Critério de Kelly – Jogos

Favoráveis e Aplicações no

Mercado Financeiro

Alexandre Rubesam

20/08/2010

Resumo

Jogos favoráveis e definição do problema

Resultados e aproximações

Aplicação no mercado financeiro

Exemplo com futuros de IBOV e DÓLAR

Jogos Favoráveis

Problema fundamental em apostas é encontrar apostas com valor

esperado positivo (em investimentos, é encontrar investimentos

com retorno em excesso positivo)

Uma vez que uma oportunidade é encontrada, o apostador

(investidor) deve decidir quanto apostar

Vamos utilizar o exemplo de apostar em uma moeda para definir

o conceito de aposta de Kelly, mas os resultados são

generalizáveis para várias situações, entre elas o mercado de

capitais

Lançamento de moeda

Moeda favorável com: 5.0 pGanharP

5.01 pqPerderP

Capital inicial = 0

X

Queremos maximizar o valor esperado do nosso capital após n

lançamentos da moeda, n

XE

Quanto devemos apostar, k

B , no lançamento k?

Seja

contrário caso,1

lançamento ésimo-k no vitória,1k

T

Então

,...3,2,1,

1

kTBXX

kkkk

e após n lançamentos,

n

jkkn

TBXX1

0

O valor esperado é

n

jk

n

jkkn

BEqpXTBEXXE1

01

0

Portanto se quisermos maximizar n

XE , devemos maximizar

k

BE , ou seja, apostar todo nosso capital a cada lançamento.

Problema: 01010

n

n

nnpXPXPRuínaP , ou

seja, perderemos todo o dinheiro quase certamente.

Por outro lado, tentar minimizar a prob. de ruína leva a minimizar

o tamanho da aposta, o que minimiza o ganho esperado.

Isso sugere a existência de uma estratégia ótima, intermediária

entre esses dois extremos.

Suponha que iremos apostar uma fração fixa 0 < f < 1 do capital.

Então após n lançamentos, temos:

FS

nffXX 11

0,

onde S e F são os números de sucessos e falhas nos n lançamentos

da moeda, S + F = n.

Note que, como f > 0, a ruína não pode (estritamente) ocorrer. Por

outro lado, podemos reinterpretar “ruína” no sentido de que, para

qualquer 0 , 1lim

n

nXP .

Note que podemos escrever o ganho relativo, 0

/ XXn

, como:

nn

X

Xn

n eX

X1

0

log

0

,

e portanto a quantidade abaixo mede a taxa exponencial de

crescimento do capital por lançamento da moeda:

fn

Ff

n

S

X

XfG

n

n

1log1loglog

1

0

Kelly (1956) decidiu maximizar o valor esperado do coeficiente de

crescimento, fg , onde

fqfp

fn

Ff

n

SE

X

XEfg

n

n

1log1log

1log1loglog

1

0

Obs: Como 0

log)/1(log)/1()( XnXEnfgn , então para n fixo,

maximizar fg é equivalente a maximizar n

XE log .

A maximização de fg resulta na chamada fração de Kelly

qpf * . O gráfico de fg revela algumas propriedades

interessantes.

Propriedades de fg :

Único máximo em qpff *

Existe um valor único 0c

f , com 10 * c

ff ,

tal que fg =0. Apostar qualquer fração acima de

cf leva implica em ganho esperado negativo

Apostar uma fração menor do que *f leva a

crescimento sub-ótimo do capital, porém sempre

positivo

Apostar menos do que a fração de Kelly *f é bem

mais seguro do que apostar mais e arriscar

ultrapassar o valor c

f

Apostar qualquer fração entre 0 e c

f implica em

crescimento exponencial do capital; mas o

crescimento é maximizado com *f

Uma escolha comum é usar half-Kelly, ou seja,

calcular a fração de Kelly e usar a metade

Exemplo 1: O jogador A joga contra um adversário infinitamente rico

(e estúpido) o seguinte jogo. O capital inicial é 0

X . Uma moeda é

lançada e o jogador A ganha o valor apostado com

probabilidade 53.0p .

A fração de Kelly é 06.047.053.0* qpff , portanto o

jogador A deve apostar 6% do seu capital a cada lançamento da

moeda, para que seu capital n

X cresça à maior taxa possível.

Pode-se verificar empiricamente que 11973.0c

f , portanto se a

fração apostada for maior do que aprox. 12% do capital, o capital do

jogador A irá se aproximar cada vez mais de 0.

Exemplo 2 (Blackjack): Suponha que a cada rodada de um jogo de

blackjack, o jogador lida com um dos dois casos abaixo com prob. 0.5:

Caso 1: “situação favorável” - 49.0)1(,51.0)1( XPXP

Caso 2: “situação desfavorável” - 51.0)1(,49.0)1( XPXP

O jogador sabe antes de apostar qual caso se aplica. Suponhamos que

o jogador faça pequenas “apostas de espera” nas situações

desfavoráveis, e apostas maiores nas situações favoráveis, e.g.:

Apostar f nos casos favoráveis e 10, aaf nos casos desfavoráveis

A taxa de crecimento é

))1log(51.0)1(log(49.0(5.0

)1log(49.0)1log(51.05.0)(

afaf

fffg

Dado um valor de a, podemos encontrar o valor de f que maximiza a

expressão acima.

Exemplo 2 (Blackjack cont.)

O gráfico abaixo mostra o f ótimo para vários valores de a:

f* versus a

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

0.0200

0.0250

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

a

f*

Obs: se a = 0, o problema se resume ao caso anterior; se a=1, temos

um jogo justo e portanto a fração de Kelly é 0.

Aproximação contínua – Alocação em 1 ativo de risco

Uma aposta (investimento) em um ativo financeiro pode ter muitos

resultados diferentes

f passa a ser a proporção de capital investido no(s) ativo(s), e pode

ser negativo (ficar vendido)

Vamos considerar uma variável aleatória X com smXPsmXP 5.0

Então temos 2e sXVarmXE . Com capital inicial 0

V ,

retorno em um ativo sem risco (eg títulos do governo) r, retorno por

unidade de X e fração de aposta f, temos que

rXfrVfXrfVfV 1)1(1

00

Agora dividimos o intervalo de tempo em n partes independentes,

mantendo a mesma média e a mesma variância.

Ou seja, em cada parte i =1,...,n temos uma variável i

X com média

nm / e variância ns /2 , e o retorno no ativo sem risco é r/n.

Quando n temos que a taxa de crescimento esperada, fg ,

converge para

2/)( 22 fsrmfrfg

,

que é maximizada por

ratio Sharpe onde/)( 2* Ss

Ssrmf .

É possível mostrar que :

rSfg

2/2*

Consideremos o caso em que a aproximação acima é usada para alocar

o capital do investidor entre o portfolio de mercado, quem tem retorno

médio m e volatilidade s, e títulos do governo, que tem retorno r.

Temos os seguintes casos:

1sS

1sS

1

*

*

*

f

f

fsS

No primeiro caso, o investidor aloca todo seu recurso no portfolio de

mercado; no segundo caso, ele usa alavancagem (empresta dinheiro

para investir no mercado); no último caso, ele aloca parte do capital no

mercado, e o restante em renda fixa.

Exemplo 3 (Alocação em IBOV e renda fixa) – Usando dados de

2000 a 2010, temos as seguintes estimativas:

1461.0

3178.0

1828.0

r

s

m

Para definir a alocação, usamos a fórmula anterior:

3630.0/)( 2* srmf

Ou seja, o investidor alocará aprox. 36% do seu capital no mercado de

ações, e 64% em renda fixa. Isso está de acordo com a relação

anterior, já que que a razão de Sharpe no exemplo é sS 3178.01154.03178.01461.01828.0

Obs.: Note que um investidor usando o critério de Kelly diretamente

faz uma escolha que não contempla risco.

Critério de Kelly vs Apreçamento de Ativos

Markowitz (1952) estudou o problema de um investidor que precisa

alocar recursos entre vários ativos de risco e um ativo sem risco.

Temos o seguinte problema:

investir em n ativos com frações T

nffF ,...

1 , e investir o restante

do capital, 0

f , no ativo sem risco

C = matriz de covariância entre os ativos

M = vetor de médias dos ativos

1

fF

TrrrR ,..., = vetor de retornos no ativo sem risco

A média e variância do portfolio são dados por

CFFs

RMFrmfmfrfmT

T

nn

2

110)(...

O problema de Markowitz então é colocado como:

i

i

T

FmmefqtCFFMin

01.. ,

ou seja, encontrar o portfolio de mínima variância para um dado nível

de retorno esperado. Esse processo, feito para vários níveis de retorno

esperado, leva à chamada Fronteira Eficiente: os portfolios que

possuem o menor risco para cada nível de retorno (ou

equivalentemente, maior nível de retorno para cada nível de risco):

N

E(RP)

Z’

A

P*

ZZ’’

B

p

Feasible set

Minimum-

variance

frontier

P*: Global minimum variance portfolio

Individual assetsIndividual assets

Sharpe (1964) considera a alocação entre o ativo sem risco e a

fronteira eficiente, o que leva à derivação da Linha do Mercado de

Capitais: um investidor irá alocar parte do capital no portfolio de

mercado, e parte no ativo sem risco, de acordo com sua aversão ao

risco.

Rf

P

E(RP)

B

A

MCAL1

CAL2

M

Sharpe’s Capital Market Line (CML)

= New mean variance efficient

frontier for risky portfolios

E(RM)

Qualquer combinação

retorno-risco na linha pode

ser obtida variando-se a

proporção do capital a ser

alocada no portfolio de

mercado

Investidores mais aversos a

risco irão manter maior

proporção do capital no ativo

sem risco

Investidores menos aversos a

risco irão investir mais no

portfolio de mercado; em

particular, podem até ficar

alavancados

A equação da linha é dada por:

Ou seja, a inclinação da reta é dada pela razão de Sharpe do portfolio

de mercado. Logo, o investidor que usa o critério de Kelly pode ficar à

esquerda ou à direita do portfolio de mercado no gráfico acima,

dependendo do Sharpe do mercado.

Conclusão:

No paradigma de Finanças, primeiro partimos do apetite do

investidor por risco, para depois definir a alocação (que é a mais

eficiente do ponto de vista risco/retorno;

O critério de Kelly produz uma alocação única (que produz a

maior taxa de crescimento esperada do capital). Risco não é

contemplado diretamente (mas o investidor pode usar o Kelly

fracional, i.e., uma fração fixa da fração de Kelly, para gerir

risco/conservar capital)

P

M

fM

fP

RRERRE

Kelly para um portfolio de Ativos

investir em n ativos com frações T

nffF ,...

1 , e investir o restante

do capital, 0

f , no ativo sem risco

C = matriz de covariância entre os ativos

M = vetor de médias dos ativos

1

fF

TrrrR ,..., = vetor de retornos no ativo sem risco

A média e variância do portfolio são dados por

CFFs

RMFrmfmfrfmT

T

nn

2

110)(...

Podemos aplicar a fórmula anterior e maximizar 2/2smFg .

O resultado da maximização irrestrita é

RMCF 1*

Inclusão de restrições

Obviamente, o problema de maximização pode ser modificado para

incluir restrições na venda de ativos, na proporção a ser investida em

ativos específicos, e na alavancagem total.

n

1i

max

m)alavancage de (limitação

ido)ficar vend pode (não 0

ativo)por (limitação

lf

f

ff

i

i

i

Aplicação: Kelly em um Portfolio com IBOV e

DÓLAR usando futuros

Investidor pode investir no mercado de ações e câmbio usando

contratos futuros

Vamos construir estimativas e calcular as frações de Kelly ao

longo do tempo usando EWMA

Precisamos estimar, no tempo t, as quantidades abaixo

DÓLAR do ade volatilid s

IBOV do ade volatilid s

DÓLAR e IBOV entre acovariânci c

DÓLAR do médio retorno

IBOV do médio retorno

,DÓLAR

,IBOV

,DÓLARIBOV,

,

,

t

t

t

tDÓLAR

tIBOV

m

m

O resultado da aplicação da fórmula é um vetor tDÓLARtIBOVt

ffF,,

,

com a proporção do capital a ser comprado/vendido cada ativo

Resultados hipotéticos: abaixo temos resultados hipotéticos desta

aplicação, sem custos transacionais e usando os retornos dos spots.

Accumulated returns

0

2

4

6

8

10

12

1/3/2

000

1/3/2

001

1/3/2

002

1/3/2

003

1/3/2

004

1/3/2

005

1/3/2

006

1/3/2

007

1/3/2

008

1/3/2

009

1/3/2

010

CUMULATIVE RETURN

CUM. CDI

CUM. IBOV

Bibliografia

Kelly, J.L. (1956), A New Interpretation of the Information Rate, AT&T

research paper.

Markowitz, H. (1952), Portfolio Selection, Journal of Finance, Vol. 7, No

1.

Thorp, E. (2007), The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and

the Stock Market. Handbook of Asset and Liability Management, Volume

1.

Thorp, E. (1969), Optimal Gambling Systems for Favorable Games,

Review of the International Statistical Institute, Vol. 37, No. 3.