CÔNICAS
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CÔNICASCÔNICAS
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CônicasCônicas 22
CLASSIFICAÇÃO CLASSIFICAÇÃO
DE CÔNICASDE CÔNICAS
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CÔNICAS NÃO CÔNICAS NÃO DEGENERADASDEGENERADAS
CônicasCônicas 33
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• Estudaremos as Estudaremos as (seções) cônicas, (seções) cônicas, curvas planas curvas planas que são obtidas que são obtidas da intersecção da intersecção de um cone de um cone circular com um circular com um plano.plano.
CônicasCônicas 44
CÔNICAS
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CônicasCônicas 55
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CônicasCônicas 66
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CônicasCônicas 77
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• Vamos definí-las como conjunto de Vamos definí-las como conjunto de pontos que satisfazem certas pontos que satisfazem certas propriedades e determinar as propriedades e determinar as equações na forma mais simples. equações na forma mais simples.
CônicasCônicas 88
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ELIPSEELIPSE
CônicasCônicas 99
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DEFINIÇÃO
• Dados dois pontos Dados dois pontos FF11 e e FF22 chamamos chamamos elipseelipse o conjunto dos pontos o conjunto dos pontos PP do do plano tais que plano tais que d(P,Fd(P,F11)+d(P,F)+d(P,F22)=2a)=2a..
CônicasCônicas 1010
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ELIPSEELIPSE
CônicasCônicas 1111
Elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
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CônicasCônicas 1212
ELIPSEELIPSE
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• FocosFocos: : são os pontos Fsão os pontos F11 e F e F22,,• Distância FocalDistância Focal: : é a distância 2c é a distância 2c
entre os focos,entre os focos,• CentroCentro: : é o ponto médio C do é o ponto médio C do
segmento Fsegmento F11FF22,,• VérticesVértices: : são os pontos Asão os pontos A11, A, A22, B, B1 1 e e
BB22,,• Eixo maiorEixo maior: : é o segmento Aé o segmento A11AA22 de de
comprimento 2a ( o segmento Acomprimento 2a ( o segmento A11AA2 2 contém os focos e os seus extremos contém os focos e os seus extremos pertencem a elipse),pertencem a elipse),
• Eixo menorEixo menor: : é o segmento Bé o segmento B11BB22 de de comprimento 2b (Bcomprimento 2b (B11BB2 2 ḻ ḻ AA11AA2 2 no seu no seu ponto médio).ponto médio).
• Excentricidade:Excentricidade: é o número é o número ee dado dado por por e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1.e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1.
CônicasCônicas 1313
Elementos da ElipseElementos da Elipse
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CônicasCônicas 1414
Equação Reduzida da Elipse
• Eixo maior sobre o eixo dos x:Eixo maior sobre o eixo dos x:
• Eixo maior sobre o eixo dos yEixo maior sobre o eixo dos y
• Relação fundamental:Relação fundamental:
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a b c2 2 2
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Equação da Elipse com Centro na Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:x:
Proposição 1. Proposição 1. (a) (a) A equação de uma A equação de uma elipse elipse cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é= (c, 0) é
CônicasCônicas 1515
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CônicasCônicas 1616
Equação da Elipse com Centro na Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:x:
a
c
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• Proposição 1. Proposição 1. (b) (b) A equação de uma A equação de uma elipse elipse cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é= (0, c) é
CônicasCônicas 1717
Equação da Elipse com Centro na Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos y:y:
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bx
2
2
2
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CônicasCônicas 1818
Equação da Elipse com Centro na Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo maior sobre o eixo dos Origem e Eixo maior sobre o eixo dos y:y:
ac
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OBSERVAÇÕESOBSERVAÇÕES• Como temos que .Como temos que .
• Então, sempre o maior dos denominadores Então, sempre o maior dos denominadores da equação reduzida representa o número da equação reduzida representa o número onde onde aa é a medida do semi-eixo maior. é a medida do semi-eixo maior.
• E mais, se na equação da elipse o número E mais, se na equação da elipse o número é denominador de , a elipse tem seu eixo é denominador de , a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo x.maior sobre o eixo x.
CônicasCônicas 1919
a b c2 2 2 ba 22 ba
2a
2a2x
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EXEMPLOSEXEMPLOS
1.1. Determinar: a medida dos semi-eixos, um Determinar: a medida dos semi-eixos, um esboço do gráfico, os focos e a esboço do gráfico, os focos e a excentricidade:excentricidade:
(a) (a)
(b)(b)
CônicasCônicas 2020
225259 22 yx
1100y
36x 22
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2. 2. Deduza uma equação da elipse de focos Deduza uma equação da elipse de focos F1 = (-3, 0) e F2 = (0, 4) e eixo maior F1 = (-3, 0) e F2 = (0, 4) e eixo maior 7. 7.
3. Determine a equação da elipse que tem 3. Determine a equação da elipse que tem centro C(0,0), um foco F(3/4,0) e um centro C(0,0), um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0).vértice A(1,0).
CônicasCônicas 2121
EXEMPLOSEXEMPLOS
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APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
2222
A figura mostra os planetas girando em torno do Sol. Foi o astrônomo e matemático Johannes Kepler (1571-1630) que formulou 3 leis que regem o movimento planetário. Uma delas diz que um planeta gira em torno do Sol em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.
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CônicasCônicas 2323
APLICAÇÕESAPLICAÇÕESNo caso da Terra os semi-eixos são a =
153.493.000km e b = 153.454.000 km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra: (quase uma circunferência)
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• Arcos em forma de semi-elipse são muito Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos concreto e de pedras (desde os antigos romanos)romanos)
CônicasCônicas 2424
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
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• Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias.estacionárias.
• Engenharia Mecânica: são usadas Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos).engrenagens elípticas (excêntricos).
CônicasCônicas 2525
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
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HIPÉRBOLEHIPÉRBOLE
CônicasCônicas 2626
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CônicasCônicas 2727
• Dados dois pontos F1 e F2 chamamos hipérbole o conjunto dos pontos P do plano tais que |d(P,F1) - d(P,F2)|=2a (0<2a<2c, 2c= d(F1,F2) ).
DEFINIÇÃO
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Elementos da Hipérbole
• Focos:Focos: são os pontos Fsão os pontos F11 e F e F22,,• Distância Focal:Distância Focal: é a distância 2c é a distância 2c
entre os focos,entre os focos,• Centro:Centro: é o ponto médio C do é o ponto médio C do
segmento Fsegmento F11FF22,,• Vértices:Vértices: são os pontos Asão os pontos A11 e A e A22,,• Eixo Real ou transverso:Eixo Real ou transverso: é o é o
segmento Asegmento A11AA22 de comprimento 2a, de comprimento 2a,• Eixo imaginário ou conjugado:Eixo imaginário ou conjugado: é o é o
segmento Bsegmento B11BB22 de comprimento de comprimento 2b,2b,
• Excentricidade:Excentricidade: é o número é o número ee dado por dado por e=c/a. Como c>a, e=c/a. Como c>a, temos e>1.temos e>1.
CônicasCônicas 2828
222 bac
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• Eixo real sobre o eixo dos x:Eixo real sobre o eixo dos x:
• Eixo real sobre o eixo dos y:Eixo real sobre o eixo dos y:
CônicasCônicas 2929
Equação Reduzida da Hipérbole
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• Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) é
CônicasCônicas 3030
Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:
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CônicasCônicas 3131
Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:
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•Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é
CônicasCônicas 3232
Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:
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CônicasCônicas 3333
Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:
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CônicasCônicas 3434
Assíntotas• As retas são chamadas assíntotas da hipérbole.
• São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos.
xaby
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EXEMPLOEXEMPLO
• 1. Determinar na hipérbolea)A medida dos semi-eixosb)Um esboço gráficoc)Os vérticesd)Os focose)A excentricidadef)As equações das assínotas
CônicasCônicas 3535
06379 22 yx
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CônicasCônicas 3636
EXEMPLOEXEMPLO
• 2. Determinar na hipérbolea)A medida dos semi-eixosb)Um esboço gráficoc)Os vérticesd)Os focose)A excentricidadef)As equações das assínotas
164x
100y 22
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• 3. Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida 6.
• R:
• 4. Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(-2,1) e F2(1,3) e eixo real 2.
• R:
CônicasCônicas 3737
EXEMPLOEXEMPLO
116x
9y 22
07924764820 2 yxxyx
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• Recentemente, experimentos físicos mostraram que partículas carregadas atiradas em núcleos de átomos se espalham ao longo de trajetórias hiperbólicas.
• Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol).
• Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco).
CônicasCônicas 3838
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
![Page 39: CÔNICAS](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070502/56814d4c550346895dba799d/html5/thumbnails/39.jpg)
• O O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação aérea usam a hipérbole.
• Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão).
CônicasCônicas 3939
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
![Page 40: CÔNICAS](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070502/56814d4c550346895dba799d/html5/thumbnails/40.jpg)
CônicasCônicas 4040
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
![Page 41: CÔNICAS](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070502/56814d4c550346895dba799d/html5/thumbnails/41.jpg)
PARÁBOLAPARÁBOLA
CônicasCônicas 4141
![Page 42: CÔNICAS](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070502/56814d4c550346895dba799d/html5/thumbnails/42.jpg)
CônicasCônicas 4242
Parábola
• Dados um ponto F e uma reta d, com , seja p = d(F,d). Chamamos parábola o conjunto dos pontos P do plano que são equidistantes de F e d, i. é., d(P,F)= d(P,d).
dF
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CônicasCônicas 4343
Parábola
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CônicasCônicas 4444
Elementos da Parábola
• Foco:Foco: é o ponto F,é o ponto F,• Diretriz:Diretriz: é a reta é a reta dd,,• Eixo:Eixo: é a reta que passa pelo foco e é é a reta que passa pelo foco e é
perpendicular à diretriz,perpendicular à diretriz,• VérticeVértice: : é o ponto V de interseção da é o ponto V de interseção da
parábola com seu eixo,parábola com seu eixo,• d(V,F)=d(V,A)d(V,F)=d(V,A)
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CônicasCônicas 4545
Equação Reduzida da Parábola
• O eixo da parábola é o eixo dos y:
• Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para cima e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para baixo.
py2x 2
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CônicasCônicas 4646
Equação Reduzida da Parábola
• O eixo da parábola é o eixo dos x:
• Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para a direita e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda.
px2y 2
![Page 47: CÔNICAS](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070502/56814d4c550346895dba799d/html5/thumbnails/47.jpg)
• 1. Achar as coordenadas do foco e a equação da diretriz das parábolas
a) b)
CônicasCônicas 4747
EXEMPLOEXEMPLO
xy 82
yx 82
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• 2. Determine a equação da parábola sabendo que:a) Vértice V(0,0) e foco F(-1,0)
b) Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e concavidade voltada para cima.
CônicasCônicas 4848
EXEMPLOEXEMPLO
![Page 49: CÔNICAS](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070502/56814d4c550346895dba799d/html5/thumbnails/49.jpg)
• (a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola.
CônicasCônicas 4949
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
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CônicasCônicas 5050
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
• (b) Se um espelho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo).
• Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e confluem para o retransmissor).
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• (c) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da gravidade, a trajetória é uma parábola.
CônicasCônicas 5151
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
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TRANSLAÇÃO DE EIXOSTRANSLAÇÃO DE EIXOS
CônicasCônicas 5252
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Translação de Eixos
Consideremos no plano cartesiano xoy um ponto o’(h,k), arbitrário.
Vamos introduzir m novo sistema x’o’y’ tal que os eixos o’x’ o’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos ox e oy.
Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos.
CônicasCônicas 5353
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• Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são:x e y em relação ao sistema xoy,x’ e y’ em relação ao sistema x’o’y’.Pela figura anterior, obtemos:x=x’+h e y=y’+k
Ou x’=x-h e y’=y-k
que são as fórmulas de translação e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro.
CônicasCônicas 5454
Translação de Eixos
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• 1º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y.A equação da parábola de vértice V(h,k) é:
• 2º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x.
CônicasCônicas 5959
Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema
)(2)( 2 kyphx
)(2)( 2 hxpky
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• Sabemos que a equação da parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma padrão:
• Uma equação nessa forma pode ser escrita como:
que é chamada forma explícita da equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo dos y.
• Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma explícita é
correspondente à forma padrão .
CônicasCônicas 6060
Equação da Parábola na Forma Explícita
)(2)( 2 kyphx
cbxaxy 2
cbyayx 2
)(2)( 2 hxpky
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ExemploExemplo• 1. Determine a equação da parábola de
foco em F(1,2) e diretriz d:x=5
• Observação: Para completar o quadrado da expressão: somamos o quadrado da metade do coeficiente de y, isto é, .
• 2. Determinar o vértice, um esboço gráfico, o foco e a equação da diretriz da parábola
CônicasCônicas 6161
qyy 22
2
q
01862 xyy
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• 1º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo x.A equação da elipse de centro C(h,k) é:
• 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y.
CônicasCônicas 6262
Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema
1bk)-(y
ah)-(x
2
2
2
2
1ak)-(y
bh)-(x
2
2
2
2
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• 1. Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação
CônicasCônicas 6363
ExemploExemplo
0436894 22 yxyx
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• 1º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos x.
A equação da hipérbole de centro C(h,k) é:
• 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y.
CônicasCônicas 6464
Equação da Hipérbole de Centro Fora da Origem do Sistema
1bk)-(y
ah)-(x
2
2
2
2
1bh)-(x
ak)-(y
2
2
2
2
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• 1. Determinar o centro, um esboço do gráfico,os vértices e os focos da hipérbole de equação:
CônicasCônicas 6565
ExemploExemplo
043161849 22 yxyx
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CônicasCônicas 6666
ExemploExemplo
• 2. Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e esboçar o gráfico da equação.
• A)A)• B)B)• C)C)
0362444 22 yxyx0114822 yxyx
017682 yxy
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CônicasCônicas 6767
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
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CônicasCônicas 6868
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
![Page 65: CÔNICAS](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070502/56814d4c550346895dba799d/html5/thumbnails/65.jpg)
CônicasCônicas 6969
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
+
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CônicasCônicas 7070
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
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CônicasCônicas 7171
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
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CônicasCônicas 7272
Equação Geral do Segundo GrauEquação Geral do Segundo Grau
Portanto o gráfico de uma equação do segundo grau pode ser:1.Uma elipse2.Uma hipérbole3.Uma parábola4.Um par de retas5.Uma única reta6.Um ponto ou7.Conjunto vazioDe 1 a 6 chamamos cônicas e de 4 a 6 cônicas degeneradas.
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CônicasCônicas 7373
ProposiçãoProposição
• Proposição: O gráfico de uma equação do 2º grau, isto é, o gráfico de uma equação da forma
ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0, a, b ou c não nulo é uma cônica.
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CônicasCônicas 7474
Sessões CônicasSessões Cônicas
![Page 71: CÔNICAS](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022070502/56814d4c550346895dba799d/html5/thumbnails/71.jpg)
CônicasCônicas 7575
Sessões CônicasSessões Cônicas
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CônicasCônicas 7676
Sessões CônicasSessões Cônicas
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CônicasCônicas 7777
Sessões CônicasSessões Cônicas
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CônicasCônicas 7878
FIMFIM