Computadores e Programação 2007–2008 · • Regra prática para converter um número binário...

Computadores e Programação

2007–2008

Orlando Oliveira, Helmut Wolters

adaptado a partir duma apresentação de

Fernando Nogueira, José António Paixão, António José Silva

[email protected], [email protected]

Computadores e Programação – p.1

Programa

• O modelo de von Neumann do computador digital. Arquitecturade um computador moderno.

• Representação digital de dados. Códigos binários pararepresentação de inteiros (código de valor absoluto e sinal ecódigo de complementos de 2), reais (vírgula flutuante),caracteres (ASCII, unicode), imagem (RGB, JPEG) e som(CD-AUDIO).

• Operações numéricas sobre dados binários. Problemas ligados àimprecisão da representação dos números reais em vírgulaflutuante.

• Processadores. Funcionamento de um CPU. Representaçãobinária do código executável de um programa.


Programa

• Assembladores, compiladores e interpretadores. Linguagens deprogramação de alto nível e de muito alto nível (VHLL). Sistemasoperativos.

• Introdução à linguagem de programação Python.• A instrução de atribuição. Aliasing. Noção de ponteiro.• Tipos numéricos: inteiros, inteiros longos, números em vírgula

flutuante e complexos.• Sequências (listas, tuplas e sequências de caracteres). Iteração

sobre sequências e operações de fatiagem (slicing).Abrangências. Dicionários.

• Instruções de controlo de fluxo: if..elif..else, while..else, for..else.


Programa

• Funções. Espaço dos nomes e regras de alcance. Mecanismo depassagem de argumentos e devolução de valores.

• Programação funcional e imperativa. Funções puras. Asferramentas de programação funcional lambda, map, filter e reduce.Exemplos de pequenos programas em estilo funcional.

• Módulos. Ferramentas de introspecção e metaprogramação.• Ficheiros. Formatação. Redirecção dos canais de fluxo de

entrada e saída.


Programa

• Programação orientada por objectos. Noção de classe einstâncias de classe. Atributos e métodos. Herança,encapsulamento e polimorfismo. Sobrecarga de operadores.Objectos persistentes: módulos pickle e shelve.

• Excepções. As instruções raisee try..except..finally.• Recursão. Iteradores e geradores.• Resolução de problemas numéricos de Física e Biomedicina.


Avaliação

• 30 % Resolução de problemasEntrega semanalmente por correio electrónico

• 30 % ProjectoInício de Dezembro, entrega até 1a semana de Janeiro

• 40 % Mini testes31 de Outubro5 de Dezembro


O modelo de von Neumann

• O matemático Johann von Neumann, consultor do projectoManhattan, envolve-se nos projectos do ENIAC e do EDVAC emJunho de 1944. Inspirado por estes, concebe um modelo téoricopara um computador, que é o modelo adoptado até hoje.

• O computador é constituído pelas seguintes unidades funcionais:◦ Memória central◦ Unidade aritmética e lógica◦ Unidade de controlo◦ Unidades de entrada e saída

• Hoje em dia o processador engloba a unidade aritmética e lógicae a unidade de controlo.



Unidade

controlode

E/Sde

Unidades

A/L

Unidade

Memoria

Central

C

C

C I

D

R

D

D

R

R´



• O processador não efectua operações directamente sobre amemória (à excepção da transferência de dados).

• O processamento é feito em células especiais de memória nointerior da UAL denominadas registos.

• A tranferência de dados entre a memória central e os dipositivosde entrada e saída pode ser feita passando pelo processador ouatravés de acesso directo à memória (DMA).


Informação Digital

• Os computadores processam informação digital.• Grandeza analógica

Varia de forma contínua (ex: temperatura lida num termómetro deHg).

• Grandeza digitalDescontínua (existe apenas um número finito de estados).

• Elemento mínimo de informação: dígito binário (bit).• bit: 2 estados 0 ou 1.


Informação Digital

• Um conjunto de n bits pode tomar 2n configurações distintos,podendo representar 2n objectos ou informações elementares.

• Exemplo com 3 bits:Configurações possíveis (8 = 23): 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110,111.

• Podemos utilizar estas combinações de bits para representar deforma unívoca 8 letras do alfabeto:

A 000 E 100

B 001 F 101

C 010 G 110

D 011 H 111


Codificação/descodificação

• Os computadores processam (apenas) informação/dados emformato digital.

• Todos os dados têm que ser codificados num formato digital paraserem passíveis de tratamento informático.

• Para cada tipo de dado tem de se estabelecer um código quepermita atribuir uma configuração binária única a cada dadodesse tipo → codificação. A operação inversa é a descodificação.

• Vamos passar em revista alguns dos códigos actualmente usadospara representação digital de vários tipos de dados numcomputador:

◦ Números inteiros,◦ Números inteiros relativos◦ Números reais◦ (Caracteres)◦ (Som e imagem)


Codificação de inteiros

• A forma mais simples de representar um número inteiro numformato digital corresponde a utilizar a sua representação binária,isto é, na base 2.

• O número é representado por n bits

an−1an−2 · · ·a0

onde ai = 0, 1 e i = 0, ..., n − 1.• O inteiro correspondente a esta sequência de bits é:

an−12n−1

+ an−22n−2. . . + a0 =

n−1∑

i=0

ai2i

• Este código designa-se por código binário ponderado.


Codificação de inteiros

• O maior número inteiro que é possível representar com umconjunto de n bits é

n−1∑

i=0

2n

= 2n − 1

• n bits → 2n números inteiros, incluindo o zero: 0, 1, . . ., 2n−1.


Conversão decimal/binário

• A conversão de um número inteiro na base 10 em código binárioponderado é muito fácil.

• Exemplo: Conversão do decimal 203 para a base 2.Representando o quociente e o resto da divisão inteira pelosoperadores div e mod, temos:

203 div 2 =101; 203 mod 2 = 1 = a0;101 div 2 = 50; 101 mod 2 = 1 = a1;50 div 2 = 25; 50 mod 2 = 0 = a2;25 div 2 = 12; 25 mod 2 = 1 = a3;12 div 2 = 6; 12 mod 2 = 0 = a4;6 div 2 = 3; 6 mod 2 = 0 = a5;3 div 2 = 1; 3 mod 2 = 1 = a6;1 div 2 = 0; 1 mod 2 = 1 = a7;

Então 20310 = 110010112.


Conversão decimal/binário

• A conversão inversa (binário → decimal) é trivial.

• Exemplo: 110010112 = 1× 27 + 1× 26 + 1 × 23 + 1 × 2 + 1 = 20310


Notação octal/hexadecimal

• É comum utilizar-se a notação hexadecimal, (base 16) paraexprimir de forma mais compacta números binários. Cada dígitohexadecimal equivale a 4 dígitos binários.

• Noutra notação, denominada octal, o número é representado nabase 8, em que cada dígito octal (0 . . . 7) agrupa 3 bits.

• Em hexadecimal são utilizados os 16 símbolos 0, 1, 2, . . . , 9, A,B, C, D, E, F. Por exemplo, o número 20010 pode ser escrito como110010002, C816 ou 3108.


Tabela de conversão entre as bases mais usadas

Binário 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7Hexa. 0 1 2 3 4 5 6 7

Binário 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111Decimal 8 9 10 11 12 13 14 15Hexa. 8 9 A B C D E F

• A transcrição de um número inteiro na base 10 para base 2 podeser facilitada, sobretudo quando se trata de números grandes,fazendo primeiro a transcrição para hexadecimal, e utilizando atabela acima para transcrever cada dígito hexadecimal nacorrespondente sequência de 4 algarismos binários.


Codificação de números relativos

• Existem vários códigos que permitem codificar números inteirosrelativos (códigos bipolares).

• O código bipolar mais simples é o código de sinal e valor absoluto:◦ o bit mais significativo representa o sinal◦ os restantes n − 1 bits o valor absoluto.

• Por convenção, o bit de sinal tem o valor 1 quando o número énegativo e o valor 0 quando é positivo.

• Por exemplo, numa palavra de 8 bits, os números ±19 têm, nestecódigo, a seguinte representação binária:

+1910 = 00010011

−1910 = 10010011


Codificação de números relativos

• Vantagem deste código: simplicidade.• Desvantagens:

◦ podem-se representar apenas 2n − 1 números distintos com n

bits e não 2n (o zero tem representação dupla)◦ a adição de números relativos é problemática.


Código de complementos de 2

• No código de complementos de 2 representam-se os númerospositivos como no código anterior, e representa-se cada númeronegativo somando 1 ao complemento do número positivo que lhecorresponde. Um eventual transbordo que ocorra nesta soma éignorado.

• Vejamos como representar o número −19 numa palavra de 8 bitsusando este código:

+1910 = 00010011

−1910 = 11101100 + 00000001 = 11101101

• Regra prática para converter um número binário no respectivocomplemento de 2: copiam-se os dígitos, a começar pelo bitmenos significativo até encontrar o primeiro “1”, que também secopia. A partir daí, substituem-se os “0”s por “1”s e vice-versa.


Código de complementos de 2

• Vantagens da representação de complementos de 2:◦ O zero tem representação única (verifique!).◦ O bit mais significativo pode ser interpretado como bit de sinal:

este bit é zero nos números positivos e 1 nos númerosnegativos.

◦ O bit menos significativo determina sempre se um número épar ou ímpar, o bit é zero nos números pares e 1 nos ímpares.

◦ O número total de números que é possível representar nestecódigo numa palavra de n bits é 2n, correspondendo aointervalo −2(n−1), . . . , 2(n−1) − 1.


Representação de números reais

• Na base decimal

17.3210 = 1 × 101

+ 7 × 100

+ 3 × 10−1

+ 2 × 10−2

• Do mesmo modo, na base 2 teremos

17.3210 = 1 × 24

+ 0 × 23

+ 0 × 22

+ 0 × 21

+ 1 × 20+

+ 0 × 2−1

+ 1 × 2−2

+ 0 × 2−3

+ 1 × 2−4

+ 0 × 2−5

=

+ 0 × 2−6

+ 0 × 2−7

+ 1 × 2−8

+ . . . = 10001.01010001 . . .2

• Mas 10001.010100012 = 17.3164062510 6= 17.3210!• E 10001.01010001111010112 = 17.319992065429687510!• Parece não haver representação binária finita de 17.3210. . .


Representação em vírgula flutuante (IEEE754)

• Os números reais formam um conjunto denso → não é possívelrepresentar exactamente um (intervalo) de reais num computador!

• Representação em vírgula fixa: número fixo de casas decimais,digamos 6. Basta codificar um inteiro (o número sem a vírgula)!

• Não é uma boa escolha → limita a gama dinâmica de valores quese podem representar com um conjunto de n bits.

• Utiliza-se a notação em vírgula flutuante, semelhante à notaçãocientífica:

mmmmmm × 10eeee,

◦ mmmmmm → mantissa◦ eeee → expoente



• Por exemplo, o número 0.000341237 pode ser escrito de váriasformas:

0.00341237 × 10−1, 0.0341237 × 10

−2, . . . 3.41237 × 10−4

• A última é a forma canónica normalizada (não tem zeros atrás doponto decimal).

• A representação em vírgula flutuante é efectuada habitualmenteem 32, 64 ou 128 bits (precisão simples, dupla, e quádrupla).

• Em precisão simples:

s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm



• bit 31 → bit de sinal• bits 30 · · · 23 expoente• bits 22 · · · 0 mantissa

• Nota: utiliza-se normalização, pelo que se subentende que oprimeiro algarismo da mantissa é diferente de zero. Na base 2este algarismo só pode ser 1, e portanto não se representa.Assim, usando 23 bits a mantissa tem 24 bits efectivos deprecisão!

• O expoente é codificado com um offset de 127, ou seja é precisosubtrair 127 ao número inteiro que representa o expoente paraobter o seu valor real.



• Os valores reais do expoente com significado variam entre -127 e127 (0 a 254 sem offset). Reserva-se o padrãoeeeeeeee = 11111111 = 255 para representar os infinitos(s = 0, m = 0, +∞), (s = 1, m = 0,−∞).

• Também existem dois “zeros” (s = 0, m = 0, 0+) e(s = 1, m = 0, 0−).

• Os padrões com a mantissa 6= 0 e expoente = 255 nãorepresentam números, mas códigos de erro (NAN - not a number,por exemplo divisão por zero).

P. bits sinal mants. expo. min max alg. sign.

S 32 1 23 8 1.2E-38 3.4E38 6–9D 64 1 52 11 2.2E-308 1.8E308 15-17



• Numa codificação de 32 bits, não se pode armazenar maisinformação do que a permitida pelos 32 bits→ o número de“números reais” com representação distinta neste esquema decodificação é = 232, tal como para os números inteiros.

• A interpretação dos bits é diferente, mas o número depossibilidades distintas de codificação é o mesmo. No caso dosnúmeros inteiros, a distribuição é uniforme, mas já o mesmo nãose passa com a representação em vírgula flutuante!

• Os “números reais” representados neste formato não estãouniformemente distribuídos.



• De facto, a distribuição é uniforme numa escala logarítmica:◦ existem tantos números (224 para uma mantissa de 23 bits, ou

seja cerca de 8 milhões) entre 2−3 e 2−2 como entre 252 e 253.• A representação dos números reais em vírgula flutuante não é

(em geral) exacta e a aritmética efectuada com estarepresentação também não! O processo de normalização podecausar sérios erros de arredondamento.

• Exemplo:matematicamente 1 + x − 1 = x, mas em aritmética de vírgulaflutuante 1 + x− 1 pode resultar num número muito diferente de x.


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