CÁLCULO I - UFPA

CÁLCULO IProf. Marcos Diniz | Prof. André Almeida | Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. Emerson Veiga | Prof. Tiago Coelho

Aula no 07: Teorema do Confronto. Limite Fundamental Trigonométrico. Teorema do Valor

Intermediário.

Objetivos da Aula

• Exibir o Teorema do Confronto e sua utilidade para veri�car a existência de uma limite;

• Enunciar o Teorema do Valor Intermediário e suas aplicações;

• Apresentar o Limite Fundamental Trigonométrico.

1 Teorema do Confronto

Teorema 1 (do Confronto ou do Sanduíche). Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto

que contenha p (exceto possivelmente p) e

limx→p

f(x) = limx→p

h(x) = L,

então

limx→p

g(x) = L.

A mensagem do Teorema do Confronto é que, se uma função que está �no meio� de outras duas funções

que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras

duas, daí este teorema é também chamado de Teorema do Sanduíche.

Exemplo 1. Seja f uma função de�nida em R tal que para todo x 6= 1, temos:

−x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x2 − 1

x− 1.

Calcule limx→1

f(x) e justi�que.

Solução: Como:

• limx→1

(−x2 + 3x) = 2

• limx→1

x2 − 1

x− 1= 2

temos, pelo Teorema do Confronto, que:

limx→1

f(x) = 2.

�

Exemplo 2. Mostre que limx→0

x2. sen

(1

x

)= 0.

1

Cálculo I Aula no 07

Solução: Como

−1 ≤ sen

(1

x

)≤ 1

Multiplicando por x2 a desigualdade, temos:

−x2 ≤ x2. sen(1

x

)≤ x2

Como limx→0−x2 = lim

x→0x2 = 0, pelo Teorema do Confronto, temos:

limx→0

x2. sen

(1

x

)= 0.

Gra�camente, note que a função f(x) = x2. sen

(1

x

)é limitada superiormente pela função g(x) = x2

e limitada inferiormente pela função h(x) = −x2.

�

Exemplo 3. Suponha f : R→ R uma função real e suponha que, para todo x, |f(x)| ≤ x2.

(a) Calcule, caso exista, limx→0

f(x).

(b) f é contínua em 0? Por quê?

Solução:

(a) Pelas propriedades de módulo, temos:

|f(x)| ≤ x2 ⇐⇒ −x2 ≤ f(x) ≤ x2.

Como limx→0−x2 = 0 = lim

x→0x2, segue pelo Teorema do Confronto que

limx→0

f(x) = 0.

(b) Pela hipótese, |f(x)| ≤ x2 para todo x, logo, |f(0)| ≤ 0 e, portanto, f(0) = 0. Assim, utilizando o

resultado de (a), temos que

limx→0

f(x) = 0 = f(0),

ou seja, f é contínua em 0.

�O próximo exemplo nos diz que, se f tiver limite 0 em p e se g for limitada, então o produto f · g

terá limite 0 em p.

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Exemplo 4. Sejam f e g duas funções com o mesmo domínio A tais que limx→p

f(x) = 0 e |g(x)| ≤M para

todo x em A, em que M > 0 é um número real �xo. Prove que:

limx→p

f(x)g(x) = 0.

Solução: Note que:

|f(x)g(x)| = |f(x)|.|g(x)| ≤M.|f(x)|,

para todo x em A. Daí, para todo x em A

−M.|f(x)| ≤ f(x).g(x) ≤M.|f(x)|

Como limx→p

f(x) = 0, segue que limx→p

(M.|f(x)|) = 0 e limx→p

(−M.|f(x)|) = 0. Portanto, pelo Teorema

do Confronto, temos que

limx→p

f(x)g(x) = 0.

�

Exemplo 5. Calcule limx→0

x. sen(πx

).

Solução: Note que limx→0

x = 0 e∣∣∣sen(π

x

)∣∣∣ ≤ 1 (a função seno é limitada!). Pelo resultado obtido no

Exemplo 4, temos portanto que

limx→0

x. sen(πx

)= 0.

Gra�camente, temos:

�



2 Limite Trigonométrico Fundamental

Usando as interpretações geométricas das funções seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico

(de raio 1) e o Teorema do Confronto, podemos realizar uma demonstração heurística (sem todo o necessário

formalismo e rigor das demonstrações, propriamente ditas) do importante limite, conhecido como Limite

Trigonométrico Fundamental:

limx→0

senx

x= 1.

Considere um arco x, 0 < x < π2 , na �gura abaixo:

Figura 1: Círculo trigonométrico

A argumentação se baseia na comparação das áreas de três regiões: o triângulo ABC, o setor circular

AB'C e o triângulo AB'C'. Observe que

Area(ABC) ≤ Area(AB′C) ≤ Area(AB′C ′) .

Utilizando as expressões das áreas

Area(ABC) =sen(x) cos(x)

2

Area(AB′C) =x

2

Area(AB′C ′) =tg(x)

2,

reescrevemos as inequações acima na forma

sen(x) cos(x)

2≤ x

2≤ tg(x)

2,

que por sua vez equivale a

cos(x) ≤ x

sen(x)≤ 1

cos(x),

ou ainda

cos(x) ≤ sen(x)

x≤ 1

cos(x). (1)

Observe �nalmente que as três funções que aparecem nas desigualdades (1) são todas pares e portanto as

mesmas desigualdades são válidas para x, −π2 < x < 0. Desta feita, as inequações (1) são válidas para

todo x ∈ (−π2 , 0) ∪ (0, π2 ). Estamos então em condições de utilizar o Teorema do Confronto: como, da

continuidade da função cosseno, temos que

limx→0

cos(x) = 1 e limx→0

1

cos(x)= 1 ,



concluímos do Teorema do Confronto que

limx→0

senx

x= 1.

Após introduzirmos o conceito de derivada, veremos uma demonstração deste resultado mais direta,

porém menos intuitiva, utilizando a Regra do L'Hospital.


sen(5x)

x.


limx→0

sen(5x)

x= lim

x→05.sen(5x)

5x︸︷︷︸u

= 5 limu→0

senu

u= 5.

Ou seja:

limx→0

sen(5x)

x= 5.

�


1− cosx

x2.


1− cosx

x2=

1− cos2 x

x2· 1

1 + cosx=

sen2 x

x2· 1

1 + cosx.

Assim:

limx→0

1− cosx

x2= lim

x→0

sen2 x

x2· 1

1 + cosx=

1

2,

pois limx→0

sen2 x

x2= lim

x→0(senx

x)2= 12 = 1 e lim

x→0

1

1 + cosx=

1

2.

�


sen(6x)

5x.

Solução: Seja u = 6x. Quando x→ 0, temos u→ 0 e, como

sen(6x)

5x=

1

5.6. sen(6x)

6x=

6

5.sen(6x)

6x=

6

5.senu

u.

Passando o limite, temos:

limx→0

sen(6x)

5x= lim

u→0

6

5.senu

u=

6

5.

�


tg x

x.

Solução: Note que:tg x

x=

senx

x cosx=

1

cosx.senx

xSegue que:

limx→0

tg x

x= lim

x→0

1

cosx.senx

x= lim

x→0

1

cosx. limx→0

senx

x= 1

�

Exemplo 10. Calcule limx→π

senx

x− π.

Solução: Fazendo u = x− π, temos:

senx

x− π=

sen(u+ π)

u=

senu cosπ + cosu senπ

u= −senu

u.

Quando, x→ π, temos que u→ 0. Portanto:

limx→π

senx

x− π= − lim

u→0

senu

u= −1.

�



3 Teorema do Valor Intermediário

Apresentaremos a seguir, uma propriedade importante das funções contínuas.

Teorema 2 (do Valor Intermediário). Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja

N um número qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) 6= f(b). Então existe um número c em (a, b) tal

que f(c) = N .

O Teoreoma do Valor Intermediário (TVI) estabelece que uma função contínua, de�nida em um intervalo

[a, b], assume todos os valores intermediários entre os valores de f(a) e f(b). Geometricamente, o TVI diz

que se for dada uma reta horizontal qualquer y = N entre y = f(a) e y = f(b), como mostra a �gura

abaixo, então o grá�co de f intercepta a reta y = N pelo menos uma vez.

Figura 2: Ilustração geométrica do Teorema do Valor Intermediário

Uma das consequências importantes do TVI é que a imagem de um intervalo por uma função contínua

será sempre um intervalo. Este teorema tem importante generalização em espaços mais gerais que R,chamados espaços topológicos, onde o enunciado toma a seguinte forma: A imagem de conjuntos conexos

por funções contínuas é também um conjunto conexo (no nosso caso, do conjunto dos números reais, R,os conjuntos conexos são exatamente os intervalos!).

Uma importante aplicação do Teorema do Valor Intermediário se dá na questão da localização das raízes

de equações. A seguir, apresentaremos alguns exemplos.

Exemplo 11. Mostre que existe uma raiz da equação 4x3 − 6x2 + 3x− 2 = 0 entre 1 e 2.

Solução: Seja f(x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Queremos encontrar um c entre 1 e 2, tal que f(c) = 0.Tomando a = 1 e b = 2 e N = 0, temos:

f(1) = −1 < 0

f(2) = 12 > 0.

Logo, f(1) < 0 < f(2), isto é, N = 0 é um número entre f(1) e f(2). Como f é contínua, por ser

um polinômio, o TVI a�rma que existe um número c entre 1 e 2 tal que f(c) = 0. Em outras palavras, a

equação 4x3 − 6x2 + 3x− 2 = 0 tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1, 2).



Gra�camente, temos:

�Este exemplo que acabamos de apresentar sugere um caso particular do Teorema do Valor Intermediário,

conhecido por Teorema de Bolzano (ou do Anulamento):

Teorema 3 (de Bolzano ou do Anulamento). Se f for contínua e f(a) e f(b) assumirem sinais contrários,

então existirá c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Exemplo 12. Mostre que a equação x3 − 4x+ 8 = 0 admite pelo menos uma solução real.

Solução: Considerando a função f(x) = x3−4x+8, temos f(0) = 8, f(−3) = −7 e f é contínua, segue

do Teorema do Anulamento que existe pelo menos um c em (−3, 0) tal que f(c) = 0, isto é, a equação

x3 − 4x+ 8 = 0 admite pelo menos uma raiz real entre -3 e 0.

�

Resumo

Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.

Aprofundando o conteúdo

Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 2.3, 2.5 e 3.3 do livro texto.

Sugestão de exercícios

Resolva os exercícios das seções 2.3, 2.5 do livro texto.


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