com Professores do Ensino Médio Volume...
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1 Volume 1 Diálogos com Professores do Ensino Médio Luz, Câmera, Ação + Reação em Cadeia
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1 Volume 1Dilogoscom Professores do Ensino MdioLuz, Cmera, Ao+ Reao em Cadeia
1 Dilogos com Professoresdo Ensino MdioVolume 1Luz, Cmera, Ao+ Reao em Cadeia
FIRJAN FEDERAO DAS INDSTRIAS DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
PresidenteEduardo Eugenio Gouva Vieira
Vice-Presidente ExecutivoRicardo Maia
Superintendente do SESIAlexandre dos Reis
Diretora de EducaoAndrea Marinho de Souza Franco
Gerente de Educao BsicaGiovanni Lima dos Santos
Gerente de Educao a DistnciaAllain Jos Fonseca
FICHA TCNICA
2018 - Programa de Educao Continuada para Professores de Matemtica
Gerncia de Educao Bsica - GEBGiovanni Lima dos Santos
Coordenao Geral - DICEBHelio Frana Braga
Coordenao de ProduoFernando Celso Villar Marinho Filipe Irio da Silva
Elaborao tema 1Fernando Celso Villar Marinho Filipe Irio da Silva Gisela Maria da Fonseca Pinto
Elaborao tema 2Fernando Celso Villar Marinho Filipe Irio da Silva Gisela Maria da Fonseca Pinto
Produo de Recursos TecnolgicosAndr Luiz Souza Silva
Leitor Crtico Victor Giraldo
Reviso Pedaggica Maiara da Silva Conceio Barreto
Reviso GramaticalRodrigo Ferreira Abraho
Reviso TcnicaVincius do Nascimento Silva Mano
Projeto GrficoLiliane Duarte
Produo EditorialFellipe Camara Branco D'Oliveira Luis Gustavo GamaLuiz Felipe da Silva Ferreira Alexandre Figueiredo da Conceio
1 Dilogos com Professoresdo Ensino MdioVolume 1Luz, Cmera, Ao+ Reao em Cadeia
FICHA CATALOGRFICA
Finjan SESI
Diviso de Normas e Documentao - Biblioteca
S474s
Firjan SESISESI Matemtica : formao de professores : 1 ano do
ensino mdio / Firjan SESI. Rio de Janeiro : [s.n], 2018.105 p. : il., color.
Inclui bibliografiaISBN: 978-85-98246-05-5
1. Matemtica 2.Treinamento de pessoal 3. SESI Matemtica I.Ttulo
CDD 510
Firjan SESI
Av. Graa Aranha, 1 - Centro - Rio de Janeiro
Cep: 20030-002
SUMRIOApresentao...........................................................................................................................08
Tema 1 Luz, cmera, ao! ................................................................................ 17Introduo ................................................................................................... 19Sala de Professores .................................................................................. 20Aprofundamento ...................................................................................... 20
Ser que voc est atento? .............................................................. 20Discutindo o conceito de funo .....................................................21Funo como regra que transforma ...............................................27Funo como relao ........................................................................ 30Funo como regra ou relao entre grandezas ........................32Experincias com objetos ou situaes da vida real .................37
Atividades Prticas ...................................................................................37Matemtica e Suas Tecnologias ........................................................... 48
Recurso 1: Relao de Dependncia Cilindros ........................ 49Recurso 2 Manipulao com Cilindros .........................................51Recurso 3 Dana do Tangram .......................................................53
Ampliando Ideias .......................................................................................55Leitura Recomendada ........................................................................55Sugesto de Recursos Educacionais Digitais ..............................56Bibliografia Consultada .....................................................................57
Tema 2 Reao em cadeia .................................................................................... 59Introduo ................................................................................................... 61Sala de Professores ...................................................................................62
Sequncias como funes ................................................................63
Aprofundamento .......................................................................................63Funes Numricas .............................................................................65
Mtodo recursivo para determinao de razesdepolinmios .....................................................................75
Enumerabilidade e as surpresas do Infinito ................................ 80
Atividades Prticas .................................................................................. 84Experincias com objetos ou situaes da vida real ................ 84Investigao de Erros .........................................................................87
Matemtica e Suas Tecnologias ............................................................92Recurso 1: Descobrindo a Raiz Quadrada ....................................93Recurso 2: Descobrindo Razes ..................................................... 94Recurso 3: O Fractal Curva de Koch...............................................98Princpio da Induo Finita (Matemtica) ...................................101
Ampliando Ideias ......................................................................................101Leitura Recomendada .......................................................................101Princpio da Induo Ingnua ....................................................102Sugesto de Recursos Educacionais Digitais ............................103Bibliografia Consultada ...................................................................104
ndice Remissivo ........................................................................................................................... 106
Apresentao
A magia e a beleza da Matemtica nos encantam e surpreendem a cada dia. Somos professores apaixo-nados por essa rea do saber humano e reconhece-mos na educao o espao para reflexo e melhoria do ser humano e, consequentemente, da sociedade. A transformao social requerida para um mundo com mais harmonia e paz se instancia em cada um de ns, professores ou alunos, cidados ou gover-nantes, e depende da compreenso da complexi-dade da realidade. A Matemtica nos oferece ferra-mentas conceituais importantes para promover essa compreenso e a consequente transformao social. Esse fato, por si s, j justificaria a sua presena nos currculos escolares, mas acreditamos que o encan-tamento surpreendente da relao entre a abstrao e a realidade corresponda verdadeira inspirao para seu estudo na educao bsica.
O pblico-alvo dessa coleo so todos que, como ns, so apaixonados por essa cincia e, diariamen-te, contribuem para apresentar s novas geraes as belezas da Matemtica. Ns escrevemos esse material para voc, colega professor, de modo a refletirmos so-bre conceitos matemticos e propostas pedaggicas.
Toda jornada comea com o primeiro passo.Lao-Tse
Li Er ou Lao
Dan, mais
conhecido
como Lao-tse
que em chins
significa velho
mestre, uma
das maiores
personalidades
da filosofia
oriental.
Reza a lenda
que ele viveu
por volta do s-
culo VI antes de
Cristo, na poca
das Cem Escolas
de Pensamento.
Foi atribudo
a Lao-Tse a
autoria do Tao
Te King ou Livro
do Caminho e
da Virtude, um
dos livros mais
traduzidos do
mundo, ficando
atrs apenas
da Bblia.
Em nossa concepo, a autonomia pedaggica do-cente essencial para a promoo de uma aprendi-zagem efetiva. Portanto, esse material foi concebido como um ponto de partida para reflexes sobre o en-sino da Matemtica e do papel dessa cincia na inte-grao com os diversos campos do saber.
O primeiro passo...
Professor, a coleo Dilogos com Professores do Ensino Mdio, do SESI Matemtica, foi escrita por professores de matemtica atuantes na educao bsica e superior, nas redes municipal, estadual e fe-deral, e que participaram de vrios projetos de forma-o continuada em diferentes Estados do Brasil. As diferentes realidades vivenciadas nessas experincias nos motivaram a escrever esse material tendo como foco a sala de aula real, com professores e alunos re-ais e no os ideais.
O professor real tem muito interesse na aprendiza-gem dos alunos e pouco tempo para preparar e criar aulas novas. O aluno real est imerso em um mundo tecnolgico com muitos atrativos e que precisa ser motivado e apresentado s belezas e encantamentos da Matemtica. Por isso, pensamos em um texto que agregue reflexes sobre a nossa sala de aula e que busque na Matemtica a magia capaz de aguar a mente e despertar nos estudantes o mesmo interesse que nos encantou.
Os desafios da sala de aula real so complexos e, por isso, preciso mais do que o conhecimento Matem-tico para que os docentes consigam obter sucesso no ensino dessa cincia. No entanto, tal conhecimen-to fundamental. Nossa proposta no apresentar exaustivamente os conceitos matemticos, pois acre-ditamos que voc, professor, j os tm e, caso neces-
site consultar alguma literatura, poder recorrer aos muitos materiais j existentes para este fim.
Nossa proposta se baseia na exposio e debate de ideias a fim de refletirmos sobre os aspectos pedag-gicos da sala de aula real, os contedos matemticos e os recursos tecnolgicos disponveis, como se esse espao fosse a sala de professores na qual pudsse-mos compartilhar experincias e, aps esse dilogo, sairmos recarregados com a beleza e o encantamen-to da Matemtica, prontos para provocar, desafiar e motivar os estudantes.
Agradecemos por acreditar que juntos, nessa jorna-da, podemos fazer algo extraordinrio.
Obrigado por ter se aventurado nessa profisso ma-gistral e por fazer diferena na sociedade!
Um grande abrao, Equipe Sesi Matemtica.
Caractersticas da Coleo Dilogos com Professores do Ensino Mdio
Os doze livros da coleo abordam contedos do ensino mdio sem, necessariamente, seguir a divi-so curricular tradicional, mas buscando estabelecer relaes entre eles. Cada livro foi dividido em temas sobre conceitos matemticos e redigido como um dilogo entre os autores e os leitores. Por sua vez, os temas so divididos em quatro sees:
Atividades Prticas
Na Sala de Professores, apresentam-se dilogos entre personagens fictcios: professores que se en-contram na hora do recreio ou em tempos vagos e conversam sobre como ensinar um determinado contedo da matemtica.
A seo Atividades Prticas pode se dividir em duas subsees:
Experincias com objetos ou situaes da vida real
Exemplos de atividades com objetos fsicos ou anlises de situaes cotidianas cujo objetivo abordar o contedo matemtico destacado na seo anterior. So situaes de fcil com-preenso, criativas e motivadoras, que propi-ciam uma interao colaborativa entre alunos e professores.
Investigao de erros
Aprofundamento do debate sobre os concei-tos matemticos abordados a partir da anlise e discusso de exemplos de erros e equvo-coscomuns.
Na seo Matemtica e Suas Tecnologias so apre-sentados pelo menos dois recursos digitais elabo-rados especialmente para cada Tema, bem como orientaes metodolgicas de uso e algumas apli-caes pedaggicas para explorao dos conceitos matemticos abordados.
A seo Ampliando ideias poder se dividir em qua-tro subsees:
Leitura Recomendada
Textos comentados para aprofundamentos so-bre os conceitos matemticos abordados.
Sugesto de Materiais Didticos
Articulao do tema aos materiais disponibili-zados pelo programa SESI Matemtica.
Sugesto de Recursos EducacionaisDigitais
Apresentadas de forma resumida outras su-gestes de uso de recursos digitais disponveis: em sites de universidades; no Portal do Profes-sor; no Portal da TV Escola; no Portal Domnio Pblico; na plataforma de jogos on-line, etc; alm daqueles comentados na seo Matem-tica e suas tecnologias.
Referncias bibliogrficas utilizadas na elabora-o do tema.
TEMA
ano1 2
3
Mdulo 1 Mdulo 2 Mdulo 3 Mdulo 4
Reao em cadeia
Descomplicando o composto
O contnuo com discrio
Modelos de realidade
D3c1fr4ndo 4 M3ns4g3m
E o tempo levou...
O quarteto fantstico!
Luz, cmera, ao!
Luz, cmera, ao!1
19Mdulo 1
Introduo
Ns, professores, estamos familiarizados com aquele espao na escola que muitas vezes serve de refgio (fsico e mental) para trocarmos experincias e ideias com outros trabalhadores que tambm escolheram o magistrio como profisso. Sabe-mos o quanto relaxante chegar sala dos professores aps alguns tempos de aula. Voc vai conhecer a nossa sala dos professores e nela os professores Pedro e Francisco com quem voc vai conviver por bastante tempo. So personalida-des e perfis profissionais bastante distintos, mas que, nessa di-versidade, se completam e trocam experincias de forma en-riquecedora. As conversas entre Pedro e Francisco motivaro muitas reflexes...
Nosso intuito com essa abordagem em forma de narrativa fortalecer o aspecto da construo social de saberes, trazen-do diferentes pontos de vista que nos so familiares, por meio de um dilogo que serve de instrumento disparador da refle-xo, e, portanto, agente ativo na transformao que buscamos obter em ns mesmos e ao nosso redor.
Assim, seja bem-vindo sala de professores! Entre, sente-se, mas no se acomode, pois as novas ideias vo mexer com voc.
20Mdulo 1
Sala de Professores
Voc conhecer agora Francisco e Pedro, dois professores de matemtica que assim como voc procuram meios de ensinar determinados contedos de matemtica. Siga essa trajetria com eles e veja no que vai dar!
Aprofundamento
Ser que voc est atento?
No seu entendimento, sobre qual conceito matemti-co os professores Francisco e Pedro estavam conversando?
21Mdulo 1
Voc acertou se pensou em...
Propositalmente, no apresentamos uma definio de funo, afinal, h muitas definies equivalentes em livros didticos. Optamos por destacar caractersticas essenciais deste conceito, como a noo de dependncia e as ideias de ausncia de exceo e de ambiguidade, que nos permitem dizer se um dado ente matemtico ou no uma funo.
Discutindo o conceito de funo
A noo de dependncia fundamental na caracterizao do conceito de funo porque estabelece o aspecto relacional: uma coisa depende de outra coisa. Desse aspecto decorre a necessidade de compreenso sobre o que uma coisa, o que outra coisa e o que significa, propriamente, depender.
22Mdulo 1
Para sair da linguagem coloquial e buscar um entendimento mais consistente, podemos caracterizar coisa como sendo um atributo de um objeto ou o prprio objeto.
Por exemplo:
Clique para ver a animao
No exemplo anterior, a relao de dependncia, sob o ponto de vista matemtico, antissimtrica e conecta um objeto a outro de forma unvoca.
importante destacar que a relao no precisa ser expressa por meio de uma frmula algbrica, at porque os objetos re-lacionados por uma funo podem no ser numricos.
Dada uma unidade de medida de rea, por exemplo, na fun-o que associa um polgono sua rea, o objeto polgono no um ente numrico.
23Mdulo 1
Agora, o que significam as expresses ausncia de ambigui-dade e ausncia de exceo?
Essas expresses remetem s restries utilizadas na definio de funo.
Por exemplo:
Clique para ver a animao
No contexto matemtico mais amplo, desejamos que a noo de ausncia de ambiguidade seja interpretada como um elemento do domnio est associado a apenas um elemento do contradomnio.
24Mdulo 1
Clique para ver a animao
Ser que toda e qualquer relao entre objetos pode ser iden-tificada com uma funo?
Podemos dizer que a relao entre um valor financeiro e os itens que podem ser comprados com esse valor pode ser ca-racterizada como uma funo?
Em Resumo...
As ausncias de exceo e ambiguidade, utilizadas na caracterizao de funo, podem ser resumidas em cada elemento do domnio est associado a um nico elemento do contradomnio.
25Mdulo 1
A relao deixa implcita a noo necessria de dependncia: quan-do o valor em dinheiro muda, o que eu posso comprar tambm muda, certo? Entretanto, note que se eu tenho R$10,00, posso com-prar, por exemplo, 500 gramas de uma alcatra que custa R$ 14,98 por quilograma, ou ainda duas caixas de 2kg de sabo em p ao custo unitrio de R$5,00. Por ou-tro lado, se eu tivesse apenas uma moedinha de um centavo, certa-mente nada poderia comprar.
Neste exemplo, temos ambiguidade para o valor de R$10,00 h mais de uma escolha possvel de itens. Essa situao, apesar de apresentar claramente a ideia de dependncia, no apresenta a ausncia de ambi-guidade que seria necessria para caracteriz-la como funo.
26Mdulo 1
Imaginemos agora outra situao.
Considere a relao que associa retngulos aos cilindros obti-dos quando estes so girados em torno de um de seus lados. Seria essa relao uma funo? Vamos analisar. Para fixar ideias, considere um retngulo de dimenses 2 e 3. Este retngulo gerar, da maneira como definimos, dois cilindros diferentes, certo? Logo, a questo da ambiguidade est presente: um mes-mo retngulo gerou dois cilindros diferentes. Essa situao no pode representar uma funo. No h problemas com a exce-o, pois todo retngulo gera cilindro.
Conhecendo slidos a partir do giro sobre retngulos:
http://www.uff.br/cdme/solidos_revolucao/aluno02.html
As abordagens oferecidas pelos livros didticos podem ajudar na hora de escolher como comear a apresentar funes para os alunos. Contudo, uma anlise apurada dos textos impor-tante para que o livro no se torne um limitador aquele olhar crtico que agrega suas prprias ideias s existentes no texto e
http://www.uff.br/cdme/solidos_revolucao/aluno02.htmlhttp://www.uff.br/cdme/solidos_revolucao/aluno02.html
27Mdulo 1
ainda s ideias de outros textos existentes em outros livros. Va-mos discutir algumas ideias associadas ao conceito de funo nos livros didticos.
Funo como regra que transforma
Dados dois conjuntos no vazios A e B, uma funo de A em B uma regra que diz como associar cada elemento de A a um nico elemento de B. A funo transforma x de A em y de B.
Como Dizem
Para apoiar essa ideia, comum o uso de imagens equivalen-tes ao exemplo a seguir:
Mq
uin
a Fa
nt
stic
a
fo
to:
H
lio B
rag
a
28Mdulo 1
A mquina costuma ser associada, meta-foricamente, funo como lei que executa aes de transforma-o em objetos mate-mticos gerando novos objetos matemticos. Mantendo essa ideia em mente, podemos repre-sentar os elementos da funo da seguinte for-ma: o domnio seria o conjunto dos elementos
que sero transformados pela mquina; o contradomnio, o conjunto das transformaes possveis; e a imagem, o con-junto dos objetos transformados pela mquina.
Por outro lado, as situaes de transformao por mquinas que o aluno traz em seu acervo de conhecimentos vivencia-dos so de situaes nas quais a reversibilidade nem sempre existe: o milho se transforma em pipoca, mas transformar a pipoca em milho no exatamente possvel.
claro que no podemos criar limitadores de vocabulrio, in-clusive porque interessante que essas expresses venham espontaneamente dos alunos e transformao uma ex-presso que muito provavelmente surgiria deles. Precisamos apenas ressaltar sempre essa caracterstica de poder pensar na volta, na reversibilidade do processo de transformao. H
Clique para ver a animao
29Mdulo 1
casos em que a funo em estudo admite inversa, e a ca-racterizao via transformao pode se transformar em um obstculo epistemolgico para o aluno quando este associa o conceito de funo a transformaes irreversveis.
Quando representamos a mquina por meio do diagrama de setas entre dois conjuntos, usamos a ideia de associao para o conceito de funo, onde associamos elementos de dois conjuntos.
Essa uma imagem bastante comum no estudo das funes, concorda?
E muito bom construir essa representao a partir de outra, ou o contrrio: dada a representao no diagrama, construir outra representao para a mesma situao.
Um cuidado necessrio aqui o de evitar a exclusividade de um modo de representao muito importante que permi-tamos e estimulemos os alunos a transitarem entre diferen-tes modos de representar a funo, onde cada um vai ter em mente uma ideia ou concepo diferentes grficos, diagra-mas, esquemas, representaes pictricas, algbricas, verbais (orais ou escritas), ou alguma outra em que se consiga pensar.
Importante no sermos rgidos e inflexveis. No devemos usar somente uma imagem ou verbo indicando ao que se relacione ao conceito de funo. No queremos engessar o pensamento matemtico de nossos alunos, certo?
30Mdulo 1PO.LIS.S.MI.CA - Adjetivo, feminino singular de
polissmico que define algo com muitos significados.
Funo como relao
Inicialmente, cabe destacar diferenas de acepes do termo relao. Observe o trecho a seguir, j utilizado neste texto.
O aspecto essencial de dependncia utilizado na conceituao da funo o relacional. Assim, a dependncia pode ser entendida como uma relao, no seguinte sentido: (...) a afirmao a depende de b poderia ser escrita como a est relacionado a b, ou seja, h uma associao entre a e b.
A palavra relao foi utilizada como recurso de linguagem. De forma polissmica, usada como sinnimo de associao.
Por sua vez, a definio a seguir utiliza o termo relao com um significado particular.
Dados dois conjuntos A e B, no vazios, a relao que associa cada elemento x, do conjunto A, a um nico elemento y, do conjunto B, chamada de funo de A em B.
Como Dizem
Vamos esmiuar a definio anterior?
So dados dois conjuntos. Ento, essa uma condio an-terior e necessria para que se possa pensar sobre o objeto matemtico funo.
Funo pressupe sempre a existncia de dois conjuntos que tenham elementos para serem associados. Por isso, no faria sentido considerar dois conjuntos no vazios, certo? A ausn-cia de ambiguidade e de exceo v-se refletida na expresso a relao que associa cada elemento x de A a um nico ele-mento de B.
31Mdulo 1
Note, ainda, que a palavra relao posta como um substanti-vo pode ser definida matematicamente como algo mais am-plo do que o conceito de funo.
Dados os conjuntos no vazios A e B, chamamos de relao de A em B a terna ordenada (A, B, R) em que R AB.Dizemos que x est associado a y pela relao R (ou x se relaciona a y por R).
Dizemos que x no est associado a y pela relao R (ou x no se relaciona a y por R).
O subconjunto de A formado pelos primeiros elementos dos pares ordenados de R chamado domnio da relao D(R).O subconjunto de B formado pelos segundos elementos dos pares ordenados de R chamado imagem da relao Im(R).O conjunto B chamado contradomnio da relao CD(R).
No so raras, atualmente, as crticas encontradas definio formal da funo na qual se considera a relao como um subconjunto do produto cartesiano AB. Inegvel que essa conceituao, apesar de muito abstrata, a mais precisa.
No entanto, o grau de adequao dela aos alunos vai ser ava-liado por voc, professor, perante a sua turma. A preciso des-sa definio inquestionvel, mas por outro lado, pode no deixar margem para perguntas ou dvidas por uma falta de intimidade entre o aluno e a linguagem matemtica mais es-trita e precisa o aluno pode se sentir um tanto acuado pelo
matematiqus explcito e nem sequer vai saber formular uma
32Mdulo 1
pergunta ou entender que no entendeu. E isso tudo o que
no desejamos, certo?
A palavra conjunto, necessria nesta definio, precisa ser
explorada em toda a sua potencialidade, que inclui os conjun-
tos numricos, mas no se limita a eles. Podem ser utilizados
conjuntos de retngulos ou de cilindros, conjuntos de pessoas
ou quaisquer outros conjuntos que possamos imaginar. Por
isso, deve-se evitar restringir a compreenso do conceito de
funo s funes numricas.
Funo como regra ou relao entre grandezas
Inicialmente, cabe destacar diferenas de acepes do termo relao. Observe o trecho a seguir, j utilizado neste texto.
Dados os conjuntos A e B, uma funo : A B uma regraque determina como associar a cada elemento x de A umnico y=(x) em B.
Como Dizem
O que seria a regra nessa definio?
Precisamos problematizar aqui o que essa abordagem enfati-
za: apenas o lado algbrico da funo. E funo muito mais
que a lei algbrica que eventualmente a representa.
Outra questo importante que muito frequentemente encon-
tramos no estudo das funes a restrio s funes que
envolvam nmeros. Afirmaes como a indicada a seguir es-
A.CEP.O - Substantivo feminino que significa
o sentido em que a palavra empregada.
33Mdulo 1
timulam isso, o que pode limitar a compreenso do conceito
de funo.
A funo um modo especial de se relacionar grandezas.
Como Dizem
No problema dos retngulos que geram cilindros, por exem-
plo, se impusermos a restrio de que a rotao seja feita
em torno do lado menor do retngulo, acabamos com a
ambiguidade e temos uma funo que no relaciona gran-
dezas, mas dois objetos matemticos: retngulos e cilindros.
A definio que vemos a seguir enfatiza os trs elementos que
so fundamentais em uma funo: domnio, contradomnio e
correspondncia.
Sejam os conjuntos A e B, no vazios, uma relao de A em B uma funo quando associa a cada elemento x, perten-cente ao conjunto A, um nico elemento y, pertencente a B. Essa funo pode ser indicada por:
ou
O conjunto A denominado domnio (D()) e o conjunto B, contradomnio (CD()) da funo . Cada elemento y de B, que possui correspondente x em A, chamado imagem de x pela funo . O conjunto formado por todas as imagens denomi-nado imagem da funo (Im()).
34Mdulo 1
Destacar esses elementos fundamental, visto que ao alterarmos um deles, estamos alterando a funo: restringir ou expandir domnios ou contradomnios implica em obtermos funes diferentes ou at mesmo em deixarmos de ter uma funo.
Como vimos anteriormente, Pedro e Francisco, em sua con-versa, percebem a relao entre a edio do vdeo e a gerao de funes.
Hum... Entendo, Francisco. H uma relao entre a altura e o tempo de queda da caneta.
Mas a partir da sua soluo, passamos a ter uma relao que associa um tempo na
filmagem a uma imagem capturada na qual cada instante gravado est associado a uma nica imagem. Alm disso, quando formos
editar, se restringirmos o tempo total de gravao a intervalos menores, formaremos
novos vdeos, diferentes do original.
Sensacional, Pedro! Voc percebeu que, por coincidncia, utilizou o
termo imagem, nesse exemplo, no mesmo sentido dado ao conceito
matemtico correspondente?
35Mdulo 1
Se perguntamos: qual o domnio da funo ?, o alu-no poder responder que o domnio o conjunto {1,2,3}, pois existe a funo :{1,2,3},(x)=1/x,x{1, 2,3}. Agora, se a resposta desejada for o conjunto dos nmeros re-ais no nulos, * = - {0}, a pergunta deveria ser: qual o maior subconjunto de sobre o qual se pode definir essa funo?.
O conceito de funo um dos exemplos mais importantes de instrumento para o estudo dos fenmenos nas demais ci-ncias e o elemento integrador no mbito da prpria Matem-tica. interessante apresentar aos alunos situaes que reme-tam a funes numricas e no numricas.
Dentre as funes numricas, alm das usualmente trabalha-das, destacam-se as funes:
polinomial com grau maior que 2:
racional;
logartmica;
com mdulos;
dadas por mais de uma sentena;
do campo da estatstica e da probabilidade (que normal-mente no so estudadas como funes).
Vamos nos lembrar sempre da razo de as funes terem sido categorizadas: facilitar o estudo das regularidades e ca-ractersticas existentes em uma mesma famlia de funes.
36Mdulo 1
Ento, vale a pena destacar essas caractersticas para os alunos:
existncia de raiz;
formato de grfico;
equaes delas decorrentes;
tipo de crescimento e de concavidade;
comportamento no infinito;
existncia de assntotas etc.
Integrar a utilizao de recursos tecnolgicos como ambientes que esboam grficos e planilhas eletrnicas, alm de outros objetos de aprendizagem encontrados na internet, podem enriquecer o estudo. Vale lembrar que o uso de tabelas de pontos arbitrrios com objetivo de traar grfico de funo no pode ser tomado exclusivamente para se obter representaes grficas para as funes numricas.
Clique para ver a animao
37Mdulo 1
Sendo assim, na prxima seo utilizaremos uma atividade concreta para ilustrar uma proposta pedaggica de constru-o conceitual da noo de dependncia sem a necessidade do uso de nmeros. Na sequncia, investigaremos exemplos de dvidas e erros comuns que nossos alunos manifestam aps as primeiras abordagens sobre esse tema.
Agradecemos a sua visita em nossa Sala de Professores e es-peramos pelo seu retorno para tomarmos um caf. Obrigado!
Atividades Prticas
Experincias com objetos ou situaes da vida real
Professor, apresentaremos nesta seo uma atividade para construir o conceito de funo. Mais especificamente, a ati-vidade est relacionada construo do conceito de depen-dncia, de associao. Sabemos que cada sala de aula um ambiente nico e irreproduzvel. Assim, entendemos que ao ler a atividade, voc, Professor, saber se ela atende ao seu pblico e se poder extrair dela ideias que melhor se adaptem a sua realidade.
Portanto, nosso principal objetivo compartilhar ideias que, embora simples para ns, acreditamos que envolvam concei-tos sofisticados para o desenvolvimento de nosso aluno, auxi-liando-o em suas conexes mentais.
38Mdulo 1
Atividade: Comparando Cilindros
A atividade tem o objetivo de discutir a representao da re-lao de dependncia, sem utilizar nmeros no primeiro mo-mento, mas enfatizando como o uso de nmero pode otimi-zar essa representao. O foco est na comunicao e nas dificuldades decorrentes de algumas formas de representao da relao de dependncia entre vrios cilindros circulares e os respectivos permetros de suas bases.
Apesar de parecer uma atividade muito trivial para o ensino mdio, veremos que ela pode ser mais complexa do que pa-rece inicialmente. Por exemplo, a tendncia de muitos seria explicitar diretamente a relao entre a medida do raio da base dos cilindros e os permetros dessas bases. Mas, nesse mo-
39Mdulo 1
mento, no permitido utilizar frmulas ou nmeros. Como expressar essa relao com essas restries lingusticas? Va-mos l!
Material necessrio: Voc vai precisar de diversos cilindros de dimetros diferentes. Use copos, latas, garrafas, rolos de papel etc. Vamos usar tambm fitas coloridas (podem ser tiras de papel ou de tecido ou ainda barbantes coloridos), uma cor para cada cilindro.
Objetivo: Representar uma relao entre cada cilindro e o permetro de sua base, sem utilizar nmeros, letras ou qual-quer palavra.
A proposta consiste em usar tiras coloridas uma cor para cada cilindro para circundar a base dos cilindros, com cui-dado, de forma que o tamanho da tira fique do tamanho apro-ximado da circunferncia da base.
A primeira representao seria colocar, lado a lado, o cilindro
e a fita, com comprimento do permetro, de modo que a cor
da fita coincida com a cor do cilindro.
Importante ressaltar que, dessa forma, no se tem uma re-
presentao propriamente, visto que o prprio cilindro est
sendo usado. Como representar o cilindro utilizando as fitas
coloridas? Espera-se chegar indicao de uso da fita para
medir o dimetro do mesmo cilindro, respeitando a cor utili-
zada na medio precedente. Assim, para cada cilindro haver duas tiras com a mesma cor, uma representando o cilindro
40Mdulo 1
por meio do dimetro da base e a outra o permetro. Sendo cores diferentes para cilindros diferentes, a relao pode ser representada, por exemplo, dispondo as fitas menores do lado esquerdo e as fitas maiores do lado direito.
Essa configurao, por no usar diretamente os cilindros, pode ser considerada uma representao da relao original. A ideia, j facilitada pela cor, a de que existe uma relao di-reta entre as fitas de mesma cor.
Podemos mostrar um diagrama com setas conectando as fitas que possuem a mesma cor, obtendo algo como:
41Mdulo 1
Agora, a partir dessa representao, questione aos alunos se
h algum modo de representar, de forma mais resumida, essa
relao. Detalhe, ainda no permitido utilizar nmeros, letras
ou palavras...
Uma ideia seria transpor as fitas sobrepondo umas as outras,
obtendo uma representao:
Essa uma boa ideia e resolveria o problema, caso se garanta
que as fitas menores estejam sempre sobre as maiores e todas
estejam alinhadas de modo a ter um lado comum. H algum
modo fazer essa representao sem depender dessa garantia?
Sim. Para isso, vamos considerar duas semirretas: uma para
os dimetros e outra para os permetros. A origem da semir-
reta ir coincidir com o lado comum das fitas sobrepostas. O
outro extremo de cada fita ser substitudo por uma marca-
o nesta semirreta.
42Mdulo 1
Na figura anterior, fica evidente que o uso da cor ajuda a re-presentar a relao entre dois pontos, um de cada semirreta, que representam respectivamente o dimetro da base do ci-lindro e o comprimento dessa base.
Aqui devemos destacar como a matemtica est ajudando a otimizar essa forma de representao.
Para ajudar ainda mais nesse processo de otimizao da representao, seria
interessante no utilizar as cores. Mas, se isso for feito, como estabelecer a relao
entre os pontos das duas semirretas?
Poderiam utilizar setas ligando o ponto (dimetro) de uma semirreta ao ponto
(permetro) da outra. Observe o exemplo a seguir, ainda mantendo
as cores somente para fixar ideias.
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Ser que essa representao pode ser otimizada? Ser que essas setas ligando os pontos de duas retas podem ser substitudas por pontos? So perguntas a serem feitas aos alunos.
Que tal posicionar as semirretas mantendo a origem em comum? Em particular, elas po-deriam formar um n-gulo reto. Assim, po-demos ganhar ainda mais espao utilizando a representao que conhecemos. Na figu-ra ao lado, cada linha pontilhada pode ser substituda pelo ponto superior direito.
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44Mdulo 1
O principal objetivo da tarefa construir com o aluno uma relao de dependncia e mostrar que ela pode ser repre-sentada graficamente de forma otimizada. Note que em ne-nhum momento precisamos conhecer os valores numricos das circunferncias e dos dimetros. Apenas a representao de uma relao de forma abstrata, sem uso de nmeros ou expresses permitiu obter uma representao no sistema cartesiano.
Dois aspectos importantes dessa atividade merecemserdes-tacados:
- 1 -Os alunos podem construir
o conceito da representao cartesiana sem que o sistema de
coordenadas seja dado como algo pronto, como pode ter sido feito
em sries anteriores na matemtica ou mesmo em outras disciplinas tais como a geografia, no estudo
das coordenadas.
- 2 -Nem toda a funo pode ser representada graficamente no sistema de coordenadas
cartesiano. No exemplo utilizado nessa atividade, os elementos do domnio e suas imagens puderam
ser representados por pontos sobre semirretas. Uma relao
que associa um filho ao seu pai ou outra que associa um retngulo ao
cilindro obtido pela sua rotao sobre o seu menor lado, por
exemplo, no seriam passveis de representao no sistema de
coordenadas cartesiano.
Alm disso, a turma pode, de forma espontnea, utilizar os conceitos aqui expostos e ponderar se os pontos esto alinha-dos ou no, pensar sobre como seria essa representao se as semirretas fizessem um ngulo agudo ou um ngulo obtuso.
45Mdulo 1
Em geral, quando abordamos o plano cartesiano, fazemos uso de sistema de coordenadas ortonormal, ou seja, ortogonal e com a mesma escala.
Voc j pensou que essa abordagem restritiva
e apenas opcional?
Na verdade, uma opo que facilita o entendimento e vale muito a pena manter
essa conveno. Para ampliar ideias, que tal pensar em como representar o grfico de uma funo afim em um
sistema de coordenadas em que os eixos formem um ngulo de 45 graus?
Investigao de Erros
Professor, nesta seo apresentaremos erros comuns de inter-pretao dos nossos alunos,que foram encontrados nas salas de aula e que geraram debates interessantes sobre a temtica de funes.
Ser que voc j viveu algum desses erros?
Confira agora os exemplos a seguir:
46Mdulo 1
Exemplo 1:
Quando se trabalha a temtica de funo importante pedir aos alunos que escrevam exemplos de relaes de dependn-cia que caracterizem uma funo. Os exemplos podem ser o mais abstratos, como por exemplo: a relao filho de; a relao distncia onde mora da escola; etc.
Em uma sala de aula, um aluno descreveu a seguinte relao como funo:
A relao do produto com o preo dele.
Apesar de ser uma relao, sob o ponto de vista matemtico, a relao acima no uma funo. Pois, cada produto possui diversos preos, dependendo do local em que comerciali-zado. Em um mesmo supermercado, o desejvel que o pro-duto possua apenas um preo, esse seria o ideal, e constituiria uma funo, como j vimos antes.
Por outro lado, vemos no dia a dia que um mesmo produto pode ser comprado por preos que variam de acordo com a regio, oferta e demanda, pblico-alvo e etc.
Ento, o certo afirmar que cada produto possui inmeros preos. Restrito a um nico ambiente, esse exemplo poderia caracterizar uma funo. Ou seja, restringindo o contra-do-mnio e o domnio, poderamos estabelecer que essa relao caracteriza uma funo.
47Mdulo 1
Podemos inclusive ajudar os alunos a estabelecer essa restri-o, de modo a definirmos, juntos, uma funo.
Exemplo 2:
Apresentamos a uma turma a seguinte relao:
Associa um aluno da escola ao ano de nascimento do responsvel mais velho.
Um aluno considerou que essa relao no era uma funo, argumentando que dois alunos poderiam ser filhos dos mes-mos pais e, portanto, estariam associados ao mesmo anode nascimento.
Contudo, o erro do aluno natural e esperado. Confundir, do-mnio com contradomnio, faz parte do aprendizado.
Devemos ter, em uma funo, ausncia de exceo e de am-biguidade. Analisemos o exemplo acima. Apesar de alguma controvrsia em virtude de parentes desconhecidos, todo alu-no tem pelo menos um responsvel que nasceu em um deter-minado ano. Desse modo, cada aluno est associado a algum ano de nascimento, caracterizando a ausncia de exceo.
Alm disso, podemos considerar que, mesmo o aluno tendo mais de um responsvel, estamos associando-o ao respons-vel mais velho que pode no ser o seu pai (ou a sua me), mas com certeza existe e nico, pois o mais velho. Isso caracteriza a ausncia de ambiguidade.
48Mdulo 1
Aprendemos muito com a nossa prtica docente medida que ouvimos o nosso aluno. Para isso devemos estimul-los desde de jovem a escrever seus pensamentos no papel. A for-ma como ele far isso, certamente, se inciar desajeitada e quase incompreensvel, assim como era, para ns, quase in-compreensvel a escrita matemtica nos cursos de lgebra e Anlise. Com persistncia, o aluno comea a escrever melhor e dialogar melhor, mesmo que no utilize um vocabulrio rico, do ponto de vista matemtico. Cada palavra escrita, cada ideia, nos auxiliam no aprimoramento de ns mesmos enquan-to docentes, pois revelam um pouco mais dos mecanismos
complexos que o crebro faz uso nas inter-relaes que alme-
jamos desenvolver em nossos alunos.
Na prxima seo, apresentaremos recursos tecnolgicos que auxiliaro na compreenso do conceito de funo e sua re-presentao grfica.
Matemtica e Suas Tecnologias
Professor, apresentamos nesta seo trs recursos tecnolgi-
cos na forma de applets, que, alm de permitir abordar com
dinamismo o estudo das funes, promovem interaes com-
plementares quelas que podem ocorrer com objetos con-
cretos. Mas, sobretudo, sugerem diferentes formas de registro
para a associao entre dimetro e comprimento de uma cir-
cunferncia.
Applets - Programa utilitrio que produz
pequenas aes ou funcionalidades simples.
49Mdulo 1
Recurso 1: Relao de Dependncia Cilindros
Este recurso complementa a atividade "Comparando Cilin-dros" sugerida. Com ele, podemos registrar a associao en-tre dimetro e comprimento de trs maneiras diferentes sem recorrer a medidas. A figura a seguir mostra a tela inicial des-se recurso.
Ao movimentarmos o ponto Mover, em qualquer uma das janelas, podemos escolher o raio dessa circunferncia. E, ao clicar sobre a circunferncia, iniciamos uma animao que re-gistra o dimetro e a circunferncia utilizando cores, como se fossem as fitas coloridas da atividade Comparando Cilindros.
50Mdulo 1
Cada vez que modificamos a base do cilindro e clicamos so-bre a circunferncia, uma nova animao registra o par di-metro e circunferncia apresentando-os em ordem crescente. Esse registro est limitado a seis pares.
Para trocarmos de representao utilizamos os botes de avano e retrocesso que ficam disponveis na parte superior da tela. Experimente-os. Esses botes navegam entre as re-presentaes tabular, sobre retas paralelas e com eixos per-pendiculares, respeitando essa ordem.
51Mdulo 1
Nas representaes sobre retas paralelas ou com eixos per-pendiculares no podemos acrescentar registros, mas a movi-
mentao do ponto "Mover" gera um elemento dinmico que
permite percorrer outros pares.
Explore a representao sobre retas paralelas! Essa represen-
tao sob a forma dinmica ressalta a variaodafuno.
Vimos nesse recurso a possibilidade de os alunos se familiari-
zarem com a diversidade de representaes de uma funo, e
o que pode ser ainda mais importante, a possibilidade de es-
colherem uma representao concisa e eficaz, inclusive para a
anlise da variao da funo.
Clique aqui para acessar o Recurso 1:
Relao de Dependncia Cilindros.
Recurso 2 Manipulao com Cilindros
O segundo recurso tambm complementa a atividade Com-
parando Cilindros. Sugerimos que ele seja utilizado para colo-
car em evidncia a conjectura de que constante a razo entre o comprimento e o dimetro de qualquer circunferncia.
Alm de muito interessante conceitualmente, pode se tornar muito proveitoso para seus alunos a possibilidade de propor uma conjectura para esse importante resultado em matemti-ca, a partir da simples proposta de apresentao de diferentes
http://formacao.sesimatematica.com.br/modulo-revisao/mod1/recursos/Tema01_Recurso01.htmlhttp://www.scielo.br/pdf/ciedu/v8n1/01.pdf
52Mdulo 1
representaes para os pares dimetro e comprimento. Lem-bre-se: no utilizamos medidas!
E tenha cuidado. O trabalho com esse resultado deve servir para ressaltar o potencial da utilizao de pares ordenados em um sistema de eixos ortogonais.
Vejamos como utilizar este recurso.
Tal como no applet anterior, o ponto "Mover" altera o tamanho da circunferncia, que agora no precisa ser a base de um cilin-dro. Ao clicar nesta circunferncia e alterar o dimetro produzi-mos o registro de at 10 pontos com ncoras coloridas.
53Mdulo 1
Ao clicar sobre cada um desses pontos, o applet nos mostra dois retngulos destacados no grfico e ao lado dele, sugerindo que so semelhantes, visto que suas diagonais esto sempre superpostas.
Explorando essa constncia, podemos instigar a conjectura so-bre a razo constante entre o comprimento e o dimetro de quaisquer circunferncias.
Clique aqui para acessar o Recurso 2:
Manipulao comCilindros.
Recurso 3 Dana do Tangram
Esse recurso tem um apelo visual muito bacana e nos permite dar sentido ao termo imagem que utilizamos frequentemente para identificar tanto o correspondente de um elemento do do-mnio, quanto o conjunto de seus correspondentes.
O applet oferece uma animao de imagens formadas a partir das peas do Tangram e assim podemos incentivar a associa-o do tempo a cada imagem criada pelo applet.
http://formacao.sesimatematica.com.br/modulo-revisao/mod1/recursos/Tema01_Recurso02.htmlhttp://www.scielo.br/pdf/ciedu/v8n1/01.pdf
54Mdulo 1
Para explorarmos este recurso, basta utilizarmos os botes dis-postos na parte inferior da tela:
iniciar animao ;
pausa ;
avano ;
retrocesso .
Os avanos podem ser feitos sem a animao, ou seja, temos como ver diretamente a prxima imagem a ser formada acio-
nando os botes de avano e retrocesso.
0 2 4
O grande potencial que destacamos para essa ferramenta a possibilidade de indicar a imagem de um tempo predetermi-nado como a imagem formada naquele instante. Isso pode dar acesso aos alunos a questes que o faam extrapolar o sentido estrito inicial da associao por regras.
55Mdulo 1
Se devidamente estimulado, o aluno poder vislumbrar a pos-sibilidade de que situaes que ocorrem em funo do tempo podem ser funes matemticas do tempo.
Clique aqui para acessar o Recurso 3:
Dana do Tangram.
Ampliando Ideias
Leitura Recomendada
ZUFFI, Edna Maura; PACCA, Jesuna Lopes de Almeida. O conceito de funo e sua linguagem para os professores de matemtica e de cincias. Cincia e Educao. So Paulo, v. 8, n. 1, p. 1-12, 2002. http://www.scielo.br/pdf/ciedu/v8n1/01.pdf
O artigo, apresenta alguns resultados obtidos com a observao da prtica pedaggica de trs professores de Matemtica do Ensino Mdio, ao usarem a lingua-gem matemtica no ensino de funes. A partir de uma anlise qualitativa dos dados, so propostas algumas ca-tegorias representativas das concepes geradas na sala de aula com o tema em questo, a partir das formas de expresso efetivamente articuladas pelos professores, junto aos seus alunos. Algumas consideraes tambm so propostas sobre a relao entre estas concepes e o uso de uma linguagem especfica para se tratar as funes no ensino de Qumica e Fsica.
http://formacao.sesimatematica.com.br/modulo-revisao/mod1/recursos/Tema01_Recurso03.htmlhttp://www.scielo.br/pdf/ciedu/v8n1/01.pdfhttp://www.scielo.br/pdf/ciedu/v8n1/01.pdfhttp://www.scielo.br/pdf/ciedu/v8n1/01.pdf
56Mdulo 1
Sugesto de Recursos Educacionais Digitais
Existem muitos recursos digitais relativos ao conceito de fun-o. Muitos so bastante tcnicos e se diferenciam dos textos apenas pelos aspectos dinmicos. No entanto, alguns privile-giam tambm exploraes consistentes e muito importantes. Dentre esses destacamos alguns para voc
Site do EDUMATEC
Funes Definidas por Situaes Geomtricas http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/
atividades_diversas/rc_071/geo_alg.htm
Nesta pgina, um conjunto de applets e questes permi-te explorar o conceito de funo associado s situaes e aos problemas de cunho geomtrico.
Site do CDME - Uff
Como b depende de a? http://www.uff.br/cdme/c1d/c1d-html/c1d-br.html
Nesta pgina, um applet desafia o usurio a descobrir e escrever a relao de dependncia entre duas variveis atravs de uma simples explorao dinmica. muito interessante notar a representao em uma nica reta, mas que, por considerar as possibilidades de descober-ta, consegue evidenciar a relao incgnita.
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/rc_071/geo_alg.htmhttp://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/rc_071/geo_alg.htmhttp://www.uff.br/cdme/c1d/c1d-html/c1d-br.htmlhttp://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/rc_071/geo_alg.htm http://www.uff.br/cdme/c1d/c1d-html/c1d-br.html
57Mdulo 1
Bibliografia Consultada
LIMA, Elon L. outros, A Matemtica do Ensino Mdio. Sociedade Brasileira de Matemtica (Coleo do Professor de Matemtica), 1a Edio, Rio de Janeiro, IMPA, 1996.
LIMA, Elon Lages. Anlise real. Vol. 1, 12aEdio, Rio de Janeiro, IMPA, 2010.
LIMA, Elon Lages et al. Exame de textos, 1a Edio, Rio de Janeiro, IMPA, 2001.
ZUFFI, Edna Maura; PACCA, Jesuna Lopes de Almeida. O conceito de funo e sua linguagem para os professores de matemtica e de cincias. Cincia e Educao. So Paulo, v. 8, n. 1, p. 1-12, 2002.
TEMA
Reao em Cadeia2ano1 2
3
Mdulo 1 Mdulo 2 Mdulo 3 Mdulo 4
Luz, cmera, ao!
Descomplicando o composto
O contnuo com discrio
Modelos de realidade
D3c1fr4ndo 4 M3ns4g3m
E o tempo levou...
O quarteto fantstico!
Reao em cadeia
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Introduo
Lou
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Do
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all)
w
ikim
ed
ia c
om
mo
ns
Uma viso filosfica muito antiga e ainda vlida sobre a vida:
Ela composta de uma sucesso de presentes. Isso significa que o seu hoje a lembrana de amanh.
Essa sucesso de acontecimentos pode ser entendida na sim-plicidade de uma cadeia de domins que so derrubados um aps o outro. Uma ao aparentemente sem propsito, mas que ao fim, ou com um olhar de cima, percebe-se a imagem construda por todos eles.
Da mesma forma, os nossos filhos so cadeias de domins independentes que cumpriro o seu desenho. Eles tiveram sua fora retirada do nosso impulso de t-los em nossas vidas.
62Mdulo 1
Assim como, de certa forma, nossos alunos retiram de ns os impulsos necessrios para continuarem seus estudos, dia aps dia, com o propsito de formarem, por si mesmos, o desenho de suas vidas.
Nosso intuito com essa abordagem em forma de narrativa fortalecer o aspecto da construo social de saberes, trazen-do diferentes pontos de vista que nos so familiares, por meio de um dilogo que serve de instrumento disparador da refle-xo, e, portanto, agente ativo na transformao que buscamos obter em ns mesmos e ao nosso redor.
Assim, seja bem-vindo sala de professores! Entre, sente-se, mas no se acomode, pois as novas ideias vo mexer com voc.
Sala de Professores
63Mdulo 1
Aprofundamento
Voc saberia como relacionar a Torre de Hani com o conceito de funo?
Sequncias como funes
Uma forma de relacionar a Torre de Hani ao conceito de fun-o seria enumerar as etapas a serem realizadas criando um passo a passo, ou seja, um algoritmo para resolver o desafio da Torre de Hani com n discos de forma otimizada. O do-mnio da funo seria um subconjunto finito (D) do conjunto dos inteiros positivos, o contradomnio, o conjunto das des-cries dos passos e a relao seria dada pela ordenao dos passos de modo a solucionar o problema da Torre de Hani com n discos. Cabe destacar que qualquer enumerao uma funo.
Uma sequncia uma funo cujo domnio o conjunto dos nmeros inteiros positivos.
Uma sequncia finita uma funo da forma :In C, na qual In representa o subconjunto com os n menores nmeros inteiros positivos, ou seja, In={1,,n}.
No exemplo da Torre de Hani estamos com uma enumera-o especial, um algoritmo para minimizar a quantidade de movimentos. Os algoritmos podem ser vistos como sequn-
64Mdulo 1
cias de passos, portanto, nesta perspectiva, podem ser vistos como funes.
Quantos elementos possui o domnio dessa funo/algoritmo para resolver o desafio da Torre de Hani?
Exatamente o nmero mnimo de movimentos para mover n discos, ou seja, Sn=2n-1, como foi demonstrado no dilogo anterior com o Princpio da Induo Finita.
O termo induo utilizado com significados distintos nas cincias empricas e na matemtica.
Nas cincias empricas, o tipo de raciocnio que nos leva de uma lista finita de afirmaes singulares para a justificao de uma afirmao universal, levando-nos do particular para o todo, denominado raciocnio indutivo, e o processo, denominado induo. (CHALMERS, 2000, p. 28)
Chalmers (2000) diz, de acordo com a posio indutivista ingnua, que a cincia baseada no princpio de induo que poderia ser assim descrita:
Se um grande nmero de As foi observado sob uma ampla variedade de condies, e se todos esses As observados possuam sem exceo a propriedade B, ento todos os As tm a propriedade B.Cabe destacar que no incio do desenvolvimento das cincias empricas, o chamado princpio de induo ingnuo serviu para justificar muitas afirmaes. No entanto, foi amplamente criticado por David Hume, Lakatos, Karl R. Popper, entre outros.
Muito diferente deste, o Princpio da Induo na Matemtica conhecido como Princpio de Induo Finita (ou Princpio de Induo Matemtica) e pode ser assim enunciado:
Dado um subconjunto S do conjunto dos nmeros naturais , tal que 1 pertence a S e sempre que um nmero n pertencer a S, o nmero n + 1 tambm pertence a S, tem-se que S = .Suponha que seja dada uma sentena matemtica P(n) que dependa de uma varivel natural n, a qual se torna verdadeira ou falsa quando substitumos n por um nmero natural dado qualquer. Tais sentenas so ditas sentenas abertas definidas sobre o conjunto dos naturais.
65Mdulo 1
Seja P(n) uma sentena aberta sobre os naturais e denote por V o seu conjunto verdade em , isto , o subconjunto de , definido como
V = {n ; P(n) verdadeira}.Para provar que P(n) verdadeira para todo n , basta mostrar que V = .Isso feito usando o Princpio de Induo Matemtica.
continuao...
Funes Numricas
At agora estvamos explorando o conceito de funo de
forma ampla, ou seja, sem nos restringirmos a funes nu-
mricas, mas essas ltimas so as mais exploradas no ensino
mdio. Acreditamos que as sequncias numricas podem ser
utilizadas para introduzir o estudo das funes reais de varivel
real, ou seja, funes cujos domnios e contradomnios so
subconjuntos dos nmeros reais. Vamos explorar as sequn-cias numricas?
Existem diversos problemas de raciocnio lgico em que se apresentam alguns termos de sequncias numricas e se pede para determinar o termo seguinte. Como por exem-plo,a sequncia:
2, 7, 12, 17,
Em geral, o autor do problema acima espera que a resposta para a pergunta: qual o prximo termo? seja dada pelo
66Mdulo 1
seu aluno como sendo o nmero 22. O que com certeza faz todo o sentido lgico, afinal:
7 = 2 + 5,12 = 7 + 5,17 = 12 + 5.
Portanto, o prximo termo ser:
22 = 17 + 5.
Como a cada iterao temos uma soma constante de 5 uni-
dades, podemos, partindo dessa lgica, e escrever a funo
a: *, de forma recursiva:
a(1) = 2a(2) = a(1) + 5a(3) = a(2) + 5a(4) = a(3) + 5
a(n) = a(n - 1) + 5
Nesse caso, seria possvel escrever uma frmula fechada, ou seja, uma expresso para determinar o n-simo termo a partir de n e no de forma recursiva. Mas nem sempre, como ve-
67Mdulo 1
remos um pouco a frente, a frmula fechada to simples quanto
a(n) = 5n - 3
Nesse caso, a funo a : * relaciona de forma ordena-da os termos da sequncia e possui uma regra, uma frmula, uma lei, geral de formao. Podemos dizer, inclusive, que essa frmula geral representa a lgica que utilizamos na compre-enso da sequncia numrica dada acima.
Mas, ser que essa lgica nica? No podemos criar uma outra lei de formao, e portanto obter um outro valor para o prximo termo? O prximo termo no poderia ser 133? Ou 7? Ou ? Ou 3?
Em verdade, podemos utilizar um raciocnio lgico conve-niente e criar frmulas que respeitem a sequncia inicial 2, 7, 12, 17, mas que obtenham como quinto elemento o valor que quisermos!
A seguir, apresentamos quatro funes
g, h, i, j * cujas leis de formao aplicadas aos valores 1,2,3,4 resultam, todas, nos valores 2, 7, 12, 17, em ordem. Contudo, ao aplic-las ao valor 5 obtm-se
g (5) = 133, h(5) = 7, i(5) = , j(5) = 3,respectivamente. Observem as leis de formao.
68Mdulo 1
Notem que, em todas elas, a terceira parcela se anula para 1, 2, 3, 4, restando apenas as duas parcelas correspondentes ao termo geral da progresso aritmtica. Alm disso, o denominador igual ao produto (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) quando n = 5. Isso feito com objetivo de tornar essa parte da ltima parcela igual a um. O ltimo fator ser o responsvel pela mgica de se definir a imagem que se quiser para n=5. Primeiro, observe o resultado obtido quando se substitui n = 5 nas duas primeiras parcelas: 5n-3=55-3=22. O ltimo fator dever ser formado pela diferena entre o nmero desejado e 22. Isso fica bem explcito nas funes i e j.
continuao...
Seguindo o mesmo princpio para criao das funes ante-riores, possvel, para qualquer quantidade finita de termos, determinar uma sequncia cujo prximo elemento seja o valor que quisermos!
No estamos dizendo que est errado afirmar que o prximo termo da sequncia 2, 7, 12, 17 o nmero 22, porque mos-tramos que esse um valor possvel, mas no o nico. Agora, caso um aluno responda que o prximo termo seja 21 ou 23, mesmo que exista uma frmula que demonstre essa possibi-lidade, preciso investigar o raciocnio do aluno. Apesar de existir uma lgica, representada por uma frmula, que obtm o valor 21 ou 23, como prximo termo da sequncia, no sig-nifica que o aluno a conhece.
69Mdulo 1
O que merece destaque a necessidade de estarmos atentos a questes de mltipla escolha contendo sequncias numricas que formam um padro, porque, como vimos, outros padres podem ser construdos e qualquer valor numrico marcado seria uma resposta possvel, apesar de improvvel. Nesse caso no haveria resposta errada.
Apesar da sequncia 2, 7, 12, 17, 22, ..., formada pelo acrs-cimo de 5 unidades para cada novo termo, ser uma Progres-so Aritmtica (P.A.), evitamos em um primeiro momento fazer uso desse termo para simplesmente expormos o problema de raciocnio lgico como algo ldico e divertido. Pensar em qual ser o prximo termo de diversas sequncias , em ge-ral, uma atividade que leva os alunos reflexo retendo a sua ateno e aumentando a sua participao. Acreditamos que o mesmo pode ser observado quando formos tratar de sequ-ncias numricas que se caracterizam por formar Progresses Geomtricas (P.G.).
Como pode ser observado nos exemplos anteriores, o traba-lho com sequncias e suas possveis frmulas gerais mui-to rico para os alunos. Devemos fazer uso desse recurso em nossas salas de aula. Contudo, no devemos nos limitar s se-quncias que conseguimos obter uma frmula geral ou cuja frmula geral seja simples.
Por exemplo, uma sequncia como a de Fibonacci, na qual cada termo a partir do terceiro igual soma dos dois an-teriores
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
70Mdulo 1
A sequncia de Fibonacci pode auxiliar a turma na construo do pensamento recorrente e tambm mostrar para os alunos que nem sempre conseguimos construir, de modo fcil, uma frmula geral para a sequncia. A sequncia de Fibonacci pos-sui uma frmula geral. Contudo, ela mais complexa e mais difcil de ser formulada.
A sequncia dos nmeros de Fibonacci (F(n)) possui uma frmula geral, denominada de frmula de Binet. Essa frmula obtm os valores F(0)=0, F(1)=1, F(2)=1, nos primeiros termos e pode ser representada da seguinte forma:
Outra dificuldade a ser questionada com os alunos que mes-mo conhecendo a Frmula de Binet para a sequncia de Fibo-nacci, mais rpido no utiliz-la para calcular o ducentsimo elemento, por exemplo. Ou seja, existir uma frmula geral que representa todos os termos da sequncia pode no nos auxiliar a descobrir qual o prximo termo ou um termo mais distante.
Note que, nesse caso, colocar a frmula no computador pode tambm no resolver o problema, pois o valor de sem-pre aproximado e o erro acaba se propagando medida que a quantidade de termos aumenta, o que, fatalmente, gera algum erro no futuro.
Apesar da dificuldade em se encontrar uma frmula geral para os nmeros de Fibonacci e, mesmo de posse dela, a dificuldade de sua utilizao, podemos, por meio do raciocnio recursivo,
71Mdulo 1
descobrir o prximo termo da sequncia ou at mesmo des-cobrir o centsimo termo, utilizando uma planilha eletrnica, por exemplo. Ento, observe que o problema de encontrar o vigsimo ou trigsimo termo se resolve independentemente de haver ou no uma frmula geral.
Outra sequncia cuja frmula geral mais difcil ainda a se-quncia formada pelos nmeros primos.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,...
No difcil achar o prximo nmero primo considerando a lista acima. De certa forma, ele depende dos anteriores, pois no pode ser divisvel por eles. Contudo, no existe uma fr-mula algbrica simples que utilize os termos anteriores para descobrir o prximo nmero primo ou qualquer outro.
Apesar de existir mais de uma frmula para determinar os n-meros primos, elas dependem de outras funes to difceis que o seu uso se torna ineficiente para o clculo do n-simo nmero primo.
Mais uma sequncia interessante: a sequncia formada pelas casas decimais do nmero .
3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, ...
Como sabemos, o nmero irracional e, por consequncia, suas casas decimais no se repetem. Alm disso, no existe
um padro que defina quais sero as prximas casas decimais
72Mdulo 1
apesar de existirem algumas somas infinitas que convergem
para . Nesse caso, saber qual vai ser o prximo decimal do nmero possvel, apesar de trabalhoso. Todavia, no con-seguimos uma frmula geral para a sequncia e muito menos uma que seja recursiva.
Existem diversas sequncias numricas formadas por somas ou produtos contendo infinitos termos que convergem para que podem ser utilizadas nos clculos para encontrarmos as casas decimais de . Abaixo listamos algumas delas:
Frmula de Vite:
Frmula de Wallis:
Frmula de Leibiniz:
Frmula de Lambert:
Contudo, a frmula mais utilizada hoje em dia a BBP. Programada em diversas linguagens de computao, a BBP foi criada em 1995 por David Harold Bailey, com colaborao de Peter Borwein e de Simon Plouffe.
73Mdulo 1
A frmula BBP permite calcular a ensima decimal binria ou hexadecimal de sem ter que calcular as casas precedentes.
continuao...
Todos os exemplos anteriores aprimoram as discusses e nos fazem refletir sobre como podemos trabalhar, com os alunos, diversos elementos do conceito de funo antes de apresen-tarmos a representao grfica da mesma. Contudo, acredi-tamos que justamente nas sequncias que a representa-o grfica, apesar de pontual, ganhasuafora.
Se voltarmos ao exemplo da sequncia 2, 7, 12, 17, ... cuja re-gra de formao seja somar 5 para encontrar o prximo ter-mo, verificamos que a lei geral da funo que representa essa sequncia (n) = 5n - 3.
Representando o grfico dessa sequncia obtemos:
74Mdulo 1
Sabemos que os pontos esto alinhados em uma mesma reta, e bem capaz do nosso aluno concluir algo semelhante so-zinho. Contudo, importante ressaltar que na imagem acima alteramos a escala para conseguir visualizar melhor as ima-gens da sequncia.
Essa discusso com a turma muito rica, pois o objetivo de representarmos uma funo graficamente exatamente conseguirmos visualiz-la!
Por outro lado, conforme o grfico esquerda, ao alterarmos o padro da escala, perdemos referncias sobre algumas propriedades quali-tativas da funo, como por exem-plo, sua taxa de crescimento pare-cer menor do que ela de fato !
As sequncias numricas forne-cem a matria-prima necessria para iniciarmos os trabalhos com os alunos de marcao de pontos no plano cartesiano. Trabalho esse que ser fundamental quando es-tivermos esboando grficos de funes mais complexas.10
0
20
30
40
50
10
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Mtodo recursivo para determinao de razesdepolinmios
A recursividade um conceito poderoso em matemtica e
pode nos auxiliar na resoluo de equaes polinomiais. Em
geral, so apresentadas frmulas para resoluo de equa-
es polinomiais de graus 1 ou 2 as demais no costumam
ser abordadas. Mas, atualmente, poderiam ser resolvidas com
auxlio de planilhas eletrnicas e aproximando suas solues
por meio de uma sequncia gerada de modo recursivo.
Para fixar as ideias tomemos como exemplo encontrar uma soluo para a equao a seguir:
3x3 - 4x4 = 6x - 12x2 + 4.
Existe uma frmula, que utiliza radicais, capaz de encontrar as solues para esse tipo de equao do quarto grau com-pleta. Contudo, essa frmula to extensa que no encon-trada exposta em quase nenhum livro.
Sendo assim, como se calcula?
Depois de esgotada todas as possibilidades de razes inteiras ou racionais, utilizando todos os divisores 1, 2, 4 do termo independente 4, sobram duas linhas: ou existem razes reais ou no temos razes reais.
76Mdulo 1
Nesse problema em especfico, existem 4 razes reais distin-tas, ou seja, a quantidade mxima de razes para um polin-mio do quarto grau.
E como podemos encontr-las? Podemos aproxim-las de algum valor?
Francisco, essa ideia pode ser usada tambm para determinao de zeros de funes polinomiais,
ao se determinar as razes do polinmio
correspondente por meio de etapas sucessivas de aproximao, ou como so chamadas no nosso
jargo, iteraes.
Uma discusso interessante aqui, Professor, que encontrar uma raiz do tipo , ou ainda
algo mais complexo, , para muitos dos nossos alunos, no encontrar um
valor numrico, como por exemplo, 3 ou 4.
comum os nossos alunos no identificarem quais seriam os nmeros inteiros mais
prximos de ou , no mesmo? Eis a situao ideal para auxili-los a sanar esse tipo de dvida e discutir com
eles as vantagens de um mtodo recursivo.
Voltando a nossa equao:
3x3 - 4x4 = 6x - 12x2 + 4
Podemos definir uma funo polinomial , dada por:
(x) = 3x3 - 4x4 - 6x + 12x2 - 4
77Mdulo 1
Observe que as solues da equao so os valores x para os quais temos:
(x) = 0
3x3 - 4x4 - 6x + 12x2 - 4 = 0
3x3 - 4x4 = 6x - 12x2 + 4.
Como estamos trabalhando com uma funo polinomial, sabe-mos que ela contnua. Sendo assim, se encontrarmos dois va-lores de x nos quais a imagem de (x) nesses valores possua sinal trocado ou seja, em um valor (x) positiva e em outro (x) negativa ou vice-versa , saberemos que em algum lugar entre esses valores teremos pelo menos um valor de x no qual (x) nula. Esse resultado decorrncia de um teorema famoso em matemtica chamado Teorema do Valor Intermedirio.
O enunciado do Teorema do Valor Intermedirio (TVI) o seguinte:
Se : [a, b] R funo contnua ento para qualquer valor d tal que (a) d f(b) ou (a) d f(b) tem-se que existe c [a,b] tal que (c) = d.No nosso exemplo, se (x) positiva para algum valor de x e negativa em outro valor ento, por ela ser contnua, existe um valor de x entre esses valores tal que (x) = 0.
Na funo (x) = 3x3 - 4x4 - 6x + 12x2 - 4 temos (0) = -4 e (1)=1, o que significa que entre 0 e 1 existe pelo menos um valor (podemos afirmar que um nmero mpar de valores) no qual se anula.
78Mdulo 1
E como podemos encontrar esse valor?
Uma tcnica recursiva interessante consiste no uso da mdia aritmtica de chutes iniciais de valores de x. Um no qual a imagem positiva e ou outro, negativa. Ento, constroem-se duas sequncias, recursivamente, que aproximam por falta e por excesso o valor desejado com uma aproximao to boa quanto se desejar.
Como j sabemos que a funo troca de sinal entre 0 e 1, co-meamos fazendo a mdia aritmtica entre eles . O prximo passo verificar se a imagem pela dessa mdia, ou seja, do valor 0,5 positiva ou negativa.
Se (0,5) for positiva, como (1)=1 positiva e (0)=-4 negativa, ento repetiremos o processo utilizando o novo intervalo [0,0,5], substituindo o valor 1 cuja imagem posi-tiva, pelo valor 0,5, cuja imagem continua positiva. Nesse in-tervalo [0,0,5] sabemos que a funo continua trocando de sinal e, portanto, continua possuindo pelo menos uma raiz dentro dele.
Se (0,5) for negativa, como (1)=1 positiva e (0)=-4 ne-gativa, ento repetiremos o processo utilizando o novo intervalo [0,5,1], substituindo o valor 0 cuja imagem negativa, pelo novo valor 0,5, cuja imagem continua negativa e est mais prxima do nmero desejado. Nesse intervalo [0,5,1] sabemos que a funo continua trocando de sinal e, portanto, continua possuindo pelo menos uma raiz dentro dele.
79Mdulo 1
Usando uma calculadora ou, melhor ainda, uma planilha ele-trnica, conseguimos calcular (0,5)=-3,875 sem dificulda-des. Sendo assim, o prximo intervalo a se buscar um zero para funo ser [0,5,1], como explicadoanteriormente.
Repetimos agora o clculo da mdia aritmtica entre os va-lores extremos do intervalo , e verificamos o sinal de (0,75)=-1,75. Mais uma vez, como o sinal foi ne-gativo, repetiremos todo o processo considerando o novo intervalo [0,75,1].
Repetindo esse processo podemos montar o seguinte qua-dro de valores mdios que aproximam o zero da funo entre o 0 e o 1:
n an1 0,5
2 0,75
3 0,875
4 0,9375
5 0,90625
6 0,921875
7 0,9140625
8 0,91015625
9 0,912109375
10 0,9111328125
11 0,9106445312
12 0,9104003906
13 0,9105224609
14 0,9104614258
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Note que o ltimo valor aproximado nessa tabela 0,9104614258. Uma aproximao mais aprimorada para essa raiz seria 0,9104526061, uma diferena de 0,0000088197, consideravelmente pequena.
Na seo Matemtica e suas Tecnologias sero apresentados recursos digitais que aprofundam essa discusso.
Enumerabilidade e as surpresas do Infinito
Uma pergunta natural que emerge do tema de sequncias
numricas est relacionada a sua finitude. No conceito de
matemtica abstrata, uma sequncia numrica uma funo
de em K, onde K um conjunto especial, por exemplo, um corpo, um espao vetorial, um conjunto com mtrica e etc.
Sendo essa uma funo cujo domnio , ento temos infinitos elementos associados a K.
Tecnicamente, a sequncia constante possui infinitos termos, todos iguais. Por exemplo, a sequncia constante (8, 8, 8, 8, 8, ...) possui infinitos termos todos associados ao valor numrico 8. Note que, o termo se refere ao ndice da sequncia e no a sua imagem.
Por outro lado, em nossa sala de aula, no precisamos ser to
exigentes com os nossos alunos. Caso eles apresentem sequ-
ncias explicitando alguns termos e regras para se determinar
os termos seguintes a partir dos anteriores, tem-se que esse
81Mdulo 1
modus operandi nunca termina, o que de certa forma est representando a ideia de infinitude contida na definio mais rigorosa de sequncia.
Mesmo a sequncia constante tambm uma sequncia infi-nita e pode ser representada graficamente, necessitando para isso de infinitos pontos:
Uma subsequncia de uma sequncia tambm uma se-quncia. Por exemplo, a sequncia dos nmeros mpares uma subsequncia da sequncia dos nmeros naturais, mes-mo "retirando-se" todos os nmeros pares, ambas possuem infinitos termos.
Pensar que h tantos nmeros mpares quanto nmeros na-turais contrainuitivo e decorre de uma caracterstica dos conjuntos infinitos. A saber:
Um conjunto infinito quando existe uma bijeo entre ele e um subconjunto prprio dele, ou seja, se ele for cardinal-mente equivalente a um subconjunto prprio de si mesmo.
82Mdulo 1
Um fato que costuma gerar perplexidade aos estudantes de matemtica que e possuem a mesma quantidade de elementos, ou de forma mais rigorosa, possuem a mesma cardinalidade. Isso com certeza um choque para qualquer estudante, afinal denso em (ou seja, podemos aproximar qualquer nmero real por uma sequncia de racionais - expanso decimal).
Uma forma simples de provar que to grande quanto criar uma funo sobrejetiva de em Essa funo pode ser visualizada a partir de um processo parecido com aquele criado por Cantor e batizado de Diagonal de Cantor ilustrado pela figura a seguir:
Para aprofundamento sobre esses conceitos, consulte http://www.labma.ufrj.br/~mcabral/textos/curso-analise-real-a4.pdf
O infinito nos prega muitas peas! O problema clssico que se pode abordar aqui o Hotel de Hilbert um hotel com infini-tos quartos numerados segundo os nmeros naturais.
Georg Cantor - Nascido no Imprio Russo, o Matemtico Georg
Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, ficou conhecido por elaborar
a moderna teoria dos conjuntos. Fonte: Adaptado da Wikipdia.
83Mdulo 1
Suponhamos que esse Hotel exista e que todos os quartos estejam ocupados. Como podemos fazer um novo hspede entrar no hotel? Basta incomodar todos os hspedes, fazen-do-os mudarem para o quarto cujo nmero seja uma unidade maior do que o nmero do quarto em que estava.
Automaticamente, garantimos que o quarto 1 fique vago hos-pedando o novo cliente.
E se chegarem infinitos novos clientes? Resolvemos solici-tando que todos os hspedes se mudem para o quarto cujo nmero o dobro do quarto em que est hospedado, so-brando assim todos os quartos mpares para utilizarmos com os novos clientes.
84Mdulo 1
Chegamos a concluso que a placa No H Vagas no faz o menor sentido no Hotel de Hilbert.
Na prxima seo, apresentaremos uma atividade disparadora
sobre a temtica de sequncia e recorrncia que pode, com
as devidas modificaes, proporcionar uma discusso interes-
sante sobre diversos conceitos importantes desse contedo.
Agradecemos a sua visita em nossa Sala de Professores, e es-
peramos pelo seu retorno para que possamos tomar um caf. Obrigado!
Atividades Prticas
Experincias com objetos ou situaes da vida real
Professor, nesta seo ser apresentada uma atividade que
permite, em um s tempo, abordar a noo de algoritmo, se-
quncia numrica, recursividade e, principalmente, um dos
maiores obstculos epistemolgicos enfrentados pelos alu-
nos, a convergncia da srie formada pelas somas parciais
dos termos de uma progresso geomtrica de razo positiva
e menor do que 1.
Essa atividade foi desenvolvida e apresentada inicialmente por
Kovarik (2009).
85Mdulo 1
Atividade: O Limite de uma soma infinita
Material necessrio: Papel quadriculado, tesoura, lpis de cor.
Objetivo: Desenvolver a noo de limite a partir da soma de infinitos termos de uma progresso geomtrica de razo .
Descrio: Apresente o enunciado a seguir aos alunos: Con-sidere um quadrado com lado de medida 1. Pintamos metade da rea do quadrado e denotamos a medida da rea pintada por P
1 .
Continuamos o procedimento, da seguinte forma:
P2 ser o valor da rea de P
1 mais metade da rea no pintada
do quadrado.
P3 ser o valor da rea de P
2 mais metade da rea no pintada
do quadrado e assim sucessivamente, P(n+1)
ser o valor da rea de P
n mais metade da rea no pintada do quadrado.
Quanto maior o valor de n, o que acontece com o valor Pn?
86Mdulo 1
Observao: Os alunos devem fazer um registro por es-crito dos valores de P
n a cada passo completado. Obte-
roalgoassim:
Estimule os alunos a tentarem generalizar o termo geral da sequncia e veja se algum obter:
Com essa atividade, espera-se que os alunos, com a ajuda do desenho, percebam que conforme o nmero de passos vai aumentando, a rea pintada cada vez mais se aproxima de 1. Pode ser utilizada uma planilha eletrnica de forma explora-tria, escrevendo a sequncia recursivamente, para perceber que o valor de P
n se aproxima de 1 a medida que n se torna
cada vez maior, mas sem chegar a 1.
Pergunte por que a rea nunca assumiria o valor 1. O espe-rado que os alunos respondam que sempre sobraria uma
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regio, mesmo que muito pequena, a qual seria possvel dividir ao meio para pintar metade.
Essa pergunta visa estimular o desenvolvimento da capacidade de abstrao dos alunos. Discutimos que poderamos aproxi-mar a rea de 1 quanto mais quisssemos, e para isso, bastaria que aumentssemos o nmero de passos. Esse contexto pode ser usado para introduzir a noo de limite. Os alunos perce-bendo que o limite ser 1, voc pode introduzir a notao:
O objetivo dessa atividade ter sido alcanado caso os alunos compreendam esse limite particular. A demonstrao desse resultado dever ser feito posteriormente.
Investigao de Erros
Professor, nesta seo apresentaremos erros comuns de inter-pretao dos nossos alunos que foram encontrados nas salas de aula e que geraram debates interessantes sobre a temtica de funes trabalhadas a partir das sequncias.
Exemplo
Em uma sala de aula foram apresentados os primeiros valores de diversas sequncias numricas. O professor solicitou que os alunos dissessem qual seria o prximo elemento de cada uma das sequncias.
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Uma das sequncias gerou respostas distintas entres os alu-nos. Os valores apresentados foram os seguintes:
1, 2, 3, 5, 7, ...
Professor, antes de debatermos sobre os valores encontrados pe-los alunos, pare e pense um pouco sobre qual deve ser o prximo ele-mento na sua opinio. Lembre-se que j discutimos que no existe uma nica resposta para esse tipo de exerccio, pois podemos, foro-samente, fazer com que o prximo elemento seja qualquer nmero que desejarmos. Contudo, acha-mos importante que pensemos um
pouco sobre como a nossa pergunta foi feita e que tipo de resposta buscamos obter com a pergunta que escrevemos. Nem sempre conseguimos apresentar de forma escrita e de modo claro a pergunta para qual buscamos a resposta do aluno. Algumas vezes, a nossa pergunta pode conduzir o alu-no para uma resposta que no desejamos. Pare um pouco e pense:qual deve ser o prximo elemento da sequncia? Crie uma lgica concisa que seja clara para voc e que possa ser aplicada para descobrir no apenas o prximo, mas quantos precisarmos alm deste.
Diversos alunos completaram a referida sequncia acre-ditanto que a resposta correta deveria ser 10.
89Mdulo 1
A maioria acreditava que a resposta deveria ser 11.
Um pequeno grupo estava convencido de que a respos-ta deveria ser 9.
Para sanar de vez o problema e entender como estavam pen-
sando os seus alunos, o professor solicitou que cada aluno
escrevesse os prximos seis elementos da sequncia seguindo
o padro que imaginaram estar correto. As respostas dos alu-
nos formaram cinco grupos distintos de pensamento, expos-tos abaixo:
A. 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...
B. 1, 2, 3, 5, 7, 10, 13, 17, 21, 26, 31, ...
C. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 27, 35, 43, ...
D. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
E. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 23, 31, 47, 63, ...
Observe que os alunos das respostas C, D e E tm 11 como
prximo elemento da sequncia, contudo pensam de forma di-
ferente sobre a lei de formao da sequncia. Os grupos C e E
ainda vo mais longe: possuem coincidncia inclusive nos dois
prximos elementos 11, 15 da sequncia 1, 2, 3, 5, 7, ..., con-
tudo, seu pensamento fica evidentemente distinto do terceiro
sucessor do 7 em diante.
90Mdulo 1
O grupo da resposta A no analisou direito a sequncia, e imaginou se tratar de uma sequncia cujo sucessor o antecessor mais 2 unidades. O que no pode ser verdade para os elementos iniciais 2 e 3, pois ambos so uma unidade maiores que seus antecessores. Partindo ento desse pensamento de antecessor mais 2 unidades, o prximo elemento aps o 7 deveria de fato ser o 9. Houve uma falha na lgica desse grupo de alunos, pois o seu pensamento lgico no contemplava todos os valores expostos.
O grupo da resposta B analisou que os acrscimos termo a termo iam aumentando a cada dois novos termos. Os acrscimos comeavam em uma unidade para os dois primeiros termos: 2=1+1, 3=2+1. Depois tnhamos acrscimos de duas unidades: 5=3+2, 7=5+2. E que portanto o prximo acrscimo deveria ser o de trs unidades: 10=7+3,13=10+3. Seguido do de quatro unidades: 17=13+4, 21=17+4. E fechando os seis prximos elementos, os ltimos dois elementos deveriam estar com acrscimos de cinco unidades: 26=21+5,31=26+5. Uma lgica concisa que vale para todos os elementos da sequncia e que poderia ser a resposta do exerccio.
O grupo da resposta C caminhou por uma anlise parecida com o grupo da resposta B, mas acreditou que os acrscimos nos pares seguintes ocorriam da seguinte forma: os prximos dois acrscimos de quatro unidades: 11=7+4, 15=11+4; seguidos de mais dois elementos com acrscimos de seis unidades: 21 = 15 + 6, 27 = 21 + 6 e mais dois elementos com acrscimos de oito unidades: 35=27+8, 43=35+8. Questionados sobre o motivo dos acrscimos subirem de duas unidades em duas unidades, responderam que os acrscimos so sempre maiores e pares. Observamos que esse raciocnio lgico no consistente com os primeiros elementos cujo acrscimo , na verdade, de apenas uma unidade. Mais uma vez, houve uma falha na lgica desse grupo de alunos, pois o seu pensamento lgico no contemplava todos os valores expostos.
91Mdulo 1
O grupo da resposta D seguiu um pensamento completamente diferente. Eles acreditavam que a sequncia era formada por nmeros primos. E corretamente, elencaram os prximos seis primos completando a sequncia com 11, 13, 17, 19, 23, 29,... Nesse caso, podemos at relevar a lgica dos alunos, pois apesar de no considerarmos o nmero 1 como primo, isso se deve mais por comodidade do que por conceito. Expliquemos esse pensamento. O Teorema Fundamental da Aritmtica, que diz que todo nmero natural maior do que 1, possui uma fatorao nica em um produto de potncias de nmeros primos, a menos da ordem entre eles. Se aceitssemos que o nmero 1 fosse um primo, perderamos a unicidade do Teorema. Tomemos como exemplo o nmero 24, Ele pode ser fatorado de infinitas maneiras: 24=233, ou 24=1233 ou 24=12233 ou 24=13233 ou 24=14233 etc.
Seguindo com o rigor matemtico, devemos dizer que houve uma pequena falha lgica no pensamento desse grupo de alunos, uma vez que no contemplaram todos os valores expostos: o 1 no primo.
O grupo da reposta E analisou os acrscimos, assim como os alunos das respostas B e C. Porm, considerou que os acrscimos nos pares aumentavam a cada novo par de nmeros e seguiam ordenadamente as potncias do nmero 2, ou seja, os prximos dois elementos deveriam ser formados pelos anteriores mais quatro unidades. Observe:
(22): 11 = 7 + 4, 15 = 11 + 4; seguidos de dois formados por acrscimos de oito unidades (23):23=15+8, 31=23+8; e fechando com mais dois formados atravs de acrscimos de dezesseis unidades (24):47=31+16, 63=47+16.
Uma lgica concisa que vale para todos os elementos da sequncia e que poderia ser a resposta do exerccio, afinal podemos entender que os primeiros elementos so formados por acrscimos de uma unidade (20):2=1+1, 3=2+1; seguido de dois elementos formados por acrscimos de duas unidades (21):5=3+2, 7=5+2.
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Analisando como professor, poderamos considerar que os alunos que responderam B e E se basearam em uma lgica que abrangia todos os termos da sequncia e que, portan-to, esto corretos. Os alunos das respostas A, C e D tambm basearam seu pensamento em um raciocnio lgico, contudo no era abrangente o suficiente para todos os elementos da sequncia. Podemos defender que o grupo cuja resposta era a sequncia D tambm estava correto, uma vez que o seu erro foi devido a um detalhe tcnico de menor relevncia? Essa discusso ampla e, nas prximas linhas, no conseguire-mos t-la a contento. Por isso, deixaremos que voc, Pro-fessor, avalie essa questo da forma que lhe parecer correta. Afinal, seus anos de experincia e sensibilidade bastam para ponderar as melhores decises nas realidades individuais de sua sala de aula.
Na prxima seo, daremos dois exemplos de recursos tec-nolgicos desenvolvidos para este material e que podem au-xiliar os alunos a compreenderem um pouco mais sobre o conceito de funo e sua representao grfica atravs das sequncias numricas.
Matemtica e Suas Tecnologias
Professor, nesta seo apresentaremos recursos tecnolgicos muito instigantes, relativos s funes que so sequncias.
Os referidos recursos podem propiciar uma excelente opor-tunidade para que seus alunos tenham contato e apreciem as
93Mdulo 1
curiosidades, ideias e propriedades que frutificam espontane-amente nessas funes.
Recurso 1: Descobrindo a Raiz Quadrada
Esse recurso utiliza uma iterao para encontrar a raiz quadra-da de um nmero real positivo. Surpreendentemente, no caso da raiz quadrada do nmero 5, a 7a iterao desse mtodo produz uma aproximao, para essa raiz, com 60 casas de-cimais exatas. E isso tudo, utilizando uma aproximao inicial para raiz quadrada de 5 de 3,5!
Veja como fcil experiment-lo.
Na caixa de texto raiz, digite um nmero a entre 0 e 10000 seguido de Enter.
Na caixa a0 digite uma estimativa inicial que voc acredite
aproximar a raiz do nmero a seguido de Enter.
94Mdulo 1
O aplicativo, alm de mostrar cada um dos 8 primeiros termos
da sequncia de aproximao, mostra graficamente como eles
se aproximam rapidamente do nmero procurado, calculando
os termos da sequncia definida pela recorrncia:
A frmula inspirada em um mtodo Babilnico que, ainda
hoje, utilizado em algumas calculadoras para se obter uma
aproximao com diversas casas decimais corretas.
Voc sabia que um algoritmo frequentemente usado para aproximar conhecido como "mtodo babilnico"? Especula-se que este era o
mtodo usado na Matemtica Babilnica para calcular a raiz quadrada, e o mesmo obtido ao aplicar-se o Mtodo de Newton equao x2 = n - 0.
Fonte: Adaptao Wikipdia
Clique aqui para acessar o Recurso 1:
Descobrindo a RaizQuadrada.
Recurso 2: Descobrindo Razes
Este segundo recurso utiliza uma funo de iterao para
aproximar a razes de uma funo polinomial de grau at 10.
Sabendo como calcular a mdia aritmtica de dois nmeros
e tendo parmetros para um bom chute inicial, podemos en-
http://formacao.sesimatematica.com.br/modulo-revisao/mod1/recursos/Tema02_Recurso01.htmlhttp://www.scielo.br/pdf/ciedu/v8n1/01.pdf
95Mdulo 1
contrar uma aproximao para a raiz de um polinmio. Com exatos 14 passos, conseguiremos resultados cujos erros che-gam a ser menores que 0,001%. No fantstico?
A iterao toma um intervalo I0
= [a0, b
0] que contenha uma e
somente uma raiz do polinmio. Fazendo temos que:
Vamos aprender como utilizar esse recurso?
96Mdulo 1
Observe que na tela acima temos um polinmio inicial cujos coeficientes a
0 at a
10 podem ser modificados alterando os
nmeros dispostos nas caixas de texto, de cor rosa, que esto no alto da tela. Alm desses elementos, esse applet oferece os controles a, b, que so as previses iniciais do intervalo [a,b], onde pode haver uma raiz desse polinmio.
Ainda nessa tela temos o grfico da funo polinomial e os bo-tes (Re)incio e Prximo. O primeiro boto tem o nome auto-explicativo, mas o segundo boto o que realiza a iterao. com ele que progredimos de uma etapa paraaprxima.
Para experimentar a iterao com esse recurso realize os se-guintes passos:
1. Modifique os coeficientes do polinmio.
2. Posicione os nmeros a e b (com a < b sempre) de tal modo que entre eles haja uma raiz do polinmio.
3. Clique no boto (Re)Incio e a seguir em prximo, 14 ve-zes seguidas.
97Mdulo 1
Ao final desses cliques, na tela da direita, teremos exibida uma aproximao para a raiz.
Observe que a cada iterao o intervalo da prxima etapa apa-rece destacado:
Ao final dos 14 passos, a sequncia que aproxima a raiz do polinmio exibida na tela da direita.
Na tela da esquerda, o usurio tem acesso:
raiz obtida pela sequncia;
ao erro cometido pela aproximao;
a um valor para a raiz do polinmio com at 10 casas decimais exatas, calculada por outro algoritmo.
98Mdulo 1
Alm disso, poder escolher entre visualizar graficamente o valor do polinmio para cada termo da sequncia, assim como a prpria sequncia.
Mas, no para por a, vejamos o recurso seguinte!
Clique aqui para acessar o Recurso 2:
Descobrindo Razes.
Recurso 3: O Fractal Curva de Koch.
As iteraes geomtricas so tambm funes fantsticas e surpreendentes. Exemplo disso a forma simples que este
http://formacao.sesimatematica.com.br/modulo-revisao/mod1/recursos/Tema02_Recurso02.htmlhttp://www.scielo.br/pdf/ciedu
