto de intersecção pode ser encontrado igualando-se o y das duas equações.

-2x + 1 = x + 16 3x = -15 x = -5 A ordenada do ponto de intersecção pode ser obtido substituindo-se o valor de x=-5 em qualquer uma das duas equações de reta.

y = x + 16 y = -5 + 16 y = 11 Portanto, o ponto de intersecção tem coordenadas (-5,11).

(Resposta: alternativa E) 24. (AFC-SFC 2001 ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1=αx e

r2=-2x+β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, a) α > 0 e β > 0 d) α < -1 e β < 0 b) α > 0 e β < 0 e) α > -1 e β > 0 c) α < 0 e β < 0

Sol.: A primeira reta é dada pela equação: y=αx A segunda reta é dada pela equação: y=-2x+β



22

A abscissa do ponto de intersecção pode ser encontrado igualando-se o y das duas equações.

αx = -2x+β αx + 2x = β x = β/(α + 2) A ordenada do ponto de intersecção pode ser obtido substituindo-se o valor de x = β/(α + 2) em qualquer uma das duas equações de reta.

y=αx y = α( β/(α + 2) ) y = αβ/(α + 2) O enunciado afirma que a abscissa e ordenada do ponto de intersecção são menores que zero. Daí: x = β/(α + 2) < 0 e y = αβ/(α + 2) < 0 Testaremos as alternativas para descobrir a opção correta. 1º) Teste da alternativa: a) α > 0 e β > 0 Com α > 0 e β > 0 o valor de x será positivo, daí já podemos descartar a alternativa A. 2º) Teste da alternativa: b) α > 0 e β < 0 Com α > 0 e β < 0 o valor de x será negativo. Está de acordo! Com α > 0 e β < 0 o valor de y também será negativo. Também está de acordo!

(Resposta: alternativa B)

Falaremos, agora, sobre o assunto de Porcentagem!



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PORCENTAGEM # RAZÃO CENTESIMAL – é a razão cujo denominador é igual a 100.

Exemplos: 100

5 ,

10050

, 100135

, 100

5,33.

Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais:

%5100

5= (cinco por cento)

%5010050

= (cinquenta por cento)

%170100170

= (cento e setenta por cento)

%5,33100

5,33= (trinta e três e meio por cento)

Tais razões estão expressas em taxas percentuais. Toda percentagem está associada a um número decimal. Exemplos: 48% = 0,48 ; 0,7% = 0,007 ; 7% = 0,07 ; 70% = 0,7 ; 700% = 7 Observação: A porcentagem, quando escrita na forma de 15% , por exemplo, é chamada de forma percentual, enquanto que seu equivalente 0,15 é dito forma unitária ou decimal. # Transformar razões comuns em taxas percentuais. Multiplicando-se a razão por 100%, obtém-se a taxa percentual. Exemplos:

a) 43

= %75%253%10043

=×=×

b) 57

= %140%207%10057

=×=×

c) 32

= %67,66%3

200%10032

==×

# Porcentagem sobre Valores Calcular uma percentagem de uma quantidade qualquer, significa multiplicá-la, pelo número decimal associado àquela percentagem.

15% de 200 = 0,15 x 200 = 30 ou 3021520010015

=×=×

74% de 3.000 = 0,74 x 3.000 = 2220 ou 22203074300010074

=×=×



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Exemplo: Numa escola de 1200 alunos, 60% são meninos. Quantas são as meninas? Temos que 40% do total de alunos são meninas. Daí, o número de meninas é 40% de 1200 = 0,4 x 1200 = 4 x 120 = 480 # Acréscimos e decréscimos percentuais Se um número N sofre aumento percentual i, seu novo valor passa a ser: ( ) Ni ⋅+1 . Da mesma forma, se o número N sofre um decréscimo percentual i, passa a valer ( ) Ni ⋅−1 . Exemplo: Um produto que custava R$ 40,00 e sofreu um aumento de 15%, passou a custar: (1 + 0,15) x 40,00 = 1,15 x 40,00 = 46,00. Exemplo: Se você reduzir o número 120 em 30%, ele passará a valer: (1 - 0,30) x 120,00 = 0,70 x 120 = 84. Exemplos: Se queremos aumentar o preço de um objeto de: a) 35% - Basta multiplicar por (1 + 0,35) = 1,35. b) 81% - Multiplicamos por 1,81. c) 5% - Multiplicamos por 1,05. d) 300% - Multiplicamos por (1 + 3) = 4. Exemplo: O preço de uma bicicleta é de R$ 400,00. Qual o novo preço após um aumento de 30%? Basta multiplicar 1,30 x 400 = 520. O novo preço é R$ 520,00. Exemplo: O preço de uma bicicleta é de R$ 400,00. Qual o novo preço após aumentos sucessivos de 30%, 10% e 20%? O novo preço da mercadoria será dado por: 400 x (1+0,30) x (1+0,10) x (1+0,20) = 400 x (1,3) x (1,1) x (1,20) = 400 x 1,716 = 686,40 O novo preço é R$ 686,40. Exemplo: Certa mercadoria, que custava R$ 24,00, passou a custar R$ 30,00. Calcule a taxa percentual de aumento. Devemos inicialmente fazer: 30 – 24 = 6 (valor do aumento) A seguir, basta dividirmos 6 por 24, obtendo:

%2525,0246

== (taxa percentual do aumento)

Exemplo: Um certo produto foi vendido por R$ 230,00 com um lucro de 15% sobre o preço de compra. Pede-se: 1) Preço de compra 2) O lucro obtido



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Sol.: O lucro, em dinheiro, é a diferença entre o preço de venda (PV) e o preço de compra (PC), ou seja:

lucro = PV – PC O lucro sobre o preço de compra é a razão entre o lucro e o preço de compra, ou seja:

lucro sobre o preço de compra = lucro = PV – PC PC PC

O enunciado diz que o preço de venda é de R$ 230,00 e o lucro sobre o preço de compra é de 15%. Substituiremos esses dados na fórmula acima.

15% = 230 – PC PC

Daí: 0,15PC = 230 - PC 1,15PC = 230 PC = 200 E o lucro é de: 230 – 200 = 30,00 reais. Resposta: Preço de compra R$ 200,00 e Lucro R$ 30,00

DEVER DE CASA 01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Se Y é diferente de zero, e se X/Y = 4 ,

então a razão de 2X–Y para X, em termos percentuais, é igual a a) 75%. d) 175%. b) 25%. e) 200%. c) 57%.

02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma campanha,

entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser igual a a) R$ 25,00. d) R$ 50,00. b) R$ 30,00. e) R$ 60,00. c) R$ 40,00.

03. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas

cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 d) 40 b) 10 e) 70 c) 20



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04. (Fiscal Recife 2003 ESAF) Uma escola, que oferece apenas um curso diurno de

Português e um curso noturno de Matemática, possui quatrocentos alunos. Dos quatrocentos alunos, 60% estão matriculados no curso de Português. Dos que estão matriculados no curso de Português, 50% estão matriculados também no curso de Matemática. Dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas. Portanto, o número de estudantes matriculados no curso de Matemática e que são paulistas é: a) 42 b) 24 c) 18 d) 84 e) 36

05. (AFC 2002 ESAF) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80% são

amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi:

a) 20 % b) 25 % c) 37,5 % d) 62,5 % e) 75 % 06. (AFC 2002 ESAF) A remuneração mensal dos funcionários de uma empresa é

constituída de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00 mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto (isto é, sobre o total da parte fixa mais a comissão). Em dois meses consecutivos, um dos funcionários dessa empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00. Com esses dados, pode-se afirmar que as vendas realizadas por esse funcionário no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:

a) 8% d) 15% b) 10% e) 20% c) 14% 07. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares com

diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou: a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior



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08. (Anal. Orçamento MARE 99 FCC) Numa loja de roupas, um terno tinha um preço tão alto que ninguém se interessava em comprá-lo. O gerente da loja anunciou um desconto de 10% no preço, mas sem resultado. Por isso, ofereceu novo desconto de 10%, o que baixou o preço para R$ 648,00. O preço inicial desse terno era superior ao preço final em (A) R$ 162,00 (B) R$ 152,00 (C) R$ 132,45 (D) R$ 71,28 (E) R$ 64,00

09. (Anal. Orçamento MARE 99 FCC) Alberto recebeu R$ 3 600,00, mas desse

dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos e este deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devem receber, respectivamente, (A) 1 800 e 720 reais. (B) 1 800 e 360 reais. (C) 1 600 e 400 reais. (D) 1 440 e 720 reais. (E) 1 440 e 288 reais.

10. (Ministério Público de Santa Catarina 2004 ACAFE) Um aluno de química, ao

realizar uma experiência, formou uma massa de 10kg composta somente por água e por um produto X. 90% dessa massa era constituída de água. Após um processo de aquecimento da massa, o aluno verificou que apenas a água foi eliminada e que a participação desta na massa foi reduzida a 80%. O peso final total da massa, após o processo de aquecimento foi igual a: a) 5kg d) 4kg b) 2kg e) 8kg c) 3kg

GABARITO: 01.D 02.B 03.E 04.A 05.D 06.E 07.D 08.B 09.C 10.A



1

AULA DEZENOVE: QUESTÕES ENVOLVENDO MOVIMENTO

Olá, amigos!

As questões que serão apresentadas nesta aula trarão assuntos que estão relacionados a uma parte da Física. São questões que envolvem velocidade, tempo e espaço. Os que não gostam de Física fiquem tranqüilos, porque não é necessário se aprofundar neste tema.

Resolveremos alguns exercícios de maneira detalhada para que não haja dúvidas. Antes de mais nada, porém, passemos à correção do dever de casa da aula passada.

DEVER DE CASA DE PORCENTAGEM 01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Se Y é diferente de zero, e se

X/Y = 4 , então a razão de 2X–Y para X, em termos percentuais, é igual a a) 75%. d) 175%. b) 25%. e) 200%. c) 57%.

Sol.: A questão quer que calculemos a razão (2X–Y)/X , utilizando a seguinte informação: X/Y=4. Isolando o valor de Y, teremos: Y=X/4. Substituindo o valor de Y na razão solicitada pelo enunciado, teremos: 2X – Y = 2X – X/4 = (8X–X)/4 = 7X/4 = 7/4 X X X X Passaremos para percentagem multiplicando por 100: 7/4 . 100% = 175% (Resposta: Alternativa D) 02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma

campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser igual a a) R$ 25,00. d) R$ 50,00. b) R$ 30,00. e) R$ 60,00. c) R$ 40,00.

Sol.: Para a solução da questão, consideraremos que o clube tenha 100 sócios.

Cálculo da quantia que se conseguiu apurar com os sócios contatados: O número de sócios contatados é de 60 (=60%x100), e a contribuição média de cada um é de R$ 60,00. A quantia apurada entre os sócios contatados é igual ao produto do número de sócios contatados pela contribuição média de cada um. Daí:

quantia apurada = 60 x 60,00 = 3600,00



2

Cálculo da quantia total necessária para a pintura:

A questão informa que o valor apurado corresponde a 75% da quantia total.

Daí: 75% x quantia total = 3600,00 Resolvendo: 3/4 x quantia total = 3600,00 quantia total = 3600 x 4/3 quantia total = 4800,00

Cálculo da contribuição média por associado, entre os restantes associados ainda não contatados.

O número de sócios que não foram contatados é de 40 (=100-60). Se já foi apurado 75% da quantia total, então falta 25%. Esses 25% serão pagos pelos sócios ainda não contatados, que, portanto, terão que arcar com a quantia de 1.200,00 (= 25%x4.800,00)

Dividindo esse valor pelo número de sócios não contatados, teremos a contribuição média que cada um. Daí:

contribuição média = 1200 / 40 = 30,00 (Resposta!) 03. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende

apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 d) 40 b) 10 e) 70 c) 20

Sol.: Usaremos a informação trazida no final do enunciado de que na clínica estão

hospedados 10 gatos, e consideraremos que o total de cães é N. O total de animais hospedados na clínica é igual à soma de cães e gatos, ou

seja, é igual a (10+N). Vamos utilizar esses valores nos restantes dos dados trazidos no enunciado: i) Dos N cães hospedados: - 0,9N agem como cães - 0,1N agem como gatos ii) Dos 10 gatos hospedados: - 9 (=90%x10) agem como gatos - 1 (=10%x10) age como cão



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iii) 20% de todos os animais hospedados agem como gatos e os 80% restantes agem como cães.

Daí: agem como gatos = 20%xtotal = 20%x(10+N) agem como cães = 80%xtotal = 80%x(10+N) Havíamos escrito que o número de cães que agem como gatos é de 0,1N, e que

o número de gatos que agem como gatos são 9. Portanto, o total de animais que agem como gatos é de (0,1N+9). Daí, podemos fazer a seguinte igualdade:

20%x(10+N) = (0,1N+9)

Resolvendo: 0,2x(10+N) = (0,1N+9) 2+0,2N = 0,1N+9 N = 7 / 0,1 N = 70 (Resposta!)

04. (Fiscal Recife 2003 ESAF) Uma escola, que oferece apenas um curso diurno de Português e um curso noturno de Matemática, possui quatrocentos alunos. Dos quatrocentos alunos, 60% estão matriculados no curso de Português. Dos que estão matriculados no curso de Português, 50% estão matriculados também no curso de Matemática. Dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas. Portanto, o número de estudantes matriculados no curso de Matemática e que são paulistas é: a) 42 b) 24 c) 18 d) 84 e) 36

Sol.: Dados fornecidos no enunciado:

A escola possui quatrocentos alunos. A escola só oferece um curso diurno de Português e um noturno de Matemática. 60% estão matriculados no curso de Português Dos matriculados em Português, 50% também fazem Matemática. Dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas.

O número de alunos matriculados em Português é igual a 240 (=60%x400). Desses 240, a metade (120) também faz Matemática, e é claro, a outra metade (120) só faz Português. A soma das quantidades de pessoas que só fazem Matemática, que só fazem Português e que fazem os dois cursos, deve ser igual ao total de alunos da escola (400 alunos). Daí: (só fazem Matemática) + 120 + 120 = 400 (só fazem Matemática) = 400 – 240 = 160 alunos Com este resultado podemos obter o total de alunos matriculados em Matemática, basta fazer a soma entre os que só fazem Matemática e os que fazem Matemática e Português. Daí:

160 + 120 = 280 alunos



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Como dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas, então o número de estudantes matriculados no curso de Matemática e que são paulistas é igual a:

15%x280 = 0,15x280 = 42 alunos (Resposta!) 05. (AFC 2002 ESAF) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80%

são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi:

a) 20 % b) 25 % c) 37,5 % d) 62,5 % e) 75 % Sol.: Reproduziremos abaixo os dados trazidos no enunciado:

Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos. 80% são amarelos e 20% são vermelhos Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Após o controle da doença, 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos.

Considerando que havia inicialmente 100 peixes no aquário, então o desenho do aquário é esse: Vamos designar por X o número de peixes amarelos vivos no aquário após a doença, assim teremos: Nessa última situação, é dito que 60% dos peixes vivos são amarelos, fazendo as contas temos:

60%(X+20) = X

0,6X + 12 = X 0,4X = 12 X = 30 peixes amarelos vivos Portanto, o número de peixes amarelos que morreram foi igual a 50 (=80-30). O percentual de peixes amarelos que morreram é igual a razão entre o número de peixes amarelos mortos e o total inicial de peixes amarelos, teremos:

30/80 = 62,5% (Resposta!)

80 amarelos 20 vermelhos

X amarelos 20 vermelhos



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06. (AFC 2002 ESAF) A remuneração mensal dos funcionários de uma empresa é constituída de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00 mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto (isto é, sobre o total da parte fixa mais a comissão). Em dois meses consecutivos, um dos funcionários dessa empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00. Com esses dados, pode-se afirmar que as vendas realizadas por esse funcionário no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:

a) 8% d) 15% b) 10% e) 20% c) 14% Sol.: O salário bruto do funcionário é formado por duas partes: 1) parte fixa igual a R$ 1.500,00. 2) comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Chamando de V o total de vendas no mês, e considerando que seja superior a R$ 8000,00, a equação do salário bruto mensal é:

salário bruto mensal = 1500 + 3%x(V-8000) O percentual de desconto é de 10% em cima do salário bruto, daí o salário líquido mensal corresponde a 90% do salário bruto. Portanto, teremos:

salário líquido mensal = 90% x (1500 + 3%x(V-8000))

Simplificando: salário líquido mensal = 0,9x1500 + 0,9x0,03x(V-8000) salário líquido mensal = 1350 + 0,027V – 0,027x8000 salário líquido mensal = 1134 + 0,027V Foi informado no enunciado que em dois meses consecutivos, um dos funcionários dessa empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00. Vamos utilizar estes dados para encontrar as vendas nos dois meses. Vendas no 1º mês: 1.674,00 = 1134 + 0,027V1 V1 = 540/0,027 = 20.000,00 Vendas no 2º mês: 1.782,00 = 1134 + 0,027V2 V2 = 648/0,027 = 24.000,00 Daí, as vendas no 2º mês foram superiores às do 1º mês em 4.000,00 reais. Para obter o valor percentual, basta dividir os 4.000,00 reais pelas vendas do 1º mês:

4000/20000 = 20% (Resposta: Alternativa E)



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07. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou: a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior

Sol.: A seqüência de variações no peso de Alice é a seguinte: 1) perde 20% ⇒ multiplicar por 0,80 2) ganha 20% ⇒ multiplicar por 1,20 3) perde 25% ⇒ multiplicar por 0,75 4) ganha 25% ⇒ multiplicar por 1,25

Considerando o peso inicial de Alice em 100kg, bem distribuídos, o peso final de Alice será igual a:

Peso final de Alice = 100kg x 0,80 x 1,20 x 0,75 x 1,25

Peso final de Alice = 90kg

Conclui-se que, devido às visitas, Alice perdeu 10kg. A perda percentual é

obtida dividindo-se a perda de 10 kg pelo peso inicial de Alice, teremos:

perda percentual = 10/100 = 10% (Resposta: alternativa D)

08. (Anal. Orçamento MARE 99 FCC) Numa loja de roupas, um terno tinha um preço tão alto que ninguém se interessava em comprá-lo. O gerente da loja anunciou um desconto de 10% no preço, mas sem resultado. Por isso, ofereceu novo desconto de 10%, o que baixou o preço para R$ 648,00. O preço inicial desse terno era superior ao preço final em (A) R$ 162,00 (B) R$ 152,00 (C) R$ 132,45 (D) R$ 71,28 (E) R$ 64,00

Sol.: Designaremos por P o preço inicial do terno. O valor do terno após os dois descontos sucessivos de 10% é de 648,00. Sabemos que dar um desconto de 10% é o mesmo que multiplicar por 0,90, então a relação entre o preço final do terno e o preço inicial é dado por:

648,00 = P x 0,90 x 0,90



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Resolvendo: P = 648/0,81 P = 800 O preço inicial desse terno é superior ao preço final em:

800 – 648 = 152,00 reais 09. (Anal. Orçamento MARE 99 FCC) Alberto recebeu R$ 3 600,00, mas desse

dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos e este deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devem receber, respectivamente, (A) 1 800 e 720 reais. (B) 1 800 e 360 reais. (C) 1 600 e 400 reais. (D) 1 440 e 720 reais. (E) 1 440 e 288 reais.

Sol.: Reproduzimos abaixo os dados fornecidos pelo enunciado:

Alberto recebeu R$ 3600,00, mas deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos Carlos deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno.

Designaremos por C o valor da comissão de Carlos, e por B o valor da comissão de Bruno. Vamos montar uma equação a partir da seguinte informação dada no enunciado:

Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos

B = 50%(3600 – C) (1ª equação) Vamos montar outra equação a partir da seguinte informação dada no enunciado:

Carlos deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno.

C = 20%(3600 – B) (2ª equação)

De posse dessas duas equações, podemos descobrir as comissões de Bruno e Carlos. Substituiremos o valor de B, dado na 1ª equação, dentro da 2ª equação: C = 20%(3600 – B) C = 20%(3600 – 50%(3600 – C)) C = 0,2(3600 – 0,5(3600 – C)) C = 0,2(3600 – 1800 + 0,5C) C = 720 – 360 + 0,1C 0,9C = 360 C = 400 Substituindo o valor de C na 1ª equação, encontraremos o valor de B:

B = 50%(3600 – 400) B = 0,5(3200) B = 1600 (Resposta: Alternativa C)



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10. (Ministério Público de Santa Catarina 2004 ACAFE) Um aluno de química, ao realizar uma experiência, formou uma massa de 10kg composta somente por água e por um produto X. 90% dessa massa era constituída de água. Após um processo de aquecimento da massa, o aluno verificou que apenas a água foi eliminada e que a participação desta na massa foi reduzida a 80%. O peso final total da massa, após o processo de aquecimento foi igual a: a) 5kg d) 4kg b) 2kg e) 8kg c) 3kg

Sol.: Temos inicialmente uma massa de 10kg, composta de água e de um produto X. A quantidade de água presente nesta massa é igual a 9kg (=90%x10kg). Portanto, a quantidade do produto X presente na massa é igual a 1kg (=10kg-9kg). Faremos o seguinte desenho: Após o processo de aquecimento da massa, somente uma parte da água foi eliminada, e a quantidade de água representa agora 80% da massa. Chamando de Q a quantidade em kg de água que restou, a massa que temos após o aquecimento é igual a 1kg do produto X mais a quantidade Q de água, ou seja, a massa após o aquecimento é igual a (1+Q) kg. Teremos o seguinte desenho: Com os dados acima, podemos montar a seguinte equação:

Q = 80% da massa Q = 80%x(1+Q) Resolvendo: Q = 0,8+0,8Q 0,2Q = 0,8 Q = 4 kg de água O peso final da massa é igual a: 1kg de X + 4kg de água = 5kg (Resposta!) Falaremos, agora, sobre as questões que envolvem Movimento!

Água

9 kg (90%)

Prod. X

1 kg (10%)

Massa de 10 kg

Água

Q kg (80%)

Prod. X

1 kg (20%)

Massa de (1+Q) kg



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Questões envolvendo Movimento Ao contrário das aulas passadas, em que sempre apresentávamos uma teoria inicial que ajudava nas soluções das questões, nesta aula apresentaremos dentro das questões resolvidas o conteúdo necessário para as soluções das questões de Raciocínio Lógico que envolvem movimento. Seguem cinco exercícios resolvidos, e em seguida oito exercícios propostos. 01. (Técnico MPU administrativa 2004 ESAF) Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade constante de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13:30 horas e voa na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros por hora. Sabendo que y>x, o tempo, em horas, que o avião YPS, após sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a

a) 2 / (x+y) horas. b) x / (y-x) horas. c) 1 / 2x horas. d) 1/ 2y horas. e) x / 2 (y-x) horas.

Sol.: Temos os seguintes dados sobre o avião XIS: Decola às 13:00 horas. Voa a uma velocidade constante de x km/h. E temos os seguintes dados sobre o avião YPS: Decola às 13:30 horas. Voa a uma velocidade constante de y km/h. A velocidade do avião YPS é maior que a do avião XPS. De acordo com os dados acima, faremos o seguinte desenho: Designamos por P o ponto de partida dos dois aviões, e por E o ponto de encontro dos dois aviões, isto é, o ponto em que o avião YPS alcança o avião XIS. Indicamos por d a distância, em quilômetros, da rota de vôo do ponto P para o ponto E, que será o caminho percorrido pelos aviões XIS e YPS. Chamaremos de t o tempo de vôo, em horas, que o avião YPS leva do ponto de partida P até chegar ao ponto de encontro E. Observe no enunciado, que este tempo t será exatamente a resposta pedida na questão. O avião XIS decola 30 minutos (1/2 hora) antes do avião YPS, e chega no ponto E no mesmo instante que este, portanto o tempo de vôo do avião XIS, do

avião XIS

avião YPS (YPS decola 30 min depois)

avião XIS

avião YPS

Ponto de encontro

d

Ponto de partida

P E



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ponto P ao ponto E, é igual a (t+1/2) horas, ou seja, o avião XIS leva um tempo maior (meia-hora a mais) para chegar ao ponto E do que o avião YPS. Quando a velocidade de um móvel é constante, podemos estabelecer uma relação entre a sua velocidade (v), a distância percorrida (d) e o tempo gasto no percurso (t), através da seguinte fórmula:

v = d / t Qual destes elementos da fórmula será o mesmo para os dois aviões? A velocidade não é, porque o enunciado informa que o avião YPS é mais rápido do que o avião XIS. O tempo não é, porque o avião YPS leva menos tempo para percorrer a distância de P a E. É a distância percorrida d que é a mesma para os dois aviões. Então, para solucionar a questão, igualaremos as distâncias percorridas pelos dois aviões. Isolando o valor de d na fórmula, obteremos: d = v.t . Ou seja, a distância percorrida é igual ao produto da velocidade do móvel pelo tempo gasto no percurso. A velocidade do avião YPS é y km/h e o tempo gasto é de t horas, daí a distância percorrida pelo avião YPS é igual a:

d = y . t

A velocidade do avião XIS é x km/h e o tempo gasto é de (t+1/2) horas, daí a distância percorrida pelo avião XIS é igual a:

d = x . (t+1/2) Como as distâncias d são as mesmas, igualaremos as duas equações acima. Teremos:

y . t = x . (t+1/2) Vamos desenvolver a equação acima e isolar o tempo t:

yt = xt + x/2 yt - xt = x/2 (y-x)t = x/2 t = x/2_ (y-x)

t = x _ 2(y-x)

(Resposta: Alternativa E) 02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Em um certo aeroporto, Ana caminhava à razão de um metro por segundo. Ao utilizar uma esteira rolante de 210 metros, que se movimenta no mesmo sentido em que ela caminhava, continuou andando no mesmo passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana verificou ter levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a extensão da esteira. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a esteira, o tempo que levaria para ser transportada do início ao fim da esteira seria igual a

a) 1minuto e 20 segundos. b) 1minuto e 24 segundos. c) 1minuto e 30 segundos. d) 1 minuto e 40 segundos. e) 2 minutos.

Sol.:



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De acordo com os dados fornecidos na questão, teremos o seguinte desenho.

Como a esteira se movimenta no mesmo sentido que Ana, então a velocidade de Ana, em relação a uma pessoa que está parada e fora da esteira, é igual a velocidade de 1m/s mais a velocidade da esteira, ou seja, (1+ve). Com esta velocidade, Ana leva 1 minuto (60 segundos) para atravessar a esteira de 210 m.

Substituiremos estes valores na fórmula: v = d / t.

(1+ve) = 210 / 60

Daí: ve = 21/6 – 1 ve = 15/6 ve = 5/2 ve = 2,5 m/s Acabamos de encontrar a velocidade da esteira! Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a esteira, a sua velocidade, em relação a uma pessoa que estivesse parada e fora da esteira, seria igual a velocidade da esteira, que é de 2,5 m/s. Nessa situação, o tempo que levaria para ela ser transportada do início ao fim da esteira pode ser obtido pela aplicação da fórmula: t = d / v . Aplicando a fórmula, obteremos: t = d / v t = 210 / 2,5 t = 210 / 2,5 t = 84 segundos Que é o mesmo que: 1min e 24 seg (Resposta: Alternativa B) 03. Um percurso a ser feito por um ciclista foi dividido em três partes de comprimentos iguais. Na primeira parte fez 10 km por hora, na segunda parte fez 5 km por hora e na terceira parte fez 4 km por hora. Qual foi a velocidade média do ciclista no percurso? Sol.: De acordo com os dados fornecidos no enunciado, faremos o seguinte desenho: Chamamos de X o comprimento, em km, de cada uma das partes. A velocidade média é igual a distância total percorrida dividida pelo tempo total gasto no percurso. A distância total percorrida é igual a 3X km.

210 m

Ana v= 1 m/s

esteirave= ? m/s

10 km/h 20 km/h 30 km/h

X km X km X km



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Para encontrarmos o tempo total gasto no percurso, devemos primeiramente encontrar o tempo gasto em cada uma das três partes do percurso. Para isso, utilizaremos a fórmula: t = d/v. Tempo gasto na 1ª parte: t1 = X/10 horas Tempo gasto na 2ª parte: t2 = X/20 horas Tempo gasto na 3ª parte: t3 = X/30 horas Daí, o tempo total gasto no percurso é igual a:

X/10 + X/20 + X/30 = (6X + 3X + 2X)/60 = 11X/60 horas

Cálculo da velocidade média: Vel. Média = distância percorrida = 3X____ = 180/11 = 16,36 km/h tempo gasto (11X/60)

04. Um carro desenvolvendo a velocidade média de 72 km/h sai de Fortaleza com destino a São Luís; ao mesmo tempo, parte de São Luís com destino a Fortaleza, outro carro desenvolvendo a velocidade média de 80 km/h. A que distância de Fortaleza os dois veículos se cruzarão, se a distância entre as duas cidades é de 1000 km. Sol.: De acordo com os dados fornecidos no enunciado, faremos o seguinte desenho: Seja X a distância, em km, que percorrerá o carro que parte de Fortaleza até o ponto de cruzamento. A distância ao mesmo ponto, que percorrerá o carro que sai de São Luís é 1000-X. Convém lembrar que o tempo gasto pelo carro que parte de Fortaleza até o ponto de cruzamento é igual ao gasto pelo carro que parte de São Luís. O cruzamento dar-se-á a uma distância menor de Fortaleza do que de São Luís porque o que parte de Fortaleza tem uma velocidade menor. O tempo gasto para percorrer uma certa distância é igual a distância percorrida dividida pela velocidade média desenvolvida. Tempo gasto pelo carro que parte de Fortaleza: t1 = X/72 horas Tempo gasto pelo carro que parte de São Luís: t2 = (1000-X)/80 horas Como t1 = t2, então teremos a seguinte equação a ser resolvida:

X/72 = (1000-X)/80 Resolvendo, vem: X/9 = (1000-X)/10 10X = 9(1000-X) 10X = 9000 - 9X 19X = 9000 X = 473,68 km Resposta: Os carros se cruzarão a 473,68 km de Fortaleza.

1000 km

Fortaleza

v= 72 km/h

São Luís

v= 80 km/h

EX 1000-X

Ponto de cruzamento



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05. (AFC/SFC 2001 ESAF) Uma pessoa foi da localidade A para B a uma velocidade média de 75 Km por hora (Km/h); após, retorna de B para A a uma velocidade média de 50 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi de:

a) 50 b) 60 c) 62,5 d) 70 e) 72,5

Sol.: Desenho da questão: Como já sabemos, a velocidade média é igual a distância total percorrida dividida pelo tempo total gasto no percurso. A distância total percorrida, trecho de ida mais trecho de volta, é igual a 2X km. O tempo total gasto no percurso é igual ao tempo de ida mais o tempo de volta. Vamos calcular cada um destes tempos: Tempo gasto no trecho de ida: t1 = X/75 horas Tempo gasto no trecho de volta: t2 = X/50 horas Daí, o tempo total gasto no percurso é igual a:

t1 + t2 = X/75 + X/50 = (2X + 3X)/150 = 5X/150 = X/30 horas Cálculo da velocidade média: Vel. Média = distância percorrida = 2X_ = 60 km/h (Resposta!) tempo gasto X/30

DEVER DE CASA 01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e B a uma velocidade média constante de 50 km por hora. O carro percorre, também a uma velocidade média constante, V, o restante do trajeto até B. Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por hora. Logo, a velocidade V é igual a

a) 20 km por hora. b) 10 km por hora. c) 25 km por hora. d) 30 km por hora. e) 37,5 km por hora.

X km

A

v= 75 km/h

v= 50 km/h

B



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02. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas no mesmo instante, cada um com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam pelo mesmo percurso, mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam quando se cruzaram. Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de Paulo. Já Paulo chegou à casa de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a uma velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, foi de

a) 60 minutos b) 50 minutos c) 80 minutos d) 90 minutos e) 120 minutos

03. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho 8 minutos antes do início da reunião. Ao passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, chegaria atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de trabalho é igual a:

a) 1.200m b) 1.500m c) 1.080m d) 760m e) 1.128m


a) 10 d) 18 b) 12 e) 20 c) 15

05. (Fiscal MS 2000 FGV) Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem simultaneamente, um de cada cidade, para percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ônibus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum dos dois realizou nenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que:



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I – Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de Bonito do que o 165.

II – Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais tempo do que o 175. A) Somente a hipótese (I) está errada. B) Somente a hipótese (II) está errada. C) Ambas as hipóteses estão erradas. D) Nenhuma das hipóteses está errada.

06. (TFC 1995 ESAF) Um ônibus viajando com uma determinada velocidade media completou um percurso de de 480 km em x horas. Caso essa velocidade fosse aumentada em 20 km/h , a viagem poderia ter durado duas horas a menos. Quantos minutos durou a viagem

a) 360 b) 390 c) 420 d) 480 e)510 07. (Analista Orçamento MARE 99 FCC) Um atleta faz um treinamento cuja primeira parte consiste em sair de casa e correr em linha reta até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo gasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas, o tempo em que ele correu superou o tempo em que caminhou em

(A) 36 minutos. (B) 30 minutos. (C) 25 minutos. (D) 22 minutos. (E) 15 minutos.

08. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo vértice de um polígono regular. Num dado momento, os três começam a caminhar na borda do polígono. Todos os três caminham em velocidades constantes, sendo que a velocidade de Augusto é o dobro da de Vinicius e o quádruplo da de Romeu. Augusto desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo tempo, Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a seguir, exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O número de arestas do polígono é:

a) 10 b) 15 c) 12 d) 14 e) 11

Gabarito: 01.C 02.A 03.A 04.E 05.C 06.D 07. 08.B



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AULA VINTE: QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO

DA FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS (1ª PARTE)

Olá, amigos!

Na nossa programação inicial havíamos estabelecido duas aulas para “Questões de Associação” e duas aulas para “Questões de Movimento”, porém só fizemos uma aula para cada um desses assuntos, porque entendemos que era o bastante. Para que o curso não fique com duas aulas a menos, inserimos mais duas aulas que tratarão de resoluções de questões da Fundação Carlos Chagas (FCC).

Vocês perceberão que as questões da FCC são em geral mais fáceis que as da ESAF e possuem um estilo diferente que complementará os conhecimentos que vocês já têm da matéria de Raciocínio Lógico. Há vários concursos elaborados pela FCC que inclui Raciocínio Lógico, como é o caso do concurso para o Banco Central que ocorrerá no início do próximo mês.

O cronograma das aulas para este fim de curso, já feitas as adaptações, será o seguinte:

Aula 20: Questões de Raciocínio Lógico da Fundação Carlos Chagas (1ª parte);

Aula 21: Questões de Raciocínio Lógico da Fundação Carlos Chagas (2ª parte);

Aula 22: Questões Variadas (1ª parte);


Aula 24: 1º Simulado;

Aula 25: 2º Simulado.

Agora, passemos à correção do dever de casa da aula passada.

SOLUÇÃO DO DEVER DE CASA DAS QUESTÕES DE MOVIMENTO 01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e B a uma velocidade média constante de 50 km por hora. O carro percorre, também a uma velocidade média constante, V, o restante do trajeto até B. Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por hora. Logo, a velocidade V é igual a

a) 20 km por hora. b) 10 km por hora. c) 25 km por hora. d) 30 km por hora. e) 37,5 km por hora. Sol.:

Desenho da questão: Chamamos de X a distância, em km, entre as cidades A e B.

50 km/h V km/h

A 0,75X k

0,25X k

B

X km



2 A primeira parte do percurso, na qual o carro percorre a uma velocidade média de 50 km/h, tem 75% da distância entre as cidades A e B, portanto é igual a 0,75X. A segunda parte do percurso, na qual o carro percorre a uma velocidade média de V km/h, tem 25% da distância entre as cidades A e B, portanto será igual a 0,25X. Foi informado no enunciado da questão que a velocidade média para todo o percurso de A até B foi de 40 km/h. E já sabemos que a velocidade média é igual a distância total percorrida dividida pelo tempo total gasto no percurso. A distância total percorrida é igual a X km, falta encontrarmos o tempo total gasto no percurso para que possamos montar uma equação que nos dará o valor V pedido na questão.

Cálculo do tempo total gasto no percurso Para encontrarmos o tempo total gasto no percurso, devemos primeiramente encontrar o tempo gasto em cada uma das duas partes do percurso. O tempo gasto em cada parte do percurso é igual ao comprimento dessa parte dividido pela velocidade desenvolvida pelo carro, ou seja, tempo = distância/velocidade. Tempo gasto na 1ª parte: A distância da primeira parte é igual a 0,75X km, e a velocidade desenvolvida

pelo carro é de 50 km/h. Assim, teremos:

t1 = 5075,0 X

horas

Tempo gasto na 2ª parte: A distância da segunda parte é igual a 0,25X km, e a velocidade desenvolvida

pelo carro é de V km/h. Assim, teremos:

t2 = VX25,0

horas

Daí, o tempo total gasto no percurso é igual a:

t1+t2 = 5075,0 X

+VX25,0

= V

XXV50

25,05075,0 ⋅+⋅ =

VXVX

505,1275,0 +

= V

XV50

)5,1275,0( +

A velocidade média é dada pela fórmula: Vel. Média = distância total percorrida tempo total gasto Substituindo os dados na fórmula, teremos: 40 km/h = X .

V

XV50

)5,1275,0( +

Resolvendo, vem: 40 = 50V 40 )5,1275,0( +V = 50V )5,1275,0( +V 30V + 500 = 50V 20V = 500 V = 25 km/h (Resposta: Alternativa C)



302. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas no mesmo instante, cada um com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam pelo mesmo percurso, mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam quando se cruzaram. Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de Paulo. Já Paulo chegou à casa de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a uma velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, foi de

a) 60 minutos b) 50 minutos c) 80 minutos d) 90 minutos e) 120 minutos

Sol.:

O tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, será igual a soma dos seguintes tempo: 1) Tempo decorrido do momento que Paulo sai de sua casa até o momento que ele passa

por Pedro. Este tempo não foi informado na questão, e o chamaremos de t1. 2) Tempo decorrido do momento que Paulo passa por Pedro até o momento que ele chega

à casa de Pedro. Pedro leva 10 minutos para chegar à casa de Paulo, após eles se cruzarem na

estrada, enquanto Paulo continua caminhando, e só chega à casa de Pedro 30 minutos depois. Daí, o tempo para Paulo chegar à casa de Pedro, após eles se cruzarem na estrada, é de 40 minutos (=10 min+30min).

O tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, o qual é

solicitado na questão é igual a (t1+40). As velocidades de Pedro e de Paulo são constantes, então poderemos encontrar t1

através da seguinte fórmula: velocidade = distância

tempo Designaremos por VPE a velocidade constante de caminhada de Pedro, e por VPA a

velocidade constante de caminhada de Paulo. 1º) Desenho do ponto de cruzamento de Pedro e Paulo na estrada. Chamamos de D a distância entre as casas de Pedro e Paulo, e de X a distância

entre a casa de Pedro e o ponto de cruzamento. Desta forma, a distância do ponto de cruzamento até a casa de Paulo será igual a D-X.

Pedro percorreu a distância X no tempo t1. Daí: VPE = X (1ª equação) t1

Casa de Pedro

Casa de Paulo

Pedro Paulo

D X D-X



4 Paulo percorreu a distância D-X no tempo t1. Daí: VPA = D-X (2ª equação) t1 2º) Desenho do momento em que Pedro chega à casa de Paulo. Pedro percorreu a distância D-X no tempo de 10 minutos. Daí: VPE = D-X (3ª equação) 10 3º) Desenho do momento em que Paulo chega à casa de Pedro. Paulo percorreu a distância X no tempo de 40 min (=10min+30min). Daí: VPA = X (4ª equação) 40 Da 1ª equação e da 3ª equação, teremos: X = D-X (5ª equação) t1 10 Da 2ª equação e da 4ª equação, teremos: D-X = X (6ª equação) t1 40 Queremos encontrar t1 e podemos fazer isso de diversas maneiras, veja a seguinte

maneira que escolhemos: Da 5ª equação, podemos fazer: D-X = 10X t1 Da 6ª equação, podemos fazer: D-X = Xt1 40 Igualando as duas equações acima, teremos: 10X = Xt1 t1 40 Resolvendo, vem: (t1)2 = 400 t1 = 20 Como já dissemos anteriormente, a resposta da questão é igual a (t1+40): (t1+40) = 20+40 = 60 minutos (Resposta: Alternativa A)

Casa de Pedro

Casa de Paulo

Pedro Paulo

D X D-X

Casa de Pedro

Casa de Paulo

Pedro Paulo

D X D-X



503. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho 8 minutos antes do início da reunião. Ao passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, chegaria atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de trabalho é igual a:

a) 1.200m b) 1.500m c) 1.080m d) 760m e) 1.128m

Sol.: Desenho da questão: Chamamos de D a distância entre a casa de Lúcio e o seu trabalho. Lúcio caminha a uma velocidade constante VLU , e leva 20 minutos para percorrer uma distância D. Daí, podemos formar a seguinte equação: VLU = D (1ª equação) 20 Caso Lúcio retorne para casa no momento em que ele chegar ao Cine Bristol, para somente depois retomar a ida ao trabalho, ele percorrerá a mais do que o trajeto direto para o trabalho, uma distância de 1080 metros (=540m+540m). Ele chegaria 8 minutos antes do início da reunião caso ele fosse direto para o trabalho, e ele chegaria atrasado em 20 minutos na reunião caso ele retornasse do Cine Bristol, então o tempo a mais, em relação ao trajeto direto para o trabalho, é de 28 minutos (=8min+20min). Dos dois parágrafos anteriores, concluímos que Lúcio percorre uma distância de 1080 metros em 28 minutos. Daí, podemos formar a seguinte equação: VLU = 1080 (2ª equação) 28 Igualando a 1ª e 2ª equações, teremos: D = 1080 20 28 Resolvendo, vem: D = 1200 (Resposta: Alternativa A)

Casa de Lúcio

Trabalho Lúcio

D 540 D-540

Cine Bristol




a) 10 d) 18 b) 12 e) 20 c) 15 Sol.:

Nós ensinaremos uma fórmula que resolverá rapidamente este tipo de questão. Mas antes de apresentá-la, veja o caso abaixo que nos ajudará a memorizar essa fórmula. Caso a questão pedisse o número de voltas que Marco dá na piscina, é claro que bastaria dividir o tempo que ele nadou pelo tempo que ele atravessa a piscina, então teríamos: nº de voltas na piscina = tempo total de nado = 12 min = 12x60 seg = 24 voltas tempo da travessia 30 seg 30 seg

O número de vezes que Marco e Mauro se encontram na piscina pode ser obtido por uma fórmula similar àquela que usamos para calcular o número de voltas que Marco deu na piscina, é a seguinte: nº de encontros entre Marco e Mauro = tempo total de nado média harmônica dos tempos das travessias A média harmônica (H) entre dois números (x1 e x2) é dada pela seguinte fórmula: H = 2x1x2 x1+x2

Os tempos das travessias de Marco e Mauro são, respectivamente, 30 seg e 45 seg. A média harmônica de 30 e 45 é igual a: H = 2 . 30 . 45 = 36 seg 30+45

Voltando a nossa fórmula: nº de encontros entre Marco e Mauro = 12 min = 12 x 60 seg = 20 encontros 36 seg 36 seg

Resposta: Alternativa E A fórmula que usamos nesta questão pode ser empregada em outras situações similares, por exemplo, calcular o número de encontros entre dois carros que se deslocam entre duas cidades.



705. (Fiscal MS 2000 FGV) Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem simultaneamente, um de cada cidade, para percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ônibus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum dos dois realizou nenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que: I – Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de Bonito

do que o 165. II – Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais tempo

do que o 175. A) Somente a hipótese (I) está errada. B) Somente a hipótese (II) está errada. C) Ambas as hipóteses estão erradas. D) Nenhuma das hipóteses está errada. Sol.:

Desenho da questão:

Análise do item I: No momento em que os dois se cruzarem é claro que eles estarão no mesmo ponto e, portanto, eles estarão à mesma distância de qualquer lugar. Este item está errado!

Análise do item II: Se eles partiram de suas cidades ao mesmo tempo, então o tempo decorrido até eles se cruzarem na estrada será o mesmo para os dois. Somente a distância percorrida é que será diferente, porque o ônibus 165 é mais rápido. Este item está errado! Como os dois itens estão errados, então a alternativa correta é a C. 06. (TFC 1995 ESAF) Um ônibus viajando com uma determinada velocidade média completou um percurso de 480 km em x horas. Caso essa velocidade fosse aumentada em 20 km/h, a viagem poderia ter durado duas horas a menos. Quantos minutos durou a viagem

a) 360 b) 390 c) 420 d) 480 e)510 Sol.:

Chamaremos de V a velocidade média do ônibus no percurso de 480 km e em que ele gasta x horas. Daí: V = 480 km (1ª equação) x horas

Aumentando em 20 km/h, a velocidade do ônibus passará a ser (V+20) km/h, e ele gastará duas horas a menos que a situação anterior, ou seja, (x-2) horas, para percorrer a mesma distância de 480 km. Daí: (V+20) = 480 km (2ª equação) (x-2) horas

Vamos substituir na 2ª equação o valor de V: 480 +20 = 480 x (x-2)

Corumbá Bonito

ônibus 165 (120 km/h)

ônibus 175 (90 km/h)

Ponto de encontro



8 Resolvendo, vem: 480+20x = 480 x (x-2) 480x – 960 +20x2 – 40x = 480x x2 – 2x – 48 = 0 raízes: x=-6 e x=8. Daí, temos que x = 8 horas = 480 minutos (Resposta: Alternativa D) 07. (Analista Orçamento MARE 99 FCC) Um atleta faz um treinamento cuja primeira parte consiste em sair de casa e correr em linha reta até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo gasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas, o tempo em que ele correu superou o tempo em que caminhou em

(A) 36 minutos. (B) 30 minutos. (C) 25 minutos. (D) 22 minutos. (E) 15 minutos. Sol.:

Desenho da questão:

Já aprendemos que o tempo é igual a distância dividida pela velocidade. Usaremos esse conceito no cálculo dos tempos gastos na ida e na volta do atleta. Tempo gasto na ida (correndo): t1 = X km 12 km/h

Tempo gasto na volta (andando): t2 = X km 8 km/h Tempo total gasto é de 3 horas t1 + t2 = 3 horas X + X = 3 horas 12 8 2X + 3X = 3 horas 24 5X = 72 X = 72/5 km Cálculo de t1: t1 = X = 72/5 = 6/5 = 1,2 horas (andando) 12 12

Atleta correndo (12 km/h)

Atleta andando (8 km/h)

X km



9 Cálculo de t2: t2 = X = 72/5 = 9/5 = 1,8 horas (correndo) 8 8

O tempo em que ele correu superou o tempo em que caminhou em:

t1 – t2 = (1,8 – 1,2) horas = 0,6 horas = 0,6 x 60 min = 36 minutos

(Resposta: Alternativa A)

08. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo vértice de um polígono regular. Num dado momento, os três começam a caminhar na borda do polígono. Todos os três caminham em velocidades constantes, sendo que a velocidade de Augusto é o dobro da de Vinicius e o quádruplo da de Romeu. Augusto desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo tempo, Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a seguir, exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O número de arestas do polígono é:

a) 10 b) 15 c) 12 d) 14 e) 11 Sol.:

Dados fornecidos no enunciado da questão:

Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo vértice de um polígono regular. Num dado momento, os três começam a caminhar na borda do polígono. Todos os três caminham em velocidades constantes. A velocidade de Augusto é o dobro da de Vinícius: VA = 2.VV . A velocidade de Augusto é o quádruplo da de Romeu: VA = 4.VR . Augusto desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo tempo, Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a seguir, exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu.

O polígono regular é uma figura plana de lados (ou arestas) iguais. Alguns exemplos de polígonos regulares:

com 3 lados: triângulo eqüilátero. com 4 lados: quadrado ou losango. com 5 lados: pentágono. com 6 lados: hexágono.

Designaremos por n o número de lados do nosso polígono regular. A velocidade de caminhada dos três é constante, então poderemos utilizar a seguinte fórmula: velocidade = distância ou distância = velocidade x tempo ou tempo = distância tempo velocidade Augusto e Vinícius partiram no mesmo instante, do mesmo vértice e caminham em sentidos opostos, após um certo tempo encontram-se em um determinado vértice. A partir dessas informações podemos tirar as seguintes conclusões: i. Como eles partiram no mesmo instante, então o tempo de caminhada até eles se encontrarem é o mesmo, e chamaremos este tempo de t1.



10ii. Como Augusto e Vinícius partiram do mesmo vértice, em sentidos opostos e encontram-se em outro vértice, significa que se Augusto caminhou x arestas, então Vinícius caminhou n-x arestas. Somando x mais n-x dá o total n de arestas do polígono. A partir dos dois itens acima, podemos escrever as seguintes equações para Augusto e Vinícius: Augusto: t1 = x arestas = x arestas (1ª equação) VA 2VV

Vinícius: t1 = (n-x) arestas (2ª equação) VV

Podemos igualar as duas equações acima, pois ambas trazem o mesmo tempo t1. x = n-x . 2VV VV

Resolvendo, vem: x = n-x x = 2n – 2x 3x = 2n (3ª equação) 2 1

Augusto e Romeu também partiram no mesmo instante, do mesmo vértice e caminham em sentidos opostos, mas eles só se encontram dois vértices após o vértice onde se encontraram Augusto e Vinícius. A partir dessas informações podemos tirar as seguintes conclusões: i. Como eles partiram no mesmo instante, então o tempo de caminhada até eles se encontrarem é o mesmo, e chamaremos esse tempo de t2. ii. Como Augusto e Romeu partiram do mesmo vértice, em sentidos opostos e encontram-se dois vértices depois do vértice onde se encontraram Augusto e Vinícius, significa que Augusto caminhou (x+2) arestas e Romeu caminhou (n-x-2) arestas. Somando (x+2) mais (n-x-2) dá o total n de arestas do polígono. A partir dos dois itens acima, podemos escrever as seguintes equações para Augusto e Romeu: Augusto: t2 = (x+2) arestas = (x+2) arestas (4ª equação) VA 4VR

Romeu: t2 = (n-x-2) arestas (5ª equação) VR

Podemos igualar as duas equações acima, pois ambas trazem o mesmo tempo t2. (x+2) = (n-x-2) . 4VR VR

Resolvendo, vem: (x+2) = (n-x-2) x+2 = 4n – 4x – 8 5x = 4n – 10 (6ª equação) 4 1

A partir da 3ª equação e da 6ª equação, podemos determinar o valor de n. 3x = 2n 5x = 4n – 10



11 Isolando x na primeira equação do sistema acima (x = 2n/3), e substituindo na outra equação, teremos: 5.(2n/3) = 4n – 10 10n/3 = 4n – 10 10n = 12n – 30 2n = 30 n = 15 (Resposta: Alternativa B) É isso! Passemos ao nosso assunto de hoje!

QUESTÕES RESOLVIDAS DA FCC (1ª PARTE)

Resolveremos 10 questões e deixaremos 7 questões propostas para casa.

01. (TRT 2004 FCC) A figura indica três símbolos, dispostos em um quadrado de 3 linhas e 3 colunas, sendo que cada símbolo representa um número inteiro. Ao lado das linhas e colunas do quadrado, são indicadas as somas dos correspondentes números de cada linha ou coluna, algumas delas representadas pelas letras X, Y e Z.

Nas condições dadas. X+ Y + Z é igual a (A) 17 (D) 20 (B) 18 (E) 21 (C) 19 Sol.: Substituiremos na figura acima o quadrado pela letra q, o triângulo pela letra t e o círculo pela letra c. Assim, teremos: A soma da 1ª linha é igual a 7:

q + c + t = 7 (1ª eq.) A soma da 2ª linha é igual a 4:

2q + t = 4 (2ª eq.) A soma da 2ª coluna é igual a 6:

2c + q = 6 (3ª eq.)

q c t q q t c c q



12--------------------------------------------------------------------- A soma da 3ª linha é igual a X:

2c + q = X (4ª eq.) A soma da 1ª coluna é igual a Y:

2q + c = Y (5ª eq.) A soma da 3ª coluna é igual a Z:

2t + q = Z (6ª eq.) --------------------------------------------------------------------- A questão pede o valor de X+Y+Z. Observe que se somarmos os segundos membros das três últimas equações, aparecerá a soma X+Y+Z. Então faremos isso, somaremos os segundos membros das três últimas equações e igualaremos com a soma dos primeiros membros.

(2c + q) + (2q + c) + (2t + q) = X + Y + Z

Daí: 3c + 4q + 2t = X + Y + Z (7ª eq.) Faremos a mesma coisa para as três primeiras equações, para ver o que acontece:

(q + c + t ) + (2q + t) + (2c + q) = 7 + 4 + 6 Daí: 3c + 4q + 2t = 17 (8ª eq.) Observe que o primeiro membro da 7ª equação é igual ao primeiro membro da 8ª equação, então podemos estabelecer a seguinte igualdade: X + Y + Z = 17 (Resposta: Alternativa A) 02. (TRT 2004 FCC) Em relação a um código de cinco letras, sabe-se que: - TREVO e GLERO não têm letras em comum com ele; - PRELO tem uma letra em comum, que está na posição correta; - PARVO, CONTO e SENAL têm, cada um, duas letras comuns com o código, uma que

se encontra na mesma posição, a outra não; - MUNCA tem com ele três letras comuns, que se encontram na mesma posição; - TIROL tem uma letra em comum, que está na posição correta. O código a que se refere o enunciado da questão é (A) MIECA. (B) PUNCI. (C) PINAI. (D) PANCI. (E) PINCA. Sol.: Vamos analisar uma a uma as pistas dadas no enunciado da questão. Não é necessário seguir a ordem em que as pistas são apresentadas, analise primeiramente as mais fáceis. 1ª pista) TREVO e GLERO não têm letras em comum com ele; As alternativas que apresentarem as letras: T, R, E, V, O, G, L, serão descartadas. Daí, podemos descartar a alternativa A.

(A) MIECA. (B) PUNCI. (C) PINAI. (D) PANCI. (E) PINCA. 2ª pista) PRELO tem uma letra em comum, que está na posição correta; As alternativas que apresentam somente uma letra em comum com a palavra PRELO, e que está na mesma posição não serão descartadas. Não há alternativas a serem descartadas!



133ª pista) MUNCA tem com ele três letras comuns, que se encontram na mesma posição; Podemos descartar as alternativas: C e D.

(A) MIECA. (B) PUNCI. (C) PINAI. (D) PANCI. (E) PINCA. 4ª pista) TIROL tem uma letra em comum, que está na posição correta. Podemos descartar a alternativa B.

(A) MIECA. (B) PUNCI. (C) PINAI. (D) PANCI. (E) PINCA.

Resposta: Alternativa E. 03. (TRT 2004 FCC) Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares realizada com

empregados de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentam ao menos uma vez ao dia, e que os únicos momentos de alimentação são: manhã, almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são:

- 5 se alimentam apenas pela manhã; - 12 se alimentam apenas no jantar; - 53 se alimentam no almoço; - 30 se alimentam pela manhã e no almoço; - 28 se alimentam pela manhã e no jantar; - 26 se alimentam no almoço e no jantar; - 18 se alimentam pela manhã, no almoço e no jantar.

Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que se alimentam apenas no almoço é (A) 80% dos que se alimentam apenas no jantar. (B) o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã. (C) a terça parte dos que fazem as três refeições. (D) a metade dos funcionários pesquisados. (E) 30% dos que se alimentam no almoço. Sol.: Este tipo de questão se resolve com a ajuda de diagramas de conjuntos. Estabeleceremos os seguintes conjuntos: M: conjunto dos que se alimentam pela manhã. J: conjunto dos que se alimentam no jantar. A: conjunto dos que se alimentam no almoço. Faremos o desenho dos três conjuntos e anotaremos os dados fornecidos na questão:

M J

A

53

5 12

30

28

2618

a



14 Designamos por a o número de pessoas que se alimentam apenas no almoço. O número de pessoas que se alimentam pela manhã e no almoço é de 30 pessoas, destas, 18 pessoas se alimentam nos três horários. Daí, teremos que 12 pessoas (=30-18) se alimentam apenas pela manhã e no almoço. O número de pessoas que se alimentam no jantar e no almoço é de 26 pessoas, destas, 18 pessoas se alimentam nos três horários. Daí, teremos que 8 pessoas (=26-18) se alimentam apenas no jantar e no almoço. Acrescentando ao desenho anterior essas novas informações, teremos: A partir do desenho acima, podemos encontrar o número de pessoas que se alimentam apenas pela manhã:

a + 12 + 18 + 8 = 53 Resolvendo, vem: a = 53 – 38 a = 15 (Resposta: Alternativa B) 04. (TRT 2004 FCC) O diagrama indica percursos que interligam as cidades A, B, C, D

e E, com as distâncias dadas em quilômetros:

M J

A

53

5 12

30

28

2618

a

12 8



15 Partindo-se de A e passando por E, C e D, nessa ordem, a menor distância que poderá ser percorrida para chegar a B é, em quilômetros, (A) 68 (D) 71 (B) 69 (E) 72 (C) 70 Sol.: Esta é uma questão fácil, porém necessita uma análise cuidadosa para encontrar o menor caminho. Para irmos de A a B, temos que seguir a ordem imposta na questão:

A E C D B Menor distância de A a E: 8 + 3 + 3 + 9 = 23 Menor distância de E a C: 9 + 3 + 4 = 16 Menor distância de C a D: 4 + 3 = 7 Menor distância de D a B: 3 + 3 + 7 + 5 + 6 = 24 Somando as distâncias obtidas em cada trecho, teremos:

23 + 16 + 7 + 24 = 70 (Resposta: Alternativa C) 05. (TRT 2004 FCC) Esta seqüência de palavras segue uma lógica: - Pá - Xale - Japeri Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à seqüência poderia ser (A) Casa. (D) Café. (B) Anseio. (E) Sua. (C) Urubu. Sol.: Temos que encontrar a quarta palavra que completa a seqüência abaixo:

Pá Xale Japeri _______ Observe que a 1ª palavra termina pela vogal “a”, a 2ª termina pela vogal “e” e a 3ª termina pela vogal “i”, então podemos esperar que a quarta palavra termine pela vogal “o”. Há quantas palavras que terminam por “o”? Somente a palavra Anseio termina por “o”! Portanto, a resposta é a alternativa B. A FCC também estabeleceu uma outra maneira de encontrar a quarta palavra. Observe que a 1ª palavra tem a vogal “a”, a 2ª palavra tem as vogais “a” e “e”, e a 3ª palavra tem as vogais “a”, “e” e “i”. Devemos esperar que a quarta palavra tenha as vogais “a”, “e”, “i” e “o”. Somente a alternativa B corresponde a essa lógica. .

?



1606. (TRT 2004 FCC) Em uma repartição pública que funciona de 2ª a 6ª feira, 11

novos funcionários foram contratados. Em relação aos contratados, é necessariamente verdade que

(A) todos fazem aniversário em meses diferentes. (B) ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês. (C) ao menos dois começaram a trabalhar no mesmo dia do mês. (D) ao menos três começaram a trabalhar no mesmo dia da semana. (E) algum começou a trabalhar em uma 2ª feira. Sol.: A questão simplesmente informa que: 1) A repartição pública funciona de 2ª a 6ª feira. 2) 11 novos funcionários foram contratados. Devemos nos basear somente nessas informações para encontrarmos a alternativa correta.

Análise da alternativa A: todos fazem aniversário em meses diferentes. Não necessariamente! Os 11 funcionários podem fazer aniversário no mesmo mês. Alternativa A está errada!

Análise da alternativa B: ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês. Não necessariamente! Como o ano tem 12 meses, então os 11 funcionários podem fazer aniversário em meses diferentes. Alternativa B está errada!

Análise da alternativa B: ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês. Não necessariamente! Como o ano tem 12 meses, então todos os 11 funcionários podem fazer aniversário em meses diferentes. Alternativa B está errada!

Análise da alternativa C: ao menos dois começaram a trabalhar no mesmo dia do mês. Não necessariamente! Como o mês tem 30 dias (ou 28 ou 31), então todos os 11 funcionários podem ter começado a trabalhar em dias diferentes. Alternativa C está errada!

Análise da alternativa D: ao menos três começaram a trabalhar no mesmo dia da semana. A semana de trabalho tem 5 dias, e como temos 11 funcionários, então para qualquer distribuição de funcionários que façamos ao longo dos cinco dias, sempre haverá um dia que terá ao menos três funcionários trabalhando. Alternativa D está correta! 07. (IPEA 2004 FCC) A sucessão seguinte de palavras obedece a uma ordem lógica.

Escolha a alternativa que substitui “X" corretamente: RÃ, LUÍS, MEIO, PARABELO, “X".

(A) Calçado. (D) Sibipiruna. (B) Pente. (E) Soteropolitano. (C) Lógica. Sol.: Temos que encontrar a quinta palavra que completa a seqüência abaixo:

RÃ LUÍS MEIO PARABELO _______ Observe que na 1ª palavra há 1 vogal, na 2ª palavra há 2 vogais´, na 3ª palavra há 3 vogais e na 4ª palavra há quatro vogais. Podemos esperar que na quinta palavra haja 5 vogais. Há quantas palavras que possuem 5 vogais? Apenas a palavra Sibipiruna possui 5 vogais! Portanto, a resposta é a alternativa D.

?



1708. (IPEA 2004 FCC) Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica,

escolhendo a alternativa que substitui “X" corretamente: LEIS, TEATRO, POIS, “X".

(A) Camarão. (B) Casa. (C) Homero. (D) Zeugma. (E) Eclipse. Sol.: Temos que encontrar a quarta palavra que completa a seqüência abaixo:

LEIS TEATRO POIS _______ Observe que a 1ª palavra termina em “is”, a 2ª palavra termina em “ro” e a 3ª palavra termina em “is”. Espera-se que a quarta palavra termine em “ro”. Há quantas palavras que terminam em “ro”? Apenas a palavra Homero termina em “ro”! Portanto, a resposta é a alternativa C. 09. (TCE-SP 2003 FCC) Uma pessoa comprou na feira x maçãs a um preço unitário P1

e y abacaxis a um preço unitário P2, gastando, no total, $ 101. Esse problema admite solução se P1 e P2 forem, respectivamente,

(A) $ 10 e $ 15. (C) $ 9 e $ 15. (E) $ 12 e $ 15. (B) $ 10 e $ 14. (D) $ 9 e $ 14. Sol.: Valor gasto com as maças: x.P1 Valor gasto com os abacaxis: y.P2 O valor total gasto é igual à soma dos gastos com as maças e com os abacaxis:

x.P1 + y.P2 Daí, temos que: x.P1 + y.P2 = 101 Para resolver esta questão, testaremos as alternativas:

Teste da alternativa A: P1=10 e P2=15. Substituindo os valores de P1 e P2 na equação: x.P1 + y.P2 = 101, teremos:

10x + 15y = 101 Os números 10 e 15 tem o fator 5 em comum, daí colocaremos o 5 em evidência:

5 . (2x + 3y) = 101 Passando o 5 para o segundo membro, teremos:

(2x + 3y) = 101 5 O primeiro membro da equação acima é com certeza um número inteiro, pois x e y são inteiros, porém o segundo membro é o resultado da divisão de 101 por 5, que não resultará em um valor inteiro, portanto devemos descartar a alternativa A.

Teste da alternativa B: P1=10 e P2=14. Substituindo os valores de P1 e P2 na equação: x.P1 + y.P2 = 101, teremos:

10x + 14y = 101

?



18 Os números 10 e 14 tem o fator 2 em comum, daí colocaremos o 2 em evidência:


(5x + 7y) = 101 2 O primeiro membro da equação acima é com certeza um número inteiro, pois x e y são inteiros, porém o segundo membro é o resultado da divisão de 101 por 2, que não resultará em um valor inteiro, portanto devemos descartar a alternativa B.

Teste da alternativa C: P1=9 e P2=15. Substituindo os valores de P1 e P2 na equação: x.P1 + y.P2 = 101, teremos:



(3x + 5y) = 101 3 O primeiro membro da equação acima é com certeza um número inteiro, pois x e y são inteiros, porém o segundo membro é o resultado da divisão de 101 por 3, que não resultará em um valor inteiro, portanto devemos descartar a alternativa C. Passemos a análise da alternativa E!

Teste da alternativa E: P1=12 e P2=15. Substituindo os valores de P1 e P2 na equação: x.P1 + y.P2 = 101, teremos:



(4x + 5y) = 101 3 O primeiro membro da equação acima é com certeza um número inteiro, pois x e y são inteiros, porém o segundo membro é o resultado da divisão de 101 por 3, que não resultará em um valor inteiro, portanto devemos descartar a alternativa E. Resta-nos marcar a alternativa D. 10. (TCE-SP 2003 FCC) Michael, Rubinho e Ralf decidiram organizar um desafio para

definir qual deles era o melhor nadador. Seriam realizadas n provas (n > 1), sendo atribuídos, em cada prova, x pontos para o primeiro colocado, y para o segundo e z para o terceiro, não havendo possibilidade de empate em qualquer colocação. Ao final do desafio, Michael acumulou 25 pontos, Rubinho 21 pontos e Ralf 9 pontos. Sendo x, y e z números inteiros e positivos, o valor de n é

(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9 (E) 11



19Sol.: Num total de n provas, em que não há empates, com certeza teremos n primeiros lugares, n segundos lugares e n terceiros lugares.

Para os n primeiros lugares, onde o 1º lugar ganha x pontos, teremos ao todo n.x pontos. Para os n segundos lugares, onde o 2º lugar ganha y pontos, teremos ao todo n.y pontos. Para os n terceiros lugares, onde o 3º lugar ganha z pontos, teremos ao todo n.z pontos.

O total de pontos nas n provas será igual a soma dos resultados acima:

n.x + n.y + n.z Também podemos obter este total de pontos somando os pontos de cada um dos participantes ao final das n provas, teremos:

25 + 21 + 9 =55 pontos Daí: n.x + n.y + n.z = 55 Colocando o n em evidência, teremos:

n . (x+y+z) = 55 O primeiro membro da equação acima é o produto de dois valores: n e (x+y+z). O segundo membro também pode ser colocado como o produto de dois valores. Temos as seguintes possibilidades: 1) 55 x 1 2) 1 x 55 3) 11 x 5 4) 5 x 11

Teste do (55x1) n . (x+y+z) = 55 . 1

Comparando os dois membros da equação, teremos: n=55 e (x+y+z) = 1 Mas como x, y e z são números inteiros positivos (1,2,3,4,...), então o menor valor que (x+y+z) pode assumir é 6 (quando X=3, y=2 e z=1). Então (x+y+z) não pode ser igual a 1. Teste inválido!

Teste do (1x55) n . (x+y+z) = 1 . 55

Comparando os dois membros da equação, teremos: n=1 e (x+y+z) = 55 O enunciado diz que n é maior que 1, portanto teste inválido!

Teste do (11x5) n . (x+y+z) = 11 . 5

Comparando os dois membros da equação, teremos: n=11 e (x+y+z) = 5 Já havíamos concluído que o menor valor que (x+y+z) poderia assumir era 6. Então (x+y+z) não pode ser igual a 5. Teste inválido!

Teste do (5x11) n . (x+y+z) = 5 . 11

Comparando os dois membros da equação, teremos: n=5 e (x+y+z) = 11 Não há restrições para essa situação! Daí, o número de provas realizadas é igual a cinco. (Resposta: Alternativa B)



20 Desejo a todos um Feliz Natal e um próspero Ano Novo! Fiquem com Deus!

DEVER DE CASA 01. (TRT 2004 FCC) Comparando-se uma sigla de 3 letras com as siglas MÊS, SIM,

BOI, BOL e ASO, sabe-se que: - MÊS não tem letras em comum com ela; - SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição; - BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição; - BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição; - ASO tem uma letra em comum com ela, que está na mesma posição.

A sigla a que se refere o enunciado dessa questão é (A) BIL (B) ALI (C) LAS (D) OLI (E) ABI 02. (TCE PIAUÍ 2005 FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz

que, se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação é correto concluir que

(A) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para que o departamento de qualidade seja acionado.

(B) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado.

(C) a abertura de um processo Interno é uma condição necessária e suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado.

(D) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal (E) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno

poderá ser aberto. 03. (TRT 2004 FCC) Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível

transformá-la na figura II:

O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 04. (TRT 2004 FCC) Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo, em

correspondência com os números de 1 a 6, de tal maneira que a somados pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. Dentre as três planificações indicadas, a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com dobras, um dado com as características descritas é (são):



21

(A) I (B) I e lI. (C) I e III. (D) II e III. (E) I, II, III 05. (TRT 2004 FCC) X9 e 9X representam números naturais de dois algarismos.

Sabendo-se que X9 + 9X - 100 é o número natural de dois algarismos ZW, é correto dizer que Z – W é igual a

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1 06. (TRT 2004 FCC) Movendo-se palito(s) de fósforo na figura I, é possível

transformá-la na figura II

o menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é (A) 1 (D) 4 (B) 2 (E) 5 (C) 3 07. (TRT 2004 FCC) Em um concurso. João. Pedro e Lígia tentam adivinhar um

número selecionado entre os números naturais de 1 a 9. Ganha o concurso aquele que mais se aproximar do número sorteado. Se João escolheu o número 4, e Pedro o número 7, a melhor escolha que Lígia pode fazer para maximizar sua chance de vitória é o número

(A) 2 (D) 6 (B) 3 (E) 8 (C) 5 GABARITO: 01.B 02.B 03.C 04.D 05.E 06.B 07.B



1

AULA VINTE E UM: QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO

DA FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS (2ª PARTE)

Olá, amigos!

Esta aula é uma continuação da aula passada, pois de acordo com o nosso novo cronograma, estabelecemos duas aulas para resolução de questões da FCC.

Espero que estejam gostando das aulas, pois estamos nos empenhando para que vocês aprendam muito e fiquem bem preparados para enfrentar as provas!

O cronograma das próximas aulas é o seguinte:






SOLUÇÃO DO DEVER DE CASA

01. (TRT 2004 FCC) Comparando-se uma sigla de 3 letras com as siglas MÊS, SIM, BOI, BOL e ASO, sabe-se que: - MÊS não tem letras em comum com ela; - SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição; - BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição; - BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição; - ASO tem uma letra em comum com ela, que está na mesma posição.

A sigla a que se refere o enunciado dessa questão é (A) BIL (B) ALI (C) LAS (D) OLI (E) ABI Sol.: Vamos analisar uma a uma as pistas dadas no enunciado da questão. 1ª pista) MÊS não tem letras em comum com ela; As alternativas que apresentarem as letras: M, E e S, serão descartadas. Daí, descartaremos a alternativa C.

(A) BIL (B) ALI (C) LAS (D) OLI (E) ABI 2ª pista) SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição; Descartaremos a alternativa A!

(A) BIL (B) ALI (C) LAS (D) OLI (E) ABI 3ª pista) BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição; Descartaremos as alternativas: D e E.

(A) BIL (B) ALI (C) LAS (D) OLI (E) ABI

Resposta: Alternativa B.



2 02. (TCE PIAUÍ 2005 FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz

que, se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação é correto concluir que

(A) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para que o departamento de qualidade seja acionado.

(B) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado.

(C) a abertura de um processo Interno é uma condição necessária e suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado.

(D) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal (E) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno

poderá ser aberto. Sol.: Já vimos que na condicional P Q , temos que: O P é condição suficiente para Q, e o Q é condição necessária para P. Ou seja, o 1º termo da condicional é a condição suficiente, e o 2º termo da condicional é a condição necessária. A questão traz a seguinte condicional: “Se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o departamento de qualidade é acionado”. O 1º termo dessa condicional é o termo: “um cliente faz uma reclamação formal”; e o 2º termo: “é aberto um processo interno e o departamento de qualidade é acionado”. Sabendo quem são o 1º e o 2º termos, já temos condições de encontrar a alternativa correta: alternativa B. (B) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente

para que o departamento de qualidade seja acionado. Na alternativa B não aparece o 2º termo completo da condicional. E aí? Não é necessário aparecer por completo, pois o 2º termo usa o conectivo E para interligar as suas proposições simples. Já se fosse o conectivo OU deveria aparecer por completo o 2º termo. 03. (TRT 2004 FCC) Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível

transformá-la na figura II:

O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Sol.:



3 Os palitos da figura I que devem ser movidos para obter a figura II são os seguintes:

Então basta mover cinco palitos. (Resposta: Alternativa: C) 04. (TRT 2004 FCC) Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo, em

correspondência com os números de 1 a 6, de tal maneira que a somados pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. Dentre as três planificações indicadas, a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com dobras, um dado com as características descritas é (são):

(A) I (B) I e lI. (C) I e III. (D) II e III. (E) I, II, III Sol.: A solução desta questão é muito simples, então a solução ficará restrita a informar que a alternativa correta é a alternativa D. 05. (TRT 2004 FCC) X9 e 9X representam números naturais de dois algarismos.

Sabendo-se que X9 + 9X - 100 é o número natural de dois algarismos ZW, é correto dizer que Z – W é igual a

(A) 5 (D) 2 (B) 4 (E) 1 (C) 3



4 Sol.: Para facilitar a solução dessa questão, atribuiremos a X um valor numérico. Podemos atribuir a X o valor 1? Atribuindo o valor 1 a X, os dois números naturais de dois algarismos serão: 19 e 91. Então não há problemas que o x seja 1! Vamos calcular o valor de X9 + 9X – 100, atribuindo a X o valor 1:

19 + 91 – 100 = 110 – 100 = 10 Daí, ZW = 10. Logo, o Z é igual a 1 e o W é igual a 0. Já podemos calcular o valor de Z – W:

1 – 0 = 1 (Resposta: Alternativa E) 06. (TRT 2004 FCC) Movendo-se palito(s) de fósforo na figura I, é possível

transformá-la na figura II

o menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é (A) 1 (D) 4 (B) 2 (E) 5 (C) 3 Sol.: Os palitos da figura I que devem ser movidos para obter a figura II são os seguintes:

Então basta mover dois palitos. (Resposta: Alternativa: B) 07. (TRT 2004 FCC) Em um concurso. João. Pedro e Lígia tentam adivinhar um

número selecionado entre os números naturais de 1 a 9. Ganha o concurso aquele que mais se aproximar do número sorteado. Se João escolheu o número 4, e Pedro o número 7, a melhor escolha que Lígia pode fazer para maximizar sua chance de vitória é o número

(A) 2 (D) 6 (B) 3 (E) 8 (C) 5



5 Sol.: Para encontrar a resposta correta, testaremos cada uma das alternativas.

Teste da alternatina A: Lígia escolhe o número 2. Se Lígia escolher o número 2, ela ganhará sozinha se o número sorteado for: 1 ou 2.

Teste da alternatina B: Lígia escolhe o número 3. Se Lígia escolher o número 3, ela ganhará sozinha se o número sorteado for: 1 ou 2 ou 3.

Teste da alternatina C: Lígia escolhe o número 5. Se Lígia escolher o número 5, ela ganhará sozinha se o número sorteado for: 5 ou 6.

Teste da alternatina D: Lígia escolhe o número 6. Se Lígia escolher o número 6, ela ganhará sozinha se o número sorteado for: 6 ou 7.

Teste da alternatina E: Lígia escolhe o número 8. Se Lígia escolher o número 8, ela ganhará sozinha se o número sorteado for: 7 ou 8. A alternativa que apresentou o maior número de valores com o qual Lígia pode vencer foi a alternativa B. (Resposta!) É isso! Passemos agora para a aula 21, que na verdade é uma continuação da aula passada, onde resolveremos mais questões da FCC.

QUESTÕES RESOLVIDAS DA FCC (2ª PARTE)

Faremos a solução de dez questões e deixaremos doze questões para casa. 01. (TRT 2004 FCC) Observe atentamente a tabela:

um dois três quatro cinco Seis sete oito nove dez 2 4 4 6 5 4 4 4 4

De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela deve ser preenchido com o número (A) 2 (D) 5 (B) 3 (E) 6 (C) 4 Sol.: O “um” tem 2 letras e abaixo do “um”, na tabela, aparece o valor 2. O “dois” tem 4 letras e abaixo do “dois”, na tabela, aparece o valor 4. O “três” tem 4 letras e abaixo do “três”, na tabela, aparece o valor 4. O “quatro” tem 5 letras e abaixo do “quatro”, na tabela, aparece o valor 5. Prosseguindo com essa lógica, abaixo do “dez”, na tabela, deverá aparecer o valor 3.

(Resposta: Alternativa: B).



602. (CEAL ALAGOAS FCC) São dados três grupos de 4 letras cada um:

(MNAB) : (MODC) :: (EFRS) :

Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K,W e Y, então o grupo de quatro letras que deve ser colocado à direita do terceiro grupo e que preserva a relação que o segundo tem com o primeiro é (A) (EHUV) (B) (EGUT) (C) (EGVU) (D) (EHUT) (E) (EHVU) Sol.:

(MNAB) : (MODC) :: (EFRS) : ______ Qual a relação que existe entre o 1º grupo de letras (MNAB) e o 2º grupo de letras (MODC)? Vamos colocar estes dois grupos de letras um abaixo do outro.

1º grupo: M N A B

2º grupo: M O D C Observe que: a 1ª letra do 1º e do 2º grupo são iguais.

a 2ª letra do 1º grupo é N e a do 2º grupo é O, são letras que são vizinhas no alfabeto.

a 3ª letra do 1º grupo é A e a do 2º grupo é D, e no alfabeto há duas letras entre elas: B e C.

a 4ª letra do 1º grupo é B e a do 2º grupo é C, são letras que são vizinhas no alfabeto.

Estas mesmas relações entre as letras do 1º e do 2º grupos também deverão ocorrer entre as letras do 3º e do 4º grupos. A alternativa B será a resposta, veja porque:

3º grupo: E F R S

4º grupo: E G U T Observe que: a 1ª letra do 3º e do 4º grupo são iguais.

a 2ª letra do 3º grupo é F e a do 4º grupo é G, são letras que são vizinhas no alfabeto.

a 3ª letra do 3º grupo é R e a do 4º grupo é U, e no alfabeto há duas letras entre elas: S e T.

a 4ª letra do 3º grupo é S e a do 4º grupo é T, são letras que são vizinhas no alfabeto.


?



703. (CEAL ALAGOAS FCC) Na figura abaixo se tem um triângulo composto por

algumas letras do alfabeto e por alguns espaços vazios, nos quais algumas letras deixaram de ser colocadas.

Considerando que a ordem alfabética adotada exclui as letras K, W e Y, então, se as letras foram dispostas obedecendo a determinado critério, a letra que deveria estar no lugar do ponto de interrogação é (A) H (B) L (C) J (D) U (E) Z Sol.: Observem que as letras estão em ordem alfabética, conforme mostramos através da seta em azul:

Portanto, teremos as seguintes letras nas posições vazias:

Resposta: Alternativa B. 04. (CEAL ALAGOAS FCC) Os termos da seqüência (77,74,37,34,17,14,...) são obtidos

sucessivamente através de uma lei de formação. A soma do sétimo e oitavo termos dessa seqüência. obtidos segundo essa lei é

(A) 21 (B) 19 (C) 16 (D) 13 (E) 11

O

L

J

I



8Sol.: Temos a seguinte seqüência:

77 74 37 34 17 14 ___ ___ Observe que: o terceiro termo (37) é a metade do segundo termo (74). o quinto termo (17) é a metade do quarto termo (34). Prosseguindo essa lógica, teremos que: o sétimo termo (?) é a metade do sexto termo (14). Daí, o sétimo termo é o 7. Também observe que: o segundo termo (74) é igual ao primeiro termo (77) menos três. o quarto termo (34) é igual ao terceiro termo (37) menos três. o sexto termo (14) é igual ao quinto termo (17) menos três. Prosseguindo essa lógica, teremos que: o oitavo termo (?) é igual ao sétimo termo (7) menos três. Daí, o oitavo termo é o 4. A soma do sétimo e oitavo termos é igual a 11. (Resposta: Alternativa E) 05. (CEAL ALAGOAS FCC) Considere o desenho seguinte:

A alternativa que apresenta uma figura semelhante à outra que pode ser encontrada no interior do desenho dado é

A) B)

C) D)

E) Sol.:

A resposta é a alternativa C. Veja a figura da alternativa C, em cinza, abaixo:

? ?



906. (CEAL ALAGOAS FCC) Considere a seqüência de igualdades seguintes:

13 = 12 - 02 23 = 32 - 12 33 = 62 - 32 43 = 102 - 62

.

.

. É correto afirmar que a soma 13 + 23 + 33+ 43+ 53 + 63 + 73 + 83 é igual a (A) 482 (B) 462 (C) 422 (D) 382 (E) 362 Sol.: As linhas acima vão até o número 4, vamos completar até o número 8:

13 = 12 - 02 23 = 32 - 12 33 = 62 - 32 43 = 102 - 62

53 = 152 - 102 63 = 212 - 152 73 = 282 - 212 83 = 362 - 282

Ao somar os números que estão nos primeiros membros das igualdade acima, teremos:

13 + 23 + 33+ 43+ 53 + 63 + 73 + 83 Ao somar os números que estão nos segundos membros das igualdade acima, haverá o cancelamento de diversos números sobrando apenas:

362 Portanto, teremos que: 13 + 23 + 33+ 43+ 53 + 63 + 73 + 83 = 362

(Resposta: Alternativa E)

07. (TRF 2004 FCC) Considere os seguintes pares de números:

(3,10) ; (1,8) ; (5,12) ; (2,9) ; (4,10). Observe que quatro desses pares têm uma característica comum. O único par que não apresenta tal característica é (A) (3,10) (B) (1,8) (C) (5,12) (D) (2,9) (E) (4,10) Sol.: Observe que subtraindo os elementos de cada par, para os quatro primeiros pares, obteremos o valor 7. Já a subtração dos elementos do par (4,10) é igual a 6.

(Resposta: Alternativa E) 08. (TRF 2004 FCC) Observe a figura seguinte:

Qual figura é igual à figura acima representada?

(A) (B) (C) (D) (E)



10 Sol.: Temos um quadrado com três pontos pintados, e temos que descobrir qual é a alternativa que traz o mesmo quadrado só que em posição diferente.

(Resposta: Alternativa D) 09. (TRF 2004 FCC) Certo dia, no início do expediente de uma Repartição Pública, dois

funcionários X e Y receberam, cada um, uma dada quantidade de impressos. Então, X cedeu a Y tantos impressos quanto Y tinha e, logo em seguida, Y cedeu a X tantos impressos quanto X tinha. Se, após as duas transações, ambos ficaram com 32 impressos, então, inicialmente, o número de impressos de X era

(A) 24 (B) 32 (C) 40 (D) 48 (E) 52 Sol.: Considere que os funcionários X e Y tinham inicialmente as quantidades a e b de impressos, respectivamente. 1ª Transação:

X cedeu a Y tantos impressos quanto Y tinha: Como Y tem b impressos, então X cederá a Y mais b impressos. Depois disso, Y passa a ter 2b (=b+b) impressos, e X passa a ter a-b impressos. 2ª Transação:

Y cedeu a X tantos impressos quanto X tinha: Como X tem a-b impressos, então Y cederá a X mais a-b impressos. Depois disso, Y passa a ter 2b–(a-b) impressos, ou seja, (3b – a) impressos. E X que tinha (a-b) impressos, passa a ter (a-b)+(a-b), ou seja, 2(a-b) impressos. Como após as duas transações ambos ficaram com 32 impressos, então temos as seguintes equações: 3b – a = 32 2(a-b) = 32 Simplificando a 2ª equação, teremos: 3b – a = 32 a – b = 16 Somando membro a membro as equações, vem:

3b +a – a – b = 32 + 16

Daí: 2b = 48 b = 24 Substituindo b=24 na equação: a – b = 16, podemos determinar o valor de a:

a – 24 = 16 a = 40 (Resposta: Alternativa C)



1110. (TRT 2004 FCC) Em relação aos países A, B, C, D e E que irão participar das

Olimpíadas de Atenas neste ano, quatro pessoas fizeram os seguintes prognósticos de classificação:

Se após as Olimpíadas for verificado que apenas duas pessoas acertaram seu próprio prognóstico, conclui-se que o melhor colocado, entre os cinco países, foi (A) A (D) D (B) B (E) E (C) C Sol.: A solução mais indicada para esta questão é considerar cada um dos países como vencedor, e verificar quantas acertaram e quantas erraram o prognóstico. Vamos iniciar pelo país A.

Se o vencedor foi o país A quem acertou e quem errou? De acordo com os prognósticos que cada um fez, temos os seguintes resultados: Houve duas pessoas que acertaram e duas pessoas que erraram o prognóstico. Isso está de acordo com o enunciado da questão. Portanto, já descobrimos que é o vencedor das Olimpíadas é o país A. (Resposta: Alternativa A).

João O país melhor colocado será B Luís O país melhor colocado será B ou D Teresa O país melhor colocado não será D e nem C Célia O país E não será o melhor colocado

João errou Luís errou Teresa acertouCélia acertou



12 Um abraço forte a todos! Fiquem com Deus!

DEVER DE CASA

01. (TRT 2004 FCC) No retângulo abaixo, cada um dos quatro símbolos diferentes representa um número natural. Os números indicados fora do retângulo representam as respectivas somas dos símbolos na linha 2 e nas colunas 2 e 4:

Conclui-se das informações que o símbolo X representa o número (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 9 02. (TCE-SP 2003 FCC) Cada um dos 25 alunos de um curso de pós-graduação deve

entregar, ao final do semestre, uma monografia individual. O tema do trabalho é escolhido pelo aluno dentre uma relação fornecida pelos professores, que consta de 20 temas numerados de 1 a 20. Pode-se concluir que, certamente,

(A) haverá pelo menos um aluno cuja monografia abordará o tema 20. (B) duas monografias abordarão o tema 5, mas apenas uma monografia abordará o tema 6. (C) haverá trabalhos com temas repetidos, porém, nunca mais do que duas monografias com

o mesmo tema. (D) cada um dos 20 temas será abordado em pelo menos um dos trabalhos. (E) haverá pelo menos um tema dentre os 20 que será escolhido por mais de um aluno.

03. (TRT 2004 FCC) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C, cada

eleitor receberá uma cédula com o nome de cada candidato e deverá atribuir o número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o número 3 a terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos eleitores votaram corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato foi: - 22 para A - 18 para B - 20 para C

Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 04. (TCE PIAUÍ 2005 FCC) No diagrama abaixo, o retângulo maior representa o

conjunto de todos os alunos do 1º ano de Engenharia de uma faculdade e as outras três figuras representam os conjuntos desses alunos que foram aprovados nas disciplinas de Cálculo 1, Cálculo 2 e Álgebra linear.



13Cálculo 1 é pré-requisito para Cálculo2, ou seja, um aluno só pode cursar Cálculo 2 se tiver sido aprovado em Cálculo 1. Além disso, sabe-se que nenhum aluno do 1ºano conseguiu ser aprovado ao mesmo tempo em Cálculo 2 e Álgebra linear. A tabela abaixo mostra a situação de três alunos nessas três disciplinas:

Aluno Cálculo 1 Cálculo 2 Álgebra linear Paulo aprovado aprovado não aprovado

Marcos não aprovado não aprovado aprovado Jorge aprovado não aprovado aprovado

Associando cada um desses alunos à região do diagrama mais apropriada para representá-los, temos (A) Pau!o-V. Marcos-III, Jorge-I. (B) PauIo-V. Marcos-II. Jorge-V (C) PauIo-IV. Marcos-V, Jorge-I. (D) PauIo-IV. Marcos-II, Jorge-III. (E) Paufo-IV.. Marcos-V, Jorge-III. 05. (TRT 2004 FCC) Em um dado convencional os pontos que correspondem aos

números de 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo, de tal maneira que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete. Considere que a figura seguinte indica dois dados convencionais, e que suas faces em contato não possuem quantidades de pontos iguais.

A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é (A) 7 (D) 11 (B) 8 (E) 12 (C) 9 06. (TCE-SP 2003 FCC) A figura abaixo mostra uma pilha de três dados idênticos. O

número da face do dado inferior que está em contato com o dado intermediário (A) certamente é 1. (B) certamente é 2. (C) certamente é 5. (D) pode ser 1 e pode ser 2. (E) pode ser 5 e pode ser 6.

07. (TCE-SP 2003 FCC) As equipes de plantão de um pronto-socorro são sempre compostas por um médico e três enfermeiros. A tabela abaixo mostra as escalas para os plantões em quatro dias consecutivos:

Dia 12 13 14 15 Ana Bob Gil Bob Bob Célia Felipe Felipe Célia Eva Davi Ana

Equipe de Plantão

Davi Felipe Bob Gil Dentre as pessoas citadas na tabela, há dois médicos e cinco enfermeiros. Então, os médicos são (A) Davi e Eva. (D) Célia e Gil. (B) Bob e Eva. (E) Davi e Gil. (C) Ana e Felipe.



1408. (TCE PIAUÍ 2005 FCC) Juntam-se 64 cubos de madeira idênticos de aresta 1cm,

formando um cubo maior, de aresta 4 cm. Em seguida, cada uma das seis faces do cubo maior é pintada. Após a secagem da tinta, separam-se novamente os 64 cubos menores e n deles são escolhidos, de maneira aleatória. O menor valor de n para que se possa afirmar com certeza que pelo menos um dos cubos sorteados não teve nenhuma de suas faces pintadas é

(A) 57 (D) 48 (B) 56 (E) 9 (C) 49 09. (TRT 2004 FCC) Em uma urna contendo 2 bolas brancas, 1 bola preta, 3 bolas

cinzas, acrescenta-se 1 bola, que pode ser branca, preta ou cinza. Em seguida, retira-se dessa uma, sem reposição, um total de 5 bolas. Sabe-se que apenas 2 das bolas retiradas eram brancas e que não restaram bolas pretas na uma após a retirada. Em relação às bolas que restaram na urna, é correto afirmar que

(A) ao menos uma ê branca. (B) necessariamente uma é branca. (C) ao menos uma é cinza. (D) exatamente uma é cinza. (E) todas são cinzas. 10. (TRT 2004 FCC) Um número de 1 a 10 foi mostrado para três pessoas. Cada

pessoa fez a seguinte afirmação sobre o número: Pessoa I: o número é divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Pessoa II: o número é ímpar. Pessoa III: o número é múltiplo de 5. Considerando que apenas duas pessoas dizem a verdade, o total de números distintos que podem ter sido mostrados às três pessoas é: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 11. (TRT 2004 FCC) Para fazer pesagens, um comerciante dispõe de uma balança de

pratos, um peso de 1/2 kg, um de 2kg e um de 3kg.

Com os instrumentos disponíveis, o comerciante conseguiu medir o peso de um pacote de açúcar. O total de possibilidades diferentes para o peso desse pacote de açúcar é (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10



15Instruções: Para responder a próxima questão, observe o exemplo abaixo, no qual são dados três conjuntos de números, seguidos de cinco alternativas.

(A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 15 (E) 18

O objetivo da questão é. determinar o número x que aparece abaixo do traço no terceiro conjunto. No primeiro conjunto, acima do traço, têm-se os números 3 e 4, e, abaixo, o número 12. Note que o número 12 é resultado de duas operações sucessivas: a adição dos números acima do traço (3 + 4 = 7), seguida da adição de 5 à soma obtida (7 + 5 =12). Da mesma forma, foi obtido o número 11 do segundo conjunto: 1+5 = 6; 6 + 5 = 11. Repetindo-se a seqüência de operações efetuadas nos conjuntos anteriores com os números do terceiro conjunto, obtém-se o número x, ou seja, 2 + 8 = 10; 10 + 5 = x. Assim, x = 15 e a resposta é a alternativa(D). Atenção: Em questões desse tipo, podem ser usadas outras operações, diferentes das usadas no exemplo dado.

12. (TRF 2004 FCC) Considere os conjuntos de números:

Mantendo para os números do terceiro conjunto a seqüência das duas operações efetuadas nos conjuntos anteriores para se obter o número abaixo do traço, é correto afirmar que o número x é (A) 9 (B) 16 (C) 20 (D) 36 (E) 40 GABARITO: 01.A 02.E 03.C 04.D 05.A 06.B 07.D 08.A 09.C 10.B 11.E 12.B



1 AULA VINTE E DOIS: QUESTÕES VARIADAS DA ESAF (1ª PARTE)

Olá, amigos!

Veremos nesta aula a solução do dever de casa da aula passada, que se refere às questões de Raciocínio Lógico elaboradas pela FCC. Após isso, resolveremos questões variadas da ESAF. Essas questões não trazem um assunto específico e não podem ser enquadradas em nenhum dos tópicos já vistos neste curso. São problemas que se resolvem, muitas vezes, com um mero e rápido raciocínio.


Aula 23: Questões Variadas da ESAF (2ª parte);





01. (TRT 2004 FCC) No retângulo abaixo, cada um dos quatro símbolos diferentes representa um número natural. Os números indicados fora do retângulo representam as respectivas somas dos símbolos na linha 2 e nas colunas 2 e 4:

Conclui-se das informações que o símbolo X representa o número

(A) 3 (D) 8

(B) 5 (E) 9

(C) 7

Sol.:

Substituiremos os símbolos por letras, da seguinte maneira:

- O símbolo do quadrado pela letra q.

- O símbolo do círculo pela letra c.

- O símbolo do triângulo pela letra t.

- O símbolo do X pela letra x.

De acordo com a figura acima, podemos retirar os seguintes dados:

A soma dos símbolos da 2ª linha é 30, então teremos:

x + q + c + c = 30 (1ª equação)



2 A soma dos símbolos da 2ª coluna é 20, então teremos:

c + q = 20 (2ª equação)

A soma dos símbolos da 4ª coluna é 14, então teremos:

c + c = 14 , ou seja, c = 7

Como já achamos o valor de c, devemos substituí-lo na 2ª equação para encontrarmos o valor de q. Faremos isso:

c + q = 20 7 + q = 20 q = 13

Agora, substituiremos os valores de c e de q na 1ª equação para encontrarmos o valor de x. Assim, teremos:

x + q + c + c = 30 x + 13 + 7 + 7 = 30 x + 27 = 30 x = 3


02. (TCE-SP 2003 FCC) Cada um dos 25 alunos de um curso de pós-graduação deve entregar, ao final do semestre, uma monografia individual. O tema do trabalho é escolhido pelo aluno dentre uma relação fornecida pelos professores, que consta de 20 temas numerados de 1 a 20. Pode-se concluir que, certamente,

(A) haverá pelo menos um aluno cuja monografia abordará o tema 20.

(B) duas monografias abordarão o tema 5, mas apenas uma monografia abordará o tema 6.

(C) haverá trabalhos com temas repetidos, porém, nunca mais do que duas monografias com o mesmo tema.

(D) cada um dos 20 temas será abordado em pelo menos um dos trabalhos.

(E) haverá pelo menos um tema dentre os 20 que será escolhido por mais de um aluno.

Sol.:

Ao todo temos 25 alunos no curso de pós-graduação, e 20 temas numerados que serão escolhidos por esses alunos. O enunciado não diz nada sobre a distribuição dos temas, como por exemplo, se todos os alunos podem escolher o mesmo tema ou o número máximo de alunos por tema. Só sabemos que com certeza terá mais de um aluno com o mesmo tema, já que o número de alunos é maior que o número de temas. Daí, a resposta da questão é a alternativa E.

03. (TRT 2004 FCC) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C, cada eleitor receberá uma cédula com o nome de cada candidato e deverá atribuir o número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o número 3 a terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos eleitores votaram corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato foi:

- 22 para A

- 18 para B

- 20 para C

Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a

(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15



3Sol.: Esta questão é parecida com a questão 10, pág. 18, da aula 20, daí procederemos, inicialmente, de maneira semelhante a questão já vista por nós.

Cada eleitor tem que preencher uma cédula, atribuindo números aos candidatos A, B e C. O número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o número 3 a terceira escolha. Portanto, não pode haver empates entre os candidatos numa mesma cédula. Desta forma, num total de n cédulas, haverá n números 1 atribuídos, n números 2 atribuídos e n números 3 atribuídos.

A soma dos números que aparecem nas n cédulas é igual a:

n.1 + n.2 + n.3

Somando, temos: n + 2n + 3n = 6n

Os números atribuídos aos candidatos foram:

- 22 para A

- 18 para B

- 20 para C

A soma destes números deve ser a mesma que obtemos anteriormente, 6n. Daí, teremos:

6n = 22 + 18 + 20

Resolvendo, vem: 6n = 60 n = 60/6 n = 10

Portanto, o número de cédulas utilizadas foram 10, e como a cada cédula corresponde um eleitor, então o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a 10. (Resposta: Alternativa C)

04. (TCE PIAUÍ 2005 FCC) No diagrama abaixo, o retângulo maior representa o conjunto de todos os alunos do 1º ano de Engenharia de uma faculdade e as outras três figuras representam os conjuntos desses alunos que foram aprovados nas disciplinas de Cálculo 1, Cálculo 2 e Álgebra linear.

Cálculo 1 é pré-requisito para Cálculo2, ou seja, um aluno só pode cursar Cálculo 2 se tiver sido aprovado em Cálculo 1. Além disso, sabe-se que nenhum aluno do 1ºano conseguiu ser aprovado ao mesmo tempo em Cálculo 2 e Álgebra linear. A tabela abaixo mostra a situação de três alunos nessas três disciplinas:

Aluno Cálculo 1 Cálculo 2 Álgebra linear

Paulo aprovado aprovado não aprovado

Marcos não aprovado não aprovado aprovado

Jorge aprovado não aprovado aprovado



4Associando cada um desses alunos à região do diagrama mais apropriada para representá-los, temos

(A) Pau!o-V. Marcos-III, Jorge-I.

(B) PauIo-V. Marcos-II. Jorge-V

(C) PauIo-IV. Marcos-V, Jorge-I.

(D) PauIo-IV. Marcos-II, Jorge-III.

(E) Paufo-IV.. Marcos-V, Jorge-III.

Sol.:

As três figuras que estão dentro do triângulo são: uma elipse, um trapézio e um triângulo, e representam os conjuntos dos alunos que foram aprovados nas disciplinas de Cálculo 1, Cálculo 2 e Álgebra linear. Estas três figuras poderiam ser círculos, mas a FCC optou por figuras diferentes.

Tentaremos identificar qual é a disciplina que cada figura representa.

Como Cálculo 1 é pré-requisito para Cálculo 2, então todos os alunos que foram aprovados em cálculo 2, também foram aprovados em cálculo 1. Daí, o conjunto dos aprovados em Cálculo 2 está contido no (dentro do) conjunto dos aprovados em Cálculo 1. E observe na figura dada na questão, que o triângulo está dentro da elipse, daí o triângulo representa o conjunto dos aprovados em Cálculo 2 e a elipse representa o conjunto do aprovados em Cálculo 1. Só sobraram o trapézio e a disciplina de Álgebra Linear, daí o trapézio representa os aprovados em Álgebra Linear.

Na figura da questão também aparecem regiões hachuradas, que estão identificadas através dos algarismos romanos: I, II, III, IV e V. Estas regiões têm as seguintes representações:

- Região I: representa os alunos do 1º ano que não foram aprovados em nenhuma das disciplinas.

- Região II: representa os alunos do 1º ano que foram aprovados somente em Álgebra Linear.

- Região III: representa os alunos do 1º ano que foram aprovados em Álgebra Linear e Cálculo I.

- Região IV: representa os alunos do 1º ano que foram aprovados em Cálculo 2, e é claro em Cálculo 1.

- Região V: representa os alunos do 1º ano que foram aprovados somente em Cálculo 1.

Partiremos para descobrir quais são as regiões onde se encontram Paulo, Marcos e Jorge.

Da tabela fornecida na questão, temos que Paulo foi aprovado em Cálculo 1 e em Cálculo 2, mas não em Álgebra Linear. Portanto, Paulo está na região IV.

Temos que Marcos foi aprovado somente em Álgebra Linear. Daí, Marcos está na região II.

Quanto a Jorge, ele foi aprovado em Cálculo 1 e Álgebra Linear. Daí, Jorge está na região III.

(Resposta: Alternativa D)



505. (TRT 2004 FCC) Em um dado convencional os pontos que correspondem aos

números de 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo, de tal maneira que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete. Considere que a figura seguinte indica dois dados convencionais, e que suas faces em contato não possuem quantidades de pontos iguais.

A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é

(A) 7 (D) 11

(B) 8 (E) 12

(C) 9

Sol.:

Vamos tentar descobrir as faces do primeiro dado.

O enunciado afirmou que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete. Daí, a face oposta a face 3 é a face 4, e a face oposta a face 2 é a face 5. Resta descobrir onde estão as faces 1 e 6. Para isso, vamos observar o segundo dado.

Neste segundo dado, a face oposta a face 1, tem que ser a face 6, para que a soma seja 7. Esta face 6 é a que está em contato com o primeiro dado. E como o enunciado informa que as faces em contato não possuem quantidades de pontos iguais, então é a face 1 do primeiro dado que está em contato com a face 6 do segundo dado.

Portanto, as faces em contato entre os dois dados são: face 1 do primeiro dado e face 6 do segundo dado.

A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é: 1 + 6 =7.




606. (TCE-SP 2003 FCC) A figura abaixo mostra uma pilha de três dados idênticos. O

número da face do dado inferior que está em contato com o dado intermediário

(A) certamente é 1.

(B) certamente é 2.

(C) certamente é 5.

(D) pode ser 1 e pode ser 2.

(E) pode ser 5 e pode ser 6.

Sol.:

Vamos virar o dado superior de modo que a face 3 fique com a mesma disposição dos pontos mostrada na face 3 do dado inferior. Feito isso, teremos dois possíveis desenhos para o dado superior:

1º) Face 6 para frente e face 2 para baixo:

2º) Face 6 para trás e face 2 para cima:

No dado inferior a face que está para frente é a face 4, portanto o segundo desenho acima é o que corresponderá ao dado inferior. Daí, o desenho do dado inferior ficará sendo:

A questão pede o número da face do dado inferior que está em contato com o dado intermediário, e este número já encontramos é o número 2. (Resposta: Alternativa B)

07. (TCE-SP 2003 FCC) As equipes de plantão de um pronto-socorro são sempre compostas por um médico e três enfermeiros. A tabela abaixo mostra as escalas para os plantões em quatro dias consecutivos:

Dia 12 13 14 15

Ana Bob Gil Bob

Bob Célia Felipe Felipe

Célia Eva Davi Ana

Equipe de Plantão

Davi Felipe Bob Gil

face 2

face 6

face 6



7Dentre as pessoas citadas na tabela, há dois médicos e cinco enfermeiros. Então, os médicos são

(A) Davi e Eva. (D) Célia e Gil.

(B) Bob e Eva. (E) Davi e Gil.

(C) Ana e Felipe.

Sol.:

Há somente dois médicos, e como as alternativas trazem os possíveis nomes destes médicos, então é melhor resolvermos esta questão testando cada uma das alternativas.

Teste da alternativa A) Davi e Eva.

Observe que Davi e Eva não aparecem no plantão do dia 15, e como em todo plantão deve haver um médico, então ambos não podem ser médicos. Alternativa descartada!

Teste da alternativa B) Bob e Eva.

Observe que Bob e Eva aparecem no plantão do dia 13, e como em todo plantão deve haver apenas um médico, então ambos não podem ser médicos. Alternativa descartada!

Teste da alternativa C) Ana e Felipe.

Observe que Ana e Felipe aparecem no plantão do dia 15, e como em todo plantão deve haver apenas um médico, então ambos não podem ser médicos. Alternativa descartada!

Teste da alternativa D) Célia e Gil.

Célia aparece nos plantões do dia 12 e dia 13. E Gil aparece nos plantões do dia 14 e dia 15. Então esta alternativa deve estar correta, mas vamos prosseguir a análise da última alternativa.

Teste da alternativa E) Davi e Gil.

Observe que Davi e Gil aparecem no plantão do dia 14, e como em todo plantão deve haver apenas um médico, então ambos não podem ser médicos. Alternativa descartada!


08. (TCE PIAUÍ 2005 FCC) Juntam-se 64 cubos de madeira idênticos de aresta 1cm, formando um cubo maior, de aresta 4 cm. Em seguida, cada uma das seis faces do cubo maior é pintada. Após a secagem da tinta, separam-se novamente os 64 cubos menores e k deles são escolhidos, de maneira aleatória. O menor valor de k para que se possa afirmar com certeza que pelo menos um dos cubos sorteados não teve nenhuma de suas faces pintadas é

(A) 57 (D) 48

(B) 56 (E) 9

(C) 49

Sol.:

A solução desta questão depende de encontrarmos o número de cubos de aresta 1 cm que serão pintados. Sabemos que o número total de cubos de aresta 1 cm é 64. E é claro os cubos de aresta 1 cm que serão pintados são os que têm face na área externa do cubo maior e os cubos internos não serão pintados. O total dos cubos pintados pode ser obtido subtraindo-se o total de cubos pelo número de cubos internos.



8 O número de cubos internos será obtido através de uma fórmula que veremos adiante.

Para chegarmos a essa fórmula, primeiramente veremos o seguinte exemplo abaixo.

Considere um quadrado maior formado por 6 pequenos quadrados em cada um dos seus lados, conforme desenho abaixo. Qual é o total de pequenos quadrados? Acho que todos vão responder corretamente que basta multiplicar o número de quadrados que há na altura pelo número de quadrados que há na largura, ou seja:

6 x 6 = 62 = 36 pequenos quadrados

Generalizando: se um quadrado maior é formado por n pequenos quadrados em cada um dos seus lados, então o total de pequenos quadrados será:

nxn = n2

E qual é o número de quadrados internos? Os quadrados internos são mostrados na cor cinza no desenho abaixo.

Os pequenos quadrados internos formam outro quadrado, mas agora com 4 (= 6-2) pequenos quadrados em cada um dos seus lados. Assim, o total de quadrados internos será igual a:

(6-2) x (6-2) = (6-2)2 = 42 = 16 pequenos quadrados

Generalizando: se um quadrado maior é formado por n pequenos quadrados em cada um dos seus lados, então o total de pequenos quadrados será:

(n-2)x(n-2) = (n-2)2

Utilizaremos esse mesmo raciocínio para descobrirmos o número de pequenos cubos internos que há em um cubo maior.

Se um cubo maior é formado por n pequenos cubos em suas arestas (altura, largura e profundidade), então qual é o total de pequenos cubos que teremos? A resposta é fácil, basta fazer: n3.

4 pequenos quadrados

4 pequenos quadrados



9 E o número de pequenos cubos internos? Pelo mesmo raciocínio que usamos para o

quadrado, a resposta será: (n-2)3.

Aconselho a vocês a memorizarem o resultado acima, pois este tipo de questão é comum em provas da FCC.

Voltando a nossa questão, o valor de n é 4, pois são quatro pequenos cubos em cada aresta do cubo maior, totalizando 64 (=43) pequenos cubos.

O número de cubos internos é igual a:

(n-2)3 = (4-2)3 = 8

Assim, o número de cubos externos é igual a 56 (= 64–8). Portanto, 56 cubos terão pelo menos uma de suas faces pintadas.

Para que se possa afirmar com certeza que pelo menos um dos cubos sorteados não teve nenhuma de suas faces pintadas, devemos sortear no mínimo 57 (=56+1) pequenos cubos. (Resposta: Alternativa A)

09. (TRT 2004 FCC) Em uma urna contendo 2 bolas brancas, 1 bola preta, 3 bolas cinzas, acrescenta-se 1 bola, que pode ser branca, preta ou cinza. Em seguida, retira-se dessa urna, sem reposição, um total de 5 bolas. Sabe-se que apenas 2 das bolas retiradas eram brancas e que não restaram bolas pretas na urna após a retirada. Em relação às bolas que restaram na urna, é correto afirmar que

(A) ao menos uma ê branca.

(B) necessariamente uma é branca.

(C) ao menos uma é cinza.

(D) exatamente uma é cinza.

(E) todas são cinzas.

Sol.:

Antes de retirarmos as cinco bolas, temos na urna um total de 7 bolas: 2 bolas brancas, 1 bola preta, 3 bolas cinzas, e mais 1 bola, que pode ser branca, preta ou cinza.

Das 5 bolas retiradas da urna, duas delas eram brancas e pelo menos uma era preta. Mesmo que as outras duas bolas retiradas sejam cinzas, restará uma bola cinza na urna, portanto a resposta é a letra C.

10. (TRT 2004 FCC) Um número de 1 a 10 foi mostrado para três pessoas. Cada pessoa fez a seguinte afirmação sobre o número:

Pessoa I: o número é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.

Pessoa II: o número é ímpar.

Pessoa III: o número é múltiplo de 5.

Considerando que apenas duas pessoas dizem a verdade, o total de números distintos que podem ter sido mostrados às três pessoas é:

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6



10Sol.:

Somente um dos números de 1 a 10 foi mostrado as três pessoas, mas não sabemos qual. Testaremos um por um para encontrarmos os possíveis números mostrados. A cada teste analisaremos se as pessoas dizem a verdade ou mentem. Se no teste houver duas pessoas dizendo a verdade e uma mentindo, então o teste é válido, ou seja, o número pode ter sido mostrado as três pessoas, senão descartaremos o número testado.

Considere que o número mostrado é o 1.

- A pessoa I estará dizendo a verdade.

- A pessoa II estará dizendo a verdade.

- A pessoa III estará mentindo.

Teste válido!



- A pessoa II estará mentindo.


Teste inválido!





Teste válido!


- A pessoa I estará mentindo.



Teste inválido!




- A pessoa III estará dizendo a verdade.

Teste inválido!





Teste inválido!





Teste válido!





Teste inválido!





Teste inválido!





Teste inválido!

Os testes foram válidos apenas para os números 1, 3 e 5, portanto há três números distintos que podem ter sido mostrados às três pessoas

(Resposta: Alternativa B)



1111. (TRT 2004 FCC) Para fazer pesagens, um comerciante dispõe de uma balança de

pratos, um peso de 1/2 kg, um de 2kg e um de 3kg.

Com os instrumentos disponíveis, o comerciante conseguiu medir o peso de um pacote de açúcar. O total de possibilidades diferentes para o peso desse pacote de açúcar é

(A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 10

Sol.:

Faremos várias pesagens usando a balança, os pesos e o pacote de açúcar, para que possamos descobrir quantas possibilidades diferentes pode haver para o peso desse pacote de açúcar.

1ª pesagem:

O pacote de açúcar pesa 1/2 kg.

2ª pesagem:

O pacote de açúcar pesa 2 kg.

3ª pesagem:

O pacote de açúcar pesa 3 kg.

4ª pesagem:

O pacote de açúcar pesa 2,5 kg (=2+1/2).

Açúcar1/2

Açúcar 2

Açúcar 3

Açúcar 1/2 2



12 5ª pesagem:

O pacote de açúcar pesa 3,5 kg (=3+1/2).

6ª pesagem:

O pacote de açúcar pesa 5 kg (=2+3).

7ª pesagem:

O pacote de açúcar pesa 5,5 kg (=2+3+0,5).

8ª pesagem:

O prato da esquerda tem o peso de 2 kg, e o prato da direita tem a soma do peso do pacote de açúcar com o peso de 1/2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual a: 1,5 kg (=2–1/2).

9ª pesagem:

O prato da esquerda tem o peso de 3 kg, e o prato da direita tem a soma do peso do pacote de açúcar com o peso de 1/2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual a: 2,5 kg (=3–1/2). Esse valor para o peso do pacote de açúcar já havia sido achado na 4ª pesagem.

10ª pesagem:

Açúcar 1/2 3

Açúcar 2 3

Açúcar 2 3

1/2

Açúcar 2 1/2

Açúcar 3 1/2

Açúcar 3 2



13 O prato da esquerda tem o peso de 3 kg, e o prato da direita tem a soma do peso do pacote de açúcar com o peso de 2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual a: 1 kg (=3–2).

11ª pesagem:

Da forma que estão distribuídos os pesos acima, a balança não se equilibrará, pois o prato da direita tem um peso maior que o prato da esquerda.

12ª pesagem:

O prato da esquerda tem o peso de 3,5 kg (=3+1/2), e o prato da direita tem a soma do peso do pacote de açúcar com o peso de 2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual a: 1,5 kg (=3,5–2). Esse valor para o peso do pacote de açúcar já havia sido achado na 8ª pesagem.

13ª pesagem:

O prato da esquerda tem o peso de 5 kg (=3+2), e o prato da direita tem a soma do peso do pacote de açúcar com o peso de 1/2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual a: 4,5 kg (=5–1/2).

14ª pesagem:

O prato da esquerda tem o peso de 3 kg, e o prato da direita tem a soma do peso do pacote de açúcar com os pesos de 1/2kg e 2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual a: 0,5 kg (=3–2,5). Esse valor para o peso do pacote de açúcar já havia sido achado na 1ª pesagem.

Os possíveis valores para o peso do pacote de açúcar que encontramos acima são:

1/2kg, 2kg, 3kg, 2,5kg, 3,5kg, 5kg, 5,5kg, 1,5kg, 1kg, 4,5kg

(Resposta: Alternativa E)

Açúcar 3 2 1/2

Açúcar 3 1/2 2

Açúcar 3 2

1/2

Açúcar 2 3 1/2



14Instruções: Para responder a próxima questão, observe o exemplo abaixo, no qual são dados três conjuntos de números, seguidos de cinco alternativas.

(A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 15 (E) 18

O objetivo da questão é. determinar o número x que aparece abaixo do traço no terceiro conjunto.

No primeiro conjunto, acima do traço, têm-se os números 3 e 4, e, abaixo, o número 12. Note que o número 12 é resultado de duas operações sucessivas: a adição dos números acima do traço (3 + 4 = 7), seguida da adição de 5 à soma obtida (7 + 5 =12).

Da mesma forma, foi obtido o número 11 do segundo conjunto: 1+5 = 6; 6 + 5 = 11.

Repetindo-se a seqüência de operações efetuadas nos conjuntos anteriores com os números do terceiro conjunto, obtém-se o número x, ou seja, 2 + 8 = 10; 10 + 5 = x. Assim, x = 15 e a resposta é a alternativa(D).

Atenção: Em questões desse tipo, podem ser usadas outras operações, diferentes das usadas no exemplo dado.

12. (TRF 2004 FCC) Considere os conjuntos de números:

Mantendo para os números do terceiro conjunto a seqüência das duas operações efetuadas nos conjuntos anteriores para se obter o número abaixo do traço, é correto afirmar que o número x é

(A) 9 (B) 16 (C) 20 (D) 36 (E) 40

Sol.:

Os números que estão abaixo dos dois primeiros traços são: 25 e 64. Estes dois números são quadrados perfeitos, ou seja, 25=52 e 64=82. Isto sugere que o x também será um quadrado perfeito de algum valor.

E observe que subtraindo os dois números que estão acima do primeiro traço, obteremos: 5 (=8–3), e subtraindo os dois números que estão acima do segundo traço, obteremos: 8 (=10–2). Daí, concluímos que o valor que está abaixo do traço é obtido pelo quadrado da diferença dos dois números que estão acima do traço. Assim, o valor x que está abaixo do terceiro traço será igual a:

(7-3)2 = 42 = 16 (Resposta: Alternativa B)



1513. (TCE-SP 2005 FCC) Um fato curioso ocorreu com meu pai em 22 de outubro de

1932. Nessa data, dia de seu aniversário, ele comentou com seu avô que sua idade era igual ao número formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu nascimento. Ficou, então, muito surpreso quando seu avô, que igualmente fazia aniversário na mesma data, observou que o mesmo ocorria com a sua idade. Nessas condições, é correto afirmar que a diferença positiva entre as idades de meu pai e desse meu bisavô, em anos, é

(A) 40 (B) 42 (C) 45 (D) 47 (E) 50 Sol.:

Podemos encontrar a idade de uma pessoa em um certo ano, subtraindo este ano pelo ano de seu nascimento. Isso é claro! Faremos esse procedimento para encontrar as idades do Pai e do Avô.

Considere que o Pai nasceu no ano de 19XY. Então a idade do Pai no ano de 1932 será igual ao resultado da seguinte subtração: 1932–19XY.

É dito no enunciado da questão que a idade do Pai no ano de 1932 é igual ao número formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu nascimento. Os dois últimos algarismos do ano de nascimento do Pai é XY. Já havíamos visto que a idade do Pai neste mesmo ano de 1932 era dada pela subtração 1932–19XY, então teremos a seguinte igualdade:

1932 – 19XY = XY

Resolvendo, vem:

(1900 + 32) – (1900 + XY) = XY

1900 + 32 – 1900 – XY = XY

32 – XY = XY 32 = 2XY XY = 32/2

XY = 16

Acabamos de encontrar a idade do Pai: 16 anos.

Passemos ao cálculo da idade do Avô.

Provavelmente o Avô nasceu no ano de 18ZW. Então a idade do Avô no ano de 1932 será igual ao resultado da seguinte subtração: 1932–18ZW.

É dito no enunciado da questão que a idade do Avô no ano de 1932 é igual ao número formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu nascimento. Os dois últimos algarismos do ano de nascimento do Avô é ZW. Já havíamos visto que a idade do Avô, neste mesmo ano de 1932, era dada pela subtração 1932–18ZW, então teremos a seguinte igualdade:

1932 – 18ZW = ZW

Resolvendo, vem:

(1900 + 32) – (1800 + ZW) = ZW

1900 + 32 – 1800 – ZW = ZW

132 – ZW = ZW 132 = 2ZW ZW = 132/2

ZW = 66

Acabamos de encontrar a idade do Avô: 66 anos.

A questão pede a diferença entre as idades dos dois, então teremos:

66 – 16 = 50 (Resposta: Alternativa E)



16

14. (TCE-SP 2005 FCC) Considere que o cubo mostrado na figura foi montado a partir de pequenos cubos avulsos, todos de mesmo tamanho.

O número de cubos que podem ser visualizados nessa figura é

(A) 9

(B) 18

(C) 27

(D) 36

(E) 48

Sol.:

O cubo da figura acima tem 3 pequenos cubos em cada aresta (altura, largura e comprimento), assim o total de pequenos cubos é igual a 33, ou seja, igual a 27.

Juntando 8 pequenos cubos podemos formar um outro cubo com 2 pequenos cubos em cada aresta, conforme mostrado abaixo.

Agora temos que observar o cubo fornecido na questão, e tentar visualizar a quantidade de cubos formados com esses pequenos 8 cubos. Podemos visualizar 4 desses cubos na parte inferior e mais 4 desses cubos na parte superior, totalizando 8 cubos.

O cubo formado com os 27 pequenos cubos, também é um cubo, e deve ser considerado na contagem dos cubos visualizados.

Concluindo, o número de cubos que podem ser visualizados na figura da questão é:

27 + 8 + 1 = 36 (Resposta: Alternativa D)

Passaremos agora a resolução de questões variadas da ESAF, que é o tópico da aula de hoje.



17QUESTÕES VARIADAS DA ESAF (1ª PARTE)

01. (Técnico SERPRO 2001 ESAF) A receita bruta total de uma empresa é

diretamente proporcional ao quadrado da terça parte das quantidades vendidas. Sabe-se que quando são vendidas 6 unidades, a receita total bruta é igual a 40. Assim, quando se vender 3 unidades, a receita bruta será igual a: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

Sol.: Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia no mesmo sentido que a primeira, e na mesma proporção. Em virtude disso, a razão entre essas grandezas é constante. Designando por R a receita bruta da empresa e por Q as quantidades vendidas, as duas grandezas trazidas no enunciado da questão são: a receita bruta da empresa - R, e o quadrado da terça parte das quantidades vendidas - (Q/3)2. Como já dissemos a razão entre grandezas diretamente proporcionais é constante, daí teremos: R = k , k é uma constante. (Q/3)2 Segundo o enunciado quando se vende 6 unidades, a receita total bruta é igual a 40, ou seja, quando Q=6, então R=40. Substituiremos esses valores na equação acima para descobrirmos o valor da constante k. 40 = k (6/3)2 Resolvendo, vem:

k = 40 k = 10 4 Assim, a equação que relaciona as quantidades vendidas com a receita bruta da empresa é dada por: R = 10 (Q/3)2 Agora, já temos condições de calcular a receita bruta quando se vende 3 unidades, basta substituirmos o valor de Q por 3 na equação acima: R = 10 (3/3)2 Resolvendo, vem: R = 10 R = 10 (Resposta: Alternativa A) (1)2 02. (AFC-STN-2000 ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total é

inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando forem produzidas 12 unidades, o custo total será igual a a) 625/25 b) 625/24 c) 625/16 d) 625/15 e) 625/12



18Sol.: Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia em sentido contrário à primeira. O produto dessas grandezas é uma constante. Designando por C o custo total e por Q as quantidades produzidas, as duas grandezas trazidas no enunciado da questão são: o custo total - C, e o quadrado das quantidades produzidas - Q2. Como já dissemos o produto entre grandezas inversamente proporcionais é constante, daí teremos: C x Q2 = k , k é uma constante. Segundo o enunciado quando são produzidas 5 unidades, o custo total é 225, ou seja, quando Q=5, então C=225. Substituiremos esses valores na equação acima para descobrirmos o valor da constante k. 225 x 52 = k Resolvendo, vem:

k = 25 x 225 k = 5625 Assim, a equação que relaciona as quantidades produzidas com o custo total é dada por: C x Q2 = 5625 Agora, já temos condições de calcular o custo total quando são produzidas 12 unidades, basta substituirmos o valor de Q por 12 na equação acima: C x 122 = 5625 Resolvendo, vem: C = 5625 = 25 x 225 = 25 x 25 = 625 144 144 16 16

(Resposta: Alternativa C) 03. (AFC 2002 ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C.

Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão (B-A)/(C-B) é igual a: a) A / A b) A / B c) A / C d) B / C e) –(B/B)

Sol.: A média aritmética de um conjunto de valores é o resultado da divisão da soma desses valores pela quantidade de valores. Assim, a média aritmética entre A e C é o resultado da divisão da soma (A+C) pela quantidade de valores que são dois, ou seja: (A+C)/2. E como é dito no enunciado que B é igual a média aritmética entre A e C, então teremos:

B = (A+C) 2 O valor da razão (B-A)/(C-B) pode ser obtido substituindo-se o valor de B por (A+C)/2. Realizando a substituição, teremos: (A+C) – A A + C – 2A B – A = 2 = 2 = C – A = 1 C – B C – (A+C) 2C – A – C C – A 2 2



19 O valor da razão é igual a 1. Alguma das alternativas apresenta este resultado? À primeira vista não há alternativa com valor 1, mas se observarmos mais atentamente a alternativa A, concluiremos que ela também é igual a 1, pois é a razão de dois valores iguais.


04. (MPOG 2001 ESAF) Se -5 < 5x + 1 < 5, então 1 - x está entre:

a) - 6/5 e - 4/5 b) - 11/5 e - 1/5 c) 4/5 e 6/5 d) - 4/5 e 6/5 e) 1/5 e 11/5

Sol.: A expressão -5 < 5x + 1 < 5 pode ser decomposta em duas inequações: 1ª) -5 < 5x + 1 2ª) 5x + 1 < 5 Resolveremos a primeira inequação: -5 < 5x + 1 . Resolvendo, vem:

-5 - 1 < 5x -6 < 5x 5x > -6 x > -6/5 Encontramos que x > -6/5, a partir disso descobriremos a variação de 1-x. Procederemos aos seguintes passos: 1º passo) Multiplicar por -1 ambos os lados da inequação x > -6/5, para que apareça o termo –x. Lembrem-se que quando se multiplica uma inequação por -1 o sinal de maior troca por menor, e vice-versa.

(-1) . x < -6/5 . (-1) Resolvendo, vem:

- x < 6/5 2º passo) Somar 1 a ambos os lados da inequação - x < 6/5, para que apareça o termo 1–x.

+1 - x < 6/5 +1 Resolvendo, vem:

1 - x < 11/5 Com este resultado já podemos marcar a alternativa E.



2005. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Uma curiosa máquina tem duas teclas, A

e B, e um visor no qual aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla B, o número do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B, é

a) 87. c) 92. e) 96. b) 95. d) 85. Sol.: Para ilustrar a solução, faremos o seguinte desenho da curiosa máquina: De acordo com o enunciado, a máquina efetua as seguintes operações:

Se clicar em A : O valor mostrado no visor, x, transforma-se em 2x+1 .

Se clicar em B : O valor mostrado no visor, x, transforma-se em 3x-1 .

Inicialmente, temos no visor o número 5, e a medida que pressionarmos as teclas A e B, o valor que aparece no visor se modificará. Se pressionarmos a tecla A o valor 5 mostrado inicialmente no visor será modificado para o valor 11 (= 2.5+1). Mas em vez de pressionarmos a tecla A, pressionarmos a tecla B, o valor que aparecerá no visor é 14 (= 3.5-1). Continuando a pressionar as teclas A e B o valor do visor se modificará conforme mostrado no diagrama de árvore abaixo. Como a questão deseja o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B, então se deve fazer o desenho do diagrama de árvore até encontrarmos este número. Daí, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B, é 95.


A B

x

A

B

11

14

23

47

29

32

68

95

41

59

86 83

65

B

B

B

B

B

B

95

--

--

5

B A

A

A

A

A

A

A



21 06. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) A operação x∇ é definida como o triplo

do cubo de x, e a operação xΩ é definida como o inverso de x. Assim, o valor da expressão

é igual a: a) 15. d) 45. b) 20. e) 30. c) 25.

Sol.: O enunciado da questão afirma que:

3)(3 xx =∇ e

xx 1=Ω

Vamos calcular cada uma das partes da expressão fornecida no enunciado da questão:

2733)3(33 233/23/2 =⋅==∇

221

121 ==Ω

Substituindo estes resultados na seguinte expressão fornecida no enunciado:

teremos:

( ) 252272272

=−=− (Resposta: Alternativa C)

DEVER DE CASA 01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) A operação Å x é definida como o dobro do quadrado

de x. Assim, o valor da expressão Å 21/2 - Å [ 1Å 2 ] é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6

02. (Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) A operação ∆x é definida como o dobro do

quadrado de x. Assim, o valor da expressão ∆1/21/2 + ∆[1∆2] é igual a: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3



2203. (ANEEL 2004 ESAF) A solução da inequação, 2x – 7 + |x + 1| ≥ 0, em R, onde R é

o conjunto dos números reais, é dada por a) S = x ∈ R | x ≤ 1 b) S = x ∈ R | x ≥ 0 c) S = x ∈ R | x ≤ 2 d) S = x ∈ R | x ≤ 0 e) S = x ∈ R | x ≥ 2 04. (AFCE TCU 99 ESAF) Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total

de vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para os cursos de violino são destinadas para o turno diurno. Um possível valor para o número total de vagas da escola é: a)160 b) 164 c) 168 d) 172

05. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Uma herança constituída de barras de ouro foi

totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

06. (MPOG 2003 ESAF) Ana, Bia e Cátia disputaram um torneio de tênis. Cada vez

que uma jogadora perdia, era substituída pela jogadora que estava esperando sua vez de jogar. Ao final do torneio verificou-se que Ana venceu 12 partidas e Bia venceu 21 partidas. Sabendo-se que Cátia não jogou a partida inicial, o número de vezes em que Ana e Bia se enfrentaram foi: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

07. (TCE-RN 2000 ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma

praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto, a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

08. (Analista SERPRO 2001 ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum

dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: a) R$ 214,00 d) R$ 282,00 b) R$ 252,00 e) R$ 296,00 c) R$ 278,00



1 AULA VINTE E TRÊS: QUESTÕES VARIADAS DA ESAF (2ª PARTE)

Olá, amigos!

Veremos nesta aula a solução do dever de casa da aula passada, que se refere às questões variadas de provas passadas elaboradas pela ESAF. E a aula de hoje é a continuação da aula passada, resolveremos mais questões.

Como a nossa próxima aula será o primeiro simulado, então não deixaremos dever de casa na aula de hoje. Queremos que vocês se concentrem nos simulados.






01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) A operação Åx é definida como o dobro do quadrado

de x. Assim, o valor da expressão Å21/2 - Å[1Å2] é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6

Sol.: O enunciado da questão afirma que a operação Åx é definida como o dobro do quadrado de x. Desta forma, a operação Åx pode ser escrita como:

Åx = 2(x)2

Para encontrarmos o valor da expressão Å21/2 - Å[1Å2], procederemos, primeiramente, ao cálculo do valor de Å21/2.

Cálculo do valor de Å21/2 :

Da definição da operação Å, temos que: Åx = 2(x)2, daí:

Å21/2 = 2(21/2)2 Å21/2 = 2(2)2/2 Å21/2 = 2(2) Å21/2 = 4

Cálculo do valor de Å[1Å2]:

O valor dentro do colchete é igual a 1, pois 1 elevado a qualquer número é igual a 1. Desta forma, o termo Å[1Å2] é igual ao termo Å[1], ou simplesmente Å1.

Å1 = 2(1)2 Å1 = 2 , ou seja, Å[1Å2] = Å[1] = 2

Substituindo estes resultados na expressão fornecida no enunciado, teremos:

Å21/2 - Å[1Å2] = 4 – 2 = 2 (Resposta: Alternativa C)



202. (Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) A operação ∆x é definida como o dobro do

quadrado de x. Assim, o valor da expressão ∆1/21/2 + ∆[1∆2] é igual a: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

Sol.: Esta questão é parecidíssima com a anterior. Há questões que se repetem ao longo dos anos, por isso é muito importante que resolvamos muitas questões passadas de concursos. O enunciado da questão afirma que a operação ∆x é definida como o dobro do quadrado de x. Desta forma, a operação ∆x pode ser escrita como:

∆x = 2(x)2

Para encontrarmos o valor da expressão ∆1/21/2+∆[1∆2], procederemos, primeiramente, ao cálculo do valor de ∆1/21/2.

Cálculo do valor de ∆1/21/2:

Da definição da operação ∆, temos que: ∆x = 2(x)2, daí:

Å1/21/2 = 2(1/21/2)2 Å21/2 = 2(1/2)2/2 Å21/2 = 2(1/2) Å21/2 = 1

Cálculo do valor de ∆[1∆2]:

O valor dentro do colchete é igual a 1, pois 1 elevado a qualquer número é igual a 1. Desta forma, o termo ∆[1Å2] é igual ao termo ∆[1], ou simplesmente ∆1.

∆1 = 2(1)2 ∆1 = 2 , ou seja, ∆[1Å2] = ∆[1] = 2

Substituindo estes resultados na expressão fornecida no enunciado, teremos:

∆1/21/2 + ∆[1∆2] = 1 + 2 = 3 (Resposta: Alternativa C) 03. (ANEEL 2004 ESAF) A solução da inequação, 2x – 7 + |x + 1| ≥ 0, em R, onde R é

o conjunto dos números reais, é dada por a) S = x ∈ R | x ≤ 1 b) S = x ∈ R | x ≥ 0 c) S = x ∈ R | x ≤ 2 d) S = x ∈ R | x ≤ 0 e) S = x ∈ R | x ≥ 2 Sol.: Para resolvermos esta questão é melhor testarmos as alternativas, senão teremos que saber como se resolve uma equação modular, e aí acho que pode ficar mais difícil para muita gente. O valor de x será substituído por números, então na inequação colocaremos o x na cor azul para destacá-lo:

2x – 7 + |x + 1| ≥ 0

Teste da Alternativa A: A alternativa A diz que qualquer valor menor ou igual a 1 satisfaz a inequação do enunciado. Vamos testar o valor 1: 2.1 – 7 + |1 + 1| ≥ 0 2 – 7 + |2| ≥ 0 – 5 + 2 ≥ 0 – 3 ≥ 0 ( Alternativa Errada!)



3 Teste da Alternativa B:

A alternativa B diz que qualquer valor maior ou igual a 0 satisfaz a inequação do enunciado. Vamos testar o valor 0: 2.0 – 7 + |0 + 1| ≥ 0 0 – 7 + |1| ≥ 0 – 7 + 1 ≥ 0 – 6 ≥ 0 ( Alternativa Errada!)

Teste da Alternativa C: A alternativa C diz que qualquer valor menor ou igual a 2 satisfaz a inequação do enunciado. Isso não é verdade, pois nos dois testes anteriores, o valor 1 e o valor 0 não foram satisfatórios. ( Alternativa Errada!)

Teste da Alternativa D: A alternativa D diz que qualquer valor menor ou igual a 0 satisfaz a inequação do enunciado. Isso não é verdade, pois no teste da alternativa B o valor 0 não satisfez a inequação. ( Alternativa Errada!)

Teste da Alternativa E Só pode ser esta alternativa! Deixaremos para vocês a tarefa de testar alguns valores maiores ou iguais a 2 na inequação.

(Resposta: Alternativa E) 04. (AFCE TCU 99 ESAF) Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total

de vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para os cursos de violino são destinadas para o turno diurno. Um possível valor para o número total de vagas da escola é: a) 160 b) 164 c) 168 d) 172

Sol.: Designaremos por N o número total de vagas na escola de música. E como 1/4 do total de vagas é destinado para o curso de violino, então este curso terá N/4 vagas. Dessas vagas, 1/8 são destinadas para o turno diurno, então o curso de violino diurno terá 1/8x(N/4)=N/32 vagas. Em suma: Total de vagas = N Total de vagas do curso de violino = N/4 Total de vagas do curso de violino diurno = N/32 Vocês concordam que o número de vagas em qualquer curso, seja ele de manhã, de tarde ou de noite, sempre será um número inteiro? É claro que sim. E é a partir deste fato que encontraremos a alternativa correta. O total de vagas do curso de violino diurno é N/32, e este valor deve ser inteiro. Para que aconteça isso, o total de vagas N deve ser divisível por 32. A única alternativa que traz um número que é divisível por 32 é a alternativa A. 05. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Uma herança constituída de barras de ouro foi

totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5



4Sol.: Esta questão pode ser resolvida de diversas maneiras, por exemplo, poderíamos chamar de N o total de barras de ouro e depois sair distribuindo as barras de ouro entre as irmãs, e no final teríamos uma equação do 1º grau onde encontraríamos o valor de N. Também, podemos testar as alternativas, e desta forma encontraremos o resultado facilmente. Mas optaremos pela seguinte maneira: a partir do valor que restou para Camile, desfaremos as distribuições das barras de ouro até chegarmos ao valor total de barras. Número de barras que Camile recebeu: (1+1/2). Se somarmos ao número acima a meia barra que foi dada a Beatriz, ficaremos com:

2 barras O dobro desse valor é igual a 4 barras, e esta é a quantidade de barras de ouro que restou após a Ana ter recebido as suas barras. Somando ao valor de 4 barras a meia barra que Ana recebeu, ficaremos com:

4 barras e meia. O dobro desse valor é igual a 9 barras, e esta é a quantidade de barras de ouro da herança. Após descobrirmos que o número de barras de ouro da herança é de 9 barras, já temos condições de encontrar o número de barras que Ana recebeu. Ana recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Daí, o número de barras que Ana recebeu é igual a:

9/2 + 1/2 = 10/2 = 5 barras (Resposta: Alternativa E) 06. (MPOG 2003 ESAF) Ana, Bia e Cátia disputaram um torneio de tênis. Cada vez

que uma jogadora perdia, era substituída pela jogadora que estava esperando sua vez de jogar. Ao final do torneio verificou-se que Ana venceu 12 partidas e Bia venceu 21 partidas. Sabendo-se que Cátia não jogou a partida inicial, o número de vezes em que Ana e Bia se enfrentaram foi: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

Sol.: Criaremos uma possível situação de partidas, referente ao torneio de tênis, em que Cátia não jogue a partida inicial, e em que Ana vença as 12 primeiras partidas e Bia as 21 partidas seguintes.

Ana x Bia Ana vence sua 1ª partida Ana x Cátia Ana vence sua 2ª partida

.

.

.

.

.

. Ana x Bia Ana vence sua 11ª partida

Ana x Cátia Ana vence sua 12ª partida

Ana x Bia Ana perde e Bia vence sua 1ª partida Cátia x Bia Bia vence sua 2ª partida

.

.

.

.

.

. Ana x Bia Ana perde e Bia vence sua 19ª partida Cátia x Bia Bia vence sua 20ª partida Ana x Bia Bia vence sua 21ª partida

Cátia x Bia Cátia vence uma partida

.

.

.

.

.

.

Ana e Bia se enfrentam seis vezes

Ana e Bia se enfrentam onze vezes



5 A situação de partidas criada acima se encaixa perfeitamente nos dados fornecidos no enunciado. Poderíamos também iniciar as partidas acima com a Bia vencendo. O total de partidas em que Ana e Bia se enfrentam é igual a:

6 + 11 = 17 vezes (Resposta: Alternativa D) 07. (TCE-RN 2000 ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma

praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto, a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

Sol.: Designaremos por N o número de mendigos na praça, e por Q a quantia que o homem caridoso dispõe. Quando ele distribui 5,00 reais a cada um dos N mendigos, o total em dinheiro distribuído será igual a: 5N reais. E como sobraram 3,00 reais, isso significa que a quantia que ele dispunha era igual a: (5N+3) reais. Daqui, tiramos a seguinte equação:

5N+3 = Q (1ª equação) Mas se ele tivesse 5,00 reais a mais no bolso, ou seja, a quantia de Q+5 reais, ele poderia distribuir 6,00 reais a cada um dos N mendigos. O total em dinheiro distribuído seria igual a: 6N reais, e não restaria nada. Daqui, tiramos a seguinte equação:

6N = Q+5 (2ª equação) De posse dessas duas equações, podemos encontrar o número N de mendigos. Substituiremos o valor de Q dado na 1ª equação, na 2ª equação, teremos:

6N = (5N+3) + 5 Resolvendo, vem:

N = 8 (Resposta: Alternativa D) 08. (Analista SERPRO 2001 ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum

dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: a) R$ 214,00 d) R$ 282,00 b) R$ 252,00 e) R$ 296,00 c) R$ 278,00

Sol.:

Consideremos as seguintes quantias iniciais para as três meninas:

- Alice: a reais.

- Bela: b reais.

- Cátia: 36,00 reais (informado no enunciado).

Faremos agora a distribuição de dinheiro, conforme o enunciado.

Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui.



6- Bela: ficará com 2b reais.

- Cátia: ficará com 72,00 (=2x36,00) reais.

- Alice: deu b reais à Bela e 36,00 reais à Cátia, e como ela tinha a reais, então restará à ela: a–b–36 reais.

Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui.

- Cátia: ficará com 144,00 (=2x72,00) reais.

- Alice: ficará com 2(a–b–36) reais, ou seja, 2a–2b–72 reais.

- Bela: deu 72,00 reais à Cátia e (a–b–36) reais à Alice, e como ela tinha 2b reais, então restará à ela: 2b–72–(a–b–36) reais, ou seja, a quantia de 3b–36–a reais.

Cátia dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui.

- Alice: ficará com 2(2a–2b–72) reais.

- Bela: ficará com 2(3b–36–a) reais.

- Cátia: deu (2a–2b–72) reais à Alice e (3b–36–a) reais à Bela, e como ela tinha 144 reais, então restará à ela: 144–(2a–2b–72)–(3b–36–a) reais. Como a questão informou que Cátia terminou com 36,00 reais, então teremos a seguinte

igualdade: 144–(2a–2b–72)–(3b–36–a) = 36,00

Simplificando, vem:

144–2a+2b+72–3b+36+a = 36

– a – b = –216

a + b = 216

A quantia total que as três meninas possuem juntas é a mesma tanto no início da distribuição como no final da distribuição, e é igual a:

a+b+36 = 216+36 = 252 reais (Resposta: Alternativa B)

Passaremos agora a resolução de mais algumas questões variadas da ESAF, que é o tópico da aula de hoje.



7QUESTÕES VARIADAS DA ESAF (2ª PARTE)

01. (ANEEL 2004 ESAF) Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20

estudam canto. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estudam canto é

a) exatamente 16. b) no mínimo 6. c) exatamente 10. d) no máximo 6. e) exatamente 6. Sol.: Formaremos dois conjuntos: 1º) O conjunto das crianças de olhos azuis. 2º) O conjunto das crianças que estudam canto. Representaremos estes conjuntos por círculos, e o grupo das 30 crianças por um retângulo, conforme mostrado abaixo: Designamos por x o número de crianças do grupo que têm olhos azuis e estudam canto. Assim, o número de crianças de olhos azuis que não estudam canto é igual a 16-x. E o número de crianças que estudam canto e não tem olhos azuis é igual a 20-x. E designamos por z o número de crianças do grupo que não têm olhos azuis ou não estudam canto. Da figura acima, podemos formar a seguinte igualdade:

(16-x) + x + (20-x) + z = 30 Isolando o valor de x, teremos:

x = 6 + z Da relação acima, temos que o valor de x é dependente do valor de z. O valor de x será mínimo quando z for mínimo, e o valor de x será máximo quando z for máximo. O menor valor que z pode assumir é zero, significando que todas as 30 crianças do grupo têm olhos azuis ou estudam canto. O valor de x correspondente é igual a:

x = 6

Esse resultado significa que o número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estudam canto é no mínimo 6. (Resposta: Alternativa B) 02. (TFC-97) Anair, Bela e Camilo fazem aniversário no mesmo dia. A soma das

idades de Anair e Bela é igual ao triplo da idade de Camilo. Daqui a cinco anos, Camilo terá a idade que Anair tem hoje. Sabendo-se que Bela é 10 anos mais velha do que Anair, então a soma das idades de Anair, Bela e Camilo, daqui a dois anos, será: a) 80 b) 85 c) 86 d) 95 e) 100

Sol.:

16 20x16-x 20-x

z



8 Designaremos por A a idade de Anair, por B a idade de Bela e por C a idade de Camilo.

A soma das idades de Anair e Bela é igual ao triplo da idade de Camilo:

A+B = 3C (1ª equação)

Daqui a cinco anos, Camilo terá a idade que Anair tem hoje.

A = C+5 (2ª equação)

Bela é 10 anos mais velha do que Anair:

B = A+10 (3ª equação)

Da 2ª equação, temos que: C = A–5

Substituindo C por A–5 e B por A+10 na 1ª equação, teremos:

A+B = 3C A+(A+10) = 3(A–5) Resolvendo, vem: 2A + 10 = 3A – 15 A = 25 Daí, o valor de C é igual a: C = A–5 C = 25 – 5 C = 20 E o valor de B é igual a: B = A+10 B = 25 + 10 B = 35 A soma das idades de Anair, Bela e Camilo, daqui a dois anos, será igual a:

(A+2)+(B+2)+(C+2) Substituindo os valores de A, B e C, teremos:

(25+2)+(35+2)+(20+2) Resolvendo, vem:

27 + 37 + 22 = 86 (Resposta: Alternativa C) 03. (AFC 2002 ESAF) Ana está em férias com seus sobrinhos e para evitar problemas

ela guardou uma garrafa cheia de licor trancada a chave no seu armário. Um de seus sobrinhos conseguiu uma cópia da chave, abriu o armário, bebeu metade do conteúdo da garrafa, completou a garrafa com água e recolocou-a no lugar. Deu a chave para um outro sobrinho de Ana que fez a mesma coisa. Quando Ana percebeu, já havia menos de 1% de licor na garrafa. Assim, o número mínimo de vezes em que os sobrinhos de Ana beberam da garrafa é dado por:

a) 4 b) 5 c) 7 d) 10 e) 15 Sol.: Designaremos por L a quantidade de licor inicial dentro da garrafa.

Quando Ana percebeu que os meninos estavam bebendo o licor, havia menos de 1% de licor na garrafa, ou seja, menos que L/100 (=1%L).

Calcularemos quanto há de licor na garrafa após cada menino beber do licor, e prosseguiremos até que reste na garrafa uma quantidade de licor menor que L/100.

Após a 1ª vez que o sobrinho bebe a metade do conteúdo da garrafa, resta de licor na garrafa a quantidade de L/2 de licor.



9 Após a 2ª vez que o sobrinho bebe a metade do conteúdo da garrafa, resta de licor na garrafa a quantidade de L/4 de licor.






Essa quantidade de licor já é menor que L/100. Assim, o número mínimo de vezes em que os sobrinhos de Ana beberam da garrafa é igual a 7. (Resposta: Alternativa C)

04. (AFC 2002 ESAF) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma

num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?

a) R$ 220,00 b) R$ 204,00 c) R$ 196,00 d) R$ 188,00 e) R$ 180,00 Sol.: Resolveremos a questão do final para o começo.

Ao sair da quarta loja Pedro tinha 8,00 reais. E ao entrar nesta loja, quanto ele tinha? Somando os 2,00 reais que ele gastou no estacionamento, ele ficou com 10,00. Ao entrar na quarta loja ele tinha o dobro de 10,00, ou seja, 20,00 reais.

Ao sair da terceira loja Pedro tinha 20,00 reais. E ao entrar nesta loja, quanto ele tinha? Somando os 2,00 reais que ele gastou no estacionamento, ele ficou com 22,00. Ao entrar na terceira loja ele tinha o dobro de 22,00, ou seja, 44,00 reais.

Ao sair da segunda loja Pedro tinha 44,00 reais. E ao entrar nesta loja, quanto ele tinha? Somando os 2,00 reais que ele gastou no estacionamento, ele ficou com 46,00. Ao entrar na segunda loja ele tinha o dobro de 46,00, ou seja, 92,00 reais.

Ao sair da primeira loja Pedro tinha 92,00 reais. E ao entrar nesta loja, quanto ele tinha? Somando os 2,00 reais que ele gastou no estacionamento, ele ficou com 94,00. Ao entrar na primeira loja ele tinha o dobro de 94,00, ou seja, 188,00 reais.


05. (Técnico MPU administrativa 2004 ESAF) Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia,

fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em número de anos completados, é igual

a) à idade de Júlia mais 7 anos. b) ao triplo da idade de Júlia. c) à idade de Júlia mais 5 anos. d) ao dobro da idade de Júlia. e) à idade de Júlia mais 11 anos.



10Sol.:

Designaremos por A a idade em anos completos de Ana e por J a idade em anos completos de Júlia.

Segundo o enunciado o produto AxJ e soma A+J são números primos. Recordemos a definição de um número primo.

Dizemos que um número inteiro é primo quando ele é divisível apenas pelo número 1 e por ele próprio. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

O produto AxJ é um número primo, mas para que isso seja verdade é necessário que ou o A ou o J seja igual a 1, senão AxJ será divisível por dois números diferentes de 1: o A e o J, e, consequentemente, não será primo.

Como Ana é a mais velha, então A é maior que J. Assim, é o J que será igual a 1. O produto AxJ ficará sendo igual a: A. E como o produto AxJ é um número primo, então A será um número primo.

Como J é igual a 1, a soma A+J ficará sendo A+1. Para que A+1 seja número primo é necessário que A seja igual a 2. Senão, vejamos:

- Se A+1 fosse igual a 5, o valor de A seria igual a 4, mas 4 não é primo.

- Se A+1 fosse igual a 7, o valor de A seria igual a 6, mas 6 não é primo.

Se continuarmos esses testes, o valor de A será sempre um número par maior que 2 e, assim, não poderá ser primo.

Portanto, achamos que J é igual a 1 e A é igual a 2. (Resposta: Alternativa D)

Encerramos a aula de hoje por aqui! Fiquem com DEUS!



1AULA VINTE E QUATRO: PRIMEIRO SIMULADO

Caros alunos! Hoje trazemos a vocês o primeiro simulado de Raciocínio Lógico, o qual abrange vários tópicos do nosso curso on-line. A maioria das questões presentes no simulado são questões passadas da ESAF. As soluções das questões encontram-se logo após o fim do simulado. Queremos que vocês levem a sério o simulado, por isso estabelecemos as seguintes regras:

Faça o simulado de uma só vez, e não por partes. Procure um local que ninguém o perturbe. O tempo do simulado é de 30 minutos. Esse é o tempo ideal para resolver todas as questões, segundo os padrões da ESAF.

Passados os 30 minutos marque no papel o seu gabarito, mesmo que não tenha terminado o simulado.

Caso não tenha terminado a prova nos 30 minutos, continue a resolver as questões após a marcação do gabarito.

Marque no relógio o tempo total para resolver todas as questões. Se você estiver demorando muito na solução de uma questão, passe para outra. Esse conselho também é importante para o momento da prova do concurso.

Só veja as soluções das questões após o término do simulado. Podem iniciar o simulado! Boa sorte! Fiquem todos com Deus e um forte abraço!

SIMULADO

01. Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.

a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.

02. João e José sentam-se, juntos, em um restaurante. O garçom, dirigindo-se a

João, pergunta-lhe: “Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?”. João responde ao garçom: “Sou filho único, e o pai da pessoa que me acompanha é filho de meu pai”. Então, José é:

a) pai de João b) filho de João c) neto de João d) avô de João e) tio de João

03. Hermes guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. Nela

encontram-se sete gravatas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Hermes abre a gaveta e pega algumas gravatas. O número mínimo de gravatas que Hermes deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10



2 04. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de

chegada dos participantes de uma prova de ciclismo: 1. Guto chegou antes de Aires e depois de Dada; 2. Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e somente se

Aires chegou depois de Dada; 3. Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou junto com

Guto. Logo, a) Cacau chegou antes de Aires, depois de Dada e junto com Juba b) Guto chegou antes de Cacau, depois de Dada e junto com Aires c) Aires chegou antes de Dada, depois de Juba e antes de Guto d) Aires chegou depois de Juba, depois de Cacau e junto com Dada e) Juba chegou antes de Dada, depois de Guto e junto com Cacau

05. Cinco amigos, que estudaram juntos no colégio, estão reunidos num jantar. São

eles: Almir, Branco, Caio, Danilo e Edílson. Atualmente, eles moram nas cidades de Atibaia, Batatais, Catanduva, Dracena e Embu, onde exercem as seguintes profissões: advogado, bibliotecário, contabilista, dentista e engenheiro. Considere que:

i. nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o nome de sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que vive;

ii. Almir não reside em Batatais e Edílson, que não é bibliotecário e nem dentista, tampouco aí vive;

iii. Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem em Dracena;

iv. Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado; v. o bibliotecário não mora em Catanduva. Nessas condições, é verdade que (A) Almir é contabilista e reside em Dracena. (B) Branco é advogado e reside em Atibaia. (C) Caio é dentista e reside em Catanduva. (D) Danilo é dentista e reside em Embu. (E) Edílson é advogado e reside em Catanduva. 06. Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir

são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto: Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram. Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por: a) Aldo e Caio b) Aldo e Benê c) Caio d) Benê e) Aldo 07. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes

esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, • 20 alunos praticam vôlei e basquete; • 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; • 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; • o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao de alunos que

praticam só vôlei; • 17 alunos praticam futebol e vôlei; • 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.



3O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a a) 93. b) 110. c) 103. d) 99. e) 114.

08. Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, de modo que três delas

tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a a) 85. b) 220. c) 210. d) 120. e) 150.

09. Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o número de

elementos de X é igual a: a) 10 b) 20 c) 35 d) 45 e) 90

10. Numa caixa há 5 pares de meias diferentes. Dentre esses pares de meia, há um

par com ambos os pés rasgados. De olhos fechados, retira-se da caixa uma meia por vez. Qual a probabilidade de retirarmos duas meias, do mesmo par, não rasgadas, fazendo duas retiradas?

a) 1/5 b) 1/100 c) 4/45 d) 1/20 e) 2/9



4SOLUÇÃO DO SIMULADO

01. Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de

Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.

a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.

Sol.: Esta questão se enquadra no assunto de Estruturas Lógicas. De acordo com o procedimento de solução feito para este tipo de questão, dividiremos nossa resolução em dois passos. Antes disso, convém traduzirmos as proposições simples do enunciado para a linguagem simbólica. Teremos:

Fl: Flávia é filha de Fernanda. A: Ana é filha de Alice. E: Ênia é filha de Elisa. P: Paula é filha de Paulete. I: Inês é filha de Isa.

Uma vez definidas tais proposições simples, as sentenças (ou premissas) do enunciado estarão assim traduzidas: P1: Fl ~A P2: ou A ou E P3: ~P Fl P4: ~E e ~I A premissa P4 acima foi escrita dessa maneira, porque dizer que:

“nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa”

é o mesmo que dizer que: “Ênia não é filha de Elisa e Inês não é filha de Isa”

Passemos aos passos efetivos de resolução. 1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos: a) Iniciaremos pela 4ª premissa, uma vez que é uma conjunção e, como tal, só tem um jeito de ser verdadeira! P1. Fl ~A

P2. ou A ou E

P3. ~P Fl

P4. ~E e ~I ⇒ ~E é verdade e ~I é verdade

Resultado: E é Falso e I é Falso. b) Substitua E por F, e I por F P1. Fl ~A

P2. ou A ou F ⇒ Numa disjunção exclusiva se uma proposição é falsa a outra é verdadeira, assim é preciso que A seja verdade.

P3. ~P Fl

P4. V e V




5c) Substitua A por V (e ~A por F): P1. Fl F ⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que Fl seja

também falsa. Logo: Fl é Falso! P2. ou V ou F

P3. ~P Fl

P4. V e V

Resultado: O valor lógico de Fl é F. d) Substitua Fl por F P1. F F

P2. ou V ou F

P3. ~P F ⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que ~P seja também falsa. Logo: P é Verdade!

P4. V e V


Compilando os resultados obtidos acima, teremos: A é V ⇒ É verdade que Ana é filha de Alice.

P é V ⇒ É verdade que Paula é filha de Paulete.

E é F ⇒ ~E é V ⇒ É verdade que Ênia não é filha de Elisa.

I é F ⇒ ~I é V ⇒ É verdade que Inês não é filha de Isa.

Fl é F ⇒ ~Fl é V ⇒ É verdade que Flávia não é filha de Fernanda.


V F

a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda.

falso

V V

b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.

verdade

F V c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.

falso

F F d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.

falso

V F e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda. falso

Resposta: alternativa B.



6 02. João e José sentam-se, juntos, em um restaurante. O garçom, dirigindo-se a

João, pergunta-lhe: “Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?”. João responde ao garçom: “Sou filho único, e o pai da pessoa que me acompanha é filho de meu pai”. Então, José é:

a) pai de João b) filho de João c) neto de João d) avô de João e) tio de João

Sol.: A solução desta questão não exige nenhum conhecimento teórico de Lógica. Precisamos somente organizar as idéias para solucioná-la. Escreveremos abaixo a afirmação feita por João, mas modificaremos um pouco as palavras, a fim de facilitar o raciocínio.

“Sou filho único, e o pai de José é filho de meu pai” Dou um conselho importante para resolver as questões de Raciocínio Lógico: sempre procure escrever e/ou desenhar a solução da questão, não fique só com as idéias e pensamentos na cabeça! Por isso, faremos um pequeno ramo da árvore genealógica para João:

Pai de João

João Podemos acrescentar alguém na árvore acima? Pense! João afirmou que o pai de José é filho do seu pai. Assim, o novo desenho da árvore é o seguinte:

Pai de João

João Pai de José Ora! João também afirmou que era filho único. Então como pode o desenho acima está representando dois filhos para o pai de João? Não deveria! Como podemos modificar o desenho da árvore? Basta considerar que João e Pai de José são a mesma pessoa. Ou seja:

Pai de João

João=Pai de José Isso significa que João é o pai de José! Ou de outra maneira:

José é o filho de João!

(Resposta: alternativa B)



703. Hermes guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. Nela

encontram-se sete gravatas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Hermes abre a gaveta e pega algumas gravatas. O número mínimo de gravatas que Hermes deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

Sol.: Se Hermes tiver muita sorte, então com duas retiradas ele poderia conseguir o par de gravatas da mesma cor. Mas não podemos contar com a sorte! E independentemente da sorte, temos que encontrar o número mínimo de gravatas que Hermes deve pegar para ter certeza de obter duas gravatas da mesma cor. Temos na gaveta cinco cores diferentes de gravata. Então ao pegar cinco gravatas na gaveta, pode ocorrer que as cinco gravatas sejam de cores diferentes, e assim não haverá nenhum par de gravatas mesma cor. Agora, se ele pegar mais outra gravata, totalizando seis gravatas, então com certeza teremos um par de gravatas da mesma cor. Pois qualquer cor que se retire, já haverá a mesma cor fora da gaveta.

(Resposta: alternativa C) 04. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de

chegada dos participantes de uma prova de ciclismo: 1. Guto chegou antes de Aires e depois de Dada; 2. Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e somente se

Aires chegou depois de Dada; 3. Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou junto com

Guto. Logo, a) Cacau chegou antes de Aires, depois de Dada e junto com Juba b) Guto chegou antes de Cacau, depois de Dada e junto com Aires c) Aires chegou antes de Dada, depois de Juba e antes de Guto d) Aires chegou depois de Juba, depois de Cacau e junto com Dada e) Juba chegou antes de Dada, depois de Guto e junto com Cacau

Sol.: Considerando os tópicos vistos no curso, podemos enquadrar esta questão como de Estruturas Lógicas. As sentenças (ou premissas) do enunciado são as seguintes: 1. Guto chegou antes de Aires e depois de Dada; 2. Guto chegou antes de Juba e Juba antes de Aires ↔ Aires chegou depois de Dada; 3. Cacau não chegou junto com Juba ↔ Aires chegou junto com Guto. Agora, passemos aos passos efetivos de resolução. 1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos: a) Iniciaremos pela 1ª premissa, uma vez que é uma conjunção e, como tal, só tem um jeito de ser verdadeira! Ambos os termos da conjunção são verdadeiros, daí resulta:

Guto chegou antes de Aires, é verdade! Guto chegou depois de Dada, é verdade!

De acordo com estes resultados, podemos estabelecer a seguinte ordem de chegada para os três ciclistas: Dada chegou na frente de Guto e este na frente de Aires.

Dada Guto Aires



8 b) Empregaremos os resultados obtidos acima na segunda premissa. Temos a seguinte bicondicional:

“Guto chegou antes de Juba e Juba antes de Aires ↔ Aires chegou depois de Dada”; De acordo com o desenho da ordem de chegada dos ciclistas, o segundo termo da bicondional é verdade. Daí, é necessário que o primeiro termo seja verdade para que obtenhamos uma bicondicional verdadeira. Logo:

Guto chegou antes de Juba e Juba antes de Aires, é verdade!

E como a sentença acima é uma conjunção, então ambos os termos devem ser verdadeiros:

Guto chegou antes de Juba , é verdade! Juba chegou antes de Aires, é verdade!

De acordo com estes resultados, podemos acrescentar mais informações ao desenho da ordem de chegada dos ciclistas: c) Analisemos a última premissa. Temos a seguinte bicondicional:

“Cacau não chegou junto com Juba ↔ Aires chegou junto com Guto”; De acordo com o último desenho da ordem de chegada dos ciclistas, o segundo termo da bicondional é falso. Daí, é necessário que o primeiro termo seja falso para que obtenhamos uma bicondicional verdadeira. Logo:

Cacau não chegou junto com Juba, é falso!

Assim, é verdade que: Cacau chegou junto com Juba!

Atualizaremos o desenho da ordem de chegada dos ciclistas:

Resultado geral: 1º lugar: Danilo. 2º lugar: Guto. 3º lugar: Empate entre Juba e Cacau. 4º lugar: Aires. 2º PASSO: Análise das alternativas da questão. Com base na ordem de chegada que obtivemos, a alternativa correta é a alternativa:

A) Cacau chegou antes de Aires, depois de Dada e junto com Juba

Dada Guto AiresJuba

Dada Guto AiresJuba

Cacau



9 05. Cinco amigos, que estudaram juntos no colégio, estão reunidos num jantar. São

eles: Almir, Branco, Caio, Danilo e Edílson. Atualmente, eles moram nas cidades de Atibaia, Batatais, Catanduva, Dracena e Embu, onde exercem as seguintes profissões: advogado, bibliotecário, contabilista, dentista e engenheiro. Considere que:

i. nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o nome de sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que vive;

ii. Almir não reside em Batatais e Edílson, que não é bibliotecário e nem dentista, tampouco aí vive;

iii. Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem em Dracena;

iv. Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado; v. o bibliotecário não mora em Catanduva. Nessas condições, é verdade que (A) Almir é contabilista e reside em Dracena. (B) Branco é advogado e reside em Atibaia. (C) Caio é dentista e reside em Catanduva. (D) Danilo é dentista e reside em Embu. (E) Edílson é advogado e reside em Catanduva. Sol.: Considerando os tópicos vistos no curso, trata-se de uma questão de associação. Os dados envolvidos neste enunciado são os seguintes:

Cinco amigos: Almir, Branco, Caio, Danilo e Edílson; Cidades onde residem: Atibaia, Batatais, Catanduva, Dracena e Embu; Profissões: advogado, bibliotecário, contabilista, dentista e engenheiro.

Há ainda, as seguintes considerações: i. Nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o nome de

sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que vive; ii. Almir não reside em Batatais e Edílson, que não é bibliotecário e nem dentista, tampouco aí

vive; iii. Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem em

Dracena; iv. Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado; v. O bibliotecário não mora em Catanduva. Construiremos os seguintes quadros:

Amigos x Cidades Almir Branco Caio Danilo Edílson Atibaia Batatais Catanduva Dracena Embu

Amigos x Profissões

Almir Branco Caio Danilo Edílson advogado bibliotecário contabilista dentista engenheiro



10 Passaremos à análise das considerações feitas no enunciado, e a marcação dos quadros acima. Lembrando sempre que cada quadro terá somente um X em cada linha e também somente um X em cada coluna, iniciaremos nossa análise. 1º) “Nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o nome de sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que vive”; A partir da informação: ”Nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome ...”, podemos marcar com N as células correspondentes ao amigo e cidade que iniciam com a mesma letra.

Amigos x Cidades Almir Branco Caio Danilo Edílson

Atibaia N Batatais N Catanduva N Dracena N Embu N

A partir da informação: ”... nem o nome de sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome ...”, podemos marcar com N nas células correspondentes ao amigo e profissão que iniciam com a mesma letra.

Amigos x Profissões Almir Branco Caio Danilo Edílson advogado N bibliotecário N contabilista N dentista N engenheiro N

IMPORTANTE: As alternativas B, C e D já podem ser descartadas, pois de acordo com a consideração “i”, o nome do amigo, o nome da cidade e o nome da profissão devem iniciar com letras diferentes. Portanto, restam somente as alternativas A e E. 2º) “Almir não reside em Batatais e Edílson, que não é bibliotecário e nem dentista,

tampouco aí vive”; Marcaremos N nas células correspondentes a Almir e Batatais, e a Edílson e Batatais.


Atibaia N Batatais N N N Catanduva N Dracena N Embu N

Marcaremos N nas células correspondentes a Edílson e bibliotecário, e a Edílson e dentista.

Amigos x Profissões Almir Branco Caio Danilo Edílson advogado N bibliotecário N N contabilista N dentista N N engenheiro N



11 3º) ”Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem

em Dracena”; Marcaremos N nas células correspondentes a Branco e Catanduva, e a Branco e Dracena.


Atibaia N Batatais N N N Catanduva N N Dracena N N Embu N

Marcaremos N nas células correspondentes a Branco e contabilista, e a Branco e dentista.

Amigos x Profissões Almir Branco Caio Danilo Edílson advogado N bibliotecário N N contabilista N N dentista N N N engenheiro N

4º) ”Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado”; Marcaremos X na célula correspondente a Danilo e Embu.


Atibaia N Batatais N N N Catanduva N N Dracena N N Embu X N

Ora, lembrando que em cada linha e em cada coluna deve haver apenas um X e o restante das células N, faremos:


Atibaia N N Batatais N N N N Catanduva N N N Dracena N N Embu N N N X N

A linha correspondente à cidade de Batatais, só tem uma célula vazia e não tem nenhum X. O mesmo ocorre com a coluna do Branco. Devemos marcar um X nestas células vazias.


Atibaia N X N Batatais N N X N N Catanduva N N N Dracena N N Embu N N N X N

Completaremos as células da coluna de Caio, e da linha de Atibaia com N.



12


Atibaia N X N N N Batatais N N X N N Catanduva N N N Dracena N N N Embu N N N X N

Marcaremos N nas células correspondentes a Danilo e bibliotecário, e a Danilo e advogado. Também devemos marcar N na célula correspondente a Danilo e engenheiro, pois como ele mora em Embu, que inicia pela letra E, então ele não pode ser engenheiro, porque também inicia pela letra E.

Amigos x Profissões Almir Branco Caio Danilo Edílson advogado N N bibliotecário N N N contabilista N N dentista N N N engenheiro N N

Sabendo que em cada linha e em cada coluna deve haver apenas um X e o restante das células N, faremos as devidas marcações e obteremos:

Amigos x Profissões Almir Branco Caio Danilo Edílson advogado N N N N X bibliotecário N N N contabilista N N N X N dentista N N N engenheiro N X N N N

5º) ”O bibliotecário não mora em Catanduva”; Esta afirmação não nos ajuda muito na solução da questão. É melhor passarmos para a

análise das alternativas. Neste momento temos os seguintes quadros:

Amigos x Cidades

Almir Branco Caio Danilo Edílson Atibaia N X N N N Batatais N N X N N Catanduva N N N Dracena N N N Embu N N N X N

Amigos x Profissões

Almir Branco Caio Danilo Edílson advogado N N N N X bibliotecário N N N contabilista N N N X N dentista N N N engenheiro N X N N N



13 As possíveis alternativas corretas são A e E:

(A) Almir é contabilista e reside em Dracena. (E) Edílson é advogado e reside em Catanduva. Pela observação do quadro Amigos x Profissões, notamos que Almir não é contabilista, e, portanto, a alternativa A está errada. Só restou a alternativa E, logo, devemos marcá-la como correta.

(Resposta: Alternativa E) No início da solução da questão já sabíamos que a resposta estava entre duas alternativas: A ou E. Como só são duas alternativas possíveis, então podemos supor que a alternativa A esteja correta, ou seja: Almir é contabilista e Almir reside em Dracena, e, assim, marcamos com X as células correspondentes em cada quadro. E ao continuar preenchendo os quadros, se ocorrer alguma incoerência, então é sinal de que a alternativa A está errada e E está correta, caso contrário A está correta e E está errada. Tente por esse caminho! Você verá que a solução será mais rápida! 06. Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir

são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto: Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram. Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por: a) Aldo e Caio b) Aldo e Benê c) Caio d) Benê e) Aldo Sol.: A afirmação de Benê é falsa, e as afirmações de Aldo e Caio são verdadeiras. Iniciarei pela declaração de Benê. A sua declaração é a seguinte:

“Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou” Uma condicional é falsa, somente quando o antecedente é verdade e o conseqüente é falso. Daí, teremos:

Aldo não executou o projeto, é verdade. Caio o executou, é falso.

Obtemos: NÃO FOI ALDO E NEM FOI CAIO QUE EXECUTOU O PROJETO. Passemos a declaração de Caio. A sua declaração é a seguinte:

“Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram” A declaração acima é uma conjunção. E uma conjunção somente é verdadeira, se ambos os seus termos são verdades. Daí, teremos:

Eu (Caio) não executei o projeto, é verdade. Aldo ou Benê o executaram, é verdade.

O segundo termo: Aldo ou Benê o executaram, é uma disjunção. E para que essa disjunção seja verdadeira é preciso que um dos seus termos seja verdade. O termo: Aldo executou, é falso, logo o termo: Benê executou, é verdade. Concluímos que a resposta da questão é a seguinte:

o projeto foi executado apenas por René (Resposta: Alternativa D)



14 E a declaração de Aldo, ela não é necessária para a resolução da questão? Realmente, não foi necessária. Mas para fins didático, vamos analisá-la! Quando Aldo afirma:

“Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto” Isso é equivalente a dizer:

“Não é verdade que (Benê executou o projeto e Caio executou o projeto)” Para retirar a expressão “Não é verdade que” da frente de uma proposição, é necessário negar a proposição. Negaremos a proposição: “Benê executou o projeto e Caio executou o projeto”! Como a proposição se trata de uma conjunção, então a negação é feita negando-se ambos os termos da conjunção e trocando o conectivo E pelo conectivo OU. Teremos a seguinte forma equivalente para a declaração de Aldo:

“Benê não executou o projeto ou Caio não executou o projeto” Esta proposição é uma disjunção! E uma disjunção é verdadeira, se ao menos um dos seus termos é verdade. Já encontramos anteriormente que o termo: “Caio não executou o projeto”, é verdade, e o termo: Benê não executou o projeto, é falso. Com estes dois valores lógicos a conjunção é verdadeira. Conclui-se, que a declaração de Aldo não contradiz a resposta que havíamos encontrado.

(Resposta: Alternativa D) 07. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes

esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, • 20 alunos praticam vôlei e basquete; • 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; • 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; • o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao de alunos que

praticam só vôlei; • 17 alunos praticam futebol e vôlei; • 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a a) 93. b) 110. c) 103. d) 99. e) 114.

Sol.: Este tipo de questão se resolve com a ajuda de diagramas de conjuntos. Estabeleceremos os seguintes conjuntos: V: conjunto dos que praticam vôlei. B: conjunto dos que praticam basquete. F: conjunto dos que praticam futebol. Faremos o desenho dos três conjuntos e anotaremos os dados fornecidos:



15 Designamos por x o número de alunos que praticam só futebol. Esse valor é o mesmo para os que praticam só vôlei. Designamos por z o número de alunos que praticam só basquete. Designamos por w o número de alunos que não praticam nenhum dos três esportes. O número de alunos que praticam futebol e basquete é de 45. Como destes 45, 30 não praticam vôlei, então temos 15 (=45-30) que praticam os três esportes. Dos 17 que praticam futebol e vôlei, sabemos que 15 praticam os três esportes. Daí, 2 (=17-15) praticam somente vôlei e futebol. Dos 20 que praticam vôlei e basquete, sabemos que 15 praticam os três esportes. Daí, 5 (=20-15) praticam somente vôlei e basquete. Substituindo esses resultados nos diagramas, teremos: O número de alunos que praticam futebol é igual a 60, mas também podemos obter este valor pela seguinte soma:

2 + 15 + 30 + x

V B

F

60

x

x

65

30

5

152

z

w

V B

F

60

x

17

20

45

x

65

30

z

w



16 Daí, podemos estabelecer a seguinte igualdade:

2 + 15 + 30 + x = 60 Resolvendo, vem:

x = 13 O número de alunos que praticam basquete é igual a 65, mas também podemos obter este valor pela seguinte soma:

5 + 15 + 30 + z Daí, podemos estabelecer a seguinte igualdade:

5 + 15 + 30 + z = 65 Resolvendo, vem:

z = 15

Ainda não usamos a informação: “21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei”. Quem são esses alunos? São os alunos que praticam só basquete ou que não praticam

nenhum dos três esportes. Desta forma, o número de alunos que praticam só basquete mais o número de alunos

que não praticam nenhum dos três esportes é igual a 21, ou seja:

z + w = 21

Obtemos anteriormente que o valor de z é 15, daí, determinamos o valor de w:

15 + w = 21 w = 6

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, pode ser obtido pela soma dos valores que aparecem na figura anterior:

x + 2 + 5 + 15 + x + 30 + z + w

Substituindo os valores de x, z e w, obtemos o resultado da soma:

13 + 2 + 5 + 15 + 13 + 30 + 15 + 6 = 99


08. Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, de modo que três delas

tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a a) 85. b) 220. c) 210. d) 120. e) 150.



17Sol.: As doze candidatas possuem idades diferentes, e as idades são de 11 a 22 anos. Daí: O número de candidatas menores de 18 anos é igual a: 7. O número de candidatas com 18 anos é igual a: 1. O número de candidatas maiores de 18 anos é igual a: 4. Agora, formaremos os grupos de seis bailarinas. A ordem das bailarinas dentro dos grupos é irrelevante, logo, deveremos utilizar combinação para encontrar o número de diferentes grupos que podemos formar. O enunciado exige que os grupos de seis bailarinas tenham a seguinte formação: 3 bailarinas com menos de 18 anos. 1 bailarina com 18 anos. 2 bailarinas com mais de 18 anos. Temos 7 bailarinas maiores de dezoito anos para 3 vagas no grupo, daí formaremos a seguinte combinação:

C7,3 Temos 1 bailarina de dezoito anos para 1 vaga no grupo, daí formaremos a seguinte combinação:

C1,1 Temos 4 bailarinas menores de dezoito anos para 2 vagas no grupo, daí formaremos a seguinte combinação:

C4,2 Como as combinações acima se referem a formação do mesmo grupo de seis bailarinas, então o total de diferentes grupos de dança é igual ao produto dessas combinações:

C7,3 x C1,1 x C4,2 Resolvendo, vem: 7! x 1 x 4! = 7 . 6 . 5 x 4 . 3 = 210 3! (7-3)! 2! (4-2)! 3 . 2 2

(Resposta: Alternativa C) 09. Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o número de

elementos de X é igual a: a) 10 b) 20 c) 35 d) 45 e) 90

Sol.: O enunciado não especifica o conjunto x, podendo ser qualquer coisa. Por exemplo: um conjunto de frutas, ou um conjunto de números inteiros, ou um conjunto de carros, etc. Desta forma, devemos considerar irrelevante a ordem dos elementos dentro de cada subconjunto (grupo). Também está implícito que quando se pretende formar subconjuntos a ordem é irrelevante. Assim, usaremos combinação e não arranjo. Designaremos por n o número de elementos do conjunto x.



18 Qual é o número de diferentes grupos de dois elementos que podemos formar com esses n elementos? A resposta é:

Cn,2

Daí, podemos estabelecer a seguinte igualdade:

Cn,2 = 45 Resolvendo, vem: n! = 45 2! (n-2)! n . (n-1) = 45 2 n2 – n = 90 n2 – n – 90 = 0 As raízes desta equação do 2º grau são: 10 e -9. Daí, encontramos que n é igual a 10. (Resposta: Alternativa A) 10. Numa caixa há 5 pares de meias diferentes. Dentre esses pares de meia, há um

par com ambos os pés rasgados. De olhos fechados, retira-se da caixa uma meia por vez. Qual a probabilidade de retirarmos duas meias, do mesmo par, não rasgadas, fazendo duas retiradas?

a) 1/5 b) 1/100 c) 4/45 d) 1/20 e) 2/9 Sol.: Sempre que for solicitado a probabilidade de retirar duas ou mais coisas, ou sortear duas ou mais coisas, devemos calcular a probabilidade da seqüência das retiradas (ou dos sorteios). Exemplo: Numa urna temos 4 bolas azuis e 3 amarelas, qual é a probabilidade de se retirar, sem reposição, duas bolas azuis? Resposta: Calcularemos a probabilidade da seqüência desejada, que é igual a:

P(1ª bola retirada é azul e a 2ª bola retirada é azul) = 4/7 x 3/6 = 2/7 Vamos à solução da nossa questão! . A probabilidade de retirarmos duas meias, do mesmo par e não rasgadas é igual a seguinte probabilidade?

P(1ª meia retirada não é rasgada e a 2ª meia retirada é o par da 1ª retirada) Recordando, a regra de probabilidade do “e” é a seguinte:

P(A e B) = P(A) x P(B|A)

Aplicando esta regra, teremos;



19 P(1ª meia retirada não é rasgada e a 2ª meia retirada é o par da 1ª retirada) = P(1ª meia retirada não é rasgada) x P(2ª retirada é o par da 1ª | 1ª meia retirada não era rasgada)

Cálculo da probabilidade: P(1ª meia retirada não é rasgada) Temos 8 meias não rasgadas no total de 10 meias na caixa. Daí,

P(1ª meia retirada não é rasgada) = 108

Cálculo da probabilidade:P(2ªmeia retirada é o par da 1ª| 1ª meia retirada não era rasgada)

Dado que a 1ª meia retirada não era rasgada, então temos as seguintes meias dentro da caixa: Há 9 meias na caixa (7 meias não rasgadas e 2 meias rasgadas). Deste total de meias só nos interessa 1 meia: o par da 1ª que foi retirada. Daí:

P(2ª meia retirada é o par da 1ª | 1ª meia retirada não era rasgada) = 91

Retomando a probabilidade que foi montada, teremos:

P(1ª meia retirada não é rasgada e a 2ª meia retirada é o par da 1ª) =

108

x 91

= 908

= 454

(Resposta: Alternativa C)

meia não rasgada

meia rasgada



1

AULA VINTE E CINCO: SEGUNDO SIMULADO

Olá, amigos!

É com grande saudade e também com imensa sensação de dever cumprido que anunciamos – Prof. Sérgio e Prof. Weber – o encerramento do nosso Curso On-line de Raciocínio Lógico!

Essa vigésima quinta aula encerra uma verdadeira maratona: de trabalho, para nós autores, e de estudos, para vocês que nos acompanharam nessa jornada!

E a palavra “maratona” assume o seu mais lídimo significado. Senão, vejamos, com base nos números desse curso: vinte e cinco aulas; 570 (quinhentas e setenta) páginas; aproximadamente 350 (trezentas e cinqüenta) questões de provas recentes resolvidas!

Quando assumimos esse compromisso, já sabíamos, desde o início, que se tratava de um verdadeiro desafio. Mas resolvemos enfrentá-lo e nesse instante vivemos um sentimento maravilhoso de realização.

A todos os muitos alunos que estiveram juntos conosco nesse caminho, o nosso muito obrigado. Pedimos desculpas pelas falhas cometidas, e reiteramos que a intenção nossa foi a de acertar sempre.

Enfim, esperamos, de coração, que este curso vire um verdadeiro Manual – de consulta continuada – nas mãos de vocês, nossos alunos, e de quem mais se dispuser a enveredar pelo estudo dessa disciplina tão instigante, que é o Raciocínio Lógico.

Eu, Prof. Sérgio, dedico esse curso à Maria Clara, minha princesinha de dez meses, razão da minha alegria!

E eu, Prof. Weber, dedico esse curso a minha filha Beatriz e a minha esposa Regina, as pessoas mais importantes da minha vida!

Mais uma vez obrigado a todos, um forte abraço e fiquem com Deus!

Na seqüência, o segundo simulado!

SIMULADO

01. Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Alguns que conhecem Maria não a admiram. Logo:

a) todos os que conhecem Maria a admiram;

b) ninguém admira Maria;

c) Alguns que conhecem Maria não conhecem João;

d) quem conhece João admira Maria;

e) Só quem conhece João e Maria conhece Maria;

02. Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira prometo que vos darei ou um cavalo veloz, ou uma linda espada, ou a mão da princesa; se ela for falsa, não vos darei nada". O jovem sábio disse, então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada". Para manter a promessa feita, o rei:



2

a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada

b) deve dar a mão da princesa, mas não o cavalo veloz nem a linda espada

c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada

d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada, mas não a mão da princesa

e) não deve dar nem o cavalo veloz, nem a linda espada, nem a mão da princesa

03. Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e outro uma letra.

Joâozinho afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira:

a) é necessário virar todos os cartões.

b) é suficiente virar os dois primeiros cartões.

c) é suficiente virar os dois últimos cartões.

d) é suficiente virar os dois cartões do meio.

e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão.

04. Quando não vejo Lucia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove, não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo Lucia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje

(A) vejo Lucia, e não estou deprimido, e não chove, e faz calor.

(B) não vejo Lucia, e estou deprimido, e chove, e faz calor.

(C) não vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e não faz calor.

(D) vejo Lucia, e não estou deprimido, e chove, e faz calor.

(E) vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e faz calor.

05. Ernesto, Ernani e Everaldo são três atletas que resolveram organizar um

desafio de ciclismo entre eles. Ficou combinado o total de pontos para o primeiro, o segundo e o terceiro lugares em cada prova. A pontuação para o primeiro lugar é maior que a para o segundo e esta é maior que a pontuação para o terceiro. As pontuações são números inteiros positivos. O desafio consistiu de n provas (n > 1), ao final das quais observou-se que Ernesto fez 20 pontos, Ernani 9 pontos e Everaldo 10 pontos. Assim, o número n de provas disputadas no desafio foi igual a:

a) 2 d) 9

b) 3 e) 13

c) 5

A

B

2

3



3

06. Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ..., 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:

a) 8 d) 60

b) 28 e) 84

c) 40

07. Sejam as matrizes

−−=

−=

3544200012228002

20053467

234745671102238340011020

BeA

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X = St, ou seja, X é a transposta de S. A matriz S é soma das matrizes A e B. Assim, a diferença absoluta entre x21 e x13 é igual a

a) 3439 d) 3549

b) 3449 e) 3600

c) 3539

08. Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A)=1/3 e P(B)=1/4. A probabilidade condicional de A dado que (A U B) ocorreu é igual a

(A) 4/7 (D) 7/12

(B) 2/3 (E) 1/2

(C) 1/3

09. Em um triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 50°. O menor ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C é:

a) 65º e) 115º

b) 80º d) 100º

c) 95

10. A expressão dada por w=–4senz–2 é definida para todo número z real. Assim, o intervalo de variação de w é

a) -6 ≤ w ≤ 1 d) -1 ≤ w ≤ 1

b) w ≤ -6 ou w ≥ 2 e) -6 ≤ w ≤ 2

c) -3 < w ≤ 2



4

SOLUÇÃO DO SIMULADO

01. Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Alguns que conhecem Maria não a admiram. Logo:

a) todos os que conhecem Maria a admiram;

b) ninguém admira Maria;

c) Alguns que conhecem Maria não conhecem João;

d) quem conhece João admira Maria;

e) Só quem conhece João e Maria conhece Maria;

Sol.:

Com base no enunciado da questão, estabeleceremos os seguintes conjuntos:

Conjunto X: conjunto das pessoas que conhecem João e Maria.

Conjunto Y: conjunto das pessoas que admiram Maria.

Conjunto Z: conjunto das pessoas que conhecem Maria.

Ora, todos que conhecem João e Maria é claro que conhecem Maria, portanto o conjunto X está contido no conjunto Z, simbolicamente: X ⊂ Z.

As representações simbólicas das frases do enunciado são as seguintes:

A frase: Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Será representada por:

Todo X é Y.

A frase: Alguns que conhecem Maria não a admiram. Será representada por:

Algum Z não é Y.

Traduzindo para a linguagem dos diagramas, teremos:

A começar pela primeira: Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria (Todo X é Y).

X

Y



5

Agora, completando a resolução, traduziremos a segunda frase: Alguns que conhecem Maria não a admiram (Algum Z não é Y). Lembre-se que X⊂Z! Teremos:

Uma vez concluído esse desenho, fica muito fácil confrontá-lo com as opções de resposta! Vejamos as opções, uma a uma.

Opção A) todos os que conhecem Maria a admiram.

Traduzindo para a linguagem simbólica, teremos

Todo Z é Y.

Para que isto fosse verdade, seria necessário que o conjunto Z estivesse contido no conjunto Y, mas pelo desenho acima, percebemos que isto não ocorre. Logo, esta opção é falsa!

Opção B) ninguém admira Maria.

Falsa! Por conta da seguinte frase do enunciado:

“Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria”.

Opção C) alguns que conhecem Maria não conhecem João.

Segundo o enunciado, é verdade que algumas pessoas que conhecem Maria não a admiram. Para que não haja contradição, estas mesmas pessoas não devem conhecer João, pois, de acordo com o enunciado, as pessoas que conhecem João e Maria admiram Maria.

Alternativa correta!

Ainda testaremos as alternativas D e E!

Opção D) quem conhece João admira Maria.

Falsa! O enunciado afirma somente que as pessoas que conhecem João e Maria admiram Maria, mas não fornece mais detalhes sobre o conjunto das pessoas que conhecem João. Portanto, não podemos necessariamente afirmar que: quem conhece João admira Maria.

Opção E) só quem conhece João e Maria conhece Maria

Falsa! Pois pode haver outras pessoas que conhecem Maria!

Resposta: Alternativa C!

X

Y Z



6

02. Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira prometo que vos darei ou um cavalo veloz, ou uma linda espada, ou a mão da princesa; se ela for falsa, não vos darei nada". O jovem sábio disse, então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada". Para manter a promessa feita, o rei:

a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada

b) deve dar a mão da princesa, mas não o cavalo veloz nem a linda espada

c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada

d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada, mas não a mão da princesa

e) não deve dar nem o cavalo veloz, nem a linda espada, nem a mão da princesa

Sol.:

A frase que o jovem sábio disse ao rei é a seguinte:

Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada.

O enunciado não informa, expressamente, se a frase do jovem é verdadeira ou falsa. Vejamos abaixo o que acontece em ambos os casos.

1º) A frase do jovem sábio é falsa!

Se a frase: Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada, é falsa, então a sua negação é verdadeira. Não é verdade!?

Antes de passarmos à negação, vamos encontrar uma forma equivalente para a frase do jovem sábio. A forma equivalente é a seguinte:

Vossa Majestade não dará o cavalo veloz e não dará a linda espada.

A frase acima é uma proposição composta formada por dois termos interligados pelo conectivo E. Logo, a negação será procedida da seguinte forma:

1º) Nega-se o primeiro termo da proposição composta;

2º) Troca-se o conectivo E pelo conectivo OU;

3º) Nega-se o segundo termo da proposição composta.

Procedendo desta forma, teremos que a negação da frase do jovem sábio é a seguinte:

Vossa Majestade dará o cavalo veloz ou dará a linda espada.

Esta frase é verdadeira, isso significa que o rei dará alguma coisa (o cavalo ou a espada).

O que o rei disse se a frase do jovem sábio fosse falsa?

Ele disse: não vos darei nada!

Observe que houve uma contradição! Ao considerar a frase do jovem como falsa, concluímos que o rei teria que dar o cavalo ou a espada, mas o rei disse que não dará nada.

Portanto, a frase do jovem sábio não pode ser falsa! Agora, consideraremos ela como verdadeira.



7

2º) A frase do jovem sábio é verdadeira!

Considerando que a frase do jovem sábio é verdadeira, então o rei não dará o cavalo veloz e não dará a linda espada.

O que o rei prometeu dar se a frase fosse verdadeira?

O rei prometeu dar ou um cavalo veloz, ou dar uma linda espada, ou dar a mão da princesa.

Observe que o rei usou o OU exclusivo, isso significa que ele dará somente uma coisa.

Afinal, o que o rei dará ao jovem sábio?

Para cumprir a promessa o rei tem que dar a mão da princesa, já que, segundo o jovem sábio que diz a verdade, o rei não vai dar nem o cavalo e nem a espada.

Não houve nenhuma contradição ao considerar a frase do jovem sábio como verdadeira. Logo, a resposta desta questão é a alternativa B.

03. Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e outro uma letra.

Joâozinho afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira:

a) é necessário virar todos os cartões.

b) é suficiente virar os dois primeiros cartões.

c) é suficiente virar os dois últimos cartões.

d) é suficiente virar os dois cartões do meio.

e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão.

Sol.:

A afirmação a qual devemos verificar a sua veracidade é a seguinte:

“Todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra”.

Isto é o mesmo que dizer que:

“Se o cartão tem uma vogal numa face, então na outra face tem um número par”.

Em que situação a afirmação de Joãozinho será considerada falsa?

Resposta: somente quando em uma das faces for uma vogal e na outra face não for um número par.

Esta informação é muito importante e a usaremos para encontrar a solução da questão.

A

B

2

3



8

Passemos à análise de cada cartão.

1)

É necessário virar este cartão para verificar se a afirmação de Joãozinho é verdadeira ou falsa?

Numa face temos a vogal A. Se na outra face tivermos um número par, então não podemos dizer que a afirmação de Joãozinho é falsa, mas se não for um número par, então a afirmação é falsa. Portanto, é necessário virar este cartão!

2)


Numa face temos a consoante B, então, segundo o enunciado, na outra face deve haver um número. Desta forma, não é necessário virar esse cartão, pois só podemos dizer que a afirmação de Joãozinho é falsa quando em uma das faces tivermos uma vogal e na outra face não houver um número par.

3)


Numa face temos o número par 2. A outra face deve conter uma letra, que poderá ser uma vogal ou uma consoante. Sendo uma consoante ou sendo uma vogal, não podemos dizer que a afirmação de Joãozinho é falsa! Portanto, não é necessário virar o cartão.

4)


Numa face temos o número ímpar 3. A outra face deve conter uma letra, que poderá ser uma vogal ou uma consoante. Sendo uma consoante, não podemos dizer que a afirmação de Joãozinho é falsa, mas se for uma vogal, aí diremos que a afirmação de Joãozinho é falsa! Portanto, é necessário virar este cartão!

Concluímos que é suficiente virar o primeiro e o último cartão para verificar se a afirmação de Joãozinho é verdadeira. (Resposta: Alternativa E)

A

B

2

3



9

04. Quando não vejo Lucia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove, não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo Lucia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje

(A) vejo Lucia, e não estou deprimido, e não chove, e faz calor.

(B) não vejo Lucia, e estou deprimido, e chove, e faz calor.

(C) não vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e não faz calor.

(D) vejo Lucia, e não estou deprimido, e chove, e faz calor.

(E) vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e faz calor.

Sol.: Esta questão se enquadra no assunto de Estruturas Lógicas. De acordo com o procedimento de solução feito para este tipo de questão, dividiremos nossa resolução em dois passos. Antes disso, convém traduzirmos as proposições simples do enunciado para a linguagem simbólica. Teremos:

L: vejo Lucia. P: passeio. D: deprimido. C: chove. O: faz calor.

Uma vez definidas tais proposições simples, as sentenças (ou premissas) do enunciado estarão assim traduzidas: P1: ~L (~P ou D) P2: C (~P e D) P3: (~O e P) ~L P4: (~C e D) ~P P5: P Passemos aos passos efetivos de resolução. 1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos: a) Iniciaremos pela 5ª premissa, uma vez que é uma proposição simples! P1. ~L (~P ou D)

P2. C (~P e D)

P3. (~O e P) ~L

P4. (~C e D) ~P

P5. P ⇒ P é verdade




10

b) Substitua P por V (e ~P por F). P1. ~L (F ou D)

P2. C (F e D) ⇒ O segundo termo desta condicional é falso, pois temos uma conjunção com um de seus termos falso. Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que a proposição C seja falsa. Logo: C é Falso!

P3. (~O e V) ~L

P4. (~C e D) F

P5. V

Resultado: O valor lógico de C é F. c) Substitua C por F (e ~C por V): P1. ~L (F ou D)

P2. F F

P3. (~O e V) ~L

P4. (V e D) F ⇒ O primeiro termo desta condicional é a conjunção (V e D), que resulta na proposição D. A condicional fica, então, sendo D F. Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que a proposição D seja falsa. Logo: D é Falso!

P5. V

Resultado: O valor lógico de D é F. d) Substitua D por F: P1. ~L (F ou F) ⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que

a proposição ~L seja falsa. Logo: L é Verdade! P2. F F

P3. (~O e V) ~L

P4. F F

P5. V

Resultado: O valor lógico de L é V. e) Substitua L por V (e ~L por F): P1. F F

P2. F F

P3. (~O e V) F ⇒ O primeiro termo desta condicional é a conjunção (~O e V), que resulta na proposição ~O. A condicional fica, então, sendo ~O F. Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que a proposição ~O seja falsa. Logo: O é Verdade!

P4. F F

P5. V

Resultado: O valor lógico de O é V.



11


P é V ⇒ É verdade que passeio.

L é V ⇒ É verdade que vejo Lucia.

O é V ⇒ É verdade que faz calor.

C é F ⇒ ~C é V ⇒ É verdade que não chove.

D é F ⇒ ~D é V ⇒ É verdade que não estou deprimido.

2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Como todas as alternativas são conjunções, então fica fácil de perceber que a alternativa correta é a A. 05. Ernesto, Ernani e Everaldo são três atletas que resolveram organizar um

desafio de ciclismo entre eles. Ficou combinado o total de pontos para o primeiro, o segundo e o terceiro lugares em cada prova. A pontuação para o primeiro lugar é maior que a para o segundo e esta é maior que a pontuação para o terceiro. As pontuações são números inteiros positivos. O desafio consistiu de n provas (n > 1), ao final das quais observou-se que Ernesto fez 20 pontos, Ernani 9 pontos e Everaldo 10 pontos. Assim, o número n de provas disputadas no desafio foi igual a:

a) 2

b) 3

c) 5

d) 9

e) 13

Sol.: Num total de n provas disputadas pelos três atletas, em que não há empates, com certeza teremos n primeiros lugares, n segundos lugares e n terceiros lugares.

Para os n primeiros lugares, onde o 1º lugar ganha x pontos, teremos ao todo n.x pontos.

Para os n segundos lugares, onde o 2º lugar ganha y pontos, teremos ao todo n.y pontos.

Para os n terceiros lugares, onde o 3º lugar ganha z pontos, teremos ao todo n.z pontos. O total de pontos nas n provas será igual a soma dos resultados acima:

n.x + n.y + n.z Também podemos obter este total de pontos somando os pontos de cada um dos atletas ao final das n provas, teremos:

20 + 9 + 10 = 39 pontos Daí, temos a igualdade: n.x + n.y + n.z = 39 Colocando o n em evidência, teremos:

n . (x+y+z) = 39



12

O primeiro membro da equação acima é o produto de dois valores: n e (x+y+z). O segundo membro também pode ser colocado como o produto de dois valores e teremos as seguintes possibilidades:

1) 39 x 1 2) 1 x 39 3) 13 x 3 4) 3 x 13

Teste do (39x1) n . (x+y+z) = 39 . 1

Comparando os dois membros da equação, teremos: n=39 e (x+y+z) = 1 Mas como x, y e z são números inteiros positivos (1,2,3,4,...), então o menor valor que (x+y+z) pode assumir é 6 (quando X=3, y=2 e z=1). Então (x+y+z) não pode ser igual a 1. Teste inválido!

Teste do (1x39) n . (x+y+z) = 1 . 39

Comparando os dois membros da equação, teremos: n=1 e (x+y+z) = 39 O enunciado diz que n é maior que 1, portanto teste inválido!

Teste do (13x3) n . (x+y+z) = 13 . 3

Comparando os dois membros da equação, teremos: n=13 e (x+y+z) = 3 Já havíamos concluído que o menor valor que (x+y+z) poderia assumir era 6. Então (x+y+z) não pode ser igual a 3. Teste inválido!

Teste do (3x13) n . (x+y+z) = 3 . 13

Comparando os dois membros da equação, teremos: n=3 e (x+y+z) = 13 Não há restrições para essa situação! Daí, o número de provas realizadas é igual a três. (Resposta: Alternativa B)



13

06. Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ..., 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:

a) 8

b) 28

c) 40

d) 60

e) 84

Sol.:

Segundo o enunciado, devemos considerar que o sonho de Pedro está correto, daí os seis números sorteados no próximo concurso da Mega-Sena estão entre os oito números revelados no seu sonho:

01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45

O número de cartões, com seis dezenas que podemos formar com os oito números do sonho de Pedro, é dado pela seguinte combinação:

C8,6 = 8! __ = 8 . 7 = 28 apostas simples 6! (8-6)! 2


07. Sejam as matrizes

−−=

−=

3544200012228002

20053467

234745671102238340011020

BeA

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X = St, ou seja, X é a transposta de S. A matriz S é soma das matrizes A e B. Assim, a diferença absoluta entre x21 e x13 é igual a

a) 3439

b) 3449

c) 3539

d) 3549

e) 3600

Sol.: Podemos resolver esta questão efetuando a soma das matrizes A e B, e depois encontrando a transposta da matriz soma resultante, para, então, obter x21 e x13. Porém, resolveremos esta questão de uma outra forma, diria de forma mais inteligente. Vamos a ela!



14

As matrizes A e B têm três linhas e duas colunas, logo a ordem delas é 3x2. A matriz S tem a mesma ordem 3x2, pois a matriz S é a soma das matrizes A e B.

A matriz X é a transposta de S, portanto a matriz X tem ordem 2x3, ou seja, duas linhas e três colunas. E a relação entre os elementos das matrizes S e X é a seguinte:

x11 = s11 x12 = s21 x13 = s31

x21 = s12 x22 = s22 x23 = s32

x31 = s13 x32 = s23 x33 = s33

Estamos interessados somente em x21 e x13 , e como podemos ver acima, eles são iguais a s12 e s31, respectivamente.

Passaremos ao cálculo de s12 e s31:

Cálculo de s12

Como bem sabemos, a matriz S é a soma das matrizes A e B, logo teremos:

s12 = a12 + b12

Da matriz A encontramos que: a12 = 4001

Da matriz B encontramos que: b12 = 2005


s12 = 4001 + 2005 = 6006

Daí: x21 = s12 = 6006

Cálculo de s31

A matriz S é a soma das matrizes A e B, logo teremos:

s31 = a31 + b31

Da matriz A encontramos que: a31 = 4567

Da matriz B encontramos que: b31 = -2000


s31 = 4567 + (-2000) = 2567

Daí: x13 = s31 = 2567

O que nos pede, finalmente, a questão? Pede para encontrarmos a diferença absoluta entre x21 e x13 . Teremos, pois, que:

X21 – X13 = 6006 – 2567 = 3439 (Resposta: alternativa A)



15

08. Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A)=1/3 e P(B)=1/4. A probabilidade condicional de A dado que (A U B) ocorreu é igual a

(A) 4/7 (D) 7/12

(B) 2/3 (E) 1/2

(C) 1/3

Sol:

A probabilidade condicional solicitada na questão é a seguinte:

?)|( =∪ BAAP

Já vimos que a fórmula da probabilidade condicional é dada por:

)(

)()|(YPYXPYXP ∩

=

Aplicando a fórmula, teremos:

)())(()|(

BAPBAAPBAAP

∪∪∩

=∪

Agora, vamos calcular as probabilidades que aparecem no numerador e no denominador da expressão acima.

Nós temos a seguinte equivalência que é facilmente provada pelo desenho de diagramas de conjuntos para A e B:

)( BAA ∪∩ é equivalente a A

Daí, 31)())(( ==∪∩ APBAAP

A regra do “ou” é dada pela fórmula seguinte:

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

Como A e B são eventos independentes, a fórmula acima pode ser escrita como:

)()()()()( BPAPBPAPBAP ×−+=∪

Usando as probabilidades fornecidas na questão, teremos:

21

126

41

31

41

31)()()()()( ==×−+=×−+=∪ BPAPBPAPBAP

Colocando estes resultados na expressão da probabilidade condicional, teremos:

32

2131

)|( ==∪ BAAP (Resposta: alternativa B)



16

09. Em um triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 50°. O menor ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C é:

a) 65º c) 95 e) 115º

b) 80º d) 100º

Sol.:

O enunciado apenas diz que o ângulo A do triângulo ABC mede 50º, sem especificar a forma do triângulo, então podemos simplificar a solução da questão considerando que o triângulo é isósceles. Teremos o seguinte:

Construiremos agora as bissetrizes internas dos ângulos B e C, e calcularemos os ângulos envolvidos na figura.

Temos dois ângulos entre as bissetrizes internas: o ângulo α e ângulo β. A questão solicita o menor desses ângulos.

A soma dos ângulos do triângulo BPC deve ser igual a 180º, daí achamos o valor de α:

α + 32,5º + 32,5º = 180º

Resolvendo, vem: α = 115º

E o valor de β?

Observe na figura que α e β são ângulos suplementares, ou seja, a soma deles é igual a 180º. Teremos:

α + β = 180º

50º

32,5º

A

B C32,5º

32,5º

32,5º α

βP

50º

65º65º B C

A



17

Já encontramos que α=115º. Substituiremos este valor na equação acima:

115º + β = 180º

Daí: β = 180º - 115º

E, finalmente: β = 65º

O ângulo β é menor do que α, daí a resposta é:

β = 65º (Resposta: alternativa A)

10. A expressão dada por w=–4senz–2 é definida para todo número z real. Assim, o intervalo de variação de w é

a) -6 ≤ w ≤ 1 d) -1 ≤ w ≤ 1

b) w ≤ -6 ou w ≥ 2 e) -6 ≤ w ≤ 2

c) -3 < w ≤ 2

Sol.:

A expressão fornecida no enunciado envolve a função seno. Assim, encontraremos o intervalo de variação de w, a partir do intervalo de variação da função seno.

Da função seno, sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o valor máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que:

sen z ≥ -1 e sen z ≤ 1

A partir da expressão sen z ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de w.

Temos que sen z ≥ -1 , se multiplicarmos por -4 ambos os lados, obteremos:

-4.sen z ≤ -4.(-1)

Observe que o sinal inverteu, era um sinal de “maior” e passou para um sinal de “menor”, isso ocorreu porque multiplicamos por um valor negativo (-4).

Continuando, teremos: -4sen z ≤ 4

Se subtrairmos por 2 ambos os lados da expressão acima, teremos:

-4sen z – 2 ≤ 4 – 2

Daí:

-4sen z–2 ≤ 2

E como w=-4sen z–2, então encontramos que w ≤ 2.



18

Agora, a partir da expressão sen z ≤ 1, obteremos uma outra expressão de variação de w.

Temos que sen z ≤ 1, se multiplicarmos por -4 ambos os lados, obteremos:

-4.sen z ≥ -4.1

Novamente, invertemos o sinal, agora de menor para maior, porque multiplicamos por um valor negativo (-4).

Continuando, teremos: -4sen z ≥ -4

Se subtrairmos por 2 ambos os lados da expressão acima, teremos:

-4sen z – 2 ≥ -4 – 2

Daí:

-4sen z–2 ≥ -6

E como w=-4sen z–2, então encontramos que w ≥ -6.

Dos resultados obtidos: w ≥ -6 e w ≤ 2, encontramos o intervalo de variação de w:

-6 ≤ w ≤ 2 (Resposta: alternativa E)

Curso completo de raciocãnio lã³gico prof. sã©rgio carvalho

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