Medianeira, Paraná

2013

Notas de aula destinada à disciplina de

Geometria Analítica, para os cursos de

Engenharia.

Prof.a

Msc.Priscila Pigatto Gasparin

Adaptada dos livros:

Jacir Venturini e Paulo Winterle

2

Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não- perpendiculares.

Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360 graus em torno de e mantendo

constante o ângulo entre estas retas. Nestas condições, a reta g gera uma superfície

cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O. (Figura 1)

Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano qualquer que não passa

pelo vértice O, a cônica será:

a) Uma parábola, se for paralelo a uma geratriz da superfície (Figura 2(a))

b) Uma elipse, se não for paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das

folhas da superfície (Figura 2(b))

c) Uma hipérbole, se não é paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da

superfície (Figura 2(c)). A hipérbole deve ser vista como uma curva só, constituída de

dois ramos, um em cada folha da superfície.

Observação:

As superfícies cônicas deve ser interpretadas de forma ilimitada, isto é, constituídas de

duas folhas que se estendem indefinidamente em ambos os sentidos.

A reta g é chamada de geratriz da superfície

cônica e a reta e eixo da superfície.

Chama-se secção cônica, ou simplesmente,

cônica, ao conjunto de pontos que formam a

interseção de um plano com a superfície

cônica.

Figura 1

Figura 2

3

Se cada um dos planos secantes da Figura 2 forem transladados

paralelamente até chegarem ao vértice O obteremos as respectivas cônicas

“degeneradas”da Figura 3.

a) reta b) ponto c) duas retas

As cônicas foram de fundamental importância para o desenvolvimento da astronomia

sendo descritas na antiguidade por Apolônio de Perga. Mais tarde Kepler e Galileu

mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos naturais como nas trajetórias de

um projétil ou de um planeta.

1 PARÁBOLA

Definição: Parábola é um conjunto de todos os pontos de um plano equidistante de um

ponto fixo e de uma reta fixa desse plano.

Elementos da Parábola

Figura 3

Figura 4

4

Equações Canônicas ou Reduzidas da Parábola

5

6

Aplicações da Parábola

7

Exemplos:

1) Para cada uma das parábolas yx 82 e 2

2

1yx . Construir o gráfico e encontrar

o foco e uma equação da diretriz.

2) Faça um esboço do gráfico e encontre uma equação da parábola que satisfaça as

condições:

a) vértice V(0,0) F(1,0)

b) vértice V(0,0) e diretriz 3y

c) vértice V(0,0) passa pelo ponto P(-2,5) e concavidade voltada para cima

1.1 Translação de eixos

a) Eixo da parábola é paralelo ao eixo do y

8

Com origem no ponto V, o sistema ''' yOx ( VO ' ). A parábola em relação a este

sistema tem vértice na origem, portanto sua equação reduzida é '2'2 pyx

Como para todo ponto P da parábola temos hxx ' kyy ' . Desta forma, temos

a seguinte equação: )(2)( 2 kyphx .

b) O eixo da parábola é paralelo ao eixo do x.

Tem com equação )(2)( 2 hxpky

Exemplos:

1) Determinar uma equação da parábola de vértice V(3,-2) eixo paralelo a y e

parâmetro p = 1

2) Dada a parábola de equação 017862 xyy determinar:

a) Equação reduzida

b) Vértice

c) Esboço do gráfico

d) Foco e uma equação diretriz

1.2 Equações Paramétricas

OBS: Se p > 0 a parábola está

voltada para cima e p < 0 está

voltada para baixo.

OBS: Se p > 0 a parábola está

voltada para direita e p < 0 está

voltada para esquerda.

9

Consideremos a equação reduzida da parábola cujo eixo é do y pyx 22 . Nesta

equação onde x pode assumir qualquer valor real, temos que x = t (em que t é

chamado de parâmetro) teremos então: 2

2

1t

py

As equações paramétricas da parábola são dadas por:

ttp

y

tx

;2

1 2 ou

tty

tp

x

;

2

1 2

Com vértice V(0,0) e eixo 0x.

Exemplo:

1) Obter equações paramétricas da parábola de equações yx4

12

1) Construa o gráfico e encontre o foco e uma equação diretriz:

a) yx 42 b) xy 62 c) 02 yx

2) Determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma

equação do eixo da parábola de equação dada. Esboce o gráfico:

a) 012842 yxx

b) 0492162 yxy

3) Obter a equação da parábola que tem como gráfico:

4) Esboçar o gráfico da parábola de equação )3(12)1( 2 yx

10

5) A parábola abaixo configurada tem equação 0652 yxx . Achar as

coordenadas nos pontos A, B e C.

6) Obtenha os pontos de interseção das parábolas 12 xy e 32 xy . Calcule

os vértices e as interseções de cada parábola com os eixos cartesianos.

7) Encontre uma equação paramétrica da parábola de equação:

a) xy 42

b) )1(2)4( 2 yx

c) 0142 xyy

Respostas

1) a) F(0,-1) diretriz 1

b) F(3/2,0) diretriz -3/2

c) F(0,-1/4) diretriz ¼

2) a) 2( 2) 8( 1)x y V(-2,-1) F(-2,-3) Diretriz -1

b) 2( 1) 16( 3)y x V(3,-1) F(7,-1) Diretriz -1

3) 2( 3) 8( 3)y x

11

5) A(2,0) B(3,0) C(0,6)

6) P(-1,2) P´(1,2)

7) a)

21

4x t

y t

b) 2

4

12

x t

ty

c)

2 3

2

x t

y t

2 ELIPSE

Definição: Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das

distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que, a distância

d(F1,F2) = 2c e um número real positivo a com 2a > 2c. Chamando 2ª a constante da

definição um ponto P pertencente a elipse, se e somente se,

Elementos da Elipse

Do triângulo retângulo B2OF2 hachurado na elipse, obtemos a relação notável:

222 cba

Observação: Denomina-se “eixo maior”o segmento 21 AA e de “eixo menor”o

segmento 21BB .

Excentricidade

aFPdFPd 2),(),( 21 da

mesma forma para

aFQdFQd 2),(),( 21

12

Uma importante característica da elipse é a sua excentricidade, que é definida pela

relação: 10, a

c

Como a e c são positivos e c < a depreende-se que 10 .

Quanto mais próximo de zero for o valor de , mais a elipse se aproxima de uma

circunferência. Por outro lado, quanto mais achatada for a elipse, mais o valor de se

aproxima de 1.

Uma vez fixo o valor de a, há uma correspondência entre o valor de e a

distância entre os focos, e quanto mais achatada for a elipse, maior a distância entre

os focos.

Temos que os valores extremos do domínio de :

- Se = 0 tem-se uma circunferência de diâmetro 2a e os focos F1 e F2, coincidem

com o centro da circunferência.

- se = 1 tem-se segmento retilíneo F1F2

2.1 Equação canônica ou reduzida da elipse de centro na origem

a) O eixo maior coincide com o eixo x.

13

b) O eixo maior coincide com o eixo y

14

Exemplos

1) Dada a equação da elipse 144916 22 yx pede-se;

a) Equação Canônica

b) Excentricidade

c) Gráfico, coordenadas dos focos e dos vértices.

2) Obter a equação da elipse com centro na origem do sistema cartesiano, eixo focal

coincidente com o eixo x, que passa pelo ponto )1,1(P e cuja excentricidade é igual a

2

2.

15

Construção de uma Elipse

Aplicações Práticas de uma Elipse

2.2 Equação da Elipse cujo centro é ),(' 00 yxO e cujos eixos são paralelos aos

eixos coordenados.

a) O eixo maior é paralelo ao eixo x.

16

b) O eixo maior é paralelo ao eixo y.

17

Exemplos

1) Determinar as equações das elipses representadas:

a)

b)

2) Dada a elipse de equação 0436894 22 yxyx . Determinar:

a) Equação canônica ou reduzida;

b) Centro;

c) Vértices;

d) Focos;

e) Excentricidade;

f) Gráfico

18

2.3 Equação Paramétrica

Consideremos a elipse de equação 12

2

2

2

b

y

a

x. Fazendo a circunferência de centro

O e raio igual ao semi-eixo maior a da elipse.

Seja P(x,y) um ponto qualquer desta elipse. A reta que passa por P e é paralela

ao eixo dos y, intercepta a circunferência em A e o raio AO determina o eixo dos x um

ângulo . Do triângulo A’AO vem cos.' OAOA ou cos.ax .

Como x é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada y do mesmo ponto é

calculada substituindo o valor de x na equação da elipse:

1)cos.(

2

2

2

2

b

y

a

a em que 22

2

2

cos1 senb

y e senby .

Observemos que, para cada valor corresponde um e um só ponto P da

elipse e quando varia de 0 a 2 , o ponto P parte de (a,0) e “descreve”a elipse no

sentido anti-horário. Então é o parâmetro e o sistema:

senby

ax

.

cos. 20

Observações:

1) No caso da elipse ser 12

2

2

2

a

y

b

x (eixo maior sobre Oy) suas equações

paramétricas são:

senay

bx

.

cos.

2) Quando o centro da elipse for C(xo, yo) pela translação de eixos obtemos:

bsenyy

axx

0

0 cos (eixo maior paralelo a Ox)

asenyy

bxx

0

0 cos (eixo maior paralelo a Oy)

Equações Paramétricas da Elipse.

19

3) O sistema de equações:

cos.

.

by

senax 20 . Descreve de outra forma a

mesma elipse dada pelo sistema, porém neste caso o ponto P parte de (0,b) e

“descreve”a elipse no sentido horário.

Exemplo

1) Obter as equações paramétricas da elipse de equação:

a) 4002516 22 yx

b) 061165449 22 yxyx

1) Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo:

a)

20

b)

2) Calcular a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor

mede 8.

3) Escreva a equação canônica da elipse com centro na origem eixo focal sobre o eixo

y e cuja medida do eixo maior é 5 e do eixo menor é 2.

4) Calcular a excentricidade da elipse 2 225 16 400x y

5) A Terra move-se à volta do Sol com uma órbita elíptica e o Sol ocupa um dos focos.

O comprimento do eixo maior é 14957000 Km e a excentricidade é 0,0167. Determine

uma distância a que a Terra fica do Sol.

6) Uma elipse tem centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, passa pelo ponto

(1,1)A e tem um foco em 6

,02

F

. Calcular a excentricidade da elipse.

7) Uma elipse tem os focos em 1 3,0F e 2 3,0F e excentricidade igual a 0,5.

Forneça a sua equação e a sua área S (da geometria .S a b )

8) Obter a equação da elipse com centro em ´ (8, 2)O com b = 1 3c

Respostas:

1) a)

2 2

116 25

x y b)

2 2

114 5

x y

2) 2 6c

3)

2 241

1 25

x y

21

4) 3

5

5) 7353609,1 km

6) 2

2

7) 2 2

136 27

x y e 18 3S u.a

8) 2 2( 8) ( 2)

14 1

x y

3 HIPÉRBOLE

Definição: É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias,

em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância

d(F1,F2)=2c e um número real positivo a de modo que 2a < 2c. Chamando de 2a a

constante da definição, um ponto P pertence à hipérbole, se e somente se,

aFPdFPd 2),(),( 21 .

A hipérbole é uma curva com dois ramos e o valor absoluto pode ser

desconsiderado desde que adotemos a diferença entre a maior e a menor distância.

22

3.1 Elementos da Hipérbole

Observação: Por abuso de linguagem, denomina-se “eixo real”o segmento A1A2 e

“eixo imaginário” o segmento B1B2. O eixo imaginário tem como reta suporte a

mediatriz do segmento A1A2. Do triângulo retângulo B2OA2, hachurado, obtemos a

relação notável: 222 bac

Excentricidade da Hipérbole

É definida pela relação a

c )1(

Como a e c são positivos e c > a, conclui-se que 1 .

Há uma proporcionalidade entre a excentricidade e a abertura da hipérbole: quanto

maior a excentricidade maior a abertura e vice-versa.

3.2 Equação canônica da hipérbole de centro na origem

a) O eixo real coincide com o eixo x.

23

Agora, empregando as mesmas operações para deduzir a equação da elipse,

chegamos à equação: 12

2

2

2

b

y

a

x (eixo real = eixo x) Equação Canônica ou

reduzida da hipérbole.

b) O eixo real coincide com o eixo y

3.3 Assíntotas

As assíntotas r e s são retas que passam pelo centro da hipérbole, no caso, a origem

do sistema. Logo, suas equações são do tipo:

mxy , sendo m a declividade a

bm 1

E a assíntota s tem declividade a

bm 2

Quando a equação da hipérbole é da forma 12

2

2

2

b

x

a

y as declividades das

assíntotas serão b

am 1 e

b

am 2 com equação mxy

Para a equação 12

2

2

2

b

y

a

x

24

Exemplo

1) Dada a equação da hipérbole,determine

a) A medida dos semi-eixos e) Assíntotas

b) Vértices f) Gráfico

c) Focos

d) Excentricidade

i) 0164 22 yx

ii) 422 yx

25

APLICAÇÕES PRÁTICAS DA HIPÉRBOLE

3.4 Equação da hipérbole cujo centro é ),(' oo yxO e cujos eixos são paralelos

aos eixos coordenados.

a) O eixo real é paralelo ao eixo x

26

b) O eixo real é paralelo ao eixo y

Exemplo

1) Determinar a equação da hipérbole abaixo:

2) Obter a equação canônica da hipérbole 04484 22 yxyx

27

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Consideremos a hipérbole de equação 12

2

2

2

b

y

a

x. Escrevendo esta equação

como: 1

22

b

y

a

x significa dizer que

a

x e

b

ysão números reais cuja diferença de

seus quadrados é sempre igual a 1.

Se na identidade 1cos22 sen dividirmos ambos os membros por

0cos 2 obtemos

22

22

2

22

2

2

2

sec1tancos

11

coscos

1

cos

cos

cos

sensen. Desta forma

temos que: 1tansec 22

Portanto, confrontando esta equação com a equação da hipérbole

1

22

b

y

a

x podemos fazer: sec

a

x e tan

b

y, podemos concluir que para o

parâmetro 20 excluídos 2

3,

2

o sistema:

tan.

sec.

by

ax equações paramétricas da hipérbole.

Quando percorre o intervalo

2,

2

está descrito o ramo direito da hipérbole

)( ax e quando percorre o intervalo

2

3,

2

o ramo esquerdo )( ax .

Observações

a) No caso da hipérbole ser 12

2

2

2

b

x

a

y(eixo real sobre Oy) suas equações

paramétricas são:

sec.

tan.

ay

bx

b) Quando o centro da hipérbole for C(xo,yo) aplicando a translação de eixos, as

equações paramétricas são:

tan.

sec.

0

0

byy

axx ou

sec.

tan.

0

0

ayy

bxx

Conforme o eixo real seja paralelo a Ox ou Oy , respectivamente.

28

Exemplos

1) Obter equações paramétricas da hipérbole de equação:

a) 03694 22 yx

b) 051283 22 yxyx

1) Dada a hipérbole de equação 4002516 22 yx , determine:

a) Equação canônica

b) Excentricidade

c) Gráfico

2) Determinar a distância focal da hipérbole 144169 22 yx

3) Equação da hipérbole com focos em )8,0(1F )8,0(2 F e vértices em )6,0( e )6,0(

4) Equação da hipérbole cuja excentricidade é 5 e cuja distância focal é de 54 . (o

centro coincide com a origem e os focos estão sobre o eixo x).

5) Obter a excentricidade da hipérbole kyx 22 55 para )0( k

6) Uma hipérbole tem o centro na origem e o eixo real coincide com o eixo x. Temos

ainda que 62 b e 4

5 . Determine sua equação.

29

7) Escreva a equação da hipérbole sabendo-se que um dos focos é )2,2(F

O centro )1,2(' O e 42 a

8) Construa o gráfico e escreva o nome de cada equação:

a) 922 yx

b) 194

22

yx

c) 194

22

xy

d) 132

yx

e) 02 xy

f) 022 yx

Respostas:

1) a) 11625

22

yx

b) 5

41

2) 10

3) 12836

22

xy

4) 1164

22

yx

5) 2k

6) 1916

22

yx

7) 15

)2(

4

)1( 22

xy

8) a) Circunferência r=3

b) Elipse a =3 e b = 2 (eixo maior em y)

c) Hipérbole a = 2 e b =3

d) reta

e) parábola para a direita

f) par de retas reais

3

30

Definição:

Exemplos de Quádricas

As equações podem ser descritas:

Superfícies

31

Exemplos

Representações:

32

Equações curvas no 3

Exemplos

INTERSEÇÃO DA SUPERFÍCIE COM OS PLANOS

33

EXEMPLOS DE SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

1) Elipsoide

34

Exemplo: Construa o Elipsoide

19164

222

zyx

35

2) Hiperboloide de uma folha

36

Exemplo: Construa o hiperboloide de equação:

14

222

zyx

37

3) Hiperboloide de duas folhas

38

Exemplo: Construa o hiperboloide de duas folhas

1444

222

zyx

39

4) PARABOLOIDE ELÍPTICO

40

Exemplo: Construa o paraboloide de equação: 94

22 yxz

41

5) Paraboloide Hiperbólico

42

Exemplo: Construa o paraboloide hiperbólico de equação

94

22 yxz

43

6) CONE ELÍPTICO

Exemplo: Construa o cone elíptico de equação 4

222 y

xz