Competências e habilidades matemáticas na escola e fora ... · do varão equivalha à de duas...

Competências e habilidades matemáticas na Competências e habilidades matemáticas na

escola e fora dela: súmula de 25 anos de pesquisa

Jorge Tarcísio da Rocha FalcãoUniversidade Federal do Rio Grande do Norte

Grupo de Estudos e Pesquisas sobre o Trabalho –GEPET

www.gepet.org.br/

[email protected]

“A teoria não é um templo, e simum canteiro de obras”.

- Diretriz central deste exercício:

2

um canteiro de obras”.

Jean-YvesRochex, no parágrafo do livro “Vygotskietl’éducation”, em paráfrase a G.

Canguilhem, “Qu’est-ceunphilosopheen France aujourd’hui”, que escreveu: “La philosophie n’estpasuntemple, mais unchantier”.

- Contribuições subsidiadoras desta reflexão:

Belo Horizonte-MG - 18 a 22/07/2007

Pós-doutoramento no CNAM –Cadeira de Psicologia do

Trabalho, grupo de pesquisa Paris-FR- fevereiro a setembro 2010

Trabalho, grupo de pesquisa Clínica da Atividade

Paris-FR- fevereiro a setembro 2010

Concurso para professor-titularjunto ao departamento de

psicologia UFRN – Cadeira de Psicologia Cognitiva

Natal-RN - outubro 2010

Rio Claro - SP - novembro 2012

- A quem eu falo e de qual lugar eu falo:

Falo a educadores

matemáticos, notadamente

aqueles com regência de

classe em disciplinas de

matemática, e em trajetória de

Falo a partir da trajetória de

psicólogo cognitivo de

formação, psicólogo da

educação matemática e

atualmente psicólogo do matemática, e em trajetória de

formação acadêmica.

atualmente psicólogo do

trabalho.

Competências e habilidades matemáticas na escola e

fora dela: súmula de 25 anos de pesquisa

- E sobre o que pretendo falar?

Conjunto de crenças epistemológicas, teóricas e

metodológicas que foram centrais em minha

trajetória de formador e pesquisador nos últimos

25 anos.

Um conhecimento consiste em uma crença-afirmação (o sujeito enuncia algo em que acredita) junto com uma justificação (aquilo que o sujeito entende como lhe autorizando a dizer o que diz).

MCS – Romulo Campos Lins

... partindo-se aqui de determinado pressuposto acerca do caráter das crenças:

- E por que isso tem algum valor?

Tem interesse e valor na medida em que poderá contribuir para os processos de construção de significado, para cada um de vocês, em relação a determinados de vocês, em relação a determinados tópicos fundamentais na pesquisa e prática da educação matemática.

Gostaria de expor a vocês, nessa ocasião, reflexões

acerca dos cinco conjuntos de crenças seguintes:

- Crença 2: : Acerca “superioridade”do conhecimento conceitual-formal (savoir-dire, know-

how) em relação ao conhecimento prático, pragmático (savoir-faire, know-what).

- Crença 1:construções falsas em ciência podem ser substituídas por proposições verdadeiras.

7

-Crença 3: Matemática diz respeito a números e contas..

- Crença 4:“Matemática não é piolho que dá na cabeça de todo mundo”.

- Crença 5: Na aprendizagem da matemática, primeiro vêm aspectos concretos, depois os abstratos.

- Crença1: construções falsas em ciência podem ser substituídas por proposições verdadeiras.

O princípio essencial da fecundação se

encontra no esperma masculino, a fêmea

contribui apenas com uma espécie de alimento

para a semente masculina. Bem nutrida, essa

semente dá machos. Mal nutrida, produzirá

fêmeas.Aristóteles

(384 a.C. – 322 d.C.)

Henrique VIII

(1491-1547)

A marca registrada da ciência não é a veracidade perene, e sim a falseabilidade: toda formulação cientifica precisa ser construída de tal maneira que possa ser infirmada ou tornada falsa por uma descoberta, raciocínio, experimento ulterior.

(K. Popper)

Franz-Joseph Gall

O cérebro tem regiões

referentes a órgãos(38), sendo parte deles

dedicados aos instintos

(10), aos sentimentos

e faculdades morais

(12),faculdades

intelectuais-

perceptivas(14) Números, Comparação,


Cesare Lombroso (1835-1909)

O formato do crânio (“bossas”) e

peculiaridades da fisionomia

guardam relação direta com as

faculdades mentais e o caráter

do indivíduo (incluindo eventual

propensão ao crime).

Franz-Joseph Gall(1758-1828)

perceptivas(14)

efaculdades reflexivas

(2).

Números, aptidão para a matemática

Comparação, analogia.

Causalidade

9

“SeosholandesesnãotivessemsidoexpulsosdePernambucoem 1654,esteestadohojeestariabemmais evoluído.”Senso-comum pernambucano.

“Apresençadetubarõesnaspraiasrecifenseséanunciadapeloodorfortede melancia.”Idem.

Tags em mural de campus


Séc. XIX: “biologia é destino”.

Séc. XX: “A mentehumanacomeçacomoumafolha

embranco”.

“Não se fazumaomelettesemquebrarovos

”.

“Quem se parece se junta”.

campus universitário parisiense.

10

Representação social: estruturabásica(cf. Abric, in http://fr.wikipedia.org/wiki/Représentation_sociale

NN


NN

Núcleodarepresentação,

elementosorganizadores, estáveis e nãonegociáveis.

Elementosperiféricosinstáveis e negociáveis, queexercem o

papel de “primeirocinturãode defesa” do

núcleo principal.

SergeMoscovici(1925)

11

Construçãoteórica: estruturabásica(cf. http://rr0.org/personne/l/LakatosImre/index.html )

NN


NN

Núcleodurodateoria, não-

submetido à refutação.

Cinturãoprotetorde

“hipótesesauxiliares”, passíveis de

refutação.

Imre Lakatos(1922-

1974)

12

- Crença 1 REVISTA: o conhecimento captura o real em graus hierárquicos de eficácia

A água ferve a 100oC nas CNTP independentemente do fato de haver alguém por perto para se dar conta

disso.

As espécies evoluíram e evoluirão independentemente de Darwin e de

qualquer um de nós humanos.

13HTGLSS & Crenças HTGLSS & Crenças HTGLSS & Crenças HTGLSS & Crenças [1[1[1[1] ] ] ] [2] [3] [4][Conclusão][2] [3] [4][Conclusão][2] [3] [4][Conclusão][2] [3] [4][Conclusão]

Descrição/ Explicação A

Descrição/ Explicação B

Descrição/ Explicação C

Explicação Científica


A água ferve. Descrição/ Explicação D

Fenômeno

14

Perspectivas individuais

Perspectivas coletivas

HTGLSS & Crenças HTGLSS & Crenças HTGLSS & Crenças HTGLSS & Crenças [1[1[1[1] ] ] ] [2] [3] [4][Conclusão][2] [3] [4][Conclusão][2] [3] [4][Conclusão][2] [3] [4][Conclusão]







Fenômeno


Perspectivas coletivas

Construções sócio-histórico-culturais

15







Fenômeno


Perspectivas coletivasConstruções de baixo

compartilhamento

Construções de elevado

compartilhamento

16

Construções sócio-histórico-culturais

Qualquer forma de conhecimento é uma produção discursiva histórico-cultural humana.

Todo e qualquer conhecimento emerge da história e do contexto cultural, inclusive a perspectiva segundo a qual haveria determinado tipo de conhecimento que não emergiria.

A proposta de um conhecimento universal e descompromissado histórica e culturalmente teria compromisso com a defesa de uma perspectiva de


culturalmente teria compromisso com a defesa de uma perspectiva de conhecimento eurocêntrica e voltada para a manutenção de determinada hegemonia política e científica (D’Ambrósio, 2002).

17

Juristas árabes (780-850 d.C) referem-se à Álgebra como hisabal-fara'id, o cálculo da herança, segundo a lei corânica:

Alcorão (4, 11 e ss.):

"Allah vos ordena o seguinte no que diz respeito a vossos filhos: que a porção do varão equivalha à de duas mulheres. Se estas são mais de duas(13), corresponder-lhes-ão dois terços da herança. Se é filha única, a metade. A cada um dos pais corresponderá um sexto da herança, se deixa filhos; mas se não tem filhos e lhe herdam só os pais, um sexto é para a mãe. (...) ".

- Crença 2: acerca“superioridade”do conhecimento conceitual-formal (savoir-dire, know-how) em relação ao conhecimento prático, pragmático(savoir-faire, know-what).

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CIEB - CONGRESSO INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO BÁSICA – cidade do Porto - Portugal

6 E 7 DE SETEMBRO 2007 Os saberes oriundos da escola e aqueles oriundos da cultura extra-escolar: hierarquia ou

complementaridade?

QUESTÃO DE PROVOCAÇÃO APRESENTADA À PLATÉIA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA

PORTUGUESES (ensinos fundamental e médio):

Quem sabe mais?


Zé do Volks*, ensino fundamental incompleto,

trabalhador semi-autônomo em oficina mecânica de

capital nordestina.

Roberto*, formado pela SENAI (ensino

profissionalizante-mecânica de automóveis), mecânico empregado em oficina autorizada de capital

nordestina.

Paulo*, engenheiro mecânico, empregado em montadora brasileira de

automóveis .

* Personagens reais, nomes fictícios.

+-Gradiente de valoração social

20

Compétence: ”forma do conhecimento que permite agir com sucesso em situações reais da cultura” (Samurçay et Vergnaud, op. cit., pg. 56).


A pilotagem de uma jangada [como de qualquer embarcação provida de vela latina] se constitui em competência sócio-cultural complexa.

21

• O fato das competências pragmáticas serem menos passíveis de tradução em termos de linguagem não significa que elas sejam de natureza puramente “em ação”, pára-lingüísticas, a-semióticas.

• As formas de estudar as competências pragmáticas não


• As formas de estudar as competências pragmáticas não podem ser derivadas da metodologia de estudo das competências escolares.

• Tais competências são complementarese se constróem por caminhos diversos: generalizações horizontais para os conhecimentos pragmáticos, e generalizações verticais para os conhecimentos formais.

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Não existe conhecimento totalmente implícito, nem conhecimento

- Crença 2 REVISTA:competências práticase formal-conceituaisdizemrespeitoaformasdefuncionamentopsicológico complexo,semquesepossaanalisarumaapartirdecritériosereferênciasda outra..

O funcionamento psicológico humano em qualquer contexto não

pode ser considerado fora da mediação semiótica.

23

Não existe conhecimento totalmente implícito, nem conhecimento

totalmente “em ação”; caso isto seja aceito, tem-se que aceitar,

também, que cada um de nós tem conhecimento (implícito, “em

ação”) de todas as leis da físico-química envolvida no

funcionamento de nossos corpos. MCS/RCL

- Crença 3: matemática diz respeito a números e contas.

Do ponto de vista da análise psicológica da atividade matemática, aspectos relacionados à conceptualização devem ser considerados conjuntamente com aspectos relacionados à proceduralidade(Gérard Vergnaud, Alan Bishop).

A conceptualização A proceduralidade tem relação com o que A conceptualização diz respeito à compreensão dos princípios subjacentes a determinadas operações matemáticas.

A proceduralidade tem relação com o que Gérard Vergnaud chama de script-algoritmo, ou seja, procedimento baseado em “(...) uma regra ou conjunção de regras manipulatórias que permitem, diante de todo problema de uma classe previamente definida de problemas, achar uma solução em um número finito de passos, ou demonstrar que tal solução não existe” (Vergnaud, 1991).

Conceptualização

+

5 + 3 = 8

� - 3 = 5 Se 10 metalúrgicos montam 6 carros em 2 dias trabalhando

8 horas por dia, quantos carros serão produzidos por 8

metalúrgicos trabalhando 9 horas por dia durante 3 dias ?

- Crença3: matemática diz respeito a números e contas.

Conceptualização

Proceduralidade +

Conversa com Alan Bishop, Recife/maio 2006

5 + 3 = 8

1672 85 + 3 = �

- Crença 3 REVISTA: matemática diz respeito a auxiliares simbólicos para modelização de relações, resoluções de problemas e demonstrações

A idéia segundo a qual, em matemática, os aspectos cruciais dizem respeito a números e operações procedurais sobre os mesmos é fruto de transposição didática deste conteúdo.

Obstáculo didático

(cf. Bodanskii, 1991)

- Crença4: “Matemática não é piolho que dá na cabeça de todo mundo”.

Aprendizagem

da matemática

Aspectos genético-endógenos

• Boa dotação intelectual geral (QI –Fator G)

Aspectos didático-psicológicos:

•Bom professor

• Bom livro-texto

• Boa escolaFator G)

• Boa dotação intelectual específica (QI – Fator S)

- Gênero

Dados PISA (Program for International Student Assessment)-2003: a correlação entre as estimativas de QI e os escores de matemática e ciência foi 0,90 . [FONTE: http://www.jornalacidade.com.br/geral/ver_news.php?pid=87&nid=56107 ].

• Boa escola

• Bom clima emocional


Aprendizagem

da matemática

Processo que não pode ser circunscrito ao indivíduo.Processo que não pode ser circunscrito ao indivíduo.

Linguagem

Artefatos de mediação Interação social


Sistema de contagem decimal em língua japonesa: princípios básicos

- Crianças orientais (japonesas e outras) aprendem a contar em base decimal dois anos antes (em média) em relação a crianças

Enquanto isso, em língua francesa:

70 soixante-dix

75 soixante-quinze

80 quatre-vingts 90 quatre-vingt-dix

relação a crianças francesas.

(cf. Nunes e colaboradores, 1992)

Hazin, Leitão & Da Rocha Falcão, 2007:

aaaaCrianças portadoras de epilepsia são descritas na literatura como apresentando problemas graves na escola, especialmente em matemática.

aaaaComprometimentos cognitivos relacionados à


aaaaComprometimentos cognitivos relacionados à atividade matemática, nestas crianças, são muito menos estudados que aqueles relacionados à linguagem oral e escrita e à memória (Newmärker, 2000).

aaaaDentre tais comprometimentos, especial ênfase deve ser dada a dificuldades relacionadas à atenção e habilidades visuoespaciais.

1. Qual a natureza das dificuldades em matemática escolar demonstradas por crianças epilépticas?

• Algorítmico-procedural?

• Conceitual?


S1 Amanda

• Conceitual?

• Ambos?

2. As crianças epilépticas poderiam se beneficiar do auxílio de ferramentas mediacionais (próteses culturais)?

• Crianças epilépticas estudadas se beneficiaram do auxílio da representação cromática para a suplantação de dificuldades visuoespaciais.

H.(11 anos).

Ele e todos os outros sujeitos epilépticos foram capazes de


epilépticos foram capazes de explicitar o que cada cor representava (unidades, dezenas e centenas).

Com o auxílio deste procedimento mediacional, Hugo pôde organizar adequadamente o algoritmo da adição.

- Crença 4 REVISTA: o conhecimento, seja ele matemático, científico, moral, lingüístico ou artístico, não pode ser circunscrito à esfera da dotação/equipamento/herança individuais, porque o funcionamento cognitivo humano ocorre em contexto material: social, histórico e cultural.

Dois exemplos narrados na literatura:

- Crença5: na aprendizagem da matemática, primeiro vêm aspectos concretos, depois os abstratos.

1. Estágio sensório-motor

2. Estágio pré-operatório

3. Estágio das operações concretas

Desenvolvimento

Jean Piaget(1896-1980)

4. Estágio das operações formais

Sistema numérico

decimal

Material Dourado Pizzas Balanças de dois pratos


Sistema Numérico Decimal

Números Racionais(relação parte-todo)

Equivalência Algébrica

Sistema numérico decimal

Abstrato

Inferência de princípios, generalização.

“Subida” ao abstrato.

“Subida” ao concreto.

Exemplificação, particularização, aplicação.


“Subida” ao abstrato.

“Subida” ao concreto.

ConcretoMaterial dourado

A álgebra deve “esperar” para ser apresentada depois que os alunos já tiverem conseguido o domínio de alguns princípios aritméticos.

A aritmética é concreta, a álgebra é abstrata, e é

A álgebra demanda um amadurecimento cognitivo


álgebra é abstrata, e é natural que o concreto preceda o abstrato.

amadurecimento cognitivo (formalização) somente alcançado por volta do início da adolescência.

Jean Piaget(1896-1980)

A “prioridade” aritmética é responsável por alguns obstáculos didáticos importantes na introdução à álgebra elementar por volta da 6a / 7a. séries do I Grau, conforme mostram os dados dos pesquisadores soviéticos Davidov e Bodanskii:

A = B

C > D


C > D

__________

A + C __ B + D

Alunos de 6a. / 7a: “Não posso resolver esse problema, ele não tem números!”

Alunos de 1a. / 2a:

“A vai ficar com mais, porque ganhou mais!”

- Por que é desejável ensinar álgebra no início do ensino fundamental?A oferta conjunta de álgebra e aritmética no início (e ao longo) do ensino fundamental proporciona uma abordagem da matemática mais fiel àqueles aspectos mais centrais da matemática:

• Estabelecimento de relações generalizáveis.

• Consideração de domínios numéricos e não-numéricos (abertura para as


• Consideração de domínios numéricos e não-numéricos (abertura para as noções de estimativa, ordem de grandeza, limites de precisão): mais do que exata, a matemática é rigorosa!

• Integração com as estruturas aditivas e multiplicativas: se eu tinha uma quantidade� de bolinhas de gude e perdi 8 num jogo, tendo ficado com 4, para saber as bolinhas que eu tinha no início eu devo somar 4 com 8, pois a adição é a operação inversa da subtração: Se � - 8 = 4 então 4 + 8 = �

“Toda idéia, problema ou conjunto de conhecimentos pode ser suficientemente simplificada para ser entendida por qualquer

-Crença 5 REVISTA: A) aspectos concretos e abstratos da atividade matemática não são etapas lineares em processo unidirecional simples “baixo-alto”, mas momentos dialeticamente integrados no contexto da construção de significado nos campos conceituais matemáticos. -B) a proposição curricular de aritmética e álgebra não se subordina a ordem sequencial-temporal necessária, podendo tais conteúdos co-existirem no programa.

suficientemente simplificada para ser entendida por qualquer estudante particular, sob forma reconhecível“. [Jerome Bruner]

Nossa questão passa, portanto,a ser:queaspectosdaálgebrasão fundamentais,deformaaefetivamenteiniciarosalunosnessedomíniode conhecimento,ecomo fazê-lo didaticamente,emsetratandodasséries iniciais? [Bodanskii & Davydov]

- À guisa de conclusão...

- Conforme alertei já na abertura, não quis (e nem poderia) fazer aqui uma eugenia de idéias, uma faxina de mitos rumo à verdade.

- “Verdade” é uma categoria semântica jurídico-filosófico-religiosa, que foge ao escopo da ciência.

- Em ciência, trabalha-se com construtos teóricos em processo de - Em ciência, trabalha-se com construtos teóricos em processo de validação.

- Foram oferecidos aqui enunciados e contra-enunciados, crenças seguidas de versões revistas, como forma de se refletir sobre um percurso temporal de reflexão e pesquisa.

- Nos embates sugeridos pelos tópicos explorados, muitos interlocutores [não explicitamente mencionados aqui] foram de auxílio fundamental nos avanços conseguidos.

- À guisa de conclusão...

- O debate não se conclui aqui nem se concluirá jamais.

- O percurso montanha acima é íngreme, às vezes a pedra escorrega para baixo, e a montanha não pára de crescer! a montanha não pára de crescer!

(Cf. imagem sugerida pelo prof. Ubiratan D´Ambrósio em uma de suas palestras)

- Por hora, tomara que este relato de embates de crençastenha feito sentido e sirva de alguma forma para o encaminhamento dos embates de cada um(a) de vocês.

... levando de volta a

Natal um pé vermelho

de coração!de coração!

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