Respostas Lista 03 Cônicas

Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis

Exercícios, Lista 03 - Cônicas .

1. Dada a equação da circunferência 2 –4x – 8y + 10 + 2 = 0, determinar a

equação de uma circunferência concêntrica e de raio igual o triplo desta.

Concêntrica significa mesmo raio;

C1= 2 –4x – 8y + 10 + 2 = 0

C2=?

Como possuem o mesmo centro vamos achá-lo;

C1= 2 –4x – 8y + 10 + 2 = 0 (simplificar tudo por 2)

C1= –2x – 4y + 5 + = 0

-2a=-2 -2b=-4 centro=(1, 2)

a=1 b=2

Agora vamos achar o raio;

+ = 5

1+4-5=

0= não existe raio,ou seja, não é possível existir uma circunferência.

2. Escrever a equação da circunferência que tem centro em C=(4,-3) e raio igual a

5 e ainda determinar seus pontos de intersecção com os eixos cartesianos. c=(4,-3), r=5

A equação reduzida ficará: ( +( =

( +( =

Desenvolvendo está equação chegaremos à geral:

+ – 8x + 6y=0

pontos de intersecção:

quando a circunferência corta o eixo x o y=0,

quando a circunferência corta o eixo y o x=0

(x, 0): ( +( = -8x+16+9=25 -8x=0

x.(x-8)=0 x=0 ou x-8=0 x=8

(0, Y): ( +( = -6y+9=25 -6y=0

y.(y-6)=0 y=0 ou y-6=0 y=6

Os pontos de intersecção são: (8, 0) e (0, 6).

3. Dadas as circunferências x2 + y2 +4x +2y –4 =0 e (x-3) 2 + (y5) 2 = 49,

estudar sua posição relativa.

Considerando as equações gerais e reduzidas da circunferência:

x2 + y2 – 2ax -2by +(a2+b2-r2) =0 e (x-a) 2 +(y-b) 2 = r2

Teremos para a primeira circunferência que:

-2a= 4 a=-2 ; -2b=2 b=-1 e a2+b2-r2 =-4 4+1+4= r2 r2 =9

r=3 .

Assim o Centro da primeira circunferência será C1=(-2, -1) e seu raio r1=3

Teremos para a segunda circunferência que: a=3 ; b=5 e r2 =49 r=7

Assim o Centro da segunda circunferência será C2=(3, 5) e seu raio r2=7.

Calculando C1 C2 = 25 = 36 = 61 7,8 ; r1 + r2 = 10 e r1 - r2 = 4 e

considerando que:

Resposta: r1 + r2 C1 C2 r1 - r2 , podemos concluir que as

circunferências se interceptam em dois pontos, isto é, são concorrentes.

4. Dada a cônica 3 x2

– y2 –9 = 0, determinar:

a) Seus eixos virtual e real;

b) Sua distância focal;

c) Sua excentricidade;

d) Suas diretrizes;

e) Suas Assíntotas.

a) Temos: 3x2 – y2 –9 = 0 3x2 – y2 =9 - - =1

eixo real : (sempre está na parte positiva da equação), =3 a= 2a=2

eixo virtual : =9 b= b=3 2b=6

b) c2 = c2 = 3+9 c2 =12 c= 2c=2 2c=4

c) E= E= E = E = 2

d)diretrizes são retas perpendiculares ao eixo real.

Diretrizes=± ± = ± , como o eixo real está sobre o eixo x, então as

Diretrizes serão as retas x=± .

e)Assíntotas são retas que contém o centro da hipérbole e os pontos de

coordenadas (a, b), considerando os valores positivos e/ou negativos, conforme a

posição.

y=± y=±

Obs., se o eixo real estiver no eixo y, a equação fica: y=±

5. Dada a parábola y=–¾ , determinar:

a) Seu parâmetro;

b) Sua diretriz;

c) As coordenadas de seu foco;

d) A equação de seu eixo;

e) O esboço de seu gráfico.

a) Considerando as equações da parábola : x2 =±2py e y2 =±2px (onde p é seu

parâmetro).

Temos: y=–¾ x2 x2 = x2 = x2 = y

2p= p= p= -

b)diretriz é a reta perpendicular ao eixo da parábola, tem equação:y=-p/2

y= y=1/3

c)foco é a metade do parâmetro, como o foco está no eixo y temos (0, p/2),

p/2 = -1/3, então F=(0, -1/3)

d)como o eixo da parábola está no eixo y, temos a reta x=0

e)esboço:

1/3 (diretriz)

-1/3 (foco)

6. Dada a cônica + 16 –144 = 0, determinar:

a) Seus eixos Maiores e Menores;

b) Sua distância focal;

c) Sua excentricidade;

d) Suas diretrizes;

e) Esboço de seu gráfico.

a) Temos: x2 +16y2 –144 = 0 x2 +16y2 =144 +

+ =1

eixo maior,sempre do lado maior: = 144 a= a= 2a=24

eixo menor,: = 9 b= b=3 2b=6

b)distancia focal: a2 = 144=9+ 144-9 c= 2c=2

c)excentricidade é a relação entre a semi-distância focal e o semi-eixo maior,

E= E=

d)diretrizes:x=± x=±

e)esboço:

diretriz

7. Determinar a equação de uma cônica de eixo real igual a 8 e distância focal igual

a 10, cujo centro é o ponto C=(–2 , 5 ) e seu eixo virtual é paralelo ao eixo das

abscissas.

Temos: 2a = 8 a = 4 e 2c =10 c = 5, b2 = c2- a2 = 25-16 = 9 b = 3.

Considerando a equação da Hipérbole com eixo real em y e centro C=(-2,5). fora

da origem:

- -

8. Determinar a equação geral da parábola, sendo seu foco F=(–1,1) e sua diretriz a

reta y=x.

Considerando um ponto P=(x,y) qualquer da parábola devemos ter a relação PF =

Pd (F é o foco e d a diretriz da parábola).

Calculando PF = PF=

PF=

Calculando PD= PD= =

como PF=PD

= , elevamos os dois lados ao quadrado:

=

2.( )= 2 = 2 - =0

=0

9. Identificar as eventuais cônicas representadas pelas equações e determinar a

equação reduzida correspondente: a) + 2x + 2y + 2 + 4 = 0

b) 2 – 3x + 2y– 3 = 0

c) 5x – 2y + 10 + 4 = 0

d) – 2x – 2y + 2xy + 4 = 0

e) 2x + 4xy – 4 = +9

a Considerando a equação geral de uma cônica Ax2+By

2+Cxy+Dx+Ey+F =0

Temos:

y2+2x+2y+2+4x

2 = 0 A=4; B=1; C=0; D=2; E=2 e F=2, Assim:

G= =-1-4+8=3, H= =4-0=4, I=4+1=5

Resposta: G=3 ‡ 0; H=4 0; GI = 150 Cônica FALSA

Equação Reduzida correspondente: Não aplicável pois a equação não representa

uma Cônica.

b) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 By

2+Cxy+Dx+Ey F =0 Temos:

2y2 – 3x + 2y– 3x

2 = 0 A=-3; B=2; C=0; D=-3; E=2 e F=0, Assim:

G= =-18/4+3=-3/2, H= =-6, I=-3+2=-1

Resposta: G= -3/2 ‡ 0; H=-6 0 HIPERBOLE

Equação Reduzida correspondente: mx2+ny

2+p=0 ; onde m+n =I. mn=H e p=

G/H; então teremos:

m+n =-1

mn=-6

m2 + m -6 =0 m1=2 e n1 = -3 ou m2=-3 e n2 =2; p = ¼

Portanto uma das Equações reduzidas correspondente pode ser: Resposta: 2x2-

3y2+¼=0

C) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F =0

Temos:

5x – 2y + 10 + 4x2 = 0 A=4; B=0; C=0; D=5; E=-2 e F=10; Assim:

G= =-4, H= =0, I=4+0=0

Resposta: G= -4 ‡ 0; H=0 PARABOLA.

Equação Reduzida correspondente: mx2+ny =0 ; onde m =I. n= ; então

teremos:

m =4 e n =2 4x2+2y =0 4x

2=-2y x

2=-½y

Portanto uma das Equações reduzidas correspondente pode ser: Resposta:

x2=-½y

d) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey F =0

Temos:

y2 – 2x – 2y + 2xy + 4x

2 = 0 A=4; B=1; C=2; D=-2; E=-2 e F=0, Assim:

G= =-1-4+1+1=-3, H= =4-1=3, I=4+1=5

Resposta: G=-3 ‡ 0; H=3 0; GI = -150; A‡B e C ‡0 ELIPSE.


2+p=0 ; onde m+n =I. mn=H e

p=G/H, então teremos:

m+n=5

m.n=3

m2 -5 m +3 =0 m1 =5+ , n1 = 5- OU

m2= 5- , e n2 = 5+ , p=-1


5+ . +5- . -1=0

e) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F =0

Temos:

2x + 4xy – 4x2 - y

2 -9 =0 A=-4; B=-1; C=4; D=2; E=0 e F=-9; Assim:

G= =1, H= =0. I=-5

Resposta: G= 1 ‡ 0; H=0 PARABOLA.


teremos:

m =-5 e n=4 ∕5 -5x2+4 ∕5 y =0 5x

2=4 ∕5 y x

2= (2/5√5)y

x2= (2√5/25) y


x2= (2√5/25) y

10. Verificar se representam Cônicas as equações abaixo e, conforme o caso,

Identificar e obter sua Equação Reduzida correspondente: a) + –2x + 4y –20 = 0

b) + –2y + 4x + 5 = 0

c) 3 + 3 –14y + 10xy –2x – 13 = 0

d) 25 + 25 –14xy + 64x – 64y – 224 = 0

e) – 4xy + 7x – 12 + 4 = 0

f) 10xy + 8x + 2 – 15 + 12 – 15y = 0

g) 8x +3 – 8xy + 20 – 7 – 15y = 0

h) 9 + 4 –2y + 8x + 3 = 0

i) 25 + 4 + 20y – 20xy – 12x – 17 = 0

j) 2 – 8y + 4x – 40 + 2 = 0

a) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F =0

Temos:

x2 + y2 –2x + 4y –20 = 0 A=1; B=1; C=0; D=-2; E=4 e F=-20, Assim:

G= =-25, H= =1, I=1+1=2

Resposta: G=-25‡0; H=1 0; GI=-500; A=B e C=0 CIRCUNFERÊNCIA.

b) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F =0

Temos:

x2 + y2 –2y + 4x + 5 = 0 A=1; B=1; C=0; D=4; E=-2 e F=5, Assim:

G= =0, Resposta: G= 0; Cônica FALSA

c) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F =0

Temos:

3x2 + 3y2 –14y + 10xy –2x – 13 = 0 A=3; B=3; C=10; D=-2; E=-14 e F=-13,

Assim:

G= =-67 H= =-16, I=6

Resposta: G= 128 ‡ 0; H=-16 0 HIPERBOLE




m+n =6

mn=-16

m=8 e n=-2 ou m=-2 e n=8


8x2-2y

2+67/16=0

d) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F=0

Temos:

25x2 + 25y2 –14xy + 64x – 64y – 224 = 0 A=25; B=25; C=-14; D=64; E=-64 e

F=-224, Assim:

G= =-165.888 H= =576 I=25+25=50

Resposta: G=‡ 0; H 0; GI = 0; A=B e C ‡0 ELIPSE.


2+p=0 ; onde m+n =I. mn=H e

p=G/H, então teremos:

m+n=50 p=-288

m.n=576

50m+576=0 m1=32 e n1=18 ou m2=18 e n2=32


32 +18 -288

e) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F =0

Temos:

x2– 4xy + 7x – 12 + 4y2 = 0 A=1; B=4; C=-4; D=7; E=0 e F=-12; Assim:

G= =-49 H= =0 I=5

Resposta: G= 1 ‡ 0; H=0 PARABOLA.


teremos:

m=5

n= =14/

equação 5 +14/ =0

f) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F =0

Temos:

10xy + 8x + 2x2 – 15 + 12y2 – 15y = 0 A=2; B=12; C=10; D=8; E=-15 e F=-

15, Assim:

G= =-1179/2 H= =-1 I=14

Resposta: G ‡ 0; H=-1 0 HIPERBOLE




m+n =14 p= =1179/2

mn=-1

-14m-1=0, temos m1=14+5 e n1=-5 ou m2=14-5 e n2=5


(14+5 x2+5 y

2+1179/2=0

g) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F=0

Temos:

8x +3x2 – 8xy + 20 – 7y2 – 15y = 0 A=3; B=-7; C=-8; D=8; E=-15 e F=20,

Assim:

G= =-2227/4 H= =-37 I=-4





m+n =-4 p= =2227/148

mn=-37

+4m-37=0, temos m1=-4+ e n1= ou m2=-4- e n2=+


(-4+ x2+ y

2+2227/148=0

h) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F=0

Temos:

9x2 + 4y2 –2y + 8x + 3 = 0 A=9; B=4; C=0; D=8; E=-2 e F=3, Assim:

G= =35 H= =36 I=13

Resposta: G‡ 0, H=36 0; GI 0 Cônica FALSA

i) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F=0

Temos:

25 + 4 + 20y – 20xy – 12x – 17 = 0 A=25; B=4; C=-20; D=-12; E=-0 e

F=-17, Assim:

G= =-1444 H= = 0 I=29

Resposta: G= -1444 ‡ 0; H=0 PARABOLA.


teremos:

m=29

n= =76/

equação 29 +76/ =0

j) Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F =0

Temos:

2x2– 8y + 4x – 40 + 2y2 = 0 A=2; B=2; C=0; D=4; E=-8 e F=-40, Assim:

G= =-200 H= =4 I=4

Resposta: G=-200‡0; H=4 0; GI0; A=B e C=0 CIRCUNFERÊNCIA.

11. Dada a circunferência de centro C=(4,3) e raio=5, escrever sua equação e

determinar os pontos em que a mesma intercepta os eixos cartesianos. c=(4,3), r=5

A equação reduzida ficará: ( +( =

( +( =

Desenvolvendo está equação chegaremos à geral:

+ – 8x - 6y=0

pontos de intersecção:

quando a circunferência corta o eixo x o y=0,

quando a circunferência corta o eixo y o x=0

(x, 0): ( +( = -8x+16+9=25 -8x=0

x.(x-8)=0 x=0 ou x-8=0 x=8

(0, Y): ( +( = -6y+9=25 -6y=0

y.(y-6)=0 y=0 ou y-6=0 y=6

Os pontos de intersecção são: (8, 0) e (0, 6).

12. Dada a cônica 6 − 3 − 2 = 0, determinar seus eixos, distância focal e

excentricidade.

6 − 3 − 2 = 0 3 +2 =6 + = + =1

eixo maior,sempre do lado maior: = 3 a= 2a=

eixo menor,: = 2 b= 2b=

b)distancia focal: a2 = 3=2+ 3-2 c= c=1 2c=2

c)excentricidade é a relação entre a semi-distância focal e o semi-eixo maior,

E= E=

13. Identificar o tipo e obter a equação reduzida da cônica:

2x −6xy + + 8y − −4 = 0.

Considerando a equação geral de uma cônica Ax2 + By

2 + Cxy + Dx + Ey + F =0

Temos:

2x −6xy + + 8y − −4 = 0 A=1; B=-1; C=-6; D=2; E=8 e F=-4, Assim:

G= =1 H= =-10 I=0





m+n =0 p=

mn=-10

=10, temos m1= e n1=- ou m2=- e n2=


- -1/10=0

Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.

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