CONVERSORES CC-CC - Ivo Barbi - Modelagem-de... · ELETRÔNICA DE POTÊNCIA IVO BARBI EDIÇÃO DO...
220
MODELAGEM DE CONVERSORES CC-CC EMPREGANDO MODELO MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS ELETRÔNICA DE POTÊNCIA IVO BARBI EDIÇÃO DO AUTOR
Transcript of CONVERSORES CC-CC - Ivo Barbi - Modelagem-de... · ELETRÔNICA DE POTÊNCIA IVO BARBI EDIÇÃO DO...
MODELAGEM DECONVERSORES CC-CC
EMPREGANDO MODELO MÉDIOEM ESPAÇO DE ESTADOS
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA
IVO BARBIEDIÇÃO DO AUTOR
Ivo Barbi
MODELAGEM DE
CONVERSORES CC- CC
EMPREGANDO MODELO
MÉDIO EM
ESPAÇO DE ESTADOS
Florianópolis
Edição do Autor
2015
III
MODELAGEM DE
CONVERSORES CC- CC
EMPREGANDO MODELO
MÉDIO EM
ESPAÇO DE ESTADOS
IV
B236m Barbi, Ivo
Modelagem de conversores CC-CC empregando
modelo médio em espaço de estados / Ivo Barbi. –
Florianópolis : [S. n.], 2014. 206 p. : il.
Inclui referência
1. Eletrônica de potência. 2. Circuitos elétricos lineares –
Análise.
3. Laplace, Transformadas de. 4. Conversores CC-CC. I. Título.
CDU: 621.314.22
Catalogação na publicação por: Onélia Silva Guimarães CRB-
14/071
V
AGRADECIMENTOS
Ao Eng. Andreas M. P. Correa, por sua dedicação na
preparação desta edição, digitando o texto, editando figuras,
formatando e diagramando a edição final.
Ao Bruno Barbi, pela criação da capa.
Ao Diogo Duarte Luis, pelo apoio administrativo na
preparação desta edição.
Ao Prof. Cassiano Rech, da UFSM, pela sugestão do
título.
VI
VII
BIOGRAFIA DO AUTOR
Ivo Barbi nasceu em Gaspar, Santa Catarina, Brasil,
em 1949. Formou-se em Engenharia Elétrica pela Universidade
Federal de Santa Catarina em 1973. Obteve o título de Mestre
em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa
Catarina em 1976 e o título de Doutor em Engenharia Elétrica
pelo Institut National Polytechnique de Toulouse, França, em
1979.
Fundou a Sociedade Brasileira de Eletrônica de
Potência(SOBRAEP), o Instituto de Eletrônica de Potência da
Universidade Federal de Santa Catarina (INEP-UFSC) e o
Congresso Brasileiro de Eletrônica de Potência (COBEP).
É Pesquisador 1A do CNPq e Fellow IEEE.
Foi Editor Associado na área de Conversores Estáticos
de Potência do periódico internacional IEEE Transactions on
Industrial Electronics. e Editor Associado Convidado para
Edições Especiais do periódico IEEE Transactions on Power
Electronics.
Desde o mês de março de 2015, é professor visitante
do Departamento de Automação e Sistemas (DAS) da
Universidade Federal de Santa Catarina.
VIII
IX
Dedico este trabalho pequenino
ANTONIO BARBI,
nascido em 19/05/2015,
à sua mãe
ADRIANA S. S. BARBI
e aos meus outros filhos
Bernardo Barbi
Bruno Barbi
Beatriz Barbi
Isadora Barbi
X
XI
PREFÁCIO
Os conversores estáticos de energia elétrica, para serem
úteis nas mais diversas aplicações, devem ter suas variáveis
elétricas, tais como tensões, correntes e potências, devidamente
controladas.
Para escolher os controladores adequados e seus
parâmetros, o projetista do conversor precisa conhecer os
modelos de planta do estágio de potência do conversor, que
geralmente apresentam-se sob a forma de funções de
transferências. Essas funções de transferência são obtidas a
partir de equações diferenciais lineares, que resultam da
linearização de equações não lineares, em torno de pontos de
operação específicos, nos quais o conversar deverá operar.
Geralmente os conversores operam com frequências de
comutação elevadas, da ordem de várias dezenas de quilo-
hertz. No entanto, as dinâmicas envolvidas na troca de potência
entre as fontes e as cargas, ocorrem em baixas frequências, da
ordem de dezenas de hertz.
Uma das peculiaridades dos conversores estáticos cc-cc é
o fato de que em um período de operação, eles assumem
diversos estágios topológicos, cujos circuitos equivalentes são
lineares, representados por equações diferenciais de primeira
ou segunda ordem. Porém, o comportamento macroscópico, em
escala de tempo de suas respostas naturais do ponto de vista de
valores médios quase instantâneos, é quase sempre não linear.
Das diversas técnicas já propostas para a obtenção dos
modelos matemáticos dos conversores estáticos cc-cc, duas se
tornaram populares: (a) emprego do conceito de modelo médio
em espaço de estado, proposto por Midlebrook e Cuk em 1976
[1], e (b) conceito de chave PWM, proposto por Vorpérian em
1990 [4].
Cada uma das técnicas tem vantagens e desvantagens em
relação à outra. Porém, o método que utiliza modelo médio em
espaço de estado é atualmente o mais aceito e utilizado pela
XII
comunidade internacional de especialistas em eletrônica de
potência.
O presente texto, despretensioso, incompleto e
certamente pleno de imperfeições, é resultado das reflexões do
autor sobre problemas de modelagem de conversores estáticos
cc-cc, devidamente amparadas por publicações clássicas da
área, de grande relevância técnica sobre o tema.
O texto pretende introduzir o assunto, de maneira simples
e resumida, através de exemplos, aos estudantes de engenharia
elétrica, sobretudo aos pós-graduandos da área de eletrônica de
potência e suas aplicações. Por isso o autor espera que o
material possa ser útil para essa comunidade. Espera também
que as imperfeições do texto não diminuam os benefícios que
ele possa trazer aos que desejam aprender a modelar e controlar
conversores estáticos cc-cc.
Todo e qualquer comentário, observação ou crítica que
possam contribuir para melhorar a qualidade do texto, serão
bem acolhidos pelo autor.
Florianópolis, agosto de 2015.
XIII
Sumário
PREFÁCIO ..................................................................................................... XI
SUMÁRIO ..............................................................................................XIII
CAPÍTULO 1 ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES .................... 17
1.1 INTRODUÇÃO. .................................................................................. 17
1.2 SOLUÇÃO EMPREGANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE. ........... 20
1.3 EXEMPLO NUMÉRICO. ..................................................................... 25
1.4 ANÁLISE DE UM CIRCUITO COM APENAS RESISTORES E CAPACITORES .............................................................................................. 27
CAPÍTULO 2 CIRCUITO RC CHAVEADO ...................................... 36
CAPÍTULO 3 CIRCUITO RC CHAVEADO ...................................... 41
CAPÍTULO 4 COVERSOR CC-CC ABAIXADOR A CAPACITOR
CHAVEADO 47
CAPÍTULO 5 CIRCUITO RL CHAVEADO ...................................... 58
CAPÍTULO 6 CIRCUITO LLR CHAVEADO .................................... 61
CAPÍTULO 7 CIRCUITO LC CHAVEADO ...................................... 67
CAPÍTULO 8 CIRCUITO VLR CHAVEADO ................................... 74
CAPÍTULO 9 MODELAGEM DO CONVERSOR BUCK ................ 81
9.1 INTRODUÇÃO. .................................................................................. 81
9.2 EQUACIONAMENTO DA PRIMEIRA ETAPA DE OPERAÇÃO. ............. 82
9.3 EQUACIONAMENTO DA SEGUNDA ETAPA DE OPERAÇÃO. ............. 83
9.4 ANALISE EM REGIME PERMANENTE. ............................................... 86
9.5 MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA CORRENTE. .................. 89
XIV
9.6 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO DE CARGA. ..................................................................................... 93
9.7 EXERCÍCIO PROPOSTO. ................................................................... 102
CAPÍTULO 10 MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST .......... 103
10.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 103
10.2 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE. ........................................................................................... 108
10.3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROLE DA CORRENTE ............................................................................................ 114
10.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROLE DE TENSÃO. ............................................................................................... 117
10.5 COMENTÁRIOS ADICIONAIS SOBRE A EXISTÊNCIA DE UM ZERO NO SEMIPLANO DIREITO. ................................................................................ 127
10.6 EXERCÍCIO PROPOSTO. ................................................................... 128
CAPÍTULO 11 MODELAGEM DO CONVERSOR
BUCK – BOOST...................................................................................... 130
11.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 130
11.2 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES GENÉRICAS. ....................................... 132
11.3 ANALISE EM REGIME PERMANENTE. ............................................. 135
11.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE. 140
11.5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO DE SAÍDA. 145
CAPÍTULO 12 CIRCUITO EQUIVALENTE DO CONVERSOR CC-
CC BIDIRECIONAL EM REGIME
PERMANENTE .......................................................................................152
12.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 152
XV
12.2 OBTENÇÃO DO CIRCUITO EQUIVALENTE. ...................................... 154
CAPÍTULO 13 MODELAGEM DO CONVERSOR
BIDIRECIONAL ZETA-SEPIC ........................................................... 158
13.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 158
13.2 EQUAÇÕES GENÉRICAS. ................................................................. 160
13.3 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE. ........................................................................................... 162
13.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE DO CONVERSOR ZETA-SEPIC BIDIRECIONAL. .................................................. 166
CAPÍTULO 14 MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST EM
CONDUÇÃO DESCONTÍNUA ............................................................. 175
14.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 175
14.2 EQUACIONAMENTO DO CONVERSOR BOOST OPERANDO EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA. ..................................................................... 176
14.3 ANÁLISE EM REGIME PERMANENTE. ............................................. 183
14.4 MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA CORRENTE NO INDUTOR. 185
14.5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO. .... 189
CAPÍTULO 15 CONVERSOR CC-CC MEIA PONTE MODULADO
EM FREQUÊNCIA ................................................................................ 194
15.1 INTRODUÇÃO. ................................................................................ 194
15.2 MODELAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS. ..................................... 197
15.3 MODELO PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE. ............... 202
15.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE. 205
CAPÍTULO 16 ANÁLISE DO ERRO COMETIDO AO SE
EMPREGAR O VALOR MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS ...... 209
XVI
16.1 FONTE DE TENSÃO ALIMENTANDO INDUTÂNCIA PURA. ............... 209
16.2 FONTE DE TENSÃO ALIMENTANDO CARGA RL. ............................. 213
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................. 218
17
CAPÍTULO 1
ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES
1.1 INTRODUÇÃO.
Seja o circuito representado na Figura 1-1. Trata-se de
um circuito RLC série. No instante t=0, o interruptor S é
fechado.
Figura 1-1: Circuito RLC série.
O comportamento do circuito é definido pelas equações
diferenciais (1.1) e (1.2). A corrente no indutor iL e a tensão no
capacitor vc são as variáveis de estado do circuito.
LL C
diL R i v v
dt (1.1)
CL
dvC i
dt (1.2)
A partir de (1.1) e (1.2) obtém-se (1.3) e (1.4).
18
CLL
vdi R vi
dt L L L (1.3)
C Ldv i
dt C (1.4)
As equações (1.3) e (1.4) podem ser representadas na
forma matricial, de acordo com a expressão (1.5).
11
0
10 00
L
L
C C
di Ri vdt L L
Ldv v v
Cdt
(1.5)
Sejam as definições descritas a seguir.
L
C
iX
v (1.6)
L
C
di
dtX
dv
dt
(1.7)
1
10
R
L LA
C
(1.8)
19
10
0 0
B L (1.9)
vU
v (1.10)
Desse modo, na forma matricial, obtêm-se a equação
(1.11).
X AX BU (1.11)
Podem ocorrer situações em que as grandezas de saída
não sejam os estados, mas sim uma combinação deles.
Define-se então a equação (1.12).
Y CX DU (1.12)
onde Y é um vetor definido pelas grandezas desejadas. C e D
são matrizes com termos constantes.
Agrupando as equações (1.11) e (1.12) obtêm-se as
equações (1.13) e (1.14), conhecidas como equações de estado
do sistema.
X AX BU (1.13)
Y CX DU (1.14)
Costuma-se representar em diagrama de blocos as
equações de estado, de acordo com a Figura 1-2.
20
Figura 1-2. Representação das equações de estado por diagrama de blocos.
1.2 SOLUÇÃO EMPREGANDO A TRANSFORMADA DE
LAPLACE.
Vamos, com o emprego da transformada de Laplace,
obter a solução da equação de estados que representa o
comportamento do circuito. Vamos ignorar a equação (1.14).
Seja a equação (1.15).
X A X B U (1.15)
Aplicando-se a transformada de Laplace, obtêm-se a
equação (1.16).
( ) ( ) ( )X s A X s B U s (1.16)
Mas,
( ) ( ) (0)X s s I X s X (1.17)
onde I é a matriz identidade. O vetor X(0) representa o estado
inicial das variáveis do circuito. Substituindo-se (1.17) em
(1.16) obtém-se (1.18).
21
( ) (0) ( ) ( )s I X s X A X s B U s (1.18)
Assim:
( ) ( ) (0) ( )s I X s A X s X B U s (1.19)
( ) (0) ( )s I A X s X B U s (1.20)
Portanto:
1 1
( ) (0) ( )X s s I A X s I A B U s (1.21)
Por razões didáticas e para simplificar o problema, vamos
considerar nula a tensão de alimentação. Isto significa que o
vetor U=0. Portanto,
1
( ) (0)X s s I A X (1.22)
Resolve-se o sistema de equações representado por (1.22)
aplicando-se a transformada inversa de Laplace. Assim:
1( ) ( )X t X s (1.23)
11( ) (0)X t s I A X (1.24)
Como o vetor X(0) é formado por termos constantes,
podemos escrever:
22
11( ) (0)X t s I A X (1.25)
Prosseguimos nossa análise como segue.
10
100
Rs L Ls I A
s
C
(1.26)
1
1
Rs
L Ls I A
sC
(1.27)
1
1
1
1
Rs
L Ls I A
sC
(1.28)
Invertendo-se a matriz definida pela equação (1.28),
obtêm-se:
2 21
2 2
1 1
( )
1 1
LRs C
LRs RCs LRs RCss I A
L C R Ls
LRs RCs LRs RCs
(1.29)
23
Seja
2
R
L (1.30)
20
1
LC (1.31)
2 2 20 (1.32)
Com essas definições, após manipulação algébrica
adequada, obtêm-se:
2 2 2 21
2 2 2 2
1 /
( ) ( )
1 / (2 )
( ) ( )
s L
s ss I A
C s
s s
(1.33)
Deste modo:
0 02 2 2 2
1
0 02 2 2 2
/
( ) ( )(0)
/ (2 )
( ) ( )
L C
L C
sI V L
s ss I A X
I C s V
s s
(1.34)
Vamos considerar o caso de um sistema pouco
amortecido, de modo que . Aplicando-se a transformada
inversa de Laplace, obtêm-se:
24
0
0
( )cos( )
X( )( )
cos( )
tt
L
tCt
e sen te t
ILtVe sen t
e tC
(1.35)
A expressão (1.35) pode ser reescrita como a expressão
(1.36).
( ) ( ) (0)X t t X (1.36)
onde
0
0
(0) stado inicalL
C
IX E
V (1.37)
( )( ) Vetor de estado
( )L
c
I tX t
v t (1.38)
( )cos( )
( )( )
cos( )
tt
tt
e sen te t
Lte sen t
e tC
(1.39)
A matriz ( )t é conhecida como matriz de transição de
estados.
Trata-se de um conceito muito importante, pois permite
conhecer os estados do sistema a qualquer instante, se as
condições iniciais forem conhecidas e se o sistema evoluir
livremente sem excitações nem perturbações.
25
A partir das expressões deduzidas com o emprego das
equações de estado, podemos obter as expressões (1.40) e
(1.41).
00( ) cos( ) ( )t C
L L
Vi t e I t sen t
L (1.40)
00( ) ( ) cos( )t L
C C
Iv t e sen t V t
C (1.41)
1.3 EXEMPLO NUMÉRICO.
Vamos nesta seção apresentar um exemplo numérico e as
formas de onda resultantes.
Sejam os seguintes parâmetros e condições iniciais:
0 0
50 ; 20 ; 10
10 ; 200L C
L mH C F R
I A V V
Portanto:
0
2 20
100 /2
11000 /s
995 /s
49,8
0,02
RH
L
radLC
rad
L
C Siemens
26
Desse modo,
100 1000
100 1000
( ) 10 cos(995 ) 4,02 (995 )
( ) 502,5 ( ) 200 cos( )
t tL L
t tC C
i t e t e sen t I
v t Ve sen t e t
As formas de onda resultantes, da corrente iL(t) e da
tensão vC(t), encontram-se representadas na Figura 1-3 e na
Figura 1-4 respectivamente.
Na Figura 1-5 é mostrado o plano de fase, onde a
corrente iL(t) é representada em função da tensão vC(t).
Figura 1-3. Corrente em função do tempo, para o circuito da Figura 1-2.
Figura 1-4. Tensão nos terminais do capacitor, para o circuito da Figura 1.2.
27
Figura 1-5. Plano de fase para as variáveis de estado do circuito representado na
Figura 1-2.
1.4 ANÁLISE DE UM CIRCUITO COM APENAS
RESISTORES E CAPACITORES
Seja o circuito mostrado na Figura 1-6. Desejamos
encontrar as expressões das correntes i1(t) e i2(t). V é uma tensão constante e a chave S é fechada no
instante t=0.
Todos os resistores, bem como os capacitores, são
idênticos entre si.
As tensões nos capacitores, vC1(t) e vC2(t), são as variáveis
de estado do sistema.
Vamos estudar o caso particular em que as condições
iniciais sejam nulas. Por inspeção do circuito podemos escrever
as equações (1.42) e (1.43).
28
Figura 1-6. Circuito com resistores e capacitores.
1 1 21C
V V V Vi
R R (1.42)
1 2 22C
V V Vi
R R (1.43)
Mas,
11C
dvi C
dt (1.44)
e
22C
dvi C
dt (1.45)
Portanto,
11 22
dvRC V V V
dt (1.46)
21 22
dvRC V V
dt (1.47)
29
Seja
RC (1.48)
Portanto,
1 1
2 2
2 1
1 2 0
v v v
v v (1.49)
Ou ainda,
1 1
2 2
2 / 1 / /
1 / 2 / 0
v v v
v v (1.50)
Desse modo,
V A V B U (1.51)
onde,
1
2
vV
v (1.52)
1
2
vV
v (1.53)
2 / 1 /
1 / 2 /A (1.54)
30
/
0
vB U (1.55)
Também por inspeção pode-se escrever:
11
V Vi
R (1.56)
1 22
V Vi
R (1.57)
Portanto,
1 1
2 2
1 / 0 /
1 / 1 / 0
i R v V R
i R R v (1.58)
Seja
1
2
ii
i (1.59)
1 / 0
1 / 1 /
RC
R R (1.60)
/
0
V RD U (1.61)
31
Portanto:
i C V D U (1.62)
Resumindo-se as expressões (1.51) e (1.61), obtêm-se
V A V B U (1.63)
i C V D U (1.64)
que é a forma geral da representação de estado.
Verificamos que nosso circuito, que é um sistema de
segunda ordem linear e invariante no tempo, está sendo
descrito matematicamente por um sistema formado por duas
equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Vamos então resolver essas equações.
Aplicando-se a transformada de Laplace na equação
(1.63) obtém-se a equação (1.65).
( ) (0) ( ) ( )sV s V A V s B U s (1.65)
Desse modo:
( ) (0) ( )s I A V s V B U s (1.66)
Ou ainda:
1 1
( ) (0) ( )V s s I A V s I A B U s (1.67)
32
Seja (0) 0V , nossa hipótese inicial. Assim:
Mas,
1
1
2 1
1 2
s
s I A
s
(1.68)
Portanto,
1
2 2
1
2 2
2
2 1 2 1
2
2 1 2 1
s
s ss I A
s
s s
(1.69)
( )
0
V
B U s s (1.70)
Assim,
2
1
2
20
2 1( )
02 1
V s
s ss I A B U s
V
s s
(1.71)
33
Desse modo,
2
1
2
2
2
2 1( )
( )
2 1
V s
s sV s
V s V
s s
(1.72)
Aplicando-se a transformação inversa de Laplace na
equação (1.67) obtêm-se a equação (1.73).
1( ) ( )V t V s (1.73)
Desse modo,
3
1( ) 4 36
t tVV t e e (1.74)
2
2( ) 1 26
t tVV t e e (1.75)
Nosso objetivo é encontrar as correntes I1(t) e I2(t). A partir da expressão (1.64), obtemos:
i C V D U (1.76)
34
Portanto,
1 1
2 2
( ) 1 / 0 ( ) /
( ) 1 / 1 / ( ) 0
i t R v t V R
i t R R v t (1.77)
Assim,
11
( )( )
V v ti t
R (1.78)
1 22
( ) ( )( )
v t V ti t
R (1.79)
Substituindo as expressões (1.74) e (1.75) em (1.78) e
(1.79) obtemos:
3
1( ) 2 36
t tVi t e e
R (1.80)
2( ) 1 3
3
tVi t e
R (1.81)
Observar-se que para t 1 2( ) ( ) ,3
Vi i
R como era
esperado.
Sejam os seguintes parâmetros, escolhidos a título de
ilustração:
35
100
1000
10
V V
C F
R
As correntes i1(t) e i2(t), em função do tempo, encontram-
se representadas na Figura 1-7, para esses parâmetros.
Figura 1-7. Evolução das correntes do circuito representado na Figura 1-6.
36
CAPÍTULO 2
CIRCUITO RC CHAVEADO
Seja o circuito representado na Figura 2-1.
Figura 2-1- Circuito RC Chaveado.
O interruptor ideal S é comandado pelo sinal
representado na Figura 2-2.
Figura 2-2. Sinal de comando do interruptor S.
O interruptor S encontra-se fechado quando 1S e
aberto quando 0S . O período de funcionamento é TS.
37
Desse modo,
no intervalo 0,
no intervalo 0 ,
1 S
SS
DT
DT
S
T
A variável D, definida por (2.1), é denominada razão
cíclica.
1tD
T (2.1)
Vamos supor que o capacitor C esteja inicialmente
carregado e que sua tensão inicial seja VC0.
Se S permanecer fechado continuamente (D=1), a tensão
vc(t) e a corrente ic(t) serão representadas pelas expressões (2.2)
e (2.3).
0
t
Ccv V et (2.2)
0Cc
tVi e
Rt (2.3)
A expressão (2.2) é a solução da equação diferencial
linear de primeira ordem representada por (2.4).
( ) ( )
0c cdv t v tC
dt R (2.4)
38
Com essas informações desejamos obter a expressão da
tensão do capacitor em função do tempo, para o interruptor S
operando com D 1.
Durante um ciclo de operação, o circuito assume dois
estados topológicos mostrados na Figura 2-3.
Figura 2-3. Estados topologicos do circuito.
Durante o intervalo de tempo 1Δt , S encontra-se fechado
e parte da energia armazenada no capacitor é dissipada em R.
Os dois estágios topológicos mostrados na Figura 2-2 são
representados pelas equações diferenciais lineares de primeira
ordem (2.5) e (2.6) respectivamente.
( ) ( )
0c cdv t v tC
dt R (2.5)
( )
0cdv tC
dt (2.6)
Vamos multiplicar todos os termos de (2.5) por D e todos
os termos de (2.6) por (1-D). Em seguida vamos somar as duas
equações.
Assim:
39
( ) ( )
0c cdv t v tD C D
dt R (2.7)
( )
1 0cdv tD C
dt (2.8)
Portanto:
( )
( ) 0cc
dv t DC v t
dt R (2.9)
A expressão (2.9) representa o circuito mostrado na
Figura 2-4
Figura 2-4. Circuito equivalente.
Seja o resistor equivalente definido pela expressão (2.10).
eq
RR
D (2.10)
Observe que o valor da resistência equivalente Req é
inversamente proporcional à razão cíclica D.
Desse modo, o efeito do chaveamento é um aumento da
resistência aparente do resistor do circuito.
40
A constante de tempo do circuito com chaveamento é
eq eqR C (2.11)
eq
R C
D (2.12)
Ou ainda,
eqD
(2.13)
Podemos interpretar o efeito do chaveamento como o
aumento da constante de tempo do circuito.
Assim, como 1D , .eq
Com o emprego da técnica descrita, obtém-se um único
circuito linear, para um valor dado de D , que representa os
dois estados topológicos do circuito, associados aos dois
estados de condução do interruptor. Dito de outra forma, o
circuito original, chaveado, passa a ser representado por um
circuito sem interruptor, com variáveis contínuas.
Cada estado topológico, para D constante, é
representado por um circuito linear, descrito por uma equação
diferencial linear.
O circuito equivalente é também linear, onde as variáveis
(estados) são valores médios quase instantâneos. O método
empregado contem aproximações e introduz erro. O erro é
tanto menor quanto menor for o período de chaveamento em
relação à constante de tempo original do circuito.
Simulações realizadas mostram que para 0,10ST
o
erro cometido é menor que 1%.
41
CAPÍTULO 3
CIRCUITO RC CHAVEADO
Seja o circuito representado na Figura 3-1.
Figura 3-1. Circuito RC chaveado.
O capacitor C1 encontra-se inicialmente carregado e sua
tensão inicial é VC10. C2 encontra-se descarregado. t
S é aberto e fechado com alta frequência de valor
constante. A razão cíclica D é considerada constante.
Ao longo do tempo, parte da energia inicialmente
acumulada em C1 é transferida para C2, e parte dela é
transformada em calor no resistor R.
Desejamos encontrar as expressões que representem os
valores médios quase instantâneos das tensões vC1(t) e vC2(t).
Em um período de operação, o circuito possui dois
estágios topológicos representados na Figura 3-2.
Figura 3-2. Estados topológicos do conversor: (a) intervalo DT e (b) intervalo
( 1 – D ) T.
42
Vamos equacionar cada um desses estágios topológicos.
a) Primeiro Estágio: 0 t DT
11
( )cdv tC i
dt (3.1)
22
( )cdv tC i
dt (3.2)
1 2( ) ( )C Cv t v ti
R R (3.3)
Portanto,
1 1 21
( ) ( ) ( )c C Cdv t v t v tC
dt R R (3.4)
2 1 22
( ) ( ) ( )c C Cdv t v t v tC
dt R R (3.5)
b) Segundo Estágio: DT t T
11
( )0cdv t
Cdt
(3.6)
22
( )0cdv t
Cdt
(3.7)
Vamos multiplicar (3.4) e (3.5) por D. Assim:
43
11 1 2
( )( ) ( )c
C C
dv t D DDC v t v t
dt R R (3.8)
22 1 2
( )( ) ( )c
C C
dv t D DDC v t v t
dt R R (3.9)
Do mesmo modo, vamos multiplicar (3.6) e (3.7) por
(1-D). Assim,
11
( )1 0cdv t
D Cdt
(3.10)
22
( )1 0cdv t
D Cdt
(3.11)
Adicionando (3.6) com (3.10) obtemos (3.12).
11 1 2
( )( ) ( )C
C C
dv t D DC v t v t
dt R R (3.12)
Adicionando (3.8) com (3.11) obtemos (3.13).
22 1 2
( )( ) ( )C
C C
dv t D DC v t v t
dt R R (3.13)
Desse modo (3.12) e (3.13) formam um sistema de
equações diferenciais de primeira ordem, representado pelas
equações (3.14).
44
11 1 2
22 1 2
( )( ) ( )
( )( ) ( )
CC C
CC C
dv t D DC v t v t
dt R R
dv t D DC v t v t
dt R R
(3.14)
Seja o resistor equivalente definido pela expressão (3.15).
eq
RR
D (3.15)
Então,
1 1 21
2 1 22
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
C C C
eq eq
C C C
eq eq
dv t v t v tC
dt R R
dv t v t v tC
dt R R
(3.16)
O sistema de equações (3.16) representa o circuito
mostrado na Figura 3-3, contínuo, válido para valores médios
quase instantâneos.
Figura 3-3. Circuito equivalente para valores médios quase instantâneos.
45
Verificamos que devido à ação do chaveamento, o valor
da resistência aparente é modificado e representado pela
expressão (3.17).
eq
RR
D (3.17)
A constante de tempo do circuito resultante é
representada pela expressão (3.18).
eqR C (3.18)
onde
1 2
1 2
C CC
C C (3.19)
Seja VC10 a tensão inicial no capacitor C1. O capacitor C2
encontra-se inicialmente descarregado.
Então a corrente através do resistor equivalente durante o
regime transitório é dada pela equação (3.20).
10( )t
eq
C
R
Vi t e (3.20)
As tensões sobre os capacitores C1 e C2, em seus valores
médios quase instantâneos, são representadas pelas expressões
(3.21) e (3.22), respectivamente.
46
1 1 2
1 2
10( )t
CCv t C C e
C C
V (3.21)
12
1
1
2
0( ) 1t
CC
C Vv t e
C C (3.22)
O procedimento apresentado nos permitiu, a partir da
representação por equações de estado de um circuito chaveado
com dois estágios topológicos lineares, encontrar valores
médios das variáveis de estado, que por sua vez representam
um circuito equivalente não chaveado ou contínuo. Este é o
princípio geral que iremos encontrar na modelagem dos
diversos circuitos que serão apresentados nos capítulos
subsequentes deste texto.
A partir das equações (3.21) e (3.22) podemos observar
que após o período transitório, quando a corrente do circuito se
anula, as tensões 𝑉𝑐1 e 𝑉𝑐2 tornam-se iguais entre si, com o
valor dado pela expressão (3.23).
10 11 2
1 2
CC C
V CV V
C C
(3.23)
Portanto, os valores das tensões finais nos capacitores
não dependem do valor do resistor R, nem da frequência de
comutação ou da razão cíclica. Dependem apenas do valor da
tensão inicial no capacitor C1 e das capacitâncias de C1 e C2.
Porém a duração do período transitório depende desses
parâmetros.
47
CAPÍTULO 4
COVERSOR CC-CC ABAIXADOR A
CAPACITOR CHAVEADO
Seja o circuito representado na Figura 4-1. Trata-se de
um conversor CC-CC abaixador, empregando apenas
capacitores, interruptores e suas resistências parasitas, portanto
sem o emprego de dispositivos magnéticos, como indutores ou
transformadores. Nosso objetivo é obter suas características
fundamentais, como ganho estático e circuito equivalente,
empregando a técnica de valores médios em espaço de estado.
Figura 4-1. Conversor CC-CC abaixador a capacitor chaveado.
Os interruptores, considerados ideais, são comandados de
acordo com os sinais mostrados na Figura 4-2.
48
Figura 4-2. Sinais de comando dos interruptores do circuito representado na
Figura 4-1.
Nosso objetivo é encontrar um circuito linear
equivalente, válido para valores médios quase instantâneos, que
permita determinar o comportamento do conversor.
Num ciclo completo de funcionamento, o conversor
assume dois estados topológicos. Durante o intervalo de tempo
(0, DT), o circuito equivalente é representado pela Figura 4-3.
Figura 4-3. Circuito equivalente para o primeiro estágio topológico.
Durante o intervalo de tempo (DT,T), o circuito
equivalente é representado pela Figura 4-4.
49
Figura 4-4. Circuito equivalente para o segundo estágio topológico.
Vamos primeiramente obter as equações que representam
o primeiro estágio de operação (Figura 4-3).
1 211
1 1 1
C CC
v vvi
R R R (4.1)
2 1 212
1 1 1
C C CC
o
v v vvi
R R R R (4.2)
11 1
CC
dvC i
dt (4.3)
22 2
CC
dvC i
dt (4.4)
Substituindo a equação (4.1) em (4.3) e a equação (4.2)
em (4.4) obtemos (4.5) e (4.6):
1 1 2 11
1 1 1
C C Cdv v v vC
dt R R R (4.5)
50
2 1 12 2
1 1 1
1 1C CC
o
dv v vC v
dt R R R R (4.6)
A seguir, vamos equacionar o circuito representado pela
Figura 4-4.
1 21
1 1
C CC
v vi
R R (4.7)
2 1 22
1 1
C C CC
o
v v vi
R R R (4.8)
11 1
CC
dvC i
dt (4.9)
22 2
CC
dvC i
dt (4.10)
Portanto,
1 1 21
1 1
C C Cdv v vC
dt R R (4.11)
2 12 2
1 1
1 1C CC
o
dv vC v
dt R R R (4.12)
Vamos representar os modelos obtidos na forma
matricial, de acordo com as expressões (4.13) e (4.14) para os
intervalos de tempo (0, DT) e (DT,T) respectivamente.
51
111
1 1 1 1
2 2 12
11 1
1 1
1 1 1
C
C
C C
o
vdvC R R v Rdt
dv v vC
Rdt R R R
(4.13)
11
1 1 1
2 22
1 1
1 1
1 1 1
C
C
C C
o
dvC R R vdt
dv vC
dt R R R
(4.14)
As expressões (4.13) e (4.14), escritas na forma compacta
são representadas pelas expressões (4.15) e (4.16).
1 1 1K X A X B U (4.15)
2 2 2K X A X B U (4.16)
onde,
1
2
C
C
vX
v (4.17)
é o vetor de estado, sendo VC1 e VC2 os estados do circuito.
52
1 1
1
1
1 1
1 1
1 o
o
R RA
R R
R R R
(4.18)
1 1
2
1
1 1
1 1
1 o
o
R RA
R R
R R R
(4.19)
1
1 0
0 1B (4.20)
2 0B (4.21)
1
1
1
1
v
RU
v
R
(4.22)
Vamos multiplicar as expressões (4.15) e (4.16) por D e
por (1-D) respectivamente.
Assim,
1 1 1DK X DA X DB U (4.23)
2 2(1 ) (1 )D K X D A X (4.24)
Vamos analisar a operação em regime permanente.
Portanto, 0.X Desse modo,
53
1 10 DA X DB U (4.25)
20 (1 )D A X (4.26)
Portanto:
1 1
1
1 1
1
1 1 1
11
11 1
1 1
1
1 1
(1 ) 01
o
o
o
o
R RD
R R
R R R
Dv
R R RD
DvR R
RR R R
(4.27)
O sistema representado por (4.27) pode ser simplificado,
resultando na equação (4.28).
1
1
11
1 1
1
1 1
(1 ) 01
o
o
o
o
D R R
R
D vD R R
D vR
(4.28)
54
Assim:
1
1
11
(1 ) (1 )
0(1 ) (1 )
o
o
o
o
D D
R RD D
R
D DD v
R RD D D v
R
(4.29)
Após as devidas manipulações algébricas, obtêm-se as
expressões (4.30) e (4.31).
1 2 1(1 2 ) 0C Cv D v D v (4.30)
11 2 11 2 0o
C C
o
R RD v v D v
R (4.31)
Manipulações algebricamente se expressões (4.30) e
(4.31), obtemos a expressão (4.32).
2
21 1
2 (1 )
1 2
C
o
o
v D D
v R RD
R
(4.32)
Seja o caso particular em que 0,5D . Portanto,
12
1 2o
C
o
R vv
R R (4.33)
55
A expressão (4.33) mostra que o ganho ideal do
conversor apresentado é igual a 0,5. O valor real do ganho é
ligeiramente menor que 0,5, devido à queda de tensão no
resistor série equivalente 1R .
A expressão (4.33) representa o circuito equivalente
mostrado na Figura 4-5.
Figura 4-5. Circuito equivalente do conversor CC-CC abaixador a capacitor
chaveado.
Para razão cíclica diferente de 0,5 o circuito equivalente
encontra-se representado na Figura 4-6.
Figura 4-6. Circuito equivalente para 0,5.D
Desse modo, pode-se escrever a expressão (4.34).
0
1
0,5 o
o eq
v R
v R R (4.34)
56
Mas, como foi demonstrado anteriormente:
21 1
2 (1 )
1 2
o
o
o
v D D
v R RD
R
(4.35)
Igualando-se a expressão (4.34) com (4.35) e
manipulando-se algebricamente, obtêm-se a expressão (4.36).
124( )
eq
RR
D D (4.36)
Ou ainda,
2
1
1
4( )
eqR
R D D (4.37)
Na Figura 4-7 é representado o valor de 1/eqR R em
função da razão cíclica D.
Figura 4-7. Resistência equivalente em função da razão ciclica D.
57
Observa-se que o valor mínimo da resistência equivalente
ocorre para 0,5D . Por isso esses conversores geralmente são
projetados para operar com esse valor de D .
Pode-se também demonstrar que o valor de eqR depende
da frequência de chaveamento do circuito, além da razão
cíclica D . Para 0,5D , o modelo obtido é válido se for
respeitada a restrição:
1 1ST R C (4.38)
ou ainda
1 1
1Sf
R C (4.39)
Na análise apresentada, foi considerada muito grande a
capacitância do capacitor C2.
Na análise apresentada a título de exemplo, todos os
componentes foram considerados ideais, exceto o capacitor C1
cuja resistência é R1. Contudo, o procedimento pode ser
facilmente estendido para as situações em que as demais não
idealidades sejam incluídas.
Essa análise que acabamos de apresentar, serve para
mostrar a eficiência do método do valor médio em espaço de
estado, na análise dos conversores CC-CC a capacitor
chaveado, que de outra forma seria complexa e demorada.
58
CAPÍTULO 5
CIRCUITO RL CHAVEADO
Seja o circuito representado na Figura 5-1.
Figura 5-1. Circuito RL paralelo com interruptor.
O interruptor S é ideal e opera com frequência constante
e razão cíclica D.
Em um ciclo de operação ocorrem dois estágios
topológicos para os intervalos de tempo (0,DT) e (DT,T)
respectivamente, mostrados na Figura 5-2.
Figura 5-2. Estagios topológicos para o circuito RL paralelo.
Os dois estágios são representados pelas equações
diferenciais (5.1) e (5.2), respectivamente.
59
0LdiL
dt (5.1)
0LL
diL R i
dt (5.2)
Vamos multiplicar (5.1) e (5.2) por D e (1-D)
respectivamente, obtendo (5.3) e (5.4).
0LdiD L
dt (5.3)
(1 ) (1 ) 0LL
diD L D R i
dt (5.4)
Somando (5.3) com (5.4) obtemos (5.5).
(1 ) 0LL
diL D R i
dt (5.5)
A equação diferencial (5.5) representa o circuito
mostrado na Figura 5-3.
Figura 5-3. Circuito equivalente do circuito RL paralelo com interruptor.
60
Seja,
eR (1 )q D (5.6)
Assim:
0Leq L
diL R i
dt (5.7)
Seja LoI o valor da corrente inicial no indutor.
Resolvendo-se a equação diferencial (5.7) obtêm-se a
expressão (5.8).
( )t
L Loi t I e (5.8)
Onde,
eR (1 )q
L L
D R (5.9)
Verificamos então que o chaveamento modifica e
controla o valor da resistência equivalente e consequentemente
da constante de tempo do circuito.
A hipótese fundamental empregada na modelagem, mais
uma vez, é o período de chaveamento ser muito menor que a
constante de tempo definida pelos parâmetros do circuito, R e
L, como geralmente ocorre nos circuitos reais.
61
CAPÍTULO 6
CIRCUITO LLR CHAVEADO
Seja o circuito representado na Figura 6-1. São adotadas
as mesmas condições de operação do circuito estudado no
CAPÍTULO 5.
Seja 1L oI a corrente inicial em 1L , com o sentido indicado
na Figura 6-1. Seja nula a corrente inicial em 2L .
Deseja-se obter o circuito equivalente que represente a
evolução das grandezas médias quase instantâneas do circuito,
em função do tempo, em regime permanente.
Figura 6-1. Circuito LLR em paralelo com interruptor.
Os dois estágios topológicos, para os intervalos de tempo
(0, DT) e (DT, T) encontram-se representados na Figura 6-2.
62
Figura 6-2. Estágios topologicos do circuito LLR.
As equações para o intervalo (DT, T) são:
11
LdiL V
dt (6.1)
22
LdiL V
dt (6.2)
1 2L LV Ri Ri (6.3)
Portanto,
11 1 2
LL L
diL R i R i
dt (6.4)
22 1 2
LL L
diL R i R i
dt (6.5)
Para o intervalo (0, DT) são obtidas as equações:
11 0Ldi
Ldt
(6.6)
63
12 0Ldi
Ldt
(6.7)
Na forma matricial, para os intervalos de tempo (DT, T) e
(0, DT), o circuito é representado pelas equações (6.8) e (6.9),
respectivamente.
11
1
2 22
L
L
L L
diL
R R idt
di R R iL
dt
(6.8)
e
11
22
0
0
L
L
diL
dt
diL
dt
(6.9)
Multiplicando-se (6.8) por (1-D) e (6.9) por D obtém-se:
11
1
2 22
(1 )(1 ) (1 )
(1 ) (1 )(1 )
L
L
L L
diD L
D R D R idt
di D R D R iD L
dt
(6.10)
11
22
0
0
L
L
diD L
dtdi
D Ldt
(6.11)
64
Somando-se (6.10) com (6.11) obtêm-se (6.12).
11
1
2 22
(1 ) (1 )
(1 ) (1 )
L
L
L L
diL
D R D R idt
di D R D R iL
dt
(6.12)
Ou ainda:
11 1 2(1 ) (1 )L
L L
diL D R i D R i
dt (6.13)
22 1 2(1 ) (1 )L
L L
diL D R i D R i
dt (6.14)
Seja,
(1 )eqR D R (6.15)
Assim:
11 1 2
Leq L eq L
diL R i R i
dt (6.16)
22 1 2
Leq L eq L
diL R i R i
dt (6.17)
As expressões (6.16) e (6.17) representam o circuito
equivalente mostrado na Figura 6-3.
65
Figura 6-3. Circuito equivalente para o circuito original LLR.
Pode-se então concluir que o chaveamento modifica o
valor da resistência aparente do circuito, definida pela
expressão (6.15).
O circuito resultante representa os valores médios quase
instantâneos das tensões e correntes do circuito.
Resolvendo-se o sistema de equações diferencias (6.16) e
(6.17) obtém-se as expressões seguintes.
1 2
1 1
1 2
( )
t
L L o
L L e
I t IL L
(6.18)
2 1 1
1 2
1
( )
t
L L o
e
I t I LL L
(6.19)
1( )t
R L oI t I e (6.20)
onde,
eq
eq
L
R (6.21)
66
(1 )eqR D R (6.22)
1 2
1 2
eq
L LL
L L (6.23)
Verifica-se que o valor final de ( )RI t é igual zero.
Contudo, os valores finais de 1( )LI t e 2( )LI t são não nulos.
A partir da análise das equações (6.24) e (6.25), pode-se
concluir que após o transitório, ou seja, para um tempo muito
grande, as correntes nos dois indutores tornam-se iguais entre
si, com os valores definidos pelas equações (6.26) e (6.27).
𝐼𝐿1 = 𝐼𝐿10.𝐿1
𝐿1+𝐿2 (6.26)
𝐼𝐿2 = 𝐼𝐿10.𝐿1
𝐿1+𝐿2 (6.27)
67
CAPÍTULO 7
CIRCUITO LC CHAVEADO
Seja o circuito representado na Figura 7-1, com todos os
seus componentes ideais.
Figura 7-1. Circuito LC chaveado.
A corrente inicial no indutor L é ILo e a tensão inicial no
capacitor C é VCo.
Os interruptores S1 e S2 são comandados de acordo com
os sinais representados na Figura 7-2.
Figura 7-2. Sinais de comando dos interruptores S1 e S2.
68
Os estágios topológicos, para um ciclo de operação,
encontram-se representados na Figura 7-3.
Figura 7-3. Estágios toplogicos para um período de operação do circuito.
Durante o intervalo de tempo (0, DT) o circuito é
representado pelas equações (7.1) e (7.2).
0LdiL
dt (7.1)
0CdvC
dt (7.2)
Durante o intervalo de tempo (DT, T) o circuito é
representado pelas equações (7.3) e (7.4).
LC
diL v
dt (7.3)
CL
dvC i
dt (7.4)
Os dois sistemas de equações são representados na forma
matricial pelas equações (7.5) e (7.6), respectivamente.
69
0 0
0 0
L
L
C C
diL
idt
dv vC
dt
(7.5)
0 1
1 0
L
L
C C
diL
idt
dv vC
dt
(7.6)
Multiplicando-se (7.5) por D, (7.6) por (1-D) e somando-
se, obtêm-se as equações (7.7) e (7.8).
(1 )LC
diL D v
dt (7.7)
(1 )CL
dvC D i
dt (7.8)
As equações (7.7) e (7.8) representam o circuito
mostrado na Figura 7-4.
Figura 7-4. Circuito equivalente do circuito LC chaveado.
Manipulando-se a equação (7.8) obtêm-se
70
(1 )
C L
Dv i dt
C (7.9)
Substituindo-se (7.9) em (7.7) obtêm-se (7.10).
2(1 )L
L
di DL i dt
dt C (7.10)
Seja,
2(1 )
eq
CC
D (7.11)
Assim,
1L
L
eq
diL i dt
dt C (7.12)
Ou ainda,
L
eq L
diL C i dt
dt (7.13)
Portanto:
2
2L
eq L
d iL C i
dt (7.14)
A expressão (7.14) representa o circuito equivalente
mostrado na Figura 7-5.
71
Figura 7-5. Circuito equivalente final do circuito LLC chaveado.
Desse modo, podemos concluir que o chaveamento
produz um capacitor variável, dependente da razão cíclica.
Como 0 1D , então eqC C .
Encontramos assim uma maneira de obter um capacitor
cuja capacitância é maior que o valor da capacitância do
capacitor físico.
A partir da equação (7.7) é possível encontrar a equação
(7.15).
(1 )
L C
Ddi v dt
L (7.15)
Portanto,
(1 )
L C
Di v dt
L (7.16)
Substituindo-se (7.16) em (7.8) obtêm-se.
2(1 )C
C
dv DC v dt
dt L (7.17)
72
Portanto:
2
2 2(1 )C
C
d vC Lv
D dt (7.18)
Seja,
2(1 )
eq
LL
D (7.19)
Portanto:
2
2C
eq C
d vC L v
dt (7.20)
O circuito equivalente representado pela equação (7.20) é
mostrado na Figura 7-6.
Figura 7-6. Ciruito equivalente alternativo para o circuito LC chaveado.
Neste caso, podemos interpretar o efeito do chaveamento
como a modificação da indutância equivalente do circuito
original.
A pulsação do circuito chaveado é definida pela equação
(7.21).
73
2
1
1
LC
D
(7.21)
Portanto:
1 D
LC (7.22)
Seja,
1
oLC
(7.23)
Portanto,
1 oD (7.24)
A expressão mostra o efeito da razão cíclica sobre a
frequência natural do circuito.
A análise apresentada, mais uma vez, demonstra a
eficácia e a simplicidade que o método de modelo médio em
espaço de estado proporciona, na análise de circuitos elétricos
chaveados.
74
CAPÍTULO 8
CIRCUITO VLR CHAVEADO
Seja o circuito representado na Figura 8-1. O interruptor
é ideal e opera com razão cíclica D.
Figura 8-1. Circuito com resistor chaveado.
Os dois estados topológicos para os intervalos (0, DT) e
(DT, T) encontram-se representados na Figura 8-2.
Figura 8-2. Estados topologicos para um período de operação do circuito VLR
chaveado.
Os dois estágios são representados pelas equações (8.1) e
(8.2) respectivamente.
75
di
L vdt
(8.1)
( )di
L v R i tdt
(8.2)
Multiplicando-se (8.1) por D e (8.2) por (1-D), e
somando-se, obtêm-se as expressões (8.3) e (8.4).
di
D L D vdt
(8.3)
(1 ) (1 ) (1 )di
D L D v D R idt
(8.4)
Adicionando-se (8.3) e (8.4) obtêm-se (8.5).
(1 )di
L v D R idt
(8.5)
A equação (8.5) representa o circuito mostrado na Figura
8-3.
Figura 8-3. Circuito equivalente do circuito VLR chaveado.
76
A resposta a um degrau da tensão de entrada é dada pela
equação (8.6).
( ) 1 eq
t
RVi t e
R (8.6)
onde:
(1 )eqR D R (8.7)
Deve-se observar que o circuito mostrado na Figura 8-3 é
genérico, sendo valido para tensão V com qualquer forma de
onda. É também é valido tanto para operação em regime
permanente quanto para transitório.
O circuito equivalente em regime permanente para tensão
continua de entrada é mostrado na Figura 8-4.
Figura 8-4. Circuito equivalente para tensão continua.
O circuito equivalente para alimentação senoidal
encontra-se representado na Figura 8-5.
77
Figura 8-5. Circuito equivalente para tensão alternada senoidal.
A impedância Z é definida pela expressão (8.8).
(1 )Z D R j L (8.8)
Para razão cíclica D constante, o circuito resultante da
análise, mostrado na Figura 8-3, é invariante no tempo.
É possível, a partir de um ponto de operação, introduzir
pequena perturbação na razão cíclica D.
Seja a equação (8.9), obtida anteriormente.
Vamos introduzir uma perturbação muito pequena em D,
e obter a resposta no tempo.
(1 )di
L v D R idt
(8.9)
oD D D (8.10)
Oi I i (8.11)
Substituindo as equações (8.10) e (8.11) em (8.9)
obtemos a equação (8.12).
1O o O
dL I i v R D D I i
dt (8.12)
78
Desenvolvendo-se (8.12) obtêm-se (8.13).
(1 )Oo O
dI d iL L v R D D I i
dt dt (8.13)
Assim,
(1 ) (1 )Oo O o
O
dI d iL L v R D I R D i
dt dtD I R D i R
(8.14)
Seja 0D i . Assim:
(1 )o O
d iL R D i R D I
dt (8.15)
Aplicando-se a transformada de Laplace, obtêm-se:
( ) (1 ) ( ) ( )o OL s i s R D i s D s R I (8.16)
Portanto,
(1 ) ( ) ( )o OL s R D i s D s R I (8.17)
Assim:
( )
( ) (1 )O
o
R Ii s
D s s L R D (8.18)
79
Desse modo,
( )
(1 )( )O
o
RIi s
R DD ss
L
(8.19)
Seja,
( )D
D ss
(8.20)
Portanto,
( )(1 )
O
o
D R Ii s
R Ds L s
L
(8.21)
Assim,
( ) 1(1 )
t
O
o
Di t I e
D (8.22)
sendo
(1 )o
L
R D (8.23)
Mas
(1 )
o
o
VI
R D (8.24)
80
Portanto
2( ) 1
(1 )
t
o
V Di t e
R D (8.25)
A expressão (8.25) representa a resposta do circuito
diante de uma pequena perturbação na razão cíclica D , em
torno de um ponto de operação inicial, definido pela razão
cíclica inicial Do.
81
CAPÍTULO 9
MODELAGEM DO CONVERSOR BUCK
9.1 INTRODUÇÃO.
Neste capítulo, vamos empregar a técnica do modelo
médio em espaço de estado, para obter os modelos do
conversor CC-CC conhecido como conversor Buck, que
incluirão circuito equivalente, análise em regime permanente e
funções de transferência para o controle da corrente do indutor
e da tensão do capacitor ou da carga.
Seja o conversor Buck ideal alimentando carga resistiva,
mostrado na Figura 9-1.
Figura 9-1. Conversor Buck ideal.
O mesmo circuito com a introdução de algumas não
idealidades encontra-se representado na Figura 9-2.
Figura 9-2. Conversor Buck com componentes não ideais.
82
As não idealidades são as seguintes:
Resistência do interruptor S
Queda de tensão no diodo
Resistência do indutor L
S
D
L
R
V
R
Vamos estudar o caso em que o conversor esteja
operando em condução continua e frequência de chaveamento
constante.
Seja D a razão cíclica. Os dois circuitos equivalentes para
os intervalos de tempo (0, DT) e (DT, T) encontram-se
representados na Figura 9-3.
Figura 9-3. Estados topológicos do conversor Buck, para os intervalos de tempo
(1,DT) e (DT,T), respectivamente.
9.2 EQUACIONAMENTO DA PRIMEIRA ETAPA DE
OPERAÇÃO.
O primeiro estágio topológico mostrado na Figura 9-3(a)
é representado pelas seguintes equações:
83
1L
S L L L C
diL R i R i v v
dt (9.1)
C CL
o
dv vC i
dt R (9.2)
A representação matricial das equações (9.1) e (9.2) é
dada pela equação (9.3).
1
1
11 0
LS L
L
C Co
di R RLi vdt
dv vC R
dt
(9.3)
Multiplicando todos os termos da equação (9.3) por D
obtemos:
11
0
LS L
L
CC
o
diD R R DD L
i D vdtD
D vdvD C R
dt
(9.4)
9.3 EQUACIONAMENTO DA SEGUNDA ETAPA DE
OPERAÇÃO.
A segunda etapa operação, mostrada na Figura 9-3(b), é
representada pelas equações (9.5) e (9.6).
LL L C D
diL R i v v
dt (9.5)
84
C CL
o
dv vC i
dt R (9.6)
As equações (9.5) e (9.6) representadas na forma
matricial são dadas pela equação (9.7)
1
11 0
LL
L D
C Co
di RLi vdt
dv vC R
dt
(9.7)
Multiplicando-se os termos da equação (9.7) por (1-D)
obtemos a equação (9.8).
(1 ) (1 )(1 )
(1 )(1 )
(1 )
(1 )
0
LL
L
C Co
D
di D R DD Lidt
DDdv v
D C Rdt
D v
(9.8)
Vamos então somar a equação (9.7) com a equação (9.8).
Como,
(1 )
(1 )
L LL
CC C
di didiD L LD L
dt dtdt
dvdv dvD CD C C
dtdt dt
(9.9)
85
Obtêm-se,
1
(1 ) (1 )
(1 )(1 )
(1 )
0 0
LLS L
L
CCoo
D
di D R DD R R DLidt
DDDD vdv
C RRdt
D v D v
(9.10)
Manipulando-se a equação (9.10) obtêm-se (9.11).
1
1
11
(1 )
0
LS L
L
CCo
D
di D R RLidt
vdvC R
dt
D v D v
(9.11)
Pode-se ainda representar o modelo por duas equações de
primeira ordem, ou seja:
1 (1 )LS L L C D
diL D R R i v D v D v
dt (9.12)
( )C C
L
o
dv t vC i
dt R (9.13)
86
As equações (9.12) e (9.13) representam o circuito
mostrado na Figura 9-4,
Figura 9-4. Circuito medio equivalente do conversor buck.
Onde,
1 (1 ) DV D v D v (9.14)
S LR D R R (9.15)
O circuito representado na Figura 9-4, obtido com o
emprego da técnica de modelo médio em espaço de estados, é
válido para grandezas médias quase instantâneas, e
consequentemente também para operação em regime
permanente.
9.4 ANALISE EM REGIME PERMANENTE.
Em regime permanente, 0Ldi
dt e 0Cdv
dt. Desse modo,
o circuito equivalente para operação em regime permanente
para valores médios encontra-se representado na Figura 9-5.
87
Figura 9-5. Circuito equivalente para operação em regime permanente.
A corrente oI é definida pela expressão (9.16).
1 (1 ) Do
S L o
D v D vI
D R R R (9.16)
Desse modo,
o o oV R I (9.17)
e
1 (1 )o Do
S L o
R D v D vV
D R R R (9.18)
Interessa-nos obter o ganho estático G, definido pela
expressão (9.19).
1
oVG
V (9.19)
Manipulando-se algebricamente a equação (9.18), obtêm-
se a equação (9.20).
88
1
(1 ) Do
S L o
vR D D
vG
D R R R (9.20)
Para o conversor ideal, 0.S L DR R v Portando, a partir
da equação (9.20) obtêm-se a equação (9.21).
G D (9.21)
A expressão (9.20) representa o ganho em função da
resistência de carga oR . Muitas vezes é preferível conhecer o
ganho estático em função da corrente de carga. Vamos então
obter tal expressão, como segue.
Sejam as seguintes definições:
oo
o
VR
I (9.22)
1
S oo
R II
V (9.23)
LL
S
RR
R (9.24)
1
DD
VV
V (9.25)
Substituindo-se (9.22), (9.23), (9.24) e (9.25) em (9.20),
obtêm-se a expressão (9.26).
89
(1 ) (1 )D L oG D D v D R I (9.26)
A expressão (9.26) representa a característica
normalizada do conversor Buck não ideal em regime
permanente.
Para o conversor ideal 0DV e 0oI (pois 0SR ).
Portanto,
G D (9.27)
A equação (9.26) claramente indica que no conversor real
a tensão de saída varia com a corrente de carga, mesmo para
tensão de entrada constante. Por isso é necessário o emprego de
controle da tensão em malha fechada.
9.5 MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA
CORRENTE.
Seja o sistema representado na Figura 9-6.
Figura 9-6. Controle da corrente do coversor buck.
O capacitor C e a resistência de carga Ro foram
substituídos por uma fonte de tensão ideal 𝑉0. Deseja-se
90
controlar o valor da corrente IL. A variável de entrada é a razão
cíclica D.
Desejamos então obter a função de transferência.
( )( )
( )LI s
F SD s
(9.28)
Seja oV o valor da tensão da fonte utilizada como carga.
Portanto C oV V e 0CdV
dt. Com essas restrições, a partir
das equações (9.12) e (9.13) obtêm-se a equação (9.29).
1 (1 )LS L L C D
diL D R R i v D v D v
dt (9.29)
Como D é variável no tempo, estamos diante de uma
equação diferencial linear com coeficientes variáveis. Para que
se possa obter a função de transferência desejada, deve-se obter
uma equação diferencial linear com coeficientes constantes.
Vamos então introduzir uma pequena perturbação na
razão cíclica D, definida pela equação (9.30), e obter a
resposta na corrente.
oD D D (9.30)
Desse modo,
L Lo LI I i (9.31)
91
Portanto:
1
1
(1 )
( )
Lo LS L o S L L
L o D
D
dI d iL L D R R I D R R i
dt dt
D R I D v D v
D v v
(9.32)
admitindo-se que 0Loi D .
Manipulando-se a equação (9.32) obtêm-se a expressão
(9.33).
1( )LS L L S o D
d iL D R R i D R I D v v
dt (9.33)
Aplicando-se a transformada de Laplace em todos os
termos, obtêm-se.
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
L S L L S o
D
s L i s D R R i s R I D s
v v D s (9.34)
Desse modo,
1( ) ( )S L L D S os L D R R i s v v R I D s (9.35)
Portanto:
1( )
( )D S oL
S L
v v R Ii s
D s s L D R R (9.36)
92
Mas,
1 D S o oD v v D R I v (9.37)
Portanto:
1o
D S o
Vv v R I
D (9.38)
Substituindo (9.37) em (9.36) obtêm-se (9.39).
( )
( )oL
S L
Vi s
D s D s L D R R (9.39)
Ou ainda,
( )
( )oL
S L
Vi s
D s D R RL D s
L
(9.40)
Seja,
S L
L
D R R (9.41)
93
Portanto,
( )
1( )oL Vi s
D sL D s
(9.42)
No caso de um conversor ideal a equação se torna
( )
( )oL Vi s
D s L D s (9.43)
Mas 1oV
VD
. Então,
1( )
( )Li s V
D s L s (9.44)
que é uma expressão comumente encontrada na literatura.
9.6 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA
O CONTROLE DA TENSÃO DE CARGA.
Foi demonstrado que os dois estágios topológicos para os
intervalos 0, sDT e , s sDT T são representados pelas
equações (9.45) e (9.46), respectivamente.
1 1X A X B U (9.45)
2 2X A X B U (9.46)
94
Foi também obtida à expressão (9.47).
1 2 1 21 1X A D A D X B D B D U (9.47)
Vamos adotar as seguintes definições:
x X x (9.48)
d D d (9.49)
onde X representa o vetor de estados e D representa a razão
cíclica, para um ponto de operação. As variáveis x e drepresentam pequenas alterações alternadas do vetor de
estados e da razão cíclica em torno desse ponto de operação.
Portanto:
x X x (9.50)
Mas 0X . Portanto:
x x (9.51)
Vamos substituir as expressões (9.48), (9.49) e (9.50) na
expressão geral (9.47), resultando na expressão (9.52).
1 2
1 2
1
1
X x A D d A D d X x
B D d B D d U (9.52)
Vamos desenvolver cada membro separadamente. Assim.
95
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
1
A D d A D d X x
A D A D X A A d X
A D A D x A A d x
(9.53)
Mas 1 2 0A A d x
Portanto,
1 2
1 2
1
1
X A D A D X
B D B D U (9.54)
Como 0X , pode-se escrever a expressão (9.55).
1 2
1 2
1
1 0
A D A D X
B D B D U (9.55)
Vamos desenvolver o segundo termo da equação (9.52),
definida pela expressão (9.56).
1 2 1P B D d B D d U (9.56)
Desse modo,
1 1 2 21P B D B d B D B d U (9.57)
96
Portanto,
1 2
1 2
1P B D B D U
B d B d U (9.58)
Combinando-se as expressões (9.52), (9.55) e (9.58)
obtêm-se (9.59).
1 2
1 2 1 2
1x A D A D x
A A X d B B U d (9.59)
A expressão (9.59) representa um sistema de equações
diferenciais, lineares e invariantes no tempo de 1ª ordem e
descreve o comportamento do conversor para pequenas
componentes alternadas em torno do ponto de operação
definido por X e D .
Vamos em seguida utilizar essa expressão para a
obtenção da função de transferência que estamos procurando.
Foram obtidas, no inicio do capitulo, as expressões (9.60)
e (9.61).
1
1
1 10
S L
LL
CC
o
R Rv
ii L LL
vvC R C
(9.60)
97
1(1 )
1 10
LD
LL
CC
o
RD v
ii L LL
vvC R C
(9.61)
Vamos admitir, para simplificar nossa analise, que
0D SV R .
Desse modo.
1 2
1
1 1
L
o
R
L LA A
C R C
(9.62)
2 0B (9.63)
1
1
0
v
B L (9.64)
Portanto, substituindo-se as equações (9.62), (9.63) e
(9.64) em (9.59) obtêm-se (9.65).
1 1x A x B U d (9.65)
Aplicando-se a transformada de Laplace em (9.65)
obtêm-se a expressão (9.66).
98
1 1( ) ( ) ( )s x s A x s B U d s (9.66)
onde é a matriz identidade. Portanto:
1 1( ) ( )x s s A B U d s (9.67)
ou ainda,
1
1 1( ) ( )x s s A B U d s (9.68)
Mas,
1
1
1 1
L
o
Rs
L Ls A
sC R C
(9.69)
Portanto:
1
1
(1 )1
( )( )
o o
o o L
L C R s C Rs A
L R R C R L sM s (9.70)
Sendo,
2
1( )
o L o L o
M sR R L s C R R s L C R s
(9.71)
99
e
( )
( )
0
v d s
B U d s L (9.72)
Com as expressões (9.70) e (9.72) obtêm-se (9.73).
(1 ) ( )( ) 1
( )( ) ( )
oL
C o
V C R s d si s
M sV s V R d s (9.73)
Portanto:
( )
( )( )
oC
V R d sV s
M s (9.74)
Desse modo,
( )
( ) ( )C oV s R
Vd s M s
(9.75)
2
1
( ) 1 1
o
o LL
o o
R
M s R RRL C s s
C R L L C R
(9.76)
Seja o LR R .
100
Portanto:
2
( )
( ) 1 1
C
L
o
V s V
d s RL C s s
C R L L C
(9.77)
Sejam as seguintes definições:
1o
L C (9.78)
1
2
L
o
o
R
C R L (9.79)
Assim:
2
2 2
( )
( ) 2C o
o o
V s V
d s s s (9.80)
A função de transferência (9.80) relaciona a resposta na
tensão de carga, causada por uma pequena perturbação
alternada da razão cíclica em torno de um ponto de operação.
Como o conversor Buck com interruptores ideais, do
ponto de vista dos valores médios quase instantâneos,
comporta-se linearmente, as condições iniciais não aparecem
na equação final obtida.
O mesmo resultado seria obtido através da análise do
circuito equivalente deduzido anteriormente e reproduzido na
Figura 9-7.
101
Figura 9-7. Circuito equivalente do conversor Buck.
Se 0D SV R , obtêm-se o circuito equivalente mostrado
na Figura 9-8.
Devido à própria natureza do conversor Buck, nenhum
dos parâmetros do circuito equivalente simplificado depende da
razão cíclica, o que não acontece com muitos outros
conversores.
Figura 9-8. Circuito equivalente do conversor Buck para 0D SV R .
Com o emprego da equação (9.80), pode-se definir a
estrutura e os parâmetros do controlador da tensão de saída ou
da carga.
102
9.7 EXERCÍCIO PROPOSTO.
O leitor é convidado a obter a função de transferência
( )
( )oV s
d s, para o conversor Buck representado na Figura 9-9, onde
é adicionada a resistência serie equivalente do capacitor de
filtragem, além das demais não idealidades já mencionadas.
Figura 9-9. Conversor Buck não ideal com a inclusão da resistência do
capacitor.
O leitor deverá concluir que a resistência RC do capacitor
introduzirá um zero na função de transferência F(s).
103
CAPÍTULO 10
MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST
10.1 INTRODUÇÃO.
Neste capítulo, iremos empregar a técnica do modelo
médio em espaço de estados, para obter os circuitos
equivalentes, ganho estático e funções de transferência do
conversor Boost, representado na Figura 10-1.
Figura 10-1. Conversor Boost.
Na Figura 10-1, RL representa a resistência do indutor L,
Rs representa a resistência do interruptor S e VD representa a
queda de tensão no diodo D.
Vamos analisar o conversor operando em condução
contínua (MCC). Durante um ciclo de operação o conversor
assume dois estados topológicos, representados na Figura 10-2
para os intervalos de tempo (0, DTS) e (DTS, TS),
respectivamente.
104
Figura 10-2. Estados topológicos do conversor Boost.
Durante o primeiro intervalo de tempo, representado na
Figura 10-2(a), o comportamento do circuito é descrito pelas
equações (10.1) e (10.2).
1L
L s L
diL R R i V
dt (10.1)
C C
o
dv VC
dt R (10.2)
As mesmas equações, na forma matricial, são
representadas pela expressão (10.3).
1
10
100
L s
LL
CC
o
R R
ii LVL
VV
C R
(10.3)
105
O estágio topológico mostrado na Figura 10-2(b) é
descrito pelas equações (10.4) e (10.5).
1L
L L D C
diL R i V V V
dt (10.4)
C CL
o
dv VC i
dt R (10.5)
Portanto:
1 CL DL L
vR V Vi i
L L L (10.6)
CLC
o
viv
C C R (10.7)
com a representação matricial dada pela expressão (10.8).
1
11
1 10
L
LLD
CC
o
R
ii L LV VL
vvC C R
(10.8)
Sejam as seguintes definições:
L
C
ix
v (10.9)
106
L
C
ix
v (10.10)
1
0
10
L s
o
R R
LA
C R
(10.11)
2
1
1 1
L
o
R
L LA
C C R
(10.12)
1
10
0 0
B L (10.13)
2
1 1
0 0
B L L (10.14)
1
D
VU
V (10.15)
Podemos então escrever para os dois estágios
topológicos:
1 1x A x B U (10.16)
2 2x A x B U (10.17)
107
Multiplicando a equação (10.16) por D e (10.17) por
(1 -D), obtemos as equações (10.18) e (10.19),
respectivamente.
1 1D x A D x B D U (10.18)
2 21 1 1D x A D x B D U (10.19)
Adicionando-se as duas equações, obtêm-se:
1 2
1 2
1
1
x A D A D x
B D B D U (10.20)
Seja,
1 2 1A A D A D (10.21)
1 2 1B B D B D (10.22)
Portanto:
x A x B U (10.23)
A equação na forma matricial (10.23), formada por duas
equações diferenciais lineares de primeira ordem, descreve o
comportamento do conversor, para grandezas médias quase
instantâneas.
108
10.2 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM
REGIME PERMANENTE.
Em regime permanente, 0x . Portanto,
0 A x B U (10.24)
Vamos inicialmente obter a matriz A.
1 2 1A A D A D (10.25)
Portanto,
1 10
1 10
LL s
o o
R D DD R R
L LLA
D DD
CR C CR
(10.26)
Assim,
1
1 1
s L
o
DD R R
L L LA
D
C C R
(10.27)
Em seguida vamos obter a matriz B.
1 2 1B B D B D (10.28)
109
110
0 0 0 0
DD DB L L L (10.29)
Desse modo,
11
0 0
D
B L L (10.30)
Substituindo as expressões (10.27) e (10.30) em (10.24),
obtemos (10.31).
1
1
0
1 10
11
0 0
s L
L
C
o
D
D R R D
iL LD v
C C R
DV
L LV
(10.31)
Manipulando-se adequadamente a expressão (10.32),
obtêm-se as expressões (10.32) e (10.33).
11 1
0 s LL C D
D DD R R Vi v V
L L L L (10.32)
10 C
L
o
vDi
C C R (10.33)
110
Ou ainda:
1 1 1D s L L CV D V D R R i D v (10.34)
0 1C o Lv R D i (10.35)
As equações (10.34) e (10.35) representam o circuito
equivalente mostrado na Figura 10-3.
Figura 10-3. Circuito equivalente do conversor Boost.
Com as expressões (10.34) e (10.35) obtêm-se a
expressão (10.36), que representa o conversor boost operando
em regime permanente.
2
1 01 1D s L L LV D V D R R i R D i (10.36)
A equação (10.36) representa o circuito equivalente
mostrado na Figura 10-4.
Pode-se também obter um circuito equivalente referido
para o lado da carga. Vamos dividir a equação (10.36) por
(1- D), resultando na equação (10.37).
111
Figura 10-4. Circuito equivalente do conversor Boost.
10 1
1 1s L
D L L
D R RVV i R D i
D D (10.37)
ou ainda,
102
1 11 1
s LD L L
DR RVV D i R D i
D D (10.38)
A equação (10.38) representa o circuito equivalente
mostrado na Figura 10-5.
Figura 10-5. Circuito equivalente do conversor Boost visto pelo lado da carga.
112
Se considerarmos o conversor ideal,
0D S LV R R
Desse modo,
1
(1 )o
VV
D (10.39)
ou ainda,
1
1
(1 )oV
V D (10.40)
que é a expressão clássica do ganho estático do conversor boost
ideal.
Vamos em seguida obter a expressão do ganho do
conversor a partir da análise do circuito equivalente em regime
permanente mostrado na Figura 10-5.
Por inspeção, pode-se obter:
1
2
(1 )
(1 )
oo D
S Lo
RVV V
D R RDR
D
(10.41)
Ou ainda,
2
21 1
(1 )1
(1 ) (1 )o oD
S L o
V R DV
V D V D R R R D (10.42)
113
Na Figura 10-6 são representadas curvas do ganho do
conversor boost em função da razão cíclica, tomando oR como
parâmetro.
Foram adotados os seguintes parâmetros a título de
exemplo:
1
1 ; 1 ;
0,5 ; 100 .D L
S
V V R
R V V
Foram traçadas duas curvas, para 100oR e 𝑅0 =
50Ω, respectivamente. Verifica-se que a curva do ganho, na
presença das não idealidades dos componentes do conversor,
afasta-se muito da curva ideal, para 0,5D .
Figura 10-6. Ganho estático do conversor Boost em função da razão ciclica.
114
10.3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA
O CONTROLE DA CORRENTE
O modelo completo, na forma de equações de estados,
obtido anteriormente é:
x A x B u (10.43)
Fazendo as devidas substituições, com o emprego dos
resultados anteriormente obtidos, encontramos a expressão
(10.44).
1
(1 )
1 1
(1 )
0
S L
LL
CC
o
D
D R R Dii L L
D vv
C C R
V D V
L
(10.44)
Normalmente a dinâmica da corrente no indutor é muito
mais rápida que a dinâmica da tensão no capacitor. Por isso,
para a obtenção da função de transferência para o controle da
corrente vamos admitir que C oV V , portanto com valor
constante.
Consequentemente, dv
0C
dt.
Desse modo, a expressão (10.44), adquire a forma da
equação (10.45).
115
1(1 ) (1 )LS L L o D
diL DR R i D V V D V
dt (10.45)
A equação (10.45) representa o circuito equivalente
mostrado na Figura 10-7.
Figura 10-7. Circuito equivalente do conversor Boost para tensão constante na
carga.
Vamos introduzir componentes alternadas de pequenas
amplitudes d e Li em torno do ponto de operação definido por
Do e IL. Desse modo:
L L Li I i (10.46)
oD D d (10.47)
Substituindo as equações (10.46) e (10.47) em (10.45)
obtemos as expressão (10.48).
116
(1 )
(1 )
L Lo S L L S L
o S L L S L C
C D D
di dIL L D R R I d R I
dt dt
D R R i d R i D V
d V D V d V
(10.48)
Mas,
0S Ld R i (10.49)
0LdIL
dt (10.50)
e
1(1 ) (1 ) 0o S L L o CD R R I D V D V V (10.51)
Portanto:
Lo S L L o D S L
diL D R R i V V d d R I
dt (10.52)
Aplicando a transformada de Laplace obtemos:
( ) ( )o S L L o D S LsL D R R i s V V R I d s (10.53)
Desse modo:
( )
( )o D S LL
o S L
V V R Ii s
d s s L D R R (10.54)
117
Para o caso particular de um conversor ideal,
0D S LV R R . Portanto,
( )
( )oL Vi s
d s s L (10.55)
que é uma expressão muito conhecida e normalmente
empregada na definição da estrutura e dos parâmetros dos
controladores de corrente do conversor Boost.
10.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA
O CONTROLE DE TENSÃO.
Seja a Figura 10-8, na qual se encontra incluída uma
malha de controle da tensão da carga do conversor Boost.
Figura 10-8. Conversor Boost com controle de tensão.
Nosso objetivo é controlar a tensão de saída ov do
conversor. Necessitamos, para definir a estrutura e os
parâmetros do controlador, uma função de transferência que
118
relacione a razão cíclica, que é variável de entrada, com a
tensão de carga.
Essa função ( )F s é definida pela expressão (10.56).
( )
( )( )
ov sF s
d s (10.56)
( )d s perturbação da razão cíclica, em torno de um
ponto de operação.
ov resposta da tensão de carga, na forma de pequena
componente alternada em torno de um ponto de operação.
Foi obtida anteriormente a equação (10.57).
1 2
1 2 1 2
1x A D A D x
A A X B B U d (10.57)
Seja
1 2 1A A D A D (10.58)
Portanto:
1 2 1 2x A x A A X B B U d (10.59)
Aplicando-se a transformada de Laplace obtêm-se a
expressão (10.60).
1 2 1 2( ) ( ) ( )sIx s Ax s A A X B B U d s (10.60)
119
Portanto,
1
1 2 1 2( ) ( )x s sI A A A X B B U d s (10.61)
Desse modo,
1
1 2 1 2
( )
( )
x ss I A A A X B B U
d s (10.62)
onde
( )
( ) ( )
( )( )
( )
L
c
i s
x s d s
v sd s
d s
(10.63)
Definindo:
1
( )( )
( )Li s
F sd s
(10.64)
2
( )( )
( )cv s
F sd s
(10.65)
Obtêm-se
1
2
( )( )
( )( )
F sx s
F sd s (10.66)
120
A matriz A , já obtida anteriormente, é representada a
seguir, pela expressão (10.67).
1
1 1
s L
o
D R R D
L LA
D
C C R
(10.67)
Portanto:
1
1 1
s L
o
DD R Rs
L Ls I A
Ds
C C R
(10.68)
1 2
1
10
sR
L LA A
C
(10.69)
1
1
10
0 0 D
VB U L
V (10.70)
1
2
1 1
0 0 D
VB U L L
V (10.71)
121
Portanto,
1 2
0
DV
B B U L (10.72)
A matriz X representa os estados iniciais, e é definida
pela expressão (10.73).
Lo
Co
IX
V (10.73)
Portando:
1 2
1
10
s
Lo
Co
RIL LA A XV
C
(10.74)
Ou,
1 2
s Lo Co
Lo
R I V
L LA A XI
C
(10.75)
122
Desse modo:
1 2 1 2
s Lo Co D
Lo
R I V V
L L LA A X B B UI
C
(10.76)
Substituindo as expressões (10.76) e (10.68) na expressão
(10.62) , obtemos (10.77).
1
1
2
1
( )
1( ) 1
s L s Lo Co D
Lo
o
DDR R R I V Vs
F s L L L L LD IF s
sCC CR
(10.77)
Nosso objetivo é encontrar a função 2( )F s . É necessário
para isso inverter a primeira matriz e a multiplicarmos pela
segunda.
Para tornar menos penosa tal manipulação algébrica,
vamos admitir que 0D SV R , ou seja, estamos considerando
os interruptores ideais e concentrando todas as perdas na
resistência LR do indutor.
Desse modo,
1
2
( ) 1
( ) 1( )
o Lo o o o o o o
Co L o
F s V I R DI R CR V s R
F s D V R sL IM s (10.78)
Onde:
2 2( ) (1 ) ( )L o o L oM s R D R L CR R s R CLs (10.79)
123
Portanto:
2 2
2
1( )
(1 ) ( )Co L o
L o o L
o o
D V R sL IF s
R D R L CR Rs CLs
R R
(10.80)
que é a expressão que estávamos procurando.
Em muitas aplicações pode-se ignorar o efeito da
resistência do indutor e assumir que 0LR . Sob essa hipótese,
a partir da expressão (10.80) encontramos a expressão (10.81).
2 2
1( )
( ) (1 )
o Co Lo
o
D V s L Iv s
Ld s C L s s DR
(10.81)
Os valores iniciais CoV , D e LoI não são independentes
entre si, ou seja,
(1 )
CoLo
o
VI
D R (10.82)
Substituindo a expressão (10.82) em (10.81) obtemos
(10.83).
2 2
1(1 )( )
( ) (1 )
CoCo
o o
o
s L VD V
D Rv s
Ld s C L s s DR
(10.83)
124
Portanto,
2
2 2
(1 )1
(1 )( )
( ) (1 )
CoCo
o o
o
s L V DD V
D Rv s
Ld s C L s s DR
(10.84)
Dividindo todos os termos da equação (10.84) por
2(1 )D obtemos (10.85).
2
2
2 2
11 (1 )( )
( ) 1(1 ) (1 )
Co
o o
o
V s L
D R Dv s
C L Ld s s sD R D
(10.85)
Mas,
121 1
CoV V
D D (10.86)
Portanto:
2
12
2
2 2
1(1 )( )
( ) 11
(1 ) (1 )
o o
o
sL
R DVv s
d s CL LDs s
D R D
(10.87)
125
Seja
2(1 )
eq
LL
D (10.88)
2 1o
eqC L (10.89)
o eq
R
L (10.90)
Portanto:
2
12 2
2
1(1 )( )
( ) 11
o o
o o
s L
R DVv s
d s s sD (10.91)
Uma importante característica do conversor Boost
aparece na equação (10.91), ou seja, a existência de um zero no
semiplano direito, característica de sistemas de fase não
mínima. De acordo com a expressão (10.91), a pulsação de
ocorrência do zero mencionado é representada pela expressão
(10.92).
2(1 )o
z
R DW
L (10.92)
126
Portanto,
2(1 )
2o
z
R Df
L (10.93)
Ou ainda,
2
oz
eq
Rf
L (10.94)
onde zf representa a frequência de ocorrência do zero.
Recomenda-se que o leitor, tendo a compreensão
adequada do funcionamento do conversor, interprete
fisicamente a origem desse zero no semiplano direito.
Para situações em que 0LR , a função de transferência
em questão, tem a forma da expressão (10.95).
2
2
1( )
( )1
o Z
o o
s
v sG
d s s s (10.95)
Onde,
12
1
VG
D (10.96)
2(1 ) o L
z
D R R
L (10.97)
127
2
11
1
Lo
o
D R
L C D R (10.98)
2(1 )
( )o L
o o L
D R R
C R R L (10.99)
Desse modo a equação (10.91) torna-se um caso
particular da equação (10.95) quando 0LR .
Recomenda-se que o leitor deduza a expressão (10.95) a
titulo de exercício.
10.5 COMENTÁRIOS ADICIONAIS SOBRE A EXISTÊNCIA
DE UM ZERO NO SEMIPLANO DIREITO.
Os resultados obtidos indicam a existência de um zero no
semiplano direito cuja frequência é dada pela expressão
(10.100).
2
oz
eq
Rf
L (10.100)
Esta expressão mostra que para uma resistência de carga
dada, a frequência zf diminui com o aumento da indutância
equivalente eqL .
Então, o impacto desse zero, tanto na dinâmica, quanto
na estabilidade, é maior para valores elevados de L .
Sejam os seguintes parâmetros a título de exemplo.
128
1
2
100
0,5
50
20
200
8001
102
o
S
eq
oz
eq
V V
D
R
f kHz
L mH
LL mH
D
Rf Hz
L
Seja 0,05d (degrau na razão cíclica).
O resultado de uma simulação é mostrado na Figura 10-9.
No instante 0,3t s , o degrau de razão cíclica é aplicado.
Verifica-se que a corrente no indutor L começa a crescer
imediatamente.
A tensão de saída, porém, primeiramente decresce, antes
de iniciar seu crescimento. Esse crescimento, que neste caso
particular significativo, é causado pelo zero no semiplano
direito, que neste exemplo ocorre na frequência de 10Hz .
10.6 EXERCÍCIO PROPOSTO.
O leitor é convidado a modelar, empregando a técnica de
espaço de estados, o conversor boost representado na Figura
10-10, no qual é introduzida a resistência CR , série equivalente
do capacitor. Poderá ser constatado através da analise, que CR
introduz um zero na função de transferência ( )
( )
v s
d s, porem no
semiplano esquerdo. Esse zero, porém, normalmente ocorre
129
com frequência alta e tem pouco efeito na estabilidade e na
dinâmica do conversor, podendo quase sempre ser ignorado.
Figura 10-9. Resposta transitória de uma perturbação na razão cíclica.
Figura 10-10 Conversor Boost com a inclusão da resistência do capacitor.
130
CAPÍTULO 11
MODELAGEM DO CONVERSOR
BUCK – BOOST
11.1 INTRODUÇÃO.
Neste capitulo, iremos empregar a técnica do modelo
médio em espaço de estados, para modelar o conversor CC-CC
não isolado, abaixador-elevador, conhecido como conversor
buck-boost
Seu circuito ideal, portanto sem nenhuma perda,
encontra-se representado na Figura 11-1.
Figura 11-1. Conversor buck-boost ideal.
O mesmo circuito com a inclusão de algumas não
idealidades encontra-se representado na Figura 11-2.
131
Figura 11-2. Conversor buck-boost com não idealidades.
Os dois estados topológicos para os intervalos de tempo
(0, )SDT e ( , )S SDT T , para a operação em condução continua,
encontram-se representados na Figura 11-3.
Figura 11-3. Estágios topológicos do conversor Buck-boost operando em
condução continua.
132
11.2 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES GENÉRICAS.
Durante o intervalo de tempo (0, )SDT
o conversor é
descrito pelas expressões (11.1) e (11.2).
1( )Ls L L
diL R R i V
dt (11.1)
C C
o
dv VC
dt R (11.2)
Durante o intervalo de tempo ( , )S SDT T , o comportamento
do circuito é representado pelas expressões (11.3) e (11.4).
Ls L C D
diL R i V V
dt (11.3)
C CL
o
dv VC i
dt R (11.4)
Vamos reescrever os dois sistemas de equações
diferenciais lineares de primeira ordem representando-os na
forma matricial, de acordo com as expressões (11.5) e (11.6).
1
( )0
1 00
s L
LL
CC
o
R R
i Vi L
VvC R
(11.5)
133
1
1 1 0
L
L DL
CC
o
R
i Vi L L
VvC C R
(11.6)
Podemos representar estas equações diferenciais da
forma compacta, de acordo com as equações (11.7) e (11.8).
1 1x A x B u (11.7)
2 2x A x B u (11.8)
onde
1
( )0
10
s L
o
R R
LA
C R
(11.9)
2
1
1 1
L
o
R
L LA
C C R
(11.10)
1
1
1 0
0 0 D
VB u
V (11.11)
1
2
0 1
0 0 D
VB u
V (11.12)
134
L
C
ix
v (11.13)
L
C
ix
v (11.14)
Seja a expressão (11.15), geral, já definida em capítulos
anteriores.
1 2 1 21 1x A D A D x B D B D u (11.15)
ou ainda
x A x B u (11.16)
onde
1 2 1A A D A D (11.17)
1 2 1B B D B D (11.18)
Com o emprego da equação (11.17) obtemos a equação
(11.19).
( ) (1 )
(1 ) 1
s L
o
D R R D
L LA
D
C C R
(11.19)
135
Com o emprego da equação (11.18) obtemos a equação
(11.20).
(1 )
0 0
D DB (11.20)
Portanto,
1
( ) (1 )
(1 ) 1
(1 )
0 0
s L
LL
CC
o
D
D R R D
ii L LD Vv
C C R
D D V
V
(11.21)
11.3 ANALISE EM REGIME PERMANENTE.
Em regime permanente, 0L ci v . Portanto, a partir da
expressão (11.21) obtêm-se:
1
0 ( ) 1
1
s L L C
D
D R R i V D
V D V D (11.22)
0 1 CL
o
VD i
R (11.23)
Rearranjando-se as equações (11.22) e (11.23) obtêm-se:
136
1 1 ( ) 1D s L L CV D V D D R R i V D (11.24)
1C o LV R D i (11.25)
As equações (11.24) e (11.25) representam o circuito
equivalente mostrado na Figura 11-4.
Figura 11-4. Circuito equivalente para o conversor buck-boost em regime
permanente.
Manipulando-se adequadamente as expressões (11.24) e
(11.25) obtêm-se a equação (11.26).
2
1 1 ( ) 1D s L L o LV D V D DR R i R D i (11.26)
Portanto:
2
1 1 1D s L o LV D V D D R R R D i (11.27)
A equação (11.27) representa o circuito equivalente
mostrado na Figura 11-5.
137
Figura 11-5. Circuito equivalente do conversor Buck-boost em regime
permanente.
A partir da Figura 11-5 obtêm-se:
1
2
1
1
DL
s L o
D V D VI
D R R R D (11.28)
1o LI D I (11.29)
1
2
1 1
1
D
o
s L o
D D V D VI
D R R R D (11.30)
Como
o o oV R I (11.31)
obtêm-se
1
2
1 1
1
o D
o
s L o
R D D V D VV
D R R R D (11.32)
138
Portanto:
2
1
1 1
1
o Do
s L o
R D D D VV
V D R R R D (11.33)
onde
1
DD
VV
V (11.34)
Para o conversor ideal 0S L DR R V . Portanto:
1 1
oV D
V D (11.35)
que é a expressão mais difundida para o cálculo do ganho do
conversor, válida para o conversor ideal ou sem perdas.
O circuito mostrado na Figura 11-5 é referido para o lado
da fonte de entrada. É possível, e muitas vezes conveniente,
referi-lo circuito para o lado da carga.
Vamos retomar a expressão (11.27), reescrita a seguir.
2
1 1 1D s L o LV D V D D R R R D I (11.36)
Com o rearranjo adequado obtemos:
12 2
11 1 1
s LD o L
DRV D RV R I D
D D D (11.37)
139
A equação (11.37) representa o circuito mostrado na
Figura 11-6.
Figura 11-6. Circuito equivalente do conversor buck-boost em regime permante.
O circuito equivalente obtido evidencia que se
0D S LV R R ,
1 1
oV D
V D (11.38)
Em um conversor ideal, o ganho depende apenas da razão
cíclica. Em um conversor real, ele depende da razão cíclica e
da resistência de carga.
A título de exemplo, na Figura 11-7, são representadas
curvas de ganho em função de D, para diferentes valores de
resistência de carga. Foram empregados os seguintes
paramentos:
11 ; 100
0,5 ; 1D
S L
V V V V
R R
Para o traçado das curvas foi empregada a equação
(11.33).
140
Figura 11-7. Ganho estático do conversor buck-boost em função de D.
11.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE
DA CORRENTE.
Vamos admitir que a dinâmica da corrente no indutor L
seja muito mais rápida que a dinâmica da tensão de saída, ou
do capacitor de filtragem associado em paralelo com a
resistência de carga.
Podemos então admitir que a tensão VC seja constante,
para a obtenção da função de transferência que relaciona a
corrente no indutor com a razão cíclica.
Portanto, 0CdV
dt. Seja C oV V . Então, a partir da
equação (11.21) obtemos:
1
( ) 1
1
Ls L L o
D
diL DR R i D V
dt
V D V D
(11.39)
141
Portanto:
1( ) 1 1Ls L L o D
diL DR R i D V V D V D
dt (11.40)
Seja,
d D d (11.41)
L L Li I i (11.42)
Substituindo as expressões (11.41) e (11.42) em (11.40)
obtemos:
11 1
L Ls L L L
o D
dI diL L D d R R I i
dt dt
D d V D d V D d V
(11.43)
Assim,
1 1
1
1
L Ls L L s L L
s L s L o o
D D
dI diL L D R R I D R R i
dt dt
d R I d R i D V d V
D V d V D V d V
(11.44)
Seja 0s Ld R i . Portanto:
1L
s L L s L o D
diL DR R i dR I dV V V d
dt (11.45)
142
Aplicando a transformada de Laplace obtemos:
1( ) ( ) ( )L s L L o D s LsLi s DR R i s V V V R I d s (11.46)
Então,
1( ) ( )s L L o D s LsL DR R i s V V V R I d s (11.47)
Ou ainda,
1( )
( )o D s LL
s L
V V V R Ii s
d s s L D R R (11.48)
Para o conversor ideal, onde 0S L DR R V , a partir da
equação (11.48) obtêm-se:
S L Li D i d I (11.49)
Portanto:
SL L
i di I
D D (11.50)
1 SL Ldidi I dd
dt D dt D dt (11.51)
A partir da equação (11.45), para 0S L DR R V
obtemos a expressão (11.52).
143
1L Ddi V Vd
dt L (11.52)
Desse modo,
11 S L Ddi I V Vddd
D dt D dt L (11.53)
1( )
( )S oi s V V
d s s L (11.54)
Em muitas aplicações, como em retificadores com
correção ativa do fator de potência, deseja-se controlar a
corrente de entrada, como mostra Figura 11-8.
Figura 11-8. Controle da corrente de entrada do conversor buck-boost.
Sabemos que
S Li D i (11.55)
144
Portanto,
S S L LI i D d I i (11.56)
1S odi V V ddD d
dt L dt (11.57)
Aplicando-se a transformada de Laplace, obtêm-se:
1. ( ) ( ) ( )oS L
V Vs i s D d s s I d s
L (11.58)
Assim:
1( )
( )o LS
D V V s L Ii s
d s s L (11.59)
Mas
1 o oD V V V (11.60)
Desse modo,
( )
( )S o Li s V s L I
d s s L (11.61)
145
Observa-se nesta função de transferência a existência de
um zero no semiplano esquerdo, cuja frequência de ocorrência
depende do valor da corrente LI no indutor.
Recomenda-se ao leitor a obtenção da função de
transferência ( )
( )Si s
d s com a inclusão dos parâmetros RS, RL e VD, a
título de exercício.
11.5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE
DA TENSÃO DE SAÍDA.
Nosso objetivo é obter a função de transferência
( )
( )( )
ov sF s
d s (11.62)
Onde:
( )d s Pequena perturbação da razão cíclica, em torno
de um ponto de operação, e
ov Resposta na tensão de carga.
Seja a equação (11.63) obtida anteriormente.
1 2 1 2
x A x
A A X B B U d (11.63)
onde
1 2 1A A D A D (11.64)
146
Aplicando-se a transformada de Laplace na expressão
(11.63) obtemos
1
1 2 1 2( ) ( )x s sI A A A X B B U d s (11.65)
sendo
1
1 1
s L
o
D R R D
L LA
D
C C R
(11.66)
Portanto,
1
1 1
s L
o
DD R Rs
L Ls I A
Ds
C C R
(11.67)
1 2
1
10
s
Lo
Co
RIL LA A XV
C
(11.68)
1
1 2
1 1
0 0 D
VB B U L L
V (11.69)
147
Portanto,
1
1 2 1 2
s CoLo D
Lo
R VI V V
L LA A X B B UI
C
(11.70)
Para reduzir o tamanho das equações, vamos admitir que
0D SV R e 0LR .
Invertendo-se a matriz s I A e fazendo-se a
substituição na equação (11.64) obtêm-se (11.71).
1
2 2
(1 )( )
( )( ) (1 )
o o L o
o L L
o o
V V D R s L Iv s
L C R R Rd s C L s s DR R
(11.71)
Para o caso particular em que 0LR , obtêm-se.
1
2 2
(1 )( )
( ) (1 )
o o o
o
V V D s L Iv s
Ld s C L s s DR
(11.72)
Dividindo-se o numerador e o denominador por 2(1 )D
encontra - se:
1
2
2
2 2
( ) (1 ) (1 )
( )1
(1 ) (1 )
o o
o
o
V V s L I
v s D D
C L s L sd s
D R D
(11.73)
148
Seja N(s) o numerador da equação (11.73). Portanto:
1
2( )
(1 ) (1 )o o
V V s L IN s
D D (11.74)
Mas,
1 11 1
1 1o
DV V
V V DD D
(11.75)
1 121 1
oV V V
D D (11.76)
Como
12
1
(1 )( ) 1
1 (1 )o o
o
V V s L I DN s
D V V D (11.77)
Obtemos:
12
1
( ) 1(1 )1
o
o
s L IVN s
V V DD (11.78)
Sabemos que
oo
o
VI
R (11.79)
149
Portanto,
1 1(1 ) (1 )o o
o o o
s L I Vs L
V V D R V V D (11.80)
Mas,
1
1o
DV V
D (11.81)
Desse modo,
21 (1 ) (1 )
o
o o
s L I s L D
V V D R D (11.82)
Portanto:
12 2
( ) 1(1 )1 o
V s L DN s
R DD (11.83)
Substituindo (11.83) em (11.73), obtemos (11.84).
2
12
2
2
1(1 )( )
( ) 11
(1 ) (1 )
o o
o
s L D
R DVv s
d s C L L sDs
D R D
(11.84)
150
Seja
2
2 1o
D
C L (11.85)
1o
o
R DQ
L (11.86)
21o
Z
R D
L D (11.87)
Pode-se então escrever:
12 2
2
1( )
( ) 11
o z
o o
s
Vv s
d s s sD
Q
(11.88)
A exemplo do que já encontramos no conversor boost,
também neste caso temos um zero no semiplano direito, cuja
frequência de ocorrência é dada pela expressão (11.89).
2z
zf (11.89)
Assim:
2(1 )
2o
z
R Df
L D (11.90)
151
Seja
12
1o
VG
D (11.91)
Portanto
2
2
1( )
( )1
o Zo
o o
s
v sG
d s s s (11.92)
que é a função de transferência que necessitamos para o
controle da tensão na saída ou na carga do conversor boost.
O leitor é convidado a demonstrar que para 0LR :
2(1 ) 2 1o Lz
D R D R
D L (11.93)
2
2
2
1 L
oo
RD
R
L C (11.94)
2(1 )
( )o L
o o L
D R R
C R R L (11.95)
21
22
(1 ) 2 1
(1 )
o L o
o
o L
V D R D R RG
D R R (11.96)
152
CAPÍTULO 12
CIRCUITO EQUIVALENTE DO
CONVERSOR CC-CC BIDIRECIONAL
EM REGIME PERMANENTE
12.1 INTRODUÇÃO.
Neste capítulo, empregando o modelo médio em espaço
de estados, vamos encontrar o circuito equivalente para o
conversor CC-CC bidirecional operando em regime
permanente. O conversor ideal é mostrado na Figura 12-1(a).
Figura 12-1. Conversor CC-CC bidirecional ideal.
153
Os sinais de comando dos interruptores encontram-se
representados na Figura 12-1(b).
O mesmo circuito, com a inclusão das resistências
responsáveis pelas perdas de condução, encontra-se
representado na Figura 12-2.
Figura 12-2. Conversor CC-CC bidirecional com a inclusão das resistências
responsáveis pelas perdas de condução.
1 1
2
R Resistência interna da fonte V
Resistência do indutor L mais resistência interna da fonte V
Resistência dos emicondutores
L
S
R
R s
Vamos considerar o conversor operando em regime
permanente. Para 0Li , a potência é transferida da fonte 1V
para a fonte 2V e vice-versa.
O valor da tensão 2V é sempre menor, ou no limite teórico
igual, a 1V .
Para valores constantes de 1V e 2V , é a razão cíclica D
quem define o valor e o sentido da corrente Li , portanto
também da potência P.
154
12.2 OBTENÇÃO DO CIRCUITO EQUIVALENTE.
Nosso objetivo é encontrar um circuito equivalente do
conversor, para operação em regime permanente, que nos
permita obter o valor médio da corrente Li em função da razão
cíclica D.
Os dois estados topológicos, para os intervalos de tempo
(0, )DT e ( , )DT T encontram-se representados na Figura 12-3
(a) e (b), respectivamente.
Figura 12-3. Estágios topológicos para o conversor CC-CC bidirecional.
Esses estágios topológicos são representados pelas
equações (12.1) e (12.2) respectivamente.
155
LS L L
diL R R R i V V
dt 1 1 2( ) (12.1)
LS L L
diL R R i V V
dt 1 2( ) (12.2)
Multiplicando-se a equação (12.1) por D e a equação
(12.2) por (1-D), obtêm-se as equações (12.3) e (12.4)
respectivamente.
LS L L
diD L D R R R i D V D V
dt 1 1 2( ) (12.3)
LS L L
diD L D R R i
dt
D V D V
1 2
1 1 ( )
1 1
(12.4)
Como o circuito opera em regime permanente,
LdiL
dt 0 (12.5)
Portanto:
S L LD R R R i DV DV 1 1 20 ( ) (12.6)
S L LD R R i D V D V 1 20 1 ( ) 1 1 (12.7)
Somando-se a equação (12.5) com a equação (12.6),
obtêm-se a equação (12.8).
156
S L LD R R R i D V DV 1 1 20 ( ) . (12.8)
A equação (12.8) representa o circuito equivalente
representado na Figura 12-4.
Figura 12-4. Circuito equivalente para o conversor CC-CC bidirecional em
regime permanente.
Portanto:
L
S L
D V VI
D R R R
1 2
1
(12.9)
O símbolo LI representa o valor médio da corrente na
fonte 2V .
Para 0LI , obtemos:
o
VD
V 2
1
(12.10)
Portanto, para oD D , 0LI e 𝑃 > 0.
Para oD D ,
0LI e 𝑃 < 0.
157
A curva típica que representa a corrente média LI em
função de D é mostrada na Figura 12-5, para tensões 𝑉1 e 𝑉2
constantes. Multiplicando-se a corrente LI pela tensão 𝑉2, pode-
se, com a mesma curva escalonada, representar a potência
transferida da fonte 𝑉1 para a fonte 𝑉2 ou vice-versa.
Figura 12-5. Valor médio da corrente na fonte V2 em função da razão cíclica D,
para o conversor CC-CC bidirecional.
158
CAPÍTULO 13
MODELAGEM DO CONVERSOR
BIDIRECIONAL ZETA-SEPIC
13.1 INTRODUÇÃO.
Seja o conversor representado na Figura 13-1.
Figura 13-1. Conversor bidirecional Zeta-Sepic.
Trata-se do conversor Zeta-Sepic bidirecional,
interligando duas fontes de tensão 1V e 2V . O sentido da
corrente 1Li , define o sentido do fluxo de potência.
Para 1 0Li , a potência P é transferida da fonte 1V para a
fonte 2V e vice-versa.
A tensão da fonte 2V pode ser menor, igual ou superior à
tensão da fonte 1V . Além disso, 2L pode ser substituído por um
transformador, o que proporciona isolamento entre as duas
fontes.
159
O sentido e o valor da potência trocada entre as duas
fontes são controlados pela razão cíclica.
Desejamos encontrar um circuito equivalente que nos
permita obter uma relação entre o valor médio da corrente 1Li e
a razão cíclica.
Vamos substituir o circuito representado na Figura 13-1
pelo circuito mostrado na Figura 13-2.
S representa um interruptor bidirecional ideal. Rrepresenta a resistência de cada um dos indutores. Vamos
admitir, para simplificar a análise, que os dois indutores sejam
idênticos. As fontes 1V e 2V , e o capacitor C são considerados
ideais.
Os sinais de comando estão representados na Figura
13-3.
Figura 13-2. Conversor Zeta-Sepic bidirecional com a inclusão das perdas de
condução.
Figura 13-3. Sinais de comando dos interruptores do conversor bidirecional
Zeta-Sepic.
160
13.2 EQUAÇÕES GENÉRICAS.
Os dois estágios topológicos que ocorrem durante um
período de operação encontram-se representados na Figura
13-4.
Figura 13-4. Estágios topológicos do conversor Zeta-Sepic bidirecional: (a)
invervalo (0,DT) e (b) invervalo (DT,T).
As variáveis de estado de nosso sistema são as correntes
nos indutores 1i e 2i , e a tensão no capacitor CV .
O estado topológico para o intervalo de tempo (0, DTS) é
descrito pelas equações (13.1), (13.2) e (13.3).
11 1 1
diL R i V
dt (13.1)
2Cdv
C idt
(13.2)
22 2 C
diL R i V
dt (13.3)
161
O estado topológico complementar, para o intervalo
(DTS, TS), é descrito pelas equações (13.4), (13.5) e (13.6).
11 1 1 2C
diL R i V V V
dt (13.4)
1Cdv
C idt
(13.5)
22 2 2
diL R i V
dt (13.6)
Vamos multiplicar as equações (13.1), (13.2) e (13.3) por
D e as equações (13.4), (13.5) e (13.6) por (1 )D . Obtemos
então:
11 1 1
diD L D R i D V
dt (13.7)
2Cdv
D C D idt
(13.8)
22 2 C
diD L D R i D V
dt (13.9)
e
11 1
1 2
1 1 1
1 1
C
diD L D Ri D V
dt
D V D V
(13.10)
162
11 1CdvD C D i
dt (13.11)
22 2 21 1 1
diD L D R i D V
dt (13.12)
13.3 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM
REGIME PERMANENTE.
Em regime permanente 2 2 0L L CV V I . Portanto
1 2 0Cdvdi di
dt dt dt. Desse modo podemos escrever:
1 10 D R i D V (13.13)
20 D i (13.14)
20 CD R i D V (13.15)
e,
1 1 20 1 1 1 1CD Ri D V D V D V (13.16)
10 1 D i (13.17)
2 20 1 1D R i D V (13.18)
Somando (13.13) com (13.16), (13.14) com (13.17) e
(13.15) com (13.18) obtemos:
163
1 1 21 1CV R I D V D V (13.19)
2 10 1D I D I (13.20)
2 21CD V D V R I (13.21)
onde 1I , 2I e CV , são valores médios.
A partir da equação (13.20) obtemos:
2 1
1 DI I
D (13.22)
Substituindo (13.22) em (13.21) obtemos:
2 1
11C
DD V D V R I
D (13.23)
Com as expressões (13.19) e (13.23), após manipulações
algébricas apropriadas, obtemos:
1 21 2
1 1
1 1
V V DI R
D D D D (13.24)
Multiplicando todos os termos da equação (13.24) por
(1 )D obtemos:
2
1 2 1
1 11
D DV V I R
D D (13.25)
164
A equação (13.25) representa o circuito equivalente
mostrado na Figura 13-5,
Figura 13-5. Circuito equivalente do conversor Zeta-Sepic bidirecional em
regime permanente.
onde
2
e
1R 1q
DR
D (13.26)
Para o caso particular em que 0,5D obtêm-se:
eR 2q R (13.27)
A partir da expressão (13.25) obtemos:
1 2
1 2
1
11
DV V
DI
DR
D
(13.28)
165
A equação (13.28) mostra que para valores dados de 1V ,
2V e R , pode-se controlar o valor e o sentido da corrente 1I ,
agindo sobre a razão cíclica D. Portando o valor da razão
cíclica determina o valor e o sinal da potência processada.
Seja o seguinte exemplo numérico:
1 2 100
1
V V V
R
A curva mostrada na Figura 13-6 representa o valor da
corrente média 1I , na fonte 1V , em função da razão cíclica D .
Pode-se verificar que para D maior que 0,5, a potência é
positiva, portanto fluindo da fonte 1V para a fonte 2V . Além
disso, verifica-se que nesse caso, há uma relação linear entre a
razão cíclica D e a potência processada.
Por outro lado, para D menor que 0,5, a potência torna-
se negativa e flui de 2V para 1V . Observa-se, porém, que nessa
região, a relação entre a razão cíclica e a potência processada
não é linear. Além disso, há uma razão cíclica onde ocorre um
valor máximo para a potência processada. Portanto, esse é o
valor mínimo possível para a razão cíclica.
Figura 13-6. Valor médio de 1I em função da razão cíclica D .
166
13.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE
DA CORRENTE DO CONVERSOR ZETA-SEPIC
BIDIRECIONAL.
Nosso objetivo é encontrar a função de transferência
(13.29) que relaciona componentes alternadas de pequenas
amplitudes.
1( )( )
( )
i sF s
d s (13.29)
A partir da equação obtida no inicio deste capitulo,
podemos escrever para o intervalo (0, DTS):
1
1 1
2 2
0 0
10 0
01
0 0C C
RV
Li i LR
i iL C
v v
C
(13.30)
Para o intervalo (DTS,TS) podemos escrever:
1 1 1 2
2 2 2
10
0 0
01
0 0C C
R
L Ci i V VR
i i VL
v v
C
(13.31)
167
Podemos ainda escrever, para os dois intervalos de tempo
em questão:
1 1X A X B U (13.32)
2 2X A X B U (13.33)
Onde:
1
0 0
10
10 0
R
LR
AL C
C
(13.34)
2
10
0 0
10 0
R
L C
RA
L
C
(13.35)
1
10 0
0 0 0
0 0 0
LB (13.36)
168
2
1 10
10 0
0 0 0
L L
BL
(13.37)
Seja:
1 2A A D A D (13.38)
Portanto:
10
0
10
DR
L LR D
AL L
D D
L C
(13.39)
Seja
1 2 1B B D B D (13.40)
169
Assim:
110
10 0
0 0 0
D
L L
DB
L (13.41)
Já conhecemos a equação na forma matricial, escrita a
seguir:
1 2 1 2x A x A A X B B U d (13.42)
Onde:
d
Re
Perturbação na razão ciclica
X Vetor de estado inicial
x sposta do vetor deestadoem torno do estado inicial
Desse modo:
10
20
Co
I
X I
V
(13.43)
Vamos obter 1 2A A e 1 2B B , como segue.
170
1 2
10 0
10 0
1 10
L
A AL
C C
(13.44)
1 2
10 0
10 0
0 0 0
L
B BL
(13.45)
Portanto:
2
21 2 1 2
10 20
Co
Co
V V
L LV V
A A X B B UL L
I I
C
(13.46)
Aplicando a transformada de Laplace na equação (13.42)
obtemos a equação (13.47).
1
1 2 1 2( ) ( )x s sI A A A X B B U d s (13.47)
171
Mas,
10
0
1
DRs
L LR D
s I A sL L
D Ds
L C
(13.48)
Portanto:
1
2
1
22
10 20
10
(s)
(s) 0
(s)1
Co
Co
CL L
D V VRs
L LL LiV VR D
i sL L L L
vD I ID
sCL C
(13.49)
Assim:
11 2
22
10 20
( ) 10( )
( )0
( )
1( )
( )
Co
Co
L LC
i s D V Vsd s LL
V Vi s Ds
L Ld s
D I IDv ss
CL Cd s
(13.50)
Como o conversor é bidirecional, vamos assumir que:
10 20 0L LI I (13.51)
172
Por outro lado, em regime permanente,
1CoV V (13.52)
e
2 11
DV V
D (13.53)
Desse modo:
12
1Co
VV V
D (13.54)
Substituindo-se (13.51) e (13.54) em (13.50) obtêm-se
(13.55).
1 1
12 1
( )
( ) 1( )
( ) 10( )
( )C
i s Vd s Di s V
s I Ad s D
v s
d s
(13.55)
Realizando-se as operações matemáticas indicadas,
obtém-se a função de transferência representada pela expressão
(13.56), válida para perturbações de pequena amplitude, em
torno de um ponto de operação.
173
2
1 1
2
( )
1( ) 1 2 (1 )
CLs CRs Di s V
Dd s R sL CLs CRs D D (13.56)
Lembramos que para obter a expressão (13.56), nós
admitimos as seguintes hipóteses simplificativas:
1 2
1 2
10 20
)
)
) 0
L L L
L L
a R R R
b L L L
c I I
Para 0,4 0,7,D pode-se admitir que
1 2 (1 )D D D (13.57)
Portanto:
1 1( ) 1
( ) 1
i s V
d s D R sL (13.58)
que é a equação de um sistema linear de primeira ordem.
A representação em diagramas de blocos é mostrada na
Figura 13-7.
Figura 13-7. Representação por diagrama de blocos da planta de corrente do
conversor Zeta-Sepic bidirecional.
174
A equação (13.58) também representa o circuito
representado pela Figura 13-8.
Figura 13-8. Circuito equivalente resultante para o conversor Zeta-Sepic
bidirecional.
A função de transferência obtida nos permite determinar
a estrutura e os parâmetros do controlador de corrente para o
conversor Zeta-Sepic interligando duas fontes de tensão
contínua ou dois barramentos de tensão contínua.
O leitor é convidado, a título de exercício, a obter a
função de transferência para o controle da corrente, para o caso
em que as resistências dos indutores não sejam iguais.
175
CAPÍTULO 14
MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST
EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA
14.1 INTRODUÇÃO.
O conversor Boost, a exemplo de outros conversores CC-
CC, pode operar tanto em condução continua (MCC) quanto
em condução descontínua (MCD). Quem determina a escolha
do modo de operação é a aplicação do conversor.
No Capítulo 11, apresentamos a modelagem do conversor
Boost operando em condução contínua. Neste capitulo iremos
aplicar a técnica do modelo médio em espaço de estados, para
esse conversor operando em condução descontínua.
Seja o conversor Boost operando em condução
descontínua, representado na Figura 14-1. Na Figura 14-2 são
mostradas a corrente e a tensão no indutor.
Figura 14-1. Conversor Boost operando em condução descontinua.
176
Figura 14-2. Formas de onda para o conversor Boost operando em condução
descontinua.
Observamos a existência de três estados topológicos, ao
invés dos dois que ocorrem em condução contínua.
A duração do primeiro estado topológico, igual a 1d T , é
imposta pelo sinal de controle, que define o valor de 1d . A
duração dos demais estados topológicos depende de diversos
parâmetros do circuito e de seu ponto de operação. Por isso,
para este modo de operação, a abordagem empregada para
modelar os conversores operando em condução contínua deve
ser devidamente adaptada.
14.2 EQUACIONAMENTO DO CONVERSOR BOOST
OPERANDO EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA.
Os três estágios topológicos para condução descontínua
encontram-se representados na Figura 14-3.
177
Figura 14-3. Estágios topológicos para o conversor boost operando em
condução desconínua.
Os três estágios topológicos são descritos pelos sistemas
de equações apresentados a seguir.
a) Intervalo 10, d T .
1Ldi
L Vdt
(14.1)
C Cdv vC
dt R (14.2)
b) Intervalo 1 1 2,d T d d T
178
1L
C
diL V V
dt (14.3)
C CL
dv vC i
dt R (14.4)
c) Intervalo 1 2 ,d d T T
0LdiL
dt (14.5)
C Cdv vC
dt R (14.6)
Vamos multiplicar as equações de cada intervalo pela sua
duração relativa, o que resulta nas equações seguintes.
a) Intervalo (0, d1T)
1 1 1Ldi
d L d Vdt
(14.7)
11
C Cdv d vd C
dt R (14.8)
b) Intervalo (d1T, (d1+ d2)T)
2 2 1 2L
C
did L d V d V
dt (14.9)
22 2
C CL
dv d vd C d i
dt R (14.10)
179
c) Intervalo ((d1+ d2)T, T)
1 21 0Ldid d
dt (14.11)
1 2
1 2
11 CC
d d vdvd d C
dt R (14.12)
Somando as equações (14.7), (14.9) e (14.11) obtemos a
equação (14.13).
1 2 1 2
1 1 2 2 1
1L L L
C
di di did L d L d d L
dt dt dtd V d V d V
(14.13)
Portanto:
2 1 2 1L
C
diL d V d d V
dt (14.14)
onde Li e CV são valores médios quase instantâneos.
Somando-se as equações (14.8), (14.10) e (14.12)
obtemos a equação (14.15).
1 2 1 2
1 2 2 1 2
1
1
C C C
C C CL
dV dV dVd C d C d d C
dt dt dt
V V Vd d i d d d
R R R
(14.15)
180
Como consequência obtém-se:
2C C
L
dV VC d i
dt R (14.16)
Portanto as equações de estado para o conversor Boost
operando em condução descontínua, em termos de grandezas
médias quase instantâneas, são representadas pelas equações
(14.17) e (14.18).
2 1 2 1L
C
diL d V d d V
dt (14.17)
2C C
L
dV VC d i
dt R (14.18)
Observamos a presença da variável 2d nas equações,
além da variável 1d . Vamos em seguida expressar 2d em
função de Li e 1d para eliminá-las das equações.
Lembremos que o produto 2 Ld i , representa o valor
médio quase instantâneo da corrente no diodo D .
O valor médio da corrente no indutor é definido pela
equação (14.19).
1 2
2P
L
i d di (14.19)
Portanto, o valor médio da corrente no diodo é definido
pela equação (14.20).
181
2
1 2
D L
di i
d d (14.20)
A corrente média quase instantânea no capacitor é
definida pela expressão (14.21).
CC D
Vi i
R (14.21)
Portanto:
C CD
dV VC i
dt R (14.22)
Ou ainda,
2
1 2
C CL
dV VdC i
dt d d R (14.23)
A corrente de pico Pi é definida pela equação (14.24).
11P
Vi d T
L (14.24)
Portanto, substituindo (14.23) em (14.19) obtemos:
1 2
2 L
P
id d
i (14.25)
182
e
2 1
1 1
2 LL id d
V d T (14.26)
Substituindo a expressão (14.26) em (14.17) obtemos:
1
1 1 1
21 CL L
C
Vdi L iL d V
dt V d T V (14.27)
Substituindo a equação (14.26) em (14.18) obtemos:
21 1
2C C
L
dV Vd T VC i
dt L R (14.28)
A partir das equações (14.27) e (14.28) podemos escrever
as equações (14.29) e (14.30) na forma de equações de estado.
1
1 1
21 C CL L V d Vdi i
dt d T V L (14.29)
21 1
2C CLdV Vi d T V
dt C L C R C (14.30)
As expressões (14.29) e (14.30) são o modelo do
conversor Boost operando em condução descontínua, onde as
variáveis, que no caso são os estados do sistema, são
representadas por seus valores médios quase instantâneos.
183
14.3 ANÁLISE EM REGIME PERMANENTE.
Em regime permanente, 0CL dVdi
dt dt. Portanto, a partir
das equações gerais (14.17) e (14.18) obtemos as equações
(14.31) e (14.32).
1
20 1 CL
C
VI fD V
D V (14.31)
210
2C
L
VD VI
L f R (14.32)
Foram feitas as seguintes substituições:
1 D
L L
C C
d
i I
v V
Nosso objetivo principal é a obtenção de uma expressão
para o ganho estático, definido pela equação (14.33).
1
CVG
V (14.33)
Para isso, deve-se resolver o sistema de equações
algébricas (14.31) e (14.32).
A partir de (14.31) obtemos:
21
20 2 L C
L
L f VL f I D V
R (14.34)
184
Portanto:
21
22 L C
L
L f VL f I D V
R (14.35)
A partir da equação (14.31) obtemos:
2
1
0 2 1 CL C
VL f I D V
V (14.36)
Substituindo a equação (14.35) em (14.36) obtemos:
2
2
1 1
2 20C CL LV VL f L f
DV R V R
(14.37)
Com 1
CVG
V, obtemos:
2 22 20L LL f L f
G G DR R
(14.38)
Desse modo,
2 2 02 L
RG G D
L f (14.39)
Resolvendo a equação (14.39) encontramos a expressão
do ganho G , dado pela expressão (14.40).
185
21 1 21
2 2
D RG
L f (14.40)
Fazendo a manipulação algébrica adequada encontramos
a expressão para a corrente LI , dada pela expressão (14.41).
1
2 1L
D V GI
L f G (14.41)
14.4 MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA
CORRENTE NO INDUTOR.
Seja a Figura 14-4.
Figura 14-4. Controle da corrente no indutor do conversor boost.
O conversor boost opera em condução descontinua e tem
como carga uma fonte de tensão OV no lugar do par RC .
Para a escolha da estrutura e dos parâmetros do
controlador, é necessário obter a função de transferência
(14.42) que relaciona a corrente no indutor L com a razão
cíclica, para componentes alternadas de pequena amplitude.
186
( )
( )( )
Li sF S
d s (14.42)
Seja a equação (14.29) reapresentada a seguir.
1
1 1
21 C CL L V d Vdi i
dt d T V L (14.43)
Como a carga é uma fonte de tensão oV , vamos fazer:
C oV V (14.44)
Portanto:
1
1 1
21 o oL L V d Vdi i
dt d T V L (14.45)
Seja
1
oVG
V (14.46)
Desse modo:
1 1
1
21L Ldi i d V G
Gdt d T L
(14.47)
187
Seja
1 1 1d D d (14.48)
L Lo Li I i (14.49)
Multiplicando todos os termos da equação (14.45) por 1d
obtemos a equação (14.50).
2 11 1
21L Ldi i V G
d G ddt T L
(14.50)
Mas,
L L Ldi dI di
dt dt dt (14.51)
Como 0LdI
dt obtemos:
L Ldi di
dt dt (14.52)
Assim,
1 1 1L Ldi di
d D ddt dt
(14.53)
188
Seja 1 0Ldid
dt. Portanto:
1 1L Ldi di
d Ddt dt
(14.54)
22
1 1 1d D d (14.55)
Como 21 0d obtemos:
2 21 1 1 12d D d D (14.56)
Fazendo essas substituições na equação (14.50) obtemos
(14.57).
1 1 11
2 1 2LLG idi D V G d
Ddt T L
(14.57)
pois
1
1
2 10L
C
L I GD V
D T (14.58)
Portanto, a partir de (14.57) obtemos:
1 1
1
2 1 2LLG idi V Gd
dt D T L (14.59)
Aplicando a transformada de Laplace obtemos:
189
11
1
2 1 2( ) ( )L
G V Gs i s d s
D T L (14.60)
Assim:
1
1
2( ) 1
( ) 2 1oL Vi s
d s L Gs
D T
(14.61)
Pode-se demonstrar que:
1
1
2 1o
L
G D V
D T L I (14.62)
sendo LI o valor médio inicial da corrente no indutor.
Portanto:
1 1
2( )
( )oL
o
L
Vi s
d s D VL s
L I
(14.63)
que é a função de transferência procurada.
14.5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE
DA TENSÃO.
Para se definir a estrutura e os parâmetros do controlador
da tensão de saída, é necessário obter a função de transferência
190
que a relacione com a variável de controle, que é a razão
cíclica.
A partir da linearização das equações (14.17) e (14.18)
obtém-se a equação (14.64).
1
L
L
C C
diVidt A Bddv v
dt
(14.64)
Com 1V é constante, 1 0V .
As matrizes A e B são definidas pelas equações (14.65) e
(14.66).
2 1 2
1 1
G G
D T D R TA
C R C
(14.65)
21
21
2
1
2
G VG
L G LB
D T VD T
L C L C
(14.66)
Seja a representação compacta na forma matricial.
X A X B U (14.67)
Aplicando a transformada de Laplace obtemos a equação
(14.68).
191
( ) ( )s I A X s B U s (14.68)
Portanto:
1
( ) ( )X s s I A B U s (14.69)
onde
( )( )
( )L
C
i sx s
v s (14.70)
2 2 2
1 1
G Gs
DT DRTsI A
sC RC
(14.71)
21
1
21
2
( )1( )
( )
2
G VG
V sL G LB U s
d sD T VD T
L C L C
(14.72)
Como 1 0V , obtemos:
1
1
2
( ) ( )
G V
LB U s d sD T V
L C
(14.73)
192
Desse modo,
1
2 2
1 21
2 2
DR CRTS CGRsI A
DR T R C G DTS (14.74)
onde
2 2 2 11 2 2 GGLC S s
RC DT DT DTRC (14.75)
Com as equações (14.69), (14.74) e (14.75) obtemos a
função de transferência desejada, dada pela expressão (14.76).
1
2
2
( )
( ) 2 2 11 2( 1)
C
DTV sV s D T
d s GGLC S s
RC DT DTRC
(14.76)
Normalmente
2 2 1 1G
T C R C (14.77)
193
Portanto:
2
2
( )
( ) 2 1 2 1C
K sV s D T
d s G Gs s
D T D T R C
(14.78)
Sendo
1D T VK
L C (14.79)
Verifica-se a existência de um zero no semiplano direito,
que ocorre na frequência definida pela expressão (14.80).
z
ff
D (14.80)
194
CAPÍTULO 15
CONVERSOR CC-CC MEIA PONTE
MODULADO EM FREQUÊNCIA
15.1 INTRODUÇÃO.
Neste capítulo vamos modelar o conversor CC-CC meia
ponte, isolado, modulado em frequência(FM), representado na
Figura 15-1, portanto uma situação diferente dos casos
anteriores, nos quais os conversores eram modulados por
largura de pulso (PWM).
Figura 15-1. Conversor CC-CC meia ponte modulado em frequencia.
Vamos assumir que todos os componentes sejam ideais e
que a relação de transformação do transformador seja unitária.
Vamos também considerar infinitamente grande a
indutância de magnetização do transformador, de tal modo que
ela possa ser ignorada em nossa análise. Desse modo, o
conversor equivalente é o que está representado na Figura 15-2.
195
Figura 15-2. Conversor CC-CC meia ponte ideal referido ao lado primário do
transformador de isolamento, com modulação FM.
Este conversor opera com razão cíclica constante e igual
0,5 . A potência transferida da fonte 1V para a carga,
representada pelo resistor R , é controlada pela frequência de
comutação. Estamos, portanto, diante de modulação em
frequência (FM ).
As formas de onda relevantes para operação em regime
permanente encontram-se representadas na Figura 15-3.
Durante o intervalo de tempo 10, d T o conversor é
representado pelo circuito equivalente representado pela Figura
15-4(a). Durante o intervalo de tempo 1 , d T T , o seu
funcionamento é representado pelo circuito equivalente
mostrado na Figura 15-4(b).
196
Figura 15-3. Formas de onda para o conversor CC CC meia ponte modulado em
frequencia.
197
Figura 15-4. Circuitos lineares equivalentes para os dois estágios topológicos do
conversor.
15.2 MODELAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS.
Durante o intervalo de tempo 10, d T o funcionamento
do conversor é descrito pelas equações (15.1) e (15.2).
1L
C
diL v V
dt (15.1)
C CL
dv vC i
dt R (15.2)
Durante o intervalo de tempo 1 , d T T seu
funcionamento é representado pelas equações (15.3) e (15.4).
198
1L
C
diL v V
dt (15.3)
C CL
dv vC i
dt R (15.4)
Vamos multiplicar as equações (15.1) e (15.4) por 1d e
as equações (15.3) e (15.4) por 2d . Obtemos assim as
equações (15.5), (15.6), (15.7) e (15.8).
1 1 1 1L
C
did L d v d V
dt (15.5)
11 1
C CL
dv d vd C d i
dt R (15.6)
2 2 2 1L
C
did L d v d V
dt (15.7)
22 2
C CL
dv d vd C d i
dt R (15.8)
Somando (15.5) com (15.7) e (15.6) com (15.8) obtemos:
1 2 1 2 1 2 1L
C
did d L d d v d d V
dt (15.9)
1 2 1 2 1 2C C
L
dv vd d C d d i d d
dt R (15.10)
199
Onde,
1 2 1d d (15.11)
Vamos substituir Li e Cv pelos seus valores médios quase
instantâneos, Li e Cv , respectivamente. Desse modo, obtemos
as equações (15.12) e (15.13).
1 2 1L
C
diL v d d V
dt (15.12)
C CL
dv vC i
dt R (15.13)
Como
1 2 1d d (15.14)
2 11d d (15.15)
Concluímos que
1 2 12 1d d d (15.16)
Substituindo a expressão (15.16) em (15.12) obtemos
1 12 1Lc
diL v d V
dt (15.17)
200
C CL
dv vC i
dt R (15.18)
Portanto:
11
2 1cL vdi dV
dt L L (15.19)
C CLdv vi
dt C R C (15.20)
No sistema de equações obtido, aparece a variável 1d .
Contudo, a variável de controle é a frequência de comutação.
Vamos então realizar as alterações necessárias para que a
frequência apareça nas equações.
O valor da corrente Li , a partir da Figura 15-3 é dado
por:
1 2
2P
L
i d di (15.21)
Ou,
2P
L
ii (15.22)
Mas
11
CP
V vi d T
L (15.23)
201
Sendo,
2ST
T (15.24)
Portanto:
11
2C
L S
V vi d T
L (15.25)
Desse modo,
1
1
2L
C
L fd i
V v (15.26)
Substituindo a equação (15.26) na equação (15.19)
obtemos:
1
1
4 1CL L
C
vdi f iV
dt L V v L (15.27)
C CLdv vi
dt C R C (15.28)
Ou ainda:
1 1
1
4 CLL
C
vdi V Vf i
dt V v L L (15.29)
202
C CLdv vi
dt C R C (15.30)
O conversor é então representado por um sistema de duas
equações diferenciais não lineares de primeira ordem, válido
tanto para regime permanente quanto para regime transitório de
baixa frequência.
15.3 MODELO PARA OPERAÇÃO EM REGIME
PERMANENTE.
Em regime permanente,
CL dvdi
dt dt 0 (15.31)
Portanto:
1 1
1
40 C L
C
V V fI V
L V V L (15.32)
0 CL VI
C R C (15.33)
Os símbolos CV e LI representam as variáveis de estado
em regime permanente.
A partir da equação (15.32) obtemos a equação (15.34).
11
1
4 LC
C
V LfIV V
V V (15.34)
203
Portanto,
1 1
1 1 1
4 C CLV V V VL f I
V V V (15.35)
Seja o ganho estático, definido pela equação (15.36).
1
CVG
V (15.36)
Desse modo,
1
41 1LL f I
G GV
(15.37)
Mas
CL
VI
R (15.38)
Portanto,
1
41 1CVL f
G GR V
(15.39)
Ou ainda:
4
1 1L f
G G GR
(15.40)
204
Desse modo,
241
L fG G
R (15.41)
Portanto:
2 41 0
L fG G
R (15.42)
A partir da equação (15.42) obtemos
24 2
1L f L f
GR R
(15.43)
Foi definido que:
2 sf f (15.44)
Desse modo,
24 2
1s sL f L fG
R R (15.45)
Com a expressão (15.45) podemos determinar o ganho
estático do conversor, em função dos parâmetros do circuito e
da variável de controle, que é a frequência de comutação sf .
205
15.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE
DA CORRENTE.
Vamos considerar o caso em que a carga seja uma fonte
de tensão ideal, podendo ser um banco de baterias ou um
barramento de tensão contínua, com capacidade de absorver
energia.
No modelo obtido, representado pelas equações (15.29) e
(15.30), isto equivale a:
0C
C o
dv
dt
C
v V
Desse modo a partir da equação (15.29) obtemos:
1
1
4 1oL L
o
Vdi f iV
dt L V V L (15.46)
Ou ainda:
11
1
4 oL L
o
V Vdi V f i
dt V V L (15.47)
Desse modo:
14
1oL
L
V Vdif i
dt G L (15.48)
206
Como vemos, trata-se de uma equação diferencial não
linear. Para obtermos a função de transferência que buscamos,
devemos linearizar a equação em torno de um ponto de
operação.
Seja
ˆf F f (15.49)
ˆL L Li I i (15.50)
Portanto:
ˆ ˆL L Lf i F f I i (15.51)
Seja:
ˆ ˆ 0f i (15.52)
Então,
ˆˆL L L Lf i F I F i f I (15.53)
Por outro lado,
ˆ
L L Ldi dI di
dt dt dt (15.54)
Como 0LdI
dt, obtemos
207
ˆ
L Ldi di
dt dt (15.55)
Substituindo (15.51) e (15.55) em (15.48) obtemos:
ˆ 4 ˆ ˆ 01
LL L
diI f i F
dt G (15.56)
ˆ 4 4 ˆˆ1 1
LL L
diF i I f
dt G G (15.57)
Aplicando a transformada de Laplace obtemos:
44 ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )1 1
LL L
Is i s F i s f s
G G (15.58)
Assim,
44 ˆˆ ( ) ( )1 1
LL
IFs i s f s
G G (15.59)
Desse modo:
4ˆ ( ) 1ˆ 4( )
1
L
L
Ii s G
Ff s sG
(15.60)
208
Mas,
114
1L
G VI
G L F (15.61)
Portanto:
1ˆ 1( )ˆ 4( )
1
LG Vi s
Ff s L F sG
(15.62)
Normalmente,
42
1
Ff
G (15.63)
Desse modo:
1
2
ˆ 1 (1 )( )ˆ 4( )L
G G Vi s
L Ff s (15.64)
Podemos então afirmar que há uma relação de
proporcionalidade entre ˆ ( )Li s e ˆ( )f s para um ponto de
operação dado, não havendo polos nem zeros, portanto não
havendo dinâmica representada na função de transferência
obtida.
209
CAPÍTULO 16
ANÁLISE DO ERRO COMETIDO AO SE
EMPREGAR O VALOR MÉDIO EM
ESPAÇO DE ESTADOS
16.1 FONTE DE TENSÃO ALIMENTANDO INDUTÂNCIA
PURA.
Seja o circuito representado na Figura 16-1, formado por
uma fonte de tensão alimentando uma indutância pura.
Figura 16-1. Circuito tomado como exemplo para análise do erro.
Sejam as formas de onda representadas na Figura 16-2.
A tensão ( )V t tem forma de onda retangular, com
amplitudes iguais a 1V e 2V e com durações 1d T e 2d T ,
respectivamente. Sabemos que:
1 2 1d d (16.1)
210
Figura 16-2. Tensão e corrente no indutor L do circuito anterior.
Seja 0I o valor inicial da corrente no indutor.
Desse modo,
1 11 1 0
d VI d T I
L (16.2)
2 22 1 2
d VI I d T
L (16.3)
Portanto:
1 1 2 22 1 2 0
d V d VI d T d T I
L L (16.4)
211
Seja
2 0i I I (16.5)
Portanto:
1 1 2 21 2
d V d Vi d d T
L (16.6)
Mas,
1 1 2 2V d V d V (16.7)
onde V representa o valor médio da tensão de alimentação.
Podemos então escrever:
V
i TL
(16.8)
A Figura 16-3(a) e a Figura 16-3(b) representam as duas
etapas de operação para um período de funcionamento.
A Figura 16-3(c) representa um único circuito
equivalente para o período total, onde a tensão de alimentação
é igual ao valor médio da tensão ( )V t .
Podemos então concluir que a variação liquida da
corrente do circuito equivalente é idêntica à soma das variações
das correntes dos intervalos de tempo de 10, d T e 1 , d T T .
Desse modo, a técnica do valor médio em espaço de
estado, para este caso, não introduz nenhum erro.
212
O comportamento das correntes do circuito original e do
circuito equivalente, para um intervalo de tempo com vários
períodos, encontra-se representado na Figura 16-4.
Figura 16-3. Circuitos equivalentes.
Figura 16-4. Correntes nos circuitos equivalentes.
213
16.2 FONTE DE TENSÃO ALIMENTANDO CARGA RL.
Vejamos o que ocorre em um circuito RL , mostrado na
Figura 16-5.
Figura 16-5. Circuito RL.
Vamos analisar o comportamento da corrente ( )i t com
condição inicial nula, ou seja, no primeiro período de
funcionamento As formas de onda relevantes encontram-se
representadas na Figura 16-6.
Figura 16-6. Tensão e corrente do circuito representado na figura 16.5.
214
As correntes instantâneas 1( )i t e 2( )i t , para os intervalos
de tempo 1d T e 1(1 )d T são exponenciais. Os valores de 1I
e 2I são determinados pelas equações (16.9) e (16.10).
11
1 1d TV
I eR
(16.9)
2 2
22 1 1
d T d TVI I e e
R (16.10)
Portanto:
2 2 2
1 22 1 1
d T d T d TV VI e e e
R R (16.11)
onde 2I representa o valor final da corrente ( )i t para t T .
Portanto é igual à variação liquida da corrente ( )i t para
condição inicial nula.
Vamos então analisar o circuito para valores médios
quase instantâneos, representado na Figura 16-7, no qual a
mesma carga RL é alimentada por uma tensão constante, igual
ao valor médio da tensão ( )v t .
Figura 16-7. Circuito RL equivalente para valores médios quase instantâneos.
215
A corrente ( )xi t encontra-se representada na Figura 16-8,
juntamente com as correntes 1( )i t e 2( )i t .
O valor final da corrente ( )xi t é definido pela equação
(16.12).
1 1 2 2 1T
X
d V d VI e
R (16.12)
Figura 16-8. Correntes dos circuito anteriores.
Podemos observar que 2xI I . De fato, para a situação
apresentada, 2( )xI t I . Podemos então concluir que ao substituir
o circuito original pelo seu equivalente que representa valores
médios em espaço de estado, estamos cometendo um erro,
definido pela equação (16.13), para a situação estudada, ou
seja, o primeiro período de funcionamento do circuito.
2%
2
100%xI I
I (16.13)
Seja o seguinte exemplo numérico.
216
1
2
1
100
100
0,7
10
10
V V
V V
d
L mH
R
Com o emprego da expressão (16.13) foi obtida a curva
representada na Figura 16-9, na qual o erro percentual é
representado em função da grandeza definida pela equação
(16.14), ou seja, o período de funcionamento dividido pela
constante de tempo do circuito.
T
(16.14)
onde a constante de tempo é definida pela expressão (15.15).
L
R (16.15)
Verifica-se que o erro é igual a 10% para 0,17e igual
a 1% para 0,02 . Podemos então concluir que quem
determina o erro é a relação entre o período de funcionamento
ou de comutação, e a constante de tempo do circuito.
Quanto menor essa relação, menor será o erro. Se a carga
for uma indutância pura, como foi o caso do circuito mostrado
na Figura 16-1, a constante de tempo será infinita e o erro será
portando nulo, independentemente do valor do período ou da
frequência de comutação.
È importante observar que as ondulações das tensões e
correntes (ou dos estados) não são representadas pelo modelo
médio em espaço de estados, como era de se esperar.
217
Figura 16-9. Erro percentual em função de .
Embora o circuito analisado seja muito simples, ele gera
resultados importantes que indicam que o emprego de valores
médios em espaço de estado é adequado para modelar um
conversor estático real, desde que o período de comutação seja
significativamente menor que as constantes de tempo do
circuito.
O leitor é convidado a verificar, tanto analiticamente
quanto por simulação, o efeito da constante de tempo do
circuito na evolução da corrente para transitórios de longa
duração e de que forma o erro se propaga, e qual sua
consequência tanto para os valores da corrente quanto para
defasagens.
218
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. R. D. Midlebrook and S. Cuk, Unified Approach to
Modelling Switching-Converter Power Stages, IEEE
Power Electronics Specialists Conference, June 1976.
2. J. Sun, D. M. Mitchell, M. F. Greuel, P. T. Krein and
R. Bass, Averaged Modeling of PWM Converters
Operating in Discontinuous Conduction Mode,
IEEE Transactions on Power Electronics, Vol. 16,
No. 4, July 2001.
3. C. A. Nwosu, State-Space Averaged Modeling of a
Nonideal Boost Converter, The Pacific Journal of
Science and Technology, Volume 9, Number 2,
November 2008.
4. V. Vorpérian, Simplified Analysis of PWM
Converters Using Model of PWM Switch Part I:
Continuous Conduction Mode, IEEE Transactions
on Aerospace and Electronic Systems, Vol. 26, No. 3,
May 1990.
5. G. W. Wester and R. D. Middlebrook, Low
Frequency Characterization of Switched DC-to-DC
Converters, IEEE Power Processing and Electronics
Specialists Conference, May 1972.
