CÔNICAS - Portal Saber Livre · As demais cônicas são chamadas degeneradas e incluem pontos...
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CÔNICAS
Alunos: ElsioElsio Luiz Luiz AndrettaAndretta FilhoFilhoEvandro JosEvandro Joséé SoaresSoaresGenivalGenival PavanelliPavanelliMMáárcio Macrcio Macáário da Cunhario da CunhaRenato Vaz de JesusRenato Vaz de Jesus
SEÇÕES CÔNICAS: Iremos aplicar nosso trabalho ao estudo de equações da forma: ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0, onde a, b,…f são números reais e pelo menos um dentre a, b e c é não nulo. Uma equação deste tipo é chamada uma equação quadrática em x e y e ax2+2bxy+cy2 é chamada a forma quadrática associada.
As cônicas mais importantes são as elipses, os círculos, as hipérboles e as parábolas, que são chamadas cônicas não-degeneradas. As demais cônicas são chamadas degeneradas e incluem pontos isolados e pares de retas.
12
2
2
2
ay
ax 12
2
2
2
by
ax
x
y
(a;0)
(0;-a)
(-a;0)
(0;a)y
(a;0)
(0;-b)
(-a;0)
(0;b)
x
CIRCUNFERÊNCIA ELIPSE
Teorema dos Eixos Principais em R2
Seja ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0, a equação de uma cônica C e seja XTAX = ax2+2bxy+cy2 a forma quadrática associada. Então os eixos coordenados podem ser girados de tal modo que a equação de C no novo sistema x’y’ tem a forma
1x’2+ 2y’2+d’x’+e’y’+f=0,onde o 1 e 2 são os autovalores de A. A rotação pode ser efetuada pela substituição x=Py onde P diagonalizaA ortogonalmente.
Onde: a ou b ou c 0.
Os seguintes exemplos recaem facilmente nas formas padrões:
Ex1.: 4x2+25y2-100=0Reduzindo obtemos:
Cujo gráfico é uma elipse.Ex2.: 9y2-4x2=-36
Reduzindo obtemos:
Cujo gráfico é uma hipérbole.Ex3.: x2+4y=0
Reduzindo obtemos: x2=-4y
Cujo gráfico é uma parábola.Ex4.:y2=0
O gráfico consiste em todos os pontos do eixo x.
1425
22
yx
149
22
yx
Ex5.:x2+9y2+9=0x2+9y2= - 9, conclui-se que não há pontos do plano que satisfazem a equação dada.
Ex6.:x2+y2=0O único ponto que satisfaz esta equação é a origem ( 0 ; 0 ).
Ex7.: x2-4y2+6x+16y-23=0x2+6x+9-4(y2-4y+4)=9+23-16(x+3)2-4(y-2)2=16 , fazendo x’=x+3 e y’=y-2 , temosx’2 - 4y’2=16 reduzindo à forma padrão,uma hipérbole.É uma hipérbole transladada do eixo xy para um eixo
x’y’ cuja origem está em (-3;2) de xy. Lembrando que o ex7 foi resolvido dessa maneira pois não havia termo cruzado (b0, de ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0).
Como obter a forma matricial de uma equação quadrática:
ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 →
Ex8.: Identifique o gráfico da equação5x2 – 6 xy + 5y2 – 24(2)1/2x + 8(2)1/2y + 56 = 0.
> implicitplot(5*x^2-6*x*y+5*y^2-24*sqrt(2)*x+8*sqrt(2)*y+56 = 0, x=0..6, y=-1..3);
0...
fyx
edyx
cbba
yx
• Escreva a equação na forma padrão.• Solução: Colocando a equação dada em forma
matricial, obtemos:
• A=
• Os autovalores de A são 1=2 e 2=8
• Autovetor associado a 1=2
• Autovetor associado a 2=8
056 28224 5335
yx
yx
yx
11
11
5335
Normalizando estes vetores obtemos P,
P= , logo PTAP=
21
21
21
21
8002
Fazendo x=Py, podemos escrever a equação transformada como
2x’2+8y’2-16x’+32y’+56=0 x’2+4y’2-8x’+16y’+28=0
Para identificar o gráfico dessa equação, precisamos transladar os eixos, de modo que completamos os quadrados para obter
(x’-4)2+4(y’+2)2=4
fazendo x”=x’-4 e y”=y’+2 11"
4" 22
yx
Cujo gráfico é uma elipse em posição padrão em relação aos eixos x”y” onde a origem do sistema de coordenadas x”y” fica em (4;-2).
Como x1= o sistema de coordenadas xy foi
rodado de um ângulo
=arctg =arctg 1, de modo que =45º
212
1
212
1
Exemplo 9: 2x2+2y2+4xy+2(2)(1/2)x+12(2)(1/2)y-8=0
> implicitplot(2*x^2+2*y^2+4*x*y+2*(2)^(1/2)*x+12*(2)^(1/2)*y-8=0,x=-5..8,y=2..-10);
•Solução: Colocando a equação dada em forma matricial, obtemos:
08 21224 2222
yx
yx
yx
Os autovalores de A são 1=0 e 2=4
Autovetor (normalizado) associado a 1=0
Autovetor (normalizado) associado a 2=4
2121
212
1
(y’2+4y’+4)-4+2x’-2=0
(y’+2)2+2(x’-3)=0
Fazemos,y’’=y’+2 e x’’=x’-3
x” = - (1/2)y”2 (parábola)
> implicitplot(x = - (1/2)*y^2 ,x=-8..5,y=-5..5);
CONCLUSÃO
Para identificar uma seção cônica não-degenerada cujo gráfico não está em posição padrão, procedemos da seguinte maneira:Se um termo cruzado aparece na equação dada, rode os eixos coordenados por meio de uma transformação ortogonal linear de modo que a equação resultante não tenha mais termos em xy.Se a equação não tem termos em xy, mas tem um termo em x2 e um termo em x e um termo em y, translade os eixos coordenados completando os quadrado de modo que o gráfico da equação resultante fique em posição padrão em relação ao novo sistema de coordenadas.