O Sistema Binário

5/14/2018 O Sistema Bin rio - slidepdf.com

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O Sistema Binário

Um guia maldito bem claro a um conceito bastante confuso por Christine R. Wrightcom alguma ajuda de Samuel A. Rebelsky.Índice analítico

Conceitos básicos por trás do Sistema BinárioAdição BináriaMultiplicação bináriaDivisão bináriaConversão de Decimal para BinárioNegação do Sistema BinárioConceitos básicos por trás do Sistema Binário

Para entender os números binários, começar por recordar em matemática na

escola. Quando nós aprendemos sobre os números, nós fomos ensinados que, nosistema decimal, as coisas são organizadas em colunas:

H | T | O1 | 9 | 3

de tal forma que "H" é a coluna das centenas, "T" é a coluna das dezenas, e "O" é acoluna mais. Portanto, o número "193" é de 1 centenas mais de 9 dezenas mais 3-um.Anos mais tarde, descobrimos que a coluna entes significava 10 ^ 0, a coluna dezenassignificava 10 ^ 1, a coluna centenas 10 ^ 2 e assim por diante, de tal modo que

10 ^ 2 | 10 ^ 1 | 10 ^ 01 | 9 | 3

o número 193 é realmente {(1 * 10 ^ 2) + (9 * 10 ^ 1) + (3 * 10 ^ 0)}.Como você sabe, o sistema decimal usa o 0-9 dígitos para representar números.Sequisermos colocar um número maior, na coluna 10 ^ n (por exemplo, 10), teríamospara multiplicar 10 * 10 ^ n, o que daria 10 ^ (n +1), e ser transportados de uma colunapara a esquerda. Por exemplo, colocando 10 no 10 ^ 0 coluna é impossível, de modoque colocar um 1 na coluna 10 ^ 1, e um 0 no 10 ^ 0 de coluna, utilizando assim duascolunas. Doze seria de 12 * 10 ^ 0 ou 10 ^ 0 (10 2), ou 10 ^ 1 2 * 10 ^ 0, o que tambémutiliza uma coluna adicional para a esquerda (12).

O sistema binário funciona sob os mesmos princípios como o sistema decimal, ela sófunciona na base 2, em vez de base 10. Em outras palavras, em vez de colunassendo

10 ^ 2 | 10 ^ 1 | 10 ^ 0eles são

2 ^ 2 | 2 ^ 1 | 2 ^ 0Em vez de usar o 0-9 dígitos, só usamos 0-1 (novamente, se usamos qualquer coisamaior do que seria como se multiplicando 2 * 2 ^ n e obter 2 ^ n +1, que não caberiano 2 ^ n coluna. Portanto, seria mudar-lhe uma coluna à esquerda. Por exemplo, "3"



em binário não pode ser colocado em uma coluna. A primeira coluna enchemos é acoluna mais à direita, que é 2 ^ 0, ou 1. Desde 3> 1, precisamos usar uma colunaextra para a esquerda, e indicá-lo como "11" em binário (1 * 2 ^ 1) + (1 * 2 ^ 0).

Exemplos: Qual seria o número binário 1011 ser em notação decimal?

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Tente converter esses números de binário para decimal:

1011110101

11110Lembre-se:

2 ^ 4 | 2 ^ 3 | 2 ^ 2 | 2 ^ 1 | 2 ^ 0| | | 1 | 0| | 1 | 1 | 1

1 | 0 | 1 | 0 | 11 | 1 | 1 | 1 | 0

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Adição Binária

Considere a adição de números decimais:

2348 ___

Começamos pela adição de 3 +8 = 11. Uma vez que 11 é maior do que 10, um um écolocado no 10 da coluna (transportados), e um 1 é gravado na coluna a um desoma. Em seguida, adiciona {(2 4) 1} (a uma é a partir do transporte) = 7, que écolocado no 10 da coluna da soma. Assim, a resposta é 71.

A adição binária funciona com base no mesmo princípio, mas os numerais sãodiferentes. Comece com um bit-adição binária:

0 0 1+0 +1 +0

_________ 0 1 1



1 +1 nos leva para a próxima coluna. Na forma decimal, 1 +1 = 2. No sistema binário,qualquer dígito superior a 1 nos coloca uma coluna para a esquerda (como faria 10 emnotação decimal). O número decimal "2" é escrito em notação binária como "10" (1 * 2^ 1) + (0 * 2 ^ 0). Registre a 0 em uma das colunas, e transporta o 1 à coluna de parespara obter uma resposta de "10". Na nossa notação vertical,

11

___ 10

O processo é o mesmo para os números de múltiplos bits binários:

10101111

______

Passo um:Coluna 2 ^ 0: 0 +1 = 1.Registre a 1.Resultado temporário: 1; Carry: 0Passo dois:Coluna 2 ^ 1: 1 1 = 10.Registre a 0, transporta o 1.Resultado temporário: 01; Carry: 1Passo três:Coluna 2 ^ 2: 1 +0 = 1 Adicione 1 de carry: 1 +1 = 10.

Registre a 0, transporta o 1.Resultado temporário: 001; Carry: 1Passo quatro:Coluna 2 ^ 3: 1 1 = 10. Adicione 1 de transporte: 10 +1 = 11.Registre a 11.Resultado final: 11001Como alternativa:

11 (transportar)1010

1111 ______ 11001

Lembre-se sempre

0 +0 = 01 +0 = 11 +1 = 10Tente alguns exemplos de adição binária:

111 101 111+110 +111 +111

________________



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Multiplicação binária

Multiplicação no sistema binário funciona da mesma maneira como no sistemadecimal:

1 * 1 = 11 * 0 = 00 * 1 = 0

101

* 11 ____ 1011010

_____ 1111

Note-se que multiplicando por dois é extremamente fácil. Para multiplicar por dois,basta adicionar um 0 no final.

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Divisão binária

Siga as mesmas regras que na divisão decimal. Por razões de simplicidade, deitar forao restante.

Por exemplo: 111011/11

10.011 r 10 _______ 11) 111011-11 ______

101-11

______ 10111

______ 10

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Decimal para Binário



Convertendo de decimal para a notação binária é um pouco mais difícilconceitualmente, mas pode ser feito facilmente quando você sabe como através douso de algoritmos. Comece a pensar em alguns exemplos. Podemos facilmente verque o número 3 = 2 +1. e que isso é equivalente a (1 * 2 ^ 1) + (1 * 2 ^ 0). Isto traduz-

se colocar um "1" na 2 ^ 1 coluna e um "1" na coluna 2 ^ 0, para obter "11". Quasecomo intuitivo é o número 5: é obviamente 4 1, que é o mesmo que dizer [(2 * 2) um],ou 2 ^ 2 1. Isto pode também ser escrito como [(1 * 2 ^ 2) + (1 * 2 ^ 0)]. Olhando paraeste em colunas,

2 ^ 2 | 2 ^ 1 | 2 ^ 01 0 1

ou 101.O que estamos fazendo aqui é encontrar o maior poder de dois dentro do número (2 ^2 = 4 é a maior potência de 2 em 5), subtraindo-se que a partir do número (5-4 = 1), e

encontrar a maior potência de 2 no restante (2 ^ 0 = 1 é a maior potência de 2 em1). Então, basta colocar isso em colunas. Este processo continua até que tenhamosum saldo de 0. Vamos dar uma olhada em como ele funciona. Sabemos que:

2 ^ 0 = 12 ^ 1 = 22 ^ 2 = 42 ^ 3 = 82 ^ 4 = 162 ^ 5 = 32

2 ^ 6 = 642 ^ 7 = 128e assim por diante. Para converter o número decimal 75 em binário, gostaríamos deencontrar a maior potência de 2 menos de 75, que é 64. Assim, gostaríamos decolocar um 1 na coluna 2 ^ 6, e subtraia 64 de 75, dando-nos 11. A maior potência de2 em 11 é de 8, ou 2 ^ 3. Coloque 1 na coluna 2 ^ 3, e 0 em 2 ^ 4 e 2 ^ 5. Subtraia 8de 11 a obter 3. Coloque 1 na coluna 2 ^ 1, 0 em 2 ^ 2, e subtrair 2 a partir de 3. Nósficamos com 1, que vai em 2 ^ 0, e subtraímos um para obter zero. Assim, o nossonúmero é 1001011.Fazendo este algoritmo um pouco mais formal nos dá:

Seja D = número que deseja converter de decimal para binárioRepita até que D = 0uma. Encontre o maior poder de dois em D. Que esta p igualb. Coloque uma 1 em binário coluna P.c. Subtrair de P D.Coloque zeros em todas as colunas, que não têm entes.Este algoritmo é um pouco estranho. Particularmente a etapa 3 ", preenchendo oszeros." Portanto, devemos reescrevê-lo de tal forma que damos valor a determinar decada coluna individualmente, colocando em 0 e 1 como vamos nós:Seja D = o número que deseja converter de decimal para binárioEncontrar P, de tal modo que 2 ^ P é a maior potência de dois menor do que D.Repita até que P <0



Se 2 ^ P <= D entãocolocar 1 em P colunasubtrair 2 ^ P de DOutrocoloque 0 em P coluna

Fim seSubtraia 1 do PAgora que temos um algoritmo, podemos usá-lo para converter números de decimalpara binário relativamente indolor. Vamos tentar o número D = 55.

O primeiro passo é o de encontrar p Sabemos que 2 ^ 4 = 16, 2 ^ 5 = 32 e 2 ^ 6 =64. Portanto, P = 5.2 ^ 5 <= 55, então colocamos um 1 na coluna 2 ^ 5: 1 -----.Subtraindo 55-32 nos deixa com 23. Subtraindo 1 a partir de P nos dá 4.Após o passo 3 novamente, 2 ^ 4 <= 23, então colocamos um 1 na coluna 2 ^ 4: 11 ----

.Em seguida, subtrair 16 a partir de 23, para obter 7. Subtrair 1 a partir de P nos dá 3.2 ^ 3> 7, então colocamos um 0 no 2 ^ 3 coluna: 110 ---Em seguida, subtraia 1 de P, o que nos dá 2.2 ^ 2 <= 7, então colocamos um 1 na coluna 2 ^ 2: 1101 -Subtraia 4 de 7 para obter 3. Subtraia 1 do P para obter o 1.2 ^ 1 <= 3, então colocamos um 1 na 2 ^ 1 coluna: 11011 -Subtraia 2 de 3 para obter 1. Subtraia 1 do P para obter 0.2 ^ 0 <= 1, então colocamos um 1 na coluna 2 ^ 0: 110111Subtrair 1 a partir de 1 para obter 0. Subtrair 1 a partir de P para obter -1.

P agora é menor que zero, então paramos.Outro algoritmo para converter decimal para binário

No entanto, isto não é a única abordagem possível. Podemos começar no lado direito,em vez de a esquerda.

Todos os números binários são na forma

a [n] * 2 ^ n + a [n-1] * 2 ^ (n-1) + ... + a [1] * 2 ^ 1 + a [0] * 2 ^ 0onde cada um [i] é ou um. 1 ou um 0 (os dígitos apenas possíveis para o sistemabinário) A única forma de um número pode ser estranha é, se tiver um 1 na coluna 2 ^0, porque todas as potências de dois maior do que 0 são ainda números (2, 4, 8, 16...). Isso nos dá o dígito mais à direita como ponto de partida.Agora precisamos fazer os dígitos restantes. Uma idéia é "deslocar" deles.Também éfácil ver que multiplicar e dividir por 2 turnos tudo por uma coluna: duas em binário é10, ou (1 * 2 ^ 1). Dividindo (1 * 2 ^ 1) por 2 dá-nos (1 * 2 ^ 0), ou apenas uma 1 embinário. Da mesma forma, multiplicando por 2 turnos em outra direção: (1 * 2 ^ 1) * 2 =(1 * 2 ^ 2) ou 10 em binário. Portanto

{A [n] * 2 ^ n + a [n-1] * 2 ^ (n-1) + ... + A [1] * 2 ^ 1 + a [0] * 2 ^ 0} / 2é igual à

a [n] * 2 ^ (n-1) + a [n-1] * 2 ^ (n-2) + ... + A [1] 2 ^ 0



Vejamos como isso pode nos ajudar a converter de decimal para binário. Pegue onúmero 163. Sabemos que desde que é estranho, deve haver um 1 na coluna 2 ^ 0 (a[0] = 1). Sabemos também que ele é igual a 162 um. Se colocarmos a 1 na coluna 2 ^0, temos 162 esquerda, e tem que decidir como traduzir os dígitos restantes.

Dois da coluna: Dividindo 162 por 2 dá 81. O número 81 em binário também teria um 1na coluna 2 ^ 0. Uma vez que dividimos o número por dois, que "tirou" uma potênciade dois. Do mesmo modo, a instrução um [n-1] * 2 ^ (n-1) + um [N-2] * 2 ^ (n-2) + ... +A [1] * 2 ^ 0 tem uma potência de dois removido. Nossa 2 "nova" coluna 0 ^ agoracontém a1. Aprendemos anteriormente que existe um 1 na coluna 2 ^ 0 se o número éímpar. Desde 81 é ímpar, a [1] = 1. Praticamente, podemos simplesmente manter um"total de execução", que agora está em 11 (a [1] = 1 e a [0] = 1). Observe também quea1 é essencialmente "remultiplied" por dois apenas, colocando-o na frente de um [0],então ele é automaticamente encaixa a coluna correta.

Coluna Four: Agora podemos subtrair 1 de 81 para ver o restante ainda deve colocar(80). Dividindo 80 por 2 dá 40. Portanto, deve haver um 0 na coluna 4 do, (porque oque estamos realmente colocando é uma coluna de 2 ^ 0, eo número não é estranho).

Oito da coluna: Podemos dividir por dois novamente para obter 20. Isto é mesmo,então colocamos um 0 na coluna 8 da. Nosso execução total agora está em um [3] =0, a [2] = 0, a [1] = 1, e a [0] = 1.

Nós podemos continuar desta forma até que não haja restante para colocar.

Vamos formalizar este algoritmo:1. Seja D = o número que deseja converter de decimal para binário.2. Repita até que D = 0:

a) Se D é ímpar, colocar "1" na coluna da esquerda aberta, e subtraia 1 do D.b) Se D é mesmo, coloque "0" na coluna da esquerda aberta.c) Divida D por 2.Fim Repetição

Para o número 163, que funciona como se segue:1. Seja D = 1632. b) D é estranho, coloque um 1 na coluna 2 ^ 0.

Subtraia 1 do D para obter 162.c) Divida D = 162 por 2.

Resultado temporário: 01 Nova D = 81D não é igual a 0, para que repita o passo 2.

2. b) D é estranho, coloque um 1 na coluna 2 ^ 1.Subtraia 1 do D para obter 80.

c) Divida D = 80 por 2.Resultado temporário: 11 Nova D = 40D não é igual a 0, para que repita o passo 2.

2. b) D é ainda, colocar um 0 na coluna 2 ^ 2.c) Divida D por 2.



Resultado temporário: 011 New D = 20

2. b) D é ainda, colocar um 0 no 2 ^ coluna 3.c) Divida D por 2.

Resultado temporário: 0011 New D = 10

2. b) D é mesmo, coloque um 0 na coluna 2 ^ 4.c) Divida D por 2.

Resultado temporário: 00011 Novo D = 5

2. a) D é estranho, coloque um 1 na coluna 2 ^ 5.Subtraia 1 do D para obter 4.

c) Divida D por 2.Resultado temporário: 100011 Nova D = 2

2. b) D é ainda, colocar um 0 na coluna 2 ^ 6.c) Divida D por 2.

Resultado temporário: 0100011 Nova D = 1

2. a) D é ímpar, colocar um 1 na coluna 27.Subtraia 1 do D para obter D = 0.

c) Divida D por 2.Resultado temporário: 10100011 Nova D = 0

D = 0, então estamos a fazer, eo número decimal 163 é equivalente ao número binário

10100011.Uma vez que nós já sabíamos como converter de binário para decimal, podemosfacilmente verificar nosso resultado. 10100011 = (1 * 2 ^ 0) + (1 * 2 ^ 1) + (1 * 2 ^ 5) +(1 * 2 ^ 7) = 1 +2 +32 +128 = 163.

Voltar ao ÍndiceNegação do Sistema Binário

Magnitude assinadoUm complementoComplemento de doisO excesso de 2 ^ (m-1)Estas técnicas funcionam bem para inteiros não negativos, mas como podemos indicarnúmeros negativos no sistema binário?

Antes de investigar os números negativos, notamos que o computador usa um númerofixo de "bits" ou dígitos binários. Um número de 8 bits é de 8 dígitos.Para esta seção,vamos trabalhar com 8 bits.

Magnitude Assinado:A maneira mais simples para indicar negação é assinado magnitude. Em magnitudeassinado, o bit mais à esquerda não é realmente parte do número, mas é apenas oequivalente a um sinal + / -. "0" indica que o número é positivo, "1" indica negativo. Em



8 bits, 00001100 seria 12 (decompô-lo em (1 * 2 ^ 3) + (1 * 2 ^ 2)). Para indicar -12,teríamos simplesmente colocar um "1" ao invés de um "0" como o primeiro bit:10001100.

Um complemento:

Em complemento de um, números positivos são representados como é habitual embinário regular. No entanto, os números negativos são representados de formadiferente. Para negar um número, substituir todos os zeros com aqueles, e aquelascom zeros - inverter os bits. Assim, 12 seria 00.001.100, e -12 seria 11.110.011. Talcomo na magnitude assinado, o bit mais à esquerda indica o sinal (1 for negativo, 0 épositivo). Para calcular o valor de um número negativo, inverter os bits e traduzir comoantes.

Complemento de dois:Comece com o número em um complemento. Adicione 1 se o número é

negativo. Doze seria representada como 00001100, e -12 como 11.110.100.Paraverificar isso, vamos subtrair 1 de 11110100, para obter 11110011. Se jogarmos osbits, teremos 00001100, ou 12 em decimal.

Nesta notação, "m" indica o número total de bits. Para nós (trabalhando com 8 bits),seria excesso 2 ^ 7. Para representar um número (positivo ou negativo) em 2 excesso^ 7, comece tomando o número na representação binária regular. Em seguida,adicione 2 ^ 7 (= 128) a esse número. Por exemplo, seria 7 128 + 7 = 135, ou 2 ^ 7 2 ^2 ^ 2 1 2 ^ 0, e, em binário, 10000111. Nós representaria -7 como 128-7 = 121, e, embinário, 01111001.

Nota:

A menos que você sabe que a representação tem sido usado, você não podedescobrir o valor de um número.Um número em excesso 2 ^ (m-1) é o mesmo que aquele número em complemento dedois, com o bit mais à esquerda invertida.Para ver as vantagens e desvantagens de cada método, vamos tentar trabalhar comeles.

Utilizando o algoritmo de regular para adição binário, adicionar (5 12), (-5 12), (-12 + -5), e (12 + -12) em cada sistema. Em seguida, converter de volta para númerosdecimais.

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Qual seria o número binário 1011 ser em notação decimal?

1011 = (1 * 2 ^ 3) + (0 * 2 ^ 2) + (1 * 2 ^ 1) + (1 * 2 ^ 0)



= (1 * 8) + (0 * 4) + (1 * 2) + (1 * 1)= 11 (em notação decimal)

Volte para a questãoTente converter esses números de binário para decimal:

10 = (1 * 2 ^ 1) + (0 * 2 ^ 0) = 2 +0 = 2111 = (1 * 2 ^ 2) + (1 * 2 ^ 1) + (1 * 2 ^ 0) = 4 +2 +1 = 710101 = (1 * 2 ^ 4) + (0 * 2 ^ 3) + (1 * 2 ^ 2) + (0 * 2 ^ 1) + (1 * 2 ^ 0) = 16 +0 +4 +0 + 1= 2111110 = (1 * 2 ^ 4) + (1 * 2 ^ 3) + (1 * 2 ^ 2) + (1 * 2 ^ 1) + (0 * 2 ^ 0) = 16 +8 +4 +2 + 0= 30Volte para a questãoTente alguns exemplos de adição binária:

1 1

111 111 111+110 +110 +110

_________________ 1 01 1101

1 11 1101 101 101

+111 +111 +111 ______________

0 00 1100

1 1 1111 111 111

+111 +111 +111 _______________ 0 10 1110

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Utilizando o algoritmo de regular para adição binário, adicionar (5 12), (-5 12), (-12 + -5), e (12 + -12) em cada sistema. Em seguida, converter de volta para númerosdecimais.Magnitude Assinado:

5 +12 -5 +12 -12 + -5 12 + -12

00000101 10000101 10001100 0000110000001100 00001100 10000101 10001100

___________________________________ 00010001 10010001 00010000 10011000

17 -17 16 -24

Um 'Complemento:



00000101 11111010 11110011 0000110000001100 00001100 11111010 11110011

_________________________________ 00010001 00000110 11101101 11111111

17 6 -18 0

Complemento de dois:

00000101 11111011 11110100 0000110000001100 00001100 11111011 11110100 ________________________________ 00010001 00000111 11101111 00000000

17 7 -17 0

Magnitude Assinado:

10000101 01111011 01110100 0000110010001100 10001100 01111011 01110100 ________________________________ 00010001 00000111 11101111 01111100

109 119 111 124

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