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Controlo – Carlos Silvestre 2005-2006 1

Apresentação da Cadeira

Controlo

Docente Responsável: Prof. Carlos Silvestre

• Home page: http://www.isr.ist.utl.pt/~cjs/cadeiras/contlee• email [email protected]• Ext: 2052


Horário

Teóricas•Segunda 8:30-10:00, sala •Quinta 9:30-11:00, sala

Práticas•Quinta 11:00-12:30, sala

Laboratório•Quinta 11:00-12:30, sala

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Bibliografia do Curso: Livros

Livros:• Graham C. Godwin, Stefan F. Graebe, Mario E. Salgado.

2001. Control System Design. Prentice Hall, 2001.

• Franklin G.F., Powel J.D., Emani-Neini, 1991, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, Reading, Mass.

• Ogata, K. 1997. Modern Control Engineering, Prentice-Hall, Upper Saddle River, N.J.

• Norman S. Nise. Control Systems Engineering, Addison-Wesley, Reading, Mass.

• Dorf B., Bishop, Modern Control Systems, Addison-Wesley, Reading, Mass. 9th edition


Bibliografia do Curso: Acetatos

Transparências :• Transparências de apoio ao Curso de Controlo, Carlos

Silvestre, Licenciatura em Engenharia Electrónica, Instituto Superior Técnico, 2007.

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Temas Abordados no Curso

• Introdução ao Controlo de Sistemas dinâmicos.

• Fundamentos da Realimentação.

• Modelos matemáticos, Sinais e Sistemas.

• Técnicas de análise de sistemas de controlo.

• Controladores PID.

• Projecto de controladores de entrada única saída única.


Transparências / Notas do Curso

Estes transparências deverão ser interpretados como notas que servem de guião ao estudante durante o curso. Elas vão ser apresentados durante as aulas teóricas sendo sempre complementados com apresentação escrita no quadro durante a aula teórica. A sua leitura deverá sempre ser acompanhada pelo estudo do livro de apoio ao curso:

Graham C. Godwin, Stefan F. Graebe, Mario E. Salgado. 2001. Control System Design. Prentice Hall, 2001.

ou do livro complementar:

Franklin G.F., Powel J.D., Emani-Neini, 1991, Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, Reading, Mass.

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Avaliação de Conhecimentos

A avaliação de conhecimentos consistiránas seguintes componentes:

• 25 % – Avaliação contínua, 11 séries de problemas avaliadas nas aulas de laboratório.

• 75 % – Três testes ou exame com repescagem. Nota mínima dos testes 7 valores.


Programa do CursoSemana 1Introdução ao estudo de sistemas de controlo por retroacção: exemplos motivadores e perspectiva histórica.

Semana 2Modelação dinâmica de sistemas físicos. Exemplos de sistemas electromecânicos e da área dos veículos robóticos autónomos (veículos terrestres, aéreos e marinhos). Descrição de incertezas de sistemas físicos. Incertezas aditivas e multiplicativas.

Semanas 3 e 4Ferramentas básicas de análise de sistemas: a transformada de Laplace; funções de transferência; breve estudo da relação entre a resposta temporal de sistemas e a sua caracterização no domínio da frequência.

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Programa do Curso (cont.)Semana 5Estudo detalhado da resposta dinâmica de sistemas nos domínios do tempo e da frequência.

Semana 6Análise de sistemas de controlo utilizando a técnica do lugar geométrico das raízes ("root locus").

Semana 7Análise de sistemas de controlo no domínio da frequência utilizando os diagramas de Bode e Nyquist.

Semana 8Descrição dos objectivos a atingir com sistemas de controlo: Estabilidade e desempenho.


Programa do Curso (cont.)

Semana 9Sistemas simples de controlo PID (acção proporcional, integral e derivativa).

Semana 10Técnicas de síntese de sistemas de controlo utilizando a técnica do lugar geométrico das raízes ("root locus"), com base em especificações da resposta do sistema em malha fechada.

Semana 11Introdução ao projecto de sistemas de controlo univariável por moldagem do ganho de malha. Compensadores série, malhas de avanço e atraso de fase.

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Programa do Curso (cont.)

Semana 12Limitações ao desempenho atingível com retroacção. Sistemas de compensação por avanço e atraso de fase.

Semanas 13Teorema da estabilidade robusta. Exemplos de projecto de controladores para sistemas físicos.

Semana 14Problemas de preparação para a avaliação


Sistemas de Controlo

por Retroacção

Introdução e Motivação

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Motivação

• O controlo tem uma história muito longa que se confunde com a evolução do Homem e a necessidade de tirar proveito das forças e recursos naturais. Exemplos, podem ser encontrados desde a antiguidade nos reservatórios com altura de líquido controlada, e mais recentemente nos cataventos e nos moinhos de vento que se orientam automaticamente em direcção ao vento.

• Hoje em dia os sistemas de controlo encontram-se disseminados por toda a parte, desde a indústria até à nossa casa sendo um componente fundamental da nossa sociedade. Uma classe particular de sistemas de controlo encontra-se nas modernas aeronaves as quais utilizam as últimas técnicas de projecto para a síntese de controladores eficientes de alto desempenho.


Exemplo 1: Refinaria de petróleo na Áustria

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Exemplo 2: Regulador de Watt

Um outro exemplo trata-se do regulador de Watt ou Watt’s Fly BallGovernor o qual estáapresentado na figura ao lado e que foi uma peça de enorme importância durante a revolução industrial.

Dorf and Bishop, Modern Control Systems


Exempo 2 (cont)

A fotografia apresentada ao lado mostra um regulador de Watt, utilizado numa fábrica de tecidos perto de Manchester. Este regulador continua em operação. (Goodwin, Graebe, Salgado)

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Exempo 2 (cont)

Este regulador de Watt encontra-se na mesma fábrica de tecidos em Manchester. A sua função consiste no controlo da velocidade da turbina movida pelo curso do rio. Este regulador é bastante grande como se pode ver na foto em comparação com a porta que se encontra por trás do mesmo. (Goodwin, Graebe, Salgado)


Exemplo 3Wilbur Wright afirmou:• “Sabemos construir aviões.”• “Sabemos construir

motores.”• “O não saber como equilibrar

e manobrar aeronaves desafia os estudiosos do problema do voo”

• “Assim que esta última dificuldade esteja resolvida, terá chegado a era do voo pois que todas as restantes dificuldades são de menor importância”

É de notar que os irmãos Wright colocaram as superfícies de controlo àfrente da aeronave, tornando a mesma instável e como resultado tiveram grande dificuldade em controlar o voo da mesma.

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Vantagem da utilização de sistemas de controlo

• melhoria na qualidade do produto final• minimização do desperdício• menor impacto ambiental• aumento da produção fase à capacidade

instalada• aumento do intervalo temporal da

manutenção• aumento das margens de segurança

A introdução de sistemas de controlo de alto desempenho conduz em geral a:


Exemplo: Fabrica de produção de amónia

(Goodwin, Graebe, Salgado)

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Tipos de intervenção do projecto de sistemas de controlo

• Projecto do sistema inicial, durante a concepção da indústria

• Construção e ajuste, instalação do sistema • Refinamento e actualização, durante a fase

de produção

O projecto de sistemas de controlo pode envolver diferente formas cada uma delas requerendo diferentes perspectivas.

O trabalho do engenheiro de controlo é assim afectado pelas diferentes fases onde o sistema se encontra no seu ciclo de vida, ex.


Integração de sistemas e projecto de controlo

• O sistema, isto é o processo a ser controlado• O objectivos a atingir• O conjunto de sensores disponível• O conjunto de actuadores disponíveis• A tecnologia de comunicações a utilizar• Os meios de computação disponíveis• A arquitectura e os interfaces• Os algoritmos• As perturbações e incertezas existentes

Para o sucesso do projecto de controlo é fundamental ter um ponto de vista global sobre os diferentes componentes envolvidos, tais como:

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O sistema a controlar

• Controlo de aeronaves: conhecimentos de aerodinâmica e modelos matemáticos da dinâmica de aeronaves e da estatística das perturbações mais frequentes e mais importantes tais como rajadas de vento

• Controlo de processos: conhecimentos rudimentares de balanços energéticos, balanços de massa e fluxo de matérias no processo.

• Controlo de navios e submarinos: conhecimentos de hidrodinâmica e de modelos matemáticos da dinâmica de navios, modelos estatísticos da dinâmica das ondas e correntes.

O sistema físico e o modelo matemático associado é a parte mais importante de qualquer problema de controlo. Deste modo o engenheiro de controlo necessita, antes de iniciar o projecto docontrolador, de se sentir familiar com a física do processo em estudo. Isto inclui por exemplo


Objectivos a atingir

• Quais os objectivos de controlo a atingir em, redução do consumo energético, seguimento de trajectórias ou caminhos de voo, aumento de produção, etc.

• Quais as variáveis que necessitam de ser controladas para atingir os objectivos desejados.

• Qual o nível desempenho esperado

Antes de iniciar o projecto do controlador e seleccionar o conjunto de sensores, actuadores, e a arquitectura de controlo a utilizar (ex. distribuída ou centralizada), é fundamental conhecer os objectivos de controlo a atingir, incluindo

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O conjunto de sensores disponível

Exemplo de sensores: • Termómetro – medição de temperatura, • Tubo de Pitot – medição da pressão dinâmica.• Giroscópio – medição da velocidade angular• Acelerómetro – medição da aceleração.• GPS – medição da posição

Os sensores são os olhos do sistema de controlo permitindo medire avaliar os estado de diversas quantidades. De facto uma das frases comuns na comunidade internacional de controlo é

If you can measure it, you can control it.


O conjunto de actuadores disponível

Exemplo de actuadores: • Aquecedor – aumento da temperatura, • Turbo propulsor ou motor+hélice– velocidade do avião.• Ailerons, Rudders, Flaps – superfícies utilizadas no

controlo de aeronaves• Válvula – controlo de fluxo em instalações fabris

Assim que o conjunto de sensores está escolhido de forma a medir o estado das variáveis “interessantes” do processo, o próximo passo é seleccionar o conjunto de actuadores de forma a intervir no estado do processo da forma desejada.

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Exemplo de actuadores

O controlo de um determinado processos pode envolver diferentes actuadores, exemplo trem de laminagem.

(Goodwin, Graebe, Salgado)


Exemplo de actuadores

Superfícies de Controlo

O controlo do AUV INFANTE envolve diversas superfícies de controlo.

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A tecnologia de comunicações a utilizar

• Interligar sensores e actuadores envolve a utilização de sistemas de comunicações.

• O controlo de um sistema típico pode envolver desde dezenas a milhares de sinais os quais são adquiridos localmente por sensores e enviados a longas distancias utilizando redes de comunicação.

• O projecto de controladores envolve quase sempre a escolha de sistemas de comunicação e os respectivos protocolos de comunicação.

• Este aspecto tem vindo a ser cada vez mais relevante no projecto de sistemas de controlo.


Meios computacionais

• Nos sistemas de controlo actuais, a ligação entre sensores e actuadores é invariavelmente feita via computadores

• Os computadores são sempre um componente necessário em qualquer projecto de controlador

• Diferentes computadores e configurações podem ser utilizados na implementação de controladores tais como:

1. Sistemas de Computação Distribuídos2. Controladores Lógicos Programáveis3. Computadores Pessoais.4. Processadores Digitais de sinal.

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A arquitectura e os interfaces

• A concepção da arquitectura de controlo é hoje em dia um assunto não trivial no projecto de sistemas de controlo.

• Poder-se-á pensar que a melhor solução de arquitectura consistirá em concentrar todos os sinais num ponto (nó) central de modo a que cada decisão possa ser tomada com acesso a toda a informação sobre o processo.

• Esta não é em geral a melhor solução. Existem muitas razões pelas quais concentrar toda a informação num sónó não é de facto a melhor solução. As razões óbvias incluem gestão da complexidade, custo, requisitos temporais em termos do tempo de cálculo, manutenção, fiabilidade, etc.


Exemplo de Aplicação: Ex. Infante AUV

SensoresSistemaActuadores

Controlador

Rede de Comunicações (CAN Bus)

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Exemplo de Aplicação: Sistema de Controlo de Vôo


Os algoritmos• Estes são a peça mais importante do sistema de controlo, não

quer dizer que funcionem por si só, pois necessitam de tudo o resto. Mas são de facto os algoritmos que processam a informação muitas vezes ruidosa fornecida pelos sensores e que calculam em cada instante o valor de actuação necessária para cumprir os objectivos de controlo.

• Como exemplo considere um guarda redes de futebol. Énecessário ter bons olhos para em cada instante saber com rigor a posição tridimensional da bola (sensor) é necessário também ter músculos fortes e movimentos rápidos (actuadores) para conseguir apanhar os remates á baliza feitos por jogadores de alto nível. Todavia, só por si estes componentes não são suficientes. É também necessário ter perspicácia para em tempo real saber antecipar a posição da bola (modelo dinâmico) e coordenação olho-mão para apanhar a bola (controlo).

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Perturbações e incertezas

• Dos factores mais importantes no projecto de sistemas de controlo é o facto de todos os sistemas reais são afectados por ruído e por mais cuidado que exista no desenvolvimento dos modelos da dinâmica existe sempre incerteza associada ao mesmo. Ex. ruído e vibrações nas leituras dos acelerómetros e rategyros. Erros de modelação sempre existentes nos modelos matemáticos de aeronaves, tais como utilização da teoria da asa infinita.

• Estes factores têm um papel determinante no desempenho do sistema de controlo. Para além disso existem sempre perturbações que são impossíveis de modelar dada a sua natureza estocástica. Um exemplo disso nos caso das aeronaves são as rajadas de vento e os poços de ar bem como o facto de os aviões estarem sujeitos a regimes de carga variável. Todos estes factores têm de ser levados em conta no projecto do sistema de controlo.


Resumo• A engenharia de controlo encontra-se presente na maior parte dos sistemas

modernos, nomeadamente naqueles que envolvem tecnologias avançadas.

• O controlo trata-se de uma tecnologia em geral invisível, cujo êxito da sua utilização está patente nas inúmeras aplicações existentes hoje em dia.

• O controlo trata-se de uma tecnologia chave para:– Aumentar a qualidade dos produtos.– Minimizar desperdícios– Ajudar na protecção do meio ambiente.– Aumentar o rendimento da capacidade de produção instalada.– Aumentar as margens de segurança.

• O controlo é multidisciplinar e inclui o estudo de diversas áreas tais como sensores, actuadores, comunicações, técnicas de computação, algoritmos, etc.

• O projecto de controladores tem como objectivo último garantir um determinado nível mínimo de desempenho e ou rendimento face a perturbações e incerteza.

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Introdução à Realimentação


Introdução à Realimentação

Objectivos: Pretende-se neste grupo de slides introduzir a realimentação como ferramenta chave dos engenheiros de controlo para modificar e regularizar o comportamento dos sistemas satisfazendo as especificações de projecto dadas àpartida.Estudo: Goodwin Capítulo 2.

Tópicos Abordados:•Um exemplo industrial motivador•Formulação e análise do problema de controlo•A inversão do sistema como solução do problema de controlo•Evolução da inversão em malha aberta para a solução em malha fechada

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Exemplo Industrial Motivador

• Apresenta-se de seguida um exemplo de um problema de controlo industrial. Esta apresentação embora muito simplificada permite ainda manter a ligação ao problema original.

• O exemplo aqui apresentado trata-se de um processo da indústria siderúrgica. Este processo embora de natureza particular permite ilustrar os elementos e conceitos fundamentais ligados ao projecto de controladores tais como: – a especificação de um determinado comportamento

desejado, – a construção de um modelo matemático do sistema

físico, – e a necessidade de obter soluções de compromisso.


Exemplo de uma siderurgia

Instalação para produção de lingotes numa siderurgia.

Trata-se de uma unidade siderúrgica Australiana.

(Goodwin, Graebe e Salgado)

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Exemplo simplificado da siderurgia


Exemplo modelo simplificado

continuously withdrawn,

semi-solid strand

primary cooling

tundish with

molten steel

control

valve

w

mould

l

t

Lingote

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Operários a inspeccionar o molde


Câmara de arrefecimento

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Especificações de desempenho

• Os objectivos de desempenho para este problema particular são:– Segurança: O molde nunca poderá ficar vazio

ou transbordar aço fundido acarretando em qualquer dos casos graves consequências para os operários e para a companhia.

– Lucro: Os aspectos que contribuem para este requisito incluem:• A qualidade do produto final.• A necessidade de manutenção.• A quantidade produzida.


Modelação Matemática

Com o objectivo de projectar um controlador, é fundamental uma profunda percepção dos mecanismos que condicionam o funcionamento do processo ou sistema a controlar. Este conhecimento é normalmente expresso na forma de um modelo matemático. Assim considere as seguintes quantidades:

h* - Nível desejado de aço fundido no molde.h(t) - Nível de aço fundido no molde.v(t) - Posição da válvula.σ(t) - Velocidade de moldagem.qe(t) - Caudal de entrada de aço no molde.qs(t) - Caudal de saída de aço do molde.

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Modelo do processo como um simples tanque

Aço fundido

Nível do molde

Válvula de controloMolde arrefecido a água

Lingote


Medida da velocidade de moldagem

Entrada de aço pela válvula de controlo

Diagrama de blocos da dinâmica simplificada do processo: Sensores, Actuadores e controlo

∫+

+Nível medido de aço do molde

Nível de aço do molde

Ruído nosensor

Saída de aço pelo processo de moldagem

Ideias subjacentes ao controlo: Como se verá de seguida a ideia principal por trás da acção de controlo é a inversão do modelo. Esta inversão pode em geral ser conseguida com recurso a dois mecanismos. A retroacção (Feedback) e a pós-acção (Feedforward).

-

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+

Modelo simplificado do sistema de controlo do nível de aço fundido no molde

Medida da velocidade

de moldagem

Entrada de aço pelaválvula de controlo

∫+

Nível medido de aço do molde

Nível de aço do molde

Ruído nosensor

Saída de aço pelo processo de moldagem

K

K-1

++

-

-

Comando de nível de aço

do molde

Este controlador utiliza retroacção (Feedback) e pós-acção (Feedforward).


Uma primeira indicação dos compromissos da retroacçãoA figura mostra a simulação do desempenho do sistema de controlo apresentado para K=1 e K=5 (retirado do livro Goodwin, Graebe e Salgado). Note-se que valores mais pequenos do ganho de retroacção (K=1) resultam numa resposta mais lenta do sistema na resposta a um comando de nível de aço no molde. Por outro lado, para valores maiores no ganho de retroacção (K=5) obtém-se uma resposta mais rápida. Todavia, os efeitos do ruído do sensor na saída do sistema e no sinal de comando da válvula tornam-se mais visíveis.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Mou

ld le

vel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

0

1

2

3

4

5

Time [s]

Val

ve c

omm

and

K=1

K=5

K=1

K=5

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Algumas perguntas para mais tarde

Pode-se questionar se os compromissos de controlo apresentados são de facto inevitáveis ou se a situação pode ser melhorada drasticamente através de:

•Um melhor modelo matemático do processo•Um sistema de controlo mais sofisticado

Estes pontos irão ser analisados em detalhe ao longo deste curso.

Poder-se-á porém adiantar que o projecto de controladores surge sempre como o resultado de uma série de compromissos, quer impostos pela estrutura matemática da arquitectura escolhida, quer pelo conjunto de sensores e actuadores seleccionado.


Definição formal do problema de controlo

Abstraindo um pouco a partir dos conceitos introduzidos no problema de controlo anteriormente apresentado pode-se introduzir a seguinte definição:

O problema de controlo consiste em encontrar um modo tecnicamente factível de actuar num determinado processo de forma ao comportamento do mesmo ser tão próximo quanto possível de um determinado comportamento desejado. Este comportamento aproximado deverá ser atingível face a incertezas no modelo do processo, perturbações externas, e ruído nos sensores.

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Solução do problema de controlo via inversão

Um modo particularmente simples de colocar problemas de controlo consiste na inversão explícita da dinâmica do processo. De forma a descrever esta ideia podemos argumentar que:

•Podemos conhecer de facto qual o efeito que uma determinada acção na entrada de um processo causa na sua saída;

•E que dado um comportamento desejado na saída do processo, basta inverter a relação previamente conhecida entre a entrada e a saída desse mesmo processo de forma obter a entrada necessária para conduzir à saída desejada.


O controlador conceptual

A ideia anteriormente apresentada pode ser condensada no seguinte diagrama

f -1(.)+ +f(.)u

d

yr

Controlador conceptual

Sistema ou processo

Onde:d – representa as perturbações,y – o sinal de saída,u – o sinal de controlo,r – a referência ou comando a ser seguido.

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Comentário

Ao longo deste curso vamos ver que de facto a solução do

problema de controlo que consiste em inverter explicitamente

a dinâmica do processo, apresentada no slide anterior, se

verifica em geral. Assim de uma ou outra forma todos

controladores geram inversas implícitas factíveis do sistema a

controlar (ou processo). Todavia, os diferentes controladores

vão diferir no mecanismo utilizado para aproximar essa

inversa.


retroacção com ganho elevado e inversão

Observa-se de seguida que existe uma propriedade curiosa da retroacção que consiste na geração (implícita) de inversas aproximadas de sistemas dinâmicos, sem recurso à inversão explícita.

+

f(.)

u yrh(.) sistema

z-

A malha de retroacção implementa uma inversa aproximada do sistema f(.), u=f -1(r)

se r-h -1(u) ≈ r.

Figura: Realização de um controlador conceptual

h -1(u)

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Retroacção com ganho elevado e inversão (cont)

Especificamente u = h(r-z) = h(r-f(u))

ou h -1(u) = r - f(u), r-h -1(u) = f(u)

assim u = f -1(r-h -1(u)) ≈ f -1(r) caso h -1(u) seja pequeno.

Donde h(.) resulta num ganho elevado.

Dado que a equação anterior é satisfeita caso h(u) seja grande. Pode-se concluir que uma inversa aproximada do sistema a controlar pode ser gerada caso se coloque o modelo do mesmo numa malha de retroacção com ganho elevado.


Assuma que o sistema pode ser descrito por um modelo do tipo

e que a lei de controlo deve garantir que a saída y(t) siga uma referencia r(t) que varia lentamente.

Um modo de resolver o problema consiste em construir uma inversa para o modelo do sistema que seja válida somente na região das baixas frequências.

Utilizando uma arquitectura semelhante à da figura anterior obtém-se uma inversa aproximada, caso h(.) tenha ganho elevado na região das baixas frequências.

Exemplo

)()(2)( tutydttdy

=+

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Exemplo (cont)

+

f(.)

u yrh(.) sistema

z-

Utilizado a nossa solução de malha aberta uma solução simples consiste em fazer h(.) um integrador (ganho infinito à baixa frequência).

A figura seguinte mostra a resposta do sistema, com este controlador, a uma referência r(t) sinusoidal de baixa frequência.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.5

1

1.5

2

Time [s]

Ref

. and

pla

nt o

utpu

t

r(t) y(t)


Controlo em malha aberta versus em malha fechadaInfelizmente, a técnica anteriormente apresentada não conduz a soluções satisfatórias para os problemas de controlo a menos que:

•O modelo de base para projecto do controlador seja uma replica fiel do sistema a controlar (nunca é).•O modelo e a sua inversa sejam estáveis (depende do sistema, mas em geral a inversa explicita do sistema não existe).•As perturbações externas, o ruído nos sensores, e as condições iniciais sejam desprezáveis (em geral não o são).

Está assim motivada a necessidade de encontrar uma solução alternativa para o problema de controlo a qual mantenha as propriedades principais desejadas sem no entanto apresentar as desvantagens da técnica baseada na inversão explicita do sistema a controlar.

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Controlo em malha aberta versus em malha fechada

+

Modelo

u yr Ganho deretroacção sistema

-

+u yr Ganho de

retroacção sistema-

e

Solução de malha aberta baseada na inversão implícita do modelo

Solução de malha fechada

A

A’



•No caso do modelo f(.) representar o sistema de forma exacta, e todos os sinais forem limitados (ou seja a malha de retroacção e o sistema sejam estáveis), então ambas as configurações são equivalentes no que respeita à relação entre os sinais r(t) e y(t). As diferenças principais devem-se a perturbações e condições iniciais.

•Na configuração de malha aberta, o controlador incorpora a realimentação internamente, ou seja, realimenta o ponto A.

•Na configuração de malha fechada, o sinal realimentado depende directamente da saída do sistema real dado que a mesma é realimentada a partir de A’.

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+u yr Ganho de

retroacção sistema-

e

Solução de malha fechada

A’

A configuração de malha fechada contém muitas vantagens face à configuração em malha aberta, mesmo utilizando inversão, implícita do modelo, as quais incluem:

•Insensibilidade face a erros de modelação.•Insensibilidade face a perturbações no sistema (não incluídas no modelo)


Compromissos na escolha do ganho de retroacção

As considerações preliminares das secções anteriores poderiam levar a concluir que tudo o que é necessário fazer para obter um controlador de alto desempenho é colocar um ganho elevado na malha de retroacção. Isto éverdade. Todavia, tudo em engenharia tem um custo, incluindo a utilização de ganho de retroacção elevado.

Por exemplo, caso o sistema apresente uma perturbação que conduza a um erro e(t) não nulo, então a utilização de ganho elevado irá resultar numa acção de controlo elevada u(t). Isto pode conduzir os actuadores a operar fora da zona de funcionamento especificada invalidando a solução.

Um outro problema potencial da utilização de ganho de retroacção elevado é o facto do mesmo ser acompanhado muitas vezes pelo risco de instabilidade. Instabilidade essa, que pode ser caracterizada por oscilações constantes ou crescentes na saída do sistema.

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Como exemplo todos nós já presenciamos o apito provocado quando se coloca um microfone perto de um altifalante. Isto é uma manifestação de instabilidade resultante de ganho de retroacção excessivo. Manifestações mais trágicas de ganho de retroacção elevado incluem desastres aéreos e o desastre de Chernobyl.

Um último efeito nefasto do ganho de retroacção elevado pode ser observado no controlo do nível de aço do molde, no exemplo anteriormente apresentado. Neste exemplo, foi referido que aumentando o ganho de retroacção leva inevitavelmente ao aumento da sensibilidade face ao ruído nos sensores. (Esta afirmação é genericamente verdadeira).

Em suma ganho de retroacção elevado é desejável de algumas perspectivas mas bastante indesejável quando visto a partir de outras. Assim a escolha do ganho de retroacção necessita de um compromisso entre diferentes factores muitas vezes antagónicos.



A discussão anterior pode assim ser sumarizada como:

Ganho de retroacção elevado dá origem à inversão aproximada do sistema a controlar sendo a base do controlo de sistemas dinâmicos. Todavia, na prática, a escolha do ganho de retroacção resulta na combinação de variados e complexos compromissos de projecto. A percepção e a combinação correcta destes compromissos estão na base do projecto de sistemas de controlo.

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Medidas grandezas do processo

+u(t) y(t)r(t)

Controlador sistema-e(t)

A’

Medição e transmissão do sinalym(t)

•Vamos agora discutir a medição da saída do sistema (isto é, aquilo que é de facto utilizado para gerar o sinal de retroacção)

•Uma descrição mais detalhada da cadeia de retroacção incluindo os sensores é apresentada na figura seguinte:


Atributos desejados dos sensores

• Fiabilidade. Deverá poder trabalhar no intervalo de sinais desejado e resistir às condições de operação (ex. a vibração no caso de aeronaves).

• Precisão. O sensor deverá fornecer medidas tão próximas do valor real da variável possível.

• Rapidez na resposta. Caso a variável medida mude rapidamente o sensor deverá ser capaz de seguir variações. Tempos de resposta lentos nas medidas, não só afectam a qualidade do sistema de controlo mas podem tornar a malha de retroacção instável. A instabilidade da malha fechada pode verificar-se mesmo quando a malha de retroacção foi projectada para ser estável assumindo a medida exacta e sem atraso da saída do processo e se utiliza um sensor com atraso.

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Atributos desejados dos sensores (cont.)

• Imunidade ao ruído. O sistema de medida, incluindo o caminho de transmissão, não deverá ser significativamente afectado por sinal externos tais como ruído associado àmedida,

• Linearidade. Caso o sistema de medida seja não linear, éfundamental conhecer essa não linearidade com detalhe de forma a podermos compensa-la.

• Não intrusivo. O dispositivo de medida não deverá ser significativamente afectado pelo comportamento do sistema e não deverá afectar o comportamento do mesmo.


Malha típica de retroacção

Controlador Sistema

Sensor

Actuadorreferência

medidas

sinal de controlo

ruídono sensor

perturbações

saída

A malha típica de retroacção está apresentada em baixo esta inclui o ruído no sensor e as perturbações

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Modelação da Dinâmica de

Sistemas Físicos

Bibliografia (Livro Goodwin)


Modelação da Dinâmica

Os tópicos abordados incluem:•como seleccionar a complexidade do modelo desejada,•como construir modelos para um dado sistema,•como descrever os erros de modelação,•como linearizar modelos não lineares,

também se irá fazer de uma breve introdução às formas de representação de modelos mais utilizadas, incluindo:

•formulação em espaço de estados.•modelos expressos na forma de equações diferenciais e equações às diferenças de ordem elevada.

Estudo: Goodwin Capítulo 3.

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A justificação dos modelos

• Recordando o exemplo da produção contínua de lingotes, o controlo do nível do molde só pode ser efectuado a partir de três acções básicas da válvula de controlo: abrir, fechar, manter.

• Vimos também que o modo como estas acções são efectuadas envolve compromissos delicados entre objectivos de projecto contraditórios tais como a velocidade de resposta e a sensibilidade ao ruído no sensor.

• Em muitos casos o teste do controlador no sistema real não é possível devido factores como a complexidade do processo, eficiência, custos e mesmo segurança. (ex. não se testam controladores em aeronaves sem que antes tenham sido exaustivamente validados em modelos).


Modelos matemáticos

• O projecto de sistemas de controlo requer tipicamente um balanço delicado entre limitações fundamentais e soluções de compromisso.

• Para chegar a esse balanço é fundamental obter uma compreensão do processo.

• Esta compreensão é normalmente captada por um modelo matemático da dinâmica do processo.

• Partindo de um modelo matemático é possível predizer qual o impacto de diferentes técnicas de controlo sem comprometer a integridade do sistema real.

• O poder dos modelos matemáticos reside assim nos seguintes factos: – podem ser simulados em situações hipotéticas. – podem ser sujeitos a condições de operação que seriam perigosas na realidade,– poderem ser utilizados para sintetizar controladores.

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Modelos e complexidade

• Aquando da construção de um modelo matemático da dinâmica de um determinado processo físico é muito importante ter presente que os processos reais são de facto muito complexos e consequentemente o desenvolvimento de modelos que contenham uma descrição “exacta” do processo é muitas vezes uma tarefa impossível.

• Felizmente para o projectista do sistema de controlo, a retroacção é muito robusta, podendo em geral o sistema de controlo ser desenvolvido com recurso a modelos “bastante simples” do processo desde que captem as principais características do mesmo.

• É no entanto fundamental no desenvolvimento de modelos simplificados de sistemas físicos ter ideias claras do nível de aproximação utilizado e qual a dimensão do erro.


Modelos e complexidade

• Modelo nominal. Uma descrição matemática aproximada do sistema físico para ser utilizada no desenvolvimento do sistema de controlo.

• Modelo de Calibração. Uma descrição matemática mais completa do sistema físico. Inclui em geral detalhes não utilizados no desenvolvimento do sistema de controlo o objectivo deste modelo é avaliar em simulação o desempenho do controlador.

• Erro de modelação. É a diferença entre o modelo nominal e o modelo de calibração. Detalhes deste erro podem não ser conhecidos na sua integra, no entanto, intervalos e limites máximos desse erro deverão ser conhecidos.

Os sistemas reais podem ser arbitrariamente complexos. Assim, todo modelo deverá ser necessariamente uma descrição aproximada do processo. Introduzem-se em seguida as seguintes três definições:

39


Construção de modelos matemáticos

• Uma possível metodologia para a construção de modelos de sistemas físicos consiste em postular uma determinada estrutura e então utilizar uma técnica de identificação para determinar os parâmetros do modelo. Nesta metodologia, os parâmetros do modelo variam quer por tentativa e erro, quer utilizando algoritmos bastante evoluídos até o comportamento do sistema e do modelo serem semelhantes na zona de funcionamento desejada. Esta técnica é muito utilizada em controlo de processos onde a obtenção de um modelo utilizando considerações de ordem física pode ser muito trabalhosa.

• Uma outra alternativa consiste em utilizar as leis da física (ex. conservação da massa, energia e momento) para construir o modelo. Esta aproximação muito utilizada na modelação de sistemas mecânicos, pela sua relativa simplicidade, consiste em utilizar os princípios da física para determinar as relações entre as diversas variáveis do sistema (ex. dinâmica de aviões e helicópteros)


Construção de modelos matemáticos

Os modelos relevantes para controlo devem ser suficientemente simples para poderem ser utilizados na síntese de controladores e mantendo ainda as principais ligações entre as diversas variáveis.

Em geral, deve utilizar-se um misto das duas metodologias anteriormente apresentadas para obter um modelo que descreva a dinâmica do sistema pretendido de forma eficiente. Assim, utiliza-se a física para determinar as relações entre as diversas variáveis do processo, e técnicas de identificação para calcular o valor dos diversos parâmetros da dinâmica.

40


Modelos: Representação em espaço de estados

( ) ( ( ), ( ), )

( ) ( ( ), ( ), )

d x t f x t u t tdt

y t g x t u t t

=

=

( )u tSistema

( )y t

Modelos em tempo continuo, , ( ) , ( ), ( )nt R x t R y t u t R∈ ∈ ∈

( 1) ( ( ), ( ), )( ) ( ( ), ( ), )

x k f x k u k ky k g x k u k k+ =

=( )u k

Sistema( )y k

Modelos em tempo discreto, , ( ) , ( ), ( )nk Z x k R y k u k R∈ ∈ ∈


Modelos Lineares

Modelos em tempo continuo, , ( ) , ( ), ( )nt R x t R y t u t R∈ ∈ ∈

1 1Onde , , , são matrizes , , , .n n n nA B C D A R B R C R D R× × ×∈ ∈ ∈ ∈

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d x t Ax t Bu tdt

y t Cx t Du t

= +

= +

( )u tSistema

( )y t

( 1) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x k Ax k Bu ky k Cx k Du k+ = +

= +( )u k

Sistema( )y k

Modelos em tempo discreto, , ( ) , ( ), ( )nk Z x k R y k u k R∈ ∈ ∈

1 1Onde , , , são matrizes , , , .n n n nA B C D A R B R C R D R× × ×∈ ∈ ∈ ∈

41


Exemplo 1: circuito eléctrico

Relação tensão/corrente na bobine, ( ) ( )

Relação tensão/corrente no condensador, ( ) ( )

L L

C C

dv t L i tdt

di t C v tdt

=

=

+

vf (t)

i(t)R1

L C v(t)R2

Considere o circuito seguinte. Assuma que pretendemos conhecer a tensão v(t) em função da tensão de entrada vf(t).

1 2

( ) ( ) ( ) ( )( )fv t v t dv t v ti t CR dt R−

= + +

Utilizando o facto que a corrente que atravessa R1 corresponde à soma da corrente i(t) que atravessa a bobine com a corrente que atravessa o condensador e ainda com a corrente que atravessa R2, podemos escrever:


Exemplo 1: circuito eléctrico

1 2 1

( ) 1 ( )

( ) 1 1 1 1( ) ( ) ( )f

di t v tdt L

dv t i t v t v tdt C R C R C R C

⎧ =⎪⎪⎨ ⎛ ⎞⎪ = − − + +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

[ ]1

1 2

10 0, , 0 1 , 01

1 1 1L

A B C DR C

C R C R C

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥− − + ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦

Podemos então escrever

Conduzindo ao sistema na forma de espaço de estados

42


Exemplo 1: do circuito eléctrico

[ ]

11 2

10 0( ) ( )

( )11 1 1( ) ( )

( ) ( ) 0 1 + 0 ( )

( )

f

f

Li t i td v tv t v tdt

R CC R C R C

i tv t v t

v t

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− − + ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

+

vf (t)

i(t)R1

L C v(t)R2

Circuito:

Abstracção matemática (modelo):

A validade do modelo é função dos componentes utilizados e encontra-se limitada aos valores de tensão, corrente e temperatura de funcionamento para os quais os diferentes componentes foram projectados.


Exemplo 2: Motor eléctrico A figura representa um motor eléctrico controlado pela armadura (rotor) em que θ(t) representa a posição angular do veio do motor.

rotor

( )bK tθ

β

J

R L

( )av t ( )i t

( )mt t

( )tθ

43


Exemplo 2: Motor eléctricoConsidere• J - momento de inércia do rotor• β - constante de atrito viscoso do rotor• tm(t) - o binário motor.• ia(t) - a corrente na armadura• Km; Kb - constantes do motor• L - indutância da armadura• R - resistência eléctrica da armaduraAplicando as leis da física estabelecemos as seguintes relações entre as varáveis.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

2

m m a

a a a b

m

t t K i td dv t Ri t L i t K tdt dt

d dt t t J tdt dt

θ

β θ θ

⎧⎪ =⎪⎪ = + +⎨⎪⎪

− =⎪⎩

A primeira equação corresponde àproporcionalidade entre o binário do motor e a corrente na armadura (rotor). A segunda equação corresponde à lei das malhas do circuito indutivo e, por fim, a terceira corresponde à lei do momento angular.


Exemplo 2: Motor eléctrico

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

2

m m a

a a b

m

t t K i tdv t Ri t K tdt

d dt t t J tdt dt

θ

β θ θ

⎧⎪ =⎪⎪ = +⎨⎪⎪

− =⎪⎩

Desprezando a indutância da bobine do rotor por questão de simplicidade (L → 0) obtemos:

Ou seja:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

2

m a m m b

m

dK v t Rt t K K tdt

d dt t t J tdt dt

θ

β θ θ

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

( ) ( ) ( ) ( )2

2m a m bd dK v t K K R t RJ tdt dt

β θ θ− + =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )m bma

d t tdt

K K RKd t v t tdt RJ RJ

θ ω

βω ω

⎧ =⎪⎪⎨ +⎪ = −⎪⎩

definindo

( ) ( )d t tdt

θ ω=

44


Exemplo 2: Motor eléctrico

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )m bma

d t tdt

K K RKd t v t tdt RJ RJ

θ ω

βω ω

⎧ =⎪⎪⎨ +⎪ = −⎪⎩

O qual pode ser escrito na forma de modelo de estado como:

[ ]

0 1 0( ) ( ) ( )

( ) ( )0

( ) ( ) 0 1 + 0 ( )

( )

am b m

a

t td v tK K R Kt tdtRJ RJ

tt v t

t

θ θβω ω

θω

ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ++⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

resultando:

[ ]0 1 0

, , 0 1 , 00 m b m

A B C DK K R KRJ RJ

β⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =+⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦


Modelos de sistemas mecânicos

( ) ( )f t Kx t=f(t)x(t)

( ) ( )t

o

f t K v dτ τ= ∫

( ) ( )df t x tdt

β=f(t)x(t)

( ) ( )f t v tβ=

2

2( ) ( )df t M x tdt

=M f(t)

x(t)

( ) ( )df t M v tdt

=

β

Força/velocidade Força/posiçãoComponente

K

45


Solução para modelos na forma de espaço de estados em tempo contínuo

• Uma quantidade chave na determinação da solução da equação de estado para sistemas lineares expressos na forma de espaço de estados e a exponencial de uma matriz

•A solução forçada da equação de estado linear é assim dada por:

1

1!

At i i

ie I A t

i

∞

=

= + ∑

0

0

( ) ( )0( ) ( ) ( )

tA t t A t

t

x t x t e e Bu dτ τ τ− −= + ∫Solução da eq. homogénea Solução da eq. forçada


Erros de modelação

Considere o modelo do sistema real e o respectivo modelo nominal dados por:

Os erros modelação aditivos são definidos pela seguinte transformação ge

Uma dificuldade dos erros de modelação aditivos é o facto de não serem escaláveis face á dimensão do modelo nominal. Esta é a vantagem dos modelos multiplicativos de erro, gΔ, formulados como

( ), onde ( ) : ( ) ( )o e e oy y g u g u g u g u= + = −

( ( ))oy g u g uΔ= +

( ), ( )o oy g u y g u= =

46


Exercício

A saída de um sistema é assumida ser exactamente descrita por

( ( ))y f sat uα=

onde f(.) é uma transformação linear e satα(.) representa o operador α-saturação dado por

|x(t)| | |( )

|x(t)| | |sat x

xα

α αα

>⎧= ⎨ ≤⎩

Determine os modelos aditivos e multiplicativos das incertezas no caso de se escolher como modelo nominal g0(.)=f(.) (a saturação foi ignorada)

( ( ) ) ( ) ( ( ) )definindo ( ) : ( ( ) ) resulta como incerteza aditiva ( ) ( )

e

e

y f u sat u u f u f sat u ug u f sat u u

y f u g u

α α

α

= + − = + −

= −

= +


Exercício

( ( ) )definindo ( ) : ( ) resulta como incerteza multiplicativa ( ( ))

y f u sat u ug u sat u u

y f u g u

α

αΔ

Δ

= + −

= −

= +

Estas incertezas são descritas pelos seguintes blocos:

11

11

11

11

α

α

−α

−α

f〈◦〉

Additive modelling error

Multiplicative modelling error

Note que satα(u) corresponde a:

α

−α

satα(u)

uα−α

47


Linearização

Apesar de na sua maioria os sistemas reais serem não lineares, muitos podem de facto ser razoavelmente bem aproximados por sistemas lineares, pelo menos dentro de determinadas gamas de funcionamento.

Considere o sistema ( ) ( ( ), ( ))( ) ( ( ), ( ))

x t f x t u ty t g x t u t

=⎧⎨ =⎩

e o conjunto de trajectórias {xQ(t), uQ(t), yQ(t), t∈R} satisfazendo

0

( ) ( ( ), ( )) com ( ) dado.

( ) ( ( ), ( ))Q Q Q

QQ Q Q

x t f x t u tx t

y t g x t u t=⎧

⎨ =⎩


Linearização: pontos de equilíbrio

a trajectória {xQ(t), uQ(t), yQ(t), t∈R} pode corresponder a um ponto de equilíbrio do modelo. Neste caso xQ, uQ e yQ, não são funções do tempo e

0 ( , ) com =0.

( , )Q Q

QQ Q Q

f x ux

y g x u=⎧

⎨ =⎩

Em geral poderemos utilizar a linearização para descrever a trajectória {x(t), u(t), y(t), t∈R} do sistema quando x(t), u(t), y(t) se encontram próximos de {xQ(t), uQ(t), yQ(t), t∈R}. Assim podemos utilizar a expansão em serie de taylor até à primeira ordem para aproximar o modelo.

48


Linearização em geral

( , ) ( , )( , ) ( ) ( )

( , ) ( , )( , ) ( ) ( )

Q Q

Q Q

Q Q

Q Q

Q Q Q Qx x x x

u u u u

Q Q Q Qx x x x

u u u u

dx f x u f x uf x u x x u udt x u

g x u g x uy g x u x x u ux u

= =

= =

= =

= =

∂ ∂≈ + − + −

∂ ∂

∂ ∂≈ + − + −

∂ ∂

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) Q Q Q Q

Q Q Q Q

x x x x x x x x

u u u u u u u u

f x u f x u g x u g x uA B C Dx u x u= = = =

= = = =

∂ ∂ ∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

dx t Ax t Bu t Edt

y t Cx t Du t F

= + +

= + +

Que pode ser escrito como

Onde


Linearização em geral

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )( , )

Q Q

Q Q

Q Q

Q Q

Q Q Q Qx x x x

u u u u

Q Q Q Qx x x x

u u u u

f x u f x uE f x u x ux u

g x u g x uF g x u x ux u

= =

= =

= =

= =

∂ ∂= − −

∂ ∂

∂ ∂= − −

∂ ∂

e as matrizes E e F são dadas por

em geral A, B, C, D, E, F são variantes no tempo. Todavia no caso de {xQ(t), uQ(t), yQ(t), t∈R} corresponder a um ponto de equilíbrio, A, B, C, D, E, F serão invariantes no tempo.

49


Linearização: modelos de perturbação

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Q

Q

Q

x t x t x

u t u t u

y t y t y

Δ = −

Δ = −

Δ = −

Definindo:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d x t A x t B u tdty t C x t D u t

Δ= Δ + Δ

Δ = Δ + Δ

Podemos assim escrever o modelo na forma perturbacional como

Este modelo normalmente designado por modelo incremental éextremamente utilizado em engenharia. Trata-se de um modelo que permite evidenciar o comportamento de um sistema dinâmico em torno de pontos de equilíbrio.


Linearização: um exemplo

Considere o sistema dinâmico real representado pela seguinte equação diferencial.

Assuma que a entrada u(t) varia muito pouco em torno de 2. Encontre o ponto de funcionamento e o modelo de perturbação em torno desse ponto de funcionamento

dx(t)dt

= f(x(t), u(t)) = −√

x(t) +(u(t))2

3

dΔx(t)dt

= −38Δx(t) +

43Δu(t)

50


Linearização: um exemplo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

Time [s]

u(t)

ynl

(t)

yl(t)


Linearização: Pêndulo invertido

Considere a seguinte notaçãoy(t) - distância a um ponto de referência.θ(t) - ângulo do pêndulo.M - massa do carro.m - massa do pêndulo (concentrada na ponta).l - comprimento do pêndulo.f(t) - forças aplicadas no pêndulo.

A figura representa um pêndulo invertido. Trata-se de um sistema muito utilizado em laboratório para teste de sistemas de controlo.

51


Linearização: Pêndulo invertido

y =1

λm + sin2 θ(t)

[f(t)m

+ θ2(t)� sin θ(t) − g cos θ(t) sin θ(t)]

θ =1

�λm + sin2 θ(t)

[−f(t)

mcos θ(t) + θ2(t)� sin θ(t) cos θ(t) + (1 − λm)g sin θ(t)

]

A aplicação das leis da física Newtoniana conduz ao seguintemodelo:

onde λm = (M/m). O ponto de equilíbrio do sistema é paradocom θ=0. em torno desse ponto a linearização conduz a

A =

⎡⎢⎢⎣

0 1 0 00 0 −mg

M 00 0 0 10 0 (M+m)g

M� 0

⎤⎥⎥⎦ ; B =

⎡⎢⎢⎣

01M0

− 1M�

⎤⎥⎥⎦ ; C =

[1 0 0 0

]


Sumário

• Com o objectivo último de projectar um controlador para um sistema particular, necessitamos de ter uma descrição simples e formal desse sistema. Esta descrição matemática é normalmente denominada modelo.

• Um modelo é um conjunto de equações matemáticas desenvolvido com o objectivo de capturar as diversas ligações entre as variáveis do sistema.

52


Sistemas e Sinais em Tempo Contínuo

Bibliografia (Livro Goodwin).


Sistemas e Sinais em Tempo Contínuo

Os temas abordados neste capítulo incluem:•Modelos de sistemas dinâmicos expressos como equações diferenciais de ordem elevada.•Transformadas de Laplace. Uma forma de converter equações diferenciais lineares em equações algébricas simplificando assim a sua resolução e análise.•Métodos para análise de estabilidade de sistemas dinâmicos lineares.•Resposta em frequência.

Bibliografia (Livro Goodwin).

53


Operador de Heaviside

•Considere o modelo linear de um sistema dinâmico

•Introduzindo o operador de Heaviside, ou operador diferencial, ρ(.):

•Obtemos

dny(t)dtn

+ an−1dn−1y(t)dtn−1

+ . . . + a0y(t) = bn−1dn−1

dtn−1u(t) + . . . + b0u(t)

ρ〈f(t)〉 = ρf(t) � df(t)dt

ρn〈f(t)〉 = ρnf(t) = ρ⟨ρn−1〈f(t)〉⟩ =

dfn(t)dtn

ρny(t) + an−1ρn−1y(t) + . . . + a0y(t) = bn−1ρ

n−1u(t) + . . . + b0u(t)


Transformada de LaplaceO estudo do comportamento de equações diferenciais do tipo anteriormente apresentado é um assunto de extrema importância para qualquer das áreas da engenharia. De entre os diferentes métodos disponíveis para estudar o comportamento de equações diferenciais lineares destaca-se a

TRANSFORMADA de LAPLACE como uma ferramenta de particular utilidade.

EquaçãodiferencialEquação

diferencial

EquaçãoalgébricaEquaçãoalgébrica

Transformada de Laplace

Análise de Comportamento e eventual resolução

Análise de Comportamento e eventual resolução

Análise no domínio do tempo. Difícil

Análise bastante mais fácil

54


Definição da Transformada

Considere o sinal em tempo contínuo y(t); 0 ≤ t < ∞. O par de transformadas de Laplace associado com y(t) é definido como

L [y(t)] = Y (s) =∫ ∞

0−e−sty(t)dt

L−1 [y(s)] = y(t) =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞estY (s)ds

Transformada de Laplace. t → s

Transformada inversa de Laplace. s → t


Resultado chave

Um resultado chave na transformada de Laplace e que justifica a sua utilização na análise de comportamento de sistemas dinâmicos é a propriedade seguinte:

L[dy(t)dt

]= sY (s) − y(0−)

Note que transforma derivadas em polinómios na variável sfacilitando desta forma a análise das equações.

55


Tabela de transformadasf(t) (t ≥ 0) L [f(t)] Region of Convergence

11s

σ > 0

δD(t) 1 |σ| < ∞t

1s2

σ > 0

tn n ∈ Z+ n!sn+1

σ > 0

eαt α ∈ C1

s − ασ > �{α}

teαt α ∈ C1

(s − α)2σ > �{α}

cos(ωot)s

s2 + ω2o

σ > 0

sin(ωot)ωo

s2 + ω2o

σ > 0

eαt sin(ωot + β)(sin β)s + ω2

o cosβ − α sin β

(s − α)2 + ω2o

σ > �{α}

t sin(ωot)2ωos

(s2 + ω2o)2

σ > 0

t cos(ωot)s2 − ω2

o

(s2 + ω2o)2

σ > 0

μ(t) − μ(t − τ)1 − e−sτ

s|σ| < ∞


Tabela de propriedades das transformadas

f(t) L [f(t)] Namesl∑

i=1

aifi(t)l∑

i=1

aiFi(s) Linear combination

dy(t)dt

sY (s) − y(0−) Derivative Law

dky(t)dtk

skY (s) − ∑ki=1 sk−i di−1y(t)

dti−1

∣∣∣∣t=0−

High order derivative∫ t

0−y(τ)dτ

1sY (s) Integral Law

y(t − τ)μ(t − τ) e−sτY (s) Delay

ty(t) −dY (s)ds

tky(t) (−1)k dkY (s)dsk∫ t

0−f1(τ)f2(t − τ)dτ F1(s)F2(s) Convolution

limt→∞ y(t) lim

s→0sY (s) Final Value Theorem

limt→0+

y(t) lims→∞ sY (s) Initial Value Theorem

f1(t)f2(t)1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞F1(ζ)F2(s − ζ)dζ Time domain product

eatf1(t) F1(s − a) Frequency Shift

[ ] [ ] { } 1 2( ) ( ) , ( ) ( ) , 1, 2,3,... , ( ) ( ) 0 0.i iF s f t Y s y t k f t f t t= = ∈ = = ∀ <L L

56


A transformada de Laplace converte equações diferenciais em equações algébricas da forma

Que assumindo condições iniciais nulas pode ser escrito na forma

onde

e

G(s) é denominada função de transferência.

Funções de Transferência

11 1 0

1 0 0

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ... ( ) ( ) ( , )

n nn

mm

s Y s a s Y s a sY s a Y s

b s U s b sU s b U s f s x

−−+ + + + =

+ + + +

0( ) ( ) ( ), com ( , ) 0Y s G s U s f s x= =

( )( )( )

B sG sA s

=

11 1 0

1 0

( ) ...

( ) ...

n nn

mm

A s s a s a s a

B s b s b s b

−−= + + + +

= + + +


Aplicando transformada de Laplace ao modelo em espaço de estados resulta

donde

Assumindo x(0)=0

com G(s) como função de transferência

Funções de Transferência de Modelos em Espaço de Estados em tempo contínuo

( ) (0) ( ) ( )( ) ( ) ( )

sX s x AX s BU sY s CX s DU s

− = += +

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) (0)

( ) ( ) ( ) ( ) (0)

X s sI A BU s sI A x

Y s C sI A B D U s C sI A x

− −

− −

= − + −

⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦

1

( ) ( ) ( )( ) ( )

Y s G s U sG s C sI A B D−

=

= − +

57


Exemplos de Cálculo da Transformada de Sinais pela definição. 1) escalão

1) x(t)=1 é a função escalão x(t)=u(t).

0 0 0

00

0 0

1[ ( ) ( )] ( ) ( )

(| | 1 0, ( 0) , ( 0)1 1 (cos 0 sin 0)

tst st st

t

st tt tj t j jt t

j

L x t u t x t e dt e dt e d sts

e e e ee e es s s s

e e se e se

js s

σ σ σω ω ω

ω σ σσ σ

∞ ∞ =∞− − −

=

− − − ∞ −=∞ =∞− − ∞ −= =

− ∞ − ∞ − ∞

= = = = − −

= − = − = − +

= = > → ∞ <

= − =

∫ ∫ ∫

1 (1) [ ( )] (para Re( )) 0L L u t ss

⇒ = = >

0, se 0( ) :

1, se 0t

u tt

<⎧= ⎨ ≥⎩


Exemplos de Cálculo da Transformada de Sinais pela definição. 2

2) ( ) ( )tx t e u tα−=

∫∫∞

+−∞

−−− ==0

)(

0

)]([ dtedteetueL tssttt ααα

0

definindo uma nova variável , resulta . sts s e dtα∞

−= + ∫

0

1Mas sabemos que com Re( ) 0ste dt ss

∞− = >∫

( )

0 0

1 1, Re( ) 0 , Re( ) 0

1[ ( )] , Re( ) 0, ou seja Re( ) Re( )

donde resulta [ ]

st s t

t

t

e dt s e dt ss s

L e u t s ss

L e

α

α

α

αα

α αα

∞ ∞− − +

−

−

⇒ = > ⇒ = + >+

⇒ = + > > −+

∫ ∫

1s α

=+

58


Exemplos de Cálculo da Transformada de Sinais pela definição. 3

+

-

3) ( ) ( ), delta de Dirac. Note que ( ) ( ) (0).x t t t f t dt fδ δ∞

∞

= =∫

0

0 0

0

[ ( )] ( )

(cos sin )

1

st

st t j t

t t

t

t

t t e dt

e e e

e t j t

σ ω

σ

δ δ

ω ω

∞−

− − −

= =

−

=

=

= =

= −

=

∫L


Convergência da transformada de LaplaceDe forma a garantir que

converge, σ = Re(s) tem de ser positivo para que x(t)e -σt vá para zero quando t vai para infinito, por valores positivos.

(2) Região de convergência absoluta (ROC) e pólos

0 0

( ) ( ) , ( )st t j tx t e dt x t e e dt s j Cσ ω σ ω∞ ∞

− − −= = + ∈∫ ∫

Re(s)

Im(s)

Re(s)

Im(s)

-α

ROC da TL de x(t)=u(t). ROC da TL de x(t)= e-αtu(t).

59


Alguns teoremas de extrema importância

1 1 2 2( ) [ ( )] ( ) ( )X s x t a X s a X s= = +L

Linearidade: Assuma que o sinal x(t) pode ser expresso como x(t)=a1x1(t)+a2x2(t) onde a1 e a2 são independentes da variável t. Sejam L [x1(t)]=X1(t) e L [x2(t)]=X2(t) então:

[ ( )] 11[ ( )]

1[ ]t

t

u ts

es

α

δ

α−

=

=

=+

L

L

L

0

0 0

0

( )

0

1[ ]

1[ ] [ ]

j t

j t j t

es j

e es j

ω

ω ω

ω

ω

−

− −

=+

= =−

L

L L

Exemplo: Determinar a solução para L [cos(ω0 t)]. Auxílio, expressar, se possível, a função como uma combinação linear de δ(t), u(t) e e-αt e utilizar


Exemplo: continuação

0

0

0 0 0 0

0 0

cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

j t

j t

e t j t t j t

e t j t

ω

ω

ω ω ω ω

ω ω

− = − + − = −

= +

Utilizando a definição de e-jαt resulta

Donde

0 00

0 0

0 0

0 0

2 20

1Logo [cos( )] [ ( ) ( )]21 1 1 2

( ) ( )1 2 ( )( )

j t j tt e e

s j s j

s j s js j s j

ss

ω ωω

ω ω

ω ωω ω

ω

−= +

⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

⎡ ⎤− + += ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

=+

L L L

0 00 0

0 02cos( ) cos( )2

j t j tj t j t e ee e t t

ω ωω ω ω ω

−− +

+ = ⇒ =

60


A Transformada da derivada

Assuma que ( ) [ ( )]( )então ( ) (0 )

X s x tdx t sX s x

dt−

=

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

L

L

Prova:

0 0

( ) ( )Pela definição temos ( )

a integração por partes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

definindo ( ) ( ), e ( )

obtemos (

st st

b bt b

t aa a

st

dx t dx t e dt e dx tdt dt

u t dv t u t v t v t du t

v t x t u t e

v

∞ ∞− −

=

=

−

⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

= =

∫ ∫

∫ ∫

L

0 0 0

) ( ) ( ) ( )st stt du t x t de s x t e dt∞ ∞ ∞

− −= = −∫ ∫ ∫( )( ) ( )X s x t= L


prova: continuação

0 00

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ( )]

bt tst stt t

a

tstt

u t v t v t du t e x t s x t e dt

e x t sL x t

∞=∞ =∞− −= =

=∞−=

− = +

= +

∫ ∫

0 -0

note que lim ( ) 0, pois doutra forma a transformada

não existe. Assim ( ) (0) (0). Utilizando 0

como o limite inferior obtemos:

st

t

tst st

e x t

e x t e x x

−

→∞

=∞− − ⋅=

=

= − = −

00

( ) ( ) ( ) ( ) (0 ) ( ) ( ) (0 )t

tu t v t v t du t x sX s sX s x

∞=∞ − −=

− = − + = −∫

0 0

relembrando ( ) , e ( ) ( )

( )o termo ( ) ( ) ( ) pela definição

st

st

u t e v t x t

dx tu t dv t e dx tdt

−

∞ ∞−

= =

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ L

qed

61


Exemplo de utilização

~

r

l

t=0

i(t)=?v(t)=V

( ) ( )A equação do sistema para t>0, ( ) 0 ( ) 0di t di t rl ri t i tdt dt l

+ = ⇒ + =

( )

( ) ( )( ) [ ( )]

( ) (0 ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) r l t

di t r di t ri t i tdt l dt l

r r VsI s i I s s I sl l r

V rI s i t V r e u t As r l

−

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + = + − =

⇒ = ⇒ =+

L L L

Antes o interruptor passar de 1 para2 em t=0

(0 )V Vi A i Ar r

−= ⇒ =

1

2Determine i(t) para t>0


Transformada de Laplace do integral

0

Assuma que ( ) ( ) , e que ( ) [ ( )], então

( ) (0 ) ( ) , onde (0 ) ( )

t

t

y t x d X s x t

X s yx d y x ds s

λ λ

λ λ λ λ−

−∞

−−

−∞ −∞

= =

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫

∫ ∫

L

L

Prova: 0

0

00 0

( ) ( )t

st

t

t

x d x d e dt

udv uv vdu

λ λ λ λ−∞

−

−−∞ −∞

∞ ∞=∞−=

− −

⎛ ⎞⎡ ⎤ =∫ ∫ ∫⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

= = −∫ ∫

L

00

00

0

( ) lim ( ) ( )

(0 )

tt tst st st

t tt

t

t

e e euv x d x d x ds s s

yuvs

λ λ λ λ λ λ−

−

−

−

=∞− − − ⋅=∞

= →∞−∞ −∞ −∞=

−=∞

=

⎛ ⎞ − −= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ =

∫ ∫ ∫

62


Prova: continuação

)(1)(1)(000

sXs

dtetxs

dttxs

evdu stst

−=−=−= ∫∫∫∞

−∞ −∞

−−−

O outro termo resulta em

(0 ) ( ) ( ) (0 )( )t y X s X s yx d

s s s sλ λ

− −

−∞

⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫L

donde

O que permite concluir a prova. Esta propriedade é generalizada como

1

11 0

( ) ( )( )k ik

k k ik i

i t

d y t d y ts Y s sdt dt −

−−

−= =

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑L


Exemplo

~

r

l

t=0

i(t)=?

v(t)c

Determine I(s) = L [i(t)] emfunção de v(t)

Da circulação obtemos a lei das tensões ( ) ( ) ( ) ( )L C Rv t v t v t v t= + +

( ) 1Mas sabemos que ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )t

L C Rdi tv t l v t i d v t ri tdt c

λ λ−∞

= = =∫

0 0

( ) [ ( ) (0 )] ( ), com (0 ) 0, ( ) ( )

1 ( ) 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 1 ( ) ( ) (0 )

L R

C

C c

V s l sI s i lsI s i V s rI s

I sV s i d I s i dc s s cs cs

V s I s vcs s

λ λ λ λ− −

− −

−∞ −∞

−

= − = = =

⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⇒ = +

∫ ∫

63


Exemplo: continuação

2

2

( ) ( ) ( ) ( )1 1( ) ( ) ( ) (0 ) ( )

1( ) (0 )( ) 1

( ) (0 )1

( ) (0 )1

L C R

C

C

C

C

V s V s V s V s

V s lsI s I s v rI scs s

V s vsI s

ls rcs

sV s v

ls src

sV s vrl s sl lc

−

−

−

−

= + +

= + + +

−⇒ =

+ +

−=

+ +

−=

⎡ ⎤⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


Teorema do deslocamento na frequência

Considere ( ) ( ) com transformadas de Laplace ( ) [ ( )], e ( ) [ ( )]então ( ) ( )

ty t x t eX s x t Y s y t

Y s X s

α

α

−== =

= +L L

0 02 2 2 20 0

0 00 02 2 2 2

0 0

Exemplos de aplicação1 11) [ ( )] , [ ( ) ]

2) [cos ] , [cos ]( )

3) [sin ] , [sin ]( )

t

t

t

u t u t es s

s st t es s

t t es s

α

α

α

ααω ω

ω α ωω ωω ω

ω α ω

−

−

−

= ⇒ =+

+= ⇒ ⋅ =

+ + +

= ⇒ ⋅ =+ + +

L L

L L

L L

64


Exemplo de aplicação

1 12

8Encontre ( ) [ ( )]6 13

sx t X ss s

− − += =

+ +L L

2 2

2 2 2 2

8 ( 3) 5( )6 13 6 9 4

3 (5 / 2) 2( 3) 2 ( 3) 2

s sX ss s s s

ss s

+ + += =

+ + + + ++ ×

= ++ + + +

1 3 35( ) [ ( )] cos 2 sin 2 ( 0)2

t tx t X s e t e t t− − −= = + >L

Donde resulta:


Teorema do atraso em tComo expressar o atraso no tempo?

f(t)u(t)

t

f(t-t0)u(t-t0)

tt0

00 0 0

Seja [ ( )] [ ( ) ( )] ( )então [ ( ) ( )] ( ) ( 0)st

x t x t u t X sx t t u t t e X s t−

≡ =

− − = >

L LL

0

0 0

0 0 0

00 0 0 0

0

0 0 0 0 0 00 0

( )0 0 0 0

( )0 0

0

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

tst st

s t t stst st

t t t

t tst s t t st sts

t

x t t u t t x t t u t t e dt x t t u t t e dt

x t t u t t e dt x t t e dt x t t e dt

e x t t e d t t e x e d eτ

ττ τ

∞− −

∞ ∞ ∞− − −− −

∞ ∞= −− − − − −−

− − = − − = − − +

− − = − = − =

− − = =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

L

( )X sqed

Prova

65


Resposta de sistemas lineares

G(s)G(s) g(t)g(t)U(s) Y(s) u(t) y(t)

1- Domínio da “Frequência” 2- Domínio do tempo

[ ] [ ][ ]

1 1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( ),

onde ( ) ( )

y t Y s G s U s g t u t

g t G s

− −

−

= = =

=

L L

L

caso ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), resultando ( ) ( ).

No âmbito da teoria dos sistemas dinâmicos é vulgar denominar G(s)por ( ) e a resposta impulsiva por ( ).

u t t Y s G s U s G s y t g t

H s h t

δ= → = = =


Convolução ( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t f t g t f g t dλ λ λ∞

−∞

= = −∫

Convolução de dois sinais

Sinais f(t) e g(t)

Sinais f(λ) e g(t-λ), t<0

Sinais f(λ) e g(t-λ), t>0

66



1 2

1 2 1 2

Considere dois sinais ( ) e ( ) e seja

( ) ( )* ( ) ( ) ( )

o integral de convolução desses sinais

x t x t

y t x t x t x x t dλ λ λ∞

−∞

= = −∫

1 1 20

2 2

1 20

se ( ) 0, 0 ( ) ( ) ( )

e ( ) 0, 0, ( ( ) 0, )

( ) ( ) ( )t

x t t y t x x t d

x t t x t t

y t x x t d

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

∞

= ∀ < ⇒ = −

= ∀ < − = ∀ >

⇒ = −

∫

∫



1 2 1 2 1 20 0

1 2 1 2 1 20 0

1 2 1 20 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]

[ ( ) ( ) ] ( )[ ( ) ]

t

t

st st

x x t d x x t d x x t d

x x t d x x t d x x t d

x x t d e dt x x t e dt d

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

∞ ∞

−∞

∞ ∞

−∞

∞ ∞ ∞ ∞− −

⇒ − = − = −

⇒ − = − = −

− = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

L L L

[ ]

0

2

( )2 2 2

0 0

( ) 0 0

2 20

( ) ( ) ( )

( ) ( )

tt

tst s t s s s

d dt

xs s s

x t e dt x t e e dt e x e d

e x e d e X s

τ λτ

τ λλ λ λ τ

τλ

τ τ λλ τ λ

λ λ τ τ

τ τ

= → =−=∞→ =∞

∞ ∞ ∞= −− − − − − −

=−

∞= ∀ ∈ −− − −

− = − =

= =

∫ ∫ ∫

∫

1 2 2 10 0

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

s sY s x e X s d X s x e d

Y s X s X s

λ λλ λ λ λ∞ ∞

− −= =

⇒ =

∫ ∫

67


Teorema do Valor Inicial1( ) [ ( )] (0 ) lim ( )

sx t L X s x sX s− +

→∞= ⇒ =

00 0Ex.: ( ) cos ( ), é evidente que (0) cos 0 1tx t e tu t x eα ω ω− −= = ⋅ =

2 20

Utilizando transformada de Laplace ( ) [ ( )]( )

sX s x ts

αα ω

+= =

+ +L

2

2 2 2 2 20 0

2

2 2 20

( )(0) lim ( ) lim lim( ) 2

( ) /lim( 2 ) /

2 (2 ) / 2lim lim lim 12 2 (2 2 ) / 2

s s s

s

s s s

s s s sx sX ss s s

d s s dsd s s ds

s d s dss d s ds

α αα ω α α ω

αα α ω

α αα α

→∞ →∞ →∞

→∞

→∞ →∞ →∞

+ += = =

+ + + + +

+ ∞⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ + + ∞⎝ ⎠+ +

= = = =+ +


Teorema do Valor Final

0

dSe ( ) e ( ) possuem transformada de Laplace então:dt

lim ( ) lim ( )t s

x t x t

x t sX s→∞ →

=

condição ( ) não tem polos no eixo imaginário ou no semiplano complexo direito ou lim ( ) existet

sX sx t→∞

68


Provas dos teoremas do valor inicial e final

0

Seja ( ) ( ) (0 ) (0 )

Aplicando TL vem: ( ) ( ) (0 ) ( )

lim ( ) (0 ) 0

mas (0 ) (0 )

donde lim ( ) (0 ). O que prova o

aux

staux aux aux aux

aux auxs

aux

s

f t f t f f

d df t sF s f f t e dtdt dt

sF s f

f f

sF s f

−

+ −

+∞− −

−

→∞

− −

+

→∞

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

⎡ ⎤ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− =⎣ ⎦

=

=

∫L

0 00

0

teorema do valor inicial

Para provar o teorema do valor final considere:

lim ( ) (0 ) lim ( )

( ) (0 ) lim (

st

s s

s

dsF s f f t e dtdt

f fsF

−

+∞− −

→ →

−

→

⎡ ⎤− =⎣ ⎦

= ∞ −

∫

) ( )

O que prova o teorema do valor final.

s f= ∞


Teorema do escalamento

0 ( )

0 0

00

1[ ( )] ( ) ( ) ( )

1 1( )

sa atst a

sata

at

x at x at e dt x at e d ata

sx e d Xa a a

τ τ

τ

τ τ

∞ ∞> −−

⎛ ⎞∞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

>=∞ ⇒ =∞

= =

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫

L

1[ ( )] ( )sx at Xa a

=L

Prova:

69


Inversão de funções racionais

1 01

1 1 0

...( )...

mm

n nn

b s b s bG ss a s a s a−

−

+ + +=

+ + + +

Considere a função de transferência

Esta função racional na variável s é denominada própria se n≥m, e estritamente própria no caso de n>m.

1

02 20

002 2

0

1 ( )1 ( ) ( ) !1 ( ) cos( ) ( )

( )1

sin( ) ( )( )

n t

n

t

t t

t e u tt s n

su t e t u ts s

e e t u ts s

α

α

α α

δ αα ω

α ωω ωα α ω

−

+

−

− −

→→ +

+→ →

+ +

→ →+ + +

A inversão de funções racionais é feita com recurso à expansão em fracções próprias e recorrendo aos seguintes pares:


Inversão de funções racionaisTécnica:1. Factorizar2. Expandir3. Determinar os coeficientes

2

10Exemplo : inverter a seguinte transformada, ( )10 16

Y ss s

=+ +

28)2)(8(10)(

++

+=

++=

sB

sA

sssY

10 ( 2) ( 8) ( 2) ( 8) 10( 8)( 2) ( 8)( 2)

02 8 10 2 8 10

10 / 6 5 / 3, 5 / 3

A s B s A s B ss s s s

A B A BA B B B

B A

+ + += ⇒ + + + =

+ + + +

+ = ⇒ = −⎧⇒ ⎨ + = ⇒ − + =⎩⇒ = = = −

Solução factorizar e expandir

70



8 25 1 5 1 5 5( ) ( ) ( ) ( )3 8 3 2 3 3

t tY s y t e e u ts s

− −= − ⋅ + ⋅ ⇒ = − ++ +

Expansão de Heaviside:

8

2

10 ( 8)( 2) 8 2

10 ( 8) 10multiplicando por ( 8) 5 / 32 2 8 2

10 ( 2) 10multiplicando por ( 2) 5 / 38 8 2 8

s

s

A Bs s s s

B ss A As s

A ss B Bs s

=−

=−

= ++ + + +

++ ⇒ = + ⇒ = = −

+ + − ++

+ ⇒ = + ⇒ = =+ + − +



c1=A1+A2 e c2=(-A1+A2)j deverão ser números reais. Podemos então escrever

2

2

Exemplo: Determinar a resposta no tempo com condições 15 25 20iniciais nulas de ( )

( 1)( 2)( 8)s sY s

s s s+ +

=+ + +

3 31 2 4 1 2 42

31 2 2 1 42

( ) ( )( ) ( )2 8 1 2 8

( ) ( )( )1 2 8

A AA A A A s j A s j AY s Y ss j s j s s s s s

AA A s A A j AY ss s s

− + += + + + ⇔ = + +

+ − + + + + ++ + −

⇔ = + ++ + +

821)( 43

221

++

++

++

=sA

sA

scscsY

Utilizando expansão de Heaviside resulta A3=1 e A4= - 2, e

82

21

1)8)(2)(1(202515)( 2

212

2

+−

++

+++

=+++

++=

ssscsc

ssssssY

71


Inversão de funções racionais1 2

1 2

15 25 20 1 21 => 2 3 9 2 3 9

215 4 25 2 20 1 22 => 5 4 10 5 4 10

c cs

c cs

++ + −= = + +

× ×+× + × + −

= = + +× ×

resultando c1=1 e c2=1.

2 2 2

1 1 2 1 1 2( )1 2 8 1 1 2 8

s sY ss s s s s s s

+= + − = + + −

+ + + + + + +

2 8ou seja ( ) [cos sin 2 ] ( )t ty t t t e e u t− −= + + −

31 22 2

10Exemplo: ( )( 2) ( 8) 8 2 ( 2)

AA AsY ss s s s s

= = + ++ + + + +

31 2 43 2 3

10Exemplo: ( )( 2) ( 8) 8 2 ( 2) ( 2)

AA A AsY ss s s s s s

= = + + ++ + + + + +


Inversão de funções racionais2

2

231 2

2

2 6 6Exemplo factores complexos conjugados: ( )( 2)( 2 2)

2 6 6 ( )( 2)[( 1) 1] 2 1 1

s sY ss s s

AA As sY ss s s s j s j

+ +=

+ + +

+ += = + +

+ + + + − − − +

4 3 21 1 1 2 2

2 2 2 2 2

Exemplo factores quadráticos repetidos: 5 12 7 15 ( )( 2)( 1) 2 1 ( 1)

A B s c B s cs s s sY ss s s s s

+ ++ + + += = + +

+ + + + +

72


Representação do Atraso no Tempo

Em muitos sistemas reais existe um atraso puro entre a entrada e a saída muitas vezes associado com o transporte de material de um ponto para outro. Por exemplo, no caso de existir um pipeline entre dois pontos do processo existe um atraso que consiste no tempo necessário para percorrer essa pipeline. Neste caso a função de transferência é dada por

onde Td representa o atraso em segundos. Neste caso Td irá ser função do atraso no transporte.

( ) dsTH s e−=


Exemplo: Sistema de aquecimento

Exemplo (Goodwin) Sistema de aquecimento. O sistema seguinte é um exemplo simples de um sistema com atraso

A função de transferência da entrada (tensão aplicada na sistema de aquecimento) para a saída (temperatura medida pelo termopar) é aproximadamente dada por:

( )( 1)

dsTKeH ssτ

−

=+

73


As funções de transferência são uma forma algébrica de descrever as propriedades dos sistemas dinâmicos vistas da entrada para a saída

Dizemos que um determinado sistema dinâmico é estável se para qualquer entrada limitada ele produz uma saída limitada. Em particular, pode se utilizar a expansão em fracções simples para decompor a resposta total do sistema na soma das respostas de cada um dos pólos da respectiva função de transferência em separado. Para sistemas contínuos, pode-se concluir que estabilidade implica que a parte real dos pólos seja estritamente negativa, isto é os pólos deverão estar todos localizados no semi-plano complexo esquerdo. Assim para sistema contínuos a fronteira da estabilidade situa-se no eixo imaginário.

Conclusão

11 1 2

1 2

( )( ) , zeros , pólos ,( )( )

sG s s s ss s

β β α αα α

+= = − = − = −

+ +


Resposta no Tempo de Sistemas

Dinâmicos Lineares

74


Resposta Impulsiva de Sistemas Dinâmicos Lineares

A função de transferência de um sistema linear em tempo contínuo corresponde à transformada de Laplace da resposta impulsiva (delta de Dirac δ(t)) com condições iniciais nulas.

Note:

-1

0

( ) ( ) ( ), utilizando o facto de [ ( )] 1, resulta

( ) ( ), ou seja ( ) [ ( )]

, se t=0recorde que ( ) , e ( ) ( )

0, se t 0

Y s H s U s t

Y s H s y t H s

t t dt t dt

δ

δ δ δ−

+∞

−∞

= =

= =

+∞⎧= =⎨ ≠⎩

∫

L

L

0

1+

=∫


Resposta ao escalão em regime estacionário de Sistemas Dinâmicos Lineares

0 0

1( ) ( ) ( ), utilizando o facto de [ ( )] , resulta

1 ( ) ( ) , donde lim ( )

1utilizando o teorema do valor final lim ( ) lim ( ) (0)

r

t

s s

Y s G s U s u ts

Y s G s y t ys

y sG s G s Gs

∞→∞

∞ → →

= =

= =

= = =

L

1, se t 0ecorde que a entrada escalão (step) u( ) .

0, se t 0t

≥⎧= ⎨ <⎩

Resposta ao escalão em regime estacionário de um sistema dinâmico representado pela sua função de transferência G(s), no caso de existir (isto é, no caso de o sistema ser estável) édada pelo teorema do valor final da transformada de Laplace. Assim:

75


Caracterização da resposta do tempo de sistemas dinâmicos

Definimos os seguintes indicadores da resposta ao escalão:•Valor final da resposta, y∞: (Steady state value- y∞), Valor final da resposta no tempo do sistema dinâmico (só existe no caso do sistema ser estável, isto é todos, os pólos da função de transferência estarem no semi-plano complexo esquerdo).•Tempo de subida, tr: (Rise time, tr) Tempo gasto desde que o escalão foi aplicado até a resposta do sistema atingir kry∞ em que kr é uma constante que depende de autor para autor, tipicamente toma valores 0.9 ou 1. No nosso caso assumimos kr=0.9.•Sobreelevação, Mp: (Overshoot, Mp) O valor máximo instantâneo da resposta ao escalão. É normalmente expresso como uma percentagem de y∞. O tempo em que ocorre Mp é normalmente designado por tempo de pico e representa-se por tp.•Subelevação Mu: (Undershoot, Mu) o valor absoluto do mínimo instantâneo da resposta ao escalão. Em geral pouco utilizado.•Tempo de estabelecimento, ts: (Settling time, ts) o tempo gasto desde que a resposta no tempo do sistema dinâmico entra, sem voltar a sair, numa dada banda de dimensão ±δ, em torno do seu valor final. Este desvio δ é em geral definido como uma percentagem de y∞, normalmente de 2% a 5%. Em geral considera-se 5%.


Caracterização da resposta do tempo de sistemas dinâmicos

tp t

u

kr y

∞y

∞−δ

−Mu

tr

Time ts

0

y∞+M

p

y∞

y∞+δ

Valor final da resposta, y∞. Tempo de subida, tr. Sobreelevação, Mp. Subelevação Mu. Tempo de estabelecimento, ts.

76


Pólos zeros e resposta no tempo

Considere uma função de transferência da forma:

Onde β1, β2,…, βm e α1, α2, ,,, αn são, respectivamente, os zeros e os pólos da função de transferência H(s). O grau relativo da função de transferência é definido como:

rn n m−

1

1

( )( )( )

mi ini i

sH ss

βα

=

=

Π +=

Π +

Note que qualquer função de transferência racional escalar admite uma expansão em fracções simples, em que cada termo contém, quer um pólo real simples, quer um par de pólos complexos conjugados, quer múltiplas combinações de pólos repetidos.


Sistemas de primeira ordemEm geral um sistema de primeira ordem pode ser expresso como

A resposta no tempo deste sistema à entrada escalão é dada por

H1(s) =K

τs + 1

y(t) = L−1

[K

s(τs + 1)

]= L−1

[K

s− Kτ

τs + 1

]= K(1 − e−

tτ )

Step Response

y∞

0.632 y∞

τ 0

Time

77


Sistemas de segunda ordemNo caso de pólos complexos conjugados, é comum estudar resposta no tempo de sistemas da forma

2 2

2 2 2 2 2Assim podemos escrever ( )( 2 ) [( 2 ) ]

n n

n n n d

Y ss s s s s

ω ωψω ω ψω ω

= =+ + + +

2( )

1,22 2

2

( ) , com raizes ( 2 )

onde cos = e 1

jnn d n

n n

d n

H s s j es s

π βω ψω ω ωψω ω

β ψ ω ω ψ

± −= = − ± =+ +

= −

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 22

1( )( 2 ) ( 2 )

1 1 1( 2 ) ( 2 )1

n n

n d n d

n d

n d n d

sY ss s s

ss s s

ψω ψωψω ω ψω ω

ψω ωψ ψψω ω ψω ωψ

+= − −

+ + + +

⎡ ⎤+= − − −⎢ ⎥+ + + +− ⎣ ⎦


Sistemas de segunda ordem

2

Aplicando inversa da transformada de Laplace obtemos:

( ) 1 sin( )1

nt

dey t t

ψω

ω βψ

−

= − +−

jω

d

ωn

−ψωn

Td

y∞

y∞+M

p

tr t

p

−jωd

β

78


Sistemas de segunda ordemr

2

Tempo de subida (k =1), com y( ) 1,

de sin( ) 0, obtemos 1

nt

d rd

e t tψω π βω β

ωψ

−

∞ =

−+ = =

−

2

2

2 2 2 2 2

2

sobreelevação e ,

( ) = sin( ) cos( ) 0, 1

resolvendo obtemos sin( ) 1 cos( )

donde sin ( ) cos ( ) cos ( )

logo cos (

n p

p p

t

n d p d d p

n d p n d p

d p d p d p

d

M t

dy t e t tdt

t t

t t t

ψω

ψω ω β ω ω βψ

ψω ω β ω ψ ω β

ψ ω β ω β ψ ω β

ω

−

⎡ ⎤− + + + =⎣ ⎦−

+ = − +

+ = + − +2 1) cos ( ) ,

resultando ou seja .

p d p

d p pd

t t n n Z

nt n t

β ψ ω β ψ π

πω πω

−+ = ⇔ + = + ∈

= =


Sistemas de segunda ordem

2e para ( ) 1 sin( )

1

n pn p

tt

p peM y t e

ψωψωπ β

ψ

−−= − = + =

−

r

Assim podemos concluir que para sistemas de segunda ordem

O tempo de subida (com k =1),

sobreelevação e são dados por, e n p

rd

tp p p p

d

t

nM t M e tψω

π βω

πω

−

−=

= =

79


Zeros de sistemas dinâmicosO impacte dos zeros na resposta no tempo de funções de transferência é um pouco mais subtil que a dos pólos. Isto prende-se com o facto de enquanto os pólos estão associados com os estados per si, os zeros aparecem das interacções aditivas entre os diferentes pólos. Mais ainda, os zeros de uma função de transferência dependem da forma como a entrada é aplicada ao sistema e também como a saída é calculada em função dos estados.

+

13s

−+

22s +

( )u t ( )y t+

23s +

22s +

( )u t ( )y t

4( )( 3)( 2)

sG ss s

+=

+ +( )4 2.5

( )( 3)( 2)

sG s

s s+

=+ +


Zeros de sistemas dinâmicos

Com resposta no tempo

H(s) =−s + c

c(s + 1)(0.5s + 1)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−6

−4

−2

0

2

4

6

Time [s]

Ste

p re

spon

se

c=−0.1

c=0.1

c=−0.25

c=0.25

c=10

c=−10

Considere a função de transferência dada por:

80


Análise do efeito dos zeros na resposta ao escalão de sistemas dinâmicos lineares

Resultado importanteLema 4.1 (Goodwin): Seja H(s) uma função de transferência estritamente própria na variável da transformada de Laplace s e com região de convergência Re(s)>-a. Denote por h(t) a correspondente função do tempo.

Então para qualquer complexo z0 satisfazendo Re(z0)>-a, temos:

H(s) = L [h(t)]

∫ ∞

0

h(t)e−z0tdt = lims→z0

H(s)



Zeros de fase não mínima e subelevação. Assuma um sistema linear com função de transferência H(s) apresentando ganho estático (d.c.) unitário e um zero em s=c, com c∈R+. Assuma ainda que a resposta no tempo do sistema ao escalão unitário, y(t), apresenta um tempo de estabelecimento ts,

Então y(t) exibe uma subelevação Mu que satisfaz.

( )1 ( ) 1 , 1 , .sy t t tδ δ δ+ ≥ ≥ − << ∀ ≥

11su ctM

eδ−

≥−

81



NOTA: O lema anterior estabelece que, quando um sistema tem zeros de fase não mínima (ou zeros no semiplano complexo direito), existe um compromisso entre a rapidez da resposta ao escalão e apresentar pouca subelevação.



Zeros lentos e sobrelevação. Considere um sistema linear e estável com função de transferência H(s) e com ganho estático unitário. Assuma que H(s)apresenta um zero em s=c, c<0. Defina v(t) = 1 - y(t), onde y(t) representa a resposta do sistema ao escalão unitário. Assuma ainda que:

1) O sistema tem pólos dominantes com parte real –p, p>0.2) O zero e pólo dominante estão relacionados por

3) O valor de δ que define o tempo de estabelecimento é escolhido de forma a existir K>0 que verifica

Então a resposta ao escalão apresenta uma sobreelevação a qual é limitada inferiormente de acordo com

η�=

∣∣∣∣ cp∣∣∣∣ 1

|v(t)| < Ke−pt ∀t ≥ ts

Mp ≥ 1e−cts − 1

(1 − Kη

1 − η

)

82


Resposta na Frequência de Sistemas

Dinâmicos Lineares


Resposta em frequênciaEstudamos de seguida a resposta a uma entrada de particular importância, o sinal sen(ωt). A razão pela qual a resposta no tempo ao sinal seno é muito importante vem do facto que ela contém informação acerca da resposta no tempo a outros sinais. Considere a função de transferência:

A resposta à entrada sin(wt) é dada por:

Onde

H(s) = K

∑mi=0 bis

i

sn +∑n−1

k=1 aksk

y(t) = |H(jω)|sin(ωt + φ(ω))

H(jω) = |H(jω)|ejφ(ω)

83


Resposta em frequência: resumo

O sinal seno na entrada de um sistema linear invariante no tempoforça uma saída que corresponde a um sinal seno da mesma frequência. A amplitude do sinal de saída é modificada por um factor igual ao módulo de H(jω) e cuja fase se encontra deslocada por uma quantidade dada pela fase de H(jω).

H(jω)H(jω) y(t)=|H(jω)|sin(ωt+φ(ω))u(t)=sin(ωt)


oo

Mapa Pólos/Zeros

Denomina-se por mapa pólos/zeros de uma função de transferência o desenho, no plano complexo, da localização dos pólos e zeros dessa função de transferência. Nesse desenho a localização dos pólos é representada por x e a dos zeros por o.

Exemplo:

2

( 1)( 1)( )( 2)( 0.5)

( 1)( 1)( 2)( 0.5-0.5i)( 0.5+0.5i)

s sH ss s s s

s ss s s s

+ −= =

+ + ++ −

+ + + 1-1-2x

x

x

Re

Im

x

84


Diagramas de BodeDiagramas de Bode consistem num par de gráficos. Um deles representa o módulo da resposta em frequência |H(jω)| em função da frequência angular, ω. O outro representa o ângulo da respectiva resposta em frequência também em função da frequência angular em radiano/segundo.Em geral os diagramas de Bode são desenhados em eixos especiais:

1) O eixo abcissa é linear em log10(ω) (logaritmo na base 10). Isto permite uma representação compacta da resposta em frequência para um intervalo bastante alargado de frequências. A unidade nos eixos é a década, onde uma década corresponde à distância entre ω1 e 10ω1 para qualquer valor de ω1.2) O módulo da resposta em frequência é medido em deciBel [dB], definido como 20log10|H(jω)|. Este método apresenta diversas vantagens que incluem:

2.1) boa precisão para pequenos e grandes valores de |H(jω)|, 2.2) facilita a construção de aproximações simples para 20log10|H(jω)|,2.3) converte a resposta em frequência de sistemas em cascata na soma das diversas respostas em frequência.

3) O ângulo é medido em escala linear em radianos ou graus.


Desenho de diagramas de Bode assimptóticos

Um ganho simples K apresenta diagramas de Bode de fase e módulo constantes. O diagrama de Bode módulo é uma linha recta de amplitude constante 20log|K|[dB] e o de fase corresponde a uma linha recta horizontal nos 0[rad] (com K∈R+).

KKu(t) y(t)

20log|H(jω)|[dB]

log10ω[rad/sec]

20log|K|[dB]

fase H(jω)[rad]

log10ω[rad/sec]

0

85



Factores sk tem um diagrama de amplitude que consiste numa linha recta cujo declive é igual a 20k[dB/década] e fase constante e igual a kπ/2. Esta linha cruza o eixo horizontal (0[dB]) com ω = 1.

sksku(t) y(t)

20log|H(jω)|[dB]

log10ω[rad/sec]

20k[dB/década]

fase H(jω)[rad]

log10ω[rad/sec]

kπ/2

0


Desenho de diagramas de Bode assimptóticosO factor as+1, com a∈R+ tem um diagrama de amplitude que pode ser assimptoticamente aproximado como se segue:1) para |aω|<<1, 20 log|ajω + 1| ≈ 20 log(1) = 0[dB], isto é para baixas frequências o diagrama de módulo é uma linha recta horizontal. Esta linha recta denomina-se assimptota de baixa frequência.2) para |aω|>>1, 20 log|ajω + 1| ≈ 20 log(|aω|), isto é, para altas frequências o diagrama de amplitude corresponde a uma linha recta com declive de 20[dB/década] o qual cruza o eixo horizontal (0[dB]) para ω = |a|-1. Esta linha recta denomina-se assimptota de alta frequência.3) para ω=|a|-1, |aw|=1, 20 log|j + 1| ≈ 3 dB.

as+1as+1u(t) y(t)

20log|H(jω)|[dB]

log10ω[rad/sec]

20[dB/decada]

0

|a|-1

86



O factor as+1, com a>0 tem um diagrama de fase um pouco mais complexo. Aproximadamente podemos afirmar que ele muda ao longo de duas décadas. Uma década antes |a|-1 a fase é aproximadamente zero. Uma década após |a|-1 a fase é aproximadamente sign(a)π/2[rad]. Ligando os pontos (0.1|a|-1, 0) e (10|a|-1, 0) por uma linha recta dá origem a uma fase de sign(a)π/4 para ω = |a|-1. Isto é uma aproximação algo rudimentar mas que devido à sua simplicidade é extremamente utilizada.

as+1as+1u(t) y(t)

|a|-10.1|a|-1 10|a|-1

π/4π/2

0


Diagramas de Bode de sistemas diversos

1( ) , com b>0G ss b

=+

Sistema: Pólo real simples no semi-plano complexo esquerdo.

-20log|b|

b ω rad/sec

ω rad/secb0.1b 10b

0

-45

-90

X

Im

Re

-b

jω

-20 dB/dec

[grau]

20log|G(jω)| [dB]

87



( ) , com b>0G s s b= +

Sistema: Zero real simples no semi-plano complexo esquerdo.

20log|b|

b ω rad/sec

20 dB/dec

O

Im

Re

-b

jω

ω rad/secb0.1b 10b

90

45

0

[grau]

20log|G(jω)| [dB]



1( ) , com b<0G ss b

=+

Sistema: Pólo real simples no semi-plano complexo direito.

-20log|b|

b ω rad/sec

X

Im

Reb

jω

-20 dB/dec

ω rad/secb0.1b 10b

-90

-135

-180

[grau]

20log|G(jω)| [dB]

88



( ) , com b<0G s s b= +

Sistema: Zero real simples no semi-plano complexo direito.

20log|G(jω)| [dB]

20log|b|

b ω rad/sec

ω rad/sec

20 dB/dec

O

Im

Reb

jω

b0.1b 10b

180

135

90

[grau]



Considere a função de transferência dada por

Antes de desenhar o diagrama de Bode rearranja-se a função de transferência de forma e evidenciar os pólos e os zeros e normalizar o ganho assim:

Utilizando as aproximações apresentadas anteriormente resulta:

H(s) = 640(s + 1)

(s + 4)(s + 8)(s + 10)

H(s) = 2(s + 1)

(0.25s + 1)(0.125s + 1)(0.1s + 1)

89



10−1

100

101

102

−30

−20

−10

0

10

20

Gai

n [d

B]

10−1

100

101

102

−200

−150

−100

−50

0

50

Frequency [rad/s]

Pha

se [°

]


-40

-30

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (d

B)

100 101 102-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


{ }

2

2 2

10 1para ( ) , com 0 0.7072( 2 10 10 )

com 0.05,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7 , resulta

H ss s

ψψ

ψ

= < < ≈+ +

∈

ψ

Re

x

x

12

ψ =0jω

0jω−

x

x

0ψ =

0ω−

Im

Mapa pólos zeros

90



2 22

22 22

2

1 2( ) 20log 1 dB21

n n

n n

H j ω ψωωω ωω ψω

ω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Os diagramas de Bode de amplitude e fase pares de pólos complexos conjugados são bastante mais complicados que os de um pólo simples. Assim considere a função de transferência.

( )22

2 2

1 1( ) com resulta ( )2 21 1

n n n n

H s s j H js s j j

ω ωψ ω ψω

ω ω ω ω

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2 2( ) , com 0 1( 2 )

n

n n

H ss s

ω ψψω ω

= < <+ +

Que pode expressa como:

Diagrama de amplitude:


1. para ω << ωn, resulta 20 log(1) = 0[dB], isto é, para baixas frequências o diagrama de módulo é uma linha recta horizontal. Esta linha recta denomina-se assimptota de baixa frequência.

2. para ω >> ωn, resulta a assimptota de alta frequência dada por

trata-se de uma recta a decair a -40 dB década.3. Para ω≈ωn. Pode-se mostrar que o pico no módulo ocorre perto

da frequência ωn. O peso exacto bem como a localização podem ser determinados diferenciando a expressão do módulo da função de transferência em relação à frequência e igualando a zero. O pico ocorre à frequência de ressonância

e com amplitude dada por


2= 1 2r nω ω ψ−

( )2( ) 20log 2 1 dBrH jω ψ ψ≈ − −

2

2( ) 20log dB = 40log dB n n

H j ω ωωω ω

≈ − −

91


Desenho de diagramas de Bode assimptóticosNote que o pico só existe para ψ=2-0.5. A frequência onde o pico ocorre não é relevante quanto se desenham os diagramas de Bode “àmão” dado que o pico é suficientemente grande e a frequência a que ocorre é muito perto da frequência ωn. Para ψ=0 o pico ocorre exactamente à frequência de ressonância ωn. Todavia, para ψ=0.3 (um pequeno pico de 5 dB) pico ocorre à frequência

Em geral é suficiente representar o pico à frequência ωn.

Resumo: Desenha-se primeiro a assímptota de baixa frequência atéà frequência ωn e a assimptota de alta frequência a partir dai. Em seguida desenha-se uma curva macia entre as assímptotas de baixa e alta frequência e que passa pelo valor do pico próximo da frequência ωn.

2= 1 2 1 0.18 0.91r n n nω ω ψ ω ω− = − =


Desenho de diagramas de Bode assimptóticos12

2

2( ( )) arctan 1n n

arg H j ψω ωωω ω

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Diagrama de fase:

1) ω<<ωn. Neste caso (baixas frequências ) podemos escrever a aproximação da fase da função de transferência como

Corresponde a uma linha recta horizontal com ordenada 0.2) ω>>ωn. Tratam-se das altas frequências. Neste caso a

aproximação pode ser dada por

Corresponde a uma linha recta horizontal com ordenada -180º.3) ω=ωn. Frequência de corte. Nesta frequência

arg( ( )) arctan(0) 0ºH jω ≈ − =

arg( ( )) 180ºH jω ≈ −

arg( ( )) 90ºH jω ≈ −

92



No caso da fase uma aproximação linear não é fácil de conseguir, e não existem regras simples para o fazer. Uma técnica proposta por diversos autores consiste em utilizar a assimptota de baixa e alta frequências do seguinte modo:1) Traçar a assimptota de baixa frequência até:

2) Marcar o ponto (ω2=ωn,-90º)

3) Traçar a assimptota de alta frequência a partir de:

Unir o restante com uma curva macia ou mesmo uma recta.

1

1log(2 )

2nψω ω

−

=

3 1

2log(2 )nω ω

ψ −=


-40

-30

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (d

B)

100 101 102-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


( )220log 2 1 dB 14.0 dBψ ψ− − =

2 10nω ω= =1

1log(2 ) 5

2nψω ω

−

= =

-90º

2

2 2

10Considere ( ) , ou seja 0.1, 10( 2 10 ) nH ss s

ψ ω= = =+ +

3 1

2 20log(2 )nω ω

ψ −= =

93


Modelos de sistema e sua variação paramétricaSystem Parameter Step response Bode (gain) Bode(phase)

K

τs+ 1K K

K

− π2

ττ τ

τ

− π2

ω2n

s2 + 2ψωns+ ω2ψ

ψψ

ψ

−π

ωn

ωnωn

ωn

−π

as+ 1

(s+ 1)2a

a

a

a

− π2

−as+ 1

(s+ 1)2a a

a

a

− 3π2


Conceitos básicos de filtragem e frequênciaNum amplificador ideal, a resposta em frequência deveria ser H(jω)=K, constante ∀ω∈R+. Ou seja todos os componentes do sinal de entrada deveriam passar pelo filtro da mesma forma, isto é com o mesmo ganho e sem fase (estes requisitos são impossíveis de realizar na prática). Definem-se em seguida os seguintes termos que serão utilizados ao longo do curso.

•Banda Passante – Intervalo de frequências em que todas as componentes passam através do sistema com aproximadamente a mesma amplificação (ou atenuação) e com um deslocamento de fase proporcional a ω.•Banda de Rejeição – Intervalo de frequências em que os componentes são rejeitados. Nesta banda |H(jω)| toma valores pequenos comparado com os valores que atinge na banda passante.

94


Conceitos básicos de filtragem e frequência

•Bandas de Transição – Intervalo de frequência entre as diversas bandas passantes e de rejeição.•Frequência de Corte ωc – Este é o valor ω tal que

onde Hc corresponde a• |H(0)| para filtros passa baixo e rejeita banda.• |H(∞)| para filtros passa alto.• O valor máximo de |H(jω)| na banda passante para filtros passa banda.

•Largura de Banda. Trata-se de uma medida da largura da banda passante (ou de rejeição) na frequência. É definida como Bω = ωc2 - ωc1, onde ωc2 > ωc1 ≥ 0. Nesta definição, ωc1 e ωc2correspondem às frequências de corte de cada um dos lados da banda passante ou de rejeição (para filtros passa baixo ωc1 = 0).

( ) / 2,c cH j Hω =


Conceitos básicos de filtragem e frequência

101

102

103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Gai

n

Frequency [rad/s]

ωc1

ωc2

Diagrama de módulo de um filtro passa banda (Goodwin)

95


Transformada de FourierUma generalização natural da resposta em frequência é a transformada de Fourier. Esta proporciona-nos uma técnica para representar um vasto conjunto de sinais no domínio da frequência.

Considere o sinal em tempo contínuo f(t), definido para -∞<t<∞. Então o par de transformadas de Fourier é definido como

[ ]

[ ]-1

( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )2

j t

j t

f t F j e f t dt

F j f t e F j d

ω

ω

ω

ω ω ωπ

+∞−

−∞

+∞

−∞

= =

= =

∫

∫

F

F

O par de transformadas é bem definido se f(t) for absolutamente integrável isto é se

( )f t dt+∞

−∞

< ∞∫


Transformada de Fouriere

Teorema de Parseval

96


Transformada de FourierAs transformadas de Fourier estão relacionadas com as transformadas de Laplace. Todavia, enquanto as transformadas de Laplace são unilaterais, isto é definidas para t∈[0, ∞[, as transformadas de Fourier são bilaterais, ou seja definidas para t∈[-∞, ∞[.

Esta diferença traz algumas alterações na interpretação:

Por exemplo a transformada de Laplace permite tratar de condições iniciais, e os pólos no semi-plano complexo direito correspondem a instabilidade.

Na transformada de Fourier as condições iniciais não são normalmente tratadas e os pólos no semi-plano complexo direito representam sistemas não causais.


Tabela de transformadasf(t) ∀t ∈ R F [f(t)]

1 2πδ(ω)δD(t) 1

μ(t) πδ(ω) +1jω

μ(t) − μ(t − to)1 − e−jωto

jω

eαtμ(t) �{α} < 01

jω − α

teαtμ(t) �{α} < 01

(jω − α)2

e−α|t| α ∈ R+ 2α

ω2 + α2

cos(ωot) π (δ(ω − ωo) + δ(ω − ωo))sin(ωot) jπ (δ(ω + ωo) − δ(ω − ωo))

cos(ωot)μ(t) π (δ(ω − ωo) + δ(ω − ωo)) +jω

−ω2 + ω2o

sin(ωot)μ(t) jπ (δ(ω + ωo) − δ(ω − ωo)) +ωo

−ω2 + ω2o

e−αt cos(ωot)μ(t) α ∈ R+ jω + α

(jω + α)2 + ω2o

e−αt sin(ωot)μ(t) α ∈ R+ ωo

(jω + α)2 + ω2o

97


Propriedades das transformadas

f(t) F [f(t)] Descriptionl∑

i=1

aifi(t)l∑

i=1

aiFi(jω) Linearity

dy(t)dt

jωY (jω) Derivative law

dky(t)dtk

(jω)kY (jω) High order derivative∫ t

−∞y(τ)dτ

1jω

Y (jω) + πY (0)δ(ω) Integral law

y(t − τ) e−jωτY (jω) Delay

y(at)1|a|Y

(jω

a

)Time scaling

y(−t) Y (−jω) Time reversal∫ ∞

−∞f1(τ)f2(t − τ)dτ F1(jω)F2(jω) Convolution

y(t) cos(ωot)12{Y (jω − jωo) + Y (jω + jωo)} Modulation (cosine)

y(t) sin(ωot)1j2

{Y (jω − jωo) − Y (jω + jωo)} Modulation (sine)

F (t) 2πf(−jω) Symmetry

f1(t)f2(t)1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞F1(ζ)F2(s − ζ)dζ Time domain product

eatf1(t) F1(jω − a) Frequency shift

Note que Y(jω)=F (y(t)) e que F(jω)=F (f(t))


Teorema de Parseval

Teorema de Parseval: Sejam F(jω) e G(jω) as transformadas de Fourier de f(t) e g(t) respectivamente então:

1( ) ( ) ( ) ( ) .2

f t g t dt F j G j dω ω ωπ

+∞ +∞

−∞ −∞

= −∫ ∫onde w representa a frequência angular em radianos/segundo.

Este resultado é muito utilizado na manipulação e análise das transformadas de Fourier. Um caso particular deste resultado quando f(t) = g(t) resulta em:

2 21( ) ( ) .2

f t dt F j dω ωπ

+∞ +∞

−∞ −∞

=∫ ∫Este teorema pode ser utilizado no cálculo da energia ou potencia de sinais. Exemplo considere que f(t) representa corrente e g(t) tensão num circuito eléctrico.

98


Teorema de Parseval

Demonstração: A demonstração deste importante resultado émuito simples e recorre unicamente à definição da Transformada de Fourier. Assim

1( ) ( ) ( ) ( ) ,2

trocando a ordem de integração

1( ) ( ) ( ) ( )2

1 ( ) ( )2

j t

j t

f t g t dt F j e d g t dt

f t g t dt F j e g t dt d

F j G j d

ω

ω

ω ωπ

ω ωπ

ω ω ωπ

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

+∞

−∞

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

= −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫


Erros de Modelação de

Sistemas Lineares

99


Erros de modelação de sistemas linearesNo caso em que um modelo linear seja utilizado para aproximar umsistema linear, os erros de modelação devido a erros ou aproximações nos parâmetros podem ser expressos na forma de função de transferência do seguinte modo:•Erros aditivos.

•Erros multiplicativos.

Onde as funções Gε(s) e GΔ(s) correspondem aos erros de modelação aditivos e multiplicativos introduzidos no Capítulo 3. A vantagem dos erros de modelação multiplicativos face aos aditivos advém do facto de os multiplicativos representarem quantidades relativas enquanto os aditivos quantidades absolutas.

0( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )Y s G s U s G s G s U sε= = +

0( ) ( ) ( ) ( )(1 ( )) ( )Y s G s U s G s G s U sΔ= = +


Erros de modelação de sistemas linearesComo se sabe os atrasos no tempo não podem ser convertidos em funções racionais no domínio da Transformada de Laplace. Uma possível aproximação (Goodwin) é:

Onde k determina a precisão da aproximação. Para esta aproximação pode-se determinar o módulo da resposta em frequência do erro multiplicativo de modelação dada por (Goodwin):

2 , (1, 2,...)2

ks s ke k

s kτ τ

τ− − +⎛ ⎞≈ ∈⎜ ⎟+⎝ ⎠

2

2( ) ( ), ( ) ( )2

2Donde ( ) 12

( ) , arctan2

ks

o

ks

j j k

s kG s e F s G s F ss k

s kG s es k

tG j e ek

τ

τ

τω φ

ττ

ττ

ωω φ

−

−−

Δ

− −Δ

− +⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

− +⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠

= − =

100


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

Normalized frequency (ω τ)

Mag

nitu

de

k=1

k=3

k=8

Erros de modelação de sistemas lineares

A magnitude do erro multiplicativo é dada por

Dando origem ao seguinte gráfico

2( ) , onde arctan2

j j k tG j e ek

τω φ ωω φ− −Δ = − =


Erros de modelação de estruturas ressonantes

A omissão dos modos com ressonância é muito comum a quando da modelação de certas classes de sistemas, tais como braços robots, antenas de grande dimensão e em geral estruturas flexíveis de grande dimensão. Esta situação pode ser formalizada como:

Onde os erros de modelação podem ser descritos por

2

2 2( ) ( ), com ( ) ( ), e 0 12

no

n n

G s F s G s F ss s

ω ψψω ω

= = < <+ +

2 2

2 2

( 2 )Erro aditivo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),2

( 2 )Erro multiplicativo ( ) (1 ( )) ( ) ( ) ,2

no

n n

no

n n

s sG s G s G s G s F ss s

s sG s G s G s G ss s

ε εψω

ψω ω

ψωψω ωΔ Δ

− += + ⇒ =

+ +

− += + ⇒ =

+ +

101


10−1

100

101

0

1

2

3

4

5

6

7

Normalized frequency ω/ωn

Gai

n

ψ=0.1

0.2

0.7

A magnitude do erro multiplicativo é dada por

Dando origem ao seguinte gráfico, para diferentes valores do factor de amortecimento ψ.

Erros de modelação de estruturas ressonantes

2 2

( 2 )( ) ,2

n

n n

s sG ss s

ψωψω ωΔ

− +=

+ +


Majorantes dos erros de modelação

No projecto de sistemas de controlo é muito importante e

desejável ter uma noção clara dos erros de modelação. Uma

especificação típica pode ser dada pela majoração

onde ε(ω) representa uma função positiva de ω.

( ) ( )G jω ε ωΔ =

102


Sumário

Existem dois tipos de aproximações de sistemas dinâmicos lineares:

•Aproximação no domínio da frequência.•Aproximação no domínio do tempo.

Apesar destas duas aproximações serem equivalentes, cada uma delas apresenta vantagens particulares e éfundamental entender o âmbito de aplicação das duas.


Sumário

No domínio do tempo:

•os sistemas são modelados por equações diferenciais,

•os sistemas são caracterizados pela evolução das suas

variáveis (saída, etc.) no tempo,

•a evolução das diferentes variáveis no tempo é calculada

resolvendo equações diferenciais.

103


Sumário

No domínio da frequência•a modelação explora a propriedade chave dos sistemas lineares que estabelece que a resposta em regime estacionário de um sistema dinâmico a uma entrada sinusoidal é ainda uma sinusóide com a mesma frequência.•o sistema somente altera a fase e a amplitude da entrada de uma forma univocamente determinada pela resposta do mesmo à frequência em causa.•os sistemas são modelados por funções de transferência, as quais capturam este impacte em função da frequência.


Sumário

No que diz respeito á característica de estabilidade, um sistema dinâmico em tempo contínuo é

•estável se e só se a parte real dos pólos é estritamente negativa.•marginalmente estável se contém pelo menos um pólo estritamente imaginário e não contém pólos com partes reais positivas.•instável se existe pelo menos um pólo com parte real positiva.•de fase não mínima se existe pelo menos um zero com parte real estritamente positiva.

104


•Todos os modelos de sistemas dinâmicos contém erros de

modelação.

•Os erros de modelação podem ser descritos como aditivos ou

como multiplicativos.

•O erros de modelação são normalmente desconhecidos e

frequentemente descritos por majorantes.

Sumário


Análise de sistemas de

controlo entrada única saída única

105


Análise de sistemas de controlo entrada única saída únicaPara uma dada estrutura de retroacção envolvendo um sistema e um controlador pretendemos de responder às seguintes questões:

•Quando é o sistema de retroacção estável.•Qual a sensibilidade do mesmo a diversos tipos de perturbações.•Qual o impacte dos erros de modelação lineares.•Qual o impacte de pequenas não linearidades no sistema de retroacção.•Pretendemos ainda introduzir os critérios de análise de estabilidade:

•Root Locus ou Diagrama de Evans.•Critério de Nyquist.

Nota neste curso não será leccionado o critério de Routh secção 5.5 do livro.


Estruturas de Retroacção

Neste capítulo iremos verificar que a retroacção apresenta

propriedades interessantes tais como:

•Capacidade de reduzir o efeito das perturbações na resposta de

sistema.

•Diminuir a sensibilidade a erros de modelação.

•Estabilizar sistemas instáveis.

Todavia, iremos também ver que desde que incorrectamente

utilizada a retroacção pode destabilizar sistemas estáveis em malha

aberta e criar comportamentos oscilatórios.

106


Sistema de Retroacção com um grau de liberdade, C(s)

E(s)

+

+

+

+

+C(s)

U(s)

Di(s) xo Do(s)

+

Ym(s)

Dm(s)

Go(s)R(s)

+

Y (s)

−

C(s)- ControladorGo(s)- Sistema nominal.

R(s)- Referencia,E(s)- Erro,U(s)- Sinal de ControloDi(s)-Perturbação na entrada

Do(s)-Perturbação na saídaY(s)- SaídaDm(s)- Ruído nos Sensores,Ym(s)- Saída medida,


Sistema de Controlo por Retroacção

Na figura anterior utilizam-se funções de transferência e

transformadas de Laplace para estabelecer as relações entre os

diversos sinais envolvidos na cadeia. Em particular, C(s) e Go(s)

denotam as funções de transferência do controlador e o modelo

do sistema nominal os quais são representados por:

( )( )( ) , e ( )( ) ( )

oo

o

B sP sC s G sL s A s

= =

107


Transformadas de Laplace das entradas para a saída

U(s) =C(s)

1 + Go(s)C(s)

(R(s) − Dm(s) − Do(s) − Go(s)Di(s) − f(s, xo)

A(s)

)A relação entre as diversas entradas do sistema (R(s), Dm(s), Do(s), Go(s),f(s,xo)) e o sinal de controlo pode ser estabelecida como:

A relação entre as diversas entradas do sistema (R(s), Dm(s), Do(s), Go(s),f(s,xo)) e o sinal de saída pode ser estabelecida como:

Y (s) =1

1 + Go(s)C(s)

[Go(s)C(s)(R(s)− Dm(s)) + Do(s) + Go(s)Di(s) +

f(s, xo)A(s)

]

E(s)

+

+

+

+

+C(s)

U(s)

Di(s) xo Do(s)

+

Ym(s)

Dm(s)

Go(s)R(s)

+

Y (s)

−


As Diversas Funções de Sensibilidade Nominais

( ) ( ) ( ) ( )( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) (

o oo

o o o

oo

o o o

o oio

o o o

ouo

o o o

G s C s B s P sT sG s C s A s L s B s P s

A s L sS sG s C s A s L s B s P sG s B s L sS s

G s C s A s L s B s P sA s P sC sS s

G s C s A s L s B s

= =+ +

= =+ +

= =+ +

= =+ + ) ( )P s

Considere as seguintes funções de transferência:

T0(s) : R(s)→Y(s). Complementar da Sensibilidade Nominal.S0(t) : Do(s)→Y(s). Sensibilidade Nominal.Si0(s) : Dio(s)→Y(s). Sensibilidade Nominal das perturbações na entrada.Su0(s) : R(s)→U(s). Sensibilidade Nominal do Controlo.

108


Sistemas de controlo com dois graus de liberdade

R(s) E(s)

+

+

+

+

+C(s)H(s)

R(s) U(s) Y (s)

Di(s) xo Do(s)

+

Ym(s)

Dm(s)

Go(s)

+

−

Y (s) =Go(s)C(s)H(s)1 + Go(s)C(s)

R(s) +1

1 + Go(s)C(s)

(Do(s) +

f(s, xo)Ao(s)

)

+Go(s)

1 + Go(s)C(s)Di(s) − Go(s)C(s)

1 + Go(s)C(s)Dm(s)

Os sistemas de controlo de retroacção para além do controlador C(s)por vezes utilizam-se um pré-filtro H(s) para filtrar a referência R(s) antes de ser aplicada ao sistema.

Dando origem a:


Relação entre sensibilidades e estabilidade

So(s) + To(s) = 1

Sio(s) = So(s)Go(s) =To(s)C(s)

Suo(s) = So(s)C(s) =To(s)Go(s)

As seguintes relações são verificadas:

Note: que a relação algébrica So(s)+To(s)=1impõe limites ao desempenho a atingir.

Definição (estabilidade interna). A malha de retroacção diz-se internamente estável se e só se todas as oito funções de transferência representadas abaixo são estáveis.

[Yo(s)Uo(s)

]=

[Go(s)C(s) Go(s) 1 −Go(s)C(s)

C(s) −Go(s)C(s) −C(s) −C(s)

]

1 + Go(s)C(s)

⎡⎢⎢⎣H(s)R(s)

Di(s)Do(s)Dm(s)

⎤⎥⎥⎦

109


R(s) E(s)

+

+

+

+

+C(s)H(s)

R(s) U(s) Y (s)

Di(s) xo Do(s)

+

Ym(s)

Dm(s)

Go(s)

+

−

Análise da equação caracteristica

Lema (Goodwin Lemma 5.1) Estabilidade Nominal Interna: Considere o sistema nominal em malha fechada representado na Figura. O sistema em malha fechada é estável se e só se as raízes da equação característica da malha fechada

estiverem todas no semi-plano complexo esquerdo. Ao polinómio A0(s)L(s)+B0(s)P(s) chamamos polinómio característico da malha fechada.

0 0( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 0, onde ( ) e ( )

( ) ( )o

oo

B sP sA s L s B s P s C s G sL s A s

+ = = =


Estabilidade e análise polinomial

Considere um polinómio característico da forma:

com raizes λ1,λ2,..,λn.

O problema a estudar trata da questão de quando este polinómio apresenta raízes com parte real não negativa. Obviamente, esta equação pode ser resolvida de forma sumária calculando as raízes de p(s). Todavia, em muitas aplicações não nos interessa saber quais as raízes de um polinómio particular mas sim qual a variação da localização das mesmas em função de determinados parâmetros.

p(s) = sn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0

110


Algumas propriedades com particular interessePropriedade 1: O coeficiente an-1 satisfaz:

Propriedade 2: O coeficiente a0 satisfaz:

Propriedade 3: Se as raízes de p(s) tiverem parte real negativa, então é necessário que ai > 0, para todo o i ∈{0, 1, …, n-1}.

Propriedade 4: No caso de algum dos coeficientes polinomiais sernão positivo (negativo ou zero), então, pelo menos uma das raízes de p(s) tem parte real não negativa. Esta propriedade é umaconsequência da anterior.

11

1

para provar basta notar que ( ) ( - ).

n

n ii

n

ii

a

p s s

λ

λ

−=

=

= −

=

∑

∏

1

( 1) , a prova segue a propriedade anteriorn

no i

i

a λ=

= − ∏


Algumas propriedades com particular interesseProva da propriedade 3.

1) As raizes de p(s) ou são reais ou complexas. No caso de serem complexas como os coeficientes de p(s) são reais então deverão ser conjugadas duas a duas.

2) Podemos assim assumir que existem n1 raízes reais e n2 pares de raízes complexas conjugadas, satisfazendo n=n1+2n2.

3) No caso de todas as raízes terem parte real negativa podem ser descritas por

4) Assim p(s) é dado por

5) Dado que p(s) é obtido pelo produto de polinómios de primeira e segunda ordem com coeficientes positivos, então os coeficientes de p(s) são dados por somas e produtos de quantidades positivas, logo positivos.

1 1 2

1*

2

| |, 1,...,

| | , 1,...,i i

n i n n i i i

i n

j i n

λ α

λ λ σ ω+ + +

= − =

= = − + =

( ) ( )( )1 2 2 2

1 1

( )n n

i i ii i

p s s sα σ ω= =

= + + +∏ ∏

111


O Diagrama de Evansou

Critério Root-Locus


Root LocusUma ferramenta clássica largamente utilizada para o estudo da estabilidade de equações polinomiais é o root locus ou diagrama de Evans. A técnica Root Locus (Lugar Geométrico da Raízes) pode ser utilizada para examinar a localização das raízes do polinómio característico quando um dos parâmetros varia. Considere a seguinte equação genérica:

11 1 0

1

11 1 0

1

1 ( ) 0, ( )com 0 onde ( ) e ( )

( ) ... ( )

( ) ... ( )

mm m

m ii

nn n

n ii

F sM sF sD s

M s s b s b s b s c

D s s a s a s a s p

λ

λ

−−

=

−−

=

+ =

> =

= + + + + = −

= + + + + = −

∏

∏

112


Root Locus: Exemplo 1Exemplo 1: Considere o sistema de rectroação

KCa(s) G(s)-

R(s) Y(s)

Para análise de estabilidade interessa conhecer a evolução das raízes de 1+KCa(s)G(s)=0.

Exemplo:

( ) ( ) ( )1 ( ) ( )

a

a

KG s C sT sKG s C s

=+

( ) ( )

1 1com ( ) e ( ) 1 resulta 1 01 1

1 0, 1

aG s C s Ks s

s K s K

= = + =+ +

+ + = = − +

ReIm

X-1

K: 0→∞


Root Locus: Exemplo

Exemplo 2:

( ) ( )

1 1 com ( ) e ( ) 1 resulta 1 010 10

10 1 10 0, 1

as sG s C s K

s sKK s K s

K

+ += = + =

+ ++

+ + + = = −+Re

Im

X O-10 -1

K: 0→∞

Logo o sistema de retroacção resultante é sempre estável

Exemplo 3:

( ) ( )

1 1 com ( ) e ( ) 1 resulta 1 010 10

10 1 10 0, 1

as sG s C s K

s sKK s K s

K

− −= = + =

+ +−

+ + − = = −+

Re

Im

X O-10 1

K: 0→∞Logo o sistema de retroacção resultante torna-se instável para K>10.

113


Root Locus: Exemplo

Exemplo 4:

2

1 1 com ( ) e ( ) 1 resulta 1 0( 2) ( 2)

2 4 4 2 0, 2

aG s C s Ks s s s

Ks s K s

= = + =+ +

± −+ + = =

Re

Im

X-2

K: 0→∞

X-1

O sistema de retroacção resultante é sempre estável embora o amortecimento vá decrescendo quando K cresce.


Root Locus

Antes de avançar na apresentação do método root locus. Vamos relembrar o significado de (s+p) com s e p complexos.

Assim graficamente temos:

• O vector +p

• O vector s

• E o vector s+p.

Representado como: Re

Im

-p

s

+p

s+p

A interpretação gráfica de (s+p) é assim um vector aplicado em –p e apontando para s.

114


Root LocusA técnica Root Locus (Lugar Geométrico da Raízes) é utilizada para determinar a localização das raízes do polinómio característico:

Condição de módulo.O módulo da expressão deverá verificar:

Condição de ângulo.O argumento deverá verificar:

( ) ( ) 0, com 0D s M sλ λ+ = >O root locus consiste assim no conjunto de pontos que satisfazem

1

1

n

iim

jj

s p

s zλ =

=

+=

+

∏

∏

( )1 ( ) 0, com 0 onde ( )( )

M sF s F sD s

λ λ+ = > =

180 Ângulos dos zeros - Ângulos dos póloso = ∑ ∑


Root Locus

Regras para a construção do root locus para λ>0.

1- Número de ramos. O número de ramos do root locus é igual ao número de pólos do sistema em malha fechada.

2- Simetria. O root locus é simétrico em relação ao eixo real. Note que esta propriedade advém do facto de os polinómios numerador e denominador da função de transferência terem coeficientes reais.

3- Para λ=0, o root locus encontra-se nos pólos do sistema em malha aberta (isto é nas raízes de D(s)=0). Marcar com X esses pontos.

4- Quando λ→∞, m raízes do root locus aproximam-se dos zeros do sistema em malha aberta. (isto é nas raízes de M(s)=0). Marcar com O esses pontos.

115


Root Locus5- Qualquer ponto do eixo real que verifique a condição de ângulo pertence ao root locus. Assim para λ>0, pertencem ao root locus os segmentos do eixo real que tenham um número impar de pólos+zeros à sua direita.

Assimptotas:

Regras para a construção do root locus (cont.)

6- Número de assímptotas: Assuma que existem m zeros e n pólos. m dos pólos vão para os zeros quando λ→∞. Os restantes vão para infinito. Assim podemos afirmar que:

O número de assimptotas = n-m (#pólos - #zeros)

( ) ... quando , s e resulta ( ) ...

n nn m

m m

D s s s sM s s s

λ λ λ −+− = = → ∞ → ∞ − = =

+

XX OOX


7- Ângulos das assímptotas. Assuma que existem m zeros e n pólos. Então, o ângulo entre as assímptotas verifica a condição de ângulo e

Os ângulos das assimptotas são:

8- Centro assimptótico: No “infinito” os pólos da cadeia aberta e os zeros podem ser vistos como estando aproximadamente no mesmo ponto, isto reflecte-se no centro assimptótotico representado por σdado por

Root Locus

pólos zerosCentro assimptótico:

#pólos #zerosσ

−=

−∑ ∑

180 ( ) onde corresponde ao ângulo de "s".o n m φ φ= −

180º 360º , 0,1,... 1( )

l l n mn m

φ += = − −

−

116


Root Locus9- Pontos de saída e entrada do eixo real. (Breakaway and Breakinpoints) Os pontos de entrada e saída do eixo real são os pontos para os quais, com s real o parâmetro λ>0 atinge os seus valores máximos (pontos de saída) e mínimos (pontos de entrada). Assim dado que λ verifica

os pontos de interesse satisfazem a condição de extremo:

( ) ( ) ou seja ( )= com ( ) ( )s

D s D RM s Mσ

σλ λ σ σσ=

= − − ∈

( ) 0, 0λ σ λσ∂

= >∂

Exemplo: Calcule os pontos de breakin e breakaway para( 3)( 5)1 ( ) ( ) 0, com ( ) ( )( 1)( 2)s sKG s Ca s KG s Ca s Ks s

− −+ = =

+ +


Root Locus2 2

2 2

( 8 15) ( 3 2)( ) ( ) 1 ou seja ( 3 2) ( 8 15)

KG Ca K Kσ σ σ σσ σσ σ σ σ

− + + += = − = −

+ + − +

2

1 22 2

(11 26 61) 0, com soluções 1.45, 3.82( 8 15)

K σ σ σ σσ σ σ∂ − −

= = = − =∂ − +

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

σ

K

Correspondendo σ1 a um máximo (breakaway) e σ2a um mínimo (breakin).

Com K(σ1)=0.0086

e K(σ2)=28.9917

117


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Root Locus

X X O O

Breakaway Breakin


Root Locus10- Cruzamento com eixo jω. Este cruzamento é importante pois determina a instabilidade do sistema. A sua determinação é feita calculado os valores ω tal que com s=jω verificam:

Que também pode ser determinado como os valores de s=jω que tornam F(s) real negativo (dado que λ>0). O valores de λ críticos (valores que tornam o sistema em malha fechada instável) são então determinados por

( )( ) 1, ou seja arg( ) 180º( )s j

s j

M sF sD sω

ω

λ=

=

= − =

criticos( )( )

D jM j

ωλω

= −

118


Root Locus11- Ângulo de saída dos pólos e de chegada aos zeros. Estes ângulos são determinados utilizando o facto que muito perto dos zeros ou dos pólos a condição de ângulo do root locus é verificada.

Exemplo 1, ângulo de saída dos pólos:

X

X

X

O

O

O

θ2

θ3

θ4

θ5

θ1

θ6

Vector de comprimento εquando ε→0

−θ1+θ2+θ3 −θ4−θ5+θ6=(2k+1)180º

jω

σ


θ5

Root LocusExemplo 2, ângulo de entrada nos zeros:

X

X

X

O

O

O

θ2

θ3

θ4

θ1

θ6

Vector de comprimento εquando ε→0

−θ1+θ2+θ3 −θ4−θ5+θ6=(2k+1)180º

jω

σ

119


Root LocusRegras para a construção do root locus para λ<0. O root locus neste caso é semelhante ao caso de λ>0. As diferenças são impostas devido à alteração da condição de ângulo.

Assim temos:

1- Número de ramos. O número de ramos do root locus é igual ao número de pólos do sistema em malha fechada.

2- Simetria. O root locus é simétrico em relação ao eixo real. Note que esta propriedade advém do facto de os polinómios numerador e denominador da função de transferência terem coeficientes reais.

3- Para λ=0, o root locus encontra-se nos pólos do sistema em malha aberta (isto é nas raízes de D(s)=0). Marcar com X esses pontos.

0 Ângulos dos zeros - Ângulos dos póloso = ∑ ∑


4- Quando λ→∞, m raízes do root locus aproximam-se dos zeros do sistema em malha aberta. (isto é nas raízes de M(s)=0). Marcar com O esses pontos.

5- Qualquer ponto do eixo real que verifique a condição de ângulo pertence ao root locus. Assim para λ<0, pertencem ao root locus os segmentos do eixo real que tenham um número par de pólos+zeros àsua direita.

6- Número de assímptotas: Assuma que existem m zeros e n pólos. m dos pólos vão para os zeros quando λ→∞. Os restantes vão para infinito. Assim podemos afirmar que:

O número de assimptotas = n-m (#pólos - #zeros)

Root Locus

XX OOX

120


7- Ângulos das assímptotas. Assuma que existem m zeros e n pólos. Então, o ângulo entre as assímptotas verifica a condição de ângulo e

Os ângulos das assímptotas são:

8- Centro assimptótico: No “infinito” os pólos da cadeia aberta e os zeros podem ser vistos como estando aproximadamente no mesmo ponto, isto reflecte-se no centro assimptótico representado por σdado por

Root Locus

pólos zerosCentro assimptótico:

#pólos #zerosσ

−=

−∑ ∑

0 ( ) onde corresponde ao ângulo de "s".o n m φ φ= −

360º , 0,1,... 1( )l l n mn m

φ = = − −−


Root Locus9- Pontos de saída e entrada do eixo real. (Breakaway and Breakinpoints) Os pontos de entrada e saída do eixo real são os pontos para os quais, com s real o parâmetro λ<0 atinge os seus valores máximos (pontos de saída) e mínimos (pontos de entrada). Assim dado que l verifica

os pontos de interesse satisfazem a condição de extremo:

( ) ( ) ou seja ( )= com ( ) ( )s

D s D RM s Mσ

σλ λ σ σσ=

= − − ∈

( ) 0λ σσ∂

=∂

121


Root Locus10- Cruzamento com eixo jω. Este cruzamento é importante pois determina a instabilidade do sistema. A sua determinação é feita calculado os valores ω tal que com s=jω verificam:

Que também pode ser determinado como os valores de s=jω que tornam F(s) real positivo (dado que λ<0). O valores de λ críticos (valores que tornam o sistema em malha fechada instável) são então determinados por

( )( ) 1, ou seja arg( ) 0º( )s j

s j

M sF sD sω

ω

λ=

=

= − =

criticos( )( )

D jM j

ωλω

= −


Root Locus11- Ângulo de saída dos pólos e de chegada aos zeros. Estes ângulos são determinados utilizando o facto que muito perto dos zeros ou dos pólos a condição de ângulo do root locus é verificada.

Exemplo: Calcular o root locus do seguinte sistema de retroacção para K<0.

K G(s)-

R(s) Y(s)

( 3)com K ( )( 1)( 2)( 4)

K sG ss s s s

+=

+ + +

( 1 2 4) ( 3) 4 360º, , 0,1,24 1 3 4 1

resultando =0,120º,240º

k kσ θ

θ

− − − − −= = − = =

− −

122


Root Locus

X XXO X-1-2-3-5 -4

j

j2

-j3

j3

-j2

-j


Estabilidade e

Resposta em Frequênciao

Diagrama de Nyquist

123


Estabilidade e Resposta em Frequência

Uma ferramenta clássica para determinar a estabilidade de sistemas em malha fechada é o critério de estabilidade de Nyquist. Neste critério, a estabilidade do sistema em malha fechada determina-se a partir da resposta em frequência do sistema em malha aberta dando origem a um diagrama polar.

-270º

ω=+∞

ω ↑

ω<0

ω>0G0(jω)K(jω)

k0,

ω=0

-90º

0ºRe

Im

Exemplo:

)1)(1()()(

21

00 ++

=ss

ksKsGττ

Diagrama Polar quando

ω varia de -∞ a +∞


Como traçar Diagramas PolaresConsideremos o diagrama polar de uma função de transferência geral da seguinte forma

1-Para baixas frequências, ω→0. Depende do número de pólos em ω=0 de F(s), s=jω. Assim, se

1.1 l=0, o diagrama começa no valor real limω→0F(jω)=k0, com a fase de k0 (0 ou π).1.2 l≥1, o diagrama começa em infinito com fase –l π/2 rad.

2- Para frequências entre ]0,+ ∞[, o diagrama coincide com a representação polar do diagrama de Bode.3- Para frequências entre ]-∞, 0[, o diagrama é o simétrico do diagrama para ]0,+ ∞[. Im(G(jω))=-Im(G(-jω)).4- Extremo para altas frequências, ω→∞. Para funções de transferência estritamente próprias, o diagrama termina na origem, com uma fase φ dada por φ=–(n+l-m)π/2.

∏∏

=

=

+

+= n

i il

m

i i

ss

sksF

0

00

)1(

)1()(

τ

α

124


Como traçar diagramas polares

l=0

l=3

l=1

l=2k0 0º

-90º

-180º

-270º

ω→∞

ω=0

Esboço do Diagrama polar para número de pólos na origem variável (l=0,1,2,3) mas para o mesmo grau relativo

n-m=cte.


Como traçar diagramas de polares

)1)(1)(1()(

321

0

+++=

ssssksF

τττ

Exemplo com um pólo na origem (l=1) e grau relativo 4 (n-m=4): Diagrama polar para

k0 0º

-90º

-180º

-270º

ω→∞ ω=0

)( ωjF

0),( >ωωjF

0),( <ωωjF

125

Controlo – Carlos Silvestre 2005-2006 249-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-1

-0.5

0

0.5

1

Bases para o Diagrama de NyquistDe forma a introduzir o critério de estabilidade Nyquist considere em primeiro lugar uma função genérica complexa e de variável complexa F(s): C→C.Suponha que tem uma curva fechada orientada Γs no plano complexo a qual contém no seu interior Z zeros e P pólos da função F(s). Assumimos ainda que nenhum pólo se encontra sobre a curva.A função F(s) ao percorrer a curva fechada Γs irá mapea-la numa outra curva fechada e orientada ΓF. Exemplo, considere

F(s)=s2+0.5s+0.1.

00

ΓsΓF


Bases para o Diagrama de Nyquist

Mostraremos que o número de voltas de ΓF em torno da origem do plano F será dado pela diferença entre P e Z. Será útil recordar que cada volta no sentido horário (anti-horário) em torno da origem de uma dada variável complexa implica que a fase da mesma varie -2π(2π).Para exemplificar seja que F(s)=s-z. Onde z é um ponto qualquer no plano complexo s. Esta é uma função simples com um único zero finito em z. Considere os dois casos:

1 - O ponto z está contido no interior do contorno Γs. À medida que s percorre o contorno Γs em sentido horário, a fase de F(s) varia. Ao fim de uma volta completa a fase variou 2π rad (uma volta completa). Isto porque z está dentro da região delimitada pelo contorno.2- O ponto z não está contido no interior do contorno Γs. À medida que spercorre Γs em sentido horário, a fase de F(s) varia. Ao fim de uma volta completa a fase variou 0 rad. Isto porque z está fora da região delimitada pelo contorno.

126



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2.01)(

−=

ssF

2.0)( −= ssF

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1 0 1 2 3 4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

X

sΓ

sΓFΓ

FΓ


-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1( )1

F ss

=+

( ) 1F s s= +

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0

X

sΓ

sΓ

FΓ

FΓ

127


-8 -6 -4 -2 0 2-6

-4

-2

0

2

4

6

Bases para o Diagrama de NyquistComo vimos nos exemplos anteriores no caso da função ser F(s)=(s-p)-1, podemos ver que à medida que s percorre o contorno Γsem sentido horário, a fase de F(s) varia de 2π caso p se encontrar no interior do contorno Γs e 0 rad se p se encontrar fora da região delimitada pelo contorno Γs. Um outro exemplo é apresentado de seguida.

2

1( )( 1)(s +0.6s+0.34)

F ss

=+

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X

sΓ FΓX

X


Princípio do ArgumentoNo caso geral em que:

Qual variação da fase de F(s) surge da soma das variações dos diversos factores (s-zi) menos a soma das variações devida aos factores (s-pi). Este resultado é sumarizado em seguida.

Princípio do Argumento: Seja a função racional F(s) acima definida e considere uma curva fechada Γs no plano complexo s. Seja Z o número de zeros, e P o número de pólos de F(s) no interior da região delimitada pelo contorno Γs. Então, à medida que s percorre Γs em sentido horário, a curva ΓF mapeada por F(s) dá Z-Pvoltas em sentido horário em torno da origem do plano F.

∏∏

=

=

+

+= n

j j

m

i i

ps

zsksF

0

0

)(

)()(

128


Diagrama de NyquistPara aplicar esta versão do princípio do argumento ao estudo da estabilidade de sistemas em malha fechada consideremos a função particular:

Os zeros de F(s) correspondem aos pólos do sistema de controlo em malha fechada. Os pólos de F(s) são os pólos do sistema de controlo em malha aberta ou seja os pólos de G0(s)K(s).Para analisar a existência de pólos do sistema de controlo em malha fechada no semi-plano complexo direito (SPD), utilizamos como Γs o contorno deNyquist. O contorno de Nyquist, representado na figura, corresponde àunião das curvas Γi (eixo imaginário) e Γr (semicírculo de raio infinito).

0( ) 1 ( ) ( )F s G s K s= +

Im

Rer→∞

ΓiΓr


Critério de NyquistPara G0(s)K(s) estritamente próprios lim|s|→∞F(s)=1 e Γr é mapeado no ponto (1,0), correspondendo o diagrama de Nyquist à representação da resposta em frequência F(jω).À medida que a variável complexa s percorre o contorno de Nyquist, o número de voltas em sentido hórario da função F(s)=1+G0(s)K(s) em torno da origem determina o número de zeros no SPD ou seja pólos instáveis do sistema em malha fechada.Na prática, utiliza-se o facto de G0(s)K(s)=-1 para se representar graficamente G0(s)K(s) e contam-se as voltas em torno do ponto (-1,0).

• Teorema 1. [Critério de Nyquist, simples]. Seja G0(s)K(s) uma função de transferência em malha aberta com P pólos no semi-plano complexo direito aberto SPDA (não inclui o eixo imaginário), e nenhum sobre o eixo imaginário, então o sistema em malha fechada tem Z pólos no SPDA se e só se o diagrama de Nyquist de G0(s)K(s) der N=Z-P voltas em sentido horário em torno do ponto (-1,0) quando s percorre o contorno de Nyquist.

129


Diagrama de Nyquist: Exemplo 1

Im

Rer→∞

Γs

X-10

Diagrama de Bode

0Exemplo: Diagrama de Nyquist para k>0 ( ) ( )10

kG s K ss

=+

0

00

s=j , lim ( ) ( ) 0.

s=0, lim ( ) ( ) .10s

G s K s

kG s K s

ωω

→∞

→

=

= Im

Re

ΓF

-60

-50

-40

-30

-20

Mag

nitu

de (d

B)

10-1 100 101 102 103-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10k-1

0Número de polos de ( ) ( ) dentro do contorno . 0Número de voltas do contorno em torno de ( 1,0). 0. 0.Logo o sistema em malha fechada é estável p

s

F

G s K s PN

N Z P Z

Γ =

Γ − == − ⇒ =

ara todo o 0.k >

| |s → ∞

Diagrama de Bode

,0

s jωω

=→



Im

Rer→∞

Γs

X-10

Diagrama de Bode

0Exemplo: Diagrama de Nyquist para k>0 ( ) ( )10kG s K s

s−

=+

0

00

s=j , lim ( ) ( ) 0.

s=0, lim ( ) ( ) .10s

G s K s

kG s K s

ωω

→∞

→

=

−=

Im

Re

ΓF

10k− -1

0Número de polos de ( ) ( ) dentro do contorno . 0Número de voltas do contorno em torno de ( 1,0) :2 para 10. 0. 0 sistema estável em malha fechada.1 para 10. 1.

s

F

G s K s P

k N N Z P Z

k N

Γ =Γ −

− < = = − ⇒ =

− > = 1 sistema instável em malha fechada.

N Z P Z= − ⇒ = | |s → ∞

Diagrama de Bode

,0

s jωω

=→

-60

-50

-40

-30

-20

Mag

nitu

de (d

B)

10-1 100 101 102 10390

135

180

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

130



0Exemplo: Diagrama de Nyquist para k>0 ( ) ( )1

kG s K ss

=−

Im

Rer→∞

Γs

X1

Diagrama de Bode

0

00

s=j , lim ( ) ( ) 0.

s=0, lim ( ) ( ) .s

G s K s

G s K s kω

ω→∞

→

=

= −

Im

Re

ΓF

k− -1| |s → ∞

Diagrama de Bode

,0

s jωω

=→

0Número de polos de ( ) ( ) dentro do contorno . 1Número de voltas do contorno em torno de ( 1,0) :1 para 1. 0. 1 sistema instável em malha fechada.2 para 1. 1.

s

F

G s K s P

k N N Z P Z

k N

Γ =

Γ −− < = = − ⇒ =

− > = − 0 sistema estável em malha fechada.

N Z P Z= − ⇒ =

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2 10-1 100 101 102-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Critério de Nyquist: Tópicos de Análise•Se o sistema é estável em malha aberta, para que a malha fechada seja internamente estável é necessário e suficiente que não haja cancelamentos instáveis e que o diagrama de Nyquist da função de transferência em malha aberta (G0(s)K(s)) não contorne o ponto (-1,0).

•Se o sistema é instável em malha aberta, com P pólos no semi-plano complexo direito aberto (não incluindo o eixo imaginário) então, para que o sistema em malha fechada seja internamente estável é necessário e suficiente que não existam cancelamentos instáveis e que o diagrama de Nyquist de G0(s)K(s) contorne P vezes em sentido anti-horário o ponto (-1,0).

•Se o diagrama de Nyquist de G0(s)K(s) passa pelo ponto (-1,0), existe uma frequência ω0∈R tal que F(jω0)=-1, ou seja, o sistema em malha fechada apresenta pólos exactamente sobre o eixo imaginário. Esta situação éconhecida como condição de estabilidade crítica.

131


Como aplicar o critério de Nyquist quando existem pólos da função de transferência em malha aberta sobre o eixo imaginário (jω), por exemplo, sobre a origem?

Nestes casos não se pode utilizar o contorno de Nyquist dado que não se pode calcular a mudança de fase ao passar o ponto s=0. Pode no entanto utilizar-se o contorno de Nyquist modificado que para um pólo na origem se apresenta na figura. O contorno de Nyquist modificado écomposto por três curvas: Γr, Γi e Γe. À medida que ε→0 e r→∞, a região circunscrita pelo contorno de Nyquistcoincide com o Semi-plano Complexo Direito Aberto a excepção de uma área infinitesimal.

Contorno de Nyquist Modificado

Im

Rer→∞

ΓiΓr

ε→0 Γε


Critério de Nyquist Modificado• Teorema 1. [Critério de Nyquist, Modificado]. Seja G0(s)K(s)

uma função de transferência em malha aberta com P pólos no semi-plano complexo direito aberto SPDA (não inclui o eixo imaginário), então o sistema em malha fechada tem Z pólos no SPDA se e só se o diagrama de Nyquist de G0(s)K(s) der N=Z-P voltas em sentido horário em torno do ponto (-1,0) quando s percorre o contorno de Nyquist modificado.

132


Critério de Nyquist Modificado: Exemplo

Im

Rer→∞

Γi Γr

ε→0Γε

XX

Im

Re

ΓF

X

0Exemplo: Diagrama de Nyquist para k>0 ( ) ( )( 1)( 2)

kG s K ss s s

=+ +

-1

2, 0 2N P Z N P= = ⇒ = + =

ω→+∞ω→-∞

ω→0+

ω→0-

-1-2

Para valores do ganho k suficientemente altos o sistema éinstável em malha fechada.

A

B

C

A

B

C


Estabilidade Relativa,

Margens de Estabilidade

133


Estabilidade Relativa, Margens de EstabilidadeNo projecto de sistemas de controlo em malha fechada é muitas vezes necessário analisar mais profundamente a questão da estabilidade. Em particular, é normalmente desejável obter medidas de quão longe da instabilidade está o sistema nominal em malha fechada, ou seja é necessário quantificar a estabilidade relativa do sistema em malha fechada.

Esta quantificação pode obter-se definindo medidas da distância da resposta em frequência do sistema nominal ao ponto de estabilidade crítica (-1,0)

Nota: Estas medidas servem para nos quantificar a tolerância na aquisição de componentes, colocar limites no desgaste admissível de peças, etc. Assumem um sistema nominal estável e quantificam algumas distâncias à estabilidade crítica.


Margens de Ganho e FaseMargens de Ganho : Quantificam o ganho adicional que se deve colocar na malha de retroacção de forma a levar o sistema à condição de estabilidade crítica.

Margem de Ganho Positiva (MG+):Ganho em dB que se deve somar para levar o sistema à condição de estabilidade crítica.

Margem de Ganho Negativa (MG-):Ganho em dB que se deve subtrair para levar o sistema à condição de estabilidade crítica.

Margem de Fase (MF): Quantifica o atraso de fase puro que se deveria somar ao sistema para o conduzir à condição de estabilidade crítica.

Im

Re

-1 φ

|a|

101MG+ 20 log

MF

a

φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Neste não existe Margem de Ganho negativa. Isto quer dizer que poderemos baixar o ganho do sistema arbitrariamente sem o conduzir à instabilidade.

134


Margens de Estabilidade e Diagramas de BodeAs margens de estabilidade podem-se marcar e quantificar com recurso aos diagramas de bode. Assim considere o ganho de malha nominal G0(s)K(s):

01( ) ( )

( 1)( 10)G s K s

s s s=

+ +

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)

10-1 100 101 102-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

MF= φ = 45º

MG+= 20dB


Sistema estável em malha fechada, N=Z-P, com N=1, P=-1 ⇒ Z=0

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-2 10-1 100 101 102 103

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis MG-

Margens de Ganho e Fase: Exemplo e interpretação

MG- = -2.0 dB, MG+ = 5.5 dB, MF = = 2.88ºφ

-1

MG+

φ

MG- (ω=0 rad/s) MG+ (ω=0.9 rad/s)

MF

2

00.035(s +10s+36)( ) ( )

(s+1)(s/0.7-1)(s/2+1)(s/200+1)G s K s =

Análise de estabilidade do ganho de malha nominal G0(s)K(s):

135


Pico de Sensibilidade

Im

Re-1 η

Um indicador alternativo de estabilidade relativa é o pico da função de sensibilidade. Em primeiro lugar note-se que a distância desde o ponto (-1,0) até G0(jω)K(jω), para ω=ω1, é dada pelo módulo do vector 1+G0(jw1)K(jw1), ou seja:

|1+G0(jω1)K(jω1)|=|S0(jω1)|-1.

O raio η do circulo tangente ao gráfico de G0(jω1)K(jω1) é o inverso do pico de sensibilidade nominal. Quanto menor for η maior é o pico de sensibilidade e mais próximo da instabilidade estará o sistema em malha fechada.Pico de Sensibilidade


Comparação das medidas de estabilidade relativa

Re

Mar

gem

de F

ase,

φ

Pico de Sensibilidade, η

Margem de Ganho Positiva, MG+=|b|-1

Im

-1

φ

|b|

Como se pode ver no exemplo o pico de sensibilidade é um melhor indicador de estabilidade relativa comparado com as margens de fase e de ganho. Em geral, um sistema de ordem elevada (com bastantes pólos) pode apresentar boas margens de fase e de ganho e no entanto pode estar perto da instabilidade. Por outro lado caso caso o valor do pico de sensibilidade seja pequeno podemos, em geral, garantir boas margens de fase e de ganho.

Por boas margens de ganho e de fase entende-se cerca de 20 dB e 60º, respectivamente.

136


Robustez de Sistemas de Controlo em Malha Fechada


Robustez

Até este ponto consideramos o efeito que o controlador produz no sistema em malha fechada constituído pelo modelo nominal do sistema a controlar, G0(s) (desempenho nominal). Todavia, na prática não nos interessa somente este desempenho nominal, mas também o desempenho obtido quando o controlador éaplicado ao sistema real, G(s).

Esta questão é denominada robustez. Analisa-se de seguida o modo como as funções de sensibilidade nominal podem conter informação sobre a sensibilidade real do sistema em malha fechada.

137


Erros de modelação multiplicativosDado um sistema dinâmico real G(s) ou de calibração e um sistema dinâmico nominal G0(s) o erro de modelação multiplicativo édefinido como:

G(s) G0(s)

GΔ(s)

+⇔

Onde GΔ(s) representa o erro multiplicativo de modelação. Podemos então escrever:

00

( ) ( ) ( )(1 ( )) ou ( ) 1( )

G sG s G s G s G sG sΔ Δ= + = −

Em geral GΔ(s) é desconhecido, no entanto pode-se encontrar um majorante ao longo da frequência, ε(ω), verificando:

| ( ) | ( )s jG s ω ε ωΔ = <


Estabilidade Robusta

Consideremos o caso em que o sistema nominal e o sistema real são diferentes (G(s)≠ G0(s)). Neste caso é necessário garantir, para além de estabilidade nominal, que o sistema real em malha fechada seja estável. Isto é, quando substituímos na malha de retroacção o sistema nominal pelo sistema real, o sistema total em malha fechada se mantém estável.

Quando um controlador mantém a estabilidade da malha fechada, isto é, quando se substitui o sistema nominal pelo sistema real e a estabilidade é mantida, diz-se que o controlador garante estabilidade robusta.

Esta propriedade é de extrema importância em sistemas de controlo reais dado que o sistema a controlar varia sempre com atemperatura, idade, série de fabrico, condições de operação, etc.

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Estabilidade Robusta

Teorema. [Estabilidade Robusta]: Considere-se um sistema dinâmico linear invariante no tempo com função de transferência G(s) ao qual se fez corresponder um modelo nominal G0(s). Suponha-se que C(s) é um controlador que estabiliza internamente o sistema nominal. Suponha-se ainda que G(s)C(s) e G0(s)C(s) têm o mesmo número de pólos instáveis. Então o controlador C(s)estabiliza robustamente o sistema se a seguinte condição for verificada:

Onde GΔ(s) representa a resposta em frequência do erro de modelação multiplicativo.

00

0

( ) ( )( ) ( ) ( ) 1, 1 ( ) ( )

G j C jT j G j G jG j C j

ω ωω ω ω ωω ωΔ Δ= < ∀

+

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