ConceitosBasicosMatAtuarialVazia.pdf
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EAC0532Noções de atuária para contadores
7.
Conceitos básicos de matemáticaatuarial (fundamentos de matemáticafinanceira, rendas aleatórias)CSM (2006, cap. 3)
Parmenter (1999, cap. 8)
Vilanova (1969, cap. II)
Azevedo (2008, cap. 21)
Prof. Dr. Luís Eduardo Afonso
2
Matemática financeira x Matemática atuarial
a) Matemática financeira:
• Fluxos de valores distribuídos ao longo de tempo
• Cálculos deterministas
• Valores presentes calculados por meio de uma taxa de desconto (ou taxa de juros) i
b) Matemática atuarial (casos aqui estudados):
• Fluxos de valores distribuídos ao longo de tempo
• Cálculos têm que incorporar risco e probabilidades
• Valores presentes calculados por meio de uma taxa de desconto (ou taxa de juros) i e pela probabilidade de sobrevivência de (x) a cada idade, que representa o risco biométrico
3
Matemática financeira x Matemática atuarial
Exemplo usual de Matemática Financeira:
• Calcule o valor presente de um fluxo anual B por um número infinito de períodos, pagável a partir do primeiro período.
• Esse problema corresponde ao cálculo da Contribuição Única Pura (CUP).
x + 1 . . . . .x x + 2
B B
x + 3
B
CUP
2
4
Matemática financeira x Matemática atuarial
Sendo i a taxa de juros, define-sei1
1v
....i1
1.B
i1
1.B
i1
1.BCUP
32
....v.Bv.Bv.BCUP 321
1t
tvBCUP
i
B
i1
1i1i1
1
B
i1
11
i1
1
Bq1
aBCUP
1t
1
i
BCUP
5
Matemática financeira x Matemática atuarial
Exemplo de Matemática Atuarial:
• Calcule o valor presente de um fluxo anual B (CUP) por um número infinito de períodos, pagável a partir do primeiro período.
• Agora deve-se incorporar o risco biométrico. Ou seja, a probabilidade de sobrevivência do indivíduo a cada período
x + 1 . . . . .x x + 2
B B
x + 3
B
CUP
6
Matemática financeira x Matemática atuarial
A equação para cálculo da CUP passa a ser dada por:
....p.v.Bp.v.Bp.v.BCUP x3
3
x2
2
x1
1
.....1
1..
1
1..
1
1. 3
3
2
2
1
1
xxx pi
Bpi
Bpi
BCUP
xt
t
t
pi
BCUP1
.1
1.
3
7
Exemplo 1
Uma pessoa com idade x faz uma CUP que lhe dá o direito a receber por n anos uma renda anual B, pagável a partir do primeiro período.
a) Represente o fluxo financeiro do problema.
b) Resolva o problema por meio da matemática financeira usual. Ou seja, calcule a CUP.
c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema, empregando tábua AT83.
Obs. Em seus cálculos adote os seguintes valores:
x = 60 anos
B = R$ 5.000
i = 6% a.a.
n = 4
8
Exemplo 1
6160 62
B B
63
B
CUP
64
B
a) Represente o fluxo financeiro do problema.
9
Exemplo 1
b) Resolva o problema por meio da matemática financeira usual
4321
i1
1.B
i1
1.B
i1
1.B
i1
1.BCUP
i1
11
i1
11
i1
1
.Bq1
q1a.B
i1
1.BCUP
n
n
1n
1t
t
i1
1i1
i1
11
i1
1
.BCUP
n
i
i1
11
.BCUP
n
4
10
Exemplo 1
b) Resolva o problema por meio da matemática financeira usual
i
i1
11
.BCUP
n
06,0
06,01
11
.5000CUP
4
11
Exemplo 1
6160 62
B B
63
B
CUP
64
B
c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema.
Tábua AT 83 (resumida)
Idade (x ) l x q x p x
60 896.674 0,008338 0,991662
61 889.197 0,008983 0,991017
62 881.209 0,009740 0,990260
63 872.626 0,010630 0,989370
64 863.350 0,011664 0,988336
12
Exemplo 1
c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema.
x4
4
x3
3
x2
2
x1
1
p.i1
1.Bp.
i1
1.Bp.
i1
1.Bp.
i1
1.BCUP
n
1t
xt
tn
1t
xt
t
p.v.Bp.i1
1.BCUP
Tábua AT 83 (resumida)
Idade (x ) l x q x p x
60 896.674 0,008338 0,991662
61 889.197 0,008983 0,991017
62 881.209 0,009740 0,990260
63 872.626 0,010630 0,989370
64 863.350 0,011664 0,988336
Lembrando que
x
nxxn
l
lp
n p 60
1,000000
0,991662
0,982754
0,973182
0,962837
vn
1,000000
0,943396
0,889996
0,839619
0,792094
vn
. n p 60
1,000000
0,935530
0,874647
0,817102
0,762657
5
13
Exemplo 1
c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema.
604
4
603
3
602
2
601
1
p.i1
1p.
i1
1p.
i1
1p.
i1
1.BCUP
792094,0 . 962837,0839619,0 . 973182,0
889996,0 . 982754,0943396,0 . 991662,0 BCUP
762657,0817102,0874647,0935530,0 BCUP
14
Exemplo 2
Uma pessoa com idade x faz uma CUP que lhe dá o direito a receber por n anos uma renda anual B, pagável a partir do primeiro período.
a) Represente o fluxo financeiro do problema.
b) Resolva o problema por meio da matemática financeira usual. Ou seja, calcule a CUP.
c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema, empregando a tábua AT2000.
Obs. Em seus cálculos adote os seguintes valores:
x = 70 anos
B = R$ 10.000
i = 6% a.a.
n = 3
15
Exemplo 2
7170 72
B B
73
B
CUP
a) Represente o fluxo financeiro do problema
6
16
Exemplo 2
b) Resolva o problema por meio da matemática financeira usual
i
i1
11
.BCUP
n
06,0
06,01
11
.000.10
3
CUP
17
Exemplo 2
c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema.
Tábua AT2000 (resumida)
7170 72
B B
73
B
CUP
Idade (x ) l x q x p x
70 830.903,12 0,016979 0,983021
71 816.795,22 0,018891 0,981109
72 801.365,14 0,020967 0,979033
73 784.562,92 0,023209 0,976791
18
Exemplo 2
c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema.
Lembrando que
x
nxxn
l
lp
xxx pi
pi
pi
BCUP 3
3
2
2
1
1
.1
1.
1
1.
1
1.
3
11
...1
1.
t
xt
tn
t
xt
t
pvBpi
BCUP
Tábua AT2000 (resumida)
Idade (x ) l x q x p x np 70 vn
vn. np 70
70 830.903,12 0,016979 0,983021 1,000000 1,000000 1,000000
71 816.795,22 0,018891 0,981109 0,983021 0,943396 0,927378
72 801.365,14 0,020967 0,979033 0,964451 0,889996 0,858358
73 784.562,92 0,023209 0,976791 0,944229 0,839619 0,792793
7
19
Exemplo 2
c) Incorpore o risco biométrico e resolva novamente o problema.
703
3
702
2
701
1
p.i1
1p.
i1
1p.
i1
1.BCUP
839619,0 . 944229,0889996,0 . 964451,0943396,0 . 983021,0 BCUP
20
Rendas aleatórias - Quadro resumo
Irregular2
eDecrescent
CrescentePG
.
.razão diferente termo1º
)(Crescente razão igual termo1º
PA a
matemática Lei1Variável
aPostecipad
(vencida) AntecipadaTemporária
aPostecipad
(vencida) AntecipadaVitalícia a
Diferida2
aPostecipad
(vencida) AntecipadaTemporária
aPostecipad
(vencida) AntecipadaVitalícia a
Imediata1
Constante A
Aleatória
CertaRenda
b
Decresc
Cresc
B
b
b
21
Anuidades - Definição
De forma geral, define-se umauma anuidade como um fluxocontinuado de pagamentos feitosem intervalos regulares
8
22
Anuidades - Definições
x + 1x x + 2
1 1
. . . . .x + 3
1
O valor presente dessa anuidade imediata vitalícia postecipada,em t = 0, é dado por
.......1
1.
1
1.
1
13
3
2
2
1
1
xxxx pi
pi
pi
a
xt
t
t
x pi
a .1
1
1
xt
t
t
x pva .1
a) Uma anuidade imediata vitalícia postecipada pagável a (x) apartir da idade x + 1, enquanto viver, é dada pelo fluxoabaixo
23
Anuidades - Definições
b) Uma anuidade imediata temporária postecipada pagável a(x) a partir da idade x + 1, por n períodos, é dada pelo fluxoabaixo
x + 1x x + 2
1 1
. . . . .x + 3
1
x + n
1
O valor presente dessa anuidade imediata temporáriapostecipada, em t = 0, é dado por
xn
n
x3
3
x2
2
x1
1
n:xxn p.i1
1 ...p.
i1
1p.
i1
1p.
i1
1aa
n
1t
xt
t
n:xxn pi1
1aa
n
1t
xt
t
n:xxn pvaa
24
Anuidades - Definições
c) Uma anuidade diferida vitalícia postecipada pagável a (x) apartir da idade x + n + 1, enquanto viver, é dada pelo fluxoabaixo
x + 1x x + 2 . . . . . x + n + 2
1
x + n x + n + 1
1
. . . . .
1nt
xt
t
xnpva
O valor presente dessa anuidade diferida vitalíciapostecipada, em t = 0, é dado por
.....p.i1
1p.
i1
1p.
i1
1a x3n
3n
x2n
2n
x1n
1n
xn
1nt
xt
t
xnp
i1
1a
9
25
Anuidades - Definições
d) Uma anuidade imediata vitalícia antecipada (vencida) pagável a(x) a partir da idade x, enquanto viver, é dada pelo fluxo abaixo
0t
xt
t
x pi1
1a
0t
xt
t
x pva
x + 1x x + 2 . . . . .
11 1
O valor presente dessa anuidade imediata vitalíciaantecipada, em t = 0, é dado por
..... p.i1
1p.
i1
1p.
i1
1a x2
2
x1
1
x0
0
x
26
Anuidades - Definições
e) Uma anuidade imediata temporária antecipada pagável a (x) apartir da idade x, por n anos, é dada pelo fluxo abaixo
x + 1x x + 2 . . . . . x + n - 1 x + n
11 1 1
O valor presente dessa anuidade imediata temporáriaantecipada, em t = 0, é dado por
x1n
1n
x2
2
x1
1
x0
0
n:xxn p.i1
1 ...p.
i1
1p.
i1
1p.
i1
1aa
1n
0t
xt
t
n:xxn pi1
1aa
1n
0t
xt
t
n:xxn pvaa
27
Anuidades - Definições
f) Uma anuidade diferida vitalícia antecipada (vencida) pagável a(x) a partir da idade x + n, enquanto viver, é dada pelo fluxoabaixo
x + 1x x + 2 . . . . . x + n + 2
1
x + n x + n + 1
1
. . . . .
1
nt
xt
t
xnpva
nt
xt
t
xnp
i1
1a
O valor presente dessa anuidade diferida vitalíciaantecipada, em t = 0, é dado por
......1
1.
1
1.
1
12
2
1
1
xn
n
xn
n
xn
n
xnp
ip
ip
ia
10
28
Anuidades - Definições
g) Uma anuidade diferida temporária postecipada pagável a (x) apartir da idade x + m + 1, por n anos, é dada pelo fluxo abaixo
x + 1x . . . . . x + m + nx + m. . . . .x + m + 1
11
O valor presente dessa anuidade diferida temporáriapostecipada, em t = 0, é dado por
xnm
nm
x2m
2m
x1m
1m
xnmn:xm p.i1
1 .... p.
i1
1p.
i1
1aa
nm
1mt
xt
t
xnmn:xm pi1
1aa
nm
1mt
xt
t
xnmn:xm pvaa
29
Anuidades - Definições
h) Uma anuidade diferida temporária antecipada (vencida)pagável a (x) a partir da idade x + m, por n anos, é dadapelo fluxo abaixo
1nm
mt
xt
t
xnmn:xm pi1
1aa
1nm
mt
xt
t
xnmn:xm pvaa
x + m + n
11 1
x + 1x . . . . . x + m + n - 1x + m. . . . .x + m + 1
O valor presente dessa anuidade diferida temporáriaantecipada, em t = 0, é dado por
xnm
nm
xm
m
xm
m
xnmnxm pi
pi
pi
aa 1
1
1
1
:.
1
1 .... .
1
1.
1
1
n
it
xt
t pv para n períodos ou infinitos períodos
aparece recorrentemente em matemática atuarial e dá origemao que se designa por Comutações
A somatória
Anuidades & Comutações
n
it
xt
t pvAnuidade
As anuidades podem ser escritas de forma genérica como
Nos dois exemplos numéricos, o cálculo da CUP foi obtido pormeio de
n
t
xt
tn
t
xt
t
pvBpi
BCUP11
...1
1.
11
31
Comutações
Na Tábua de Comutação há uma série de colunasem que aparecem os números de comutaçãoresultantes da multiplicação das funções lx e dx deuma determinada Tábua de Mortalidade, por umadada taxa de juros.
Para cada Tábua de Mortalidade, existem tantasTábuas de Comutação quantas forem as taxas dejuros escolhidas.
32
Comutações
Colunas da Tábua de Comutação:
x – Idades
Dx – Valor descontado do número desobreviventes de cada idade. Dado por:
x
xx vlD .
Nx – Soma de Dx a D , em que é a idade quenão pode ser atingida por nenhum componentedo grupo. Dado por:
0t
txx DN
33
Comutações
Colunas da Tábua de Comutação:
Sx – Soma de Nx a N . Dada pela expressão
0t
txx NS
Cx – Valor descontado do número de mortosem cada idade x . Dado pela expressão:
1 . x
xx vdC
12
34
Comutações
Colunas da Tábua de Comutação:
Analogamente às expressões de Nx e Sx temos:
Rx – Soma de Mx a M . Dada pela expressão
Mx – Soma de Cx a C . Dada por:
0t
txx CM
0t
txx MR
35
Comutações
Construindo uma Tábua de comutações apartir da AT83.
Como fazer isso?