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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA- UNEB

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO CAMPUS VII- SENHOR DO BONFIM

CURSO: LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Seqüência de Fibonacci e Modelagem Matemática

Reflexão de atividades por graduandos em Matemática da UNEB em Senhor do

Bonfim, Bahia

GREICE KELLY BISPO DOS SANTOS

Orientador: Geraldo Caetano de Souza Filho

SENHOR DO BONFIM,

2008

3

GREICE KELLY BISPO DOS SANTOS

Seqüência de Fibonacci e Modelagem Matemática

Reflexão de atividades por graduandos em Matemática da UNEB em Senhor do

Bonfim, Bahia

Monografia apresentada ao departamento de

Educação- Campus VII da universidade do Estado

da Bahia – UNEB, como requisito parcial para

obtenção do título de graduada em Licenciatura em

Matemática.

Orientador: Prof. Geraldo Caetano de Souza Filho

SENHOR DO BONFIM,

2008

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GREICE KELLY BISPO DOS SANTOS

Seqüência de Fibonacci e Modelagem Matemática

Reflexão de atividades por graduandos em Matemática da UNEB em Senhor do

Bonfim, Bahia

Monografia apresentada ao departamento de

Educação- Campus VII da universidade do Estado

da Bahia – UNEB, como requisito parcial para

obtenção do título de graduada em Licenciatura em

Matemática.

CONCEITO:_____________________________________

BANCA AVALIADORA

ORIENTADOR____________________________________

Prof. Geraldo Caetano de Souza Filho

Prof. (a):_________________________________________

Mirian brito de Santana

Prof. (a):_________________________________________

Alayde Ferreira da Silva

Senhor do Bonfim,

2008

5

DEDICATÓRIA

A minha mãe, Valtina Bispo de Souza, a quem destino imenso amor.

Ao professor Geraldo, pela confiança, paciência e orientação.

A minha irmã, Graciele, pelo apoio incondicional.

A meu namorado Leandro pelo apoio compreensão e dedicação a mim no decorrer

da elaboração deste trabalho.

A meus amigos, Alzenir, Rafael, Rita e Iris, pelo companheirismo durante todo curso

de minha vida e pelo incentivo durante este trabalho.

6

AGRADECIMENTOS

A Deus, por iluminar minha vida e me conceder inspiração e força para o alcance de

meus objetivos.

Ao professor Geraldo, a quem dedico profunda admiração e quem muito me ajudou

no desenvolvimento deste trabalho.

A meus familiares, obrigada pela compreensão nos momentos agitados, pelo

carinho e incentivo.

A todos que direta ou indiretamente contribuíram para realização desta pesquisa.

7

RESUMO

O presente trabalho aborda a importância de se utilizar metodologias de ensino que mostrem aos alunos a aplicação dos conteúdos estudados nos cursos de graduação, em particular com a Seqüência de Fibonacci. O objetivo é verificar se os alunos da UNEB - Campus VII ( Senhor do Bonfim), que cursam Licenciatura em Matemática, sabem aplicar o conteúdo seqüência, incluído nas ementas dos componentes curriculares Matemática III e Cálculo III, na Seqüência de Fibonacci, constatar a opinião destes alunos sobre a utilização da Modelagem Matemática no ensino, sobretudo no nível superior e ao mesmo tempo conferir se estes alunos perceberam alguma aplicação do conteúdo supracitado no desenvolvimento do seu curso. O método utilizado para obtenção de resultados aborda principalmente a pesquisa qualitativa e quantitativa, baseada na análise dos questionários respondidos pelos alunos. Vale a pena ressaltar a grande importância da fundamentação teórica como embasadora deste trabalho, onde encontrar-se-ão aspectos referentes a Seqüência de Fibonacci e à Modelagem Matemática, principalmente. As considerações finais trazem a reflexão dessa análise e sugestões de inclusão de atividades de Modelagem Matemática no ensino superior para que os graduando consigam aplicar seus conhecimentos na resolução de problemas com alusões à realidade. A partir deste trabalho foi possível fazer a sugestão de se utilizar atividades de modelagem matemática no ensino de Matemática, sobretudo no ensino superior, afim de que os alunos consigam aplicar os conceitos estudados em problemas com alusões na realidade.

Palavras-chave: Modelagem Matemática, Seqüência de Fibonacci, Seqüência.

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 09

CAPÍTULO I: PROBLEMÁTICA 11

CAPÍTULO II: QUADRO TEÓRICO 14

2.1 Breve relato sobre Fibonacci 14

2.2 A Sequência (ou sucessão) de Fibonacci 15

2.3 Os números de Fibonacci 16

2.4 Modelagem Matemática 17

2.1.1 Modelagem matemática e Sequência de Fibonacci 20

CAPÍTULO III 25

3. Procedimentos metodológicos 25

CAPÌTULO IV 28

4. Análise e interpretação dos dados 28

CONSIDERAÇÕES FINAIS 50

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 52

APÊNDICES 55

APÊNDICE I 55

APÊNDICE II 58

9

INTRODUÇÃO

O tema deste trabalho consiste na aplicabilidade da Seqüência de Fibonacci:

um caso particular de uma sucessão recorrente que pode ser trabalhada na sala de

aula por professores os quais desejem exemplificar o conteúdo de seqüência com

situações cujo foco é a realidade, uma vez que a Sucessão de Fibonacci estabelece

conexões com certos fenômenos naturais. Alguns métodos de ensino fazem com

que a experiência dos alunos seja mecânica, tentando transformá-los em meras

máquinas. É necessário que sejam utilizados métodos os quais tornem o ensino de

matemática mais prazeroso, para fazê-los sentir-se motivados a aprender.

Resolver um problema é buscar instrumentos conhecidos ou não, e por meio

destes, encontrar caminhos e refletir sobre como alcançar o fim desejado. Existem

várias formas de se chegar ao resultado de questões matemáticas, entre eles o uso

da calculadora, o cálculo mental, a estruturação de operações ou mesmo uma

dedução mais simples. Sabemos que é necessário garantir a todos, em igualdade de

condições, um conhecimento matemático essencial à vida em sociedade. Por isso,

hoje, na educação matemática procura-se inclui estratégias buscando maneiras para

organização e interpretação de dados, sobretudo sua utilidade na comunidade, para

que o aluno perceba a conexão dos conteúdos matemáticos com fenômenos

naturais e consiga aplicar esses conceitos a tais fenômenos. Partindo disso procura-

se saber se os alunos da Universidade do Estado da Bahia, Campus VII de Senhor

do Bonfim, que já cursaram a disciplina matemática III e cálculo III sabem aplicar os

conceitos vistos em Seqüência com a Sucessão de Fibonacci.

Utilizando as pesquisas qualitativa e quantitativa, a metodologia foi

desenvolvida a partir de atividades de Modelagem Matemática empregando a

Seqüência de Fibonacci. A presente pesquisa está distribuída da seguinte maneira:

No primeiro capítulo encontra-se a problemática que gerou a pesquisa, bem

como os objetivos e contribuição dela para a aquisição de novas práticas de ensino.

No segundo capítulo está a fundamentação teórica, com a visão de alguns

autores a cerca da Modelagem Matemática, do Ensino de Matemática e abordagens

sobre a Seqüência de Fibonacci e sua contribuição para o ensino.

10

O terceiro capítulo aborda os procedimentos e técnicas metodológicas

utilizadas para a elaboração deste trabalho, enfocando as pesquisas qualitativa,

descritiva e quantitativa que nortearam o labor.

No quarto capítulo consta a análise e interpretação dos dados coletados cujos

resultados foram apresentados e fundamentados pelas respostas dos alunos.

Por fim, nas considerações finais é ressaltada a importância de ensinar

matemática de forma contextualizada facilitando, assim, o ensino-aprendizagem da

matemática e possibilitando a aprendizagem significativa. Os resultados indicam a

necessidade da utilização na universidade desse tipo de procedimento a fim de

tornar o curso de licenciatura em matemática mais interessante e proveitoso uma

vez que os alunos podem aprender a aplicar seus conhecimentos.

11

CAPITULO I: PROBLEMÁTICA

A matemática é uma ciência que vem contribuindo para o progresso da

humanidade. Desde a antiguidade sua existência se fazia necessária, não com a

representação que ela tem hoje, se fazendo presente na vida prática das pessoas.

A matemática é, desde os gregos, uma disciplina de foco nos sistemas educacionais, e tem sido a forma mais estável da tradição mediterrânea que perdura até nossos dias como manifestação cultural que se impôs, incontestada, às demais formas. Enquanto nenhuma religião se universalizou, nenhuma língua se universalizou, nenhuma culinária nem medicina se universalizaram, a matemática se universalizou, deslocando todos os demais modos de quantificar, de medir, de ordenar, de inferir e servindo de base, se impondo, como modo de pensamento lógico e racional que passou a identificar a própria espécie (D’AMBRÓSIO,1998, p. 10).

Mesmo com todo esse histórico, enquanto disciplina carrega os maiores

índices de rejeição por parte dos alunos, pois eles não conseguem perceber

utilidade dos conteúdos matemáticos. As dificuldades encontradas pelos alunos no

aprendizado da Matemática ultrapassam os limites do Ensino Fundamental e Médio,

chegando ao curso superior, fazendo com que exista um alto grau de desistência

e/ou reprovação nas disciplinas estudadas com base em conteúdos matemáticos, ou

seja, nas disciplinas de ciências exatas. Baraldi (1999, p.91) afirma que: “para a

maioria dos jovens, além de números e cálculos a Matemática é uma ciência fria,

sem utilidade para a vida cotidiana ou não perceptível, mesmo que presente.”. Num

momento onde o processo de ensino-aprendizagem de matemática tornou-se

bastante complicado é necessário a busca de estratégias as quais facilitem tal

processo motivando os alunos. Dessa forma, torna-se urgente o desenvolvimento de

estratégias que despertem o interesse e o prazer do aluno pela aprendizagem de

matemática. O professor precisa ter uma boa relação com a disciplina e com os

alunos, tornando o aprendizado mais prazeroso. É o encanto pelo conhecimento o

responsável pela superação das dificuldades de aprendizagem. Segundo

D’Ambrósio (2002), o ciclo de aquisição do conhecimento é deflagrado a partir de

fatos da realidade. Deste modo, a construção do conhecimento matemático pode ser

mais eficiente se emergir de fenômenos que têm origem na realidade. Assim, a

exploração, no ensino, de situações da vida real em que a Matemática se aplica,

pode torná-la mais dinâmica e interessante e proporcionar maior eficiência no

12

processo de ensino e aprendizagem. O educador deve trazer formas diligentes e

contextualizadas ao aplicar um conteúdo matemático para que ele seja realmente

compreendido. Muitas vezes os cursos de licenciatura não trazem formas dinâmicas

de ensino e o licenciando estuda os assuntos sem sua aplicabilidade. Daí surge à

pergunta: “Onde, quando e como vou utilizar isso em minha vida prática ou

profissional?” Não são percebidos vínculos de tais conteúdos com a vida real. Lins

(apud Bicudo 2005, p. 93) afirma que “uma solução que parece indicada nessa

situação, é buscar fazer os alunos verem a Matemática na vida real, trazer a vida

real para as aulas de Matemática.” É o que propõe a Modelagem Matemática:

trabalhar os conteúdos com exemplos autênticos, instigando assim a curiosidade e

prazer de especular os conteúdos e cálculos matemáticos.

Estimular o pensamento independente e não apenas a capacidade mnemônica; desenvolver a criatividade e não apenas transmitir conhecimentos prontos e acabados; desenvolver a capacidade de manejar situações reais e resolver diferentes tipos de problemas. Somente dessa maneira, será possível pensar em uma matemática prazerosa, interessante, que motive nossos alunos, dando-lhes recursos e instrumentos que sejam úteis para o seu dia-a-dia buscando mostrar-lhes a importância dos conhecimentos matemáticos para a sua vida social, cultural e política (Lara, 2003, p.19).

Essas aptidões devem ser desenvolvidas também no nível superior,

sobretudo nos cursos de licenciatura (nesse caso em matemática), almejando que o

graduando consiga aplicar seus conhecimentos em situações reais.

Partindo da aplicabilidade dos conteúdos vistos nos cursos de Licenciatura

em Matemática e da curiosidade e estudo sobre a Seqüência de Fibonacci originou-

se esta pesquisa. Uma vez que esta disciplina é de fundamental importância para o

desenvolvimento do raciocínio lógico das pessoas.

A disciplina Matemática vem sendo utilizada, há muito tempo, como instrumento de seleção. E isto tem haver, certamente, com o fato de seu ensino ter sido pensado, historicamente pelos professores, como sendo a maneira por excelência de desenvolver o raciocínio, tornando-se assim, um conhecimento eficaz para destacar os alunos mais inteligentes (Lara, 2003, p. 19).

Do interesse em aprofundar os estudos sobre como a aplicabilidade de alguns

conceitos matemáticos, no caso da Seqüência de Fibonacci, e poder facilitar a

aprendizagem e desmistificar o estudo dos conteúdos referentes a este conteúdo,

13

surge o seguinte questionamento: Os alunos da Universidade do Estado da Bahia –

UNEB, Campus VII - Senhor do Bonfim, que já cursaram as disciplinas Matemática

III e Cálculo III sabem aplicar os conceitos vistos no conteúdo Seqüência na

Seqüência de Fibonacci?

Para responder tal problema foram traçados os seguintes objetivos: Verificar

se os alunos da UNEB de Senhor do Bonfim, que cursam Licenciatura em

Matemática, sabem aplicar o conteúdo seqüência, visto em Matemática III e Cálculo

III, na Seqüência de Fibonacci; verificar a opinião destes alunos sobre a utilização da

Modelagem Matemática no ensino, sobretudo no nível superior; verificar se estes

alunos perceberam alguma aplicação do conteúdo supracitado no desenvolvimento

do seu curso; e apresentar os resultados obtidos no desenvolvimento de atividades

sobre a Seqüência de Fibonacci com alunos da UNEB de Senhor do Bonfim que

cursaram as disciplinas Matemática III e Cálculo III;

O interesse nesta pesquisa se justifica pelo pouco uso de estratégias

metodológicas, sobretudo na Licenciatura em Matemática, que desenvolvam a

capacidade dos alunos em utilizá-la na interpretação e intervenção do mundo real, e

visa contribuir para o aprofundamento das pesquisas sobre maneiras de ensinar os

conteúdos matemáticos de modo que o aluno analise situações da vida real,

construa um modelo matemático para interpretá-lo e resolvê-lo, bem como

desenvolva a capacidade de formular hipóteses e prever os resultados.

14

CAPÍTULO II: QUADRO TEÓRICO

2 Breve relato sobre Fibonacci (1175-1250)

Leonardo de Pisa, mais conhecido historicamente como Fibonacci (lê-se

fibonati) foi um matemático, nascido em 1170, século XIII, na Itália, provavelmente

em Pisa, e falecido em 1250. Era filho de Bonaccio, um mercador de Pisa.

Ballassare Boncampani, editor de seus trabalhos no século XIV, por causa do nome

de seu pai deu a Leonardo esse nome, Fibonacci, pois, fibonacci = filius de Bonacci

(filho de Bonaccio). Foi um matemático muito importante da Idade e contribuiu

abundantemente com a aritmética, álgebra e geometria.

Segundo Tavares (2007), depois de voltar da viagem que fez pelo

Mediterrâneo, Leonardo começou a escrever trabalhos. Um deles, que tem sido

preservado, contém três de suas principais obras: o Líber Abbaci – Livro do cálculo

(1202,1228), o Practica Geometrae (1220) e o Liber Quadratorum– Livro dos

quadrados (1225). O Líber Abbaci contem uma grande quantidade de assuntos

relacionados à Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no

desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes ao século XIII, pois

através desta obra os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também

denominados arábicos.

O livro contém não só as regras para o cálculo segundo os numerais indo-arábicos, mas também numerosos problemas de vários gêneros, mas de uma natureza prática, como é o caso do cálculo dos lucros, conversões de moedas, e mensuração, suplementado por textos de atuais temas de álgebra corrente (O maravilhoso mundo de Fibonacci).

Ao estudarmos matemática, muitas vezes não temos noção da sua ligação a

determinados fenômenos que nos envolvem, tais como natureza, população, pintura,

arte, anatomia, arquitetura, indústria, comércio, entre outros. Fibonacci fez ligação

de muitos fatos com a matemática. Em 1202, ele questionou-se acerca da rapidez

com que se reproduziam os coelhos, tendo formulado um problema que

posteriormente originou a tão conhecida sucessão de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

21, 34, 55, ...)

15

Esse problema da reprodução dos coelhos tinha

um cenário imaginário com as condições ideais, sob as

quais os coelhos poderiam então procriar. Suponhamos

que inicialmente temos um casal de coelhos e que

estes só atingem a maturidade sexual ao fim de um

mês. No final do primeiro mês o par inicial já atingiu a

maturidade sexual. Assim no segundo mês já haverá

dois pares de coelhos, o par original e o primeiro par de

filhos. No terceiro mês o casal original tem outro casal

de filhos e o primeiro casal de filhos já atingiu a

maturidade sexual e assim sucessivamente. O objetivo

dele era responder à seguinte questão: “Quantos pares de coelhos existirão daqui

ano?”

Leonardo foi responsável por um grande avanço no campo matemático em

sua época. A importância de seu trabalho foi reconhecida em Pisa, onde recebia um

salário anual em agradecimento por sua contribuição no ensino e nos demais

servicos prestados a comunidade, e na corte do rei Frederico II.

2.2 A sequência (ou sucessão) de Fibonacci

No livro o qual nos referimos anteriormente, Líber Abbaci, Fibonacci introduziu

um problema por ele formulado que foi o originador da Seqüência de Fibonacci. Isso

ocorreu em 1202, quando ele se interessou pela reprodução dos coelhos. O objetivo

era responder a seguinte questão: Quantos pares de coelhos é que vão existir daqui

a um ano?. Para resolução deste questionamento ele deu as condições para chegar

a conclusão final que foi a criação da fórmula de sua seqüência que é: Fn= Fn-1 + Fn-2

, F a função e n natural.

Uma seqüência:

É uma função cujo domínio é o conjunto {1,2,3,...,n,...} de todos os números inteiros positivos,onde os números da imagrm serao seus elementos. Se o n-ésimo elemento for dado por f(n), então a sequência será o conjunto de pares ordenados da forma (n, F(n)); onde n é um inteiro positivo (LEITHOLD,1994, p.688).

Figura 1: Reprodução dos coelhos. Fonte: O maravilhoso mundo de Fibonacci

16

Ou seja, uma seqüência ou sucessão é uma aplicação do conjunto |N,

conjunto dos números naturais, num conjunto qualquer A. Quando esse conjunto A

qualquer é |N tem-se uma aplicação de |N em |N. A sucessão de Fibonacci possui a

aplicação citada. “Representa-se uma determinada sucessão por f(n), fn ou ainda

por (fn)" (Fibonacci e as sucessões recorrentes)

A Seqüência de Fibonacci é uma função f: N→N, onde seu conjunto imagem

é: F(N)= {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...}. “Na essência cada numero

gerado pela Seqüência de Fibonacci é a soma dos dois números que o precedem,

(ou seja, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... onde 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 3+5=8, e assim por

diante)” (Fibonacci e as secessões recorrentes).

Sendo assim a seqüência de Fibonacci é monótona estritamente crescente.

“Dizemos que uma seqüência {an} é: (i) crescente, se an ≤ an+1 para todo n; (ii)

decrescente, se an ≥ an + 1 para todo n. Chamamos de monótona uma seqüência que

seja crescente ou decrescente.” (LEITHOLD, 1994, p.694)

A Seqüência de Fibonacci possibilita serem explorados alguns conceitos de

cálculo como limite, monotonia entre outros que podem ser utilizados nas aulas de

matemática.

2.3 Os números de Fibonacci

Há relativamente pouco tempo começou-se a dar importância aos números de Fibonacci e descobriu-se que são muito freqüentes na natureza, sendo o seu aparecimento não um acaso, mas o resultado de um processo físico de crescimento de flores e frutos (O maravilhoso mundo de Fibonacci).

Essa descoberta contribuiu para o estudo de tais números e a verificação de sua

ocorrência em fenômenos naturais, potencializando suas aplicações em fatos do

cotidiano das pessoas.

Os números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas propriedades na natureza. O modo como as sementes estão dispostas no centro de diversas flores é um desses exemplos. (file://A:\Decifrando o código da natureza.htm)

17

Os números de Fibonacci aparecem em vários fenômenos da natureza.

Outros números, como os irracionais, também surgem em fenômenos naturais

aguçando a curiosidade de explicar todo o Universo com base na matemática, como

é o caso do numero de ouro phi. O número de ouro tem uma conexão com a

seqüência de Fibonacci:

O número de ouro tem o valor j = ( 1 + √5 )/2 (= 1,618 033 989...) Como se lembram da secção da Sucessão de Fibonacci, temos a seguinte seqüência de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.... Se dividirmos cada um destes números pelo seu antecedente, reparamos que essa razão vai tender para um certo valor. Isto é, se fizermos F2/F1=1; F3/F2=2; F4/F3=1,5; F5/F4=1,6(6); F6/F5=1,6 e se continuarmos assim sucessivamente, obtemos a seguinte seqüência de números: 1,000 000; 2,000 000; 1,500 000; 1,666 666; 1,600 000; 1.625 000; 1,615 385; 1,619 048; 1,617 647; 1,618 182; 1,617 978; 1,618 056; 1,618 026; 1,618 037; 1,618 033; ... Então Fn+1/Fn aproxima-se cada vez mais de j(Phi) (Fibonacci e as sucessões recorrentes)

As razões quando Fn+1/Fn tendem a um valor particular, o phi. Então quando n

tender ao infinito, o limite é exatamente phi, o número de ouro.

phi= nn

n

FF /lim 1+∞→

2.4 Modelagem Matemática

Segundo o Prof. Dr. Jonei Cerqueira Barbosa1 da Universidade Estadual de

feira de Santana - UEFS, a matemática pode servir como “poder para alguém”

agindo como um instrumento de controle social, pois afinal, os números governam o

mundo, decisões são tomadas a partir de fórmulas, de cálculos, de estatísticas,

planejamentos de governo são decididos através da matemática. Decisões estas

que afetam as vidas de todos aqueles a elas submetidos.

1 Em palestra assistida durante o XIIEBEM realizado em Senhor do Bonfim durante o período de 01 a 04 de

julho de 2007.

18

No entanto, um dos grandes problemas do ensino de matemática é o fato de

os alunos não conseguirem perceber a relação desta ciência com a realidade, pois

passam a maior parte do tempo fazendo cálculos os quais nem sabem onde serão

utilizados cotidianamente, e por isso perdem o interesse em aprender. Há algum

tempo nota-se a preocupação, pelo movimento da Educação Matemática2, em

encontrar maneiras de trabalhar a matemática com foco na realidade. Esse

movimento traz tendências educacionais que ressaltam a criatividade, e o

surgimento de idéias capazes de motivar os alunos a refletir sobre o processo social,

político e econômico ao seu redor. Nesse contexto compete aos educadores

desenvolver um trabalho produtivo a fim de melhorar seu labor pedagógico.

A verdadeira educação é uma ação enriquecedora para todos os que com ela se envolvem, e sugere que em vez de despejarmos conteúdos desvinculados da realidade nas cabeças dos alunos, devemos aprender com eles, reconhecer seus saberes, e juntos buscarmos novos conhecimentos (D’AMBROSIO apud ALVES, 2001, p.23).

A educação enfrenta grandes problemas no que diz respeito à aprendizagem

dos alunos. Segundo Baraldi (1999,p.36) a matemática é a responsável pela maioria

desses problemas, por ser a disciplina mais temida e odiada pela maior parte dos

discentes. “A matemática vem se desqualificando cada vez mais como disciplina

escolar e seu ensino continua resultando em altos índices de reprovação.”

Daí percebe-se ser necessário incorporar à educação estratégias as quais

aproximem o ensino à realidade das pessoas para que haja um maior envolvimento

entre aluno e conteúdo, visando despertar o prazer em entender e aprender os

conceitos necessários para que aconteça uma aprendizagem significativa.

O acesso a um maior número de instrumentos e técnicas intelectuais dá, quando devidamente contextualizado, maior capacidade de enfrentar situações e de resolver problemas novos, de modelar adequadamente uma situação real, para com esses instrumentos chegar a uma possível solução ou curso de ação. Isto é aprendizagem, por excelência, isto é, a capacidade de explicar de aprender e compreender, de enfrentar criticamente situações novas. (D’AMBROSIO, 2005, p.81)

2Movimento que se intensificou na década de 1950 e discute sobre o ensino de matemática, tentando buscar

maneiras de desmistificá-lo.

19

O professor precisa criar maneiras de aproximar os conteúdos da realidade

dos alunos, fazendo os mesmos se envolverem com o ensino, facilitando a aquisição

de conhecimentos, visto que estes últimos pouco se interessam pelos conteúdos

matemáticos por não encontrarem aplicabilidade em nenhum outro momento de

suas vidas, a não ser na escola. É como afirma Bicudo(1999, p. 165):

Cabe ao professor planejar situações problemáticas (com sentido, isto é, que tenham significado para os estudantes) e escolher materiais que sirvam de apoio para o trabalho que eles realizarão nas aulas. Atividades que propiciem a sua manifestação sobre os dados disponíveis e possíveis soluções para os problemas que desencadeiem suas atividades intelectuais. Nas situações voltadas para a construção do saber matemático, o aluno é solicitado a pensar – fazer inferências sobre o que observa, a formular hipóteses -, não, necessariamente, a encontrar uma resposta correta. A efetiva participação dos alunos neste processo depende dos significados das situações propostas, dos vínculos entre elas e os conceitos que já dominam.

Objetivando aproximar os conteúdos matemáticos da realidade do estudante

e procurando metodologias que facilitem esse processo, a Modelagem Matemática

vem, trazida pelo Movimento de Educação Matemática, com a sugestão de vincular

os conceitos (conteúdos e procedimentos) a serem vistos na escola a problemas

com foco na realidade. Barbosa (2004, p.75) diz que: “Modelagem é um ambiente de

aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por

meio da matemática, situações com referencia na realidade”. Skovsmose(2000, p.

69) chama modelagem de:

Cenário para investigação um ambiente que pode dar sustentação a um trabalho investigativo e apresenta diferentes ambientes de aprendizagem, em que há referências à Matemática pura, à semi-realidade (entendida como uma realidade construída para efeitos didáticos) e à realidade propriamente dita.

Os dois acolhem o fato de que, através da Modelagem, pode-se motivar os

alunos, desenvolver atitude crítica perante a realidade, despertar a criatividade e

impulsionar os estudantes para empregarem estratégias informais. Ora, se o

estudante se envolve com o problema, investiga e sugere possíveis soluções para

sua resolução, ele está atuando no processo de ensino-aprendizagem, saindo da

posição de receptor de informações e passando a ser construtor de seu

conhecimento.

20

Barbosa (2004, p.73) apresenta alguns argumentos para a inclusão da

Modelagem ao ensino: “motivação, facilitação de aprendizagem, preparação para

utilizar a matemática em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de

exploração e compreensão do papel sócio-cultural da matemática.”

Essa habilidade em problematizar e analisar situações reais utilizando

conhecimentos matemáticos deve ser desenvolvida não só no ensino básico mas

também no nível superior, especialmente nos cursos de Licenciatura em

Matemática, pois o aluno concluinte precisa saber aplicar os conceitos aprendidos

na Licenciatura e ensinar seus alunos (ou futuros alunos) os conteúdos matemáticos

relacionando-os com a realidade.

Para os cursos de Licenciatura, as aulas de conteúdos seriam muito mais interessante se em vez de dar uma lista de pontos tradicional, que geralmente é fria e desconectada, fossem estudados, em muitos aspectos- teóricos, históricos, experimentais, aplicações -, fórmulas e resultados importantes e gerais (D’AMBROSIO,1998,p.101).

2.4.1Modelagem Matemática e a Seqüência de Fibonacci

Partindo do princípio de tornar a matemática mais atraente, procurar a

aplicabilidade mais próxima da realidade dos conteúdos é, talvez, uma boa

estratégia para o ensino, pois estimula e desafia o aluno, facilitando assim o

processo de ensino-aprendizagem. Em relação à seqüência, conteúdo trabalhado

(na grade curricular da Licenciatura em matemática) nas disciplinas de cálculo e

matemática elementar, trazer atividades com alguma aplicação no cotidiano pode

facilitar a compreensão e a assimilação dos conceitos e propriedades que

desvinculadas de exemplos reais tornam-se de difícil percepção. É a modelagem

“uma alternativa de ensino-aprendizagem na qual a matemática trabalhada com os

alunos parte de seus próprios interesses, e o cotidiano desenvolvido tem origem no

tema a ser problematizado, nas dificuldades do dia-a-dia, nas situações de vida”.

(Sheffer e Campagnollo, 1998, P.36) É simplesmente ensinar matemática

relacionando-a a problemas com alusão na realidade. Tavares (1997, p.25), em seu

trabalho referente a sucessões recorrentes afirma:

A Sucessão de Fibonacci, para além de ter por base uma situação que permite, segundo determinados condicionalismos, mostrar a potencial

21

conexão que a Matemática estabelece com o mundo real, possibilita igualmente explorar a noção de uma sucessão de recorrência sem grande complexidade, envolvendo os alunos em momentos significativos e potenciais sob o ponto de vista do processo de ensino-aprendizagem em Matemática.

Especificamente ao se tratar de seqüência, a Seqüência de Fibonacci é um

caso de sucessão a qual tem referência em situações reais e facilita a compreensão

do conceito de seqüências recorrentes bem como de suas propriedades, pois o foco

na realidade motiva a busca de soluções pela própria curiosidade em saber a

resposta de questões referentes a situações reais. Além de facilitar a aprendizagem

por torná-la mais prazerosa, métodos que envolvem modelagem aproximam o

estudante do conteúdo e fazem com que ele construa suas próprias estratégias para

alcançar as respostas. Pois, segundo Bassanezi (2002, p. 61):

O processo dinâmico utilizado para a obtenção e tese de Modelos Matemáticos é denominado Modelagem Matemática. Desta forma, a Modelagem Matemática consiste essencialmente na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los, interpretando suas soluções na linguagem do real.

Trabalhar os conteúdos com embasamento em situações reais pode facilitar a

aprendizagem e torná-la mais interessante. Nos cursos de Licenciatura essa prática

ajuda na formação do educador, o fazendo adquirir argumentos e metodologias que

favoreçam o ensino de matemática. Silveira e Ribas(2004, p.3) em seu artigo sobre

modelagem afirmam:

A Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa para o ensino de Matemática que pode ser utilizada tanto no ensino fundamental como no ensino médio e no superior. A partir de conceitos gerais, procura –se mostrar a importância da Matemática para o conhecimento e compreensão da realidade onde se vive. Uma forma de avaliar se a Modelagem Matemática é eficiente no processo de ensino-aprendizagem é estabelecer um paralelo entre o ensino tradicional e o ensino através da Modelagem Matemática, abordando aspectos como a pedagogia adotada, a criatividade, o interesse pelo estudo de Matemática, a motivação e entusiasmo por parte dos alunos,e a avaliação do que eles realmente aprenderam com a Modelagem Matemática, levando o professor a refletir sobre a sua metodologia de ensino da matemática.

22

Existem muitas curiosidades na natureza que podem ser estudadas

embasadas pela Sequência de Fibonacci, além do problema dos coelhos, citada

anteriormente (tópico 2.1).

A Sequência de Fibonacci não é só uma coisa divertida ou uma série simpatica de números inteiros. Foi usada para otimizar empacotamentos (idéia inicial dos matemático indianos que criaram a sequencia) e continua sendo utilizada na análise do algoritmo de Euclides para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros. Matiyasevich conseguiu mostrar que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma equação diofantina, o que fez com que ele resolvesse o décimo problema de Hilbert. Esta série também ocorre numa fórmula para oa diagonais dotriângulo de Pascal e, por incrível que pareça, pode ser observada com grande frequencia na natureza e na música.(http://www.numaboa. Com)

Apesar do exemplo dos coelhos ser o exemplo mais clássico da sucessão de

Fibonacci, atualmente considera-se que não é um exemplo muito credível devido ás

condições inicialmente impostas . Observe a definição da sucessão de Fibonaccci:

Definição recursiva da Sucessão de Fibonacci Fn = Fn-1 + Fn-2 , com n natural e n>2 F1 = F2 = 1 .

Um exemplo melhor, para a aplicação da definição recursiva anterior, é a deslocamento de uma abelha na sua colmeia. Pressupondo que os favos se estendem tão longe quanto se queira sempre para o lado direito e que uma abelha se desloca para um favo adjacente, tomando o sentido da esquerda para a direita. Quantos caminhos poderá então tomar a abelha para se deslocar para o favo 0?

Como podemos verificar, para o favo 0 a abelha poderá apenas tomar um caminho. E para o favo 1?

Já para o favo 1 temos 2 caminhos, um dos caminhos passa pelo favo 0 e o outro vai directamente para o 1. E para o favo 2?

Figura 2: (Favo de mel)

Figura 3: Deslocamento de uma abelha na colméia

23

Para o favo 2 a abelha poderá tomar 1 dos 3 caminhos assinalados a rosa. Seguindo este raciocínio, surge agora a seguinte questão, quantos caminhos poderá tomar a abelha para o n-ésimo favo? Seria Fn = Fn-1 + Fn-2, mas supondo n = 100 temos que o número de caminhos é igual ao número de caminhos para a célula 99 mais o número de caminhos para a célula 98. (O maravilhoso mundo de Fibonacci)

A questão do deslocamento de uma abelha na colméia forma uma sequência

numérica conhecida como Sequência de Fibonacci, com a qual podem ser

abordados todos os conceitos vistos no conteúdo sequência, como fórmula para a n-

ésima célula, limite , convergência e divergência, monotonia de sequência, entre

outros. Questões onde a curiosidade da natureza pode ser consrtuida partindo de

um modelo matemático.

Existem outros exemplos com a presenca dos números de Fibonacci

modelado por questões reais, como é o caso do número de espirais de uma pinha,

veja:

O número de espirais de Fibonacci pode ser encontrado freqüentemente em muitas

formas vegetais, por exemplo, as folhas das cabeças das alfaces, a couve-flor, as

camadas das cebolas ou os padrões de saliências dos ananases e das pinhas,

como se pode ver nesta figura. As pinhas mostram claramente as espirais de

Fibonacci. Consegue contar as espirais verdes e as espirais vermelhas?

Figura 4: os espirais de uma pinha

São oito espirais verdes e treze vermelhos.

24

Como foi visto têm enumeros exemplos onde podem ser encontrados os números ou

a seqüência de Fibonacci. Existem muitas aplicações da Seqüência de Fibonacci na

arte, na música nos girassóis e em outras plantas, nos insetos, em peçãs de dominó

e outros que não fom citados neste trabalho. É uma serie bastante rica e que

posssibilita sua exploração, sobretudo na area educaciional .

25

CAPÍTULO III: PROCEDIMENTOS METDOLÓGICOS

Para desenvolvimento e alcance dos objetivos de uma pesquisa, a

metodologia utilizada é de fundamental importância. Conciliar mais de uma

metodologia, se feito com coerência, pode ser de imprescindível ajuda no alcance

dos objetivos traçados. Sendo assim, almejando encontrar maneiras de alcançar-los,

a metodologia utilizada consiste na pesquisa qualitativa e quantitativa, auxiliada

pelas pesquisas bibliográfica e descritiva.

O primeiro passo para qualquer trabalho acadêmico é a pesquisa

bibliográfica: o momento de serem levantados todas as fontes bibliográficas

disponíveis e acessíveis a cerca do tema escolhido. Essa pesquisa auxilia na

escolha de um método mais apropriado e na autenticidade da pesquisa. “A

identificação das fontes bibliográficas pode ser iniciada pela consulta de obras que

propiciam informações gerais sobre o assunto” (ANDRADE, 2007, p. 27).

Neste trabalho, além das fontes pesquisadas na biblioteca da Universidade do

estado da Bahia (UNEB) Campus VII foram levantadas fontes encontradas na

internet. “Recentemente, com o aperfeiçoamento das facilidades dos recursos

eletrônicos da rede mundial de computadores – internet -, essa outra forma de

pesquisa tornou o acesso muito mais amplo e praticamente sem fronteiras físicas”

(ANDRADE, 2007, p. 30).

A pesquisa descritiva vem auxiliar na observação, registro e analise dos

dados. “A pesquisa descritiva observa, registra, analisa e correlaciona fatos ou

fenômenos (variáveis) sem manipulá-los” (CERVO, 2007, p.61). Para o êxito desta

pesquisa se faz necessário a coleta de dados, anotações, observações que

possibilitem a análise e descrição dos fenômenos estudados - técnicas

características da pesquisa descritiva.

A coleta de dados aparece como uma tarefa característica da pesquisa descritiva. Para viabilizar essa importante operação da coleta de dados, são utilizados, como principais instrumentos, a observação, a entrevista, o questionário e o formulário (Cervo, 2007, p. 63).

26

Estes instrumentos citados contribuem para o êxito da pesquisa qualitativa.

Ludke e André (1986, p. 16), diz que: “A pesquisa qualitativa tem o ambiente natural

como sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento.”

A pesquisa se faz necessária em qualquer área de trabalho, pois, além de

adquirir novos conhecimentos e aumentar os já existentes, torna mais rico o que

está sendo produzido. A pesquisa qualitativa exige o contato direto do pesquisador

com a situação a qual está sendo investigada, no ambiente onde os fenômenos

ocorrem. Alem disso, não busca enumerar ou medir eventos. Então, segundo Baraldi

(1999), a preocupação com o processo é muito maior do que com o “produto”, pois,

o processo, em sua riqueza, gera o “produto” mais esclarecedor do fenômeno que

se quer conhecer.

A pesquisa qualitativa ou naturalista envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em relatar a perspectiva dos participantes (LUDKE; ANDRE, 1986, p. 13).

Segundo o Instituto Brasileiro de Pesquisas (2007) as pesquisas qualitativas

são exploratórias, ou seja, estimulam os entrevistados a pensarem livremente sobre

algum tema, objeto ou conceito. Elas fazem emergir aspectos subjetivos e atingem

motivações não explícitas, ou mesmo conscientes, de maneira espontânea. São

usadas quando se busca percepções e entendimento sobre a natureza geral de uma

questão, abrindo espaço para a interpretação. Para melhor análise e interpretação

dos dados, a pesquisa quantitativa vem complementar e auxiliar a pesquisa

qualitativa. Portela (2007, p.3), em seu artigo, diz o seguinte sobre a pesquisa

quantitativa:

Nesse tipo de abordagem, os pesquisadores buscam exprimir as relações de dependência funcional entre variáveis para tratarem do como dos fenômenos. Eles procuram identificar os elementos constituintes do objeto estudado, estabelecendo a estrutura e a evolução das relações entre os elementos.

Em seguida pontua o seguinte sobre a junção das duas metodologias para o

êxito da pesquisa:

Acreditamos que a melhor forma de se pesquisar é através da integração entre os métodos quantitativo e qualitativo, pois para analisar-se com fidedignidade uma situação dada é necessário o uso de dados estatísticos e

27

outros dados quantitativos, e também da análise qualitativa dos dados obtidos por meio de instrumentos quantitativos.(Portela, 2007, p.4)

Esta pesquisa foi realizada com alunos, do curso de Licenciatura em

Matemática, da Universidade do Estado da Bahia - UNEB, campus VII de Senhor do

Bonfim, que já haviam cursado as componentes curriculares Matemática III e Cálculo

III. Estas componentes trazem em seus ementários os conteúdos alvo da pesquisa.

Ela compõe-se de dois momentos. No primeiro foi entregue o questionário I

(Apêndice I) a vinte alunos que poderiam levá-lo para casa e trazer-lo após uma

semana. Nele haviam questões sobre a Seqüência de Fibonacci as quais deviam ser

respondidas utilizando-se os conhecimentos adquiridos nas disciplinas matemática

III e cálculo III havendo a possibilidade de consultas a livros e a outros materiais.

Este questionário foi elaborado embasado na Modelagem Matemática e sua

utilização como instrumento facilitador de aprendizagem no ensino de matemática.

No segundo momento, depois da devolução do questionário I, foi entregue o

questionário II (Apêndice II) com questões referentes ao comportamento dos alunos

frente a resolução do primeiro questionário e a utilização da Modelagem Matemática

no ensino de matemática, sobretudo no ensino superior, com o conteúdo Seqüência.

Este último questionário, continha somente questões subjetivas. A aplicação,

desenvolvimento e devolução foram consecutivos, sem delonga, ou seja, o

questionário foi entregue aos alunos, eles resolveram e devolveram em uma

semana, apos a devolução do questionário I pelos alunos lhes foi entregue o

questionário II o qual eles responderam e entregaram logo em seguida.

Em seguida, a análise dos dados coletados nos dois questionários foi feita

observando os acertos e erros do primeiro e as respostas do segundo. Não

obstante, a separação das perguntas, foi proposital e buscava comparação entre os

questionários, pois se fez necessário relacioná-los para melhor compreensão dos

dados obtidos e posterior conclusão.

28

CAPÍTULO IV: ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS

A análise de dados fora feita partindo do questionamento sobre o processo

ensino-aprendizagem de matemática, em particular do conteúdo seqüência, através

da utilização da Modelagem Matemática e da Seqüência de Fibonacci,

fundamentando assim a pesquisa.

Para realizar um trabalho, o planejamento é de fundamental importância,

tornando necessária a verificação da viabilidade de sua realização, as possibilidades

e limitações dentro da problemática apresentada.

Entende-se por planejamento da pesquisa a previsão racional de um evento, atividade, comportamento ou objeto que se pretende realizar a partir da perspectiva científica do pesquisador. Como previsão, deve ser entendida a explicitação do caráter antecipatório de ações e, como tal, atender a uma racionalidade informada pela perspectiva teórico-metodológica da relação entre o sujeito e o objeto da pesquisa. A racionalidade deve-se manifestar através da vinculação estrutural entre o campo teórico e a realidade a ser pesquisada, além de atender ao critério da coerência interna. Mais ainda, deve prever rotinas de pesquisa que tornem possível atingir-se os objetivos definidos, de tal forma que se consigam os melhores resultados. (BARRETO; HONORATO, 1998, p. 59)

As pesquisas utilizadas foram a qualitativa, quantitativa e descritiva. A

pesquisa qualitativa perdura em avaliar com rigor, considerando importante toda

informação e/ou conhecimento fornecido pelo sujeito: todos os dados da realidade

são considerados importantes. Já a descritiva obriga a anotação e descrição dos

dados coletados, para tal é necessário muito rigor no registro destes dados. A

quantitativa tem as vantagens da automaticidade e da precisão.

Não faz parte das pretensões desta pesquisa medir os conhecimentos

referentes aos sujeitos participantes, e sim coletar dados os quais nos possibilitem

uma análise mais próxima do real no que se refere à aplicabilidade dos conceitos do

conteúdo seqüência na Seqüência de Fibonacci, com posterior reflexão acerca dos

resultados. Diante disso, as questões que fazem parte do questionário I e II visam

obter dados os quais permitam ao pesquisador concluir sobre as habilidades dos

alunos da UNEB - Campus VII na aplicação dos conceitos sobre Seqüência na

Seqüência de Fibonacci e verificar a opinião destes alunos a cerca da utilização da

Modelagem Matemática no ensino superior.

29

Os sujeitos da pesquisa são constituídos por 20 (vinte) alunos da referida

instituição de ensino superior, concluintes das componentes curriculares Matemática

III e Cálculo III. Estes alunos resolveram os questionários e os devolveram porem na

análise foram consideradas as respostas mais relevantes. Eles serão identificados

no decorrer do relato da pesquisa por A1, A2, A3 e assim sucessivamente.

O período de execução da pesquisa aconteceu entre 25 de agosto de 2008 e

25 de setembro de 2008. No primeiro momento foi exposto aos alunos o tema e

objetivos dessa pesquisa e entregue o Questionário I, o qual deveria ser devolvido

uma semana depois. Houve permissividade para consulta a materiais que

contivessem o assunto seqüência. Após a devolução do Questionário I deu-se início

o desenvolvimento do Questionário II compreendendo o segundo momento. Vale

ressaltar que a análise de dados se constituirá por duas etapas para caracterizar

melhor o material obtido e cada questionário.

Para melhor compreensão, a análise da primeira questão deste questionário

será da seguinte maneira: primeiro será colocados a questão e a resposta dela

segundo o autor, em seguida o gráfico com as respostas dos alunos e suas

respectivas discussões.

As perguntas do Questionário I foram tiradas de Tavares (1997). A primeira

questão é a seguinte:

Questão 1 :O problema dos coelhos No ano de 1202, um matemático italiano de nome Leonardo de Pisa (ou Fibonacci), formulou e resolveu o seguinte problema que ficou conhecido pelo problema dos coelhos: É sabido que os coelhos reproduzem-se rapidamente. Assumimos que um par de coelhos adultos produz um casal de coelhos recém-nascidos todos os meses e que os coelhos nascidos tornar-se-ão adultos em dois meses e a partir daí começam a reprodução normal e produzem, ao final de cada mês, um novo casal. Quantos coelhos obtemos ao fim de 1 ano, considerando que não ocorrem mortes? Proposta de trabalho: a) Começando com um casal de coelhos jovens, quantos casais obtemos quando esse casal atingir os 10 meses de vida?

Resposta do autor:

30

a)tendo em consideração o problema formulado, Fibonacci observou que partindo de um casal de coelhos jovens, no final do primeiro mês se tem um só casal, uma vez que se trata de um casal de coelhos que ainda não está apto a procriar. No final do segundo mês ainda só teremos o mesmo casal inicial, pois só a partir desse mês é que eles iniciam seu ciclo mensal de reprodução. Passando agora para a quantificação dos casais de coelhos no final do terceiro mês, verifica-se que passamos a ter o dobro do número de casais de coelhos, ou seja, dois casais(2=1+1). No mês seguinte, o primeiro casal dá origem a outro casal de crias, assim no final deste mês obtêm-se três casais(3=2+1). Daqui, dois casais nascem no quinto mês, deste modo, no final deste mês temos 5 casais de coelhos(5=2+3). Depois, 3 destes 5 casais reproduzem-se no sexto mês elevando assim para 8 o número de casais de coelhos obtidos(8=5+3). Cinco destes casais reproduzem 5 outros casais, os quais, juntamente com os oito casais já existentes, perfazem 13 casais no sétimo mês(13=8+5). Daqui, 5 destes 13 casais não se reproduzem, enquanto que os 8 restantes dão a luz a outras crias, contabilizando-se no final do oitavo mês, vinte e um casais (21=13+8). Adicionando a estes os treze casais nascidos no nono mês, obtivemos um total de 34 (34=21+13). Seguidamente, adicionando a estes os 21 casais nascidos no décimo mês, obtivemos no fim deste mês um total de 55 casais de coelhos (55=34+21). Concluindo que no final de 10 meses obtemos 55 casais de coelhos. (Tavares, 1997, p.11)

Observe a representação gráfica do desempenho dos alunos na

alternativa acima referida:

Gráfico 1: desempenho dos alunos na 1ª questão a)

Na análise do gráfico 1, observa-se que a maior parte dos sujeitos da

pesquisa atingiram o resultado esperado, porém a porcentagem de alunos com erros

e/ou sem resposta também foi grande, considerando que na primeira questão havia

uma tabela sugerindo o modo de raciocinar para o desenvolvimento do assunto.

Vejamos a resposta de alguns alunos:

“Depois de fazer a tabela conclui que em dez meses obteve-se 89 casais de

coelhos” (A1)

“a1= 1; a2= 2; a3=3; a4=3+2=5; a5=5+3=8; a6=5+8=13; a7=8+13=21;

a8=13+21=34; a9=34+21=55; a10=34+55=89. Resposta: 89 casais.” (A4)

31

Os dois alunos erraram no mesmo ponto: consideraram que o casal de

coelhos inicial era adulto, quando a questão afirmava ser um casal jovem , cuja

procriação ocorreria a partir do segundo mês. Todos os demais erros partiram dessa

interpretação equivocada da questão.

Os estudantes que trouxeram respostas corretas iniciaram a questão

completando a tabela sugerida na alternativa e conseguiram formar a seqüência

numérica que soluciona o problema dos coelhos. Vejamos algumas respostas:

“construí a tabela. R = 55 casais” (A2)

“55” (A3), (A5), (A12)

“os 10 primeiros são:(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55)” (A9) A6, A7, A11, completaram toda tabela (tabela que havia como sugestão de

resolução no final da primeira pergunta) e no final circularam a resposta.

Vamos para questão seguinte com pergunta e resposta do autor:

P: b)E ao fim de 1 ano?

R: b) continuando o raciocínio anterior, observa-se que no final de um ano de vida o casal original, reproduzirá 144 casais de coelhos. Veja a tabela:

(

(TAVARES, 1997, 11-12)

Fim do mês nº Casais adultos Casais jovens Total de

Casais

1 1 0 1

2 1 0 1

3 1 1 2

4 1 2 3

5 2 3 5

6 3 5 8

7 5 8 13

8 8 13 21

9 13 21 34

10 21 34 55

11 34 55 89

12 55 89 144

13 89 144 233

32

O gráfico com o desempenho dos alunos fora:

Gráfico 2: desempenho dos alunos na 1ª questão – b)

A resposta desta alternativa poderia ser obtida partindo do raciocínio

elaborado na questão anterior. A porcentagem de acertos foi maior. Alguns alunos

continuaram suas resoluções e outros somente escreveram a resposta. A1 que

havia errado a alternativa a), na b) escreveu “144”, respondendo corretamente; mas

se tal aluno tinha iniciado a questão de forma equivocada, como citado na alternativa

anterior, é curioso que ele tenha acertado esta, sendo ela subseqüente a primeira.

Talvez os meios de consulta, os quais foram permitidos nesta pesquisa, utilizados na

resolução deste questionário tenham colaborado para o melhor êxito dos alunos

nesta alternativa. Muitos alunos foram direto a resposta: “= 144” (A1), (A3), (A7),

(A8), (A14).

Somente dois alunos não conseguiram acertar tal opção, A2 e A4,

respondendo “233”,sendo este o número de casais que teríamos no final do décimo

terceiro mês.

Continuando, observemos o desenvolvimento da alternativa c:

P:c) Procura determinar a expressão matemática que possibilite calcular o número de casais de coelhos obtidos no final do n-ésimo mês. (Sugestão: Considera o número de casais de coelhos que se obtém no final de cada mês, e verifica como eles são calculados).

R:c) A sucessão 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,..., foi dada o nome de Sucessão de Fibonacci, pois trata-se da sucessão de números associada a resposta do problema formulado por Fibonacci. Trata-se pois de uma sucessão de recorrência de ordem dois(porque parte de dois termos iniciais:u1 e u2), se adicionarmos o primeiro valor ao segundo obtivemos o terceiro termo(u1+u2=1+1=2=u3), então a equação de recorrência é dada por Un=Un-2+Un-1 . (Tavares, 1997, p.12)

33

O gráfico 3 demonstra o percentual de erros e acertos dos alunos nesta

questão:

Gráfico 3:desempenho dos alunos na 1ª questão – c)

Todos os alunos responderam esta alternativa, somente dois erraram.

Observe:

A3: “=2

)2/51()2/51( nn−++

”

A16 respondeu o seguinte: “quando n>2, an = (an-1)n +(n+2)n, esta é a

fórmula para chegar ao n-ésimo termo”.

Os demais alunos tiveram bom êxito na questão.

A13 respondeu da seguinte forma:

“Observa-se que a partir do 3 mês, encontra-se o nº de casais de coelhos

somando os dois números anteriores. Então: G(n+2) = Gn + G(n+1), já que é a partir do

3 mês.”

Percebe-se que o referido aluno não arrumou a fórmula da mesma maneira

que o autor mais acertou e fez as observações de maneira correta.

No estudo de seqüência, conteúdo do ementário da componente curricular

Cálculo III, na UNEB Campus VIII, são exploradas as maneiras de se chegar ao

algoritmo de cada série. Os alunos, pelo número de acertos evidenciados no gráfico

3, demonstraram ter noção da maneira de encontrar o termo geral (algoritmo,

fórmula) da seqüência, mostrando ter conhecimento do assunto.

Prosseguindo com a análise temos:

P: d)A sugestão que traduz o fenômeno da reprodução dos coelhos segundo os condicionalismos impostos por Fibonacci que no enunciado do problema contatamos, tem o nome de sucessão de Fibonacci, em honra do

34

Matemático que descobriu. Procura então calcular os primeiros quinze termos da sucessão de Fibonacci.

R:“d)u1=1,u2=1,u3=2,u4=3,u5=5,u6=8,u7=13,u8=21,u9=34,u10=55,u11=89,

u12=144, u13=233,u14=377,u15=610.(TAVARES, 1997, p.12)

Segue o gráfico com o desempenho dos alunos:

Gráfico 4:desempenho dos alunos na 1ª questão – d)

O gráfico 4 demonstra a grande porcentagem de acertos dos alunos, eles

calcularam os termos pedidos e chegaram a resposta. É curioso a ocorrência de

tantos acertos nesta alternativa sendo ela uma continuidade das primeiras (a e b),

nas quais houveram erros. Tal contradição pode ter ocorrido por erro na transcrição

das resoluções ou aquisição das respostas tão somente pelos meios de consulta.

Observemos uma resposta correta :

“os quinze primeiros termos são: 1,1,2,3,5,8,13,21,35,55,89,144,233,377,610.” (A6)

Em seguida temos a alternativa e), vejamos:

“P: e)De acordo com os valores obtidos em d), o que pode se dito quanto à monotonia da sucessão? R: e)A sucessão é monótona crescente.” (Tavares,1997, p.13)

Observemos os gráficos 5 com as respostas dos alunos:

35

Gráfico 5: desempenho dos alunos na 1º questão - e)

O gráfico 5 mostra o número de alunos, metade deles, que errou e/ou não

respondeu a questão, comprovando a falta de atenção por parte dos sujeitos que

apesar de encontrar os termos da sucessão ou não constatou ser uma sucessão

crescente e monótona ou não teve interesse em responder sobre isso.

Segundo Leithold (1994, p.695 ): “Uma seqüência é crescente se an ≤ an +1 e

decrescente se an ≥ an +1. Se uma seqüência é crescente ou decrescente ela é dita

monótona.”

Vejamos a resposta de alguns alunos, serão citadas somente a respostas

mais relevantes:

(A7) “Percebemos que a partir do segundo termo, os demais são adquiridos

somando-se dois termos consecutivos”

(A3), (A15) “É uma seqüência crescente.”

(A16) “O último termo é sempre a soma do penúltimo com o antepenúltimo.”

(A18) “É uma seqüência estritamente crescente.”

A1) “É monótona estritamente crescente.”

As respostas levam a supor que, exceto A1, os alunos não têm conhecimento

da definição de monotonia de seqüência. A determinação do crescimento é mais

fácil pela própria construção da Seqüência de Fibonacci, porem defini-la como

monótona requer o significado deste termo

Vamos para a alternativa seguinte:

“P: f)Determine o limite desta sucessão. R: f)o limite é dado por ∞=

∞→

Unn

lim ” (TAVARES, 1997 p. 13)

O gráfico demonstra as respostas dos alunos:

36

Gráfico 6:desempenho dos alunos na 1ª questão - f)

Segundo Leithold (1994,p.68):

“Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x tende a a será L, escrito como Lx

x

=∞→

)lim(

Se a seguinte afirmativa for verdadeira: Dado ε>0 qualquer, existe um δ>0, tal que se 0<|x - a|<δ então |f(x) - L|<ε. (p.68)

O limite de uma seqüência tem a seguinte definição: “uma seqüência {an} tem

o limite L, se para todo ε>0 existir um número N>0, tal que |an - L|<ε, sempre que n>N e escrevemos: Lan

n

=∞→

lim . (LEITHOLD, 1994, p. 690)

Observando os gráficos percebemos que metade dos alunos errou ou deixou

esta alternativa em branco, mesmo conseguindo construir a tabela (tabela que havia

no final da questão como modelo de resolução) e chegando a seqüência numérica.

Seria necessário somente observar até onde a seqüência poderia atingir. Vejamos a

resposta de alguns alunos:

(A1, A13, A19) “R = 1,618”

Tais alunos, pela resposta dada, não demonstram conhecimento sobre o

limite de uma seqüência, pois numa seqüência infinita crescente onde o número

seguinte, a partir do terceiro termo, é o somatório dos dois anteriores, o limite jamais

poderia ser 1,618. Por ser permitido consulta para resolução deste questionário o

êxito deveria ser bem maior.

Vejamos a análise da alternativa seguinte:

“P: g)Tendo em atenção o que conheces sobre os infinitamente grandes, que classificação podes atribuir à Sucessão de Fibonacci?

37

R: g)Tendo em consideração o limite obtido na questão anterior, un é

infinitamente grande positivo, pois un tende ao infinito quando n tende para o

infinito.”(TAVARES, 1997,p. 13)

Gráfico 7: desempenho dos alunos na 1ª questão - g

Analisando o gráfico 7 percebemos que assim como na alternativa anterior,

metade dos alunos errou ou a deixou em branco. Um dado inquietante, pois depois

de encontrar a seqüência precisaria, simplesmente, perceber que é uma seqüencia

infinitamente grande. Muitos deles não interpretaram o enunciado da questão, pois

na alternativa e já haviam respondido ser uma série estritamente crescente.

A4 respondeu o seguinte: “é uma seqüência monótona estritamente

crescente.”

Só faltou dizer que é infinitamente grande, respondendo ao que foi

perguntado na alternativa. A má interpretação da pergunta pode ter sido a

causadora desta resposta, parcialmente correta.

A7 respondeu: “é uma seqüência divergente.”

Em nenhum momento, no questionário, foi tratado sobre convergência ou

divergência de seqüência.

Continuando a análise observemos a segunda questão, sua resolução

segundo o autor e a resposta dos alunos:

Questão 2: o deslocamento de uma abelha na colméia: Similarmente ao “problema dos coelhos”, problema que deu origem ao aparecimento da sucessão de Fibonacci, temos um outro que procura determinar o número de caminhos que uma abelha pode percorrer quando se desloca lentamente sobre as células hexagonais de um favo de mel (ver figura abaixo)

38

As células estendem-se tão longe quanto se queira e sempre para o lado direito. Assumindo que a abelha só se move para uma célula adjacente e se desloca sempre no sentido da esquerda para a direita, quantos caminhos poderá ela tomar para se deslocar para a célula 0? E para a célula 1?...Seguindo este raciocínio, quanto seria o número de caminhos possíveis que a abelha poderia percorrer para atingir a n-ésimo célula?(Tavares, 1997, p.02)

Tavares (1997, p.13) responde a questão da seguinte forma:

Podemos constatar que o número de caminhos possíveis que a abelha pode tomar para se deslocar da célula 0 é apenas 1(→0). Em relação a célula 1 são 2 caminhos possíveis, os seguintes: (→0→1) e (→1). Para a célula 2 seriam (→0→2), (→0→1→2) e (→1→2), os três caminhos possíveis. Se pensarmos no deslocamento para a célula 3 teríamos 5 caminhos possíveis: (→0→1→2→3), (→0→1→3), (→0→2→3), (→1→2→3) e (→1→3). E assim sucessivamente...Se denominarmos por Cn o número de caminhos possíveis para a n-ésima célula, observemos que C0=1, C1=2, C2=3=1+2, C3=5=2+3, C4=8=3+5, C5=13=5+8, C6=21=8+13, ... Deste modo podemos dizer que Cn = Cn-2+Cn-1, para n≥3, com C0=1 e C1=1, é a expressão matemática que nos possibilita obter o número de caminhos possíveis que a abelha pode tomar para uma dada célula do favo de mel.

Vejamos o gráfico demonstrando o desempenho dos alunos na questão:

Gráfico 8: desempenho dos alunos na 2ª questão

O gráfico anterior demonstra que quase metade dos alunos deixou essa questão em

branco (nove alunos), dois disseram que não sabiam, dois começaram a responder

e não terminaram e sete acertaram. A maior dificuldade parece ter sido em encontrar

a fórmula para chegar a n-ésima célula, muitos nem conseguiram encontrar a

39

seqüência numérica. Vejamos uma resposta inadequada, uma incorreta e uma

correta:

“A única certeza que eu tenho nessa questão é a que a abelha morre mais

não chega ao último hexágono. Rs, rs (não sei!)” (A2)

A4 respondeu: “para célula 0 um caminho, para célula 1 um caminho, para n-

ésima célula assim: an = (n – 1) + 1. A fórmula para se chegar a n-ésima célula é a

mesma para se chegar ao n-ésimo casal de coelhos do problema anterior.

A8 escreveu: “para célula 0 é apenas 1 caminho; para 1 são dois caminhos

possíveis; para 2 são três caminhos; para três são 5 caminhos; deste modo pode-se

dizer que Cn = Cn-2 + Cn-1 p/ n≥3.” Resposta correta seguindo o mesmo raciocínio

do autor.

Alguns alunos sentem dificuldade em transformar a seqüência em algoritmo.

Na primeira questão eles demonstraram ter conhecimento de como fazer essa

transformação. Agora uma porcentagem grande de alunos deixou de responder.

Uma contradição que pode se dever a interpretação equivocada da questão, pois o

procedimento de resolução de ambas é similar

A terceira (3ª) questão é a seguinte:

Questão 3: A sucessão dos quocientes entre números consecutivos de Fibonacci Investiguemos um fato curioso relacionado com esses números e que desempenha um papel muito importante não só na matemática como em muitas outras áreas do saber. Tal fato provém do estudo da razão entre os termos consecutivos da sucessão de Fibonacci. Utilizando a calculadora, procure resolver a seguinte proposta de trabalho: a) Calcular o quociente entre alguns números consecutivos de Fibonacci. b) De acordo com os valores obtidos em a), o que pode ser dito quanto a monotonia da sucessão dos quocientes entre os números consecutivos de Fibonacci? c) Será que esta sucessão tem limite? Será limitada? d) O que significa dizer em termos do “problema dos coelhos”, afirmar que o quociente entre dois termos consecutivos de Fibonacci é aproximadamente 1,62? (Tavares, 1997, p.05)

Tavares (1997) a responde da seguinte forma:

a) 1/1 = 1; 2/1 =2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,66; 8/5 = 1,60; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,615; 34/21 = 1,619; ... b) Não monótona; c) Sim, o limite está entre 1,60 e 1,62.

40

d) Como o quociente entre dois números consecutivos de Fibonacci tende para 1,62, a taxa de crescimento dos coelhos tende para um valor próximo a 62%, trata-se -, pois, de um crescimento tipo exponencial. (p.17)

Os seguintes gráficos demonstram o desempenho dos alunos:

Gráfico 9:desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa a

Gráfico 10:desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa b

Gráfico 11: desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa c

41

Gráfico 12:desempenho dos alunos na 3ª questão, alternativa d

Como a Seqüência numérica de Fibonacci já havia sido encontrada e estudada nas

questões anteriores, os alunos não apresentaram dificuldade em encontrar o

quociente entre os números consecutivos dela. É preocupante o fato dos alunos

graduando em matemática terem dificuldade em falar de monotonia de seqüência,

na primeira e nesta questão uma porcentagem grande de alunos errou e/ou deixou

em branco. Também é inquietante verificar que muitos destes alunos não

responderam sobre o limite do quociente dos números de Fibonacci quando a

alternativa anterior (a) demonstrava a possível resposta e a posterior (d) a deixava

explícita. Vale ressaltar que alguns alunos, como citado na análise da alternativa f da

primeira questão, responderam que o limite da Seqüência de Fibonacci era 1,618

quando essa resposta deveria ser agora para o limite do quociente entre os números

consecutivos de Fibonacci.

Essa questão retrata a relação da Seqüência de Fibonacci com a razão

áurea, com o número de ouro, 1, 618. A alternativa chave é a primeira (a), onde se

descobriria o quociente entre alguns números consecutivos de Fibonacci, verificaria

a que outro número essas divisões se aproximava e resolveria as demais.

Observemos a resposta de alguns alunos:

“a) calculei b) não sei c) tem limite e será limitada d)que o quociente estabelece um padrão conhecido como número de ouro.” (A2)

Tal aluno, pelo que respondeu, tem conhecimento a respeito do número de

ouro e sobre a idéia de limite, mas não aclara as respostas, nem as acerta

completamente.

42

“a)(1,1,2,3,5,8,13,21,34) 1/1 =1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,666; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,615; 34/21 = 1,618. b)que existe uma relação entre eles, que se aproxima da razão áurea. Exceto nos quatro primeiros elementos. c)pelos cálculos realizados em a o quociente desses números converge para ≡1,6 d)que existe uma proporcionalidade em relação ao número de coelhos recém nascidos e o número total de coelhos, pois a média de coelhos nascidos a cada mês é de aproximadamente 1,6.” (A4)

Este aluno obteve um aproveitamento muito bom nesta questão, exceto

quanto a respeito de monotonia. Mostrou ter conhecimento do conteúdo e provou

ter compreendido a questão.

ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO II

A segunda fase da análise de dados compreende o diagnóstico do segundo

Questionário, o qual tem o objetivo de verificar o comportamento dos sujeitos ao

responder Q1. Tal questionário foi de fundamental importância para conclusão dessa

pesquisa, pois nele aparecem as reais dificuldades dos participantes frente ao

conteúdo (Seqüência, mais especificamente a Seqüência de Fibonacci) e a

resolução do primeiro Questionário.

Serão citadas somente as respostas dos alunos mais satisfatórias para cada

pergunta, ou seja , as respostas mais fundamentadas.

1ª questão: Qual a principal dificuldade encontrada ao realizar a atividade

proposta no QUESTIONÁRIO I?

O objetivo é descobrir as dificuldades encontradas, em relação aos conceitos

matemáticos, ao responder Q1.

A1: “tive muita dificuldade em interpretar as questões.” (A3) “Encontrar a expressão matemática que exprime o nº de casais de coelhos para o n-ésimo mês, pois foi preciso recorrer ao Teorema de Binet.” (A6) “É um assunto novo que exige um pouco de tempo para estudá-lo, tempo este que não disponho no momento.” (A7) “Determinar o termo geral.” (A8) “Minha maior dificuldade foi não conhecer o assunto.”

43

Pelos relatos acima percebe-se que os alunos tiveram dificuldade em resolver

o primeiro questionário. Para resolvê-lo foi dada uma semana e permitido a consulta,

como já fora dito. Os participantes haviam cursado as componentes curriculares

Matemática III e Cálculo III, cuja ementa traz o estudo de seqüência ou utiliza

conceito relacionados a seqüência, é provável que eles tenham conhecimento do

assunto. Por tanto está evidenciada a ausência de habilidades para resolução de

problemas propostos relacionados a situações diversas e/ou cotidianas.

Questão 2: Foi necessário fazer algum tipo de consulta para realizá-la? Cite-

as:

O objetivo desta vez é verificar que materiais foram utilizados pelos alunos

para responder Q1. Vejamos as respostas de alguns alunos:

(A1),(A7), (A8), (A9), (A17) “Internet” (A3) “Sim, Teorema de Binet (cálculo III)” (A4) “Sim, consultei uma apostila de estrutura algébrica que tinha a questão dos coelhos.” (A5) “Sim, a meus escritos sobre seqüência (cálculo III)”

Todos os alunos admitiram ter feito consulta a algum material para responder

Q1. Alguns afirmaram ter recorrido ao apontamento sobre seqüência adquirido em

cálculo III. Muitos deles afirmaram ter feito pesquisa na internet. Este meio pode

trazer respostas prontas para algumas questões, o que talvez explicaria a falta de

êxito de alguns alunos em algumas questões e o posterior acerto em questões

subseqüentes e dependentes da anterior. Vale a pena ressaltar que mesmo com a

possibilidade de consulta a porcentagem de acertos não foi grande, daí pode-se

supor que se não houvesse a possibilidade de consulta o número de acertos seria

reduzido.

Questão 3: Ao realizar esse estudo de seqüência foi necessário recorrer a

algum outro conteúdo matemático? Justifique? O objetivo aqui é saber quais os

conteúdos matemáticos vistos durante a licenciatura em matemática foram

consultados para resolver Q1.

44

(A1) “Sim, progressão aritmética e limite.” (A2) “Sim, soma, subtração, divisão, (...), limite, entre outros.” (A3) “Sim, funções e teorema de Binet.” (A5) “Sim, PA e PG para me situar e lembrar o conceito de seqüência” (A7) “Sim, número de ouro” (A15) “Fiz uma leitura dos conteúdos estudados nas disciplinas de cálculo.”

Todos os conteúdos citados pelos alunos têm alguma relação com a

Seqüência de Fibonacci. PA (progressão aritmética) e PG (progressão geométrica)

são os conteúdos de primeiro contato com as seqüências, fazendo parte da ementa

do ensino médio e das primeiras disciplinas do curso da licenciatura plena em

matemática da UNEB o Campus VII. Por tanto muitos alunos conhecem a relação

entre as seqüências e os conteúdos citados.

Questão 4: Durante o curso de Cálculo você viu alguma aplicação do

conteúdo abordado? Fica clara a relação da Seqüência de Fibonacci com as

seqüências estudadas no Cálculo III?

Como a Seqüência de Fibonacci é uma aplicação do conteúdo de seqüência

visto em Matemática III e em Cálculo III, precisava-se saber se os alunos já tinham

visto alguma outra aplicação de tal conteúdo e como foi relacioná-lo à Seqüência de

Fibonacci.

Vejamos a resposta de alguns alunos:

(A1) “Não. Foram abordados os conteúdos: seqüência e limite, mas não

relacionado a Seqüência de Fibonacci. Sim.”

(A3) “Sim, em seqüência.”

(A4) “Depois que respondi o questionário 1 percebi essa relação. No

entanto no estudo de cálculo não foi feita nenhuma relação.”

(A5) “Não foi visto nenhuma aplicação de seqüência. Relacionar a

Seqüência de Fibonacci ao que vimos de seqüência ficou a nosso critério e

raciocínio, precisamos recorrer ao conteúdo.”

45

(A6) “Durante o curso de calculo não foi trabalhado nenhuma aplicação

desta natureza no estudo de seqüência, portanto é perceptível porem não

fica clara a relação da Seqüência de Fibonacci com as seqüências

estudadas.”

(A8) “Durante o curso de cálculo não vi aplicação do conteúdo e nenhuma

relação com as seqüencias de cálculo III.”

Exceto A3, todos os demais alunos afirmaram não terem visto nenhuma

aplicação sobre Seqüência na disciplina de cálculo. Garantem que perceberam a

relação do que já haviam estudado com a Seqüência de Fibonacci mas que para

isso precisaram recorrer ao conteúdo, fazer alguma consulta, como já haviam

respondido na questão 2. Podemos notar que há necessidade de aplicação dos

conteúdos estudados para que os alunos saibam relacioná-los com situações de seu

cotidiano e para facilitar a aprendizagem.

Há evidências de que a interação de atividades matemáticas escolares com situações da realidade, pode contribuir para a aprendizagem da matemática, tendo a satisfazer, de forma mais eficiente, as necessidades do individuo para vida social. (BARBOSA, 1999, p.32)

Questão 5: É fácil relacionar os conceitos matemáticos com situações “reais”

a fim de resolvê-las? Justifique?

O objetivo de tal questão é verificar a opinião dos alunos sobre como seria

criar um modelo matemático a fim de solucionar situações reais. Vejamos as

respostas dos alunos:

(A1) “Não. Porque nem sempre os conteúdos abordados em alguma relação com situações reais. Alguns conceitos são mais difíceis de trabalhar com situações reais.” (A5) “Não. Os conceitos são estudados de forma fechada o que impossibilita ou torna difícil resolver situações reais que envolvam tais conceitos.” (A8) “Deveria ser fácil mas atualmente essa relação é difícil.” (A9) “Poderia ser mais fácil se nós como alunos do curso de licenciatura, tivéssemos esse tipo de realidade com nossos professores.”

Estes alunos consideram difícil relacionar os conceitos matemáticos com

situações reais, pois segundo as afirmações deles citadas não é uma prática

comum, e sim algo tão novo que intimida. A9 diz que esse método não faz parte de

46

seu curso de licenciatura. Para Ludke (1986, p. 162): “Apesar de a matemática ser

utilizada e estar presente na vida diária, exceto para quem já compartilha desse

saber, as idéias e os procedimentos matemáticos parecem muito diferentes dos

utilizados na experiência prática ou na vida diária.”

Outros alunos acreditam ser mais fácil trabalhar matemática partindo de

situações reais. Observemos a resposta de alguns deles:

(A2) “Fica mais fácil e mais interessante.” (A3) “Sim. Quando relacionamos com situações reais fica mais fácil entender a abstração que há por trás de tudo.” (A15) “Seria muito mais fácil se já tivéssemos clara essa relação, mas depois do estudo feito com o primeiro questionário assimilei e memorizei mais coisas que sabia depois de concluída a disciplina cálculo III.”

Um dos grandes problemas da educação matemática consiste nos estudantes

não verem sua relação com a realidade. Bicudo (2005, p.93) diz que: “uma solução

que parece indicada nesta situação, é buscar fazer os alunos verem a matemática

na vida real, trazer a vida real para as aulas de matemática.”

Questão 6: A Seqüência de Fibonacci é um caso particular de uma sucessão

recorrente, mas podemos utilizá - la no estudo de seqüência (de Cálculo III). Torná-

se mais interessante o estudo de seqüência embasado pela de Fibonacci?

Segue a resposta de alguns alunos:

(A5) “Sem dúvida é mais interessante e ajuda a fixar melhor os conceitos. Na verdade eu nem sabia onde usar os conteúdos do cálculo muito menos tinha ouvido falar sobre a Seqüência de Fibonacci.” (A6) “Qualquer estudo é mais interessante quando se relaciona com alguma situação real.” (A8) “Sim, pois sempre perguntamos em cálculo III se existia algo prático para seqüências.” (A12) “Creio que sim, pois estabelece situações do cotidiano.”

Pelas respostas citadas acima, os alunos consideraram interessante trabalhar

seqüências embasadas pela Seqüência de Fibonacci, mesmo não tendo

conhecimento de tal série. É sempre atraente conhecer alguma aplicação do

conteúdo que se está estudando.

47

Um aspecto fundamental da atividade de modelagem consiste em construir

um modelo (matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal

modelo e interpretar os resultados obtidos nesse trabalho, para responder as

questões inicialmente apresentadas. Skovsmose (2000) tem argumentado que os

modelos encontrados nas atividades de modelagem não servem apenas ao papel de

descrever e predizer a realidade, servindo de argumento para a tomada de decisões

e contribuindo para desenvolver no aluno um conhecimento mais reflexivo acerca da

matemática e suas finalidades.

Questão 7: Hoje fala-se muito em utilizar a Modelagem Matemática (ensinar

matemática relacionando-a com problemas com referência na realidade) no ensino,

com objetivo de facilitar a aprendizagem. Você concorda que a modelagem facilita o

ensino de matemática? Justifique?

Como o Q1 foi uma atividade de modelagem matemática, pois colocamos

questões da realidade para serem resolvidas embasadas em conteúdos já vistos

nesse curso de Licenciatura em Matemática, por ser uma situação nova, almeja-se

saber qual a opinião dos alunos sobre essa metodologia no ensino.

Observemos a resposta dos alunos:

(A2) “Sim, pois como foi abordado nas questões anteriores, a utilização da modelagem facilita a aprendizagem devido ao nexo com o dia-a-dia.” (A4) “Com certeza. Pois ela faz com que o aluno desenvolva as atividades criticamente.” (A6) “Sim. Modelar conteúdos matemáticos significa dotar de significado tais conteúdos e, por tanto, dotar de significado a aprendizagem.” (A8) “Sim. Pois você irá interagir com o conteúdo podendo trazê-lo para o seu dia-a-dia.” (A9) “Sim, porque o aluno tem visão que a matemática é abstrata, concordo, mas se tentarmos associá-la ao cotidiano seria mais fácil o aprendizado.” (A11) “Sim. Porque com a modelagem as aulas tornam-se mais atrativas, pois abordam situações cotidianas e dessa forma envolve mais os alunos nas atividades.” (A15) “Facilita sim. Com essas questões eu aprendi mais coisas, compreendi a seqüência e seu limite.” (A17) “Sim, pois essa metodologia torna a matemática mais atraente.”

Todos os alunos, aqui representados pelos escritos mais expressivos,

concordam que a modelagem matemática auxilia no ensino de matemática, tornando

48

tal disciplina mais “atraente”, como afirmou A17. Por trabalhar com questões que

são, ou se aproximam da realidade das pessoas, a Modelagem teve grande

aceitação por parte dos alunos que responderam Q2, mesmo aqueles que não

justificaram sua opinião responderam sim.

Se quisermos pertencer a uma sociedade onde o conhecimento matemático

seja mais acessível é essencial a adoção de novas práticas educacionais que

propiciem essa acessibilidade. É como afirma (Freire ; Shor, 2000, p. 29): “sabemos

que não é a educação que modela a sociedade, mas, ao contrário, a sociedade que

modela a educação segundo os interesses de quem detém o poder.” D’Ambrosio

(2005, p.82) ainda diz que:

A adoção de uma postura educacional, na verdade a busca de um novo paradigma de educação que substitua o já desgastado ensino-aprendizagem, baseada numa relação obsoleta de causa-efeito, é essencial para o desenvolvimento de criatividade desinibida e conducente a novas formas de relação interculturais, proporcionando o espaço adequado para preservar a diversidade e eliminar a desigualdade numa nova organização da sociedade.

A Modelagem Matemática é uma alternativa de ensino que por fazer parte ou

se aproximar da realidade das pessoas pode facilitar a aprendizagem dos

estudantes. A Seqüência de Fibonacci por ser um caso onde os educandos podem

construir um modelo matemático partindo da proposta das questões, facilita a

aprendizagem dos conteúdos que tal série compreende, isso segundo os

pesquisados. Mas por ser um método pouco utilizado com os alunos de licenciatura

houve uma dificuldade de interpretação das questões e alguns erros, confirmado e

fundamentado pelos gráficos com as respostas dos alunos.

Questão 8: Com relação ao grau de complexidade como você classifica a

atividade proposta no QUESTIONÁRIO I? Marque uma única alternativa.

( )extremamente fácil ( )fácil ( )difícil ( )extremamente difícil

Todos os sujeitos da pesquisa classificaram o Questionário como difícil.

Através dos gráficos e respostas referentes às questões anteriores os alunos

parecem ter dificuldades na interpretação das questões, possivelmente falta de

atenção na resolução do Questionário e ainda apresentam problemas em relacionar

49

os conteúdos com situações reais, impossibilitando a aplicação de seus

conhecimentos em situações adversas.

O que se pode supor quanto aos dados analisados é a pouca, ou nenhuma,

utilização de aplicações dos conteúdos estudados no curso de Licenciatura em

Matemática da UNEB, Campus VII nas disciplinas Matemática III e Cálculo III, o que

pode indicar uma insegurança por parte dos alunos ao resolver atividades desta

ordem.

Portanto, é eminente a necessidade da utilização de metodologias que

propiciem ao estudante universitário aproveitar seus conhecimentos em situações do

cotidiano, visto que a referida instituição de ensino superior oferece o curso de

Licenciatura em Matemática e que seus alunos, futuros professores de Matemática,

precisam saber onde e como aplicar o que foi aprendido em seu curso

50

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esta pesquisa propendeu verificar se os alunos da UNEB Campus VII de

Senhor do Bonfim, que cursam Licenciatura em Matemática, sabem aplicar o

conteúdo seqüência, visto nos componentes curriculares Matemática III e Cálculo III,

na Seqüência de Fibonacci, constatar a opinião destes alunos sobre a utilização da

modelagem matemática no ensino, sobretudo no nível superior e ao mesmo tempo

conferir se estes alunos percebem alguma aplicação do conteúdo supracitado no

desenvolvimento do seu curso. Para isso utilizamos um ambiente de modelagem,

onde buscamos o envolvimento dos alunos oferecendo-lhes uma aprendizagem

significativa e particular de uma situação com referências na realidade.

Apesar das dificuldades, percebeu-se que o aluno é capaz de desenvolver

estratégias a fim de solucionar os problemas matemáticos os quais lhes são

propostos, mas apresentam dificuldades em trabalhar os conceitos matemáticos

modelados por situações com alusões reais, isso porque é uma metodologia

totalmente nova para eles. Pelo que foi percebido não faz parte do curso de

Licenciatura em Matemática da UNEB, Campus VII, estudar aplicações dos

conteúdos explanados.

É importante salientar que os professores precisam preparar e organizar

circunstâncias de aprendizagem as quais estimulem os alunos a se envolver com os

conteúdos aprendidos de forma a conseguir relacioná-los com situações diversas a

fim de interpretá-los, compreendê-los e analisá-los, para que edifiquem seus

próprios caminhos para a construção do conhecimento. “Educar é a principal função

da escola, mas as variações do modo de ensinar determinam diferenças nos

resultados obtidos.” (BICUDO, 1999, p. 154)

Notamos que os alunos consideraram interessante conhecer a aplicação dos

conteúdos que fazem parte da ementa de suas disciplinas, para que saibam

aproveitar seus conhecimentos em situações da vida real. Percebemos também que

não há em seu curso esse tipo de metodologia, a modelagem matemática, mesmo

que esta possa auxiliar na construção da aprendizagem significativa.

51

Diante desses argumentos percebemos que o estudo da Seqüência de

Fibonacci é de grande valia para o ensino de seqüência por trazer os conceitos a

serem aprendidos de forma mais descontraída e por ser uma aplicação prática de tal

conteúdo. Verificamos também que a utilização da modelagem matemática foi

considerada pelos alunos uma metodologia de ensino que auxilia na aprendizagem

da matemática, e que deve ser utilizada freqüentemente no ensino superior.

Houve interesse por parte dos alunos em resolver atividades de modelagem,

mas eles não estavam preparados para tal, foi tudo muito novo, eram atividades que

eles não estavam acostumados a realizar. Apesar disso vale muito a pena trabalhar

com esse tipo de metodologia, pois dessa forma os conteúdos são fixados com mais

facilidade e prazer. É importante para quem estuda matemática saber onde podem

ser utilizados os conceitos estudados, é importante para quem ensina matemática

conhecer a utilidade do que se vai ensinar, uma aplicação dos conteúdos,

possivelmente, interessa bem mais do que somente o cálculo puro.

Para finalizar, deve-se pontuar que é imprescindível a utilização de

metodologias de ensino alternativas, como sugestão a Modelagem Matemática, nos

cursos superiores, sobre tudo no curso de Licenciatura em Matemática da UNEB,

Campus VII, que almejem facilitar o ensino- aprendizagem de diferentes conteúdos

matemáticos, tornando esse processo menos desgastante e mais diligente, e

contribuindo para o aumento da criatividade e criticidade do ensino da matemática.

52

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55

APÊNDICE I

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO CAMPUS VII

COLEGIADO DE MATEMATICA

Este questionário servira de material de pesquisa para monografia por isso solicita-

se a sua colaboração. OBRIGADA!

INSTRUÇÕES:

1. Não é necessário se identificar.

QUESTIONÁRIO I

Questão 1 :O problema dos coelhos

No ano de 1202, um matemático italiano de nome Leonardo de Pisa (ou Fibonacci),

formulou e resolveu o seguinte problema que ficou conhecido pelo problema dos

coelhos:

É sabido que os coelhos reproduzem-se rapidamente. Assumimos que um par de

coelhos adultos produz um casal de coelhos recém-nascidos todos os meses e que

os coelhos nascidos tornar-se-ão adultos em dois meses e a partir daí começam a

reprodução normal e produzem, ao final de cada mês, um novo casal. Quantos

coelhos obtemos ao fim de 1 ano, considerando que não ocorrem mortes?

Proposta de trabalho:

a) Começando com um casal de coelhos jovens, quantos casais obtemos

quando esse casal atingir os 10 meses de vida?

b) E ao fim de 1 ano?

c) Procura determinar a expressão matemática que possibilite calcular o número

de casais de coelhos obtidos no final do n-ésimo mês. (Sugestão: Considera

o número de casais de coelhos que se obtém no final de cada mês, e verifica

como eles são calculados).

d) A sugestão que traduz o fenômeno da reprodução dos coelhos segundo os

condicionalismos impostos por Fibonacci que no enunciado do problema

56

contatamos, tem o nome de sucessão de Fibonacci, em honra do Matemático

que descobriu. Procura então calcular os primeiros quinze termos da

sucessão de Fibonacci.

e) De acordo com os valores obtidos em d), o que pode se dito quanto à

monotonia da sucessão?

f) Determine o limite desta sucessão.

g) Tendo em atenção o que conheces sobre os infinitamente grandes, que

classificação podes atribuir à sucessão de fibonacci?

OBS: fica como sugestão para começar a resolver o problema, a construção de

uma tabela para facilitar os cálculos por ex:

Fim do mês n.º Casais adultos Casais jovens Total de casais

1 1 0 1

Questão 2: o deslocamento de uma abelha na colméia

Similarmente ao “problema dos coelhos”, problema que deu origem ao

aparecimento da sucessão de Fibonacci, temos um outro que procura

determinar o número de caminhos que uma abelha pode percorrer quando se

desloca lentamente sobre as células hexagonais de um favo de mel (ver figura

abaixo)

As células estendem-se tão longe quanto se queira e sempre para o lado direito.

Assumindo que a abelha só se move para uma célula adjacente e se desloca

sempre no sentido da esquerda para a direita, quantos caminhos poderá ela tomar

para se deslocar para a célula 0? E para a célula 1?...Seguindo este raciocínio,

quanto seria o número de caminhos possíveis que a abelha poderia percorrer para

atingir a n-ésimo célula?

Questão 3: A sucessão dos quocientes entre números consecutivos de Fibonacci

57

Investiguemos um fato curioso relacionado com esses números e que

desempenha um papel muito importante não só na matemática como em muitas

outras áreas do saber. Tal fato provém do estudo da razão entre os termos

consecutivos da sucessão de Fibonacci.

Utilizando a calculadora, procure resolver a seguinte proposta de trabalho:

e) Calcular o quociente entre alguns números consecutivos de Fibonacci.

f) De acordo com os valores obtidos em a), o que pode ser dito quanto a

monotonia da sucessão dos quocientes entre os números consecutivos de

Fibonacci?

g) Será que esta sucessão tem limite? Será limitada?

h) O que significa dizer em termos do “problema dos coelhos”, afirmar que o

quociente entre dois termos consecutivos de Fibonacci é aproximadamente

1,62?

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APÊNDICE II

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO CAMPUS VII

COLEGIADO DE MATEMATICA

QUESTIONÁRIO II Este questionário servira de material de pesquisa para monografia por isso solicita-se a sua colaboração. OBRIGADA! Não é necessário se identificar. 1. Qual a principal dificuldade encontrada ao realizar a atividade proposta no QUESTIONÁRIO I? _____________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Foi necessário fazer algum tipo de consulta para realizá-la? Cite-as: ______________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Ao realizar esse estudo de seqüência foi necessário recorrer a algum outro conteúdo matemático? Justifique?___________________________________ ______________________________________________________________

4. Durante o curso de cálculo você viu alguma aplicação do conteúdo abordado?Fica

clara a relação da seqüência de Fibonacci com as seqüências estudadas no calculo

III? _________________________________________

______________________________________________________________

5. É fácil relacionar os conceitos matemáticos com situações “reais” a fim de resolvê-las? Justifique?______________________________________________________________________________________________________________________ 6.A Seqüência de Fibonacci é um caso particular de uma sucessão recorrente, mas podemos utiliza - lá no estudo de seqüência(de calculo III), torna-se mais interessante o estudo de seqüência embasado pela de Fibonacci?_____________________________________________________ _______________________________________________________________ 7.Hoje fala-se muito em utilizar a Modelagem Matemática(ensinar matemática relacionando-a com problemas com referencia na realidade) no ensino, com objetivo de facilitar a aprendizagem. Você concorda que a modelagem facilita o ensino de matemática? Justifique? _________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________________________________________

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8. Com relação ao grau de complexidade como você classifica a atividade proposta no QUESTIONÁRIO I? Marque uma única alternativa. ( )extremamente fácil ( )fácil ( )difícil ( )extremamente difícil