Conjuntos apostila i

UNESPAR - APUCARANA - DEPARTAMENTO DE MÉTODOS QUANTITATIVOS Prof: Severino Miranda de Resende e João Francisco Morgado Matemática 1° ano REVISÃO SOBRE CONJUNTOS

CONJUNTO: É um conceito primitivo associado à idéia de coleção.. - INDICAÇÃO: Os conjuntos serão, em geral, indicados por letras maiúsculas do alfabeto: A,B,C, ... , enquanto os elementos por letras minúsculas: a, b, c, d, ...

REPRESENTAÇÃO: Um conjunto pode ser representado por:

Enumeração: N = { dó, ré, mi, fá, sol, la, si} Propriedade característica: D = {d | d é dia da semana} V a e uDiagrama de Venn : i o

RELAÇÕES DE PERTINÊNCIA: É a relação que existe entre um elemento e seu conjunto.

Exemplos. Para o conjunto V = { a, e, i, o, u }, pode se escrever: a V lê-se a pertence a V a V lê-se a não pertence a V

RELAÇÕES DE INCLUSÃO: É a relação que só existe entre conjuntos. Exemplos. Para os conjuntos: A = { a , b , c , d } ; B = {a , b } ; C = { e }, temos: B A lê-se B está contido em A ( B é subconjunto de A ) A B lê-se A contém B C B lê-se C não está contido em B

IGUALDADE DE CONJUNTOS : Dois conjuntos são iguais se, e somente se possuem os mesmos ele Mentos. A = B ( x ) (x A x B )

Conjunto Universo ( U ) : é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos que podem ser utilizados num determinado estudo.

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UNESPAR - APUCARANA - DEPARTAMENTO DE MÉTODOS QUANTITATIVOS Prof: Severino Miranda de Resende e João Francisco Morgado Matemática 1° ano

Convenções:

- n(A) = 8 lê-se, o número de elementos do conjunto A é oito;

- n( C ) = 1 lê-se o número de elementos do conjunto C é um ( C é classificado como conjunto unitário ).

- O conjunto desprovido de elementos é chamado de conjunto vazio e indicado por ou { }. Repare que n() =0.

Exercícios:

01. Escreva em notação simbólica:

a) a é elemento de A. ________ b) A é subconjunto de B. _______c) A contém B. ________ d) A não está contido em B. _______e) A não contém B. _______ f) a não é elemento de A _______

02. Escreva os elementos de cada um dos conjuntos:

a) conjunto dos números naturais entre 8 e 12 (inclusive);b) conjunto das vogais do alfabeto;c) conjunto dos números pares entre 0 e 18 (exclusive);d) conjunto dos números primos pares positivos;e) conjunto das frações próprias positivas de denominador 7;f) {x / x2 – 1 = 0};g) {x / x é letra da palavra ARARA};h) { x / x2 = 9 e x – 3 = – 6 };j) { x / x é algarísmo de 2 134}.

03. Escreva os conjuntos abaixo usando o método das propriedades características:

a) { 1, 3, 5, 7, ... , 15};b) { 1, 7};c) o conjunto dos números pares entre 5 e 21;d) o conjunto dos números reais entre –1 e 10, incluindo o –1.

04. Seja A o conjunto { 3, 5, 7, 9, 11, 12}, enumere cada um dos seguintes, conjuntos:

a) { x A / x2 9} = b) { x A / x +9 = 16} =c) { x A / x é primo} = d) { x A / x2 –12x + 35 =0} =e) { x A / (x +1) A } =

05. Se A = { a, e, i }, diga se as proposições abaixo são corretas ou não:

a) a A ( ) b) a A ( ) c) {a} A ( ) d) {a} A ( )

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06. Construa todos os subconjuntos dos conjuntos:

a) { 0, 1, 2 } = b) { 1, { 2,3}} = c) { R, O, M, A} =

07. Dados os conjuntos A = { x / x é par positivo e menor que 7} e B = { 2, 4, 6 }, assinale V ( verdadeiro) ou F ( falso).

a) A B ( ) b) B A ( ) c) A = B ( )

07. Diga se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas:

a) { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1 } ( ) b) { 1, 2 , 1 , 2 } {1, 2, 3 } ( ) c) { 4 } { { 4 } } ( ) d) { 1, 2, 3 } ( )e) { 2 , 3 } { x / x2 – 5x + 6 = 0 } ( ) f) { B, R, A, S, A} { B, R, A, S} ( )

08. Classifique os conjuntos abaixo como finitos ou infinitos.

a) o conjunto dos números inteiros múltiplos de 5;b) o conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2;c) o conjunto das raízes de x6 + x5 – x2 = 0;

d) ;

e) .

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.

Sejam os conjuntos: A = { 2, 3, 5, 7, 8 } B = { 0, 1, 3, 5 } e C = { 9 }

UNIÃO: Denomina-se união de dois conjunto A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou a B.

A B = {x | x A ou x B } A B = { 0, 1, 2, 3, 5, 7, 8 }

Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades: A A = A A = A A B = B A

(A B) C = A ( B C ) A B A B = B

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UNESPAR - APUCARANA - DEPARTAMENTO DE MÉTODOS QUANTITATIVOS Prof: Severino Miranda de Resende e João Francisco Morgado Matemática 1° ano INTERSECÇÃO: Denomina-se intersecção de dois conjuntos A e B o conjunto formados pelos ele mentos pertencentes a A e a B.

A B = {x | x A e x B } A B = { 3, 5 }

Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades:

A A = A A = A B = B A

( A B ) C = A ( B C ) A B A B = A

Dois conjuntos diz-se disjuntos se a interseção entre eles é vazia, isto é. A C =

DIFERENÇA: A – B = { x | x A e x B } A – B = { 2, 7, 8 } B – A = { 0 ,1} Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades:

A – A = A – = A – A = B A B – A =

COMPLEMENTAR: Quando dois conjuntos A e B são tais que B A, Damos à diferença o nome de complementar de B em A

B A CA B = A – B lê-se complementar de B em A

Exemplo. Considere os conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 3 , 4 } Como B A CA B = A – B = { 1, 2 }

Obs. Dado um conjunto P contido no universo U, chama-se complementar de P, simplesmente o U – P cuja representação simbólica pode ser feita por P’ ou .

Ou seja: = CU P = {x / x U e x P}Exemplos:

01. se U = { 1, 3, 5, 9, 10 } e P = { 1, 9 } = { 3, 5, 10 } se U = N* e P = { 2, 4, 6, 8, ...} = { 1, 3 , 5, 7,... } se U = N e P = N* = { 0 }02. Dados os conjuntos: A = {1,4,5,6,8}, B = {2,6,8,13,17,20} e C = {5,7,8,6}, verifique que as igualdades:

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a) n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

b) n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n( A C) – n(B C) + n(A B C)

03. Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas, constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não consomem nem A e nem B. Que parte desta população consomem tanto o produto A quanto o produto B?

04 . Sejam A e B dois conjuntos tais que: n(A) = 12 ; n(B) = 10 ; n(A B) = 15. Determine:

a) n(A B) =

b) n(B – A) =

c) n(A – B) =

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UNESPAR - APUCARANA - DEPARTAMENTO DE MÉTODOS QUANTITATIVOS Prof: Severino Miranda de Resende e João Francisco Morgado Matemática 1° ano 05. Num teste para verificar o aproveitamento de 100 estudantes do terceiro ano do Ensino Médio, observou-se o seguinte resultado entre os que conseguiram nota satisfatória em uma só disciplina: Matemática, 18; Física, 20; Química, 22. Em duas das disciplinas: Matemática e Química , 15; Química e Física, 17; Matemática e física, 9. Nas das três disciplinas avaliadas, 6 alunos. Com estas informações:

a) faça o diagrama de Venn para a situação;

b) obtenha o número estudantes gostam de pelo menos duas disciplinas avaliadas;

c) Determine n(M) = n(F) = n(Q) = n( ) =

d) Calcule n(M F Q) usando o diagrama e confirme o resultado pela fórmula:

n(M F C) = n(M) + n(F) + n(C) – n(M F) – n( M C) – n(F C) + n(M F C)

06. Na figura, escreva uma expressão para cada região numerada. Por exemplo, 8 é ( )

07.Foi realizada uma pesquisa numa indústria X, tendo sido feitas a seus operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira pergunta, 80 responderam sim à segunda . 35 responderam sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Qual o número de operários da indústria?

6

1

65

B

7

52

3

8C

A

UNESPAR - APUCARANA - DEPARTAMENTO DE MÉTODOS QUANTITATIVOS Prof: Severino Miranda de Resende e João Francisco Morgado Matemática 1° ano 08. Em uma pesquisa realizada, foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas entrevistadas fumam a marca A de cigarros; 50% fumam a marca B; 45% fuma a marca C; 20% fumam A e B; 30% fumam A e C; 25% fumam B e C; 8% fumam A,B e C. Que porcentagem das pessoas fumam exatamente duas marcas.

09. Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }; A = { 1, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 8} e C = { 1, 2, 3, 5}, Calcule:

a) A C = b) B C =

c) A B = d) A C =

e) A – C = f) C – A =

g) A – B = h) B – A =

i) = j) =

k) = l) =

m) = n) =

o) ( A – B ) C = p) ( A – C ) ( B – C ) =

CONJUNTOS DAS PARTES

Seja o conjunto A = { 1, 2 }. Os subconjuntos de A, são: {1} ; {2} ; {1, 2} ; .

O conjunto das partes de A que se indica por P(A) é o conjunto cujos elementos são subconjuntos de A, i é:

P(A) = { {1} ; {2} ; {1, 2} ; } P(A) = {x A/ x A}

Observações:

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UNESPAR - APUCARANA - DEPARTAMENTO DE MÉTODOS QUANTITATIVOS Prof: Severino Miranda de Resende e João Francisco Morgado Matemática 1° ano ( 1 ) O número de elementos de um conjunto das partes é dado por 2n, onde n é o número de elementos do

conjunto A. Assim se A = {1, 2} tem-se que n [ P(A) ] = 22 = 4

( 2 ) Se A = {2}, então P(A) = { {2}, { } }

( 3 ) Se A = , P(A) = { }, que não é vazio.

CONJUNTO NUMÉRICOS - ( REVISÃO)

NúMEROS NATURAIS

N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,...} ; N* = {1,2,3,4,5,6,7, ...} N* N N* N = N*

NÚMEROS INTEIROS RETIVOS

Z = { 0, 1, 2, 3, 4, ...} ONDE Z= = {... - 4,-3, -2, -1, 0} e Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

NÚMEROS RACIONAIS

Q = { x/x = a/b ; aZ e bZ*} isto é são todos os números que podem ser escritos em forma de fração. As dízimas periódicas são exemplos.

RECORDANDO AS DÍZIMAS PERIÓDICAS.

Quando se deseja aumentar a precisão de um resultado, faz-se necessário muitas vezes trabalharmos com frações. Nestas circunstância saber obter a geratriz de uma dízima periódica é importante. Assim, vamos reviver um pouquinho a nossa 5ª série do primeiro grau. As geratrizes se determinam segundo as regras seguintes :

I) A fração geratriz, de uma dízima periódica simples, é uma fração que tem como numerador o período e como denominador tantos noves quantos algarismos tiver esse período.

Ex: a) 0,333... = b) 0,363636... = c) 2,555... =

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II) A geratriz de uma dízima periódica composta, é uma fração, onde o numerador é formado pela parte não periódica, seguida do período, menos a parte não periódica. O denominador possui tantos noves quanto são os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Ex: a) 2,4222... = b) 5, 32121... =

OBTER A GERATRIZ DAS DÍZIMAS; ( é bom lembrar que 0,9999 = 1) a) 0,525252... =

b) 0,324444... =

c) 4,45555... =

d) 5,66666.... =

e) 53,48333... =

NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )

Categoria de números que não podem ser representados em forma de fração.

Exemplos: = 1,41421356... ; = 3,1415926535... ; e = 2,718281829...

NÚMEROS REAIS

É o conjunto que reúne os números racionais Q e os irracionais I cuja representação é dada por: R = { x | xQ ou x I } ,

INTERVALOS: São subconjuntos especiais dos números reais.

Sendo a e b números reais e a < b, temos:

INTERVALO FECHADO: [ a , b ] = { x R / a x b } ou

INTERVALO ABERTO: ] a , b [ = { x R / a < x < b } ou

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UNESPAR - APUCARANA - DEPARTAMENTO DE MÉTODOS QUANTITATIVOS Prof: Severino Miranda de Resende e João Francisco Morgado Matemática 1° ano INTERVALO FECHADO À ESQUERDA:

[ a , b [ = { x R / a x < b } ou

INTERVALO FECHADO À DIREITA:

] a , b ] = { x R / a < x b } ou

INTERVALOS INFINITOS:

[ a , + [ = { x R / x a } ou

] a , + [ = { x R / x > a } ou ]- , a ] = { x R / x a } ou

]- , a [ = { x R / x < a } ou

Usando a reta dos números reais, represente as operações indicadas.

i) Se A = [-1 , 3 [ e B = [ 1 / 2 , [ , e U = R ( conjunto dos números reais), obtenha: a) A B = b) A B =

c) [-1 , 2 ] [ 0 , 5 ] = d) [-2 , 3] ] 1 , 4 ] =

e) CA R = R – A = ] – , – 1 ] [ 3, + ] ( não representa intervalo )

EQUAÇÕES e INEQUAÇÕES

Resolva no universo dos números reais as equações e inequações a seguir:

a) + = b) = +

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c) + 1 d) 4(2x - 3) > 2(x -1)

e) f)

g) –x2 + 3x – 2 =0 h)

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