Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

geometria e medidas

análise de dados e probabilidade

Com quantas cores posso pintar um mapa?

Objetivos da unidadeApresentar o Teorema das Quatro Cores;1. Introduzir questões de Topologia;2. Capacitar o aluno a tomar decisões de acordo com determinadas 3. restrições.

Guia do professor

SinopseNeste experimento, abordaremos o Teorema das Quatro Cores. Os alunos serão convidados a pensar sobre como colorir diversos mapas utilizando apenas quatro cores. Posteriormente, trocaremos os mapas por curvas fechadas, e proporemos aos alunos pintá-las também com o mínimo de cores possível. No Fechamento, apresentamos a demonstração do caso das curvas fechadas e sugerimos alguns jogos e um desafio.

ConteúdoGeometria, Topologia.

ObjetivosApresentar o Teorema das Quatro Cores;1. Introduzir questões de Topologia;2. Capacitar o aluno a tomar decisões de acordo com determinadas res-3. trições.

DuraçãoUma aula dupla.

Com quantas cores posso pintar um mapa?

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Introdução

O Teorema das Quatro Cores afirma que todo mapa pode ser colorido com quatro ou menos cores, respeitando-se a condição de que países vizinhos, com alguma linha de fronteira em comum, tenham cores diferentes. Conta-se que, em 1852, o então jovem matemático, Francis Guthrie, estava colorindo um mapa dos condados da Inglaterra. Enquanto pintava, estava atento em não colorir com a mesma cor países que dividissem alguma linha de fronteira. Guthrie notou, experimentalmente, que quatro cores seriam suficientes para colorir todo o mapa. Como matemático, tentou fazer uma demonstração acerca de sua descoberta, mas isso estava longe de ser encontrado facilmente. Este problema ficou cada vez mais conhecido por outros matemáticos, inclusive pela Comunidade Matemática Britânica. Assim, em 1879, Alfred Bray Kempe publicou um artigo no qual supostamente dava uma demons-tração de que quatro cores são suficientes para colorir qualquer mapa. Porém, onze anos depois, em 1890, Percy John Heawood apontou um erro sutil na demonstração de Kampe e foi capaz de demonstrar que cinco cores são suficientes para colorir qualquer mapa. Apenas em 1976, mais de um século após o problema ter sido conjec-turado, Wolfgang Haken e Kenneth Appel demonstraram que quatro cores são, de fato, suficientes. O trabalho de Haken e Appel foi o primeiro resultado de impacto cuja prova foi feita utilizando um computador. Basicamente, o que eles fizeram foi exibir um conjunto de 1936 mapas, de forma que qualquer contraexemplo para o teorema pode ser descartado através da análise de um desses mapas. Foi uma prova engenhosa, que necessitou de um programa de computador especialmente escrito para encontrar certas compatibilidades entre os mapas. Em 1996, uma nova demonstração foi apresentada por quatro mate-máticos, Neil Robertson, Dan Sanders, Paul Seymor e Robin Thomas. No entanto, além de bastante complexa, também exige a análise de um número gigantesco de casos particulares no computador, o que impossi-bilita que a prova seja escrita formalmente.

Motivação

Formalmente, o conteúdo abordado por este experimento não faz parte da grade curricular do Ensino Médio. Porém, trata-se de um problema de formulação simples que motivou o trabalho de muitos matemáticos e que mistura elementos de geometria e grafos de maneira bastante acessível e atraente. Esta pode ser uma boa oportunidade para colocar os seus alunos em contato com questões matemáticas realmente complexas e atuais.

O experimento

O experimento está dividido em duas etapas e o Fechamento. As ativi-dades estão organizadas de forma intuitiva, em ordem crescente de difi-culdade.

Etapa 1 O problema das quatro cores

Na primeira etapa, os alunos são convidados a colorir diferentes mapas tentando utilizar o menor número de cores possível. Ao longo desta etapa, incentive os alunos a criarem suas próprias conjecturas de quantas cores são suficientes para pintar qualquer mapa. Ao final, mencione o Teorema das Quatro Cores.

Quem não tem quatro, caça com cincoO objetivo principal desta seção é apresentar uma demonstração do Teorema das Cinco Cores. Como dissemos na Introdução, a demonstração do Teorema das Quatro Cores utiliza um programa de computador, o que

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podemos fazer um pequeno círculo em torno de ABC, juntando seu interior a uma das regiões e obtendo um novo mapa onde cada vértice está conec-tado com exatamente três fronteiras.

O novo mapa conterá o mesmo número de regiões do mapa anterior. A região que foi aumentada tem, no entanto, mais vizinhos. Se este novo mapa, que é regular, puder ser colorido com cinco cores, o mapa original também o pode. Assim, é suficiente demonstrar o teorema para mapas regulares. Vamos iniciar demonstrando dois fatos que serão utilizados para provar o Teorema das Cinco Cores. O primeiro deles é entender que a fórmula de Euler (V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1) vale para o mapa. Considere um mapa regular no plano com V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 vértices,

dificulta sua escrita formal num papel. Felizmente, para cinco cores a tarefa é possível (daí o título dessa seção).

A arte de colorir mapas – do ponto de vista matemático.

Dizemos que um mapa está apropriadamente colorido, ou simplesmente colorido, quando duas regiões que tenham qualquer fronteira em comum estão pintadas com cores diferentes. Regiões que possuem apenas um ponto em comum podem receber a mesma cor. A região que fica por fora do mapa, denominada oceano, também precisa estar pintada. Três regiões mutuamente vizinhas em um mapa possuem exatamente um ponto em comum denominado vértice. Os contornos do mapa que conectam dois vértices são denominados fronteiras. É importante salientar que, conforme definido acima, os vértices de um mapa são diferentes dos vértices de cada região que forma o mapa. Na figura abaixo os pontos ABC e ABC são vértices do mapa. O ponto ABC, ao contrário, não é considerado um vértice do mapa.

Iremos nos concentrar em mapas cujas regiões são limitadas por polí-gonos fechados ou fronteiras circulares. Vamos supor também que a cada vértice do mapa estejam conectadas exatamente três fronteiras. Tal mapa é denominado regular. Essas suposições não implicam perda da generalidade. Se um mapa possui algum vértice ABC que esteja conectado com mais de três fronteiras,

B C

A

fig. 1

A

fig. 2

fig. 3

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DemonstraçãoSeja Fn o número de regiões com Fn n F F= F2+F3+ . . .+Fk 2A= 3V 2F2+3F3+ . . .+ vértices e Fn n F F= F2+F3+ . . .+Fk 2A= 3V 2F2+3F3+ . . .+ o número total de regiões no mapa. Note que, se uma dada região não tem vértices ou tem apenas um vértice, então ela tem apenas um país vizinho e podemos colori-la com qualquer cor, exceto com a cor do vizinho. Como essas regiões não causam problemas, vamos deixá-las de lado e supor, no resto da prova, que elas não estão presentes. Assim, temos que

Fn n F F= F2+F3+ . . .+Fk 2A= 3V 2F2+3F3+ . . .+. (1)

Cada fronteira está ligada a exatamente dois vértices e em cada vértice se conectam três fronteiras. Se V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 é o número total de fronteiras no mapa e V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 é o número total de vértices, temos

Fn n F F= F2+F3+ . . .+Fk 2A= 3V 2F2+3F3+ . . .+. (2)

Os países com dois vértices têm duas fronteiras; países com três vizinhos têm três fronteiras, e assim por diante. Como cada fronteira pertence a dois países, o resultado da soma Fn n F F= F2+F3+ . . .+Fk 2A= 3V 2F2+3F3+ . . .+ é igual ao dobro do número de fronteiras no mapa, isto é,

2A= 3V = 2F2+3F3+ . . .+ 6V−6A+6F= 12 4A= 6V 6F−2A= 12 F= F2+F3+ . . .. (3)

Multiplicando ambos os lados da fórmula de Euler (V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1) por seis, temos

2A= 3V = 2F2+3F3+ . . .+ 6V−6A+6F= 12 4A= 6V 6F−2A= 12 F= F2+F3+ . . .. (4)

De (2), podemos ver que 2A= 3V = 2F2+3F3+ . . .+ 6V−6A+6F= 12 4A= 6V 6F−2A= 12 F= F2+F3+ . . .. Substituindo em (4), temos

2A= 3V = 2F2+3F3+ . . .+ 6V−6A+6F= 12 4A= 6V 6F−2A= 12 F= F2+F3+ . . ..

V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 fronteiras e V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 regiões, incluindo o oceano. Estamos interessados em verificar que vale a relação V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1. Para tanto, observe que, se adicionarmos uma fronteira no mapa, esta-remos criando uma nova região. Neste caso, os valores de V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 e de V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 serão acrescidos de uma unidade. Como V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 e V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 têm sinais opostos na fórmula V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1, os aumentos serão cancelados e a relação não será alterada, ou seja, podemos acrescentar ou subtrair fronteiras sem alterar o valor de V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1. Também podemos inserir um ponto (um pseudovértice) sobre uma fronteira qualquer. Fazendo isso, estaremos adicionando também uma fronteira a mais. Ou seja, o valor de V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 e de V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 aumentarão em uma unidade. Como V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 e V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 têm sinais opostos na fórmula V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1, os aumentos serão cancelados e a relação não será alterada. Assim, podemos ir apagando regiões no mapa, produzindo um mapa cada vez menor, com menos regiões, menos fronteiras e menos vértices, até chegar a um mapa com uma única região poligonal. Sem perder a gene-ralidade, vamos contar todos os vértices e lados dessa região poligonal. Neste mapa, podemos triangularizar a região, incluindo fronteiras, sem alterar V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1. Finalmente, apagamos todas as regiões criadas, exceto um triângulo. Neste triângulo teremos V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1, V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1, V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1 e, portanto,

V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1. Como as alterações feitas no mapa original para produzir o último triângulo não afetam V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1, concluímos que no mapa original também vale V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1. Note que, ao contar os elementos para o triângulo, não incluímos o oceano. Fazendo isso, chegamos a V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1. Ou seja, a relação de Euler, V+F−A= 2 V = 3 F= 1 A= 3 V+F−A= 1, vale para o mapa. Com isso, podemos demonstrar o seguinte fato:

Todo mapa regular contém pelo menos uma região poligonal com menos de seis lados.

Lema 1

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basta voltar ao mapa original (devolvendo a fronteira retirada) e pintar a região M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) com uma cor diferente das de seus vizinhos.

Como 2A= 3V = 2F2+3F3+ . . .+ 6V−6A+6F= 12 4A= 6V 6F−2A= 12 F= F2+F3+ . . ., chegamos a

6(F2+F3+ . . .)−(2F2+3F3+ . . .) = 12 (6−2)F2+(6−2)F2+(6−3)F3+(6−4)F4+(6−5)F5+(6−6)F6+(6−7)F7+ . . . = 12 F2 F3 F4 F5,

que pode ser escrita na forma

6(F2+F3+ . . .)−(2F2+3F3+ . . .) = 12 (6−2)F2+(6−2)F2+(6−3)F3+(6−4)F4+(6−5)F5+(6−6)F6+(6−7)F7+ . . . = 12 F2 F3 F4 F5

6(F2+F3+ . . .)−(2F2+3F3+ . . .) = 12 (6−2)F2+(6−2)F2+(6−3)F3+(6−4)F4+(6−5)F5+(6−6)F6+(6−7)F7+ . . . = 12 F2 F3 F4 F5.

Como o lado direito da última equação é um número positivo, podemos concluir que pelo menos um dos números 6(F2+F3+ . . .)−(2F2+3F3+ . . .) = 12 (6−2)F2+(6−2)F2+(6−3)F3+(6−4)F4+(6−5)F5+(6−6)F6+(6−7)F7+ . . . = 12 F2 F3 F4 F5, 6(F2+F3+ . . .)−(2F2+3F3+ . . .) = 12 (6−2)F2+(6−2)F2+(6−3)F3+(6−4)F4+(6−5)F5+(6−6)F6+(6−7)F7+ . . . = 12 F2 F3 F4 F5, 6(F2+F3+ . . .)−(2F2+3F3+ . . .) = 12 (6−2)F2+(6−2)F2+(6−3)F3+(6−4)F4+(6−5)F5+(6−6)F6+(6−7)F7+ . . . = 12 F2 F3 F4 F5, 6(F2+F3+ . . .)−(2F2+3F3+ . . .) = 12 (6−2)F2+(6−2)F2+(6−3)F3+(6−4)F4+(6−5)F5+(6−6)F6+(6−7)F7+ . . . = 12 F2 F3 F4 F5 deve ser positivo. Ou seja, o mapa deve conter pelo menos uma região com menos de seis lados, e o Lema 1 está provado. W

Vamos iniciar agora a demonstração do teorema.

O Teorema das Cinco Cores

Todo mapa pode ser colorido com, no máximo, cinco cores.

DemonstraçãoPelo Lema 1, podemos considerar que o mapa possui pelo menos uma região com menos de seis fronteiras (menos de seis vizinhos). Vamos separar a demonstração em dois casos.

Caso 1: O mapa contém uma região M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) com 2, 3 ou 4 vizinhosNeste caso, para pintar o mapa M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) com M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) regiões, vamos remover uma das fronteiras da região M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2), unindo-a, momentaneamente, a alguma região vizinha. O mapa M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) resultante será regular, com M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) regiões. Como a região M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) possui no máximo quatro vizinhos, se M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) puder ser colorido com cinco cores, o mapa original M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) também poderá. Para tanto,

Teorema

fig. 4 M.

fig. 5 M1.

fig. 6 M pintado.

R

R

R

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Procedendo de acordo com o descrito nos casos 1 e 2, podemos converter qualquer mapa regular M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) em um novo mapa M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) que tem M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) ou M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) regiões, com a seguinte propriedade: se M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) puder ser pintado com cinco cores, M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) também poderá. Esse processo pode ser aplicado recursivamente a M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2), produzindo uma sequência de mapas M1, M2, M3, . . . , Mj+1 Mj+1 M(j−1) tal que, se M1, M2, M3, . . . , Mj+1 Mj+1 M(j−1) puder ser pintado com cinco cores, então M1, M2, M3, . . . , Mj+1 Mj+1 M(j−1)M1, M2, M3, . . . , Mj+1 Mj+1 M(j−1) também poderá. Como o número de regiões nos mapas dessa sequência sempre diminui, chegaremos a um mapa que contém cinco ou menos regiões. Tal mapa pode claramente ser colorido com, no máximo, cinco cores. Assim, retornando etapa por etapa, concluímos que o mapa original M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) pode ser colorido com cinco cores, o que completa a prova. W

Note que a prova apresentada é construtiva, no sentido de que pode ser perfeitamente aplicável na prática para colorir qualquer mapa com cinco cores em um número fi nito de passos.

Etapa 2 Curvas fechadas

Na segunda etapa são analisados mapas especiais, formados por curvas fechadas. O desafi o proposto é: Quantas cores são sufi cientes para colorir este tipo de mapa?

Caso 2: O mapa contém uma região M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) com 5 vizinhosNeste caso, vamos denotar por M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2), M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2), M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2), M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) e M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) as cinco regiões vizinhas a M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2). Sempre podemos encontrar duas dessas vizinhas que não estejam lado a lado. Vamos supor que M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) e M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) não são vizinhas entre si. Podemos remover as fronteiras de M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2), formando uma grande região que engloba M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2), M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) e M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2). O novo mapa será regular e terá M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) regiões. Se este novo mapa puder ser colorido com cinco cores, o mapa original M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) também poderá. Para tanto, basta voltar ao mapa original, devolvendo as fronteiras reti-radas. Neste caso, como M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) e M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) possuem a mesma cor, a região M R M1 (n−1) W1 W2 W3 W4 W5 (n−2) estará em contato com, no máximo, quatro cores distintas e uma quinta cor pode ser atribuída a ela.

fig. 7 M.

fig. 8 M1.

fig. 9 M pintado.

W2

W2

W2

W1

W1

W1

W5

W5

W5

W4

W4

W4

W3

W3

W3

R

R

R

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Os alunos terão a possibilidade de desenhar seus próprios mapas e chegarão à conclusão de que, neste caso, duas cores são suficientes. No Fechamento é apresentada uma demonstração para esse fato.

Fechamento

No fechamento do experimento é proposto um método para colorir qual-quer mapa formado por uma curva fechada utilizando apenas duas cores. Este método pode ser considerado como uma demonstração do resultado obtido na Etapa 2. O procedimento apresentado utiliza argumentos bas-tante simples e certamente será compreendido e apreciado pelos alunos. Para encerrar, é proposto um desafio. Na verdade, um super desafio. O mapa proposto nesse encerramento foi apresentado em 1º de abril de 1975, por Martin Gardner, editor por muitos anos da coluna de jogos mate-

máticos da revista Scientific American. Gardner publicou o mapa com a alegação de que eram necessárias cinco cores para colori-lo. Obviamente se tratava de uma brincadeira de 1º de Abril. No entanto, se passou um bom tempo até que uma solução com quatro cores fosse conhecida. Portanto, não esperamos que alguém resolva o desafio imediatamente. Mas, afinal, para que servem os desafios?

Variações

Os jogos propostos no Fechamento podem ser utilizados como motivação inicial do experimento. Para tornar os jogos mais difíceis, pode ser sugerido aos alunos con-siderar o oceano como uma grande região que também deve ser colorida (isso foi incluído na demonstração do Teorema das Cinco Cores, mas não estava explicitamente dito no Experimento).

Bibliografia

Courant, Richard; Robbins, Herbert. What is mathematic? An Elementary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press: New York, 1996.

fig. 10 Exemplo de mapa formado por curvas fechadas.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutorCristiano Torezzan

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira