Conteúdo - ipb.ptipb.pt/~mar/MatematicaIGestao2016.17/Apontamentos2016.pdf · 5 Capítulo 1...

Conteúdo

1 Pré-Cálculo 5

1 Números e Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Representação decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Operações elementares da aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Adição e subtracção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Valor absoluto de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Notação com potências de base 10 . . . . . . . . . . . . . . . 10Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Fracções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Operações com fracções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Conjuntos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1 Potências de expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Operações com potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Multiplicação de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Divisão de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.1 Propriedades da radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.2 Radicais escritos sob a forma de potências . . . . . . . . . . 23

1.7 Logaritmação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.1 Propriedades dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Equações e inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Igualdades e desigualdades múltiplas . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Equação da recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Matrizes. Sistemas de Equações Lineares. Determinantes 37

1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.1 Conceitos Gerais Sobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.2 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3 Álgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.1 Adição de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.2 Multiplicação de matrizes por números . . . . . . . . . . . 401.3.3 Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.4 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Propriedades da operação de transposição . . . . . . . . . . . 44

1

2 Conteúdo

1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1 Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.1 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.3 Exemplo de um sistema de equações lineares . . . . . . . . 492.1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2 Resolução de sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . 512.2.1 Forma matricial de um sistema de equações lineares . . . . 512.2.2 Os sistemas de equações lineares mais simples . . . . . . . . 522.2.3 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz . . . 53

Motivação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53De�nição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.4 Forma escalonada por linhas de uma matriz . . . . . . . . . 562.2.5 Método de eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 572.2.6 Método de eliminação de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . 58

2.3 Caracterização dos sistemas de equações lineares quanto aos tipos desoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5.1 Algoritmo para a inversão de uma matriz . . . . . . . . . . 623 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1 Método de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2 Propriedades dos Determinantes. Cálculo do determinante por tri-

angularização da matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3 Algumas aplicações dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.1 Resolução de sistemas de equações lineares pela regra deCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Funções reais de variável real 71

1 Funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.1 Grá�co de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.2 Classi�cação das funções quanto à sua representação analítica . . . . 741.3 Operações sobre funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Operações racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.4 Funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.4.1 Grá�cos, domínios e imagens de algumas funções elementares 77

Funções constantes77

Funções potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Funções logaritmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Funções trigonométricas directas . . . . . . . . . . . . . . . . 79Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 Sequências de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.1 Vizinhança de um número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.2 Sequências de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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Conteúdo 3

2.2.1 Limite de uma sequência de números reais . . . . . . . . . . 85Limites in�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.3 Alguns teoremas sobre limites de sequências numéricas . . . . . . . . 863 Funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.1 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.1 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.2 Alguns teoremas sobre limites de funções . . . . . . . . . . 883.1.3 Limites no in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.2 Função contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3 Alguns teoremas sobre continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

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Capítulo 1

Pré-Cálculo

1 Números e Aritmética

A Aritmética é uma área da matemática que estuda as propriedades das operações comnúmeros, como a adição, a subtracção, a multiplicação, a divisão, o cálculo de potências,raízes, logaritmos, etc. É parte fundamental de uma área de estudo mais alargadadaconhecida por Teoria de Números.

1.1 Representação decimal

Um número diz-se representado na forma decimal se está escrito como uma sequência dedígitos contendo o ponto decimal1, como por exemplo 12.34 ou 0.04 ou 1.333. A sequênciade dígitos à esquerda do ponto diz-se parte inteira do número, designando-se a sequênciade dígitos à direita do ponto por parte fraccionária (ou dízima) do número.

Exemplo 1.

12.34 parte inteira 12, parte fraccionária 0.34

0.04 parte inteira 0, parte fraccionária 0.04

A representação decimal de um número inteiro, por exemplo 25, dispensa o ponto. Pode-riamos, no entanto, escrever 25.0, que é uma representação equivalente.2 Nas �guras 1 e 2indicam-se as designações das posições dos dígitos relativamente ao ponto decimal.

1Também se pode usar um vírgula em vez do ponto decimal. Nestes apontamentos usamos o pontodecimal.

2Chama-se a atenção que, em física e na engenharia em geral, as notações 25 e 25.0 podem ter signi�cadosdistintos. A representação 25.0 pode ser o resultado de uma medição cujo valor resultante é sabido sermaior que 25 mas menor que 25.1.

Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

6 1. Números e Aritmética

Figura 1: Valor posicional dos dígitos de númerosinteiros.

Figura 2: Valor posicional dos dígitos na dízima.

Representação de números por extenso

O número decimal 3.456 pode representar-se em português por 'três unidades e quatrocen-tas e cinquenta e seis milésimas'. Esta representação em português diz-se representaçãopor extenso e é uma maneira de dizer o número. Também podemos simplesmente dizer'três ponto quatro cinco seis' ou 'três ponto quatrocentos e cinquenta e seis'. Mas é maisclaro para quem ouve, dizer por exemplo o número 0.000006 da forma 'seis milionésimas'do que da forma 'zero ponto zero zero zero zero zero seis'. Nesta última a pessoa que ouvepode facilmente perder-se na quantidade de zeros que foram ditos e �car sem perceber quenúmero está a ser referido.

Exercício 1. (ver as �guras 1 e 2).Representar por extenso os seguintes números.

(a) 14.256 (b) 0.023 (c) 0.000023 (d) 3222247653

Vídeo 1. Escrita/leitura de números por extenso.[02:31]

1.2 Operações elementares da aritmética

As operações elementares da aritmética (também designadas por operações racionais) sãoa adição, a subtracção, a multiplicação e a divisão. São operações que devemos saberresolver para ganhar intuição sobre o seu signi�cado nas aplicações práticas. Os símbolos+,−,×,÷ designam-se por operadores aritméticos racionais (um operador sinaliza umacerta operação). Os números ou expressões envolvidos numa operação, sejam o número 2e o número 3 envolvidos na soma 2 + 3, designam-se por operandos. O valor obtido depoisde efectuada a operação, designa-se por resultado da operação. Os operadores +,−,×,÷dizem-se operadores binários por operarem sobre dois operandos.

1.2.1 Adição e subtracção

A �gura 3 nomeia os números envolvidos numa adição (operandos e resultado).


https://youtu.be/SbWQBvjarxg

1. Números e Aritmética 7

Figura 3: Os números 123 e 35 também se designam por parcelas.

A �gura 4 exempli�ca a adição de números na forma decimal. A operação decorre ignorandoos pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Figura 4: Adição de números na forma decimal.

Vídeo 2. Adição.[02:43]

Propriedades da adição/subtracção3[a, b e c são números reais]

- Comutativa: a+ b = b+ a

- Associativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c)

- Existência de elemento neutro (zero): a+ 0 = a

- Existência de inverso aditivo a+ (−a) = 0

A �gura 5 seguinte nomeia os números envolvidos numa subtracção.

3Se considerarmos o conjunto dos números negativos juntamente com o zero e os números positivos(conjunto Z), a subtracção pode considerar-se um caso particular da adição, para efeito da validade destaspropriedades. Por exemplo, a expressão 4− 2 pode ser escrita como 4 + (−2).


https://youtu.be/_Bi0c4wyuys


Figura 5

A �gura 6 exempli�ca a subtracção de números na forma decimal. A operação decorreignorando os pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Figura 6: Subtracção de números na forma decimal.

Vídeo 3. Subtracção � 1.[03:32]

Vídeo 4. Subtracção � 2.[01:01]

1.2.2 Valor absoluto de um número

O valor absoluto ou módulo de um número x, corresponde ao próprio número x, se estefor positivo ou se for o número zero, ou então ao seu simétrico −x, se o número x fornegativo. O valor absoluto de um número x indica-se na forma |x|. O operador módulo éum operador unário já que opera sobre um só operando.

Exemplo 2. |12| = 12 |−2.5| = −(−2.5) = 2.5 |0| = 0

Exercício 2. Calcular o valor decimal das expressões numéricas.

1. (a) 2.367−1.902 (b) −2.367+1.902 (c) 2−(−3)+|3− 4| (d)∣∣|3− 6| − 4 + |3− 4|

∣∣Capítulo 1. Pré-Cálculo Mário Abrantes

https://youtu.be/iLfmMvJqC0I

https://youtu.be/qEZHLKoHT4g


Sol. (d)∣∣|3− 6| − 4 + |3− 4|

∣∣ =∣∣|−3| − 4 + |−1|

∣∣ = |3− 4 + 1| = |0| = 0

1.2.3 Multiplicação e divisão

Multiplicação Uma das vantagens da operação de multiplicação envolvendo números in-teiros, é funcionar como um abreviador de somas. Como exemplo, é mais rápido efectuar aoperação 7×5 (= 35) do que efectuar a operação numericamente equivalente 7+7+7+7+7.4

Para podermos tirar partido desta funcionalidade é necessário conhecer a tabuada da mul-tiplicação5.

A �gura 7 seguinte nomeia os números envolvidos numa multiplicação.

Figura 7: Os números 23 e 35 também se designam por factores.

A �gura 8 exempli�ca a multiplicação de números na forma decimal. A multiplicaçãodecorre ignorando os pontos decimais, que são considerados apenas no �nal.

Figura 8: Multiplicação de números na forma decimal.

4Uma sequência de somas designa-se por adição sucessiva, soma sucessiva ou somatório.5Deves treinar-te para saber de cor os valores das expressões numéricas desde 1× 1 a 9× 9.



Vídeo 5. Multiplicação.[03:47]

Vídeo 6. Multiplicação Real.[06:25]

Propriedades da multiplicação [a, b e c são números reais]

- Comutativa: a× b = b× a

- Associativa: (a× b)× c = a× (b× c)

- Existência de elemento neutro (unidade): a× 1 = a

- Existência de inverso multiplicativo: a× 1a = 1

- Distributiva relativamente à adição: a× (b+ c) = a× b+ a× c

Exemplo 3. Usar as propriedades da multiplicação para demonstrar as leis seguintes.

(a+ b)c = ac+ bc

a× b× c× d = a× (b× (c× d))

As propriedades servem para simpli�car e esclarecer o modo como se fazem cálculos. Con-sideremos, por exemplo, o duplo produto 2×3×4. Querendo resolver estas operações, porqual operador '×' começamos? Começamos por 2 × 3, por 3 × 4, ou tanto faz? O que apropriedade associativa acima diz é que tanto faz, isto é, podemos calcular primeiro 2×3 emultiplicar em seguida o resultado por 4 - é o que signi�ca (a× b)× c - ou então podemoscalcular primeiro 3 × 4, multiplicando depois o resultado obtido por 2 - é o que signi�caa× (b× c). O resultado �nal é o mesmo.

Exercício 3. Calcular o valor decimal das expressões numéricas.

(a) 2.3× 1.9 (b) 23× 0.19 (c) 0.23× 0.19

Notação com potências de base 10 . Potências de base 10 são números na forma10n, sendo n um número inteiro.

Exemplo 4. Representação de números usando potências de base 10.

100 = 1 uma unidade (um)

101 = 10 uma dezena (dez)

102 = 100 uma centena (cem)

103 = 1000 um milhar (mil)

106 = 1000000 um milhão (mil milhares)

1012 um bilião (um milhão de milhões)

1018 uma trilião (um milhão de biliões)

10−1 = 0.1 uma décima (um décimo)

10−2 = 0.01 uma centésima (um centésimo)

10−3 = 0.001 uma milésima (um milésimo)

10−6 = 0.000001 uma milionésima (um milionésimo)

10−12 uma bilionésima (um bilionésimo)

10−18 uma trilionésima (um trilionésimo)


https://youtu.be/GYreaGZLjbk

https://youtu.be/dOyuwdITwe4


Nota. Na terminologia brasileira bilhão refere o número 109 , trilhão o número 1012 , etc; na língua

inglesa billion refere o número 109, trillion o número 1012, etc. Na terminologia brasileira bilioné-

sima refere o número 10−9, trilionésima o número 10−12, etc; na língua inglesa billionth refere o

número 10−9, trillionth o número 10−12, etc. A terminologia portuguesa corresponde à chamada

long scale, enquanto as terminologias brasileira e inglesa correspondem à chamada short-scale. É

preciso cuidado com algumas traduções portuguesas de textos em inglês ou em português do Brasil,

que por vezes traduzem 'à letra' estas expressões, usando por exemplo 'um bilião', que signi�ca

1012, para traduzir 'one billion', que signi�ca apenas 109.

O uso de potências de base 10 simpli�ca a representação de números muito pequenos oumuito grandes e as operações entre eles.

Vídeo 7. Potências de base 10 e expoente inteiro.[05:09]

Exemplo 5. Representação e multiplicação de números usando potências de base 10.

0.002 = 2× 0.001= 2× 10−3

3000000 = 3× 1000000= 3× 106

103 × 102 = 1000× 100 = 100000= 103+2 = 105.

103 × 10−2 = 1000× 0.01 = 10= 103−2 = 101 = 10.

A operação 0.002 × 3000000 efectua-se mais facilmente se for representada naforma 2×10−3×3×106. Fica 2×10−3×3×106 = 2×3×10−3×106 = 6×103 = 6000.

Divisão A �gura 9 nomeia os números envolvidos numa divisão.

Figura 9: D = d× q + r ⇔ 13 = 4× 3 + 1.

As �guras 10 e 11 exempli�cam a divisão envolvendo apenas número inteiros, habitualmentedesignada por divisão inteira.

Figura 10: Divisão inteira.


https://youtu.be/jGtE3f_1aMg


Figura 11: Divisão inteira.

Dados dois números inteiros a e b, diz-se que b divide a (ou que a é divisível por b), se adivisão de a por b, a÷ b, é um número inteiro, isto é, existe um inteiro c tal que a÷ b = c.Por exemplo, 30 é divisível por 6 dado que 30÷ 6 = 5.

Vídeo 8. Divisão inteira � 1.[05:30]

Vídeo 9. Divisão inteira � 2.[04:11]

Vídeo 10. Divisão real.[07:33]

Vídeo 11. Divisão por zero.[02:26]

Vídeo 12. Divisão exacta.[03:49]

Vídeo 13. Divisão: explicação do algoritmo.[06:52]

A �gura 12 exempli�ca a divisão de números na forma decimal, por vezes designada pordivisão real. A divisão decorre ignorando os pontos decimais, que são considerados apenasno �nal.

Figura 12: Divisão real.


https://youtu.be/7gi4rjCVVLI

https://youtu.be/CBMU13YcYng

https://youtu.be/h80VkL0IsZo

https://youtu.be/65zk3Ijzszg

https://youtu.be/cfO_IM7PI7Q

https://youtu.be/gbV6kq2QF7Q


A expressão a ÷ b indica o valor exacto da divisão de a por b (i.e., o resto associado àoperação é zero). Por exemplo 1 ÷ 3 representa a dízima in�nita 0.3333 · · · . A operaçãonão termina.

Exercício 4. Efectuar parcialmente cada uma das divisões até obter o resto indicado, erepresentar a operação efectuada na forma Dividendo = divisor × quociente+ resto.

(a) 3.24÷ 100, r = 0 (b) 11÷ 12, r = 0.08 (c) 1.1÷ 0.27, r = 0.00002

(d) 35.5÷ 0.29, r = 0.04 (e) 1.02÷ 234, r = 0.084 (f) 142÷ 13, r = 0.3

Sol. (d) 35.5 = 0.29× 122.4 + 0.04.

Exercício 5. Vamos veri�car que a operação de divisão não possui nem a propriedadecomutativa, nem a propriedade associativa.

1. Mostrar com um contra-exemplo6 que a divisão não goza da propriedade comuta-tiva.

2. Utilizar a expressão 12 ÷ 4 ÷ 2 para mostrar que a operação de divisão não gozada propriedade associativa, i.e. geralmente (a÷ b)÷ c 6= a÷ (b÷ c).

3. Notar porém que, para alguns casos, a igualdade (a÷ b)÷ c = a÷ (b÷ c) é válida.Apresentar dois exemplos de números a, b, c que validam a igualdade.

Exercício 6. Indicar todas as divisões inteiras a÷b associadas a cada uma das expressões.

(a) 12 = 4× 3 (b) 8 = 4× 2 (c) 25 = 5× 5

A operação de divisão tem correspondência com vários tipos de aplicações e interpretaçõesque iremos encontrar ao longo do nosso curso.

Exemplo 6.

1. A expressão 12÷3 = 4 pode ter vários signi�cados. Por exemplo (a) um conjuntode 12 objectos pode ser dividido em 3 grupos de 4 objectos; (b) se 3 unidades deum dado produto custam 12e, então cada unidade custa 4e.

2. A interpretação na alínea (b) no item anterior pode generalizar-se (ver �gura 9):D ÷ d representa a quantidade de D por cada unidade de d.

Exercício 7. Indicar as divisões sugeridas pelas perguntas.

1. Dez gramas de um produto custam 23cts. Qual o preço de um grama do produto?

2. Dez gramas de um produto custam 23cts. Quantos gramas do produto se podemcomprar com um cêntimo?

3. Um carro percorre 120 quilómetros em 4.5h. Quantas horas leva a percorrer umquilómetro?

4. Um carro percorre 120 quilómetros em 4.5h. Que distância percorre em uma

hora?

5. Uma hora tem 60 minutos. Quantas horas correspondem a 7200 minutos?

6Um contra-exemplo é um exemplo que refuta (=nega a validade de) uma dada a�rmação. Assim, aa�rmação 'a soma de quaisquer dois números inteiros é maior que 100' é refutada pelo contra-exemplo2 + 5 = 7, dado que 2 e 5 são dois números inteiros mas a sua soma é menor que 100.



1.2.4 Percentagens

Suponhamos a seguinte situação. O senhor Lopes aufere 1500 euros por mês e gasta 25%(por extenso escreve-se 'vinte e cinco por cento') dessa quantia para pagar a renda da casa.Qual o valor dessa renda? A expressão 25% signi�ca 25 partes em cada 100. No caso, porcada 100 euros de salário o senhor Lopes gasta 25 euros no pagamento da renda. Comoo salário é de 15 × 100 euros, então a renda deve ser 15 × 25 = 375 euros. Notar que25 = 0.25× 100, pelo que o valor da renda pode ser calculado da forma:

15× 25 = 15× (100× 0.25) = 1500× 0.25.

Em resumo, pretendiamos calcular vinte e cinco por cento de 1500 e veri�cámos que estevalor é traduzido pela expressão numérica 0.25 × 1500. Podemos pois concluir que 25%de um certo valor corresponde ao produto de 0.25 por esse valor. Somos levados a tomara expressão 25 por cento como sendo o número 25

100 , que por sua vez é igual a 0.25. Emresumo, temos as seguintes ideias.

x% representa o valor numérico x× 1100 = x

100

x% de um dado valor y corresponde ao número x100 × y.

Vídeo 14. Percentagens.[05:16]

As percentagens são uma forma de tornar claras relações entre grandezas.

• Numa a�rmação do tipo 'x é igual 45% de y' (ver �gura 13) estamos a considerarque y vale 100% (= 1), sendo o valor de x = 45%y inferior a metade (= 50%) dey. Analogamente, se dizemos que 'z é igual a 85% de y' �camos a saber que z érazavelmente maior que metade de y.

• Saber que o custo de uma viagem de combóio entre duas cidades A e B passou de23 para 25.76 euros, e que o custo da viagem entre as cidades C e D, num combóioda mesma empresa, passou de 47 para 52.64 euros, fornece uma informação menosclara para o entendimento das opções de preços da empresa que fornece o serviço,do que saber que a empresa resolveu aumentar os preços em 12%, que é a condiçãoque leva à variação de preços indicada (veri�car!).

Figura 13: As percentagens permitem comparar facilmente duas grandezas.

Exercício 8. Escrever o valor decimal correspondente às expressões.

1. (a) 33% (b) 3.3% (c) 8.5% (d) 0.2% (e) 0.008%


https://youtu.be/WOM0XT1fm9g


Sol. (d) 0.2% = 0.2100 = 0.002.

2. (a) 33%× 25 (b) 12%× 3.43 (c) 8.5%× 8.5% (d) 0.2%× 23 + 11

Sol. (d) 0.2%× 23 + 11 = 0.2100 × 23 + 11 = 46

100 + 11 = 11.46.

Exercício 9. Escrever os valores em percentagem que são equivalentes às expressões.

1. (a) 0.23 (b) 1.2 (c) 8.5 (d) 0.000034 (e) 1234

Exercício 10.

1. (a) 22 que percentagem é de 36? (b) 36 que percentagem é de 22?

Sol. (b) 3622 =≈ 1.64 = 164

100 = 164%.

2. (a) 2.52 que percentagem é de 36? (b) 36 que percentagem é de 2.52?

3. Que valores correspondem a (a) 10% de 5; (b) 100% de 5; (c) 1000% de 5; (d)10000% de 5?

4. Mostrar que x% de y é igual a y% de x.

5. Se 25% de y equivale a 13y, qual o valor de y?

1.3 Fracções

Uma fracção é qualquer expressão na forma ab , sendo a, b números inteiros e b 6= 0. A �gura

14 nomeia os números envolvidos numa fracção.

Figura 14: Designações dos termos de uma fracção.

Sendo a, b não negativos, o valor da fracção ab é o mesmo da divisão a÷ b.

Exemplo 7.

1. 42 = 4÷ 2 = 2

2. 12 = 1÷ 2 = 0.5

3. 53 = 5÷ 3 = 1.666 · · ·

Nota. Um número de dízima in�nita periódica como 1.666 · · · , também se pode repre-

sentar na forma mais compacta 1.6. Outro exemplo: 23.567567567 · · · pode escrever-se

23.567. Veremos adiante que todos os números de dízima in�nita periódica podem ser

representados por fracções.

Vídeo 15. Fraccções: signi�cado elementar; soma.[04:21]

Segue uma propriedade muito importante das fracções.


https://youtu.be/usj0GiFdlsY


O valor de uma fracção não se altera se multiplicarmos ou dividirmos onumerador e o denominador pelo mesmo número, isto é dada a fracção

a

b

e um número c 6= 0, temos

a

b=a× cb× c

.

Exemplo 8.

2 =12

6=

6× 2

3× 2=

6

3.

Dizemos que uma fracção ab , com a, b positivos, se encontra na forma reduzida se não existe

uma fracção equivalente com numerador menor que a e denominador menor que b.

Exemplo 9.

A forma reduzida da fracção9

27é

1

3

A forma reduzida da fracção47

14é

7

2

A forma reduzida da fracção − 8

18é − 4

9

Exercício 11. Escrever as fracções na forma reduzida.

(a)1

5(b)

64

16(c)

18

30

Operações com fracções Qual o interesse em representar números por fracções? Quevantagens existem em escrever 1

2 em vez de 0.5? O facto é que a representação de númerosusando fracções facilita as operações aritméticas. Este ponto �cará claro depois de falar-mos de operações envolvendo fracções.

Adição/Subtracção

Exemplo 10. Efectuar operação1

20+

2

60

1. Começamos por multiplicar ambas as partes (numerador e denominador) de cadafracção de modo a dar a cada fracção o mesmo denominador.

Podemos fazê-lo de muitas formas. Por exemplo, podemos multiplicar ambas aspartes de 1

2 por 60 e ambas as partes de 260 por 20, obtendo-se

1

20 (×60)+

2

60 (×20)=

60

1200+

40

1200

O mais conveniente é fazer esta transformação de modo que nos denominadores�que o chamadomínimo múltiplo comum de 20 e 60, que é o menor inteiro divisívelpor 20 e por 60. Neste caso esse número é 60 e escreve-se mmc(20, 60) = 60.Temos

1

20 (×3)+

2

60 (×1)=

3

60+

2

60

Obtemos expressões com números mais pequenos.



2. De seguida somam-se as fracções obtidas da forma

3

60+

2

60=

3 + 2

60=

5

60=

1

12.

Multiplicação/Divisão de fracções

Exemplo 11. Efectuar a operação3

5× 7

4

A resolução é a seguinte.3

5× 7

4=

3× 7

5× 4=

21

20

Exemplo 12. Efectuar a operação

3

5÷ 7

4

Como a÷ b representa ab , podemos indicar a operação na forma

3574

resolvendo-a do modo

3574

=3× 4

5× 7

Como

3× 4

5× 7=

3

5× 4

7

obtém-se

3

5÷ 7

4=

3

5× 4

7.

Em resumo, temos as seguintes regras operatórias para a multiplicação e divisão de fracções.

a

b× c

d=ac

bd

a

b÷ c

d=a

b× d

c=ad

bc.

Vídeo 16. Justi�cação das regras da multiplicação e da divisão de fracções.[07:13]

Vantagem da representação de números por fracções. A representação de números por frac-ções é muito conveniente para a resolução de operações aritméticas.


https://youtu.be/DyyhKqMTC_4


Exemplo 13. A soma

1

2+

1

5

é facilmente efectuada usando para as parcelas a notação decimal correspondente

1

2+

1

5= 0.5 + 0.2 = 0.7

O mesmo não acontece com a operação

67

99+

49

99

que é facilmente efectuada usando a soma de fracções

67

99+

49

99=

116

99,

enquanto a mesma operação, usando a representação decimal das parcelas envolvidas, nãopode ser efectuada da forma usual, pois estas têm um número de dígitos in�nito,

67

99+

49

99= 0.676767 · · ·+ 0.494949 · · ·

Uma di�culdade análoga acontece se quisermos multiplicar ou dividir estes números usandoa sua representação decimal.

Exemplo 14. Explicar como poderia ser efectuada a soma 0.676767 · · · + 0.494949 · · ·mantendo os operandos na forma decimal.

1.4 Conjuntos de números

Ao longo do nosso curso vamos usar vários conjuntos de números. O conjuntos designam-segeralmente por letras maiúsculas. Por exemplo, a expressão A = {1, 2, 3} de�ne A comoo conjunto cujos elementos são os números 1, 2 e 3. Há alguns conjuntos su�cientementeimportantes (são muito utilizados) para serem designados por uma letra própria, que só éusada para designar esses conjuntos. Indicamos a seguir os mais comuns.

1. Conjunto dos números naturais: representa-se pelo símbolo N e correspondeao conjunto dos números inteiros positivos.

N = {1, 2, 3, · · · }

Há certos autores que incluem o zero neste conjunto. Neste texto o símbolo usadoquando queremos considerar também o zero é N0, i.e., N0 = {0, 1, 2, 3, · · · }.

2. Conjunto dos números inteiros: representa-se pelo símbolo Z e correspondeao conjunto constituido pelos números inteiros positivos, pelos números inteirosnegativos e pelo zero (o zero não tem sinal).

Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }

Para referir apenas os inteiros negativos usa-se o símbolo Z−. Para referir osinteiros negativos juntamente com o zero, usa-se o símbolo Z−0 , etc. Como éfácil veri�car, o conjunto dos números naturais está contido (é uma parte de) noconjunto dos números inteiros. Matematicamente escreve-se esta relação da formaN ⊂ Z, que se lê N está contido em Z. Também se pode escrever Z ⊃ N, que selê Z contém N.



3. Conjunto dos números racionais: representa-se pelo símbolo Q e correspondeao conjunto dos números que se podem representar na forma de fracções, como porexemplo 2

3 ,−43 , etc (o termo racional vem de razão que em matemática signi�ca

divisão).

Q = {ab

: a, b ∈ Z, b 6= 0} (1.1)

É imediato veri�car que todos os números inteiros são também números racionais.Exemplos: (i) o número 4 pode representar-se pela fracção 4

1 , sendo da formaindicada na expressão (1.1); (ii) o número 0 pode representar-se pela fracção 0

2 .Podemos escrever Z ⊂ Q. Por ser N ⊂ Z, podemos escrever N ⊂ Z ⊂ Q. Usa-seo símbolo Q− para referir apenas os números racionais negativos; usa-se tambémo símbolo Q+

0 para referir os números racionais positivos juntamente com o zero,etc.

4. Conjunto dos números reais: representa-se pelo símbolo R e corresponde àunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos número irracionais.Número irracional é todo o número que não pode ser representado como uma frac-ção, i.e., é um número que não pertence ao conjunto Q.7 Exemplos deste númerossão√

2, e, π. Mas como é que se sabe que estes números não são representáveispor uma fracção? Bem, é preciso prová-lo! No vídeo 17 está a prova para o casode√

2. Para os casos de e e π a prova não é tão simples. Existem números dosquais não se sabe se são racionais ou irracionais, como por exemplo (π − e) e(π+e). O conjunto dos números irracionais não tem um símbolo para o designar.

R = Q ∪ Irracionais

Podemos escrever N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Vídeo 17. Raiz quadrada de 2 é irracional.

Vídeo 18. Conjuntos de números.[09:33]

1.5 Potências

1.5.1 Potências de expoente inteiro

Uma potência de expoente inteiro, como por exemplo 43 (ver �gura 15), é uma abreviaturapara a sequência de produtos 4× 4× 4.

Figura 15: Designações dos termos de uma potência.

7Obs. a palavra irracional, devido ao pre�xo de negação ir, signi�ca literalmente que não é racional,isto é, que não é representável por uma divisão de inteiros.


https://www.youtube.com/watch?v=gXZ3S5acYLY


De um modo geral temos

ab = a× a× · · · × a︸︷︷︸'a' aparece 'b' vezes

sendo b um inteiro positivo.

1.5.2 Operações com potências

A representação de números reais usando potências é útil porque podemos operar númerosnessa forma e algumas operações são resolvidas de modo mais e�ciente se os númerosestiverem na forma de potências. Apresentamos de seguida as propriedades de algumasoperações com potências. Todas estas propriedades são também válidas para potências deexpoentes não inteiros, de que falaremos adiante, desde que as bases sejam não-negativas(i.e., pertençam a R+

0 ).

Multiplicação de potências A multiplicação de potências é efectuada como se exem-pli�ca abaixo.

Exemplo 15. Multiplicação de potências com o mesmo expoente.

43 × 23 = (4× 4× 4)× (2× 2× 2) = (4× 2)× (4× 2)× (4× 2) = (4× 2)3

De um modo geral temos ab × cb = (ac)b.

Exemplo 16. Multiplicação de potências com a mesma base.

73 × 72 = (7× 7× 7)× (7× 7) = (7× 7× 7× 7× 7) = 75

De um modo geral temos ab × ac = ab+c.

Notar que, por exemplo, a igualdade ab × cb = (ac)b signi�ca que dados quaisquer trêsnúmeros a, b, c os números à esquerda e à direita do sinal '=' são iguais. Vamos veri�carque os cálculos no exemplo 15 estão correctos.

43︸︷︷︸64

× 23︸︷︷︸8︸︷︷︸

64× 8 = 512

= (4× 2)3︸︷︷︸83 = 512

.

Apresenta-se a seguir um exemplo de potência em que a base é uma fracção.

Exemplo 17. (4

5

)3

=4

5× 4

5× 4

5=

4× 4× 4

5× 5× 5=

43

53


(a

b

)c

=ac

bc.

Divisão de potências A divisão de potências é efectuada como se exempli�ca abaixo.

Exemplo 18. Divisão de potências com o mesmo expoente.

43 ÷ 23 =

(4

2

)3

= 23

De um modo geral temos ac ÷ bc =

(a

b

)c

.



Exemplo 19. Divisão de potências com a mesma base.

75 ÷ 73 =75

73=

7× 7× 7× 7× 7

7× 7× 7=

7× 7× 7 × 7 × 77 × 7 × 7

= 75−3 = 72

De um modo geral temos ab ÷ ac = ab−c.

A regra da divisão de potências com a mesma base justi�ca a existência de potências comexpoentes negativos.

Exemplo 20. Signi�cado das potências com expoentes negativos.

73 ÷ 75 =73

75=

7× 7× 7

7× 7× 7× 7× 7=

7 × 7 × 77× 7× 7 × 7 × 7

= 73−5 = 7−2 =1

72

De um modo geral temos a−b =1

ab.

Exemplo 21. Signi�cado das potências com expoente nulo.

1 = 73 ÷ 73 =73

73= 73−3 = 70

De um modo geral temos a0 = 1, a 6= 0.

Resumo das regras para multiplicar e dividir potências

ab × cb = (ac)b (1.2)

ab × ac = ab+c (1.3)(a

b

)c

=ac

bc, b 6= 0 (1.4)

ac ÷ bc =

(a

b

)c

, b 6= 0 (1.5)

ab ÷ ac = ab−c, a 6= 0 (1.6)

a−b =1

ab, a 6= 0 (1.7)

a0 = 1, a 6= 0 (1.8)

1.6 Radicais

Um radical (ou raiz) é uma expressão da forma n√a, sendo n um inteiro positivo. A

expressão n√a lê-se raiz índice n de a (ver �gura 16), e é tal que

(n√a

)n

= a.

Figura 16: Designações dos termos de um radical.



Exemplo 22. Raiz índice n de um número.

n√a = b signi�ca bn = a, ou seja

(n√a

)n

= a

3√

8 = 2 porque 23 = 8, ou seja

(3√

8

)3

= 8

5√−32 = −2 porque (−2)5 = −32, ou seja

(5√−32

)5

= −32

2√

49 = 7 porque 72 = 49, ou seja

(2√

49

)2

= 49

Exemplo 23. Designações das raízes de números.

n√a = b lê-se b é raiz índice n de a

3√

8 = 2 lê-se 2 é raiz cúbica de 85√−32 = −2 lê-se −2 é raiz quinta de −32

2√

49 = 7 lê-se 7 é raiz quadrada de 49

Observações. 1. Normalmente omite-se o índice da raiz quando este é igual 2. Porexemplo, escreve-se

√49 = 7 em vez de 2

√49 = 7.

2. As expressão n√a, com n par, representa um número real apenas quando o radicando a

não é negativo. Por consequência, não são números reais as expressões√−4, 4√−6, 12

√−1.

3. Vimos acima que 2√

49 = 7 porque 72 = 49. Mas também se veri�ca (−7)2 = 49. Porisso se diz que 7 e −7 são as duas raízes quadradas de 49. A notação

√49 reserva-se, no

entanto, para a raiz quadrada positiva do número 49, i.e.√

49 = 7.

O cálculo da raiz de índice n (ou raiz enésima) de um número, também se designa porextracção da raiz de índice n do número. A designação geral para a operação de extracçãode raízes é radiciação.

Vídeo 19. Raízes de números negativos.[04:37]

1.6.1 Propriedades da radiciação

Exemplo 24. Exemplos de algumas propriedades da radiciação

1.

3√

64 = 3√

8× 8 =3√

8× 3√

8 = 2× 2 = 4

De um modo geral temos, se b e c são não negativos,n√b× c =

n√b× n√c.

2. √16

9=

√16√9

=4

3

De um modo geral temos, se a e b são não negativos e se b 6= 0

n

√a

b=

n√a

n√b.


https://youtu.be/nAsF0aPl5SI


3. Atendendo a que 64 = 43, temos

2√

64 =2√

43 = (2√

4)3 = 23 = 8

De um modo geral temos, para n,m inteiros positivos e a ≥ 0,

n√am =

(n√a

)m

.

O que esta propriedade nos diz é que, para determinar a representação decimal donúmero n

√am, tanto faz determinar primeiro o radicando b = am e depois calcular

a raiz n-ésima deste valor, n√b, ou então calcular primeiro a raiz n-ésima de a,

que é c = n√a, e depois elevar a m o número obtido cm.

4. Atendendo a que 8 =√

64, temos

3√

8 =3

√2√

64 =3×2√

64 =6√

64 = 2

De um modo geral temos, para n,m inteiros positivos e a ≥ 0,

m

√n√a = mn

√a.

Resumo das regras para operar com radicais(a, b, c são números reais não negativos; m, n sãointeiros positivos)

n√b× c =

n√b× n√c (1.9)

n

√a

b=

n√a

n√b, b 6= 0 (1.10)

n√am = ( n

√a)m (1.11)

m

√n√a = mn

√a (1.12)

Vídeo 20. Cálculo aproximado de radicais.[03:03]

1.6.2 Radicais escritos sob a forma de potências

Vamos mostrar que se a ≥ 0, as expressões n√am e a

mn representam o mesmo número.

Exemplo 25.

Consideremos a expressão 3√

52. Sabemos que o cubo desta expressão é igual a 52.(3√

52

)3

=3√

52 × 3√

52 × 3√

52 = 52. (1.13)

Se na expressão anterior substituirmos 3√

52 por 523 e usarmos a regra do produto

de potências com a mesma base (ver exemplo 16, pg. 20), temos(5

23

)3

= 523 × 5

23 × 5

23 = 5

23

+ 23

+ 23 = 5

63 = 52. (1.14)


https://youtu.be/L6SZVCGhpsU


Podemos observar que na expressão 1.14 estendemos a expoentes não inteiros a regra ope-ratória de potências expressa na fórmula 1.3 (pg. 21), somando os expoentes na expressão5

23 × 5

23 × 5

23 .8 Atendendo às expressões (1.13) e (1.14), veri�camos que 3

√52 e 5

23 se

comportam como sendo o mesmo número, uma vez que o seu cubo é o mesmo.

Vídeo 21. n√am = a

mn .[05:09]

1.7 Logaritmação

O logaritmo na base b de um número a > 0, com b > 0, é um número denotado pelaexpressão logba, e representa o expoente a que se deve elevar a base b para obter a (ver�gura 17). A operação de cálculo de um logaritmo designa-se por logaritmação.

Figura 17: Designações dos termos de um logaritmo.

Exemplo 26. Cálculo de alguns logaritmos.

logb a = c signi�ca bc= a

log10 100 = 2 porque 102 = 100

log4 2 =1

2porque 4

12 =√

4 = 2

log2

1

2= −1 porque 2−1 =

1

2log0.1 0.01 = 2 porque 0.12 = 0.01

Exercício 12. 1. Determinar os valores dos logaritmos.

(a) log10 103 = (b) log5 53 = (c) log5 53 = (d) log2

√2 =

(e) log0.1 100 = (f) log5

1

5= (g) log2.5 6.25 = (h) log 1

4

1

2=

Sol. (f) log515 = c signi�ca que 5c = 1

5 = 5−1, e por isso c = −1

2. Determinar os argumentos x dos logaritmos.

(a) log3 x = 2 (b) log5 x = 1.5 (c) log5 x = 1 (d) log2 x =1

4

3. Determinar as bases b dos logaritmos.

(a) logb 16 = 2 (b) logb 125 = 5 (c) logb 10 = 0.1 (d) logb e2 = 2

8Esta é um aplicação do chamado princípio de conservação de propriedades formais que a�rma, em tra-ços gerais, o seguinte: cada vez que ampliamos um certo conjunto de números com que fazemos operações,acrescentando-lhe novos números, devemos procurar conservar o maior número de propriedades formais,válidas nesse conjunto de números.


https://youtu.be/teyAEZnS3DQ


Podemos veri�car que o cálculo do logaritmo logb a, corresponde à resolução da equação naincógnita x, logb a = x, o que é o mesmo que resolver a equação bx = a. Esta abordagempermite-nos obter facilmente valores aproximados para logaritmos.

Exemplo 27. Determinar dois números inteiros consecutivos que enquadrem os valoresdos logaritmos.

(a) log10 8 (b) log10 55 (c) log10 300 (d) log2 34.5

(e) log0.1 2 (f) log5 12.3 (g) log2.5 7 (h) loge 12

Sol. (e) log10 55 = x. Sabemos que log10 55 = x ⇔ 10x = 55. Usando o facto da função10x ser crescente (falaremos desta função adiante no nosso curso), substituimos sucessivosvalores inteiros na variável x de modo a enquadramos o valor 55.

x = 1⇒ 10x = 101 = 10 < 55

x = 2⇒ 10x = 102 = 100 > 55

Como 10 < 55 < 100, então log10 10 < log10 55 < log10 100⇔ 1 < log10 55 < 2.

1.7.1 Propriedades dos logaritmos

Como já foi referido antes, as propriedades dos operadores servem para esclarecer o modocomo as operações que os envolvem devem ser efectuadas. Seguem-se exemplos para escla-recer algumas propriedades dos logaritmos.

1. Logaritmo de um produto.

log2(8× 4) = log2 32 = log2 25 = 5 = 3 + 2 = log2 8 + log2 4


logb(a× c) = logb a+ logb c.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma produtos, a× c,

em somas, logb a+ logb c.

2. Logaritmo de um quociente.

log28

4= log2 2 = 1 = 3− 2 = log2 8− log2 4


logba

c= logb a− logb c.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma divisões,a

c,

em subtracções, logb a− logb c.

3. Logaritmo de uma potência.

log2 43 = log2 64 = log2 26 = 6 = 3× 2 = 3× log2 4


logb ac = c× logb a.

Por causa desta propriedade, costuma dizer-se que o logaritmo transforma potências, ac,

em multiplicações, c× logb a.



4. Vale a seguinte igualdade.

blogb a = a

Por exemplo, por ser log3 9 = 2, temos

3log3 9 = 32 = 9.

A natureza simpli�cadora do operador logaritmo, revelada por estas regras, faz com queeste operador apareça 'por toda a parte' na matemática. Teremos oportunidade de, nosassuntos que vamos estudar, constatar isto mesmo.

Todas estas propriedades podem ser demonstradas. Como exemplo, vamos demonstrara propriedade 2 enunciada acima, logb

ac = logb a− logb c.

Prova. (da propriedade logbac = logb a− logb c)

Seja logb a = x e logb c = y. Usando a de�nição de logaritmo podemos escrever

logb a = x⇒ a = bx logb c = y ⇒ c = by.

e por consequência

logba

c= logb

bx

by.

Como, pela regra da divisão de potências com a mesma base, se pode escrever

bx

by= bx−y

obtemoslogb

a

c= logb b

x−y = x− y = logb a− logb c

No quadro seguinte juntam-se as regras apresentadas acima.

Resumo das regras para operar com logaritmos(a, b, c são números reais positivos, excepto c no caso*)

logb(a× c) = logb a+ logb c (1.15)

logba

c= logb a− logb c (1.16)

logb ac = c× logb a * c é não negativo (1.17)

blogb a = a (1.18)

Vídeo 22. Mudança de base.[04:45]

Vídeo 23. Não existe logb 0.[04:06]

Vídeo 24. Cálculo aproximado de logaritmos.[06:12]

Exercício 13. Sejam b, c dois números positivos. Mostrar que logb a = logc alogc b

.


https://youtu.be/hd1dH-QnSfU

https://youtu.be/8myN75VzFsA

https://youtu.be/afLVOFgpZ4k

2. Equações e inequações 27

2 Equações e inequações

Equações Uma equação é uma igualdade na qual aparecem um ou mais termos, geral-mente letras, representando valores desconhecidos (incógnitas).

Exemplo 28. Exemplos de equações.

2x+ 3 = 5 equação na variável x (1.19)

2x+ 3y = −3x equação nas variáveis xe y

Uma equação transforma-se numa igualdade numérica verdadeira sempre que as incógnitassão substituidas por valores que tornam os dois membros da igualdade equivalentes, i.e.,com o mesmo valor numérico. Tais valores das incógnitas designam-se por soluções ouraízes da equação.

Exemplo 29. x = 1 é uma solução (neste caso a única solução) da equação (1.19), porquesubstituindo x por 1 na equação obtemos a igualdade verdadeira 2× 1 + 3 = 5.

Uma igualdade que se veri�ca para todos os valores da incógnita, designa-se por identidade.

Exemplo 30. A igualdade (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 é uma identidade (porquê?). Porvezes representam-se as identidades usando o símbolo '≡' em vez de '=', para realçar queas igualdades em causa são identidades. Assim, a igualdade anterior pode escrever-se(x+ 1)2 ≡ x2 + 2x+ 1.

Uma equação, mesmo com uma só variável, pode ter uma solução, nenhuma solução ouvárias soluções. Se uma equação tem várias soluções, então diz-se possível ou resolúvel. Senão tem soluções, diz-se impossível ou irresolúvel. O conjunto de todas as soluções de umaequação designa-se por conjunto solução da equação.

Exercício 14. Nas três equações seguintes há uma que tem uma só solução, outra que nãotem soluções e ainda outra que tem in�nitas soluções. Consegues identi�cá-las?

(a) x+ 3 = −3 (b) x+ 1 = x+ 1 (c) x+ 1 = x+ 2

Resolver uma equação é calcular todas as suas soluções. Existem equações de vários ti-pos, sendo que a resolução de equações envolve estratégias próprias do tipo de equaçãoem causa. Há, no entanto, um conjunto de princípios, i.e., técnicas de resolução, e deconceitos, que se mantêm válidos seja qual for o tipo de equação considerado.

Um desses conceitos é o de equivalência de equações. Duas equações dizem-se equivalentesse têm as mesmas soluções. Por exemplo, as equações x2 = 1 e (x − 1)(x + 1) = 0 sãoequivalentes, sendo o conjunto solução de ambas {−1, 1}.

Exercício 15. Mostrar que as equações (x2 + 1)(x− 1) = 0 e x− 1 = 0 são equivalentes.

Resolver uma equação, consiste em mudar a sua forma, obtendo sucessivas equações equi-valentes, até obter uma equação numa forma su�cientemente simples para que as soluçõespossam ser obtidas.


28 2. Equações e inequações

Exemplo 31. Resolver a equação 5(2+2x)3 = 2x− 6.

5(2 + 2x)

3= 2x− 6⇔

⇔ 5(2 + 2x) = 3(2x− 6) (1.20)

⇔ 10 + 10x = 6x− 18 (1.21)

⇔ 10x− 6x = −10− 18 (1.22)

⇔ 4x = −28 (1.23)

⇔ x =−28

4(1.24)

⇔ x = −7 (1.25)

No exemplo acima partimos da equação 5(2+2x)3 = 2x − 6, de cuja forma não é imediato

determinar as raízes, e por transformações de equivalência obtivemos a equação x = −7,que deixa claro que a equação tem como única raiz −7 (a única forma de tornar verdadeiraa igualdade x = −7 é substituir x por −7). Uma transformação de equivalência é umatransformação em um, ou em ambos, os membros de uma equação, alterando a forma destamas não o seu conjunto solução. As transformações de equivalência são essencialmente de3 tipos. Elas resultam dos três princípios de equivalência seguintes.

1o Princípio de equivalência: Multiplicando ambos os membros de uma equaçãopor um mesmo número diferente de zero, obtém-se uma equação equivalente àprimeira. Na solução da equação acima, a aplicação deste princípio ocorreu, porexemplo, na obtenção da equação(1.20) � multiplicação de ambos os membros daequação inicial por 3.

2o Princípio de equivalência: Substituindo um dos membros de uma equação poruma expressão equivalente a esse membro, obtém-se uma equação equivalente àprimeira. Na solução da equação acima, a aplicação deste princípio ocorreu, porexemplo, na obtenção da equação(1.21) � relativamente à equação anterior, oprimeiro membro 5(2 + 2x) foi substituido pela expressão equivalente 10 + 10x eo segundo membro 3(2x− 6) foi substituido pela expressão equivalente 6x− 18.

3o Princípio de equivalência: Se um membro de uma equação é a soma de duas oumais expressões, obtém-se uma equação equivalente à primeira passando para ooutro membro uma qualquer dessas expressões com o sinal trocado. Na solução daequação acima, a aplicação deste princípio ocorreu, por exemplo, na obtenção daequação(1.22) � relativamente à equação anterior, a parcela 10 passou do primeiromembro para o segundo com o sinal trocado; a parcela 10x passou do segundomembro para o primeiro com o sinal trocado.

Exemplo 32. No exemplo 31, indicar quias dos três princípios foram usados para obteras equações 1.23, 1.24, 1.25.

Vídeo 25. Resolução de equações � 1.[07:06]

Inequações Uma inequação é uma desigualdade envolvendo incógnitas podendo os sinaisque relacionam as expressões nos dois membros ser > (maior que), ≥ (maior ou igual a), <(menor que), ≤ (menor ou igual a).9 Notar que, por exemplo, a ≤ b é uma expressão ver-dadeira quando a representa um valor numérico menor que o valor numérico representadopor b, ou quando a representa um valor numérico igual ao valor numérico representado porb. É falsa noutros casos. Analogamente para a ≥ b.

9Há autores que designam por inequação toda a relação que envolve apenas algum dos operadores <,>.


https://youtu.be/xy6ssxrN1Bg

2. Equações e inequações 29

Exemplo 33. Exemplos de uso dos operadores relacionais >,≥, <,≤.

2 < 3 expressão verdadeira 2 < −2 expressão falsa

3 > 2 expressão verdadeira 2 > 3 expressão falsa

3 ≥ 3 expressão verdadeira 3 > 3 expressão falsa

3 ≤ 3 expressão verdadeira 3 < 3 expressão falsa

2 ≤ 3 expressão verdadeira

Exemplo 34. Exemplos de inequações.

2x+ 3 > 5 inequação na variável x (1.26)

x2 − 2x+ 1− y ≤ 2x+ 2y inequação nas variáveis xe y

Uma inequação transforma-se numa expressão relacional10 verdadeira sempre que as in-cógnitas são substituidas por valores que tornam verdadeira a relação numérica resultante.Tais valores das incógnitas designam-se por soluções ou raízes da inequação.

Exemplo 35. x = 2 e x = 3 são duas das soluções da inequação (1.26), porque substituindox por 2 obtemos a desigualdade verdadeira 2 × 2 + 3 > 5 ⇔ 7 > 5 e substituindo x por 3obtemos a desigualdade verdadeira 2× 3 + 3 > 5⇔ 9 > 5.

Tal como para as equações, uma inequação, mesmo com uma só variável, pode ter umasolução, nenhuma solução ou várias soluções. Se uma inequação tem uma ou mais soluções,então diz-se possível ou resolúvel. Se não tem soluções, diz-se impossível ou irresolúvel.

Exercício 16. Nas três inequações seguintes há uma que tem uma só solução, outra quenão tem soluções e ainda outra que tem in�nitas soluções. Consegues identi�cá-las?

(a) x+ 3 > −3 (b) 2 ≤ 2 + |x| (c) x+ 1 > x+ 2

Resolver uma inequação é um processo análogo à solução de uma equação, consistindo emmudar a sua forma, obtendo sucessivas inequações equivalentes, até obter uma inequaçãonuma forma su�cientemente simples para que as soluções possam ser obtidas. Na aplicaçãodo primeiro dos três princípios de equivalência enunciados para as equações, deve ter-se ematenção o seguinte: se o número pelo qual se multiplicam ambos os membros da inequaçãofor negativo, a orientação do operador de desigualdade muda. Consideremos a desigualdadeverdadeira 4 ≤ 5. Se multiplicarmos por −2 ambos os membros, obtemos a relação falsa−8 ≤ −10. Para continuarmosa ter uma relação verdadeira depois desta operação devemosescrever −8 ≥ −10.

Exercício 17. Resolver a inequação 4x+ 2 > x− 1.

4x+ 2 > x− 1⇔⇔ 4x− x > −1− 2

⇔ 3x > −3

⇔ x > −1

Conjunto solução =]− 1,+∞[

10Expressões relacionais são expressões do tipo a > b, a ≤ b, a = b, etc, que exprimem uma relação

('maior', 'menor ou igual a', 'igual', etc) entre os membros a e b. Uma expressão deste tipo é verdadeira

ou falsa, consoante a relação se veri�ca ou não.


30 3. Equação da recta

Igualdades e desigualdades múltiplas Expressões como (a = b = c) ou (a > b ≥c < d) são verdadeiras somente quando é verdadeira a relação de�nida por cada operador epelos operandos imediatamente à sua esquerda e à sua direita. Por exemplo, (3 = 2+1 = 4)é falsa porque, ainda que (3 = 2 + 1) seja uma relação verdadeira, (2 + 1 = 4) não o é. Já(3 < −4 ≤ −5) é uma relação falsa, dado que tanto (3 < −4) como (−4 ≤ −5) o são.

Vídeo 26. Resolução de inequações � 1.[06:53]

Vídeo 27. Resolução de inequações � 2.[06:31]

3 Equação da recta

Na �gura 18 representa-se um segmento da recta pertencente à recta r. Suponhamos umreferencial cartesiano comum, constituido por dois eixos, sendo o eixo horizontal o eixo dosxx e o eixo vertical o dos yy. Na parte esquerda da �gura veri�camos que a uma variação∆x no eixo dos xx, corresponde a variação ∆y no eixo dos yy. O quociente ∆y

∆x representa-se geralmente pela letra m e designa-se por declive da recta. Este quociente é constante,independentemente do valor numérico de ∆x. Na parte direita da �gura exempli�ca-se istomesmo, produzindo-se uma variação de 2∆x no eixo dos xx. Por semelhança dos triângulosenvolvidos, veri�ca-se que a variação segundo o eixo dos yy é 2∆y, pelo que o quocientedestas variações continua a ser m. Esta é uma propriedade distintiva da recta, i.e., a rectaé a única curva11 no plano com a propriedade de o quociente das variações segundo o eixodos yy pelas correspondentes variações segundo o eixo dos xx ser constante.

Figura 18: m é a taxa de variação de y com x. É uma constante designada por declive da recta.

É agora fácil obter a equação da recta na forma reduzida, y = mx+ b. Para o fazer, consi-deremos dois pontos quaisquer da recta (x, y) e (x0, y0). É correcto o seguinte raciocínio.

1. m = ∆x∆y = y−y0

x−x0.

2. Podemos escrever sucessivamente

m =∆y

∆x=y − y0

x− x0⇔ m(x− x0) = y − y0

⇔ y = mx−mx0 + y0 ⇔ y = mx + b, sendo b = −mx0 + y0

Nas �guras 19 e 20 estão representadas grá�camente rectas, acompanhadas das respectivasformas analíticas y = mx+ b. Salienta-se o seguinte.

• As rectas paralelas têm o mesmo declive m;

11Em geometria, a expressão curva no plano designa qualquer linha sobre o plano. Por exemplo, ascircunferências e as rectas são exemplos de curvas no plano.


https://youtu.be/6q2kOWafZ9o

https://youtu.be/FkPWk8cdUGg

4. Exercícios 31

• O parâmetro b na equação y = mx + b, corresponde ao ponto de intersecção darecta com o eixo dos yy.

Figura 19: Rectas paralelas com declive m > 0.Figura 20: Rectas paralelas com declive m < 0.

Figura 21: Rectas horizontais, x = a, everticais, y = b.

Na �gura 21 estão representadas rectas horizontais (pa-ralelas ao eixo dos xx) e verticais (paralelas ao eixo dosyy). Salienta-se o seguinte.

• As rectas horizontais são da forma x = a,sendo a a abcissa do ponto de intersecção doeixo dos xx com a recta.

• As rectas verticais são da forma y = b, sendob a ordenada do ponto de intersecção do eixodos yy com a recta.

Vídeo 28. Recta.[09:31]

Exercício 18. Veri�car, analíticamente (sem usar grá-�co), a que rectas pertence o ponto (x, y) = (1, 2).

(a) x = 1 (b) y = 2 (c) y = 3x− 1 (d) y = 2x+ 2

4 Exercícios

Exercício 19. Mostrar o seguinte.

1. A soma de dois números pares é um número par.

2. A soma de dois números ímpares é um número par.

3. O produto de dois números pares é um número par.

4. O produto de dois números ímpares é um número ímpar.

Exercício 20. Seja b um número inteiro.

1. Quais são os restos possíveis para a divisão inteira de b por 2?


https://youtu.be/5vSG05TkJWc

32 4. Exercícios

2. Quais são os restos possíveis para a divisão inteira de b por 27?

3. Justi�car que a divisão a÷ b de dois números inteiros quaisquer tem uma dízima�nita ou in�nita periódica.

Exercício 21. Toma-se um conjunto de n objectos e veri�ca-se o seguinte: (i) formandogrupos de 3 objectos sobram 2 objectos; (ii) formando grupos de 5 objectos sobram 3objectos. Qual o menor valor possível para n?

Exercício 22. Exercício com calculadora.

1. Considerar a expressão 1x . Calcular o valor da expressão para os seguintes valores

de x: 3, 30, 100.

2. Determinar o conjunto de valores de x tal que 1x < 0.001.

3. Mostrar que, de um modo geral, para qualquer número real ε, não importa quãopequeno seja, se pode sempre determinar x0, tal que para valores de x > x0 se

veri�ca 1x < ε. Por esta razão escreve-se lim

x→∞

1

x= 0.


1. Usar a calculadora para determinar as seguintes médias aritméticas.

(a)2 + 1 + 5

3(b)−3− 1 + 5 + 19

4.

Em cada um dos casos, veri�car que o valor da média aritmética obtida é (i) menorou igual ao maior valor envolvido; (ii) maior ou igual ao menor valor envolvido.

2. Provar o resultado da alínea anterior para o caso geral da média aritmética de nnúmeros reais

r1 + r2 + · · ·+ rnn

.

Exercício 24.

Dada a média aritmética de n números reais

m =r1 + r2 + · · ·+ rn

n,

mostrar a soma das diferenças entre cada número ri menor que m e o próprio valor m(parcelas da forma |m− ri|), é igual à soma das diferenças entre cada número maior quem e o próprio valor m.

Exercício 25. Com 10 kg de trigo podemos fabricar 4 kg de farinha.

1. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 1 kg de farinha?

2. Quantos quilogramas de farinha se fabricam com 1 kg de trigo?

3. Escrever uma equação que relacione o número y de quilos de trigo necessáriospara fabricar x quilos de farinha, com o número x de quilos de farinha obtidos.

Exercício 26. Três homens levam duas horas a carregar um camião. Quantas horas levamcinco homens a fazer o mesmo trabalho?

Exercício 27. Um caixa bancário leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes.


4. Exercícios 33

1. Em quanto tempo é previsível que o caixa atenda 36 clientes?

2. Escrever uma equação que relacione as grandezas `clientes' e `tempo'.

Exercício 28. A expressão taxa de variação exprime o quociente de duas grandezas.

1. A taxa de variação média de uma função f(x), correspondente a um certo intervalointervalo de variação de x, [x0, x1], é dada por f(x1)−f(x0)

x1−x0(valor de f(x) por

unidade de x no intervalo considerado). Determinar as taxas de variação dafunção f(x) = 3x− 2 nos intervalos [−1, 4] e [x0, x1].

Em matérias de economia, a expressão taxa de variação é um valor que exprime,em termos relativos (em regra percentuais), a alteração de valor de uma dadavariável. Assim, por exemplo, se o preço de um instrumento �nanceiro passarde 100 para 110 a taxa de variação é de 110−100

100 × 100 = 10%.12 Seguem algunsexemplos.

(a) Taxa de variação homóloga: é a taxa que mede a variação entre o valorde um determinado índice num dado dia e no mesmo dia exactamenteum ano antes.13

(b) Taxa de in�ação: Se Pt é o nível médio de preços corrente e Pt−1 é onível médio de preços há um ano atrás, a taxa de in�ação durante o anopode ser medida da seguinte forma: Pt−Pt−1

Pt−1× 100 .14

2. O preço médio de 1 litro de gasóleo rodoviário foi de 1.26 e em 2008, 1.00e em2009, 1.15e em 2010.15 Determinar as taxas de variação do preço médio nos anosde 2008 e 2009.

Exercício 29. Um automóvel custa 30000e e desvaloriza-se à taxa de 10% ao ano.

1. Qual o valor do automóvel n anos após a sua compra?

2. Ao �m de quantos anos o automóvel vale 15000e?

3. Qual deve ser a taxa de desvalorização de modo que, cinco anos após a compra,o automóvel valha 25000e?

Exercício 30. Numa determinada cidade, a taxa de crescimento relativo da população éde 3% ao ano. Em quantos anos a população da cidade irá duplicar se a taxa de crescimentose mantiver?

Exercício 31. Um vendedor ambulante vende os seus produtos com um lucro de 50%sobre o preço de venda. Qual o lucro sobre o preço de custo?

Exercício 32. Depois de haver comprado duas bicicletas, uma pessoa vendeu cada umapor 600e. Numa das vendas teve um prejuízo de 20% e na outra obteve um lucro de 20%.Qual foi o balanço �nal das transacções?

12(ver http://pt.mimi.hu/economia/taxa_de_variacao.html)13(ver http://www.fep.up.pt/docentes/pcosme/MFIG/Aula)14(ver http://economiax.blogspot.pt/2009/05/calculo-da-taxa-de-inflacao.html)15(ver http://www.pordata.pt/Portugal/)


http://pt.mimi.hu/economia/taxa_de_variacao.html

http://www.fep.up.pt/docentes/pcosme/MFIG/Aula

http://economiax.blogspot.pt/2009/05/calculo-da-taxa-de-inflacao.html

http://www.pordata.pt/Portugal/

34 4. Exercícios

Exercício 33. O custo de fabrico de x unidades de um produto é de 2e/unidade, acrescidode um encargo �xo de 50e. O fabricante pede um empréstimo para fabricar as x unidadespelo qual paga 5% de juros, acrescendo 2.5e de comissões.

1. Qual o custo efectivo de 10 unidades do produto?

2. Qual o custo efectivo de x unidades do produto?

Exercício 34.

1. Numa promoção, numa revenda da carros, é dado um desconto de 18% parapagamento à vista. Se um carro é anunciado por 16.000 euros, qual o preço parapagamento à vista deste carro?

2. Uma mercadoria teve seu preço acrescido de 10%. Tempos depois o novo preçosofreu um desconto de 10%. Se P euros é o preço inicial da mercadoria, qual oseu preço �nal?

3. Um produto tem um custo de produção de P euros. Até �car disponível paraser adquirido pelo consumidor passa por três intermediários, que agravam o custoP sucessivamente em 6%, 4% e 9%. (a) Qual o preço de venda do produto aoconsumidor? (b) Que percentagem x% de agravamento do custo, igual para ostrês intermediários, conduz ao mesmo preço �nal de venda ao consumidor?

Exercício 35. Um capital aplicado, a juros simples, a uma taxa de 5% ao ano:

1. Quintuplica em quantos anos?

2. n-uplica em quantos anos?

Exercício 36. Determinar dois números inteiros consecutivos k, k+ 1 tais que, para cadaexpressão β se tenha k ≤ β ≤ k + 1.

(a)√

82 (b)√

33 (c)3√

62 (d)3√

64−1

(e) (82)12 (f) 9

12 (g) 8

13 (h) 66

27


1. Considerar os seguintes valores de b: 3, 1.1, 1.01, 1.001. Utilizar a calculadora paraveri�car que b× b > b.

2. Seja b > 1. Mostrar que b× b > b.

3. Considerar o valor de b = 2 e os seguintes valores de n: 2, 4, 8, 10, 20. Uilizar acalculadora para veri�car que se tem n

√b > 1.

4. Seja b > 1. Mostrar que para qualquer n ∈ N se tem n√b > 1.

5. Considerar o valor de b = 2 e os seguintes valores de (m,n): (3, 2), (4, 5), (4, 4).Utilizar a calculadora para veri�car que se tem b

mn > 1.

6. Seja b > 1. Mostrar que para quaisquer m,n ∈ N se tem bmn > 1.

7. Usando os resultados anteriores, justi�car que se b > 1 e x > y, então bx > by

(i.e., a função exponencial bx, com b > 1, é crescente).

Exercício 38. Utilizando um argumento análogo ao do exercício 37, justi�car que se0 < b < 1 e x > y, então bx < by (i.e., a função exponencial bx, com 0 < b < 1, édecrescente).


4. Exercícios 35

Exercício 39. Exercício com calculadora.Usando processos análogos aos dos exercícios 37 e 38, mostrar o seguinte.

1. Se b > 1 e x > y, então logb x > logb y, i.e., a função logb x, com b > 1, é crescente.

Utilizar a calculadora para veri�car o enunciado anterior com b = 2 e os seguintesvalores do argumento:1, 2, 3, 4, 5.

2. Se 0 < b < 1 e x > y, então logb x < logb y, i.e., a função logb x, com 0 < b < 1, édecrescente.

Utilizar a calculadora para veri�car o enunciado anterior com b = 0.5 e os seguintesvalores do argumento:1, 2, 3, 4, 5.

Exercício 40. Seja b > 0 e x 6= y. Mostrar que as funções bx e logb x são injectivasveri�cando que bx 6= by e logb x 6= logb y.

Exercício 41. Um cliente aplica a importância de 500e num banco que paga juros mensaisde 3.5%, no regime de juros compostos. Quantos anos após a aplicação se obtém o montantede 3500e?

Exercício 42. Resolver os seguintes exercícios.

1. Uma calculadora tem uma tecla `log10x' e outra `10x'. Como usá-las para calcular5

34 ?

2. Uma calculadora tem uma tecla `yx' e outra `10x'. Podemos usá-las para calcularlog102.5?

3. Veri�car, usando a calculadora, que log43 = 1log34 .

4. Mostrar que logbx = 1logxb

.

Exercício 43. Resolver em ordem a x as equações e inequações.

(a) 3x+ t = −3

4(b) x+ 1 = 2x+

2

5(c) x+ 1 ≥ 2x+

2

5(d) x2 = 4

(e) x2 < 4 (f) x2 + 3x+ 2 = 0 (g) x2 + 3x+ 2 < 0 (h) x2 + 3x+ 2 > 0

(i) 5× 2x = 4 (j) log5x = 4 (k)x− 2

x+ 3≤ 0 (l)

3x− 4

1− 6x≥ 2

(m)√x+ 2 ≥ x− 4 (n) |x| ≤ 2 (o) |5− x| ≤ 2 (p) 1 < |x− 4| ≤ 3

Exercício 44. Escrever as equações das rectas. Esboçar os grá�cos.

1. Recta que contém os pontos (−1, 2), (3, 4).

2. Recta que contém o ponto (3, 2) .

3. Recta que contém os pontos (1, 2), (1, 4).

4. Recta que contém os pontos (−1, 3), (2, 3).

5. Recta que não contém o ponto (5, 3).

Vídeos de apoio ao miniteste 1.

Vídeo 29. Juros simples e compostos.[09:31]

Vídeo 30. Taxa de variação.[08:13]


https://youtu.be/6j_B5r-u1Bw

https://youtu.be/55V6iy74REA

37

Capítulo 2

Matrizes. Sistemas de Equações

Lineares. Determinantes

1 Matrizes

1.1 Conceitos Gerais Sobre Matrizes

Matrizes são quadros de números delimitados por parênteses rectos e são geralmente de-signadas por letras maiúsculas.

Exemplo 36. A =

[1 00 1

]B =

1 0 2.10 −1 2

34 −1 π

C =

1 00 −14 −1

Cada �la horizontal de números numa matriz designa-se por linha da matriz; cada �lavertical de números numa matriz designa-se por coluna da matriz. Usa-se o termo �la paradesignar uma coluna ou uma linha.

Exemplo 37. A linha 1 da matriz B do exemplo 36 é [1 0 2.1]. A coluna 3 dessa matrizé 2.1

23π

.Cada uma das expressões (números) que constituem uma matriz designa-se por elementoda matriz. A matriz C do exemplo 36 tem 6 elementos. O número total de elementos deuma matriz é igual ao produto do seu número de linhas pelo seu número de colunas. Amatriz do B exemplo 36 tem 3 × 3 = 9 elementos; a matriz A no mesmo exemplo tem2× 2 = 4 elementos. A expressão �número de linhas x número de colunas� designa-se portipo da matriz. A matriz A do exemplo 36 é do tipo 2× 2 (lê-se �dois por dois�); A matrizC do exemplo 36 é do tipo 2 × 3 (lê-se �dois por três�). É costume incluir a indicação dotipo de uma matriz como subscrito à letra que a designa. Com respeito às matrizes acimareferidas, podemos escrever A2×2, B3×3, C3×2. O tipo de uma matriz dá-nos informaçãosobre o número de elementos da matriz e sobre a disposição dos mesmos. A seguintede�nição generaliza estes conceitos.

De�nição 1. Sejam m e n dois inteiros positivos. Designa-se matriz do tipo m por nqualquer quadro com m × n expressões, dispostas em m linhas por n colunas (ver �gura22).

Capítulo 2. Matrizes. Sistemas de Equações Lineares. Determinantes Mário Abrantes

38 1. Matrizes

Figura 22: Matriz do tipo m por n: tem m linhas e n colunas.

Os elementos de uma matriz C designam-se por cij , sendo c a letra minúscula correspon-dente à designação C, e i, j respectivamente os números da linha e da coluna da posiçãoem que o elemento se encontra.

Exemplo 38. Para a matriz B do exemplo 36 temos, por exemplo

b13 = 2.1 b22 = −1 b33 = π.

Uma forma sintética de representar uma matriz do tipo m× n é

A =[aij], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Vídeo 31. Matrizes: terminologia.[03:39]

1.2 Tipos de Matrizes

Apresentam-se abaixo as designações usuais de alguns tipos de matrizes que ocorrem fre-quentemente em aplicações de diversa natureza.

Matriz linha É toda a matriz com uma só linha, do tipo A =[a11 a12 · · · a1n

]

Matriz coluna É toda a matriz com uma só coluna, do tipo B =

b11

b21

· · ·bm1

Matriz nula É qualquer matriz cujos elementos são nulos. Representa-se geralmente

pela letra O. Por exemplo O2×3 =

[0 0 00 0 0

]

Matriz quadrada É toda a matriz do tipo n× n. Por exemplo A =

[1 3−3 9

].

A diagonal formada pelos elementos 1 e 9 diz-se diagonal principal damatriz. A outra diagonal, formada pelos elementos 3 e −3, diz-se diago-nal secundária. De uma forma geral, dada uma matriz quadrada An×n,a diagonal principal é formada pelos elementos aii, 1 ≤ i ≤ n.


https://youtu.be/cStctoNMWwY

1. Matrizes 39

Matriz identidade É toda a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal sãoiguais a 1, sendo os restantes elementos nulos. Representa-se geralmente

pela letra I. Por exemplo tipo I3×3 =

1 0 00 1 00 0 1

.Uma forma abreviada de representar a matriz identidade do tipo n × né I = [irs], com irs = δrs, sendo δrs o símbolo de Kronecker:

δrs =

{1, se r = s

0, se r 6= s

Matriz triangular É toda a matriz quadrada cujos elementos acima ou abaixo da diagonalprincipal são nulos. A matriz identidade é um caso particular de matriztriangular.

Uma matriz triangular diz-se triangular superior se é da forma

A =

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · ann

.Uma matriz triangular diz-se triangular inferior se é da forma

A =

a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

.

Vídeo 32. Tipos de matrizes.[04:38]

1.3 Álgebra Matricial

As matrizes são um objecto matemático. Geralmente os objectos matemáticos existempara podermos efectuar com eles algum tipo de cálculo. Esta secção descreve algumas dasoperações que podemos efectuar com matrizes.

1.3.1 Adição de matrizes

Dadas dua matrizes A =[aij]e B =

[bij], ambas do tipom×n, diz-se adição (ou soma) das

matrizes A e B a matriz S =[sij]do tipo m×n, tal que S = A+B =

[sij]

=[aij + bij

],

com 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Exemplo 39. 2 0 2 −33 4 10 −18 2 3 1

+

12 3 2 53 9 6 −1−1 0 0 −1

=

14 3 4 26 13 16 −27 2 3 0

Exercício 45. Determinar os elementos �∗� na expressão.[

14 ∗ ∗ 23 7 ∗ −2

]+

[∗ 3 2 −2−1 ∗ ∗ −1

]=

[2 1 5 02 2 16 −3

]


https://youtu.be/NPnVbfSKyzk

40 1. Matrizes

Notar que a adição de matrizes está de�nida apenas entre matrizes do mesmo tipo.

Exercício 46. A expressão seguinte não tem sentido.[2 23 −2

]+

[−2−1

].

Notar que, embora o símbolo da adição de matrizes, '+', seja o mesmo que é utilizado naadição aritmética, no caso das matrizes a operação é de�nida entre matrizes, enquanto naaritmética é de�nida entre números.

Exercício 47. Qual das seguintes expressões tem signi�cado?

1 + 2 1 + [2]

1.3.2 Multiplicação de matrizes por números

Dada uma matriz A =[aij], do tipo m× n, e um número1α, de�ne-se o produto αA (ou

α×A), da forma αA =[α× aij

], com 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Exemplo 40.

2

[2 0 2 −33 4 10 −1

]=

[4 0 4 −66 8 20 −2

]=

[2 0 2 −33 4 10 −1

]2

Propriedades da adição de matrizes e da multiplicação de matrizes por números

A adição de matrizes e a multiplicação de matrizes por números, têm algumas propriedadesformalmente comuns2 com a adição e o produto aritméticos (daí as designações adição emultiplicação das operações matriciais).

1) (A+B) + C = A+ (B + C) propriedade associativa

2) A+B = B +A propriedade comutativa

3) 0 +A = A+ 0 = A existência de elemento neutro da adição

4) A+ (−A) = 0 existência de inverso aditivo de uma matriz

5) r(A+B) = rA+ rB distributividade à esquerda

6) (rs)A = r(sA) associatividade na multiplicação de matrizes por números

Vídeo 33. Adição e produto por um número.[04:22]

1.3.3 Multiplicação de matrizes

A multiplicação (ou produto) de matrizes é uma operação muito importante, devido à qual aálgebra matricial é um instrumento de cálculo largamente utilizado em processos de quan-ti�cação na economia, nas engenharias, na física e nas ciências em geral. A multiplicaçãode duas matrizes A, B, pode indicar-se por A × B ou simplesmente por AB. Veremosadiante que a ordem pela qual se indicam as matrizes não é indiferente, i.e tem-se em geralAB 6= BA. Vamos começar por efectuar esta operação com alguns exemplos simples antesde apresentarmos o caso geral.

1Alguns autores designam os números por escalares. Nesse caso o título desta secção �cavaMultiplicação

de matrizes por escalares. O termo escalar é usado na física para referir valores numéricos de grandezas,distinguindo-se de outro tipo de objectos designados por vectores, sendo estes de�nidos não só por umvalor numérico, mas também por uma direcção espacial e um sentido sobre essa direcção.

2I.e. iguais em termos das fórmulas que as exprimem.


https://youtu.be/cdqQ8GFNVSw

1. Matrizes 41

Exemplo 41. Produto de uma matriz linha por uma matriz coluna.

[1 2 3

]×

456

=[

1× 4 + 2× 5 + 3× 6]

=[

32]

Podem observar-se as seguintes asserções que caracterizam o produto M = AB de umamatriz A do tipo m× n, por outra B do tipo n× p.

1. O número n de colunas de A tem que ser igual ao número n de linhas de B. Nocaso do exemplo 41, temos n = 3.

2. O número de linhas da matriz produto M é igual ao número de linhas da matrizA. No caso do exemplo 41 esse número é 1.

3. O número de colunas da matriz produto M é igual ao número de colunas damatriz B. No caso do exemplo 41 esse número é 1.

Resumindo as duas últimas proposições: a matriz M que resulta do produto AB de umamatriz Am×n por uma matriz Bn×p, é uma matriz do tipo m×p. No caso do exemplo 41o tipo da matriz produto é 1× 1.

Exemplo 42. Produto de uma matriz linha por uma matriz em geral.

[1 2 3

]×

4 75 86 9

=[

1× 4 + 2× 5 + 3× 6 1× 7 + 2× 8 + 3× 9]

=[

32 50]

Notar que a matriz produto tem tantas linhas (uma linha) quantas a matriz à esquerda dooperador '×' e tantas colunas (duas colunas) quantas a matriz à direita do operador '×'.

Exemplo 43. Produto de duas matrizes.[1 2 34 5 6

]×

7 −18 −29 −3

=

[1× 7 + 2× 8 + 3× 9 1× (−1) + 2× (−2) + 3× (−3)4× 7 + 5× 8 + 6× 9 4× (−1) + 5× (−2) + 6× (−3)

]

=

[50 −14122 −32

]

Notar que a matriz produto tem tantas linhas (duas linhas) quantas a matriz à esquerdado operador '×' e tantas colunas (duas colunas) quantas a matriz à direita do operador'×'.

Segue a de�nição geral de produto de duas matrizes.

De�nição 2. Seja A uma matriz do tipo m× n e B uma matriz do tipo n× p. A matrizproduto de A por B, é a seguinte matriz do tipo m× p,

AB = [cij ],

sendo os elementos cij calculados da forma,

cij = ai1b1j + ai2b2j + ...+ ainbnj =n∑

k=1

aikbkj ,

com i = 1, · · · ,m, j = 1, · · · , n.


42 1. Matrizes

Vídeo 34. Operador Sigma.[06:34]

Vídeo 35. Produto de Matrizes.[07:22]

Os seguintes esquemas são formas equivalentes de entender a multiplicação de matrizes.Nestes esquemas Li é a designação da i-ésima linha da matriz A e Cj a designaçã0 daj-ésima coluna da matriz B.

AB =

L1

L2

· · ·Lm

× [ C1 C2 · · · Cn

]=

L1C1 L1C2 · · · L1Cn

L2C1 L2C2 · · · L2Cn

· · · · · · · · · · · ·LmC1 LmC2 · · · LmCn

(2.1)

AB = A×[C1 C2 · · · Cn

]=[AC1 AC2 · · ·ACn

](2.2)

AB =

L1

L2

· · ·Lm

×B =

L1BL2B· · ·LmB

(2.3)

As três expressões acima salientam os aspectos formais que caraterizam a multiplicação dematrizes.

1. A expressão 2.1 deixa claro que o cálculo do elemento na linha i e coluna j damatriz produto se obtém multiplicando a linha Li da matriz A pela coluna Cj damatriz B.

2. A expressão 2.2 mostra que a matriz produto tem tantas colunas quantas a matrizB.

3. A expressão 2.3 mostra que a matriz produto tem tantas linhas quantas a matrizA.

Vídeo 36. Diferentes formas para o produto de matrizes.[em breve]

Propriedades da multiplicação de matrizes A multiplicação de matrizes tem algu-mas propriedades que são expressas de forma semelhante (fórmulas com a mesma forma)a propriedades da multiplicação aritmética (daí a designação multiplicação também usadapara a operação com matrizes).

1) (AB)C = A(BC) propriedade associativa

2) IA = A ; BI = B identidade multiplicativa

3) A(B + C) = AB +AC distributividade à esquerda

4) (A+B)C = AC +BC distributividade à direita

5) (rA)B = A(rB) = r(AB) homogeneidade

Exercício 48. Exempli�car cada uma das propriedades acima indicadas.Solução Propriedade 5 (com r = 5, A2×2, B2×1).


https://youtu.be/SEZgCeOgAAI

https://youtu.be/-e3T5KPC2XE

1. Matrizes 43

5×

[2 11 2

][ 34

]=

[10 55 10

][34

]=

[30 + 2015 + 40

]=

[5055

][

2 11 2

]5×

[34

] =

[2 11 2

][1520

]=

[30 + 2015 + 40

]=

[5055

]

5×

[ 2 11 2

][34

] = 5×

[6 + 43 + 8

]=

[5055

]

1.3.4 Matriz Transposta

A matriz transposta de uma matriz A representa-se por AT e é a matriz que se obtémtrocando as linhas de A pelas suas colunas, como se exempli�ca a seguir.

Exemplo 44.

A =

a b c de f g hi j k l

AT =

a e ib f jc g kd h l

B =[a b c d

]BT =

abcd

C =

abcd

CT =[a b c d

]

De um modo mais formal, a matriz transposta de uma matriz A do tipo m × n é umamatriz do tipo n×m, que se designa por AT e se de�ne da forma

AT = [a′ji]

com a′ji = aij , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Uma matriz A diz-se simétrica se e somente se A = AT .

Exercício 49. Veri�car que as matrizes seguintes são simétricas, i.e. A = AT e B = BT .

A =

1 3 53 −3 75 7 4

B =

[1 33 −3

]

Exercício 50. Mostrar que toda a matriz simétrica é quadrada.


44 1. Matrizes

Propriedades da operação de transposição

1) (AT )T = A transposta da transposta

2) (A+B)T = AT +BT transposta da soma

3) (AB)T = BTAT transposta do produto

Prova. (da propriedade 3 � transposta do produto)Sejam as matrizes Am×n = [aij ], AT = [a

′ji], Bn×p = [bij ], BT = [b

′ji], AB = [pij ], sendo os

valores de i, j, em cada caso, referentes à indexação de linhas e colunas respectivas. Valeo seguinte raciocínio.

Os elementos pij da matriz AB são da forma pij =n∑

k=1

aikbkj .

Por ser aik = a′ki e bkj = b

′jk, podemos escrever

pij =n∑

k=1

aikbkj =n∑

k=1

a′kib′jk =

n∑k=1

b′jka

′ki = p

′ji

ou seja, cada elemento pij de AB é igual ao elemento p′ji de B

TAT .

Mas a igualdade pij = p′ji relaciona os elementos de uma matriz com os da sua

transposta (ver de�nição de matriz transposta). Concluimos então que (AB)T =BTAT .

Vídeo 37. Matriz transposta.[em breve]

1.4 Exercícios

Exercício 51. Utilizar as matrizes A,B e C para mostrar que a igualdade AB = ACnão implica sempre B = C, i.e. na álgebra de matrizes não é válida a lei do corte para oproduto.

A =

[1 12 2

]B =

[2 3−3 −4

]C =

[−1 00 −1

]

Exercício 52. Utilizar as matrizes A,B do exercício 51 para veri�car o seguinte.

1. AI = IA = A.

2. AB 6= BA, i.e. em geral não é válida a propriedade comutativa para o produtomatricial.

Exercício 53. Utilizar as matrizes A e B para mostrar que pode ser AB = 0, apesar dese ter A 6= 0 e B 6= 0, i.e. na álgebra de matrizes não é válida a lei do anulamento doproduto.

A =

[1 12 2

]B =

[3 1−3 −1

]


1. Matrizes 45

Exercício 54. Dadas as matrizes A e B seguintes, dizer qual dos produtos AB, BA podeser efectuado e efectuá-lo.

A =

−128134

B =[

3 0 −9]

Exercício 55. Seja

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

.Seja Li a matriz linha correspondente à linha i de A e Cj a matriz coluna correspondenteà coluna j de A. Obter os seguintes resultados por meio de multiplicações sobre a matrizA.

1. (a) L1 (b) L2 (c) C1 (d) C2 (e) L1 +L3 (f) C1 +C4 (g) 2L1−L3

(h) 3C1 + 2C3

2. As submatrizes

C =

[a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

]D =

a11 a12

a21 a22

a31 a32

E =

[a11 a12

a21 a22

]F =

[a12 a14

a32 a34

].

3. As duas submatrizes do tipo 1× 1 com os elementos a11 e a23.

4. Uma matriz do tipo 3 × 3 cuja diagonal principal é formada pelos elementosa11, a12, a13, sendo todos os restantes elementos nulos.

Exercício 56. Escrever yk em termos dos `xs' e dos `as'.

[x1 · · · xm

] a11 · · · a1n

· · · · · · · · ·am1 · · · amn

=[y1 · · · yn

]

Exercício 57. Uma população constante de 1 milhão de pessoas divide-se entre umacidade e os seus subúrbios, sendo num dado momento (ano zero) C0 = 700000 o númerode pessoas a viver na cidade e S0 = 300000 o número de pessoas a viver nos subúrbios.O nosso objectivo é analisar a modi�cação das populações urbanas e suburbanas a cadaano que passa. Suponha-se que a cada ano 15% da população da cidade se muda para ossubúrbios e que 10% da população dos subúrbios se muda para a cidade. A distribuiçãoda população entre cidade e subúrbios, depois de n anos, é descrita pelo vector população

Pn =

[Cn

Sn

].

1. Como se distribui a população no ano 1, entre cidade e subúrbios?


46 1. Matrizes

2. Preencher a matriz quadrada na expressão seguinte (matriz de transição), de modoque a expressão matricial exprima a relação entre distribuições de população dedois anos consecutivos. [

Pn+1

Cn+1

]=

[t11 t12

t21 t22

][Pn

Cn

]

Exercício 58. Mostrar que se A é uma matriz quadrada, então A + AT é uma matrizsimétrica.

Exercício 59. Uma o�cina fez a revisão de três modelos de carros de duas marcas, X e Y.A quantidade de veículos controlada está indicada na tabela à esquerda. Na revisão sãosubstituídas peças de 3 tipos, conforme indicado na tabela à direita.

Mod1 Mod2 Mod3Carro X 2 4 3Carro Y 3 2 5

Carro X Carro YPeça A 4 3Peça B 3 5Peça C 6 2

Representar cada tabela por uma matriz e escrever as expressões matriciais mais simplespossível de modo a calcular o seguinte.

1. O número total de peças substituídas em cada marca de automóvel.

2. O número total de peças de cada tipo, A, B, C, usadas.

3. O número total de peças substituídas por cada modelo.

4. O número total de peças substituídas.

Exercício 60. Operador sigma.

1. Escrever as expressões sem o operador sigma.

(a)1∑

k=−2

(k − 3) (b)3∑

k=0

(3− k)2.

2. Usar a notação sigma para escrever o elemento ckr do produto Am×nBn×p.


2. Sistemas de Equações Lineares 47

2 Sistemas de Equações Lineares

2.1 Equações lineares

2.1.1 De�nição

Uma equação linear nas variáveis x1, x2, · · · , xn é uma equação que pode ser escrita naforma 3

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b (2.4)

sendo a1, a2, · · · , an números reais, designados por coe�cientes da equação, e b um númeroreal designado por termo independente da equação.

Exemplo 45. As seguintes são equações lineares.

2x = 3 equação linear na variável x (2.5)1

2x− 2y = 3 equação linear nas variáveis x, y (2.6)

23− x = y − 3z equação linear nas variáveis x, y, z. (2.7)

Também nos podemos referir às equações acima dizendo que (2.5) é uma equação linearde uma variável, (2.6)uma equação linear de duas variáveis e (2.7) uma equação linear detrês variáveis.

Se na equação (2.4) for b = 0, a equação diz-se homogénea.

As equações lineares satisfazem as seguintes condições

1. Todas as variáveis têm expoente igual a 1;

2. Nenhuma variável aparece no denominador de uma fracção;

3. As variáveis não se multiplicam entre si.

Exemplo 46. As seguintes equações não são lineares.

2 + 1 = 3 não é uma equação (porquê?)

x2 − 2y = 3 o expoente de x não é 1

23− xz = 2y x multiplica z2

x− y + 4z = 0 x aparece no denominador de uma fracção.

Exercício 61. De entre as seguintes equações, quais as que são lineares?

(a)√x+ 2y = 4 (b) xy − z = 2 (c) x+ 2 = 3y (d)

x

x+y

x+ 2

z

x= 0

3Designámos aqui as variáveis por uma mesma letra, x, distinguindo-as com os subscritos 1, 2, · · · , n.Esta é uma forma cómoda de designar variáveis quando o seu número é elevado. No caso de as variáveisserem apenas duas ou três, usaremos normalmente as letras x, y, z em vez de x1, x2, x3.


48 2. Sistemas de Equações Lineares

2.1.2 Resolução

Vamos ver como se resolvem equações lineares.

Equações lineares de uma variável. São equações na forma ax = b. Têm sempreuma e uma só solução, dada por x = b

a .

Exemplo 47.

3 = 2x ⇔ x =3

2.

Equações lineares de duas variáveis. São equações na forma ax + by = c. Re-solvendo a equação em ordem a y, obtém-se y = c−ax

b . Podemos escolher livrementeum valor para x, calculando depois o valor correspondente de y.

Exemplo 48. Dada a equação 2x+3y = 1, temos y = 1−2x3 . Fazendo x = 1 obtemos

y =1− 2× 1

3= −1

3.

O par ordenado (x, y) = (1,−13) diz-se uma solução particular da equação dada. A

solução geral da equação é o conjunto de pares ordenados{(x,

1− 2x

3

): x ∈ R

}.

Substituindo x por 1 na expressão(x, 1−2x

3

), obtém-se a solução particular acima

calculada. Por podermos escolher livremente o valor de x, dizemos que o conjuntosolução da equação tem 1 grau de liberdade.

De um modo equivalente, podemos escolher primeiro o valor de y e depois calcularo valor de x correspondente, sendo a solução geral{(

1− 3y

2, y

): y ∈ R

}.

Exemplo 49. A Fernanda e o Fernando investem, individualmente, dinheiro em duasaplicações �nanceiras de risco. A aplicação escolhida pela Fernanda pode render até10% de juros anuais, enquanto a aplicação escolhida pelo Fernando pode render até9% de juros anuais. Quanto deve investir cada um de forma que, em conjunto,tenham um rendimento de exactamente 300e/ano?

Solução. Desigando por x e y as quantias investidas, respectivamente pelaFernanda e pelo Fernando, estas devem constituir uma solução da equação10%x+ 9%y = 300, que se pode escrever 0.1x+ 0.09y = 300. Esta equaçãotem in�nitas soluções. Por exemplo, se a Fernanda investir x = 2000e, oFernando deve investir

y =300− 2000× 0.1

0.09=

100

0.09≈ 1111e.

Equações lineares de n variáveis. A solução geral de uma equação de n variáveisé uma extensão do que já vimos com apenas duas variáveis. O conjunto solução tem,no caso geral, n− 1 graus de liberdade.



Exemplo 50. A solução geral da equação 2x+ 3y + 4z = 1, é{(x, y,

1− 2x− 3y

4

): x, y ∈ R

}.

Notar que temos a liberdade de escolher quaisquer dois valores para x e y, calculandodepois o valor de z correspondente. Por exemplo, se for x = y = 1 temos z = −1(veri�car!), sendo (x, y, z) = (1, 1,−1) uma solução particular da equação. Porpodermos encontrar uma solução escolhendo livremente dois valores arbitrários parax e y, dizemos que o conjunto solução da equação tem 2 graus de liberdade. Em vezde x e y podemos escolher valores arbitrários para qualquer outro par de variáveisobtido de x, y, z. Por exemplo, se as variáveis livres forem x e z, a solução geral é(veri�car!) {(

x,1− 2x− 4z

3, z

): x, z ∈ R

}.

Resumindo, as equações lineares na forma (2.4) têm uma só solução, no caso de terem umasó variável, e têm in�nitas soluções no caso de terem duas ou mais variáveis.

Vídeo 38. Equações lineares.[09:05]

2.1.3 Exemplo de um sistema de equações lineares

O dono de uma rede de lojas de roupa tem o problema seguinte. Em três das suas lojasexistem peças de roupa do ano passado, que não foram vendidas. As peças são de 3 tipos,A,B,C, distribuidas do modo seguinte.

A loja 1 tem 3 peças do tipo A, 2 peças do tipo B, 4 peças do tipo C;

A loja 2 tem 2 peças do tipo A, 4 peças do tipo B, 4 peças do tipo C;

A loja 3 tem 1 peça do tipo A, 1 peça do tipo B, 8 peças do tipo C.

Estas peças devem ser vendidas em saldos no próximo mês de Janeiro. O vendedor querque estas peças lhe garantam um encaixe de 25 euros na loja 1, 30 euros na loja 2 e 28euros na loja 3. O vendedor pretende ainda que o preço das peças de um mesmo tipo sejaigual nas suas três lojas, por razões de imagem de marca. Por que preço deve ser vendidacada peça de roupa de cada um dos tipos A, B, C?

A resolução deste problema começa pela sua formalização matemática, que consistena escrita de um conjunto de equações cujas soluções forneçam as respostas procuradas.Designando por x, y e z os preços unitários das peças de roupa dos tipos, respectivamente,A, B e C, que queremos calcular, os dados do problema permitem escrever o conjunto deequações lineares seguinte.

3x+ 2y + 4z = 252x+ 4y + 4z = 30x+ y + 8z = 28

(2.8)

Pretendemos encontrar o conjunto de todas as soluções (x, y, z) comuns às três equações -queremos que os preços por unidade x, y, z sejam os mesmos nas três lojas. Um conjuntode equações que é resolvido desta forma designa-se por sistema de equações. Se as equações


https://youtu.be/HMMBqYEooqs


do sistema forem lineares, como é o caso do sistema (2.8), o conjunto de equações diz-sesistema de equações lineares. Podemos veri�car que o terno de números

(x, y, z) =

(29

13,47

13,36

13

)resolve o sistema de equações. Isto signi�ca que se em cada uma das equações do sistemasubstituirmos x por 29

13 , y por 4713 e z por 36

13 , as três igualdades são veri�cadas (i.e. �camverdadeiras). Dizemos que este terno ordenado de números é uma solução particular dosistema.

3x+ 2y + 4z = 252x+ 4y + 4z = 30x+ y + 8z = 28

⇔(x,y,z)=( 29

13, 4713

, 3613)

329

13 + 24713 + 436

13 = 25

22913 + 447

13 + 43613 = 30

2913 + 47

13 + 83613 = 28

⇔

⇔

3× 29 + 2× 47 + 4× 36 = 25× 132× 29 + 4× 47 + 4× 36 = 30× 13

29 + 47 + 8× 36 = 28× 13⇔

325 = 325390 = 390364 = 364

Concluiremos adiante que esta é a única solução que o sistema admite. O conjunto de todas

as soluções de um sistema de equações lineares designa-se por solução geral ou conjuntosolução do sistema. No exemplo acima, o conjunto solução contém apenas um elemento,que é a solução indicada.4

A de�nição geral de sistema de equações lineares é a seguinte.

De�nição 3. Um sistema de m equações lineares a n incógnitas, tem a formaa11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm.

(2.9)

Os aij dizem-se coe�cientes do sistema; os xj são as incógnitas dos sistema; os bi são ostermos independentes do sistema.

Exemplo 51.{2x+ 3y = 4

−x+ y = 1sistema de duas equações a duas incógnitas

x = 2y

−x+ y + z = 12

y + z = 8

sistema de três equações a três incógnitas

2.1.4 Exercícios

Para cada um dos problemas seguintes, escrever o sistema de equações lineares que oformaliza matematicamente.

4Como se verá adiante, podemos ter apenas três casos para as soluçoes de um sistema de equaçõeslineares: ou o sistema não tem soluções, ou tem uma só solução, ou tem in�nitas soluções.



Exercício 62. Uma garrafa de vinho custa 10e. O líquido custa mais 9 euros do quea embalagem. Quais os preços do líquido e da embalagem? Provar que a solução desteproblema é única.

Exercício 63. Um snack-bar oferece um menu de 3 sumos e 2 sandes por 14e, e outromenu de 2 sumos e 1 sandes por 8e. Se cada tipo de produto tiver o mesmo preço, qual opreço de cada sumo e de cada sandes?

Exercício 64. Uma pessoa levanta 90 euros de uma caixa multibanco que só dispõe denotas de 10 e de 20 euros. De quantas formas diferentes pode a caixa entregar a quantiapretendida?

Exercício 65. Antes de entrar no seu turno como caixa num supermercado, a Maria recebede seu gerente uma embalagem selada com moedas, com a seguinte inscrição de conteúdo:250 moedas no valor de 40e. Ao abrir a embalagem ela percebe que existem moedas de20ct e de 10ct. Quantas moedas de cada tipo contém a embalagem?

Exercício 66. Para a produção de um litro de creme são usados sumo de fruta, leite emel. Sabe-se que a quantidade de leite é o dobro da quantidade de sumo de fruta e aquantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros dois líquidos juntos. A donaTeresa fez um litro de creme. Qual a quantidade de sumo de fruta que utilizou?

Vídeo 39. Formalização matemática de um problema.[05:45]

2.2 Resolução de sistemas de equações lineares

2.2.1 Forma matricial de um sistema de equações lineares

O sistema geral apresentado na de�nição 2.9, na pg. 2.9, diz-se na forma normal. Podemosescrever o sistema na forma seguinte, dita forma matricial

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

x1

x2

· · ·xn

=

b1b2· · ·bm

, (2.10)

ou, numa notação mais compacta,

AX = B (2.11)

sendo A a matriz dos coe�cientes do sistema na equação (2.10), também designada apenaspor matriz do sistema, X a matriz coluna com as incógnitas e B a matriz coluna com ostermos independentes.

A forma matricial é conveniente por várias razões. Por um lado facilita a resolução expe-dita de sistemas de equações lineares, usando algoritmos como, por exemplo, o método deeliminação de Gauss-Jordan, de que falaremos adiante. Por outro lado, permite a carac-terização do tipo de soluções destes sistemas de equações por meio de propriedades queincidem sobre parâmetros que se extraem das matrizes A,X e B.


https://youtu.be/JAklKIzdLuk


Exemplo 52. O sistema de equações seguinte tem a representação matricial indicada.{2x+ 3y = 4−x+ y = 1

⇔

[2 3−1 1

]︸︷︷︸

A

[xy

]︸︷︷︸

X

=

[41

]︸︷︷︸

B

(2.12)

Para percebermos a validade desta equivalência de representações, efectuamos o produtode matrizes envolvido. [

2x+ 3y−x+ y

]=

[41

]

Como a igualdade de matrizes signi�ca que os elementos homólogos das mesmas são iguais,concluimos que a equação matricial representa as duas equações do sistema.

Exercício 67. Veri�car que a equação matricial representa o sistema de equações linearesindicado.

x = 2y

−x+ y + z = 12

y + z = 8

⇔

1 −2 0−1 1 10 1 1

xyz

=

0128

Daqui em diante usaremos indiferenciadamente a forma normal (2.9) e a forma matricial(2.10), para referir um sistema de equações lineares.

2.2.2 Os sistemas de equações lineares mais simples

Dois exemplos de sistemas de equações lineares, o mais simples possível que podemosencontrar, são os seguintes.

Exemplo 53. Sistemas cuja resolução é imediata.

{x = 1

y = 2

x = 1

y = 2

z = 3

Uma simples observação do primeiro deste sistemas, por exemplo, deixa claro que a suasolução é o par ordenado (x, y) = (1, 2). Se substituirmos no sistema a variável x porqualquer outro valor diferente de 1, ou a variável y por qualquer outro valor diferente de2, uma ou outra das igualdades �ca falsa. Analogamente para o segundo sistema.

A forma que os sistemas mais simples têm, sugere um processo de resolução semelhanteao usado para resolver equações lineares. Recorde-se como resolvemos uma equação linearcomo 2x + 3 = 5. Efectuámos sobre ela um conjunto de operações algébricas que lhe dãoa forma simples x = 1, a qual permite ler directamente o valor da solução.

2x+ 3 = 5⇔ 2x = 2⇔ x = 1

Ao longo deste processo, vamos obtendo equações intermédias como 2x = 2, que são equi-valentes à equação inicial (isto é, têm as mesmas soluções).



É este tipo de raciocínio que aplicamos para resolver sistemas de equações lineares. Oque vamos fazer é partir de um sistema como

x+ 2y + z = 8

x+ y + 2z = 9

4x+ 3y + 5z = 25,

(2.13)

e efectuar sobre ele um conjunto de operações algébricas que lhe dêem a forma mais simplespossível

x = 1

y = 2,

z = 3

(2.14)

sem alterar o conjunto solução do sistema de partida. Ao longo do processo gera-se umaquantidade de sistemas intermédios, todos eles equivalentes ao sistema inicial.

Exemplo 54. Veri�car que a solução do sistema (2.14) é também solução do sistema(2.13).

2.2.3 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz

Vamos de seguida estudar o tipo de operações que podemos efectuar sobre as equaçõesde um sistema, de modo que a forma do sistema mude mas o conjunto solução se man-tenha inalterado. Estas operações designam-se por operações elementares sobre linhas epermitem-nos transformar um sistema como (2.13) num sistema como (2.14).

Motivação. As operações elementares sobre linhas são três. Vamos mostrar a sua razo-abilidade e necessidade.

Consideremos o sistema {2x+ y = 2

−x− y = 1.(2.15)

Podemos resolvê-lo usando o método de substuição.

• Começamos por resolver a segunda equação em ordem a x (também podemosfazê-lo em ordem a y).{

2x+ y = 2

−x− y = 1⇔

{2x+ y = 2

x = −1− y

De seguida, substituimos na primeira equação a expressão obtida para x.{2x+ y = 2

x = −1− y⇔

{2(−1− y) + y = 2

x = −1− y⇔

{−y = 2 + 2

x = −1− y(2.16)

Outra forma de obtermos o terceiro sistema em (2.16), a partir do sistema (2.15),é multiplicar por 2 ambos os membros da segunda equação de (2.15) e somar



depois, membro a membro, a equação assim obtida com a primeira equação de(2.15), ou seja:

Multiplicar por 2 ambos os membros da segunda equação

2× (−x− y) = 2× 1⇔ −2x− 2y = 2;

Somar membro a membro esta equação com a primeira equação do sistema

2x+ y + (−2x− 2y) = 2 + 2.

Resumindo, para eliminar por substituição a variável x da primeira equação do sistema(2.15), podemos simplesmente multiplicar por 2 a segunda equação e somá-la membroa membro à primeira. Ver o vídeo seguinte pra clari�car que o sistema assim obtido éequivalente ao inicial.

Vídeo 40. Equivalência de sistemas de equações.[06:18]

O procedimento que, partindo do sistema (2.15), produziu o sistema equivalente (2.16),pode ser representado de uma forma abreviada se usarmos a forma matricial dos sistemasenvolvidos, como se mostra a abaixo. Aí é feito uso da chamada matriz aumentada de umsistema, que é uma matriz contendo apenas os números (coe�cientes e termos independen-tes) que surjem no sistema. Vejamos.

• A forma matricial do sistema (2.15) é{2x+ y = 2

−x− y = 1⇔

[2 1−1 −1

][xy

]=

[21

]

• Construimos agora a chamada matriz aumentada do sistema: obtém-se acrescen-tando a coluna dos termos independentes à matriz do sistema, separando comuma linha vertical. [

2 1 2−1 −1 1

](2.17)

• Já a forma matricial do sistema (2.16) é{−y = 2 + 2

x = −1− y⇔

[0 −1−1 −1

][xy

]=

[41

],

sendo a sua matriz aumentada [0 −1 4−1 −1 1

]. (2.18)

• A matriz aumentada (2.18) pode ser obtida da matriz aumentada (2.17), substi-tuindo a sua linha 1 por uma nova linha que resulta da operação seguinte: multi-plicar a segunda linha por 2 e somar a linha obtida com a linha 1. Simbolicamentetemos: [

2 1 2−1 −1 1

]L1 ← L1 + 2L2

[0 −1 4−1 −1 1

].


https://youtu.be/IaaZU0zFOAU


Se escrevermos o sistema correspondente a esta matriz aumentada, obtemos o mesmosistema calculado em (2.16). Isto mostra que a operação de transformação L1 ← L1 + 2L2

tem o mesmo efeito que a substituição vista acima, sendo mais simples de escrever. Estaé uma das três operações elementares sobre as linhas de uma matriz que vamos usar parareduzir sistemas de equações às suas formas mais simples.

Vídeo 41. Substituição de variáveis como operação elementar sobre linhas.[08:14]

De�nição. As operações elementares sobre as linhas de uma matriz (ou apenas operaçõeselementares sobre linhas), são operações que mudam a forma de uma matriz por manipu-lação das suas linhas. Estas operações são de 3 tipos, que designamos por O1, O2 e O3, eestão de�nidos abaixo.

1. Operação O1: representa-se por Li ↔ Lj , sendo i, j os números das linhas damatriz sobre a qual a operação O1 é efectuada.Signi�cado da operação: trocar as linhas Li e Lj da matriz. No exemplo abaixo,efectua-se sobre a matriz A uma operação O1 que troca as linhas L2 e L3.

A =

2 1 2−1 −1 10 −1 6

L3 ↔ L2

2 1 20 −1 6−1 −1 1

.2. Operação O2: representa-se por Li ← kLj , sendo k ∈ R, k 6= 0 e i, j os números

das linhas da matriz sobre a qual a operação O2 é efectuada.Signi�cado da operação: substituir a linha Li pelo produto do número não nulok por ela mesma. No exemplo abaixo, troca-se a linha L2 pelo produto de −1 poresta mesma linha.

A =

2 1 2−1 −1 10 −1 6

L2 ← −L2

2 1 21 1 −10 −1 6

.3. Operação O3: representa-se por Li ← Li + sLj , sendo s ∈ R e i, j os números

das linhas da matriz sobre a qual a operação O3 é efectuada.Signi�cado da operação: substituir a linha Li pela soma da linha Li com o produtodo número s pela linha Lj . No exemplo abaixo, troca-se a linha L1 pela sua somacom o produto de −1 pela linha L2.

A =

2 1 2−1 −1 10 −1 6

L1 ← L1 − L2

3 2 1−1 −1 10 −1 6

.No vídeo ??, mostra-se que as operações O1, O2, O3 sobre as linhas da matriz aumentada deum sistema de equações lineares, representam as operações algébricas de troca de equações(O1), multiplicação dos dois membros de uma equação por um número não nulo (O2) esubstituição duma equação pela soma, membro a membro, dessa equação com o produtode outra equação por um número (O3).

Vídeo 42. Operações elementares sobre linhas de uma matriz.[07:59]

Não precisamos de mais do que estas três operações para, dado o sistema (2.13) na pg.53,por exemplo, obtermos o sistema reduzido (2.14) do qual podemos ler explicitamente asolução do sistema.


https://youtu.be/GHhHE4YFSKA

https://youtu.be/CIlFFpx5lRE


2.2.4 Forma escalonada por linhas de uma matriz

De�nição 4. Uma matriz diz-se na forma escalonada por linhas (ou condensada por li-nhas), se e somente se:5

1. Não tem linhas nulas (i.e., linhas com todos os elementos iguais a zero) acima delinhas não nulas.

2. O primeiro elemento não nulo de cada linha, contando da esquerda para a direita,aparece numa coluna à direita do primeiro elemento não nulo de cada linha acimadesta.

Para cada matriz, o primeiro elemento não nulo de uma linha designa-se por pivot ouelemento redutor dessa linha.

Exemplo 55. Considerem-se as matrizes

A =

1 3 20 0 00 0 1

B =

2 4 01 3 20 0 0

C =

[0 1 5 20 0 6 0

]

D =

0 0 00 0 00 0 0

E =

1 3 2 50 0 1 30 0 0 10 0 0 0

F =

|1 3 2 50 1 0 30 0 1 00 0 0 0

.São válidas as proposições seguintes.

• A matriz A não está na forma escalonada por linhas, porque tem uma linha nulaacima duma linha não nula (contra o ponto 1 da de�nição 4).

• A matriz B não está na forma escalonada por linhas, porque tem o primeiroelemento não nulo da linha 2 na mesma coluna que o primeiro elemento não nuloda linha 1 (contra o ponto 2 da de�nição 4).

• A matriz C está na forma escalonada por linhas (satisfaz os pontos 1 e 2 dade�nição 4).

• A matriz D está na forma escalonada por linhas (satisfaz os pontos 1 e 2 dade�nição 4 � porquê?).

• As matrizes E e F estão na forma escalonada por linhas (satisfazem os pontos 1e 2 da de�nição 4).

Vamos exempli�car como se usam as operações elementares sobre linhas para escalonarpor linhas uma matriz (ver vídeo 43 a seguir ao exemplo).

Exemplo 56. Vamos escalonar por linhas a matriz aumentada do sistema (2.13) na pg.53. 1 2 1 81 1 2 94 3 5 25

(2.19)

5'Escalonada' signi�ca 'em forma de escada'.



A forma escalonada desta matriz deve ter zeros nas posições indicadas abaixo (porquê?) ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗0 0 ∗ ∗

, (2.20)

sendo `∗' números quaisquer (alguns deste podem ser zeros, desde que se cumpra o ponto2 da de�nição 4). Vamos usar operações do tipo O3 para colocar na matriz (2.19) os zerosque aparecem na primeira coluna da matriz (2.20). Para isso temos que alterar as linhas 2e 3 de (2.19), usando o pivot da linha 1. 1 2 1 8

1 1 2 94 3 5 25

L2 ← L2 − L1

L3 ← L3 − 4L1

1 2 1 80 −1 1 10 −5 1 −7

Para transformar esta última matriz de forma a obter o zero que aparece na coluna 2 de(2.20), usamos novamente uma operação do tipo O3. O pivot é o elemento na linha 2,coluna 2. 1 2 1 8

0 −1 1 10 −5 1 −7

L3 ← L3 − 5L2

1 2 1 80 −1 1 10 0 −4 −12

A matriz encontra-se agora na forma escalonada por linhas. Esta matriz escalonada, é amatriz aumentada do sistema de equações (2.21) abaixo, equivalente ao sistema (2.13) napg.53. O sistema pode agora ser facilmente resolvido como se mostra a seguir.

Vídeo 43. Escalonamento de matrizes.[em breve]

Observação. Quando se escalona uma matriz, de modo a obter a forma∗ ∗ ∗ · · · ∗0 ∗ ∗ · · · ∗0 0 ∗ · · · ∗· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · ∗

,os zeros na coluna j são obtidos à custa de operações O3 na forma Li ← Li + kLj , ou seja, usando

o pivot da linha j.

2.2.5 Método de eliminação de Gauss

O sistema correspondente à matriz aumentada anteriormente calculada éx + 2y + z = 8

−y + z = 1.− 4z = −12

(2.21)

A forma deste sistema sugere uma resolução simples, que consiste em ir calculando osvalores das incógnitas, partindo da equação mais abaixo e continuando para as equaçõesacima.6 Começa por se resolver a última equação, obtendo-se o valor de z.

x + 2y + z = 8−y + z = 1

− 4z = −12⇔

x + 2y + z = 8

−y + z = 1z = 3

6Este processo de cálculo das incógnitas, da última equação para a primeira, também se designa pormétodo de resolução de sistemas por retro-substituição.



Depois substitui-se z = 3 nas equações acima, e obtém-se, pela segunda delas, o valor dey.

x + 2y + 3 = 8−y + 3 = 1

z = 3⇔

x + 2y = 5

y = 2z = 3

Finalmente, substituindo y = 2 na primeira equação, obtemos a solução do sistema.x + 2× 2 = 5

y = 2z = 3

⇔

x = 1y = 2z = 3

Acabámos de resolver o sistema (2.13), da pg.53, pelo método de redução de Gauss (ousimplesmentemétodo de Gauss). Este método de resolução de sistemas de equações linearestem três etapas:

1. Escrever a matriz aumentada do sistema;

2. Escalonar por linhas a matriz aumentada;

3. Resolver por retro-substituição o sistema correspondente à matriz escalonada ob-tida.

Exercício 68. Resolver os sistemas usando o método de Gauss.

(a)

{2x+ y = 2

−x− y = 1(b)

{2x+ y = 2

x+ y2 = 1

Exercício 69. Escrever três sistemas de equações lineares, de modo que um deles tenhauma só solução, outro tenha in�nitas soluções, e o terceiro não tenha soluções. Resolvê-lospelo método de Gauss. Que tipo de matrizes aumentadas caracterizam cada um dos casos?

Vídeo 44. Exercícios.[em breve]

2.2.6 Método de eliminação de Gauss-Jordan

No método de redução de Gauss-Jordan (ou simplesmente método de Gauss-Jordan) amatriz aumentada do sistema inicial é transformada por operações elementares até seencontrar na forma dita escalonada reduzida ( ou condensada reduzida). Uma matriz estána forma escalonada reduzida se está na forma escalonada por linhas, se todos os pivotssão iguais a 1 e se todos os elementos acima e abaixo dos pivots de cada linha são nulos.

Exemplo 57. As matrizes seguintes estão na forma escalonada reduzida.

A =

1 0 00 1 00 0 1

B =

1 0 0 20 1 0 −10 0 1 7

D =

0 1 00 0 10 0 0

E =

[1 0 2 00 1 −1 0

]F =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

.



A solução do sistema pode então ler-se directamente da matriz na forma escalonada redu-zida que se obtém.

Exemplo 58. Consideremos a matriz escalonada obtida no exemplo 56 da pg. 56, referenteao sistema (2.13) da pg.53. 1 2 1 8

0 −1 1 10 0 −4 −12

(2.22)

A forma escalonada reduzida desta matriz é 1 0 0 ∗0 1 0 ∗0 0 1 ∗

(2.23)

sendo os `*' números quaisquer resultantes da transformação. Como veremos adiante, emlugar de alguns dos `1s' na diagonal, podem aparecer zeros. Depende da natureza doconjunto solução (i.e., termos uma só solução, nenhuma solução ou in�nitas soluções) istoacontecer, ou não. No caso deste exemplo, o sistema tem uma só solução, pelo que vãoaparecer três 1s na diagonal da matriz obtida no �m do processo.

Vamos continuar o processo de redução da matriz iniciado no exemplo 56, em duasetapas.

1. Obter na matriz (2.22) o zero indicado na linha 1, coluna 2, da matriz (2.23).Usamos como pivot o primeiro elemento não nulo da linha 2. 1 2 1 8

0 −1 1 10 0 −4 −12

L1 ← L1 + 2L2

1 0 3 100 −1 1 10 0 −4 −12

(2.24)

2. Obter na matriz (2.24) os zeros indicados na coluna 3 da matriz (2.23). Usamoscomo pivot o primeiro elemento não nulo da linha 3. 1 0 3 10

0 −1 1 10 0 −4 −12

L2 ← L2 + 14L3

L1 ← L1 + 34L3

1 0 0 10 −1 0 −20 0 −4 −12

(2.25)

3. Obter na matriz (3.1) os 1s indicados na matriz (2.23). Vamos usar operações dotipo O2 sobre as linhas 2 e 3. 1 0 0 1

0 −1 0 −20 0 −4 −12

L2 ← −L2

L3 ← −14L3

1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

A matriz aumentada encontra-se agora na forma escalonada reduzida. Podemos ler directa-mente desta matriz as soluções do sistema. Se escrevermos o sistema que lhe corresponde,obtemos o sistema simples (2.13) da pg.53.

Acabámos de resolver o sistema (2.13), da pg.53, pelo método de redução de Gauss-Jordan(ou simplesmente método de Gauss-Jordan). Este método de resolução de sistemas deequações lineares tem três etapas:



1. Escrever a matriz aumentada do sistema;

2. Calcular a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada;

3. Obter a solução do sistema por simples observação da matriz escalonada reduzidaobtida.

Vídeo 45. Exemplo de resolução de um sistema possível e determinado.[08:30]

Vídeo 46. Exemplo de resolução de um sistema impossível.[09:41]

Vídeo 47. Exemplo de resolução de um sistema possível e indeterminado.[10:00]

2.3 Caracterização dos sistemas de equações lineares quantoaos tipos de soluções

Designa-se por característica ou rank de uma matriz A, e escreve-se car(A) ou r(A), onúmero de linhas não nulas com que a matriz �ca depois de escalonada.

Exemplo 59. No exemplo 57, car(A) = car(B) = 3, car(D) = car(E) = 2 e car(F ) = 5.

Um sistema de equações lineares diz-se

• Possível e determinado, se tem uma e uma só solução;

• Possível e indeterminado, se tem in�nitas soluções;

• Impossível, se não tem soluções.

Estas são as três caracterizações possíveis dos sistemas de equações lineares, quanto aostipos de soluções.

Exercício 70. Seja AX = B um sistema de equações lineares. Mostrar que se X1 e X2

são soluções de AX = B, então o sistema admite, de entre outros, o conjunto in�nito desoluções X2 + k(X2−X1), com k ∈ R. Fica assim provado que se um sistema de equaçõeslineares admite pelo menos duas soluções, então admite um conjunto in�nito de soluções.Resolução

A(X2 + k(X2 −X1)) = AX2 + kA(X2 −X1) = AX2 + kAX2 − kAX1 = B.

Vale o seguinte teorema.

Teorema 1. Seja AX = B um sistema de m equações lineares a n incógnitas. Seja [A|B]a matriz aumentada do sistema.

• O sistema é possível se, e somente se, car(A) = car([A|B]). Neste caso, o sistemaé determinado se car(A) = n e é indeterminado se car(A) < n. Se o sistema forindeterminado, então o seu grau de indeterminação, i.e., o número de variáveislivres do conjunto solução, é igual a n− car(A).

• O sistema é impossível se car(A) 6= car([A|B]).

Vídeo 48. Explicação do teorema.[em breve]


https://www.youtube.com/watch?v=tdLA1YwZ8IM&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=e2DTkij6p4U&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=tZH7At4FJ-0&feature=youtu.be


2.4 Exercícios

Exercício 71. Escrever as matrizes na forma escalonada reduzida e indicar a sua carac-terística.

(a)

−1 3 0 1 41 −3 0 0 12 −6 2 4 00 0 1 3 4

(b)

0 0 1 2 −1 40 0 0 1 −1 32 4 −1 3 1 1

Exercício 72. Caracterizar os tipos de soluções dos sistemas lineares, cujas matrizesaumentadas podem ser reduzidas por linhas às matrizes indicadas.

(a)

[−1 −1 2 30 1 4 2

](b)

1 2 3 30 1 2 −10 0 2 4

(c)

1 1 0 3 0 −40 0 1 −1 0 00 0 0 0 1 −2

(d)

1 2 3 30 1 2 −10 0 0 4

Exercício 73. Utilizar os métodos de eliminação de Gauss e Gauss-Jordan para encontraras soluções gerais dos sistemas de equações lineares.

(a)

{4x+ 5y = −3

3x− 2y = −8(b)

x− 2y + w = −8

2x− y − z − 3w = 0

9x− 3y − z − 7w = 4

Exercício 74. Escrever, se for possível, os seguintes sistemas de equações lineares.

1. Sistema impossível com quatro equações a duas incógnitas.

2. Sistema possível e determinado com duas equações a quatro incógnitas.

3. Sistema possível e indeterminado com duas equações a quatro incógnitas.

4. Sistema impossível com duas equações a quatro incógnitas.

5. Sistema possível e determinado com quatro equações a duas incógnitas.

2.5 Matriz inversa

Dada uma matriz quadrada An×n, diz-se que a matriz Bn×n é a matriz inversa de A, see e somente se, AB = BA = I, sendo In×n a matriz identidade. A matriz inversa de Arepresenta-se geralmente por A−1. A matriz A também se diz matriz inversa de A−1 (istoé, A e A−1 são mutuamente inversas). As matrizes que admitem inversa dizem-se matrizesinvertíveis. Notar que a existência de inversa só se aplica a matrizes quadradas.

Exemplo 60. A matriz A é inversa da matriz B

A =

[1 20 2

]B =

[1 −10 1

2

],



e vice-versa,porque[1 20 2

][1 −10 1

2

]=

[1 −10 1

2

][1 20 2

]=

[1 00 1

]

(veri�car este resultado!)

Nem todas as matrizes quadradas admitem inversa. Uma matriz quadrada que não éinvertível diz-se singular. Uma matriz quadrada invertível diz-se regular.

Exemplo 61. A matriz

A =

[1 20 0

]

não tem matriz inversa, porque não existe nenhuma matriz

B =

[a bc d

]

tal que

AB =

[1 20 0

][a bc d

]=

[1 00 1

]= I

(porquê?)

Uma matriz não pode ter mais de uma matriz que seja sua inversa. É o que se prova aseguir.

Teorema 2. Uma matriz quadrada A invertível, admite uma e uma só matriz inversa.

Prova. Seja A uma matriz invertível e suponhamos que as matrizes B e C são ambasmatrizes inversas de A. Se assim for, podemos escrever

AB = BA = I = AC = CA.

Considerando a última destas igualdades, temos sucessivamente

AC = CA⇔ B(AC) = B(CA)⇔ (BA)C = B(CA) ⇔(porquê?)

IC = BI ⇔(porquê?)

C = B.

Mostrou-se que se considerarmos a existência de duas matrizes B,C, inversas de A, somosobrigados a aceitar que B = C. Concluimos que nenhuma matriz invertível tem mais doque uma matriz inversa.

2.5.1 Algoritmo para a inversão de uma matriz

Apresenta-se um algoritmo para inversão de uma matriz por operações elementares sobrelinhas.

1. Seja A uma matriz quadrada do tipo n× n, que se quer inverter.

2. Começa-se por formar a matriz aumentada [A|I], sendo I a matriz identidade dotipo n× n.



3. Efectua-se depois obre a matriz aumentada uma sequência de operações elemen-tares sobre linhas, de modo a condensar a matriz A na matriz identidade I, i.e.,de modo a transformar [A|I] em [I|B].

4. Se não for possível reduzir a matriz A à matriz identidade I, então a matriz Anão tem inversa. Se for possível obter um resultado do tipo [I|B], então a matrizA é invertível e temos A−1 = B. Quando não é possível obter um resultado destetipo, é porque alguma �la na parte esquerda da matriz aumentada se anula, casoem que a matriz A não tem inversa.

Exemplo 62. Determinar, se existir, a inversa da matriz

A =

1 1 01 1 10 1 1

.Escreve-se a matriz aumentada [A|I] e aplica-se sobre ela operações elementares sobrelinhas, até se obter a forma [I|B]. 1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 1 00 1 1 0 0 1

L2 ← L2 − L1

1 1 0 1 0 00 0 1 −1 1 00 1 1 0 0 1

L2 ↔ L3

1 1 0 1 0 00 1 1 0 0 10 0 1 −1 1 0

L2 ← L2 − L3

1 1 0 1 0 00 1 0 1 −1 10 0 1 −1 1 0

L1 ← L1 − L2

1 0 0 0 1 −10 1 0 1 −1 10 0 1 −1 1 0

.Temos então

A−1 =

0 1 −11 −1 1−1 1 0

.(veri�car que AA−1 = I)

Exercício 75. Mostrar que a lei do corte (ver exercício 51), AB = AC ⇒ B = C, quenão é válida no caso geral, é no entanto válida se a matriz A for invertível.ResoluçãoDada uma igualdade da forma AB = AC, podemos escrever sucessivamente, nos casos emque a matriz A é invertível,

AB = AC ⇔ A−1AB = A−1AC ⇔ (A−1A)B = (A−1A)C

⇔ IB = IC ⇔ B = C

sendo I a matriz identidade.

A matriz inversa pode ser usada para resolver alguns sistemas de equações lineares. Umsistema de equações lineares AX = B cuja matriz A seja invertível, é possível e determi-nado, isto é, tem uma só solução. Essa solução pode ser determinada tirando partido da


64 3. Determinantes

relação AA−1 = I, do modo seguinte:

AX = B ⇒ A−1AX = A−1B ⇒ (A−1A)X = A−1B

⇒ IX = A−1B ⇒ X = A−1B.

Exemplo 63. O sistema (ver exemplo 62)

AX = B ⇔

1 1 01 1 10 1 1

xyz

=

5−22

é possível e determinado, e a sua solução é

X = A−1B ⇔

xyz

=

0 1 −11 −1 1−1 1 0

5−22

=

−49−7

Exercício 76. Determinar as matrizes inversas, se existirem, usando o método de elimi-nação de Gauss. Veri�car os resultados obtidos.

(a)

[1 10 1

](b)

1 0 10 1 10 0 −1

3 Determinantes

Determinante de uma matriz An×n é um número associado à matriz. Só as matrizes qua-dradas têm determinante. O determinante de uma matriz A indica-se por |A| ou pordet(A).

Vamos primeiro apresentar dois métodos para calcular o determinante de uma matriz: ométodo de Laplace e o método de triangularização da matriz. Concluimos com dois casosde aplicação de determinantes: resolução de sistemas de equações lineares pela regra deCramer; cálculo da matriz adjunta de uma matriz quadrada A.

3.1 Método de Laplace

Exempli�ca-se o uso deste método para matrizes dos tipos 1×1, 2×2 e 3×3, sendo depoisfácil aplicá-lo a matrizes de dimensões superiores.

1. Caso em que A é do tipo 1× 1.

A = [a11] |A| = |a11|

Exemplo

A = [−2] |A| = | − 2| = −2.


3. Determinantes 65


A =

[a11 a12

a21 a22

]|A| =

∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Exemplo

A =

[2 7−3 5

]|A| =

∣∣∣∣∣ 2 7−3 5

∣∣∣∣∣ = 2× 5− 7× (−3) = 31


A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣Exemplo

A =

2 −3 45 6 70 0 2

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣2 −3 45 6 70 0 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣ 6 70 2

∣∣∣∣∣− (−3)

∣∣∣∣∣ 5 70 2

∣∣∣∣∣+ 4

∣∣∣∣∣ 5 60 0

∣∣∣∣∣= 2(12− 0) + 3(10− 0) + 4(0− 0) = 54

No vídeo 49 explica-se com detalhe o método de Laplace aplicado no cálculo destes deter-minantes. Uma descrição sucinta do método é a seguinte:

1. Designa-se por menor do elemento aij de uma matriz An×n, e representa-se nestetexto porM(aij), o determinante da matriz que se obtém eliminando de A a linhai e a coluna j;

2. Designa-se por cofactor do elemento aij de uma matriz An×n, e representa-seneste texto por Cof(aij), o número (−1)i+jM(aij);

3. O determinante de A pode ser calculado por meio de uma combinação dos ele-mentos de qualquer �la de A e dos respectivos cofactores, conforme o teoremaseguinte.

Teorema 3. (de Laplace) Seja A uma matriz do tipo n× n. Seja r o número deuma linha qualquer de A e s o número de uma coluna qualquer de A. Então

|A| =n∑

k=1

arkCof(ark) =n∑

k=1

aksCof(aks)


66 3. Determinantes

O segundo membro diz-se expansão de |A| por menores de elementos da r-ésimalinha de A. O terceiro membro diz-se expansão de |A| por menores de elementosda s-ésima coluna de A.

Vídeo 49. Cálculo de determinantes pelo método de Laplace.[]

3.2 Propriedades dos Determinantes. Cálculo do determi-nante por triangularização da matriz

Nas propriedades abaixo enunciadas, A é uma matriz do tipo n× n e r é um número realqualquer.

1. |A| = |AT |.

2. Seja B a matriz que se obtém de A trocando duas �las do mesmo tipo (duaslinhas ou duas colunas). Veri�ca-se |B| = −|A|.

3. Se duas �las de A são iguais, então |A| = 0.

4. Se uma �la da matriz A é multiplicada pelo número r, então o determinante damatriz resultante é r|A|.

5. Sejam Fi e Fj duas �las de A (ambas linhas ou ambas colunas) e r um número.A operação Fi ← Fi + rFj não altera o valor do determinante.

6. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos dadiagonal principal.

Vídeo 50. Propriedades dos determinantes.[]

As propriedades 2, 4, 5 e 6 acima, sugerem o seguinte método para calcular determinantes,mais expedito que o método de Laplace.

Cálculo do determinante por triangularização da matriz

1. Reduzir a matriz à forma triangular utilizando operações elementares sobre linhasou sobre colunas, e atendendo ao seguinte:

- na troca de duas �las, multiplicar por −1 a matriz resultante;

- na multiplicação de uma �la por um escalar r, multiplicar por 1r a matriz

resultante.

Obtém-se uma expressão cH, em que c é um número e H é matriz triangularcalculada.

2. Vale a igualdade |A| = c|H|.

Vídeo 51. Cálculo de determinantes por triangularização.[]


3. Determinantes 67

3.3 Algumas aplicações dos determinantes

3.3.1 Resolução de sistemas de equações lineares pela regra de Cramer

A regra de Cramer usa-se para resolver sistemas cujo número de equações é igual ao númerode incógnitas, e cuja solução é única (a matriz de um sistema deste tipo tem determinantenão nulo).

Teorema 4. (regra de Cramer) Consideremos o sistema linear AX = B, em que A = [aij ]é uma matriz do tipo n× n, invertível, e

X =

x1...xn

B =

b1...bn

.O sistema tem uma única solução, dada por

xk =|Bk||A|

, k = 1, 2, · · · , n,

sendo Bk a matriz obtida de A substituindo a coluna k pelo vector B.

Exemplo 64. Utilizar a regra de Cramer para resolver o sistema5x1 − 2x2 + x3 = 1

2x1 − 2x2 = 3

x1 + x2 − x3 = 1

SoluçãoTemos

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣5 −2 12 −2 01 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 10 |B1| =

∣∣∣∣∣∣∣1 −2 13 −2 01 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1

|B2| =

∣∣∣∣∣∣∣5 1 12 3 01 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = −14 |B3| =

∣∣∣∣∣∣∣5 −2 12 −2 31 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −23

A solução do sistema é

x1 =1

10

x2 =14

10=

7

5

x3 = −23

10

(veri�car!)

Vídeo 52. Regra de Cramer.[]


68 3. Determinantes

3.4 Matriz adjunta

Dada uma matriz quadrada An×n, de�ne-se a matriz adjunta de A da seguinte forma:

1. Começa por se calcular a matriz B = [bij ] cujos elementos são os cofactores doselementos de A, i.e., bij = Cof(aij).

2. A matriz transposta de B, BT , designa-se por matriz adjunta de A, e escreve-seadj(A).

Exemplo 65. Determinar a adjunta da matriz A =

[2 53 4

].

SoluçãoSeja bij o cofactor de aij . Temos

b11 = 4 b12 = −3 b21 = −5 b22 = 2

(veri�car!)A matriz dos cofactores de A é

B =

[4 −3−5 2

].

Finalmente, a matriz adjunta de A é

adj(A) = BT =

[4 −5−3 2

].

Vídeo 53. Matriz adjunta.[]

O resultado seguinte, para além de oferecer uma outra forma de calcular a matriz inversa,salienta a seguinte relação: uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, |A| 6= 0.

Teorema 5. Seja A = [aij ] uma matriz quadrada tal que |A| 6= 0. Então A é invertível e

A−1 =adj(A)

|A|

Exemplo 66. Determinar, se existir, a matriz inversa da matriz A do exemplo 65.Solução

A matriz inversa de A existe se for |A| 6= 0.

|A| =

∣∣∣∣∣ 2 53 4

∣∣∣∣∣ = 2× 4− 5× 3 = −7 6= 0

A matriz é invertível. Usando a matriz adjunta de A calculada no exercício anterior,temos

A−1 =adj(A)

|A|=

[4 −5−3 2

]1

−7=

[−4

757

37 −2

7

]Veri�cação do resultado

AA−1 =

[2 53 4

][−4

757

37 −2

7

]=

[1 00 1

]


3. Determinantes 69

Vídeo 54. Cálculo da matriz inversa usando a matriz adjunta.[]

Exercício 77. Determinar as matrizes inversas, se existirem, usando o método da matrizadjunta. Veri�car os resultados obtidos.

(a)

[3 64 8

](b)

2 1 43 2 50 −1 1


Capítulo 3

Funções reais de variável real

1 Funções elementares

Uma função representa uma relação entre várias grandezas. No nosso curso estudamosfunções cujas grandezas relacionadas são números. No caso de a função relacionar apenasduas grandezas e de essas grandezas tomarem valores numéricos reais, a função diz-sefunção real de variável real. A forma genérica de exprimir uma função deste tipo é y = f(x).Esta expressão deve ser lida da seguinte forma (ver �gura 23):

- f é o nome da função, sendo x e y as designações das grandezas que a funçãorelaciona. Pode usar-se quaisquer outras letras, ou sequências de letras, para osnomes da função e das grandezas relacionadas;

- x representa cada elemento de um conjunto de valores que conhecemos. Designa-sepor variável independente, uma vez que o seu valor pode ser escolhido livrementenesse conjunto de números;

- y representa o valor que a função relaciona com x e que, dado x, é calculado se-gundo uma dada regra representada geralmente por uma fórmula. Designa-se porvariável dependente, uma vez que o seu valor não pode ser escolhido livremente,dependendo do valor de x e da fórmula y = f(x). A cada valor de x correspondeum só valor de y.

Figura 23: Uma função pode ser vista como uma máquina que recebe x e produz f(x).

Exemplo 67. As relações que se seguem podem ser representadas por funções.

1. A relação entre a temperatura ambiente t, em graus Celsius, e a altura h demercúrio num termómetro, em milímetros (ver �gura 24). A altura do líquidono tubo depende da temperatura, pelo que a função que relaciona estas duasgrandezas tem a forma genérica h = f(t).

2. A relação entre a distância d, em quilómetros, percorrida por um automóvel quese desloca a uma dada velocidade constante, e o tempo t de duração viagem, emhoras. A distância percorrida depende do tempo de duração do percurso, pelo quea função que relaciona estas duas grandezas tem a forma genérica d = f(t).

71

72 1. Funções elementares

3. A relação entre o número de unidades vendidas q, de um certo produto, e o preçode mercado p de cada unidade. Quanto menor for o preço de cada unidade, maiortende a ser o número de unidades vendidas, porque o que é mais barato vendegeralmente mais. O número de unidades vendidas, q, depende do preço de cadaunidade, p, pelo que a função que relaciona estas duas grandezas tem a formagenérica q = f(p). Esta função é normalmente designada por função de procurado produto.

Figura 24: Termómetro de mercúrio (link) .

Podemos agora estabelecer uma ideia mais formal de função, que vai ser útil no nossoestudo. Uma função y = f(x) é de�nida por três entidades:

- O conjunto de valores que a variável independente x pode assumir, designado pordomínio da função. Os valores do domínio designam-se por objectos da função. Nocaso da função no item 1 do exemplo 67, o domínio é o conjunto das temperaturasambiente possíveis. Pode ser razoável, num dado local, considerar um domínioigual ao conjunto [−5◦, 35◦].

- Um conjunto que contenha todos os valores que a variável dependente y podeassumir, designado por contradomínio da função. O conjunto que contém exac-tamente todos os valores que a função assume, designa-se por imagem da função.Cada valor que y pode assumir, correspondente a um dado valor de x, designa-sepor imagem do objecto x, por meio da função f . Mais adiante veremos que nemsempre se podem especi�car facilmente os valores que uma função assume, peloque o contradomínio pode ser maior que a imagem (o importante é que a conte-nha). No caso da função no item 1 do exemplo 67, o contradomínio é o conjuntodas alturas possíveis, e é igual ao conjunto [0, 80] (em milímetros) � para umaescala em milímetros, que vai desde o ponto marcado −30 ao ponto marcado 50.

- Uma regra que exprime o modo como cada valor de x é feito corresponder à suaimagem y (em geral esta regra é expressa por uma equação).

Para se indicar que uma função f tem por domínio um conjunto A e por contradomínioum conjunto B, escreve-se geralmente f : A→ B.

Exemplo 68.

- A função que exprime a distância d percorrida por um veículo que se desloqueà velocidade constante de 3 metros por segundo, expressa em função do tempo,relativa a um dado ponto de partida P , pode ser de�nida da forma

d : R+0 → R+

0 , d(t) = 3t+ 5,

se o veículo no instante inicial estiver à distância de 5 metros do ponto P . Estafunção é um modelo matemático do movimento do veículo. Podemos usá-la paraconhecer, em qualquer instante t, a posição do veículo relativamente ao ponto de

Capítulo 3. Funções reais de variável real Mário Abrantes

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1. Funções elementares 73

partida. Mas não é o único modelo possível. Poderiamos estar interessados emconhecer a posição do veículo apenas durante os primeiros 27 segundos do seumovimento, contados a partir do momento inicial. Para tal, podemos considerarmais adequada a de�nição

d : [0, 27]→ R+0 , d(t) = 3t+ 5.

Neste caso, como conhecemos a imagem da função, podemos antes usar a de�nição

d : [0, 27]→ [5, 86], d(t) = 3t+ 5.

(porquê?)

- A função que exprime o volume v de uma esfera em função do seu raio r é

v : R+0 → R+

0 , v(r) =4

3πr3.

(se triplicarmos o raio r de uma esfera de volume v, por que factor estamos amultilicar o seu volume?)

É importante salientar que ao de�nir-se uma variável y como função de outra variável x,tal como aqui o fazemos, é entendido que a cada valor do domínio assumido pela variávelx corresponde um só valor do contradomínio assumido pela variável y.

Exemplo 69. A relação de�nida no esquema da �gura 25 não representa uma função de Aem B, porque ao elemento 1 no conjunto A corresponde, por f , mais do que um elementoem B. Certos autores designam relações deste tipo por funções plurívocas. Quando se usaapenas o termo função quer-se referir uma relação unívoca do domínio para contradomínio.

Figura 25: f de�ne uma relação entre conjuntos que não é unívoca de A para B.

Vídeo 55. Funções como relações unívocas.[]

Uma função y = f(x) diz-se:

• crescente, se x < y ⇒ f(x) < f(y);

• decrescente, se x < y ⇒ f(x) > f(y);

• não decrescente, se x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y);

• não crescente, se x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y);

• monótona, se é de algum dos 4 tipos anteriores.

Vídeo 56. Intervalos de monotonia.[]



1.1 Grá�co de uma função

Grá�co de uma função y = f(x) é o conjunto de todos os pares ordenados (x, f(x)) : x ∈ Df ,sendo Df o domínio da função. O grá�co de uma função real de variável real é pois umconjunto de pares de números reais, embora normalmente se designe por grá�co da funçãoqualquer representação deste conjunto de pontos num referencial cartesiano.

Exemplo 70. O grá�co da função y = x2 é o conjunto que contém, entre outros, oselementos (x, y) seguintes: (1, 1), (−3, 9), (0.1, 0.01).

Vídeo 57. Representação grá�ca do grá�co de uma função.[]

Uma função f : A→ B diz-se

• Injectiva, se cada elemento y ∈ B é imagem de apenas um elemento de x ∈ A(ver �gura 26).1

• Sobrejectiva, se cada elemento y ∈ B é imagem de algum elemento do domínio def . Dito de outra forma, f é sobrejectiva se a imagem e o contradomínio de f sãoconjuntos iguais. A função representada na �gura 26 não é sobrejectiva porque oelemento b (por exemplo) do contradomínio não pertence à imagem da função.

• Bijectiva, se é injectiva e sobrejectiva (ver �gura 27).

Figura 26: f não é injectiva porque os objectos 1 e 2têm a mesma imagem. Figura 27: f é bijectiva.

1.2 Classi�cação das funções quanto à sua representação ana-lítica

As funções y = f(x) admitem uma classi�cação quanto à sua representação analítica, i.e.,quanto ao tipo de expressão matemática f(x) que as representa.

• Funções algébricas: são representadas por expressões algébricas numa dadavariável, ou seja, expressões envolvendo um número �nito de adições, subtracções,multiplicações, divisões e extracções de raiz. As funções algébricas podem ser dedois tipos:

� Racionais: nas operações com raízes, os radicandos não contêm a va-riável x. As funções racionais podem ainda classi�car-se:

∗ funções inteiras (ou polinómios);

∗ funções fraccionárias. Divisões de polinómios � esta classede funções contém as funções inteiras.

1Não confundir a de�nição de função injectiva com a de�nição de função unívoca (ver exemplo 69).



� Irracionais: nas operações com raízes, há radicandos que contêm avariável x.

• Funções transcendentes: são as funções que não são algébricas.

Exemplo 71.

• Funções algébricas

� Racionais

∗ funções inteiras (ou polinómios)

y = 2x3 − 3x+ 2 y =√

3x5 − 3

4x3 y = 3.

∗ funções fraccionárias.

y = x4 − 3x+ 2 y =1− xx2 + 2x

y =2

x− 3.

� Irracionais

y = 1− 3√x y =

1− x2 + 5√

1− xy = 1− x

14 .

• Funções transcendentes

y = ex y = ln(x) y = sen(x).

Vídeo 58. Classi�cação de funções: exemplos[].

1.3 Operações sobre funções

Operações racionais. Sejam f e g duas funções quaisquer de domínios Df e Dg econtradomínios CDf e CDg. De�nem-se as operações de adição, subtracção, multiplicaçãoe divisão destas duas funções do modo seguinte.

• Adição\Subtracção: (f ± g)(x) = f(x)± g(x), D(f±g) = Df ∩Dg.

• Multiplicação: (f · g)(x) = f(x) · g(x), D(f ·g) = Df ∩Dg.

• Divisão: (f/g)(x) = f(x)/g(x), D(f/g) = (Df ∩Dg) \ {zeros de g(x)}.

Vídeo 59. Operações racionais sobre funções[].



Função composta Sejam f : A → B e g : B → C duas funções. De�ne-se a função(g ◦ f)(x), que se lê �função composta de g com f � ou �g após f �, da forma

(g ◦ f) : A→ C, (g ◦ f)(x) = g(f(x)

).

Exemplo 72. A �gura 28 representa a composição de duas funções. Pode aí observar-seque

f(4) = 2 g(2) = 3,

e por isso

(g ◦ f)(4) = g(f(4)

)= g(2) = 3.

Figura 28: Função composta.

Para podermos de�nir a função composta de g com f , não é necessário que o contradomíniode f e o domínio de g sejam iguais, bastando que o primeiro esteja contido no segundo,i.e. CDf ⊂ Dg.

Exercício 78. Calcular (g ◦ f)(1) usando os dados da �gura 28.

Exemplo 73. Dadas as funções f(u) = 2u2 − u + 1 e g(x) =√x, podemos escrever a

função composta de f com g

(f ◦ g)(x) = f(g(x)

)= 2(√x)2 −

√x+ 1 = 2x−

√x+ 1,

e podemos também escrever a função composta de g com f

(g ◦ f)(u) = g(f(u)

)=√

2u2 − u+ 1.

Veri�camos assim que, em geral, se tem f ◦ g 6= g ◦ f .

Vídeo 60. Função composta.[]

Podemos compor o número de funções que quisermos.

Exercício 79. Considerar as funções f(x) = 2x2 + 1, g(x) = 3x e h(x) =√x.

1. Calcular a função

(f ◦ g ◦ h)(x) = (f ◦ (g ◦ h))(x) = f(g(h(x))

).

2. Veri�car que a operação de composição goza da propriedade associativa, i.e.

(f ◦ (g ◦ h))(x) = ((f ◦ g) ◦ h)(x).



Função inversa Seja f : A → B uma função bijectiva. De�ne-se a função inversa def , e escreve-se f−1, a função f−1 : B → A tal que para todo elemento y ∈ B se temf−1(y) = x, sendo y = f(x), i.e. (ver �guras 29 e 30)

(f−1 ◦ f)(x) = x e (f ◦ f−1)(y) = y.

Figura 29: f é a função inversa de f−1. Figura 30: f−1 é a função inversa de f .

Vídeo 61. Função inversa.[]

1.4 Funções elementares

A grande parte das funções que vamos encontrar no nosso curso são funções elementares.Uma função diz-se elementar se é alguma das seguintes funções:

• uma constante

• uma potência

• uma exponencial

• um logaritmo

• uma função trigonométrica directa

• uma função trigonomérica inversa

• uma combinação de funções dos tipos acima, usando um número �nito de opera-ções racionais +,−, /,× e de composição de funções.

1.4.1 Grá�cos, domínios e imagens de algumas funções elementares

Funções constantes

f(x) = c, c ∈ RDf = R Imagemf = {c}Exemplos: f(x) = −2 f(x) = π

Figura 31: Função constante f(x) = c.



Funções potência

f(x) = xr, r ∈ RExemplos: f(x) = x2 f(x) = 3

√x f(x) = x−2.1

Ver �guras 32, 33, 34, 35.

Figura 32: Df = R, Imagemf = R+0 . Figura 33: Df = R, Imagemf = R.

Figura 34: Df = R+0 , Imagemf = R+

0 . Figura 35: Df = R, Imagemf = R.

Funções exponenciais

f(x) = ax, a > 0, a 6= 1

Exemplos: f(x) = ex f(x) = 2x f(x) = 0.5x

Ver �guras 36, 37.

Figura 36: Df = R, Imagemf = R+. Figura 37: Df = R, Imagemf = R+.



Funções logaritmicas

f(x) = loga(x), a > 0, a 6= 1

Df = R Imagemf = RExemplos: f(x) = ln(x) f(x) = log0.5(x) f(x) = log10(x)

Ver �guras 38, 39.

Figura 38: Df = R+, Imagemf = R. Figura 39: Df = R+, Imagemf = R.

Funções trigonométricas directas Funções seno e coseno

f(x) = sen(x) f(x) = cos(x)

Df = R Imagemf = [−1, 1]

Ver �guras 40, 41, 42, 43.

Figura 40: Df = R+, Imagemf = R.Figura 41: Df = R+, Imagemf = R.

Figura 42 Figura 43



Função tangente

f(x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

Df = R \ {x ∈ R : x = (2k + 1)π

2, k ∈ Z}

Imagemf = R

Figura 44

De�nem-se ainda as seguintes funções directas:

Cotangente: cotg(x) =cos(x)

sen(x)

Secante: sec(x) =1

cos(x)

Cosecante: cosec(x) =1

sen(x)

Funções trigonométricas inversas As funções trigonométricas não admitem funçõesinversas, porque não são injectivas. No entanto, para restrições das funções trigonomé-tricas directas (i.e., versões das funções directas que tomam apenas partes dos domíniosnas quais estas são bijectivas), de�nem-se funções inversas. Apresentam-se a seguir algunscasos.

Função arcoseno

y = arcsen(x) x = sen(y)

Dy = [−1, 1] Imagemy =

[−π

2,π

2

]

Figura 45



Função arcocoseno

y = arccos(x) x = cos(y)

Dy = [−1, 1] Imagemy = [0, π]

Figura 46Função arcotangente

y = arctg(x) x = tg(y)

Dy = [−∞,∞] Imagemy =

[−π

2,π

2

]

Figura 47De�nem-se ainda as seguintes funções inversas:

Arcocotangente: arccotg(x)

Arcosecante: arcsec(x)

Arcocosecante: arccosec(x)

Vídeo 62. Funções elementares.[]

Vídeo 63. Funções trigonométricas directas.[]

Vídeo 64. Funções trigonométricas inversas.[]

1.5 Exercícios

Exercício 80. Escrever o domínio natural e o contradomínio das funções. Esboçar osgrá�cos.

1.

(a) y = x (b) y = x2 (c) y = x3 (d) y = x+ 2

(e) y = x2 − 2 (f) y = x3 +1

2(g) y = |x| (h) y = |x+ 2|

(i) y = |x− 1| (j) y = |x− 1| − 2 (k) y = 2x2 (l) y = −4x3



2.

(a) y =1

x(b) y =

1

x2(c) y =

1

x3(d) y =

1

x− 2

(e) y =1

(x− 2)2(f) y =

1

(x+ 1)3(g) y =

1

x2 − 2(h) y = −1

x

3.

(a) y =√x (b) y = 3

√x (c) y = 5

√x (d) y = 2 +

√x

(e) y = −√x (f) y = − 3

√x (g) y = − 4

√x (h) y =

√x− 2

(i) y = 3√x+ 3 (j) y = 4

√−x+ 1

4.

(a) y = ex (b) y = −ex (c) y = e−x (d) y = 0.1x

(e) y = −0.1x (f) y = 2x (g) y = 2−x (h) y = ex+1

(i) y = e−x+1 (j) y = 3ex (k) y = 3 + ex (l) y = −3 + ex

5.

(a) y = ln(x) (b) y = − ln(x) (c) y = ln(x+ 2) (d) y = ln(x− 2)

(e) y = 3 + ln(x+ 2) (f) y = ln |x| (g) y =∣∣ln(x)

∣∣ (h) y =∣∣ln |x|∣∣

6.

(a) y =√|x| (b) y = 3

√|x| (c) y =

∣∣ 3√x∣∣

Exercício 81. Veri�car se as funções assumem, ou não, os valores indicados.

(a) y =√

log10(x− 2), y = 4 (b) y =1

ex, y = 12

(c) y =x2

x2 + x, y = 1 (d) y = 2−x, y = −23

Exercício 82. Indicar, para cada caso, qual a última operação a ser efectuada se quisermoscalcular f(7).

(a) f(x) = sen(|x|) (b) f(x) =∣∣sen(x)

∣∣ (c) f(x) =√log10(x− 3)

(d) f(x) =x+ 2

x− 2(e) f(x) = x2

∣∣∣∣sen1

x

∣∣∣∣ (f) f(x) = 1 + 5x3e−x − 2x

(g) f(x) = (3− x2)13 (h)f(x) = x2(2− x)ex

Exercício 83. Determinar as funções inversas, se existirem.

(a) f(x) = 2x+ 3 f : R→ R (b) g(x) = 2 g : R→ R

(c) f(x) = x3 f : R→ R (d) g(x) =1

2−√x

g : R+0 \ {4} → R


2. Sequências de números reais 83

Exercício 84. Considerar as funções f(x) = 5√x, g(x) = x

23 , h(x) = sen(x) + 2. Escrever

as expressões correspondentes às funções abaixo indicadas. Calcular os seus domíniosnaturais.

(a) f(x− 2) +1

2(b) (f ◦ h)(x) (c) (f ◦ h ◦ g)(x)

(d)

∣∣f(x)∣∣

2− g2(x)− h(2x) (e) g

(f

(x

2

))h(x− t)

2 Sequências de números reais

2.1 Vizinhança de um número real

Consideremos um número real a e um número real positivo ε. A inequação |x− a| < ε ésatisfeita pelos valores de x correspondentes ao intervalo aberto centrado em a e de raioigual a ε:

|x− a| < ε ⇔ −ε < x− a < ε ⇔ a− ε < x < a+ ε.

Um intervalo deste tipo diz-se vizinhança ε do número a.

Vídeo 65. Vizinhança de um número real.[]

2.2 Sequências de números reais

Uma sequência (ou sucessão) de números reais é uma �la in�nita de números reais separadospor vírgulas

1,1

2,

1

3, · · · , 1

n, · · ·

Cada um dos números designa-se por termo da sequência. O termo escrito em função davariável inteira n designa-se por termo geral da sequência. Substituindo sucessivamenteneste termo a variável n pelos inteiros positivos 1, 2, 3, · · · , obtêm-se os termos nas posiçõescorrespondentes.

Uma sequência numérica representa-se da forma (un)n∈N, ou simplesmente (un), e podeser encarada como uma função de domínio N e contradomínio R. Pode usar-se qualqueroutra letra no lugar de u.

Exemplo 74. Algumas sequências numéricas.

(un) =

(1

n2

): 1,

1

4,

1

9, · · · , 1

n2, · · ·

(vn) =

(1

2n

):

1

2,

1

4,

1

8, · · · , 1

2n, · · ·

(wn) =((−1)n

): − 1, 1, −1, · · · , (−1)n, · · ·

(xn) = (1) : 1, 1, 1, · · · , 1, · · ·

(yn) =

(1 +

1

n

): 2, 1 +

1

2, 1 +

1

3, · · · , 1 +

1

n, · · ·


84 2. Sequências de números reais

Vídeo 66. Sequências numéricas.[]

Uma sequência numérica (un) diz-se:

• limitada, se existem dois números reais a, b tais que a ≤ un ≤ b para qualquervalor de n, i.e todos os elementos da sequência pertencem ao intervalo [a, b];

• limitada superiormente, se existe um número real b tal que un ≤ b para qual-quer valor de n, i.e todos os elementos da sequência são inferiores, ou quandomuito iguais a b;

• limitada inferiormente, se existe um número real a tal que a ≤ un para qual-quer valor de n, i.e todos os elementos da sequência são maiores, ou no mínimoiguais a a.

Vídeo 67. Sequências numéricas limitadas e ilimitadas.[]

Uma sequência numérica (un) diz-se:

• crescente, se u1 < u2 < u3 < · · ·un < · · · ;

• decrescente, se u1 > u2 > u3 > · · ·un > · · · ;

• não decrescente, se u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ · · ·un ≤ · · · ;

• não crescente, se u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ · · ·un ≥ · · · ;

• monótona, se é de algum dos 4 tipos anteriores.

Vídeo 68. Sequências numéricas monótonas.[]

Exemplo 75.

• A sequência

(un) =

(1

n2

): 1,

1

4,

1

9, · · · , 1

n2, · · ·

é limitada, dado que para todo n ∈ N se tem

0 ≤ 1

n2≤ 1.

• A sequência

(un) = (2n) : 2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·

é apenas limitada inferiormente, dado que para todo n ∈ N se tem

2 ≤ 2n.

• A sequência

(un) = (−2n) : −2, −4, −6, · · · , −2n, · · ·

é apenas limitada superiormente, dado que para todo n ∈ N se tem

−2n ≤ −2.


2. Sequências de números reais 85

2.2.1 Limite de uma sequência de números reais

De�nição 5. Diz-se que uma sequência (un) de número reais converge ou tende para onúmero real L, ou ainda que tem limite igual a L, e escreve-se

limn→+∞

un = L,

se, e somente se, dado qualquer intervalo centrado em L, ]L−ε, L+ε[ (ver �gura 48), ε > 0,existe uma ordem n0 tal que para todos os valores de n > n0, se tem un ∈]L− ε, L+ ε[.

Dito de forma equivalente, qualquer intervalo de diâmetro 2ε, centrado em L, contémuma quantidade in�nita de elementos da sequência (un), �cando fora do intervalo umaquantidade �nita de elementos.

Uma sequência que tem limite diz-se convergente. Uma sequência que não tem limite diz-sedivergente.

Vídeo 69. Limite de uma sequência de números reais.[]

Figura 48: Intervalo aberto de raio ε, centrado em L.

Limites in�nitos Dada uma sequência de números reais (un), escreve-se

limn→+∞

un = +∞, (3.1)

se para todo o número k positivo existe uma ordem n0 tal que, para n > n0, se tem un > k.Não interessando quão grande seja o valor de k, há uma quantidade �nita de termos dasequência menores que k e uma quantidade in�nita de termos da sequência maiores que k� ver �gura 49. De modo análogo se de�ne

limn→+∞

un = −∞.

Figura 49: Para qualquer k > 0, se un → +∞, então há uma quantidade �nita de termos de (un) menoresque k e uma quantidade in�nita de termos da sequência maiores que k.

Exemplo 76. Dada a sequência de termo geral un = 2n

(2n) : 2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·

se �zermos k = 1000 veri�camos que a partir do elemento u500 = 2 × 500 = 1000, todosos termos da sequência são maiores que k. Existe uma quantidade �nita de elementos


86 2. Sequências de números reais

menores que k e uma quantidade in�nita de elementos maiores que k. É fácil veri�car queesta última a�rmação é válida qualquer que seja k. Por isso podemos escrever

limn→+∞

un = +∞. (3.2)

Deve notar-se que não é correcto dizer que (un) tem limite in�nito, porque o limite quandoexiste é um número real. Esta sequência não tem limite, é divergente. A expressão (3.2)diz-nos apenas de que forma diverge a sequência (ver o vídeo 70).

Vídeo 70. Limites in�nitos.[]

Exercício 85. Escrever os primeiros 5 termos de cada sequência numérica. Calcular oslimites.

(a) lim1

n(b) lim

1

n2(c) lim(−100 +

1

n) (d) lim

3 + n2

2 + n3

(e) lim3 + n2 − n3

2 + n3(f) lim log10(n) (g) lim en (h) lim e−n

(i) lim 0.99n (j) lim 1.01n (k) lim sen(n) (l) lim

√n

n

2.3 Alguns teoremas sobre limites de sequências numéricas

Teorema 6. (unicidade do limite) Se limun = a e limun = b, então a = b.

Vídeo 71. Teorema 6.[]

Teorema 7. Se limun = a, então toda a subsequência de (un) converge para a.


Teorema 8. Toda a sequência numérica convergente é limitada.


A recíproca do teorema 8 é falsa, i.e. uma sequência numérica pode ser limitada e não terlimite. Por exemplo, a sequência 1, 0, 1, 0, · · · é limitada, visto que todos os seus termospertencem ao intervalo [0, 1], mas não tem limite (porquê?).

Teorema 9. Toda a sequência numérica monótona e limitada é convergente.



3. Funções contínuas 87

3 Funções contínuas

3.1 Limite de uma função

De�nição 6. Diz-se que uma função real de variável real, f(x), converge (ou tende) parao número real L, ou ainda que tem limite igual a L, quando x tende para a, e escreve-se

limx→a

f(x) = L,

se, e somente se, dada qualquer sequência de valores de x convergente para a

x1, x2, x3, · · · , xn, · · · → a

a sequência de imagens por f que lhe corresponde converge para L,

f(x1), f(x2), f(x3), · · · , f(xn), · · · → L.

Vídeo 75. De�nição 6.[]

3.1.1 Limites laterais

(ver �gura 50)

• Limite à direita de f(x) no ponto x = a: limx→a+

f(x);

• Limite à esquerda de f(x) no ponto x = a: limx→a−

f(x);

Vídeo 76. Limites laterais.[]

Teorema 10. O limite de f(x) no ponto x = a existe e é igual a b se, e somente se, existemos dois limites laterais de f(x) no ponto x = a e são ambos iguais a b:

limx→a

f(x) = b ⇔ limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x) = b.

Figura 50: Limites laterais.2

2Figura adaptada de uma outra em [].


88 3. Funções contínuas

3.1.2 Alguns teoremas sobre limites de funções

Teorema 11. (unicidade do limite) Se limx→a

f(x) = b e limx→a

f(x) = c, então b = c.

Teorema 12. Sejam f, g, h : D → R três funções de domínio D e contradomínio R. Separa todo x ∈ D, x 6= a, tivermos

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

e

limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = b

então

limx→a

g(x) = b.

Teorema 13. Sejam f, g : D → R e limx→a

f(x) = L, limx→a

g(x) = M . Então,

1. limx→a

[f(x)± g(x)] = limx→a

f(x)± limx→a

g(x) = L±M ;

2. limx→a

[f(x)× g(x)] = limx→a

f(x)× limx→a

g(x) = L×M ;

3. Se M 6= 0, então limx→a

f(x)g(x) =

limx→a

f(x)

limx→a

g(x) =LM .

Vídeo 77. Teoremas sobre limites de funções.[]

3.1.3 Limites no in�nito

Dada uma função f : D → R, escreve-se

limx→+∞

f(x) = b,

com b ∈ R, se para todo a sequência (xn) de valores de x, tal que limx→+∞

xn = +∞,

x1, x2, x3, · · · , xn, · · · → +∞

a sequência de imagens por f que lhe corresponde converge para b,

f(x1), f(x2), f(x3), · · · , f(xn), · · · → b.

Exemplo 77. A função f(x) = 2+ 1√xtem limite igual a 2, quando x tende para +∞ (ver

�gura 51). De facto, ao aumentarmos ilimitadamente x o valor de 1√xdiminui, tendendo

para zero. Analiticamente temos:

limx→+∞

(2 +

1√x

)= lim

x→+∞2 + lim

x→+∞

(1√x

)= 2 + 0 = 2.



Figura 51: Limites no in�nito

3.2 Função contínua

Uma função f : D → R diz-se contínua no ponto x = a do seu domínio, se é possíveltornar f(x) arbitrariamente próximo de f(a), fazendo x su�cientemente próximo de a. Ade�nição seguinte apresenta esta ideia de modo formal.

De�nição 7. Uma função f(x) diz-se contínua num ponto x = a do seu domínio, se nãoexiste nenhuma sequência de valores da variável x no domínio de f(x), convergente paraa,

x1, x2, x3, · · · , xn, · · · → a

à qual corresponda uma sequência de imagens por f(x), que não convirja para f(a),

f(x1), f(x2), f(x3), · · · , f(xn), · · · ��→f(a).

Observação. Se o ponto a do domínio de f pertence a um intervalo fechado [b, c], contido no

domínio de f , então f é contínua em a se e somente se limx→a

f(x) = f(a).

De�nição 8. Uma função f(x) diz-se contínua num conjuntoD, se e somente se, é contínuaem todos os pontos do conjunto D. Se algum ponto do conjunto D é um ponto de fronteira,como por exemplo os pontos b, c do intervalo fechado [b, c], dizer-se que a função é contínuano intervalo supõe que, nos pontos de fronteira b, c, se considera apenas continuidade lateral- ver o exemplo seguinte. Dizer-se que uma função é contínua, sem referir nenhum intervalo,signi�ca que a função é contínua em todos os pontos do seu domínio (sendo lateralmentecontínua nos pontos de fronteira do domínio).

Vídeo 78. De�nição de continuidade num ponto e num conjunto.[]

Exemplo 78.

• A função representada na �gura 52 é descontínua no ponto x = 3. O tipo dedescontinuidade que aí apresenta diz-se de 1a espécie, porque ambos os limiteslaterais existem. Por ser

limx→3+

f(x) = 5 = f(3),

diz-se que a função é contínua à direita no ponto x = 3. No entanto f não écontínua à esquerda no ponto x = 3. Porquê?



• A função representada na �gura 53 é descontínua no ponto x = 0, pertencenteao seu domínio. O tipo de descontinuidade que aí apresenta diz-se de 2a espécie,porque não existe algum dos limites laterais (neste caso não existe o limite àesquerda no ponto x = 0). A função é contínua à direita no ponto x = 0.

Figura 52: Função com descontinuidade de 1a

espécie no ponto x = 3. Figura 53: Função com descontinuidade de 2a

espécie no ponto x = 0.

Exemplo 79.

• A função representada na �gura 54 é contínua, dado ser contínua em todos ospontos do domínio. Segundo alguns autores3, no entanto, uma função como estadiz-se descontínua no ponto x = 0, dado existirem sequências de valores de xconvergindo para x = 0, não convergindo a sequência das respectivas imagens porf para f(0) (nem poderiam, dado que a função não está de�nida em x = 0). Oponto x = 0 diz-se um ponto de acumulação do domínio de f . Um ponto diz-seponto de acumulação de um conjunto, se qualquer vizinhança do ponto contémelementos do conjunto, para além do próprio ponto � é possível escrever umasequência de valores no domínio de f convergente para o ponto. Em geral, falamosde continuidade apenas em pontos do domínio de uma função, mas podemos falarde descontinuidade em pontos do domínio da função e nos pontos de acumulaçãodo domínio. Descontinuidades como a desta função no ponto x = 0, dizem-sedescontinuidades assimptóticas.

Observação. Da função na �gura 55 não dizemos que é descontínua no ponto x = −2.

A função não está aí de�nida, tal como a função da �gura 54 não está de�nida no ponto

x = 0. No entanto, ao contrário do ponto x = 0 na função da �gura 54, o ponto x = −2

da função na �gura 55 não é ponto de acumulação do domínio da função.

• A função representada na �gura 55 é contínua em todos os pontos do seu domínio.O ponto x = −3 diz-se ponto isolado do domínio da função. Um ponto designa-se por ponto isolado de um conjunto, quando existe uma sua vizinhança (ver�gura 48) que não contém mais nenhum elemento do conjunto, excepto o próprioponto. Deve notar-se que a única sequência numérica com valores no domínio def convergente para −3, é a sequência constante −3, −3, · · · , −3, · · · . Como asequência das imagens por f que lhe correspondem é

f(−3), f(−3), f(−3), · · · , f(−3), · · · → f(−3) = 5,

a de�nição 7 diz-nos que a função f é contínua no ponto x = −3.

3Ver, por exemplo, Sebastião e Silva 79.



Figura 54: Descontinuidade assimptótica. Figura 55: Função contínua em todos os pontos doseu domínio {−3} ∪ [0,+∞[.

3.3 Alguns teoremas sobre continuidade

Teorema 14. Se f : D → R é contínua num ponto a ∈ D, então f é limitada numavizinhança de a.

Teorema 15. Sejam f, g funções contínuas num ponto x = a comum aos seus domínios.Então:

1. f(x)± g(x) e f(x)× g(x) são funções contínuas em x = a;

2. f(x)g(x)

é uma função contínua em x = a, se g(a) 6= 0.

Teorema 16. Sejam f : D → R e g : F → R duas funções, com f(D) ⊂ F . Se f écontínua no ponto x = a e g é contínua no ponto f(a), então (g ◦ f)(x) = g

(f(x)

)é

contínua no ponto x = a.

Exercício 86. Mostrar que a função f(x) = e−x2

+ 2x−23x+1 é contínua em todos os pontos

do seu domínio natural.SoluçãoO domínio natural da função f é D = R \ {−1

3}. A função é contínua em todos os pontosdo domínio, porque:

• −x2 e ex são contínuas em D. Como e−x2é a composta destas duas, então é

contínua em D, pelo teorema 16;

• 2x− 2 e 3x+ 1 são contínuas em D. Pelo teorema 15, 2x−23x+1 também é.

• Finalmente, pelo teorema 15, como e−x2e 2x−2

3x+1 são contínuas em D, então f(x) =

e−x2

+ 2x−23x+1 também o é.

Teorema 17. (do valor intermédio para funções contínuas) Seja f : [a, b]→ R uma funçãocontínua no intervalo [a, b], tal que f(a) ≤ f(b). Seja d ∈ R tal que f(a) ≤ d ≤ f(b).Então existe pelo menos um ponto c ∈ [a, b], tal que d = f(c).

Exercício 87. (aplicação do teorema 17) Mostrar que o polinómio f(x) = x3 − x + 1 seanula em pelo menos um ponto do intervalo [−2, 0].SoluçãoA função f(x) é contínua em R, pelo teorema 15 (todos os polinómios são funções contínuasem R). Como f(−2) = −5 < 0 e f(0) = 1 > 0, o teorema 17 permite-nos a�rmar queexiste pelo menos um ponto c no intervalo [−2, 0] tal que f(c) = 0, uma vez que 0 ∈ [−5, 1].



Vídeo 79. Teoremas sobre continuidade.[]

(a bibliogra�a utilizada para escrever estas notas é acrescentada mais tarde)


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