Matemática – 9º ano

Professora: Marta Amorim Ferreira Couteiro

Circunferência – Introdução

Por todo o lado vemos circunferências: nas rodas de uma

bicicleta, ou de um automóvel, num relógio, em alguns

utensílios relacionados com o desporto, como por exemplo

os arcos…

Primeiro que tudo importa distinguir circunferência de círculo:

Elementos de uma Circunferência

Arco de uma circunferência

Os pontos P e Q definem na circunferência dois arcos:

- um arco menor: arco menor PQ ou arco PQ;

- um arco maior: arco maior PQ ou, usando um ponto auxiliar, arco PRQ.

Circunferência de centro O e raio r é o lugar

geométrico dos pontos de um plano cuja

distância a O é r.

Círculo de centro O e raio r é o lugar geométrico dos

pontos de um plano cuja distância a O é inferior ou

igual a r.

Corda é o segmento de reta definido por dois pontos da

circunferência.

Diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência.

O diâmetro divide a circunferência em duas

semicircunferências.

Raio é o segmento de reta que une o centro a um ponto

qualquer da circunferência.

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Assim:

Chama-se arco de circunferência a qualquer porção da circunferência determinada por dois dos seus pontos,

que são os extremos do arco.

Exercício 1

Observa a figura e indica se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações, corrigindo as afirmações

falsas.

a) a circunferência desenhada tem centro O e raio [BD];

b) [AO] é um diâmetro;

c) [OB] é um raio;

d) [BC] é um diâmetro;

e) [BC] é uma corda;

f) [BD] é um diâmetro;

g) 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 2 × 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ .

Posição Relativa de uma Recta e de uma Circunferência

Observa a figura:

A reta s intersecta a circunferência em dois pontos - s é SECANTE à

circunferência.

A reta t intersecta a circunferência num ponto – t é TANGENTE à

circunferência. O ponto T, comum à reta e à circunferência chama-se

ponto de tangencia.

A reta e não intersecta a circunferência – e é EXTERIOR à circunferência.

Simetrias na Circunferência. Propriedades.

A palavra simetria já te é familiar de anos anteriores:

Dobrando esta borboleta segundo uma reta, as duas partes da borboleta

sobrepõem-se. Descobre essa reta.

Diz-se, por isso, que esta borboleta tem um EIXO DE SIMETRIA.

Dobrando o papel pela reta r, as figuras 1 e 2 ficam sobrepostas. A fig. 1 e a fig. 2 são simétricas em relação à

reta r. Estamos perante uma simetria axial. A reta r é um EIXO DE SIMETRIA.

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Quantos eixos de simetria tem a circunferência?

Os eixos de simetria de uma circunferência são todas as retas que passam pelo seu centro.

Propriedades

Consideremos a figura ao lado, em que as cordas [AL] e [BM] são paralelas e

a reta r passa pelo centro da circunferência e é perpendicular as cordas

dadas.

r passa pelo centro da circunferência, logo r é um eixo de simetria da

circunferência.

Se desenhares numa folha de papel a figura dada e o dobrares segundo a

reta r podes verificar que:

- as cordas [AL] e [BM] vão coincidir;

- os arcos AL e BM também.

Propriedade 1

Cordas compreendidas entre cordas paralelas são geometricamente iguais.

Arcos compreendidos entre cordas paralelas são geometricamente iguais.

Propriedade 2

Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular à reta que passa pelo centro e pelo ponto de

tangencia.

AL BM

Arco AL Arco BM

lê-se geometricamente igual

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Observação: A propriedade anterior permite afirmar em particular, que a tangente a uma

circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangencia.

Exercício 2

Na figura seguinte, a reta AB é tangente à circunferência em A.

a) Justifica que OÂB = 90º

b) Determina a amplitude de Ô.

Exercício 3

Na figura, O é o centro da circunferência e a reta IJ é tangente à circunferência em

I.

Determina a amplitude de todos os ângulos considerados na figura, justificando o

teu raciocínio.