CÁLCULO NUMÉRICONOTAS DE AULA

Julia Grasiela Busarello WolffDepartamento de Matemática – DMAT

CCT – UDESC2011/II

COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS PARAENCONTRAR RAÍZES DE EQUAÇÕES

(ZEROS DE FUNÇÕES)

O objetivo é comparar os cinco métodos numéricos estudados para encontrar zeros de funções: o método dabissecção, o método da posição falsa ou da falsa posição ou regula falsi, o método de Newton-Raphson ou métododas tangentes, o método da secante e o método do ponto fixo ou da iteração linear.

Os critérios de comparação são: 1) a garantia de convergência, 2) a rapidez na convergência, que diz respeitoao conceito de ordem de convergência, o qual difere para cada um dos métodos e 3) o esforço computacional.

Esforço computacional é o volume de operações necessárias a cada iteração. Ordem de convergência é a rapi-dez com que determinado método gera sequências convergentes {xk} para a raiz aproximada.

Sabe-se que o método da bissecção e o método do ponto fixo têm ordem de convergência linear, ou seja,p = 1, o método da posição falsa e o método da secante têm ordem de convergência superlinear ou supralinear,

p =(1 +

√5)

2' 1, 618 . . .. Já o método de Newton-Raphson é o único, dentre os métodos vistos, que possui or-

dem de convergência quadrática: p = 2. Isso significa que, os métodos que possuem ordem de convergência linear(p = 1) são os que convergem mais lentamente em relação aos que possuem ordem de convergência supralinear ousuperlinear (p = 1, 618...). Contudo, o método de Newton-Raphson é o mais rápido de todos por possuir ordemde convergência quadrática (p = 2).

A garantia de convergência é outro aspecto fundamental na comparação entre os métodos. O método da bis-secção converge sempre, desde que f(x) seja contínua em um intervalo [a, b] que contém a raiz ξ, se f(a)·f(b) < 0

e, se f ′(x) < 0. Seu cálculo é simples de ser realizado pois a função de iteração xn =a+ b

2é a média aritmética

simples dos limites do intervalo. Sua desvantagem é a lentidão no processo. Por isso, recomenda-se o seu usoapenas para reduzir o intervalo que contém a raiz. Outra vantagem do método da bissecção é que se tem a pos-sibilidade de determinar, a priori, o número de iterações necessárias para a convergência do processo quando seconhece o intervalo I = [a, b] que contém a raiz e o valor do erro ε. Porém, se ε for muito pequeno, o processotende a ter muitas iterações.

Para os demais métodos, a convergência depende de vários fatores além de f(x) ser contínua em um dadointervalo. Por exemplo, no método do ponto fixo ou da iteração linear a convergência depende de, após encontraruma função de iteração ϕ(x) que irá substituir a função dada no problema f(x), deve-se calcular o módulo daderivada da função de iteração ϕ′(x) no ponto x0, que corresponde a aproximação inicial (estimativa para a raiz),também dada no problema. Com isso, avalia-se o seguinte:

• se |ϕ′(x0)| < 1 o processo irá convergir para a função de iteração ϕ(x) encontrada;

• se |ϕ′(x0)| > 1 o processo não irá convergir para a função de iteração ϕ(x) encontrada, portanto, deve-seprocurar outra função de iteração.

A maior dificuldade neste método é encontrar rapidamente uma função de iteração que satisfaça à condição deconvergência. E ainda, o teste de |ϕ′(x0)| < 1 pode levar a um engano se x0 não for próximo da raiz. Aqui, avelocidade de convergência depende de |ϕ′(ξ)|, então, quanto menor este valor mais rápida será a convergência.

1

O método da posição falsa, que utiliza como função de iteração a média aritmética ponderada com pesos |f(b)|

e |f(a)|, respectivamente, ou seja, xn =a · f(b)− b · f(a)f(b)− f(a)

; produz uma sequência convergente {xk} contanto

que f(x) = 0 seja contínua no intervalo [a, b] e que f(a) · f(b) < 0. Também, quando f(x) é derivável duas vezesem [a, b] e a derivada segunda da função não muda de sinal nesse intervalo, ou seja, quando f ′′(x) < 0, o métodoconverge para a raiz.

No método de Newton-Raphson a função f(x) deve ser contínua no intervalo [a, b] e ξ o seu único zero nesteintervalo. A derivada primeira f ′(x) deve ser diferente de zero e a derivada segunda f”(x) não necessariamenteprecisa ser diferente de zero, porém ambas também devem ser contínuas no intervalo. A função de iteração é

xk+1 = xk−f(xk)

f ′(xk). Para o método de Newton-Raphson ocorre que, se escolhermos b = x0 e x0 próximo da raiz

ξ, o processo convergirá. É condição suficiente para a convergência do método de Newton-Raphson que: f ′(x) ef”(x) sejam não nulas e preservem o sinal em (a, b) e x0 seja tal que f(x0) · f”(x0) > 0. A desvantagem é que ométodo requer o conhecimento da forma analítica da derivada (tabela de derivadas), e ainda, se a função for muitocomplexa ou de difícil derivação, muitas vezes pode induzir ao erro da derivada e, consequentemente, ao erro noprocesso de busca de zeros da equação não-linear. Outra desvantagem é que este método exige um bom “chute”inicial, caso contrário, o processo poderá demorar muito tempo para convergir ou até mesmo não convergir para araiz esperada.

Para o método da secante a função de iteração é xk+1 =xk−1 · f(xk)− xk · f(xk − 1)

f(xk)− f(xk−1), onde xk e xk−1

são duas aproximações iniciais para a raiz. As condições para a convergência são as mesmas do método deNewton-Raphson com o acréscimo da seguinte: se f(xk) ≈ f(xk−1) o processo pode divergir, pois o quocientede diferenças do método da secante pode se tornar muito próximo de zero ou nulo.

Os critérios de parada podem ser dados no problema, porém, quando não forem dados, o programador deveescolher um critério dentre as seguintes opções:

1. |xk − xk−1| < ε;

2. |f(xn)| < ε;

3.|xk − xk−1||xk|

< ε ou|f(xn)||f(x)|

< ε – teste do erro relativo;

4. |xn − ξ| – pode ser utilizado quando se conhece a raiz analítica da equação f(x) = 0;

5. |b− a| < ε – utilizado no método da bissecção.

A determinação do máximo número de iterações também pode ser escolhida como critério de parada para osmétodos numéricos.

O número de iterações efetuadas pelo método da bissecção pode ser maior do que no método de Newton,entretanto, no caso da bissecção não precisamos calcular a derivada da função, nem escolher x0 próximo de ξ e,ainda assim, teremos a convergência garantida. Mas, o método de Newton pode ser muito mais rápido na determi-nação da raiz da equação usando um número muito menor de iterações, desde que verifiquemos com cuidado asexigências desse método para a convergência. O método da posição falsa pode não atingir a precisão requerida de-pendendo do critério de parada adotado. O método da secante deve ser usado a fim de evitar o cálculo da derivadada função. Devemos observar também que, se a derivada da função for nula, no quociente da função de iteraçãode Newton-Raphson, o processo não converge para a raiz da equação.

Contudo, conclui-se que a escolha do método depende da equação, do erro, do critério de parada e do progra-mador.

2

EXERCÍCIOS PRÁTICOS

1. Calcular a raiz da equação f(x) = e−x2−cos(x) com ξ ∈ (1, 2) e ε = 10−4, com os cinco métodos conheci-

dos e usando um programa computacional a seu critério. Preencher a seguinte tabela com as informaçõessolicitadas e após análise, concluir a respeito dos cinco métodos:

Tabela 1:Parâmetros Bissecção Posição Falsa Método do Ponto Fixo Newton-Raphson Secante

Dados iniciais [1, 2] [1, 2] x0 = 1, 5 x0 = 1, 5 x0 = 1, 0; x1 = 2, 0

xn

f(xn)

Erro em x

Número de iterações

2. Calcular a raiz da equação f(x) = x3 − x− 1 com ξ ∈ (1, 2) e ε = 10−6, com os cinco métodos conheci-dos e usando um programa computacional a seu critério. Preencher a seguinte tabela com as informaçõessolicitadas e após análise, concluir a respeito dos cinco métodos:

Tabela 2:Parâmetros Bissecção Posição Falsa Método do Ponto Fixo Newton-Raphson Secante

Dados iniciais [1, 2] [1, 2] x0 = 1, 0 x0 = 0 x0 = 0; x1 = 0, 5

xn

f(xn)

Erro em x

Número de iterações

3. Calcular a raiz da equação f(x) = 4 sin(x)−ex com ξ ∈ (0, 1) e ε = 10−5, com os cinco métodos conheci-dos e usando um programa computacional a seu critério. Preencher a seguinte tabela com as informaçõessolicitadas e após análise, concluir a respeito dos cinco métodos:

Tabela 3:Parâmetros Bissecção Posição Falsa Método do Ponto Fixo Newton-Raphson Secante

Dados iniciais [0, 1] [0, 1] x0 = 0, 5 x0 = 0, 5 x0 = 0; x1 = 1, 0

xn

f(xn)

Erro em x

Número de iterações

4. Calcular a raiz da equação f(x) = xlog(x)− 1 com ξ ∈ (2, 3) e ε = 10−7, com os cinco métodos conheci-dos e usando um programa computacional a seu critério. Preencher a seguinte tabela com as informaçõessolicitadas e após análise, concluir a respeito dos cinco métodos:

Tabela 4:Parâmetros Bissecção Posição Falsa Método do Ponto Fixo Newton-Raphson Secante

Dados iniciais [2, 3] [2, 3] x0 = 2, 5 x0 = 2, 5 x0 = 2, 3; x1 = 2, 7

xn

f(xn)

Erro em x

Número de iterações

BOA-SORTE!

3